geometri 12 - sanomautbildning.se€¦ · endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell att...

22Geometri är ett område som brukar uppskattas av elever-na, och på den här nivån inte upplevas så svårt. En hel del av det som tas upp i kapitlet har eleverna mött tidiga-re. Huvudsyftet med kapitlet är att eleverna ska få en känsla för olika dimensioner.

Kapitlet inleds med ett uppslag som lämpar sig väl för gemensamma diskussioner om endimensionella, tvådi-mensionella och tredimensionella fi gurer och kroppar samt enheter för de olika dimensionerna. Sedan behand-las begreppen kring olika tredimensionella kroppar lik-som begrepp kopplade till månghörningar. En kort genomgång av hur man mäter vinklar och beräknar vin-kelssummor leder vidare till hur man defi nierar olika tri-anglar och fyrhörningar. Begreppen omkrets och area tas upp och metoder för att beräkna omkrets och area för månghörningar och sammansatta fi gurer. Enkel volym-beräkning av rätblock och enkel beräkning av begräns-ningsarea avslutar kapitlet.

Vi har valt att ta upp cirkelns omkrets och area, voly-men av cylindern och spetsiga kroppar samt enhetsom-vandlingar i årskurs 8. Här i årskurs 7 fokuserar vi på de tre dimensionerna så att eleverna kan se likheter och skillnader mellan dessa och inser att det krävs olika enheter för att beskriva dem.

Blå kurs är parallell med grön kurs. Avsnitten hur man beräknar area av en parallellogram och hur man ritar ett rätblock tas inte upp på blå kurs. Eftersom kurserna är parallella så kan man i Lärarguiden hitta tips och kom-mentarer som rör den blå kursen under motsvarande avsnitt i den gröna kursen.

Röd kurs är parallell med grön kurs. Flera av de moment som tas upp på grön kurs fördjupas i röd kurs. Till exempel får eleverna här möjlighet att arbeta med olika månghörningars vinkelsumma, dra höjder i en trubbvinklig triangel, undersöka platonska kroppar och beräkna volym av prismor och parallellepipeder.

Centralt innehåll

I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet:

Geometri●● Geometriska objekt och deras inbördes relationer.

Geometriska egenskaper hos dessa objekt.

●● Avbildning och konstruktion av geometriska objekt.

●● Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta.

Motsvarande centralt innehåll för årskurs 4–6:

Geometri●● Grundläggande geometriska objekt däribland polygo-

ner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rät-block samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt.

●● Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess användning i vardagliga situationer.

●● Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimen-sionella geometriska fi gurer kan bestämmas och upp-skattas.

●● Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenhe-ter. Mätningar med användning av nutida och äldre metoder.

Kommentarer och svar●● När en snowboardåkare har gjort en ”sju tjugo” så har

hon snurrat 720°.

720° = 2 · 360°

Snowboardåkaren har alltså snurrat 2 varv.

●● När en Big air-åkare har gjort en ” sexton tjugo” har

han snurrat 1 620°. Det motsvarar 1 620°

______ 360° = 4,5 varv.

Geometri

54 55

Mål

Begrepp

1Duktiga snowboard- och skidåkare kan göra hopp, där de snurrar i luften. När de gör en ”tre-sextio”, gör de ett hopp och snurrar 360°. Då har de snurrat ett helt varv.●● Hur många varv har snowboardåkaren snurrat om hon gör en ”sju-tjugo”?●● En Big Jump-åkare har just satt rekord med sina två skidor och gjort en ”sexton-tjugo”. Hur många varv är det?

InnehållNär du arbetar med det här kapitlet får du lära dig

●● att beskriva olika slags vinklar, månghörningar och kroppar

●● att beräkna omkrets och area av månghörningar

●● att beräkna volym av prismor

●● några enheter för längd, area och volym

●● att beräkna arean av begränsningsytor

Begreppen-dimensionelllängdsträckametertvå-dimensionellareaytakvadratmetertre-dimensionellvolymkroppkubikmeterkantsidoytabasyta

hörnprismarätblockkubpyramidmånghörningsidadiagonalrät vinkelspetsig vinkeltrubbig vinkelrak vinkelvinkelsummalikbent triangelliksidig triangel

rätvinklig triangelspetsvinklig triangeltrubbvinklig triangelparallellparallell-trapetsparallello-gramrombkvadratrektangelbashöjdbegräns-ningsyta

Geometri2

●● En linje har en dimension – längd.

