8.1 İç Kuvvetler 229 8.2 Bir Noktada Kesit Tesirlerinin Hesabı 232 Örnekler 235 8.3 Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri: Kesim Yöntemi 238 Örnekler 240 8.4 Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri:

Diferansiyel Denge Denklemleri 243

8.5 Kesit Tesir Diyagramları 245 Örnekler 247 PROBLEMLER 253

Ünlü İngiliz fizikçi enerjinin mekanik, elektriksel ve ısısal temelde aynı olduğunu ve birbirlerine dönüştürülebileceğini gösterdi. Böylece enerjinin korunumu yasasına katkıda bulundu. “Joule etkisi” olarak bilinen çalışmasıyla elektrik akımının bir telde oluşturduğu ısının, telin direnci ile akımın karesinin çarpımına doğru orantılı olduğunu tespit etti. Isının ısıtılan cismin niteliğinden bağımsız bir enerji biçimi olduğunu ispatladı. 1982 de William Thomson (Lord Kelvin) ile birlikte daha sonra soğutucu sanayinde kullanılacak büyük buluşu olan, dışarıya iş uygulamaksızın genleşmeye bırakılan gazın sıcaklığının düştüğünü açıkladı. Isının mekanik karşılığı olan iş birimi Joule kısaca J harfiyle gösterilir.

James Prescott JOULE (1818-1889)

8.1 İÇ KUVVETLER

Bir taşıyıcı sisteme etkiyen dış yükler, taşıyıcıyı oluşturan parçalar ara-sında paylaşılarak taşınır. Dış yüklerin etkisi altındaki tüm taşıyıcılar, molekülleri arasındaki bağları kullanarak, yüke bir karşı direnç göste-rirler. Bu direnç taşıyıcı, noktadan noktaya değişir. O nedenle bir taşıyıcı elemanın her noktasında dış yükü karşılarken oluşacak iç direncin hesap-lanabiliyor olması mühendisler için gereklidir. Böylece en çok zorlanan noktalar daha sonra tasarım aşamasında titizlikle incelenecektir.

Statik kapsamında sadece taşıyıcının herhangi bir kesitinde dış etkilere direnç olarak gelişecek iç tepkilerin ne tür kuvvetler ve/veya momentler olduğunu belirlemek istiyoruz. Ayrıca çözeceğimiz taşıyıcı sistemlerde statikçe belirli olacak. Hatırlatmak gerekirse, statik sadece yapısal denge ile ilgilidir ve rijit cisimler mekaniği penceresinden bu konuyu bakmak-tadır. O nedenle, iç direnç kuvvetlerinin kapasitesinin dış kuvvetleri taşı-mada yeterli olup olmadığı, ya da taşıyıcı dış yükleri aktarmakta yetersiz kalıyorsa nasıl bir boyutlandırma ile onu yeterli hale getirebiliriz gibi tasarıma dönük bakışlar bu dersin kapsamı dışındadır.

Dik Kesit: Şekil (8.1a) daki çubuğu, x eksenine dik bir hayali düşey düz-lemlerle kestiğimizi varsayalım. Bu durumda, düşey düzlem ile çubuğun arakesitini oluşturan enkesit eğer çubuk eksenine dikse, ona dik kesit denir, aksi halde eğik kesit olur. Eğer hayali düşey düzlemle çubuğu ikiye ayırdığımızı varsayarsak, o zaman da karşımız Şekil (8.1) deki gibi iki çubuk parçası çıkar. Şimdi kesim yaptığımız yerde karşılıklı duran iki dik kesitten sol parçanın sağındaki kesite sağ kesit denirken, sağ tarafta kalan parçanın solundaki dik kesite de sol kesit denir.

230 STATİK

Çubuk Ekseni: Şekil (8.2) de görüldüğü gibi çubuğun her bir dik kesiti-ne ait ağırlık merkezinden geçecek biçimde çizilecek eğriye çubuk ekseni denir. Çubuk ekseni bir doğru olabileceği gibi, bir uzay eğrisi de olabilir.

İç Kuvvet (Gerilme): Bir taşıyıcının dış yüklere karşı geliştirdikleri iç dirence iç kuvvet ya da gerilme deni. İç kuvvetler çubuğun x ekseni boyunca her bir dik kesitinde farklı şiddetlerde ve doğrultularda karşımı-za çıkar. Tanım gereği iç kuvvet çubuk kesiti üstünde yayılı dağılmış bir büyüklük olup birim alana gelen kuvveti temsil eder. O nedenle iç kuv-vetin birimi [kuvvet/alan] olur.

Kesit Tesirleri: Çizelge (8.1) de görüldüğü gibi, eğer bir dik kesitteki iç kuvvetlerin bileşkelerini o kesitin ağılık merkezine taşırsak, bu noktada yoğunlaşmış tekil kuvvet ve/veya moment büyüklükleri ile karşılaşırız. Şu halde özetlemek gerekirse, doğrudan çubuk ağırlık merkezine indirge-diğimiz kuvvet ve moment büyüklüklerine kesit tesiri adını veriyoruz. Kuvvetler kendi içlerinde eksenel normal kuvvet ve kesme kuvveti, momentler de eğilme momenti ve burulma momenti diye sınıflandırmaya tabi tutulurlar.

Normal kuvvet : Kesite dik etkiyen bir kuvvettir ve gösterimde N harfi kullanılır.

