fundamentos de controlo - fenix.tecnico.ulisboa.pt · fundamentos de controlo 6a série projecto de...
TRANSCRIPT
Fundamentos de Controlo
6a Série
Projecto de Compensadores: Avanço/atraso de fase, moldagem do ganho de malha.
S6.1 Exercícios Resolvidos
P6.1 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que
G(s) =105
s(s+ 10)(s+ 100).
Dimensione um controlador de avanço de fase de modo a que o sistema em cadeia fechada
����- - - -
6
C(s) G(s)R(s) Y (s)
+ −
Figura 1cumpra as seguintes especi�cações:
• Margem de fase MF ≥ 40o;
• Largura de banda do sistema controlado LB ≥ 20 rad/s.
Resolução:
A resposta em frequência do sistema não controlado é
G(jω) =105
jω(jω + 10)(jω + 102)
cujo diagrama de Bode está representado na Figura 2 (o diagrama real a azul e o assimptóticoa vermelho).
Figura 2
Vamos começar por calcular a frequência de corte a 0 dB, i.e., a frequência ωc tal que:
|G(jωc)|=105
ωc√ω2c + 102
√ω2c + 104
=1⇒ ω6c + 1.01 104ω4
c + 106ω2c − 1010=0⇒ ωc'30 rad/s.
1
A margem de fase do sistema não compensado é (em graus)
MF = 180o + argG(jωc) = 180o − 90o − arctanωc10− arctan
ωc100' 0o .
Estes valores podiam ter sido obtidos directamente a partir do diagrama de Bode.
A largura de banda do sistema compensado situa-se normalmente no intervalo LB ∈ [ωc, 2ωc].Como ωc já é superior à LB requerida e o compensador de avanço vai conduzir a um aumentoadicional na frequência de corte a 0 dB, é de prever que a especi�cação relativa à largura debanda seja satisfeita.
A função de transferência do compensador de avanço é
C(s) =1
α
s+1
T
s+1
αT
(0 < α < 1) .
O avanço de fase φm que é necessário adicionar ao sistema a controlar é
φm = MFreq −MF+ ε = 40o − 0 + 5o = 45o
em que se adoptou um factor de segurança ε = 5o. O parâmetro α obtém-se de
sinφm = sin 45o =1− α1 + α
⇒ α =2−√2
2 +√2' 0.17 .
A frequência de corte a 0 dB com o controlador de avanço é a frequência ωm tal que
|G(jωm)| =√α ⇒ 105
ωm√ω2m + 102
√ω2m + 104
=√0.17 ⇒ ωm ' 46 rad/s.
Esta frequência podia ter sido obtida directamente a partir da característica de amplitude dodiagrama de Bode do sistema não compensado procurando a frequência para a qual
|G(jωm)|dB = 10 log√α ' −7.7 dB
O parâmetro T obtém-se de
ωm =1
T√α⇒ 1
T= ωm
√(α) ' 19 ,
pelo que
C(s) =1
0.17
s+ 19
s+19
0.17
' 5.9s+ 19
s+ 112.
Na Figura 3 representa-se o diagrama de Bode do sistema em anel aberto com o controladordimensionado. É fácil de veri�car que a frequência de corte a 0 dB é ωm ' 46 rad/s, mas quea margem de fase é inferior a 40o. Calculando o valor exacto veri�ca-se que
MF=180o+argC(jωm)G(jωm)=−90o−arctanωm10−arctan ωm
100+arctan
ωm19−arctan ωm
112'33o.
