geodesie didier bouteloup chap6

8/17/2019 Geodesie Didier Bouteloup Chap6

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CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS

Cours de Géodésie

Chapitre 6

REALISATION DE RESEAUXGEODESIQUES BI-DIMENSIONNELS

Version 2.0 20/10/2002

Didier BOUTELOUPCellule pédagogique et de recherche en astro-géodésie

[email protected]

(33) 01 64 15 31 37


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COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE

CHAPITRE 6

REALISATION DES RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS

1 I ntroduction____________________________________________________________1

2 I nf luence de la déviation de la verticale sur les mesur es angulair es _______________1

2.1 Introduction __________________________________________________________ 1

2.2 Formulation générale ___________________________________________________22.2.a Déviation de la verticale ________________________________________________________2

2.2.b Corrections des mesures angulaires________________________________________________4

2.3 Application aux mesures de triangulation terrestre _____________________________72.3.a Corrections aux distances zénithales _______________________________________________7

2.3.b Corrections aux angles azimutaux_________________________________________________7

2.3.c Corrections aux angles horizontaux________________________________________________7

3 Triangles géodésiques____________________________________________________7

3.1 Approximation des sections normales _______________________________________ 7

3.2 Représentation des triangles géodésiques en projection conforme __________________ 9

3.3 Réduction des distances_________________________________________________10

4 Réal isation des réseaux géodésiques bidimensionnels__________________________13

4.1 Principe d'élaboration__________________________________________________13

4.2 Référentiels et systèmes géodésiques _______________________________________14


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Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-1

1 Introduction

Avant le lancement des premiers satellites artificiels de la Terre dans les années 1960,les seules techniques utilisables pour l'élaboration des réseaux géodésiques étaient lessuivantes :§ l'ast r onomie de posit ion : elle fournit la longitude et la latitude géographique aλ et

aϕ en un point ainsi que l'azimut d'une direction a Az . C'est une méthode depositionnement absolu,

§ les mesures terrestres d'angles (t r iangulat ion ) et de distances (t r ilat ér at ion ). Cesobservations permettent de déterminer des différences de coordonnées, c'est-à-dire de déterminer les coordonnées d'un deuxième point connaissant celles d'unpremier. Il s'agit de techniques de positionnement relatif.

Les mesures terrestres d'angles et de distances peuvent théoriquement être traitésdans l'espace (calcul tridimensionnel). Mais, historiquement, les calculs ont quasimenttoujours été menés de manière bidimensionnelle. Les stations et les points de viséessont alors projetés orthogonalement sur l'ellipsoïde de référence. Après différentescorrections que nous allons étudier, les observations fournissent des longueurs de lignesgéodésiques e D , des différences d'azimuts Az ∆ et des distances zénithales Dz. Detelles traitements ne permettent en aucun cas de connaître la hauteur h d'un point par

rapport à l'ellipsoïde ; on ne réalise ainsi que des réseaux sur une surface, c'est-à-direbidimensionnels.

En fait, un réseau bidimensionnel est toujours couplé avec un réseau d'altitudes. Maisl'altitude H d'un point n'est pas une grandeur géométrique. Rappelons que l'altitude H est un paramètre homogène à une distance qui traduit l'éloignement par rapport augéoïde, et que, en un point, h et H peuvent différer de quelques dizaines de mètres.

2 Influence de la déviation de la verticale sur les mesures angulaires

2.1 Introduction

Pratiquement, les angles observés sont des différences d'azimuts (angles horizontaux)et des distances zénithales (angles verticaux). Pour pouvoir utiliser le modèleellipsoïdique, il faut ramener ces mesures à des angles relatifs à la normale à l'ellipsoïde.


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2.2 Formulation générale

2.2.a Déviation de la verticale

En un lieu M, on appelle verticale la direction du vecteur-accélération depesanteur terrestre g . La verticale est dirigée par le vecteur unitaire vr

défini

par gvg

= −r

r

r

Autrement dit, la verticale est "la direction du fil à plomb". Le plan passant parM et orthogonal à v est le plan horizontal. On appelle zénith la direction définiepar + v

r

et nadir la direction opposée de -vr

.