Kesme kuvveti : Kesit düzlemi içinde bir kuvvettir ve gösterimde T harfi kullanılır. Üç boyutlu bir problemde, bir karışıklığa neden olmamak için, kesme kuvveti kesit düzleminin içinde yer aldığı eksenlerden hangisinin doğrultusunda ise o eksen alt indis olarak kullanılır (Bakınız Şekil 8.3b).

Eğilme momenti : Çubuğu, kendi eksenine dik doğrultuda döndüren momenttir ve gösterimde kullanılacak eM harfi

alt indisli yazılır. Burada e alt indisi moment vektörünün doğrultusunu işaret eder ve üç boyut-lu problemlerde e harfi karışıklık olmaması için çubuk eksenine dik eksenler ile değiştirilir (örne-ğin, eğer çubuk ekseni y ise, e harfi de x ya da

z olur – Bakınız Şekil 8.3b). Burulma momenti : Çubuğu ekseni etrafında döndüren momenttir ve

gösterimde bM harfi kullanılır. Buradaki b alt

indisi üç boyutlu problemlerde karışıklık olma-ması için çubuk ekseni ile de değiştirilir.

Denge: Çizelge (8.1) deki doğru eksenli çubuğu bir yerinden düşey doğ-rultuda kesersek, çubuk iki parçaya ayrılmış olur. Her bir parçanın den-gede durabilmesi için, kesilen yüzey alanındaki iç kuvvetler kesit yüzey-lerine etki tepki kuralına göre yerleştirilmelidir.

8. KESİT TESİRLERİ 231

ÇİZELGE (8.1): Kesim yapılmış bir düzlem çubuğun sağ ve sol kesitlerinde oluşacak kesit tesirleri

8. KESİT TESİRLERİ 233

Bölge Sayısı: Şekil (8.6) da görüldüğü gibi, çerçeve çubuğuna bağ kuv-vetleri dışında etkiyen dış yüklerin onun üzerindeki yük dağılımını değiş-tireceği için, kesit tesirlerinin yükten öncesi ile yükten sonrasında değer-leri ya da davranışları değişir. Şekil (8.7) de çeşitli çubuklarda bölge sayısının nasıl tespit edildiği görülüyor.

KESİT TESİRLERİNİN HESABI: Şekil (8.6) daki iki bölgeli CE çubuğunu hesap kolaylığı sağlayacağı için incelemeye alalım. Bölüm 6 da mafsal noktalarındaki bağ kuvvetleri xC , yC , BDF ile ,x yE E nin nasıl hesap-

landığını görmüştük. Buna göre şimdi onları bildiğimiz varsayalım. . Bölgede C noktasından x kadar ötedeki kesim noktasındaki kesit tesirle-rini bulmak için, bu noktada denge denklemleri yazılırsa,

0xF = ( )1CE xN C= (8.1)

0yF = ( )1CE yT C=- (8.2)

0M = ( )1CE yM xC=- (8.3)

8. KESİT TESİRLERİ 241

Kesit Tesirleri: Bölge içinde keyfi bir noktadan çubuğu kesersek, ankast-re mesnet ile kesim noktası arasındaki sol parçanın SCD Şekil (P6.3) de görüldüğü gibi çizilir. Sağ kesitte denge denklemlerini yazarsak,

0yF = 4 0AT - = 4kNT = (P6.1)

0M = ( )3 4 0M x+- - - = 4 3M x= - (P6.2)

Şimdi kesitlerini bir de sağ parça üstünden hesaplayalım. Bu durumda çubuğun SCD Şekil (P6.4) de görüldüğü gibi çizilir. Sol kesitteki kesit tesirleri etki-tepki kuralına göre yerleştirilmiştir. Ayrıca eksen koordinatı x de serbest uçtan başlayarak ankastre mesnede doğru yönelmiştir. Şimdi sağ parçanın sol kesitinde denge denklemlerini yazalım.

0yF = 4 0AT - = 4kNT = (P6.3)

0M = 4 0M x+ = 4M x=- (P6.4)

Aynı olması gereken kesme kuvveti sonuçları (P6.1) ve (P6.3) tarafından gerçeklenir. İlk anda (P6.2) ile (P6.4) sanki farklı sonuçlarmış gibi gele-bilir, ama durum gerçekte böyle değil. Şöyle ki, C noktasından ölçülen uzunluk koordinatı x yi A noktasından ölçülen x e çevirecek olursak

34

x x= - yazılır. Daha sonra yapılması geren, bunu (P6.4) de yerleştir-

mektir. Böylece,

( )34

4 4 4 3M x x x=- =- - = - (P6.2) º (P6.4)

görülür.

Serbest uçtan 25cm uzaktaki noktada kesit tesirleri: Kesme kuvveti (P6.1) e göre çubuk ekseni boyunca sabit değerli ama (P6.2) de eğilme momenti x in fonksiyonu. Şu halde (P6.2) de 0.5mx = yerleştirilirse,

4kNT = ve 4 0.5 3 1 kN mM = ´ - =-

bulunur

:ÖRNEK 8.7: Şekil (P7.1) deki basit mesnetli kirişte kesit tesir fonksiyonları-nı hesaplayınız. 2kN/mq = , 21kNP = , 2ma = , 1mb= .

ÇÖZÜM: Mesnet Tepkileri: Kirişin SCD Şekil (P7.2) de görüldüğü gibi çizilir. Burada bilinmeyen bağ kuvvetlerini hesaplayabilmek için denge denklemlerini yazarsak,

0xF = 0xA =

0AM = ( )3 1.5 3 2 2 21 0yB - ´ - ´ = 17 kNyB =

0yF = 17 3 2 21 0yA + - ´ - = 10kNyA =