●● En yta har två dimensioner – längd och bredd.

●● En kropp har tre dimensioner – längd, bredd och höjd.

54 55

GG

Slut

Här ser du enheterna m, m2 och m3 .

Skriv ner några exempel på när man kan använda dessa enheter.

Låt gärna eleverna skriva ner sina svar på en lapp och lämna in anonymt. Det ger dig som lärare en tydlig bild över vad eleverna uppfattat och tagit till sig under arbe-tet med avsnittet. Anonymiteten ger ibland en tydligare bild över elevernas verkliga kunnande genom att eleven törs skriva något även om hon är osäker. Starta nästa lek-tion med att eleverna följa upp elevernas svar.

Gå vidareBlå kurs Mer grundläggande genomgång och uppgifter som behandlar olika dimensioner fi nns på sidan 80.

Läs mer●● Parera-Lopez, Juan, Hellblom, Oskar (2006) En leksak

för att träna två- och tredimensionellt tänkande Nämnaren 4, 2006.

Olika dimensioner Syftet med avsnittet är att eleverna ska bekanta sig med de tre dimensionerna och vilka enheter som ska använ-das för de olika dimensionerna. I det centrala innehållet för åk 7–9 står att eleverna ska möta ”Geometriska objekt och dess inbördes relationer”. Här tas de upp samtidigt för att eleverna ska kunna jämföra och se skillnader mel-lan de olika dimensionerna. Eleverna får då en bra grund inför kommande avsnitt där de ska beräkna både omkrets, area och volym.

Traditionellt används två olika enhetssystem för att mäta volym, en för vätskor och en för fasta kroppar. Väts-kor anges ofta i enheterna liter, deciliter, centiliter och milliliter medan man för kroppar använder enheterna m3, dm3, cm3 och mm3. Eleverna får här bekanta sig med enheterna för fasta kroppar. Enheterna för vätskor har de mött under tidigare skolår. Stora mängder vätskor, som till exempel hur mycket vatten som ryms i en simbassäng eller hur mycket olja som fi nns i en oljecistern brukar dock anges i kubikmeter, m3.

Lärandemål

Här ska eleverna lära sig:

●● att förklara vad som menas med olika dimensioner, endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell

●● att förklara vad det är för likheter och olikheter mellan begreppen längd, area och volym

●● använda och välja olika enheter för olika dimensioner

●● begreppen endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell, kropp, yta, sträcka, längd, bredd, höjd, area, volym, meter, kvadratmeter, kubikmeter

Tänk på●● Det kan underlätta för eleverna att man konkretiserar

och visar verkliga ytor och kroppar. Använd gärna mjölkpaket, pastakartonger, kakelplattor, papper och andra vardagliga föremål för att tydliggöra vad ytor och kroppar är. Alla föremål är tredimensionella men ett föremåls yta är tvådimensionell. Till exempel är ett mjölkpakets yta tvådimensionell men själva mjölkpa-ketet är tredimensionellt.

●● Påpeka att det är en svårighet att visa endimensionella objekt eftersom de blir tvådimensionella så fort man har ritat dem. Ett sätt kan vara att man ritar två punk-ter på tavlan och att man tänker sig att avståndet mel-lan två punkter blir en endimensionell sträcka.

●● Bygg gärna en kubikmeter så att eleverna får en känsla för storleken. Det fi nns byggsatser att köpa med rör som kanter. Visa även modeller av en kubikdecimeter och en kubikcentimeter. Berätta att en kubikdecime-ter är lika mycket som en liter och kubikcentimeter är lika mycket som en milliliter.

StartLåt eleverna själva fundera över begreppen tredimensio-nell, tvådimensionell och endimensionell genom att fråga eller skriv på tavlan:

Vad menas med att en fi lm är i 3D?

