capitolo 4 funzioni continue e limiti - unibs.it · 2020. 9. 25. · capitolo 4 funzioni continue e...

Capitolo 4

Funzioni continue e limiti

In questo capitolo definiremo la nozione di funzione continua e ne studieremo le pro-prietà fondamentali. Introdurremo inoltre l’operazione fondamentale dell’analisi infinitesi-male, la nozione di limite di una funzione.

4.1 Intorni

Per a↵rontare lo studio della continuità e dei limiti di funzioni di una variabile, è opportunointrodurre la nozione di intorno di un punto in R.

Definizione 4.1 (Intorno di un punto). Siano x0 2 R e U ✓ R.

(a) Se x0 2 R, diciamo che U è intorno di x0 se esiste � > 0 tale che ]x0� �, x0+ �[✓ U .

(b) Se x0 = +1, diciamo che U è intorno di +1 se esiste M > 0 tale che ]M,+1] ✓ U .

(c) Se x0 = �1, diciamo che U è intorno di �1 se esiste M > 0 tale che [�1,�M [✓U .

Il seguente lemma contiene alcune proprietà degli intorni che utilizzeremo in seguito.

Lemma 4.2 (Proprietà degli intorni). Valgono i seguenti fatti.

(a) Per ogni intorno U di x0 2 R, esiste I intervallo tale che I è intorno di x0 e I ✓ U .

(b) Se x1, x2 2 R con x1 < x2, allora esistono un intorno U1 di x1 ed un intorno U2 dix2 tali che per ogni a 2 U1 e b 2 U2 si ha

a < b.

In particolare

U1 \ U2 = ;.

(c) Se U1, U2 sono due intorni di x0 2 R, allora anche U1 \ U2 è intorno di x0.

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4.2. FUNZIONI CONTINUE A.A. 2020-2021

(d) Se x1, x2 2 R sono tali che la somma x1+x2 sia ben definita, allora per ogni intornoU di x1 + x2 esistono un intorno U1 di x1 ed un intorno U2 di x2 tali che per ognia 2 U1 e b 2 U2 si ha che a+ b è ben definito e

a+ b 2 U.

(e) Se x1, x2 2 R sono tali che il prodotto x1x2 sia ben definito, allora per ogni intorno Udi x1x2 esistono un intorno U1 di x1 ed un intorno U2 di x2 tali che per ogni a 2 U1e b 2 U2 si ha che ab è ben definito e

ab 2 U.

Osservazione 4.3. Le proprietà (d) e (e) non possono sussistere per somme del tipo +1+(�1) o prodotti del tipo 0 · (+1), qualsiasi valore si conviene che esse valgono. Se adesempio si ponesse +1 + (�1) = 0, scegliendo U =] � 1, 1[ ad esempio, non esistonointorni U1 e U2 di +1 e �1 che soddisfano la conclusione.

4.2 Funzioni continue

Siano E ✓ R un insieme, f : E ! R una funzione e x0 2 E.

1. Poniamo la seguente definizione.

Definizione 4.4 (Continuità ). Siano E ✓ R, x0 2 E e f : E ! R. Diciamo che fè continua in x0 se per ogni intorno V di f(x0) esiste un intorno U di x0 tale che

8x 2 U \ E : f(x) 2 V.

Diremo che f è continua su E se f è continua in ogni x0 2 E.

Osservazione 4.5 (Interpretazioni geometrica e analitica della continuità ). Pos-siamo interpretare la continuità di f in x0 2 E nei seguenti modi.

(a) Da un punto di vista analitico, possiamo dire che f(x) è prossimo a f(x0) se x è vicinoa x0, cioè a piccole variazioni della variabile x vicino a x0 corrispondono piccolevariazioni della funzione.

(b) Da un punto di vista geometrico, possiamo dire che all’avvicinarsi di x 2 E a x0, ilpunto (x, f(x)) sul grafico di f si approssima sempre più al punto (x0, f(x0)).

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A.A. 2020-2021 4.2. FUNZIONI CONTINUE

x

y

x

(x, f(x))

x0

(x0, f(x0))

2. La continuità delle funzioni è una proprietà stabile per somma e prodotto.

Proposizione 4.6 (Continuità di somma e prodotto). Siano E ✓ R, x0 2 E ef, g : E ! R due funzioni. Se f e g sono continue in x0, allora risultano continue in x0anche le funzioni f + g e fg.

Dimostrazione. Vediamo il risultato per la funzione somma. Sia V un intorno di f(x0) +g(x0). Allora esistono due intorni V1 di f(x0) e V2 di g(x0) tali che per ogni a 2 V1 e b 2 V2si ha che a+ b è ben definito e

a+ b 2 V.

Per la definizione di continuità esistono U1 e U2 intorni di x0 tali che per ogni x 2 U1 \ E

f(x) 2 V1

e per ogni x 2 U2 \ Eg(x) 2 V2.

Sia U := U1 \ U2: U è intorno di x0. Per ogni x 2 U \ E si ha

f(x) 2 V1 e g(x) 2 V2

cos̀ı che(f + g)(x) = f(x) + g(x) 2 V.

Concludiamo dunque che f + g è continua in x0.

La continuità è una proprietà stabile anche per composizione.

Proposizione 4.7 (Continuità della composizione). Siano E,F ✓ R, f : E ! R eg : F ! R due funzioni tali che f(E) ✓ F . Sia x0 2 E tale che f è continua in x0 e gè continua in f(x0). Allora la funzione composta g � f : E ! R è continua in x0.

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4.3. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI A.A. 2020-2021

Dimostrazione. Per la continuità di g in f(x0), per ogni intorno V di g(f(x0)) esiste unintorno V1 di f(x0) tale che per ogni z 2 V1 \ F

g(z) 2 V.

Per la continuità di f in x0 esiste U intorno di x0 tale che per ogni x 2 U \ E

f(x) 2 V1.

Essendo f(E) ✓ F , si ha allora che f(x) 2 V1 \ F , da cui

(g � f)(x) = g(f(x)) 2 V

che implica dunque la continuità di g � f in x0.

3. La nozione di continuità può riformularsi in modo classico nel seguente modo.

Proposizione 4.8 (Proprietà (", �)). Siano E ✓ R, f : E ! R e x0 2 E. Allora fè continua in x0 se e solo se per ogni " > 0 esiste � > 0 tale che

8x 2 E : |x� x0| < � =) |f(x)� f(x0)| < ".

Dimostrazione. Supponiamo che f sia continua in x0. Dato " > 0, consideriamo l’intornodi f(x0)

V :=]f(x0)� ", f(x0) + "[.

Per la definizione di continuità , esiste U intorno di x0 tale che se x 2 U \E si ha f(x) 2 V .Scegliamo � > 0 tale che ]x0 � �, x0 + �[✓ U . Allora per ogni x 2 E con |x� x0| < � si haf(x) 2 V , cioè |f(x)� f(x0)| < ", cos̀ı che la proprietà è verificata.

Supponiamo viceversa che la proprietà sia verificata. Consideriamo V intorno di f(x0).Esiste " > 0 con

]f(x0)� ", f(x0) + "[✓ V.

Sia � > 0 il numero associato a ": ponendo U :=]x0��, x0+�[ si ha subito che se x 2 U \E

f(x) 2]f(x0)� ", f(x0) + "[✓ V

cioè f è continua in x0.

4.3 Continuità delle funzioni elementari

Grazie alle proposizioni precedenti, possiamo vedere che le funzioni elementari sono funzionicontinue. Procediamo per passi.

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A.A. 2020-2021 4.3. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

1. Le funzioni costanti

f : R ! Rx 7! c

con c 2 R, la funzione identica

g : R ! Rx 7! x

e la funzione reciproco

h : R \ {0} ! R

x 7! 1x

sono continue. Per verificarlo, è conveniente la reinterpretazione della continuità data dallaProposizione 4.8.

Per quanto riguarda la funzione costante, per ogni " > 0 possiamo scegliere un �qualsiasi. Passiamo alla funzione identica g: la continuità nel generico punto x0 seguescegliendo � = ". Passiamo infine alla funzione reciproco h. Siano x0 6= 0 e " > 0.Poiché per x 6= 0 con |x� x0| < |x0|/2 si ha

|x| > |x0|/2

ricaviamo allora ��1

x� 1

x0

�� =��x� x0xx0

�� 2|x� x0||x0|2

.

Dunque se " > 0, basta scegliere

� = min

⇢|x0|2

,|x0|2"2

�

per avere che se |x� x0| < � allora x 6= 0 (cioè x appartiene al dominio di h) e��1

x� 1

x0

�� < "

cioè la continuità desiderata.