On appelle déviation de la verticale l'angle θ entre nr

et vr

. On a cos n vθ = ⋅r r

.

Numériquement, en France métropolitaine, ona toujours 15θ ′′< , et, dans le monde, 100θ ′′< .

Si n v≠r r

, définissons un vecteur normal Tαuur

orthogonal à nr

et coplanaire avec nr

et vr

. Tαuur

est donc un vecteur du plan tangent et peuts'écrire:

p mT sin T cos Tα α α= +uur uur uur

vr

s'exprime alors:

v cos n sin Tαθ θ= +r r uur

Il est clair que θ étant un angle infiniment

petit, cos 1sin θθ θ≈ ≈ et les composantes devr

dans le

repère local sont

LR

sin

v cos

1

θ α

θ α

r

, où cosθ α et

sinθ α sont des angles infiniment petits.

ellipsoïdeg

v

n θ

Fig. 1 : Vecteurs g et n

T m T p

T α

n

v

ηξ

θ

α

Fig. 2 : Décomposition de la

déviation de la verticale


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On retiendra:v

1 R g

L

η

ξ

r

η et ξ sont les composantes de

la déviation de la verticale,respecti-vement dans lesdirections Est-Ouest et Nord-Sud.

On désigne pargL

R le repère local géodésique en 1 1 p m( ; T ,T ,n) M uur uur r

et par

( )L 1 1 2a ; T , T , vR M = uur uur r

le repère local astronomique en 1 .

• ( )1 2; T , v M uur r

est un repère orthonormé du plan mér id ien ast r onomique , c'est

à dire du plan contenant v et parallèle à l'axe des pôles,

• 1Tuur

est tel que ( )1 2T , T , vuur uur r

soit une base orthonormée directe.

Par définition de La R , a priori,

( ) ( )a g

1 2L L

R R R R ξ η− +≠ .

Cherchons une relation entre lescoordonnées astronomiques ( )a a,λ ϕ ,

les coordonnées géographiques ( )g g,λ ϕ

et les composantes ( ),η ξ de ladéviation de la verticale.

n v T m

T p

T 1T2

Ogϕ

gλ

aλ

ϕa

θ

M

Fig. 3 : Repère local astronomique;

coordonnées astronomiques

Les composantes de vr

sont connues dans R et dansg

LR :

a a

a a

a

cos cos

v sin cos

sinR

λ ϕ

λ ϕ

ϕ

r

et

gL

v

1 R

η

ξ

r

Or la matrice R de passage de R àgL

R a déjà été étudiée :


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g g

g g g g g

g g g g g

sin cos 0

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

R

λ λ

ϕ λ ϕ λ ϕ

ϕ λ ϕ λ ϕ

−

= − −

D'où on tire l'identité matricielle:

g g a a

g g g g g a a

g g g g g a

sin cos 0 cos cos

sin cos sin sin cos sin cos

1 cos cos cos sin sin sin

η λ λ λ ϕ

ξ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ

ϕ λ ϕ λ ϕ ϕ

− = − −

( )

( )

( )

a a g

a g a g a g

a g a g a g

cos sin (1)

sin cos cos sin cos (2)

1 cos cos cos sin sin (3)

η ϕ λ λ

ξ ϕ ϕ ϕ ϕ λ λ

ϕ ϕ λ λ ϕ ϕ

= −

⇔ = − −

= − +

L'égalité (1) montre que a gλ λ− est de l'ordre de η, c'est à dire un infinimentpetit de 1er ordre. Ainsi, au 1er ordre près, on peut donc écrire

( )

( )

a g a g

a g

sin

cos 1

λ λ λ λ

λ λ

− = −

− = .

