1

1. GEMİ VE AÇIKDENİZ YAPILARINDA

BOYUNA MUKAVEMET

1.1 Problemin modellenmesi

Statik yükleme durumunda boyuna mukavemet problemi gemi veya açıkdeniz

yapısını bir kiriş gibi kabul ederek yapıya etki eden statik yüklerin sözkonusu yapı

boyunca yarattığı kesit tesirlerinin (kesme kuvveti ve eğilme momenti dağılımları)

hesaplanması, bu kesit tesirlerine dayanabilecek kesitin belirlenmesi ve belirlenen

kesitler kullanıldığında yapı boyunca ortaya çıkacak deformasyonların saptanması

olarak tanımlanabilir. Daha evvelce de değinildiği gibi gemilerin ve açıkdeniz

yapılarının deniz ortamında maruz kaldığı zorlamalar nadiren statik olurlar. Ancak

sakin suda veya çok uzun periyotlu dalgalarda yapının hareketleri çok yavaş olup da

ortaya çıkan dinamik yükler ihmal edilebilecek düzeyde kaldığından yüklemeler statik

varsayılabilirler. Bu nedenle gemilerin ve açıkdeniz yapılarının boyuna mukavemetini

ele alırkan yüklerin sadece statik olduğu halleri de göz önüne almakta da yarar vardır.

Gemi veya açıkdeniz yapısına etki eden statik yükler bileşenlerini şöyle sınıflamak

uygun olur.

Geminin veya açıkdeniz yapısının ağırlığı: Bu yük bileşeni çıplak tekne, ana

ve yardımcı makinalar, taşınan yükler veya balasttan oluşur. Bu bileşen daima

mevcuttur ve konstrüksiyon resmi verildiğinde belirlenmiş olur. Tasarımın ilk

safhalarında konstrüksiyon resmi tam belirlenmemişken ampirik yollardan

hesap yapılır.

Geminin veya açıkdeniz yapısının sephiyesi: Geminin veya açıkdeniz

yapısının formunun belli olması ile hidrostatik hesaplardan sephiye belli olur.

Bu da ağırlık gibi her zaman mevcut olan bir yüktür.

Nokta yükler: Bu yükler denize indirme veya karaya oturma sırasında oluşan

yüklerdir ve ancak bu tür problemleri incelemek için göz önüne alınır.

Termal Yükler: Özellikle arktik ve antarktik civarında buzulların olduğu

yerlerde seyreden gemiler deniz suyunun soğukluğu nedeni ile gerilmelere

maruz kalırlar. Bu yükler pratik açısından önemsiz varsayıldığı için bu dersin

kapsamında ihmal edileceklerdir.

1.1.1 Kesit Tesirlerinin Hesaplanması

Herhangi bir geminin veya bir açıkdeniz yapısının denizde denge halinde yüzerken

ağırlık dağılımının w(x) sephiye dağılımının da b(x) olarak bilindiğini varsayalım.

Yapının denge halinde olabilmesi için ağırlığı ve sephiyesi ve bunların sabit bir

noktaya göre momentleri birbirlerine eşit olmalıdır. Yani

2

L

0o

L

0o

L

0

L

0

dx)x(b)xx(dx)x(w)xx(

dx)x(bdx)x(w

(1.1)

Birinci denklem ağırlığın sephiyeye eşit olduğunu ikinci koşul da ağırlık ile

sephiyenin bir xo noktasına göre alınmış momentlerini gösterir. Eğer bu koşullar

sağlanmıyorsa yapı dengede değildir ve dengeye gelene kadar draft ve trimi değişir.

Burada verilen w(x) ağırlık ve b(x) sephiye dağılımlarının (1.1) koşullarını sağladığını

ve yapının denizde denge halinde olduğunu varsayıyoruz. Ancak bu koşullar ağırlık

ve sephiye dağlımları arasında yerel olarak eşitliği garanti etmezler. Bu durumda da

gemi veya açıkdeniz yapısı boyunca dengelenmemiş bir yük dağılımı ortaya çıkar ve

yapıda kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri yaratırlar. Ortaya çıkan durumu

mukavemet açısından incelemek için göz önüne aldığımız yapıyı idealleştirip sephiye

ile ağırlık etkisindeki bir kiriş olarak modelleriz (Şekil 1.1).

Şekil 1.1: Bir gemiye etki eden statik kuvvetler ve bunların bir kesitte yarattıkları

tesirler

Problemin ilk aşaması gemi boyunca dengelenmemiş kuvvet q(x) dağılımını

hesaplamaktır. Bu geminin w(x) ağırlığı ile b(x) sephiyesi arasındaki farklılıktır ve

q(x) = b(x) – w(x) (1.2)

şeklinde hesaplanır. Gemi veya açıkdeniz yapısı boyunca dengelenmemiş kuvvet

q(x)in yapının herhangi bir kesitinde yaratacağı Q(x) kesme kuvvetini ve M(x) eğilme

momentini kesitteki bu tepkiler ile kesite kadar olan yüklerin dengede olması

koşulundan tayin ederiz. Düşey doğrultuda kuvvetlerin dengede olması gerektiği göz

önüne alınırsa

x

0

x

0

d)(qd)(w)(b)x(Q (1.3)

elde edilir. Bu bize yapının herhangi bir kesitindeki kesme kuvvetinin yapıya etki

eden dengelenmemiş kuvvetlerin yapı boyunca söz konusu kesite kadar

integrasyonuna eşit olacacağını belirtmektedir. İkinci olarak yapıya etki eden

kuvvetlerin sabit bir noktaya göre momentlerinin de dengede olması gerekeceğinden

x

0

x

0

d)(q)x(xQd)(w)(b)x(xQ)x(M

elde ederiz. Yukarıdaki denklemde integrali kısmi entegrasyonla integre edip (1.3)

denkleminden de yararlamırsak kesitteki eğilme momentini

3

x

0

d)(Q)x(M (1.4)

Şekil 1.2: Gemiye etki eden dış kuvvetlerin yarattığı kesit tesirleri

olarak elde ederiz. Bu denklemden de herhangi bir kesitteki eğilme momentinin

yapıya etki etmekte olan kesme kuvvetinin söz konusu kesite kadar integrasyonuna

eşit olacağı gözükmektedir. Ağırlık dağılımı ve formu, dolayısı ile sephiye dağılımı,

belirli olan herhangi bir geminin veya açıkdeniz yapısının kesit tesirleri (1.3) ve (1.4)

integrasyonlarından elde edilir ve gemi boyunca çizilir (Şekil 1.2). Sonuçlar genel

olarak yapının sakin suda dalga tepesinde veya dalga çukurunda olmasına bağlı olarak

belirli karakteristikler gösterir. Kesit tesirleri belli olduktan sonra geminin veya

açıkdeniz yapısının kesitlerinin yeterli mukavemete sahip olup olmadığı belirlenebilir.

1.1.2 Kesit Performansının Değerlendirilmesi

Boyuna mukavemet hesaplarında geminin veya açıkdeniz yapısının bir kiriş gibi

davrandığı varsayılarak kesitlerini gelen zorlamalara dayanabilecek şekilde belirlemek

amaçlanır. Genel mukavemet derslerinden hatırlanacağı gibi böyle bir yapıda göz

önüne aldığımız zorlamalar sonucu kesmeli eğilme hali ortaya çıkar. Ancak kirişlerin

derinliğinin boya göre çok küçük olduğu hallerde kesme etkisinin tamamen önemsiz

olduğuna ilişkin bir hayli teorik ve deneysel gözlemler olduğundan dikkatli olmak

kaydıyla basit eğilme teorisini uygulayabiliriz. Şimdi incelediğimiz yapının basit

eğilme sonrası elemanter bir parçasını göz önüne alalım (Şekil 1.3).

Şekil 1.3: Basit eğilmeye maruz kalan bir açıkdeniz yapısına ait kesit

4

Kesitin tarafsız ekseninden y kadar uzaklıktaki bir noktadaki genlemeyi

R

y

Rd

Rdd)yR(

şeklinde elde ederiz. Bu ilişkiden açıkça görüleceği gibi genleme kesitin yüksekliği

boyunca doğrusal olarak değişmektedir. Buradan gerilme ile genleme arasındaki

oranın sabit ve orantı sabitinin Young modülü olduğunu hatırlarsak gerilmenin de

kesit yüksekliğince doğrusal değişeceği ve bunu

R

EyE (1.5)

olarak ifade edebileceğimiz açıkça gözükür. Herhangi bir kesiti göz önüne

aldığımızda bu kesitte normal kuvvet olmadığı için kesit üzerinde normal gerilmelerin

integralinin sıfır olması gerekir ve

0ydSR

EdS

SS

bulunur. Yani tarafsız eksen kesitin alan merkezinden geçmek zorundadır. Öte yandan

kesite etki eden eğilme momenti gerilmelerin tarafsız eksene göre momentlerinin kesit

üzerinde integrasyonuna eşit olacağı için

R

EIdSy

R

EdSyM

S

2

S

(1.6)

bulunur. Burada (1.5) denkleminden yararlanır ve kesit mukavemet modülünü W = I

/ym olarak tanımlarsak herhangi bir kesitteki maksimum gerilmeyi

W

M

I

Mym (1.7)

olarak hesaplarız. Burada ym kesitin tarafsız eksenden en uzak noktasını

göstermektedir ve kesitin yeterli mukavemete sahip olabilmesi için maksimum

gerilme m kullanılan malzemenin emniyet gerilmesi em’den daha küçük olması

gerekir.

1.1.3 Kesit Atalet Momentinin Hesabı

Kesit mukavemet modülünün hesaplanabilmesi için kesitin tarafsız eksenini

belirlemek ve bu eksene göre atalet momentini hesaplamayı gerektirir. Herhangi bir

gemi veya açıkdeniz yapısının kesiti çok sayıda konstrüksiyon elemanını içeren

oldukça karmaşık bir geometriye sahiptir. Bu denli karmaşık geometriler için tarafsız

ekseni veya kesit atalet momentini yukarıda belirtilen analitik yollardan hesaplamak

olanaksızdır. Bu nedenle hesapları yaparken kesiti oluşturan elemanların her biri için

hesaplar ayrı ayrı yapılır ve kesit için değerler bunların toplanması ile elde edilir. İlk

olarak tarafsız eksenin yerini hesaplamak gerekir. Bunun için de bir referans ekseni

seçmek gerekir. Örneğin herhangi bir kesit için referans ekseni taban hattı olarak

seçilsin ve kesiti oluşturan N elemanın alanları An ve alan merkezlerinin taban hattına

olan uzaklıkları yn biliniyor olsun. Bu durumda kesite ait tarafsız eksenin referans

ekseni olarak seçilen taban hattına mesafesi y

N

1nn

N

1nnn

A

Ayy (1.8)

şeklinde hesaplanır. Tarafsız eksen bu şekilde hesaplandıktan sonra elemanların

tarafsız eksene göre kesit atalet momentlerini hesaplamak ve bunları toplamak

gerekir. Burada dikkat edilecek husus her bir eleman için bir kendi tarafsız eksenine

5

bir de kesitin tarafsız eksenine göre iki atalet momenti vardır ve bunlar birbirinden

farklıdır. Eğer bir kesitin kendi tarafsız eksenine göre atalet momenti n

I olarak

biliniyorsa bu elemanın alan merkezinin taban hattına mesafesinin yn olduğu

hatırlanarak kesit tarafsız eksenine göre atalet momenti In

n

2

nnnA)yy(II (1.9)

şeklinde hesaplanır. Kesitin tarafsız eksene göre atalet momenti de bütün elemanların

tarafsız eksene göre bu şekilde hesaplanmış atalet momentlerinin toplamıdır.

1.1.4 Gemi veya Açıkdeniz Yapılarında Sehimlerin Hesabı

Kesit tesirleri belli olduktan sonra kesit tesirlerini kullanarak gemide meydana gelen

sehimleri (Deformasyon) de hesaplayabiliriz. Yukarıdaki (1.6)’daki R değerinin

eğrilik yarıçapı olduğu ve eğrilik yarıçapı ile yapının deformasyonu arasındaki

ilişkinin

2/321R

1

olduğu göz önüne alınırsa yapıda meydana gelecek sehimleri

)x(EI

)x(M)x( (1.10)

denklemini integre ederek hesaplayabiliriz. Sehimin ikinci türevi belli olduğuna göre

iki kere integrasyonla sehimi hesaplayabiliriz. İlk integrasyon sonucunda

Ad)(M)(iEI

1)x(

x

0

elde edilir. Burada

EI

)x(M)x(i)x(

)x(i

I)x(I

tariflerini kullandığımızı ve

I değerinin karakteristik bir kesitin atalet momenti

olduğunu belirtmekte yarar vardır. İntegrasyonu ikinci defa yaparsak

BAxdd)(M)(iEI

1)x(

x

0 0

olur. Burada A ve B integrasyon sabitleri olup x = 0 ve x = L noktalarında çökme

olmadığını varsayarak tayin edilir. Bu koşullar altında

0Bdd)(M)(iEI

1A

L

0 0

olacağı açıkça gözükmektedir. Böylece herhangi bir geminin veya açıkdeniz yapısının

belli bir eğilme momentine maruz kaldığında uğrayacağı deformasyonu

L

0 0

x

0 0

dd)(M)(iEI

xdd)(M)(i

EI

1)x( (1.11)

denkleminden elde ederiz. Bu integrasyonları uyguladığımızda elde edilen sehim

eğrisi Şekil 1.4’de verilmektedir.

1.2 Gemi veya Açıkdeniz Yapıları İçin Ağırlık Hesabı

Gemi veya açıkdeniz yapılarında ortaya çıkan kesit tesirlerini hesaplayabilmek için

öncelikle yapının ağırlık ve sephiye dağılımının bilinmesi gerekmektedir. Bu bölümde

göz önüne aldığımız yapının ağırlık dağılımının belirlenmesini ele alacağız. Ağırlık

dağılımının hesabını yaparken ağırlıkları iki gurupta ele almakta yarar vardır.

6

Şekil 1.4: Gemi ve açıkdeniz yapılarında moment dağılımı ve sehim arasındaki ilişki

Bu iki grup çıplak gemiye ait ağırlık (lightship) ve taşınan ağırlık (deadweight) olarak

ele alınır ve her biri kendi içinde gruplanabilir. Bunlardan çıplak gemiye ait ağırlıklar

Çelik tekne ağırlığı

Makine ağırlığı

Donanım ağırlığı

Yardımcı makina ağırlığı

Yakıt ağırlığı

Yağlama yağı ağırlığı

Tatlı su ağırlığı

Mürettebat ağırlığı (Gıda vs. Gibi ihtiyaçları dahil)

olarak sınıflanabilirler. Bu ağırlıkların her tasarım tamamlandığında belli olur ancak

ön dizayn safhasında daha ziyade yaklaşık ampirik formüller kullanılır. Burada

formüllerden bazılarını ele alacağız.

1.2.1 Çelik Tekne Ağırlığı (Ws)

Çelik konstrüksiyon ağırlığı aslında sürekli bir dağılım değildir. Örneğin gemi veya

açıkdeniz yapılarında sızdırmazlığı temin eden perdeler ve derin kemere, derin posta

gibi çok daha kısa mesafelere isabet eden ana taşıyıcı elemanlar vardır. Bu tip

elemanların tek bir eleman için ağırlıkları oldukça büyüktür ve gemi boyu göz önüne

alındığında noktasal yüklermiş gibi düşünülebilir. Ancak bu yükler toplam yükle

kıyaslandığında çok küçük olduklarından ortaya çıkacak süreksizlik çok önemsiz

olacakdır. Bu durumda gemi veya açıkdeniz yapısı, konstrüksiyonu ve yükleme

koşulları belli olduğu takdirde, boyu doğrultusunda olukça sık aralıklara bölünür. Her

aralıktaki çelik konstrüksiyon elemanlarının toplam ağırlığı hesaplanarak o aralığa

düzgün olarak yayılır. Böylece bütün aralıklarda çelik ağırlığı dağılımı

hesaplandığında yapının çelik ağırlığı dağılımı belirlenmiş olur.

Şekil 1.5: Gemilerde çelik tekne ağırlığının dağılımı için amprik yaklaşım

Bu tür bir ağırlık hesabı için geminin veya açıkdeniz yapısının tasarımı tamamen

belirlenmiş olması gerekmektedir. Her zaman bu kadar ayrıntılı bilgi olmayabilir.

Örneğin ön dizayn safhasında geminin boyuna mukavemetini hesaplamak gerekebilir.

Böyle hallerde çelik konstrüksiyon ağırlığı

7

HBLN12H

L025.01Nlog026.021.0C

L

Ww

L

l

L

l4.017.0C

3

21NCW

s

s

s

21

Bss

formülünden ampirik olarak belirlenir ve dağılımı blok katsayısına bağlı olarak

değişen bir poligon olarak verilir (Şekil 1.5). Burada l1 bordodan bordoya uzanan l2 de

bordodan bordoya uzanmayan üst bina uzunluklarının toplamını belirtmektedir.

1.2.2 Makine Ağırlığı (WM)

Bu sistemde ana makine ağırlığı da makinenin yerleştirildiği bölgede düzgün yayılı

yük olarak göz önüne alınır. Kullanılacak makinenin ayrıntıları imalatçı firma

tarafından verilmişse bu ağırlık makinenin yerleştirildiği yere uygulamak gerekir.

Genellikle bu tür ayrıntılar çok nadir olarak vardır. Böyle hallerde kullanılacak

makinenin ağırlığı, makine imalatçısının web sitesinden alınır veya gücü ve devir

sayısına bağlı olarak,

M

MM

84.0

M

Ww

N

P12W

l

ampirik formülleri yardımıyla bulunup yerine düzgün yayılı yük olarak dağıtılır. Bu

formülde P kW olarak makina gücü, N makinenin dakikadaki devir sayısı ve lM

makinenin boyudur. Eğer makina gücü kesin olarak belirlenmemişse servis hızı Vo,

deplasmanı ve Lpp kaimeler arası boy cinsinden

o

pp

3

o

3/2

V

75L7.3

VP

ampirik formülü yardımıyla belirlenebilir. Eğer kullanılacak makinenin devir sayısı

belirlenmemişse düşük hızlı dizeller için N = 110, orta hızlı dizeller için N = 450 ve

yüksek hızlı dizeller için N = 850 alınabilir.

1.2.3 Donanım Ağırlığı (WO)

Donanım ağırlığı dendiğinde yükleme boşaltma sistemleri, güverte makinaları baş ve

kıç bodoslama ve dümen donanımları gibi elemanlar akla gelmektedir. Bu sistemlerin

dağılımı oldukça karmaşık olmakla birlikte baş ve kıç kasaralarla gemi vinçlerinin

taşıyıcı yapılarının bulunduğu bölgelere düzgün yayılı yük olarak dağıtmak uygun

olur. Donanım elemanlarının ayrıntıları imalatçı firma tarafından verilmişse bu

ağırlıklar kullanılır. Bu ayrıntıların belli olmadığı hallerde donanım ağırlığı gemi

boyutları ve tipine bağlı olarak

Konteyner050.0

kerTan045.0

oargK065.0

cl

WwHBLcW O

O

OO

3.08.03.1ppOO

ampirik formülleri yardımıyla hesaplanabilirler. Bu formülde lO dağıtımın yapıldığı

üst yapıların toplam boyudur.

1.2.4 Yardımcı Makine Ağırlığı (WA)

Bu sistemde yardımcı makinelerin ağırlığı da makine dairesinde düzgün yayılı yük

olarak göz önüne alınabilir. Kullanılacak makinelerin ayrıntıları imalatçı firma

8

tarafından verilmişse bu ağırlıklar kullanılır. Bu ayrıntıların belli olmadığı hallerde

yardımcı makinelerin ağırlığı, gücüne bağlı olarak

Konteyner65.0

kerTan59.0

oargK56.0

cW

w3

P4cW A

A

AA

7.0

AAl

ampirik formülleri yardımıyla bulunup makine dairesine düzgün yayılı yük olarak

dağıtılır. Bu formülde P kW olarak ana makina gücü lA makina dairesi boyudur.

1.2.5 Yakıt, Yağlama Yağı ve Tatlı Su Ağırlıkları Dağılımı

Yakıt, yağlama yağı ve tatlı su gibi yükler yoğunluğu ve genel planda yerleri belli

olan sıvı yükler olduklarından bu yükleri aynen sıvı yüklerde olduğu gibi genel planda

belirtilen tankların bulundukları bölgelere dağıtırız. Boş gemi için yapılan hesaplar

sırasında bu ağırlıkları ve özellikle de yakıtı aldığımız miktar ve tanklar geminin

trimini asgariye indirecek şekilde seçilir. Ancak bütün bu ağırlıklar tankların tam dolu

olmasını sağlayacak şekilde dağıtılır.

1.2.6 Mürettebat Ağırlığı Dağılımı

Mürettebat ağırlığı belirtilmemiş ise ampirik olarak

c

c

ccPR

WwN29.0W

l

formülü yardımı ile belirlenir ve mürettebatın yaşam mahallinde olduğu göz önünde

tutularak yaşam mahallinin olduğu bölgeye düzgün olarak dağıtılır. Burada Nc

mürettebat sayısı olup lc de mürettebat mahallinin uzunluğudur.

Geminin taşımakta olduğu ağırlık da sabit olup iki gurupdan oluşur.

Yük ağırlığı

Ballast ağırlığı

1.2.7 Yük Ağırlığı Dağılımı

Yükler genellikle sadece gemilere uygulanır. Ancak FPSO tipi ürettiği petrolü bir süre

depolamak durumunda olan açıkdeniz yapıları için de yük dağılımının hesabı söz

konusudur. Genel veya konteyner türü yüklerin dağılımının nasıl olacağını, bu tür

yüklerin yoğunluklarındaki aşırı değişkenlik nedeniyle, kestirebilmek hemen hemen

olanaksızdır. Bu durumda her ambara kapasitesi kadar yükü düzgün yayılı yük olarak

dağıtılır. Ancak yoğunlukları belli olan ve tamamen konuldukları ambarın şeklini

aldıkları bilinen sıvı veya dökme yükler ambar kesit alanının yapının boyunca

değişimine ve yükün yoğunluğuna bağlı olarak dağıtılır. Burada çok önemli bir nokta,

özellikle maden cevheri gibi yoğunluğu yüksek olan yüklerde, ambarları tamamen

doldurup yük yoğunluğu nedeni ile ambar kapasitesini aşmamaya dikkat etmek

gerekir. Ayrıca tam dolu halde yük miktarı toplam deplasman ile çıplak gemiye ait

ağırlık arasındaki farktan belirlenir. Bu yükün dağılımı için ise yine geminin an az

trim yapmasını sağlamak hedeflenir. Ayrıca mukavemet açısından uygun bir dağılım

da sağlamak amacıyla her ambara mümkün olduğunca eşit yük dağıtarak net kuvveti

de asgaride tutmaya çalışmakta yarar vardır.

1.2.8 Ballast Dağılımı

Balast, yakıt, yağlama yağı ve tatlı su gibi yoğunluğu ve genel planda yerleri belli

olan sıvı yüklerdendir ve aynen sıvı yüklerde olduğu gibi genel planda belirtilen

9

tankların bulundukları bölgelere dağıtırız. Burada da ballast dağılımını trimi asgariye

indirecek şekilde yapmak gerekmektedir.

1.3 Sephiyenin Hesabı

Gemi veya açıkdeniz yapısının sephiyenin hesabı o yapının deniz yüzeyi altında kalan

hacminin hesabı demektir. Dolayısı ile bu hesabı yapabilmek için iki temel bilgiye

gereksinim vardır. Bunlardan birincisi yapının boyunca kesit alanlarının değişimi

(Bon-Jean alan eğrileri) diğeri de deniz yüzeyinin tanımı. İlk olarak deniz yüzeyinin

ve Bon-Jean alan eğrilerinin bilindiğini varsayarak sephiye dağılımını hesaplayalım.

1.3.1 Sephiye Dağılımının Hesabı

Gemi veya açıkdeniz yapısına ait Bon-Jean alan eğrileri ve geminin yüzeyi

tanımlanmış olsun. Bu durumda gemi hidrostatiği dersinden hatırlanacağı gibi her

kesitte deniz yüzeyinin altında kalan alanın değerini kesite ait Bon-Jean eğrisinden

elde edebiliriz (Şekil 1.6a). Bu değerleri bütün kesitler için tekrarlayarak yapının

verilmiş deniz yüzeyinin altında kalan hacminin yapı boyunca değişimini gösteren

sephiye değişimini elde ederiz (Şekil 1.6b). Ancak burada sephiye dağılımını

hesaplarken deniz yüzeyinin gemiye göre konumunu bildiğimizi varsaydık. Gerçekte

bu bilgiye sahip değiliz ama geminin ağırlığını bildiğimiz ortalama draftı tespit

edebiliriz. Eğer deniz yüzeyinin simetri eksenini bu ortalama draftla çakışacak şekilde

seçecek olursak göz önüne aldığımız yapının hidrostatik dengede olacağını varsayarak

hesapları yapabiliriz. Ancak bu varsayım genelde doğru olmayıp kontrol edilmesi

gereklidir.

Şekil 1.6: Bon-Jean alan eğrilerini kullanarak sephiye dağılımının hesabı

Buradan integrasyon ile seçilen dalga altında kalan sephiyeyi ve sephiye merkezini şu

şekilde elde ederiz.

L

0o

B

L

0o

dx)x(xb1

xdx)x(b (1.12)

Geminin denge halinde yüzüyor olabilmesi için o sephiyesi Wo ağırlığına ve xB

sephiye merkezinin boyuna konumu da xG ağırlık merkezinin boyuna konumuna eşit

olması gerekir. Oysa genellikle bu koşullar sağlanmaz ve sephiye ile ağırlık arasında

10

bir farklılık olur. Bu sonuçlar başlangıç değerleri olarak alınıp aradaki farklılık sıfıra

inene dek ortalama draftta ve trimde değişiklik yapılır. İlk düzeltme için paralel

batması ve ' trimi

m1

t

oBoG

WL

oo

M

xWx

gA

W

(1.13)

denklemlerinden hesaplanabilir. Burada m1

tM 1m trim yapma momenti olup

L

BM~L

GMM LoLom1

t

şeklinde hesaplanacağı hatırlanmalıdır. Burada GML ile BML arasındaki farkın küçük

olduğunu ve trim değişiminin yaklaşık olarak hesabının yeterli olacağını göz önünde

tutuyoruz. Ortalama su hattında bu düzeltmeler yapıldıktan sonra sephiye hesapları

tekrarlanır ve ağırlık ile sephiye arasındaki farklılık seçilen hata mertebesinin altına

indikten sonra sephiye dağılımı belli olmuş olur.

1.3.2 Deniz Yüzeyi ve Dalga Türleri

Sephiyenin belirlenebilmesi için öncelikle deniz yüzeyinin belirlenmesi gerekir. Deniz

yüzeyinin belirlenebilmesi için iki çevre koşulu göz önüne almak gerekir. Birinci hal

olarak sakin suda seyir hali ikinci hal ise dalgalı denizde seyir haline karşı gelir.

Ayrıca yapının dalgalı denizde karşılaşabileceği iki ekstrem hal vardır. Bunlardan

birincisi dalga tepesinin açıkdeniz yapısının ortasına geldiği ve gemideki

deformasyonların sarkma şekline ortaya çıktığı haldir. İkinci halde ise dalga çukuru

açıkdeniz yapısının ortasına gelir ve açıkdeniz yapısında deformasyon çökme şeklinde

olur. Gemi ve açıkdeniz yapılarında deniz yüzeyine bağlı olarak ortaya çıkan sephiye

dağılımları ve zorlanma türleri Şekil 1.7’de verilmektedir.

Şekil 1.7: Açıkdeniz yapılarında sarkma ve çökme halleri

Gemi ve açıkdeniz yapıları inşaatında genellikle iki türlü dalgadan söz etmek

mümkündür. En yaygın olarak kullanılan dalga türü sinusoidal dalga türüdür ve H

dalga yüksekliği ve dalga boyuna bağlı olarak

Lx0)x2

(Cos2

Hy

(1.14)

11

şeklinde verilir. Burada faz farkı olup = için dalga tepesi açıkdeniz yapısının

ortasında = için de dalga çukuru açıkdeniz yapısının ortasında olur.

İkinci tür dalga ise trokoid dalga olup parametresi cinsinden dalga yüksekliğine ve

boyuna bağlı olarak şöyle verilir.

)(Cos2

HySin

2

H

2x

(1.15)

Burada da faz farkı olup = için dalga tepesi açıkdeniz yapısının ortasında =

için de dalga çukuru açıkdeniz yapısının ortasında olur. Trokoidal şekil itibari ile

gerçek dalgalara daha yakın olmakla birlikte denklemleri sağlamazlar. Oysa

sinusoidal dalgalar teorik denklemleri sağlarlar ve daha yüksek mertebe çözümleri

kullanıldıkça şekil itibari ile de gerçek dalgalara yaklaşırlar. Trokoid dalgalar ile

sinusoidal dalgalar arasındaki farklılık Şekil 1.8’de gösterilmiştir.

Şekil 1.8: Sarkma ve çökme hallerine karşı gelen trokoidal ve sinüsoidal dalgaların

kıyaslanması

Dalga yüzeylerinin belirlenebilmesi için dalga boyu ve dalga yüksekliği H

değerlerinin seçilmesi gerekir. Hesaplar sırasında dalga boyu gemi boyuna eşit almak

uygun görülmektedir. Gerçekten de eğer dalga boyu gemi boyuna nazaran çok uzun

olursa gemi boyunca değişim o kadar az olur ki bu sakin su halinden pek farklı olmaz.

Öte yandan dalga boyu gemi boyuna nazaran çok küçük olursa bu kez dalga gemi çok

fazla tekrarlandığı için sephiye dağılımı yine sakin su dağılımına doğru yaklaşır.

Burada dalga yüksekliklerinin dalga boylarına göre çok daha küçük olduklarından

dalga boyunun küçülmesi halinde dalga yükseklikleri iyice küçük hale geleceklerini

unutmamak gerekir. Her ne kadar en kritik dalga boyunun gemi boyu ile aynı olması

gerekmediği deneyimlerle sabit olsa dahi boyları gemi boyuna eşit dalgalar kritik

bölgeye yeteri kadar yakın olur.

Dalga yüksekliği için ise henüz tam olarak hangi değerin seçilmesi gerektiği tam

olarak belli değildir. Herşeyden önce H/ değerinin derin su kırılma limiti olan 1/14

12

değerinden küçük olması gerekir. Bir süre bu değer H/ = 0.05 olarak kullanılmıştır.

Daha sonraları dalga boylarının artması ile dalgaların dikliklerinde bir azalma olduğu

gözlenmiş ve Lloyd Register tarafından dalga diklikleri için önceleri H/ = 1.1/0.5

şeklinde daha sonra da H/ = 1.1/0.7

şeklinde amprik formüller önermişlerdir. Bu

değişik dalga yüksekliklerinin dalga boyuna göre değişimleri Şekil 1.9’de

gösterilmiştir. Dalga yüksekliklerinde henüz evrensel bir değer üzerinde

uzlaşılamamıştır ve değişik klas müesseseleri farklı dalga yüksekliği tanımları

önermektedir. Bu ders kapsamında dalganın fribordu aşmamak ve kırılmamak kaydı

ile değerinin

3.075.3H

olarak seçilmesi en uygunudur.

Şekil 1.9: Değişik dalga yüksekliklerinin ve dalga dikliklerinin karşılaştırılması

1.4 Kesme kuvveti ve eğilme momentinde yaklaşık düzeltme:

Gemi veya açıkdeniz yapısı denizde serbestçe yüzdüğü için boyuna mukavemeti

açısından uç noktalarında herhangi bir iç zorlama taşımazlar. Yani uç noktalarında

gerek kesme kuvveti gerekse eğilme momenti sıfır olmak zorundadır. Her iki kesit

tesiri de integrasyon ile hesaplandığı için başlangıç noktasında hem kesme kuvvetini

hem de eğilme momentini keyfi olarak sıfır alabileceğimiz için bu noktada gerekli

koşulu doğrudan sağlamış oluruz. Ancak integrasyonun üst limiti olan diğer uç

noktasında kesme kuvveti de eğilme momenti de integrasyon sonucu olarak elde

edilir. Daha evvelce sephiye ve ağırlığı dengelerken yapılan yaklaşık hesaplar sonucu

kesme kuvveti ile eğilme momentinde bazı hatalar kaçınılmaz olur. Bu hataların

yanısıra sayısal integrasyon sırasında da hatalar yapılacağından geminin uç

noktalarında sıfırdan farklı kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri ortaya çıkar. Bu

hataların mertebesi belirli bir değerin altında kalıyorsa bunları yaklaşık yöntemlerle

düzeltme olanağı vardır. Önce bu düzeltmeyi kesme kuvveti için verelim.

1.4.1 Kesme kuvvetinde yaklaşık düzeltme

Dengelenmemiş kuvvetin integrasyonu sonucu elde edilen Q(x) kesme kuvveti alt

limitte sıfır olarak başlamakla birlikte üst limitte sıfırdan farklı küçük bir Q değerine

13

ulaşıyor olsun (Şekil 1.10). Eğer hata miktarı Q maksimum kesme kuvvetine oranla

%3’ün altında kalıyorsa bu hatayı yapı boyunca lineer olarak dağıtmak olanaklıdır.

max

Q03.0QQL

x)x(Q iken (1.16)

Eğer hata mertebesi Q maksimum kesme kuvvetinin %3’ünden daha büyük çıkıyor

ise bu ağırlık ile sephiye arasındaki dengeyi sağlarken yapılan hatanın kabul

edilemeyecek kadar büyük olduğunu gösterir ve tekrar (1.13) denklemlerine dönerek

dengelemeyi daha hassas yapmak gerekecektir.

Şekil 1.10: Kesme kuvveti ve eğilme momentindeki hata ve hatanın yapı boyunca

dağılımı

1.4.2 Eğilme Momentinde yaklaşık düzeltme

Kesme kuvvetinin hesabında ortaya çıkan hataya benzer bir hata eğilme momentinde

de ortaya çıkabilir (Şekil 1.10). İntegrasyon aralığının alt limitinde eğilme momenti

sıfır seçilmesine rağmen üst limitte sıfırdan farklı bir M moment değeri elde edilir.

Eğer bu üst limit değeri M hesaplanan maksimum moment değeri Mmax’ın

%6’sından küçük değer alıyorsa sonuçlara kesme kuvvetine uygulanana benzer

yaklaşık bir düzeltme uygulanabilir. Ancak bu düzeltme doğrudan lineer bir düzeltme

olmayıp sephiyeyi uygun şekilde değiştirerek uygularız. Sephiye eğrisi daha evvelce

de gördüğümüz gibi dalga çukuru için diğer iki halden farklı olduğu için bu halde

sephiye kaydırmasını uygularken daha farklı bir yol izleriz (Şekil 1.11).

Öncelikle dalga tepesinde veya sakin suda yüzmekte olan bir gemiyi veya açıkdeniz

yapısını göz önüne alalım. Hesaplanmış olan sephiye dağılımına uygun bir düzeltme

verecek e(x) kaydırmasını uyguladığımızı düşünelim. Burada e(x) herhangi bir x

noktasındaki kayma miktarı e de sephiye merkezinin kayma miktarı olsun. Bu sephiye

kaydırılması sonucunda ortaya çıkacak b(x) sephiye değişiminin birinci ve ikinci

integralleri Q’(x) ve M’(x) ek kesme kuvveti ve eğilme momenti oluşacaktır.

Yapılan sephiye kaydırmasının hataları ortadan kaldırabilmesi için bunların

değerlerinin üst limitde kesme kuvveti ve eğilme momenti hatalarına eşit ve ters

işaretli olmaları gerekir.

14

Şekil 1.11: Dalga çukurunun veya dalga tepesinin ortada olması halinde sephiye

kaydırması

Yani

x

0

x

0

d)(Q)x(Md)(b)x(Q (1.17)

Bu denklemlerin yanısıra e << L (örneğin e = L/30) ise şu yaklaşımları yapabiliriz.

dx

)x(dbe)x(b

dx

)x(db

e

)x(b

)x(e

)x(b

Bu yaklaşımları yukarıdaki denklemlerde yerine koyarsak aşağıdaki sonuçları elde

edriz.

x

0o

d)(be)x(M)x(eb)x(QM

e (1.18)

Buradan açıkça gözükmektedirki momentte düzeltme yapmak için sephiyeyi

kaydırmaya gerek kalmamıştır ve düzeltme doğrudan uygulanabilir. Buradaki kesme

kuvveti düzeltmesinin ilk düzeltmeye ilave olduğunu ve bu düzeltmenin sephiye

kaydırmanın sonucu olduğunu belirtmek gerekir.

Yukarıda anlatılan uygulamayı dalga çukuruna uyarlamak olanaklı değildir zira dalga

çukuru halinde sephiye eğrisinde orta civarında bir çökme vardır ve bu nedenle

Q’(x) değişimi işaret değiştirir. Bu durumda dQ’(x) değişimi için q sonradan

belirlenmek üzere

)L

x2Cos1(q)x(Q

(1.19)

şeklinde yazabiliriz. Eğilme momentinin kesme kuvvetinin integrali olduğu göz önüne

alınırsa şu ifadeler bulunur.

x

0

d)L

2Cos1(

L

M)x(M)

L

x2Cos1(

L

M)x(Q

L

Mq

(1.20)

15

Burada da sephiye eğrisi üzerinde herhangi bir düzeltmeye gerek kalmaksızın kesme

kuvveti ve eğilme momenti düzeltmelerini uygulayabiliriz.

1.5 Kayma gerilmelerinin kesit tesirlerine ve sehimlere etkisi

Gemilerde ve açıkdeniz yapılarında kesitlerin performansını incelerken gerçekte bu

yapıların kesmeli eğilmeye maruz kaldığını ancak kesit yüksekliklerinin boylarına

nispeten küçük olduğu için gemi ve açıkdeniz yapılarının boyuna mukavemetini basit

eğilme olarak ele almıştık. Eğilme sırasında da ortaya çıkan sehimin de sadece basit

eğilmeden kaynaklandığını düşünerek hesaplamıştık. Bu bölümde kayma

gerilmelerini göz önüne alıp bu gerilmelerin boyuna mukavemete etkilerini

inceleyeceğiz.

1.5.1 Kesitlerde Kayma Gerilmesinin Dağılımı

Herhangi bir kesitte kayma gerilmesini hesaplamak için en basit yol o kesitteki kesme

kuvvetini kesitin alanına bölmektir. Ancak bu yöntemle ortalama bir değer elde edilir

ve kesitte herhangi bir noktada bu ortalama değerin aşılması muhtemeldir. Özellikle

kesit derinliklerinin tamamen önemsiz olmayabileceği halleri göz önüne aldığımızı

düşünecek olursak kayma gerilmelerinin kesit içi değişimlerini biraz daha dikkatlice

incelemekte yarar vardır.

Şekil 1.12’deki kiriş parçasında x ile x+dx arasında, tarafsız eksenden y kadar

mesafedeki dy kalınlıklı tabakayı göz önüne alalım. Bu tabakaya basit eğilme

nedeniyle etki etmekte olan F kuvvetini tabaka kalınlığını b olarak kabul etmek

suretiyle

bdxdydx

dbdydbdydF

(1.21)

şeklinde yazabiliriz. Buradaki eğilme gerilmesi için (1.5) ve (1.6) denklemlerinden

yararlanarak kesit eğilme momenti cinsinden değerini yazarsak tabakaya etki eden

kuvvet

dxdyI

Qybdxdy

I

yb

dx

dMF

buluruz.

Şekil 1.12: Kesmeli eğilmeye maruz kalan bir kesitteki kesit tepkileri ve gerilmeleri

16

Bu kuvvetleri elde ederken göz önüne aldığımız tabakanın kalınlığını ym üst sınırına

kadar kalınlaştıracak olursak bu kalın tabaka

mm y

y

y

y

ybdydxI

Qybdydx

I

QF M

M

gibi bir dengelenmemiş kuvvete maruz kalacaktır. Kesitin bu iç kuvvetler etkisinde

dengede kalabilmesi için AB düzleminde bir iç kuvvetle dengelenmelidir. Bu iç

kuvvet de AB düzlemi içindeki kayma gerilmesinden ötürü ortaya çıkar. Genel

mukavemet dersinden bilindiği gibi bir düzlemdeki kayma gerilmesi o düzleme dik

olan düzlemdeki kayma gerilmesine eşit olur. Böylece gemi veya açıkdeniz yapısının

boyunca herhangi bir x noktasındaki kayma gerilmesini

Ib

QM (1.22)

şeklinde hesaplayabiliriz. Burada M bir tür kesit momenti olup hesabındaki

integrasyon limitinin değişken olması nedeniyle kesitin kalınlığına bağlı olur.

1.5.2 Kayma Gerilmesinin Eğilmeye Etkisi

Kesmeli eğilme problemi genel mukavemetten bilindiği gibi son derece karmaşık bir

problemdir ve çok basit birkaç hal dışında tam olarak çözümü yoktur. Gemilerin ve

açıkdeniz yapılarının kesmeli eğilmesinde de, karmaşık yapıları göz önüne

alındığında, tam bir çözümün bulunamayacağı açıktır. Dolayısı ile kayma

gerilmelerinin eğilmeye olan etkisi yaklaşık olarak ele alınır.

Önce bu bölümde (1.7) denklemi ile verilen basit eğilme gerilmesine (1.22)

denklemi ile verilen kayma gerilmesinin etkisini inceleyelim. Gemi veya açıkdeniz

yapısı boyunca bir bölümünü bir kutu kiriş gibi göz önüne alalım. Bu kiriş üzerindeki

bir ABCDE düz kesiti yapı kesmeli eğilmeye maruz kaldığı için A’B’CD’E’ eğrisel

yüzeyine deforme olur (Şekil 1.13). Bu deformasyonun orta simetri düzlemine

izdüşümünü göz önüne alalım. Doğrusal olarak değişmesi gereken bu

deformasyondaki farklılık kayma gerilmesinden kaynaklanmakta ve

G

(1.23)

ilave genlemesini yaratmaktadır. Kesitin tarafsız eksenden y uzakluğındaki herhangi

bir düzlemini göz önüne aldığımızda bu noktadaki ’ genleme artışının genlemenin

düşey doğrultudaki türevine eşit olacağını görebiliriz.

Şekil 1.13: Gemi veya açıkdeniz yapılarında eğilme gerilmesinde kesme etkisi

17

Gy

(1.24)

Kutu kiriş boyunca deformasyonların sürekli olarak değiştiği düşünülürse ABCDE

düzleminden küçük bir dx mesafesi ileride de benzer bir deformasyon eğrisi elde

edilir. Ancak bu yeni deformasyon eğrisi üzerindeki genlemelerde belirli bir artış olur

ve bu artış da kayma gerilmesinden kaynaklanan eğilme gerilmesi artışını oluşturur.

Bu artışı şu şekilde vermek olanaklıdır.

dy

bIG

Eqdy

GIb

Q

xEdz

GxE

xE

MM

Burada q dengelenmemiş yük dağılımını göstermektedir. Bu durumda kesmeli eğilme

hali için gerilmenin değeri

dybIG

Eq

I

My M (1.25)

şeklinde düzeltilir.

Kesmeli eğilme haline ait gerilme hesabında son bir düzeltme yapmak gerekecektir.

Eğer (1.25) denklemi ile verilen gerilme değeri kullanılarak hesap yapacak olursak

eğilme momentinde kayma gerilmelerinden kaynaklanan bir M eğilme momenti

azalması olacaktır. Bu moment

dSdyb

y

IG

EqdSyM

sS

M

olup dış kuvvetlerle dengenin bozulmasına neden olacaktır. Bu dengenin tekrar tesis

edilebilmesi için gerilme değerinde kesit yüksekliğince doğrusal olarak değişen ve

momenti dM değerine eşit artış yapmak gerekir. Bu durumda kesit içersindeki gerilme

dağılımı

dy

bIG

EqdSdy

b

y

GI

Eqy

I

My

s2

MM (1.26)

değerini alır. Kayma gerilmesinin normal gerilmeye etkisi olduğu kadar sehime de

etkisi olur. Bir sonraki kısımda bu konu göz önüne alınacaktır.

1.5.3 Kayma Gerilmesinin Sehime Etkisi

Daha önce de belirttiğimiz gibi gemideki deformasyonu hesaplarken sadece eğilmeyi

göz önüne almıştık. Oysa gemi ve açıkdeniz yapılarında eğilme hiç bir zaman tek

başına ortaya çıkmaz ve daima kesme ile birlikte ortaya çıkarlar. Kesmeli eğilmeye

maruz kalan gemilerin ve açıkdeniz yapılarının sehimlerinde geminin yüksekliği ile

boyu arasındaki orana bağlı olarak bu faklılık önemli olabilir veya ihmal edilebilir.

Göz önüne alınan yapıda bu oran H/L<1/14 olması halinde önemsizdir ama H/L>1/14

olması halinde kesmenin etkisi önem kazanmaya başlar. Yukarıda kesme kuvvetine

bağlı olarak kesitteki kayma gerilmesini

Ib

QM

olarak elde etmiştik. Diğer taraftan ortalama kayma gerilmesi ile açısal dönme

arasında

Gm

şeklinde bir ilişki vardır. Burada G kayma modülü ve da açısal dönmedir. Kayma

açısının genelde küçük olduğu göz önüne alınarak geometrik yorumlarla

18

xG

x m

olacağı görülür. Diğer taraftan basit kesme halini göz önüne aldığımızda

S

Qc

m

olduğu bilinmektedir. Burada c(x) kesit içinde kayma gerilmesinin dağılımına bağlı

bir sabit, S(x) de kesit alanıdır. Yukarıdaki ortalama kayma ve kesme kuvveti

formüllerinden düşey yer değiştirme için

G

x

S

)x(cQ (1.27)

elde edilir. Burada değerini hesaplayabilmek için sadece c(x) değerini hesaplamak

gerekir. Onun için de kesme kuvvetinin kesit üzerinde yaptığı iş ile kayma

gerilmesinin enerjisinin dengesini yazmak gerekir.

)x(S

22

22

)x(S

2

2

dSbI

Q

G2

xdF

G2

x

G

x

S2

cQQ

2

1 M

Bu denklemlerde kesme kuvvetinin sıfırdan başlayarak zaman içinde çok yavaş

değiştiği varsayıldığı için yaptığı işin önünde ½ katsayısı vardır. Burada dS =

b(x,y)dy olduğu göz önüne alınır ve denklemler düzenlenirse

2

1

h

h

2

2dy

bI

1

S

ca

M (1.28)

elde edilir.Yukarıdaki integralle verilen a(x) değeri hesaplandığında bunun x’e bağlı

olarak pratikte pek değişmediği gözükür ve sehim artışı ao orta kesitte hesaplanan a(x)

değeri olmak üzere

MG

ad)(Q

G

a

QdxG

ad

ox

0

o

o

2

(1.29)

olarak hesaplanır. Burada (x) sehiminin sadece kayma gerilmesinden kaynaklanan

bir artım olduğunu ve bu artımın (1.11) denklemi ile verilen esas sehim değerine ilave

edilmesi gerekmektedir.

