fys.kat.c-4

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει ναγνωρίζει:

� από τη θεωρία των κρούσεων:

Τα είδη των κρούσεων. Να αποδεικνύει τους τύπους που δίνουν τις ταχύτητεςτων σωμάτων, μετά την ελαστική μετωπική κρούση τους.

Σε ελαστική μετωπική κρούση τις σχέσεις που δίνουν τις ταχύτητες τωνσωμάτων όταν αυτά έχουν:

i. ίσες μάζες,

ii. το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο

Να εφαρμόζει την Αρχή Διατήρησης της Ορμής (ΑΔΟ) σε ανελαστικήκρούση.

Να εφαρμόζει την Διατήρηση της Ενέργειας στις κρούσεις και να υπολογίζει

ποσοστά απωλειών σε ανελαστική κρούση.

� από τη θεωρία στο φαινόμενο Doppler:

Να εφαρμόζει τη γενική σχέση του φαινομένου Doppler.

122. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler Τύποι - Βασικές έννοιες

ΚΡΟΥΣΕΙΣ - ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER: Τύποι - Βασικές έννοιες

1. Κρούσεις

Διατήρηση της ορμής: Αν εξ πριν μεταΣF 0 P P= ⇒ =

Κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών 1 1m , υ με 2 2m , υ και : πριν μεταK K=

' 2 1 21 2 1

1 2 1 2

2m m mυ υ υm m m m

−= ++ +

' 1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m mυ υ υm m m m

−= ++ +

i. 1 2m m= '1 2υ υ= '

2 1υ υ=

ii. 2υ 0=' 1 21 1

1 2

m mυ υ

m m

−=

+' 12 1

1 2

2mυ υ

m m=

+

iii. 2 1m m>> '1 1υ υ= − '

2υ 0=

iv. 2 1m m<< '1 1υ υ '

2 1υ 2υ

2. Φαινόμενο Doppler

i. Ο παρατηρητής κινείται προς ακίνητη πηγή: ΑA s

υ υf f

υ+=

ii. Ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή: ΑA s

υ υf f

υ−=

iii. Η πηγή πλησιάζει ακίνητο παρατηρητή:

A ss

υf f

υ υ=

−

iv. Η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή: A ss

υf f

υ υ=

+

v. Παρατηρητής και πηγή κινούνται ως προς το μέσο:Α

A ss

υ υf f

υ υ±

=∓

123.Βήμα 1ο Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

1. Κρούσεις

ΘΕΩΡΙΑ 1 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 καιm2 να υπολογίσετε τις ταχύτητες '

1u και '2u των σφαιρών μετά

την σύγκρουση, αν γνωρίζετε τις αρχικές τους ταχύτητες καιτις μάζες τους.

Απόδειξη

Ας ορίσουμε σαν θετική τη φορά προς τα δεξιά, όπως δείχνει το σχήμα.Για την κρούση επειδή είναι ελαστική, θα ισχύουν η ΑΔΟ και η αρχή διατήρησηςτης ενέργειας (ΑΔΚΕ) πριν και μετά την κρούση.Α.Δ.Ο.

' ' ' '1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2p p p p p p m u m u m u m uπριν µετα= ⇒ + = + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2m u m u m u m u m u u m u u′ ′ ′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − = − (1)

Α.Δ.Κ.Ε.

2 2 '2 '21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1m u m u m u m u

2 2 2 2πριν µεταΚ = Κ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2m u m u m u m u m u u m u u′ ′ ′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − = − ⇒

( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2m u u u u m u u u u′ ′ ′ ′− + = − + (2)

m1

ðñéí ôç êñïýóç ìåôÜ ôç êñïýóçêñïýóç

m1m2m2

u´1u1

F1

(+)

F2

u2 u´2

124. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler Βήμα 1ο

Αν είναι: '1 1u u≠ και '

2 2u u≠από (1) και (2) διαιρώντας κατά μέλη ( 2 ):( 1 ) παίρνουμε:

1 1 2 2u u u u′ ′+ = + (3)

Οι σχέσεις (1) και (3) δίνουν:2 1 2

1 2 11 2 1 2

2m m mu u u

m m m m

−′ = ++ + (4)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m mu u u

m m m m

−′ = ++ + (5)

ΘΕΩΡΙΑ 2 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 =m2να δείξετε ότι οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες μετά τηνκρούση.

Απόδειξη

m mmm

u´1u1 u2 u´2

Εάν m1 = m2 = m τότε οι σχέσεις (4) και (5) γίνονται:

2 2 1 2 1

2m m mu u u u u

2m 2m

−′ ′= + ⇒ = και

2 1 2 2 1

2m m mu u u u u

2m 2m

−′ ′= + ⇒ =

ΘΕΩΡΙΑ 3 Σε κεντρική ελαστικήκρούση δύο σφαιρώνμε μάζες m1 και m2, μεu2=0, να βρείτε τις τα-χύτητες των σφαιρώνμετά την κρούση.

ΑπόδειξηΑν u2=0 από τις γενικές σχέσεις (4) και (5) έχουμε:

2 1 2 1 21 1 1 1

1 2 1 2 1 2

2m m m m mu 0 u u u

m m m m m m

− −′ ′= ⋅ + ⇒ =+ + + (6)

m1 m1

m2

m2

u1 u´2u´1


1 2 1 12 1 2 1

1 2 1 2 1 2

2m m m 2mu u 0 u u

m m m m m m

−′ ′= + ⋅ ⇒ =+ + + (7)

ΘΕΩΡΙΑ 4 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 καιm2, u2=0 να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρού-ση, στις περιπτώσεις:

ι. m1 = m2 ιι. m1 >> m2 ιιι. m1 << m2

Απόδειξηi. Αν m1 = m2 από τις σχέσεις (6) και (7)

έχουμε:1 2 1u 0 u u′ ′= =

ii. Αν m1 >> m2 από τις σχέσεις (6)και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι

2

1

m0

m→ έχουμε:

