gct 数学复习串讲
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GCT 数学复习串讲. 肖新平 武汉理工大学. 第一部分 算术. [ 考试要求 ] 数的概念和性质，数的四则运算及其应用。 [ 内容综述 ] 1 ．数的概念：整数、分数、小数、百分数等。 2 ．数的运算 （ 1 ）整数的四则运算； （ 2 ）小数的四则运算； （ 3 ）分数的四则运算. 3 ．数的整除 ： 整除 ( ) 、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数、合数、质因数、公倍数、最小公倍数 ( ) 、公约数、最大公约数、互质数、最简分数。 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
GCT 数学复习串讲GCT 数学复习串讲
肖新平 武汉理工大学 肖新平 武汉理工大学
第一部分 算术第一部分 算术• [ 考试要求 ] 数的概念和性质，数的四则运算及其应用。• [ 内容综述 ] 1 ．数的概念：整数、分数、小数、百分数等。 2 ．数的运算 （ 1 ）整数的四则运算； （ 2 ）小数的四则运算； （ 3 ）分数的四则运算
3 ．数的整除 ： 整除 ( ) 、倍数、约数、奇数、偶数、质
（素）数、合数、质因数、公倍数、最小公倍数 ( ) 、公约数、最大公约数、互质数、最简分数。
4 ．比和比例： 比例、 ，正比例关系、 ，反比例关系
等。
m
lk
m
n
111
1 mnnmm
n
m
n
d
c
b
a k
b
a
kab
• [ 典型例题 ] 1 ．算术平均数（平均值）问题 例：某书店二月份出售图书 3654 册，比一月
份多出售 216 册，比三月份少出售 714 册，第二季度的出售量是第一季度出售量的倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？
分析：
.47756
)71421636543(2
56
)]7143654(3654)2163654[(2
3)7143654(3654)2163654(
（又如前 10 个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题）
2 ．植树问题 * （ 1 ）全兴大街全长 1380 米，计划在大街两
旁每隔 12 米栽一棵梧桐树，两端都栽。求共栽梧桐多少棵？
分析：
232)112
1380(2
（ 2 ）将一边长为 2 米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过 30 厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数。
分析：根据要求，每边至少需要 7 个钉子，所以至少需要 个钉子 。
2874
3 ．相遇与追及问题 ， ， 例：某部队以每分钟 100 米的速度夜行军，在
队尾的首长让通信员以 3 倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾。已知通信员从出发到返回队尾，共用了 9 分钟，求行军部队队列的长度？已知通信员从出发到返回队尾，共用了 9 分钟，求行军部队队列的长度？
分析：设队伍长度为 ，则 解得
l 9100300100300
ll
vts 2121 , vvvvvv 21 sss
1200l
4 ．顺流而下与逆流而上问题 例：两个码头相距 352 千米，一艘客轮顺流而
下行完全程需要 11 小时，逆流而上行完全程需要 16 小时。求这条河的水流速度。
分析：因为 ，所以
解得
16352
11352
水水
，vvvv
,22
,32
水
水
vv
vv
5水v
5 ．列车过桥与通过隧道问题 例：一列火车全长 270 米，每秒行驶 18 米，
全车通过一条隧道需要 50 秒。求这条隧道的长。
分析：设隧道长为 ，则 ， 所以 6 ．分数与百分数应用问题 ** （ 1 ）有东西两个粮库，如果从东库取出 放
入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的 。已知东库原来存粮 5000 吨，求西库原来的存粮数。
l 5018270 l630l
5
1
2
1
分析：设西库原来的存粮数为 ，则 所以 （ 2 ）某工厂二月份产值比一月份的增加 ，三
月份比二月份的减少 ，那么 ( ) 。 A ．三月份与一月份产值相等。 B ．一月份比三月份产值多 。 * C ．一月份比三月份产值少 。
D ．一月份比三月份产值多 。
x
)5
5000(
2
1
5
50005000 x
7000x
0010
0010
99
1
99
1
100
1
分析：设一月份的产值为 ，则三月份的产值为 ，所以一月份比三月份产值多
7 ．简单方程应用题 某机床厂今年每月生产机床 100 台，比去年
平均月产量的 2 倍少 40 台，求去年的平均月产量。
分析：设去年的平均月产量为 ，则
所以
aa99.0
99
1
99.0
99.0
a
aa
x
402100 x70x
8 ．比和比例应用题 例：一件工程，甲独做 30天可以完成，乙独做 20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了 22天。问甲、乙两人各做了多少天？
分析：设甲、乙两人分别做了 天和 天。根据题意得
解得
x y
,120
1
30
1
,22
yx
yx
16,6 yx
9 ．求单位量与求总量的问题 例：搬运一堆渣土，原计划用 8 辆相同型号
的卡车 15天可以完成，实际搬运 6 天后，有两辆卡车被调走。求余下的渣土还需要几天才能运完？
分析：设要运完余下的渣土还需要 天，则
所以
x
x)28(68158 12x
10 ．和倍、差倍与和差问题 （ 1 ）把 324 分为 A,B,C,D 四个数，如果 A
数加上 2 ， B 数减去 2 ， C 数乘以 2 ， D 数除以 2 之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？
分析：根据题意得
解得
,2
1222
,324
DCBA
DCBA
144,36,74,70 DCBA
（ 2 ）父亲今年 43岁，儿子今年 13岁。问几年以前，父亲的年龄是儿子的 4 倍？
分析：设 年，则 ，所以 • [样题与真题 ] [ 数的运算 ] 1 ．设直线方程 ，且 的截距是 的截距的
倍，则 与 谁大？ (C) (A) ， (B) ， (C) 一样大， (D) 无法确定
x )13(443 xx 3x
0, abbaxy x y)2( a
2
1
a 2
1
2 ．方程 的根的个数为 (A) (A) 0 ， (B) 1 ， (C) 2 ， (D) 3 3 ．设 均为大于零的实数，且 ，则 与 谁
大？ (A) (A) 前者， (B)后者， (C) 一样大， (D)无法确
定 4 ．某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘加上右手中石子数乘之和为，则左手中石子数为奇数，还是偶数？ (A)
(A) 奇数 ， (B) 偶数 ， (C)无法确定， (D)无石子
01
2
1
2
1
12
xxx
mba ,, ab mb
ma
b
a
5.(2003) 已知 ，则 (0.9) A ． ， B ． ， C ． D ． * 6 .(2003) 。（ 0.94 ） A ． 10 ， B ． 11 ， *C ． 12 ， D ． 13 [ 平均值问题 ] 1 ．从生产的一批灯泡中任意抽取 5 个，测的寿命
（小时）分别为 113 ， 110 ， 107 ， 100 ， 95 ，若用它们来估计这批灯泡的平均寿命应为 (C)
A 103 ， B 104 ， C 105 ， D 106
2004
2003,
2003
2002,
2002
2001 cba
cba acb bac abc
11
1
1
11
1
)(i
i
i
i
i
2 ．张某以 10.51 元 /股的价格买进股票 20手，又以 9.8 元 /股买进 30手，又 11.47 以元 /股买进 50手，他要不赔钱，至少要卖到什么价钱（元 /股）？（ 1 手 100股） (D)
(A) 11.02 ， (B)10.32 ， (C) 9.98 (D)10.78 3 ． (2003)记不超过 10 的素数的算术平均为
，则与 最接近的整数是 。（ 0.58 ） A ． 2 ， B ． 3 ， C ． 4 * ， D ． 5
MM
[ 植树问题 ] 1 ． (2003)1000 米大道两侧从起点开始每隔
10 米各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要 。（ 0.95 ）
A 树 200课，花 200盆， B 树 202课，花 200盆 * C 树 202课，花 202盆， D 树 200课，花 202盆
[ 和倍、差倍、和差 ] 1 ．小明今年一家四口人，全家年龄之和为 69岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为 54岁，则父亲今年多少岁？ (D)
(A)28 ， (B)29 ， (C)30 ， (D)31
[ 分数、百分数应用 ] 1 ． (2003) 某工厂产值三月份比二月的增加
四月份比三月的减少 ，那么 （ 0.77 ） A ．四月份与二月份产值相等， B ．四月份比二月份产值增加， C ．四月份比二月份产值减少， D ．四月份比二月份产值减少 *
0010
0010
[ 其他问题 ] 1 ．一顾客去甲商店买价格为 48元的鞋子，给
了甲店主一张 50元钞票，因甲没有零钱，所以到乙商店换钱，然后将鞋子和 2 元钱一起给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张 50元钞票为假币，索要甲店主一张 50元真币。问甲店主赔了多少钱？ (A)
(A)50元 (B) 48元 (C)100元 (D)98元
2 ．相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(B)
(A) 前者， (B)后者， (C) 一样大， (D)无法确定
3 ．兔狗赛跑，规定各跑完 50尺后，再跑回原地。它们速度分别是：狗一次蹦 2 尺，兔一次蹦 3 尺；规定狗蹦三次的同时，兔只能蹦两次。问谁先回到原地？ (A)
(A)狗 (B)兔 (C) 一起到 (D)无法确定
[模拟练习 ] 1 ． 的平均值等于 [ ] (A) 49. (B)50. (C) 51.* (D) 52. 2 ．组织一次有 200人参加的象棋比赛，若比赛采取淘汰制且只取第一名，则需要进行比赛的场次为 [ ]
(A) 198. (B) 199.* (C) 200. (D) 201.
