TIPOS DE FUNÇÃO

5. FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição 1. Chama-se função quadrática a função f: IR IR,

x f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c constantes IR e a 0.

Observações:

Podemos provar que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola de concavidade voltada para cima, se

a > 0 e concavidade voltada para baixo, se a < 0.

As raízes ou zeros da função quadrática são os valores de x tais que f(x) = 0, isto é, ax2 + bx + c = 0. Portanto, são

as soluções da equação do 2º grau, caso exista(m), que podem ser obtidas da seguinte maneira:

02 cbxax

:___tan,02 obtemosquadradoodocomplea

cx

a

bxa

022

22

2

a

c

a

b

a

bx

a

bxa

042 2

22

a

c

a

b

a

bxa

canônicaformaa

acb

a

bxa _,0

4

4

2 2

22

.

Dividindo ambos os membros por “a” obtemos:

2

2

2

4

4

2

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

2

4

2

2

a

acbbx

2

42

Fazendo acb 42

a

bx

a

bx

oua

bx

2''

2'

__2

O número de soluções da equação do segundo grau, isto é, de raízes da função quadrática é:

a) > 0 x’ x’’, isto é, nenhuma uma raiz real.

b) = 0 x’ = x’’, isto é, apenas uma raiz real.

c) < 0 não existe raiz real.

As coordenadas do vértice V(xv,yv) da parábola que representa o gráfico da função quadrática é:

40,

2a

bV .

Se a > 0, yv = a4

é chamado valor mínimo da função em xv =

a

b

2

.

Se a < 0, yv = a4

é chamado valor máximo da função em xv =

a

b

2

.

Em xv = a

b

2

passa o eixo de simetria da parábola.

A soma das raízes e o produto das raízes de uma função quadrática são dados por:

Soma: S = a

b e Produto: P =

a

c

De fato,

S = x’ + x’’ = a

b

2

+

a

b

a

b

2

P = x’ . x’’ =

a

b

2.

a

b

2 =

a

c

A Forma fatorada da equação do 2º Grau, muito usada na obtenção da lei de formação da função a partir do

gráfico, é:

a

cx

a

bxacbxax 22 ''.'.'''.'''. 222 xxxxaxxxxxxaPSxxa

a

cx

a

bxa

APLICAÇÕES

1.) Para o casamento de Vera e Edu, um grupo de amigos escolheu um presente de R$ 300,00, valor a ser dividido

igualmente entre eles. Porém, depois da compra, três deles decidiram dar presentes separados. Dessa forma, a despesa

teve que ser dividida entre os demais, resultando em um gasto adicional de R$ 5,00 para cada um. Quantas pessoas eram

inicialmente?

SOLUÇÃO: Cada um dos amigos deveria pagar inicialmente p reais, com p = n

300 (I). Com a desistência ficamos com

p + 5 = 3

300

n (II). Substituindo (I) em (II) teremos:

n

300 + 5 =

3

300

n 018032 nn

12''

15'

n

n

Portanto, eram 15 pessoas inicialmente.

2.) Determine a lei de formação(função que define) de cada uma das parábolas abaixo:

a) b)

c) d)

a) y = a.(x – x’).(x – x’’), usando as raízes -3 e 5 b) y = a.(x – x’).(x – x’’), usando as raízes 0,5 e 2,5*

y = a.(x + 3).(x – 5), usando o ponto (4,7) y = a.(x – 0,5).(x – 2,5), usando o ponto (1,5;-4)

7 = a.(4 + 3).(4 – 5) -4 = a.(1,5 – 0,5).(1,5 - 2,5)

a = - 1 -4 = a.1.(-1)

a = 4

Logo, Logo,

y = - 1.(x + 3).(x – 5) y = 4.(x – 0,5).(x – 2,5)

y = - x2 + 2x + 15 y = 4x2 – 12x + 5

c) De (0,2) tiramos c = 2, pois 2 = a.02 + b.0 + c

De (-1,1) e (1,5) obtemos o sistema

21.1.5

2)1.()1.(1

2

2

ba

ba 2__1

3

1

bea

ba

ba

Logo,

y = x2 + 2x + 2

d) y = a.(x - x’).(x - x’’), usando as raízes -1, e 5*

y = a.(x + 1).(x – 5), usando o ponto (2,3)

3 = a.(2 + 1).(2 – 5)

3 = -9a

a = -1/3

Logo,

y = -1/3 . (x + 1).(x – 5)

y = -1/3 . x2 + 4/3 . x + 5/3

7

- 3 0 4 5 0

-4

1,5 0,5

5

2

-1

1

1 0

3

2 -1

3.) Um campo é delimitado no formato de um retângulo no qual um lado é formado por um rio de percurso retilíneo. Se

100 m de cerca estão disponíveis para o cercado, determine as dimensões do retângulo de máxima área possível.