2. I polinomi e le funzioni razionali fratte sono funzioni continue. Essendo la fun-zione x 7! x continua, allora per la stabilità della continuità rispetto al prodotto risultanocontinue tutte le sue potenze x ! xn. Inoltre anche la funzione costante è continua. Dun-que per la stabilità della continuità rispetto alla somma si ha che i polinomi sono funzionicontinue.

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4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI A.A. 2020-2021

Per la stabilità per composizione, ricaviamo che se g(x) è un polinomio, la funzione

x 7! 1g(x)

è continua sul suo dominio di definizione, cioè per x diverso dalle eventuali radici di g.Grazie alla stabilità rispetto al prodotto, ricaviamo che se f(x) è un polinomio, allora lafunzione

x 7! f(x)g(x)

è continua sul suo dominio di definizione. Dunque le funzioni razionali fratte sono continue.

3. Si può verificare che le funzioni potenza ↵-esima, radice n-esima, le funzioni esponenzialie logaritmiche, le funzioni circolari e quelle iperboliche sono continue nel loro dominio didefinizione.

4. La funzione modulo x 7! |x| è continua su R. La tesi segue dalla disuguaglianza

||a|� |b|| |a� b| a, b 2 R

che implica||x|� |x0|| |x� x0|.

Dunque dato " > 0, si può scegliere � = ".

5. Le osservazioni precedenti sulla continuità delle funzioni elementari, insieme con la sta-bilità della proprietà di continuità rispetto a somme, prodotti e composizioni, permettonodi dimostrare agevolmente la continuità (nel loro dominio di definizione) di molte funzioniche si incontrano nelle applicazioni. Ad esempio è continua su R \ {�1} la funzione

f(x) =sin(1 + |x|) cosx2

x+ 1.

4.4 Limiti delle funzioni

Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione. La nozione di limite codifica il comportamentodi f vicino ai punti di accumulazione di E; se tali punti non appartengono ad E, lanozione di limite permette, in un certo senso, di calcolare f anche dove essa non è definita,assegnandole un valore che ne riassume l’andamento asintotico.

1. Il concetto di punto di accumulazione è alla base della formulazione della teoria dei limiti.

Definizione 4.9 (Punto di accumulazione). Siano E ✓ R e x0 2 R. Diciamo che x0è di accumulazione per E se per ogni intorno U di x0 si ha

U \ (E \ {x0}) 6= ;.

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A.A. 2020-2021 4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI

Osservazione 4.10. Geometricamente, x0 è d’accumulazione per E se esistono punti diE diversi da x0 ed arbitrariamente vicini ad esso.

Esempio 4.11. Il punto �1 è d’accumulazione per E = [�1,+1[: infatti per ogni � > 0si ha che

]� 1� �,�1 + �[\ ]� 1,+1[ 6= ;.Invece il punto �2 non è d’accumulazione per E: infatti si ha che

��2� 1

2,�2 + 1

2

\ E = ;.

Infine +1 è d’accumulazione per N ma non per E = {�n : n 2 N}.

Osservazione 4.12. Notiamo che se x0 è d’accumulazione per E, allora può essere chex0 62 E: ad esempio 0 è d’accumulazione per ]0, 1] ma 0 62]0, 1].

Osservazione 4.13. È facile vedere che gli insiemi con un numero finito di elementinon posseggono punti di accumulazione. Questo non accade per gli insiemi infiniti: sipuò dimostrare infatti che ogni insieme con un numero infinito di elementi ammette almenoun punto di accumulazione.

2. La definizione di limite è la seguente.

Definizione 4.14 (Definizione unitaria di limite). Siano E ✓ R, f : E ! R unafunzione e x0 2 R un punto di accumulazione per E. Diciamo che l 2 R è il limite di fper x tendente a x0 e scriviamo

l = limx!x0

f(x)

se per ogni intorno di V di l esiste un intorno U di x0 tale che

8x 2 U \ E, x 6= x0 : f(x) 2 V.

Osservazione 4.15 (Interpretazione analitica). Diamo un’interpretazione analiticadella precedente definizione.

(a) Se l 2 R è il limite di f per x tendente a x0, f assume vicino a x0 un valore prossimoa l, eccettuato al più in x0 se x0 2 E. Dunque f si stabilizza vicino a l per x tendentea x0. Si dice che f è convergente per x ! x0 al valore l.

(b) Se limx!x0 f(x) = +1, allora f(x) assume per x vicino a x0 con x 6= x0 valorisempre più grandi: si dice che f diverge positivamente per x tendente a x0. Selimx!x0 f(x) = �1, allora f(x) assume per x vicino a x0 con x 6= x0 valori semprepiù negativi: si dice che f diverge negativamente per x tendente a x0.

Osservazione 4.16 (Interpretazione geometrica). In termini geometrici, possiamodire quanto segue.

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(a) Se x0 2 R elimx!x0

f(x) = l 2 R

si ottiene un’interpretazione geometrica simile a quella vista per la continuità . l è illimite di f per x tendente a x0 se il punto (x, f(x)) sul grafico di f si avvicina perx ! x0 con x 6= x0 al punto (x0, l).

x

y

l

x0 x

y

l

x0

E

(b) Se x0 2 R elimx!x0

f(x) = +1,

allora f(x) assume valori sempre più alti per x che si avvicina a x0. Il grafico di fsi approssima sempre più a quello della retta verticale x = x0. Diciamo allora che fammette un asintoto verticale in x0. Un discorso analogo si ha se limx!x0 f(x) = �1.

x

y y = f(x)

x0

(c) Se x0 = +1 elim

x!+1f(x) = l 2 R,

il grafico di f si approssima sempre più a quello della retta orizzontale y = l. Si diceallora che f ammette la retta y = l come asintoto orizzontale.

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x

y

y = f(x)l

(d) Selim

x!+1f(x) = +1

allora f(x) assume valori sempre più alti al crescere di x. Dunque fissato una qualsiasiM > 0, il grafico di f per x grande si trova sopra la retta y = M .

Selim

x!+1f(x) = �1

allora f(x) assume valori sempre più negativi al crescere di x. Dunque fissata unqualsiasi M > 0, il grafico di f per x grande si trova sotto la retta y = �M

x

y y = f(x)

M

x

y

y = f(x)

�M

3. La nozione di limite può riformularsi in termini più classici nel seguente modo. Convienedistinguere i casi x0 2 R e x0 = ±1. Le dimostrazioni sono analoghe a quella dellaProposizione 4.8.

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Proposizione 4.17 (Caso x0 2 R). Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R unpunto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti.

(a) Se l 2 R, si ha l = limx!x0 f(x) se e solo se per ogni " > 0 esiste � > 0 tale che

8x 2 E : |x� x0| < �, x 6= x0 =) |f(x)� l| < ".

(b) Si ha limx!x0 f(x) = +1 se e solo se per ogni M > 0 esiste � > 0 tale che

8x 2 E : |x� x0| < �, x 6= x0 =) f(x) > M.

(c) Si ha limx!x0 f(x) = �1 se e solo se per ogni M > 0 esiste � > 0 tale che

8x 2 E : |x� x0| < �, x 6= x0 =) f(x) < �M.

La definizione di limite per x tendente a +1 si riformula nel seguente modo.

Proposizione 4.18 (Caso x0 = +1). Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione.Supponiamo che +1 sia un punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti.

(a) Se l 2 R, si ha l = limx!+1 f(x) se e solo se per ogni " > 0 esiste N > 0 tale che

8x 2 E : x > N =) |f(x)� l| < ".

(b) Si ha limx!+1 f(x) = +1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che

8x 2 E : x > N,=) f(x) > M.

(c) Si ha limx!+1 f(x) = �1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che

8x 2 E : x > N =) f(x) < �M.

Il caso x tendente a �1 è analogo al precedente.

Proposizione 4.19 (Caso x0 = �1). Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione.Supponiamo che �1 sia un punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti.

(a) Se l 2 R, si ha l = limx!�1 f(x) se e solo se per ogni " > 0 esiste N > 0 tale che

8x 2 E : x < �N =) |f(x)� l| < ".

(b) Si ha limx!�1 f(x) = +1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che

8x 2 E : x < �N =) f(x) > M.

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(c) Si ha limx!�1 f(x) = �1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che

8x 2 E : x < �N =) f(x) < �M.

4. Il concetto di limite e quello di continuità in un punto sono legati dal seguente risultato.

Proposizione 4.20 (Limiti e continuità). Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione edx0 2 E. Se x0 è d’accumulazione per E, allora f è continua in x0 se e solo se

limx!x0

f(x) = f(x0).

Dimostrazione. La dimostrazione discende immediatamente dalla definizione di conti-nuità e di limite.