1.6: Özel Dış Yük Halleri: Denize İndirme ve Karaya Oturma

Gemilerin dalgalar arasında maruz kaldığı zorlamalar kadar hatta bazı hallerde daha

fazla zorlamalara maruz kaldığı bazı özel haller vardır. Bu hallerden biri denize

indirme halinde ortaya çıkar bir diğeri de geminin ya da açıkdeniz yapısının karaya

oturması halinde karşılaşılır. İlk olarak denize indirme halinde yapıda ortaya çıkan

kesit tesirlerini göz önüne alalım.

1.6.1 Denize İndirne Sırasında Kesit Tesirleri

Gemi veya açıkdeniz yapısı denize indirilirken dış zorlamalar açısından denizde

yüzerkenki halinden farklı olarak kızak basıncından da etkilenir. Ayrıca bütün dış

zorlamalar yapının hareketi nedeniyle sürekli değer değiştirir. Ancak denize inme

sırasındaki ivmeler oldukça küçük kalırlar ve kuvvetlerdeki dinamik değişiklikler

ihmal edilebilir. Örneğin ivmeden ötürü ortaya çıkan atalet kuvveti ağırlığa göre,

denizdeki hidrodinamik basınç sephiyeye kıyasla ihmal edilebilirler.

19

Bu durumda dış zorlamaları meydana getiren kuvvet bileşenlerini şu şekilde

hesaplarız. Öncelikle yapının ağırlığı sadece çıplak tekne ağırlığı olacağından bu yük

Şekil 1.5’de verildiği gibi hesaplanır. Sephiye hesabı ise yapının kızakta aşağıya

kaydıkça çeşitli su derinliklerinde su altında kalan kesitlerini integre ederek yapılır.

Sephiye kuvveti gemi veya açıkdeniz yapısının kıç bodoslaması ile deniz seviyesinin

kesiştiği noktadan başlayıp deniz seviyesinin omurga ile kesiştiği noktaya kadar

devam eder. Yapı denize doğru ilerledikçe sephiye kuvveti hem artar hem de, omurga

ile deniz seviyesinin kesişme noktası daha baş tarafa ilerlediği için, daha uzun bir bir

alana yayılır. Herhangi bir anda gemi ağırlığı ile sephiye kuvveti arasındaki fark da

kızakta oluşan tepki ile karşılanır.

Denize indirmenin başlangıcında gemi veya açıkdeniz yapısı sabit kızak üzerindeki

boyunca sabit kızakla temas halindedir. Bu durumda kızak tepkisi yayılı yük

şeklindedir ve gerçek dağılımı tam olarak belli değildir. Genelde bu dağılımı üçgen

veya trapezoid olarak kabul etmek mümkündür. Burada gemilerin veya açıkdeniz

yapılarının denize indirme sırasında sabit kızakla doğrudan temasta olmadıklarını ve

arada yapının üzerine oturduğu kayıcı bir kızak olduğunu hatırlatmakta yarar vardır.

Bu durumda kızak basıncı sabit kızağın ucundan başlayıp kayıcı kızağın uç noktasına

kadar devam eder. Bu durum sephiye kuvvetinin kayıcı kızağın baş ucuna göre

momentinin ağırlığın aynı noktaya göre

momentini aşana kadar devam eder. Bu hale ilişkin zorlamalar ve oluşan kesit tesirleri

Şekil 1.14a’da verilmektedir.

Şekil 1.14: Denize indirme sırasında oluşan zorlamalar ve kesit tesirleri.

20

Gemi veya açıkdeniz yapısı kızak boyunca bir süre kaydıktan sonra kazandığı

sephiyenin kayıcı kızağın baş ucuna göre momentinin ağırlığın aynı noktaya göre

momentini aştığı andan itibaren yapı dönme yapar ve kızağa sadece bir noktadan,

kayıcı kızağın baş ucundan temas eder. Böylece kızak tepkisi yayılı yük olmaktan

çıkıp bir tekil yüke dönüşür. Bu durumda gerek dış kuvvetlerin gerekse mesnet

tepkilerinin karakterinde değişiklik olur (Şekil 1.14b).

1.6.2.Karaya Oturma Sırasında Kesit Tesirleri

Gemi veya açıkdeniz yapısı herhangi bir nedenle karaya oturursa yapıya etki eden

ağırlık ve sephiye kuvvetlerine ilaveten bir de dipte temas noktasından etki eden ve

sephiye ile aynı yönde olan bir tepki kuvveti oluşur (Şekil 1.15). Karaya oturma

sırasında gemi veya açıkdeniz yapısının ağırlığında herhangi bir değişme olmaz ancak

sephiye değişir. Sephiyenin değişmesi iki şekilde olabilir. Eğer oturma sırasında yapı

hasar görmemişse sephiye sadece su çekiminde meydana gelen değişiklik nedeniyle

ortaya çıkar. Bu durumda sephiye dağılımı gemi boyunca süreklidir. Eğer yapı

yaralanmış ise bu bölgede gemi su alacağından bu bölgedeki sephiyesini yaralanan

bölgeye bağlı olarak tamamen veya kısmen yitirir. Bu halde de geminin su çekiminde

bir değişme söz konusu olur.

Şekil 1.15: Karaya oturma sırasında oluşan zorlamalar ve kesit tesirleri

Gemi veya açıkdeniz yapısının karaya oturmasıyla ortaya çıkan yeni su çekiminde

sephiye dağılımını varsa yaralı bölmelerdeki sephiye kaybını da göz önüne alarak

hesapladığımızda toplam sephiyenin gemi ağırlığından az olduğunu görürüz. Bu fark

oturma kuvvetini verir. Yani

L

0

L

0

ko dx)x(bdx)x(wF (1.30)

olur. Gerçekte bu tepki bir tekil yük olmayıp dar bir aralıkta yayılmış bir yüktür ve

tekil yük olarak alınması bir basitleştirmedir. Dolayısı ile tam olarak hangi noktadan

21

etki ettiği geometrik yorumlarla belirlenemez. Bunu belirlemek için ağırlık, sephiye

ve oturma kuvvetlerinin moment dengesinden yararlanılır. Tepkinin xf konumu

L

0

o

L

0

okoof dx)x(b)xx(dx)x(w)xx(Fxx (1.31)

denkleminden belirlenir.

Burada oturma kuvveti aynen bir mesnet tepkisi gibi göz önüne alınmalıdır. Bu

durumda tepkinin olduğu noktada kesme kuvvetinnde bir süreksizlik ortaya çıkar

(Şekil 1.15). Bu süreksizlik eğilme momentine sivri bir uç olarak yansır. Burada

kesme kuvveti ile eğilme momentinin karakteri denize indirmede geminin yüzmeye

başladığı ikinci fazdaki kesit tesirlerine benzediğine dikkat etmekte yarar vardır.

22

2. GEMİ VE AÇIKDENİZ YAPILARINDA

BOYUNA MUKAVEMET: DİNAMİK

HAL

2.1 Dinamik Yüklerin Tanımı

Gemi veya açıkdeniz yapıları zamana bağlı çeşitli zorlamalar altında kalırlar ve

yapısal tepkileri değişik zorlamalar karşısında farklı olur. Bu farklılıkları birçok

şekilde sınıflamak olanaklı olmasına rağmen en uygun olanı frekansa bağlı olarak

yapılan ve üç gruptan oluşan sınıflamadır. Bu sınıflamaya göre zorlamalar düşük

frekanslı, orta frekanslı ve yüksek frekanslı zorlamalar olarak ele alınırlar. Gemilerin

veya açıkdeniz yapılarının dövünme sonucu maruz kaldığı zorlamalar yüksek frekans

(1000 Hz mertebesinde) zorlamaları olup yerel olma özelliği gösterirler. Ele alınan

yapıdaki makinalardan veya pervanelerden dolayı ortaya çıkan zorlamalar orta frekans

aralığında olup (100 Hz mertebesi) bölgesel kalırlar. Bölgeselden kasıt bütün yapıyı

etkilememekle birlikte sınırlı bir bölgeyi etkilediğidir. Her iki gruba ait zorlamalarda

tepkilerde atalet etkisi ile önemli bir dinamik amplifikasyon gözükür. Gemilerin veya

açıkdeniz yapılarının boylarına yakın olan dalgaların yapı üzerinde oluşturduğu

zorlama düşük frekans (10 Hz mertebesi) grubuna dahildir ve tepkiler dinamik

amplifikasyondan etkilenmezler.

Boyuna mukavemet probleminde dinamik yükleme durumundan söz ettiğimizde

oluşan kuvvetlerde dinamik büyütme etkisinin hemen hemen hiç olmadığı düşük

frekanslı yüklemeleri kast etmekteyiz. Orta ve yüksek frekanslı zorlamalar daha yerel

sorunlar yarattıkları için boyuna mukavemet açısından önem taşımazlar. Büyüklük

olarak yüksek ve orta frekanslı zorlamalar düşük frekanslı ve statik zorlamalara karşı

ihmal edilebilecek kadar küçüktürler. Genellikle düşük frekanslı zorlamalar mertebe

itibariyle statik zorlamalara yaklaşan büyüklükte olurlar ve hava şiddeti arttıkça bu

yaklaşıklık iyice artar. Ancak Şekil 2.1’den de görüldüğü gibi statik yüklemedeki

değişikliklerin yarattığı gerilme artışları dinamik yüklerdeki artışlara kıyasla çok daha

büyük olabilmektedir. Şekil 2.1 ballastlı halde seferde olan geminin oldukça tipik bir

seferi sırasında orta kesitte kaydedilen gerilmeleri göstermektedir. Yatay eksen günler

cinsinden zaman, düşey eksen de klb/in2 cinsinden gerilmelerdir. Şeklin alt tarafında

sefer sırasında geminin seyrettiği denizdeki durumu belirten bir deniz durumu

çizelgesi de verilmiştir. Ana diyagramda daha kalın hatlarla gösterilen eğriler statik

yüklerden dolayı ortaya çıkan gerilmeleri göstermekte, ince düşey çizgiler de

dalgalardaki dinamik etkiler nedeniyle ortaya çıkan gerilme genliklerini

göstermektedir. Deniz koşullarının daha sert olduğu ilk zamanlarda dinamik yüklerin

oldukça yüksek olduğunu, deniz koşullarının iyileştiği daha sonraki zamanlarda

dinamik etkilerin çok küçüldüğü rahatlıkla gözlenmektedir.

23

Şekil 2.1: Bir geminin tipik bir seferi sırasında orta kesitinde ölçülen gerilmelerin

değişimi

Gerçekte statik ve dinamik nedenlerle ortaya çıkan gerilmeleri ayrı ayrı ölçmek

olanağı yoktur. Ancak sürekli alınan ölçmeler zaman üzerinde integre edilince

dinamik kökenli gerilmelerden basınç ve çekme gerilmeleri birbirlerini yok

edeceklerinden zaman içindeki integrasyon statik kökenli gerilme büyüklüklerini

verir. Bu süreç içerisinde ölçülen en büyük basınç gerilmesi ile en büyük çekme

gerilmesi bize dinamik gerilmelerin genliklerini verir.

Bu şekildeki diğer bir önemli husus da yükleme değişiklikleri sırasında ortaya çıkan

kalıcı gerilme değişiklikleridir. Bu değişiklikler geminin maruz kaldığı dinamik

gerilmelere kıyasla daha büyük olduğu açıkça gözükmektedir. Ayrıca statik

gerilmelerin boyut olarak dinamik gerilmelere kıyasla daha büyük değerlere

ulaşabildiği de gözükmektedir. En büyük dinamik gerilmelerin 2-3 klb/in2 olduğu,

seferin son dönemlerindeki balast durumunda statik gerilmelerin 10 klb/in2 değerini

aştığı görülmektedir.

Yukarıda anlatılanlardan da anlaşılabileceği gibi düşük frekanslı zorlamaları statik

yüklerle birlikte ele alıp problemi statik olarak incelemek mümkün olacaktır. Bu

durumda düşük frekanslı zorlamaları yarı-statik yükler olarak ele alıp daha evvelce

işlenen statik yüklere ilave etmek gerekmektedir. Bölümün geri kalan kısmında düşük

frekanslı dinamik yüklerin hesabını, statik yüklere ilave ediliş şeklini ve elde edilen

sonuçların yorumlanmasını ele alacağız. İlk olarak dinamik yüklerin teorik olarak

belirlenişini ele alacağız. Bir sonraki bölümde de dinamik yüklemelerin belirlenmesi

için yapılan deneysel çalışmaları ele alıp model deneylerinden ve gemilerde yapılan

ölçmelerden söz edeceğiz.

2.2 Su Basıncında Dinamik Etkiler: Smith Düzeltmesi

Gemi veya açıkdeniz yapılarının boyuna mukavemeti incelenirken çok önemli iki

kabul yapılmıştı. Bunlardan birincisi geminin veya açıkdeniz yapısının dalga üzerinde

statik denge halinde olduğuydu. Yapının boyuna yaklaşan boylardaki dalgalarda

hareketler oldukça yavaş olacağından bu gerçeğe yakın bir varsayımdır, ancak bu

hareketin mertebesi bazı hallerde önem kazanabilir. Bu hallerde geminin ivmelenmesi

24

ihmal edilemeyecek atalet kuvvetlerinin ortaya çıkmasına neden olur ve ağırlığın yanı

sıra bu atalet kuvvetlerini de göz önüne almak gerekir. Bir ikinci varsayım da bu

denge hali sırasında yapıya denizden gelen etkinin sadece hidrostatik basınç olduğu ve

bu etkinin sephiye dağılımı ile gösterilebileceğidir. Oysa dalgalı bir denizde su

zerreleri genel olarak eliptik, derin sularda da dairesel bir yörüngede hareket ettiği bu

nedenle hidrostatik basınçta bir değişme olduğu bilinmektedir. Basınçtaki bu değişme

şüphesiz denizden gelen etkiyi değiştirmektedir ve bu da yapıdaki kesit tesirlerini

belirli ölçüde etkilemektedir. Bu etki de nispeten küçük olmakla birlikte bazı hallerde

önemli olabilir ve incelenmesi gereklidir. Bu kısımda yukarıda özetlenen dinamik

etkilerden su basıncında oluşan dinamik etkileri ele alacağız. Öncelikle sinüzoidal

dalgalarda bu etkiler incelenecek daha sonra daha gerçekçi olan trokoidal dalgalar ve

bu dalgalardaki değişiklikler ele alınacaktır. Bir sonraki kısımda gemi veya açıkdeniz

yapısının hareketleri sonucu ortaya çıkan dinamik etkiler dalıp çıkma ve baş kıç

vurma halleri için ayrı ayrı incelenecektir. Son kısımda ise karakteristik boyutları

küçük olan açıkdeniz yapılarına gelen dalga yüklerini, bu yüklerden ötürü yapıda

oluşan kesit tesirlerinin hesabını ve yapıların boyutlandırılmasına değinilecektir.

2.2.1 Sinüzoidal dalgalarda dinamik etkiler

Dalgalar içindeki su zerreciklerinin hareketleri nedeniyle basınç değişmesinin boyuna

mukavemete olacak etkisini ilk ele alan W. E. Smith’dir ve bu nedenle boyuna

mukavemet hesaplarında dinamik basıncın göz önüne alınması ‘Smith Düzeltmesi’

olarak bilinir [1]. Dalgalar içindeki zerreler genelde eliptik yörüngeler çizerler ve

deniz derinleştikçe bu dalgaların eliptikliği azalıp derinliğin dalga boyunun yarısından

fazla olması halinde bu yörünge dairesel hale gelir. Bu noktadan itibaren deniz

derinliğinin yeteri kadar büyük olduğunu ve su zerrelerinin yörüngelerinin daima

daire olduğunu varsayacağız. Serbest su yüzeyinin bir dalga yüzeyine dönüşmesi de

serbest su yüzeyindeki zerrenin bu dairesel hareketi neden olur ve serbest yüzeydeki

bu değişme dinamik basınçla orantılıdır. Smith düzeltmesinin dayandığı temel ilke

budur.

Serbest su yüzeyindeki bir zerrenin dairesel yörüngesinin çapı dalga yüksekliğine yani

yarıçapı da dalga genliğine eşit olur. Sebest su yüzeyinden derine gittikçe de

zerrelerin yörüngelerinin çapı derinlikle üstel olarak azalır. Bu durumda,

2

Hre

2

Hoao

z2

az

şeklinde yazılabilir. Burada az ao sırasıyla z derinliğindeki dinamik basınç dalgasının

ve serbest su yüzeyinin genliği, ro serbest yüzeydeki bir zerre yörüngesinin yarıçapı, z

serbest yüzeyden olan mesafe ve da dalganın boyudur. Burada z mesafesinin deniz

içine doğru pozitif olduğunu kabul ediyoruz. Bu durumda serbest su yüzeyinin ve

serbest su yüzeyinden z kadar derinlikteki basınç yüzeyinin denklemleri sırasıyla

tkxCose2

Hx

tkxCos2

Hx

z2

z

o

(2.1)

olarak verilir. Şekil 2.2a’da gemi boyunca bu yüzeyler ve bu yüzeyleri oluşturan

zerrelerin yörüngeleri göterilmektedir. Dalga denklemlerindeki k ve değerleri

sırasıyla dalga sayısı ve açısal frekans olup dalga boyu ve dalga periyou cinsinden

T2

22k

25

olarak verilir. Ayrıca derin su dalgalarında dalga periyodu ile dalga boyu arasında

2

gT 2

ilişkisi vardır.

Şekil 2.2: Sinüzoid dalganın yapısı ve kesit alanlarındaki değişme

Geminin herhengi bir x noktasındaki kesitini göz önüne alalım (Şekil 2.2b). Bu kesitte

dalga yüzeyi kesikli çizgilerle gösterilen sakin su yüzeyinden o(x) kadar altından

gitmektedir. Geminin statik halde bu kesitindeki sephiye kuvveti dolu çizgi ile

gösterilen dalga yüzeyinin altındaki alana eşit olmaktadır. Bu sonuca varırken sakin

su yüzeyinin z kadar altında herhangi bir noktadaki zerrenin de serbest su yüzeyindeki

zerrelerle aynı çapta yörünge çizerek dalga yüzeyinden z kadar derine ulaştığını

varsaymaktayız. Bu durumda bu noktadaki basınç z ile orantılı olacak ve o

derinlikteki zerrenin etkisi de dalga yüzeyi ile çakışacaktır. Oysa yukarıda da

belirttiğimiz gibi z derinliğindeki zerrenin yörüngesi daha küçük olacağından bu

zerrenin konumu z(x) kadar altında olacaktır. Şimdi bu noktadaki basınç z derinliği

ile orantılı olacağından dalga yüzeyinden daha yüksekte olacaktır. Geometrik ilişkiler

göz önüne alındığında bu yüksekliğin

xx zo (2.2)

olacağı kolayca görülebilir. Bu hesapları dalga yüzeyinin altındaki başka noktalar için

de tekrarlarsak kesit genişliğince dinamik etkilerin göz önüne alınmasıyla ortaya

çıkacak yeni bir su yüzeyi ortaya çıkar. Virtüel su yüzeyi olarak tanımlayabileceğimiz

bu yüzeyin alanı dalga çukurunun altına gelen x kesitinde statik haldeki kesit

alanından büyük çıkar (Şekil 2.2c) ancak dalga tepesinin altına gelen x’ kesitinde

statik haldeki kesit alanından küçük çıkar (Şekil 2.2d).

Kesit alanlarında ortaya çıkan bu değişiklikler sephiyenin boyuna dağılımının

değişmesi anlamına gelir. Dalga tepesindeki bir gemide statik yolla hesaplanan

sephiye dağılımımda gemi ortasına rastlayan kısımlarda sephiyede bir azalma uçlarda

ise bir artma oluşacaktır. Gemi dalga çukurunda iken ise tam tersine değişiklik uçlarda

azalma ve ortada artma şeklinde oluşacaktır (Şekil 2.3). Sephiyedeki bu değişim genel

olarak statik halde elde edilmiş olan denge konumunun değişmesini ve geminin yeni

26

bir su çekiminde ve trim halinde dengelenmesi dengelenmesini gerektirir. Yeni denge

konumu elde edildikden sonra hesaplar aynen statik halde olduğu gibi yapılır ancak

yeni denge konumunun bulunması oldukça zordur.

Şekil 2.3: Dalgalardaki dinamik etkinin sephiye dağılımına yansıması

Bu hesapları ilk olarak W. E. Smith grafik olarak uygulamış ve sinüzoidal yerine

trokoidal dalga kullanmıştır. Smith’in yöntemi çok uzun zaman almakta ve çok fazla

sayıda tekrar gerekmektedir. Trokoidal dalgalarda daha sonra Muckle yaklaşık bir

yöntem geliştirmiş ve bu hesapların daha kolay yapılabilmesini sağlamıştır. Burada

Muckle’ın yönteminin uygulanışını sinüzoidal dalgalar için vereceğiz.

Bir an için bir geminin statik halde sinüzoidal bir dalga üzerinde dengelenmiş

durumda {An} n = 1,2,...,N Bon-Jean kesit alanlarının bilindiğini varsayalım(Şekil

2.4). Bu durumda denge koşullarından

N

1nnnn

L

0

G

N

1nnn

L

0

Axc3

x2dxxxAx

Ac3

x2dxxA

(2.3)

denklemlerini yazabiliriz. Burada geminin deplasmanı xG ağırlık merkezinin

boyuna konumu x kesitler arası mesafe cn de Simpson katsayısıdır. Şimdi bu kesit

alanlarnda Smith düzeltmelerini uygulayarak ortaya çıkan {An} n = 1,2,...,N alan

artışlarını veya azalmalarını hesaplayalım. Burada An kesit alanlarının daima pozitif

olduklarına ancak An alan artışlarının pozitif olabilecekleri gibi negatif

olabileceklerini de dikkat etmek gerekir.

Bu bilgiler geminin yeni denge konumunu belirlemek için yeterli değildir ve Smith

düzeltmesinden kaynaklanan alanın su çekimiyle nasıl değiştiğini bilmek gerekir. Bu

bilgiyi doğrudan elde etmek mümkün değildir ama Muckle bu değişimin küçük su

çekimi artışlarında lineer olarak değiştiğinin varsayılabileceğini önermiştir. Bu

varsayımdan yararlanmak üzere denge konumundaki su çekiminden kadar

yukarıdan geçen paralel bir su hattında {A’n} n = 1,2,...,N Bon-Jean kesit alanlarını ve

Smith düzeltmelerinden gelen {A’n} n = 1,2,...,N alan artışlarını da aynı şekilde

hesaplayalım (Şekil 2.4). Bu durumda herhangi bir kesitte statik denge su hattından zn

kadar mesafedeki bir su hattında Smith düzeltmesinden sonra alan değeri

nnnnn

nnn z)AA()AA(

)AA(A

27

şeklinde yazılabilir.

Şekil 2.4: Gemiye ait Bon_Jean alanları ve alanlardaki artışlar.

Smith düzeltmesinden sonra gemi tekrar dengeye gelebilmesi için belli bir miktar

paralel batacak ve bir miktar da trim yaparak yeni bir su hattında yüzmeye

başlayacaktır. Bu su hattı belli bir sakin su yüzeyi etrafında bir sinüzoidal eğri ile

belirlenecektir (Şekil 2.5). Yeni sakin su hattı da doğrusal olarak değişeceği için

baxz

denklemiyle tanımlanabilir. Bu denklemde a ve b katsayıları bilinmeyen değerler olup

yeni su hattının belirlenmesi bu katsayıların hesaplanmasına indirgenmiş olur. Bu

durumda yeni denge koşullarından

N

1nn

nnnnnnnn

L

0

G

N

1nn

nnnnnnn

L

0

bax)AA()AA(

)AA(xc3

x2dxxAxx

bax)AA()AA(

)AA(c3

x2dxxA

(2.4)

yazılabileceği açıktır.

Şekil 1.5: Yeni denge konumunda serbest su yüzeyi ve dalga yüzeyinin geometrisi.

Yukarıda (2.3) denklemleri ile verilen olan denge konumuna ait deplasman ve

deplasmanın boyuna momentlerinin tanımları (2.4) denkleminde yerine yerleştirilir ve

denklem basitleştirilirse

N

1nn

nnnnnnn

N

1nn

nnnnnn

0bax)AA()AA(

Axc

0bax)AA()AA(

Ac

(2.5)

elde edilir. Bu denklemlerd a ve b sabit değerler olup toplamların dışına

çıkartılabilirler ve

28

N

1nnnn

N

1nnn

N

1n

2n

nnnnn

N

1n

nnnnn

N

1nn

nnnnn

xAcqAcp

x)AA()AA(

cR

)AA()AA(cQ

x)AA()AA(

cP

büyüklüklerini tanımlamak suretiyle a ile b bilinmeyenleri için

qPbRa

pQbPa

şeklinde iki lineer denklem elde edilir. Bu denklemlerden a ve b değerleri

QRP

pRqPb

QRP

qQpPa

22

(2.6)

olarak elde bulunur. Böylece yeni su hattı belirlenmiş olur ve bu su hattı üzerinde

dalga profili çizilmek suretiyle yeni sephiye dağılımı Smith düzeltmesi de yapılarak

elde edilir. Bu hesaplar sırasında yaptığımız varsayımlar nedeniyle deplasman ve

deplasmanın boyuna momentini tam olarak tutturamamamız olasıdır. Bu durumda

düzeltme işlemini yeni su hattını esas alarak tekrarlamamız gerekir. Ancak genellikle

Smith düzeltmesi nedeniyle ortaya çıkan trim ve paralel batma çok küçük olduğundan

yapılan varsayımlar büyük ölçüde geçerlidir ve ender olarak düzeltmeleri bir defadan

fazla yapmak gerekir.

1.2.2 Trokoidal dalgalarda dinamik etkiler

Yukarıdaki bölümde göz önüne alınan sinüzoidal dalgalar lineer dalgalardır ve

genellikle yüksekliği küçük olan dalgalar için geçerli olurlar. Ayrıca bu dalgalar

serbest su sathına göre simetri arz ederler. Gerçekte mukavemet hesaplarında önemli

olan yüksekliği büyük olan dalgalardır. Ayrıca gemi mukavemeti açısından önemli

olan bu yüksek dalgalar gerçek deniz koşullarında serbest su hattına göre hiç bir

zaman simetrik olmazlar. Gerçek deniz dalgaları dalga tepelerinin civarında daha sivri

dalga çukurlarında ise daha yayvan olurlar. Bu nedenle boyuna mukavemet

hesaplarında gerçek dalgalara daha yakın özellikler sergileyen trokoidal dalgalar

kullanılır.

Trokoid dalga yatay bir düzlemde kaymaksızın ilerleyen R yarıçaplı bir daire ile aynı

merkezli ve R’den küçük r yarıçaplı bir daire üzerindeki bir noktanın çizdiği eğridir.

Büyük daire derece döndüğünde dairelerin merkezi R kadar ilerlemiş, küçük daire

üzerindeki sabit A noktası da A1 noktasına ulaşmış olur. Büyük daire dönerek

yuvarlanmaya devam edip 2 kadar döndüğünde daire merkezi 2R kadar ilerlemiş ve

A noktası A2 noktasına gelmiş olur. Büyük daire bir tam tur attığında küçük daire

üzerindeki A noktası B noktasına ulaşır ve trokoidal dalga da tamamlanmış olur.

Şekil 2.6 : Trokoidal dalganın geometrisi

29

Bu durumda dalganın yüksekliği ve boyu dairelerin yarı çapları cinsinden R2r2H

şeklinde verilir. Geometrik ilişkiler ile birlikte Bernoulli denkleminden yararlanmak

suretiyle açısal frekans, dalga sayısı ve dalga boyu ile dalga periyodu arasında

R

1k

R

g

T

2

ilişkilerinin olduğu gösterilebilir. Trokoidal dalganın denklemini elde etmek için A1

noktasının koordinatlarını dönme açısı cinsinden yazmak yeterli olur. Bu noktanın x

koordinatı daire merkezinin ilerlemesi ile küçük dairenin dönmesinden oluşan iki

bileşeni vardır ama z koordinatı sadece küçük dairenin dönmesinden ötürü ortaya

çıkar ve trokoidal dalganın denklemi

rCosz

rSinRx (2.7)

şeklinde verilir. Bu denklemlerle verilen trokoidal dalga dalga tepesi civarında daha

sivri dalga çukuru civarında ise daha yayvan olur ve bu özelliği nedeniyle de gerçek

deniz dalgalarına sinüzoidal dalgalardan daha yakındır (Şekil 2.7). Bu özelliği

nedeniyle dalga tepesi ile dalga çukuru arasındaki dalga yüksekliğinin ortasından

geçen ve daire merkezinin ilerleme hattını oluşturan yörünge merkezi doğrusu

trokoidal dalganın altındaki alanı iki eşit parçaya ayırmaz. Böylece yörünge merkezi

doğrusu ile dalga çukuru ile dalga tepesi alanlarını eşit olacak şekilde bölen sakin

serbest su yüzeyi hattı arasında bir mesafe olur.

Şekil 2.7 : Trokoidal dalga ile sinüzoidal dalganın karşılaştırılması

Şekil 2.7’de AD doğrusunun sakin su yüzeyi olduğunu varsayacak olursak ABF

alanının DEF alanına eşit olması gerekmektedir. Bu durumda yarım trokoidal

dalganın altındaki alan ABCD alanına eşit olur ve

RhS

yazabiliriz. Öte yandan yarım trokoidal dalga altındaki alanı

2

rRrdrCosRrSinRrzdxRrS

0

R

0

şeklinde de yazmak mümkündür. Buradan h yüksekliği ve sakin su yüzeyi ile yörünge

merkez doğrusu arasındaki h mesafesi

R2

rhrh

R2

rr

R

rRrh

22

şeklinde hesaplanabilir. Böylece sakin su yüzeyinin yörünge merkez doğrusundan

4

Hh

2

(2.8)

kadar daha aşşağıda olacağını göstermiş olduk. Bu farklılık trokoidal dalgalar

kullanıldığında Smith düzeltmesi uygulamasında sinüzoidal dalgalardaki Smith

düzeltmesi uygulamalarına göre ilave bir terime neden olur. Bu ilave terimi

anlayabilmek için trokoidal dalgalarda Smith düzeltmesini ele alalım.

30

Öncelikle trokoidal dalgaların parametrik denklemlerinden kapalı denklemlerine

geçmek gerekir. Bunun için (2.7) denklemlerinin ilkinden ’yı x’e bağlı olarak bulup

bunu ikinci denklemde yerine yerleştirmek gerekir. Ancak parametrik denklemlerin

nonlineer olması nedeniyle kapalı denklemi analitik olarak elde etmek mümkün

değildir. Ne varki trokoidal dalganın kapalı denklemini

x4cos1

4

rx2rCosz

2

(2.9)

olarak temsil edebilmek olanaklıdır. Trokoidal dalgalarda da su zerreciklerinin

dairesel yörüngeler çizeceğini ve bu yörüngeleri genliklerinin üstel olarak axalacağını

göz önüne alırsak serbest su yüxeyi dalgasını ve z derinliğindeki basınç dalgasını

sırasıyla

x4cos1

8

Hex2Cos

2

Hex

x4cos1

8

Hx2Cos

2

Hx

z2z2

z

o

(2.10)

olarak yazabiliriz (Şekil 2.8). Bu iki dalga arasındaki basınç farklılığı sadece (2.2)

denklemi ile verilen farklılığı ile belirlenemez. Çünkü bu farklılık yörünge merkez

doğruları arasındaki farkı vermekte oysa basınçlar arası fark serbest su yüzeyleri arası

farkla belirlenmektedir. Bu yüzeylerin yörünge merkez doğrularına olan mesafelerinin

yörünge genliklerine bağlı olduğu (2.8) denkleminden gözükmekte ve genliklerin

derinlikle azaldığı hatırlandığında trokoidal dalgalarda basınç farklılığının ilave bir

terim içereceği gözükmektedir.

Şekil 2.8 : Trokoidal dalgalarda basınç farklılıkları

Bu ilave terimin serbest su sathının derinlikle yörünge merkezi doğrusuna

yaklaşmasından kaynaklandığı göz önüne alınacak olursa Smith düzeltmesinden

gelecek basınç farklılığı

2oz

2ozozop HH

4hhxxxh

(2.11)

olarak belirlenir. Trokoidal dalgalarda Smith düzeltmesinin bu noktadan sonra

sinüzoidal dalgalar için izlenen yoldan bir farkı kalmaz.

2.3 Gemi Hareketlerinin Boyuna Mukavemete Etkisi

Dalgalı denizlerdeki herhangi bir yapı dalgaların zorlamasıyla gayet karmaşık

hareketler yaparlar. Bu karmaşık hareketler üçü eksenler doğrultusundaki ötelemeler

diğer üçü de bu eksenler etrafındaki dönmeler şeklindeki altı bileşenden oluşur.

Bunlar

Boy öteleme: Boyuna eksen doğrultusunda öteleme

Yan öteleme: Enine eksen doğrultusunda öteleme

31

Dalıp çıkma: Düşey eksen doğrultusunda öteleme

Yalpa: Boyuna eksen etrafında dönme

Baş kıç vurma: Enine eksen etrafında dönme

Savrulma: Düşey eksen etrafında dönme

olup her bir hareketin ivmesi vardır. Bu hareketlerin ivmeleri kaçınılmaz olarak gemi

üzerinde dinamik kuvvetler yaratır ve geminin mukavemetini de etkiler. Ancak

boyuna mukavemeti sadece dalıp çıkma ile baş kıç vurma hareketleri etkiler ve bu

bölümde sadece bu hareketlerin etkileri göz önüne alınacaktır.

2.3.1 Dalıp Çıkma Hareketinin Boyuna Mukavemete Etkisi

Bir an için sakin suda herhangi bir dış zorlama olmaksızın dalıp çıkma hareketi yapan

bir gemiyi göz önüne alalım. Bu harekete etki eden iki kuvvet vardır. Bunlardan ilki

geminin hareketinden kaynaklanan atalet kuvvetidir ve

2

2

adt

ydF

denklemi ile verilir. Burada y dalıp çıkma hareketine ait yer değiştirme, bunun ikinci

türevi de ivmedir.

Şekil 1.9: Dalıp çıkma hareketinde hareketin temel değişkenleri

İkinci kuvvet ise çevreden gelen Fç tepkisi olup dört bileşenden oluşur. İlk bileşen

geminin düşey hareketi sonucu hacimdeki değişme ile ilgilidir ve gAyFr

şeklinde verilir. Burada A su hattı alanı olup bu su hattında küçük dalıp çıkmaların

hacminin bu taban alanındaki prizmaya eşit olduğu varsayılmaktadır. Gemi dalıp

çıkma hareketi yaparken etrafa yayılan dalgalardan geminin çevresindeki akışkan

bölgesi üzerinde iş yapmakta olduğu bellidir. Bu yapılan işe karşılık çevreden gemi

hareketine bir tepki kuvveti ortaya çıkar. Bu tepki kuvvetinin bir kısmı hareketin

ivmesi ile orantılı olup

32

2

2

edt

ydF

şeklinde verilir. Burada ’ ile verilen büyüklük ek kütle adını alır ve gemi formunun

bağlısı olarak belirlenebilir. Geminin dalıp çıkmasıyla deniz üzerinde yaptığı işten

ötürü çevreden gelen bir diğer tepki kuvveti de dalıp çıkma hızı ile orantılı olup

hidrodinamik sönüm kuvveti olarak bilinen ve

dt

dyF Hs

olarak verilen kuvvettir. Burada sönüm katsayısı olup yine gemi formunun

fonksiyonu olarak belirlidir. Gemiye çevreden gelen son tepki kuvveti ise dalgaların

yarattığı FH zorlama kuvveti olup dalga bilindiği zaman hesaplanabilen bir değeri

vardır.

Sistemin dengede olabilmesi için bütün kuvvetlerin toplamının sıfır olması gerekir ve

buradan dalıp çıkma hareketinin denklemi

HH2

2

FgAydt

dy

dt

yd (2.12)

olarak elde edilir. Bu sabit katsayılı sağ taraflı ikinci derece diferansiyel denklemi

olup genel çözümünü bulabilmek için öncelikle sağ tarafsız denklemin çözülmesi

gerekir. Sağ tarafsız denklemin çözümüne geçmeden önce özel bir hal olan sönümsüz

hareketi incelemekte yarar vardır. Sönümün olmaması halinde sağ tarafsız denklem

0gAydt

ydVV

2

2

(2.13)

şeklini alır. Bu denklemin genel çözümünü

tsinYtcosYty HSHc (2.14)

şeklinde elde ederiz. Burada

VV

gAH

sönümsüz dalıp çıkma hareketinin doğal frekansıdır. Sönümsüz zorlanmamış dalıp

çıkma hareketindeki ivmeyi (2.14) denkleminden

H

H2H

22H2

2 2Ty

T

4y

VV

gAy

dt

yd

şeklinde hesaplayabiliriz. Burada TH geminin dalıp çıkma hareketine ait doğal

periyodu olup sadece geminin formuna bağlı olduğundan gemi tasarlandığı anda

belirlenmiş olur. Buradan gözükmekte olduğu üzere doğal periyodu düşük olan

gemilerde dalıp çıkma hareketlerinde ortaya çıkaccak ivmeler çok daha büyük olur ve

doğal periyod büyüdükçe dinamik etki küçülür.

Zorlanmamış dalıp çıkma hareketinde sönümü de göz önüne alacak olursak hareket

denklemi

0gAydt

dy

dt

ydVV H2

2

(2.15)

olarak elde edilir. Bu da sabit katsayılı ikinci derece diferansiyel denklemi olup genel

çözümü

tsinYtcosYety HSHctH

(2.16)

şeklinde verilir. Burada , ' (2.16) fonksiyonunun türevlerini alıp (2.15)

denklemine yerleştirmek suretiyle

33

2

HH

HH

VV2VV

gA

VV2

olarak elde edilir. Burada ’H sönümlü hareketin doğal frekansı hidrodinamik

sönüm katsayısı olarak bilinir.

Gemi mukavemetinin dalıp çıkmadan nasıl etkilendiğini tam olarak belirleyebilmek

için dalgalardaki dalıp çıkma hareketini incelemek gerekir. Ancak sakin sudaki dalıp

çıkmadan da eğilme momentindeki değişim veya bu değişime neden olan net

kuvvetteki değişim hakkında bilgi edinebiliriz.

Ağırlık dağılımı belli olan bir geminin TH periyodu ve y genliği ile dalıp çıkma

hareketi yaptığını varsayalım. Bu durumda dinamik etkileri ağırlığı oluşturan kütleye

yer çekimi ivmesine ek olarak bu hareketin ivmesinden de bir katkı geldiğini

düşünerek ele alabiliriz. Ayrıca ek kütlenin de aynı şekilde bir katkı sağladığını

varsayarsak birim boya gelen yükü

yT

4

g

wwww

2H

2

şeklinde hesaplayabiliriz. Burada w geminin birim boya düşen ağırlığı w’ birim boya

düşen ek kütleyi göstermektedir. Aradaki + işareti dalma halindeki etkiyi – işareti de

çıkma halindeki etkiyi göstermektedir. Bu durumda ağırlık eğrisi bu ilave değeri göz

önüne alarak çizilmelidir (Şekil 2.10).

Şekil 2.10: Dalıp çıkma hareketinin ağırlık ve sephiye dağılımları üzerindeki etkisi

Dalıp çıkma aynı zamanda sephiye dağılımında da değişiklik yaratacaktır. Bu

değişiklik y dalıp çıkması sonucu geminin denge konumundaki su altı hacmine ilave

olan hacimdir. Dalıp çıkma hareketinin y genliğinin genellikle küçük kaldığını

varsayarsak bu durumda sephiye dağılımı

gaybb

olarak belirlenebilir. Burada a su hattı genişliğinin gemi boyunca değişimini ifade

etmektedir. Buradan net kuvveti düzeltilmiş sephiye ile düzeltilmiş ağırlığın farkı

olarak

y

T

4

g

wwgayqy

T

4

g

wwwgaybq

2

H

2

2

H

2

şeklinde hesaplayabiliriz. Kesme kuvveti ve eğilme momentinde dalıp çıkma

nedeniyle ortaya çıkan artış daha evvelce de olduğu gibi net kuvvetteki

y

T

4

g

wwgayq

2

H

2

(2.17)

artışını sırasıyla bir ve iki kez integre ederek hesaplanır.

34

Sönümlü hareket sırasında iki farklılık ortaya çıkar. Öncelikle dalıp çıkma hareketinin

genliği her seferinde küçülerek devem eder. Bu da dinamik etkinin de giderek

sönmesi anlamına gelir. İkinci farklılık ise HT sönümlü hareketin doğal periyodu

sönümsüz hareketin periyoduna kıyasla daha uzundur. Sönüm nedeniyle periyoddaki

uzamayı hesaplamak oldukça güçtür ama deneyimler bunun %5 ile %10 arasında

kaldığını göstermektedir.

Gerçek anlamda gemi hareketlerinin boyuna mukavemete etkisini inceleyebilmek için

dalgalar içindeki hareketlere bakmak gerekir. Bunun için de geminin hareket

doğrultusu ile açısı yapan bir doğrultudaki periyodu TW boyu olan dalgalar

arasında V hızı ile ilerlediğini düşünelim. Bu durumda gemi ile dalga arasındaki

karşılaşma periyodu TE

2

gc

cosc

V1

TT W

E

olur. Burada ’nın 90o’den küçük değerleri için dalgalar baş taraftan gelirler ve

karşılaşma periyodu dalga periyoduna göre daha küçük değerler alır. Zorlayıcı dalga

kuvvetleri de bu karşılaşma periyodu cinsinden

E

oHT

t2cosFF

şeklinde yazılabilir. Bu denklemde Fo dalga kuvvetinin genliğidir ve hesaplanması

gemi hidrodinamiği konusunun kapsamındadır. Burada bu değerin bilindiği

varsayılacaktır. Gemiye etki eden bu kuvvet de göz önüne alındığında (2.12)

denklemine benzer şekilde zorlanmış sönümlü dalıp çıkma hareketi için

E

oH2

2

T

t2cosFgAy

dt

dy

dt

ydVV

(2.18)

denklemini elde ederiz. Bu denklem ikinci dereceden sabit katsayılı ve sağ taraflı bir

diferansiyel denklemdir ve genel çözümü

H

E

2t

1T

t2cosYtcoseYy (2.19)

şeklinde verilir. Buradaki ilk terim transient zorlama olup doğal frekansa bağlı

zorlanmamış sönümlü hareketi temsil eder ve kısa sürede sönüm nedeniyle yok olur.

İkinci terim dalga zorlamalarından dolayı gelen dalıp çıkma hareketidir ve karşılaşma

periyoduyla dalıp çıkma yapan esas önemli dinamik etkidir. Burada iki bilinmeyen

vardır. Birincisi Y2 dalıp çıkma genliğidir, ikincisi de faz açısıdır ve bu değerler

(2.19) denklemini (2.18) diferansiyel denkleminde yerine yerleştirip transient kısmı

ihmal ederek buluruz. Burada önemli olan iki parametre vardır. Birincisi doğal

frekans TH ile karşılaşma frekansı TE’nin oranı olup uyum katsayısı olarak bilinen

E

HH

T

T

değeridir. Diğer önemli büyüklük de sönüm oranı olup

AVVg

HH

şeklinde tanımlanmaktadır. Bu büyüklükler cinsinden dalıp çıkma genliği ve faz açısı

2

HH

22

H

o

2

21gA

FY

35

2

H

HH

H1

2

olarak hesaplanır. Burada statik paralel batma Y’nin

gA

FY o

olduğu hatırlanırsa dalıp çıkma hareketinde

2HH

22H

2

21

1

Y

Y

oranı büyüme faktörü adını alır ve dinamik etkinin ölçüsüdür. Bu faktör paydadaki

büyüklüğün en küçük değeri için maksimuma ulaşır. Bunu bulmak için paydanın

türevini sıfıra eşitlersek

2HH 21

elde ederiz. Uyum katsayısının bu özel değeri rezonans haline karşı gelir ve sönümün

küçük değerleri için bir’e eşit olur. Sönüm büyüdükçe bu değer azalır ama yine de bir

civarında kalır.

Buradan Y2 ve belli olduktan sonra dalıp çıkma hareketinin sönmeyen kısmından

dolayı ortaya çıkan ivmeyi

H

E2

HH

22H

2E

2

2

2

T

t2cos

21

Y

T

4

dt

yd

olarak hesaplayabiliriz. İvmenin maksimum değeri rezonans halinde ortaya çıkar ve

bunu yaklaşık olarak H = 1 olarak alabiliriz. Bu durumda ivmenin değeri

H

EH2E

2

2

2

T

t2cos

2

Y

T

4

dt

yd

olur. Bu değerin maksimum olabilmesi için faz açısının 90o olması gerekir. Bu

ivmenin maksimum değerinin dalganın maksimum değeri ile aynı anda ortaya

çıkmayacağını gösterir. Rezonans hali dışında da faz açısı ’ya bağlı olarak

sıfırdan farklı çıkar ve genel olarak ivmenin maksimum değeri dalganın maksimum

değeri ile çakışmaz. Bu durumda ivmenin yarattığı maksimum eğilme momenti ile

maksimum statik eğilme momenti çakışmayacağından sadece maksimum ivmeyi

kullanarak maksimum statik eğilme momentini düzeltmek yanlış olur. Doğru hesap

için dalıp çıkma ivmesini değişik anlarda hesaplamak ve bu anlara karşı gelen statik

eğilme momentlerinde (2.17) denklemiyle verilen düzeltmeye benzer bir düzeltme

yapmak gerekir. Burada dikkat edilecek nokta (2.17) denklemindeki doğal dalıp

çıkma ivmesi yerine zorlanmış dalıp çıkma ivmesi kullanarak

H

EH2E

2

T

t2cos

2

Y

T

4

g

wwgayq (2.20)

artışını hesaplarız.