Les relations (1) et (2) s'écrivent donc:

( )

( )

a a g

a g a g a g

cos

sin cos cos sin 1 sin

η ϕ λ λ

ξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= −

= − × = −

On en déduit que a gϕ ϕ− est aussi un infiniment petit de 1er ordre. Dans cesconditions:

( ) ( ) ( ) ( )a a g g a g g a g a gcos cos cos sin sinϕ λ λ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ λ λ − = − − − −

( ) ( )( ) ( )g a g g a g a g g a gcos sin cosnéligeable

ϕ λ λ ϕ ϕ ϕ λ λ ϕ λ λ= − − − − = −14444244443

En définitive, on peut écrire: ( )a gcosη ϕ λ λ= −

a gξ ϕ ϕ= −

2.2.b Corrections des mesures angulaires

Si on note gaR la matrice de passage de LaR à gLR , l'expression de LaR est :

( ) ( )ga 3 2 g 3 g 3 a 2 a 3

L Lg a

R R R R R R R 2 2 2 2

passage de à passage de àR R R R

π π π πϕ λ λ ϕ

+ + + − − − = − −

1444442444443 1444442444443


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De plus, si S désigne une station d'observations et V un point de visée, nous utiliseronsles notations suivantes :

§ a aet Dz Az représentent respectivement la distance zénithale et l'azimut observés

de 1 vers 2 ,§ g get Dz Az représentent respectivement la distance zénithale et l'azimut corrigés,

c'est à dire ramenés dansgL

R .

n v

T 2

T 1

Az a

Dz a

S

V

T p

T m

Dz g

A z g

S

V

Fig. 4 : Correction des mesures angulaires

Soit SVuSV

=uuur

r

uuur , les composantes de ur

sont connues dansg

L R et dans L a R :

g

g g

g g

gL

sin sin

u sin cos

cosR

Dz Az

Dz Az

Dz

r

et

a

a a

a a

aL

sin sin

u sin cos

cos R

Dz Az

Dz Az

Dz

r

et

g g a a

g

g g a a a

g a

sin sin sin sin

sin cos R sin cos

cos cos

Dz Az Dz Az

Dz Az Dz Az

Dz Dz

=

.

L'expression de gaR se développe comme il suit :

g g a a a a a

g

a g g g g g a a a a a

g g g g g a a

sin cos 0 sin sin cos cos cos

R sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin

cos cos cos sin sin 0 cos sin

λ λ λ ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ ϕ ϕ ϕ

− − − = − − −

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

a g a a g a a g

g a a g g ag g

g a g a a g

g

a a g g a a gg a g

g a g a

cos sin sin cos sin

sin sin cos cos sinsin sin

cos cos sin cos cos

cos sin cos cos cos coscos sinsin cos sin sin

a

λ λ ϕ λ λ ϕ λ λ

λ ϕ ϕ λ λ ϕ ϕϕ λϕ ϕ ϕ ϕ λ λ

ϕ ϕ λ λ ϕ ϕ λ λϕ λ λϕ ϕ ϕ ϕ

− − − − −− + − −=

− − − − − + +


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g

a

1 tan

R tan 1

1

η ϕ η

η ϕ ξ

η ξ

− ⇔ = − −

On en déduit :

g g a a

g g a a

g a

sin sin 1 tan sin sin

sin cos tan 1 sin cos

cos 1 cos

Dz Az Dz Az

Dz Az Dz Az

Dz Dz

η ϕ η

η ϕ ξ

η ξ

− =

− −

g g a a a a a

g g a a a a a

g a a a a a

sin sin sin sin tan sin cos cos (1)

sin cos tan sin sin sin cos cos (2)

cos sin sin sin cos cos (3)

Dz Az Dz Az Dz Az Dz

Dz Az Dz Az Dz Az Dz

Dz Dz Az Dz Az Dz

η ϕ η

η ϕ ξ

η ξ

= − +

⇔ = + + = − − +

Écrivons la formule de Taylor au 1er ordre pour la fonction cos au voisinage de a Dz :

( ) ( ) ( )g a g a a g a g acos cos sin Dz Dz Dz Dz Dz Dz Dz Dz Dz ε= − − + − −

( )g ag a

avec lim 0 Dz Dz

Dz Dz ε→

− =

Et l'égalité (3) s'écrit :( )g a a a acos cos sin sin cos Dz Dz Dz Az Az η ξ= − +

