Aide Memoire8.5 by 11both sidesNo mechanical reproductions in part or in all.  Hand written by YOU.

Functions

Quadraticall three formsequation

Square root

Linear Exponential and LogarithmicLog lawsasymptotesCompound Interest

Step round to the leftlength of stepgapopen­closedclosed­open

a, b, h, ksketching them, domain, rangefinding the rulesolving for x and yProperties (increasing, decreasing)finding the inverse

Rationalasymptotes

absolute value

PiecewiseFinding the rule of different functions on one graph

composites

Transformed Linear Function

y = ax + b  or f(x) = ax + b

Ax + By + C = 0

x   +    y    a b

a = slope =

b = y­int 

ΔyΔx

x­int =  ­b  a 

slope = 

y­int = 

x­ int = 

slope = 

y­int = b

x­ int = a

­A B

­C B­C A

 ­b  a 

y2 ­ y1x2 ­ x1=

General form

Intercept form

A is usually a positive whole number

Standard form

= 1

Functional Form

B and C are positive or negative whole numbers

quadratic formula (solving x):

x = ­b ±√­4ac + b22a

quadratics

f(x) = a(x ­ h)2 + k

g(x) = a(x ­ r)(x ­ s)

h(x) = ax2 + bx + c

Basic Quadratic Function Quadratic Function (Standard Form)

y = x2 y = a(x ­ h)2 + k  

f(x) = x2 f(x) = a(x ­ h)2 + k

Quadratic Function (General Form)

 y = Ax2 + Bx + C

­ b2 + 4ac    4a

b2a

­h =  k = 

vertex is (h, k)a tells us if parabola opens up or down

vertex is (h, k)A tells us if parabola opens up or downC is the y­interceptfactor to find the zeros or use theQuadratic formula.

quadratic formula:  x = ­b±√­4ac + b2        2a

Factored Form:y = a(x ­ r)(x ­ s)a tells us if parabola opens up or down.  It is the same value in all three forms.

The zeros of the function are r and s.

The vertex is (h, k) in between the zeros.h = (r + s) ÷2Sub h into rule to calculate k

Step Functionf(x) = a[b(x ­ h)] + k 

= (y2 ­ y1)

= (x2 ­ x1)

Basic Absolute Function Transformed Absolute Function

y = ΙxΙ y = aΙx ­ hΙ + k  

f(x) = ΙxΙ f(x) = aΙx ­ hΙ + k 

f(x) = a(bΙx ­ hΙ) + k 

Transformed Rational Function

Basic Exponential Function Transformed Exponential Function

y = cx y = a(c)(b(x ­ h)) + k  

f(x) = cx

a > 0, b > 0

a < 0, b > 0

a > 0, b < 0

a < 0, b < 0

f(x) = a(c)b(x­h) + k, c > 1

a > 0, b > 0

a < 0, b > 0

a > 0, b < 0

a < 0, b < 0

f(x) = a(c)b(x­h) + k, 0 < c < 1

c(t) = a(1 +    )ntin

 

a:  initial investment

i:  interest rate

n:  number of times per year the value      of your investment is calculated

t:  time (days, months, years)

c(t):  the value of your investment after           time t

Compound Interest

The logarithmic function is the inverse of the exponential function.

Transformed Logarithmic Function

a > 0, b > 0

a < 0, b > 0

a > 0, b < 0

a < 0, b < 0

y = alogc(b(x ­ h)) + k , c > 1

Transformed Logarithmic Function

a > 0, b > 0

a < 0, b > 0

a > 0, b < 0

a < 0, b < 0

y = alogc(b(x ­ h)) + k , 0< c < 1

The Laws of Log1.  The Product Law:  logc(mn) = logc(m) + logc(n)

2.  The Quotient Law:  logc(   ) = logc(m) ­ logc(n)                                       3.  The Power Law:  logc(m)n = nlogc(m)

4.  The Change of Base Law:                 = logc(m)

mn

logn(m)logn(c)

OptimizationMaximum Minimumfunction to be optimizedSolutions inside and on edgessolid lines, dotted linesSymbols (≤, ≥, <, >)Adding a new constraintIncrease or decrease ofprofit or cost

Vectorsadding, subtractingworking backwardsopposite, equilibriumChasles relationscalar productcosine lawcalculating the angles

Trigonometric FunctionsIdentitiesradians to degreesFinding the ruleSolving

Properties of Trig Functionssine, cosine and tangentparameters:  a, b, h, and kamplitude, radius, period, frequencyphase sift, mean level

coordinates of a point on trig circleexact values

trig identities

Trig stuff

amplitude= ΙaΙperiod = 2π              ΙbΙ

mean level: y = kmaximum = k + ΙaΙ

       b =   2π             period

minimum = k ­ ΙaΙ

frequency =     1                    periodfrequency =     b                      2π

k =  max + min              2amplitude =  max ­ min                            2

phase shift = h

= radius of circle

Sine or Cosine 

Distance from center of circle to the ground

y = sin x

P(θ)P(180o - θ)

When to use Sine:

When you are starting at the mean level.

When solving sine:

Don't forget the "sister" point:  θ and 180o ­ θ

y = cos x

When to use Cosine:When you are starting at the maximum or minimum.