2.3.2 Baş-kıç Vurma Hareketinin Boyuna Mukavemete Etkisi

Bu noktaya kadar sephiyedeki artış ile ağırlıktaki artışın ağırlık merkezlerinin çakışık

olduğu ve bu nedenle statik denge halinden uzaklaşılırken herhangi bir momentin

oluşmadığı varsayıldı. Oysa bu gemilerde hemen hemen hiç karşılaşılmayan bir

durumdur ve bunun sonucu olarak gemi dalıp çıkmaya ilaveten bir de baş kıç vurma

hareketi yapar ve bu nedenle de kesit tesirlerinde bir değişme ortaya çıkar. Bu

36

değişmenin incelenmesi de dalıp çıkma etkisinin incelenmesinde olduğu gibi ele

alınır.

Bir an için sakin suda herhangi bir dış zorlama olmaksızın baş kıç vurma hareketi

yapan bir gemiyi göz önüne alalım. Bu harekete de etki eden dört moment vardır.

Bunlardan ilki geminin atalet kuvvetidir ve

2

2

Ladt

dIM

denklemi ile verilir. Burada baş kıç vurma hareketine ait dönme, bunun ikinci türevi

de baş kıç vurmaya ait ivmedir. Dönme hareketinde atalet momenti söz konusu

olacağından IL baş kıç vurma hareketine ait kütle atalet momentidir. İkinci moment

ise denizden gelen tepki olup geminin suya dalmakta veya sudan çıkmakta olan

hacminin dönme momenti ile ilgilidir. Bu

Lr GMgVGZgVM

şeklinde verilir. Burada V deplasman hacmi olup baş kıç vurma sırasında

dönmelerinin küçük olacağı göz önüne alınarak GZ ile GML arasında başlangıç

stabilitesi ilişkileri geçerli sayılmaktadır (Şekil 2.11).

Bu gemi baş kıç vurma hareketi yaparken çevresindeki akışkan bölgesine de bir

miktar enerji aktarmakta ve çevresi üzerinde iş yapmaktadır. Bu yapılan işten ötürü

ortaya bir moment çıkmaktadır. Bu momentin bir kısmı hareketin ivmesi ile orantılı

olup

2

2

Ledt

dIM

şeklinde verilen üçüncü kuvvet bileşenidir. Burada I’L ek kütle adını alır ve gemi

formunun bağlısı olarak belirlenebilir. Geminin baş kıç vurması ile deniz üzerinde

yaptığı işten ötürü ortaya çıkan bir diğer moment de baş kıç vurma hızı ile orantılı

olup sönüm momenti olarak bilinen ve

dt

dM Pe

olarak verilen kuvvettir. Bu kuvvet sakin suda dalıp çıkma hareketine etki eden

dördüncü kuvvettir ve burada P sönüm katsayısı olup yine gemi formunun

fonksiyonu olarak belirlidir. Bu sönüm katsayısının bir önceki dalıp çıkma

hareketindekinden farklı olduğunu belirtmekte yarar vardır.

Şekil 2.11: Baş-kıç vurma hareketinde hareketin temel değişkenleri

37

Sistemin dengede olabilmesi için bütün momentlerin toplamının sıfır olması gerekir

ve buradan baş kıç vurma hareketinin denklemi

0GMgdt

d

dt

dII LP2

2

LL

(2.21)

olarak elde edilir. Bu denklemde sönümün sıfır olduğunu varsayarsak sönümsüz baş-

kıç vurma hareketine ait genel çözümünü

tsintcost PSPc (2.22)

şeklinde elde ederiz. Burada

LL

LP

II

GMg

sönümsüz baş-kıç vurma hareketinin doğal frekansıdır. Sönümsüz zorlanmamış baş-

kıç vurma hareketindeki ivmeyi (2.22) denkleminden

P

P2P

2

LL

L2P2

2 2Ty

T

4y

II

GMg

dt

d

şeklinde hesaplayabiliriz. Burada TP geminin baş-kıç vurma hareketine ait doğal

periyodu olup sadece geminin formuna bağlı olduğundan gemi tasarlandığı anda

belirlenmiş olur. Buradan gözükmekte olduğu üzere doğal periyodu düşük olan

gemilerde dalıp çıkma hareketlerinde ortaya çıkaccak ivmeler çok daha büyük olur ve

doğal periyod büyüdükçe dinamik etki küçülür.

Şimdi sönümün de varolduğu hali ele alacak olursak (2.21) denklemiyle verilen sabit

katsayılı ikinci derece diferansiyel denklemi olup genel çözümü

tsintcoset PSPctP

(2.23)

şeklinde verilir. Burada P, P’ (2.23) fonksiyonunun türevlerini alıp (2.21)

denklemine yerleştirmek suretiyle

2

LL

P

LL

LP

LL

PP

II2II

GMg

II2

olarak elde edilir. Burada ’P sönümlü hareketin doğal frekansı P hidrodinamik

sönüm katsayısı olarak bilinir.

Dalgalı denizlerde gemiye dalga kuvvetinin yanısıra gemiyi baş kıç vurmaya zorlayan

bir de MP baş kıç vurma momenti etki eder. Bu moment yine karşılaşma frekansının

bağımlısı olup

E

oTT

t2sinMM

şeklinde verilir. Burada Mo dalgalardan gelen baş kıç vurma momentinin genliği olup

hesabı gemi hidrodinamiğinin kapsamında kalmaktadır ve burada ele alınmayacaktır.

Mo değerinin bilindiği varsayılarak hareket denklemi

E

oLP2

2

LLT

t2sinMGMg

dt

d

dt

dII

(2.24)

şeklinde verilir ve bunun genel çözümü

P

E

2PPt

1T

t2sintsine P (2.25)

olarak elde edilir. Yine transient kısmı ihmal edersek uzun süreli hareketin 2

genliğini ve P faz açısını baş-kıç vurmaya ait

38

E

PP

T

T

uyum katsayısı ile

L

PP

GMVVgVk2

hidrodinamik sönüm katsayısı cinsinden

2P

PPP

2P

222P

m2

1

2

41

olarak elde ederiz. Maksimum baş-kıç vurma genliği de P = 1 – 22

P olduğu zaman

elde edilir. Sönümün küçük olduğu hallerde bu yine rezonans haline karşı gelir. Bu

durumda baş kıç vurma ivmesi ve bunun en büyük değeri

m

2E

2

max

2

2

E

m

2E

2

2

2

T

2

dt

d

T

t2sin

2T

4

dt

d

olacaktır. Bu değer de dalga zorlaması ile faz farkına sahip olduğundan baş-kıç vurma

sonucu ortaya çıkan dinamik eğilme momentinin maksimum değeri de statik eğilme

momentinin maksimum değeri ile çakışmaz ve burada da dinamik katkıyı dalıp çıkma

etkisini hesaplarken izlediğimiz yol ile hesaplarız. Ancak herhangi bir anda dinamik

katkıyı göz önüne alırken dalıp çıkma halinde yapılan hesap yöntemi ile önemli bir

farkı vardır.

Dalıp çıkma hareketinden farklı olarak baş kıç vurma hareketi bir dönme hareketi

olduğundan gemi üzerindeki her noktada ivmeler aynı olmaz. Dönme merkezinde

ivme olmayıp bu merkezden uzaklaşıldıkça konumun dönme merkezine göre

konumuna bağlı olarak artar veya azalır. Bu durumda ağırlık üzerindeki artış

2

2

dt

d

g

wxw

(2.26)

şeklinde olur. Baş kıç vurma esnasında gemideki su çekimi değişmesi de aynı

nedenlerle sabit olmayıp gemi boyunca

gaxb (2.27)

şeklinde değişir. Bu durumda statik ağırlık ve sephiye eğrilerindeki düzeltme dalıp

çıkma halindekine kıyasla farklılık gösterir (Şekil 2.12).

Şekil 2.12: Baş kıç vurma hareketinin ağırlık ve sephiye dağılımları üzerindeki etkisi

39

Net kuvvetler bu şekilde hesaplandıktan sonra kesme kuvveti ile eğilme

momentindeki değişikliklerin hesabı için dalıp çıkma hareketinde izlenen yol aynen

izlenir. Dalgalardaki hareketlerin toplam etkisini hesaplamak için bu iki etkiyi birlikte

hesaplamak gerekir. İki etkinin toplanması sırasında her iki etkinin arasında da

genelde bir faz farkı olacağına dikkat etmek gerekir. Bu nedenle her iki etkiyi de

çeşitli konumlarda hesaplayıp toplamları almak çok önemlidir.

2.3.3 Dalgalarda Yanal Eğilme

Şu ana kadar dalgaların boyuna mukavemete etkisi göz önüne alınırken dalga

cephesinin geminin ilerleme yönüne daima dik geldiği varsayıldı. Bu durumda dalga

yüzeyi ile herhangi bir kesitin arakesiti daima ana güverteye paralel bir doğru

oluşturur. Bu da gemi üzerinde sadece düşey bir yük dağılımına ve düşey eğilme

zorlamalarına neden olur. Eğer geminin ilerleme doğrultusu ile daga cephesi

birbirlerine dik olmak yerine açılı iseler dalga cephesi ile orta simetri düzlemi

arasında da aynı açı ortaya çıkar. Bunun sonucu olarak dalga yüzeyi ile herhangi bir

kesitin arakesiti artık ana güverteye paralel olan bir doğru yerine ana güverteye

meyilli bir eğri oluşturur. Bu da kesitin iki yanındaki su çekiminin birbirinden farklı

olması, yani iki taraftaki hidrostatik basınçların arasında bir fark oluşması anlamına

gelir. Kesitin iki tarafında farklı hidrostatik basınçların oluşması da o kesitte net bir

kuvvet oluşmasına neden olur. Böylece gemi boyunca yanal bir kuvvet dağılımı ve bu

kuvvet dağılımının neden olduğu bir yanal eğilme ortaya çıkar.

Burada iki noktaya değinmekte yarar vardır. İlk olarak ortaya çıkan bu yanal kuvvetin

gemi boyunca işaret değiştireceği ve gemi boyunca integre edildiğinde toplamının

sıfır olacağını belirtmek gerekir. Eğer bu toplam kuvvet sıfır olmazsa gemiye etki

eden yanal bir kuvvetin oluşması geminin yanal olarak hareket etmesine neden

olacaktır. İkinci olarak da her kesitte ortaya çıkan dengelenmemiş kuvvetin kesitin alt

tarafından etki ediyor olması kuvvetin etki doğrultusunun kesit merkezinden

geçmeyip kesit üzerinde bir burulma momenti de yaratacağını belirtmek gerekir. Bu

da gemi boyunca bir burulma momenti ile bunun yaratacağı bir burulma

deformasyonunun ortaya çıkmasına neden olur. Burada sadece yanal eğilmeyi ele

almakla yetineceğiz.

Şekil 2.13: Dalgalarda yan eğilmenin ortaya çıkışı

Dalgalar arasında dalgalara açılı olarak hareket eden bir gemiyi göz önüne alacak

olursak, dalga boyuna göre gemi genişliğinin küçük olacağını varsayabiliriz. Bu

durumda dalga yüzeyinin gemi kesiti ile arakesitini meyilli bir doğru olarak ele

almakla büyük bir hata yapmış olmayız (Şekil 2.13). Genellikle dalgalı denizlerde

40

dalga yüzeyini sinüsoidal dalga olarak ele alırız ve uzun cepheli sinüsoidal bir

dalganın yüzeyini

x2

Cosa

denklemi ile gösterebiliriz. Burada daga boyu a da dalga genliği olup dalga

cepheleri y doğrultusunda uzandığından dalga yüzeyi bu doğrultuda değişiklik

göstermemektedir. Dalga yüzeyinin geminin ilerleme doğrultusu olan s

doğrultusundaki meyli dalga yüzeyinin bu doğrultudaki türevini alarak

ds

dy

yds

dx

xs

şeklinde hesaplanmaktadır. Burada dalga yüzeyinin y doğrultusunda değişmediği ve

Şekil 2.13’den

Cosds

dySin

ds

dx

ilişkilerinin geçerli olacağı gözüktüğünden s doğrultusundaki dalga yüzeyi meyli

xSin

2Sin

2

s

a (2.28)

olarak bulunur. Bu durumda dalgaların geliş yönüyle açısı yapan bir doğrultuda

ilerleyen bir geminin herhangi bir x noktasındaki kesitinde oluşacak su hattının meyli

(2.28) denkleminden belirlenebilir ve bu meyil yardımı ile iki bordadaki d1 ve d2 su

çekimleri belirlenebilir (Şekil 2.14).

Şekil 2.14: Eğimli dalgalarda meyilli su hattı ve hidrostatik basınç dağılımı

Gemiye etki eden yanal kuvvet dağılımını bulmak için hidrostatik basıncı göz önüne

almak durumundayız. Su hatttından z kadar derinde hidrostatik basınç gzp

olur. Burada su yoğunluğu ve g de yer çekimi ivmesidir. Dış kaplama üzerindeki

sonsuz küçük ds elemanına dikine etki eden kuvvet de gzds olacağından gemiye etki

eden yatay kuvvet

dsgzCosdf

şeklinde olur. Burada açısı bordo meylini göstermekte olup genelde kesit etrafında

değişkendir. Kesite etki eden yanal kuvveti hesaplamak istersek sonsuz küçük df

kuvvetini kesit etrafında integre etmemiz gerekmektedir. Bu da bize

dszCosgf y (2.29)

denklemini verir. Bu integrali hesaplamak için gemi kesitlerinin bazı özelliklerinden

ve açısının tanımından yararlanmamız gerekmektedir. Gemi kesitleri orta simetri

düzlemine göre simetrik olduğu için (2.29) integralini iki parça halinde yazar ve bu

integrallerde

ds

dzCos

41

olduğunu göz önüne alırsak

2

2

2

1

d

0

d

021

s

y dd2

gzdzzdzgdszCosdszCosgf

21

elde ederiz. Bu herhangi bir kesite etki eden yanal kuvveti vermekte ve gemi boyunca

değişen su çekimleri d1 ve d2’ye bağlı olarak farklı değerler almaktadır. Bu kuvveti ve

gemiye bağlı eksen takımında sabit bir noktaya göre momentini alıp gemi boyunca

entegre edersek

L

2

2

2

1y

L

2

2

2

1y

dxxdxdx2

gM

dxxdxd2

gF

integrallerini buluruz. Bu integraller gemiye dalgalar nedeniyle etki eden yanal kuvvet

ve momenti vermektedir. Bu ana kadar göz önüne sadece statik etkileri göz önüne

aldık ve hesapladığımız yanal kuvvet ve moment sadece bu statik etkileri

içermektedir. Geminin rotasını koruyabilmesi için de bu kuvvet ve moment sıfır

olması gerekmektedir. Ancak yukarıdaki gibi hesaplanan kuvvet ve moment çok

ender olarak sıfır çıkar. Bu kuvveti ve momenti dengeleyen ve geminin yanal öteleme

ve savrulmasını engelleyen dinamik kuvvetlerdir. Dinamik etkiler bu kuvvet ve

moment dengesinden hesaplanır.

Önce yan ötelemeden ortaya çıkan dinamik kuvveti göz önüne alalım. Geminin yan

ötelemesi y ile gösterileceğine göre gemiye etki eden yan öteleme kuvveti

2

2

ydt

ydF (2.30)

olarak yazılabilir. Burada geminin deplasmanı olup

L

dxxA )(

integralinden hesaplanabilmektedir. Burada A(x) geminin bir x konumundaki su altı

alanını göstermektedir. ’ ise geminin yanal hareketi sonucu denizde ortaya çıkan

tepki kuvvetini temsil eden ek kütledir ve gemi geometrisi belli olduğu takdirde

hesaplanabilmektedir. Bu durumda (2.30) denkleminde bilinmeyen tek değişken yanal

öteleme ivmesidir ve bu denklemde daha evvelce hesaplanmış büyüklükleri

kullanarak gemide ortaya çıkan yanal öteleme ivmesini hesaplayabiliriz. Burada

dikkat edilmesi gereken şey deplasmanı hesabında g yerçekimi ivmesi

kullanmayarak deplasmanın kütle biriminde olması sağlanmıştır.

Geminin yanal öteleme yanısıra statik momenti dengelemek üzere bir savrulma

hareketi de yapacağını belirtmiştik. Şimdi gemini savrulmasını orta simetri ekseni ile

yaptığı açısı ile gösterecek olursak gemiye etki eden savrulma momenti

2

2

yyydt

dIIM

(2.31)

olarak verilir. Burada Iy geminin savrulma ataleti, I’y de savrulmaya ait ek kütle

miktarıdır. Burada da tek bilinmeyen savrulma hareketinin ivmesidir ve daha evvelce

hesaplanmış büyüklükleri bu denkleme yerleştirmek suretiyle hesaplanabilir.

Gemiye etki eden ivmeler hesaplandıktan sonra dinamik kuvvetlerin gemi üzerindeki

dağılımlarını hesaplamak oldukça kolaydır. Bunun için geminin herhangi bir x

konumundaki ivmesi ile aynı noktadaki kütlesini bilmek yeterlidir. Herhangi bir x

42

noktasında kesit alanı A(x) ile ve ek kütlesi de a(x) verilmiş ise o kesitteki toplam

kütlesi )()()( xaxAxm

olarak belirlenir. Aynı konumdaki kesitin ivmesi ise yanal öteleme ve savrulma

ivmelerinin bileşeni olup

2

2

2

2

dt

dx

dt

yd)x(

şeklinde hesaplanır. Herhangi bir x konumunda kütle ve ivme belli olduğunda

bunların çarpımı olarak dinamik kuvveti hesaplayabiliriz. Bu durumda geminin

herhanfi bir x konumunda gemiye etki eden toplam yanal kuvvet dağılımını

2

2

2

222

21y

dt

dx

dt

yd)x(a)x(A)x(d)x(d

2

g)x(f (2.32)

şeklinde buluruz.

Burada hesaplanan yanal kuvvet dağılımını gemi boyunca herhangi bir x noktasına

kadar integre edersek bu x noktasında gemiye etki eden yanal kesme kuvvetini

hesaplamış oluruz. Kesme kuvvetini gemi boyunca herhangi bir x noktasına kadar

integre edersek de bu x noktasında gemiye etki eden yanal eğilme momentini

hesaplamış oluruz.

Bir geminin kesitine etki eden gerilme dağılıımının gerçek değerini hesaplamak için

yanal eğilme ve düşey eğilme momentlerini ayrı ayrı ele almak yerine bu momentlerin

bileşkesini kullanmak gerekir. Bu iki momentin bileşkesini hesaplarken iki momentin

zamana bağlı olduklarını ve aralarında faz farkı olabileceğini göz önüne alarak hesap

yapmak gerekir. Ayrıca burada yapılan hesaplarda dinamik kuvvetlerin sadece ivme

ile orantılı olduğu ve hızla orantılı olan sönüm kuvvetlerinin tamamen ihmal edildiğni

belirtmekte yarar vardır. Gerçekte sönüm kuvvetleri de oldukça önemli olabilirler ve

bu şekilde yapılan hesaplar sadece yaklaşık hesaplardır.

2.4 Küçük Boyutlu Yapılarda Hesap yöntemi

Buraya kadar ele alınan hesaplarda genellikle viskoz etkiler ihmal edilerek akışkanın

sadece potansiyelden türeyen zorlamalara maruz kaldığı varsayılmıştır. Bu yaklaşım

göz önüne aldığımız büyük boyutlu yapılarda oldukça geçerlidir. Burada boyutların

büyüklüğünden söz ederken karakteristik boyun dalga boyuna kıyasla büyük veya

aynı mertebede olduğu hallerden söz ediyoruz. Karakteristik boyutları dalga boyuna

göre küçük olan yapılarda ise saçılma önemini kaybetmekle birlikte viskoziteden

kaynaklanan kuvvetler ihmal edilemeyecek boyutlara ulaşırlar. Bu tip yapılara en

belirgin örnek yüzer platformlardır. Bu açıkdeniz yapıları oldukça büyük boyutlarda

olmalarına rağmen birçok silindirik kolon ve kirişlerden oluştukları için denizle ara

kesitlerini oluşturan karakteristik boyutları oldukça küçük olur (Şekil 2.15). Dolayısı

ile bu kolonların etrafında viskoz etkiler nedeniyle önemli kuvvetler ortaya çıkar ve

sadeve potansiyel teori ile yapılan kuvvet hesaplarında ciddi hatalarla karşılaşılır.

Gerçekte yüzer platformlar yapıları itibariyle gemilere çok benzemezler. Bu yapılarda

boy çoğu zaman genişlikle hemen hemen aynı değerlere sahiptir. Ancak yapı bu

boyutlar arasında süreklilik göstermez. Yapılar genellikle silindirik tüplerden oluşan

yapılardır. Genellikle ana elemanlar düşey ve yatay olarak yerleştirilir ancak bu

elemanların bağlantı noktalarında oluşacak büyük gerilmeler nedeni ile yardımcı

elemanlar kullanarak yapının mukavemetini artırma yolu seçilir. Böylece ortaya çıkan

43

yapı bir gemiden ziyade üç boyutlu bir kafes sistemine benzer ve mukavemet analizi

çoğunlukla üç boyutlu bir kafes sisteminin analizi şeklinde yapılır.

Şekil 2.15: Yüzer platformların geometrisi ve karakteristik boyutları

Yüzer bir kafes sistemine etki eden kuvvetler, sistemin ağırlığı, sephiyesi ve dalgalar

nedeni ile ortaya çıkan kuvvetlerden oluşur. Yapının ağırlığını kafes sistem üzerinde

her bir elemanın ağırlığı hesaplanarak dağıtılır. Örneğin silindirik elemanların birim

uzunluğuna isabet eden ağırlığı belli olduğundan her eleman üzerindeki ağırlık

dağılımı belli olur. Ayrıca platformun üzerinde de makina ve teçhizat ağırlıkları bağlı

bulundukları aralıklarda uygun şekilde dağıtılırlar. Sephiyenin dağıtımı için de

yapının su içerisindeki elemanları üzerinde statik basınç göz önüne alınır. Burada

statik basıncın su seviyesi, yoğunluk ve yerçekimi ivmesi çarpımına eşit olduğunu

hatırlıyoruz. Böylece statik olan yükler kolaylıkla belirlenmiş olur ve problem sadece

dinamik zorlamaların belirlenmesine indirgenir.

Dinamik zorlamaların hesabı için izlenecek yolun gemilerden farklı olduğunu daha

evvelce de belirtmiştik. Bu yapılarda silindirik elemanlara gelen zorlamalar tek tek

hesaplanır. Bu hesap yöntemi 1950’li yıllarda ilk defa Morison tarafından ortaya

atılmış yarı ampirik bir yöntemdir. Bu yönteme göre silindirik bir elemanın birim

uzunluğundaki bir parçasına etki etmekte olan kuvvet

nM

2

nnDC

4

DC

2

Ddsp

d

dauun

F

(2.33)

şeklinde verilir. Burada p her bir elemanın yüzeyine etki eden dinamik basınç, n göz

önüne alınan eleman yüzeyinin dış normal vektörü, ds silindirin çeperi üzerindeki

uzunluk elemanı, deniz suyu yoğunluğu, D silindir çapı, CD sürükleme katsayısı

(drag coefficient), un deniz suyunun elemana normal doğrultudaki hız vektörü, CM ek-

kütle katsayısı ve an deniz suyunun elemana normal doğrultudaki ivme vektörüdür.

Yukarıdaki formül incelendiğinde bir elemanın birim uzunluğuna etki eden dinamik

kuvvetlerin üç bileşenden oluştuğu gözükmektedir. Bunlardan birincisi dinamik

basınç nedeniyle ortaya çıkan kuvvet bileşenidir ve viskoz etkileri içermemektedir.

Basıncı hesaplarken silindirin çapının dalga boyuna kıyasla oldukça küçük olduğunu

ve bu nedenle saçılmanın ihmal edilebileceğini kabul ediyoruz. Dolayısı ile açısal

frekansı , dalga boyu ve genliği a olan bir dalganın yaratacağı dinamik basınç

44

tySinxCosizexpgpa

(2.34)

olarak verilir. Burada dalganın ilerleme yönü ile x ekseni arasındaki açı, dalga

sayısı olup

g

2 2

ilişkisinden elde edilir. Burada dikkat edilmesi gerekli olan nokta xyz eksen takımının

global eksen takımı olduğu ve integrasyonun ise yerel koordinat takımı olan

eksen takımında yapılması gerektiğidir. Bu durumda xyz değişkenlerini

değişkenleri cinsinden yazmak gerekir. Bu ilişki her bir elemanın xyz eksen takımına

göre doğrultu cosinüsleri cinsinden elde edilebilir.

İkinci ve üçüncü bileşenler viskoz etkileri göz önüne alan bileşenlerdir. Açıkdeniz

yapılarının hareketlerini incelerken de göz önüne aldığımız gibi akışkanla yapı

arasındaki etkilerde oluşacak kuvvetlerin bir kısmının hız ile bir kısmının da ivme ile

orantılı olacağını varsayıyoruz. İkinci terimde ilk bakışta orantının hızın karesi ile

olduğu düşünülebilir. Ancak dikkatli bakılırsa ikinci hız vektörünün mutlak değeri

alınmakta ve bu da debiye karşı gelmektedir. Burada

2

Dm

nu

elemanın birim uzunluğundan birim zamanda geçen deniz suyu miktarını

göstermektedir. Buradaki CD katsayısı boyutsuz bir katsayı olup debinin hangi oranda

etkili olduğunu göstermektedir ve deneysel olarak tayin edilir. Ancak deney yapma

olanağı olmadığı durumlarda bu katsayıyı CD = 0.8 olarak kabul etmek uygun olur.

Son terimde de ivme ile orantılı olan kuvvetler verilmektedir. İvme ile orantılı olması

nedeniyle buradaki CM katsayısına ek-kütle katsayısı denir ve silindirin birim

uzunluğundan geçen

4

Dm

2

kütlesinin orantı katsayısıdır. Bu katsayı da sürüklenme katsayısı gibi deneysel olarak

tayin edilir, ancak deney olanakları olmaması halinde yaklaşık hesap için CM = 2.0

olarak alınabilir.

Burada kullanılan un hız vektörü ile an ivme vektörü rölatif hareketin hızıdır. Yani bu

hızları hesaplarken sadece dalgadaki zerrelerin hızlarını göz önüne almak yeterli

olmaz. Bu hız bileşenlerini yüzer platformun hareketlerini de göz önüne alarak

düzeltmek gerekmektedir. Yine potansiyel teoriden dalgalardaki su zerrelerinin hız

bileşenleri

tySinxCosizexpiw

tySinxCosizexpSinv

tySinxCosizexpCosu

a

a

a

olarak bilindiği için yüzer platformun hareketlerinden hesaplanacak

)tiexp(xyiw

)tiexp(xziv

)tiexp(yziu

543

642

651

hız bileşenleri ile toplanarak relatif hız vektörü

kjiu wwvvuun

45

şeklinde elde edilirler. İvmeler için de benzer şekilde

kjiazzyyxxn

aaaaaa

olarak hesaplanır. İvme bileşenleri ilgili hız bileşenlerinin zamana göre türevleri

alarak

)t(sinyzxz

)t(Cosxya

)t(sinxyyz

)t(Cosxza

)t(sinxzxy

)t(Cosyza

tySinxCosCoseea

tySinxCosSineSina

tySinxCosSineCosa

2

65156424

2

543

2

z

2

54346516

2

642

2

y

2

64265435

2

651

2

x

z

a

z

a

2

z

z

a

2

y

z

a

2

x

şeklinde hesaplanırlar. Burada ivmeleri hesaplarken alınan türev sadece zamana göre

kısmi türev olmayıp hareketi takiben alınan türev olduğuna dikkat çekmekte yaray

vardır. Sabit platformlarda nu ve na büyüklüklerinin sıfır olacağı açıktır. .

46

3. GEMİ VE AÇIKDENİZ YAPILARINDA

DENEYSEL ÇALIŞMALAR

3.1 Giriş

Gemi ve açıkdeniz yapılarının maruz kaldıkları yüklerin deneysel olarak belirlenmesi

söz konusu olduğunda bu güne kadar uygulanan yöntemleri üç gruba ayırmak

olanaklıdır. Bunlar

Gemilerde yapılan statik deneyler

Gemiler seferdeyken yapılan ölçmeler

Model deneyleri

Bunların tarihi gelişimleri ve yapılış amaçları oldukça büyük farklılıklar göstermekte

ve her biri de farklı zorluklar gösterir. Gemilerde statik deneylerin bir yüzyıla yakın

bir geçmişleri vardır ve amaçları büyük ölçüde gemilerde mukavemet hesapları için

kullanılan basit kiriş modelinin geçerliliğini irdelemekle sınırlı kalmıştır. Gemiler

seferdeyken yapılan ölçmeler ikinci dünya harbi sonlarına doğru başlamış ve daha

ziyade dinamik yükler altında ve kritik noktalarda gerilme ölçmeleri yapmayı ön

planda tutmuştur. Bu tür ölçmeler mevcut geminin güvenliğini gözetmekle birlikte bu

ölçmeler bazı problemleri anlamak ve daha sonraki tasarımlarda gerekli düzeltmeleri

yapmaya da yaramaktadır. Model deneyleri ise çok daha yakın bir dönemde

geliştirilmiş ve hem tasarlanmakta olan bir geminin yapısal performansı hakkında

bilgi edinmek ve ortaya çıkması muhtemel sorunları öngörüp gerekli önlemleri almayı

amaçlar hem de genel sorunlara ışık tutacak araştırmalar için kullanılır. Gemilerde

yapılan ölçmelere kıyasla çok daha ucuz oldukları gibi istenen koşulları ölçekli olarak

yaratabilmek ve de çevre koşullarını tamamen kontrol edebilmek imkanını

sağlamaktadır. Her üç deneysel çalışma yöntemini de ileriki bölümlerde ayrıntılı

olarak ele alacağız.

3.2 Gemilerde Yapılan Statik Deneyler

Gemiler üzerinde yapılan ölçmelerin ilki İngilterede Wolf adlı harp gemisi üzerinde

20inci yüzyılın başında yapılmıştır. O dönemlerde ölçme tekniklerinin çok sınırlı

olduğu göz önüne alınırsa bu deney teknik açıdan ziyade tarihi açıdan önem taşır.

Deneyler denizde gemilerin kırılarak kaybolmaları üzerine gerçekleştirilmiş ve gemi

yapısının bilinen eğilme momentleri altında nasıl davranacağını belirlemek amacıyla

yapılmıştır. Bu açıdan bu deneyler kirişlerin eğilme teorisinin gemiler gibi karmaşık

yapılarda uygulanması konusunda önemli bir nirengi noktası oluşturmuştur.

Deney için gemi bir kuru havuza alınmış ve havuzun kapakları kapatıldıktan sonra

suyu yavaş yavaş azaltılmaya başlanmıştır. Havuzun suyu azaldıkça gemi daha

evvelce özel olarak hazırlanıp havuza yerleştirilmiş beşiklere oyurmaya başladıkça

geminin üzerinde ölçmeler yapılmıştır. Geminin ağırlık dağılımı ve hidrostatik

47

büyüklükleri bilindiğinden gemi üzerine etki eden yükler hesaplanabilmekte ve

yapılan ölçmelerle birlikte gemi yapısının yükler altındaki davranışına ilişkin bilgiler

elde edilebilmiştir. Deney sırasında Stromeyer tipi mekanik genleme ölçerler

kullanılarak genlemeler ve havuz içinde gemi boyunca yerleştirilmiş direkler

aracılığıyla gemi yapısındaki çökmeler ölçülmüştür. Deneyler beşiklerin yerlerini

değiştirerek tekrarlanmış ayrıca her bir deney sırasında değişik su seviyelerinde

ölçmeler yapmak suretiyle hem çökme hem de sarkma durumları için oldukça geniş

bir veri bankası oluşturulmuştur.

Bu deneyler sırasında kullanılan genleme ölçerlerin yapısı itibariyle ölçmeler çok

sınırlı sayıda noktada ve ancak su seviyesi üstünde gerçekleştirilebilmiştir. Bu önemli

bir sınırlama olup dış kaplamanın homojen olmaması halinde oldukça yanıltıcı

sonuçlara neden olabilir. Nitekim elde edilen ölçmeler ile teorik hesaplar arasında

oldukça büyük farklılıklara da rastlanmış ve bazı noktalarda ölçülen genlemelerin

hesaplanan genlemelerden %50 oranında küçük olduğu tespit edilmiştir (Tablo 3.1).

Burada dış kaplamanın homojen olmaması sonucu bazı kısımlarda yük altında

burkulma olmuşsa kesit içerisinde ortalama gerilmenin hesaplanması sırasında önemli

hatalar ortaya çıkacakdır. Bu farklılıklara karşın gerilmelerin gerek karakter itibarıyla

gerekse sayısal olarak teorik sonuçlara benzer bulunmuş ve kullanılan teorik

yaklaşımın geçerli olduğuna kanaat getirimiştir. Ancak tarafsız eksenden çok uzak

larda nonlineerliğin önemli olduğu da saptanmıştır.

Gerilmeler Omurga Güverte

(İskele)

Güverte

(Sancak)

Hesaplanan 114 N/mm2 85 N/mm

2 85N/mm

2

Gözlenen 86 N/mm2 46 N/mm

2 24 N/mm

2

Tablo 3.1: Wolf deneylerinde ölçülen ve hesaplanan gerilme değerleri

Ölçülen çökmelerde ise çok daha büyük farklılıklar saptanmıştır. Oluşan bu

farklılıkların dış kaplamada oluşabilecek

burkulmalar

kayma gerilmeleri

gibi ikincil etkiler sonucu ortaya çıktığı düşünülmüştür.

Daha sonraki yıllarda bu tip deneyler Preston, Bruce ve Albuera adlarındaki üç

gemiye daha uygulanmıştır. Aradan geçen süre içinde ölçme tekniklerinde ortaya

çıkan gelişmeler bu gemilerde çok daha güvenilir ölçmeler yapılmasına olanak

vermiştir. Her üç gemi de daha evvelce denenmiş olan Wolf gibi perçinli gemilerdir.

Deneyin uygulanmasında ise önemli bir değişiklik olmamış ve yine kuru havuzda

suyun yavaş yavaş boşaltılması sırasında ölçmeler yapılmıştır. Deneyler sırasında

dizayn yüklerine kadar perçinlerde herhangi bir kesilme veya kayma gözlenmemiş,

ayrıca kesitlerde ölçülen gerilmelerin düşey doğrultuda doğrusal olarak değiştiği

saptanmıştır. Dolayısı ile teorik hesaplardaki geminin bir kiriş gibi bir bütün olarak

davrandığı kabulunün geçerlili olduğuna karar verebiliriz. Deney sırasında sıcaklığın

etkisi de incelenmiş ve gemilerin yükleme koşulları gemilerin kırılmasına kadar

artırılarak devam ettirilmiştir. Bu deneyler sonucu kırılmalar daima ikincil etkiler,

yani dış kaplamadaki burkulmalar, sonucu ortaya çıkmıştır.

Bu deneylerin hepsi harp gemilerine uygulanmış deneylerdir. Ticari gemilerde yapılan

ilk deney ikinci dünya harbi sonrasında Philip Schuyler adlı gemide

gerçekleştirilmiştir ve kaynak uygulamalarının ilk zamanlarında gemilerde rastlanan

48

kırılmaları incelemeye yöneliktir. Philip Schuyler o sıralarda çok yaygın olan iki

güverteli ve makina dairesi ortada olan bir gemi tipidir. Bu deneyler de Amerikada

havuzda yapılmış olmakla birlikte deneylerin uygulanışı ve ölçmeler açısından

farklılıklar arz eder. Öncelikle zorlamaların yaratılışında sephiyeyi değiştirmek yerine

ballast ve ambarlardaki yükleri değiştirmek yolu seçilmiştir. Bu deneyler sırasında

400 civarında genleme ölçer kullanılmıştır. Bu genleme ölçerlerin yarısı mekanik

yarısı da elektrik genleme ölçerlerlerdir. Elektrik genleme ölçerlerin kullanılması çok

daha fazla noktada ölçme yapabilme olanağını sağlamış ve sadece dış kaplamalar

değil ambar ağızları gibi gerilme yığılmaları olması beklenen yerlerde de ölçmeler

gerçekleştirilmiştir.

Bu ölçmeler yükleme şeklini değiştirmek suretiyle hem sarkma hem de çökme halleri

için uygulanmış ve daha önceki ölçmelerde olduğu gibi hesaplarda uygulanan kiriş

teorisi yaklaşımının genel hatları ile büyük ölçüde geçerli olduğunu göstermiştir.

Ancak dip kaplamasındaki saçlarda zayıf da olsa mambran gerilmelerinin oluşabildiği

de gözlenmiştir. Ayrıca güvertede kayma gecikmelerinden kaynaklandığı

düşünülebilecek bir gerilme düşmesi de gözlenmiştir. Ayrıca geminin boyutları ile

kıyaslandığında çok küçük olan üst yapıda gerilmelerin kirişlerin eğilme teorisinden

oldukça uzaklaştığı gözlenmiştir.

Benzer deneyler President Wilson adlı gemide de uygulanmıştır. Bu gemi daha

evvelce denenmiş gemilere kıyasla çok daha büyük bir gemidir ve boyu 172 m eni

22.65 m ve 19.35 m dir. Bu geminin diğer bir farklılığı da üst yapısının oldukça

büyük olması ve kısmen aliminyumdan imal edilmiş olmasıydı. Bu deneyler sırasında

da zorlamalar balast değişimleriyle temin edilmiş ve ölçmeler mekanik ve elektrik

genleme ölçerlerle yapılmıştır. Buradada gerilmeler açısından ana güverteye kadar

kiriş modelinin genel hatları ile geçerli olduğu ancak üst yapıda gerilmelerde bir

düşüş olduğu ve üst yapıların gerilmeleri taşımak açısından çok etkili olmadıklarını

göstermiştir. Çökmelerin hesabında ise kesme kuvvetinin etkisi göz önüne alınıp üst

binaların atalet momenti de kesit ataletinin hesabında göz önüne alındığında ölçülen

değerlerle iyi bir uyum sağlanmıştır.

Benzer bir ölçme de İngilterede Neverita ve Newcombia adlı iki tankerde

uygulanmıştır. Bu testler kaynaklı gemilerin kırılarak batması sonucu başlatılmış ve

esas amaç kaynaklı imalat konusunda inceleme yapmak olarak belirlenmiştir. Bu

gemilerden Neverita kaynaklı Newcombia ise perçinli gemidir. Tankerler kuru havuza

alınmak yerine nehire çekilmiş ve burada ambarlarına balast almak suretiyle değişik

yükleme durumlarına maruz bırakılmıştır. Bu gemilerin tanker olması nedeniyle bu

uygulama kolay olmuş ve yüklemeyi ayarlamak suretiyle doğal – çökme – doğal –

sarkma – doğal olmak üzere değiştirmeye de fırsat vermiştir. Deneyler sırasında dış

kaplamalardaki genleme ve deformasyonların yanısıra su geçirmez perdelerde de

ayrıca genleme ve deformasyonlar ölçülmüştür. Bu geniş kapsamlı ölçümlerden şu

sonuçlara varılmıştır:

Gemi elastik bir yapı gibi davranmış ve mukavemet açısından kiriş teorisini

kullanmak yeterli görülmüştür

Ölçülen deformasyonlar kirişlerde kesmeli eğilme teorisi kullanılarak

hesaplanan değerlerden çok az bir miktar daha küçük bulunmuştur

Boyuna perdelerde ülçülen gerilmeler yapılan hesaplarla çok daha büyük

farklılıklar göstermektedir. Bunun nedeni büyük bir olasılıkla perdedeki yerel

burkulmalardır.

49

Gemide boyuna gerilmeler yanısıra bunun %20’sine varan enine gerilmelerin

oluştuğu gözlenmektedir.

Yaklaşık 15o-20

oC civarındaki sıcaklık değişiminin güvertelerdeki yüksek

gerilmelerin neden olduğu deformasyonların üçte birine varan gerilmelere

neden olduğu gözlenmiştir.

Bu ölçmeler de daha önceki deneylerde varılan sonuçların doğruluğunu göstermiştir.

Bütün bu deneysel çalışmalardan varılan sonuçları şu şekilde özetleyebiliriz:

Yapısı sürekli olan gemilerde, örneğin tankerler veya ,üst binaları yeteri kadar

uzun olan gemilerde basit kiriş teorisiyle boyuna gerilmeler yeterli

hassasiyetle hesaplanabilirler.

Gemilerdeki kayma gerilmeleri denklemi ile verilen basit formül yardımıyla

yeterli hassasiyette hesaplanabilir.

Üst binalarda gerilmelerin non-lineer olarak değiştiğine dair önemli kanıtlar

olduğu için sınırlı uzunluktaki üst binalardaki gerilmelerin hesabında basit

kiriş teorisi yetersiz kalmaktadır. Yine de üst binaların boyuna mukavemete

katkısını bir ölçüde göz önüne almakta yarar vardır.

Çökmelerin hesabında kayma gerilmelerinin etkisini göz önüne alarak hesap

yapmak kaydıyla yeterli hassasiyette sonuçlar elde etmek olanaklıdır.

Şekil değiştirmelerin dağılımı açısından kaynaklı ve perçinli gemiler arasında

kayda değer bir farklılık yoktur.

Süreksizliklerin veya kesit şeklinde ani değişikliklerin olduğu yerlerde

gerilme yığılmalarının ortaya çıktığı ve bunların yerel kırılmalara neden

olduğu gözlenmiştir.

Muklak mukavemet kaybı genellikle geminin yerel yapısındaki burkulmalar

sonucu ortaya çıkmaktadır. Bu durumun oluşmadığı haller ise uygun

koşulların oluşması sonucu kırılgan çatlakların ortaya çıkmasıyla kendini

göstermektedir. Gerilmelerin emniyet sınırını aşmasıyla malzemenin

kırılmasına ise hemen hemen hiç ratlanmamaktadır.

3.3 Gemiler Seferdeyken Yapılan Ölçmeler

Buraya kadar sözünü ettiğimiz gemi ölçmeleri büyük ölçüde statik sayılabilecek

deneylerdir ve deniz koşullarından etkilenmemektedirler. Bu testlerden yararlanarak

gemilerin maruz kalacağı statik yüklemeler altında ortaya çıkacak gerilmeleri kiriş

teorisi ile hesaplayabileceğimizi ve hesapları yaparken dikkat etmemiz gereken

hususları belirledik. Daha sonraki yıllarda ise denizde giderken ve hava koşullarının

da olduğu hallerde de ölçmeler yapılmış ve bu ölçmelerden de benzer sonuçlar elde

etmeye çalışılmıştır. Tabiki seyir halinde yapılan ölçmeler çok daha karmaşık ve

kapsamlı olması gerekmektedir çünkü burada ortaya çıkan gerilme ve deformasyonlar

sadece statik zorlamalardan kaynaklanmazlar. Gerilme ve deformasyonlar ayrıca

dinamik etkileri içerir ve bu etkileri yaratan koşulların da belirlenmesi gerekli olur. Bu

durumda sadece genlemelerin ve deformasyonların ölçülmesi ile yetinilemez aynı

zamanda geminin hareketleri ile çevre koşullarını da olabildiğince ayrıntılı olarak

ölçmek gerekmektedir.

Sefer sırasında bir gemide ölçme yapılması ilk defa boyu 128.70 m eni 17.73 m kalıp

derinliği 11.33 m ve deplasmanı 13000 ton olan San Fransisco adlı Amerikan

gemisinde yapılmıştır. Sefer sırasında gemideki genlemeler ve deformasyonların

yanısıra gemideki dalıp çıkma ve baş kıç vurma hareketleri ile dalga yükseklikleri ve

50

dip saçlarındaki basınçlar da ölçülmüştür. Baş kıç vurma ve dalıp çıkmalar gemiye

yerleştirilmiş jiroskopik cihazlarla ölçülmüş dalga profili ise gemi bordasına

yerleştirilmiş elektrik kontak cihazları aracılığıyla ölçülmüştür. Elektrik kontak

cihazları gemi boyunca 20 m aralıklarla, düşey doğrultuda da 0.30 m aralıklarla

yerleştirilmiş ve bu cihazların su içindeyken devreyi kapatıp elektriği geçirmesiyle bu

noktalarda su seviyelerinin tespitiyle dalga profilinin zaman içindeki değişimi

saptanmıştır. Ayrıca gemiye yerleştirilen bir kamera aracılığıyla da dalgaların genel

durumu saptanmıştır. Dip saçlarındaki basınçlar buralara yerleştirilen ve kalibre

edilmiş diyaframlar aracılığıyla ölçülmüştür. Bu ölçmeler uzun süre devam ettirilmiş

ve oldukça şiddetli hava koşullarında da değerler kaydedilebilmiştir. Yapılan dalga

ölçmeleri sırasında beklenenden çok daha uzun dalgalar ölçülebilmiş (240 m’ye

ulaşan dalga uzunlukları) ve dalgaların teorik olarak kabul edilen değerlerden çok

daha dik olabildiğini (bazı hallerde /13.5 kadar) saptanmıştır. Yapılan ölçmelerin

özeti Tablo 3.2’de verilmektedir.

Dalga

Boyu

m

Dalga

Yüksekliği (Gerçek, m)

Dalga

Yüksekliği (Görünen, m)

Dalga

Yüksekliği (Efektif, m)

Sakin su

momenti Ton m

Hesaplanan

Moment (Dip basıncı)

Ton m

Hesaplanan

Moment (Gerilme)

Ton m

180 - - 4.0 +23000 +21300 +20000

186 16.5 9.8 4.2 +23000 +22500 +21000

186 16.5 6.0 5.5 +23000 -33000 -30000

240 15.0 9.5 3.6 +23000 +18700 +17500

210 15.0 - 6.7 +23000 -41300 -37000

120 8.9 7.9 4.55 +23000 +2400 +22600

120 8.9 5.0 6.0 +23000 -35800 -33800

Tablo 3.2: San Fransisco deneylerinde ölçülen ve hesaplanan değerlerin özeti

Gemiden uzakta dalga tepesi ile dalga çukuru arasındaki farkı ölçerek elde edilen

dalga yükseklikleri ile gemi boyunca ölçülen dalga profilinden elde edilen dalga

yükseklikleri farklı değerler göstermektedir. Bu değerlerden dalga tepesi ile dalga

çukuru arasındaki farktan elde edilen değer gerçek dalga yüksekliği olup gemi

boyunca ölçülen profilden elde edilen değer ise görünen dalga yüksekliğinden

fazladır. Bu uyumsuzluğun nedeni ölçülen dalga boyunun gemiden daha büyük olması

ve bu nedenle gemi boyunca tüm profilin ölçülememesidir. Her iki dalga yüksekliğini

kullanarak elde edilen eğilme momentleri de ölçülen eğilme momentlerinden büyük

bulunmuş ve bu nedenle bir efektif dalga yüksekliği kavramı geliştirmek gerekmiştir.