101,99,,5,3,1
3 ．设 ，则下列命题中正确的是［ (C)］ (A)若 均是无理数，则 也是无理数。 (B)若 均是无理数，则 也是无理数。 (C)若 是有理数，是无理数，则 是无理数
(D)若 是有理数，是无理数，则 是无理数。 4 ．有一正的既约分数，若在其分子加上 24 ，
分母加上 54 ，则其分数值不变，此既约分数的分子与分母的乘积等于 ( )
(A)24 (B) 30 (C)32 (D)36*
Rba ,
ba, ba ba, ab
a b ba a b ab
5 ． 9121 除以某质数，余数得 13 ，这个质数是 () (A ) 7 (B) 11 (C ) 17 (D) 23* 6 ．若 是一个大于 100 的正整数，则 一定有约数
[ ] (A)5. (B)6.* (C)7. (C)8. 7 ．一个三角形三内角大小之比为 ，则这个三角形
[ ] (A) 是直角三角形。 * (B) 是钝角三角形。 (C) 是锐角三角形。 (D)可能是直角三角形，也可能是钝角三角形或锐角
三角形。
1385 ：：
n nn 3
8 ．一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的同学人数 [ ]
(A) 一定是 4 的倍数。 * (B) 不一定是 4 的倍数。 (C) 一定是 2 的倍数，不一定是 4 的倍数。 (D) 上述三个都不正确。 9 ．一段马路一边每隔 30m 立有一电线杆，另一边每
隔 25m 栽有一树，在马路入口与出口处刚好同时有电线杆与树相对而立，他们之间还有 7 处也同时有电线杆与树相对立，此段马路总长度为（ ）
(A) 900m (B) 1050 (C) 1200m * (D)1350m
10 ．古时有士兵 1800人守城，准备了 120日的粮食，若增兵 600人，而每人每日粮食定量比原来减少了 ，则所准备粮食可以支持 [ ]
(A)120日， (B)125日， (C)130日，(D)135日 *
11 ．一水池有两个进水管 A,B ，一个出水管 C 。若单开 A 管， 12 小时可灌满水池，单开 B管，9 小时可灌满水池，单开 C管，满池的水 8 小时可放完。现 A,B,C 三管齐开，则水池满水需要 [ ] （ 0.861 ）
(A) 13 小时 24 分， (B) 13 小时 48 分， (C) 14 小时 24 分 * (D) 14 小时 48 分。
3
1
12 ．某区有东、西两个正方形广场，面积共1440 。已知东广场的一边等于西广场周长的 ，则东广场的边长为 [ ] （ 0.83 ）
(A) 8m ， (B) 12m ， (C) 24m ， (D) 36m *
13 ．设 是边长 a为的正方形， 是以 四边的中点为顶点的正方形， 是以 四边的中点为顶点的正方形，则 的面积与周长分别是 [ ]
(A) (B) * (C) (D)
2m
4
3
1 2 1
2
aa ,4
1 2 aa 2,4
1 2
aa 2,2
1 2aa 22,
2
1 2
14 ．一个圆柱底面直径和高都为 8 ，一个圆锥底面直径和高都为 4 ，则圆锥和圆柱的体积比为（）
（ A ） 1:2 （ B ） 1:24 * （ C ） 1:8 （ D ） 1:4
15 ．曱、乙、丙三人分奖金，三人所得之比为 ，曱分得 900元，则奖金总数为 ( )
(A) 2850元 (B)2580元 (C) 2770元 * (D) 3050元
8
5:
15
14:
4
3
16 ．周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 和 ，则 [ ]
(A) * (B) (C) (D) 17 ．甲从 A 地出发往 B地方向追乙，走了 6 个
小时尚未追到，路旁店主称 4 小时前乙曾在此地，甲知此时距乙从 A 地出发已有 12 小时，于是甲以 2 倍原速的速度继续追乙，到 B地追上乙，这样甲总共走了约（ ）
(A) 8 小时 (B) 8.5 小时 * (C) 9 小时 (D) 9.5 小时 (取最近的选项 )
ba, ccba acb
bac bca
第二部分 代数第二部分 代数• [ 考试要求 ] 代数式和不等式的变换和计算。 包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式
和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等。
• [ 内容综述 ]• 一、数和代数式 1 ．实数的运算
（ 1 ）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）
（ 2 ）绝对值
xyyxxxxyxy
xyxyx aabaabaa
aaaa )(,)(,,
aaababa
aa
a
aa
a
,,
0,
0,0
0,
2 ．复数的运算及其几何意义)()(,, 212121222111 bbiaazzibazibaz
z a bi z a bi ， 1111 sincos izz
2222 sincos izz
)sin()cos( 21212121 izzzz
)sin()cos( 21212
1
2
1 iz
z
z
z
10 zz
3 ．几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）
• 二、集合、映射和函数（微积分） 1 ．集合运算（交集、并集、补集、全集、运
算律、摩根律）
2 ．函数（ 1 ）概念（定义、两要素、图形、反函数）
BABACABACBA
CBACBAACABABA I
),()()(
),()),((,,
1{( , ) ( ), } ( )x y y f x x D y f x ，
（ 2 ）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）
（ 3 ）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）
))(,())(,(
))(,())(,())(,(
xfxxfx
xfxxfxxfx
)())(()()()(a
Txgb
a
TxafTbaxfbaxfxg
xyxyxyayxy axa ln,lg,log,,
a
xxxyxyx
y
xyxxy
b
ba
y
log
loglog,lnln,lnlnln,lnlnln
• 三、代数方程：一元二次方程（ 1 ）求根公式（判别式）；（ 2 ）根与系数的关系；（ 3 ）二次函数的图像
2 20 4ax bx c b ac ，
a
cxx
a
bxx
a
acbbx
2121
2
,,2
4
a
bac
a
bxacbxaxy
4
4)
2(
222
• 四、不等式（ 1 ）不等式的基本性质及基本不等式（算术平
均数与几何平均数、绝对值不等式）（ 2 ）几种常见不等式的解法 绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等
•五、数列（微积分）、（数学归纳法） 1 ．数列的概念（数列、通项、前项的和、各项的和、数列与数集的区别）
1 2 1 21
, , , ,n
n n n kk
a a a S a a a a
，
2 ．等差数列（ 1 ）概念（定义、通项、前项的和）；（ 2 ）简单性质：中项公式、平均值
3 ．等比数列（ 1 ）概念（定义、通项、前项的和）；（ 2 ）简单性质：中项公式
)(2
1,2
,)1(2
1,)1(,},{
121
111
nn
nknkn
nnnnn
aan
aaaaaa
dnnnaSdnaadaaa
21
11
1 ,1
1,,,0},{ nknkn
n
nn
nn
nnn aaa
q
qaSqaaq
a
aaa
•六、排列、组合、二项式定理 1 ．加法原理与乘法原理 2 ．排列与排列数（ 1 ）定义；（ 2 ）公式 注 阶乘（全排列） 3 ．组合与组合数（ 1 ）定义；（ 2 ）公式 ；（ 3 ）基本性质
)1()2)(1( mnnnnPmn
!mPmm
mm
mnm
nmm
mn
mn
P
PCPCP ,
nn
k
kn
mn
mn
mn
mnn
mn CCCCCC 2,,
0
11
4 ．二项式定理 •七、古典概率问题 1 ．基本概念 必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互
不相容事件、对立事件 2 ．概率的概念与性质（ 1 ）定义（非负性、规范性、可加性）；（ 2 ）性质
n
k
knkkn
n baCba0
0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )P A P P A B P A P B P A B ， ，
3 ．几种特殊事件发生的概率（ 1 ）等可能事件（古典概型）（ 2 ）互不相容事件 ， 对立事件 （ 3 ）相互独立事件 （ 4 ）独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为 ，那
