funktsiooni uurimine tuletise abil
DESCRIPTION
Funktsiooni uurimine tuletise abil. Heldena Taperson www.welovemath.ee. Meenuta Määramispiirkond X Muutumispiirkond Y Funktsiooni nullkohad f(x) = 0 Funktsiooni positiivsuspiirkond f(x) > 0 Funktsiooni negatiivsuspiirkond f(x) < 0. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 2: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/2.jpg)
Meenuta
• Määramispiirkond X
• Muutumispiirkond Y
• Funktsiooni nullkohad f(x) = 0
• Funktsiooni positiivsuspiirkond f(x) > 0
• Funktsiooni negatiivsuspiirkond f(x) < 0
![Page 3: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/3.jpg)
Skitseeri funktsiooni graafik ning leia X, Y, X0, X+, X-.
165 2 xxy
165 2 xxy
![Page 4: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/4.jpg)
Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kasvavaks, kui x 2 > x 1 f(x2) > f(x1).
Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kasvamispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga
Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kahanevaks, kui x 2 > x 1 f(x2) < f(x1).
Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kahanemispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga
Pea meeles, et , kui X on funktsiooni määramispiirkond, siis
X
X
XX XX
![Page 5: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/5.jpg)
Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumkoht ja ekstreemumpunkt. Skitseeri graafik.
322 xxy
322 xxy
![Page 6: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/6.jpg)
Kui funktsioon on diferentseeruv vahemikus (st. graafik omab puutujat selles punktis) ning
– tuletis on positiivne s.t. f′(x)>0, siis funktsioon on kasvav antud vahemikus;
– tuletis on negatiivne s.t. f′(x)<0, siis funktsioon on kahanev antud vahemikus;
– tuletis on null s.t. f′(x)=0, siis funktsioon on konstantne.
ba,
![Page 7: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/7.jpg)
Näide 1
Kas funktsioon y = x3 - 12x on kohal x0=1 kasvav või kahanev?
Näide 2
Leia funktsiooni y = 2x3 - 54x kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
![Page 8: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/8.jpg)
Näide 3 Leia funktsiooni y = (2x-6)3
kasvamisvahemikud.
![Page 9: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/9.jpg)
-ühine nimetus funktsiooni maksimumile ja miinimumile• Ekstreemumkoht• Ekstreemum• Ekstreemumpunkt
(lad. k. äärmus)
Meenuta – ekstreemum
![Page 10: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/10.jpg)
Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine (kahanemine) läheb x suurenedes kohal x0 üle kahanemiseks (kasvamiseks), siis on koht x0 selle funktsiooni maksimumkoht (miinimumkoht) ja arv f(x0) funktsiooni maksimum (miinimum). Punkt E(x0; f(x0)) on funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt).
![Page 11: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/11.jpg)
Funktsiooni ekstreemumkohtadeks võivad olla ainult need argumendi väärtused, mille korral tuletis on null (puutuja on neil kohtadel paralleelne x-teljega) või puudub (puutujat joonestada ei saa – tegemist on katkevuskohaga).
Funktsiooni maksimumi ja miinimumi tunnustes on oluline, et tuletise märk muutub. Tingimusest, et tuletis on null ei piisa selleks et funktsioonil oleks ekstreemumväärtus.
Näiteks funktsioon y =x3
![Page 12: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/12.jpg)
Antud funktsioonil ei ole tuletist kohal 0- tegemist on teravikpunktiga.
Graafikult on näha, et funktsioonil on kohal x=0 miinimum.
xy
![Page 13: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/13.jpg)
Selleks, et leida funktsiooni y = f(x) maksimumi ja miinimumi tuleb toimida jargmiselt:
a) leia võrrandi y′ = 0 kõik reaalarvulised lahendid (argumendi nn. kriitilised väärtused);
b) uuri funktsiooni tuletise märki argumendi kriitiliste väärtuste ümbruses. Seega vaata kas kasvamine (+) läheb üle kahanemiseks (-), st. maksimumkoht või vastupidi kahanemine(-) läheb üle kasvamiseks (+),st. miinimumkoht;
c) vajaduse korral leia ka funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide ordinaadid, mida nimetatakse ekstreemumiteks
![Page 14: Funktsiooni uurimine tuletise abil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061413/56814789550346895db4b9c9/html5/thumbnails/14.jpg)
23 6xxy