Efektif dalga yüksekliği standart hesaplarda ölçülen eğilme momentine eşit eğilme

momenti değerini verecek dalga yüksekliğidir. Bu değerin çökme ve sarkma halleri

için farklı değerler aldığı, çökme halinde L/20 sarkma halinde ise L/25 olduğu

saptanmıştır.

Ölçülen dip basınçlarını kullanarak yapılan eğilme momenti hesapları ile ölçülen

gerilmeler aracılığı ile yapılan eğilme momentlerinde de farklılıklar gözlenmiş ancak

bu farklılıklar çok büyük olmadıkları gibi karakter olarak da uyum içinde kalmaktadır.

Ayrıca dip basınçları kullanılarak yapılan dalga yükseklikleri ile ölçülen dalga

yükseklikleri arasında da önemli farklılıklar olmasını Smith etkisi ile açıklamak

olanaklıdır. Ayrıca efektif dalga yükseklikleri ile ölçülen dalga yükseklikleri

arasındaki farkın mertebesi dinamik etkilerin çok önemli olduklarını göstermektedir.

51

San Fransisco gemisinde yapılan ölçmelerden bu yana ölçme cihazlarında büyük

ölçüde gelişmeler olmuş ve yapılan ölçmelerin kalitesinde ve kullanılan cihazlarda

önemli değişiklikler olmuştur. Bu farklılıkları İngilterede kaynaklı ve perçinli

gemilerin performansını yapısal açıdan incelemek için yapılan ölçmelerde görmek

olanaklıdır. Perçinli olarak imal edilmiş olan Clan Alpine ve kaynaklı olarak imal

edilmiş olan Ocean Vulcan üzerinde uzun süreli ölçmeler yapılmıştır. Çok benzer olan

bu gemilerde gemi yüzeyinde basınç göstergeleri, dalga yüksekliği göstergeleri, üç

doğrultuda ivme ölçebilen cihazlar, baş kıç vurma ve yalpa açılarını ölçebilen

jiroskopik cihazlarla saçlarda genlemeleri ölçen elektrik genleme ölçerler kullanılarak

uzun süreli ve kapsamlı ölçümler yapılmıştır. Ayrıca rüzgar yönü ve şiddeti, dalga

yükseklikleri de kaydedilmiş ve dövünmenin de etkileri incelenmiştir. Bu deneyler

sırasında amaç mukavemetin incelenmesi olduğu için maksimum momentin

belirlenmesine özen gösterilmiştir.

Şekil 3.1: Ocean Vulcan deneylerinde yapılan ölçülen ve hesaplanan değerler

Ölçmeler iki yıla yakın sürmüş ve bu süreç içersinde gemi %55 oranında denizde

bulunmuş geri kalan süreyi ise limanda geçirmiştir. Limanlarda sakin sudaki

genlemeler ölçülmeye devam edildiğinden bu değerler kalibrasyonu kolaylaştırmış ve

daha sonra dalgalı havalarda ölçülen genlemeleri eğilme momentine çevirmek daha

kolay olmuştur. Uzun sürede yapılan kayıtları istatiksel olarak değerlendirip geminin

ömrü boyunca maruz kalacağı maksimum eğilme momenti dağılımını belirlemek

(Şekil 2.1) olanağı olmuştur. Bu deneylerden çıkan sonuçlara göre geminin en çok

maruz kaldığı eğilme momenti 30000 tonm ile 40000 ton-feet olup yaklaşık toplam

sürenin %18’ini oluşturmaktadır. Dövünme ölçmeleri orta kesitte güverte civarında 20

N/mm2 civarında gerilmelerin ortaya çıkmasına neden olabileceğini göstermiştir.

Genellikle bu gerilmeler maksimum çökme gerilmelerini artırmış ancak sarkmada

maksimum gerilmeleri pek etkilememiştir. Yapılan ölçmeler sonucu dalgaların

ilerleme yönüne göre 20o ile 50

o arasında bir açı ile gelmesi halinde maksimum enine

eğilme momentinin de çıktığı gözlenmiştir.

Gemilerde yapılan ölçmeler sadece bu kadarla kalmayıp günümüze kadar daha bir çok

gemide ölçmeler yapılmıştır. Bu ölçmelerin büyük bir çoğunluğu belirli bir problemi

incelemeye yönelik olup sonuçları bu özel problemle ilgili kalmıştır ve bu deneylere

burada ayrıntılı olarak yer verilmesi uygun görülmemiştir. Bu deneyler hakkında bilgi

edinmek isteyen okurların Transactions of SNAME ve Transactions of RINA gibi

kaynaklara başvurmaları tavsiye edilir. Ancak burada deneylerde önemli bir yer tutan

genleme ölçmelerinde kullanılan tekniklerin bir özetini kısaca da olsa vermek uygun

olur.

52

3.4 Model Deneyleri

Denizdeki bir gemi veya açıkdeniz yapısında ölçmeler yapmak yerine bu ölçmeleri

laboratuarda yürütmek hem maliyet açısından hem de çevre koşullarının hassas olarak

belirleyebilmenin yanı sıra gemi veya açıkdeniz yapısının tasarımı bitmeden önce

yapabilir olmaları çok büyük bir avantajdır. Bu tür deneylerde geminin veya açıkdeniz

yapısının

Dış kaplamasında ortaya çıkan dinamik basınçların

Gemiye veya açıkdeniz yapısına etki eden kesme kuvveti ve eğilme

momentlerinin

Gemide veya açıkdeniz yapısında ortaya çıkan gerilmelerin

tamamını veya bir kısmını ölçmek olanaklıdır. Bu ölçmeleri yapabilmek için parçalı

denen modeller (segmented models) kullanılır.

3.4.1 Parçalı Modellerin Genel Yapısı

Parçalı modeller genellikle cam elyafından yapılırlar ve gerektiği kadar çok parçaya

kesilirler. Boyuna beş parçaya bölünmüş bir parçalı model Şekil 3.2a’da

görülmektedir. Bu modeldeki parçaların arasında su sızdırmazlığı sağlamak amacı ile

kauçuk şeritler kullanılmıştır. Ayrıca baş taraftaki parça düşey doğrultuda da üç

parçaya ayrılmış bulunmaktadır. Bu şekilde parçalara bölünmüş olan bir model,

model boyunca uzanan ve geminin kesit mukavemet özelliklerini yansıtan bir ana

kirişe bağlanarak tekrar bir bütün haline getirilirler. Parçaların ana kirişe bağlanması

için genleme çubukları kullanılır. Genleme çubukları parçaların ana kirişe

bağlanmalarını sağlamanın yanısıra genleme ölçerlerle (strain gauge) donatılarak

parçaya gelen kuvveti ve momentin ölçülmesine de yarar. Bu kevvetlerden ve

momentlerden yararlanarak gemi üzerindeki kesme kuvveti ve eğilme momenti

değerlerini de hesaplamak mümkündür. Şekil 3.2b’de ana kiriş ve parçaları ana kirişe

bağlayan genleme çubukları görülmektedir. Ayrıca cam elyafından yapılan

modellerin, özellikle parçalara bölünmelerinden sonra, esnekliklerinin artacağı ve

kolayca deforme olacakları açıktır. Modeldeki olası deformasyonları engellemek

amacı ile modele enine ve boyuna perdeler uygulanır. Bu modelde her parçanın iki

ucunda enine aliminyum perde konmuştur. Bu perdeleri su geçirmez yapabilmek ana

kiriş nedeni ile olanaklı değildir. Ancak bazı modellerde kesme kuvveti ve eğilme

momenti ölçmek gerekmeyip sadece gerilmeler gerekirse o zaman bu perdeler su

geçirmez yapılır. Parçaların birbirlerine bağlanmasında yekpare bir ana kiriş yerine

komşu parçalar arasındaki su geçirmez perdeleri birbirine bağlayan uygun kesitli

kirişçikler sağlar. Enine perdelere ilaveten, sistemin rijitliğini tamamlamak amacı ile,

alininyumdan iki adet de boyuna perde ile içdip kaplaması konmuştur. İç dip

kaplamasının tabandan yüksekliği dibe yerleştirilmesi planlanan ölçme cihazlarına

yeterli alanı sağlayacak şekilde seçilmiştir. Boyuna perdeler ayrıca parça ile ana kiriş

arasındaki bağlantıyı sağlayan genleme çubuklarının parçaya bağlanma noktalarını da

temin ederler. Bu perdelerin yerini belirlerken genleme kirişlerinin genleme ölçerler

için uygun boyutta olmasına dikkat ederiz. Perdeler kenarlara çok yakın olursa

genleme çubuğu çok esnek olabileceği gibi perdeler ortaya çok yakın olursa cok rijit

hale gelip ölçmelerin hatalı olmasına neden olabilir. Modelin üst tarafı da hem rijitlik

açısından ama daha ziyade su geçirmezlik nedeni ile kapatılmıştır. Bu bölgede

modelin iç tarafının görülebilir olması açısından plexiglas kapaklar kullanılmıştır.

Şekil 3.2c’de bir parçanın ana kirişe bağlantısı daha ayrıntılı olarak gösterilmektedir.

Burada ana kiriş üzerindeki siyah kareler bu noktalarda gerilmeleri ölçmek amacı ile

53

yerleştirilen genleme ölçerlerin suya karşı izolasyonudur. Gerçekten de bu siyah

karelerin yanından genleme ölçerlerden gelen kablolar gözükmektedir. Genleme

çubukları ana kirişe ankastre bağlantıyı sağlamak amacı ile oldukça büyük kütleli

kapaklarla bağlanılmıştır. Genleme çubuklarının boyuna perdelere bağlantıları ise

sadece düşey yükleri taşıyacak şekilde ayarlanıp sürtünme nedeni ile ortaya çıkacak

en aza indirecek şekilde tasarlanmıştır. Her parçaya gelen kuvvet ve momenti ölçmek

üzere genleme çubuklarına da genleme ölçerler konmuştur. Bunlar hassas ölçme

yapabilmek için gerilmelerin en yüksek olduğu yere yakın olmalıdır. Bu nedenle

genleme çubuklarının ana kirişe ankastre bağlandıkları noktalarının civarına

konmaları en uygun çözümdür. Şekil 3.2c’de genleme çebuklarındaki genleme

ölçerlerin yeri bunların kablolarının çıktıkları yerlerden belli olmaktadır.

Şekil 3.2: Schiehallion FPSO’ya ait parçalı modelin yapılma safhaları

Bu model deneylerinde ayrıca basınç ölçmelerinin de yapılmasının da olanaklı olduğu

daha evvelce belirtmişti. Basınçların ölçülmesinde esas olarak iki amaç vardır.

Öncelikle geminin kritik noktalarında oluşacak maksimum basınçları, örneğin

dövünmelerin oluşabileceği yerlerdeki değerleri kontrol etmek amacı ile kullanılabilir.

İkinci bir basınç ölçme nedeni de basınç entegrasyonu ile kuvvetlerin

hesaplanmasıdır. İkinci amacın yeterli hassaslıkla gerçekleştirilebilmesi için çok daha

fazla noktada ölçme yapılması gerekir. Basınç ölçmek amacıyla kullanılan basınç

transducerleri oldukça pahalı olduklarından kuvvetleri hesaplamak için basınç ölçümü

tercih edilen bir yöntem değildir. Transducerlerin tekne dış cidarına bağlanılması

sırasında çok dikkatli olunması gerekir. En önemli nokta basınç transducerinin ölçme

yüzeyinin gemi yüzeyi ile tam uyum içinde olmasını sağlamaktır. Bu sağlanamassa

yüzey uyumsuzluğu nedeni ile ortaya çıkacak yapay akımlar kuvvetler açısından

hatalara neden olabilirler. Benzer şekilde bağlantı yapılan yer yeteri kadar rijit

olmamışsa tranducer kendi ataleti ile hareket eder ve yine yapay şekilde hatalı basınç

değerleri ölçümüne neden olur. Ayrıca sızdırmazlığın da önem taşıdığı düşünülürse

transducerlerin konacağı yerlerde dış kaplamayı içerden kontrplak ile takviye ederek

rijitleştirmek uygun olur. Şekil 3.2d’de parçanın dip kaplamasında bir basınç

transduceri uygulaması görülmektedir.

3.4.2 Parçalı Modellerin Ölçeklendirilmeleri

Elbette bir model oluştururken en önemli husus ölçeklendirme konusudur ve

geometrik benzerliğin yanında fiziksel benzerliğin de elde edilmesi gerekir.

Dolayısıyla model ölçeğinin seçimi sırasında çok dikkatli olunması gerekir. Model

54

boyutlarını ölçme hassasiyeti açısından olabildiğince büyük seçmek ancak fiziksel

benzerliği bozacak boyutlara gitmemek gerekir. Ancak ilk seçilmesi gerekli olan şey

ölçeklendirme yasası veya temel boyutsuz büyüklük olmalıdır. Problem hidrodinamik

bir problem olduğu için seçimin Froude veya Reynolds benzerlik yasaları arasında

olması gerekir. Yapılan çalışmalar viskoz etkilerin ancak göz önüne alınan dalgaların

boyları gemi veya açıkdeniz yapısının L karakteristik boyuna göre çok büyük ise

(/L>5) önem taşıyacağını göstermektedir. Boyuna mukavemet açısından önem

taşıyan dalgaların boylarının karakteristik boyla aynı mertebede olacağı göz önüne

alınırsa viskoz etkilerin önem taşımadığı dolayısı ile Froude benzerlik yasasını

kullanmanın uygun olacağı gözükmektedir. Yani m indisi modele ait büyüklükleri s

indisi de asıl yapıya ait büyüklükleri gösterdiğine göre Froude benzerlik yasasından

s

m

s

m

T

T

L

L (3.1)

bulunur. Yani Froude yasası gereği zaman değişimi de boyut oranlarına bağlanmış

olur.

Modelin dizaynı sırasında benzerliklerin temin edilebilmesi için şu noktalara dikkat

edilmesi gerekir. Öncelikle gerçek denizdeki dalgalarla model havuzunda yaratılacak

olan dalgaların arasındaki boyut oranı gerçek boyut ile model boyutu arasındaki orana

eşit olmalıdır. Ayrıca dalgaların karakteristikleri ile model havuzundaki dalgaların

karakteristikleri de aynı kalmalıdır. Yani a dalga genliği, T dalga periyodu ve d

derinlik olmak üzere

s

2

s

m

2

m

as

am

d

gT

d

gT

(3.2)

koşulları sağlanmalıdır. Yani burada model boyutlarını seçerken model havuzunun

derinliği ve dalga cihazının dalga yaratabilme kapasitesi çok önemli olur. Bu

benzerlik ancak deniz koşullarının benzerliğini sağlamaya yeterlidir. Bir de gemi veya

açıkdeniz yapısı ile modelinin benzerliğini sağlamak gerekmektedir.

Diğer model deneylerinden farklı olarak parçalı modellerin deneyinde sadece

hidrodinamik benzerlik yeterli olmaz. Hidrodinamik benzerliğin yanısıra yapısal

benzerliğin, yani mukavemet özelliklerinin de, sağlanması gerekmektedir. Geminin

geometrik benzerliği ile birlikte dalgaların da benzerliğinin sağlanması hidrodinamik

benzerliğin, yani ekkütle, hidrodinamik sönüm ve hidrostatik tepkilerin benzerliği

sağlanmış olur. Yapısal benzerliğin sağlanması ise gemi veya açıkdeniz yapısının

doğal frekanslarının ve kütle merkezinin uygun bir şekilde seçilmesini gerektirir.

Modelin doğal frekanslarını kontrol edebilmek son derece güç olacağı için bu

benzerliği ana kirişin seçiminde uygularız. Örneğin eğilme momentlerinin incelendiği

bir modelde ana kirişin kesiti modelin eğilme doğal frekansı ile geminin veya

açıkdeniz yapısının doğal frekansı arasında doğru orantı olması gerekir. Yani

s

m

m

s

m

s

T

T

T

2

T

2

(3.3)

koşulunun sağlanması gerekmektedir. Modelin doğal frekansı göz önüne alınarak

s

4

2

mL)am(

EI (3.4)

55

formülünden uygun kesit atalet momentini verecek kesit tayin edilir. Burada

problemin karakterine bağlı olan belirli bir katsayı m ve a birim boy başına kütle ve

ekkütle L model boyu E de kullanılan ana kiriş malzemesinin elastisite modülü I da

kirişin kesit atalet momentidir. Model belli olduğu için bu büyüklüklerden m, a, L ve

k büyüklükleri bellidir. Kirişin malzemesi seçildiği anda E de belirlenmiş olur ve

belirlenmesi gereken tek büyüklük kesitin atalet momenti olur. Böylece sınama

yanılma yöntemi ile kiriş kesiti bu atalet momentini sağlayacak şekilde belirlenir.

Daha evvelce de belirtildiği üzere bu modelde baş tarafta da düşey doğrultuda da

parçalar kullanılmıştır. Bu model 1999 yılında Lloyd Registerin gerekli gördüğü

kuralların çok daha ötesinde güvenilirlikte dizayn edilmiş olmasına karşın kuzey

denizinde çalışırken baş tarafında önemli hasarlara maruz kalmış olan Schiehallion

FPSO’nun modelidir. FPSO’nun gördüğü zarar can kaybı veya FPSO’nun kaybı gibi

büyük boyutlarda sorun yaratmamakla birlikte hiç değilse tamir masrafı yanısıra tamir

süresince üretimde bulunamaması sonucu önemli bir mali kayba yol açmıştır. Dolayısı

ile tamirin gerçekleştirilmesinde daha sağlıklı bir tasarım yapabilmek için

zorlamaların daha gerçekçi olarak saptanabilmesi önem kazanmış ve bu nedenle

model deneyleri yapılmasına karar verilmişti. Burada amaç boyuna mukavemet için

yükleme durumlarını saptamanın yanısıra baş taraftaki yerel yüklemelerin de

ölçülmesi olduğundan baş tarafta da üç parçadan oluşan bir kısım tasarlandı. Baş

tarafa ait model tasarımı Şekil 3.3’de verilmektedir.

Şekil 3.3: Schiehalion FPSO’nun baş tarafına ait parçalı model dizaynı

Şekilde modelin yandan görünüş üstte gösterilmektedir. Arka tarafta tek bir ana kiriş

olarak gelen üç ayrı yükseklikte üç ayrı kirişe ataleti oldukça yüksek düşey bir kolon

ile bağlanmaktadır. Her üç segment genleme çubukları vasıtası ile bu kirişlere

bağlanmaktadır. Be genleme kirişleri genleme ölçerlerle donatıldığı için her bir

parçaya etki eden kuvvetler ve momentler ölçülmektedir. Ayrıca FPSO’nun baş

tarafında oluşacak basınçların ölçülmesi için de baş tarafa basınç ölçerler

yerleştirilmiştir. Basınç ölçmeleri için iki tip basınç ölçer kullanılmıştır. Bunların bir

kısmı özel olarak suda ölçme yapmak için imal edilmiş pahalı basınç ölçerlerdir.

Ancak bunların yanısıra daha ucuz olan ve sudan etkilenmesi olasılığı olan basınç

ölçerler de kullanılmıştır. Yapılan model deneyleri sonucunda gemiye etki eden

kuvvetler ve momentler ölçülmüştür. Bu değerlerden yararlanarak maksimum kesme

kuvveti, eğilme momenti de hesaplanabilir. Ayrıca basınç ölçerler aracılığı ile ortaya

56

çıkan maksimum basınçlar ve ana kiriş üzerindeki genleme ölçerler aracılığı ile gemi

bünyesinde ortaya çıkacak gerilmeler ölçülmüştür. Bu şekilde elde edilen eğilme

momenti genliklerinin dalga genliğine oranının dalga boyu ile gemi boyu arasındaki

oranla değişimi Şekil 3.4’de verilmektedir.

Şekil 3.4: Model deneylerine ait sonuçların teorik hesaplarla karşılaştırılması

Bu tür deneylerden elde edilen sonuçların dizayn çalışmalarında doğrudan

kullanılması olanaklı olmasına karşın parçalı model deneyleri çok seyrek olarak

dizayn amacı ile kullanılırlar. Bu deneyler daha ziyade bir sonraki paragrafta ele

alacağımız teorik hesapların kontrolu ve kalibrasyonunda kullanılmak üzere

uygulanır. Bunun nedeni öncelikle parçalı model deneylerinin çok pahalı olmasıdır.

Pahalılınığının yanısıra bu model deneyleri oldukça da güçtür. Bu nedenler göz önüne

alındığında parçalı model deneylerinin daha uzun süre ancak çok kritik dizayn

çalışmalarında baş vurulacak bir yöntem olduğu gözükmektedir.

3.5 Genleme ve Deformasyonların Ölçülmesi

Bu bölümde ölçülen genlemelerden yararlanarak gerilmelerin hesabına ilişkin temel

ilkeleri göz önüne alacağız ve karmaşık yapılardaki gerilmelerin hesaplanmasında

kullanılan formüller elde edilecektir Ayrıca genlemeleri ve deformasyonları ölçmek

için kullanılan başlıca aletlere de değinilecektir. Geminin yapısında sadece

genlemeleri ve deformasyonları doğrudan ölçmek olanaklıdır ve diğer bütün

büyüklükler bu ölçmelerden yararlanarak dolaylı olarak elde edilirler. Bu da

ölçmelerde yapılan hataların diğer hesaplarda büyümelerine neden olacağından

ölçmelerin olabildiğince hassas yapılmasını gerektirmektedir.

Bölüm boyunca ele aldığımız malzemenin, yani gemi yapısını oluşturan elemanların

malzemesinin belirli özelliklere sahip olduğunu varsayıyoruz. Öncelikle malzemenin

elastik olduğunu, dolayısıyla da Hooke yasasının geçerli olduğunu kabul ediyoruz.

Bunun yanısıra malzemenin izotropik, yani her doğrultuda aynı özellikleri

gösterdiğini öngörüyoruz. Burada elde edeceğimiz formüllerin sadece bu tip

malzemeler için geçerli olacağını ancak bu tip malzemelerin gemi inşaatında

kullanılan malzemelerin büyük bir kısmını kapsadığını belirtmekte yarar vardır.

3.5.1 Basit Gerilme ve Genleme

Basit bir deney çubuğunu göz önüne alalım ve bu çubuğa iki ucundan F çekme

kuvvetini uygulayalım. Burada deney çubuğunun A kesit alanı küçük ve homojen

olduğu için kesitte oluşan gerilmesini

57

A

F (3.5)

olarak hesaplayabiliriz. Gerilmeyi bu şekilde hesaplayabilmek için mutlaka F

kuvvetini belirleyebilmek gerekir. Bir çekme deneyi sırsında bu F kuvvetini

belirlemek gayet kolaydır ama bu kiriş dış kuvvetlerin etkisi altındaki karmaşık bir

yapının herhangi bir elemanı ise bu kirişe etki eden kuvvetin belirlenmesi oldukça

karmaşık bir problemdir. Dolayısı ile bu tür karmaşık yapıların elemanları olan

kirişlerde oluşan gerilmeleri doğrudan (3.5) formülü ile hesaplamak olanaksızdır.

Karmaşık yapılardaki elemanlarda gerilmeleri ölçülen genlemeler ve Hooke

yasasından yararlanarak hesaplamak gerekmektedir. Çubukta ölçtüğümüz

genlemesine karşılık gelen gerilmesi Hooke yasası yardımıyla = Eşeklinde

hesaplanır. Burada E malzemenin Young modülü olup daha evvelce yapılmış çekme

deneyleri sonucu belirlenmiştir.

Çubuğun boyu doğrultusunda uzamaya maruz kaldığına ve çubuğu oluşturan

malzemenin de sabit bir miktar olduğu göz önüne alınırsa boyuna dik olan kesitte bir

azlma olması gerektiği açıktır. Malzemenin izotropik olması nedeniyle de bu boyuna

dik iki doğrultuda da malzemenin kısalmaya maruz kaldığı anlamına gelir. Bu duruma

Poisson olayı denir ve malzemenin boyuna kısalma oranı de Poisson oranı adı

verilir. Şimdi kirişin boyuna doğrultusu x ve buna dik olan iki doğrultu da y ve z

olarak seçilmişse bu doğrultulardaki genlemeleri sırasıyla x, y ve z ile gösterecek

olursak

xzxy (3.6)

ilişkilerinin olacağını açıkça görebiliriz. Burada göz önüne aldığımız basit halde

çubuk sadece uçlarından sabitlenmiş ve boyuna uzaması kısıtlanmıştır. Bu durumda

sadece boyuna doğrultuda gerilmeler oluşur ve yanal doğrultuda herhangi bir

sınırlama olmayıp çubuk serbestçe hareket edebildiğinden bu yönde herhangi bir

gerilme oluşmaz. Bu durumda sadece boyuna doğrultuda genlemenin ölçülmesi

gerilmenin değerinin belirlenebilmesini olanaklı kılar. Oysa gemilerdeki yapıların

önemli bir kısmı çok daha karmaşık bağlantılar içeren yapılardır ve bu yapılarda

gerilme durumları daha karmaşıktır. Örneğin gemilerde güverte, dış kaplama ve üst

yapılarda kullanılan levhalar çok daha karmaşık bir gerilme yapısı sergiler. Bu

durumda tek yönde genlemeyi ölçerek gerilme durumunu saptayabilmek olanaksızdır.

Bu durumda özellikle gemilerdeki levhalarda gerilme durumlarını tam olarak

belirleyebilmek için en az iki doğrultuda genleme ölçmek gerekir. Burada gerilme

genleme ilişkilerine girmeden önce herhangi bir doğrultuda genleme ölçmek için

kullanılan aletleri ele almakta yarar vardır

Yapılarda oluşan genlemeler genellikle çok küçük boyutlarda olduğu için ölçülmeleri

oldukça zordur. Bu zorluk en çok bu küçük değişimi herhangi bir çarpılmaya maruz

kalmaksızın kolaylıkla ayırt edilebilecek kadar büyütebilmektedir. Bu büyütme işlemi

iki yoldan yapılabilir. Birinci yol parçadaki genlemeyi mekanik bir sistemle büyütmek

ikincisi ise elektrik direncindeki veya akımında oluşturulacak bir değişiklikle

büyütmektir.

3.5.2 Mekanik Genleme Ölçerler

Mekanik genleme ölçerlere ait bir örnek Wolf deneylerinde de kullanılmış olan

Stromeyer tipi genleme ölçerdir (Şekil 3.5). Bu cihaz çok küçük çaplı bir silindir ve

bu silindirin iki tarafındaki levhadan oluşmaktadır. Alt taraftaki levha bir platform

58

aracılığı ile ölçme yapılacak yere bağlanır ve üst taraftaki levha da hafif bir kol

aracılığıyla alt levhanın sabitlendiği bu noktadan l kadar mesafede bir noktaya

sabitlenir. İki levha birbirlerine gerginliği ayarlanabilir bir yay ile bağlanarak ortadaki

silindirle sürekli olarak temas halinde olmaları sağlanır.

Şekil 3.5: Stromeyer tipi mekanik genleme ölçer

Herhangi bir zorlama altında l boyunun l kadar uzayarak l + l boyuna ulaştığını

varsayalım. Bu sırada iki levha birbirlerine göre l kadar hareket edecek ve ortadaki

silindirin kadar dönmesine neden olacaktır. Buradan l uzama miktarını dönme

miktarına ve d silindir çapına

d

ldl

(3.7)

şeklinde bağlayabiliriz. Buradan gözüktüğü üzere d çapını küçülttükçe küçük

genlemeler için dahi oldukça büyük dönmeler elde edebiliriz. Bu silindirin ucuna

konacak bir ibre bir gösterme paneli üzerindeki ölçekte genleme miktarını

gösterecektir. Aslında bu göstergede görülen bir dönme olmasına rağmen sabit uca

uygulanacak bilinen genlemeler aracılığıyla bu dönmeler kalibre edilerek ibrenin

genlemeleri göstermesi sağlanır. Bu cihazda ölçmenin hassas olarak yapılabilmesi için

l ölçme uzunluğu l’nin büyük seçilmesi avantaj sağlamakta hatta bazen

gerekmektedir. Bu da bu tip genleme ölçerlerde l boyu 2.5 m mertebesinde olup

kullanılabilecekleri boyutlar sınırlı kalmaktadır. Diğer bir olasılık da, daha önce de

belirtildiği gibi, levhalar arasındaki silindirik pimin çapını küçültmektir. Ancak bu da

sorun yaratır zira pimin çapı küçüldükçe pimin levhalar arasında kayması ve ölçme

hassasiyetini yitirmesi olasılığı da hızla artar.

Diğer bir mekanik genleme ölçme cihazı Tomlinson genleme ölçerdir (Şekil 3.6). Bu

tip cihazlarda cihazın boyu çok daha küçük olur (0.15 m mertebesinde) ve çok daha

küçük boyutlarda ölçme yapmayı sağlar ancak ölçme hassasiyetleri daha düşük olur.

Şekil 3.6: Tomlinson tipi mekanik genleme ölçer

59

Bu cihazın iki ayağı genlemenin ölçüleceği parça üzerine açılacak özel deliklere

uyacak şekilde imal edilmişlerdir. Bu bacaklardan A ucu cihazın ana yapısına

sabitlenmiştir. B ayağı ise orta noktasından cihazın ana yapısına C noktasında

menteşelenmiştir. Ayağın D üst ucu ise bir çubuk aracılığı ile bir döner ölçeğe

bağlıdır.Hareketli bacağın ana yapıya menteşelendiği C noktasının alt ve üst

taraflarında kalan kısımları bircirlerine eşit olduğu için ölçme panelinde l uzaması

aynen okunabilir. Bu tip cihazlarda hassasiyet Stromeyer tipi cihazların yarısına iner

ancak 20 kat daha küçük mesafelerde ölçme yapmak olanaklı hale gelir. Bütün bu

çabalara karşın mekanik yolla ölçme yapmak önemli sınırlamalar arz ettiğinden

elektrik genleme ölçerler geliştirilmiştir.

3.5.3 Elektrik Genleme Ölçerler

Genleme ölçmesinde en büyük aşamalardan biri direnç tipi elektrik genleme ölçerlerin

ortaya çıkmasıdır. Bu tip genleme ölçerler herhangi bir telin uzaması veya kısalması

halinde direncinde değişme meydana gelmesinden yararlanarak ölçme yaparlar. Bu

cihazlar özel tip iki kağıt arasına sıkıştırılmış ve kağıtla birlikte davranan çok ince bir

tel sargıdan oluşmaktadır (Şekil 3.7a). Kağıt ölçme yapılacak yere yapıştırılır ve

malzemenin yük altında genlemesi sonucu tel sargı da malzeme ile birlikte uzar veya

kısalır. Telin uzaması veya kısalması sırasında Poisson etkisi ile telin kesiti de

değişme gösterir. Telin kesitindeki değişme ise sargıda bir direnç değişimine neden

olur. Malzemede uzama olmuş ve kesit daralmış ise direnç artar ama kısalma olmuş

ve kesit büyümüşse direnç azalır. Tele bir ucundan verilen çok düşük voltajlı akımda

dirençteki farklılık nedeniyle oluşan değişme çıkış ucunda tepit edilerek o noktada

oluşan genleme belirlenmiş olur.

Şekil 3.7: Direnç tipi elektrik genleme ölçer

Burada dikkat edilecek nokta genleme ölçerlerin oldukça hassas cihazlar olduğu ve

ısınmalardan etkileneceğidir. Bu nedenle direnç tipi genleme ölçerlerin elektrik

devreleri bu tip ısı artışlarına karşı önlem alacak şekilde düzenlenir. Bu tit

düzenlemelere ilişkin en basit örnek Şekil 3.7b’de verilmiştir. Burada C ve D

dirençleri referans dirençleridir ve bunlarla genleme ölçer devreleri arasında akım

farkını ölçen bir galvanometre konur. Yükleme öncesi bu galvanometre sıfırlanır ve

yükleme sonrasında genleme oluştuğunda genleme ölçerlerde direnç değiştiği halde C

ve D dirençleri aynen kalacağından galvanometre doğrudan genlemeyi verir. Eğer

devrede bir ısınma olursa bu da bir direnç değişikliği yapacağından genleme ölçer bu

sıcaklık değişimi nedeniyle hatalı ölçme yapmış olur. Oysa aktif genleme ölçerin bir

eşini kullanırsak aynı hata onda da ortaya çıkacağından galvanometre sadece boy

60

değişikliği nedeniyle oluşan genlemeyi ölçer. Ancak bu ölçümün

yapıldığımalzemenin serbestçe genleşmediği hallerde sorun yaratır ve daha değişik

düzenlemeler kullanılması gerekir. Bu düzenlemeler için daha ayrıntılı bilgi elektrik

devreleri kitaplarında bulunabilir.

Genlemelerin ölçülmesiyle ilgili olarak yapılan bu açıklamalarla gemilerde yapılan

ölçmeler konusu tamamlanmış olmaktadır. Burada günümüzde genleme ölçmelerinde

hemen hemen tamamen direnç tipi genleme ölçerlerin kullanıldığını mekanik genleme

ölçerlerin tamamen terk edildiklerini söylemek uygun olur. Ayrıca direnç tipi genleme

ölçerler sadece genleme ölçmeleriyle sınırlı kalmayıp uygun bir şekilde kalibre

edilmek kaydıyla kuvvet veya gerilme gibi büyüklüklerin ölçülmesinde de

kullanılmaktadır.

3.5.4 Lehalarda genleme ve gerilme ölçümleri

Gemi levhalarında gerilme ve genleme ölçmeleri yaygın olarak kullanılır. Özellikle

araştırma çalışmaları için gemilerde ölçmeler yapılması yaygın hale gelmeye

başlamıştır. Ancak birçok hassas cihaz taşıyan ve herhangi bir şekilde arızalanmaması

gereken hallerde kontrol amacı ile de bu ölçmeler yapılmaktadır. Ancak bu ölçmeler

kirişlerde yapılan gerilmelere kıyasla farklılık gösterirler.

Herhangi bir kirişte gerilmeleri bulabilmek için genleme ölçerler kullandığımızı daha

önce belirtmiştik. Kirişte tek bir doğrultuda genleme ölçmek, kiriş tek boyutlu bir

elemen olduğu için, yeterli olmakta idi. Levha ise iki boyutlu olduğu için tek bir

genleme ölçümü ile sonuca ulaşmak olanaksızdır. Hatta plaklarda uzamalar yanısıra

dönme de olduğundan iki doğrultuda genleme ölçmek de yetmez ve bir üçüncü

doğrultuda da genleme ölçmek gerekir. Yapılan ölçmelerden doğrudan maksimum

gerilmeleri vermez. Maksimum gerilmeler asal doğrultularda olacağından üç

doğrultuda yapılan ölçmelerden asal gerilme doğrultusu ve iki asal gerilme elde edilir.

Burada bu işlemin yapılışı verilecektir.

İlk olarak iki boyutlu gerilme halinden iki eksen takımındaki genlemeler arası ilişki

2Sin2Cos

CosSinCosSin

CosSinCosSin

yyxxxy

xy2

yy2

xx

xy2

yy2

xx

(3.8)

elde ederiz [2]. Bu denklemlerde ve doğrultularının asal doğrultular olması için

dönmesinin sıfır olması gerekir. Şimdi asal gerilmelerin bu özelliğini kullanarak

genel bir ilişki elde etmek istiyoruz. Herhangi bir xy eksen takımında

doğrultularının asal doğrultular olduğunu varsayalım. Bu doğrultularda dönme olması

söz konusu olmadığından (3.8) denklemi x,y doğrultularındaki dönme genlemesini

2Cos

2Sinyyxxxy (3.9)

olarak verir. Bu değer (3.23) ve (3.24) denklemlerinde yerlerine yerleştirilirse

22

2yy

2xx

22

2yy

2xx

SinCos

CosSin

SinCos

SinCos (3.10)

elde edilir. Asal doğrultulardaki iki genlemeyi topladığımızda

yyxx (3.11)

buluruz. Buradan birbirine dik herhangi iki doğrultudaki genlemelerin toplamının asal

doğrultudaki genlemelerin toplamına eşit olduğu genel sonucu çıkar.

61

Şimdi bir levhanın herhangi bir noktasında genlemeleri Şekil 3.8’de gösterildiği gibi

düzenlenmiş 1, 2 ve 3 doğrultularındaki genleme ölçerler aracılığı ile ölçmüş olalım.

Bu noktadaki asal doğrultuların da ve doğrultuları olduğunu varsayalım. Bu

durumda asal doğrultularda dönme genlemesi olmayacağından 1 doğrultusundaki

genleme

2Cos22

SinCos 2211 (3.12)

olarak elde edilir. Öte yandan elde ettiğimiz genel sonucu kullanacak olursak (3.12)

denklemi

2Cos22

331111 (3.13)

şeklini alır.

Şekil 3.8 : Levhalarda asal genlemeleri ölçmek için kullanılan genleme ölçer düzeneği

Diğer iki doğrultudaki genlemeleri hesaplayabilmek için ise (3.13) denkleminde için

sırasıyla +/4 ve +/2 kullanmak yeterli olur ve böylece

2Cos22

2Sin22

331133

331122

(3.14)

denklemlerini elde etmiş oluruz. Bu denklemlerden asal doğrultular

3311

332211 22Tan

(3.15)

olarak ve bu doğrultudaki genlemeler de

2Cos222Cos22

3311331133113311 (3.16)

şeklinde elde edilirler. Buradan asal gerilmeler (3.16) denklemlerinde ve

genlemeleri kullanılarak elde edilir.

62

4. GEMİ VE AÇIKDENİZ YAPILARINDA

YEREL MUKAVEMET

4.1 Gemi ve Açıkdeniz Yapılarında Kiriş Mukavemetine Giriş

Gemi veya açıkdeniz yapılarında boyuna mukavemetin sağlanması yerel olarak

mukavemetin sağlanması anlamına gelmez. Örneğin gemi dalgalar arasında

zorlanırken bir kiriş olarak bütünlüğünü muhafaza edebilir ama yerel olarak bazı

elemanlar plastik olarak şekil değiştirebilirler. Bu geminin bir anda göçmesine neden

olmaz ama yerel olarak sorunlar yaratabileceği gibi kısa süre içerisinde bu yerel zaaf

giderilmezse giderek boyutları büyüyerek zamanla geminin boyuna mukavemetini

yitirmesine de neden olur. Konuyu açıklamak için basit bir örneği ele alalım. Makine

dairesinde bir yardımcı makinenin yer kısıtlamaları nedeni ile postalara büyük

braketlerle bağlanmış bir platformun üstüne yerleştirildiğini göz önüne alalım (Şekil

4.1a). Bu yapının geminin boyuna mukavemetine katkısı herhangi bir önem arz

etmez. Ancak gemide her şeyin düzenli olarak çalışabilmesi için inşa edilen

platformun üzerindeki yükü taşıyabilecek kapasitede olması gerekir. Bu zorlamalar

geminin bütün yapısını etkileyen yüklerden ve boyuna zorlamalardan ziyade yerel

yüklerden oluşur ve hesapları bu yüklere göre yürütmek gerekir.

Burada görülen yapının hesabını yapabilmek için ilk aşama bu yapıyı mukavemet

açısından önemli ayrıntıları kaybetmeksizin basit bir modele indirgemek olacaktır. Bu

basitleştirmeyi yaparken şu noktaları göz önüne almamız gerekir.

Platformun bağlandığı postaların boyutları daha evvelce belirlenmiş olup

yeterli mukavemete sahiptir. Platformun postaya aktaracağı yükün postayı

boyutlandırmakta göz önüne alınan yüklere kıyasla ihmal edilebilecek kadar

küçük olduğu varsayılabilir. Ancak hesaplar sırasında ortaya çıkan yüklerin

değerlerini dolayısı ile bu varsayımın geçerliliğini kontrol etmek gerekir.

Platformu taşıyacak kirişler postalara kıyasla çok daha küçük zorlamaya

maruz kalacaklarından daha küçük kesitli kirişler olacaklardır. Bu durumda

postaların ataleti platformu taşıyan kirişin ataletine kıyasla çok daha büyük

olur. Bağlantı noktasında yeteri kadar ataleti büyük bir braket kullanmak

kaydı ile platformu taşıyan kirişleri ankastre kirişler olarak

değerlendirebiliriz. Bu varsayımların da sağlanıp sağlanmadığını hesaplar

sonunda kontrol etmek gerekir.

Platformda taşınan yükün yardımcı makinenin ağırlığı olacağını ve bu yükün

kirişlere eşit olarak dağılacağını varsayabiliriz. Kiriş üzerinde yükün tekil

yük veya yayılı yük olması daha ziyade makine boyutu ile kiriş uzunluğunun

oranına ve makinenin yataklanma şekline bağlı olur. Eğer makine boyutu

küçük ise makine ağırlığı tekil yük olarak alınabilir. Ancak makine boyutları

büyük ve yataklar bu yükü yayacak şekilde düzenlenmiş ise makine ağırlığı

makine yatakları boyunca yayılı yük olarak alınır. Ancak yatak bağlantılarını

kontrol etmek için bağlantılara gelen yükler tekil yük olarak alınmalıdır.

63

Platformu oluşturan saçların çok ince oldukları ve mukavemete katkılarının

çok küçük miktarda olduğunu varsayarız. Gerekirse saçların kiriş ataletine

katkısı göz önüne alınabilir.

Şekil 4.1: Makine dairesinde bir platform yapısı ve basitleştirilmiş modeli

Bu varsayımları göz önüne aldığımızda bu karmaşık yapıyı sadece tekil yükle

zorlanan ankastre bir kiriş olarak modellemek olanaklıdır (Şekil 4.1b). Bu şekilde

basitleştirilmiş bir kirişin kesitinin boyutlandırılması için ilk ve en önemli aşama

kirişin ‘serbest cisim diyagramını’ çizmektir. Kirişe etki eden yükler makine

ağırlığına karşı gelen dış yük ile mesnet tepkilerinden oluşur. Mesnet ankastre olduğu

için yatay ve düşey doğrultularda iki kuvvet ve bir de moment taşır. Bu yükleri göz

önüne alarak serbest cisim diyagramı çizilir (Şekil 4.1c). Serbest cisim

diyagramındaki kuvvetlerden dış kuvvet W bilinen bir değer ama mesnet kuvvetleri

X,Y ve M bilinmeyenlerden oluşmaktadır.

İkinci etapta yapılması gereken şey bilinmeyen mesnet kuvvetlerini belirlemektir.

Bilinmeyen mesnet kuvvetlerini belirlemek konusunda kullanılabilecek ilk araç ‘statik

denge’ koşullarıdır. Bu koşullar gereğince

Kirişe etki eden yatay kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır.

Kirişe etki eden düşey kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır.

Kirişe etki eden bütün kuvvetlerin sabit bir noktaya göre momentlerinin

toplamı sıfır olmalıdır.

Görüldüğü gibi statik denge koşulları bize üç denklem vermektedir ve bu üç denklem

bilinmeyen üç mesnet tepkisinin belirlenmesi için yeterlidir. Böyle sistemlere statik

olarak belirli sistemler veya kısaca izostatik sistemler denir. Bu denklemlerden

mesnet tepkileri belirlendikten sonra doğrudan doğruya kirişte oluşacak kesit

tesirlerinin, yani kesme kuvveti ve eğilme momentinin, belirlenmesine geçilebilir.

Kirişin kesit tesirlerini belirlemek için kirişin herhangi bir noktasından kesit alarak bu

kesitteki iç kuvvetler, yani kesme kuvveti ile eğilme momentinden oluşan kesit

tesirleri, ile kirişin bu kesite kadarki kısmına etki eden dış kuvvetlerin dengesinden

yararlanırız. Herhangi bir kirişi göz önüne aldığımızda kirişi analiz edebilmek için

kirişe etki eden yükleme durumundaki ani değişikliklere bağlı olarak kirişimizi uygun

sayıda bölgelere ayırmamız gerekir. Elimizdeki probleme bunu uygulayacak olursak

kesme kuvveti ve eğilme momenti için iki karakteristik bölge gerekir (Şekil 4.2).

64

Birinci bölge ankastre mesnetten tekil yükün etki ettiği noktaya kadar olan kısım,

ikinci bölge de tekil yükün etki ettiği noktadan kirişin boşta olan ucuna kadar uzanan

kısmıdır. Birici bölgeyi göz önüne aldığımızda kirişe etki eden kuvvetlerin sadece

mesnet tepkileri ve kesit tesirleri olduğu gözükmektedir. Hesaplar sırasında kirişe etki

eden yatay yük olmadığı göz önüne alınarak yatay mesnet tepkisinin sıfır olacağı

dikkate alınmıştır. İkinci bölgede ise mesnet tepkileri ve kesit tesirlerine ilaveten dış

yük de etkili olmaktadır ve denge denklemlerinde tekil yük de hesaba katılmaktadır.

Şekil 4.2: Kirişe ait kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları

Yapılan hesaplar sonucunda kesme kuvvetinin birici bölgede sabit olduğu, ikici

bölgeye geçildiğinde ise sıfıra indiğini görmekteyiz. Burada mesnetteki tepkilerin

hesabında düşey tepkinin dış yüke eşit ve ters işaretli olduğunu göz önüne aldık.

Eğilme momenti ise mesnette buradaki moment değerine eşit olarak başlayıp birici

bölge içerisine lineer olarak azalıp bölgenin sonunda sıfıra ulaştığını ve ikinci bölgede

de sıfır olarak devam ettiğini görüyoruz. Burada da mesnet momentinin tekil yükün

mesnete göre alınan momentine eşit ve ters işaretli olduğuna dikkat ediyoruz. Kesit

tesirleri belirlendiğine göre kiriş bu tesirlere dayanabilecek mukavemet modülüne

sahip olacak şekilde seçilir.

Ele aldığımız platform sadece yukarıda tasarladığımız gibi tasarlanmaz. Bir kirişi

sadece postaya bağlayarak tasarlamak, özellikle uzunca olan platformlar için cazip

olmayabilir. Kirişlerin boşta olan uçlarında istenmeyen çökmeler veya ankastre

mesnette gereğinden büyük tepkiler oluşabilir. Dolayısı ile alternatif dizaynlara da

bakmak gerekebilir. İlk akla gelen çözüm şekli boştaki ucu düşey bir kolon aracılığı

ile taşıtmak olabilir (Şekil 4.3a). Böyle bir çözümün uçtaki çökmeleri büyük ölçüde

sınırlayacağı ve mesnet tepkilerini bir kısmını alarak bu tepkileri daha makul

seviyelere çekeceği aşikardır.

Burada da hesaba karmaşık sistemi ayrıntılara dikkat ederek basitleştirerek başlarız.