么在 n次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率为 。
n
mAP )(
)()()( BPAPBAP
1)()( BPAP
)()()( BPAPBAP
pknkk
nn ppCkP )1()(
• [ 典型例题 ]• 一、数和代数式 1 ．若 且 ,则 的最小值是 [ B ] (A) 2 ， (B) 3 ， (C) 4 ， (D) 5 分析： 表示复数 z对应的点在以点 为圆心、半径是 1 的圆周上
最小，是指复数 z对应的点到点 的距离最短，此最短距离为 3 。
Cz 122 iz iz 22
1)22(22 iziz
)2,2( )22(22 iziz
)2,2(
2 ．如果 整除 ，则实数 [ D ] (A) 0 ， (B) -1 ， (C) 2 ， (D) 2 或 -1 分析： 能够整除 说明 是
的 的一个因子，因此当 时， 的值应为 0 ，
即 解得 或 。
)1( x 1223 axxax a
)1( x 1223 axxax )1( x
1223 axxax
1x 1223 axxax
011 2 aa
2a 1a
• 二、集合、映射和函数 1 ．已知 ，函数 的图像关于原点对称
的充分必要条件是 [ D ] (A) (B) (C) (D) 分析：函数 的图像关于原点对称的充分必
要条件是函数 为奇函数，故其偶次项的系数为 0 ，即 。
注：也可利用 求得 ，再说明当 时， 的图像关于原点对称 .
0a dcxbxaxxf 23)(
0b 0c 0d 0db
dcxbxaxxf 23)(
)(xf
0db
)1()1(
,0)0(
ff
f0db
0db )(xfy
2 ．设 ，且 ，那么 [ B ] (A) (B) (C) (D) 分析：由于 ，所以选项 (A)(C) 不正确。 根据 及 可知
0,0 ba abba 722 )(3
1ln ba
)ln(ln2
1ba )ln(
2
1ab
)ln(ln3
1ba )ln(
3
1ab
0,0 ba
9
2ln
2
1)(
3
1ln
2
1)(
3
1ln
222abba
baba
abba 722 1 1
ln ( ) ln( )3 2a b ab
• 三、代数方程和简单的超越方程 1 ．设 ，若 是方程 的两个根，求 分析：根据韦达定理可知 ，所以
0c 21, xx 02 cbxx2 2 3 32 11 2 1 2 1 2
1 2
, ,x x
x x x x x xx x
，
cxxbxx 2121 ,
cbxxxxxx 22)( 221
221
22
21
cbxxxxxxxx 42)( 221
22
21
22121
c
cb
xx
xx
x
x
x
x 22
21
21
22
2
1
1
2
2 ．指数方程组 的解 [ A ] (A)只有一组 (B)只有
两组 (C) 有无穷多组 (D) 不存在 分析：在方程组 中每个方程的两端取对数，
得
由于 x 与 y 的系数不成比例，所以此方程组只有一组解 。
632
1624yx
yx
632
1624yx
yx
,6ln3ln2ln
,16ln2ln4ln
yx
yx
• 四、不等式 已知集合 ，集合 ，若 ，求 a得取
值范围。 分析：当 时， ； 当 时， 。 所以当 时，不会有 ； 当 时，若 ，则 。
}32{ xxA }0)1({ 2 axaxxB
AB
1a }1{ xaxB
1a }1{ axxB
1a AB
1a AB 5a
•五、数列 1 ．设 是一等差数列，且 求 和 。 分析：由于 ，所以
}{ na 64111032 aaaa
76 aa 12S
6 7 3 10 2 11a a a a a a
2 3 10 116 7 32
2
a a a aa a
192)(6 7612112112 aaaaaaS
2 ．设 是一等比数列，且 ， 求 和 。 分析：设数列 的公比为 ，则 ， 所以
或 ；
}{ na 48,12 53 aa
101,aa 62aa
}{ na q 42
3
5 qa
a
34
1223
1 q
aa 153623 99
110 qaa
1536)2(3 99110 qaa
57648125362 aaaa
3 ．记数列 的前 n项和为 ，问 n为何值时 最大？
分析：由于数列 从某一项后，所有的项都会小于零，因此只要找到小于零的第一项便可，既要找到使得 的第一个 n的值。
因为 ， 所以当 时， 最大。
)}21000{lg( 2
n
nS
nS
)}21000{lg( 2
n
121000 2 n
10242100025122 2
20
2
19
19n nS
•六、排列、组合、二项式定理 1 ． 5 个男生和 2 个女生拍成一排照相。 （ 1 ）共有多少种排法？（ ） （ 2 ）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（ ）
2 ． 100件产品中，只有 3 件次品，从中任取3 件，
（ 1 ）恰有一件次品的取法有多少种？ （ 2 ）至少有一件次品的取法有多少种？ （ 3 ）至多有两件次品的取法有多少种？
77P
)( 22
55
22 PPP
297
13CC
397
3100 CC
33
3100 CC
3 ．求 展开式中所有无理项系数之和。 分析：无理项指的是 x 的指数是非整数的项，
根据二项式定理可知要求的和为
•七、古典概率问题 1 ．在 100件产品中，只有 5 件次品。从中任
取两件（ 1 ）两件都是合格品的概率是多少？ （ 2 ）两件都是次品的概率是多少？ （ 3 ）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？
9)21( x
99
979
759
539
319 22222 CCCCCS
2100
295
C
C
2100
25
C
C
2100
195
15
C
CC
2 ．甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是 0.6 和 0.5 。
（ 1 ）两人都投中的概率是多少？ （ 2 ）恰有一人投中的概率是多少？ （ 3 ）至少有一人投中的概率是多少？• [样题与真题 ]• [基本概念 ] 1 ．求阶乘不超过 200 的最大整数 [ ] (A) 3 ， (B) 4 ， (C) 5 ， (D) 6
5.06.0
5.04.05.06.0
5.04.01
• [函数运算 ] 1 ．设函数 ， 则 [ ] (A) ， (B) ， (C) ， (D)• [乘方运算 ] 1 ．在连乘式 展开式中， 前面的系数为
[ ] (A) 13 ， (B) 14 ， (C) 15 ， (D) 16 2 ． (2003) 已知实数 x 和 y 满足条件 和
，则 的值是 。（ 0.62 ） A ． -1 * ， B ． 0 ， C ． 1 ， D ． 2
1)(
x
xxf 1,0 xx )
)(
1(
xff
x1x
11 1x
x1x
)5)(4)(3)(2)(1( xxxxx 4x
1)( 99 yx
1)( 100 yx 101101 yx
• [ 二次函数 ] 1 ．设 ，则函数 的最大值为 [ ] (A) -2 ， (B) -1 ， (C) 2 ， (D) 3 2 ． (2003)函数 在 上单调增的充要
条件是 。（ 0.71 ） A ． ，且 。 B ． ，且 。 C ． ，且 。 * D ． ，且 。
30 x 2)2( 2 xy
)0(2 acbxaxy ),0[
0a 0b
0a 0b0a 0b
0a 0b
• [幂、指、对函数 ] 1 ．比较 与 谁大？ [ ] (A) 前者 (B)后者 (C) 一样大 (D)无法确定• [函数简单性质 ] 1 ．函数 是 [ ] (A)周期函数 (B) 奇函数 (C) 偶函数 (D) 单调减少函数 2 ． (2003)函数 与 的图形关于 。
（ 0.53 ） A 直线对称 B 直线对称 C 轴对称 D 轴对称
6.04.04.06.0
)1ln()( 2 xxxf
)0)((1 axafy )(2 xafy
• [ 排列组合 ] 1 ． 5 棵大小不同的柳树， 6 棵大小不同的杨
树，载到 5 坑内，一坑一棵， 5 个坑内至多在两棵柳树， 5 个坑都载了，有多少种载法？
(A) 281 (B) 200 (C) 81 (D)275• [古典概率 ] 1 ．现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有
三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？ [ ]
(A) 第一个人 (B) 第二个人 (C) 第三个人 (D) 一样大
120281)( 55
36
25
46
15
56 PCCCCC
2 ．袋中有 3 个黄球 ,2 个红球， 1 个篮球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取得红球的概率是（ ）