SOLUÇÃO: Seja x a largura do retângulo e 100 – 2x o seu comprimento.

A área (A) desse retângulo expressa em função do comprimento “x”: A(x) = x.(100 - 2x) A(x) = - 2x2 + 100x representa

uma função quadrática com valor máximo yv = a4

= 1250

)2.(4

)0).2.(4100( 2

em xv = 25

)2.(2

100

2

a

b

.

Portanto, as dimensões do retângulo são: 25m e 100 – 2x = 100 – 2.2 = 50m.

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Como vimos na primeira parte, estudar o sinal de uma função, inclusive a quadrática, significa descobrir para que valores

de x IR temos: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) > 0 e f(x) < 0. Podemos fazer essa análise utilizando a forma canônica da função

quadrática, que não a faremos aqui, ou simplesmente observando os gráficos como veremos a seguir para o estudo feito

na função quadrática f(x) > 0, os demais casos são feitos de forma análoga.

Exemplo 1: Resolva a inequação -2x2 + 3x + 2 > 0.

SOLUÇÃO: Considerando f(x) = -2x2 + 3x + 2, temos:

a = -2, isto é, a < 0, concavidade da parábola voltada para baixo.

= 25, isto é, >0, duas raízes reais e distintas, são elas x1 = -1/2 e x2 = 2.

Daí podemos, através do esboço do seu gráfico, fazer o estudo dos sinais dessa função e finalmente resolver a inequação

f(x) > 0.

x x

100 – 2x

a > 0 e 0 a > 0 e 0 a > 0 e 0

a > 0 e 0 a > 0 e 0 a > 0 e 0

S = IR S = {x IR| x1 x2} S = {x IR| x < x1 ou x >x2}

S = S = S = {x IR| x1< x < x2}

x1

x1

x2 x1 = x2

x2

-1/2 2 + - -

S = { x IR| 2

1 < x < 2}

Exemplo 2: Resolva a inequação (x2 – x – 2)(-x2 + 4x – 3) > 0 em IR.

SOLUÇÃO:

Analisando os sinais dos fatores podemos montar um quadro-produto do tipo:

f(x) = x2 – x – 2

g(x) = - x2 + 4x – 3

f(x) . g(x)

S = { x IR | -1 < x < 1 ou 2 < x < 3}

Exemplo 3: Resolva a inequação 2

2

2

12

xx

xx

< 0 em IR.

f(x) = 2x2 + x – 1

g(x) = 2x – x2

f(x)/g(x)

S = { x IR | x < -1 ou 0 < x < 1/2 ou x > 2}

APLICAÇÃO: Um pequeno agricultor estima que, para o próximo ano, as produções de arroz e soja do seu sítio totalizem x

toneladas de grãos. A previsão é de que o custo de produção da tonelada de arroz seja 202 + 10

120

x reais e que o da

tonelada de soja seja 204 + x

40 reais. Determine a quantidade x de toneladas de grãos que deve ser produzida nesse sítio

no próximo ano para que o custo de produção da tonelada de soja seja menor que o custo de produção da tonelada de

arroz.

SOLUÇÃO:

Sendo CA o custo de produção de cada tonelada de arroz e CS o custo de produção de cada tonelada de soja, temos:

CS < CA 204 + x

40 < 202 +

10

120

x 0

10

4006022

2

xx

xx

Obtemos uma inequação-quociente de solução:

S = {x IR| -10 < x < 0 ou 10 < x < 20}

Evidentemente o intervalo -10 < x < 0 não convém, pois x se refere às toneladas de grãos que devem ser produzidas no

sítio. Portanto a quantidade de grãos, em toneladas, para que o custo da produção de soja seja menor que o custo da

produção de arroz é qualquer valor entre 10 e 20 toneladas.

-1 1 2 3

+

-

-

-

-

+

-

+

-

+

+

+

+

-

-

0

0

0

0

0

0

0

0

-1 0 1/2 2

+

-

-

-

-

+

-

+

-

+

+

+

+

-

-

0

0

0

0

0

0

0

0