Par identification on en tire l'identité suivante au 1er ordre près :g a a asin cos Dz Dz Az Az η ξ− = +

Il se démontre également que, au 1er ordre près, cette formule peut s'écrire :

g a sin cos Dz Dz Az Az η ξ− = +

Pour obtenir la relation liant g aà Az Az , formons a a(1) cos (2) sin Az Az ⋅ − ⋅ :

( )g g a a a a a asin sin tan sin cos cos cos sin Dz Az Az Dz Dz Az Dz Az η ϕ η ξ− = − + −

Cette relation nous montre que ( )g asin Az Az − , et donc g a Az Az − est un infiniment petit

du 1er ordre. Le premier membre de l'égalité s'écrit donc :( ) ( ) ( )g g a g a asin sin sin sin cos Dz Az Az Az Az Dz Az Az η ξ − = − + +

( ) ( )( ) ( )a g a a g a a g asin cos sin cos sin

négligeable car du 2ème ordre

Dz Az Az Dz Az Az Az Az Dz Az Az η ξ= − + − + = −14444444244444443

Et a a(1)cos (2)sin Az Az − se transforme ainsi en :

( ) ( )a g a a a a asin tan sin cos cos sin Dz Az Az Dz Dz Az Az η ϕ η ξ− = − + −

( )g a a a atan cot cos sin Az Az Dz Az Az η ϕ η ξ⇔ − = − + −


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La démonstration serait simple à faire que, dans cette dernière formule, au 1er ordreprès, acot Dz peut être remplacé par gcot Dz , acos Az par gcos Az et asin Az par

gsin Az . Nous retiendrons donc :

( )g a tan cot cos sin Az Az Dz Az Az η ϕ η ξ− = − + −

ou encore :( ) ( )g a g asin cot cos sin Az Az Dz Az Az ϕ λ λ η ξ− = − + −

2.3 Application aux mesures de triangulation terrestre

2.3.a Corrections aux distances zénithales

En ce qui concerne les distances zénithales a Dz , la correction g a Dz Dz − est dedeuxième ordre par rapport à la correction de réfraction, qui est très mal connue; engénéral, on ne l'applique pas.

2.3.b Corrections aux angles azimutaux

Quant aux angles azimutaux a Az , les visées étant le plus souvent proches del'horizontale, Dz est le plus souvent proche de 2π et cot Dz est suffisamment petitpour être négligé. La formule de correction, appelée f ormule de Laplace , à appliquer estdonc :

formule de Laplace : ( )g a g asin Az Az ϕ λ λ− = −

Cette formule indique la correction à apporter à une mesure d'azimut astronomique.

2.3.c Corrections aux angles horizontauxL'angle horizontal entre deux visées est une différence d'azimuts

2 1a a a Az Az Az ∆ = − .

La correction g a Az Az ∆ − ∆ vaut donc :

( ) ( )g g a ag a 2 1 2 1 Az Az Az Az Az Az ∆ − ∆ = − − −

( ) ( )2 2 2 1 1 1cot cos sin cot cos sin Dz Az Az Dz Az Az η ξ η ξ= − − −

Tant que 1 Dz et 2 Dz sont suffisamment proches de 2π , 1cot Dz et 2cot Dz sontnégligeables et il n'y a pas lieu de corriger une différence d'azimuts.

Il faut garder à l'esprit que, si cot Dz n'est plus négligeable, alors la formule de Laplacene peut pas être utilisée et doit être remplacée par la formule générale de g a Az Az − établie précédemment ; cela peut être le cas en zone de montagne, ou lors de mesuresd'angles sur un ouvrage architectural ou industriel.

3 Triangles géodésiques

3.1 Approximation des sections normales

Après correction de la déviation de la verticale, un tour d'horizon fournit donc les

différences d'azimuts géodésiques g Az ∆ entre les différents points de visées, c'est à


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dire les angles entre les différentes sections normales à l'ellipsoïde à la station. Nousnoterons dans ce paragraphe jiS la section normale en i passant par j.

