fungsi dan grafik diferensial dan integral · cos 2 sin sin2 v x dv v y xdx =− − =∫ = ......
TRANSCRIPT
i
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik
Diferensial dan Integral
oleh
Sudaryatno Sudirham
2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Hak cipta pada penulis, 2010
SUDIRHAM, SUDARYATNO
Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Oleh: Sudaryatmo Sudirham
Darpublic, Bandung
fdg-1110
edisi Juli 2011
http://www.ee-cafe.org
Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.
Fax: (62) (22) 2534117
3
BAB 13
Integral (2)
(Integral Tak Tentu)
Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan
integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan
pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang
mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan
sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat
perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.
13.1. Integral Fungsi Tetapan: ∫ adx
Kaxadx +=∫ karena adxdax =
Contoh: Kxdxy +== ∫ 22
13.2. Integral Fungsi Mononom: ∫ dxxn
Karena dxxdx nn 1−= dengan syarat n ≠ −1, maka Kn
xdxx
nn +
+=
+
∫ 1
1
Contoh: Kxdxxdxxy +=== ∫∫ 322
3
222
13.3. Integral Fungsi Polinom ∫ + dxxxmn)(
Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu
polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.
Karena dxxdxxxxd mnmn +=+ )( maka
1 ,1syarat dengan ,11
)(11
−≠−≠++
++
=+++
∫ mnKm
x
n
xdxxx
mnmn
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫∫
∫∫∫∫++++−
+
dxxxxdxxx
dxxdxxxdxdx
)2464( ; )42(
; )52( ;4 ;2 ; 5
231
0
2
4
4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: ∫ dxv n
Jika v adalah polinom, maka ∫ ++
=+
Kdvn
vdvv
nn
1
1
karena
dvvn
vd n
n
=+
+
1
1
dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk
mencari ∫ dxvn
.
Contoh: Hitunglah ∫ += dxxy2)12(
Misalkan 12 += xv → dxdv 2= →2
dvdx =
Kxxx
Kxxx
Kv
dvv
dxxy
++++=
++++
=+==+= ∫∫
6
12
3
4
6
16128
62)12(
23
23322
Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan
diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.
Kxxx
dxxxdxxy ′+++=++=+= ∫∫ 2
4
3
4)144()12(
2322
Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,
6/1+=′ KK .
Contoh: Hitunglah ∫−
= dx
x
xy
21
3
Misalkan x
dvdxx
dx
dvvx
221 2
−=→−=→=−
22/1
2/1
2/1213
2/12
3
2
3
2
3
1
3 y x
vdvv
x
dv
v
xdx
x
x−−=−=−=
−=
−= ∫∫ −
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫∫ ++ dxxdxx 14 ; )1(2
; ∫∫∫++
+ dx
x
xdx
xdxx
12
; )23(
1 ; 52
22
5
13.5. Integral Fungsi Berpangkat -1: ∫ vdv
Karena v
dvvd =)(ln , maka Kv
v
dv+=∫ ln . Integrasi ini
memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi ∫ dxvn
.
Contoh: Carilah integral ∫ += dx
x
xy
1
2
2
Misalkan x
dvdxx
dx
dvxv
2212 =→=→+=
∫∫ ++=+==+
= KxKvx
dv
v
xdx
x
xy )1ln(ln
2
2
1
2 2
2
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫∫ ∫∫∫ ∫ +−+−−+ 14 ;
1 ;
1 ;
32 ;
4 ;
32 223
2
x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
dx
x
dxx
x
dx
13.6. Integral Fungsi Eksponensial: ∫ dvev
Karena dvede vv = maka Kedvevv +=∫
Soal-Soal:
∫∫∫∫ + x
xxxx
e
dxedxedxxedxe
21 ; ; ; 3/2 2
13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : ∫ dvav
Karena advada vv ln= maka Ka
adva
vv +=∫ ln
Contoh: Carilah ∫= dxyx2
3
Misalkan v = 2x → 2
2dv
dxdx
dv=→=
∫∫ +=== Kdvdxyxv
x
3ln
3
2
1
2
33
22
6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
13.8. Integral Fungsi Trigonometri
Karena vdvvd cossin = maka Kvdxv +=∫ sincos
Karena vdxvd sincos −= maka Kvdxv +−=∫ cossin
Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain
termuat dalam Tabel-13.1.
Contoh: Carilah integral tak tentu ∫= xdxy 2sin
Misalkan 2
22dv
dxdx
dvxv =→=→=
2
2cos
2
cos
2
sin2sin
xvdv
vxdxy −=
−=== ∫∫
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫∫∫ + xdxdxxxdx 3cos4 ; )22cos( ; 4sin .
∫∫ xdxxdxxx cossin ; cossin2 2 .
∫∫ axdxxdx22
cos ; sin
∫∫ −dx
x
xxdxx
2cos2
2sin ; sincos2 .