Osservazione 4.21. La proposizione precedente mostra che la nozione di limite, almenoper le funzioni continue, è interessante solo nei punti d’accumulazione del dominio ma nonappartenenti ad esso.

Osservazione 4.22. Il legame con la continuità permette di ricavare l’esistenza di moltilimiti. Tuttavia l’esistenza del limite di una funzione non è sempre garantita. Ad esempiola funzione f : R \ {0} ! R data da

f(x) =x

|x|

non ammette limite per x ! 0. Ciò è chiaro dal grafico di f vicino a 0 che si avvicina aivalori 1 e �1.

x

y

1

�1

Osservazione 4.23. Notiamo che l’esistenza ed il valore del limite di f per x tendente ax0 dipende solo dal comportamento di f vicino a x0: in altre parole, se f e g coincidonosu E \ U con U intorno di x0, allora il limite di f per x tendente a x0 esiste se e solo seesiste quello di g ed essi sono uguali. Questa osservazione mostra che il concetto di limiteè una proprietà locale.

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5. Notiamo la validità dei seguenti limiti per le funzioni elementari. Se n 2 N con n � 1

limx!+1

xn = +1

e

limx!�1

xn =

(+1 se n è pari�1 se n è dispari.

Similmente limx!+1 x↵ = +1 se ↵ > 0. Inoltre

limx!+1

1

x= lim

x!�1

1

x= 0.

Notiamo anche che il limite per x ! 0 di 1x non esiste: infatti la funzione diventaarbitrariamente grande sia in positivo che in negativo vicino a x = 0.

Abbiamo inoltre che

limx!+1

ax =

(+1 se a > 10 se a < 1

limx!�1

ax =

(0 se a > 1

+1 se a < 1.

In particolare per la funzione esponenziale abbiamo

limx!+1

ex = +1 e limx!�1

ex = 0.

Riguardo alle funzioni logaritmiche si ha

limx!+1

loga x =

(+1 se a > 1�1 se a < 1

limx!0

loga x =

(�1 se a > 1+1 se a < 1.

In particolare per il logaritmo naturale si ha

limx!+1

ln x = +1 e limx!0

ln x = �1.

Notiamo infine che le funzioni circolari seno e coseno non ammettono limite per x !+1 o x ! �1: esse infatti tendono ad oscillare tra i valori ±1 senza stabilizzarsi versoalcun valore. Nel seguito dimostreremo rigorosamente che tali limiti non esistono.

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A.A. 2020-2021 4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI

4.5 Primi teoremi sui limiti

In questa sezione ci occupiamo dei primi teoremi sui limiti.

1. Vale il seguente risultato.

Teorema 4.24. Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R un punto di accumula-zione per E. Sia

limx!x0

f(x) = l 2 R.

Valgono i seguenti fatti.

(a) Unicità del limite. Se si ha

limx!x0

f(x) = l̃ 2 R,

allora l = l̃.

(b) Permanenza del segno. Se l 6= 0, allora esiste un intorno U di x0 tale che fristretta a U \ (E \ {x0}) ha lo stesso segno di l.

(c) Locale limitatezza. Se l 2 R, allora esiste un intorno U di x0 tale che f ristrettaa U \ E è limitata.

Dimostrazione. Vediamo l’unicità del limite. Supponiamo per assurdo che l 6= l̃. Alloraesistono due intorni V1 di l e V2 di l̃ tali che V1 \ V2 = ;. Per la definizione di limite,esistono due intorni U1, U2 di x0 tali che per ogni x 2 U1 \ E con x 6= x0

f(x) 2 V1

e per ogni x 2 U2 \ E con x 6= x0f(x) 2 V2.

Consideriamo U := U1 \ U2. L’insieme U è un intorno di x0 tale per cui se x 2 U \ E conx 6= x0, deve essere contemporaneamente f(x) 2 V1 e f(x) 2 V2: ciò è impossibile essendoV1 \ V2 = ;. La tesi è cos̀ı dimostrata.

2. Vediamo come si comportano i limiti di funzioni rispetto alle operazioni di somma, prodottoe composizione.

Proposizione 4.25 (Somma e prodotto dei limiti). Siano E ✓ R, f, g : E ! R duefunzioni, e sia x0 2 R un punto di accumulazione per E. Siano

limx!x0

f(x) = l1 e limx!x0

g(x) = l2

con l1, l2 2 R. Allora valgono i seguenti fatti.

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4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI A.A. 2020-2021

(a) Se la somma l1 + l2 è ben definita, allora la funzione somma f + g : E ! R ammettelimite per x ! x0 e

limx!x0

(f(x) + g(x)) = limx!x0

f(x) + limx!x0

g(x).

(b) Se il prodotto l1l2 è ben definito, allora la funzione prodotto fg : E ! R ammettelimite per x ! x0 e

limx!x0

f(x)g(x) = limx!x0

f(x) · limx!x0

g(x).

Dimostrazione. La dimostrazione è del tutto analoga a quella della stabilità della conti-nuità rispetto a somma e prodotto.

3. Vediamo come si comporta il concetto di limite attraverso una composizione.

Proposizione 4.26 (Composizione dei limiti). Siano E ✓ R, F ✓ R, f : E ! R eg : F ! R due funzioni tali che f(E) ✓ F . Sia x0 2 R un punto di accumulazione per Ee supponiamo che

limx!x0

f(x) 2 R.


(a) Se limx!x0 f(x) = l 2 F e g è continua in tale punto, allora la funzione compostag � f : E ! R ammette limite per x ! x0 e

limx!x0

(g � f)(x) = g( limx!x0

f(x)) = g(l).

(b) Se limx!x0 f(x) = l è d’accumulazione per F con

limt!l

g(t) 2 R

e se esiste un intorno U di x0 tale che f(x) 6= l per ogni x 2 U \ E con x 6= x0,allora la funzione composta g � f : E ! R ammette limite per x ! x0 e

limx!x0

(g � f)(x) = limt!l

g(t).

Dimostrazione. La dimostrazione ricalca quella vista per la stabilità della continuità rispettoalla composizione.

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A.A. 2020-2021 4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI

4. Notiamo che i teoremi sulla somma e sul prodotto di limiti richiedono che le quantità l1+ l2e l1l2 siano ben definite in R. Ad esempio nel caso della somma, non è contemplata lasituazione

l1 = +1 e l2 = �1.Si può vedere che in tal caso esistono coppie di funzioni f e g tali che il limite di f+g esistefinito, coppie per cui esso è infinito e coppie per cui non esiste. Infatti se consideriamo lefunzioni

f(x) = x e g(x) = �x+ 1si ha

limx!+1

f(x) = +1 limx!+1

g(x) = �1

mentre essendo f + g = 1 si ha

limx!+1

(f(x) + g(x)) = 1.

Se consideriamo h(x) = �2x si ha invece

limx!+1

(f(x) + h(x)) = limx!+1

(�x) = �1.

Se infine k(x) = �x + sin x, allora si ha f(x) + k(x) = sin x per cui il limite a +1 nonesiste.

5. Nel caso del prodotto, non è contemplata ad esempio la situazione

l1 = +1 e l2 = 0

Anche in tal caso è possibile scegliere coppie di funzioni f, g in modo che il limite di fgesiste finito, coppie per cui esso è infinito e coppie per cui non esiste. Basta scegliere lefunzioni

f(x) =1

x4

e le funzionig(x) = x4, h(x) = x2, k(x) = x3

per avere chelimx!0

f(x)g(x) = 1, limx!0

f(x)h(x) = +1

e che limx!0 f(x)k(x) non esiste.

6. Nei casi in cui le operazioni tra l1 e l2 non siano ben definite in R, si parla di formeindeterminate: ogni caso va trattato singolarmente, potendo portare a diverse conclusioni.Troviamo dunque le forme indeterminate

(+1) + (�1) 11 0 · (1)0

0

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4.6. CRITERI DI CONFRONTO TRA I LIMITI A.A. 2020-2021

dove 1 sta sia per +1 che per �1. Ad esse si aggiungono le forme

00 10 11

che provengono dalle precedenti a partire da funzioni in forma di potenza f(x)g(x) tramitela riscrittura

f(x)g(x) = eg(x) ln(f(x)).

4.6 Criteri di confronto tra i limiti

In questa sezione vediamo come il concetto di limite interagisce con la relazione d’ordinein R.

