geo posi espacial - geojeca

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria de Posioe

Geometria Espacial MtricaResumo terico e exerccios.

3 Colegial / Curso Extensivo.

Relao das aulas.

Aula 01 - Conceitos fundamentais de Geometria de Posio ...........Aula 02 - Poliedros convexos ............................................................Aula 03 - Prismas ...............................................................................Aula 04 - Pirmides ............................................................................Aula 05 - Cilindro de revoluo ..........................................................Aula 06 - Cone de revoluo .............................................................Aula 07 - Esferas ...............................................................................Aula 08 - Slidos semelhantes ..........................................................Aula 09 - Exerccios diversos sobre slidos compostos ....................

Jeca 01

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Pgina

Geometria de Posio e Geometria Espacial Mtrica.

Consideraes gerais.

Este estudo de Geometriade Posio e de Geometria Espacial Mtrica tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3 Colegial e de curso pr-vestibular. No tem a pretenso de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.

Autorizo o uso pelos cursinhos comunitrios que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e no tenham lucro financeiro com o material. Peo, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicao me dar a sensao de estar contribuindo para ajudar algum. Peo a todos, que perdoem eventuais erros de digitao ou de resoluo e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrig-los e melhorar este trabalho.

Meu e-mail - [email protected]

Um abrao.

Jeca (Lucas Octavio de Souza)

GEOMETRIA DE POSIO. A Geometria de Posio a parte da Geometria que estuda a determinao dos elementos geomtricos, bem como as posies relativas e as intersees desses elementos no espao.

1) Elementos da Geometria. a) Ponto - A, B, P, b) Reta - a, b, r, c) Plano - , , ,

2) Determinao dos elementos. 2a) Determinao de ponto. Um ponto fica determinado : I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.

II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.

2b) Determinao de reta. Uma reta fica determinada : I - Por dois pontos distintos.

II - Por um ponto e uma direo.

III - Pelo cruzamento de dois planos.

r

s

P

P

r

AB r

dire

oP

A BC

r

P

r

2c) Determinao de plano. Um plano fica determinado : I - Por trs pontos distintos no colineares.

II - Por uma reta e um ponto fora dela.

III - Por duas retas paralelas distintas.

IV - Por duas retas concorrentes.

3) Combinaes dos elementos.(dois a dois)

4) Posies relativas e intersees dos elementos dois a dois.

4a) Ponto - ponto. As posies relativas que dois pontos podem assumir so : I - Os dois pontos so coincidentes.

II - Os dois pontos so distintos.

r

s

r

s

3a) Ponto - ponto.3b) Ponto - reta.3c) Ponto - plano.3d) Reta - reta.3e) Reta - plano.3f) Plano - plano.

A B A B = A ( ou B )

AB

A B = O

Jeca 02

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)

Geometria de PosioAula 01

Conceitos fundamentais da Geometria de Posio.

4b) Ponto - reta. As posies relativas que um ponto e uma reta podem assumir so : I - O ponto est contido na reta.

II - O ponto est fora da reta.

4c) Ponto - plano. As posies relativas que um ponto e um plano podem assumir so :

I - O ponto est contido no plano.

II - O ponto est fora do plano.

4d) Reta - reta.1) Retas coplanares.

Duas retas so ditas coplanares se existe um plano que as contm.

As posies relativas que duas retas coplanares podem assumir so :

I - Duas retas paralelas coincidentes.

II - Duas retas paralelas distintas.

III - Duas retas concorrentes.

r

s

P

r s

r s = r (ou s)

r s = P

r s =

r

s O

s

P

P r s =

r

s

O

r = r

r

r

r =

r

O

r

Pr = P

P chamado detrao de r em .

III - A reta secante ou concorrente com o plano.

Retas perpendiculares.(caso particular de retas concorrentes)

Duas retas concorrentes so ditas perpendiculares se fazem entre si ngulos de 90. (no plano)

2) Retas reversas (ou no coplanares) Duas retas so ditas reversas ou no coplanares se no existe um plano que as contm.

Retas ortogonais.(caso particular de retas reversas)

Duas retas reversas so ditas ortogonais se fazem entre si ngulos de 90. (no espao)

4e) Reta - plano. As posies relativas que uma reta e um plano podem assumir so : I - A reta est contida no plano.

II - A reta paralela ao plano.

P r P r = P

OP

rP r =

PP = P

P

OP P =

Jeca 03

(GeoJeca)

Projees ortogonais (Sombra)

P

A

B

Cr

s

t

A - Projeo ortogonal de P em r.B - Projeo ortogonal de P em s.C - Projeo ortogonal de P em t.

A B

A B

C

D

C D

E

F

E = Fr

Projees ortogonais em r.

ngulo.

Distncia entre duas retas reversas. A distncia entre duas retas reversas a medida do segmento que tem extremidades nas duas retas e que simultaneamente perpendicular a essas retas.

r

sd

Distncia.

ngulo entre reta e plano. o ngulo formado entre a reta e a projeo ortogo-nal da reta sobre o plano.

P

P

ngulo entre dois planos. o ngulo formado por duas retas, uma de cada pla-no, perpendiculares interseco dos dois planos num mesmo ponto.

Interseco

Determina Existe e nicoOnde se l Entende-se

Existe umUm nico

CoincidentesDistintos Tm pelo menos um ponto diferente.

Tm todos os pontos em comum.Um e somente um.Existe pelo menos um.

Concorrentes Se cruzam.Colineares Existe uma reta que os contm.Coplanares Existe um plano que os contm.Reversos No existe um plano que os contm.

Reta perpendicular ao plano.(caso particular de reta secante ao plano)

Teorema. Uma reta perpendicular a um plano se perpen-dicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano.

4f) Plano - plano. As posies relativas que dois planos podem assumir so : I - Dois planos paralelos coincidentes.

II - Dois planos paralelos distintos.

III - Dois planos secantes (ou concorrentes)

Planos perpendiculares.(caso particular de planos secantes ou concorrentes)

Teorema. Dois planos so perpendiculares entre si se um deles contm uma reta perpendicular ao outro.

t

s

r

= (ou )

=

O

= r

r

t

Jeca 04

(GeoJeca)

038) ( ) Se duas retas no tm ponto em comum, ento elas so reversas.039) ( ) Se duas retas no tm ponto em comum, ento elas so concorrentes.040) ( ) Um ponto contido num plano divide esse pla-no em dois semi-planos.041) ( ) Uma reta secante a um plano divide essa plano em dois semi-planos.042) ( ) Se duas retas no so coplanares, ento elas so reversas.043) ( ) Se duas retas so paralelas, ento elas no tm ponto em comum.044) ( ) Duas retas paralelas a uma terceira so paralelas entre si.045) ( ) Duas retas ortogonais formam ngulo reto.046) ( ) Quatro pontos no coplanares so vrtices deum quadriltero reverso.047) ( ) As retas que contm as diagonais de um qua-driltero reverso so retas reversas.048) ( ) Se duas retas distintas no so paralelas, ento so concorrentes.049) ( ) Se trs retas so paralelas, ento existe um plano que as contm.050) ( ) Uma reta e um plano secantes tm um ponto comum.051) ( ) Trs pontos no colineares so sempre distin-tos.052) ( ) Uma reta e um plano paralelo no tm ponto comum.053) ( ) Uma reta est contida num plano quando eles coincidem.054) ( ) Se uma reta paralela a um plano, ento ela paralela a uma reta do plano.055) ( ) Se uma reta paralela a um plano, ento ela paralela a infinitas retas do plano.056) ( ) Se uma reta paralela a um plano, ento ela paralela a todas as retas do plano.057) ( ) Se uma reta paralela a um plano, ento ela reversa a uma reta do plano.058) ( ) Se uma reta paralela a um plano, ento ela ortogonal a uma nica reta do plano.059) ( ) Se uma reta e um plano so secantes, ento ela concorrente com infinitas retas desse plano.060) ( ) Se uma reta paralela a um plano, ento existe no plano uma reta concorrente com ela.061) ( ) Se duas retas so reversas, ento qualquer reta que concorre com uma delas concorre com a outra.062) ( ) Se duas retas distintas so paralelas, ento todo plano que contm uma paralelo ou contm a outra.063) ( ) Se duas retas so reversas, ento qualquer plano que contm uma intercepta a outra.064) ( ) Se duas retas distintas so paralelas a um plano, ento so paralelas entre si.065) ( ) Dado uma reta e um plano quaisquer, existe no plano uma reta paralela reta dada.066) ( ) Dadas duas retas distintas quaisquer, existe um plano que contm uma e paralelo outra.067) ( ) Dois planos secantes tm como interseo uma reta.068) ( ) Se dois planos distintos tm um ponto comum ento eles so secantes.069) ( ) Dois planos que tm uma reta comum so se-cantes.