Bir önceki sistem için yapmış olduğumuz kabuller bu sistem için de geçerlidir ve

kirişi izole ederek hesabı yapabiliriz. Ancak burada ucun artık boş olmadığını ve

kolonun taşıyıcı bir eleman olduğunu dikkate alarak bu uca da bir mesnet yerleştirmek

durumundayız. Bu uçtaki kolon platform yükünden başka bir yük taşımayacağı için

aşırı büyük bir atalete sahip olması gerekmez. Ayrıca bu uçta çok büyük gerilmeler

beklenmediğinden bağlantıyı sağlamak için büyük braketler de kullanılmamıştır. Bu

durumda bu noktadaki mesneti basit mesnet olarak değerlendirebiliriz (Şekil 4.3b). Bu

basitleştirilmiş kiriş sisteminin serbest cisim diyagramı da bir önceki örneğe çok

65

benzeyen bir serbest cisim diyagramı olup tek farklılığı serbest mesnetin olduğu uçta

düşey mesnet tepkisinin olmasıdır (Şekil 4.3c).

Şekil 4.3: Makine dairesinde desteklenmiş bir platform yapısı ve basitleştirilmiş

modeli

Kirişin hesabı için yine bir önceki örnekte olduğu gibi statik denge koşullarından

yararlanarak mesnet tepkilerini tespit etmeyi deneriz. Elimizdeki statik denge

koşullarının yine üç tane olduğunu ancak tayin etmemiz gereken mesnet tepkisi

sayısının bu sistemde dörde çıktığına dikkat edersek mesnet tepkilerinin sadece statik

denge koşullarından yararlanarak çözmemizin olanaksız olduğunu görürüz. Mesnet

tepkileri sadece statik denge koşulları yardımı ile çözülemeyen kiriş sistemlerine

statik olarak belirsiz veya hiperstatik sistemler deriz. Bu sistemlerin incelenmesi ve

hesaplanabilmesi için statik denge koşullarına ilaveten sağlanması gerekli olan bazı

koşullardan yararlanmak gerekir.

Hiperstatik sistemlerin incelenmesine geçmeden önce izostatik ve hiperstatik

sistemler arasında bir karşılaştırma yapmanın büyük yararı vardır. İlk bakışta

hiperstatik bir sistem kullanarak hesapları zorlaştırmanın anlamı pek kolay

kavranamayabilir. Ancak hiperstatik sistemlerin bazı önemli avantajları

olabileceğinden daha evvelce de söz etmiştik. Gerçekten de aynı yüklemelere maruz

kalan hiperstatik sistemlerde oluşan maksimum kesit tesirleri statik eşdeğerine kıyasla

çok daha küçük olur. Bunun nedeni hiperstatik sistemlerin yükleri yayması ve daha az

yüklü olan mesnetlere iletmesi özelliğidir. Bu boyutların küçülmesini dolayısı ile

sistemin hafifleyerek ucuzlamasını sağlar. Ayrıca hiperstatik sistemlerde çökmeler

izostatik sistemlere kıyasla iki nedenle daha az olur. İlk neden doğal olarak ilave

edilen mesnet nedeni ile çökmenin sınırlanmasıdır. Ayrıca kirişe etki eden kuvvetler

arttıkça izostatik kirişlerde çökmeler sınırlanmadan artmaya devam eder. Oysa

hiperstatik sistemlerde çökmenin artışı belirli değerlere ulaştığında mesnetlerde yatay

tepkiler oluşur ve bu tepkiler çökmelerin serbestçe artışını engeller. Bu avantajları

nedeni ile gemilerdeki kiriş sistemleri çoğunlukla hiperstatik olarak tasarlanırlar.

Ancak buradan hiperstatik sistemlerin daima daha avantajlı olduğuna karar vermemek

gerekir. Çünkü bazı hallerde izostatik bir sistem daha avantajlı olabilir. Örneğin kesit

tesirlerinde ortaya çıkan azalmadan ötürü sağlanan malzeme tasarrufu bazı hallerde

konması gerekli mesnet ağırlığına kıyasla küçük kalabilir. Bu durumda hiperstatik

sistem maliyeti artırmış olur. Ayrıca bazı hallerde hiperstatik sistemlerdeki

mesnetlerin çökmeleri azaltıcı özellikleri bu mesnetlerde ve civardaki yapılarda

istenmeyen kesit tesirlerinin oluşmasına neden olabilir.

66

Hiperstatik sistemlerin çözümünde gerekli ek koşulları iki gurupta toplayabiliriz.

Bunlardan birincisi uygunluk koşulları olup yapıdaki kirişlerin süreklilik gösterdiğini

belirler. Yani yapının iki komşu kirişi zorlamalar altında birbirlerinden bağımsız

deforme olamazlar ve birleşme noktalarında gerek konumları gerekse meyilleri aynı

olmak zorundadır. İkinci gurup koşullar ise kuvvet – şekildeğiştirme ilişkilerinden

oluşmaktadır. Bu koşulların uygulanışı ve hiperstatik kiriş sistemleri bir sonraki

altbölümde ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

4.2 Hiperstatik Kiriş Sistemleri

Gemi veya açıkdeniz yapılarındaki herhangi bir hiperstatik kiriş sistemini incelerken

statik denge koşullarını, uygunluk koşullarını ve kuvvet – şekil değiştirme ilişkilerini

göz önüne alırız. Bu koşullardan statik denge koşulları yapıya etki eden kuvvetlerin

dengede olması halinde sağlanır ve sisteme doğrudan doğruya uygulamılır. Uygunluk

koşulları da değişik elemanların birleşme noktalarındaki geometrik sürekliliğin

varlığını ifade eder ve bu noktalarda konumun veya teğetin sürekliliği şeklinde

doğrudan uygulanır. Ancak kuvvet – şekildeğiştirme ilişkileri malzemenin türüne

bağlı olarak değişik şekillerde ifade edilir. Bu dersin kapsamında bu ilişki

malzemenin elastik rejimde kaldığı varsayılarak ele alınacaktır. Elastik rejimde ele

alındığında bu ilişkiyi iki yoldan sağlamak olanağı vardır. İlk yöntemde uygunluk

koşulları ve kuvvet – şekil değiştirme ilişkilerini kullanarak önce mesnet tepkilerini

hesaplamaya yöneliktir. Burada asal bilinmeyenler kuvvetler olduğu için bu yöntem

‘kuvvet yöntemi’ olarak bilinir. İlk olarak James C. Maxwell tarafından önerilmiş

daha sonra Otto Mohr tarafından geliştirilmiş olan bu yöntem hiperstatik sistemlerin

çözülmesinde kullanılan ilk yöntemdir. İkinci yöntemde ise asal bilinmeyenler

yerdeğiştirmeler olduğu için bu yönteme ‘şekil değiştirme yöntemi’ denir. Her iki

yöntemin de bazı avantaj ve dezavantajları vardır ve bu yöntemlerin her ikisini de

burada ele alacağız.

4.2.1 Hiperstatik Sistemlerde Kuvvet Yöntemi

Kuvvet yöntemini açıklamanın belki de en uygun yolu Şekil 4.3’de verilen hiperstatik

sistemin çözümünü anlatmaktır. Serbest cisim diyagramına bakıldığında bu sistemde

dört bilinmeyen vardır ve statik denge koşullarını oluşturan üç denklem bu sistemi

çözmek için yeterli değildir. Dolayısıyla çözüm için bir denklem daha bulmamız

gerekmektedir ve bu nedenle sistem ‘birinci dereceden’ hiperstatiktir. Kuvvet

yöntemini uygulamak için ilk olarak serbest cisim diyagramı ile verilen sistemi

süperpozisyon ilkesinden yararlanarak sistemi iki ayrı sistemin toplamı olarak

gösterebiliriz (Şekil 4.4).

Şekil 4.4 Hiperstatik sistemlerin çözümünde süperpozisyon ilkesinin uygulanması

67

Burada hiperstatik sistemde F dış kuvveti belli Ax, Ay, M ve By kuvvetleri belli

değildir. Bu sistemin bölündüğü diğer iki sistemden ilkinde ise belli olmayanların

sayısı sadece üç olur ve izostatik bir sistemdir. Bu sistemde uç noktadaki By mesnet

tepkisi kaldırıldığı için sistemde bir çökmesi oluşur ve bu çökme genel

mukavemetten bilindiği üzere elastik eğriyi hesplamak suretiyle bulunabilir. İkinci

sistem de, bir an için By bilinen bir dış kuvvet gibi düşünülürse, izostatik bir sistem

olup ’ yerdeğiştirmesi yaratır. Bu noktada bu iki izostatik sistemin toplamının

hiperstatik sisteme denk olması için gerekli uygunluk koşulunu yazalım. Bu koşul iki

izostatik sistemde ortaya çıkan yerdeğiştirmelerin birbirine eşit ve zıt yönlerde olması

gerektiğidir ve

(4.1)

şeklindedir. Şimdi ikinci izostatik sistemi tekrar göz önüne alacak olursak ve kiriş

malzemesinin lineer elastik olarak davrandığını hatırlarsak bu kirişin uç noktasına etki

eden By kuvvetinin yaratacağı çökmenin aynı noktada ve aynı doğrultuda etki eden

birim kuvvetin yaratacağı fBB çökmesinin By katı olacağını görebiliriz. Bu durumda

By mesnet kuvvetini

BB

yf

B

(4.2)

şeklinde ifade edebiliriz. Burada fBB esneklik katsayısı olarak bilinir ve elastik eğri

hesabı aracılığıyla belirlenir. Bu durumda B noktasındaki mesnet tepkisi belli

olduğundan artık statik denge denklemlerinden A’daki mesnet tepkileri de tayin

edilebilirler. Mesnet tepkileri tayin edildikten sonra kirişteki kesme kuvveti ve eğilme

momentini ve oluşacak şekil değiştirmeleri izostatik bir sistemi inceler gibi ele alırız.

Bir hiperstatik sistemi izostatik sistemlerin süperpozisyonu olarak seçerken nasıl bir

yol izlenmesi gerektiğine ilişkin herhangi bir kural veya kısıtlama yoktur ve bu seçim

tamamen keyfidir. Ancak hiperstatik sistemin derecesi süperpozisyon için

kullanılacak izostatik sistem sayısını belirler. Örneğin yukarıdaki sistemde B

noktasındaki mesne tepkisini belirlemek yerine A noktasındaki ankastrelik momentini

belirlemeyi seçebiliriz. Bu durumda süperpozisyon için farklı yol izleriz (Şekil 4.5).

Şekil 4.5 Hiperstatik sistemlerin çözümünde süperpozisyonun alternatif uygulanması

Burada ikinci izostatik sistemde bilindiğini varsaydığımız mesnet tepkisi A’daki M

momentidir ve ’ dönmesini meydana getirmektedir. Bu dönme de kiriş malzemesi

lineer elastik olduğundan birim momentin yaratacağı AA dönmesinin M katı olur ve

68

birici izostatik sistemde ankastre mesnet basit mesnet ile değiştirildiğinden ortaya

çıkan dönmesine eşit olur. Bu durumda A noktasındaki ankastre mesnetteki

bilinmeyen M momenti birinci izostatik sistemin dönmesi ve ikinci izostatik

sistemdeki birim momentin AA dönmesi cinsinden

AA

M

(4.3)

olarak elde edilir. Bu sistemde de artık üç bilinmeyen kalmıştır ve bu bilinmeyenler

de statik denge koşullarından belirlenebilir. Yine mesnet tepkileri belirli olduğundan

kirişteki kesit tesirleri ve şekil değiştirmeleri izostatik bir sistemdeki gibi çözeriz.

Bu noktaya kadar sadece birinci dereceden hiperstatik sistemleri ele aldık. Oysa

gemilerde çok daha yüksek dereceden hiperstatik sistemler olabilir. Hiperstatiklik

derecesi arttığından problemin çözümü için süperpozisyon ilkesinin uygulanması da

daha fazla sayıda izostatik sistem gerektirir. Bunu açıklamak için daha yüksek

dereceden bir hiperstatik sistem ele alalım (Şekil 4.6).

Şekil 4.6 Gemide yüksek dereceden hiperstatik bir sistem

Bu şekilde belirlenmiş bir kiriş sisteminde dört düşey tepki ve iki yatay tepki olmak

üzere altı adet bilinmeyen vardır. Ancak yatay dış kuvvet olmadığı ve sıcaklığın ihmal

edilebileceği göz önüne alındığında yatay kuvvetlerin her ikisinin de sıfır olacağı ve

statik denge denklemini otomatik olarak sağlanacağı açıktır. Bu durumda bilinmeyen

sayısı dörde statik denge denklemi sayısı da ikiye düşer. Yani sistem ikinci dereceden

hiperstatiktir ve uygunluk koşullarından iki adet ek denkleme gerek vardır. Bu iki ek

denklemi yaratabilmek amacı ile toplamları hiperstatik sisteme denk olacak izostatik

sistemleri yaratmak gerekir. Bu problem için uygun bir yol YB ve YC mesnet

tepkilerini bilinen dış kuvvetler olarak düşünüp hiperstatik sistemi P1 ve P2 dış

kuvvetlerinin etki ettiği ara mesnetleri kaldırılmış bir kiriş ile YB ve YC’nin her birinin

teker teker uygulandığı iki izostatik sistemden oluştuğunu varsaymaktır (Şekil 4.7).

Bu durumda iki uygunluk koşulu ilk izostatik sistemde B ve C noktalarında ortaya

çıkan çökmelerin diğer iki izostatik sistemde ortaya çıkacak çökmelerin toplamına eşit

olacağı şeklinde ifade edilebilir. Buradan uygunluk koşulları

CCC

BBB

(4.4)

şeklinde ifade edilebilirler.

69

Şekil 3.7 Yüksek dereceden hiperstatik bir sistemde süperpozisyon uygulaması

Burada ikinci izostatik sistemi göz önüne aldığımızda B ve C sırasıyla B noktasına

etki eden YB kuvvetinin B ve C noktalarında yarattığı çökme miktarlarıdır. Bir önceki

örnekte olduğu gibi bu çökmeleri B noktasına etki eden birim kuvvetin B ve C

noktalarında yaratacağı fBB ve fBC çökmelerinin, yani esneklik katsayılarının cinsinden

BBCCBBBB YfYf (4.5)

şeklinde yazabiliriz. Benzer şekilde üçüncü izostatik sistemde B ve C sırasıyla C

noktasına etki eden YC kuvvetinin B ve C noktalarında yarattığı çökme miktarları

olup C noktasına etki eden birim kuvvetin B ve C noktalarında yaratacağı fCB ve fCC

çökmelerinin, yani esneklik katsayılarının cinsinden

CCCCCCBB YfYf (4.6)

olarak ifade edebiliriz. Böylece (4.5) ve (4.6) ilişkilerini (4.4) uygunluk koşullarında

yerlerine yerleştirirsek iki denklemden oluşan

CCCCBBC

BCCBBBB

YfYf

YfYf

(4.7)

lineer sistemini elde ederiz. Bu sistemde Bve C ilk izostatik sistemin elastik

eğrisinden fBB ve fCB ikinci sistemde YB yerine fBC ve fCC de üçüncü sistemde YC

yerine birim kuvvet etki etmesi halinde oluşacak elastik eğriden hesaplanabildiğinden

(4.7) denklem sistemi kolaylıkla çözülür ve YB ile YC mesnet tepkileri bulunmuş olur.

Bu iki mesnet tepkisinin hesaplanmasından sonra A ve D’deki düşey mesnet tepkileri

statik denge koşullarından elde edilir. Kesit tesirleri ve şekil değiştirmeler daha önce

de belirtildiği gibi kolayca bulunabilir.

Görüldüğü gibi kuvvet yöntemi ile hiperstatik sistemlerin çözümünü elde etmek için

izostatik sistemlerin elastik eğrisini veya belirli noktalardaki şekil değiştirmelerini

hesaplamak gerekmektedir. Burada elastik eğrinin hesabına ilişkin kısa bir hatırlatma

yapmak uygun olur. Elastik eğrinin hesabı için bir yöntem kesit eğilme momentinin

iki kez doğrudan integrasyonuyla elde edilmesidir. Bir ikinci yöntem de ‘virtüel işler’

teoreminden yararlanarak elde edilmiş olan Castigliano teoremini kullanmaktır.

Herhangi bir sabit elastik kirişi göz önüne alalım. Bu kirişe etki eden dış kuvvetler ve

momentler kirişte kesit tesirleri (kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri) ve şekil

değiştirmelere (çökmeler ve dönmeler) neden olur. Bu skirişin denge halinde

kalabilmesi için de dış kuvvetlerin yaptığı iş kirişin şekil değiştirme enerjisine eşit

olması gerekir. Kirişe etki eden dış kuvvetlerin ve momentlerin işleri

70

L

e

L

ee dMdxFU (4.8)

olarak verilir. Burada Fe ve Me kirişe etki eden dış kuvvetler ve dx ile d da kirişin

elemanter öteleme ve dönmeleridir. Etki eden sadece dış kuvvetler ise ikinci integral,

sadece dış momentler ise birinci integral sıfır olur. Dış zorlamalar altında kirişte

kirişte eğilme oluşur ve bu eğilme M eğilme momenti ve

dxEI

M (4.9)

ile verilen dönmesiyle karakterize edilir. Eğilme momentinin sıfırdan başlayarak M

değerine yavaş yavaş eriştiği göz önüne alınırsa şekil değiştirme enerjisi

L

2

i dxEI2

MU (4.10)

olarak yazılır. Burada E kirişin elastisite modülü I da kesit atalet momentidir. Dış

etkiler belli olduğu sürece bunların işini hesaplayabileceğimiz için bu işin kirişin şekil

değiştirme enerjisine eşitliğinden eğilme momentini hesaplayabiliriz. Buraya kadar

kirişe eksenel yük etki etmediği varsayılmıştı. Kirişe eksenel yük gelmesi halinde

eğilme yanısıra eksenel şekil değiştirme de olacağı için ortaya çıkacak eksenel

gerilmenin de

L

2

i dxEA2

NU (4.11)

şeklinde verilen iç enerjisini ilave etmek gerekir. Bu denklemde N eksenel kuvvet A

da kirişin kesit alanıdır.

Şimdi denge halinde bulunan bu kirişe etki eden dış kuvvetlerde küçük bir dFe artışı

olduğunu düşünelim. Bu artış dış kirişte ek bir çökmesine neden olup kuvvetlerin

yaptığı iş de artarak

eeee dFUdUU (4.12)

olacağından kirişin iç enerjisi de dengede kalabilmek için artarak

e

e

iiii dF

F

UUdUU

(4.13)

değerine ulaşacaktır. Burada denge koşullarını kullanırsak ortaya çıkan deformasyon

da

LL

2

i dxEI

M

P

Mdx

EI2

M

PP

U (4.14)

olarak belirlenir. Bu sadece dış kuvvet etki etmesi halindeki çökmeyi vermektedir.

Sadece dış moment etki ederse sadece dönme meydana gelir ve bu dönme de

L eL

2

ee

i dxEI

M

M

Mdx

EI2

M

MM

U (4.15)

olarak belirlenebilecektir. Salt eksenel kuvvet etki etmesi halinde de uzama

L eL

2

ee

i dxEA

N

F

Ndx

EA2

N

FF

U (4.16)

bağıntısından hesaplanabileceği görülebilir.

Şimdi buraya kadar anlatmış olduğumuz kuvvet yöntemini Şekil 4.3 ile verilen

hiperstatik sisteme uygulayalım. Önce bilinmeyen mesnet tepkisini By olarak seçerek

uygulamayı yapalım. Böylece hiperstatik kiriş süperpozisyon ilkesi uyarınca Şekil 4.4

71

ile verilen iki izostatik kirişin toplamı olarak ifade edilebilir. Problemin çözümü için

ilk aşamada birinci izostatik sistemin artık serbest olan B ucundaki çökmeyi hesap

etmeyi gerektirir. Bunun için virtüel kuvvet yardımı ile statik denge koşullarından

LPDFM

PFY

A

A

yazabiliriz (Şekil 4.8a). Burada P virtüel kuvvet olup limit halinde sıfıra gitmektedir.

Çökmeyi hesaplamak için bu kirişin M(x,P) eğilme momentini hesaplayıp (4.14)

denklemine yerleştirirmek ve limit halde P virtüel kuvvetini sıfıra götürmek

gerekmektedir. Kirişin üzerinde tekil yük olduğu için kirişte kesit tesirleri açısından

tekil yükün etki ettiği noktada süreksizlik vardır ve eğilme momentini bu süreksizliğin

iki tarafında ayrı ayrı belirlemek gerekir. Bu şekilde belirlenen eğilme momentleri ve

bunların P virtüel kuvvetine göre kısmi türevleri

LxDLxP

M)Lx(P)P,x(M

Dx0LxP

MLPDFx)PF()P,x(M

şeklinde hesaplanır. Eğilme momentleri ve bunların P virtüel kuvvetine göre kısmi

türevleri (4.14) denkleminde kullanılırsa Şekil 4.8b’de B noktasındaki çökmeyi

3

DL

EI2

FD

LDx2

xDL

3

x

EI

F

dxEI

LxPLxlimdx

EI

LxPDxFLxlim

2

D

0

23

L

D0P

D

00P

olarak buluruz. Burada P virtüel kuvveti üzerindeki limit işleminin integrasyon

yapıldıktan sonra uygulanması gerektiğine dikkat etmek gerekmektedir.

Şekil 4.8 Birinci izostatik kirişte virtüel kuvvetin uygulanışı ve eğilme momenti

İkinci izostatik kirişin de B noktasındaki çökmesini benzer şekilde hesaplayabiliriz.

Ancak ikinci kirişte By kuvveti bilinmediğinden birim kuvvet için çökmeyi hesaplayıp

mesnet kuvvetini (4.2) denkleminden elde edeceğiz. Bu hesabı yapmak için B

noktasına P virtüel kuvvetini yerleştirip virtüel işler ilkesi yardımı statik denge

koşullarından

LPM

PY

A

A

yazabiliriz (Şekil 4.9a).

72

Şekil 4.9 Birinci izostatik kirişte virtüel kuvvetin uygulanışı ve eğilme momenti

Burada P virtüel kuvvet olup limit halinde sıfıra yerine birim kuvvete gitmektedir zira

B noktasında birim kuvvet vardır. Çökmeyi hesaplamak için bu kirişin M(x,P) eğilme

momentini hesaplayıp (4.14) denklemine yerleştirirerek P virtüel kuvvetinin limit

halini göz önüne alacağız. Kirişin üzerinde tekil yük olmadığı için kirişte kesit

tesirleri açısından tekil yükün etki ettiği noktada süreksizlik yoktur ve eğilme

momenti ile P virtüel kuvvetine göre kısmi türevi

Lx0LxP

M)Lx(P)P,x(M

şeklinde hesaplandıktan sonra (Şekil 4.9b) B noktasındaki çökme (4.14)

denkleminden

EI3

LxLLx

3

x

EI

1f

dxEI

LxPLxf

3L

0

223

BB

L

01PBB

lim

olarak bulunur. Her iki izostatik kiriş için bulunan çökmeler (4.2)’de yerine konursa B

noktasındaki mesnet tepkisi

L

D3

L

D

2

FB

2

y

olarak bulunur. Böylece By mesnet tepkisi belirlenmiş olduğundan A’daki mesnet

tepkileri de statik denge koşullarından

D2DL3

L

D

2

FM

L

D3

L

D2

2

FA

22

y

olarak belirlenirler. Mesnet tepkileri tamamen belirlendikten sonra kesit tesirleri tekil

yükün yaratacağı süreksizlik göz önüne alınarak hesaplanır ve çizilir (Şekil 4.10).

Şekil 4.10 Hiperstatik kirişin kesit tesirlerinin hesabı ve çizimleri

73

Mesnet tepkilerinin değerleri yerine yerleştirildiğinde kesme kuvveti ve eğilme

momenti değerleri

LxD

xLL

D3

L

D

2

F)x(M

L

D3

L

D

2

F)x(Q

Dx0

D2DL3L

D

2

Fx

L

D3

L

D2

2

F)x(M

L

D3

L

D2

2

F)x(Q

2

2

22

2

olarak bulunurlar.

Daha önce süperpozisyon ilkesinin farklı şekillerde de uygulanabileceği belirtilmiş ve

bunun için bir örnek Şekil 4.5’de verilmişti. Burada uygunluk koşullarından

belirlenmesi gereken mesnet tepkisi A noktasındaki moment olarak seçilmiş ve

uygunluk koşulu da seçilen iki izostatik sistemde A mesnetinde ortaya çıkan

dönmelerin toplamının sıfır olması olarak belirlenmiştir. Birici kirişteki mesnet

tepkileri A noktasında M virtüel momenti uygulayıp statik denge koşullarından

L

DFMY

L

DFMFY

BA

olarak bulunur. Bu kirişte de tekil yük söz konusu olduğu için kesit tesirlerinde

süreksizlik vardır ve tekil yükün iki tarafında eğilme mementleri ve bunların virtüel

momente göre kısmi türevleri

LxDL

x1

M

M)

L

x1(DFM)M,x(M

Dx0L

x1

M

Mx

L

MDLFM)M,x(M

şeklinde elde edilir. Bu büyüklükler (3.15) denklemine konur ve integrasyon yapılırsa

dönmesi

2

2

L

D0M

D

00M

L

D

L

D32

EI6

FDL

dxEI

)L

x1(DFM

L

x1dx

EI

xL

MDLFM

L

x1 limlim

olarak elde edilir. İkinci izostatik kirişte M virtüel momentini birim momente

götürerek bu birim momentin oluşturacağı dönmeyi hesaplamak gerekir. Bu kiriş için

mesnet tepkileri

L

MB

L

MA yy

olacağından bunların yarattığı eğilme momenti ile virtüel momente göre kısmi türevi

L

x1

M

M

L

x1M)M,x(M

74

şeklinde elde edilir. Bu değerler (4.3) denkleminde yerine konursa A mesnetindeki

moment

D2DL3

L

D

2

FM

2

şeklinde elde edilir. Bu değer bir önceki yöntemle elde edilen değer ile aynı

olduğundan gerek diğer mesnet tepkileri gerekse kesit tesirleri için de bir önceki

yoldan bulunan değerlerin aynısı olacağı açıktır.

4.2.2 Hiperstatik Sistemlerde Şekil Değiştirme Yöntemi

Hiperstatik sistemlerin incelenmesinde kullanılan ikinci yöntem şekil değiştirme

yöntemi olup uygulanması kuvvet yöntemiyle tamamen terstir. Bu yöntemde

öncelikle denge denklemlerini sağlamak gerekmektedir. Bunun için de bilinmeyen

şekil değiştirmeler kuvvet – şekil değiştirme ilişkilerini kullanarak etki eden kuvvetler

cinsinden yazılır ve uygunluk koşullarından yararlanarak çözülürler. Daha sonra

bulunan şekil değiştirmeler kullanılarak bilinmeyen mesnet tepkileri de belirlenmiş

olur. Değişik bir dizi yöntem geliştirilmiş olmakla birlikte bütün şekil değiştirme

yöntemleri aynı yolu izlemektedir.

Şekil 4.11: Güverte altında bir kemerenin yükleme durumu

Bu yöntemin ayrıntılarını en iyi bir örnek üzerinde açıklamak uygun olur. Herhangi

bir yük dağılımını taşıyan bir güverteyi düşünelim. Bu güverte bir bordodan bir

bordoya uzanan ve arada perdele veya derin tulanilerle desteklenen bir hiperstatik

kiriş oluşturur (Şekil 4.11a). Bu kirişin mesnetlerindeki şekil değiştirmeler dış yükler

cinsinden yazılmalı ve uygunluk koşullarına yerleştirilmelidirler. Bu kirişin herhangi

bir BC aralığını göz önüne alacak olursak bu aralıkta dış yükler bir M(x) eğilme

momenti oluştururlar (Şekil 4.11b). Bu eğilme momenti sadece BC aralığındaki

yüklerden dolayı ortaya çıkmaz, diğer aralıklardaki yüklerden de etkilenir.

Bu eğilme momenti ile y(x) çökmeler arasında genel mukavemetten bilinen

)x(EI

)x(M)x(y (4.17)

ilişkisi vardır [3]. Burada E elastisite modülü, I(x) de kirişin boyunca değişmekte olan

kesit atalet momentidir. Değişken atalet momentini kirişteki herhangi bir kesitin atalet

momenti Io cinsinden

)x(i

I)x(I o (4.18)

75

olarak yazar ve (4.17) denklemine yerleştirip bu denklemi düzenlersek denklemini

)x(M)x(i)x(yEIo (4.19)

elde ederiz. Bu denklemi bir kez integre edersek kirişin herhangi bir noktasındaki

çökmenin eğimi

o

x

0

o Qd)(M)(i)x(yEI (4.20)

olarak elde edilir. Burada Qo integrasyon sabiti olup B veya C noktasındaki sınır

koşulundan belirlenir. Yukarıdaki örnekte B ve C noktaları basit mesnet oldukları için

bu noktalarda çökmelerin eğimi belirsizdir ve sınır koşulunu yazmak mümkün

değildir. Eğer bu noktalardaki mesnetlerden birisi ankastre mesnet olsa idi bu

durumda sınır koşulunu yazabilirdik. Örneğin B mesneti ankastre olsa bu mesnette

dönme olmayacağından B sıfır olur ve

0tan)0(y)B(y BB (4.21)

yazılabilirdi. Böylece integrasyon sabiti Qo

0Q0Qd)(M)(i)0(yEI oo

0

0

o (4.22)

olarak elde edilirdi. Öte yandan C noktası ankastre olduğu zaman x = L olacağını göz

önüne alarak integrasyon sabitini aynı yoldan

d)(M)(iQ0Qd)(M)(i)L(yEI

L

0

oo

L

0

o (4.23)

şeklinde elde edebiliriz.

Bu integrasyon sabitini belirleme olanağımız olmadığı takdirde (4.20) denklemini bir

kez daha integre ederek

1o

x

0 0

o QxQdd)(M)(i)x(yEI

elde edilir. Burada Q1 ikinci bir integrasyon sabiti olup yine sınır koşullarından

belirlenmesi gereklidir. Bu denklemdeki iki katlı integrali kısmi integrasyon kuralına

göre integre edersek

1o

x

0

o QxQd)(M)(ix)x(yEI (4.24)

elde ederiz. Ele aldığımız örnekte B ve C mesnetleri basit mesnetler olduğundan her

iki mesnette de çökmeler sıfır olacaktır. Bu durumda B mesnetindeki sınır koşulundan

Q1 sabiti

0Q0)0(yEI1o (4.25)

olarak C mesnetindeki sınır koşulundan da Qo sabiti de

d)(M)(iLL

1Q0)L(yEI

L

0

oo (4.26)

olarak bulunurlar. Bu durumda BC aralığında kirişteki dönme ve çökmeler

d)(M)(ixd)(M)(iLL

x)x(yEI

d)(M)(id)(M)(iLL

1)x(yEI

x

0

L

0

o

x

0

L

0

o

(4.27)

76

şeklinde bulunur. Bu denklemlerden şimdi B ve C noktalarındaki dönmeleri, bu

dönmeler küçük olduğu için eğimlere yaklaşık olarak eşit olduklarını da hatırlayarak,

d)(M)(iL

1EI

d)(M)(iLL

1EI

L

0

Co

L

0

Bo

(4.28)

şeklinde bulabiliriz.

Bu noktaya kadar BC aralığındaki M(x) moment dağılımının bilindiğini var saydık.

Oysa bilinen sadece kirişin üzerindeki yüktür ve M(x) momentini bu yük dağılımı

cinsinden ifade etmek gerekir. Bunu yapmak için kirişin BC aralığını izole ederek bu

aralıkta uygun bir şekilde süperpozisyon ilkesini uygulamak gerekir (Şekil 4.12a).

Şekil 4.12: Sürekli bir kirişin bir aralığının izole edilmesi ve süperpozisyon ilkesi

Burada BC aralığı üzerine etki eden yükten oluşan izostatik bir kiriş ile kirişin geri

kalan kısmındaki yüklerden dolayı gelen etkileri taşıyan bir ikinci izostatik kirişin

toplamına indirgenmiştir. Bu iki kirişe ait eğilme momenti diyagramları Şekil

4.12b’de verilmiştir. Birici izostatik kiriş basit mesnetli olduğu için mesnetlerde

moment olmaz ve etki eden yükler belli olduğundan bu kirişe etkieden Mo(x) eğilme

momenti dağılımı kolaylıkla hesaplanabilir. İkinci izostatik kirişte ise B ve C

mesnetlerine BC aralığı dışındaki kuvvetlerden dolayı MB ve MC momentleri

iletilmiştir ve başka bir dış yük olmadığından eğilme momenti dağılımı iki moment

değeri arasında doğrusal olarak değişir. Bu şekilde belirlenen M(x) momentini (4.28)

denklemlerine yerleştirirsek B dönmesi için

d

LM

L1M)(M)(iL

L

1EI

L

0

CBoBo (4.29)

ve C dönmesi için de

d

LM

L1M)(M)(i

L

1EI

L

0

CBoCo (4.30)

buluruz. Burada MB ve MC değerlerinin sabit oldukları göz önüne alınır ve

dL

)(iL

1Vd

L1)(i

L

1VdM)(i

L

1V

dL

)(iLL

1Ud

L1)(iL

L

1UdM)(iL

L

1U

L

0

C

L

0

B

L

0

oo

L

0

C

L

0

B

L

0

oo

tanımları yapılırsa dönmeler için

77

CCBBoCo

CCBBoBo

MUMUUEI

MUMUUEI

(4.31)

denklemleri elde edilir. Aynı yöntem kullanılarak bütün aralıkların uç noktalarında

dönmeler hesaplanabilir. Bu durumda aralardaki mesnetlerde mesnetin her iki

tarafından da o mesnetteki dönme hesaplanmış olacaktır. Uygunluk koşulu gereği iki

komşu aralıkta hesaplanan dönmelerin eşitliğinden bilinmeyen mesnet momentleri

için bir denklem elde edilir. Eğer N tane mesnet varsa N tane de bilinmeyen moment

vardır. Aradaki (N – 2) mesnette uygunluk koşulu kullanıldığında (N – 2) denklem

elde edilir ve mesnet momentlerinin çözümü için 2 denkleme daha gerek vardır. Bu

denklemleri de uçtaki mesnetlerde yazılacak sınır koşullarından elde ederiz. Eğer

uçtaki mesnet ankastre ise bu mesnette dönme olmayacağı için bu mesnetteki dönme

sıfır yazılır. Uçtaki mesnetin serbest mesnet olması halinde ise bu mesnet moment

taşıyamayacağı için bu mesnetteki moment değeri sıfır yazılır.

Bu yöntemin daha iyi anlaşılabilmesi için bir uygulama yapmakta yarar vardır. Bu

amaçla Şekil 4.3’de verilen ve daha evvelce kuvvet yöntemi ile çözmüş olduğumuz

hiperstatik kirişi ele alalım. Bu kirişi süperpozisyon ilkesi yardımı ile birisi üzerinde F

tekil yükünü taşıyan iki ucu da basit mesnetli izostatik bir kiriş ile diğeri iki uç

noktasında MA ve MB momentlerinin olduğu iki ucu da basit mesnetli izostatik bir

kirişin toplamına eşit olacaktır (Şekil 4.13). Burada birinci izostatik kirişe ait mesnet

tepkileri

L

FDY

L

DLFY BA

şeklindedir ve kesitte oluşan eğilme momenti dağılımı

LxDxL

FDFD

Dx0xL

DLF

xMo

olarak verileceği açıkça gözükmektedir.

Şekil 4.13: Şekil değiştirme yönteminde süperpozisyon uygulaması

Kesit eğilme momenti için değeri yukarıdaki tanımlarda yerine koyar ve kirişin sabit

kesitli olduğunu, dolayısıyla i(x) = 1 olacağını da göz önüne alırsak

L6

LDFDdL

L

FD

L

1d

L

DLF

L

1V

L6

DL2DLFDdL

L

FDL

L

1d

L

DLFL

L

1U

2L

D

D

0

o

L

D

D

0

o

78

3

Ld

LL

1V

6

Ld

L1

L

1V

6

Ld

LL

L

1U

3

Ld

L1L

L

1U

L

0

C

L

0

B

L

0

C

L

0

B

buluruz. Bu değerleri 4.31 denklemlerinde yerine yerleştirirsek mesnetlerdeki

dönmeleri

CB

2

Co

CBBo

M3

LM

6

L

L6

LDFDEI

M6

LM

3

L

L6

DL2DLFDEI

olarak buluruz. Burada B ile C mesnetlerindeki sınır koşullarını kullanarak bu

mesnetlerdeki moment değerlerini hesaplamak gerekir. Bunlardan B mesneti ankastre

olduğu için burada dönme olmaz, C mesneti ise serbest olduğu için moment taşımaz.

Dolayısı ile

0M

D2DL3L

D

2

F

L2

DL2DLFDM

C

2

2B

elde ederiz. Ankastre mesnet için bulunan bu değer daha evvelki çözümlerde elde

edilen değer ile aynıdır. Bu noktada baştan yaptığımız moment dağılımı gereğince

kirşteki eğilme momenti

LxDxLL

D3

L

D

2

F)x(M

Dx0D2DL3L

D

2

Fx

L

D3

L

D2

2

F)x(M

xM2

22

o

olarak hesaplanır. Bu moment dağılımı da daha evvelce hesaplanmış olan moment

dağılımı ile aynıdır. Kesme kuvveti dağılımı eğilme momenti dağılımının türevini

alarak elde edilir ve mesnet tepkileri de kesme kuvvetinden elde edilir.

Yukarıda verilen örnek sadece tek aralıktan oluşan bir hiperstatik sistemdi. Bu

yöntemin çok aralıklı bir sisteme uygulanışını açıklamak amacıyla yükü düzgün her

aralıkta düzgün yayılı yük olarak verilen bir güverte kemeresini göz önüne alalım

(Şekil 4.14a).

Şekil 4.14: Üç aralıktan oluşan ve postalara braketsiz bağlı bir kemere

79

Yöntemi uygulamak için bu her aralıkta izostatik sistemden gelen Mo(x) momentleri

ile mesnetlere komşu kirişlerden gelen eğilme momentlerinden oluşan M’(x)

momentini yazmak gerekmektedir. İzostatik kirişlerde düzgün yayılı yük mesnetlerde

eşit tepki oluşturacağından bu kirişlerde eğilme momenti Mo(x) parabolik olur (Şekil

4.14b). Mesnetlerin iki tarafında - ve

+ olarak gösterilen dönmeler uygunluk koşulu

gereği eşit olmalıdırlar.

D

3

DC

3

C

3

oD3

D

3

DC

3

C

3

oC3

C

2

CB

2

B

2

oC2

C

2

CB

2

B

2

oB2

B

1

BA

1

A

1

oB1

B

1

BA

1

A

1

oA1

MVMVVEI

MUMUUEI

MVMVVEI

MUMUUEI

MVMVVEI

MUMUUEI

(4.32)

Burada A ve D uçları serbest mesnet olup moment taşımadıkları için MA = MD = 0

yazılır.Ayrıca B ve C mesnetlerinin iki tarafında hesaplanmış olan dönmeler de

birbirlerine eşit olacaklarından (4.32) denklemlerinden

C

2

2

C

3

3

CB

2

2

B

3

3

o

2

2

o

C

2

2

CB

1

1

B

2

2

B

2

2

o

1

1

o

MEI

V

EI

UM

EI

V

EI

U

EI

V

MEI

UM

EI

V

EI

U

EI

U

EI

V

(4.33)

elde edilir. Burada

24

LqU

24

LqV

24

LqU

24

LqV

3

LV

6

LV

6

LV

6

LU

6

LU

3

LU

3

333

o

3

222

o

3

222

o

3

111

o

22

C

22

B

11

B

33

C

22

C

22

B

değerleri yukarıdaki tanımlardan integrasyonla hesaplanmıştır. Bu değerler (4.33)

denklemlerinde kullanıldığı takdirde MB ve MC momentleri elde edilir.

Ele aldığımız örnekte bazı hallerde A ve D uçlarının serbest mesnet yerine ankastre

olmaları söz konusu olabilir. O zaman MA ve MD momentleri sıfırdan farklı

olacağından iki denkleme daha gerek olacaktır. Bu denklemler de A ve D

dönmelerinin bu mesnetler ankastre olduğundan dolayı sıfır olması gerektiğinden

D

3

DC

3

C

3

o

B

1

BA

1

A

1

o

MVMVV0

MUMUU0

(4.34)

şeklinde elde edilir. Bu yöntem özellikle kesitleri değişken olmayan mütemadi gemi

kirişleri için çok daha standartlaştırılmış bir yönteme dönüştürülmüştür. Üç moment

denklemi veya Clapeyron yöntemi olarak bilinen bu yöntemi burada kısaca

vereceğiz.

Herhangi bir mütemadi kirişin iki ardışık aralığını ve bu aralıkları belirleyen A, B ve

C mesnetlerinden oluşan bir bölgesini göz önüne alalım (Şekil 4.15a). Bu kiriş

mütemadi bir kiriş olduğu için genel olarak mesnetlerde MA, MB ve MC momentleri

80

vardır. Bu momentler ve her aralıktaki izostatik sistemin momentleri cinsinden AB ve

CB aralıklarındaki toplam momentleri

xL

MMM)x(M)x(M

xL

MMM)x(M)x(M

2

CBCo

1

ABAo

(4.35)

olarak yazabiliriz. Burada Şekil 4.15a’dan de anlaşılacağı gibi x’ değişkeni C

noktasından başlayıp x değişkeni ile ters yöndedir. Bu tanımları kullanarak B

mesnetinin iki tarafındaki dönmeleri (4.28) denkleminden yararlanarak

Şekil 4.15: Çok aralıklı bir mütemadi kirişin iki aralığının izole edilişi

d)(M

L

1EId)(M

L

1EI

21 L

02

B2

L

01

B1 (4.36)

şeklinde yazabiliriz. Burada AB ve CB aralıklarında kirişlerin kesitlerinin sabit

kaldıklarını ve kesit atalet momentlerinin sırasıyla I1 ve I2 olduklarını göz önüne aldık.

Buradan hesaplanan B dönmesinin integrasyon yönü nedeniyle ters işaretli olacağını

göz önüne alırsak

0BB (4.37)

olacağı açıktır. Yukarıdaki (4.36) denklemde (4.35) ile verilen momen değerlerini

yerleştirir ve integrasyonları yapar aynı zamanda (4.37) koşulundan yararlanırsak

dMKdMK

KI

LK

I

LM

I6

LM

I3

L

I3

LM

I6

L

21 L

0

oC

L

0

oA

C

2

2A

1

1C

2

2B

2

2

1

1A

1

1

(4.38)

denklemini elde ederiz. Sadece uç noktalarında durum farklıdır ve bu noktalarda üç

moment denklemini yazarken özel bir uygulama yapmak gerekir. Örneğin A noktası

bir uç noktası ise A noktasında üç moment denklemini yazabilmek için A noktasının

dışında limit halinde uzunluğu sıfıra giden sanal bir aralık ilave etmek gerekir (Şekil

4.15a). Bu durumda A noktasındaki üç moment denklemi

dMKKI

LM

I6

LM

I3

L 1L

0

oBB

1

1B

1

1A

1

1 (4.39)

halini alır. Eğer C noktası bir uç noktası ise benzer bir uygulama ile C noktasındaki üç

moment denklemi de

dMKKI

LM

I3

LM

I6

L 2L

0

oBB

2

2C

2

2B

2

2 (4.40)

olarak yazılır.

81

Bir çok aralığı olan bir mütemadi kirişte uç noktalarındaki özel halleri de göz önüne

alarak her mesnette üç moment denklemlerini yazarsak bilinmeyen momentler kadar

denklem elde ederiz. Bu denklemler bir lineer denklem sistemi oluşturur ve

Q

1n

1n

R

1n

1nP

n

n

C

2

2A

1

1

B

1

1

R

Q

P

C

B

A

1n

1n

n

n

1n

1n

1n

1n

n

n

n

n

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

KI

L

KI

LK

I

L

KI

LK

I

L

KI

L

M

M

M

M

M

M

I3

L

I6

L00000

I6

L

I3

L

I3

L

I6

L0000

0000I6

L

I3

L

I3

L

I6

L

00000I6

L

I3

L

şeklinde düzenlenebilir. Üç moment denkleminin uygulamasına ilişkin örnekler

Bölüm 4.5’de verilmektedir.

4.2.3 Hiperstatik Sistemlerde Moment Dağılımı Yöntemi

Burada hiperstatik sistemlerin incelenmesi için şimdiye kadar ele aldığımız

yöntemlerin tümü analitik yöntemler olup bilgisayar uygulamalarına uygun

değillerdir. Bilgisayarların gelişmesi sonucu bu hesapları bilgisayarlara uygulamak

için bir takım yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin ilki Hardy Cross adlı

mühendisin geliştirdiği ve Cross metodu olarak bilinen moment dağılımı yöntemidir.

Moment dağılımı yöntemi aslında bir şekil değiştirme yöntemi olmasına rağmen

uygulanışı ağırlıklı olarak sayısal bir yöntem olduğu için burada ayrıca ele alınacaktır.

Cross yöntemini açıklamak için yine çok aralıklı bir mütemadi kiriş sistemini ele

alalım (Şekil 4.16a). Bu sistemin en uçtaki mesnetleri ankastre olmamaları halinde

moment taşımazlar ama ara mesnetler basit mesnet dahi olsalar bu noktalarda kiriş

sürekli olduğu için momentler oluşur. Moment dağılımı yöntemlerinde prensip

mütemadi kirişin her aralığını ayrı bir kiriş gibi ele alıp mütemadi kirişin bu kirişlerin

toplamına eşit olacağı şeklindedir. Aradaki kirişlerde her iki uçta da moment

olacağından ara kirişleri iki ucu ankastre kirişler olarak ele almak gerekir. Uçlardaki

kirişler ise biraz farklı ele alınır ve mütemadi kirişin son noktalarına isabet eden

uçtaki mesnetler aynen kalırken diğer uçtaki mesnetler ankastre olarak kabul edilirler

(Şekil 4.16b). Bu şekilde izole edilen aralıkların her biri kolaylıkla çözülebilecek

hiperstatik kirişler oluşturmaktadır. Ancak bu kirişleri bir araya getirdiğimizde mesnet

noktalarında genel olarak bir moment süreksizliği ortaya çıkar. Yani mesnetin iki

tarafında moment değerleri birbirinden farklı olup mesnet tarafından taşınan bir artık

moment ortaya çıkar (Şekil 4.16c). Bu artık momentin ortaya çıkması her aralığın

birbirinden bağımsız olarak ele alınması sonucu komşu aralıklar arasındaki

etkileşimin ihmal edilmiş olmasından dolayıdır. Oysa bu noktalardaki serbest

mesnetler moment taşımayacaklarından bu artık momentin ardışık yaklaşımlarla

uygun bir şekilde komşu aralıklara dağıtılması gerekmektedir.