Hitta exempel i klassrummet på något som är tredi-mensionellt, tvådimensionellt och endimensionellt.

En bra arbetsmetod kan vara att låta eleverna tänka själ-va först, sedan diskutera parvis eller i mindre grupper och avslutningsvis alla tillsammans. Lyft fram att en sträcka är endimensionell och har en längd, att en yta är tvådimensionell och har längd och bredd samt att en kropp är tredimensionell och har längd, bredd och höjd.Man kan också ta hjälp av fi gurerna i uppgift 1 och 2 och diskutera skillnader och likheter mellan dessa fi gurer och kroppar. Uppgift 3 kan vara till hjälp att diskutera svårigheten med att rita något som är endimensionellt (se kommentar till uppgift 3).

Facit 1 a) A och C b) B och D

2 a) A, C och E b) B och D

3 Endimensionell

4 a) T.ex. ett hus eller en kula

b) T.ex. ytan på ett pap-per

c) T.ex. ett streck eller avståndet mellan två punkter

5 a) m2 b) m3 c) md) m2 e) m f) m3

6 a) – b) – c) –

7 a) T.ex. dm, cm, milb) T.ex. dm2, cm2, hektarc) T.ex. dm3, cm3, millili-

ter

8 A – cm, B – m2, C – m3, D – dm2, E – cm, F – m, G – cm

Alternativ startStäll följande frågor till eleverna:

Ungefär hur långt är det runt om klassrummet?

Ungefär hur stort är golvet i klassrummet?

Ungefär hur mycket luft fi nns det i klassrummet?

Diskutera vilka enheter som används för olika dimensio-ner och hur man kan mäta omkrets, area och volym.

Kommentarer till uppgifterAlla uppgifter i det här avsnittet lämpar sig väl till att ha gemensamma diskussioner kring. Uppgifterna behandlar viktiga, grundläggande begrepp i geometri.

3 Uppgiften kan fungera som utgångspunkt i diskus-sion kring svårigheten att rita en endimensionell fi gur. När man ritar en linje kan den uppfattas som tvådimensionell. Ett sätt att åskådliggöra en endi-mensionell sträcka är att tänka sig avståndet mellan två kryss.

5 Uppgiften är tänkt att ge eleverna en känsla för vilka typer av enheter som används tillsammans med olika dimensioner. Även om eleverna inte känner till begreppet potens ännu kan man ändå låta dem fun-dera över varför enheterna m, m2, m3 ser ut som de gör. Använd gärna klassrummet som utgångspunkt.

8 Som extrauppgift kan man låta eleverna formulera en liknande uppgift och sedan byta med en kompis.

56 52 GEOMETRI 2 GEOMETRI

5 Välj den enhet man använder när man ska ange

a) hur stort golvet i ett rum är

b) hur mycket luft som finns i ett rum

c) hur lång golvlisten är i ett rum

d) hur stor en gräsmatta är

e) hur långt ett staket är

f) hur mycket vatten som får plats i ett badkar.

6 Titta dig omkring i det rum du befinner dig. Ge exempel på föremål som mäts i enheten

a) meter b) kvadratmeter c) kubikmeter

7 När man ska mäta behöver man ibland mindre enheter än meter, kvadratmeter och kubikmeter. Ge exempel på några andra mindre enheter för

a) längd b) area c) volym

8 Lisa har skrivit det här på en lapp:

Jag är 158 A lång. Jag bor i en lägenhet som har storleken 75 B. Ibland badar jag i badkaret. Det rymmer 0,5 C. När jag mätte arean på mattebokens framsida så var den ungefär 4 D. Längden på min penna är 12 E. Jag har fått en ny säng. Den är 2 F lång och 80 G bred.

Vilka enheter ska det stå i stället för bokstäverna?

Olika dimensioner

1 Vilka av figurerna har

a) längd, bredd och höjd

b) endast längd och bredd

A B C D

2 Vilka av figurerna är

a) tredimensionella b) tvådimensionella

A B C D E

3 Vilken dimension har sträckan mellan kryssen?

4 Ge exempel på något som är

a) tredimensionellt

b) tvådimensionellt

c) endimensionellt

Vi lever i en tredimensionell värld. Allt vi ser runt omkring oss har tre dimensioner. Det har längd, bredd och höjd.