Responder V se verdadeira ou F se falsa nas afirmaes abaixo.001) ( ) O ponto no tem dimenso.002) ( ) Uma reta contm infinitos pontos.003) ( ) Um plano contm infinitos pontos.004) ( ) Por um ponto sempre passa uma reta.005) ( ) Dados dois pontos distintos, existe e nico o plano que os contm.006) ( ) Trs pontos distintos determinam um plano.007) ( ) Por uma reta passam infinitos planos.008) ( ) Trs pontos alinhados so coplanares.009) ( ) Trs pontos distintos e no colineares deter-minam um plano.010) ( ) Todo plano contm infinitas retas.011) ( ) Dois planos que tm uma nica reta comum so secantes.012) ( ) Um ponto separa uma reta em duas semi-retas.013) ( ) Um ponto pertencente a uma reta separa essa reta em duas semi-retas.014) ( ) Uma reta divide um plano em dois semi-planos.015) ( ) Uma reta pertencente a um plano, divide esse plano em dois semi-planos.016) ( ) Qualquer plano divide o espao em dois semi-espaos.017) ( ) Dois semi-planos so sempre coplanares.018) ( ) Dois semi-planos opostos so sempre copla-nares.019) ( ) Se dois pontos pertencem a semi-planos opostos, ento o segmento que os une intercepta a origem dos dois semi-planos.020) ( ) Existem infinitos semi-planos de mesma origem.021) ( ) Trs pontos distintos no so colineares.022) ( ) Duas retas que tm um ponto comum so concorrentes.023) ( ) Duas retas que tm um nico ponto comum so concorrentes.024) ( ) Duas retas distintas que tm um ponto comum so concorrentes.025) ( ) Uma reta e um ponto determinam um plano.026) ( ) Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.027) ( ) Duas retas distintas determinam um plano.028) ( ) Duas retas paralelas determinam um plano.029) ( ) Trs retas, duas a duas paralelas distintas, determinam trs planos.030) ( ) Trs retas, duas a duas paralelas distintas, determinam um nico ou trs planos.031) ( )Trs retas, duas a duas concorrentes em pontos distintos, so coplanares.032) ( ) O espao contm infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos.033) ( ) Quatro pontos distintos e no colineares, so vrtices de um quadriltero.034) ( ) Quatro pontos distintos e no colineares trs a trs, so vrtices de um quadriltero.035) ( ) Quatro pontos distintos e no coplanares, trs a trs determinam quatro planos distintos.036) ( ) Duas retas paralelas distintas e um ponto fora delas, determinam um nico ou trs planos.037) ( ) Duas retas concorrentes e um ponto fora delas determinam trs planos.

Jeca 05

(GeoJeca)

098) ( ) Se uma reta paralela a uma reta do plano, ento ela paralela ao plano.099) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contm uma e perpendicular outra.100) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contm as duas retas.101) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contm uma e paralelo outra.102) ( ) As interseces de dois planos paralelos com um terceiro plano, so retas paralelas.103) ( ) Se um plano contm duas retas concorrentes e ambas paralelas a um outro plano, ento esses planos so paralelos entre si.104) ( ) A projeo ortogonal de um ponto sobre um plano um ponto.105) ( ) A projeo ortogonal de uma reta sobre um plano uma reta.106) ( ) A projeo ortogonal de uma reta sobre um plano um ponto ou uma reta.107) ( ) A projeo ortogonal de um segmento sobre um plano um ponto ou um segmento menor que ele.108) ( ) A projeo ortogonal de um quadriltero pla-no sobre um plano um quadriltero.109) ( ) A projeo ortogonal de um quadrado plano sobre um plano pode ser um tringulo.110) ( ) A projeo ortogonal de um plano sobre outro plano um plano ou uma reta.

001 V002 V003 V004 V005 F006 F007 V008 V009 V010 V011 V012 F013 V014 F015 V016 V017 F018 V019 V020 V

021 F022 F023 V024 V025 F026 V027 F028 F029 F030 V031 V032 V033 F034 V035 V036 V037 F038 F039 F040 F

041 F042 V043 F044 V045 V046 V047 V048 F049 F050 V051 V052 V053 F054 V055 V056 F057 V058 F059 V060 F

061 F062 V063 F064 F065 F066 F067 V068 V069 F070 V071 V072 F073 V074 V075 F076 F077 V078 V079 F080 V

081 V082 F083 V084 F085 V086 F087 V088 V089 V090 V091 F092 F093 F094 V095 V096 F097 V098 F099 F100 F

101 V102 V103 V104 V105 F106 V107 F108 F109 F110 V

GABARITO

070) ( ) Dois planos que tm uma nica reta comum so secantes.071) ( ) Duas retas reversas e uma concorrente com as duas, determinam dois planos.072) ( ) Dois planos distintos so secantes.073) ( ) Se dois planos distintos so paralelos entre si, ento uma reta de um deles e uma reta do outro so paralelas entre si ou reversas.074) ( ) Se uma reta paralela a dois planos secantes, ento ela paralela interseo desse planos.075) ( ) Se dois planos distintos so paralelos, ento toda reta paralela a um deles paralela ao outro.076) ( ) Se dois planos so paralelos a uma reta, entoso paralelos entre si.077) ( ) Se dois planos distintos so paralelos a um terceiro, ento so paralelos entre si.078) ( ) Se uma reta perpendicular a um plano, ento perpendicular a uma reta do plano.079) ( ) Se uma reta perpendicular a um plano, ento perpendicular a todas as retas desse pla-no.080) ( ) Se uma reta perpendicular a um plano, ento perpendicular a infinitas retas desse plano.081) ( ) Se uma reta perpendicular a um plano, ento perpendicular ou ortogonal a todas as retas do plano.082) ( ) Uma reta perpendicular a um plano se perpendicular a duas retas desse plano.083) ( ) Uma reta perpendicular a um plano se perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.084) ( ) Se uma reta e um plano so paralelos, ento toda reta perpendicular reta dada perpendicular ao plano.085) ( ) Por um ponto dado pode-se conduzir uma nica reta perpendicular a um plano dado.086) ( ) Um reta perpendicular a um plano se perpendicular a duas ou mais retas desse plano.087) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro, podem ser perpendiculares entre si.088) ( ) Uma condio necessria para que uma reta seja perpendicular a um plano que a reta e o plano sejam secantes.089) ( ) Se duas retas so perpendiculares a um mesmo plano, ento elas so paralelas entre si.090) ( ) Se dois planos so perpendiculares a uma mesma reta, ento so paralelos entre si.091) ( ) Se uma reta ortogonal a duas retas paralelas distintas, ento ela paralela ao plano que as contm.092) ( ) Se uma reta e um plano so paralelos, ento toda reta perpendicular reta dada paralela ao plano.093) ( ) Se uma reta e um plano so perpendiculares, ento toda reta perpendicular reta dada paralela ao plano.094) ( ) Por um ponto dado, existe um nico plano perpendicular a uma reta dada.095) ( ) Se dois planos so perpendiculares, ento eles so secantes entre si.096) ( ) Se dois planos so secantes, ento eles so perpendiculares.097) ( ) Uma reta e um plano secantes tm um ponto comum.

Jeca 06

(GeoJeca)



Geometria de PosioAula 01

Exerccios complementares.(Geometria de Posio)

Jeca 07

01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um vrtice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vrtice G, percorreu toda a aresta perpendicular base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vrtice :a) Ab) Bc) Cd) De) E

A

B

C

D

E

G

03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando no so coplanares. Nesse caso, o nmero de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, :a) 6b) 3c) 2d) 1e) 0

A

B

C

D

cumeeira

t s

v

r

u

3 m

4 m

4 m

02) (FAAP-SP) O galpo da figura a seguir est no prumo e a cumeeira est "bem no meio" da parede.

Das retas assinaladas, podemos afirmar que:a) t e u so reversas.b) s e u so reversas.c) t e u so concorrentes.d) s e r so concorrentes.e) t e u so perpendiculares.

04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB perpendicular ao plano , CD e BC esto contidos nesse plano e CD perpendicular a BC. Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-tncia de A a D.

A

BC

D

05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeo ortogonal de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as projees ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano." Na figura abaixo, determine a medida da projeo ortogonal do segmento AB sobre o plano .

60

pi

t

A

B

06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a em A, com A c, o ponto B, interseco de c e d. Se X um ponto de b, X , ento a reta s, definida por X e B:

C

C

a) paralela reta c.b) paralela reta bc) est contida no plano .d) perpendicular reta d.e) perpendicular reta b.

b

A

dc

B

e pi so planos secantesA pi e B tAB t e BC tAB = 10 cm

C

T T

C

C

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

Jeca 08

x

y

z

s

t

r

07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-treaberta e o canto de uma sala:

As retas r e s; s e t; x e r tm, respectivamente, as posies relativas:a) paralelas, paralelas e perpendiculares.b) paralelas, perpendiculares e reversas.c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.d) reversas, paralelas e perpendiculares.e) perpendiculares, reversas e paralelas.

09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade no se pode afirmar:a) Se uma reta perpendicular a duas retas concor-rentes de um plano, ento perpendicular a esse plano.b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas.c) Se uma reta perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano so paralelas.e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular reta e passando pelo ponto.

10) (Fatec-SP) O ponto A pertence reta r, contida no plano . A reta s, perpendicular a , o intercep-ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeo ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, ento a distncia de A a C, em centmetros, igual a:a) 9 5b) 9c) 7d) 4e) 3 5

11) (Fuvest-SP) O segmento AB um dimetro de uma circunferncia e C, um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, perpendicular ao plano da circunferncia. O nmero de faces do tetraedro VABC que so tringulos retngulos :a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

12) (Fuvest-SP) So dados 5 pontos no-coplana-res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD um retn-gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a AD. Pode-se concluir que so perpendiculares as retas:a) EA e EBb) EC e CAc) EB e BAd) EA e ACe) AC e BE

08) (Fuvest-SP) So dados um plano , uma reta r contida em e uma reta s perpendicular a r, mas no a . Demonstre que a projeo ortogonal de s sobre perpendicular a r.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

Jeca 09

13) (Fuvest-SP) So dados um plano pi, um ponto P do mesmo e uma reta r oblqua a pi que o fura num ponto distinto de P. Mostre que existe uma nica reta por P, contida em pi, e ortogonal a r.