82

Şekil 4.16: Bir mütemadi kirişin moment dağılımı yöntemine göre ayrıştırılması

Artık momentin komşu kirişlere dağıtılması iki aşamada gerçekleştirilir. İlk aşamada

mesnetteki artık moment mesnete komşu olan kirişlerin mesnete bağlandığı

noktalarına dağıtılır. Bunu yapmak için herhangi bir noktada birleşen ve diğer uçları

herhangi bir şekilde mesnetlenmiş sabit kesitli üç kiriş alalım ve birleşme noktasına

bir M momenti uygulayalım (Şekil 4.17a). Bu moment şekilde gösterildiği gibi her

kirişte eşit miktarda dönmesi meydana getirir. Bu kirişlerden herhangi birisini göz

önüne aldığımızda bu kirişin birleşim noktasında taşıyacağı moment ile dönme

arasında bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi belirleyebilmek için (4.28) denklemlerini göz

önüne almak ve dış yük olmadığı için kiriş üzerinde sadece lineer olarak değişen

hiperstatiklik moment dağılımını kullanmak yoluyla dönmesini uç noktalarındaki

momentlere bağlarız(Şekil 4.17a). Örneğimizde 1-3 kirişini göz önüne alırsak 1

noktasından

3313

13

13

1333

13

L

0

13

13

13 MM26

Ld

L

MMML

L

1EI

13

(4.41)

buluruz. Öte yandan 3 noktasından da

3313

13

13

1333

13

L

013

M2M6

Ld

L

MMM

L

10

13

(4.42)

elde ederiz. Bu iki denklemden M13 ve M33 momentlerinin dönmesine

13

13

33

13

13

13L

EI2M

L

EI4M (4.43)

Şekil 4.17: Birleşme noktasındaki bir momentin kirişlere dağıtılması

şeklinde bağlı olacakları çıkar. Burada dikkat edilecek nokta bu ilişkinin sadece karşı

mesnetin ankastre olması halinde geçerli olduğudur. Örneğin bu ilişki 1-2 kirişi için

geçerli olmaz zira 2 mesneti serbest olup bu mesnetteki dönme sıfırdan farklıdır.

Ancak M22 momenti sıfır olacağından bu kirişte dönmesi sonucu

83

0ML

EI3M 22

12

1212 (4.44)

ilişkileri elde edilir. Burada kirişe ait bir K katılık (Stiffness) katsayısı tanımlayıp bu

katsayı cinsinden dönme ve moment arasındaki ilişkiyi

EK4M (4.45)

şeklinde verebiliriz. Bu durumda ucu ankastre olan kirişlerde katılık katsayısı K = I/L

ucu serbest olan kirişlerde katılık katsayısı K = 3I/4L olur. Bu durumda örneğimize

geri dönersek her bir kirişte birleşme noktasındaki moment değerleri

141413131212 EK4MEK4MEK4M (4.46)

şeklinde verilir. Bu momentlerin toplamı birleşme noktasına etki ettirilen M

momentine eşit olacağından her bir kirişteki momentleri toplam moment ve katılık

katsayıları cinsinden

MK

KMM

K

KMM

K

KM 14

14

13

1312

12

(4.47)

şeklinde yazarız. Burada

141312

j1

j1 KKKKK

KD

dağıtma faktörü olarak bilinir. Böylece birleşme noktasındaki artık momentin

dağıtılması işleminin ilk aşaması tamamlanmış olur.

Bir kirişe bir noktadan moment etki ettirildiğinde bu momentin sadece o noktayı

etkilemeyip kiriş boyunca yayılacağını biliyoruz. Dağıtmanın ikinci aşaması da

birleşme noktasına etki eden momentin diğer uca iletilmesidir. Dağıtma faktörünün

hesabı sırasında diger uç noktasına iletilen momenti (4.43) denkleminde elde etmiştik.

Buradan birleşim noktasına dağıtılmış olan momentin yarısı kadar bir momentin de

diğer uca iletildiği gözükmektedir. Ancak diğer uca moment iletilebilmesi için diğer

ucun ankastre olması gerekir. Serbest olan uca moment iletilmez. Yani bir mesnete

etki eden artık moment o mesnete bağlı olan kirişlerin birleşim ucuna kirişin katılık

katsayısıyla mesnet türüne bağlı olarak dağıtıldıktan sonra diğer uca da ankastre ise

bu momentin yarısı iletilecek serbest ise moment iletilmeyecektir.

Moment dağıtımını her mesnet için uyguladıktan sonra mesnetlerde oluşan yeni

momentlerin toplamı hesaplandığında eğer artık moment kalmamış ise mütemadi kiriş

dengeye gelmiş ve kesin moment dağılımı elde edilmiş demektir. Eğer hala bir veya

daha fazla mesnette artık moment var ise dağıtım işlemini tekrarlamak gerekmektedir.

Yöntemin uygulanışını daha iyi açıklayabilmek için bir uygulama yapmakta yarar

vardır. Bunun için iki aralıktan oluşan bir mütemadi kirişi göz önüne alalım (Şekil

4.18a).

Şekil 4.18: İki aralıktan oluşan mütemadi bir kiriş

84

İlk olarak bu mütemadi kiriş her aralığı hiperstatik bir kiriş olacak şekilde ayrıştırılır

(Şekil 4.18b) ve her bir kirişte uç noktalarındaki ankastrelik momentleri hesaplanır.

Düzgün yayılı yüke maruz kalmış birinci kiriş için kirişin uç noktalarındaki dönmeler

kolayca hesaplanabilir. Burada kirişin uç noktaları ankastre olduğu için dönmeler

sıfırdır ve uç momentleri

12

qLMM

4

qLM2M

4

qLMM2 2

BA2

BA

2

BA

şeklinde hesaplanır. Tekil yüke maruz kalmış ikinci kiriş için de kirişin uç

noktalarındaki dönmeler kolayca hesaplanabilir. Burada kirişin ankastre olan uç

noktasında dönmeler sıfırdır serbest olan uçta ise moment sıfırdır ve ankastrelik

momentleri

0M16

PL3M

8

PL3MM2 BABA

olarak bulunur. Örneğimiz için hesap yapacak olursak ankastrelik momentlerin

kNm1516

1083MkNm40

12

202.1MkNm40

12

202.1M 2

2

212

2

1

olarak buluruz. Burada 12M momentini hesaplarken kirişin uç noktasındaki yüzeyin

normalini göz önüne aldık ve o nedenle işareti ters alındı. Cross yönteminde daima

sağ taraftaki uçta normal moment değeri sol taraftaki uçta ise ters işaretli moment

değeri alınır. Öte yandan 3 noktasındaki mesnet serbest mesnet olduğu için burada

moment sıfır olur.

Ayrıştırılmış kirişlerin moment dağılımları hesaplandıktan sonra mesnetler için

dağıtma ve aralıklar için iletme katsayılarını hesaplamak gerekir. Burada 1 ve 3

numaralı mesnetler uç mesnetler olduğu için bu mesnetlerde dağıtma sadece bir tarafa

olacaktır ve bu nedenle bu noktalarda dağıtma katsayıları 1 olur. Ancak 2 numaralı

noktada mesnetin iki tarafına dağıtım yapılacak ve bu dağıtım katsayıları iki taraftaki

aralıkların katılıklarına bağlı olacaktır. İlk aralıkta iki uç da ankastre olduğu için

katılık katsayısı

20

I3K1

olur. İkinci aralıkta ise uçlardan biri serbest mesnet olduğundan katılık katsayısı

40

I3

104

I3K 2

olur. Buradan 2 noktasındaki dağıtma faktörleri birinci ve ikinci kirişler için sırasıyla

333.0I9

40

40

I3

K

KD

667.0I9

40

20

I3

K

KD

40

I9

40

I3

20

I3KKK

222

121

21

olarak bulunurlar. Mesnetlerden 1 numaralı mesnet ankastre olduğu için moment

tamamen taşınır ve artık moment oluşmaz. Öte yandan 3 numaralı mesnette moment

olmadığı için artık moment de oluşmaz. Artık moment sadece 2 numaralı mesnette

oluşur ve bu değer mesnetin iki tarafındaki momentlerin toplamına eşit olacağından

85

251540M

olarak bulunur. Dolayısı ile bu mesnetteki artık momenti sıfırlayabilmek için –M

kadar momenti dağıtmak ve öteki uçlara iletmek gerekir. Bu işlemleri yapmak için bir

tablo oluşturur (Şekil 4.19a) ve artık momentlerin sıfır oluşuna kadar işlemleri

tekrarlarız.

Hesap tablosunda en üstteki sırada dağıtma faktörleri hemen onun altındaki sırada da

iletme faktörleri yer almaktadır. İkinci çizginin üstünde ayrıştırılmış kirişlerin uç

noktalarındaki momentler ve onun hemen altında dağıtılması gereken artık momentler

yer almaktadır. Artık momentlerin altındaki sırada bu momentlerin mesnetin iki

tarafına dağıtılan değerleri onun bir altındaki sırada da diğer uçlara iletilen değerleri

görmekteyiz. Burada oklar iletilen momentlerin iletilme yönlerini göstermektedir.

İkinci çizginin bir altında dağıtılan ve iletilen artık moment değerlerinin ayrıştırılmış

sistemdeki önceki moment değerlerine ilavesiyle elde edilen yeni moment değerleri

yazılmıştır. Daha evvelce artık moment taşıyan 2 numaralı mesnetin iki tarafındaki

moment değerlerine bakıldığında artık momentin yok olduğu ve sistemin dengeye

geldiği gözükmektedir.

Şekil 4.19: Cross yönteminde hesap tablosu ve sonuçlar

Burada hiperstatiklik momentinin 2 noktasındaki değerinin seçimi önemlidir. Daha

evvelce ayrıştırılmış sistemin ilk kirişinde 2 noktasındaki değerinin işaretini seçerken

bu yüzeyin normalini göz önüne alarak ters işaretli değer seçilmişti. Bu durumda da

aynı yaklaşımla mütemadi kirişin 2 noktasındaki hiperstatiklik değeri noktanın sağ

tarafındaki değeri ile aynı işaretli veya sol tarafındaki değeri ile ters işaretli olur. Bu

şekilde hesaplanan hiperstatiklik moment dağılımı ile kirişlerin izostatik haline ait

momentleri toplayarak mütemadi sistemdeki moment dağılımı elde edilir (Şekil

4.19b). Bu örnekte sistemin basitliği nedeniyle sonuca tek bir iterasyonla yakınsandı.

Genelde daha karmaşık sistemlerde yakınsama için çok daha fazla ardışık yaklaşım

gerekir ve bu tür örnekler çözümüş örnekler bölümünde verilmektedir.

Bu ana kadar kiriş kesitlerinin ve dolayısı ile aralıklardaki atalet momentlerinin sabit

olduğu varsayıldı. Bu varsayım gemiler için oldukça geçerli olmasına rağmen bazı

hallerde kiriş kesitlerini değişken olarak kullanmak avantajlı olabilir. Bu durumda

Cross yönteminde kesit değişkenliğinden gelecek farklılıkları göz önüne almak

gerekmektedir. Kesit değişkenliği Cross yöntemini sadece katılıkların ve iletme

faktörlerinin hesaplarını etkiler. Değişken kesitli bir kiriş aralığının 1 noktasındaki

86

ucuna etki eden bir M momenrinin 1 ve 2 noktalarında sırasıyla M1 vw M2

momentlerini oluşturacağını varsayalım. Bu durumda 2 noktasındaki dönme

dx)x(ixL

MMMx

L

1EI

L

0

1212

(4.48)

şeklinde yazılabilir. Burada = M2/M1 iletme oranını tanımlar ve 1 noktasından 2

noktasına moment iletilebilmesi için 2 mesnetinin ankastre olması gerektiğini,

dolayısıyla 2 noktasında dönme olamayacağını göz önüne alırsak

dx)x(ixL

11x

L

M0

L

0

1

(4.49)

elde ederiz. Buradan iletme faktörü

dx)x(ixBdx)x(ixA1B

LAL

0

2

L

0

(4.50)

şeklinde hesaplanabilir. Buradan sabit kesitli kiriş haline karşı gelen i(x) = 1 için =

0.5 çıkacağı gözükmektedir. Kiriş aralığına ait katılığı hesaplamak için de 1

noktasındaki dönmeyi

dx)x(ixL

MMMxL

L

1EI

L

0

1211

(4.51)

şeklinde yazdıktan sonra iletme faktörü tanımını kullanarak 1 noktasındaki dönme ile

1 noktasındaki moment ilişki

L

0

121 dx)x(iC

L

A2

B

AC

EIM (4.52)

şeklinde elde edilir. Bu sonucu (4.45)’deki katılık tanımı ile karşılaştırdığımızda

değişken kesitli bir kirişin katılığını

L

A2

B

AC4

IK

2 (4.53)

olarak hesaplayabiliriz. Bu değişiklikler dışında Cross metodunun uygulanmasında

herhangi bir değişiklik gerekmez.

4.3 Kiriş Sistemlerinde Burkulma Problemi

Buraya kadar gemi veya açıkdeniz yapılarında yerel mukavemet ele alınırken sadece

yerel elemana etki eden basınç kuvvetleri göz önüne alındığından elemanların sadece

kesme ve eğilmeye karşı mukavemetleri incelendi. Oysa yerel elemanların maruz

kaldığı zorlanmalar çok daha karmaşıktır. Örneğin iki su geçirmez perde arasında

uzanan bir güverte altı tulanisini göz önüne alalım. Bu tulani genelde iki perdede

arasında ankastre mesnetlenmiş ve güverte yükü nedeniyle düzgün yayılı yük taşıyan

bir kiriş olarak ele alınır. Bu yaklaşım güverte tulanisine etki etmekte olabilecek

herhangi bir basınç veya çekme kuvvetini tamamen ihmal etmektedir. Oysa geminin

dalga tepesinde sarkmaya ve dalga çukurunda çökmeye maruz kalması sonucu ortaya

çıkan zorlamalar da yerel yapıda yük dışında yapıya ek kuvvetler etki etmesine neden

olur. Bu kuvvetler dış yükten farklı olarak elemanların eksenleri boyunca etki eden

basınç veya çekme kuvvetleridir. Bu kuvvetler basınç halindeyken göz önüne alınan

güverte altı tulanisi kesme ve eğilmenin yanısıra burkulmaya da zorlanırlar. Benzer

87

sorun su geçirmez perdelerin stifnerleri için de vardır. Bu stifnerler sadece su

geçirmez perdeye etki eden basınç kuvvetini göz önüne alarak tasarlanırsa perdenin

üstüne gelen güvertedeki yükün bu stifnerlere uygulayacağı basınç kuvveti ihmal

edilmiş olur. Oysa güverte yükü perdedeki stifnerleri burkulmaya da zorlayacaktır.

Gemide bu şekilde burkulmaya maruz kiriş örneklerinin yanısıra burkulmaya maruz

kalan levha örneklerini sıralamak da olanaklıdır. Ancak burada biz sadece gemi veya

açıkdeniz yapılarındaki kirişlerin burkulmasını ele alacağız.

Dış basınç yanısıra uç noktalarından ekseni boyunca basınç zorlamasına maruz

herhangi bir kirişi göz önüne alalım (Şekil 4.20). Bu kirişin herhangi bir dx elemanter

parçası göz önüne alınırsa bu parçanın denge denklemlerinden

0dx

dyPQ

dx

dM0q

dx

dQ (4.54)

Şekil 4.20: Burkulmaya maruz kalan bir kiriş

elde edilir. Bu iki denklemden Q yok edilir ve (3.17) denklemi de kullanılırsa

burkulmaya ait genel şekil değiştirme denklemi

qdx

dyP

dx

d

dx

ydEI

dx

d2

2

2

2

(4.55)

şeklinde elde edilir. Genelde gemide karşılaşılan problemlerde E, I, P değerleri

konumdan bağımsız sabitler olacağından gemilerde bu denklem biraz daha

basitleşerek

qdx

ydP

dx

ydEI

2

2

4

4

(4.56)

halini alır. Bu denklemde q = 0 hali sadece basınca zorlanan kirişlerin

deformasyonlarını verir ve ilk aşamada bu hali göz önüne almakta yarar vardır. Bu

denklemin genel çözümü

xEI

PCosCx

EI

PSinCxCCy 4321 (4.57)

olarak verilir. Burada C sabitleri sınır koşullarından elde edilecektir. Sınır koşulları

kirişin iki ucundaki yer değiştirme ve dönmelerin belirtilmesiyle oluşturulur. Kirişin

iki ucunda ikişer koşuldan dört koşul olduğundan dört sabiti belirleyebiliriz. Burada

gemilerde karşılaşılan dört tip burkulma hali ele alınacaktır.

4.3.1 İki Ucu Basit Mesnetli Kirişlerin Burkulması

İki ucu basit mesnetli kirişler için uygun bir örnek boş döşeklerdeki düşey

payandalardır. Bu payandalar dip ve içdip postalarına braket kullanılmaksızın

88

kaynaklandığından her iki uçta da basit mesnetlenmiş olarak kabul edilebilirler.

Ayrıca ambar yükü veya dip basıncı nedeniyle burkulmaya zorlanmaktadırlar (Şekil

4.21a).

Bu kirişin iki ucunda da herhangi bir yer değiştirme söz konusu olmaz. Bu durumda

ilk iki koşul

0)L(y0)0(y

şeklinde yazılır. Ayrıca her iki uçta da kiriş serbestçe döner ne mesnetler moment

taşımaz. Yani diğer iki koşul

0)L(y0)0(y

yazılabilir. Burada y’’ (4.57) genel çözümünden türev alınarak

x

EI

PCosCx

EI

PSinC

EI

Py 43 (4.58)

şeklinde bulunur. Bu tanımlarda x = 0 noktasındaki sınır koşullarını kullanırsak C1 ve

C4 sabitlerinin sıfır olduklarını buluruz. Diğer uçta x = L iken sınır koşullarını

uygularsak C2 ve C3 sabitleri için

0LEI

PSinC0L

EI

PSinCLC

332 (4.59)

denklemlerini elde ederiz. Burada eğer C3 sıfır seçilecek olursa C2 de sıfır olacağından

çözüm anlamsız olur. Dolayısıyla

0LEI

PSin (4.60)

olması gerekir. Buradan

2

22

L

EInPnL

EI

P (4.61)

olması gerektiği görülür. Burada n mod sayısı olup n = 1 ilk moda karşı gelmektedir.

Yani burkulmanın ortaya çıkması için gerekli basınç yükü olan kritik basınç

2

2

crL

EIP

(4.62)

olarak elde edilir. Burada da atalet momentinin kesit alanı ile jirasyon yarıçapı

cinsinden yazılabileceğini göz önüne alırsak burkulmanın ortaya çıkacağı kritik

gerilme

k

LSAkI

S

E

L

Ek

A

Pr

2

2

r

2

2

22cr

cr

(4.63)

olur. Burada belirleyici olan kolonun narinliği olarak biline Sr büyüklüğüdür.

Özellikle nokta simetrisi olmayan kesitlerde değişik eksenlere göre atalet momentleri

olacağından kritik gerilme hesabında hangisinin kullanılması gerektiği sorusu ortaya

çıkar. Kritik gerilme en küçük değer olması gerektiği için kesit ataletinin de en küçük

değer olması gerekir. Dolayısıyla asal atalet değerlerinden minimumum olanı

alınmalıdır.

Son olarak bu seçim sonucunda C2 de sıfır olacağından burkulma sonucu kirişin

elastik eğrisi

xEI

PSinCy 3 (4.64)

olarak elde edilir.

89

4.3.2 İki Ucu Ankastre Mesnetli Kirişlerin Burkulması

İki ucu ankastre mesnetli kirişler için uygun bir örnek güverte altı tulanilerini

taşımakta olan düşey payandalardır. Bu payandalar üstte tulanilere altta da güvertelere

büyük braket kullanılarak bağlandığından her iki uçta da ankastre olarak

mesnetlenmiş olarak kabul edilebilirler. Ayrıca ambar yükü nedeniyle burkulmaya

zorlanmaktadırlar (Şekil 4.21b).

Bu kirişin de iki ucunda da herhangi bir yer değiştirme söz konusu olmaz. Bu

durumda ilk iki koşul

0)L(y0)0(y

şeklinde yazılır. Ayrıca her iki uçta da kirişin dönmesi engellendiğinden diğer iki

koşul

0)L(y0)0(y

şeklinde yazılabilir. Burada y’ (4.57) genel çözümünden türev alınarak

243 CxEI

PSinCx

EI

PCosC

EI

Py

(4.65)

şeklinde bulunur. Bu koşullardan

0LEI

PSinCL

EI

PCosC

EI

PC0

EI

PCLC

0LEI

PCosCL

EI

PSinCLCC0CC

43232

432141

(4.66)

denklemlerini elde ederiz. Bu denklemler bazı işlemler sonucu

0LEI

PLSin

EI

PL

EI

PCos12C4

(4.67)

denklemine indirgenir. Burada C4 = 0 alınırsa yine tüm sabitlerin sıfır olacağı

gözüktüğünden

0LEI

PLSin

EI

PL

EI

PCos12

(4.68)

olması gerekir. Bu denklemin en küçük kökü yine kritik basınç kuvvetini verir ve bu

değerden kritik gerilme için

k

LS

S

E

L

Ekr2

r

2

22

22

cr

(4.69)

elde edilir. Burada (4.68) denkleminin sayısal çözümünden elde edilir ve = 0.5

olur.

Şekil 4.21: Gemilerde burkulmaya zorlanan kiriş örnekleri

90

Burada da kritik gerilme kirişin için benzer bir formül elde edilmekte ve narinliğine

bağlı olarak çıkmaktadır. Ancak burada narinlik hesaplanırken kullanılan boy 0.5

olarak belirlenen bir katsayısı ile çarpılmaktadır. Daha sonraki örneklerde de

görüleceği gibi kritik gerilmenin yapısı daima aynı kalır ve tek değişen katsayısıdır.

4.3.3 Bir Ucu Ankastre Mesnetli Bir Ucu Basit Mesnetli Kirişlerin Burkulması

Bazı hallerde güverte altı tulanilerini taşımakta olan düşey payandalar güverteye

braket kullanılmaksızın bağlanırlar. Bu tip payandalar bir ucu ankastre diğer ucu basit

mesnetli kirişler için uygun bir örnek oluştururlar. Bu kirişler de ambar yükleri

nedeniyle burkulmaya zorlanmaktadırlar (Şekil 4.21c).

Bu kirişin de iki ucunda da herhangi bir yer değiştirme söz konusu olmaz. Bu

durumda ilk iki koşul

0)L(y0)0(y

şeklinde yazılır. Ayrıca iki uçtan biride kirişin dönmesi engellenirken diğer uç

serbestçe dönebildiği için moment taşımaz ve diğer iki koşul

0)L(y0)0(y

şeklinde yazılabilir. Bu koşullardan

0LEI

PCosCL

EI

PSinC

EI

P0

EI

PCLC

0LEI

PCosCL

EI

PSinCLCC0CC

4332

432141

(4.70)

denklemlerini elde ederiz. Bu denklemler bazı işlemlerden sonra

0LEI

PLCos

EI

PL

EI

PSinC3

(4.71)

denklemine indirgenir. Burada C3 = 0 alınırsa yine tüm sabitlerin sıfır olacağı

gözüktüğünden

0LEI

PLCos

EI

PL

EI

PSin

(4.72)

olması gerekir. Bu denklemin en küçük kökü yine kritik basınç kuvvetini verir ve bu

değerden kritik gerilme için

k

LS

S

E

L

Ekr2

r

2

22

22

cr

(4.73)

elde edilir. Burada (4.72) denkleminin sayısal çözümünden elde edilir ve = 0.707

olur.

4.3.4 Bir Ucu Ankastre Mesnetli Bir Ucu Serbest Kirişlerin Burkulması

Bu tip bağlantılara gemilerde çok seyrek rastlanır. Ancak vinçlerin taşıyıcı kirişleri

buna örnek gösterilebilir. Vinçler güverteye oldukça katı sayılabilecek yapılar

aracılığı ile balanmakla birlikte diğer ucu serbesttir. Yük kaldırırken yükün etkisi ile

taşıyıcı kiriş burkulmaya da zorlanır(Şekil 4.21d). Gerçekte kaldırılan yük ile kirişin

düşey ekseni arasında bir mesafe olduğundan basınç yükünün yanısıra bir de moment

oluşur ama burada bu moment ihmal edilecektir.

Bu kirişin ankastre olan tabanında yer değiştirme ve dönme olmaz. Yani

91

0)0(y0)0(y

koşulları yazılabilir. Serbest olan tepe noktasında ise hem moment hem de kesme

kuvveti sıfır olur. Kesme kuvveti için (3.54) denkleminden

dx

dyP

dx

ydEIQ

3

3

(4.74)

bulunur. Bu durumda kirişin serbest ucundaki iki koşul

0)L(yEI

P)L(y0)L(y

olur. Bütün koşulları bir arada yazarsak

0EI

PC0

EI

PCC

0LEI

PCosCL

EI

PSinC0CC

232

4341

(4.75)

sonucu bulunur. Buradan da C2 ve C3 sabitlerinin hemen sıfır olduğu gözükür ve C4

de sıfır kabul edilecek olursa tüm sabitlerin sıfır çıkacağı açıktır. Bu nedenle

0LEI

PCos (4.76)

olması gerekir. Buradan

k

L2S

S

Er2

r

2

cr

(4.77)

elde edileceği görülmektedir. Daha evvelce de belirtildiği gibi burada da kritik

gerilmenin yapısı aynı kalmakta sadece katsayısı 2 olmaktadır. Buradan burkulma

probleminde kritik gerilme için

LLk

LS

S

Eeff

eff

eff2

eff

2

cr

(4.78)

verilir ve efektif kiriş boyu kiriş boyu ve sınır koşullarına bağlı olarak belirlenir.

Yukarıda verilen sonuçlar sadece çok uzun çubuklar için geçerli olmaktadır.

Gerçekten de kiriş boyu iyice kısaldıkça kirişin efektif narinliği sıfıra doğru gider ve

kritik gerilme asimptotik olarak sonsuza gider. Oysa malzemenin tabiatına bağlı

olarak kirişteki gerilmeler akma sınırına geldikten sonra burkulma yerine plastik şekil

değiştirme olur. Dolayısı ile kısa kirişler için kritik gerilmeyi akma gerilmesiyle

sınırlamak gerekir. Bu durumda burkulmaya karşı emniyetli bölgeyi (4.78) denklemi

ve akma gerilmesi belirlemektedir (Şekil 4.22).

Şekil 4.22: Kiriş burkulma sınırlarının belirlenmesi

92

Yapılan deneysel çalışmalar bu emniyetli bölgede özellikle kısa kirişler bölgesinde

teorik sınırın civarında burkulmanın gerçekleşebildiğini göstermiştir. Johnson adlı bir

mühendis bu ara bölge için kendi adıyla bilinen sınır önermiştir. Bu sınır 0.5a

değerinden çizilen yatay doğru ile (4.78) denkleminin kesiştiği noktada (4.78) eğrisine

teğet olup narinlik katsayısının sıfır olduğu noktada da akma sınırına ulaşan bir

paraboldür. Daha sonra yapılan deneyler bu sınırın gerçekten burkulmaya karşı

emniyetli bölgeyi tanımladığını göstermiştir. Buradan yukarıdaki yaklaşımın

uygulama sınırı olan (Seff)D

a

Deff

E2

şeklinde belirlenir.

4.4 Gemilerde Takviye Sistemleri

Yerel mukavemet açısından çeşitli elemanları boyutlandırırken sadece

boyutlandırdığımız elemanları elastik olarak ele almakta diğer elemanları ise rijit

varsaymaktaydık. Örneğin bir kemereyi boyutlandırırken onu taşımakta olan

tulanilerin hiç çökme yapmadığını varsayıyorduk. Gerçekte tulani de elastik bir

kiriştir ve onda da bir çökme ortaya çıkar. Ayrıca kirişleri tek başına çevresinden

bağımsız davrandığını varsaymıştık. Oysa kirişler birbirlerine bağlı olduklarından

birbirlerinden bağımsız davranamazlar. Bu bölümde takviye sistemlerinin birbirleriyle

bağlantılı davranışlarını ele alacağız.

4.4.1 Basit Takviye Sisteminin Analizi

İlk olarak birbiriyle dik açıda kesişen iki kirişi inceleyelim (Şekil 4.23). Bu kirişlerden

birisinin boyu ve kesit atalet momenti a1 ve I1 diğerininki a2 ve I2 olsun. Bu kirişler

üzerlerine gelen basınçtan yük genişliğince etkilenirler ve sırası ile w1 ve w2 düzgün

yayılı yükleri taşırlar. Kesişme noktalarında da birbirlerine belli bir W yükü aktarırlar.

Bu W yükü kirişlerin aldıkları yüke ve liriş karakteristiklerine bağlı olarak değişir ve

birisinde aşağı doğru etki ederken diğerinde buna tepki olarak yukarı doğru etki eder.

Bu kuvvet iki kiriş arasındaki etkileşimi temsil etmektedir.

Şekil 4.23: İki kirişli basit bir takviye sisteminin modellenmesi

Bu kirişler arasındaki etkileşimi belirlemek W yükünün belirlenmesine indirgenmiştir.

Bu amaçla kirişleri birbirinden ayrı olarak değerlendirip daha sonra bir uygunluk

koşulu yardımı ile bu kuvvetin değerini belirleyeceğiz. İlk olarak W yükü

biliniyormuş varsayarak birinci kirişteki eğilme momentini hesaplayalım. Kirişe w1

düzgün yayılı yükü ve tam ortasından ters yönde W tekil yükü etki ettiğinden

mesnetlerde

93

2

W

2

awYY 11

CA (4.79)

tepkisi ve kirişin AE veya CE aralığında

2

xwx

2

W

2

awxM

2111

1

(4.80)

eğilme momenti dağılımı oluşur. Kirişe etki eden eğilme momenti ile kirişteki çökme

arasındaki

1

1

EI

xMx (4.81)

ilişkisi göz önüne alınırsa E noktasında birinci kirişin çökmesi

1

31

1

411

E1EI48

Wa

EI384

aw5 (4.82)

olarak bulunur. İkinci kiriş için de aynı yol izlenir ve W yükünün birinci kiriştekiyle

ters yönde etki ettiği göz önüne alınırsa ikinci kirişin orta noktasında da çökme

2

32

2

422

E2EI48

Wa

EI384

aw5 (4.83)

olarak hesaplanır. İki kirişin birbirine bağlı olarak deforme olduğu hatırlanırsa E

noktasında her iki kirişin aynı miktar çökmesi gerektiği açıkça gözükür. Bu durumda

W yükünün

2

32

1

31

2

422

1

411

I

a

I

a

I

aw

I

aw

8

5

W

(4.84)

olması gerektiği bulunur. Yükün bu değeri eğilme momenti dağılımlarında yerine

yerleştirilirse her iki kirişin de boyutlandırılması mümkün olur. Burada dikkat

edilecek nokta kirişlerin atalet momentlerini hesaplarken sistemin bağlı olduğu

levhanın da kısmen kirişlerle birlikte deforme olduğunu göz önüne almak gerektiğidir.

Bunun için kirişin 40 cm genişlikte bir saça bağlı olduğu düşünülerek atalet momenti

hesaplanır.

Daha genel bir takviye sistemini göz önüne alacak olursak basit takviye sistemi için

uyguladığımız analizi bütün kesişme noktalarını içerecek şekilde genişletmek gerekir.

Bu her kesişme noktası için bir W bilinmeyen kuvvetinin belirlenmesini gerektirir. Bu

kiriş sayılarının artması sonucu hızla çok karmaşık bir hale dönüşür. O nedenle çok

kirişli takviye sistemlerinde bu yöntem yerine enerji denklemlerinden yararlanarak

hesap yapmak daha uygun olur.

4.4.2 Çok Kirişli Takviye Sistemlerinde Enerji Yöntemi

Çok kirişli bir takviye sistemini göz önüne alalım (Şekil 4.24). Bu sistemin

kenarlarından basit olarak mesnetlendiklerini varsayalım. Sistem düzleme dik olarak

etki eden bir p(x,y) basıncı etkisinde bağlı oldukları levha ile birlikte deforme olur. Bu

sistemin çökmesini

m n

mnb

ynSin

a

xmSinW)y,x(w (4.85)

94

şeklinde ifade etmek uygundur.

Şekil 4.24: Çok kirişli bir takviye sisteminin modellenmesi

Sistemin şekil değiştirme enerjisini sadece kirişlerin şekil değiştirme enerjisi olarak

ele alacağız ve sistemin üzerindeki levhanın şekil değiştirme enerjisini ihmal

edeceğiz. Ancak levhanın etkisini ihmal etmiş olmamak için takviyelerin kesit

ataletlerini hesaplarken basit takviye sisteminde olduğu gibi kirişi 40 cm

genişliğindeki bir levha ile birlikte ele alacağız. Boyuna doğrultuda herhangi bir

kirişin şekil değiştirme enerjisi

m

2

n

2mn

4

3

r4a

02

2r

1N

rnSinWm

a4

EIdx

x

w

2

EI (4.86)

olarak hesaplanabilir. Burada r’inci kiriş için hesap yapıldığını ve bütün boyuna

kirişleri göz önüne almak için r’nin 1den N’e kadar toplamını yazmak gerekir.

Böylece bütün boyuna takviye elemanlarının toplam şekil değiştirme enerjisi için

m n

2mn

4

3

r4

l Wma8

EI1NV (4.87)

elde edilir. Benzer şekilde enine takviye elemanlarının toplam şekil değiştirme enerjisi

de

m n

2mn

4

3

s4

t Wnb8

EI1MV (4.88)

olarak elde edilir.

Sistemde ortaya çıkan deformasyon enerjisi p(x,y) kuvvetinin sistem üzerinde yaptığı

a

0

b

0m n

mna

0

b

0

dydxb

ynSin

a

xmSin)y,x(p

2

Wpwdydx

2

1W (4.89)

işinden ötürü ortaya çıkar ve sistemin toplam şekil değiştirme enerjisine eşit olmalıdır.

Bu kuralı uyguladığımızda Wmn katsayıları için

,...5,3,1mI1MnaI1NmbE

dydxb

ynSin

a

xmSin)y,x(pba4

W

s43

r434

a

0

b

0

33

mn

(4.90)

elde ederiz. Bu katsayıları kullanmak suretiyle her kiriş için çökme değerleri

belirlenmiş olur. Ancak bu incelemenin esas amacı çökmelerden ziyade kirişlere etki

eden eğilme momentlerinin belirlenmesidir. Bu da kirişlerde çökme ile eğilme

momenti arasındaki

95

EIMEI

M (4.91)

ilişkisinden yararlanarak belirlenir. Burada iki yönde takviye kirişleri olduğu için her

ili yöndeki kirişler için hesap ayrı ayrı yapılmak zorundadır. Boyuna giden r’inci kirişi

göz önüne alalım. Bu kirişin boyunca ortaya çıkan Mx(x) eğilme momenti değişimi

2

2

rxx

))1N/(rb,x(wEI)x(M

(4.92)

olarak hesaplanır. Enine giden s’inci kiriş için My(y) eğilme momenti değişimi ise

2

2

syy

)y),1M/(sa(wEI)x(M

(4.93)

olarak hesaplanır.

Gemilerde çok sık rastlanan p(x,y) = Po düzgün yayılı basınç hali için (4.89)

denklemindeki integraller kolayca hesaplanarak çökmeler

m ns

43

r

436

44

o

I1MnaI1Nmb

b

y1n2Sin

a

x1m2Sin1n21m2

E

baP16)y,x(w (4.94)

şeklinde ifade edilir. Bu değer yardımıyla r’inci boyuna kirişteki eğilme momenti

dağılımı

m nrs

4343

3

2

42

or

xI/I1Mna1Nmb

1N

r1n2Sin

a

x1m2Sin1n21m2

baP16)x(M (4.95)

olarak s’inci enine kirişteki eğilme momenti dağılımı da

m n43

sr

43

3

4

24

os

y1MnaI/I1Nmb

b

y1n2Sin

1M

s1m2Sin1n21m2

baP16)y(M (4.96)

olarak hesaplanabilir.

96

5. GEMİ VE AÇIKDENİZ YAPILARINDA

LEVHA MUKAVEMETİ

5.1 Levha Mukavemetine giriş

Gemilerde boyuna mukavemet açısından en temel elemanlar bordo kaplamaları, dip

kaplamaları ve güverte kaplamalarıdır. Bu elemanların ortak özelliği kalınlıklarının

diğer boyutlarına göre çok daha küçük olmasıdır. Bu tür yapı elemanlarına levha

(veya plak) denir ve mukavemet açısından incelenmesinde bazı basitleştirmeler

yapılır. Bu bölümde levhaların mukavemeti konusu ve gemilerdeki uygulamaları ele

alınacaktır. İlk olarak plakların tanımı ve temel varsayımlar incelendikten sonra

sırasıyla plakların eğilmesi ve burkulması üzerinde durulacaktır.

5.2 Levha Kavramı ve Temel Varsayımlar

5.2.1 Lehanın Tanımı ve Varsayımlar

Daha evvelce de belirtildiği gibi levhalar kalınlığı diğer boyutlarına kıyasla çok daha

küçük olan yapı elemanlarıdır. Bu elemanlar düzlemsel olup kalınlığı dışındaki

boyutları sırasıyla boyu a ve genişliği b olarak verilmektedir. Levhanın kalınlığı t

genelde değişken olabilir ancak gemi inşaatında kullanılan levhaların kalınlığı sabit

olur. Levhanın kalınlığının ortasından geçen düzleme tarafsız düzlem deriz ve xy

eksenleri bu düzlemde olur. Bu eksenlerden x ekseni leha boyuna paralel y ekseni de

levha genişliğine paralel seçilir. Tarafsız düzleme dik doğrultuda yukarı doğru

yönlendirilmiş olan eksen de z eksenidir ve kalınlık doğrultusunda uzanmaktadır.

Şekil 5.1 : Levhanın temel büyüklükleri

Levhaların tarifi gereği levhanın boyutları arasında

ob

to

a

t

ilişkisi vardır. Bu ilişkinin sonucunda bazı temel varsayımlar yapmamız olanaklıdır.

Bu varsayımlardan ilki deformasyonlarla ilgilidir. Levhanın deformasyon öncesi

tarafsız düzlemine dik olan herhangi düzlem deformasyon sonrasında da tarafsız

97

düzleme dik bir düzlem olarak kalır. Bunun sonucu olarak tarafsız düzlem herhangi

bir deformasyona maruz kalmaz ve levhadaki deformasyon sadece tarafsız düzleme

paralel olan düzlemlerle sınırlı kalır. Levhanın kalınlığı da değişmez ve düşey

doğrultudaki şekil değiştirme sadece tarafsız düzlemin çökmesi ile ifade edilebilir.

Bu varsayımı bir şekil yardımı ile açıklamaya çalışalım. Şekil 5.1’de verilen plağın

üzerindeki ABCD dikdörtgen elemanını göz önüne alacak olursak bu eleman

deformasyon sonrası yine aynı düzlem üzerinde kalır ancak diktörtgen yerine deforme

olmuş bir şekle dönüşür (Şekil 5.2a). Dikdörtgen elemanın A noktası deformasyon

sonucu x doğrultusunda u kadar y doğrultusunda da v kadar ilerleyip A’ noktasına

gelir. A noktasından dx kadar uzakta olan B noktası ise y doğrultusunda

dxx

vvv

kadar ilerler ve B’ noktasına gelir. D noktası ise x doğrultusunda

dyy

uvu

kadar ilerleyerek D’ noktasına gelir. Her iki doğrultudaki deformasyonlar sonucu AB

ve AD doğrultuları dönme de yapmış olurlar.

Şekil 5.2 : Levhanın deformasyonları

Tarafsız düzleme dik bir düzlem içindeki deformasyonlar için x doğrultusundaki bir

kesiti göz önüne alalım. Bu düzlemin AB kenarında tarafsız düzlemden z kadar

uzaktaki herhangi bir P noktasını izleyecek olursak bu nokta deformasyon sonrası w

kadar çöker ve x doğrultusunda

x

wzu

(5.1)

kadar ilerleyerek P’ noktasına ulaşır. Kalınlıkta herhangi bir değişiklik oluşmadığı

için P noktasından dx kadar uzaklıktaki nokta da

dxx

www x

kadar çöker. Benzer şekilde y doğrultusunda alacağımız bir kesitte de y

doğrultusundaki ilerlemeyi

y

wzv

(5.2)

olarak dy kadar uzaktaki çökmeyi de

dyy

www y

98

şeklinde elde ederiz. Bu varsayımlar gerilmeler konusunda da bazı kabuller

yapmamıza olanak sağlarlar.

Kalınlıkda herhangi bir değişme olmaması bu doğrultuda herhangi bir genlemenin

olmaması ve dolayısı ile gerilmelerin de ortaya çıkmamasına neden olur. Yani

levhalar kalınlıkları doğrultusunda gerilme taşımayan elemanlar olarak da

tanımlanabilirler. Ayrıca kalınlık çok küçük olduğu için sıfır olmayan gerilmelerin

kalınlık boyunca değişmesi çok fazla olmaz ve bunların kalınlığa bağlı olarak

değişimi için kabul yapabiliriz. Bu durumda gerilmeleri

xyyxyyyyyyxxxxxyzxzzz zfzfzf0

şeklinde tanımlayabiliriz (Şekil 5.3). Bu bize levhalardaki mukavemet problemini iki

boyutlu elastisite problemine indirgeme olanağını verir.

Şekil 5.3 : Levhalarda gerilme durumu

5.2.2 Lehalarda Gerilme Halleri

Bir levhanın herhangi bir kesitindeki normal ve kayma gerilmeleri birbirine dik

herhangi iki doğrultudaki gerilmeler ve seçilmiş olan kesitin iki dik kesitten biri ile

yaptığı açı cinsinden belirlenebilir. Bunun için ABC üçgenini göz önüne alalım ve bu

üçgene etki eden kuvvetlerin denge koşullarını yazalım. Normal gerilme doğrultudaki

bileşenlerin dengesi

BCSinBCCosABCosABSinAC xyyyxyxx

şeklinde yazılabilir.

Şekil 5.4 : İki boyutlu gerilme durumu ve gerilmeler arası ilişkiler

Kayma gerilmesi doğrultusundaki bileşenlerin dengesinden ise

BCCosBCSinABSinABCosAC xyyyxyxx

denklemi elde edilir. Bu denklemlerde

99

CosAC

BCSin

AC

AB

ilişkisinden yararlanıldığında y doğrultusuyla açısı yapan herhangi bir düzlemdeki

normal ve kayma gerilmeleri

2Cos2Sin2

CosSin2CosSin

xy

yyxx

xy2

yy2

xx

(5.3)

olarak elde edilir. Burada normal gerilmelerin maksimum veya minimum olacağı

düzlemleri bulabilmek için normal gerilmenin ’ya göre türevini sıfır yapan açısını

bulmak gerekir. Bu da

02Cos22Sind

dxyyyxx

denkleminden

yyxx

xy22Tan

(5.4)

olarak hesaplanır. Tanjant tanımının doğası gereği +/2 de (5.4) denklemini

sağlayacağından bu düzlem de normal gerilmenin maksimum veya minimum olduğu

düzlemdir. Gerçekte bu iki değerden birisi normal gerilmenin maksimum olduğu

diğerinin de minimum olduğu düzleme karşı gelirler. Bu düzlemlere asal gerilme

düzlemleri denir ve (5.4) denklemi ile (5.3) denklemi karşılaştırıldığında asal

düzlemlerde kayma gerilmesi oluşmadığı gözükür. Kayma gerilmesinin maksimum

değeri ise

02Sin22Cosd

dxyyyxx

koşulunu sağlayan değerinde oluşur ve bu da

222Tan minmax

minmax

xy

yyxx

değerlerini verir.

5.2.3 Lehalarda Genleme Halleri

Bir levhanın herhangi bir kesitindeki genlemeler de birbirine dik herhangi iki

doğrultudaki genlemeler ve seçilmiş olan kesitin iki dik kesitten biri ile yaptığı açı

cinsinden belirlenebilir. Bunun belirlenebilmesi için izlenecek yol biraz daha farklıdır.

Genlemeler arasındaki ilişkileri bulabilmek için süperpozisyon ilkesinden yararlanıp x

ve y doğrultularındaki uzama ve kayma halinde oluşan genlemeleri ayrı ayrı

hesaplayıp toplamını alırız. Bu amaçla birim uzunluktaki köşegeni yatay kenarla

açısı yapan bir dikdörtgen eleman alalım. Bu elemanın kenar uzunlukları sırasıyla

Cos ve Sin olur (Şekil 5. 5a).

İlk olarak x doğrultusundaki uzamanın köşegen doğrultusu üzerindeki etkisini ele

alalım. Bu uzama sonucu x doğrultusunda xxCos kadar genleme oluşmuş ve bu

durumda A köşesi A’ noktasına gelmiştir. Bu deformasyon köşegende kadar

uzama ve ayrıca kadar da dönme yaratmış olur (Şekil 5.5b). Geometrik ilişkilerden

1

CosCosCosCosCosSin1 xx2

xx

22

yazmak mümkündür.

100

Şekil 5.5 : İki boyutlu genleme durumu ve genlemeler arası ilişkiler

Burada genlemelerin ve dönmelerin küçük değerler olduğunu göz önüne alır ve

bunların çarpımlarını ihmal edersek köşegen doğrultusundaki uzamanın ve dönmenin

CosSinCos xx2

xx

değerlerini alacağı gözükür. Benzer şekilde y doğrultusundaki uzama köşegen

doğrultusu üzerinde bir uzama ve dönme etkisi yaratır (Şekil 5.5c). Buradan da

geometrik ilişkiler yardımıyla

CosSinSin yy2

yy

denklemlerini elde ederiz. Son olarak da x doğrultusunda ortaya çıkacak xy kaymasını

göz önüne alalım (Şekil 5.5d). Buradaki geometrik ilişkilerden ise

1

SinCosCosSinCosSin1

xy2

xy

22

denklemlerini yazmak mümkündür. Burada da kareli terimleri ihmal edersek kayma

sonucu ortaya köşegen doğrultusunda ortaya çıkacak genleme ve dönme

2

xyxy SinCosSin

olarak elde edilir. Bütün bu bileşenlerin toplamından köşegen doğrultusundaki

genleme ve dönmeyi olarak

2xyxxyy

xy2

yy2

xx

SinCosSin

CosSinCosSin

elde ederiz. Böylece hesapladığımız doğrultusuna dik olan doğrultusundaki

genleme ve dönmeyi hesaplayabilmek için yerine +/2 yerleştirmek yeterli olur.