2
Figura 3
Como a frequência de corte a 0 dB é bastante superior aos 20 rad/s pretendidos para largurade banda mínima do sistema controlado, pode-se aumentar a margem de fase deslocando afrequência de corte a 0 dB para valores inferiores, o que se consegue através de um simplesajuste do ganho. Por exemplo, para ω = 30 rad/s tem-se
|C(j30)G(j30)| =
∣∣∣∣5.9 j30 + 19
j30 + 112
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 105
j30(j30 + 10)(j30 + 100)
∣∣∣∣ ' 1.8→ 5.2 dB
arg[C(j30)G(j30)] = arg(j30 + 19)− arg(j30 + 112)
− 90o − arg(j30 + 10)− arg(j30 + 100) ' −136o
Assim, dividindo o ganho do controlador por 1.8, i.e., tomando para controlador
C(s) =5.9
1.8
s+ 19
s+ 112' 3.3
s+ 19
s+ 112,
a frequência de corte a 0 dB do sistema em malha aberta passa a ser de 30 rad/s conduzindo auma margem de fase de MF ' 180o− 136o ' 44o, como se pode veri�car no diagrama de Bodedo sistema em malha aberta com este controlador que se representa na Figura 4.
Figura 4
3
P6.2 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que
G(s) =250
s(s+ 5)(s+ 50).
Dimensione um controlador de atraso de fase de modo a que o sistema em cadeia fechadacumpra as seguintes especi�cações:
• Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e(∞) ≤ 0.01;
• Margem de fase MF ≥ 40o.
Resolução:
A função de transferência do controlador de atraso é
C(s) = KC̃(s) = K1
β
s+1
T
s+1
βT
(β > 1) .
Vamos começar por dimensionar o ganho K do controlador de modo a satisfazer a especi�caçãorelativa ao erro estático de velocidade
e(∞) = ev =1
Kv
≤ 0.01⇒ Kv ≥ 100 .
Tendo em conta a função de transferência do sistema a controlar, o coe�ciente de erro estáticode velocidade é
Kv = lims→0
sKG(s) =250K
250= K ⇒ K ≥ 100 .
Escolhendo K = 150, obtém-se para função de transferência em anel aberto sem o controladorde atraso C̃(s)
KG(s) =37500
s(s+ 5)(s+ 50),
cujo diagrama de Bode está representado na Figura 5 (o diagrama real a azul e o assimptóticoa vermelho).
Figura 5
4
Vamos começar por calcular a frequência de corte a 0 dB, i.e., a frequência ωc tal que:
|KG(jωc)| =37500
ωc√ω2c + 52
√ω2c + 502
= 1⇒ ωc ' 26 rad/s.
A margem de fase do sistema KG(s) é (em graus)
MF = 180o + argKG(jωc) = 180o − 90o − arctanωc5− arctan
ωc50' −17o .
Estes valores podiam ter sido obtidos directamente a partir do diagrama de Bode, como se in-dica na Figura 5. Repare-se que MF < 0o o que indica que o sistema em anel fechado é instável.
Como se pretende obter uma margem de fase MF ≥ 40o, vamos escolher para nova frequênciade corte a 0 dB a frequência ωc tal que
arg[KG(jωc)] = −180o +MFreq + ε = −180o + 40o + 5o ' −135o .
A partir da característica de fase do diagrama de Bode veri�ca-se que a fase de −135o ocorrepara ωc = 4 rad/s. Determina-se β tal que
|KG(j4)| =∣∣∣∣ 37500
j4(j4 + 5)(j4 + 50)
∣∣∣∣ = β ⇒ β ' 29 .
O zero do controlador de atraso é colocado uma década abaixo da frequência ωc, i.e.,
1
T=ωc10
= 0.4 .
Desta forma, obtém-se
C̃(s) =1
29
s+ 0.4
s+0.4
29
⇒ C(s) =150
29
s+ 0.4
s+0.4
29
' 5.2s+ 0.4
s+ 0.01.
O diagrama de Bode do sistema em anel aberto com este controlador é o representado na Figura6. A margem de fase obtida é
MF = 180o + arctan4
0.4− arctan
4
0.01− 90o − arctan
4
5− arctan
4
50' 41o
que satisfaz a especi�cação dada.
Figura 6
5
P6.3 Considere o sistema de controlo da Figura 7 onde
G(s) =s+ 100
s+ 1
representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, n e y representam respectivamentea entrada de referência, o ruído no sensor e a saída do sistema.