1. Iniziamo con il seguente risultato.

Proposizione 4.27 (Confronto I). Siano E ✓ R, f, g : E ! R due funzioni e sia x0 2 Run punto di accumulazione per E. Supponiamo che f e g ammettano limite per x ! x0 eche f(x) g(x) per ogni x 2 E. Allora si ha

limx!x0

f(x) limx!x0

g(x).

x

y

y = f(x)

y = g(x)

x0

2. Un secondo risultato di confronto è il seguente.

Proposizione 4.28 (Confronto II: teorema dei due carabinieri). Siano E ✓ R,f, g, h : E ! R tre funzioni e sia x0 2 R un punto di accumulazione per E. Supponiamoche per ogni x 2 E

h(x) f(x) g(x).Se

limx!x0

h(x) = limx!x0

g(x) = l

72

A.A. 2020-2021 4.6. CRITERI DI CONFRONTO TRA I LIMITI

allora anche f ammette limite per x ! x0 e si ha

limx!x0

f(x) = l.

x

y

y = g(x)

y = h(x)

y = f(x)

x0

l

3. Notiamo che una funzione h : E ! R è tale che

limx!x0

h(x) = 0

se e solo selimx!x0

|h(x)| = 0.

Partendo da questa osservazione e dal teorema dei due carabinieri, si deduce la validità delseguente risultato.

Proposizione 4.29 (Regola infinitesimo per limitato). Siano E ✓ R, f, g : E ! Rdue funzioni e sia x0 2 R un punto di accumulazione per E. Supponiamo che

limx!x0

f(x) = 0

e che g sia limitata. Alloralimx!x0

f(x)g(x) = 0.

Dimostrazione. In base all’osservazione precedente, basta verificare che

limx!x0

|f(x)g(x)| = 0.

Se |g| M su E, notiamo che per ogni x 2 E vale la disuguaglianza

0 |f(x)g(x)| M |f(x)|.

73

4.7. UN PRIMO LIMITE FONDAMENTALE A.A. 2020-2021

Essendolimx!x0

(M |f(x)|) = 0,

per il teorema dei due carabinieri si ha che limx!x0 |f(x)g(x)| = 0, cos̀ı che la tesi è dimo-strata.

Osservazione 4.30. L’importanza del risultato precedente sta nel fatto che non si supponenulla sull’esistenza del limite di g per x ! x0: esso potrebbe anche non esistere. Adesempio, nel caso

f(x) = x e g(x) = sin1

xsi ha che g è limitata essendo per ogni x 6= 0

�1 sin 1x 1

e dunque

limx!0

x sin1

x= 0.

4.7 Un primo limite fondamentale: limite di sin xx perx tendente a zero

Vogliamo mostrare che

limx!0

sin x

x= 1.

Esso non può essere calcolato grazie alle proprietà dei limiti viste in precedenza dal mo-mento che si presenta la forma indeterminata 0/0. La conoscenza di tale limite è essenziale,come vedremo più avanti, nel calcolo della derivata della funzione seno.

1. Seguiamo un ragionamento geometrico. Consideriamo la circonferenza di raggio unitariocentrata nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

Considerando l’angolo x = AÔM piccolo e positivo, un confronto tra le aree dei triangoliOMB e OM 0A con l’area del settore circolare 0AM mostra che

1

2sin x cos x <

1

2x <

1

2tan x

da cui le relazioni

cos x <sin x

x<

1

cos x.

Tali relazioni valgono anche per x piccolo e negativo dal momento che

cos(�x) = cos x e sin(�x)�x =sin x

x.

74

A.A. 2020-2021 4.8. FUNZIONI MONOTONE E LIMITI

x

y

M0

M

O AB

Notiamo che per la continuità della funzione coseno si ha

limx!0

cos x = 1 e limx!0

1

cos x= 1.

Per il teorema dei due carabinieri otteniamo dunque che

limx!0

sin x

x= 1.

4.8 Funzioni monotone e limiti

In questa sezione dimostreremo un risultato di esistenza di limite per la classe delle funzionimonotone.

1. La definizione di monotonia per una funzione è la seguente.

Definizione 4.31 (Funzioni monotone). Siano I un intervallo e f : I ! R unafunzione.

a) f è monotona crescente su I se per ogni x1, x2 2 I con x1 < x2 si ha

f(x1) f(x2).

(b) f è monotona decrescente su I se per ogni x1, x2 2 I con x1 < x2 si ha

f(x1) � f(x2).

Osservazione 4.32. Se le disuguaglianze sui valori di f valgono con il segno di minoreo maggiore stretto, cioè f(x1) < f(x2) e f(x1) > f(x2), si parla di funzioni monotonestrettamente crescenti e strettamente decrescenti.

75

4.8. FUNZIONI MONOTONE E LIMITI A.A. 2020-2021

Osservazione 4.33. Geometricamente, le funzioni monotone crescenti hanno per graficouna linea che cresce al crescere di x, possibilmente anche con tratti orizzontali. Tali trattimancano in caso di stretta monotonia crescente.

x

y

y = f(x)

x

y

y = f(x)

Un’interpretazione simile vale per le funzioni decrescenti.

2. Possiamo formulare ora il risultato fondamentale riguardante il limite di funzioni monotone.

Teorema 4.34 (Limiti di funzioni monotone). Siano a, b 2 R con a < b e sia f :]a, b[! R una funzione.

(a) Se f è monotona crescente su ]a, b[, si ha

limx!a

f(x) = inf]a,b[

f e limx!b

f(x) = sup]a,b[

f.

(b) Se f è monotona decrescente su ]a, b[, si ha

limx!a

f(x) = sup]a,b[

f e limx!b

f(x) = inf]a,b[

f.

Osservazione 4.35. Un punto importante da notare è che le funzioni monotone possonoanche essere non continue. Il teorema precedente è dunque un teorema di esistenza dilimite per una classe di funzioni non necessariamente continue.

76

A.A. 2020-2021 4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E

x

y

y = f(x)

Osservazione 4.36. Notiamo che il teorema precedente vale anche nel caso in cui a = �1e b = +1, cioè l’intervallo di definizione di f è illimitato.

Osservazione 4.37. La nozione di monotonia può essere formulata anche per funzionidefinite su sottoinsiemi generici E di R. Il teorema di esistenza del limite può essereadattato al caso generale di f : E ! R considerando i limiti per x tendente a supE o inf Ea patto che essi siano di accumulazione per E.

4.9 Un secondo limite fondamentale: il numero e

Vogliamo mostrare che

limx!+1

✓1 +

1

x

◆x= lim

x!�1

✓1 +

1

x

◆x= e

dove e è un numero compreso tra 2 e 3 detto il numero di Nepero. Esso ricorre spesso inAnalisi matematica con un’importanza non inferiore a quella di ⇡. Notiamo che il limitesi presenta nella forma indeterminata 11.

1. Dobbiamo innanzitutto richiamare la formula del binomio di Newton. Un calcolo direttomostra che il quadrato del binomio x+ y con x, y 2 R è dato da

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2,

mentre il cubo del binomio x+ y è dato da

(x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

Per scrivere la formula del caso generale (x+ y)n ci servono alcune definizioni.

77

4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E A.A. 2020-2021

Definizione 4.38 (Fattoriale). Sia n 2 N. Diciamo fattoriale di n il numero n! definitonel seguente modo:

0! = 1, n! = n(n� 1)(n� 2) . . . 3 · 2 · 1.

Si ha cos̀ı 1! = 1, 2! = 2, 3! = 3 · 2 = 6 e cos̀ı via.

Definizione 4.39 (Coe�cienti binomiali). Siano n, k 2 N con n � k. Poniamo✓

nk

◆=

n!

k!(n� k)!

Notiamo che vale la simmetria✓

nk

◆=

✓n

n� k

◆

Esempio 4.40. Si ha ad esempio

✓20

◆=

2!

0!2!= 1,

✓21

◆=

2!

1!1!= 2,

✓22

◆=

2!

2!0!= 1.

Similmente si ha✓

30

◆=

✓33

◆=

3!

0!3!= 1,

✓31

◆=

✓32

◆=

3!

1!2!= 3.

La formula per la potenza (x + y)n è la seguente (ne omettiamo la dimostrazione): siparla di formula del binomio di Newton. È utile la seguente notazione che abbrevia lascrittura di una somma:

nX

k=0

ak = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an.

Pè detto simbolo di sommatoria.

Proposizione 4.41 (Formula del binomio di Newton). Siano x, y 2 R e n 2 N. Valela formula

(x+ y)n =nX

k=0

✓nk

◆xn�kyk.

Notiamo che la formula precedente si riduce alle usuali formule del quadrato e del cubodi un binomio sopra ricordate.

2. Risulta utile inoltre la seguente relazione: da

(1� q)(1 + q + q2 + q3 + · · ·+ qn) = 1� qn+1

78

A.A. 2020-2021 4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E

ricaviamo

1 + q + q2 + q3 + · · ·+ qn = 1� qn+1

1� q ,

relazione valida per ogni q 6= 1 e n � 1.