17) (Mackenzie-SP) Assinale a nica proposio verdadeira.a) Uma reta perpendicular a um plano, quando ela perpendicular a todas as retas do plano.b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-ro so paralelos entre si.c) A projeo ortogonal de uma reta num plano sempre uma reta.d) Um plano paralelo a duas retas de um plano paralelo ao plano.e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a trs planos paralelos, so paralelas.

18) (FEI-SP) Assinale a proposio falsa.a) Por uma reta perpendicular a um plano passa pelo menos um plano perpendicular a .b) A projeo ortogonal sobre um plano de um segmento oblquo a menor do que o segmento.c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de um plano perpendicular ao plano .d) Um plano perpendicular dois planos concorren-tes perpendicular interseco deles.e) No espao, duas retas perpendiculares a uma ter-ceira reta so paralelas.

14) (ITA-SP) Qual das afirmaes abaixo verda-deira ?a) Trs pontos, distintos dois a dois, determinam um plano.b) Um ponto e uma reta determinam um plano.c) Se dois planos distintos tm um ponto em comum, tal ponto nico.d) Se uma reta paralela a um plano e no est con-tida neste plano, ento ela paralea a qualquer reta desse plano.e) Se o plano determinado por duas retas con-correntes r e s, ento toda reta m desse plano, que paralela r, no ser paralela reta s.

15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t trs retas no espao. Analise as seguintes afirmaes:( ) Se r e s so paralelas, ento existe um plano que as contm.( ) Se a interseco de r e s o conjunto vazio, ento r paralela a s.( ) Se r, s e t so duas a duas paralelas, ento existe um plano que as contm.( ) Se r s = O e r no paralela a s, ento r e s so reversas.

Considerando V para sentena verdadeira e F para sentena falsa, a sequncia correta que classi-fica essas afirmaes :a) V, V, V, V.b) F, V, V, F.c) V, F, F, V.d) V, V, F, F.

U

16) (PUC-SP) Qual das afirmaes abaixo verda-deira ?a) Se duas retas distintas no so paralelas, ento elas so concorrentes.b) Duas retas no coplanares so reversas.c) Se a interseco de duas retas o conjunto vazio, ento elas so paralelas.d) Se trs retas so paralelas, existe um plano que as contm.e) Se trs retas distintas so duas a duas concorren-tes, ento elas determinam um e um s plano.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

A B

CD

E F

GH

19) A figura ao lado representa um cubo de vrtices A, B, C, D, E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vrtices como pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: AC uma reta mas no contm nenhuma aresta) e as faces como planos, responda as solicitaes abaixo.

Observao - Na correo, as respostas das solicitaes sero consideradas certas ou erradas (no existe meio certa), levando-se em considerao o rigor matemtico dos termos prprios da Geometria de Posio.

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB.Resp.

b) Cite uma reta que seja perpendicular reta DH.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AD.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano EAB.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano EHG.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ADC.Resp.

h) O que e qual a interseco entre as retas HG e EH ?Resp.

i) O que e qual a interseco entre a reta DH e o plano ABF ?Resp.

j) O que e qual a interseco entre o plano AEF e o plano FGH ? Resp.

k) Determine todas as arestas do cubo que so perpendiculares reta BC.Resp.

l) Determine todas as arestas do cubo que so or-togonais reta EF.Resp.

m) Determine todas as arestas do cubo que so concorrentes com a reta DH.Resp.

n) Determine todas as arestas do cubo que so pa-ralelas ao plano BCG.Resp.

o) Determine todas as arestas do cubo que so pa-ralelas ao plano BDH.Resp.

p) Determine todas as faces do cubo que so para-lelas aresta CG.Resp.

q) Determine todas as faces do cubo que so per-pendiculares face AEF.Resp.

r) Determine todos os vrtices do cubo que no es-to contidos no plano FGH.Resp.

s) Determine todas as arestas do cubo que so pa-ralelas distintas aresta AB.Resp.

t) Determine todos os vrtices do cubo que no es-to contidos no plano EGD.Resp.

Jeca 10

(GeoJeca)

AB

CD

E F

GH

RS

T

U

20) A figura ao lado um paraleleppedo retorretan-gular de dimenses AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 cm. Os pontos R, S, T e U so os centros das faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vrtices desse paraleleppedo, determinar o que se pede em cada questo a seguir :

a) Quais arestas do paraleleppedo so paralelas dis-tintas aresta AD ?Resp.

b) Qual a posio relativa entre as retas HG e BF ?Resp .

c) O que e qual a interseco entre os planos ADB e EFH ? Resp .

d) Qual a distncia entre o ponto T e o plano CGH ?Resp .

e) Quais arestas do paralepeppedo so perpendicu-lares aresta EF ?Resp .

f) Quais arestas do paraleleppedo so ortogonais aresta DC ?Resp .

g) Quais faces do paraleleppedo so perpendicula-res ao plano AEH ?Resp .

h) Qual a distncia entre o ponto F e o plano ABC ?Resp .

i) O que e qual a interseco entre os planos CGH e BFH ?Resp .

j) Qual a posio relativa entre as retas AC e HF ?Resp .

l) Qual a distncia entre os pontos S e R ?Resp .

m) Quais arestas do paraleleppedo so paralelas ao plano BCG ?Resp

n) Quais faces do paraleleppedo so paralelas ao plano CDH ?Resp .

o) Qual a tangente do ngulo formado entre os planos ABF e BFH ?Resp .

p) O que e qual a interseco entre as retas FH e EG ?Resp .

q) Quais vrtices do paraleleppedo distam 10 cm do vrtice E ?Resp

r) Quais faces do paraleleppedo contm o vrtice D ?Resp .

s) Quais arestas do paraleleppedo so ortogonais reta FC ?Resp .

t) O que e qual a interseco entre os planos AHG e DEF ?Resp .

u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paraleleppedo ?Resp .

Jeca 11

(GeoJeca)

Observao - Na correo, as respostas das solicitaes sero consideradas certas ou erradas (no existe meio certa), levando-se em considerao o rigor matemtico dos termos prprios da Geometria de Posio.

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB.Resp.

b) Cite uma reta que seja perpendicular reta DJ.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AF.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano GMA.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano JLE.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ABH.Resp.

h) O que e qual a interseco entre as retas HG e GM ?Resp.

i) O que e qual a interseco entre a reta DC e o plano HIB ?Resp.

j) O que e qual a interseco entre o plano AEF e o plano CDJ ? Resp.

k) Determine todas as retas do prisma que so perpendiculares reta AG.Resp.

l) Determine todas as retas do prisma que so or-togonais reta EF.Resp.

m) Determine todas as retas do prisma que so con-correntes com a reta CD.Resp.

n) Determine todas as retas do prisma que so para-lelas ao plano BCE.Resp.

o) Determine todas as retas do prisma que so pa-ralelas ao plano BCH.Resp.

p) Determine todas as faces do prisma que so pa-ralelas reta DJ.Resp.

q) Determine todas as faces do prisma que so per-pendiculares face AEF.Resp.

r) Determine todos os vrtices do prisma que no esto contidos no plano JLD.Resp.

s) Determine todas as retas do prisma que so per-pendiculares reta AB.Resp.

t) Determine todas as retas do prisma contidas no plano GMA.Resp.

AB

C DE

F

A

B

C D

E

F

GH

I JL

M

figura01

figura02

21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular de vrtices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e utilizando os vrtices como pontos, as retas suportes das arestas como retas e as faces como planos, responda as solicitaes abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham uma aresta. Por exemplo: AE uma reta mas no contm nenhuma aresta.

Jeca 12

(GeoJeca)

22) As questes abaixo referem-se ao paraleleppedo retor-retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimenses so: AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.

A

B C

D

E

F G

H

a) Qual a distncia, em cm, entre o ponto E e o plano BCG ?a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10

b) Qual a distncia, em cm, entre a reta AB e a reta GH ?a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6

c) Qual a distncia, em cm, entre as retas BC e FH ?a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10

d) Qual a distncia, em cm, entre o ponto G e a reta FH ?a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5

e) Qual a distncia, em cm, entre o ponto H e o ponto B ?a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253

f) Qual a distncia, em cm, entre a reta FG e a reta AD ?a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127

g) Qual a tangente do ngulo formado entre a reta BH e a face EFGH ?a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

h) Qual a tangente do ngulo formado entre os planos BCG e BCH ?a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

Jeca 13

(GeoJeca)

face A

face C

face D face E

face Bpea 1 pea 2

face A face B face C face D face E

esboos

face

A

24) As peas 1 e 2 so macias e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idnticos. Mantendo-se a pea 1 na mesma posio e juntando-se as peas 1 e 2, forma-se um slido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboos abaixo, represente atravs de um desenho a viso que voc teria olhando frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.

face A

face C

face D face E

face B


esboos

face

A

pea 1 pea 2

23) As peas 1 e 2 so macias e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idnticos. Mantendo-se a pea 1 na mesma posio e juntando-se as peas 1 e 2, forma-se um slido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboos abaixo, represente atravs de um desenho a viso que voc teria olhando frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.