- - - -
?6 �
C(s) G(s)����
����
r e
n
y
−
+
+
+
Figura 7
a) Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável esatisfaça as seguintes especi�cações:
1. Erro em regime permanente nulo para uma entrada r escalão unitário;2. Erro em regime permanente menor ou igual a 0.1 para uma entrada r rampa unitária;3. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências [0,0.1] rad/s com erro
menor ou igual a −60 dB;4. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 100 rad/s de pelo menos
20 dB;5. Margem de fase MF superior a 40o.
Justi�que as condições a impor ao �ganho de malha� e a escolha do controlador. Tracecom rigor os diagramas de Bode assimptóticos e con�rme a estabilidade do sistema usandoo critério de Nyquist.
b) Suponha que existe um atraso τ na transmissão de informação entre o controlador C(s) eo sistema a controlar G(s). Calcule, a partir do diagrama de Bode do ganho de malha, ovalor máximo de τ tolerado tal que o sistema em malha fechada permaneça estável.
Resolução:
a) Para garantir que o erro estático de posição é nulo e o erro estático de velocidade é �nito,especi�cações 2 e 3, o sistema em anel fechado tem de ser de tipo 1, i.e., como a retroacçãoé unitária, a função de transferência em cadeia aberta tem de ter 1 polo na origem. ComoG(s) não tem polos na origem, este terá de estar no controlador. Assim, a versão maissimples de controlador é
C1(s) =K
s.
O ganho K vai ser dimensionado de modo a satisfazer a especi�cação relativa ao erroestático de velocidade, i.e.,
ev =1
Kv
≤ 0.1⇒ Kv = lims→0
sC1(s)G(s) = lims→0
Ks+ 100
s+ 1= 100K ≥ 10⇒ K ≥ 0.1
Para satisfazer a especi�cação 3 é preciso garantir que∣∣∣∣E(jω)R(jω)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1
1 + C(jω)G(jω)
∣∣∣∣ω∈[0,0.1]
≤ −60 dB⇒ |C(jω)G(jω)|ω∈[0,0.1] ≥ +60 dB .
A condição para o ganho de malha foi obtida admitindo que em unidades lineares|C(jω)G(jω)| >> 1 para ω ∈ [0, 0.1].
6
Para satisfazer a especi�cação 4 é preciso garantir que∣∣∣∣Y (jω)
N(jω)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣− C(jω)G(jω)
1 + C(jω)G(jω)
∣∣∣∣ω>100
≤ −20 dB⇒ |C(jω)G(jω)|ω>100 ≤ −20 dB .
A condição para o ganho de malha foi obtida admitindo que em unidades lineares|C(jω)G(jω)| << 1 para ω > 100.
Na Figura 8 representa-se a característica de amplitude do diagrama de Bode do sistemaem malha aberta com o controlador C1(s) de�nido com K = 0.1, i.e., da função detransferência
C1(s)G(s) =0.1
s
s+ 100
s+ 1,
a que se sobrepuseram as zonas de exclusão determinadas pelas especi�cações 3 (zona A)e 4(zona B). Para que a caracteristica de amplitude da resposta em frequência do sistema
Figura 8
em malha aberta não intersecte as zonas de exclusão, é preciso aumentar o ganho docontrolador entre 20 dB e 40 dB. Optando por aumentar o ganho de 20 dB, obtém-se
C2(s) = 10C1(s) =1
s.
Na Figura 9 representa-se o diagrama de Bode do sistema em malha aberta com o con-trolador C2(s), i.e., da função de transferência
C2(s)G(s) =1
s
s+ 100
s+ 1.
Figura 9
7
A frequência de corte a 0 dB do sistema é ωc = 10 rad/s, e a margem de fase do sistema,indicada na característica de fase, é praticamente zero pelo que vai ser necessário intro-duzir fase positiva, i.e., um zero no controlador. Repare-se que se tivessemos optado poraumentar o ganho do controlador em 40 dB (em vez de 20 dB), a frequência de corte a0 dB descia para aproximadamente 3 rad/s, mas a margem de fase, embora um poucosuperior, continuava a ser inferior a 40o.
