- PORTOFOLIU MATEMATIC -FUNCII TRIGONOMETRICEFuncia sinusFuncia[ ] ( ) x x f f sin , 1 , 1 : este o funcie periodic, de perioad principal 20 T. Acest fapt nepermitesreducemstudiul unor proprieti laun interval de lungimea unei perioade principale, de exemplu [ ) 2 , 0. Dac o proprietate are loc pe intervalul( ) [ ) 2 , 0 , b a, atunci submulimea lui pe care aceast proprietate este adevrat se obine adugnd la capetele intervalului( ) b a,multiplu de 2 , adic ( ) + + k k b k a , 2 , 2 .Graficul funciei sinusPentrutrasareagraficului funciei pe , vomaplicametodatrasrii prin puncte,pe[ ) 2 , 0(utiliznd tabelul de valori) precumi periodicitatea funciei ( ) ( ) ( ) + k x x f k x f , , 2 , ceea ce nseamn c graficul funciei l generm pe intervalele[ ) 4 , 2,[ ) 6 , 4,i respectiv,[ ) 2 , 4 ,[ ) 0 , 2 , translatnd graficul de pe [ ) 2 , 0 la dreapta i respectiv la stnga de-a lungul axei Ox.n tabelul de mai jos, redmprincipalele caracteristici ale funciei sinus. Recomandm ca aceste proprieti s fie prezentate utiliznd graficul funciei.1- PORTOFOLIU MATEMATIC -2- PORTOFOLIU MATEMATIC -Funcia arcsinus Fie [ ] ( ) x x f f sin , 1 , 12,2: 1]1

, funcie inversabil.Notmfunciainvers[ ] ( ) x x g g arcsin ,2,21 , 1 : 1]1

. Atunci, timdela proprietile generale ale funciilor numerice, c graficele lor sunt simetrice n raport cu prima bisectoare a axelor (dreapta de ecuaie x y ).De asemenea, dac f este strict cresctoare, atunci este la fel i g. Alte proprieti vor fi prezentate n tabelul de mai jos.Graficul funciei arcsinusTrasarea graficului funciei g se poate realiza, aa cum am spus mai sus, prins simetrie n raport cu y=x sau prin puncte. l vom realiza pin aceste tehnici mai jos.Redm n continuare principalele proprieti ale funciei arcsinus.3- PORTOFOLIU MATEMATIC -n concluzie avem tabele urmtoare, care dau funcie direct i funcia invers.Probleme rezolvate1. Determinai domeniul maxim de definiie D pentru funcia D g :, ( )11arcsin+xx g.Rezolvare.Se impune condiia1 , 1111 + xx. Gsim ( ] [ ) , 0 2 , x.2. S se determine unghiul 43arcsin31arcsin +.Rezolvare.Fie43arcsin ,31arcsin . Deci

,_

2;2, i31sin , 43sin . Cum 0 sin , sin > sepoaterestrngeintervalul ncareseaflunghiurile, adic

,_

2; 0 , . Prin urmare( ) ; 0 + . S observm c din 122 6 7cos sin cos sin sin+ + nu putem spune c 122 6 7arcsin+ , deoarece nu tim dac2 < +. Totui din6 6sin2131sin < < , iar din 3 3sin2334sin < < i deci 2 3 6 + < +. Prin urmare 122 6 7 + + 3. S se calculeze ( ) 10 sin arcsin.4- PORTOFOLIU MATEMATIC -Rezolvare.Fie( ) 10 sin arcsin . De aici 10 sin sin i1]1