A

B

CD

25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idnticos, formariam a figura 2, com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. Mantendo-se a base do cubo na mesma posio, desenhe nos esboos abaixo como voc visualiza as faces A, B, C e D aps a retirada do corpo da figura 3.

face A face B face C face D

esboos

figura 2figura 1 figura 3

Jeca 14

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

FF

26) Um cubo composto pelas faces J, R, P, L, K e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra a planificao do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando frontalmente, e sempre da mesma posio, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma que cada observador visualiza a face observada.

K

L

R

R PJ Jfigura 1 figura 2

FRJ

figura 3

Observador A

Observador B

FRJ

figura 1

F

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1

Observador A Observador B






P L(exemplo)

PR

J

KR

JL

F

LP

LJK

K

a)

b)

c)

d)

e)

Jeca 15

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Respostas da aula 01.

Jeca 16

Respostas da Aula 01

Favor comunicar eventuais erros deste trabalho atravs do [email protected] Obrigado.

As respostas das afirmaes Verdadeiras ou Falsas das pginas 05 e 06 esto na pgina 06.

Respostas da Aula 01 - Exerccios comple-mentares.

01) e02) a03) b04) AD = 29 cm05) 5 cm06) d07) b08) Demonstrao

r

s

A

A'

B

r perpendicular a s (do enunciado).AA' perpendicular a porque a projeo ortogonal.A reta r perpendicular ou ortogonal a duas retas con-correntes do plano AA'B. Portanto a reta r perpendi-cular ao plano AA'B. Se a reta A'B est contida no planoAA'B, ento a reta r perpendicular reta A'B. (CQD)09) b10) b11) e12) d13) Demonstrao

r

A

B

A' B'CPpi

Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-jees ortogonais sobre o plano pi.A reta de pi ortogonal a r a nica reta de pi que passa por P e perpendicular reta A'B'. Portanto nica.(CQD)

14) e15) c16) b17) e18) e19) a) CD, HG ou EF b) AD, CD, EH ou GH c) AB, BF, CD ou CG d) CD, DH, EA ou BA e) CDH f) EAD, HDC, BCG ou EAB g) EAD, HDC, BCG ou EAB h) o ponto H i) no existe interseco j) a reta EF k) AB, BF, CD e CG l) BC, CG, AD e DH m) AD, CD, EH e GH n) AD, DH, HE e EA o) AE e CG p) ABE e ADH q) ADC, BCG, EFG e AEH r) A, B, C e D s) CD, GH e EF t) A, B, C, H e F20) a) CB, FG e EH b) retas reversas e ortogonais c) no existe interseco d) 4 cm e) EA, EH, BF e GF f) EA, EH, BF e GF g) ADC, DHG, HEF e AEB h) 6 cm

20) i) a reta DH j) retas reversas l) 41 cm m) AD, DH, HE e EA n) ABF o) 4/5 p) o ponto U q) F r) ADC, ADH e CDH s) AB e HG t) a reta RT u) 96 cm21) a) DE, JL ou HG b) JI, JL, CD ou DE c) IC, HB, GA ou MF d) AB, BC, GA, MF, FE ou DE e) CDJ f) JLM ou DEF g) GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM h) o ponto G i) o ponto C j) a reta CD k) GH, GM, AB e AF l) JD, IC, HB e AG m) DE, EF, JD, IC, BC e AB n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH o) JD, LE, MF e AG p) BCH, HGA, GMA e MLF q) GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB r) M, G, H, I, F, A, B e C s) HB e GA t) GM, MF, AG e AF22) a) c b) d c) b d) a e) d f) b g) a h) c23)

24)

25)

26) a)

b)

c)

d)

e)



face A face B face C face D

P

P

L

K R

J R

F

F J

Obs. A Obs. B



Geometria Espacial MtricaAula 02

Poliedros convexos.

I - Elementos dos poliedros.

face

aresta

vrtice

ngulopolidrico

Poliedro - a regio do espao limitada por quatro ou mais polgonos planos.

Face do poliedro - qualquer polgono plano que limita o poliedro.

Aresta do poliedro - o segmento obtido da interseco de duas faces.

Vrtice do poliedro - o ponto obtido da interseco de trs ou mais arestas.

ngulo polidrico - a regio do espao constituda por um vrtice e trs ou mais arestas.

Poliedro convexo - Um poliedro dito convexo se, dados dois pontos quais-quer do poliedro, o segmento que os une est inteiramente contido nele.

A B

poliedro no convexopoliedro convexo

Classificao dos poliedros.4 faces - tetraedro5 faces - pentaedro6 faces - hexaedro7 faces - heptaedro8 faces - octaedro9 faces - eneaedro10 faces - decaedro11 faces - undecaedro12 faces - dodecaedro13 faces - tridecaedro14 faces - quadridecaedro15 faces - pentadecaedro16 faces - hexadecaedro17 faces - heptadecaedro18 faces - octodecaedro19 faces - eneadecaedro20 faces - icosaedro

Classificao dos ngulospolidricos.3 arestas - ngulo tridrico4 arestas - ngulo tetradrico5 arestas - ngulo pentadrico6 arestas - ngulo hexadricoetc

Relao de Euler. Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relao:

V - A + F = 2

Soma das medidas dos ngulos internosde todas as faces do poliedro convexo.

S = 360 (V - 2)

Clculo do nmero de arestas de um poliedro convexo.

a) Atravs das faces. b) Atravs dos vrtices.

A - nmero de arestas do poliedro. n - nmero de lados de cada face. F - nmero de faces do mesmo tipo. m - nmero de arestas de cada vrtice polidrico. V - nmero de vrtices polidricos do mesmo tipo.

A = n . F2m . VA = 2

V - n de vrticesA - n de arestasF - n de faces

S - soma dos ngulosV - n de vrtices

Poliedros de Plato. Um poliedro dito de Plato se: - convexo e fechado; - tem todas as faces do mesmo tipo; - tem todos os vrtices do mesmo tipo.

Existem apenas 5 poliedros de Plato.

TetraedroHexaedroOctaedroDodecaedro Icosaedro

no dePlato

de Plato

Poliedro regular. Um poliedro dito regular se tem todas as faces formadas por polgonos regulares e congruentes.

Existem apenas 5 poliedros regulares

Tetraedro regularHexaedro regularOctaedro regularDodecaedro regular Icosaedro regular

34

53

3

n de lados de cada face

- Todo poliedro regular de Plato mas nem todo poliedro de Plato regular.- Todo poliedro regular pode ser inscrito e circunscrito numa esfera.

Jeca 17

01) Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.

Observao - A figura foi colocada no exerccio para que o aluno possa comprovar a veracidade dos clculos.

Observao - A figura foi colocada no exerccio para que o aluno possa comprovar a veracidade dos clculos.

02) Determine o nmero de faces de um poliedro con-vexo fechado que tem 6 vrtices tridricos e 14 vr-tices tetradricos.

03) Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-ces triangulares e 2 faces quadrangulares.

04) Determine o nmero de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 7 vrtices tetradricos e 2 vrtices heptadricos.

05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-cao de um poliedro convexo. O nmero de vrtices desse poliedro :a) 12b) 14c) 16d) 20e) 22

06) (UFTM-MG) Um poliedro convexo, com 32 ares-tas e 14 vrtices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o nmero de faces qua-drangulares e t o nmero de faces triangulares, en-to os valores de q e t so, respectivamente,a) q = 6 e t = 14b) q = 16 e t = 4c) q = 4 e t = 14d) q = 14 e t = 4e) q = 4 e t = 16

Jeca 18

Poliedros regulares (T H O D I)

Tetraedro OctaedroHexaedro Dodecaedro Icosaedro

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)




Exerccios complementares.(Poliedros convexos)


n F A m V S07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:n - n de lados de cada face do poliedro regular;F - n de faces do poliedro regular;A - n de arestas do poliedro regular;m - n de arestas de cada vrtice polidrico do poliedro;V - n de vrtices polidricos do poliedroregular;S - soma das medidas dos ngulos internos das faces do poliedro regular.

09) Um poliedro convexo tem o mesmo nmero de faces triangulares e quadrangulares. Qual o nmero de vrtices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 arestas e apenas esses dois tipos de face ?a) 9b) 15c) 11d) 13e) 12

11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual o nmero de vrtices desse poliedro ?a) 24b) 20c) 18d) 16e) 25

08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem 2 vrtices pentadricos, 10 vrtices tetradri-cos e 10 vrtices tridricos ?a) 25b) 18c) 16d) 24e) 20

10) Qual a soma das medidas dos ngulos internos de todas as faces de um poliedro convexo fechado que tem 20 faces e 30 arestas ?a) 2560b) 2160c) 3800d) 3600e) 5260

Jeca 19

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o n de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vrtices, e que o n de faces quadrangulares igual ao n de faces triangulares.

13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o n de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vrtices, e que o n de faces quadrangulares o dobro do n de faces triangulares.

14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 faces. De dois de seus vrtices partem 5 arestas, de quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes partem 3 arestas. Determine o n de arestas do poliedro.

15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. Quantas faces tem de cada tipo se a soma das medidas dos ngulos internos das suas faces 2880 ?