O zero a introduzir no controlador não deverá alterar o diagrama de Bode na baixafrequência de modo a garantir o cumprimento das especi�cações em regime permanente ede baixa frequência. Consequentemente, o novo controlador terá de ser da forma
C3(s) = C2(s)s+ z
z=
1
z
s+ z
s.
Além disso, tendo em conta que a contribuição de um zero para a característica de am-plitude do diagrama de Bode é, na alta frequência, uma recta de declive +20 dB/dec, eque com o controlador C2(s) em ω = 100 rad/s a amplitude está quase 20 dB abaixo dazona de exclusão de alta frequência (na realidade, 17 dB devido ao zero em s = −100do sistema a controlar), o zero do controlador terá de se situar no intervalo de frequência[10, 100] rad/s, i.e., 10 ≤ z ≤ 100. Como a contribuição de um zero para a fase varia de0o até 90o desde uma década antes até uma década depois da sua frequência, para maxi-mizar o avanço de fase introduzido pelo zero sem alterar signi�cativamente a frequênciade corte a 0 dB, vamos colocar o zero em s = −10. Desta forma, o acréscimo de faseintroduzido pelo zero na frequência ω = 10 rad/s é de 45o. Como a contribuição do zeropara a característica de amplitude passa em 3 dB na sua frequência (ω = 10 rad/s), afrequência de corte a 0 dB do sistema com o controlador
C3(s) = 0.1s+ 10
s
será ligeiramente superior a 10 rad/s, pelo que o acrécimo na margem de fase também seráligeiramente superior a 45o. Na Figura 10 representa-se o diagrama de Bode do sistemaem malha aberta
C3(s)G(s) = 0.1s+ 10
s
s+ 100
s+ 1.
Figura 10
8
Como se esperava, a especi�cação 4 não é satisfeita para frequências próximas de 100 rad/s.Para que esta especi�cação fosse completamente satisfeita seria necessário descer de 3 dB aamplitude na frequência ω = 100 rad/s, o que se consegue deslocando o zero do controladorpara uma frequência ligeiramente superior, por exemplo, colocando o zero em s = −15.Na Figura 11 representa-se o diagrama de Bode do sistema em malha aberta
C4(s)G(s) =1
15
s+ 15
s
s+ 100
s+ 1.
Figura 11
A especi�cação 4 é agora totalmente satisfeita. A frequência de corte a 0 dB é ωc '10 rad/s (na realidade, ligeiramente superior) e a margem de fase é MF ' 45o (tambémligeiramente superior), pelo que o controlador que permite satisfazer todas as especi�caçõesé
C(s) =1
15
s+ 15
s
Analisando o contorno e o correspondente diagrama de Nyquist do sistema em anel abertocom este controlador (ver Figura 12), veri�ca-se que o número de polos da função de
Figura 12
transferência em anel aberto dentro do contorno é P = 0 e o número de voltas do diagrama
9
de Nyquist em torno do ponto crítico −1 é N = 0. Consequentemente, Z = N + P = 0,i.e., o sistema em anel fechado é estável pois não tem polos no semiplano complexo direito.
b) O atraso τ traduz-se na existência de um bloco com função de transferência e−sτ entre ocontrolador C(s) e o sistema a controlar G(s). Assim, a função de transferência em anelaberto do sistema com atraso é C(s)G(s)e−sτ . Consequentemente,
|C(jω)G(jω)e−jωτ | = |C(jω)G(jω)|arg[C(jω)G(jω)e−jωτ ] = arg[C(jω)G(jω)]− ωτ (em radianos) ,
i.e., o atraso τ apenas afecta a característica de fase do sistema em anel aberto. Assim, afrequência de corte a 0 dB não se altera. A margem de fase do sistema com atraso é
MFcom atraso = π + arg[C(jωc)G(jωc)e−jωτ ] = MFsem atraso − ωcτ (em radianos) .
Para que o sistema em anel fechado se mantenha estável
MFcom atraso > 0⇒ ωcτ < MFsem atraso ⇒ τ <MFsem atraso
ωc.