2;2 . Se observ c[ ] 4 ; 3 10 . Punctelei 10 sunt simetrice fa de23. Deci .232310 . De aici10 3 .Funcia cosinusFuncia[ ] 1 ; 1 : f,( ) x x f cos este o funcie periodic, de perioad principal 20 T. Din acest motiv, studiul proprietilor acestei funcii se va reduce la un interval de lungime0T, de exemplu [ ) 2 ; 0.Principalele caracteristici ale funciei cosinus sunt redate n tabelul de mai jos.5- PORTOFOLIU MATEMATIC -6- PORTOFOLIU MATEMATIC -Funcia arccosinusFie[ ] [ ] ( ) x x f f cos , 1 ; 1 ; 0 : , funcieinversabil. Notmfunciainvers [ ] [ ] ; 0 1 ; 1 : g,( ) x x g arccos . Graficeleacestorfunciisuntsimetricenraport cu prima bisectoare ( ) x y .7- PORTOFOLIU MATEMATIC -Probleme rezolvate1. Determinai domeniul maxim D de definiie pentru funcia D g :, ( ) ( ) 1 2 arccos x x g.Rezolvare.Funcia g exist dac 1 1 2 1 x . Rezolvnd aceast dubl inecuaie se obine [ ] 1 ; 0 x. Deci [ ] 1 ; 0 D.2. S se calculeze: 31arccos31arcsin +.Rezolvare.Notm31arccos ,31arcsin . De aici31sin i

,_

2; 0 , 31cos i

,_

2; 0 . De aici [ ] ; 0 + . Avem: ( ) 0 sin sin cos cos cos cos + . De aici 2 .3. S se arate c: [ ] 1 ; 1 ,2arccos arcsin + x x x.Rezolvare.Fiex x arccos , arcsin . Deaicix x 1]1

cos ,2;2, sin, [ ] ; 0 . Scriem relaia de demonstrat sub forma 2. Cum unghiurile din cei doi membrii sunt n1]1

2;2 , adic mulimea pe care funcia sinus este injectiv, este suficient s artm c

,_

2sin sin. Avem( ) x x arcsin sin sin i ( ) x x ,_

arccos cos cos2sin . Deci

,_

2sin sini de aici 2, adic egalitatea propus.8- PORTOFOLIU MATEMATIC -Funcia tangent9- PORTOFOLIU MATEMATIC -Funcia arctangentFie( ) tgx x f f ,_

,2;2: , funcie inversabil. Notm funcia invers ( ) arctgx x g g ,_

,2;2: . Graficele funciilor f i g sunt simetrice n raport cu prima bisectoare ( ) x y . Cum f este strict cresctoare, deducem c g are aceeai proprietate.n tabelul de mai jos, prezentm principalele caracteristici ale funciei arctangent10- PORTOFOLIU MATEMATIC -n concluzie, avem mai jos tabelele care dau funcia direct i funcia invers:Probleme rezolvate1. S se compare numerele 21,31arctg arctg.Rezolvare. Am vzut c funcia ( ) arctgx x g este strict cresctoare. Din 2131< rezult

,_

< ,_

2131g g, adic 2131arctg arctg ). Din x arcsin rezult 11- PORTOFOLIU MATEMATIC -x sin . Pentru a da o form mai simpl lui x utilizm formula 21sintgtg+ t. Cum

,_

2; 0 lum semnul + n faa radicalului. Decixarctg tgarctg tgx tgtg +

,_

+

,_

+2626251151511511sin22. n final 2626arcsin51 arctg . Analogdeterminm [ ] 1 ; 1 ypentrucarey arctg arccos51. Fie 51arctg . De mai sus

,_

2; 0 ,51 tg. Diny arccos rezulty cos. Din formula 211costg + se obiney 2626 5cos . Aadar 2626 5arccos51 arctg .Funcia cotangentFuncia{ } ( )xxctgx x f k k fsincos, ; : , este o funcie periodic, de perioad 0T. Studiul acestei funcii se realizeaz pe intervalul de lungime T0. Acest interval este ( ) ; 0.Tabelul de mai jos, conine principalele caracteristici ale funciei cotangent.12- PORTOFOLIU MATEMATIC -13- PORTOFOLIU MATEMATIC -Funcia arccotangentFie( ) ( ) ctgx x f f , ; 0 : , funcie inversabil. Notm funcia invers ( ) ; 0 : g, ( ) arcctgx x g . Graficele funciilor f i g sunt simetrice n raport cu dreapta de ecuaie x y . Din f strict descresctoare, va rezulta c i g este strict descresctoare.n prezentarea principalelor caracteristici ale funciei arccotangent recomandm utilizarea graficului.14- PORTOFOLIU MATEMATIC -n concluzie, dm mai jos tabelele care ofer informaii despre funcia direct i funcia invers.Probleme rezolvate1. S se exprime 3 arcctg n funcie de arcsin, arccos, arct.Rezolvare.Trebuiesdeterminm[ ] 1 ; 1 xpentrucarex arcctg arcsin 3 . Dac3 arctg , atunci3 ctgi