Jeca 20

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)



Geometria Espacial MtricaAula 03Prismas.

I - Volume de um slido.

3 m

2 m1

m

3 m

2 m

3 m

3 m

2 m

2 m

3V = 3 . 2 . 1 = 6 m 3V = 3 . 2 . 2 = 12 m 3V = 3 . 2 . 3 = 18 m

Importante - Quando um slido mantm a mesma seco transversal, o volume desse slido calculado como sendo o produto entre a rea da base e a altura. (Note que a rea da base a mesma que a da seco transversal)

V = A . hbase

II - Prismas.

Caractersticas dos prismas. - Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si. - Todas as arestas laterais do prisma so paralelas e congruentes entre si. - As faces laterais do prisma so formadas por paralelogramos. - A altura de um prisma a distncia entre os planos que contm as suas bases. - Denomina-se um prisma em funo do polgono da sua base.

hh h h

hBase Base Base Base Base

Prismaoblquo

Prismareto

Prismaquadrangular

regular

Prismahexagonal

regular

Prismatriangular

regular

Prismagenrico

BaseFrmulas dos prismas

rea da base A = depende da basebrea lateral A = Afaces lateraisl

rea total A = A + 2 . AT bl

Volume V = A . hb

Tipos de prisma. - Prisma oblquo: as arestas laterais no so perpendiculares aos planos das base. - Prisma reto: as arestas laterais so perpendiculares aos planos das bases. - Prisma regular: o prisma reto cujas bases so polgonos regulares e congruentes.

arestalateral

arestada base

facelateral

Jeca 21

III - Prismas particulares.

a) Paraleleppedo retorretangular. b) Cubo (hexaedro regular).

ab

c

d

D

rea total do paraleleppedo - A = 2ab + 2ac + 2bcTVolume do paraleleppedo - V = A . h = a . b . cb

2 2 2Diagonal do paraleleppedo - D = a + b + c

a

a

a

d

D

2rea da base do cubo - A = ab2rea lateral do cubo - A = 4 . al

2rea total do cubo - A = 6 . aT3Volume do cubo - V = a

Diagonal de uma face do cubo - d = a 2

Diagonal do cubo - D = a 3

Exerccios.

01) Dado um cubo de aretas 7 cm, determine:a) a rea da base do cubo;b) a rea lateral do cubo;c) a rea total do cubo;d) o volume do cubo;e) a diagonal de uma face do cubo;f) a diagonal do cubo.

02) Dado um paraleleppedo retorretangular, de dimenses 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine:a) a rea total do paraleleppedo;b) o volume do paraleleppedo;c) a diagonal do paraleleppedo;d) a soma das medidas de todas as arestas do para-leleppedo.

Jeca 22

(GeoJeca)(GeoJeca)

03) Dado um prisma triangular regular de aresta da base 10 cm e altura 15 cm, determine:a) a rea da base do prisma;b) a rea lateral do prisma;c) a rea total do prisma;d) o volume do prisma.

04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 7 cm, determine:a) a rea da base do prisma;b) a rea lateral do prisma;c) a rea total do prisma;d) o volume do prisma.

05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da base k e altura k 2 , determine:a) a rea da base do prisma;b) a rea lateral do prisma;c) o volume do prisma.

06) Determine a altura de um prisma triangular regu-2lar sabendo que a sua rea lateral 165 dm e a sua

2.rea total 5(33 + 5 3 / 2 ) dm

Jeca 23

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)




Exerccios complementares.(Prismas)

07) A figura abaixo representa um nico slido forma-do por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4 cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine:a) o volume total do slido;

b) a rea total do slido;

c) a distncia entre os vrtices A e B.

A

B

10) Uma caixa dgua tem a forma de um cubo, a sua base inferior perfeitamente horizontal e as suas arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa inicialmente com gua at a altura de 1 m, num determinado instante, aberto um registro que permite uma entrada constante de 200 litros de gua por minuto. Sabendo-se que 1 metro cbico equivale a 1000 litros e que nesse perodo no existe sada de gua, qual a altura de gua na caixa seis horas aps o registro ter sido aberto ?a) 3,24 m b) 3,88 m c) 4,12 m d) 4,24 m e) 4,08 m

3 m 3 m 3 m

3 m3 m

3 m 8 m

09) A figura abaixo representa um slido obtido de um paraleleppedo retorretangular de dimenses 9 m, 9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros paraleleppedos de dimenses 3m, 3m e 8 m. Determine a rea total e o volume do slido resultante.

08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e trs furos de seco quadrada de lado 2 cm que o atravessam totalmente. Determine o volume do slido resultante .

Jeca 24

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas so regulares ,tm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine:

a) o nome do slido.

f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V).

e) a rea total do prisma (A ).T e) a rea total do prisma (A ).T e) a rea total do prisma (A ).T

d) a rea lateral do prisma (A )l d) a rea lateral do prisma (A )l d) a rea lateral do prisma (A )l

a) o nome do slido. a) o nome do slido.

b) a rea da base do prisma (A ).b b) a rea da base do prisma (A ).b b) a rea da base do prisma (A ).b

c) a rea de cada face lateral (A ).1F c) a rea de cada face lateral (A ).1F c) a rea de cada face lateral (A ).1F

Jeca 25

I) II) III)(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)

A B

CD

E F

GH

16) Na figura ao lado, a rea do quadriltero CDEF 264 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a

rea total desse cubo.

17) Uma formiga encontra-se no vrtice A de um cu-bo macio e deseja caminhar at o vrtice B, dia-gonalmente oposto ao vrtice A, percorrendo o menor trajeto possvel. Sabendo-se que o cubo tem aresta K, determine a distncia percorrida pela formiga.

A

B

14) Sabendo-se que as dimenses de um paralelep-2pedo de rea total 352 cm so k cm, 2k cm e 3k cm,

determine o seu volume.

15) De cada canto de uma folha retangular de cartoli-na de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado 12 cm. Com a rea restante faz-se uma caixa sem tampa. Determine o volume dessa caixa.

A

D

E

F

G

H I

J

12) Todas as arestas do slido representado na figura abaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ so paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH so per-pendiculares face CDIH. Determine a rea total e o volume do slido.

B

C

13) Sabendo-se que o volume de um prisma he-xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes

3768 3 cm , determinar a altura desse prisma.

Jeca 26

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

19) A rea total de um prisma triangular regular de 2

aresta da base 6 cm (180 + 18 3 ) cm . Determine:a) a rea da base do prisma;

b) a rea lateral do prisma;

d) o volume do prisma.

c) a altura do prisma;

3 cm

18) A figura abaixo representa um slido obtido de um cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus vrtices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm. Determinar a rea total e o volume do slido resultante.

20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a seco trans-versal de uma piscina de 20 m de comprimento por 10 m de largura, com profundidade variando unifor-memente de 1 m a 3 m.

a) Determine o volume de gua necessrio para en-cher a piscina at a borda. Sugesto - Calcule a rea da seco transversal da piscina ilustrada pela figura.b) Qual a distncia mnima, medida horizontalmen-te, que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina, para que fique total-mente submersa ? Sugesto - Use semelhana de tringulos.

20 m1 m

3 m

21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um blo-co vazado cujo orifcio sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm, e o orifcio deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. exigido que o volume do bloco seja igual ao volume do orifcio.

correto afirmar que o valor L do lado da base qua-drada do prisma reto corresponde aa) 20 2 cmb) 40 2 cmc) 50 2 cmd) 60 2 cme) 80 2 cm

Bloco vazado Vista area

80 cm

80 cm80

cmL

L

Jeca 27

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

AB

M

C

D

N

E

FG

H

22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen-3tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas

bases so os quadrilteros AEHM e BFGN. Saben-do que M e N so os pontos mdios dos segmentos AD e BC, respectivamente, determine o volume des-

3se prisma (em m )

A B

CD

E F

GH

24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um pris-ma reto, cuja base ABCD um trapzio issceles, sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6, AD = 4 e AE = 10.

O plano determinado pelos pontos A, H e G sec-ciona o prisma determinando um quadriltero. A re-a desse quadriltero :a) 8 7b) 10 7c) 32 7d) 48 7e) 64 7

23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com base nesses dados, responda:

Qual o volume desse prisma em funo de P e de K ?

2 2a) 14.K.P 3 b) 21.K .P 3 c) 7.P.K 3

3 2 2d) 14.k.P 3 e) 28.P .K 3

25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Com base nesses dados, responda:Qual o volume desse prisma em funo de P e de K ?