1 2 2

1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1

1 2 21 2

1 1 1

m m m1

m m m m m 1 0u u u u u u u

m m mm m 1 01m m m

− −− −′ ′= = = = ⇒ =+ ++ +

1

1 12 1 1 1 1 2 1

1 2 21 2

1 1 1

m2

2m m 2 2u u u u u u 2u

m m mm m 1 01m m m

′ ′= = = = ⇒ =+ ++ +

iii. Αν m1 << m2 από τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι 1

2

m0

m→ έχ-

ουμε:

m1

m1

m2

u =02 u´ =02

m2u1 u1

m1 m1

m2

m2

u1 u1

m1 m1m2 m2

u1 u´1=u1

u´2=2u1


1 2 2

1 2 2 2 11 1 1 1 1 1 1

1 2 21 2

2 2 1

m m m1

m m m m m 0 1u u u u u u u

m m mm m 0 11m m m

− −− −′ ′= = = = ⇒ = −+ ++ +

1

1 22 1 1 1 1 2

1 21 2

2 2

m2

2m m 2 0u u u u 0 u u 0

m mm m 0 1m m

⋅′ ′= = = = ⋅ ⇒ =+ ++

ΘΕΩΡΙΑ 5 Στην περίπτωση που η σφαίραπροσκρούει ελαστικά και πλάγια σετοίχο με γωνία πρόσπτωσης θπτότε θα ανακλαστεί με γωνία θαόπου θα ισχύει ότι θπ=θα.

ΑπόδειξηΑπό αναλύσεις των ταχυτήτων θα έχουμε:

yy

uu u

uπ πηµθ = ⇒ = ⋅ηµθ

xx

uu u

uπ πσυνθ = ⇒ = ⋅συνθ

'y ' '

y

uu u

uα αηµθ = ⇒ = ⋅ηµθ

'' 'xx

uu u

uα ασυνθ = ⇒ = ⋅συνθ

Από Αρχή Διατήρησης της κινητικής ενέργειας θα πρέπει :

ð

á

u

y´

Ï

yu´

m

è

è

m

ð

u

ux

uy

è á

u´x

uyu´

è


2 '2 2 '2 '1 1K mu mu u u u u

2 2πριν µετα= Κ ⇒ = ⇒ = ⇒ = (1)

Α.Δ.Ο στον άξονα y΄Ο y, επειδή δεν γίνεται κρούση, θα πρέπει:( )1

' ' 'y y y yp p mu mu u uπ α= ⇒ = ⇒ ηµθ = ηµθ →

π α π αηµθ = ηµθ ⇒ θ = θ

ΘΕΩΡΙΑ 6 Nα γράψετε τη γενική σχέση στο φαινόμενο Doppler. Να εξη-γήσετε πως βάζουμε τα πρόσημα.

A ss

f fΑυ ± υ=υ± υ

Τα πρόσημα στον αριθμητή και στον παρανομαστή μπαίνουν ως εξής:

� Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή παίρνουμε (-) στον παρανομαστή.� Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή παίρνουμε (+) στον παρανο-

μαστή.� Όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή παίρνουμε (+) στον αριθμητή.� Όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή παίρνουμε (-) στον αριθμητή.

ΠαρατήρησηΟι ταχύτητες στην παραπάνω σχέση έχουν τη διεύθυνση της ευθείας που συνδέειτην πηγή με τον παρατηρητή. Αν η κίνηση της πηγής ή του παρατηρητή γίνεται σεάλλη διεύθυνση, ως ταχύτητα θα θεωρήσουμε τη συνιστώσα της στη διεύθυνσηπηγή-παρατηρητής.


Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

Ερωτήσεις: 5.1, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.19, 5.20, 5.21

Ασκήσεις - Προβλήματα: 5.22, 5.25, 5.30, 5.40, 5.42, 5.44, 5.45, 5.47,5.48, 5.49, 5.51, 5.53

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα:

ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”Βιβλιομάθημα 12ο:Λυμένα παραδείγματα: 4.2, 4.4, 4.6, 4.8, 4.10, 4.11, 4.15Ερωτήσεις: 1, 3, 6, 7,8Προτεινόμενα θέματα:4.4, 4.6, 4.10, 4.11, 4.14, 4.18, 4.19Ξεχωριστό: σελ. 230

Βιβλιομάθημα 13ο:Λυμένα παραδείγματα: 4.19, 4.21Ερωτήσεις: 1, 2, 3, 4, 5, 6Προτεινόμενα θέματα: 4.26, 4.28


Γ. Από το βιβλίο:ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θετικής & Τεχν/κης κατεύθυνσης 2ος τόμος(Μηχανική στερεού σώματος - Κρούσεις)

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”7. Κρούσεις

Ερωτήσεις: 7.5, 7.9, 7.10, 7.13, 7.31

Λυμένα παράδειγματα: 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 16, 17Ασκήσεις για λύση: 7.36, 7.41, 7.47, 7.55, 7.60, 7.61

8. Φαινόμενο DopplerΕρωτήσεις: 8.6, 8.7, 8.8, 8.10, 8.11

Λυμένα παράδειγματα: 2, 3, 4Ασκήσεις για λύση: 8.25, 8.27, 8.28


1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά-ζουν η μια την άλλη με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ0= 3 m/s. Η κρούσηείναι μετωπική και ελαστική.

α. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών.β. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη, αν

η διάρκεια της κρούσης είναι 0,1s.γ. Το ποσοστό επί τοις % της ενέργειας της σφαίρας m2 που μεταβιβάζεται

κατά την κρούση στην σφαίρα m1.Λύση:α. Από τη θεωρία χρησιμοποιούμε τις σχέσεις:

2 1 21 2 1

1 2 1 2

2m m - mυ = υ + υm + m m + m

′ (1)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m - mυ = υ + υm + m m + m

′ (2)

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

( ) [ ]1

2 2 1- 2 m m mυ = -3 + 3 = -4 + (-1) = -51+ 2 1+ 2 s s s

⋅ ′

[ ]22 1 2-1 m m mυ = 3+ (-3) = 2 + (-1) =1

1+ 2 1+ 2 s s s

⋅ ′

β. Στη διάρκεια της κρούσης οι δυνάμεις 1 2F , F είναι αντίθετες (Δράση - αντίδρα-

ση). Από 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: Δp

F =Δt

Το μέτρο της 1F είναι: 1 1 1 1 11 2

Δp m υ - m υ -5 -3F = = N = 80N F

Δt Δt 0,1′

= =

m1

m1

ðñéí

ìåôÜ

m2

m2

õ0

õ´1 õ´2

õ0


ö

öh

s NT

w1w1,y

w1,x

m2 k

(1)

(2)

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται:2

μεταβ

αρχ(m )

E100%

Eή

2 2

2 2 22 0 2 20 2 2

2 22 0 0

2 0

1 1m υ m υ υ υ υ 8002 2 100% = 100% = 1- 100% = %

1 9υ υm υ2

′− ′ ′−

2. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου, ύψους h= 1,6m και γωνίας κλίσηςφ=30ο, αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m1=1 kg. Στη βάση του κεκλι-μένου επιπέδου το σώμα συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο στο οποίο κινεί-ται μέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά με σώμα μάζας m2=4 kg. Το συσ-σωμάτωμα κινούμενο συναντά και συσπειρώνει ιδανικό οριζόντιο ελατή-ριο, το οποίο έχει μόνιμα στερεωμένο το ένα του άκρο. Αν ο συντελεστής

τριβής ολίσθησης επί του κεκλιμένου επιπέδου είναι 3/4µ = , να υπολο-γιστούν:α. η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου,β. το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του

σώματος m1 κατά την ολίσθησή του επί του κεκλιμένου επιπέδου,γ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής ενέργειας του σώματος m1 που

έγινε θερμότητα κατά την κρούση.Δίνονται: g = 10 m/s2, k = 1000 N/m.Δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας κατά τη στιγμή που το σώμα m1 συναντάτο οριζόντιο επίπεδο. Γενικές εξετάσεις 1989

Λύση:α. Βρίσκουμε την ταχύτητα

υ1 του σώματος m1 τηστιγμή της κρούσης, ε-φαρμόζοντας ΘΜΚE γιατο m1 από (1) σε (2)

(τελ) (αρχ) βαρ T

21 1 1

Κ - Κ = W + W

1m υ -0 = m gh -Ts

2

⇒

Η τριβή έχει μέτρο: 1T = μ N = μ w συνφ = 15/4 Ν


Η απόσταση s που διανύει το σώμα m1 είναι:

hs = = 3,2m

ημφΆρα παίρνουμε:

21 1

1 151υ =1 10 1,6 - 3,2 υ = 2 2 m/s

2 4⋅ ⋅ ⋅ ⇒

Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την πλαστική κρού-ση.

( )1 1 1 2 Κm υ + 0 = m + m υ+→

K2 2υ = m/s

5⇒

Eφαρμόζουμε ΑΔET για για κίνηση του συσσωματώματος μέχρι την μέγιστησυσπείρωση του ελατηρίου (θέση 3).

( ) 2 2(2) ταλ(3) 1 2 K max

2 -2max max

1 1K = U m + m υ = kx

2 21 8 1

5 = 1000x x = 4 10 m2 25 2

⇒ ⇒

⇒ ⋅

β. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση:

1

T

αρχ(m )

W100%

U⇒

1

Ts100%

m gh⇒

153,2

4 100% = 75%1 10 1,6⋅ ⋅

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση:

1

απωλ(κρουση)

αρχ(m )

E100%

E⇒

( )2 21 1 1 2 Κ

1

1 1m υ - m + m υ

2 2 100%m g h

⇒

1 1 8

1 8- 5 4-0,82 2 25 100% = 100% = 20%1 10 1,6 16

⋅

⋅ ⋅

k

k

k

õ1

õÊ

m2

mïë

xmax

(2)

(2)

(3)


V

2(M+m )g

T

l

õ2

2

2m

m

M

M+

l

V

l

3. Σώμα μάζας m=3kg είναι α-κίνητο σε λείο οριζόντιο δά-πεδο, όπως φαίνεται στο σχή-μα. Λόγω εσωτερικής αιτίαςτο σώμα διασπάται σε δύοκομμάτια με μάζες m1=2m2.Μετά τη διάσπαση κινούνταιαντίθετα και το m1 συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m΄. Το συσσωμάτωμαμετά την κρούση αρχίζει να κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: x=Α·ημ(10t) S.I.To m2 συγκρούεται πλαστικά με το ακίνητο σώμα Μ=3kg, το οποίο κρέ-μεται από το νήμα μήκους l=3m.Aμέσως μετά την κρούση η τάση τουνήματος είναι Τ=220/3 Ν. Δίνονται Κ=400 Ν/m και g=10 m/s2.Να βρεθούν:α. Οι ταχύτητες των κομματιών μετά τη διάσπαση.β. Η μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος.γ. Η τάση του νήματος αν το m2 διαπερνούσε το Μ και έβγαινε με ταχύτη-

τα υ΄=8m/s;δ. Η απώλεια ενέργειας της κρούσης μεταξύ m2 και Μ σε κάθε περίπτωση;ε. Η μάζα m΄ και το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος m1 +m΄;

Λύση:α. Είναι: m1+m2=m=3Kg και m1=2m2 Άρα: m1=2Kg και m2=1Kg

Αμέσως μετά την κρούση μεταξύ των m2 και Μ έχουμε:

Τ-Β=Fκεντρ

22(m + M)V

T - B = V = 5m/s⇒ ⇒l

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m2 και Μ:

( )2 2 2 2m υ + 0 = m + M V υ = 20m/s+→ ⇒

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την διάσπαση του σώματος m.