3. Torniamo al nostro limite e facciamo prima variare x nell’insieme dei numeri naturali nonnulli: consideriamo cioè la funzione

n 7!✓1 +

1

n

◆n, n � 1.

Poiché +1 è punto di accumulazione per N \ {0}, siamo nelle condizioni di poter calcolare

limn!+1

✓1 +

1

n

◆n.


(a) La funzione n 7!�1 + 1n

�nè una funzione monotona strettamente crescente di n.

(b) Si ha

2 <

✓1 +

1

n

◆n< 3

Grazie alla monotonia della successione, esiste dunque il limite

e = limn!+1

✓1 +

1

n

◆n

e risulta 2 < e 3. Un conto più accurato mostra poi che 2 < e < 3.Vediamo i punti (a) e (b).

(a) Applicando lo sviluppo del binomio si ha

✓1 +

1

n

◆n= 1 + n

1

n+

n(n� 1)2!

1

n2+

n(n� 1)(n� 2)3!

1

n3+ · · ·+ 1

nn

= 1 + 1 +1

2!

✓1� 1

n

◆+

1

3!

✓1� 1

n

◆✓1� 2

n

◆+ . . .

· · ·+ 1n!

✓1� 1

n

◆✓1� 2

n

◆· · ·

✓1� n� 1

n

◆.

La somma a secondo membro cresce al crescere di n coinvolgendo sempre più termini.Di conseguenza n 7!

�1 + 1n

�nè una funzione monotona strettamente crescente di n.

79

4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E A.A. 2020-2021

(b) Si ha certamente per n > 1

2 <

✓1 +

1

n

◆n.

Inoltre, poiché i binomi 1� 1n , 1�2n . . . sono minori di 1, si ha

✓1 +

1

n

◆n< 1 + 1 +

1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!< 1 + 1 +

1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n�1.

Calcolando la somma a secondo membro si ottiene✓1 +

1

n

◆n< 1 +

1� 12n1� 12

= 3� 12n�1

e dunque per ogni n > 1

2 <

✓1 +

1

n

◆n< 3.

4. Per ottenere il limite con x 2 R e x ! +1, basta notare che se n � 1 è tale chen x n+ 1, si ha

1 +1

n+ 1 1 + 1

x 1 + 1

nda cui ✓

1 +1

n+ 1

◆n

✓1 +

1

x

◆x

✓1 +

1

n

◆n+1.

Ma si ha

limn!+1

✓1 +

1

n

◆n+1= lim

n!+1

✓1 +

1

n

◆n ✓1 +

1

n

◆= e · 1 = e

e

limn!+1

✓1 +

1

n+ 1

◆n= lim

n!+1

�1 + 1n+1

�n+1

1 + 1n+1=

e

1= e.

Per il criterio del confronto si ha allora

limx!+1

✓1 +

1

x

◆x= e.

5. Per ottenere il limite con x 2 R e x ! �1, basta porre x = �(y + 1) con y > 0 perottenere ✓

1 +1

x

◆x=

✓1� 1

y + 1

◆�y�1=

✓y + 1

y

◆y+1=

✓1 +

1

y

◆y+1

per cui

limx!�1

✓1 +

1

x

◆x= lim

y!+1

✓1 +

1

y

◆y+1= e.

80

A.A. 2020-2021 4.10. ULTERIORI LIMITI FONDAMENTALI

6. Notiamo infine la relazionelim

n!+1

⇣1 +

x

n

⌘n= ex

valida per ogni x 2 R. Essa si ottiene ponendo y = nx (per x 6= 0 altrimenti il risultatoè banale) ottenendo

⇣1 +

x

n

⌘n=

✓1 +

1

y

◆y�x.

Il risultato si ottiene passando al limite per y ! +1 o y ! �1.

4.10 Ulteriori limiti fondamentali

Vogliamo vedere che

limx!0

ex � 1x

= 1 e limx!0

ln(1 + x)

x= 1.

Notiamo che essi si presentano nella forma indeterminata 00 . La conoscenza di tali limi-ti è essenziale, come vedremo, per il calcolo delle derivate delle funzioni esponenziale elogaritmo.

1. Poniamoz = ex � 1

cos̀ı che x = ln(1 + z) eex � 1

x=

z

ln(1 + z)=

1

ln (1 + z)1z

.

Si ha

limz!0

(1 + z)1z = lim

t!±1

✓1 +

1

t

◆t= e

cos̀ı che

limx!0

ex � 1x

= limz!0

(1 + z)1z = 1.

2. Dal limite dell’esponenziale deriva immediatamente anche il limite del logaritmo: seponiamo ln(1 + x) = t, si ricava x = et � 1 ed il limite in questione diventa

limx!0

ln(1 + x)

x= lim

t!0

t

et � 1 = 1.

3. Valgono le seguenti generalizzazioni.

limx!0

ax � 1x

= ln a e limx!0

loga(1 + x)

x= loga e.

81

4.11. LIMITI DESTRO E SINISTRO A.A. 2020-2021

Infatti si ha

limx!0

ax � 1x

= limx!0

ex ln a � 1x

= ln a.

e

limx!0

loga(1 + x)

x= lim

x!0

ln(1 + x)

x ln a= loga e.

4.11 Limiti destro e sinistro

Siano E ✓ R, f : E ! R e x0 un punto di accumulazione di E. Vogliamo dare un senso allimite di f quando x tende a x0 assumendo valori più grandi o più piccoli di x0.

1. Siano E ✓ R un insieme e x0 2 R. Diciamo che x0 è un punto di accumulazione sinistroper E se x0 è punto di accumulazione per E\] �1, x0[. Similmente diciamo che x0 è unpunto di accumulazione destro per E se x0 è punto di accumulazione per E\]x0,+1[.

x

punti di accumulazione destri

punti di accumulazione sinistri

Geometricamente, x0 è punto di accumulazione sinistro per E se è punto di accumu-lazione per la parte di E a sinistra di x0. Un’interpretazione simile vale per il punto diaccumulazione destro.

2. Se x0 è punto d’accumulazione sinistro di E, possiamo applicare la teoria dei limiti allarestrizione di f : E ! R all’insieme E\]�1, x0[. Se il limite per x ! x0 di tale restrizioneesiste, esso si dice il limite sinistro di f in x0 e si indica con

limx!x�0

f(x).

Similmente se x0 è punto d’accumulazione destro di E e se il limite per x ! x0 dellarestrizione di f a E\]x0,+1[ esiste, esso si dice il limite destro di f in x0 e si indica con

limx!x+0

f(x).

Ad esempio si ha

limx!0�

x

|x| = �1 e limx!0+x

|x| = 1

82

A.A. 2020-2021 4.11. LIMITI DESTRO E SINISTRO

x

y

y = f(x)

x0

limx!x+0 f(x)

limx!x�0 f(x)

x

y

1

�1

x

y

y = 1x

83

4.11. LIMITI DESTRO E SINISTRO A.A. 2020-2021

e

limx!0�

1

x= �1 e lim

x!0+

1

x= +1.

Per il limite destro e sinistro valgono definizioni e proprietà simili a quelle viste per ilcaso del limite ordinario. Se ad esempio limx!x+0 f(x) = l con l 2 R, ciò significa che perogni " > 0 esiste � > 0 tale che

8x 2 E : x0 < x < x0 + � =) |f(x)� l| < ".

Vale la seguente proposizione di facile verifica.

Proposizione 4.42. Siano E ✓ R, f : E ! R e x0 2 R un punto di accumulazione destroe sinistro di E. Allora il limite per x tendente a x0 di f esiste se e solo se esistono i limitidestri e sinistri ed essi coincidono: in tal caso il limite risulta uguale al loro valore comune.

L’esistenza del limite a partire dall’uguaglianza dei limiti destro e sinistro è un casoparticolare dell’esistenza del limite rispetto a restrizioni che “esauriscono’ l’insieme di de-finizione di f . Se ad esempio E = F1 [ F2 e x0 è d’accumulazione per F1 e F2, allora illimite per x ! x0 di f esiste se e solo se esistono i limiti di f ristretta a F1 e F2 e talilimiti coincidono.

3. Sia x0 2 E di accumulazione destro e sinistro per E tale che

limx!x�0

f(x) = l1 e limx!x+0

f(x) = l2

con l1, l2 2 R e l1 6= l2. Diremo in tal caso che f ammette un salto in x0 di ampiezza|l1 � l2|.

x

y

y = f(x)x0

|l1 � l2|

Notiamo che se x0 2 E, f non è certamente continua in x0: si dice spesso che f ammettein x0 una discontinuità di prima specie.