,_

2; 0 . Din x arcsin rezult x sin . Se exprim sin nfunciede ctg. Avem:211sinctg + t.Cum

,_

2; 0 rezult 0 sin > i deci n faa radicalului lum semnul +. Deci 10101019 1111sin2 ++ctg. Aadar 1010 xi 1010arcsin 3 arcctg . S gsim acum [ ] 1 ; 1 ypentru carey arcctg arccos 3 . Camaisus

,_

2; 0 , 3 ctg,iardin y arccos avem y cos,0 cos > . Exprimm cosn funcie de ctg i avem:1010 31031cos2 + ctgctgy. Aadar 1010 3arccos 3 arcctg . S determinm zpentru carearctgz arcctg 3. Ca mai sus

,_

2; 0 , 3 ctg, iar dinz tg avem 31 1 ctgtg z. Deci 313 arctg arcctg .2. S se arate c ( ) + x arcctgx arctgc ,2.15- PORTOFOLIU MATEMATIC -Rezolvare.Scriem egalitatea sub formaarcctg arctgx 2i notm arcctgx arctgx ,. Deaici

,_

2;2 i( ) ; 0 , x tgi. x ctg Membrul drept esteunghiul

,_

2;2 2 . Deci cei doi membri sunt unghiuri nintervalul

,_

2;2 . Artm c

,_

2tg tg. De aici (funcia tg este injectiv), va rezulta relaia de demonstrat. Avem ( ) x arctgx tg tg i ( ) x arcctgx ctg ctg tg ,_

2.16- PORTOFOLIU MATEMATIC -ECUAII TRIGONOMETRICEDefiniie.Senumeteecuaietrigonometricoecuaiencarenecunoscuta figureaz ca argument al uneia sau mai multor funcii trigonometrice.Exemple. 1.21sin x;2. 0 3 2 cos 2 sin 4 + x x ;3.0 12sin +xtg x.Definiie.Un numr 0xse numete soluie a ecuaiei trigonometrice dac nlocuind x cu x0 n ecuaie se obine o egalitate.Exemple.1.6 x este soluia ecuaiei 21sin x deoarece 216sin .2.6 xeste soluie a ecuaiei 0 3 2 cos 2 sin 4 + x x , deoarece 0 3 1 2 3212214 33cos 26sin 4 + + + .A rezolva o ecuaie trigonometricnseamn a-i determina toate soluiile. n celeceurmeazvomrezolvacelemai simpleecuaii trigonometrice, indicndpentru fiecare tip de ecuaie i metoda de rezolvare.Ecuaii trigonometrice fundamentaleEcuaiile cuprinse sub aceast titulatur sunt:a x sin b x cosc tgx d ctgx, d c b a , , ,1. Ecuaiaa x sin . Arcsinus. Are loc urmtoarea.Teorem. Mulimea S de soluii a ecuaieia x sineste: S, dac 1 > a;( ) { } + k k a Sk arcsin 1, dac 1 a.Are loc urmtoarea proprietate imediat: Exemple.17- PORTOFOLIU MATEMATIC -1. 0 0 arcsin , deoarece 1]1