(A) (B) (C) (D) 3 (2003) 一批产品的次品率为 0.1 ，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 。（ 0.43 ）
A ． 0.271 * ， B ． 0.243 ， C ． 0.1 ， D ． 0.081
15
1
30
113
1
3
2
1 ．已知集合 ，则 是 [ C] (A) (B) (C) (D)空集 2 ．函数 的定义域是 [B ] (A) (B) (C) (D) 3 ．已知 是奇函数，定义域为 ，又在区
间 上是增函数，且 则满足 的 x 的取值范围是 [ C ]
(A) (B) (C) (D)
},{},2,1,1{ 2 AxxyyBA BA
}4,2,1{ {1,4} }1{
x
xy
2
)1(log2
]2,1( )2,1( ),2( )2,(
)(xf }0,{ xRxx
),0( 0)1( f 0)( xf
),1( )1,0(
),1()0,1( ),1()1,(
4 ．已知函数 的反函数为 ，则 的解集是 [ B ]
(A) (B) (C) (D) 5 ．已知复数 满足 ，那么复数 z在复
平面上对应点 的轨迹是 [D ] (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 6 ．学校要选派 4 名爱好摄影的同学中的 3 名
分别参加校外摄影小组的 3 期培训 (每期只派1 名 )，甲、乙两位同学都不能参加第 1 期培训，不同的选派方式共有 [ D ]
(A) 6种 (B) 8种 (C)10种 (D)12种
12)( xxf )(1 xf 0)(1 xf
)2,( )2,1( ),2( )1,(
)2
1,,( xRyxyixz xz 1
),( yx
7 ．某科技小组有 6 名同学，现从中选出 3 人去参观展览，至少有一名女生入选时的不同选法有 16种，则小组中的女生人数为 [ A ]
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 8 ．设 ，则 S等于 [ A ] (A) (B) (C) (D) 9 ．若 的展开式中第三项的系数为 36 ，则
正整数 n的值是 9 .
34)1(6)1(4)1( 234 xxxxS
4x 14 x
2)2( x 44 xnxx )(
10 ．等比数列 的公比为 ，则“ ”是“对于任意正整数 n，都有 ”的 [ A ]
(A)充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
11 ．在各项都是正数的等比数列 中，公比 并且 成等差数列，则公比的值为 ( )
12 ．某企业 2002 年 12 月份的产值是这一年1 月分产值的 p倍，则该企业 2002 年年度产值的月平均增长率为 [ D ]
(A) (B) (C) (D)
}{ na q 1,01 qa
nn aa 1
}{ na 1q
532 ,, aaa2
15
1pp
11
1p11 p 111 p
13 ．实数 满足 ，集合 ，则集合 的子集共有 [ D ] (A)2 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)16 个 14 ．有 11 个球，编号为 ，从中取出 5
个，此 5 个球编号之和为奇数的概率是 [ C ] (A) 0.49 (B) 0.50 (C) 0.51 (D) 0.52 15 ．如果数列 满足： ，则 等于 [ A ] (A)19800 (B)20000 (C)20200 (D)20400
ba, 0 ba },,0{ baA
},,{ AvuuvxxB B
11,10,,3,2,1
}{ na naaa nn 4,0 11 100a
16 ．已知不等式 的解集是 ， 则 等于[ C ] （ 0.63 ）
(A) -4 ， (B) 14 ， (C) -10 ， (D) 10 17 ．若不等式 的解集是区间 ，则 a等于 [
A ] (A) -4 ， (B) -2 ， (C) 0 ， (D) 2 18 ．若 ，且 ，则 [ C ] (A) (B) (C) (D)
022 bxax )3
1,
2
1(
ba
62 ax )2,1(
x
xxf
1)(
xxgf ))(( )(xg
1xx
1xx
1
1
x x1
1
19 ．某地现有人口为 100,000, 预计下一年将增加人口 1000 。若该地人口后一年的增加数是其前一年增加数的 95% ，则该地从现在起 25 年后的人口至少是 [ C ]
(A) (B) (C) (D) 20 ．设实数 满足 ，且 则不一定成
立的是 [ C ] (A) (B) (C) (D)
95.01
95.011000
25
95.01
95.011000
24
95.01
95.011000100000
25
95.01
95.011000100000
24
cba ,, cba 0 cba
acab 0)( abc
22 cbab 0)( acac
第三部分 几何（与三角） 第三部分 几何（与三角） • [ 考试要求 ] 三角形、四边形、圆形以及（正）多边形
等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；
长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用；
三角学；以及（平面）解析几何方面的知识。• [ 内容综述 ]• 一、平面几何图形
1 ．三角形 （ 1 ）三角形的各元素（边、角、高、周长、面积 ）
（ 2 ）三角形各元素的计算公式 （ 3 ）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）
2 ．四边形 （ 1 ）矩形（正方形）；（ 2 ）平行四边形
（菱形）；（ 3 ）梯形
cbapcpbpappCabahs 2,))()((sin2
1
2
1
222 bac
hbas )(2
1
3 ．圆和扇形（ 1 ）圆 ( 周长、面积、圆周角、圆心角 )（ 2 ）扇形 4 ．平面图形的相似关系 注 正多边形、椭圆• 二、空间几何图形 1 ．长方体（正方体） 2 ．圆柱体 3 ．圆锥体
22 ,l R s R
RlRls 21
abn )2(
22 ,s Rh V R h
2 2 21,
3s R h R V R h
4 ．球 • 三、三角函数 1 ．定义（符号，特殊角的三角函数值） 2 ．三角函数的图像和性质（微积分） 3 ．常用的三角函数恒等式
32
3
44 RVRs
22
22
22
csccot1
sectan1
1cossin
1cos2sin21sincos2cos
cossin22sin
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
2222
sin)sin(,sin)
2cos(,cos)
2sin(
4. 反三角函数
•五、平面直线 1 ．直线方程（点斜式，斜截式、截距式、一般式）
),0(,cotarc);2
,2
(,arctan
],0[,arccos];2
,2
[,arcsin
xyxy
xyxy
0
, 000
0
cbyax
bkxy
xxkyykxx
yy
2 ．两条直线的位置关系（相交，平行，垂直，夹角）
3 ．点到直线的距离
注 直线与圆等平面图形的位置关系• 六、圆锥曲线 1. 圆 2 ．椭圆 （ 1 ）定义；（ 2 ）方程；
1 1 1 1: 0; : 0l ax by c l a x b y c
0 00 0 2 2
0, ( , ),ax by c
ax by c x y da b
220
20 )()( Ryyxx
)0,()0,(,,1 2222
2
2
2
ccbacb
y
a
x
（ 3 ）图像；（ 4 ）离心率； （ 5 ）准线 3 ．双曲线 （ 1 ）定义；（ 2 ）方程；
（ 3 ）图像；（ 4 ）离心率； （ 5 ）渐近线； （ 6 ）准线
1a
ce
c
ax
2
)0,()0,(,,1 2222
2
2
2
ccbacb
y
a
x
1a
ce
xa
by
c
ax
2
4 ．抛物线 （ 1 ）定义；（ 2 ）方程；
（ 3 ）图像；（ 4 ）离心率 ； （ 5 ）准线• [ 典型例题 ] 1 ．已知 ，求 分析：由于
2 2 , ( ,0) , ,2 2
p py px x
1e
}sintan{},]2,0[,cossin{ xxxBxxxxA BA
}4
5
4{}]2,0[,cossin{
xxxxxxA
所以 2 ．设 ， ，求 （ 1 ） 的最大值；（ 2 ） 时的 x 值。 分析：由于
所以 的最大值为 ； 当 时，有 ，即
})1(2)2
32()12()
2
12({}sintan{ kxkorkxkxxxxB
{ }2
A B x x
0,022 ba xbxaxf cossin)(
)(xf 0)( xf
,)sin(
cossin
cossin)(
22
2222
22
xba
xba