2 2 1 1 10 = m υ m υ υ = 10m/s1 2m 2m=+→ − →

k m´m

l

Ì


β. Eφαρμόζουμε AΔME για το συσσωμάτωμα και έχουμε:

V

V

2(M+m )g

Th

ll

-hl

ö

( ) ( )2αρχ τελ 2 2

1K = U M m V = M m gh h 1,25m

2⇒ + + ⇒ =

- h 3 -1,25συνφ = συνφ = = 0,583h 3

⇒l

γ. Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την κρούση: 2 2 2m υ + 0 = m υ + MV = 4m/sV+ ′ ′ ′→ ⇒

õ õ´

V´

Ìg

2 22

m m

T

M

l l

Άρα: Τ-Mg=Fκεντρ

2 2MV MVT - Μg = T = Mg + T = 46N

l l

′ ′⇒ ⇒ ⇒

δ. 2

2 2(α) 2 2

1 1ΔΕ = m υ - (M + m )V = 150J2 2

2 2 22 2

1 1 1m υ - MV - m V΄ =144J

2 2 2( ) 2γ∆Ε =

ε. Από την εξίσωση ταλάντωσης έχουμε: ω=10 rad/s

Aλλά ( ) 21 12

ΚD = m + m΄ ω m΄ = - m m΄ = 2kg

ωD K=→ ⇒

õ

õ 21

2

1mm


Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m1 και m΄:

( )1 1 1 Κm υ + 0 = m + m΄ υ = 5m/sΚ+← υ ⇒

Εφαρμόζουμε ΑΔET : ( ) 2ολ 1

1 1Κ = Ε m + m΄ = DA A = 0,5m2 2

2

Κ⇒ υ ⇒

4. Σώμα μάζας Μ =0,25 kg, πουείναι δεμένο στην άκρη ορι-ζόντιου ελατηρίου σταθεράςΚ=100Ν/m εκτελεί γ.α.τ. με

πλάτος Α = 2 / 2 m πάνω σελείο οριζόντιο επίπεδο. Τηστιγμή που είναι U=K και το ελατήριο είναι επιμηκυμένο (x>0), όπως στοσχήμα, βλήμα μάζας m = 0,25 kg κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα u0 =20m/s, σφηνώνεται στο κέντρο του σώματος μάζας Μ. Να βρείτε:α. Tο πλάτος της νέας ταλάντωσης.β. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων που έγινε

θερμότητα κατά την κρούση.γ. Το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος.

Λύση:α. Εφαρμόζοντας την AΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας M, θα βρούμε την θέση και

την ταχύτητα που έχει τη στιγμή που πάει να γίνει η κρούση.

2 2max 1

U K E 1 12U U 2 Dx DA

U K 2 2ολ+ =

⇒ = ⇒ ==

221 1 1 1

A 2 2 2x x A x m x 0,5m

2 2 2 2⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ± ⇒ = ±

D

2 2 2 2 2 2o 1 1 1 1

1 1 1U K E Dx M DA x

2 2 2

=Κ

λ+ = ⇒ + υ = ⇒ Κ +Μυ = ΚΑ ⇒

( ) ( )2 2

1

1

x1

Κ Α −υ = ±

Μ

Αντικαθιστώντας στην (1) x1 = +0,5m και Α = 2 / 2 m βρίσκουμε:

1 10m / sυ = ±Άρα έχουμε δύο περιπτώσεις:

K õ0

Ö.M.È.É.

M

m


1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:Το σώμα μάζας Μ πριν τηνκρούση κινείται προς τα δεξιάμε ταχύτητα υ1 = +10 m/s.Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχου-με:

Μυ1 - mu0 = ( Μ + m )υΚ

Αντικαθιστώντας τις τιμές πουέχουμε βρίσκουμε:

υK=-5 m/s

Η Θ.Ι του συσσωματώματος εί-ναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου.Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά τηνκρούση και έχουμε:

( ) D K2 2 2ολ 1

2 2 21 1

1 1 1U+Κ Ε D x + Μ + m = DA΄

2 2 2

6K x + (Μ + m)υ = KA΄ Α΄ = m

4

=Κ= ⇒ υ →

⇒

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:Το σώμα μάζας Μ πριν την κρού-ση κινείται προς τα αριστερά μεταχύτητα υ1 =-10 m/s.Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχου-με:

Μυ1 + mu0 = ( Μ + m )υΚ

Αντικαθιστώντας τις τιμές πουέχουμε βρίσκουμε:

υK=15 m/s

Η Θ.Ι του συσσωματώματος εί-ναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου.Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά τηνκρούση έχουμε:

K

K

õõ

õ

x

01

K

1

Ö.M.È.É.

M

M+m

m

K

K

õõ

õ

x

01

K

1

Ö.M.È.É.

M

M+m

m


( ) D K2 2 2ολ 1

2 2 21 1

1 1 1U+Κ Ε D x + Μ + m = DA΄

2 2 2

22K x + (Μ + m)υ = KA΄ Α΄ = m

4

=Κ= ⇒ υ →

⇒

β. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

2 2 20 1 Καρχ τελ

αρχ 2 20 1

1 1 1mυ Μυ (m + Μ)υΚ - Κ 2 2 2100% 100%

1 1Κ mυ Μυ2 2

+ −=

+

Για την 1η περίπτωση βρίσκουμε 95% και για την 2η 55%

γ. Δp Δp= D xFΔt Δt

⇔ = − ⋅∑ . Άρα:max

ΔpK A΄

Δt = ⋅

max,1 max,2

Δp 6 Δp 22100 25 6 N και 100 25 22 N

Δt 4 Δt 4 = ⋅ = = ⋅ =

5. Η σφαίρα του παρακάτω σχήματος μάζας m=1,6kg και ακτίνας R (πολύμικρή), αφήνεται να κυλήσει από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους

h=7/4m, γωνίας κλίσης φ=30ο, με συντελεστή τριβής μ = 3/6 . Όταν φθά-σει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά μεσώμα μάζας Μ=4kg, το οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικούοριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400 Ν/m, του οποίου η άλλη άκρη είναιδεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα.Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο και μετά τη κρούση η σφαίρα ακινητοποι-είται.α. Να δείξετε ότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.β. Να βρείτε τη ταχύτητα υcm της m πριν τη κρούση.