Yani doğrultusundaki genleme ve dönme

2xyyyxx

xy2

yy2

xx

CosCosSin

CosSinCosSin

olarak elde edilir. Tabiki göz önüne aldığımız elemanın toplam dönmesi bu iki

doğrultudaki dönmelerin yönlü toplamından oluşacaktır. Yani

2Sin2Cosyyxxxy

şeklinde hesaplanır. Burada da uzama genlemelerinin maksimum ve minimum olduğu

doğrultular asal genleme doğrultularıdır ve bu doğrultuların asal gerilme

101

doğrultularıyla çakışacağı kolaylıkla gösterilebilir. Genleme ve gerilme kavramları bu

şekilde tanımlandıktan sonra bu kavramların arasındaki ilişkilere geçmek uygun olur.

5.2.4 Lehalarda Genleme Gerilme İlişkileri

Bir kirişte genleme ve gerilmeler arasında lineer bir ilişki olduğunu ve bunun Hooke

yasası olarak bilindiğini görmüştük. Levhalarda bu ilişki levhaların iki boyutlu

elemanlar olması nedeniyle biraz daha karmaşıktır. Bu nedenle bu ilişkiyi iki adımda

elde edeceğiz. İlk olarak levhanın sadece bir doğrultuda uzamaya zorlandığı hali göz

önüne alalım (Şekil 5.6a). Burada levha aynen bir kiriş gibi davranır ve kuvvet

doğrultusunda kuvvetle orantılı olarak uzar ve kuvvete dik doğrultuda da kuvvet

doğrultusundaki uzamaya orantılı olarak kısalır. Yani

EE

xxyyxx

(5.5)

olur ve burada E elastisite modülü, de Poisson oranıdır.

Şekil 5.6 : İki boyutlu genleme durumu ile gerilme durumu arasındaki ilişkiler

Benzer şekilde tek bir doğrultuda kayma gerilmesi etki ettiğinde de bir dönme oluşur

ve bu dönme gernlemesi uygulanan kayma gerilmesine

G

şeklinde bağlıdır. Burada G kayma modülüdür. Eğer bu levha elemanına Şekil 5.6c’de

gösterildiği şekilde x ve y gibi iki doğrultuda normal gerilme uygulanırsa her iki

gerilmeden de her iki doğrultuda (5.5) denklemi uyarınca uzama ve kısalmalar

meydana gelir. Bu durumda iki doğrultudaki toplam genlemeler

EEEE

xxyy

yy

yyxxxx

olarak elde edilir. Bu denklemlerden gerilmeler çözülürse gerilmeler için de

xxyy2yyyyxx2xx1

E

1

E

elde edilir.

İki doğrultuda kayma gerilmesi uygulanması halinde ise dik doğrultularda uygulanan

kayma gerilmelerinin birbirlerine eşit olması özelliğinden kayma genlemeleri için

G

xy

yxxy

eşitliği elde edilir. Bunun sonucu olarak da kayma gerilmelerini

xyyxxy G

olarak elde ederiz.

Genleme gerilme ilişkilerinin elde edilişinde üç adet büyüklük, E elastisite modülü, G

kayma modülü ve Poisson oranı ortaya çıkmıştır. Gerçekte kayma da kısalma gibi

uzamayla ilgili olarak ortaya çıkar ve dolayısı ile bu üç büyüklük birbirinden

102

tamamen bağımsız olamaz. Aralarında sağlanması gerekli bağlantıyı bulabilmek için

bir doğrultuda çekmesine ve buna dik bir doğrultuda da basıncına maruz kalan bir

kare elemanı göz önüne alalım (Şekil 5.7).

Şekil 5.7 : İki doğrultuda eşit şiddetli çekme ve basınç gerilmelerine maruz kare

eleman

Bu doğrultularda kayma gerilmeleri olmadığından her ikisi de asal doğrultulardır.

Ayrıca simetri nedeniyle bu doğrultularla /4 kadar açı yapan doğrultularda da sadece

kayma gerilmesi oluşur ve bu kayma gerilmesi maksimum kayma gerilmesi olup

değerini alır. Şimdi iki doğrultudaki genlemelerini şekilden

E

1 (5.6)

olarak hesaplayabileceğimiz gözükmektedir. Diğer taraftan kayma gerilmesi

nedeniyle oluşan deformasyon için şekilden

1

1

21

21

24Tan

yazabileceğimiz ve buradan da kayma genlemesinin uzama genlemesine

2

şeklinde bağlandığı açıkça gözükmektedir. Burada uzama genlemesinin (5.6)

denklemi ile verilen değeri kullanılırsa ve kayma gerilmesinin normal gerilmeye eşit

olduğu da göz önüne alınırsa kayma modülü elastisite modülü ve Poisson oranı

cinsinden

12

EG

G2E

1

olarak elde edilir.

5.3 Levhaların Eğilmesi

5.3.1 Lehalara Etki Eden İç Kuvvetler.

İnce levhalarda kalınlık boyunca gerilmelerin değişimini seçildiğinden bu gerilmeleri

integre ederek plağa etki eden iç kuvvetleri tanımlamak ve bu surette problemi iki

boyutlu bir probleme indirgemek olanaklıdır. Herhangi bir levhadaki iç kuvvetleri

tarafsız düzleme paralel ve bu düzleme dik olan kuvvetler ve momentler olarak

tanımlamak mümkündür (Şekil 5.8). Bu kuvvetlerden düzlem içinde etki edenler

103

Şekil 5.8 : Levhalara etki eden iç kuvvetler ve momentler

2

t

2

t

2

t

2

t

2

t

2

t

dzz,y,xNdzz,y,xNdzz,y,xNxyxyyyyxxx

(5.7)

şekilde tanımlanırlar. Kalınlık doğrultusunda levhalar gerilme taşımadıklarından bu

doğrultuda kuvvetlerin de oluşmaması gerekir. Ancak levhaya dik olarak kuvvet etki

ettiği takdirde bu kuvvetleri dengeleyecek iç kuvvetlere de ihtiyaç vardır. Bu nedenle

Qx ve Qy kesme kuvvetleri gerilmelerden bağımsız olarak tanımlanır. Bu tutarsızlık

levha kabulünün tabiatından kaynaklanmaktadır ve levha kalınlığı arttıkça daha büyük

sorunlar çıkartır. Bu nedenle kalın levhalar için farklı yaklaşımlar kullanmak gerekir.

Ne var ki gemilerde kullanılan levhalar daima çok ince olduklarından herhangi bir

sorun söz konusu olmaz.

Tarafsız düzleme dik doğrultuda etki eden eğilme momentleri ise gerilmelerin tarafsız

eksene göre momentlerinin kalınlık boyunca entegrasyonu ile elde edilirler ve

2

t

2

t

2

t

2

t

2

t

2

t

dzz,y,xzMdzz,y,xzMdzz,y,xzMxyxyyyyxxx

(5.8)

olarak verilirler. Daha evvelce de belirtildiği gibi ince levhalarda kalınlık boyunca

değişimi yaklaşık olarak tanımlamak uygundur.

Eğilmenin incelendiği hallerde gerilmelerin kalınlık doğrultusundaki değişimlerini

lineer olarak kabul etmek ve

y,xzz,y,x

y,xzz,y,x

y,xzz,y,x

xyxy

yyyy

xxxx

(5.9)

şeklinde tanımlamak uygun olur. Bu tanımları (5.7) denklemine yerleştirdiğimizde

düzlem içi kuvvetlerin sıfır olduğu gözükür. Öte yandan (5.9) tanımları (5.8)

denklemlerinde kullanılırsa

2

t

2

t

2

t

2

t

2

t

2

t

dzz1

EM

dzz1

EM

dzz1

EM

xyxy

xxyy2y

yyxx2x

(5.10)

elde edilir.

5.3.2 Lehalarda Eğilmenin Genel Denklemleri

İnce levhaların eğilmesi de kirişlerin eğilmesi gibi olur ve tek fark levhalarda

eğilmenin iki doğrultuda ortaya çıkmasıdır. Levhanın bu doğrultulardaki eğrilikler

birbirinden genelde farklı olup x ve y doğrultularında sırasıyla rx ve ry olarak

104

verilsinler (Şekil 5.9). Bu durumda x doğrultusunda dx kadar eğilmiş olan bir

levhanın tarafsız düzlemi x doğrultusunda uzamayacağından levhanın bu doğrultudaki

uzunluğu rxdx olarak bulunabilir.

Diğer taraftan tarafsız eksene z kadar mesafedeki bir düzlemde bir uzama olur ve bu

uzamış olan boy (rx+z)dx olarak hesaplanabilir. Dolayısıyla x doğrultusundaki

genleme

xxx

xxxxxx

r

z

dr

drdzr

(5.11)

Şekil 4.9 : Levhaların eğilmesindeki geometrik değerler

olarak bulunur. Eğrilik yarıçapının veya eğriliğin tanımından

2

2

2

2

2

x x

w

x

w1

x

w

r

1

2

3

yazmak olanağı vardır ve bu (5.11) denkleminde kullanılırsa

2

2

xxx

wz

(5.12)

elde edilir. Benzer şekilde y doğrultusunda da

2

2

yyy

wz

(5.13)

elde edilir.

Şekil 5.2a incelendiğinde elemanın x ve y doğrultularındaki dönme miktarları sırası

ile

y

u

x

v 2xy

1xy

olarak belirlenebilir. Diğer taraftan (5.1) ve (5.2) denklemlerini dikkate alır ve toplam

dönmenin iki doğrultudaki toplamları olacağını hatırlarsak dönme genlemesi olarak

yx

wz2

2

xy

(5.14)

bulunur. Burada (5.12), (5.13) ve (5.14) denklemleri ile verilen ilişkileri (5.10)

denkleminde kullanır ve levha rijitliğini

105

2

32

2 112

Etdzz

1

ED

2

t

2

t

olarak tanımlarsak eğilme momentlerini tarafsız düzlemin çökmesi cinsinden

yx

w1DM

x

w

y

wDM

y

w

x

wDM

2

xy

2

2

2

2

y2

2

2

2

x

(5.15)

şeklinde elde ederiz. Şimdi bu iç kuvvetlerin dengesini göz önüne alarak levha

eğilmelerini tarafsız düzlemin çökmelerine bağlı olarak belirlemek istiyoruz.

Herhangi bir levhanın kalınlığınca devam eden elemanter bir parçasını göz önüne

alacak olursak (Şekil 5.10) bu parçaya etki eden pdxdy dış kuvvetini parçanın dış

yüzeylerine etki etmekte olan kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri dengelemek

durumundadır. Bu kuvvetlerin düşey doğrultudaki dengesini yazacak olursak

0py

Q

x

Q

0pdxdydxQdxdyy

QQdyQdydx

x

QQ

yx

y

y

yxx

x

(5.16)

Şekil 5.10 : Levhaların iç kuvvetlerinin değişimleri

elde ederiz. Yine kuvvetlerin bu kez x doğrultusundaki momentlerinin dengesini yazar

ve Myx = - Mxy olduğuna dikkat edersek

0y

M

x

MQ

0dxdyy

MMdxM

dydxx

MMdyM

2

dxpdxdydydxdx

x

QQ

xyxx

yx

yxyx

xxx

xx

(5.17)

bulunur. Benzer şekilde y doğrultusundaki momentten de

0x

M

y

MQ

xyy

y

(5.18)

elde edilir. Bu denklemlerden (5.17) ve (5.18)’i sırasıyla x ve y’ye göre türetir ve

(5.16) denklemine yerleştirirsek levha eğilmesinin genel denklemi

106

py

M

yx

M2

x

M2

y2

xy2

2

x2

olarak elde edilir. Bu denklemde eğilme momentlerinin yerine (5.15)

denklemlerindeki tanımları kullanılırsa tarafsız düzlemin çökmeleri için

D

p

y

w

yx

w2

x

w4

4

22

4

4

4

(5.19)

denklemi elde edilir. Bu denklemden tarafsız düzlemin çökmeleri hesaplandığında

plakların eğilmesi ile ilgili her türlü sorunun cevabı verilmiş olacaktır, çünkü bütün iç

kuvvetler, gerilme ve genleme değerleri çökmeler cinsinden belirlidir. Bu çözümü

yapabilmek için sınır koşullarının belirlenmesi gerekmektedir.

5.3.3 Sınır Koşulları ve Çözüm Teknikleri

Levhalarda da kirişlerde olduğu gibi mesnetler vardır ve bu mesnetlerin getirdiği

sınırlamaların sonucu bu mesnetlerde sağlanması gerekli koşullar vardır. Buradaki

farklılık levhalarda sınırların sadece bir noktada olmayıp bir kenar boyunca olması ve

bazı hallerde kenarlarda herhangi bir mesnetin olmayıp kenarın serbest olması da

mümkündür. Sınırlamalar kenarlar boyunca çökmeler ve dönmeler üzerinde olur.

Çökmeler her türlü mesnette tamamen sınırlanır ancak dönmeler sadece ataleti çok

yüksek olan mesnetlerde sınırlanmaktadır. Bu durumda şu tür sınır koşulları

yazılabilir:

a. Serbest kenarlar: Bu tip kenarlarda herhangi bir sınırlama olmaz. Dolayısı ile

kesme kuvveti ve eğilme momenti olmaz. Yani kenar boyunca kesme

kuvvetine tekabül eden kenara dik doğrultuda çökmenin üçüncü türevi ile

eğilme momentine karşı gelen ikinci türevi sıfır olur. Örneğin x = 0 kenarı

serbest kenar ise

0x0Q0M xx iken

yazılır.

b. Basit mesnetli kenarlar: Bu tip kenarlarda çökme oluşmaz ama levha serbestçe

döner. Yani kenar boyunca çökme ve kenara dik doğrultuda ikinci türev sıfır

olur. Örneğin x = 0 kenarı basit mesnetli kenar ise

0x0M0w x iken

yazılır.

c. Ankastre mesnetli kenar: Bu tip kenarlarda çökme olmadığı gibi dönme de

olmaz ve sonuçta çökme ile birlikte çökmenin birinci türevi de sıfır olur.

Örneğin x = 0 kenarı ankastre mesnetli kenar ise

0x0x

w0w

iken

yazılır.

Bu koşullarda (5.15), (5.17) ve (5.18) denkleminden yararlanarak momentlerin ve

kesme kuvvetlerinin diferansiyel ifadeleri kullanılır. Doğal olarak levhanın şekline ve

kenar sayısına bağlı olarak birçok değişik sınır koşulu ve çözüm tekniği ortaya çıkar.

Biz burada gemilerde en çok rastlanan levha tipi olan dikdörtgen levhaları göz önüne

alacağız.

Levha problemlerinin çözümü için genelde izlenen yol çökmeleri çarpanlarına ayırıp

)y(g)x(f)y,x(w

şelinde ifade etmektir. Çökmeler bu şekilde (5.19) denklemine yerleştirilip

düzenlenirse

107

D

p

)y(g

)y(g

)y(g)x(f

)y(g)x(f2

)x(f

)x(f ıvıv

elde edilir. Bu denklemi çözebilmek için önce sağ tarafsız çözümü elde etmek gerekir.

Sağtarafsız çözüm göz önüne alındığında denklemin sağlanabilmesi için sol taraftaki

her üç terimin de sabit sayılara eşit olması gereklidir. Dolayısı ile problemin çözümü

4ıv

4ıv

)y(g

)y(g

)x(f

)x(f

şeklindeki iki adi diferansiyel denklemin çözümüne indirgenmiş olur. Burada ve

sabit sayılar olup bu denklemlerin genel çözümleri

yCoshDySinhCyCosBySinA)y(g

xCoshDxSinhCxCosBxSinA)x(f

yyyy

xxxx

(5.20)

olarak verilirler. Buradaki katsayılar sağ taraflı denklemi ve sınır koşullarını

sağlayacak şekilde belirlenirler. Yöntemin açıklanması için çeşitli yüklemeler ve sınır

koşulları için örnekleri ele alalım.

5.3.4 Kenarları Basit Mesnetli Levhalar

Kenarları basit mesnetli olan dikdörtgen bir levhayı göz önüne alalım (Şekil 5.11). Bu

levha için sınır koşulları

by0y

w0w

0y0y

w0w

ax0x

w0w

0x0x

w0w

2

2

2

2

2

2

2

2

şeklinde yazılır. Gerçekte sınır koşulları momentlerin sıfır olmasını gerektirir. Ancak

ilk koşullardan çökmelerin tanımı sonucu bu koşulların

Şekil 5.11 : Kenarları basit mesnetli levha

0fgfM0fgw0gfgfM xx

ikinci türevlerin sıfır olmasına indirgeneceği gözükmektedir.

Önce çözüm için (5.20) denklemi ile tanımlanan fonksiyonlarda sabitleri sınır

koşullarından belirlemeye çalışalım. Levhanın x = 0 kenarındaki koşullardan

108

0DB0DB)0(f0DB)0(f xxxxxx

bulunur. Levhanın x = a kenarındaki koşullardan

0aSinhCaSinA)a(f0aSinhCaSinA)a(f xxxx

bulunur. Buradaki iki denklemin toplamından Cx katsayısının da sıfır olacağı

görülebilir. Bu durumda son olarak

0aSinAx

kalmaktadır. Burada Ax katsayısı da sıfır olacak olsa çözüm triviyal çözüm olur.

Dolayısı ile Ax sıfırdan farklı olmalıdır ve

a

m0aSin

koşulu sağlanmalıdır. Bu durumda f(x) fonksiyonu için

a

xmSinA)x(f x

(5.21)

yazabiliriz. Ayrıca benzer şekilde g(y) için de

b

ynSinA)y(g y

(5.22)

yazılabileceğinden kenarları basit mesnetli levhaların çökmeleri

m n

mnb

ynSin

a

xmSinW)y,x(w (5.23)

olarak elde edilir. Bu çözümde Wmn katsayıları sağ taraflı denklem sağlanacak

şekilde belirlenecektir.

İlk olarak basit bir yük için çözümü ele alalım. Levhaya

b

ySin

a

xPSin)y,x(p

denklemiyle verilen iki doğrultuda da sinüzoidal değişim gösteren bir basınç etki

ettiğini düşünelim. Bu durumda (5.21) ve (5.22) denklemlerini (5.19) levha

denklemine yerleştirirsek

b

ySin

a

xSin

D

P

b

ynSin

a

xmSinW

b

n

a

m

m nmn

222

elde ederiz. Buradan da Wmn katsayıları için

1n,m0W

1nm

baD

PbaW

mn

2224

44

11

bulunur.

Bu tür yüklerle gemilerde pek karşılaşılmaz ama her p(x,y) fonksiyonunu

m n

mnb

ynSin

a

xmSinP)y,x(p

şeklinde göstermek olanağı olduğu için bu yük tipi oldukça yararlıdır. Etki eden

kuvveti böyle bir seri olarak tanımladığımızda çökme fonksiyonundaki katsayılar

2224

mn44

mn

baD

PbaW

olarak elde edilir. Burada Pmm katsayıları

b

0y

a

0xmn dxdy

b

ynSin

a

xmSin)y,x(pP

109

integrallerini almak suretiyle bulunur. Bu yöntemi p(x,y) = Po düzgün yayılı yükü için

uygulayacak olursak Pmm katsayıları

1k2n,m

mn

P16k2n,m0

P2

omn

olarak belirlenir ve bu değerler kullanılarak eğilme momentleri için

m n2222

222

4

2o

y

m n2222

222

4

2o

x

1n21m21n21m2

b

y1n2Sin

a

x1m2Sin1m21n2

bP16M

1n21m21n21m2

b

y1n2Sin

a

x1m2Sin1n21m2

bP16M

elde edilir.

Şekil 5.12 : Kenarları basit mesnetli levhanın maksimum eğilme momentleri

katsayıları

Burada önemli olan bu momentlerin maksimum değerleridir ve maksimum momentler

için

22maxy22maxxa

1m2

b

1n2M

b

1n2

a

1m2M

ilişkilerinin olduğu açıkça gözükmektedir. İki momentin farkını alırsak

22maxxmaxya

1m2

b

1n21MM

bulunur. Burada ilk terim daima sıfırdan büyüktür ve y doğrultusundaki kenarların

daha küçük olması halinde ikinci terim de pozitif olacağından My daima daha büyük

olur. Buradan levhalarda kısa kenarlar doğrultusundaki eğilme momentlerinin daima

daha büyük olacağı sonucu çıkar. Maksimum momentleri Po basıncı ve b kısa kenar

uzunluğu cinsinden 2

obmaxy2

obmaxx bPMbPM (5.24)

şeklinde tanımlayabiliriz. Burada b ve b b/a yan oranına bağlı olarak değişen

katsayılardır ve bu katsayılar Şekil 5.12’de verilmektedir. Gerçekten de b b/a

oranının birden büyük olduğunda ise b değeri daha büyük olmaktadır. Kare plaklar

için ise her iki değer de birbirine eşit olmakta ve Timoshenko tarafından verilen

0.0482 değerine çok yakın çıkmaktadır.

5.3.5 İki Kenarına Moment Uygulanmış Basit Mesnetli Levhalar

Kenarları ankastre mesnetli levhalara geçmeden önce x doğrultusundaki kenarları

boyunca önceden bilinen m(x) momentleri uygulanmış kenarları basit mesnetli

levhaları ele almakta yarar vardır. Bu problem için sınır koşulları

110

2

by

D

)x(m

y

w0w

ax0x

w0w

0x0x

w0w

2

2

2

by

D

)x(m

y

w0w

2

2

şeklinde tanımlanır. Bu problem için aynı yöntemin uygulanması halinde oldukça

yavaş yakınsayan bir sonuç elde edilmektedir. Dolayısı ile çözüm için farklı bir

yöntem izleyeceğiz ve çift seri yerine tekli seri kullanacağız. Çökmeler için

m

ma

xmSinyf)y,x(w

şeklinde seçilen bir fonksiyon x = 0 ve x = a kenarlarındaki koşulları sağlayacaktır.

Bu çökme değerini (5.19) levha denklemine yerleştirir ve plağa sadece kenarlarda

moment etki ettiğini göz önüne alırsak

0a

xmSinff

a

m2f

a

m

m

ıvmm

2

m

4

elde ederiz. Buradan fm(y) fonksiyonunun genel çözümü için

a

ymChD

a

ymC

a

ymShB

a

ymA)y(f mmmmm

elde edilir ve simetri nedeniyle

a

ymChC

a

ymShB

a

ym)y(f mmm

şekinde basitleştirilir. Burada f(b/2) = 0 sınır koşulunu kullanırsak

a

ymCh

a2

bmTh

a2

bm

a

ymSh

a

ymB)y(f mm

bulunur ve genel çözüm

m

ma

xmSin

a

ymCh

a2

bmTh

a2

bm

a

ymSh

a

ymB)y,x(w

olarak belirlenir. Burada Bm katsayılarını hesaplamak için x = b/2’de ikinci sınır

koşulunu uygulayarak

D

)x(m

a

xmSinyf

mm

elde ederiz. Burada m(x) momentini Fourier serilerine açarak

2

b

2

by

mm

m dyb

ymSin)y(mM

b

ymSinM)y(m

yazar ve

a

1m2

a2

b1m2mm

büyüklüklerini tanımlarsak tarafsız düzlemin çökmeleri

mm

2

mmmmmmm

2

2

Ch1m2

yChThyyShxSinM

D2

a)y,x(w (5.25)

olarak elde edilir.

111

5.3.6 Kenarları Ankastre Mesnetli Levhalar

Kenarları ankastre mesnetli levhaların sınır koşulları

2

by0

y

w0w

2

by0

y

w0w

2

ax0

x

w0w

2

ax0

x

w0w

(5.26)

olarak verilir. Bu problemi çift seri kullanarak çözüm arayacak olursak elde edilen

çözüm çok yavaş yakınsadığı için uygun değildir. Çok daha uygun bir çözüm Levy

tarafından süperpozisyon ilkesi yardımı ile üç ayrı levha çözümünün toplamı şeklinde

önerilmiştir. Birinci çözüm kenarları basit mesnetli ve düzgün yayılı yüke maruz

levhanın çözümüdür ve elde edilişi daha evvelce

m n2

o1

1n21m2

b

y1n2Sin

a

x1m2Sin

P16)y,x(w

olarak verilmiştir. Ancak bu çözüm 0 < x < a ve 0 < y < b aralığı için verilmiş olup bu

yöntemde kullanılan –a/2 < x < a/2 ve –b/2 < y < b/2 aralığına taşındığında

b

y1n2Cos1

b

y1n2Sin

a

x1m2Cos1

a

x1m2Sin

1n

1m

(5.27)

olduğu için

m n

nm

2

o1

1n21m2

b

y1n2Cos

a

x1m2Cos1

P16)y,x(w (5.28)

şeklini alır.

İkinci çözüm uzun kenarları boyunca ankastre mesnetli diğer kenarları basit mesnetli

ve hiçbir yük taşımayan bir levha çözümü üçüncü çözüm de kısa kenarları boyunca

ankastre mesnetli diğer kenarları basit mesnetli olan ve yine herhangi bir yük

taşımayan levha çözümüdür. Bu iki çözüm için de mesnetlerdeki ankastrelik

momentlerinin bilindiği varsayılarak bir önceki bölümde verilen çözümler kullanılır.

Böylece ikinci çözüm için (5.25) denkleminden yararlanarak

mm

2

mmmmmm1m

2

2

2Ch1m2

yChThyyShxSinM

D2

a)y,x(w

yazmak mümkün olur. Burada da çözüm 0 < x < a ve ve –b/2 < y < b/2 aralığı için

verilmiş olup bu yöntemde kullanılan –a/2 < x < a/2 ve –b/2 < y < b/2 aralığına

taşındığında (4.27) ilişkisini de göz önüne alarak

mm

2

mmmmmm1m

1m

2

2

2Ch1m2

yChThyyShxCosM1

D2

a)y,x(w (5.29)

buluruz. Benzer şekilde üçüncü çözümü de

m m

2

mmmmmm2m

1m

2

2

3Ch1m2

xChThxxShyCosM1

D2

b)y,x(w (5.30)

olarak elde ederiz. Burada dikkat edilecek nokta x ve y doğrultularının değişmiş

olduğu ve m ve m değerleri yerine kullanılan m ve m değerlerinin

b2

a1m2

b

1m2mm

112

şeklinde tanımlanmış olduğudur. Burada M1

m ve M2

m katsayıları henüz

belirlenmemiştir ve problem bu katsayıların belirlenmesine indirgenmiş olur. Bu

katsayıların belirlenebilmesi için levhanın sınır koşullarını uygulamak yeterli olur.

Çözümün (5.28), (5.29) ve (5.30) çözümlerin toplamı olduğu, bu çözümlerin her

birinin sınırlarda çökmenin olmaması koşulunu sağladığı ve çözümün simetrikliği göz

önüne alındığında ve (5.26) koşullarından

2

by0

y

w

y

w

y

w

2

ax0

x

w

x

w

x

w 321321

elde edilir. Bu koşullardan ilkine çözümleri yerleştirirsek

0ySinCh1m2D2

ChShbM

1m2D

fbaP161

Ch1m2

yChThyyShM

D2

a

mm m

2

mmm2m

5

m43

om

m m

mmmmm1m

(5.31)

elde edilir. Burada ilk toplamdaki

yChThyySh)y(p mmmmm

fonksiyonunu

0ySinA)y(p nn

mn

şeklinde Fourier serisine açar ve

2222

m21n

nmb1m2a1n2

Ch1n2ba21dyyyCosCh

2

b

2

b

22222

m331n

2222

m221n

nm

b1m2a1n2

Ch1n21m2ba41

b1m2a1n2

Sh1n2ba21dyyyCosySh

2

b

2

b

eşitliklerinden yararlanırsak (5.31) denklemi

mn

2nmn

1mmm pMQMP

şeklinde yazılabilir. Burada Pmn ve Qmn matrisleri ile pm vektörü

1m2

fbaP16p

b1n2a1m2

ba1n21m24Q

nm0

nmCh1m22

ChSh

P

4

m

33

o

m

22222

3

mnm

2

mmm

mn

olarak tanımlanmaktadırlar. İkinci koşuldan da

1m2

gbaP16p

nm0

nmCh1m22

ChSh

Qb1n2a1m2

ba1n21m24P

4

m

33

o

m

m

2

mmm

mn22222

3

mn

tanımlarını kullanarak benzer şekilde

m2mmm

n

1nmn pMQMP

113

elde edilir. Buradan moment katsayıları M1

m ve M2

m belirlenir. Bu değerler elde

edildikten sonra çökmeleri ve ikinci türevleri kullanarak momentleri hesaplamak

mümkündür. Önemli olan momentler kenarların ve levhanın ortasında oluşmaktadır.

Bu momentlerin (5.24)’de verilen b ve b katsayılarının yan oranı a/b değerine bağlı

olarak hesaplanmış ve Şekil 5.13’de verilmiştir.

Şekil 5.13 : Kenarları ankastre mesnetli levhada eğilme momentleri katsayıları

Şekil 5.13a’da moment katsayılarının plağın orta noktasındaki değerleri

görülmektedir. Basit mesnetli plaklarda olduğu gibi ankastre mesnetli plaklarda da

kısa kenar boyunca olan moment daha büyük olmaktadır. Ayrıca bu değer yan

oranının 4 değerine ulaşmasıyla sabit bir değer almaktadır. Şekil 5.13b’de moment

katsayılarının plağın kısa kenarının orta noktasındaki değerleri görülmektedir. Burada

da kısa kenar boyunca olan moment daha büyük olmaktadır, ancak bu değer plağın

orta noktasındaki değerlere kıyasla daha küçüktür ve yan oranının 2 değerine

ulaşmasıyla sabit bir değer almaktadır. Şekil 5.13c’de ise moment katsayılarının

plağın uzun kenarının orta noktasındaki değerleri görülmektedir. Burada uzun kenar

boyunca olan moment daha büyük olur ancak bu değer de kısa kenarın orta noktasında

oluşan moment değerinden daha küçüktür. Bu değer de yan oranının 2 değerine

ulaşmasıyla sabit bir değer almaktadır.

5.3.7 Tarafsız Düzlem İçi Çekme Kuvvetinin Etkisi

Şu ana kadar eğilmeyi incelerken levhaların tarafsız düzleminde herhangi bir uzama

veya deformasyon olmadığı varsayılmıştı. Bu varsayım tarafsız düzlem içinde

herhangi bir kuvvetin oluşmadığını ima etmektedir. Oysa gerçekte eğilmenin

oluşmasıyla, özellikle de mesnetlerde yatay harekete karşı bir sınırlama varsa,

mutlaka tarafsız düzlem içersinde çekme kuvveti oluşmaktadır. Bu durumda ortaya

çıkacak deformasyonlarda bu düzlem içi kuvvetlerin de etkisi olur. Bu bölümde

tarafsız düzlemde ortaya çıkacak kuvvetlerin etkilerini inceleyeceğiz.

Şekil 5.14 : Eğilmekte olan bir levhaya etki eden tarafsız düzlem içi kuvvetler

114

Eğilmeye zorlanan herhangi bir levhayı göz önüne alalım. Bu plağın üzerine etki

ettirilen p(x,y) kuvveti sonucu levha tarafsız düzleminde ortaya çıkacak olan w(x,y)

çökmesi (5.19) denklemiyle verilmektedir. Eğilme öncesi levha üzerinde kenarları dx

ve dy olarak verilen bir elemanter parça eğilme sonrası deforme olup kenarları

boyunca Nx, Ny ve Nxy kuvvetlerine de maruz kalır (Şekil 5.14). Bu kuvvetler eğilmiş

olan tarafsız düzleme paralel olduklarından deformasyon yeteri kadar büyük ise

bunların eğilmemiş levha düzlemine dik bileşenleri de oluşur. Önce x doğrultusundaki

Nx normal kuvvetini göz önüne alalım. Bu kuvvetin herhangi bir noktadaki düşey

bileşeninin düzlemin bu noktada x doğrultusundaki teğetiyle orantılı olacağı açıktır.

Yani bu noktada kuvvetin düşey bileşeni

dyx

wNx

olarak yazılabilir. Bu noktadan dx kadar uzaklıkta ise etki eden düşey kuvvet o

noktada x doğrultusundaki teğeti artışı da göz önüne alındığında

dydxx

w

x

w2

2

olacağından bu elemanter parçacığa Nx kuvvetinden ötürü etki eden düşey kuvvet

dxdyx

wNy,xp

2

2

xx

olarak elde edilir.

Benzer şekilde y doğrultusunda da Ny normal kuvvetinden ötürü eleman üzerine etki

eden düşey bileşen

dxdyy

wNy,xp

2

2

yy

olur. Nxy kayma gerilmesi ise hem x hem de y doğrultusunda etki etmektedir.

Bunlardan x doğrultusunda etki eden kuvvetin düşey bileşeninin

dxy

wNxy

olacağı gözükmektedir. Bu noktadan dx kadar uzakta ise değişen meyil

dxdyyx

w

y

w 2

değerini alacağı için x doğrultusundaki Nxy kuvvetinde gelen katkı

dxdyyx

wNy,xp

2

xyxy

olur. Nxy kuvvetinin y doğrultusunda da etki ettiği göz önüne alındığında (5.16)

denklemindeki p(x,y) kuvvetinin

y,xpy,xp2y,xpy,xpy,xp yxyx

olarak düzeltilmesiyle düzlem içi kuvvetlerin etkilerini veren denklemi

2

2

y

2

xy2

2

x4

4

22

4

4

4

y

wN

yx

wN2

x

wNp

D

1

y

w

yx

w2

x

w (5.32)

şeklinde elde ederiz.

Bu denklemi normal koşullarda çözebilmek oldukça güçtür çünkü bu denklemde w

çökmeleri yanısıra Nx, Ny ve Nxy kuvvetleri de bilinmeyen olarak işin içine

girmektedir. Ancak problemi inceleyebilmek için bazı basitleştirmeler yaparak bu

115

etkinin mertebesi hakkında bilgi edinmek olanağı vardır. Bu amaçla çekmenin tek

doğrultuda olduğunu ve diğer doğrultudan gelecek etkileri ihmal edebileceğimizi

varsayabiliriz. Bu problemi oldukça gerçekten uzaklaştırmasına karşılık çözümünü

olanaklı kılar ve bize etkinin mertebesi hakkında bilgi verir.

Şekil 5.15 : Eğilmekte olan bir levhada deformasyonlar ve çekme kuvvetleri

Eğilmekte olan bir plağın x doğrultusundaki bir kesitini göz önüne alalım. Bu kesitte

eğilme öncesi dx olan bir elemanter parça uzama sonrası ds boyuna ulaşır ve uç

noktalarda mesnetlerden ötürü bir T kuvveti ortaya çıkar (Şekil 5.15). Deforme olan

levhanın ds uzunluğu uzamanın küçük olduğu da göz önüne alınırsa

dxx

w

2

1dxdx

x

wdxds

222

şeklinde ifade edilebilir. Buradan elemander parçadaki uzamayı levha boyunca integre

edersek levhadaki uzama miktarının

l

0

2

dxx

w

2

1l

olacağı açıkça gözükmektedir. Öte yandan uçlarına T çekmesi uygulanan birim

genişlikteki bir levhada ortaya çıkacak olan uzamanın

AE

Tll

olacağını biliyoruz. Bu durumda plağın dengede olabilmesi için iki uzamanın birbirine

eşit olması gerektiğinden

l

0

2

dxx

w

2

1

AE

Tl

ilişkisini elde ederiz. Burada ikinci bir varsayım yaparak çökmenin sinüzoidal

olduğunu ve başlangıçta bir wo çökmesi olduğunu ve kuvvet uygulaması sonucu wo

kadar bir ilave çökme olduğunu varsayalım. Gemi levhalarında kaynak sırasında

sıcaklık nedeniyle bir başlangıç çökmesinin oluşması çok doğal bir olgudur. Bu

durumda toplam uzamayı

2oo

2l

0

22

oo

2

wwl4

dxl

xcosww

l2l

şeklinde yazabiliriz. Başlangıç uzamasını wo = 0 koyarak bulabiliriz ve yük

nedeniyle ortaya çıkmadığı için toplam uzamadan çıkartırsak yük nedeniyle oluşan

net uzamayı

2ooo

2

www2l4

l

(5.33)

olarak buluruz. Elemanter parçada uzamadan dolayı meydana gelecek gerilmenin

dxx

w

2

EIlEI

2

2

116

olduğu ve eğilme nedeniyle ortaya çıkacak genlemenin yarattığı enerjinin

dxx

w

2

EIlU

2

2

2

olduğu hatırlanırsa levhada meydana gelen toplam eğilme enerjisi

3

2o

4ı

0

2

4

2o

4ı

0

2

2

2

l4

wEIdx

l

xsin

l2

wEIdx

x

w

2

EIU

olur. Mesnetteki T kuvveti nedeniyle ortaya çıkan enerji ise

AE2

lT

AE

Tl

2

TU

2

olarak verildiğinden toplam şekil değiştirme enerjisi için

3

2o

42

tl4

wEI

AE2

lTU

sonucuna erişiriz. Bu denklemde (5.33) denkleminden yararlanırsak toplam şekil

değiştirme işi

2o3

44o

3oo

2o

2o3

4

t wl4

EIwww4ww4

l32

AEU

olarak hesaplanır. Bu enerji ise p kuvveti tarafından yapılan iş sonucu ortaya çıkmıştır

ve bu iş

o

ı

0o w

lpdx

l

xsinw

2

pW

olarak hesaplandığından

0E

pl32wAw4I8wAw4wA

wl4

EIwww4ww4

l32

AEw

lp

4

4

o2o

2oo

3o

2o3

44o

3oo

2o

2o3

4

o

denklemini elde ederiz. Burada plağın birim genişlikte ve t kalınlığında olduğu

hatırlanırsa A = t ve I = t3/12 olacağından

0Et

pl32ww4

3

t2ww4w

4

4

o2o

22oo

3o

sonucuna ulaşırız. Burada wo ve wo değerlerini seçerek wo çökmesini meydana

getirecek p kuvvetini hesaplayabilmek olanağı vardır.

5.4 Levhaların Burkulması

Bu noktaya kadar hep tarafsız düzleme dik etki eden kuvvetleri veya bu kuvvetlerden

doğan düzlem içi çekme kuvvetlerini göz önüne aldık. Ancak gemilerin maruz kaldığı

karmaşık zorlamalar sadece bu tip zorlamalarla sınırlı değildir. Özellikle gemilerin bir

kiriş gibi de davranması sonucu dış kaplama ve güverte saçları çekmenin yanısıra

basınç kuvvetlerine de maruz kalmaktadır. Bu kuvvetlerden basınç kuvvetleri önceki

bölümde incelenmiş olan zorlamalardan farklı olarak levhalarda burkulmanın ortaya

çıkmasına neden olur. Burkulmanın daima eğilmeden önce ortaya çıkması ve genel

mukavemetin önemli ölçüde kaybına neden olmasından ötürü bu problem eğilme

probleminden daha önemli kabul edilir ve gemilerde levha boyutlandırılmasında esas

alınır. Bu bölümde uzun levhalardan başlayarak levhaların burkulmasında karşılaşılan

çeşitli problemleri ve bu problemlerin ele alınışını inceleyeceğiz.

117

5.4.1 Uzun Levhaların Tek Eksenli Burkulması

Uzun levhalardan söz edildiğinde basınç kuvvetinin etki ettiği karşılıklı kenarların

diğer kenarlara kıyasla daha kısa olduğu plaklardan söz etmekteyiz. Örneğin x

doğrultusundaki kenarları a uzunluğunda y doğrultusundaki kebarların ise b

uzunluğunda olan bir levhada y doğrultusundaki kenarlardan Nx basınç kuvvetleri etki

ediyor ve a/b >1 ise bu tip levhalar uzun levhalar olarak bilinir (Şekil 5.16). Bu

levhanın çökmeleri de (5.32) denklemini sağlar ve etki eden tek kuvvetin Nx basınç

kuvveti olduğu göz önüne alınırsa incelememiz gereken denklemin

2

2x

4

4

22

4

4

4

x

w

D

N

y

w

yx

w2

x

w

(5.34)

olacağı kolaylıkla gözükmektedir. Burada px kuvvetinin önündeki – işareti bu

kuvvetin basınç kuvveti olduğunu göstermektedir.

Şekil 5.16 : Uzun levhaların geometrisi ve burkulmaları

İlk olarak kenarları basit mesnetli olanlarını ele alalım. Kenarları basit mesnetli bir

levhanın çökmelerini (5.23) denklemi ile gösterebileceğimiz için (5.34) denkleminden

m nmn

2

x

m nmn

222

b

ynSin

a

xmSinW

a

m

D

N

b

ynSin

a

xmSinW

b

n

a

m

sonucunu elde ederiz. Burada Nx basınç kuvveti birim genişliğe uygulanmakta olup

levha kalınlığının da t olduğunu dikkate alırsak bunu basınç gerilmesi cinsinden Nx =

at olarak yazabileceğimiz açıktır. Bu durumda gerilme

m nmn

2

m nmn

222

a

b

ynSin

a

xmSinW

a

mt

b

ynSin

a

xmSinW

b

n

a

mD

olarak belirlenir. Bu gerilmeyi hesaplamaktan ziyade bizim için önemli olan

burkulmanın ilk defa ortaya çıktığı minimum gerilmeyi yani kritik gerilmeyi

hesaplamaktır. Bu nedenle de toplamların oranı ile ilgili bir matematik teoreminden

yararlanacağız. Eğer bir (a1+a2+a3+.....)/(b1+b2+b3+.....) oranının ekstremumları

118

aranıyorsa bu ekstremumlar a1/b1, a2/b2, a3/b3,..... an/bn terimlerinden birisi olarak

ortaya çıkar. Bu durumda gerilmenin kritik değerinin

2

222

22

cratm

b

n

a

mDa

olması gerekir. Burada burkulmanın ilk ortaya çıkacağı andaki m ve n değerlerini

belirlemek gerekmektedir. Şekil 5.16’da da gösterildiği gibi levhalar yarım dalgalar

halinde burkulurlar ve bu yarım dalgalara mod adı verilir. Örneğin verilen şekilde x

doğrultusunda üçüncü, y doğrultusunda da birinci modda burkulma ortaya çıkmıştır.

Uzun kenar boyunca burkulma ilk modda olmayabilir ama kısa kenar boyunca

mutlaka ilk modda burkulma olması gerekmektedir. Yani uzun levhalarda n = 1 kritik

gerilmeyi verir. Böylece uzun levhalar için kritik gerilme

2

2

2

crabm

a

a

mbk

tb

Dk

olur. Burada k mod sayısına ve yan oranı a/b’ye bağlı olarak değişen bir katsayıdır ve

burkulmanın oluşma şekli için önemli bilgiler vermektedir (Şekil 5.17).

Şekil 5.17 : Uzun levhalarda burkulmanın karakteri ve k katsayısının değişimi

Kritik gerilme katsayısı incelendiğinde kare levha için k = 4 olduğunda burkulma

ortaya çıkmaktadır. Yan oranı biraz büyürse gerilme katsayısı yavaş yavaş yaklaşık

4.5 değerine kadar artmaktadır. Bu artış yan oranının yaklaşık 1.5 olmasıyla birlikte

uzun kenar ikinci modda burkulmaya maruz kalır. Yan oranı arttıkça bu karakteristik

tekrarlanır ve her seferinde k değerinin ulaşabildiği en büyük değer asimptotik olarak

k = 4 değerine yaklaşır. Bu nedenle genelliği kaybetmeksizin uzun levhaların tek

eksenli burkulmasında kritik gerilmeyi

tb

D4

2

2

cra

(5.35)

olarak kabul edebiliriz. .

5.4.2 Geniş Levhaların Tek Eksenli Burkulması

Uzun levhaların tek eksenli burkulmalarını incelerken basınç kuvvetinin etki ettiği

kenarın daima daha kısa olduğunu varsaymıştık. Bu varsayımın geçerli olmaması

halinde levha geniş levha adını alır ve burkulmanın karakteri değişir. Geniş levhalarda

kısa kenar basınç altında olan kenar olduğu için bu kenar da daima ilk modda

burkulacaktır ve kritik gerilme için m = 1 olacaktır. Bu durumda kritik gerilme

22

2

2

crab

a1k

ta

Dk

(5.36)

119

olur. Geniş levhalarda kritik gerilme katsayısı k’ sadece yan oranına bağlı olarak

verilir ve değişimi Şekil 5.18’de gösterilmiştir.

Şekil 5.18 : Geniş levhalarda burkulmanın karakteri ve k’ katsayısının değişimi

Burada da beklendiği gibi kare levkada kritik gerilme sayısı k’ = 4 olmaktadır ve bu

oran küçüldükçe katsayı da küçülerek asimptotik olarak k’ = 1 değerine ulaşmaktadır.

Burada uzun ve geniş levhaların burkulmasındaki karakteristik farklılığa örnek olarak

gemi levhalarının stifnerlerle takviyelerini ele alalım. Bunun için boyu A ve genişliği

B olan bir levhayı göz önüne alalım. Bu levhayı araları aynı b aralıklarıyla boyuna

veya enine stifnerlerle takviye etme olanağı vardır (Şekil 5.19). Her iki takviye

sisteminde de kritik gerilme değerleri farklı olacaktır.

Şekil 5.19 : Levhaların stifnerlerle boyuna ve enine takviyesi

İlk olarak boyuna takviye edilmiş olan levhanın kritik gerilmesini hesaplayalım.

Boyuna sistemde burkulmaya zorlanacak olan levha parçasının genişliği b uzunluğu A

> b olduğu için uzun levhadır ve kritik gerilme (4.35) denklemi kullanılarak

tb

D4

2

2

cra

elde edilir. Oysa enine sistemde genişlik B uzunluk ise b < B olduğu için geniş levha

zorlaması söz konusudur ve kritik gerilme (5.36) denkleminden

22

2

2

craB

b1k

tb

Dk

olarak bulunur. Bu levhanın güverte kaplaması olduğu varsayılırsa B/b ~ 6 alınabilir

ve k’ ~ 1 olur ve kritik gerilme değeri

tb

D2

2

cra

olarak hesaplanır. Bu değerlerden hemen boyuna sistemin burkulmaya karşı dört kat

daha mukavim olduğu kolaylıkla görülebilir. Örneğin derin kemereler arası mesafesi

2.1 m derin tulaniler arası mesafesi 2.8 m olan 10 mm kalınlığındaki bir güverte

levhası 700 mm aralıklarla takviye edilecek olsun. Standart gemi inşa saçı (E = 210

kN/mm2, = 0.3) kullanılırsa

19230)3.01(12

10210D

2

3

kN.mm

olacağından kritik gerilme değeri boyuna sistemde

120

15510700

1923042

2

cra

N/mm

2

ve enine sistemde

4810700

192302

2

cra

N/mm

2

olur.