Soit M, P et Q les trois côtés d'un triangle géodésique. À la station M, la différence des

deux visées vers P et Q est l'angle entre les deux sections normales P

M S etQ

M S . À lastation P (respectivement Q), la différence des deux visées vers M et Q (resp. M et P)est l'angle entre les sections normales M P S et

Q

P S (resp. M

QS et P

QS ). Ces six courbessont a priori toutes différentes. En effet, si i j≠ , alors a priori j ii jS S ≠ .

Pratiquement, il se démontre que, pour un triangle de quelques dizaines de km de côtésau maximum, la ligne géodésique passant par i et j ( G

j

iΓ ) se situe toujours entre les deux

sections normales jiS eti

jS , et que la différence d'azimuts,i k

jS ∆ entre deux visées en

une station ( ,i k k i

j j jS S S ∆ = − ) peut être confondue, à4

10 gr

−

près au pire, avec ladifférence d'azimuts des géodésiques ,G G Gi k k i

j j j∆Γ = Γ − Γ .

Il est donc légitime de considérer que, à la précision des observations près, les mesuresd'angles horizontaux entre stations géodésiques forment des triangles sur l'ellipsoïdedont les côtés sont des arcs de lignes géodésiques. Cette approximation est appeléeapproximation des sections normales.

( jiΠ : plan normal à l'ellipsoïde en i passant par j)

M

P

Q

M Q

Π

Π M P

Π M Q

Π M P

Π P Q

Π P Q

Fig. 5 : Observation d'un triangle géodésique


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S M

P

S M P

M

P GΓ

M

Fig. 6 : Sections normales et ligne géodésique entre deux points

3.2 Représentation des triangles géodésiques en projection conforme

Les calculs de triangulation ont le plus souvent été réalisés non pas sur l'ellipsoïde(estimation des coordonnées géographiques des sommets des triangles), mais plutôt en

représentation plane conforme (estimation des coordonnées en projection). Dans ce cas,il faut réduire les triangles géodésiques sur le plan de projection, c'est à dire établir larelation entre un triangle géodésique et son image en représentation :

§ la représentation étant conforme, un triangle infiniment petit a ses angles conservéset ne subit qu'une homothétie de facteur µ,

§ à l'échelle de la Terre, les triangles géodésiques de quelques dizaines de km de côtésne peuvent pas être considérés infiniment petits. Les lignes géodésiquesreprésentant les côtés du triangle ne peuvent donc pas être assimilées à des droites

et les angles intérieurs ne sont ainsi pas conservés.On appelle gisement, noté V, l'angle en projection entre l'axe des ordonnées et la droitereliant deux points 1m et 2m .

Soit Gγ l'image de la ligne géodésique reliant les points 1m et 2m . On notetraditionnellement dV l'angle en 1m entre Gγ et la droite 1m 2m .Remarque : l’image d’une géodésique tourne sa concavité vers l’isomètre central de lareprésentation.

Az

dV

Nord

λ=λconst

1m

2m

Gγ

V

X=X const

Fig. 7 : Ligne géodésique en représentation


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Dans le cas particulier d'une représentation conique conforme de Lambert :§ d Az V V γ = + − , où γ représente la convergence du méridien,§ la correction dV est donnée par la formule de Schols que nous admettrons :§

( )1 3 0 1 31 3 0 0

1 1d sin2

radians sV Az

N β β

µ ρ−= × ×

avec :§ 0 (respectivement 0ρ et 0β ) représentent la grande normale (resp. le rayon de

courbure du méridien ρ et la distance à l'équateur β) calculés sur le parallèleautomécoïque,

§ s est la longueur de Gγ entre 1m et 2m ,§ 1 3µ (resp. 1 3 Az et 1 3β ) représentent le module linéaire µ (resp. l'azimut de Gγ et

la fonction β) calculés en 1 3m , point situé sur Gγ entre 1m et 2m à la distance 3 s

de 1m .§ Autre formulation approché :