KM

m

h

ö


γ. Να βρείτε τη ταχύτητα υ της Μ μετά τη κρούση.δ. Να βρείτε το ποσοστό της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα

κατά την κρούση.ε. Να βρείτε τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου.

Δίνονται: 22I mR5

= , g=10 m/s2.

Λύση:α. Η συνθήκη για να έχουμε κύ-

λιση χωρίς ολίσθηση είναι:Τσ<μ·Ν

Αντικαθιστώντας στην τελευ-ταία την τιμή της Τσ καιΝ=w·συνφ, παίρνουμε:

Τσ<μ·w·συνφ=4Ν (1)

Για τη μεταφορική κίνηση

cm σ cmxF = mα wημφ -T = mα⇒∑ (2)

Για τη στροφική κίνηση

(K)γωντ = Ι.α∑ ⇒Τσ

.R=I.αγων (3)

Στην κύλιση ισχύει: αcm= αγων·R (4)Λύνουμε τις σχέσεις (2) και (4) ως προς Τσ και αγων αντίστοιχα και αντικαθι-στούμε στην (3), οπότε παίρνουμε:

( )cmwημφ - m Rα = 2 cmα2mR

5 R⇒ αcm= 3,57m/s2

Άρα από την (2) έχουμε: Τσ=2,3 ΝΆρα βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση (1).

β. Εφαρμόζουμε A.Δ.Μ.Ε. από (Ι) σε (ΙΙ).

UΙ+KΙ=UΙΙ+KΙΙ ⇒ m·g·h + 0= 0 + 2cm

1mυ

2+ 21

Iω2

⇒

m·g·h = 2cm

1mυ

2+

22cmυ1 2mR

2 5 R

⇒ cmυ m/s5=

ö

K

w

Í

Ôóx

w

yw

ö

cmácmõ


γ. Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχουμε: mυcm = Μυ ⇒ υ=2m/sδ. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

2 2

αρχ μετα

αρχ

1 1mgh Μυ ΜυΕ - Κ 2 2100% 100% = 100%

Ε mgh mgh1

− = −

=71,43%

ε. Η Θ.Ι του ταλαντωτή M, είναι η θέση φ.μ. του ελαστηρίου. Η max συσπείρωσητου ελατηρίου είναι και το πλάτος της ταλάντωσης. Άρα εφαρμόζουμε την ΑΔΕΤγια τον ταλαντωτή μάζας Μ αμέσως μετά την κρούση και έχουμε:

D K2 2 2 2ολ

1 1 2U+Κ Ε Μυ = DA Μυ = KA Α = m

2 2 10== ⇒ → ⇒

6. Το κιβώτιο του σχήματος μάζας m=4,5 kg ηρεμεί πάνω σε αμαξίδιο μάζαςΜ= 15 kg, το οποίο μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιo δάπεδο.Ένα βλήμα μάζας m΄= 0,5 kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ0= 50 m/sευθύγραμμα και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο του κύβου. Ο συντελε-στής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου του αμαξι-δίου είναι μ= 0,5.Να βρείτε:α. τη τελική ταχύτητα του συστήματος αμαξίδιο - κιβώτιο - βλήμα,β. τις απώλειες ενέργειας σε όλο το φαινόμενο.γ. το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα βλήμα - κιβώτιο πάνω στο

αμαξίδιο καιδ. το χρόνο κίνησης του συσσωματώματος βλήμα - κιβώτιο ως προς το

αμαξίδιο. (g=10 m/s2)

Λύση:

α. Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την ακαριαία πλαστική κρούση βλήματος - κιβωτίου:

ολ(πριν) ολ(μετα)p = p ( )0 1m΄υ = m΄+ m υ+⇒ ⇒ υ1=5 m/s

Tα σώματα (m+m΄) και Μ του συστήματος δέχονται τις δυνάμεις που φαίνονται

m

õ0

m´

M


στο σχήμα. Tο συσσωμάτωμα (m+m΄) δέ-χεται:

το βάρος του w , την κάθετη δύναμη N από

το αμαξίδιο και την τριβή T από το αμαξί-διο.

Tο αμαξίδιο Μ δέχεται:

το βάρος του 1w , την κάθετη δύναμη 1N

από το δάπεδο, την τριβή T΄ από το (m+m΄)

και την κάθετη δύναμη N΄ από το (m+m΄)

Οι δυνάμεις T , T΄ , N και N΄ είναι δυνάμεις εσωτερικές.

Το μέτρο της τριβής Τ είναι: T = μΝ = μ(m΄+ m)g = 25 N

Τ=Τ΄ και Ν=Ν΄ (Δράση - Αντίδραση)

Το σύστημα είναι μονωμένο, άρα ισχύει η Α.Δ.Ο.

( ) ( )1 K Km + m΄ υ + 0 = m΄+ m υ + M υ⇒ ⇒ υK=1,25 m/s

β. Α.Δ.Ε. από την αρχή μέχρι την υΚ.

Εαρχ=Ετελ + Εαπωλ, ολ⇒20

1m΄υ

2= ( ) 2

K1

m΄+ m υ2

+ 2K

1M υ

2+ Εαπωλ, ολ ⇒

625 J=15,625 J + Εαπωλ, ολ ⇒ Εαπωλ, ολ=609,375 J

γ. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για κάθε σώμα.