2;20 i0 0 sin .2.21 arcsin, deoarece 1]1

2;2 2 i 12sin .Problem rezolvatS se rezolve ecuaiile: a)22sin x ;Rezolvare. Mulimea de soluii a ecuaiei este ( ) ( );' + ;' + k k k k Sk k4122arcsin 1.b)21sin x;Rezolvare.Soluiile ecuaiei sunt:( ) .21arcsin 1;' + ,_

k SkDar 6 21arcsin21arcsin ,_

i deci S se mai poate scrie ( );' + +k k Sk611.c)31sin x.Rezolvare.Avemmulimeadesoluii( );' + k k Sk31arcsin 1. nacest caz 31arcsinsepoatecalculautilizndtabeletrigonometricesaucalculatorul debuzunar. Cnd unghiul 1 , arcsin a a, nu-l putem indica, rezultatul l lsm sub formaa arcsin .2. Ecuaiab x cos . Arccosinus. Soluiile ecuaiei sunt date de urmtoarea:Teorem. Mulimea S de soluii a ecuaieib x coseste egal cu:a) S , dac 1 b;b){ } + t k k b S 2 arccos, dac 1 b.Exemple.1.20 arccos, deoarece [ ] ; 02 i 02cos ;18- PORTOFOLIU MATEMATIC -2.3 21arccos, deoarece [ ] ; 03 i 213cos ;3.323 21arccos21arccos ,_

.Problem rezolvatS se rezolve ecuaiile:a) 0 cos x ;Rezolvare. Ecuaia are soluii deoarece [ ] 1 ; 1 0 i mulimea cestora este{ };' + t + t k k k k S 222 0 arccos.b) 6 cos x ;Rezolvare. Ecuaia nu are soluii deoarece [ ] 1 ; 1 6 . Deci S .c)51cos x.Rezolvare. Cum [ ] 1 ; 151 , ecuaia are soluiile ;' + t k k S 251arccos.3. Ecuaiac tgx . Arctangent.Dac c , atunci ecuaiac tgx aresoluii date de:Teorem. Soluiile ecuaiei c c tgx , sunt date de mulimea { } + k k arctgc S .Exemple:1)0 0 arctg, deoarece

,_

2;20 i 0 0 tg;2)41 arctg pentru c

,_

2;2 4 i 14 tg;3)( )41 1 arctg arctg.Analog se introduce arccotangenta. Pentru un nr. real d. numrul arcctgd x este definit de dou condiii: < < x 0i d ctgx.19- PORTOFOLIU MATEMATIC -Problem rezolvatS se rezolve ecuaiile:a)1 tgx;Rezolvare. { };' + + k k k k arctg S 41;b)3 tgx;Rezolvare. ( ) { } { } + + k k arctg k k arctg S 3 3;c)0 ctgx;Rezolvare. { };' + + k k k k arcctg S 20;d)3 ctgx.Rezolvare. ( ) { } { };' + + + k k k k arcctg k k arcctg S 653 3.Tipuri de ecuaii trigonometrice20- PORTOFOLIU MATEMATIC -21- PORTOFOLIU MATEMATIC -22- PORTOFOLIU MATEMATIC -23- PORTOFOLIU MATEMATIC -24- PORTOFOLIU MATEMATIC -25- PORTOFOLIU MATEMATIC -26- PORTOFOLIU MATEMATIC -BIBLIOGRAFIE Manual dematematicpentruclasaaX-adeMirceaGanga, editura Mathpress.27- PORTOFOLIU MATEMATIC -CUPRINSFUNCII TRIGONOMETRICESinusul...1Arcsinusul......3Cosinusul...5Arccosinusul..7Tangenta9Arctangenta..10Cotangenta...12Arccotangenta..14ECUAII TRIGONOMETRICEArcsinusul17Arccosinusul18Arctangenta..19Arccotangenta..19Ecuaii care conin funcii de acelai nume.20Ecuaii care se reduc la ecuaii algebrice.21Ecuaii omogene de gradul 2 n x sin ix cos.22Ecuaia liniar nx sin ix cos22Ecuaia simetric nx sin ix cos25Ecuaii care conin sume de sinusuri sau cosinusuri26Alte tipuri de ecuaii26Bibliografie..27Cuprins.2828