Univerzitet u Novom SaduPrirodno-matematiki fakultet

Departman za matematiku i informatiku

Bojana Popovi

Furijeova transformacija i nekeprimene u finansijama

Master rad

Mentor:

Prof. dr. Nenad Teofanov

2012, Novi Sad

SADRAJ

Sadraj1 Uvod 4

2 Uoptene funkcije (distribucije) 52.1 Prostor test funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Topologija prostora D(K) . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Topologija prostora D() . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Konvergencija na D() . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Prostor distribucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Singularne distribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Nosa distribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Izvod distribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Primeri distribucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Temperirane distribucije (distribucije sporog rasta) . . . . . . 20

2.5.1 Prostor brzo opadajuih funkcija . . . . . . . . . . . . 202.5.2 Prostor temperiranih distribucija . . . . . . . . . . . . 21

3 Konvolucija 233.1 Konvolucija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Konvolucija brzo opadajue funkcije i temperirane distribucije 243.3 Konvolucija distribucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1 Direktan proizvod distribucija . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Konvolucija distribucija . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Konvolucija temperiranih distribucija . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Furijeova transformacija 364.1 Razvoj u Furijeov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Furijeova transformacija uoptenih funkcija . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Furijeove transformacije brzo opadajuih funkcija . . . 484.3.2 Furijeove transformacije temperiranih distribucija . . . 50

4.4 Primeri Furijeovih transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Opcije 555.1 Finansijski derivati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Vrednovanje u odsustvu arbitrae . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Vrednovanje finansijskih derivata . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.1 Opcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3.2 Evropske opcije i digitalne opcije . . . . . . . . . . . . 65

2

SADRAJ

6 Primena Furijeovih transformacija u raunanju cena opcija 676.1 CON Opcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 AON opcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Evropske opcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7 Dodatak 717.1 Osnovni pojmovi teorije verovatnoe . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.1 Elementi teorije mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.1.2 Integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.3 Karakteristine funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.1.4 Konvergencije nizova sluajnih promenljivih . . . . . . 777.1.5 Radon-Nikodimov izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.1.6 Uslovno oekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2 Osnovni pojmovi Stohastikih procesa . . . . . . . . . . . . . 807.2.1 Martingali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.2 Levijevi procesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 Zakljuak 84

Literatura 85

Kratka biografija 87

Kljuna dokumentacija 88

3

1 Uvod

1 UvodMetode zasnovane na Furijeovoj transformaciji imaju raznoliku primenu

u svim oblastima nauke i ininjerstva. Furijeova transformacija se koristi uobradi signala, na primer prilikom kompresije slike ili digitalnog audio-zapisa.Sem toga, moe pomoi u reavanju diferencijalnih jednaina ili u praenjudinamike trita i berze.

Kako je primena Furijeove transformacije koju elimo da izloimo posta-vljena u okvirima uoptenih funkcija (distribucija), u drugoj glavi izlae seteorija uoptenih funkcija. Daju se osnovni pojmovi i definicije prostora testfunkcija, prostora distribucija, prostora temperiranih distribucija. Kao toemo videti, prostori temperiranih distribucija predstavljaju prirodni okvirza delovanje Furijeove transformacije.

Trea glava je posveena operaciji konvolucije, kao veoma bitnoj operaciji,sa velikom primenom u ovom radu. Izlae se teorija: konvolucija funkcija,konvolucija distribucija i konvolucija temperiranih distribucija.

etvrta glava je posveena teoriji Furijeovih transformacija. U skladu saistorijskim razvojem problema prvo je izloena teorija Furijeovih redova kojase primenjuje na periodine funkcije, a zatim teorija Furijeove transformacijenamenjena analizi neperiodinih funkcija.

Cilj ovog rada je da se prikae primena Furijeove transformacije u fina-nsijama, konkretno u raunanju cena opcija. Zato je u petoj glavi izloenaosnovna teorija opcija, i osnovna teorija vrednovanja takvih hartija od vre-dnosti.

Poto smo postavili neophodne okvire, u estoj glavi dajemo konkretnuprimenu Furijeovih transformacija u raunanju cena Evropskih opcija.

Sedma glava je dodatak u kojem smo naveli osnovne pojmove teorijeverovatnoe i stohastikih procesa, koji nisu tema ovog rada, ali su neophodniza njegovo razumevanje.

4

2 Uoptene funkcije (distribucije)

2 Uoptene funkcije (distribucije)Uoptene funkcije ili distribucije predstavljaju uoptenje klasinog konce-

pta funkcije. Da bismo ih definisali prvo moramo uvesti pojam prostoratest funkcija (funkcija na koje distribucije deluju). Potom emo se posvetitidistribucijama i temperiranim distribucijama. Za izradu ove glave korienesu knjige [1], [2], [9], [10], [11] i [15] iz spiska literature. Pretpostavlja se daje italac upoznat sa osnovnim pojmovima matematike analize (pogledati[9] i [15] iz spiska literature).

