Mag. Mat. Juan C. Damián Sandoval

Un bebé pesa 2.8 kilos al nacer y 3 años después su peso es de 8.5 kilos.Suponga que le peso P (en kilos) y la edad T (en años) están relacionados linealmente:

a) Exprese P en términos de T.

b) ¿ Cuál será el peso del niño en su cuarto cumpleaños?

c) ¿ A qué edad el niño pesará 20 kilos?

d) Grafique la función para 0 12T≤ ≤

2. La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y volumen del corazón. Suponga que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de 850 ml , y que para un hígado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática.

1. PAR ORDENADO: Se llama así a toda dupla deelementos escritos de la forma:

Donde: “a” es la primera componente“b” es la segunda componente

1.1Propiedad:

EjemploSi encuentre “x + y”

{ } { }{ }( ; ) ; ;a b a a b=

( ; ) ( ; )a b c d a c b d= ⇔ = ∧ =

( 5;6) (11; 5)x y− = −

2. PRODUCTO CARTESIANO: El producto cartesianoentre dos conjuntos A y B, es el conjunto de paresordenados que se forma haciendo corresponder a cadaelemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B.

3. PLANO CARTESIANO{ }( ; ) /A B a b a A b B× = ∈ ∧ ∈

x: Eje de las abscisasy: Eje de las ordenadas

EJEMPLO1. Dados los conjuntos

a) Encuentre el producto cartesiano

{ } { }2;5;7 3;4;5;6A B= =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2;3 , 2;4 , 2;5 , 2;6

5;3 , 5;4 , 5;5 , 5,6

7;3 , 7;4 , 7;5 , 7;6

A B

× =

( ) ( ) ( ) 12n A B n A n B× = × =

b) Representar en un diagrama sagital

c) Representar en un plano cartesiano

4. RELACIONES: Sean los conjuntos A y B entonces sedefine la Relación como un subconjunto del productocartesiano.Simbólicamente:

EJEMPLOS 1.Dados los conjuntos

Encuentre las siguientes Relaciones

:R A B R A B→ ⇔ ⊂ ×

{ } { }3;5;7 2;4;6A B= =

{ }{ }

( ; ) /

( ; ) / 9

R x y A B x y

S x y A B x y

= ∈ × <

= ∈ × + =

1.1 DEFINICIÓNUna función es una relación o correspondencia entre dosmagnitudes, de manera que a cada valor de la primeracomponente le corresponde un único valor de la segundacomponente, que se llama imagen, es decir:

es la regla de correspondencia.Además se cumple:i)

ii)

:f A B→ { }( ; ) / ( )f x y A B y f x= ∈ × =

( )y f x=

f A B⊂ ×

( ) ( ); ;a b f a c f b c∈ ∧ ∈ → =

1.2 DOMINIO Y RANGO• El dominio de una función está dado por el conjunto de

valores que puede tomar “x”

• El rango de la función está dado por el conjunto de

valores que puede tomar “y”

( ){ }( ){ }

( ) / ; ;

( ) / ; ;

Dom f x A y B x y f A

Ran f y B x A x y f B

= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

EJEMPLOS1. Determina cuál de los siguientes diagramas determina una función.

2. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a unafunción.

3. Encuentre si f es una función

4. Si g es una función

Encuentre , dominio y rango

2 2" "b a−

{ }3(3;5), (2; ), (3; ), (2;8), (4;1)f a a b= −

{ }(1;4), (5; ), (3;2), (1; ), (5;3), (3; )g a b b c c= + + −

" "a b c+ +

5. Encuentre el dominio y rango de cada función en losgráficos representados

Dom f

Ranf

1.3 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

a) Función Creciente: Una función “f” es creciente en

el intervalo “I”,

1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ,Si x x f x f x x x I< ⇒ < ∀ ∈

b) Función Decreciente: Una función “f” es decreciente en el intervalo “I”,

1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ,Si x x f x f x x x I< ⇒ > ∀ ∈

Ejemplos1. Determine si las funciones dadas son crecientes o

decrecientes en los intervalos indicados.

2. Dada la siguiente gráfica, indique los intervalos decrecimiento y de decrecimiento

] ][ ]

2

2

) ( ) ( 1) , 0;5

) ( ) (2 ) , 2;6

a f x x x

b g x x x

= + ∈

= − − ∈

c) Función Positiva y Negativa:

[ [] ]

) ( ) 0, ( ) es ;

) ( ) 0, ( ) es ;

i f x f x negativa x a b

ii f x f x positiva x b c

< ⇔ ∈

> ⇔ ∈

d) Función Par e impar: Una función es par si

Una función es impar si

EjemplosVerificar si las funciones dadas son pares e impares

( ) ( ) f x f x x Domf− = ∀ ∈

( ) ( ) f x f x x Domf− = − ∀ ∈

4 2

3

) ( ) 3 5) ( ) 2

a f x x xb f x x x

= − +

= +

1.4 VALOR NUMÉRICO.Consiste en evaluar una determinada función en el puntoindicado, dentro del dominio.

Ejemplos1.Si

Encuentre

2. Si Calcular

{ }2

(2;3), (4;7), (1;5), (7;9)

( ) 3 1

f

h x x x

=

= + +

(7) (2)5 (0) (1)f hPh f

+=

+2( ) 1f x x= +

( (0)) ( (1))3 ( ( 1))

f f f fEf f

−=

−

3. Si encuentre el valor de

4.Calcule el valor de

5. Dada la siguiente gráfica

2( ) 1f x x= +( ) ( )f x h f x

h+ −

2 ( 2) 5 2, ( 1) 5, ( 1) 1Si f x x g x x h x x− = − − = + + = −

23 (3) 6 (2) [ ( 2)] (3) ( 1)E f h f g h= + − − + − −

( )y f x=

a) Determine el valor de

(5) ( 12)(0) (3)

f fEf f

+ −=

+

b) Dominio y rango.c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.d) Los intervalos donde la función positiva y negativae) Los puntos de intersección con los ejes coordenados.f) Donde la función es constante.