funzioni continue e discontinuità
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Funzioni continuehttp://www.matematica.blogscuola.it
Definizione di funzione continua
Definizione 1 : Sia data una funzione y = f(x) avente come dominio l’insieme Df e sia x0 ∈ R.Diremo che la funzione f(x) e continua nel punto x0 se:
limx→x0
f(x) = f(x0)
x0
f(x0)
b
bb
Osservazione 1 :
Ponendo l’attenzione sull’uguaglianza che definisce la continuita di una funzione reale di variabilereale, e possibile effettuare le seguenti considerazioni. Affinche una funzione y = f(x) sia continua inx0 e necessario che:
a) esista finito illimx→x0
f(x)
e quindi, perche cio avvenga, devono esistere ed essere uguali i limiti per x → x0− e per x → x0
+
della funzione y = f(x), in formule:
limx→x0
−
f(x) = limx→x0
+f(x) = l
b) la funzione sia definita nel punto x0, cioe deve esistere il valore f(x0);
c) il valore del limite coincida con quello che la funzione assume nel punto x0, cioe:
l = f(x0)
Diamo quindi la seguente:
Definizione 2 : Una funzione y = f(x) avente come dominio l’insieme Df e continua nel puntox0 ∈ R se esiste finito il limite per x che tende a x0 di f(x) e tale limite coincide con il valore che lafunzione assume nel punto x0, cioe:
limx→x0
f(x) = f(x0)
Punti di discontinuita di una funzione
Discontinuita di prima specie
Definizione 3 : Il punto x0 ∈ R e un punto di discontinuita di prima specie per la funzioney = f(x) se esistono finiti i limiti sinistro e destro della funzione per x → x0 e tali limiti sono diversi,cioe:
limx→x0
−
f(x) = l1 6= l2 = limx→x0
+f(x)
Definizione 4 : Data una funzione y = f(x) che ammette un punto di discontinuita di prima speciein x0, si definisce salto della funzione in x0 la differenza:
S = | limx→x0
−
f(x)− limx→x0
+f(x)| = |l1 − l2|
Esempio 1 : Studiare la continuita della funzione
f(x) =
{
x+ 1, per x ≥ 2x− 1, per x < 2
1
2
3
4
−1
1 2 3 4−1
bA
Calcoliamo i limiti della funzione per x → 2 da sinistra e da destra:
limx→2−
(x− 1) = 1, limx→2+
(x+ 1) = 3
Poiche i limiti sono diversi, la funzione presenta nel punto x0 = 2 una discontinuita di prima specie.Il salto e uguale a
S = |1− 3| = | − 2| = 2
Esempio 2 : Studiare la continuita della funzione
f(x) =
{
x− 3, per x ≥ 33− x, per x < 3
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7−1
Calcoliamo i limiti della funzione per x → 2 da sinistra e da destra:
limx→3−
(3− x) = 0, limx→3+
(x+ 3) = 0
Poiche i limiti sono uguali, la funzione e continua nel punto x0 = 0.
2
Discontinuita di seconda specie
Definizione 5 : Il punto x0 ∈ R e un punto di discontinuita di seconda specie per la funzioney = f(x) se non esiste oppure e infinito il limite destro e/o sinistro della funzione per x → x0, cioe:
a) limx→x0− f(x) = ∓∞∨ limx→x0
+ f(x) = ∓∞
b) @ limx→x0− f(x) ∨ @ limx→x0
+ f(x)
1
2
3
−1
1 2 3 4 5−1
Esempio 3 : Studiare la continuita della funzione
f(x) =2
x− 5
Il dominio della funzione e dato dall’insieme D = R− {5}. Poiche si ha che:
limx→5
2
x− 5= ∞
possiamo dedurre che il punto x0 = 5 e un punto di discontinuita di seconda specie.