2 2a) 72.P.K 3 b) 72.P .K 3 c) 36.P .K 3

2 2 2d) 72.K .P 3 e) 36.K .P 3

Jeca 28

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Respostas das aulas 02 e 03

Jeca 15

Respostas da Aula 02


Jeca 29

01) V = 11 vrtices02) F = 19 faces03) V = 8 vrtices04) F = 14 faces05) a06) e07)

08) e09) c10) d11) b12) 6 faces quadrangulares13) 1 face hexagonal14) A = 31 arestas15) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares

Respostas da aula 03201) a) 49 cm

2 b) 196 cm

2 c) 294 cm

3 d) 343 cm e) 7 2 cm f) 7 3 cm

202) a) 468 cm3

b) 648 cm c) 261 = 3 29 cm d) 108 cm

203) a) 25 3 cm2

b) 450 cm2

c) 50(9 + 3 ) cm3

d) 375 3 cm204) a) 24 3 cm

2 b) 168 cm

2 c) 24(7 + 2 3 ) cm

3 d) 168 3 cm

205) a) 2k ( 2 + 1)2

b) 8k 23

c) 2k (2 + 2 )06) h = 11 dm

307) a) 576 cm2

b) 448 cm c) 4 17 cm

308) 160 cm2 309) 510 cm e 504 cm

10) b11) I) a) prisma triangular regular

2 b) 4 3 cm

2 c) 48 cm

2 d) 144 cm

2 e) 8(18 + 3 ) cm

3 f) 48 3 cm II) a) prisma quadrangular regular

2 b) 16 cm

2 c) 48 cm

2 d) 192 cm

2 e) 224 cm

3 f) 192 cm


n F A m V S34353

468

1220

612123030

33435

486

2012

7202160144064803600

11) III) a) prisma hexagonal regular2

b) 24 3 cm2

c) 48 cm2

d) 288 cm2

e) 48(6 + 3 ) cm3

f) 288 3 cm2 312) (112 + 8 3 ) cm 16(4 + 3 ) cm

13) h = 8 cm314) 384 cm

315) 6912 cm216) 384 cm

17) k 5 uc2 318) 486 cm 513 cm

219) a) 9 3 cm2

b) 180 cm c) 10 cm

3 d) 90 3 cm

320) a) 400 m b) 7 m21) b

322) 1 m23) c24) c25) b




Pirmides.

h Baseh

Pirmideoblqua

Pirmidereta

Pirmideregular

h

a

m

centroda base

vrtice dapirmide

ponto mdio da aresta da base

2 2 2m = h + a

m - aptema da pirmide.a - aptema da base.h - altura da pirmide

Frmulas das pirmides

rea da base A = depende da basebrea lateral A = Afaces lateraisl

rea total A = A + AT bl

Volume V = A . hb13

I - Pirmides.

Dado um polgono plano e um ponto V, V no pertencente ao plano do polgono, denomina-se pirmide o slido limitado por esse polgono e todos os planos determinados pelos lados desse polgono e pelo ponto V.

Denomina-se uma pirmide em funo do polgono da sua base. (Exemplo: pirmide hexagonal regular)

II - Tipos de pirmide.

Pirmide oblqua: as suas arestas laterais no so congruentes entre si.Pirmide reta: as suas arestas laterais so congruentes entre si.Pirmide regular: a pirmide reta cuja base um polgono regular.

III - Elementos da pirmide regular.

arestada base

arestalateral Aptema da base (a): a distncia entre o centro do

polgono regular da base e o ponto mdio de qualquer aresta da base. (Define-se aptema apenas para polgo-nos regulares) Aptema da pirmide (m): a distncia entre o vr-tice da pirmide e o ponto mdio de qualquer aresta da base.

Altura da pirmide (h): a distncia entre o vrtice da pirmide e o plano da base.

Jeca 30

IV - Pirmides particulares.

2k3

k3

BICOh

a) Tetraedro trirretangular. b) Tetraedro regular. a pirmide triangular regular que tem: - todas as faces formadas por tringulos equilteros congruen-tes. - todas as arestas congruentes.

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

fcil perceber que as pirmides ADEF e FABC tm o mesmo volume. Precisamos provar que as pirmides ADEF e FABE tambm tm o mesmo volume. Seja h a distncia entre o vrtice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirmide ADEF, podemos considerar como base o tringulo ADE e como altura h. Para o volume da pirmide FABE, podemos considerar como base o tringulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os tringulos ADE e ABE tm a mesma rea. Se duas pirmides Tm mesma rea da base e mesma altura, ento tm o mesmo volume. As pirmides ADEF, FABC e FABE tm o mesmo volume. Portanto cada pirmide tem 1 / 3 do volume do prisma, que o volume total.

Curiosidade: o volume da pirmide 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura.

Exerccios.

01) Dada uma pirmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine:a) o aptema da base (a);b) o aptema da pirmide (m);c) a rea da base;d) a rea lateral;e) a rea total;f) o volume da pirmide.

Jeca 31

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

02) Dada uma pirmide hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 12 cm, determine:a) a medida do aptema dabase da pirmide (a);

b) a medida do aptema dapirmide (m);

c) a rea da base da pirmide;

d) a rea lateral da pirmide;

e) o volume da pirmide.

03) Dada uma pirmide triangular regular de rea da 2 2

base 16 3 cm e rea total (180 + 16 3 ) cm , de-termine:a) a aresta da base da pirmide;

b) a rea lateral da pirmide;

c) o aptema da pirmide.

04) Dada uma pirmide hexagonal regular de aresta da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine:

b) o aptema da pirmide (m);

a) o aptema da base (a);

c) a rea lateral da pirmide;

e) o volume da pirmide.

d) a rea da base da pirmide;

05) Dado um octaedro regular de aresta 10 3 cm, determine:a) a altura h do octaedro;

b) o volume do octaedro;

c) a rea total do octaedro.

h

Jeca 32

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

a) a rea de uma face lateral da pirmide;

07) A pirmide quadrangular regular abaixo tem rea 2lateral 280 cm e aresta da base 10 cm. Determine:

b) a medida do aptema da pirmide;

c) a rea da base da pirmide;

d) o volume da pirmide;

e) a rea total da pirmide.

a) a rea total da pirmide;

08) A pirmide quadrangular regular abaixo tem rea 2 2da base 144 cm e uma face lateral tem rea 102 cm .

Determine:

b) a medida da aresta da base;

c) a medida do aptema da pirmide;

d) a medida da altura da pirmide;

e) o volume da pirmide;

06) (Fuvest-SP)A figura abaixo representa uma pirmi-de de base triangular ABC e vrtice V. Sabe-se que ABC e ABV so tringulos equilteros de lado 1 e que M o ponto mdio do segmento AB. Sabendo-se que a medi-da do ngulo VMC 60, determinar o volume da pir-mide.

A

B

C

V

M 60

1

1

1

1

1

09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a em-balagem de um perfume que uma fbrica quer cons-truir, cuja capacidade de meio litro. A figura formada por uma regio quadrangular regular de a-resta k e por quatro tringulos issceles. A altura dessa embalagem, aps sua montagem, igual a 15 cm. A medida dessa aresta k, em centmetros, igual a:a) 5b) 10

2c) 5 3 / 3

2d) 10 3 / 3e) 100

3

3

Jeca 33

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)




Exerccios complementares.(Pirmides)

10) (UFMG-MG) Na figura a seguir esto represen-tados o cubo ABCDEFGH e o slido OPQRST. Ca-da aresta do cubo mede 4 cm, e os vrtices do slido OPQRST so os pontos centrais das faces do cubo. Ento, correto afirmar que a rea lateral total do s-lido OPQRST mede

2a) 8 2 cm

2b) 8 3 cm2

c) 16 2 cm2d) 16 3 cm

A B

CD

E F

GH

O

P

QR

S

T

11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir de um quadrado de centro P e lado 12 m, fo-ram traados quatro tringulos issceles e determina-dos os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP, FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirmide quadrangular). Qual a altura da barraca ?a) 1,2 mb) 3 mc) 3 7 md) 6 3 m

A B

C

D

EF

G

H

P

12 m

6 3

m

12) (ITA-SP) Dada uma pirmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k a medida da aresta da base. Ento a rea total dessa

2pirmide, em cm , vale:2

a) k 327 / 42b) k 109 / 22

c) k 3 / 22d) k 3 (2 + 33 ) / 22

e) k 3 (1 + 109 ) / 4

13) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular de altura 12 cm.

H

Jeca 34

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

14) Nas figuras abaixo, as 3 pirmides so regulares ,tm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine :

a) o nome do slido.

b) o aptema da base (a).

a aa

g) o volume da pirmide (V). g) o volume da pirmide (V). g) o volume da pirmide (V).

f) a rea total da pirmide (A ).T f) a rea total da pirmide (A ).T f) a rea total da pirmide (A ).T

e) a rea lateral da pirmide (A )l e) a rea lateral da pirmide (A )l e) a rea lateral da pirmide (A )l

d) o aptema da pirmide (m). d) o aptema da pirmide (m). d) o aptema da pirmide (m).

c) a rea da base da pirmide (A ).b c) a rea da base da pirmide (A ).b c) a rea da base da pirmide (A ).b

b) o aptema da base (a). b) o aptema da base (a).

a) o nome do slido. a) o nome do slido.

Jeca 35

I) II) III) (GeoJeca)(GeoJeca)(GeoJeca)

15) Determine a rea total, a altura h e o volume de um tetraedro regular de aresta K.

A

B

C

V

G M

k

k

k

k

k

16) No slido abaixo, CDEF um quadrado de lado 8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm. Determinar a rea total e o volume do octaedro ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que BC = BD = BE = BF.

A

B

C D

EFG

h

18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm cor-tado por um plano passando pelos vrtices D, B e C, produzindo dois slidos: uma pirmide triangular e uma pirmide quadrangular.

Os volumes destas duas pirmides so:3 3

a) 125 cm e 250 cm3 3b) 125 3 cm e 250 3 cm3 3

c) 150 2 cm e 225 2 cm3 3d) 150 3 cm e 225 3 cm

3 3e) 250 cm e 250 cm

AB

C

DE

F

17) (UFRJ-RJ) A pirmide ABCD tal que as faces ABC, ABD e ACD so tringulos retngulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume m-ximo contido em ABCD tal que um de seus vrtices seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.