En kropp är En yta är En linje är tredimensionell: tvådimensionell: endimensionell:

Föremål som är tredimensionella kallas för kroppar.

Längd

Längd

BreddHöjd

BreddLängd

Enheter för olika dimensioner1D När vi mäter något som är

endimensionellt, så mäter vi längden av en sträcka. Enheten kan vara meter. En meter förkortas m.

2D När vi mäter något som är tvådimensionellt, så mäter vi arean av en yta. Enheten kan vara kvadrat-meter. En kvadratmeter förkortas m2.

3D När vi mäter något som är tredimensionellt, så mäter vi volymen av en kropp. Enheten kan vara kubik-meter. En kubikmeter förkortas m3.

Barnet är en meter långt, golvet är 4 kvadrat-meter stort och kuben är en kubikmeter stor.

m m2 m3

När man ritar något som

ska vara en-dimensionellt så blir det

tvådimensionellt. Även om man använder en smal penna så får strecket

man ritar en bredd och en längd.

G

572 geometri

G

56 2 geometri

Grundkurs

GG SlutVisa bilder eller kroppar av en pyramid med en basyta som är en rektangel, ett rätblock och en prisma med en triangel som basyta (”tobleroneprisma”). Fråga vilken av kropparna som inte passar ihop med de två övriga och be eleverna skriva ned och motivera sina svar. Det blir då tydligt för dig som lärare vad eleverna uppfattat om kropparnas egenskaper.

Pyramiden och ett rätblocket har båda en basyta som är en fyrhörning.

Pyramiden och prismat har båda sidoytor som har for-men av en triangel.

Rätblock och prisma är båda ”raka” kroppar till skillnad från pyramiden som är en spetsig kropp.

Starta gärna nästa lektion med att visa några olika pris-mor med olika bottenytor och låt eleverna ange antalet hörn, kanter och sidoytor.

Gå vidareBlå kursMer grundläggande genomgång och uppgifter om kropp-ar finns på sidan 81.

Röd kursMer om månghörningar finns på sidan 94–95.Platonska kroppar tas upp på sidan 96.

Repetition Repetition 6 finns på sidan 279.

Extramaterial

Arbetsblad

2:1 Vika kuber ● ●

Aktiviteter

2:1 Vika kroppar ● ●

Kroppar och MånghörningarSyftet med dessa avsnitt är att eleverna ska lära sig några olika geometriska kroppars och månghörningars namn och egenskaper och att beskriva dem med hjälp av geo-metriska begrepp. Eleverna ska även inse att flera olika typer av månghörningar kan bilda kroppar. I det centrala innehållet står det att eleverna ska möta ”Geometriska objekt och dess inbördes relationer. Geometriska egen-skaper hos dessa objekt”.

Lärandemål


●● vad olika kroppar och månghörningar heter och vad som utmärker dem

●● att beskriva likheter och skillnader hos tredimensio-nella kroppar och tvådimensionella objekt

●● begreppen prisma, rätblock, kub, pyramid, hörn, sidoyta, basyta, sida, hörn, kant, månghörning, diagonal

Tänk på●● I båda dessa avsnitt presenteras ett stort antal geome-

triska begrepp. Flera av begreppen har eleverna mött tidigare, men för en del elever kan många av begrep-pen te sig ganska abstrakta. Ett sätt att göra geometrin mer begriplig är att använda konkret material och på det sättet synliggöra matematiska begrepp och sam-band. Om eleverna får se och ta på de geometriska kropparna så kan de lättare förstå vad som är hörn, kant, sidoyta och vilken form de olika sidoytorna har. Använd gärna de geometriska kropparna i hårdplast som finns på de flesta skolor eller använd olika livs-medelsförpackningar.

●● Ett hörn är den punkt där flera kanter möts, en kant är skärningslinje mellan två sidoytor och sidoyta är en plan yta som är en del av en kropp. Observera att hörn har två betydelser beroende på om man pratar om två eller tre dimensioner.

StartAnvänd klipparket som finns på aktivitet 2:1.