84

A.A. 2020-2021 4.12. INFINITESIMI ED INFINITI

4.12 Infinitesimi ed infiniti

Siano E ✓ R un insieme, f, g : E ! R due funzioni e sia x0 2 R un punto di accumulazionedi E.


Definizione 4.43. Diremo che f è infinitesima in x0 se

limx!x0

f(x) = 0.

Il confronto fra diverse funzioni infinitesime si conduce nel seguente modo.

Definizione 4.44. Siano f e g infinitesime in x0 e supponiamo che g non si annulli inun intorno di x0 (salvo al più in x0).

(a) Se

limx!x0

f(x)

g(x)= l 2 R \ {0}

diremo che f e g sono infinitesime dello stesso ordine in x0.

(b) Se

limx!x0

f(x)

g(x)= 0

diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore a g in x0.

(c) Se

limx!x0

��f(x)

g(x)

�� = +1,

diremo che f è un infinitesimo di ordine inferiore a g in x0.

(d) In tutti gli altri casi, diremo che f e g sono infinitesimi non confrontabili con ilcriterio del rapporto dei limiti.

Se

limx!x0

f(x)

g(x)= 0

si usa spesso scriveref(x) = o(g(x)).

Si dice in tal caso che f è un “o-piccolo” di g per x ! x0. Allora nel caso in cui f è uninfinitesimo di ordine superiore a g in x0 avremo che f(x) = o(g(x)). Se f e g sonoinfinitesime dello stesso ordine in x0, possiamo invece scrivere

f(x) = lg(x) + o(g(x))

85

4.12. INFINITESIMI ED INFINITI A.A. 2020-2021

dove l 2 R, l 6= 0. La quantità lg si dice l’infinitesimo principale di f rispetto a g perx ! x0, intendendo che il resto è trascurabile rispetto ad esso: vedremo tra poco in qualesenso tale a↵ermazione è vera.

2. Se x0 2 R, spesso si utilizza la funzione x 7! (x�x0) come infinitesimo di confronto: diremoche f è infinitesima di ordine n in x0 se f è infinitesima dello stesso ordine di (x� x0)n inx0. Possiamo scrivere

f(x) = l(x� x0)n + o((x� x0)n)con l 6= 0 e l(x� x0)n è l’infinitesimo principale di f per x ! x0. Ad esempio la funzionef(x) = ex � 1 è infinitesima di ordine 1 in x = 0 essendo

limx!0

ex � 1x

= 1.

L’infinitesimo principale di ex � 1 per x ! 0 risulta pari a x. Similmente f(x) = 1� cos xè infinitesima di ordine 2 in x = 0 essendo

limx!0

1� cos xx2

=1

2

e 12x2 è l’infinitesimo principale di 1� cos x per x ! 0.

3. La nozione di infinitesimo dello stesso ordine è utile nello studio dei limiti dei rapporti. Sevogliamo calcolare il limite

limx!x0

f1(x)

f2(x)

e sappiamo che f1 è infinitesima dello stesso ordine di g1 mentre f2 è infinitesima dellostesso ordine di g2, si ha

limx!x0

f1(x)

f2(x)= lim

x!x0

l1g1(x) + o(g1(x))

l2g2(x) + o(g2(x))= lim

x!x0

g1(x)

g2(x)

l1 +o(g1(x))

g1(x)

l2 +o(g2(x))

g2(x)

= limx!x0

l1g1(x)

l2g2(x).

Dunque il limite di partenza è equivalente al limite del rapporto l1g1(x)/l2g2(x), cioè al limi-te del rapporto degli infinitesimi principali: in tal senso gli infinitesimi di ordine superiorepossono essere trascurati. Se ad esempio f1 è infinitesima di ordine n1 e f2 è infinitesimadi ordine n2, allora si ha

limx!x0

f1(x)

f2(x)= lim

x!x0

l1(x� x0)n1l2(x� x0)n2

.

Il secondo limite è di facile studio, dipendendo solo dai numeri n1 e n2. Ad esempio si ha

limx!0

1� cos xsin x

= limx!0

x2

2

x= 0

86

A.A. 2020-2021 4.12. INFINITESIMI ED INFINITI

e

limx!0

1� cos x(ex � 1)2 = limx!0

x2

2

x2=

1

2.


Definizione 4.45. Diremo che f è infinita in x0 se

limx!x0

|f(x)| = +1.

Il confronto tra infiniti si opera nel seguente modo.

Definizione 4.46. Siano f e g infinite in x0.

(a) Se

limx!x0

f(x)

g(x)= l 2 R \ {0},

diremo che f e g sono infinite dello stesso ordine in x0.

(b) Se

limx!x0

f(x)

g(x)= 0,

diremo che f è un infinito di ordine inferiore a g in x0.

(c) Se

limx!x0

��f(x)

g(x)

�� = +1,

diremo che f è un infinito di ordine superiore a g in x0.

(d) In tutti gli altri casi, diremo che f e g sono infiniti non confrontabili con il criteriodel rapporto dei limiti.

Se f e g sono infinite dello stesso ordine in x0, possiamo scrivere

f(x) = lg(x) + o(g(x))

dove l 2 R, l 6= 0. La quantità lg si dice l’infinito principale di f rispetto a g per x ! x0 ecome nel caso degli infinitesimi è la quantità a cui si deve guardare per il calcolo dei limitidei rapporti: se f1 è infinita dello stesso ordine di g1 mentre f2 è infinita dello stesso ordinedi g2, si ha

limx!x0

f1(x)

f2(x)= lim

x!x0

l1g1(x)

l2g2(x)

cioè il limite di partenza è equivalente al limite del rapporto degli infiniti principali.

87

4.13. SUCCESSIONI A.A. 2020-2021

5. Se x0 = +1 o x0 = �1, si usa prendere come infinito di confronto la funzione x 7! xn:diremo che f è infinita di ordine n all’infinito se f è infinita dello stesso ordine di xn perx ! +1 o x ! �1. Possiamo scrivere

f(x) = lxn + o(xn)

con l 6= 0 e lxn è l’infinito principale di f per x ! +1 o x ! �1.Ad esempio si ha che f(x) = 3x5+x3+x+1 è infinita di ordine 5 per x ! +1 essendo

limx!+1

3x5 + x3 + x+ 1

x5= lim

x!+1

x5�3 + 1x2 +

1x4 +

1x5

�

x5= 3.

L’infinito principale è dunque dato da 3x5, cioè dal termine di grado massimo del polinomio.Volendo calcolare il limite

limx!+1

x6 + 3x5 + x3 + x+ 1

7x3 + 2x+ 1

possiamo calcolare il limite degli infiniti principali e si ha

limx!+1

x6 + 3x5 + x3 + x+ 1

7x3 + 2x+ 1= lim

x!+1

x6

7x3=

1

7lim

x!+1x3 = +1.

4.13 Successioni

Diciamo successione di numeri reali ogni funzione da N in R

a : N ! Rn 7! a(n).

Si scrive solitamente an al posto di a(n) e si indica la successione con i simboli (an)n2N o{an}n2N.

1. Da un punto di vista geometrico, essendo una successione una particolare funzione, ilgrafico associato è composto di una quantità infinita di punti.

Un’altra utile rappresentazione geometrica di una successione consiste nel pensarla comeun insieme di punti

{a0, a1, a2, . . . , an . . . }

in R indicizzati dall’insieme N dei numeri naturali.

2. Essendo delle funzioni speciali, possiamo particolareggiare alle successioni molte nozioniintrodotte in precedenza. Ad esempio si dice che una successione (an)n2N è limitata seesiste M > 0 tale che per ogni n 2 N

|an| M.

88

A.A. 2020-2021 4.13. SUCCESSIONI

x

y

1 2 n

x

a0 a2 a3 a1an

Geometricamente, ciò significa che l’insieme dei punti della successione è contenuta nel-l’intervallo limitato [�M,M ]. Una successione si dice monotona crescente se per ognin 2 N

an an+1e si dice monotona decrescente se per ogni n 2 N

an � an+1.

Geometricamente (an)n2N è monotona crescente se al crescere di n i punti della successionesi spostano a destra (eventualmente rimanendo fermi) sulla retta reale. Similmente (an)n2Nè monotona decrescente se al crescere di n i punti della successione si spostano a sinistra(eventualmente rimanendo fermi) sulla retta reale.

3. La teoria dei limiti può applicarsi alle successioni per n tendente a +1: infatti +1 è l’unicopunto di accumulazione di N. Si usa la seguente nomenclatura.

