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Geometría

GEMA1000

Rectas, Ángulos y Triángulos

• Puntos– Un lugar en el espacio.

– No tiene profundidad, largo, ni ancho.

– Los representamos con un dot ( ∙ ) y letras mayusculas.

• Rectas– Un conjunto de puntos que se extiende infinitamente

en ambas direcciones.

– No tiene profundidad, ni ancho, pero si largo.

– Las representamos con letras minúsculas o utilizando dos de los puntos en la recta.


• Segmento– Un pedazo de recta con principio y fin.

• Rectas paralelas– Rectas que están en un mismo plano y nunca se

cruzan.

– Se utiliza el símbolo ǀǀ para indicar que dos rectas son paralelas.

• Rayo– Es parte de una recta con un extremo y que se

extiende infinitamente en una dirección.


• Ángulo– Figura formada por dos rayos

(lados) con un extremo en común llamado vértice.

– Un ángulo puede ser llamado de las siguientes tres formas:

1. Utilizando una letra o dentro del ángulo.

2. Utilizando la letra del vértice.

3. Utilizando tres letras, una de cada rayo, con la letra del vértice en medio.


• Identifica en la figura provista lo siguiente:a. Tres puntosb. Dos rectasc. Tres segmentosd. Un par de rectas que se intersecane. Un rayo

A B

D


• Utilizando la figura provista:

a. Nombra el ángulo en tres formas diferentes.

b. Nombra el vértice del ángulo.

c. Nombra los lados del ángulo.

Z

YX β


• La medida de un ángulo es usualmente dado en grados.

• Dado que en un círculo hay 360°, un grado 1/360 de un círculo.

• Para medir ángulos se utiliza un transportador


• Tipos de ángulos

– Ángulo agudo

• Ángulo que mide más de 0° y menos de 90°

– Ángulo obtuso

• Ángulo que mide más de 90° y menos de 180°

– Ángulo recto

• Ángulo que mide 90°

– Ángulo llano

• Ángulo que mide 180°


• Clasifica los siguientes ángulos


• Ángulos Complementarios

– Son dos ángulos cuya suma es 90°.

– Si y son complementarios entonces

o equivalentemente 90m A m B

A B

90m A m B


• Ángulos Suplementarios

– Son dos ángulos cuya suma es 180°.

– Si y son complementarios entonces

o equivalentemente 180m A m B

A B

180m A m B


• Identifica los ángulos complementarios.

62°

28°62°

28°

1

2 3

4


• Encuentra la medida del complemento de un ángulo de 50°.

50°

?


• Encuentra la medida del suplemento del ángulo ①.

160°

① ②

?


• Clasifica los siguientes triángulos por la medida de sus ángulos.


• Clasifica los siguientes triángulos por la longitud de sus lados.


• La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°.

En un triángulo , 47 , 59 .

Encuentra .

ABC m A m B

m C

Encontrando Perímetros

• Un polígono es una figura plana y cerrada, formada por lados.

• El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

• Un polígono regular es un polígono con todos los lados de igual longitud y todos los ángulos de igual medida.


Nombre del polígono Número de lados

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Heptágono 7

Octágono 8

Nonágono 9

Decágono 10


• Tipos de Cuadriláteros1. Trapezoide – cuadrilátero con exactamente un par

de lados opuestos paralelos.

2. Paralelogramo – cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos.

3. Rombo – cuadrilátero con todos los lados con igual longitud.

4. Rectángulo – un paralelogramo con cuatro ángulos rectos.

5. Cuadrado – un rectángulo con todos los lados con igual longitud.


• Encuentra el perímetro de los siguientes polígonos.


• Perímetro de un Rectángulo

– El perímetro P de un rectángulo es dos veces el largo (l) más dos veces el ancho (w), esto es,

2 2P l w


• Perímetro de un Cuadrado

– El perímetro de un cuadrado es 4 veces la longitud de su lado (s), esto es,

4P s


• Encuentra el perímetro de un rectángulo que es 5.1 cm de largo por 3.2 cm de ancho.

• Encuentra el perímetro de un cuadrado con lado que mide 4.25 in.


2 2

dd r r


• La circunferencia C de un círculo de radio r es igual a dos veces π por el radio ó π veces el diámetro d. En símbolos,

• Nota: π es aproximadamente 3.14 ó 22/7

2 ó C r C d


• Encuentra la circunferencia de un círculo cuyo radio es 4 centímetros. Utiliza 3.14 por π.

• El planeta Venus gira alrededor del sol en una órbita casi circular cuyo diámetro es aproximadamente 100 millones de kilómetros. Encuentra la distancia que el planeta Venus recorre en una vuelta alrededor del Sol. Utiliza 3.14 por π.

Encontrando Áreas

• Área de un Rectángulo

– El área A de un rectángulo es el producto de su largo l por su ancho w. En símbolos

A l w

Encontrando Áreas

• Área de un Cuadrado

– El área A de un cuadrado es el cuadrado de su lado s. En símbolos,

2A s s s

Encontrando Áreas

• Área de un Triángulo

– El área A de un triángulo es el producto de ½ su base b por su altura h. En símbolos,

1

2A b h

Encontrando Áreas

1. Encuentra el área de un rectángulo de 6 metros por 4 metros.

2. Encuentra el área de un cuadrado cuyo lado mide 6 pulgadas de largo.

3. Encuentra el área de un pedazo de tela triangular que es 15 cm de largo y 10 cm de alto.

Encontrando Áreas

• Área de un Paralelogramo

– El área A de un paralelogramo es el producto de su base b y la altura h. En símbolos,

A b h

Encontrando Áreas

• Área de un Trapezoide

– El área A de un trapezoide es el producto de ½, la suma del largo de las bases (a + b) y su altura h. En símbolos,

1

2A a b h

a

b

Encontrando Áreas

• Encuentra el área de las siguientes figuras.

Encontrando Áreas

• Área de un Círculo

– El área A de un círculo es el producto de π y el cuadrado del radio r. En símbolos,

2A r

Encontrando Áreas

• Encuentra el área del siguiente círculo. Utiliza 3.14 por π.

Volumen de Sólidos

• Volumen de un Sólido Rectangular

– El volumen V de un solido rectangular el producto de su largo l, su ancho w y su altura h. En símbolos,

V l w h

Volumen de Sólidos

• Encuentra el volumen del siguiente sólido.

Volumen de Sólidos

• Volumen de un Cilindro Circular

– El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es el producto de π, el cuadrado del radio r y la altura h. En símbolos,

2V r h

Volumen de Sólidos


Volumen de Sólidos

• Volumen de una Esfera

– El volumen V de una esfera de radio r es el producto de y el radio r al cubo. En símbolos,

34

3V r

4

3

Volumen de Sólidos


Volumen de Sólidos

• Volumen de un Cono Circular

– El volumen V de un cono de radio r es veces el producto del radio al cuadrado t la altura h. En símbolos,

21

3V r h

1

3

Volumen de Sólidos


Volumen de Sólidos

• Volumen de una Pirámide

– El volumen V de una pirámide es el producto de el área de su base B y su altura h. En símbolos,

1

3V B h

1

3

Volumen de Sólidos


Raíces Cuadradas y el Teorema de Pitágoras

• Raíz Cuadrada

• Encuentra:

1.

2.

3.

4.

2 significa que a b a b

64

121

49

81


• El Teorema de Pitágoras

– En cualquier triángulo recto la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado


• Encuentra el largo del lado que falta en los siguientes triángulos.

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