Discontinuita di terza specie
Definizione 6 : Il punto x0 ∈ R e un punto di discontinuita di terza specie o eliminabile perla funzione y = f(x) se esiste finito il limite della funzione per x → x0, ma tale limite e diverso dalvalore che la funzione assume nel punto x0. In formule:
limx→x0
f(x) 6= f(x0)
1
2
1 2−1
bc
A
Esempio 4 : Studiare la continuita della funzione
f(x) =x2 − 1
x− 1
Il dominio della funzione e dato dall’insieme D = R− {1}. Poiche si ha che:
limx→1
x2 − 1
x− 1= lim
x→1
(x− 1)(x+ 1)
x− 1= lim
x→1(x+ 1) = 2
possiamo dedurre che il punto x0 = 1 e un punto di discontinuita di terza specie, in quanto esiste illimite della funzione per x → 1 ma la funzione nel punto 1 non e definita.
3
Esercizio 1 (svolto) : Studiare la continuita della funzione
f(x) =x2 − 1
x2 − 4x+ 3
Il dominio della funzione e dato dall’insieme D = R − {1, 3}. Studiamo la continuita della funzionenei punti x1 = 1 e x2 = 3.
1) Si ha:
limx→1
x2 − 1
x2 − 4x+ 3= ∞
Di conseguenza la funzione presenta in x1 = 1 un punto di discontinuita di seconda specie.
2) Si ha:
limx→3
x2 − 1
x2 − 4x+ 3= lim
x→3
(x− 1)(x + 1)
(x− 1)(x − 3)= lim
x→3
x+ 1
x− 3= −1
Di conseguenza la funzione presenta in x2 = 3 un punto di discontinuita di terza specie.
Esercizio 2 (svolto) : Studiare la continuita della funzione
f(x) =x2 − 1
2x2 − x− 1
Il dominio della funzione e dato dall’insieme D = R− {−1
2, 1}. Studiamo la continuita della funzione
nei punti x1 = −1
2e x2 = 1.
1) Si ha:
limx→−
1
2
x2 − 1
2x2 − x− 1= ∞
Di conseguenza la funzione presenta in x1 = −1
2un punto di discontinuita di seconda specie.
2) Si ha:
limx→1
x2 − 1
2x2 − x− 1= lim
x→1
(x− 1)(x + 1)
2(x− 1)(x+ 1
2)= lim
x→1
x+ 1
2(x+ 1
2)=
2
2(1 + 1
2)=
13
2
=2
3
Di conseguenza la funzione presenta in x2 = 1 un punto di discontinuita di terza specie.
Esercizio 3 (svolto) : Studiare la continuita della funzione
f(x) =
{
xx−1
, per x ≤ 2
2x, per x > 3
Il dominio della funzione e dato dall’insieme D = R− {1}. Studiamo la continuita della funzione nelpunto x1 = 1 e, essendo definita a tratti, nel punto x2 = 2 in cui la funzione cambia legge.
1) Si ha:
limx→1
x
x− 1= ∞
Di conseguenza la funzione presenta in x1 = 1 un punto di discontinuita di seconda specie.
2) Calcoliamo i limiti della funzione per x → 2 da sinistra e da destra:
limx→2−
x
x− 1= 2, lim
x→2+2x) = 4
Poiche i limiti sono diversi, la funzione presenta nel punto x2 = 2 una discontinuita di primaspecie. Il salto e uguale a
S = |4− 2| = 2
Di conseguenza la funzione presenta in x2 = 3 un punto di discontinuita di terza specie.
4
Esercizi 1 : Studiare la continuinta delle seguenti funzioni.
a) f(x) = 7x2−1
4x2−1
b) f(x) = x+1
x2+1
c) f(x) =
{
x+ 5, per x ≥ 3x− 2, per x < 3
d) f(x) = x2−9
x2−5x+6
e) f(x) =
{
x+1
x−3, per x ≥ 1
2x+ 5, per x < 1
f) f(x) =
{
x+ 1, per x ≤ 0x−2
x, per x > 0
g) f(x) =
{
−3x, per x < 2x− 1, per x ≥ 2
h) f(x) = 2x2−5x−3
x2−4x+3
i) f(x) = x+3
x3+3x2
j) f(x) = x2−2x+1
x2−1
k) f(x) = 2x2−x−6
x2−6x+8
l) f(x) =
{
x2−1
x+4, per x < 0
x−1
x+4, per x ≥ 0
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