bx
ba
aba
xbxaxf
)(xf 22 ba
0)( xf kx )(1
kx
3 ．设三角形的三条边分别为 ，面积为 已知 ，求 。
分析：根据 及 可得 所以 当 时，有 ； 当 时，有 。
cba ,, S
35,5,4 Sba c
CabS sin2
1 35,5,4 Sba
2
3sin C
2
1cos C
2
1cos C 21cos2222 Cabbac
2
1cos C 61cos2222 Cabbac
4 ．如果 与 均是锐角 , 且 那么 ( ) 分析：
4
4
1)
4sin(,
5
2)sin(
)4
sin(
20
21152
.20
21152
4
1
5
21
4
15
5
2
)4
sin(cos()4
cos()sin(
]4
sin[)4
sin(
）（）（
5 ．已知直线 ， 求点 关于 的对称点。 分析：设所求的点为 ，则直线 与直线 垂直，
且线段 的中点在直线 上，所以
解得
0143: yxl
)0,2(A l
),( YXB AB lAB l
,012
14)2(
2
13
,3
4
2
YX
X
Y
5
8,
5
4 YX
6 ．双曲线 的右准线与两条渐近线交于 两点，若以 为直径的圆经过右焦点 F，求该双曲线的离心率。
分析：双曲线 的右准线为 ，两条渐近线方程为 ，所以线段 AB 的长度为 。根据题意可知
即 ， 所以 从而 ，因此
)0,0(12
2
2
2
bab
y
a
x
BA, AB
)0,0(12
2
2
2
bab
y
a
x
c
ax
2
xa
by
c
ab2
c
ac
c
ab 2
c
b
c
ac
c
ac
c
ab 2222
ba
abac 222 2a
ce
7 ．写出抛物线 的焦点坐标和准线方程。 分析：将 化为标准形式为 所以焦点坐标为 ,准线方程为 。• [样题与真题 ]• [ 平面图形 ] 1 ．一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？ [ ]
(A) 5, (B) 6 ， (C) 7 ， (D) 8
xyy 222
xyy 222 )2
1(2)1( 2 xy
)1,0( 1x
2. 如图，弦长 ，则它们所对的圆周角哪个大？[ ]
(A) (B) (C) 一样大 (D)无法确定
3 ．如图，一个长为 的梯子 AB ， A 端只能在竖直墙面上滑动， B 端只能在地面上滑动，则梯子与墙面和地面所围成的面积最大时， 角应为多大？
(A) (B) (C) (D)
ba
l
。30 。45 。60 。75
4 ．如图，矩行与椭圆 相切，则椭圆面积与矩形面积之比和 相比较谁大？ [ ]
(A) 前者 (B) 后者 (C) 一样大 (D)无法确定 5 ．一个三角形的边长分别为 4,5,7 ，则此三
角形的面积为 [ ] (A) (B) (C) (D) 6 ．两个相似三角形的相似比为 1:2 ，则它们
的面积比应为 [ ] (A) (B) (C) (D)无法确定
12
2
2
2
b
y
a
x
4
63 64 34 33
2:1 3:1 4:1
7 ． 的三条中线交于点 ，如图所示，则四边形 的面积为 面积的（ ）
(A) (B) (C) (D) 8 ．（ 2003 ）如图，正方形 的面积为
1 ， E和 F分别是 AB 和 BC 的中点，则图中阴影部分的面积为 。（ 0.53 ）
A B C D
ABC OODCE ABC
2
13
1
4
1
6
1
ABCD
2
14
3
3
2
5
3
• [空间几何体 ] 1 ．（ 2003 ）已知两平行平面 之间的距离
为 ， 是平面 内的一条直线，则在平面内 与直线 平行且距离为 的直线有 。（ 0.69 ）
A ． 0 条 B ． 1 条 C ． 2 条 * D ． 4 条 2 ．（ 2003 ）正圆锥的全面积是侧面积的 倍，
则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为 。（ 0.48 ）
A ． B ． C ． D ．
,
)0( dd l
l d2
4
5
2
3
6
• [ 平面解析几何 ] 1 ．直线 与圆 的位置关系为 [ ] (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D)无法确定 2 ．已知三角形 的三个顶点的坐标分别为
，则其周长是 [ ] (A) (B) (C) (D)
1xy 3)3()1( 22 yx
OPQ
)2,1(),5,3(),0,0( QPO
511 51334
5534 53453
3 ．（ 2003 ）过点 作圆 的切线 PA 和PB ， A,B 是两个切点，则 AB 所在直线的方程为 。（ 0.77 ）
A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 2003 ）设点 在圆 的内部，则直线 和圆 。（ 0.32 ）
A ．不相交。 * B ．有一个交点。 C ．有两个交点且两交点间的距离小于。 D ．有两个交点且两交点间的距离大于。
)2,0(P 122 yx
2
1x
2
1y
2
1x
2
1y
),( 00 yx 122 yx
100 yyxx
• [ 三角函数 ] 1 ．当 时，确定 与 1 的大小关系 [ ] (A) 前者大 (B)后者大 (C) 一样大 (D)无法确定 2 ． 的值为 [ ] (A) (B) (C) (D) 3 ． 的值为 [ ] (A) (B) (C) (D)
)2
,0(
xx
x
tan
sin
))3
(arccos(sin
3
2 6
1
6
5 6
1
)1110sin( 。
2
1
2
1
2
32
3
• [模拟练习 ] 1 ．极坐标系中，点 关于直线 对称点的坐标为 [ A ]
(A) (B) (C) (D) 2 ．椭圆 的准线方程为 [C ] (A) (B) (C) (D) 3 ．若不论 k为何值，直线 与双曲线 总有
公共点，则 b的取值范围是 [ B ] (A) (B) (C) (D)
)2
,2( 1cos
)4
,22( )
4,2(
)0,0( )0,2(
1144169
22
yx
5
169y
13
25y 5
169x
13
25x
bxky )2( 122 yx
)3,3( ]3,3[ ），（ 22 ]22[ ，
4 ．若点 在曲线 上，则使 取的最大值的 p点的坐标是 [A ]
(A) (B) (C) (D) 5 ．若直线 与两坐标轴的交点为 A,B ，则
以线段 AB 为直径的圆的方程是 [ A ] (A) (B) (C) (D)
),( yxP
sin54
,cos53
y
x 22 yx
)8,6( )8,6( )4,3( )4,3(
01243 yx
03422 yxyx
03422 yxyx
043422 yxyx
083422 yxyx
6 ．已知 是椭圆 的两个焦点，点 B 是短轴的一个端点，则 的面积的最大值为 [ B ]
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7 ．圆锥与圆柱的底面半径都是 r，高都是 h,
已知它们的侧面积相等，则 （ ） 。 8 ．过原点且与圆 截得的弦长为 的一条直线方程是 [ D ]
(A) (B) (C) (D)
21 ,FF )20(14 2
22
bb
yx
21BFF
h
r
1
3
0222 xyx 3
xy xy 3
xy xy3
3
9 ．在 中， ，则 的值为 [ A ] (A) (B) (C) (D) 10 ．两圆 与 的位置关系是 [ B ] (A) 相交 (B) 内切 (C)外切 (D) 内含 11 ．已知过原点的直线与圆 相切，
则直线的倾斜角为 [ A ] (A). (B) . (C) . (D)
ABC 4:2:3sin:sin:sin CBA Ccos
4
1 4
13
2
3
2
sin 1
012822 xyx
6
5
6
或 4
3
4
或
3
2
3
或 6
5
6
或
12 ． 是双曲线 的焦点，点 P在双曲线上。
若 P到 的距离为 9 ，则 P到 的距离为[ B ]
(A) 1. (B) 17. (C)1 或 17. (D) 18. 13 ．平面上四个点 A,B,C,D ，若满足
则 是 [ B ] (A) 直角三角形 (B) 等腰三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 等边三角形
21 ,FF 12016
22
yx
1F 2F
0)()2(
ACABDADCDB
ABC
14 ．圆 上与直线 的距离等于 的点共有 [C] （ 0.32 ）
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 15 ．如果直线 过椭圆 的左焦点
和短轴上的顶点 ，则该椭圆的离心率等于 [ D ] （ 0.612 ）
(A) . (B) . (C) . (D) . 16 ．直线 的极坐标方程为 [ D ] (A) . (B) . (C) . (D) .