Para o sistema com o controlador dimensionado na alínea anterior em que ωc ' 10 rad/se MF ' 45o conclui-se que
τ <π
40seg .
S6.2 Exercícios Propostos
P6.4 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que
G(s) =25
s(s+ 1)(s+ 5).
Pretende-se que o sistema em anel fechado tenha MF ≥ 30o.
a) Dimensione um controlador de avanço de fase C(s) com ganho estático unitário de modo asatisfazer a especi�cação dada. Qual é, aproximadamente, a largura de banda do sistema?
b) Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) com ganho estático unitário de modo asatisfazer a especi�cação dada. Qual é, aproximadamente, a largura de banda do sistema?
P6.5 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que
G(s) =1000
s(s+ 5)(s+ 200).
Dimensione um controlador de avanço de fase de modo a que o sistema em cadeia fechadacumpra as seguintes especi�cações:
• Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e(∞) ≤ 0.01;
• Polos dominantes do sistema em anel fechado com coe�ciente de amortecimento ξ ≥ 0.4.
10
P6.6 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que
G(s) =250
s(s+ 5).
Projecte um compensador de modo a que o sistema em cadeia fechada satisfaça as seguintesespeci�cações:
• Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e(∞) < 0.005;
• Resposta a um escalão com sobre-elevação S < 20%;
• Largura de banda do sistema compensado não inferior à do sistema não compensado.
P6.7 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que
G(s) =1
s(s+ 1).
Pretende-se que o sistema em cadeia fechada satisfaça as seguintes especi�cações:
• Coe�ciente de erro estático de velocidade Kv = 20;
• Margem de fase MF ≥ 40o.
a) Dimensione um controlador de avanço de fase C(s) de modo a satisfazer as especi�caçõesdadas.
b) Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) de modo a satisfazer as especi�caçõesdadas.
P6.8 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que
G(s) =100
s(s+ 1)(s+ 10).
Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) com ganho estático unitário de modo a queo sistema em cadeia fechada tenha margem de fase MF ≥ 40o. Qual é, aproximadamente, alargura de banda do sistema?
P6.9 Considere o sistema de controlo representado na Figura 13.
����- - - - -
6
K C(s)1
(s+ 1)(s+ 10)
r y
+ −
Figura 13O compensador C(s) tem uma função de transferência da forma
C(s) =1
γ
s+1
T
s+1
γT
.
Pretende-se que o sistema em cadeia fechada cumpra as seguintes especi�cações:
11
• Erro em regime permanente para a entrada escalão e(∞) ≤ 0.01;
• Margem de fase MF = 45o.
Nesta condições
a) Calcule o valor de K para satisfazer a especi�cação relativa ao erro permanente.
b) Dimensione um compensador C(s) de avanço de fase de modo a satisfazer a especi�caçãorelativa à margem de fase.
c) Dimensione um compensador C(s) de atraso de fase de modo a satisfazer a especi�caçãorelativa à margem de fase.
P6.10 Considere o sistema de controlo da Figura 14 onde
G(s) =1
s− 10
representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, d, n e y representam respectiva-mente a entrada de referência, a perturbação na cadeia de acção, o ruído no sensor e a saídado sistema.
- - - - -
?6 �
?
C(s) G(s)����
����
����
r e
d
n
y
−
+ +
+
+
+
Figura 14
Dimensione um compensador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável esatisfaça as seguintes especi�cações:
i) Erro em regime permanente nulo para um escalão na referência r;
ii) Efeito da perturbação d sobre a saída y atenuado de pelo menos 40 dB na gama defrequências [0,1] rad/s;
iii) Efeito do ruído n na gama de frequências superior a 1000 rad/s atenuado de pelo menos20 dB;
iv) Margem de fase MF superior a 45o;
Justi�que as condições a impor ao �ganho de malha� e a escolha do controlador. Trace comrigor os diagramas de Bode assimptóticos e con�rme a estabilidade do sistema usando o critériode Nyquist.