13.9. Integral Fungsi Hiperbolik
Karena vvd cosh)(sinh = maka Kvvdv +=∫ sinhcosh
Karena vdvvd sinh)(cosh = maka Kvvdv +=∫ coshsinh
Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat
dalam Tabel-13.1.
Contoh: Carilah ∫ += dxxy )12cosh(
Misalkan 2
212dv
dxdx
dvxv =→=→+=
Kx
Kvdvvdxxy
++=
+==+= ∫∫)12sinh(
2
1
sinh2
1)cosh(
2
1)12cosh(
7
Soal-Soal: Carilah integral berikut
∫∫∫∫∫ xdxdxx
xxdxxdxdx
x
x 2
4
2tanh ;
cosh
sinh ; 2cosh ; tanh ;
sinh
13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi
Integral fungsi-fungsi yang berbentuk ∫− 21 v
dv , ∫ + 21 v
dv,
∫−12
vv
dv dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,
menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.
Contoh: Carilah ∫−
=241 x
dxy
Jika kita membuat pemisalan 241 xv −= maka xdx
dv8−= atau
x
dvdx
8−= . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan
integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk x
dvv
8
2/1
−∫ −
yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat
ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.
Namun bentuk ∫− 241 x
dx ini dapat kita transformasi menjadi bentuk
yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x
yang akan memberikan 2=dx
dv atau
2
dvdx = . Persoalan integral kita
menjadi
∫∫∫−
=−
=−
=222
12
1
1241 v
dv
v
dv
x
dxy
yang menghasilkan KxKvy +=+= −− )2(sin2
1sin
2
1 11
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫∫∫∫∫ −++−+
1 ;
4
;
4
;
1
;
4122222 x
dx
xx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
13.9. Relasi Diferensial dan Integral
Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya.
Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9
dan 16, 17 yang sering kita temui.
Tabel-13.1.
1. dxdx
dvdv = 1. Kvdv +=∫
2. kdvkvd =)( 2. ∫∫ = dvkkdv
3. dwdvwvd +=+ )( 3. ∫∫∫ +=+ dwdvdwdv )(
4. dvnvdv nn 1−= 4. Cn
vdvv
nn +
+=
+
∫ 1
1
; n≠1
5. v
dvvd =)(ln 5. Kv
v
dv+=∫ ln
6. dvede vv = 6. Kedvevv +=∫
7. advada vv ln= 7. Ka
adva
vv +=∫ ln
8. vdvvd cos)(sin = 8. Kvvdv +=∫ sincos
9. vdvvd sin)(cos −= 9. Kvvdv +−=∫ cossin
10. vdvvd 2sec)(tan = 10. ∫ += Kvvdv tansec2
11. vdvvd 2csc)(cot −= 11. Kvvdv +−=∫ cotcsc2
12. vdvvvd tansec)(sec = 12. Kvvdv +=∫ sectansec
13. vdvvvd cotcsc)(csc −= 13. Kvvdv +−=∫ csccotcsc
14. vvd cosh)(sinh = 14. Kvvdv +=∫ sinhcosh
15. vdvvd sinh)(cosh = 15. Kvvdv +=∫ coshsinh
16. vdvvd 2hsec)(tanh = 16. Kvvdv +=∫ tanhhsec2
9
17. vdvvd 2hcsc)(coth −= 17. Kvvdv +−=∫ cothhcsc 2
18. vdvvvd tanhhsec)sech( −= 18. Kvvdvv +−=∫ sechtanhhsec
19. vdvvvd cothhcsc)csch( −= 19. Kvvdvv +−=∫ coshcothcsch
20.2
1
1
)(sin
v
dvvd
−=−
20. ∫ +=−
− Kv
v
dv 1
2sin
1
21.2
1
1
)(cos
v
dvvd
−
−=−
21. ∫ ′+−=
−
−Kv
v
dv 1
2cos
1
22. 2
1
1tan
v
dvvd
+=−
22. ∫ +=+
−Kv
v
dv 1
2tan
1
23. 2
1
1cot
v
dvvd
+
−=−
23. ∫ +−=+
−Kv
v
dv 1
2cot
1
24.
1
sec2
1
−=−
vv
dvvd 24. ∫ +=
−
−Kv
vv
dv 1
2sec
1
, v >0
25.
1
csc2
1
−
−=−
vv
dvvd 25. ∫ +−=
−
− Kvvv
dv 1
2csc
1, v >0
26.2
1
1)(sinh
v
dvvd
+=−
26. ∫ +=+
−Kv
v
dv 1
2sinh
1
27.