034222 yxyx 01 yx
2
022 yx )0(12
2
2
2
bab
y
a
x
)0,( cF ),0( b
5
2
5
32
5
5
5
52
cxy
c ccos
csin ctan
17 ．不能铺满一个平面的图形是 [ C ] A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形 18 ．设 P是正方体 的侧面 上的一动点，P到 AB 与 的距离相等，则点 P所在的曲线是[ C ]
A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 19 ．在长度为 的线段中，任取三条为边能够构成三角形的个数是 [ C ]
A ． 3 B ． 5 C ． 7 D ． 10
DCBAABCD BBAA
CB
11,9,7,5,3,1
20 ．若对于圆 上的任意点 ，不等式 总成立，则 r的取值范围是 [ A ]
A ． B ． C ． D ． 21 ．一平面截一球得到直径是 6 的圆面，球心到这个平面的距离是 4 ，则该球的体积是(D) 。
A B C D
1)1( 22 yx ),( yx
ryx
21 r 21 r
21 r 21 r
3
100
3
125 3
250 3
500
第四部分 一元函数微积分第四部分 一元函数微积分• [ 考试要求 ] 函数及其图形：集合，映射，函数，函数
的应用；极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小与无穷大。
导数与微分：导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分。微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。 积分：不定积分和定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用。
• [ 一元微积分内容总结 ]• 一、两类概念 1 ．反映函数局部性质的概念
极限、连续、可导（导数）、可微（微分）、极值（点）等
2 ．反映函数整体性质的概念 有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、
最值、原函数、定积分等• 二、三种运算
1 ．极限运算常用方法：四则运算、重要极限、等价无
穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则、定积分定义等
2 ．求导运算 需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四
则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式
3 ．积分运算 （ 1 ）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法
（ 2 ）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法
• 三、几个应用 1 ．单调性、极值、最值问题 2 ．凹凸性、拐点问题 3 ．平面图形的面积问题
• [ 一元微积分中的常见问题 ] 1. 求函数表达式的问题 （ 1 ）已知 , 求 的表达式。 （ 2 ）已知 求 （ 3 ） 求 （ 4 ）设 ，求 （ 5 ）已知 ，求
1)1( 2 xxf )(xf
.2,2
,2,4)(
,1,0
,1,1)(
2
x
xxxf
x
xxg ))(( xgf
,,(cossin)( ）是不同时为零的常数baxbxaef x )(xf
Cxdxxxf arctan)( dxxf )(
1
10 )(21)( dttfxf )(xf
2.研究函数的奇偶性的问题 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）研究函数 的奇偶性。 3.研究函数在一点的极限存在性、连续性、可导性、导函数的连续性的问题
（ 1 ）求极限 （ 2 ）指出函数 的间断点及其类型。
)(2
1)( xx eexf
)1ln()( 2xxxf
x dtttxf0
2 )1ln()(
x
x
e
e
x
x
x
sin
1
2lim
4
1
0
)1(
)1()(
2
xx
xxxf
（ 3 ）已知函数 在 上连续，求 a， b的值。
（ 4 ）讨论函数 在 处的连续性、可导性。
（ 5 ）设 在 可导，则 a， b满足 [ ] （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）
1lim)(
2
212
n
n
n x
bxaxxxf ),(
10
11
1sin)1()(
2
x
xx
xxf 1x
0
01
sin)(2
xbax
xx
xxf 0x
0,0 ba 1,1 ba
0, ba为任意常数 1, ba为任意常数
4. 有关无穷小比较的问题 （ 1 ）若 ，求 k与 a的值。 （ 2 ）已知 ，则当 时，下列函数中与
是等价无穷小的是 [ ] A B C D （ 3 ）确定 a， b的值，使
0)tan(
1lim
cos1
0
a
x
ek
x
x
2
0)1ln()( x dttxf 0x
)(xf
2x 3x2
4x 4x
2
1
)1ln(
sinlim
30
x
b
xdt
t
t
xax
5. 有关导数概念的问题 （ 1 ） （ 2 ）设 在点 某邻域内可导，且当时 ，
已知 ，求极限
（ 3 ）已知 ，求
h
hxfhxfh 2
)()(lim 00
0
)(xf 0x 0x0)( xf 2)0(,0)0( ff
。xx
xf sin
1
0))(21(lim
0,0
,0,1
sin)(4
x
xx
xxf )0(f
（ 4 ）已知 ，且 证明：存在 ，使得 。
6. 求简单复合函数、简单隐函数、简单参数方程确定的函数的导数和微分的问题
（ 1 ） （ 2 ）已知函数 由 确定，求曲线 在 处的切线方程与法线方程。
],[)( baCxf 0)(,0)( bfaf
),( ba ]),[()()( baxxff
)ln(arctan xy
)(xyy 0 xyee xy
)(xyy 0x
7. 求不定式极限的问题 （ 1 ）求极限值，设 ， 求 （ 2 ）求待定参数值。 8.研究函数单调性、求函数极值的问题 （ 1 ）单调性、极值问题， 求函数 的单调区间和极值点。 （ 2 ）最值问题，
x t dtexf0
2)(
h
hxfhxfh
)()(lim
0
21
2
x
xy
（ 3 ）证明不等式问题，
（ 4 ）证明等式问题， 设函数 在 上可导、单增， ，证明
24)1arctan(
222
xx
xx
x
)( baeba ab
)31(1lnln)3(ln1 222 exxx
)(xf ],0[ a 0)0( f
)()()()(
01
0aafdyyfdxxf
afa
（ 5 ）研究方程根的问题。 讨论方程 实根的情况。 9 ．研究函数的凹凸性、求函数拐点的问题 （ 1 ）当 a， b为何值时，点 可能为
的拐点，此时函数的凹凸性如何？ （ 2 ）设函数 在 上二阶连续可导，且 ，
试判断 是否为 的极值点？是否为 的拐点？
033 Axx
)3,1(23 bxaxy
)(xf ]1,1[
0)0( f 1)(cos1
lim0
xfx
x
x
0x )(xf )(xf
10 ．不定积分（凑法、分部积分法）dxexx x )cos(sin
dxx
x2
3
1 dxe xx ln23
dx
xx
x
)1(
arctan xe
dx
1
dxx
x
11
11
24 1 xx
dx dx
x
x)ln(ln dxx)sin(ln
dxe
ex
xarctan
11 ．定积分求值的问题 （ 1 ）定积分性质， （ 2 ）分段函数， （ 3 ）绝对值函数， （ 4 ）带有根号的函数， （ 5 ）已知一个积分值，求另一个积分值，
kdxxkdxxkdxxk 2coscossin100
20
2
（ 6 ）已知一个积分方程，求一个积分值。 已知 ，求 的值。
已知 ，求 。 已知 ，求 。 已知 ，求 ，
1)(1
0 dxxf dxxxf20