Kada reavamo konkretne fizike probleme i za to koristimo funkcije de-finisane na klasian nain vidimo da one imaju mnoge nedostatke. Ponimood njihove definicije. Funkcije su definisane kao preslikavanje jednog skupau drugi, tako da za svaku taku prvog skupa x imamo njenu sliku y = f(x).Recimo da posmatramo funkciju f(x) koja pretstavlja temperaturu u takix u prostoriji. Uviamo da je fiziki nemogue izmeriti temperaturu u je-dnoj taki; kako je vrh termometra odreene veliine, u stvari se meri prosektemperatura taaka na vrhu termometra. Tanije, ono to se izmeri izgledaovako:

f(x)(x)dx,

gde je (x) teinska funkcija koja zavisi od osobina termometra. Kao toemo videti upravo na taj nain definisane su uoptene funkcije.

Dalje, za opisivanje mnogih pojava javlja se potreba za funkcijom iji biintegral bio koncentrisan u jednoj taki, a takvu funkciju je nemogue defi-nisati na klasian nain, dok teorija uoptenih funkcija daje veoma elegantnoreenje zvano Dirakova delta distribucija.

Diferencijalne jednaine daju reenje mnogih problema pri konkretnimprimenama. Tu nastaje problem kada reenje koje dobijemo ne predstavljadiferencijabilnu funkciju, opet u teoriji uoptenih funkcija takav problem neepostojati.

Detalji svih nedostataka klasinih funkcija izloeni su u [10] i [11].

2.1 Prostor test funkcija

Sa Rn obeleavaemo n-dimenzionalni Euklidov prostor iji su elementiureene n-torke realnih brojeva (x1, . . . , xn). Rn je snabdeven uobiajenomtopologijom; e oznaavati otvoren podskup od Rn. Posmatraemo funkcijeiji je domen podskup od Rn a kodomen C.

Sa Nn0 emo oznaiti podskup od Rn iji elementi imaju koordinate celenenegativne brojeve. Za k = (k1, . . . , kn) Nn0 stavljamo |k| = k1 + . . .+ kn.N10 krae zapisujemo N0 = {0} N.

5

2.1 Prostor test funkcija

Definicija 2.1. Nosa neprekidne funkcije : Rn C je adherentanskup za skup {x : (x) 6= 0}. to oznaavamo sa supp.

Drugim reima nosa neprekidne funkcije je zatvaranje skupa taaka ukojima je funkcija razliita od nule.

Definicija 2.2. Cm(), m N0 ili m = , je skup funkcija koje su defi-nisane nad i imaju sve izvode neprekidne do reda m. Cm0 () je podskupod Cm() onih funkcija iji su nosai kompaktni u . Funkcije iz C()nazivaju se glatke funkcije.

Sa obinim sabiranjem i mnoenjem kompleksnih brojeva Cm() i Cm0 ()su vektorski prostori nad poljem C.

Primer 2.1. Posmatrajmo funkciju

f(x) =

0, |x| 1exp( 1|x|2 1), |x| < 1 , (|x|

2 = x21 + . . .+ x2n) .

Ona je elemenat iz C0 (Rn) i njen nosa je zatvorena lopta sa centrom u 0poluprenika 1.

Sada definiemo funkciju w(x) = c1f(x), x Rn, gde je c =Rn f(x)dx.

Funkcija w definisana sa:

w(x) = nw(x1), > 0, x Rn, (1)

ima sledee osobine:Rnw(x)dx = 1, supp w(x) = {x; |x| } i w(x) 0.

Navedene funkcije e nam biti korisne u daljem radu.

Teorema 2.1. Ako je K kompaktan podskup od , postoji C0 () saosobinom 0 1 i (x) = 1 u nekoj okolini skupa K.

Dokaz. Konstruisaemo funkciju i njenu okolinu K u kojoj je (x) = 1.Skupovi K i Rn\ su disjunktni. Kako u Rn vai da je rastojanje zatvo-

renog i kompaktnog skupa koji su disjunktni razliito od nule, imamo da jed(K,Rn\) = > 0. Odredimo i tako da vai 0 < < < + < .

Neka je K okolina od K, K {x ; d(x,K) < }. Definiimofunkciju:

u(x) =

{1, x K0, x 6 K.

6

2.1 Prostor test funkcija

Sada uvodimo funkciju :

(x) = (u w)(x) := ()nRnu(t)w(

x t

)dt = (2)

=

|t|1

u(x t)w(t)dt, x Rn.

Kako u ima kompaktan nosa, a w C0 sledi da i C0 . Pokazaemoda supp K+ .

Pretpostavimo da x Rn\K+ , tada za |t| 1, x t \K paje poslednji intagral u (2) nula, to jest imamo da je (x) = 0, odnosnosupp K+ .

Pretpostavimo da je x K+ i |t| 1, tada x t K pa imamo daje

(x) =

|t|1

w(t)dt = 1.

2.1.1