Definizione 4.47. Si dice che la successione di numeri reali (an)n2N

(a) converge se esiste finito limn!+1 an;

(b) diverge positivamente se limn!+1 an = +1;

(c) diverge negativamente se limn!+1 an = �1;

(d) oscilla se non esiste limn!+1 an.

Se limn!+1 an = a si scrive spesso an ! a.

89

4.13. SUCCESSIONI A.A. 2020-2021

Osservazione 4.48. Dal punto di vista della teoria dei limiti, le successioni vengonostudiate solo per n ! +1: di conseguenza, senza alcun cambiamento rilevante, possiamoestendere la nozione di successione inglobando le funzioni con dominio {n 2 N : n � n0},che ammettono ancora +1 come punto di accumulazione. Ad esempio considereremosuccessione anche

an =pn� 7

il cui dominio è {n 2 N : n � 7}.

Esempio 4.49. In base al limite notevole, sappiamo ad esempio che è convergente lasuccessione

an =

✓1 +

1

n

◆n

e precisamente essa converge ad e per n ! +1. Esempi di successioni divergenti sono

an = n2 e bn = �n3.

Un esempio di successione oscillante è invece an = (�1)n.

4. Sia (an)n2N una successione. Consideriamo una successione di numeri naturali n0 < n1 <n2 < n3 < . . . e la successione

{an0 , an1 , an2 , an3 , . . . , ank , . . . }.

La nuova successione (ank)k2N è detta una sottosuccessione della successione (an)n2N. Adesempio data la successione

1,1

2,1

3, · · · , 1

n, · · ·

la successione1

2,1

4,1

6, · · · , 1

2n, · · ·

è la sottosuccessione ottenuta considerando solo gli indici pari. Geometricamente, unasottosuccessione di una successione data è semplicemente un suo campionamento.

È chiaro che se una successione è convergente a l 2 R, allora ogni sua sottosuccessioneconverge ancora ad l. Se la successione diverge, ogni sua sottosuccessione è divergente. Seinvece una successione è oscillante, potrebbero esistere sottosuccessioni convergenti: questoè il caso ad esempio di

an = (�1)n.

Si ha che la successione non converge, ma risultano convergenti le sottosuccessioni datedagli indici pari e dispari. Infatti la prima converge a 1 mentre la seconda a �1.

Teorema 4.50 (Teorema di Bolzano-Weierstrass). Sia (an)n2N una successione limi-tata. Allora essa ammette una sottosuccessione convergente.

90

A.A. 2020-2021 4.13. SUCCESSIONI

Dimostrazione. Per ipotesi, si ha an 2 I = [�M,M ] con M > 0 opportuno. PoniamoI0 = I e n0 = 0. Dividiamo I0 in due intervalli chiusi di uguale ampiezza: almeno uno deidue intervalli, diciamolo I1, contiene infiniti elementi della successione. Sia n1 un indicetale che an1 2 I1. Dividiamo I1 in due sottointervalli chiusi di ugual ampiezza: almenouno dei due, diciamolo I2 contiene infiniti elementi della successione. Sia n2 > n1 tale chean2 2 I2. Proseguiamo in questo modo costruendo

I1 � I2 · · · � Ik � . . .

famiglia di intervalli chiusi inclusi uno nel successivo ed individuando

n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < . . .

indici tali che ank 2 Ik. Notiamo che Ik è un intervallo di ampiezza (2M)/2k e che (ank)k2Nè una sottosuccessione di (an)n2N tale che ank 2 Ik per ogni k.

Per il principio degli intervalli inclusi di Cantor, esiste x0 2T+1

k=0 Ik. Essendo

|ank � x0| 2M

2k

ricaviamo chelim

k!+1|ank � x0| = 0

cioè (ank)k2N converge a x0 2 I. La tesi è dunque dimostrata.

5. Le successioni sono utili anche nello studio dei limiti per funzioni di variabile reale. Sef ammette limite l per x ! x0, allora si ha che f(x) risulta sempre più prossimo a l altendere di x a x0. Dunque se an 2 E, an 6= x0 e an ! x0, si ha che f(an) approssimasempre più l, cioè

f(an) ! l.

Viceversa, se lungo ogni successione (an)n2N tale che an 2 E, an 6= x0 e an ! x0, si haf(an) ! l, allora indipendentemente dal modo in cui ci si avvicina a x0 il valore di f sistabilizza a l. Dunque il limite di f(x) per x ! x0 esiste e vale l.

Otteniamo dunque il seguente risultato.

Proposizione 4.51 (Limiti di funzione e successioni). Siano E ✓ R, f : E ! R ex0 2 R un punto di accumulazione per E. Allora f ammette limite l 2 R per x tendente ax0 se e solo se per ogni successione (an)n2N tendente a x0 con an 2 E e an 6= x0 per ognin 2 N si ha

f(an) ! l.

Osservazione 4.52. La proposizione precedente fornisce un metodo per verificare che illimite di una funzione non esiste: basta trovare due successioni tendenti a x0 lungo cui f

91

4.14. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE A.A. 2020-2021

x

y

x0an

converge a due limiti diversi. Ad esempio, possiamo vedere che le funzioni seno e cosenonon ammettono limite per x ! +1 o x ! �1. Infatti si ha

limn!+1

cos(2n⇡) = 1 e limn!+1

cos((2n+ 1)⇡) = �1.

Esistendo due successioni diverse che tendono +1 lungo le quali la funzione coseno am-mette limiti diversi, concludiamo che limx!+1 cos x non esiste.

4.14 Teoremi sulle funzioni continue

In questa sezione dimostriamo alcuni teoremi fondamentali sulle funzioni che dipendonosolo dalla continuità e non dalla loro forma analitica specifica.

1. Iniziamo con il seguente teorema.

Teorema 4.53 (Teorema degli zeri). Siano a, b 2 R con a < b, e sia f : [a, b] ! R unafunzione continua. Se f(a)f(b) < 0, allora esiste x0 2]a, b[ tale che f(x0) = 0.

Dimostrazione. Possiamo supporre che f(a) > 0 e f(b) < 0. Per la continuità di f e peril teorema della permanenza del segno, esiste " > 0 tale che f è positiva su [a, a + "] enegativa su [b� ", b]. Consideriamo l’insieme

E := {x 2 [a, b] : f(x) � 0}.

Notiamo che E è non vuoto essendo [a, a + "] 2 E e che E ✓ [a, b � "[. Sia x0 := supE.Chiaramente a + " < x0 < b � ", cioè x0 2]a, b[. Vediamo che f(x0) = 0. Infatti, essendoper n grande x0 +

1n 2 [a, b] con x0 +

1n 62 E, si ha

f

✓x0 +

1

n

◆ 0,

92

A.A. 2020-2021 4.14. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

x

y

a

b

da cui grazie alla continuità di f abbiamo

f(x0) = limn!+1

f

✓x0 +

1

n

◆ 0.

D’altro canto, essendo x0 = supE, si ha che esiste an 2 E con

x0 �1

n< an < x0.

Essendo f(an) � 0 e an ! x0, otteniamo

f(x0) = limn!+1

f(an) � 0.

Concludiamo f(x0) = 0 e la tesi è dimostrata.

2. Come corollario abbiamo il seguente risultato.

Teorema 4.54 (Teorema dei valori intermedi). Siano I un intervallo in R e f : I ! Runa funzione continua. Allora f assume tutti i valori compresi tra infI f e supI f . Inparticolare f(I) è un intervallo.

Dimostrazione. Se infI f = supI f , allora f è costante su I e non c’è nulla da dimostrare.Supponiamo allora infI f < supI f e sia k 2] infI f, supI f [. Per definizione di sup e infesistono a, b 2 I tali che

f(a) < k < f(b).

Possiamo supporre a < b (il caso b > a essendo simile). Consideriamo la funzione continuag(x) = f(x)� k ristretta all’intervallo [a, b] ✓ I. Notiamo che g(a) < 0 e g(b) > 0: dunqueper il teorema degli zeri esiste x0 2]a, b[ tale che g(x0) = 0. Ma allora si ha f(x0) = k,cioè k è un valore assunto da f su I.

93

4.14. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE A.A. 2020-2021

Concludiamo che f(I) è tale che

] infIf, sup

If [✓ f(I) ✓ [inf

If, sup

If ].

Dunque f(I) è necessariamente uguale ad uno dei seguenti intervalli

] infIf, sup

If [, [inf

If, sup

If [, ] inf

If, sup

If ], [inf

If, sup

If ].

Il teorema è dunque dimostrato.

Vediamo ora una conseguenza di natura algebrica del teorema dei valori intermedi.

Proposizione 4.55. Sia p(x) un polinomio a coe�cienti reali di grado dispari. Allorap(x) ammette almeno una radice.