2 2sin)(cos
dtt
eA
t
1
01dt
t
et
1
0 2)1(
2 2
1)(
x t dtexf 1
0)( dxxxf
1
02 )()( dxxfexxf x
1
0)( dxxf )(xf
12 ．有关变限定积分函数的问题 （ 1 ）求导数， 已知函数 由方程 确定，求 。 已知 ，求 求极限
（ 2 ）研究奇偶性、单调性、凹凸性，求极值点和拐点
)(xyy 0cos1 sin
022
dttdtey
xt
dx
dy
x
dtxtfxF0
)()( )(xF
x
dtex t
x cos1
)1(lim 0
0
2
13 ．定积分的几何应用问题（面积与旋转体的体积）
（ 1 ）切线、法线，（ 2 ）最大、最小面积。 （ 3 ）求由 及 在 处的法线所围图形
的面积及此图形绕轴旋转所得旋转体的体积。 （ 4 ）求曲线段 的一条切线，使该切线与直线 及此曲线段所围平面图形的面积最小。
0,0, xyey x xey 1x
)62(,ln xxy
6,2 xx
• [样题与真题 ]• [函数 ] 1 ．设函数 ，则 [ ] 。 2 ．函数 是 [ ] 。（函数 :简单性
质）• [函数在一点的性质 ] 1 ．设函数 ，则 在点 处 [ ] 。
（极限、连续、导数定义）
1,0,1
)(
xxx
xxf )
)(
1(
xff
)1ln()( 2 xxxf
0,0
,01
sin)(2
x
xx
xxf ，)(xf 0x
2 ．（ 2003 ）如果 在 处可导，
则极限 。（ 0.44 ） A ．等于 B ．等于 1 C ．等于 0 * D ．不存在• [连续函数性质 ] 1 ．（ 2003 ）甲乙两人百米赛跑成绩一样，那么 。
（ 0.74 ） A ．甲乙两人每时刻的瞬时速度必定一样。 B ．甲乙两人每时刻的瞬时速度都不一样。 C ．甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样。 * D ．甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样。
)(xf 0x)()()( 000 xfxxfxf
x
xdfxf
x
)()(lim 00
0
)( 0xf
• [极限运算 ] 1 ．极限 [ ] 。（极限运算） 2 ． [ ] 。（极限运算） 3 ．极限 [ ] 。（极限运算）• [导数运算 ] 1 ．设函数 ，则 [ ] 。（求导运算） 2 ．设函数 ，则 [ ] 。（求导运算）
bx
axx sin
sinlim
0)0( b
21
1lim
xx
xx
xee xx
x sin
2lim
0
axey )(ny
)1ln( 2xy )0(y
• [导数应用 ] 1 ．（ 2003 ）设 ，则 的极值点的
个数是 。（ 0.32 ） A ． 0 B ． 1 * C ． 2
D ． 3 2 ．（ 2003 ）方程 的实根个数是 。
（ 0.47 ） A ． 1 B ． 2 * C ． 3 D ． 4• [积分运算 ]
x dtttxf 02 )1()( )(xf
xxxx cossin2
1 ．如果函数 在区间 上连续，且 则 [ ] 。（积分运算）
2 ． （ C 为常数）。（积分运算） 3 ． (2003) 设 ，则 。（ 0.43 ） A ． B ． C ． D ． *
Cdxe xx ][ln2
0 )sin(cos dxxI
1I 0I
10 I 0I
)(xf ]1,0[ adxxf 10 )(
10 )(
1dxxf
x
第五部分 线性代数第五部分 线性代数• [ 考试要求 ] 行列式：行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的计算。 矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。
向量：维向量，向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩。
线性方程组：线性方程组的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解。
特征值问题：特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计算，阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。
• [线性代数中的常见问题 ]• 一、行列式求值。 1 ．行列式
展开式中 的系数是 。（ 0.34 ） A ． 2 * B ． -2 C ． 1 D ． -1
xx
x
x
xx
10
020
111
212
4x
2 ．设行列式 第 2 行各元素的代数
余子式之和 (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) -2
3111
1202
2210
0121
D
24232221 AAAA
3 ．设 A 是三阶方阵，若行列式 ，则 （ 1 ） A 中必有一零行； （ 2 ） A 中必有两行的对应元素成比例； （ 3 ）必有非零矩阵 B ，使得 ； （ 4 ）对任给的 3 维列向量 b，方程组 没有惟一解；
（ 5 ） A 中必有一行可用另外两行的线性组合表示。
上面的命题中，正确的共有（ ） (A)1 个 (B)2 个 (C) 3 个 (D) 4 个
0A
OAB bAx
• 二、矩阵运算。 1 ．设 A ， B 均是 n阶矩阵，则 （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） ； （ 4 ） 。 上述命题中，正确的命题有（ ） (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个
222 2)( BABABA
22))(( BABABA
))(())(( EAEAEAEA kllk AAAA
2 ．设
则必有 。（ 0.39 ） A ． B ． C ． D ． 3 ．已知 ，
求
132
011,
13
02
11
BA
BAAB TT ABAB
8BA 0AB
XABBXA
100
000
001
,
101
020
201
BA
9999 , XX
4 ．设 ， 则 （ ） (A) E (B) -E (C) O (D) A 5 ．已知 ， ，求 。 6 ．设 A 是一个 n阶方阵，且 A 的行列式
则 [ ] (A) (B) (C) (D) 7 ．已知 ，求
T
2
1
2
1
2
1
2
1，，， TT EBEA 2,
AB
nnRA 0, AIAAT IA
0aA
*A
aa
1 1na na
3,2,, BARBA nn 1*2 BA
• 三、求逆矩阵。 （ 1 ）公式，（ 2 ）初等变换， （ 3 ）定义，已知 ，证明 可逆，并
求 。 （ 4 ）性质，已知 都可逆，证明 也可逆，
并求 。
0222 IAA IA1)( IA
BABA ,, 11 BA111 )( BA
• 四、向量组线性相关、线性无关的概念。 1 ． n 维向量组 线性无关的充分是
[ ] (A) 都不是零向量 (B) 中任意两个向量都不成比例 (C) 中任一个向量都不能由其余向量线
性表出 (D)
s ,,, 21
s ,,, 21
s ,,, 21
s ,,, 21
ns
•五、矩阵的秩、向量组的秩。 1 ． A 为阶非零矩阵，其伴随矩阵 的秩
则 等于 。（ 0 。 22 ） A ． 1 或 2 * B ． 1 或 3 C ． 2 或 3 D ．
3 或 4 2 ．设
若 ，则 a的值为 [ ] (A) (B) (C) (D)
*A 0)( * Ar)(Ar
305
11
132
aA
2)( Ar
6a 6a
0a 1a
3 ．设 A ， B 都是 n阶非零矩阵，且 ，则 A和 B 的秩 [ ]
(A) 必有一个等于零 (B) 都小于 n (C) 一个小于 n，一个等于 n (D) 都等于 n 4 ．若向量组的秩为 s，则（ ）。 (A) 向量组中只有一个极大线性无关组 (B) 向量组中任何 s个向量都线性无关 (C) 向量组中任何 s个线性无关向量构成的向
量组都是一个极大线性无关组 (D) 向量组中任何 s-1 个向量都线性无关