When solving cosine:Don't forget the "cousin" point:  θ and  ­ θ

P(θ)

P(-θ)

tangent functiony = atan(b(x-h)) t k

1 + cot2θ = csc2θ cot2θ = csc2θ  ­ 11 = csc2θ  ­ cot2θ 

1 + tan2θ = sec2θ tan2θ = sec2θ  ­ 11 = sec2θ ­ tan2θ 

cos2θ + sin2θ = 1 sin2θ = 1 ­ cos2θcos2θ  = 1 ­ sin2θ 

Quotient Identities

tan x = 

cot x = 

sin xcos x

cos xsin x

The Pythagorean Identities.csc A = 

sec A =

cotan A =

    1sin A    1cos A    1tan A

Reciprocal Identities

sin A 

cos A 

tan A 

csc A = 1

sec A = 1

cotan A = 1

sin A = 

cos A =

tan A =

    1csc A    1sec A    1cotan A

SUMMARY OF TRIGONOMETRIC IDENTITIES

Conic SectionsEllipsecenterverticesfociradiisum of focal radiimajor and minor axisequations (finding the rule and solving)relationship between a, b and cshading (inequalities)

Hyperbolacenterverticesfociradiidifference of focal radiifocal and conjugate axisequations (finding the rule and solving)relationship between a, b and cshading (inequalities)

Parabolavertexdirectrixfocusradiiequations (finding the rule and solving)properties of c direction it opensshading (inequalities)

Different conic sections overlappingFinding the length of a line througha conic section

Intersection of line and conic section(tangent or secant)

Circleequationcenterradiusfinding rule and solvingshading (inequalities)

Conicslocus of pointsfocus or focimajor axis, transversal axisminor axis, conjugate axisdirectrixrelationships with c

The Circle:(x ­ h)2 + (y ­ k)2 = r2

where (h, k) is the centre andr is the radius.

Foci are ALWAYS onthe major (longest) axis.

Sum of the focal radii

length of major axis

The Ellipse

a = centre to left or rightb = centre to top or bottomc = centre to focus

The Ellipse:

(x ­ h)2 + (y ­ k)2   a2       b2where (h, k) is the centre a >b

=1

Sum of the focal radii = 2a =length of the major axis 

c2 = a2 ­ b2Four vertices(h + a, k) (h ­ a, k)(h, k + b) (h, k ­b )

Foci(h + c, k) (h ­ c, k)

a = centre to left or rightb = centre to top or bottomc = centre to focus

The Ellipse:

(x ­ h)2 + (y ­ k)2   a2       b2where (h, k) is the centre b >a

=1

Sum of the focal radii = 2b =length of the major axis 

c2 = b2 ­ a2Four vertices(h + a, k) (h ­ a, k)(h, k + b) (h, k ­b )

Foci(h, k + c) (h, k ­ c)

In general, the equation ofany hyperbola with centreat the origin and a horizontalfocal axis (x­axis):

c

a is distance from centre to vertex

c is the length of hypotenuseand distance from centre to focusb is distance from centre to top of box

Difference

asymptotes:  y =  ± xba

length of focal axis = 2a

centre (0, 0)

P

diagonalsare asymptotes

ba

In general, the equation ofany hyperbola with centreat the origin and a verticalfocal axis (y­axis):

a is distance from centre to side of box

c is the length of hypotenuseand distance from centre to focusb is distance from centre to vertexDifference

asymptotes:  y =  ± xba

length of focal axis = 2b

The Transformed Hyperbola:

(x ­ h)2 ­ (y ­ k)2   a2       b2

where (h, k) is the centre 

=1

y = ±b (x ­ h) + ka

Asymptotes

The Transformed Hyperbola:(x ­ h)2 ­ (y ­ k)2   a2       b2

where (h, k) is the centre 

= ­1

y = ±b (x ­ h) + ka

Asymptotes

Foci are ALWAYS onthe same (transversal) axis as the vertices.

Difference of the focal radii

length of transveral axis

The Hyperbola

P

F2

F1

Conic Section FormulasParabola: 

i)  opens up ii)  opens down    (x ­ h)2 = 4c(y ­ k)       (x ­ h)2 = ­4c(y ­ k)

iii)  opens right            iv)  opens left (y ­ k)2 = 4c(x ­ h)       (y ­ k)2 = ­4c(x ­ h)

one vertex (h, k),one focus (F), one directrix

directrix

directrix

directrix directrix

Each point on the parabola is the same distance from the focus as it is to the directrix

The Parabola

y = ax + b (Functional form)

DISTANCE

d =√(x2 ­ x1)2 + (y2 ­ y1)2

To find the distance between two points

To find the distance between a point (x, y) and a line Ax + By + C = 0

d(P,    ) =  A(x) + B(y) + C

    √A2 + B2

l

Coordinates of a Point

line division:

midpoint:

For right triangles only:

S

CAH

TOA

sin θ 1 

opposite sidehypotenuse

 O H=

 A H=

 O A=

opposite sideadjacent side

adjacent sidehypotenuse

OH

CAH

TOA

SOH =

cos θ 1 tan θ 1 

=

=

Cheat Sheet Suggestions

The sine law can be used on ANY triangle.

= =  asin A

  bsin B

  csin C

A

B

C

To use this law,you need at least3 measures includinga side and the angleopposite it.

The cosine law can be used on ANY triangle.

A

B

C a2 = b2 + c2 ­ 2(b)(c)Cos(A)b2 = a2 + c2 ­ 2(a)(c)Cos(B)

c2 = a2 + b2 ­ 2(a)(b)Cos(C)

To use this law,you need at least3 measures.These will includethe measure of each side ORThe measure of two sidesand the contained angle.

A = cos ­1 (a2 ­ b2 ­ c2)(­2bc)(    )