1 3 0

1 3 0

sin sind sin

2 sinradians eV D Az

R

ϕ ϕ

ϕ

−= ⋅ ⋅

3.3 Réduction des distances

Au delà de quelques dizaines de mètres, les techniques de mesure de distances utiliséesen géodésie sont de deux types :§ fil en invar : l'utilité de cet instrument s'est beaucoup réduite depuis la disponibilitédes distancemètres électroniques à partir des années 1960. Cette technique

fournissait la distance euclidienne p D 1 entre deux points de la surface terrestre. La

précision relative obtenue p p

D

D

δ était de l'ordre de -5 -610 à quelques 10 ,

§ distancemètre électronique : ces instruments utilisent la propagation d'une ondeélectromagnétique dans l'atmosphère, que le présent cours n'étudie pas en détail. Undistancemètre électronique fournit donc le temps de parcours d'une onde entredeux points. À partir de cette observation on peut obtenir la distance euclidienne

p D entre deux points. La précision relative est de l'ordre de6

10− .

Pour pouvoir se servir de la modélisation de la Terre par un ellipsoïde, il fauttransformer les distances spatiales p D en longueur sur l'ellipsoïde e D .

Les distances mesurées au fil invar ou au distancemètre étant toujours inférieures à50 km environ, nous sommes autorisés, au niveau millimétrique, à confondre la lignegéodésique avec son cercle osculateur.

1. On l'appelle aussi de «distance selon la pente».


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Appelons A et B les deux points de la surface terrestre et 0 0et A B leurs projectionsnormales sur l'ellipsoïde. R désigne le rayon du cercle osculateur, C son centre et c D ladistance spatiale2 entre 0 0et A B .

Cherchons c D en fonction de p D , puis e D en fonction de c D .

C

A0 B

0 Dc

D p

h A h

α R R

De

Fig. 8 : Réduction des distances à l'ellipsoïde

Si α est l'angle entre les vecteurs CA et CB , on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 22

p AB AB AC CB AC CB 2cos A B A B D R h R h R h R hα= ⋅ = + ⋅ + = + + + − + +uuur uuur uuur uuur uuur uuur

En appliquant le même raisonnement au triangle ( )0 0, , A C B , on

obtient :2 2 2 2c 2cos D R R Rα= + −

En isolant cosα dans les deux équations, on arrive à :( ) ( )

( ) ( )

2 2 22 2 pc

2

2 A B

A B

R h R h D R D

R R h R h

+ + + −−=

+ +

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 222 pc

2

2 A B A B

A B

D R h R h R h R h D

R R h R h

− + − + + + +⇔ =

+ +

( )( ) ( )

2

222 p p 2 2c

c p2

1

1 1

A B

A B

A B A B

h h

D D h h D D D

h h R R h R h

R R

−

− − − ⇔ = ⇔ =+ + + +

En conclusion :2

p

c p

1

1 1

A B

A B

h h

D D D

h h

R R

−−

= + +

2. Dc est aussi appelée «distance selon la corde».


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Il reste à déterminer e D en fonction de c D . On sait quec

sin2 2

D

R

α= , ce qui peut

s'écrire c2arcsin2

D

Rα = et :

ce 2 arcsin

2 D D R R

Rα= =

Le développement de arcsin selon les puissances de x s'écrit :3 2 1

53 3 5 (2 1)arcsin6 40 2 4 (2 ) 2 1

n x n x x x x

n n

+× × × −= + + + + ⋅ +× × × +

LL L

L

On a donc :3 5 2 4

c c c c c

e c3 5 2 4

3 32 1

2 48 1280 24 640

D D D D D D R D

R R R R R

= + + ⋅ + = + + ⋅ +

L L

Or 4c 5 10 m D < × et66,4 10 m R ≈ × d'où on tire les ordres de grandeurs suivants :

26c

2

411c

4

3 1024

32 10

640

D

R

D

R

−

−

< × ⋅ < ×

Le terme en4

c

4

D

R peut donc être négligé , puisque p D est connue au mieux à

610− près.