A

B

C

D

Determine a medida da aresta desse cubo em fun-o de a.

Jeca 36

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

19) (UFSCar-SP) A figura indica um paraleleppedo retorretngulo de dimenses 5 cm, 5 cm e 4 cm, sendo A, B, C e D quatro dos seus vrtices.

A

B

C

D

55

4

a) Calcule a rea do tringulo ABC.b) Calcule a distncia entre o vrtice D e o plano que contm o tringulo ABC.

20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumnio de 1 m por 60 cm ser utilizada para fazer um abrigo de forma triangular, sendo dobrada na linha mdia de sua extenso de modo que as abas formem um ngu-lo . Veja a seguinte figura:

50 cm

1 m

60 cm

50

cm

60 cm

a) A rea do tringulo ABC depende de . Seja 2A() essa rea, em cm . Calcule o volume do abrigo

3em funo de A(), em cm .b) Determine de modo que o volume do abrigo

3seja mximo. Calcule esse volume em cm , em litros

3e em m .

22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vrtices de um cubo de madeira se recorta uma pirmide AMNP, em que M, N e P so os pontos mdios das arestas, como se mostra na figura. Se V o volume do cubo, o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirmi-des, igual aa) V / 2b) 3V / 4c) 2V / 3d) 5V / 6e) 3V / 8

AM

N

P

21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirmide com vrtice num ponto E. A base um retngulo ABCD, e a face EAB um tringulo retngulo com o ngulo reto no vrtice A. A pirmide apresenta-se cortada por um plano paralelo base, na altura H. Esse plano divide a pirmide em dois slidos: uma pi-rmide EA'B'C'D' e um tronco de pirmide de altura H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h = AE = 6 cm, determinea) o volume da pirmide EA'B'C'D'.b) o volume do tronco de pirmide.

E

A BCD

A' B'

C'D'

3 cm

H

h

6 cm

Jeca 37

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)




Cilindro circular reto. (ou de revoluo)

I - Cilindros.

h

RR

2piR

rea da baserea lateral

h

R

Secomeridianado cilindro 2R

h

Cilindro equiltero. Um cilindro dito equiltero se a sua seco meridiana um quadrado, ou seja, a altura igual ao dimetro da base.

Frmulas dos cilindros

2rea da base A = piRbrea lateral A = 2piRhlrea total A = A + 2 . AT bl

Volume V = A . hb

h = 2R

hCilindro de revoluo. o slido obtido da rota de um retngulo ao redor de um dos seus lados.

rea da seco meridiana A = 2R . hSM

Exerccios.

01) Dado um cilindro de revoluo de altura 12 cm e raio da base 4 cm, determine:a) a rea da base do cilindro;b) a rea lateral do cilindro;c) a rea total do cilindro;d) a rea da seco meridiana do cilindro;e) o volume do cilindro.

02) Determine a rea total de um cilindro equiltero 3

sabendo que o seu volume mede 1458pi cm .

Jeca 38

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 39

03) Dado um cilindro de revoluo de volume 896pi 3

cm e altura 14 cm, determine:a) a medida do raio da base do cilindro;

b) a rea lateral do cilindro;

c) a rea total do cilindro.

06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e est totalmente cheio de gua. Um outro cilindro de raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e est conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um registro, que est fechado. Abrindo-se o registro, a gua ir escoar pelo tubo at que seja estabelecido o equilbrio. Determinar a altura da gua no 2 cilindro quando o equilbrio for alcanado. (Desprezar o volume do tubo de coneco)

04) Determinar o volume de um cilindro de revoluo sabendo-se que a sua rea lateral um quadrado de lado 6pi cm.

05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata cilndrica vazia e v um torro de acar no ponto T, diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distncia que essa formiga deve percorrer dentro da lata para alcanar o torro de acar. (adotar pi = 3)

F

T

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 40

07) Um cilindro de revoluo tem a sua base apoiada sobre um plano horizontal e est totalmente cheio de gua. Inclinando-se o cilindro at um ngulo com a horizontal, parte da gua derramada. Sendo o raio da base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo H > 2R e > 45, determinar o volume de gua derra-mado, em funo de R e de .

horizontal

2R

ab

09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto cortado por um plano no paralelo base, conforme figura. Calcule o volume do slido em termos do raio R, da altura maior a e da altura menor b.

10) (UEL-PR) O volume de um cilindro circular reto 316pi cm . Um cone reto, de base equivalente do cilin-

3dro, tem 5pi cm de volume. Qual a razo entre as me-didas das alturas do cone e do cilindro ?

08) (UFPR-PR) Um cilindro est inscrito em um cu-bo conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o

3volume do cubo 256 cm .a) Calcule o volume do cilindro.b) Calcule a rea total do cilindro.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)




Exerccios complementares.(Cilindro circular reto)

Jeca 41

11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio est sobre uma superfcie plana horizontal e contm gua at a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-se totalmente um bloco cbico no recipiente, o nvel da gua sobe 25%. Considerando pi igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na gua igual a

a) 10 2b) 10 2c) 10 12d) 10 12

3

3

60 cm

40 cm

20 cm

14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em p era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm e raio da base 5 cm, pelo preo de R$ 4,00. O fabri-cante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas man-teve o preo por unidade. Ento, na realidade, o pre-o do produtoa) diminuiu.b) se manteve estvel.c) aumentou entre 10% e 20%.d) aumentou entre 20% e 30%.e) aumentou entre 30% e 40%.

12) (UFG-GO) Num laboratrio, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substncia presente a cada 100 ml. Se o dimetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a dis-tncia entre duas dessas marcas consecutivas ?

13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas cai-xas: uma, de forma cilndrica, e outra, de forma cbica, com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da base de cada caixa tem comprimento igual a 4pi cm, correto afirmar quea) as duas caixas tm o mesmo volume.b) o volume da caixa cilndrica um tero do volume da caixa cbica.c) o volume da caixa cilndrica maior que o volume da caixa cbica.d) o volume da caixa cilndrica a metade do volume da caixa cbica.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 42

15) (ENEM) Uma artes confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de modes feitos com cartes de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (con-forme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do carto, de duas maneiras, a artes forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente pro-porcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relao ao custo da vela do tipo II, sera) o triplo.b) o dobro.c) igual.d) a metade.e) a tera parte.

10 cm

20 cm

10 cm

20 c

m

Tipo I

Tipo II

18) (UFMG-MG) Em uma indstria de velas, a para-fina armazenada em caixas cbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina derramada em moldes em formato de pirmides de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a / 2. Considerando-se essas informaes, correto afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total dea) 6 moldes.b) 8 moldes.c) 24 moldes.d) 32 moldes.

16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e est totalmente cheio de gua. Um cubo de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e est conectado ao cilindro por um tubo com um registro, que est fechado. Abrindo-se o registro, a gua ir escoar pelo tubo at que seja estabelecido o equilbrio. Determinar a altura da gua no cubo quando o equilbrio for alcanado. (adotar pi = 3 e desprezar o volume do tubo de coneco)

17) Dado um cilindro equiltero de raio da base 3 cm, determinar :a) a rea lateral.b) a rea total.c) o volume do cilindro.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 43

21) (UFU-MG) Considere um tanque cilndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de dimetro que est inclinado em relao ao solo em 45, conforme mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual o volume mximo de gua que o tanque pode conter antes de derramar ?

45 horizontal

6 m

2 m

22) (Cefet-MG) O slido S formado pela rotao completa do retngulo ABCD em torno do eixo x. Ento, o volume de S a) 550pib) 600pic) 640pid) 720pie) 780pi A

BC

D 2

8

-2 8

y

x

16pi cm

10 cm

19) A figura abaixo a planificao de um cilindro reto. Determinar a rea da seco meridiana e o volume desse cilindro.

20) Um cilindro de revoluo tem raio da base R e altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o volume inverteu as medidas e usou R como altura e H como raio da base. Determinar a diferena entre:a) a rea total correta e a rea total encontrada pela pessoa.b) o volume correto e o volume encontrado pela pessoa.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Respostas das aulas 04 e 05.