Görüldüğü gibi enine sistemde oldukça düşük bir kritik gerilme değeri söz konusudur

ve emniyet gerilmesi 230 N/mm2 civarında olan bu levhanın eğilme sonucu

kırılmasından çok evvel burkulur. Boyuna sistemde kritik gerilme çok daha yüksek

olmasına rağmen o halde bile eğilme sonucu kırılma meydana gelmeden önce

burkulma ortaya çıkar.

5.4.3 Yüklü Kenarları Basit Mesnetli Levhaların Burkulması

Buraya kadar uzun levhaların burkulmasını sadece kenarları serbest mesnetli plaklar

için ele aldık. Gerçekte gemilerde kenarları serbest mesnetli levhalara çok nadir

rastlanır. Bu bakımdan farklı sınır koşullarını da ele almak gerekir. İlk olarak yüklü

kenarları basit mesnetli yüklenmemiş kenarları ise ankastre mesnetli levhaları

inceleyelim. Bu sınır koşullarını sağlayan levha çözümünü

m

ma

xmSinyf)y,x(w (5.37)

şeklinde yazabiliriz ve bu çözüm basit mesnetli kenarlarda sınır koşullarını sağlar. Bu

çözümü (5.34) denkleminde yerine koyarsak fm(y) için

0fa

m

D

p

a

mf

a

m2f

2

x

42

ıv

adi diferansiyel denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümü

42

x

42

x

4321

a

m

a

m

D

p

a

m

a

m

D

p

ySinCyCosCyShCyChCf

şeklindedir ve denklemdeki sabitler

0y

w0wby0

y

w0w0y

sınır koşullarını sağlayacak şekilde hesaplanır. Bu koşullar bize

0

0

0

0

C

C

C

C

bCosbSinbChbSh

bSinbCosbShbCh

00

0101

4

3

2

1

homojen bir lineer denklem sistemi verir ve C katsayılarının sıfırdan farklı bir çözümü

olabilmesi için sistemin determinantının sıfır olması gerekir. Buradan

0bbShSinbbChCos12

(5.38)

denklemi elde edilir. Bu denklemde ve değerlerini Nx’e bağlı olduğu ve Nx’in

2

2

axb

Dktp

121

şeklinde verilebileceği göz önüne alınırsa m, b ve a değerleri bilinen bir levha için

kritik gerilme katsayısı k (5.38) denkleminin çözümünden elde edilir. Bu denklemin

analitik olarak çözülmesi mümkün değildir ve bu nedenle çözümü sayısal olarak

aramak gerekir. Değişik yan oranları ve m sayıları için bu hesaplar yapılarak Şekil

4.20’de verilmiştir. Burada da geniş levhalar için sadece ilk modda burkulma söz

konusudur ve bu nedenle dikkatli olmak gerekir.

Şekil 5.20: Yüklü kenarları basit mesnetli yüksüz kenarları ankastre mesnetli

levhalarda kritik gerilme katsayısı değişimi

Şekil 5.20’den görüldüğü gibi gerilme katsayısının karakteri serbest mesnetli levhalar

için elde edilen gerilme katsayısı karakterine benzerlik göstermektedir ve her mod için

minimum gerilme katsayısı 6.97 değerine ulaşmaktadır. Buradan kritik burkulma

gerilmesini

tb

D97.6

2

2

cra

olarak belirleyebiliriz.

5.4.4 Yüklü Kenarları Ankastre Mesnetli Levhaların Burkulması

İkinci olarak yüklü kenarları ankastre mesnetli levhaları inceleyelim. Burada yükün y

doğrultusunda etki ettiğini ve yükün etki etmediği kenarların da ilk olarak basit

mesnetli olduklarını varsayalım. Bu durumda da sınır koşullarını sağlayan levha

çözümünü (5.37) şeklinde yazabiliriz. Etki eden kuvvet y doğrultusunda olduğu için

çökmelerin sağlaması gereken denklem

2

2y

4

4

22

4

4

4

y

w

D

N

y

w

yx

w2

x

w

olacaktır. Ankastre mesnetlerde sınır koşulları ise mesnetteki yatay kuvvetler

nedeniyle kesme kuvvetinin ve eğilme momentinin yok olması sonucu

2

by

y

w

a

mk

y

w

D

N

yx

w2

y

w

2

by0

x

w

y

w

2

m

y

2

3

3

3

2

2

2

2

şeklinde verilirler. Bu denklemde w için (4.37) tanımını kullandığımızdan fm(y) için

0fa

mf

a

m2kf

42

mıv

denklemini elde ederiz. Burada Ny kuvveti

Da

mktN

2

may

olarak tanımlanmıştır. Sınır koşulları da

122

2

by0fk2

a

mf

2

by0f

a

mf

mm

2

m

m

2

m

şeklini alır. Diferansiyel denklemin çözümü için f(y) = e koyarak için

0a

m

a

m2k

4

2

2

m4

karakteristik denklemini elde ederiz. Buradan denklemin köklerini

22

k

2

k1

2

k

a

m

22

k

2

k1

2

k

a

m

mmm4,3

mmm2,1

(5.39)

şeklinde buluruz. Çözümün şekline geçmeden önce köklerin karakterine bakmakta

yarar vardır. Kökler km < 4, km = 4 ve km > 4 için üç ayrı karakter gösterir. Birinci

halde ikinci kök içerisindeki sayı sıfırdan küçük olacağı için kök içerisinde sanal bir

sayının ortaya çıkmasına neden olur ve bu kökleri doğrudan kullanmayı zorlaştırır. Bu

nedenle kökleri tekrar düzenlemekte yarar vardır. Burada

ixy2yxibaiyxiba 22

ilişkisi göz önüne alınırsa ve ’yı

4

k

a

m

4

k1

a

m mm

şeklinde tanımlamak suretiyle kökleri

ii4,32,1

olarak yazabiliriz. Yükün ve sınır koşullarının simetrisini de göz önüne alarak çözümü

yySinShCyyCosChC)y(f 21n

şeklinde yazabiliriz. Sabitleri belirlemek için y = b/2’de sınır koşullarını

uyguladığımızda

0

0

C

C

2

bCos

2

bBSh

2

bSin

2

bChA

2

bSin

2

bChB

2

bCos

2

bShA

2

bCos

2

bBCh

2

bSin

2

bASh

2

bSin

2

bBSh

2

bCos

2

bACh

2

1

homojen lineer denklem sistemini elde ederiz. Burada A, A’, B ve B’

1a

mB

4

k1k

a

mB

1a

mA

2

k1

a

mA

2

mm

2

2

m

2

şeklinde tanımlanmıştır. Bu sistemin trivial olmayan bir çözümünün var olabilmesi

için matrisin determinantı sıfır olmak zorundadır. Buradan karakteristik denklem için

0a2

kbmSin1kk4

a2

k4bmShk13k

m2

mm

m

mm

elde edilir. Bu denklemin çözümü olan km değerleri yan oranına bağlı olarak

antisimetrik burkulma gerilmesi katsayısını verir. Kritik gerilmenin tanımından en

123

küçük gerilmenin m = 1 için elde edileceği açıkça gözükmektedir ve bu hal için

asimetrik kritik gerilme katsayısı Şekil 5.21’de verilmiştir.

İkinci hakde km = 4 olur ve bu durumda kökler

a

m

a

m4,32,1

olarak belirlenir. Burada kökler katlı kök olduğu için fm(y)

ya

myCosCy

a

mCosCy

a

mySinCy

a

mSinC)y(f 4321n

şeklinde olmak durumundadır. Bu sistemde de yük ve sınır koşullarının simetrisi

nedeniyle C1 ve C4 katsayıları sıfır olarak alınabilir ve y = b/2’deki sınır koşullarından

C2 ve C3 katsayıları için

0

0

C

C

a2

bmSin1

a

bm

a2

bmCos1

a2

bm

a2

bmSin1

a2

bmCos1

a

bm

a2

bmSin1

a2

bm

a2

bmCos2

3

2

homojen denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin de çözümünün var olabilmesi için

gerek koşuldan karakteristik denklem de

01a2

bm

a

bmSin3

şeklinde elde edilir. Bu denklem kritik gerilme katsayısı belli olduğu için sadece bu

katsayının oluşabilmesi için geçerli olan koşulları vermektedir.

Şekil 5.21: Yüklü kenarları ankastre mesnetli yüksüz kenarları basit mesnetli

levhalarda kritik gerilme katsayısı değişimi

Son hal ise km > 4 hali olup bu durumda (3.162) denklemleri ile verilen köklerin

hepsinde ikinci kök içindeki terim daima pozitif olur ve kökleri olduğu gibi

kullanmak mümkündür. Bu durumda

2

2

k

2

k1

2

k

a

m2

2

k

2

k1

2

k

a

m mmmmmm

tanımlarını yaparsak fm(y)’yi

yySinCySinC)y(f 21n

124

şeklinde ifade edebiliriz. Burada da yükün ve sınır koşullarının simetrisi göz önüne

alındığı için sınır koşullarını sadece y = b/2’de yazmak yeterli olur. Sınır koşulları

uygulandığında C1 ve C2 katsayıları için

0

0

C

C

2

bSinQ

2

bCosQ

2

bSinP

2

bSinP

2

1

21

21

homojen denklem sistemi elde edilir. Burada P1, P2, Q1 ve Q2

2

m3

2

2

22

2

m3

1

2

21

a

mk2Q

a

mP

a

mk2Q

a

mP

olarak belirlenmektedir. Bu sistemin de çözümünün var olabilmesi için gerek

koşuldan karakteristik denklem de

0a2

bmCos

a2

bmSin

a2

bmSin

a2

bmCos

2222

şeklinde elde edilir. Bu denklemin çözümünden elde edilen kritik burkulma katsayısı

çeşitli yan oranları için Şekil 5.22’de verilmiştir.

5.4.5 Kenarları Farklı Şekilde Mesnetli Levhaların Burkulması

Buraya kadar ele alınan burkulma problemlerinde daima karşılıklı kenarların aynı

şekilde mesnetlenmiş olduğunu varsaydık. Bu durum gemi veya açıkdeniz yapılarında

simetriyi korumak amacıyla çok yaygın olarak uygulanan bir sistemdir. Ancak bazı

hallerde bu tip simetri mümkün olmadığı için karışık sınır koşullarının kullanılması

olasılığı doğar. Ayrıca bu noktaya kadar kenarları tamamen ankastre mesnetli

levhaları da ele almadık. Bu bölümde daha genel sınır koşullarını ele alacağız. Ancak

bu problemlerde izlenecek çözüm yöntemleri daha evvelce ele alınan örneklerde

izlenen yol ile aynı olmakla birlikte matematik işlemlerdeki karmaşıklıklar nedeniyle

ayrıntılı olarak incelemeye olanak tanımamaktadır. Dolayısı ile sonuçlar sadece özet

olarak ele alınacaktır.

Değişik kenarlarda farklı sınır koşullarının uygulanması sonucu elde edilen sonuçlar

Şekil 5.22’de özetlenmektedir. Şekil 5.22a’da yüklü kenarları basit veya ankastre olan

levhalar için diğer kenarlarda değişik koşulların uygulanmasının etkileri

incelenmektedir. Bu sonuçlar incelendiğinde ankastre kenar sayısı arttıkça kritik

gerilme katsayısının da arttığı görülmektedir. Yani levhaların kenarlarını ankastre

yapmak suretiyle burkulmayı geciktirmek mümkündür. Ayrıca ankastre kenar sayısı

arttıkça kritik gerilme katsayısı yan oranının küçülmesine bağlı olarak hızla

artmaktadır ve ancak yan oranının çok daha büyük değerleri için asimptotik değerlere

ulaşır. Sonuçlardan yüklü kenarların mesnetlenme şeklinin asimptotik değeri çok

etkilememekte ve bu etki sadece zorlanmayan kenarların mesnetlenme koşullarına

bağlıdır. Asimptotik değerler de şeklin sağ kenarında verilmiştir.

Gemi levhalarının mesnetleri genellikle boyuna ve enine giden takviye

elemanlarından oluşmaktadır ve bu mesnetleri tamamen ankastre olarak kabul etmek

doğru olmaz. Gerçekte bu mesnetler dönmeye karşı belirli ölçüde kısıtlama getiren

elastik ankastre mesnetlerdir. Bu mesnetlerin ankastrelik mertebesi

yCD

b

125

dönmeyi kısıtlama katsayısı ile verilirler. Burada b yüklü kenarın uzunluğu, D

levhanın rijitliği ve Cy de dönme sertliğidir. Dönme sertliği kenara uygulanan Me

momentine ve bu momentin kenarda oluşturduğu dönmesine bağlıdır ve

ey

MC

şeklinde verilir. Beich bu tanımlardan yararlanarak dönmeyi kısıtlama sayısının levha

boyutları ve mesnet takviyelerinin atalet karakteristikleri cinsinden

6.2

J

b

Id

bt

a272

22

23

olarak hesaplanabileceğini göstermiştir. Burada a, b, t sırasıyla levhanın yüksüz ve

yüklü kenarlarının uzunluğu, kalınlığı, d, I, J de sırasıyla takviyenin derinliği, eğilme

ataleti ve burulma ataletidir.

Şekil 5.22: Değişik şekilde mesnetlenmiş levhalarda kritik gerilme katsayısı değişimi

Elastik ankastre mesnetler için ankastrelik mertebesine bağlı olarak kritik gerilme

katsayısı k Şekil 4.22b’de verilmektedir. Bu değerler karşılıklı kenarların aynı

ankastrelik mertebesinde olması halinde verilmiş değerlerdir ve karşılıklı kenarların

farklı ankastrelik mertebesine sahip olması halinde geçerli olmazlar. Ancak karşılıklı

mesnetlerin farklı ankastrelik değerine sahip olması halinde her iki ankastrelik

mertebesi için k1 ve k2 kritik gerilme katsayısı belirlenerek k = (k1k2)1/2

şeklinde

hesaplanan kritik gerilme katsayısı kullanıldığında mühendislik açısından yeterli

hassasiyet sağlanmaktadır.

5.4.6 Levhalarda İki Eksenli Burkulma

İki eksen doğrultusunda düzlem içi basınç yükü olması halinde kritik yük durumu

biraz daha karmaşık bir hal alır. Tek eksenli basınç halinde daima levha boyunu

basınç doğrultusunda almaktaydık. İki eksenli basınç yüklemesinde ise böyle doğal

bir seçenek yoktur ve iki basınç yükünden birini asal gerilme olarak seçmek gerekir.

Bu seçim tamamen keyfi olup asal gerilmenin en büyük gerilme olmasını gerektirmez.

Bir kez asal doğrultu seçildikten sonra bu doğrultu boy olarak belirlenmiş olur ve ax

asal gerilmesinin doğrultusunu da x doğrultusu olarak kabul ederiz. İki eksenli

burkulma probleminde = a/b yan oranı ile ilgili bir sınırlama yoktur ve herhangi

126

bir değer olabilir. Burada levhaya x ve y doğrultularında etki eden Nx ve Ny kuvvetleri

olduğu göz önüne alınırsa (5.32) denkleminden w(x,y) çökmeleri için

2

2y

2

2x

4

4

22

4

4

4

y

w

D

N

x

w

D

N

y

w

yx

w2

x

w

(5.40)

denklemini elde ederiz. Kenarları basit mesnetli bir levha için çökmeleri (5.23)

denklemi ile gösterebiliriz ve bu gösterilimi (5.40) denklemine yerleştirirsek

m nmn

2y

2

x

m nmn

222

b

ynSin

a

xmSinW

b

n

D

p

a

m

D

p

b

ynSin

a

xmSinW

b

n

a

m

elde ederiz. Daha evvelce de kullandığımız matematik teorem yardımıyla buradan ax

ve ay gerilmelerinin bileşimi için

tb

D4n

a

mb

4

1n

a

mb2

2

cra

2

2

2

2

cra

ay2

cra

ax

(5.41)

elde ederiz. Bu denklem bize incelemekte olduğumuz levhanın burkulup

burkulmayacağını ve burkulursa hangi modda burkulacağını gösterir. Levha ve

zorlamalar belli olduğunda ax, ay (a)cr, b ve a bilindiği için çeşitli m ve n değerleri

için denklemin sağ ve sol taraflarını hesaplamak mümkündür. Eğer gerilme

oranlarının olduğu sağ taraf daha büyük ise bu burkulma meydana geleceğini gösterir.

Örneğin bir levhada ax, (a)cr/2, ax, = ay ve yan oranı = 3 olarak belirli ise m =

1, n = 1 için sağ taraf 1.06 sol taraf ise 0.31 olarak hesaplanırlar. Bu durumda

burkulma ortaya çıkacak demektir. Aynı levhada yan oranı = 0.75 ise sağ taraf 1.89

sol taraf ise 1.93 olarak bulunurlar. Levhanın yan oranını azaltmakla yani levhanın

boyunu uzataması sonucu burkulma gerilmesinin daha yüksek değere çıktığı

görülmektedir.

Şekil 5.23: Değişik yan oranlarında iki eksenli burkulma diyagramları = 0.3

127

Yukarıdaki iki örnekte de burkulmanın olup olmadığına karar vermek için sadece m =

1 ve n = 1 hallerini göz önüne aldık. Genelde burkulma çoğu zaman ilk moda ortaya

çıkar ancak bu kesin bir kural değildir ve m ile n için farklı değerler de kullanılarak

kontrol yapılmalıdır. Örneğin ax, (a)cr/2, ax, = 4ay ve yan oranı = 0.5 olarması

halinde m ve n değerleri 1 iken sağ taraf 6 sol taraf ise 6.25 olur ve burkulma olmaz.

Oysa n = 2 halinde sağ taraf 18 sol taraf ise 16 değerlerini almaktadır ve burkulma

meydana gelir. Bu nedenle m ve n değerlerini değiştirerek birçok hal için kontrol

yapmak gereklidir. Bu amaçla çeşitli Poisson oranlarında ve çeşitli hesaplar

yapılarak iki eksenli burkulma karakteritiklerini veren diyagramlar hazırlanır. Şekil

5.23’te = 0.3 için hazırlanmış olan iki eksenli burkulma karakteritikleri diyagramı

verilmiştir. Bu diyagramda yan oranının artmasıyla levhanın burkulmasının

kolaylaştığı açıkça gözükmektedir.

Buraya kadar sadece kenarları serbest mesnetli levhaları ele aldık. Kenarlarda

mesnetlenme şekilleri değiştikçe bu diyagramlar da farklı şekiller alacaktır. Ancak

serbest mesnetler dışında bu hesapların yürütülmesi ve (5.41) gibi analitik ifadelerin

elde edilmesi çok güçtür. Bu nedenle hesaplarda kullanılmak üzere hazırlanmış

diyagramlardan yararlanılır. Böyle bir diyagram ax gerilmelerinin uygulandığı

kenarları basit mesnetli ay gerilmelerinin uygulandığı kenarları ankastre mesnetli

levhalar için Şekil 4.24’de verilmiştir. Bu diyagramda çeşitli ay/ax gerilme oranları

için k hal katsayısının değişimi

a2

bmM

mod parametresine bağlı olarak gösterilmektedir. Herhangi bir gerilme oranı için

kritik burkulma gerilmesi katsayısı bu fonksiyonun minimum değeridir ve burkulma

bu değere karşı gelen modda oluşur. Örneğin gerilme oranının -1/2 olması halinde

kritik burkulma katsayısı kcr = 9.3 ve mod parametresi M2 = 8.5 olarak belirlenir. Bu

değerler kullanılarak kritik burkulma gerilmesi ve yan oranına bağlı olarak burkulma

modu hesaplanır. Burada gerilme oranının negatif olması ay gerilmesinin çekme

olduğunu göstermektedir.

Şekil 5.24: ax kenarları basit mesnetli ay kenarları ankastre mesnetli levhalar için

burkulma sabitinin değişimi

128

Kenarları ankastre levhaların da iki eksenli burkulma hallerinde kritik gerilme

hallerine ait çözümler oldukça karmaşıktır. Ancak levhaların iki doğrultuda birbirine

yakın basınç gerilmelerine maruz kalması halinde kritik gerilme halinin

23

3

b

tE2.1 2

2

2

cray2

ax

formülü yardımıyla hesaplanabileceğini göstermek mümkündür.

5.4.7 Levhaların Düzlem İçi Eğilmesi

Tek eksenli burkulmayı göz önüne alırken karşılıklı kenarlara etki eden gerilmeyi

daima kenar boyunca sabit aldığımızdan ortaya çıkan sadece burkulma durumudur.

Oysa birçok halde, örneğin güverteden dibe kadar değişen gerilmelerin etkisindeki

bordo saçlarında ve daha birçok yerlerde, levha kenarlarına etki eden gerilmeler kenar

boyunca lineer değişim gösterir. Bu değişimi

20b

y1,y b

şeklinde ifade edebiliriz. Burada b referans gerilmesi, da bir parametredir ve = 0

için basit basınç hali = 1 için de sadece düzlem içi simetrik eğilme hali ortaya çıkar.

Aradaki değerler için ise simetrik olmayan düzlem içi eğilme hali ortaya çıkar.

Düzlem içi gerilme halinde kritik gerilme değerlerini hesaplamak için

tb

Dk

2

2

bcrb

formülü kullanılır ve buradaki kritik burkulma katsayısı kb için hesap yapmak oldukça

güç olduğundan bazı yaklaşık formüller geliştirilmiştir. Bunlardan en yaygın olarak

kullanılan bazıları şu şekilde verilmektedir:

Kenarları basit mesnetli levhalar

9.23k3/2b/ab

a6.18

a

b87.187.15k3/2b/a

b

22

b

Kenarları ankastre mesnetli levhalar

8.41k1b/a b

Yüksüz kenarları ankastre, yüklü kenarları serbest mesnetli levhalar

40k4.0b/a b

Ayrıca simetrik olmayan hallerde asimetrinin ölçüsü olan katsayısına bağlı olarak kb

katsayısı

45k3/2b/a 2b

şeklinde hesaplanabilir.

Şekil 5.25: Düzlem içi eğilme hali ve burkulmanın oluşum şekli

Levhaların düzlem içi eğilmesi sırasında burkulma boyu oldukça kısa olur ve serbest

mesnetli levhalarda bu boy 2b/3 değerindedir. Burkulma diğer hallerden farklı olarak

129

sadece levhanın ortaya çıkar (Şekil 5.25). Bunun nedeni levhanın yarısı basınca

zorlanırken diğer yarısı çekmeye zorlanmaktadır ve çekme zorlanması sonucu

burkulmanın oluşması olanaksızdır.

5.4.8 Levhaların Düzlem İçi kayması

Gemilerrin bordo saçlarında gemilerin kiriş gibi eğilmesi sırasında ortaya çıkan levha

kenarı boyunca değişken normal gerilmenin yanısıra kesme kuvvetleri sonucu kayma

gerilmeleri de oluşur. Bu kayma gerilmeleri de burkulmaya neden olabilirler ve

dikkate alınmaları gerekir. Levhaya sadece kesme kuvveti Nxy = t etki ettiği

düşünülürse (5.32) denkleminden çökmeler için

yx

w

D

t2

y

w

yx

w2

x

w 2

4

4

22

4

4

4

elde edilir. Ancak denklemin sağ tarafının getirdiği karmaşıklık nedeniyle çözümü

uygun olmaz ve enerji yöntemini kullanmakta yarar vardır. Kenarları basit mesnetli

bir levhayı göz önüne alalım. Zorlamalar altında levhada oluşan şekil değiştirme

enerjisi

m n

2mn

2

2

2

2

24

a

0

b

0

22

2

2

2

22

2

2

2

2

Wb

n

a

m

8

Dab

dydxyx

w

y

w

x

w12

y

w

x

w

2

DU

olarak elde edilir. Bu deformasyon enerjisinin oluşmasına neden olan kesme

kuvvetinin yaptığı iş de

m n j kmnjk2222xy

a

0

b

0xy

WWnkjm

jkmnN4dydx

y

w

x

wNW

şeklinde verilir. Kuvvetlerin yaptığı işin tamamen deformasyon enerjisine dönüştüğü

hatırlanırsa Nxy

m n j kmnjk2222

m n

2mn

2

2

2

2

2

xy

WWnkjm

jkmn

Wb

n

a

m

32

DabN

olarak bulunur. Kayma gerilmesinin kritik değeri kesme kuvvetinin minimum olduğu

noktada ortaya çıktığından

0W

N

mn

xy

koşullarından homojen bir lineer denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümünün

olabilmesi için katsayılar determinantının sıfır olması gerekir. Bu da bize kritik kayma

gerilmesinin sağlaması gerekli bir koşul verir. Bu işlemler oldukça karmaşıktır ve kaç

tane Wmn katsayısı kullanılacağı çözümün yakınsamasına bağlı olur. Sadece iki terim

alarak yapılan hesaplarda kritik kayma gerilmesi

tb

D

32

192

2

2

22

cr

olarak bulunur. Burada kayma gerilmesinin hem pozitif hem de negatif değer

alabilmesi burkulmanın kayma gerilmesinin işaretinden bağımsız olduğunu

göstermektedir. Bu değer yan oranının çok büyük olmadığı hallerde (a/b < 1.5) iyi bir

130

yakınsama gösterir. Ancak yan oranının daha büyük değerleri için çok daha fazla

sayıda terim almak gerekir. Bu durumda kritik kayma gerilmesi

tb

Dk

2

2

cr

şeklinde gösterilirse değişik yan oranları için hesaplanmış olan çeşitli kritik kayma

gerilmesi katsayıları Tablo 4.1’de verilmiştir.

a/b 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.5 3 4

k 9.34 8 7.3 7.0 6.8 6.6 6.1 5.9 5.7

Tablo 4.1: Değişik yan oranları için kritik kayma gerilmesi katsayıları

Levha boyu uzadıkça tam çözüm bulmak iyice zorlaşmakta olup yukarıda anlatılan

yöntemi kullanmak oldukça zorlaşır. Yaklaşık yöntemler yardımıyla sonsuz

uzunluktaki bir levha için k = 5.35 değeri elde edilmiş ve k değerini hesaplanan başka

noktaları da kullanarak

2

a

b435.5k

parabolü ile göstermek olanaklıdır. Ankastre mesnetli levhalarda bu parabol

2

a

b6.518.8k

şeklinde verilir. Bu yaklaşık formüller ile serbest mesnetli levhalar için hesaplanan

değerler Şekil 5.26’da karşılaştırılmıştır.

Şekil 5.26: Kritik kayma gerilme katsayısının değişimi

4.4.9 Levhalarda Düzlem İçi Bileşik Etkiler: EtkileşimFormülleri

Gemilerdeki levhaların zorlama şekillerinden sadece birisine maruz kalması çok

enderdir hatta böyle durumlarla hemen hemen hiç karşılaşılmaz. Gemideki herhangi

bir levha bu zorlamaların en az iki tanesine birlikte maruz kalır. Örneğin dolu

döşekler hem iki eksenli basınç yüküne hem de düzlem içi kayma gerilmesine maruz

kalırlar. Gemi bordosu hem düzlem içi kayma gerilmesine hem düzlem içi eğilmeye

hem de basınç yüküne maruz kalır. İlk anda gerilmeleri etkili olan her hal için kontrol

etmenin yeterli olabileceği düşünülebilir. Ancak her zorlama hali için diğer zorlama

hallerinin de etkili olacağı ve bileşik hallerde kritik gerilme durumunun değişeceğini

görmek mümkündür. Bu durumda incelemeyi bütün zorlama hallerini birlikte alarak

yapmak gerekir.

Bu tip problemleri ele almanın en uygun yönü etkileşim formülleri oluşturmaktır. Bu

etkileşim formüllerinde değişken olarak herhangi bir zorlama türünün gerilmesi o türe

131

ait kritik burkulma gerilmesi ile boyutsuzlaştırılarak ele alınır. Örneğin Ra eksenel

basınç için burkulma oranı ise bu

cra

aaR

şeklinde tanımlanmıştır. Burada a levhaya etki eden basınç gerilmesi (a)cr de uygun

sınır koşulları için tanımlanmış basınç burkulmasının kritik gerilmesidir. Benzer

şekilde srasıyla kayma, düzlem içi eğilme ve iki eksenli basınç burkulmaları için Rs,

Rb, Rx ve Ry burkulma oranları

cray

ay

y

crax

axx

crb

bb

cr

as RRRR

olarak tanımlanmıştır.

Eğer bu zorlamalardan sadece bir tanesi mevcut ise burkulma bu oranın 1 değerine

erişmesiyle ortaya çıkar. Ancak birden fazla zorlama etki ettiği takdirde her iki oran

da birden küçük değer aldığı halde burkulma ortaya çıkabilir. Etkileşim ilişkileri ilgili

oranların bir bileşimi olup 1 değerine eşit olduğunda burkulmanın meydana geleceğini

gösteren fonksiyonlardır. İki bileşenli problemlerde bu bir düzlemsel eğriye, üç

bileşenli problemlerde bir üç boyutlu yüzeye daha fazla bileşenli problemlerde ise bir

hiperyüzeye karşı gelir. Bu eğrinin iç kısmında burkulma meydana gelmez ama dış

kısmında levha burkulmaya maruz kalır.

Bileşik hallere ait etkileşim formüllerini analitik olarak elde etmek oldukça karmaşık

bir iştir ve çok fazla zaman almaktadır. Hatta çoğu zaman sayısal yöntemlerle dahi

hesap yapmak sorun yaratmaktadır. Bu nedenle etkileşim formülleri deney

sonuçlarının analizi yardımıyla ampirik formüller halinde elde edilirler. Burada bazı

özel haller için sonuçlar verilecektir.

Tek eksenli basınç ve düzlem içi eğilme hali

1RR 75.1ba

Tek eksenli basınç (veya çekme) ve kayma gerilmesi hali

1b/aRR6.1

b/a6.01

1b/a1RR

2sa

2sa

Kayma gerilmesi ve düzlem içi eğilme hali

2/1b/a1RR 2b

2s

İki eksenli basınç, düzlem içi eğilme ve kayma gerilmesi

1b/a1R1

R

R1

R1R625.01

Ra/b6.01625.0

x

2s

2

x

2b

x

y

Bu formüller yardımıyla herhangi bir levhanın maruz kalacağı yükler altında burkulup

burkulmayacağı ve gerektiğinde yeniden boyutlandırma yapılabilir.

5.4.10 Levhalarda Burkulma-Eğilme Etkileşimi

Gemilerdeki levhaların, özellikle güvertelerin düzlem içi yüklerle birlikte düzleme dik

yüklere de zorlanması çokça rastlanan bir sorundur. Düzleme dik yükler normal de

düzlem içi yükler de levhada normal gerilmelerin ortaya çıkmasına neden olurlar ve

iki zorlama durumunun birlikte oluşması zorlamaların etkileşerek ayrı ayrı

etkilerinden daha kritik bir durum yaratması muhtemeldir.

132

Bu nedenle bu konuyu ayrıca incelemek gerekir. Kirişlerde benzer problemi

incelerken düzleme dik doğrultudaki yüklerin kritik burkulma gerilmesine

ulaşılmasında katkısı olmakla birlikte burkulmanın ortaya çıkması ayni değerde

olmaktadır. Oysa levhalarda düzleme dik yükler kritik gerilmeye ulaşmayı

hızlandırmakla birlikte burkulmanın oluşma şeklini de etkiler. Şekil 5.27’de bu

farklılık gösterilmektedir. Kirişlerde burkulma her zaman kritik gerilmeye ulaşılırken

ortaya çıkmakta ama levhalarda çoğu zaman burkulma ortaya çıkmadan kritik gerilme

aşılabilir. Bunun nedeni levhanın düzlemine dik olarak gelen yüklerin yarattığı

gerilmeler levhanın kenarlarına doğru bu gerilmeleri yayıp mesnetlere aktarabilirler.

Oysa bu durum kirişler için söz konusu değildir.

Şekil 5.27: Levha ve kirişlerde kritik burkulma gerilmesi ve burkulmanın ortaya çıkışı

Levhalarda burkulma ile eğilmenin etkileşiminde gerilmelerin mertebesine bağlı

olarak birbirinden farklı iki tip problem ortaya çıkar. Düzlem içi basınç gerilmesi

a’nın kritik gerilmeye kıyasla oldukça küçük olması halinde (a <<acr ) eğilme

gerilmesinin karakterini değiştirmeksizin büyütücü rol oynar. Bu durumda kritik

gerilme değeri daha büyük bir değer alır ve levha bu değere asimptotik olarak yaklaşır

(Şekil 5.27a). Düzlem içi basınç gerilmesi a’nın kritik gerilmeyle aynı mertebeye

ulaşmasıyla problemin karakteri tamamen değişir ve levhanın davranışı kritik denge

durumuna ulaşır. Yüklemenin karakterine bağlı olarak levha iki tip burkulma

sergileyebilir. Birinci tip burkulma kararlı burkulmadır ve bir önceki halde olduğu

gibi asimptotik olarak daha yüksek bir kritik gerilme haline ulaşır. Bu burkulmanın bir

önceki hale kıyasla farkı burkulmanın elastik değil plastik olmasıdır. Ancak levha

mukavemetini tamamen yitirmez. Diğer olasılık ise burkulmanın karasız olarak

meydana gelmesidir. Bu halde kritik gerilme değeri aşıldıktan sonra gerilme değeri bir

süre daha artmaya devam eder ancak daha yüksek bir gerilme değerine asimptotik

olarak ulaşmak yerine aniden ve hızla azalarak kritik gerilme değerine doğru

gerileyerek plastik burkulmaya maruz kalır. Bu halde çok kısa zamanda levha eğilme

yükü altında mukavemetini tamamen yitirerek göçer. Bu bölümde biz sadece ilk hali

göz önüne alacağız.

Kalınlığı t olan bir levhaya tarafsız düzlemine dik doğrultuda p(x,y) basıncının ve x

doğrultusunda a gerilmesinin etki ettiğini varsayacak olursak levhada meydana gelen

çömkmelerin

2

2

a4

4

22

4

4

4

x

wtp

D

1

y

w

yx

w2

x

w

denklemi ile verileceği kolaylıkla görülebilir. Bu denklemin çözümünü elde etmek,

özellikle değişik sınır koşulları için, bir hayli karmaşıktır. Problemi enerji dengesini

ele alarak incelemek daha kolay olduğu için probleme Ritz yöntemini uygulamak

daha uygun olur.

133

Uygulanan yükler altında levhada biriken deformasyon enerjisi

2

a

2

a

2

b

2

b

dydxyx

w

y

w

x

w12

y

w

x

w

2

DU

22

2

2

2

22

2

2

2

2

denklemiyle verilmektedir. Bu enerji levha üzerinde düzlem içi ve düzleme dik

doğrultuda etki eden kuvvetlerin yaptığı iş sonucu ortaya çıktığından deformasyon

enerjisi bu kuvvetlerin işine eşit olmak zorundadır. Burada düşey p(x,y) basıncının

levha üzerinde yaptığı iş

2

a

2

a

2

b

2

b

dydx)y,x(w)y,x(p2

1W1

olarak verilir. Düzlem içi a gerilmesinin yaptığı iş ise

2

a

2

a

2

b

2

b

dydxx

w

2

tW

2

a2

şeklinde verilir. Bu tanımlar kullanılarak enerji ve işin denkliği göz önüne alınırsa

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

dydxx

w

2

tdydx)y,x(w)y,x(p

2

1

dydxyx

w

y

w

x

w12

y

w

x

w

2

D

2

a

22

2

2

2

22

2

2

2

2

(5.42)

denklemini elde ederiz. Ritz yöntemini uygulayabilmek için çökmelerin karakterine

uygun ve sınır koşullarını sağlayan yaklaşık bir çözüm şekli önermek gerekir. Değişik

sınır koşulları için aşşağıdaki fonksiyonlar uygundur.

b

yCos

a

xCosw)y,x(w o

Kenarları basit mesnetli

b

y2Cos1

a

x2Cos1w)y,x(w o Kenarları ankastre mesnetli

b

y2Cos1

a

xCosw)y,x(w o Kenarları karışık mesnetli

Bu tanımlar kullanıldığında enerji denklemindeki ikinci terim daima sıfır olur. Yani

0dydxyx

w

y

w

x

w2

a

2

a

2

b

2

b

22

2

2

2

2

yazabiliriz. Böylece sağlanması gereken (5.42) koşulunu

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

dydxx

wtpwdydx

y

w

x

wD

2

a

2

2

2

2

2

(5.43)

haline indirgeyebiliriz. Bu denklemde a = 0 yazarak sadece eğilme hali için bir w

çökmesini hesapladığımızı düşünelim. Bu durumda iken levhaya a << (a)cr düzlem

içi basıncının etki ettiğini ve levhanın çökmelerini w olduğunu düşünelim. Burada

düzlem içi gerilme kritik gerilmeden çok küçük olduğu için çökmelerin karakterinin

değişmeyeceğini ve > 1 olmak üzere sabit bir sayı olacağını varsayıyoruz. İlk halde

(5.43) denklemi

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

pwdydxdydxy

w

x

wD

2

2

2

2

2

(5.44)

134

iken ikinci halde

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

dydxx

wtpwdydx

y

w

x

wD

2

a

2

2

2

2

22

şeklini alır. Bu denklemden büyütme faktörü için

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

dydxx

w

D

tdydx

y

w

x

w

dydxy

w

x

w

2

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(5.45)

elde edilir. Bu denklemi elde ederken p(x,y) kuvvetinin işi için (5.44) denkleminden

yararlandık. Büyüme faktörünü hesaplayabilmek için sınır koşullarına uygun çökme

fonksiyonlarından yararlanarak (5.45) tanımındaki integralleri hesaplamak gerekir.

Örneğin kenarları basit mesnetli levhalar için

2o

2

22

42

2

2

2

2

2o2

22

wb

1

a

1

4

abdydx

y

w

x

w

wa4

abdydx

x

w

2

a

2

a

2

b

2

b

2

a

2

a

2

b

2

b

bulunur. Bu değerler (4.45)’da yerine yerleştirir ve tekrar düzenlersek

tb

Dk

2

2

cra

acra

cra

elde ederiz. Burada düzenleme genellik açısından yapılmışdır ve k* kritik gerilme

katsayısı sınır koşullarına ve yan oranına bağlı olarak verilen bir değerdir. Bu değerin

serbest mesnetli levhalar için

2

a

b

b

ak

olacağı kolaylıkla gözükmektedir. Benzer şekilde kenarları ankastre levhalar için

a

b4

3

8

b

a4k

2

yüklü kenarları ankastre ve yüksüz kenarları basit mesnetli levhalar için

22

a

b42

b

a

4

3k

yüklü kenarları basit ve yüksüz kenarları ankastre mesnetli levhalar için

22

a

b

3

8

b

a

3

16k

elde edilir. Bu değerleri kullanmak suretiyle düzlem içi gerilmelerde çökmelerin hangi

değere ulaşacakları bulunur. Çökmelerin küçük olması halinde eğilme momentleri

çökmelere lineer olarak bağlı olacaklarından büyüme faktörünü eğilme momentlerinin

hesabında da kullanmak olanaklıdır. Çökmelerin levha kalınlığı mertebesinde olması

durumunda maksimum eğilme momenini sadece düzleme dik kuvvetlerin etki etmesi

halindeki maksimum Mmax eğilme momenti cinsinden

maxmax MM

olarak hesaplayabiliriz. Bu moment değerindeki hata %10 mertebesinin altında olur.

4.4.11 Stifnerlerin Levha Burkulmasına Etkisi

135

Gemilerdeki levhalar çok ender olarak stifnersiz olarak kullanılır. Geminin kiriş

modumda maruz kaldığı zorlamalar sonucu levhalarda çok büyük düzlem içi basınç

gerilmeleri ortaya çıkmaktadır. Ayrıca levhaların çok uzun olması sonucu kritik

burkulma gerilmeleri oldukça düşük olacağından kolayca burkulabilirler. Burkulma

mukavemetini artırmak için levhalara enine ve boyuna stifnerler konur. Bu

stifnerlerden boyuna stifnerlerin daha etkin olduklarını daha önce görmüştük. Burada

bu etkinin ölçüsünü belirlemeye çalışacağız. İlk olarak serbest mesnetli levhalarda

boyuna takviyelerin etkisini ele alalım. Bu tip levhalarda burkulma daima birinci

modda olur ve iki yönde de kesitler yarım sinüs eğrileri şeklinde oluşur (Şekil 5.28).

Şekil 5.28: Boyuna takviyeli levhaların burkulması

Bu durumda levhanın çökmelerini

b

ySin

a

xSinw)y,x(w o

şeklinde ifade edebiliriz. Gerçekte stifnerler nedeniyle çökmeler tam anlamıyla

sinüzoidal olmazlar ve Şekil 5.28’da B-B kesitinde kesikli çizgi ile gösterilen daha

karmaşık bir değişim gösterirler. Ancak bu farklılık mühendislik açısından ihmal

edilebilir mertebededir. Sisteme etki eden yükler levha ile birlikte takviye elemanları

üzerinde de iş yapmaktadırlar. Bu işlerden ötürü hem levhada hem de levhaya bağlı

oldukları için takviye elemanlarında şekil değiştirme enerjisi ortaya çıkar. Levhada

meydana gelen şekil değiştirme enerjisini

2o

2

22

42

2

2

2

2

wb

1

a

1

8

Dabdydx

y

w

x

w

2

D 2

a

2

a

2

b

2

b

şeklinde hesaplayabiliriz. Aynı levha üzerinde düzlem içi a gerilmesinin yaptığı iş

ise

2o

a22

a wa8

btdydx

x

w

2

t 2

a

2

a

2

b

2

b

olarak verilmektedir.

Öte yandan herhangi bir takviye elemanının deformasyon enerjisi ve düzlem içi

gerilmenin bu takviye elemanı üzerinde yaptığı iş sırasıyla

b

ySinw

a4

Adx

x

w

2

A

b

ySinw

a4

EIdx

x

w

2

EI

n22o

a22

a

n22o3

42

2

2

2

a

2

a

2

a

2

a

olarak verilmektedir. Burada yn ele aldığımız n’inci destek elemanının kenardan

uzaklığını A ve I da sırasıyla elemanın kesit alanını ve atalet momentini

göstermektedir. Eğer N adet eşit aralıklı takviye elemanı kullandığımızı varsayarsak

136

2

1N

1N

nSin

1N

nby

n

2n

olacağından destek elemanlarının toplam şekil değiştirme enerjisi ve toplam işi

2o

a2

s

2o3

4

s

wa8

A1NW

wa8

1NEIV

şeklinde belirlenir. Bu şekilde belirlenen şekil değiştirme enerjisi ve düzlem içi

kuvvetin yaptığı işin denkliğinden kritik burkulma gerilmesi için

22

22

craa

I1N

b

a1Db

btA1N2

elde ederiz. Bu kritik gerilme takviye edilmiş levhanın bir bütün olarak burkulması

için gerekli gerilmedir. Ancak bu levhanın bütün olarak burkulmamakla birlikte

takviyeler arasında kalan levhaların farklı bir kritik gerilme değerinde burkulması

mümlündür. Bu olasılığı daha evvelce ele aldığımızda iki takviye arasındaki mesafe

b’ olmak üzere kritik gerilmeyi

tb

1ND4

tb

D42

22

2

2

cra

olarak belirlemiştik. Burkulmayı önlemek açısından takviye boyutlarını ve sayısını

belirlerken bu iki gerilmeyi birbirine yakın değerler olacak şekilde belirlemek gerekir.

Yani

22

22

2

22

a

I1N

b

a1Db

btA1N2tb

1ND4 (5.46)

olmalıdır. Zira takviyeleri çok fazla seçerek toplu burkulmayı önlesek dahi yerel

burkulmayı önleyemediğimiz için bu sadece malzeme israfı ve yapının yararsız bir

şekilde ağırlaşmasına neden olur. Ele aldığımız problemde a, b, t ve D değerleri belli

olduğunu varsayarsak N, A ve I değerlerini (5.46) denklemini sağlayacak en hafif

alternatif olarak seçmek gerekir.

Enine stifnerleri ele alırken de benzer bir yol izleriz. Ancak bu problemde temelde iki

önemli farklılık vardır. Birincisi burkulmanın şekli ile ilgilidir. Enine burkulma yine

birinci modda gerçekleşmekle birlikte boyuna burkulma mutlaka birinci modda ortaya

çıkmayabilir (Şekil 5.29).

Şekil 4.29: Enine takviyeli levhaların burkulması

Gerçekte burkulma sırasında düğüm noktaları da takviyelerle aynı noktalarda

oluşmayabilirler. Ancak hesapların kolaylığı açısından böyle bir varsayım uygun olur.

137

Bu durumda M-1 takviye elemanı olduğunu ve burkulmanın M’inci modda olduğunu

varsayarak sistemin deformasyonunu

b

ySin

Ms

xSinw)y,x(w o

şeklinde yazmak uygun olur. Burada s takviyeler arası mesafedir. Burada sistemin

şekil değiştirme enerjisi boyuna takviyelerde olduğu gibi hesaplanır ve

3222

2o

4

b

EI

b

1

sM

1Dsb

8

MwV

şeklinde elde edilir.

Düzlem içi gerilmelerin yaptığı işin hesabında boyuna takviyelerin hesabında izlenen

yola kıyasla ikici bir farklılık çıkar. Boyuna takviyeler doğrudan doğruya düzlem içi

gerilmelere maruz kaldığı halde enine takviyeler düzlem içi kuvvetlere doğrudan

maruz kalmamaktadır. Bu nedenle düzlem içi gerilmeler sadece levha üzerinde iş

yaparlar ve bu Ms8

bwtW

2oa

2

olarak hesaplanabilir. Bu durumda gerilmeyi enerji ile iş arasındaki dengeden

4222

222

ab

EIs

b

1

sM

1Ds

t

M (5.47)

şeklinde hesaplamak mümkündür. Bu gerilmenin en küçük değerini veren M sayısı

burkulmanın olduğu modu ve bu moddaki a gerilmesi de kritik gerilmeye karşı gelir.

Gerilmenin en küçük değerini veren M değeri için (5.47) denkleminin M’ye göre

türevinin sıfır olması gerekir. Yani

0dM

d a

olmalıdır. Buradan M için

EIDss

DbM

3

4

elde edilir. Burada üç olasılık vardır.

M = 1 ise burkulma birinci modda olmaktadır ve kritik gerilme için (5.47)

tanımında sadece ilk terim kullanılır.

M > 1 ve m tam sayı ise düğüm noktaları takviyelere denk düşmektedir ve

kritik gerilme katsayısı (5.47) tanımın kullanılarak hesaplanır.

M > 1 ve M tam sayı değilse düğüm noktaları takviyelere denk düşmemekktedir ve

kritik gerilme katsayısı (5.47) tanımın kullanılarak hesaplanamaz.