Nous retiendrons la formule dite de cor r ect ion de cour bur e :

2

c

e c 21 24

D D D R

= +

En toute rigueur, il est nécessaire de connaître les hauteurs des stations A et B au-dessus de l'ellipsoïde Ah et Bh pour pouvoir réduire sur l'ellipsoïde la distance mesurée.Historiquement, les réductions ont été calculées en utilisant les altitudes H au lieu des

hauteurs h. L'ordre de grandeur de l'erreur ainsi introduite est celui de h H R

− . En

France métropolitaine, pour le calcul de la triangulation sur l'ellipsoïde Clarke 1880 IGN,

l'erreur est toujours inférieure à 615

6,4 10× , soit6

310−

.


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(NTF) est l'axe de la croix surplombant le Panthéon à Paris, et le point fondamental duréseau allemand de triangulation principale DHDN3 est la Tour Helmert à Potsdam.

Les observations sont toujours faites en nombre surabondant, afin de renforcer et devérifier le réseau :§ mesures de plusieurs bases,§ observations angulaires redondantes,§ éventuellement observations de points de Laplace : on appelle ainsi un point du

réseau (donc muni de coordonnées g getλ ϕ ) où sont de plus déterminés lescoordonnées astronomiques a aetλ ϕ et l'azimut a Az d'une direction. Ainsi, en telpoint, la déviation de la verticale est estimée et l'azimut astronomique peut êtrecorrigé. L'orientation du réseau peut y être vérifiée.

La surabondance est traitée par estimation par moindres carrés

De tels réseaux sont bidimensionnels dans la mesure où les observations utilisées nepermettent pas de déterminer les hauteurs par rapport à l'ellipsoïde h. En général, ladétermination d'un tel réseau bidimensionnel est associée à l'élaboration d'un réseaud'altitudes.

Les réseaux bidimensionnels réalisés selon ce processus sont entachés d'imprécisionscaractéristiques :§ l'échelle de tout le réseau dépend de la mesure de quelques bases courtes.

L'imprécision relative (quelques 10-6) reste constante sur l'ensemble du réseau,§

les calculs ont souvent été expédiés, faute de capacité de calculs suffisante.§ Par exemple, en France, l'imprécision relative de la NTF est évaluée à 10-5, ce quireprésente 1 cm d'erreur entre deux points distants de 1 km (ou 10 m pour1000 km).

4.2 Référentiels et systèmes géodésiques

Un défaut majeur des réseaux bidimensionnels est le caractère non-géocentrique deleurs coordonnées. En effet, l'usage d'un point fondamental revient implicitement àdéplacer l'origine O du repère R .

On appelle référentiel géodésique ( ; i, j,k) R O= un repère affine de l'espace tel que :• est à peu près au centre de gravité de la Terre,§ i j k = = et i vaut environ 1,§ (i , j ,k ) est une base orthogonale directe respectant à peu près l'orientation suivante :§ (O;k ) est parallèle à l'axe de pôles, § (O;i ,k ) est confondu avec le plan méridien de Greenwich.On appelle système géodésique la réalisation numérique d'un référentiel géodésique.

3. Deutsche Hauptdreiecknetz.


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Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI 15

Les référentiels et systèmes géodésiques sous-jacents aux réseaux bidimensionnels nesont pas exactement géocentriques; leur origine peut être éloignée du centre de gravitéterrestre jusqu'à couramment quelques centaines de mètres, et au pire, 2000 m. Unsystème bidimensionnel est caractérisé comme il suit :• les coordonnées et l'azimut au point fondamental en fixent l'origine et l'orientation,• les mesures de bases déterminent le facteur d'échelle, c'est à dire la norme exacte

des trois vecteurs de base.Deux réseaux basés sur deux points fondamentaux distincts réalisent donc deuxsystèmes géodésiques a priori différents.

L'étude des systèmes géodésiques et des transformations entre systèmes est un point-clef de la géodésie moderne.

geodesie didier bouteloup chap6

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