0AB
5 ．设 是 3 维非零向量。 （ 1 ）如果 不能由 线性表出，则 线性相
关； （ 2 ）如果 ，则 可由 线性表
出； （ 3 ）如果 ，则 可由 线性表出； （ 4 ）如果 不能由 线性表出， 不能由 线
性表出，则 可由 线性表出。 上述命题中，正确命题的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4321 ,,,
4 321 ,, 321 ,,
),,,(),,( 43211321 rr 4
321 ,,
3),,( 321 r 4 321 ,,
3 21, 4
32 , 1 432 ,,
•六、求向量组的秩与极大线性无关组。 1 ．设向量组
的一个极大线性无关组是 [ ] (A) (B) (C) (D) 2 ．已知 线性相关， 线性无关，证明： 1 ） 可由 线性表出； 2 ） 不能由 线性表出。
TTTT }0,2,2,2{,}1,1,3,2{,}1,1,1,0{,}0111{ 4321 ，，，
1 41 ，
21 ， 321 ，，
321 ,, 432 ,,
1 32 ,
4 321 ,,
3 ．已知 。 （ 1 ）当 a为何值时，向量组 线性相关？ （ 2 ）当 a， b为何值时， 可由向量组 线
性表出。
TTTT ba )7,4,,1(,)1,,1,1(,)5,3,1,1(,)3,2,0,1( 321
321 ,,
321 ,,
•七、线性代数方程组。 1 ． A 为 的非零矩阵，方程组 只有零
解的充分必要条件是 。（ 0.38 ） A ． A 的列向量组线性无关。 * B ． A 的列向量组线性相关。 C ． A 的行向量组线性无关。 D ． A 的行向量组线性相关。
nm 0Ax
2 ．当 a=[ ] 时，方程组
有非零解。 (A) 1 (B) 0 (C) 6 (D) -6 3 ．设 A 为 矩阵， B 是 矩阵，则齐次线性
方程组 （ ）。 (A) 当 时只有零解 (B) 当 时必有非零解 (C) 当 时只有零解 (D) 当 时必有非零解
03
02
0
321
321
321
xxx
xxx
xaxx
nm mn0ABX
mn mn mn mn
4 ．设 是线性方程组 的两个不同的解， 是方程组导出组 的基础解系，则程组 的通解是 [ ]
(A) (B) (C) (D) 其中 是任意常数。
21 ， bAx
21 ， 0AxbAx
2211212
1 kk ）（
)(2
12121 k）（
）（）（ 21211212
1 kk
2211212
1 kk ）（
21,, kkk
5 ．设 是四元非齐次线性方程组 的三个解向量，且秩 ，
k是任意常数，则 的通解是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
321 ,, bAX 3)( Ar
TT )5,4,3,2(2,)4,3,2,1( 3221
bAX
2
1
0
1
4
3
2
1
k
9
7
5
3
4
3
2
1
2
1k
2
1
0
1
1
1
1
1
k
3
1
0
1
1
1
1
1
k
6 ．设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，试证明 也是齐次线性方程组 的一个基础解系。
7 ．已知方程组
有无穷多个解，求 a的值 , 并求方程组的通解
8 ．设 A 为m阶方阵， B 为 矩阵， ， 证明 A 为单位阵。
321 ,, 0AX
3132121 2,,
0AX
42
4
321
2321
321
xxx
axaxx
axxx
mn mBr )(
BBA
•八、特征值与特征向量问题 1 ．已知三阶矩阵M的特征值为 它们对应的特征向量为
则矩阵M为 。（ 0.44 ） A B C D
1,0,1 321
TTT )1,0,0(,)0,2,0(,)0,0,1( 321
100
000
010
100
100
011
001
000
100
100
000
001
2 ．向量 是矩阵
的属于特征值 [ ] 的特征向量。 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 3 ．设 A 是 n阶可逆矩阵，若 A 与 B 相似，
试证 与 相似， 与 相似。
Tx }1,0,3{
210
010
321
A
1A1B mA mB
• [样题与真题 ]• [ 行列式 ] 1 ．设行列式 第 2 行各元素的代数余
子式之和 [ ] (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) -2 2 ．设 A 是一个 n阶方阵，且 A 的行列式
则 [ ] (A) (B) (C) (D)
3111
1202
2210
0121
D
24232221 AAAA
0aA
*A
aa
1 1na na
3 ．（ 2003 ）行列式 展开式中
的系数是 。（ 0.34 ） A ． 2 * B ． -2 C ． 1 D ． - 1• [矩阵 ] 1 ．设 ，若 ，则 a的值为 [ ] (A) (B) (C) (D)
xx
x
x
xx
10
020
111
2124x
305
11
132
aA 2)( Ar
6a 6a
0a 1a
2 ．设 A ， B 都是 n阶非零矩阵，且 ，则A 和 B 的秩 [ ]
(A) 必有一个等于零 (B) 都小于 n (C) 一个小于 n，一个等于 n (D) 都等于 n 3 ．（ 2003 ）设 ， 则必有 。（ 0.39 ） A ． B ． C ． D ． *
0AB
132
011,
13
02
11
BA
BAAB TT ABAB
8BA 0AB
4 ．（ 2003 ） A 为 4 阶非零矩阵，其伴随矩阵的秩 ，则 等于 。（ 0 。 22 ）
A ． 1 或 2 * B ． 1 或 3 C ． 2 或 3 D ． 3 或 4
• [向量组 ] 1 ． n 维向量组 线性无关的充分条件是 [
] (A) 都不是零向量 (B) 中任意两个向量都不成比例 (C) 中任一个向量都不能由其余向量线
性表出 (D)
*A0)( * Ar )(Ar
s ,,, 21
s ,,, 21
s ,,, 21
s ,,, 21
ns
2 ．设向量组
的一个极大线性无关组是 [ ] (A) (B) (C) (D) • [ 方程组 ] 1 ．当 a=[ ] 时，方程组 有非零解。
(A) 1 (B) 0 (C) 6 (D) -6
TTTT }0,2,2,2{,}1,1,3,2{,}1,1,1,0{,}0111{ 4321 ，，，
1 41 ，
21 ， 321 ，，
03
02
0
321
321
321
xxx
xxx
xaxx
2 ．设 是线性方程组 的两个不同的解， 是方程组导出组 的基础解系，则方程组 的通解是 [ ]
A. B. C. D. 其中 是任意常数。
21 ， bAx
21 ， 0Ax
bAx
2211212
1 kk ）（
)(2
12121 k）（
）（）（ 21211212
1 kk
2211212
1 kk ）（
21,, kkk
3 ． (2003)A 为 的非零矩阵，方程组 只有零解的充分必要条件是 。（ 0.38 ）
A ． A 的列向量组线性无关。 * B ． A 的列向量组线性相关。 C ． A 的行向量组线性无关。 D ． A 的行向量组线性相关。
nm 0Ax
• [特征值、特征向量 ] 1 ．向量 是矩阵 的属于特征值 [
] 的特征向量。 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2 ．设
其中彼此相似的矩阵是 [ ] (A) A ， B (B) B ， C (C) A ， C (D) A ， B ， C
Tx }1,0,3{
210
010
321
A
000
110
121
A
010
110
001
,
000
010
001
CB
3 ．（ 2003 ）已知三阶矩阵M的特征值为 它们对应的特征向量为 则矩阵为 。（ 0.44 ） A ． B ．
C ． D *
1,0,1 321
TTT )1,0,0(,)0,2,0(,)0,0,1( 321
100
000
010
100
100
011
001
000
100
100
000
001