( ) ( ) ( )2 2τελ αρχ T Κ 1

1 1m΄+ m : Κ - K = W m΄+ m υ - m΄+ m υ = -T x + L

2 2⇒

õ1 õK

m+ m´ m´m+

M M õK

x L

T

T´

N´

N1

N

w

w1

M

m+ m´


2τελ αρχ Τ΄ Κ

1Μ : Κ - K = W M υ -0 = Τ΄x2

⇒

Προσθέτουμε κατά μέλη και επειδή Τ=Τ΄ παίρνουμε:

( ) ( )2 2 2Κ Κ 1

1 1 1m΄+ m υ + M υ - m΄+ m υ = -ΤL

2 2 2

Με αντικατάσταση παίρνουμε: L=1,875m

δ. Το συσσωμάτωμα (m+m΄) κάνει ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

21

25NF Tα = = = =5m/sm΄+ m m΄+ m kg

Σ5

υΚ=υ1 - α1.t⇒1,25m/s=5m/s - 5m/s2.t⇒ t=0,75s

7. Σώμα Σ1 μάζας m = 1 kg ισορροπεί συνδεδεμέ-νο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατη-ρίου σταθεράς Κ=200 Ν/m, του οποίου το άλλοάκρο στερεώνεται σε οροφή. Βλήμα Σ2, ίσηςμάζας με το σώμα, κινείται κατακόρυφα προς ταπάνω και συγκρούεται τη χρονική στιγμή t=0

με ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s μετωπικά καιπλαστικά με το Σ1. H διάρκεια της κρούσης θε-ωρείται αμελητέα. Δίνεται g = 10 m/s2 και θετι-κή φορά προς τα πάνω.α. Να γράψετε την εξίσωση της κίνησης του συστήματος.β. Να βρείτε, το χρονικό διάστημα μέχρι να μηδενιστεί για 2η φορά η

ταχύτητα του συστήματος.γ. Ποιο είναι το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του βλήματος

που χάθηκε κατά την κρούση; (g=10 m/s2)

Λύση:α. Η ζητούμενη εξίσωση είναι: x=Αημ(ωt+φ0)

Η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου είναι:

Θ.Ι. m: ελ 1 1 1mg

F = mg Kx = mg x = x = 0,05mK

⇒ ⇒ ⇒

Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο.για την πλαστική κρούση του συστήματος βλήμα - σώμα:

K

Ó1

Ó2 õ


+⇒ mυ + 0 = 2m.υΚ ⇒ K K

υ 3 m= =

2 2 sυ ⇒ υ

Το συσσωμάτωμα 2m εκτελείγ.α.τ. με D=k, γύρω από τηΘ.Ι. του.Θ.Ι. 2m:

ελ 2

2 2

F = 2mg Kx = 2mg

2mgx = x = 0,1m

K

⇒ ⇒

⇒

Τη στιγμή που το 2m αποκτάταχύτητα Kυ απέχει από τηΘ.Ι. του κατά:

3 2 1x = x - x = 0,05m

Εφαρμόζουμε ΑΔΕΤ:

Uταλ+K=Εολ ⇒2 2 2

3 Κ1 1 1

Dx + 2mυ = DA2 2 2

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε: A = 0,1m

Τη χρονική στιγμή t0 = 0 το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη θέση 3x = x = +A/2 .

Άρα: 0

0 0

0

φA 1 6ημφ ημφ

52 2 φ6

π = η= Α ⋅ ⇒ = ⇒ π =

Επειδή είναι υΚ>0, συμπεραίνουμε ότι: 0

πφ =6

D 200 rad= = rad/s ω = 10

2 m 2 sω ⇒

Τελικά έχουμε: πx 0,1 ημ 10t

6 = ⋅ +

S.I.

β. Η ταχύτητα γίνεται υ=0 στις ακραίες θέσεις. Αυτό για 2η φορά γίνεται στη θέση-Α. Επομένως από την εξίσωση x-t, έχουμε:

K K

m

m

2m

õ

Ö.Ì.

È.É. m

È.É. 2m

õKx1

x

x3

x2


π π π 3π 2-0,1 0,1 ημ 10t ημ 10t 1 10t t s

6 6 6 2 15

π = ⋅ + ⇒ + = − ⇒ + = ⇒ =

γ. απωλ(κρουση)

αρχ(βλημ)

E100%

E⇒

2 2Κ

2

1 1mυ - 2mυ

2 2 100%1

mυ2

⇒2 2

Κ2

υ - 2υ100% = 50%

υ

8. Ένας παρατηρητής κινείται σε μια ευθεία που ενώνει δύο ηχητικές πηγές

S1, S2 οι οποίες παράγουν ήχο συχνότητας Sf = 400Hz . Ο παρατηρητής

κινείται από την πηγή S1 προς τον S2 με ταχύτητα Aυ = 2m/s .

Sõ

SÁ

12

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα των διακροτημάτων που ακούει ο παρα-τηρητής.

β. Ποιος είναι ο αριθμός των μέγιστων που ακούει ο παρατηρητής σε 3s;Δίνεται ηχυ = 340m/s .

Λύση:α. Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 1η πηγή:

ηχ ΑΑ,1 S Α,1 Α,1

ηχ

υ - υ 338f = f f = 400Ηz f = 397,647Ηz

υ 340⇒ ⇒

Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 2η πηγή:

Α ηχΑ,2 S Α,2 Α,2

ηχ

υ + υ 342f = f f = 400Ηz f = 402,353Ηz

υ 340⇒ ⇒

Η συχνότητα του διακροτήματος είναι: δ Α,2 Α,1f = f f 4,7 z− = Η

β. Ο παρατηρητής κάθε Τδ =0,213 s ακούει 1 μέγιστο. Άρα σε 3s ακούει:

3sΝ = = 14,080,213s

δηλ 14 μέγιστα.


1. Σώμα μάζας m1 = 0,5kg κινείται σε λείο

οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρουυ

1 = 80m/s και συγκρούεται πλαστικά

με ακίνητο σώμα μάζας m2

= 3,5kg.Μετά την κρούση το συσσωμάτωμαανεβαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσηςφ=300, που παρουσιάζει συντελεστή

τριβής μ= 3/3 . Ζητούνται:α. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά τη κρούση.β. Το ύψος που θα φτάσει το συσσωμάτωμα.γ. Το ποσοστό επί της % της αρχικής ενέργειας που χάνεται κατά την κρούση.δ. Το συσσωμάτωμα θα κατέβει προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου;Δίνεται g=10m/s2.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

2. Το σώμα μάζας m1=1kg εκτοξεύεται από το σημείο (Σ) του οριζοντίου

δαπέδου με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5 με

ö1m

2m1õ


ταχύτητα μέτρου υ0 όπως

στο σχήμα. Το σώμα αφούδιανύσει απόσταση d = 10 m,συγκρούεται κεντρικά καιελαστικά με το σώμα μάζαςm