Dimostrazione. Possiamo supporre che p(x) = x2k+1+a1x2k+ · · ·+a2kx+a2k+1, con k � 0,ai 2 R. Notiamo che

limx!�1

p(x) = �1 e limx!+1

p(x) = +1.

Concludiamo cheinfx2R

p(x) = �1 e supx2R

p(x) = +1.

Essendo p(x) una funzione continua, per il teorema dei valori intermedi esiste x0 2 R taleche p(x0) = 0, cos̀ı che la dimostrazione è conclusa.

3. Il seguente teorema si occupa del massimo e del minimo di funzioni continue.

Teorema 4.56 (Teorema di Weierstrass). Siano a, b 2 R con a < b, e sia f : [a, b] ! Runa funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo su [a, b].

Dimostrazione. Vediamo l’esistenza del punto di massimo, il ragionamento per il minimoessendo del tutto simile. Sia (tn)n2N una successione tale che tn < sup[a,b] f e

tn ! sup[a,b]

f.

Per ogni n 2 N dalla definizione di sup[a,b] f esiste xn 2 [a, b] tale che

tn < f(xn) sup[a,b]

f

e dunque per confronto

(4.1) limn!+1

f(xn) = sup[a,b]

f.

94

A.A. 2020-2021 4.15. COMPLEMENTI

x

y

a

b

punti di massimo

punto di minimo

Grazie al teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione (xnk)k2N di (xn)n2Nconvergente ad un elemento x0 2 [a, b]. Vediamo che x0 è un punto di massimo per f .

Per la continuità di ff(x0) = lim

k!+1f(xnk),

e dunque da (4.1) (chiaramente limk!+1 f(xnk) = limn!+1 f(xn))

f(x0) = sup[a,b]

f,

cioè x0 è un punto di massimo per f .

Osservazione 4.57. La successione (xn)n2N utilizzata nella dimostrazione, cioè tale chef(xn) ! sup[a,b] f si dice una successione massimizzante per f .

Osservazione 4.58. Combinando il teorema dei valori intermedi con il teorema di Weier-strass, possiamo dire che ogni funzione continua f definita su un intervallo chiuso e limitato[a, b] assume tutti i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo, cioè

f([a, b]) = [min[a,b]

f,max[a,b]

f ].

4.15 Complementi

In questa sezione riportiamo la dimostrazione di alcuni risultati enunciati in precedenza.

Dimostrazione della Proposizione 4.2. Vediamo tutti i punti in ordine.

(a) Immediato dalla definizione.

95

4.15. COMPLEMENTI A.A. 2020-2021

(b) Consideriamo innanzitutto il caso x1 2 R: può essere allora x2 2 R o x2 = +1. Sex2 2 R, possiamo considerare gli intervalli

U1 :=

�x1 �

d

2, x1 +

d

2

e U2 :=

�x2 �

d

2, x2 +

d

2

dove d = |x1 � x2|.Se x2 = +1, possiamo scegliere

U1 :=]�1, x1 + 1[ e U2 :=]x1 + 1,+1].

Sia ora x1 = �1: può essere ancora x2 2 R o x2 = +1. Se x2 2 R, possiamoscegliere

U1 := [�1, x2 � 1[ e U2 :=]x2 � 1, x2 + 1[,mentre se x2 = +1 si può scegliere U1 := [�1, 0[ e U2 :=]0,+1].

(c) Immediato dalla definizione.

(d) Supponiamo che x1 + x2 = s 2 R. Allora x1, x2 2 R. Sia U intorno di s. Perdefinizione, esiste � > 0 tale che

]s� �, s+ �[✓ U.

Allora otteniamo la tesi se poniamo

U1 :=

�x1 �

�

2, x1 +

�

2

e U2 :=

�x2 �

�

2, x2 +

�

2

.

Infatti se a 2 U1 e b 2 U2, si ha che a+ b è ben definita e

s� � = x1 ��

2+ x2 �

�

2< a+ b < x1 +

�

2+ x2 +

�

2= s+ �

cioè a+ b 2]s� �, s+ �[✓ U , cioè

a+ b 2 U

che è la tesi.

Supponiamo che x1 + x2 = +1, e senza perdere di generalità che x1 x2. Questopuò accadere se

x1 2 R e x2 = +1oppure se

x1 = x2 = +1.Sia U un intorno di +1. Per definizione esiste M > 0 tale che ]M,+1[✓ U . La tesisi ottiene ponendo nel primo caso

U1 :=]x1 �M,+1] e U2 :=]2M � x1,+1]

96

A.A. 2020-2021 4.15. COMPLEMENTI

mentre nel secondo

U1 :=]�M,+1] e U2 :=]2M,+1].

Il caso x1 + x2 = �1 è simile.

(e) Omettiamo la dimostrazione.

Dimostrazione della Proposizione 4.27. Supponiamo per assurdo che

limx!x0

g(x) = l2 < l1 = limx!x0

f(x).

Siano V1 e V2 due intorni di l1 e l2 tali che per ogni y1 2 V1 e y2 2 V2 si abbia y1 > y2.Dalla definizione di limite, ricaviamo l’esistenza di due intorni U1 e U2 di x0 tali che

8x 2 U1 \ E, x 6= x0 : f(x) 2 V1

e8x 2 U2 \ E, x 6= x0 : g(x) 2 V2

Poniamo U := U1 \U2. Se x 2 U \E e x 6= x0, si ha f(x) > g(x) contro l’ipotesi. Dunqueconcludiamo che l1 l2 e la tesi è dimostrata.

Dimostrazione della Proposizione 4.28. Sia V un intorno di l. Esiste I intervallo taleche I è intorno di l e I ✓ V . Per la definizione di limite, esistono due intorni U1 e U2 di x0tali che

8x 2 U1 \ E, x 6= x0 : h(x) 2 I

e8x 2 U2 \ E, x 6= x0 : g(x) 2 I

Se U := U1 \ U2 e se x 2 U \ E con x 6= x0 si ha

f(x) 2 [h(x), g(x)] ✓ I ✓ V

cioè f(x) 2 V . Di qui il fatto che limx!x0 f(x) = l cos̀ı che la tesi è dimostrata.

97

4.15. COMPLEMENTI A.A. 2020-2021

Esercizi

1. Dimostrare la continuità della funzione radice n-esima usando la sua monotonia.

2. Dimostrare che se E ✓ R ha infiniti elementi, allora E ammette almeno un punto diaccumulazione.

3. Siano f : E ! R, x0 di accumulazione per E e l = limx!x0 f(x). Dimostrare che per ogniintorno V di l si ha V \ f(E) 6= ;. Trovare un esempio in cui l non è di accumulazione perf(E).

4. Trovare una coppia di funzioni f, g : E ! R tali che la somma ammette limite per x ! x0ma tali che i limiti di f e g prese singolarmente non esistono. Stessa cosa poi per il prodotto.

5. Trovare una coppia di funzioni f : E ! R e g : F ! R componibili e tali che

limx!x0

(g � f)(x) 6= limy!limx!x0 f(x)

g(y).

6. Trovare un esempio di funzioni f, g : E ! R con f < g su E tali che esiste x0 diaccumulazione per E con limx!x0 f(x) = limx!x0 g(x).

7. Dimostrare che limx!x0 f(x) = 0 se e solo se limx!x0 |f(x)| = 0.

8. Dimostrare che l 2 R è l’estremo superiore di f su E se e solo se

(a) per ogni x 2 E si ha f(x) l;(b) per ogni l0 < l esiste x 2 E tale che l0 < f(x).

Dimostrare similmente che l 2 R è l’estremo inferiore di f su E se e solo se

(a) per ogni x 2 E si ha l f(x);(b) per ogni l0 > l esiste x 2 E tale che f(x) < l0.

9. Siano f : E ! R e x0 2 E. Dimostrare che f è continua in x0 se e solo se per ognisuccessione (an) tale che an 2 E e an ! x0 si ha f(an) ! f(x0).

10. Dimostrare che una successione ammette limite l 2 R se e solo se ogni sua sottosuccessioneconverge a l.

11. Sia f : [a, b] ! R una funzione con a, b 2 R, a < b. Dimostrare che esiste un puntox0 2 [a, b] che soddisfa la proprietà

supU\[a,b]

f = sup[a,b]

f

per ogni intorno U di x0. Tale punto è detto un punto di Weierstrass di f . Dimostrareinoltre che se f è continua in x0, allora x0 è un punto di massimo di f .

98

capitolo 4 funzioni continue e limiti - unibs.it · 2020. 9. 25. · capitolo 4 funzioni continue e...

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