1
)(cosh2
1
−=−
v
dvvd 27. ∫ +=
−
− Kv
v
dv 1
2cosh
1
28.2
1
1)(tanh
v
dvvd
−=−
28. ∫ +=−
− Kvv
dv 1
2tanh
1; jika |v|<1
29.2
1
1)(coth
v
dvvd
−=−
29. ∫ +=−
−;coth
1
1
2Kv
v
dv jika |v|>1
30. 2
1
1
)h(sec
vv
dvvd
−
−=−
30. ∫ +−=−
−;hsec
1
1
2Kv
vv
dv
31. 2
1
1
)h(csc
vv
dvvd
+
−=−
31. ∫ +−=+
−;hcsc
1
1
2Kv
vv
dv
10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Catatan Tentang Isi Tabel-13.1.
Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat
melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:
Fungsi mononom dan polinom: ∫vdv
Fungsi polinom berpangkat: ∫∫ v
dvdvvn ;
Fungsi exponensial: ∫∫ dvadvevv
;
Fungsi trigonometri: ∫ vdvcos ; ∫ vdvsin ; ∫ vdv2
sec ; ∫ vdv2
csc ;
∫ vdvtansec ; ∫ vdvcotcsc .
tetapi tidak: ∫ vdvtan ; ∫ vdvcot ; ∫ vdvsec ; ∫ vdvcsc .
Fungsi hiperbolik: ∫ vdvcosh ; ∫ vdvsinh ; ∫ vdv2hsec ;
∫ vdv2hcsc ; ∫ vdvv tanhhsec ; ∫ vdvv cothcsch .
tetapi tidak: ∫ vdvtanh ; ∫ vdvcoth ; ∫ vdvhsec ; ∫ vdvhcsc .
Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri
inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti
∫− 21 v
dv ; ∫ + 21 v
dv; ∫
−12vv
dv; ∫
+ 21 v
dv ;
∫−12v
dv ; ∫ − 21 v
dv; ∫
− 21 vv
dv; ∫
+ 21 vv
dv.
tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti
∫ − vdv1sin ; ∫ − xdx1tan ; ∫ −vdv
1sinh ; ∫ −
vdv1
tanh
Tabel-13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang
berbentuk ∫∫∫ −±+
dsb ; ; ; 2222
22dvavdvva
va
dv
11
BAB 14
Integral (3)
(Integral Tentu)
14.1. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.
Konsep dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang dipandang
sebagai suatu limit.
Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y =
f(x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang
diarsir pada Gb.14.1.a.
Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan
kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian
menjumlahkannya untuk memperoleh Apq.
Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas
segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.b, kita akan memperoleh luas
yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas
segmen ini Apqb (jumlah luas segmen bawah).
Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas
segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.c, kita akan memperoleh luas
yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas
segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).
Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan
terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seperti digambarkan
pada Gb.14.1.d.
Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu
antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku
)()()( 0 xxfxfxf kkk ∆+≤≤ (14.1)
Jika pertidaksamaan (14.1) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil dan bernilai positif, maka
kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0 (14.2)
12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
(a)
(b)
(c)
(d)
Gb.14.1. Menghitung luas bidang di bawah kurva.
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
13
Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (14.2) kita
jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita
buat), kita akan memperoleh
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11
0
1
)()()( (14.3)
Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling
kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah
jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa
pqanpqb AAA ≤≤ (14.4)
Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita
cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n.
Jika n kita perbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua ∆xk menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah
pqanpqbpq AAAA limlimlim === (14.5)
Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit
yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau
atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,
dituliskan
∫=q
ppq dxxfA )( (14.6)
Integral tertentu (14.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)
] )()()()( pFqFxFdxxfAqp
q
ppq −=== ∫ (14.7)
Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,
penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan
dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:
a. integrasi untuk memperoleh ∫= dxxfxF )()( ;
b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);
c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);
d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).
14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang
bernilai positif dalam rentang qxp ≤≤ , namun pembahasan itu berlaku
pula untuk fungsi yang dalam rentang qxp ≤≤ sempat bernilai negatif.
Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan Apx
dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan
berlaku umum, yaitu
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh )(xfy ==== dan sumbu-x
dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di
atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 14.2.
Gb.14.2. Kurva xxy 123 −−−−====
Kita akan menghitung luas antara xxy 123 −= dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.14.2
Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian
yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas
75,33)5425,20(0
64
)12(
0
3
240
3
3
=−−−=
−=−=
−−∫ x
xdxxxAa
Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan
75,33)0(5425,20
64
)12(
3
0
243
0
3
−=−−=
−=−= ∫ x
xdxxxAb
-20
-10
0
10
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
y = x3−12x
15
Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x
dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x
5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA
Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai
Apx, formulasi
( )))()( pFqFdxxfAq
p−== ∫
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di
bawah sumbu-x.
Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.14.3. kita
dapatkan
4321 AAAAApq +−+−=
yang kita peroleh dari
( )))()( pFqFdxxfAq
ppq −== ∫
Gb.14.3. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.
p
q
y
x
A4
A1
A2
A3
y = f(x)
16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
14.2. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva )(11 xfy = dan
)(22 xfy = pada batas antara x = p dan x = q . Kurva yang kita hadapi
sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ . Kita
tetapkan bahwa kurva )(11 xfy = berada di atas )(22 xfy = meskipun
mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x.
Perhatikan Gb.14.4.
Rentang qxp ≤≤ kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya
diperlihatkan pada Gb.14.4. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), dimana npqx /)( −=∆ .
Gb.14.4. Menghitung luas bidang antara dua kurva.
Luas segmen dapat didekati dengan
{ } xxfxfAsegmen ∆−= )()( 21 (14.8)
yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh
{ }∑∑∆−=
=
∆−=xqx
px
n
segmen xxfxfA )()( 21
1
(14.9)
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit
{ }∫∑ −==∞→ q
p
n
segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21
1
(14.10)
Kita akan melihat beberapa contoh
Contoh 1: Jika 41 =y dan 22 −=y berapakah luas bidang antara y1
dan y2 dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
{ } ] 30)12(186)2(4(32
3
2=−−==−−= +
−+
−∫ xdxApq
p
q
y
x 0
y1
y2
x x+∆x
∆Apx
17
Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas
yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar 621 =− yy
dan panjang 512 =− xx .
Contoh 2: Jika 2
1 xy = dan 42 =y berpakah luas bidang yang dibatasi
oleh y1 dan y2.
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada
perpotongan antara y1 dan y2.
2 ,2
4
21
221
==−==⇒
=→=
qxpx
xyy
Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak
minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian
kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada
di di bawah y2 = 4.
3
32
3
16
3
16
3
88
3
88
34)4(
2
2-
32
2
2
=−
−=
−−−−
−
−==−= ∫−x
xdxxApq
Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan
melakukan kesalahan:
03
16
3
168
3
88
3
8
43
)4(*
2
2-
32
2
2
=+
−−
=
+
−−
−
−=−= ∫− x
xdxxApq
Contoh 3: Jika 221 +−= xy dan xy −=2 berapakah luas bidang yang
dibatasi oleh y1 dan y2.
Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y1
adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang
memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus melalui
titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka bagian kurva y1
yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya berada di atas y2.
18 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.
22
811 ;1
2
811
02atau 2
2
2
2
1
2221
=−
+−−==−=
−
++−==
=++−−=+−→=
qxpx
xxxxyy
5,4 22
1
3
142
3
8
223
)2(
2
1
232
1
2
=
−+
−−−
++−=
++−=++−=
−−∫ x
xxdxxxApq
14.3. Penerapan Integral
Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah
suatu kurva. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan
untuk memudahkan visualisasi. Dalam praktek kita tidak selalu
menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang
berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula
divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat
dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolah-
olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh
dalam kelistrikan.
Contoh 1: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan
200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan
energi diberi simbol w, maka
dt
dwp = yang memberikan ∫= pdtw
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas
bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan
satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8
jam adalah
[kWh]hour Watt kilo 8,0 [Wh]r Watt.hou800
100 1008
0
8
0
8
0
==
=== ∫∫ tdtpdtw
19
Contoh 2: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu
sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan
melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
dt
dqi = sehingga ∫= idtq
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
coulomb 625,02
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0===== ∫∫ ttdtidtq
14.4. Pendekatan 5umerik
Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkah-
langkah dalam menghitung suatu integral adalah:
1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses
perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,
∆x.
2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai
∑∫=
→∆∆=
n
k
kkx
q
pxxfdxxf
10
)(lim)(
dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen ∆xk jika ∆x menuju nol.
Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai
terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi
masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan
cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan
kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.
Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi
oleh kurva xxy 123 −= dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Lauas
20 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
ini telah dihitung dan menghasilkan 5,67=pqA . Kali ini kita melakukan
perhitungan pendekatan secara numerik dengan bantuan komputer.
∫− −=3
3
3)12( dxxxApq
Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-x,
maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x harus dihitung sebagai
positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 0,15 maka rentang 33 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− x
akan terbagi dalam 40 segmen. Perhitungan menghasilkan
4,6739875,67)12(
40
1
3 ≈=−=∑=k
kkpq xxA
Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.
Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang 33 ≤≤− x akan terbagi
dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan
5,6748875,67)12(
120
1
3 ≈=−=∑=k
kkpq xxA
Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.
Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,
maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.
Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap
segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum
masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas
setiap segmen menjadi
( ) 2/)()( min xxfxfA kmaksksegmen ∆×+= (14.13)
Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan
komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun
menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.
21
Referensi
1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut
Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan
dalam buku ini.
2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison
Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika
di ITB, tahun 1963 - 1964.
3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,
ISBN 979-9299-54-3, 2002.
4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.
5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.