2=2kg το οποίο είναι δεμέ-

νο στο ένα άκρο αβαρούςνήματος μήκους l =3,6m,του οποίου το άλλο άκρο εί-ναι δεμένο στο ακλόνητο σημείο Κ. Το σώμα m

2 μόλις που κάνει ανακύ-

κλωση. Αν δίνεται g = 10m/s2:α. Ποια είναι η ταχύτητα του σώματος m2 αμέσως μετά την κρούση;β. Ποια είναι η αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος m1;γ. Τι ποσοστό της ενέργειας του σώματος m1 μεταβιβάζεται κατά την διάρ-

κεια της κρούσης στο m2;...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Δύο σφαίρες αμελητέων ακτίνων με μάζες m1και m2, όπου m1= m2, αφή-νονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h = 18 m επί οριζoντίoυεπιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται επάνω στην ίδια κατακόρυφο. Aφήνεταιπρώτα η σφαίρα μάζας m1 και μετά η σφαίρα μάζας m2. Η σφαίρα μάζαςm1 προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφαπρος τα επάνω. Μόλις αποχωρισθεί από το επίπεδο, συγκρούεται μετωπι-κά με την κατερχόμενη σφαίρα μάζας m2. Να βρεθεί το ύψος h2 στο οποίο

mmõ

1

20

l

d

(Ó)

(K)


θα φθάσει η σφαίρα μάζας m2.Να θεωρηθεί ότι, όταν οι σφαίρες συγκρούονται, έχουν διανύσει την ίδιακατακόρυφη απόσταση h από το σημείο εκκίνησης. Όλες οι κρούσεις είναιελαστικές και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. Σφαίρα μάζας m=1 kg αφήνεται από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέ-δου φ=30ο μήκους s=8,1m. Όταν φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέ-δου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m΄=2kgτο οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου,του οποίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα.Το ελατήριο σταθεράς Κ=600Ν/m είναι στο φυσικό του μήκος.

K m´

ö

m

Να βρείτε:α. τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου,β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα

κατά τη κρούση,γ. Τη θερμότητα σε όλο το φαινόμενο.

Δίνονται ο συντελεστής τριβής μεταξύ του συσσωματώματος και του ορι-ζόντιου δαπέδου είναι μ=0,25 και g=10 m/s2.


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

5. Ο δίσκος μάζας m=2 kg ενός δυναμομέτρου εί-ναι στερεωμένος στο άκρο κατακόρυφου ελα-τήριου σταθεράς Κ=400 N/m, το άλλο άκρο τουοποίου στερεώνεται σε ακλόνητη οροφή. Μίασφαίρα μάζας m΄=m, αφήνεται ελεύθερη απόύψος h. Η κρούση είναι πλαστική και μετωπι-κή.Να βρεθούν:

α. το ύψος h ώστε το πλάτος ταλάντωσης ναείναι 0,1 m,

β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειαςτης m΄ που έγινε θερμότητα κατά τη κρούση,

γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα τουσυσσωματώματος.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

K

h

m

m´


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. Το σώμα μάζας m=1kg, του σχήματος κάνει απλή αρμονική ταλάντωσηπλάτους 10cm. Τη στιγμή που περνά από τη θέση ισορροπίας του πέφτεικατακόρυφα σώμα μάζας m΄=1kg και συσσωματώνεται με το σώμα m.

α. Nα βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης.β. Το ποσοστό επί τοις % της απώλειας ενέργειας ταλάντωσης.γ. Το λόγο των περιόδων ταλάντωσης.Δίνονται: π2 = 10, g = 10 m/s2, K1 =100 N/m, K2 =200 N/m...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

7. Στο σχήμα το σώμα μάζας m1=1kg είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου στα-θεράς Κ=100 Ν/m και εκτελεί γ.α.τ πλάτους 0,3m. Όταν το σώμα μάζας m1

Ê1 Ê2

m

m´


είναι στην θέση x=0,15 3 m, κινούμενοπρος τα δεξιά συγκρούεται πλαστικά μεένα άλλο σώμα μάζας m2=3kg, που κινεί-ται αντίρροπα με το πρώτο και με ταχύ-τητα 0,5m/s.α. Να γράψετε την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του συσσωματώματος,

θεωρώντας t=0 τη στιγμή της κρούσης.β. Να βρείτε την απώλεια της κινητικής ενέργειαςπου έγινε θερμότητα κατά

τη κρούση.γ. Το λόγο των συχνοτήτων των δύο ταλαντώσεων.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης θ=30o στερεώ-νεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m2=1 kg και το σύστημαισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από τηβάση του κεκλιμένου επιπέδου βάλλεται με υ0=5 m/s σώμα μάζας m1=1 kg.

Ê m1

s

Ê

õ

m 2

0

è

1m


Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=0,9 m και η σταθερά του ελα-τηρίου Κ=100 N/m. Τα σώματα συγκρούονται ακαριαία, μετωπικά καιελαστικά. Να βρείτε:α. την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του m2, θεωρώντας t=0 τη στιγμή της

κρούσης.β. την ταχύτητα του m1, όταν ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέ-

δου,γ. Πού βρίσκεται το m2 όταν το m1 ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου

επιπέδου; (g=10 m/s2)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

9. Η ράβδος ΑΒ του σχήματος μάζας Μ=2 kgκαι μήκους l=2 m μπορεί να στρέφεται γύρωαπό το (Α), όπως φαίνεται στο σχήμα. Έναβλήμα μάζας m=0,1g κινείται οριζόντια μεταχύτητα μέτρου υ0 και διαπερνά τη ράβδοέχοντας μετά την κρούση ταχύτητα μέτρουυ0/2, σε απόσταση d= 0,8 l από το Α. Η ρά-βδος μετά τη κρούση εκτρέπεται κατά 60ο.

α. Nα υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακήςταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά τηνκρούση.

β. Nα υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ0 του βλήματος.