Sugestão: Considere o controlador composto pelos seguintes termos:
C(s) = K1
s`C̃(s)
em que K é um ganho, ` é o número de integradores e C̃(0) = 1.
Nota: Por simplicidade, baseie o projecto nas aproximações assimptóticas.
12
P6.11 Considere o sistema de controlo da Figura 7 onde
G(s) =100
s(s+ 100)
representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, n e y representam respectivamentea entrada de referência, o ruído no sensor e a saída do sistema.
Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaçaas seguintes especi�cações:
1. Erro em regime permanente inferior a 0.1 para uma entrada r parábola unitária;
2. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências inferior 1 rad/s com erromenor ou igual a −40 dB;
3. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 1000 rad/s de pelo menos 60 dB;
4. Margem de fase MF superior a 40o.
Justi�que as condições a impor ao �ganho de malha� e a escolha do controlador. Trace comrigor os diagramas de Bode assimptóticos e con�rme a estabilidade do sistema usando o critériode Nyquist.
Nota: Por simplicidade, baseie o projecto nas aproximações assimptóticas.
P6.12 Considere o sistema de controlo da Figura 7 onde
G(s) =1
s+ 10
representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, n e y representam respectivamentea entrada de referência, o ruído no sensor e a saída do sistema.
Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaçaas seguintes especi�cações:
1. Erro estático de posição nulo;
2. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências inferior a 0.1 rad/s com erromenor ou igual a −60 dB;
3. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 100 rad/s de pelo menos 20 dB;
4. Margem de fase MF superior a 40o.
Justi�que as condições a impor ao �ganho de malha� e a escolha do controlador. Trace comrigor os diagramas de Bode assimptóticos e con�rme a estabilidade do sistema usando o critériode Nyquist.
Nota: Por simplicidade, baseie o projecto nas aproximações assimptóticas.
S6.3 Soluções dos Exercícios Propostos
P6.4 a) Para um avanço de fase φm = 45o, obtém-se C(s) = 5.8s+ 1.3
s+ 7.5; A largura de banda
ωm ≤ LB ≤ 2ωm ⇒ 3.1 ≤ LB ≤ 6.2 rad/s.
13
b) Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 0.15s+ 0.06
s+ 0.009; A largura de banda
ωc ≤ LB ≤ 2ωc ⇒ 0.6 ≤ LB ≤ 1.2 rad/s.
P6.5 Erro estático de velocidade e(∞) ≤ 0.01⇒ K ≥ 100; Polos dominantes com ξ ≥ 0.4⇒ MF ≥40o; Para ganho K = 150 e avanço de fase φm = 60o, obtém-se C(s) = 2079
s+ 14
s+ 194.
P6.6 Para não reduzir largura de banda, compensador de avanço de fase. Erro estático de velocidadee(∞) ≤ 0.005 ⇒ K ≥ 4; Sobre-elevação S < 20 % ⇒ ξ > 0.46 ⇒ MF > 46o; Para ganho
K = 5 e avanço de fase φm = 60o, obtém-se C(s) = 70s+ 18
s+ 254.
P6.7 a) Para um avanço de fase φm = 35o, obtém-se C(s) = 74s+ 3.2
s+ 11.8.
b) Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 1.4s+ 0.1
s+ 0.007.
P6.8 Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 0.11s+ 0.08
s+ 0.009; A largura de banda
ωc ≤ LB ≤ 2ωc ⇒ 0.8 ≤ LB ≤ 1.6 rad/s.
P6.9 a) K ≥ 990; nas alíneas a) e b) tomou-se K = 1000.
b) Para um avanço de fase φm = 30o, obtém-se C(s) = 3s+ 23.6
s+ 70.9.
c) Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 0.146s+ 1.02
s+ 0.149.
P6.10 C(s) = 102s+ 10
s.
P6.11 C(s) = 10s+ 10
s.
P6.12 C(s) = 102s+ 1
s(s+ 0.1).
Bibliogra�a
1. Gene F. Frankline, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Sys-
tems, Sixth edition.
2. Eduardo Morgado, Controlo-problemas, 1999.
14