Jeca 15


Jeca 44

Respostas da aula 04

01) a) 5 cm b) 13 cm

2 c) 100 cm

2 d) 260 cm

2 e) 360 cm

3 f) 400 cm02) a) 2 3 cm b) 2 39 cm

2 c) 24 3 cm

2 d) 24 39 cm

3 e) 96 3 cm03) a) 8 cm

2 b) 180 cm c) 15 cm04) a) 6 cm b) 9 cm

2 c) 108 3 cm

2 d) 72 3 cm

3 e) 72 15 cm05) a) 10 6 cm

3 b) 1000 6 cm

2 c) 600 3 cm

306) ( 3 / 16) uc207) a) 70 cm

b) 14 cm2

c) 100 cm3

d) (400 6 / 3) cm2

e) 380 cm208) a) 552 cm

b) 12 cm c) 17 cm d) 253 cm

3 e) 48 253 cm09) b10) d11) b12) e13) 6 6 cm14) I) a) pirmide triangular regular b) (2 3 / 3) cm

2 c) 4 3 cm d) (2 327 / 3) cm

2 e) 4 327 cm

2 f) 4( 3 + 327 ) cm

3 g) 16 3 cm II) a) pirmide quadrangular regular b) 2 cm

2 c) 16 cm d) 2 37 cm

2 e) 16 37 cm

2 f) 16(1 + 37 ) cm

3 g) 64 cm III) a) pirmide hexagonal regular b) 2 3 cm

2 c) 24 3 cm d) 2 39 cm

2 e) 24 39 cm

2 f) 24( 3 + 39 ) cm

3 g) 96 3 cm

2 315) k 3 k 6 / 3 k 2 / 122 316) 32( 13 + 29 ) cm (896 / 3) cm

17) a/318) b

219) a) (5 57 / 2) cm b) (20 57 / 57) cm20) a) 75 000.sen

3 3 b) 75 000 cm 75 litros 0,075 m

3 321) a) 4/3 cm b) 104/3 cm22) d

Respostas da aula 05201) a) 16pi cm2

b) 96pi cm2

c) 128pi cm2

d) 96 cm3

e) 192pi cm202) 486pi cm

03) a) 8 cm2

b) 224pi cm2

c) 352pi cm2 304) 54pi cm

05) 30 2 cm06) 3,6 cm

307) piR / tg 308) a) 64pi cm

2 b) 48pi 2 cm

209) piR (a + b) / 210) 15/1611) 10 12 cm12) 4/pi cm13) c14) e15) b16) 4,28 cm

217) a) 36pi cm2

b) 54pi cm3

c) 54pi cm18) c

219) a) 160 cm 3

b) 640pi cm2 220) a) 2pi(R - H )

b) piRH(R - H)321) 5pi m

22) b

3

3




Cone circular reto. (ou cone de revoluo)

I - Cone reto ou de revoluo.

h g

Rrea da baserea lateral

R

2piR

g g

2 2 2g = h + R

g - geratriz do coneh - altura do coneR - raio da base do cone

Secomeridiana

(corte no meio)

g = 2R e = 180

Frmulas dos cones2rea da base A = piRb

rea lateral A = piRglrea total A = A + AT blVolume V = A . hb

ngulo central = 360 . Rg

13

Cone equiltero. Um cone dito equiltero se a sua seco meridiana um trin-gulo equiltero, ou seja, a sua gera-triz igual ao dimetro da base.

Cone de revoluo. o slido obtido da rota de um tringulo retngulo ao redor de um dos seus catetos.

rea da seco meridiana A = R . hSM

Determinao da frmula da rea lateral e da frmula do ngulo central. Determinar a rea lateral de um cone circular reto como sendo um "tringulo".

2piR

g

g

gA = l

b . h2 =

2piR . g

piRg

2

A = l

Determinar a frmula do ngulo central do cone atravs de uma regra de trs.

360 2pig 2piR

= 360 . Rg (em graus)

2piR (em radianos) = g

Regra de trs

Exerccios.

01) Determine a rea total e o volume de um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 15 cm.

Jeca 45

(GeoJeca)

Jeca 46

03) Dado um cone equiltero de raio da base R, determine, em funo de R :a) a geratriz e a altura do cone.b) a rea da base, a rea lateral e a rea total. c) o volume do cone.

02) Dado um cone de revoluo de raio da base 3 cm e altura 12 cm, determine:a) a geratriz do cone.b) a rea da base.c) a rea lateral.d) o volume do cone.

05) Determinar o volume de um cone de revoluo sabendo-se que o raio da sua base mede 2 cm e que a

2sua rea lateral mede 4pi 10 cm .

04) Determinar o volume de um cone de revoluo sa-2bendo que a sua rea lateral mede 3pi 73 cm e que

2a sua rea da base mede 9pi cm .

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

Jeca 47

06) Dado um cone equiltero de altura 12 3 cm, de-termine:a) a geratriz do cone;

b) o raio da base;

c) a rea lateral;

d) o volume do cone.

207) Dado um cone equiltero de base 16pi cm , deter-mine:a) o raio da base;

b) a geratriz do cone;

c) a rea da seco meridiana;

d) o volume do cone.

09) (UFMG-MG) Na figura abaixo est representada a regio T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y e pelas retas y = x + 1 e y = 3x:

Seja S o slido obtido pela rotao da regio T em torno do eixo y. Ento correto afirmar que o volume de S :a) pi / 24b) pi / 12c) pi / 8d) pi / 4

y

x

08) (UFRN-RN) Um recipiente cnico foi projetado de acordo com o desenho a seguir, no qual o tronco de cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm.

3O volume desse recipiente, em cm , igual a:a) 216pib) 208pic) 224pid) 200pi

2 cm

6 cm

12 cm

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)




Exerccios complementares.(Cone circular reto)

Jeca 48

12) (UFU-MG) Na figura abaixo, tem-se um cilindro de altura h e base de raio r. Inscrito nesse cilindro, h um cone reto de mesma base e mesma altura.

hG

r

Considerando essas informa-es, marque para as alternati-vas (V) verdadeira (F) falsa ou (SO) sem opo. h

1. ( ) A rea lateral do cone reto igual metade da rea lateral do cilindro.2. ( ) Se um plano paralelo s bases do cilindro e base do cone reto divide esse cone em dois slidos de mesmo volume, ento um desses slidos um cone reto de altura h / 2.3. ( ) Seja m a medida do lado de um cubo de volume igual ao volume do cilindro acima. Se m = r, ento r = hpi.4. ( ) Um plano perpendicular base do cone reto, passando pelo seu vrtice A, corta a circunferncia da base desse cone nos pontos B e C. Se h > r, ento o ngulo BAC obtuso.

11) (UFOP-MG) Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio est com a lona toda furada. O dono do circo, ten-do obtido um bom lucro com as apresentaes, resol-veu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lo-na precisava comprar, ele considerou as seguintes es-pecificaes: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona de 10 m, a altura do cilindro de 3 m, e o raio da circunferncia, de 24 m, como indica a

2figura. Que quantidade de lona, em m , ser necess-rio comprar ?

24 m

3 m

10 m

13) (UFLA-MG) Sobre um cilindro de raio r e altura h so obtidos cones da forma descrita no desenho. Calcule a razo entre o volume do cone esquerda e a soma dos volumes dos dois cones direita, defini-dos por um ponto B sobre o eixo que une os dois cen-tros dos crculos da base do cilindro.

hB

r r

10) (UFV-MG) Um chapu, no formato de um cone circular reto, feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ngulo 2pi / 3 radianos e juntando os lados. A rea da base do

2chapu, em cm , a) 140pib) 110pic) 130pid) 100pie) 120pi

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 49

3 cm

4 cm

14) Determinar a rea total e o volume do slido obtido ao se girar um tringulo retngulo de lados 3cm, 4 cm e 5 cm ao redor de sua hipotenusa. (utilizar as relaes mtricas no tringulo retngulo)

A B

CD

15) Na figura abaixo, AB = 4 cm, CD = 6 cm e AD = 5 cm. Determinar o volume do tronco de cone gerado girando-se 360 o quadriltero ABCD ao redor do eixo AD.

16) (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto igual mdia aritmtica entre a altura e a geratriz do

3cone. Sabendo-se que o volume do cone 128pi m , determinar o raio da base e a altura do cone.

217) Dado um cone equiltero de rea lateral 98pi cm , determine:a) o raio da base do cone;

b) a geratriz do cone;

c) a rea da base do cone;

d) a rea total do cone;

e) a altura do cone;

f) o volume do cone.

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 50

18) (UFRG-RS) Um arteso produz velas natalinas na forma de rvore de Natal, conforme a figura abai-xo. O slido A corresponde a um cilindro equiltero e o slido B um cone cuja geratriz igual ao di-metro de sua base. Sabendo que as dimenses so dadas em centmetros e que o raio do cilindro, r, a

3tera parte do raio do cone, R, o volume, em cm , do molde desse enfeite, em funo de R, :

3a) piR (9 3 + 1) / 27

3b) 20piR / 273

c) piR (9 3 + 2) / 273d) 10piR / 27

3e) 11 3pi R / 27

A

B

r

R

19) (UFJF-MG) Fernando utiliza um recipiente, em forma de um cone circular reto, para encher com gua um aqurio em forma de um paraleleppedo retngu-lo. As dimenses do cone so: 20 cm de dimetro de base e 20 cm de altura e as do aqurio so: 120 cm, 50 cm e 40 cm, conforme ilustrao abaixo.

Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do jardim, ele derrama 10% de seu contedo no caminho e despeja o restante no aqurio. Estando o aqurio inicialmente vazio, qual o nmero mnimo de vezes que Fernando dever encher o recipiente na torneira para que a gua despejada no aqurio atinja 1/5 de sua capacidade ?

20 cm

20 cm

120 cm

40 cm

50 cm

20) (UFPR-PR) A parte superior de uma taa tem o formato de um cone, com as dimenses indicadas na figura.a) Qual o volume de lquido que essa taa comporta quando est completamente cheia ?b) Obtenha uma expresso para o volume V de l-quido nessa taa, em funo da altura x indicada na figura. 4 cm

12 cm

x

21) (UFRJ-RJ) Um cilindro circular reto inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois slidos sejam colineares, conforme representado na ilustra-o abaixo.

A altura do cone e o dimetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centmetros, da altura e do raio do cilindro variem

geo posi espacial - geojeca

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