Â

m

Á

d

õ


γ. Nα υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας κατά τη κρούση.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής

της είναι 2ΜI = 3

l .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

10. H ακίνητη ηχητική πηγή του σχήματος εκπέμπει ήχο συχνότητας f=400tστο S.I. Ένας ακροατής Α είναι αρχικά ακίνητος σε απόσταση 100m καιαρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς την πηγή. Μετά από 4s oακροατής φτάνει στην πηγή.α. Να παρασταθεί γραφικά με τον χρόνο η συχνότητα που αντιλαμβάνε-

ται ο παρατηρητής μέχρι να φτάσει στην πηγή.β. Ποια είναι η συχνότητα που αντιλαμβάνεται αμέσως μόλις προσπερά-

σει την πηγή;γ. Ποιος είναι ο αριθμός των κυμάτων που ακούει ο παρατηρητής από

την στιγμή που είναι δίπλα στη πηγή και 2s μετά;Δίνεται η ταχύτητα του ήχου ηχυ = 340m/s .

S

õÁ


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 1ο

Α. Κινούμενο σώμα μάζας m1συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμαμάζας m2. Aν, μετά την κρούση, το σώμα μάζας m1 γυρίζει προς τα πίσω, τότεσυμπεραίνουμε ότι:α. m1 = m2β. m1 > m2γ. m1 <m2δ. m1 << m1

(Μονάδες 5)

.................................................................................

Β. Ένα αμαξίδιο μάζας Μ κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 σε λείο οριζόντιο επίπε-δο. Στο καρότσι πέφτει κινούμενο κατακόρυφα, ένα μπαλάκι μάζας m. Το μπα-λάκι ανακλάται Η ταχύτητα του αμαξιδίου μετά είναι:α. υ΄1>υ1β. υ΄1<υ1γ. υ΄1=υ1δ. δεν γνωρίζουμε

(Μονάδες 5)

..............................................................................

Γ. Θεωρούμε τη μετωπική κρούση δύο σφαιρών ίσων μαζών που πλησιάζει η μιατην άλλη με ταχύτητες μέτρων 10m/s και 15m/s αντίστοιχα. Αν η πρώτη σφαίραμετά τη κρούση έχει ταχύτητα -15 m/s, η κρούση είναι:α. ελαστικήβ. πλαστικήγ. ανελαστικήδ. δεν μπορούμε να ξέρουμε

(Μονάδες 5).............................................................................. ......................................

.............................................................................. ......................................


Δ. Κινούμενος παρατηρητής που πλησιάζει ηχητική πηγή αντιλαμβάνεται συχνό-τητα:α. Ίση με της πηγής.β. Μεγαλύτερη από της πηγής.γ. Μικρότερη από της πηγής.δ. Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

Ε. Κινούμενη πηγή απομακρύνεται από παρατηρητή, ο οποίος κινείται επίσης πλη-σιάζοντας την πηγή. Τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα:α. Ίση με της πηγής.β. Μεγαλύτερη από της πηγής.γ. Μικρότερη από της πηγής.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

Θέμα 2ο

Α. Σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε λείο δάπεδο, όπωςφαίνεται στο σχήμα. Αν υ1 και υ2 είναι τα μέτρα της ταχύτητας της σφαίραςπριν και μετά την κρούση, π είναι η γωνία πρόσπτωσης και α η γωνία ανάκλασηςτης σφαίρας, τότε να δείξετε ότι: 1 2υ = υ και π = α

(Μονάδες 8)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Β. Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει ορμή μηδέν και ολική κινη-τική ενέργεια διάφορη του μηδενός; Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτωννα έχει κινητική ενέργεια ίση με μηδέν και ολική ορμή διάφορη του μηδενός;Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

...........................................................................................................................


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Γ. Δύο σώματα συγκρούονται. Να αντιστοιχίσετε τα είδη της κρούσης της στήληςΑ με τις προτάσεις της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Βα. κεντική κρούση 1. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σω-

μάτων είναι παράλληλες.β. έκκεντρη κρούση 2. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σω-

μάτων έχουν τυχαίες διευθύνσεις.γ. πλάγια κρούση 3. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σω-

μάτων βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Δ. Να γίνει αντιστοίχιση της συχνότητας fΑ του ήχου που ακούει ο παρατηρητήςκάθε φορά, με την περίπτωση κίνησης παρατηρητή - πηγή

õ =0A 1 2

3 4

õ õ

õ

S S

Sõ =0S

õA

õ õA A

α. ΑΑ S

S

υ- υf = f

υ + υ β. ΑΑ S

υ - υf = f

υγ. Α

Α SS

υ + υf = f

υ - υ


δ. Α SS

υf = f

υ - υ ε. ΑΑ S

υ + υf = f

υ(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Θέμα 3ο

Η πηγή (1) του σχήματος κινείται με υ1=30m/s και εκπέμπει ήχο συχνότητας f1=620Hz. Η πηγή (2) του σχήματος κινείται με υ2=50m/s και εκπέμπει ήχο συχνότηταςf1=634 Hz.

õAõ 2 õ1

Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα του ακροατή ώστε να ακούει ίδια συχνότητα από τις δύο πηγές,(Μονάδες 15)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

β. τη συχνότητα που ακούει ο ακροατής.(Μονάδες 10)

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340 m/s.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 4ο

Ο δίσκος μάζας Μ=2 kg είναι στερεωμένος στο πάνω άκροκατακόρυφου ελατήριου σταθεράς Κ=100 N/m, το άλλο άκροτου οποίου στερεώνεται σε ακλόνητο δάπε-δο. Μία σφαίραμάζας m= 2kg, αφήνεται ελεύθερη από ύψος h=5m. Η κρούσηείναι πλαστική και μετωπική. Να βρεθούν:α. Η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος.

(Μονάδες 5)β. Το ποσοστό επι τοις % που έγινε θερμότητα κατά την κρού-

ση.(Μονάδες 5)

γ. Το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος και την πε-ρίοδό του.

(Μονάδες 8)δ. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

(Μονάδες 7)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

K

h

M

m

fys.kat.c-4

Documents