Klipp ut en av figurerna och vik längs de streckade linjerna. Forma en kropp och limma eller tejpa ihop den. Hur många kanter, hörn och sidoytor har krop-pen? Vad kallas den?

Kommentarer till uppgifter10 En uppgift som lyfter fram begreppen hörn, kant och

sidoyta.

12 En undersökande uppgift där eleverna ska dra slut-satser utifrån egna figurer.

13 Resonemangsuppgift som berör begreppen diagonal, sida och hörn. Uppgiften lämpar sig väl till att disku-tera i mindre grupper följt av gemensam diskussion i hela gruppen.

15, 16 Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär och tränar elevens förmåga att tänka tredimensionellt.

Facit 9 A – Kub, B – Rätblock,

C – Prisma, D – Pyramid, E – Prisma, F – Kub, G – Rätblock

10 a) 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor

b) 6 hörn, 9 kanter och 5 sido ytor

c) 10 hörn, 15 kanter och 7 sidoytor

d) 5 hörn, 8 kanter och 5 sido ytor

11 a) A – Fyrhörning (kvadrat) B – Trehörning (triangel) C – Sexhörning D – Fyrhörning E – Fyrhörning (romb) F – Femhörning

b) A – 4 hörn och 4 sidor B – 3 hörn och 3 sidor C – 6 hörn och 6 sidor D – 4 hörn och 4 sidor E – 4 hörn och 4 sidor F – 5 hörn och 5 sidor

12 a) 2 diagonaler

T.ex.

b) 5 diagonaler

T.ex.

13 Alla hörn i en triangel ligger intill varandra.

14 a) Prisma, fyrhörning (rektangel) och triangel

b) Prisma, fyrhörning (rektangel) och sexhörning

c) Pyramid, triangel och femhörning

d) Pyramid, triangel och fyrhörning (kvadrat)

15 C

16

58 592 geometri 2 geometri

Kroppar – föremål som är tredimensionella

9 Vilket matematiskt namn har formen på förpackningarna?

A D GC

FEB

10 Hur många hörn, kanter och sidoytor har kropparna?

a) b) c) d)

Månghörningar – figurer som är tvådimensionella

11 a) Vad kallas figurerna?

b) Hur många sidor och hur många hörn har de olika figurerna?

12 Rita och undersök hur många diagonaler du kan rita i en

a) fyrhörning b) femhörning

13 Varför kan det inte finnas en diagonal i en trehörning?

14 Vad heter kroppen och vad heter formen på de olika sidoytorna?

a) b) c) d)

15 Vilken av figurerna kan vikas till en kub?

A B C D E

16 Bilden visar en utvikt tärning. På en tärning är summan av prickarna på två motstående sidor alltid sju. Rita av bilden och rita prickar så att det blir rätt.

Trianglar, fyrhörningar och femhörningar är exempel på månghörningar.

I femhörningen här bredvid är en diagonal inritad. En diagonal är en sträcka mellan två hörn som inte ligger intill varandra. Diagonalen kan alltså inte vara en sida.

ArbetsblAd 2:1

Prisma, rätblock, kub och pyramid är exempel på rymdgeometriska kroppar.

Längs en kant möts två sidoytor.

En sidoyta kallas ibland för basyta.

I ett hörn möts flera kanter.

PrismaBasytan är en månghörning och sidoytorna är rektanglar.

RätblockEtt prisma med en rektangel som basyta.

KubEtt rätblock där alla sidoytor är kvadratiska

PyramidSpetsig kropp med en månghörning som basyta.

Ett rätblock har 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor.

basytahörn

kantsidoyta

hörn

sida

diagonal

A B C D E F

G G


GG Slut

1 En trubbig vinkel är 120°.

A sant B falskt

C sant ibland D vet ej

2 Ett tredjedels varv är 30°.

A sant B falskt


3 I en triangel är vinkelsumman 180°.

A sant B falskt


Gå vidareBlå kursMer grundläggande genomgång och uppgifter om vink-lar fi nns på sidan 82.

Röd kursMer om vinklar och vinkelsummor för olika månghör-ningar fi nns på sidan 94. Vinklar tas även upp i samband med avsnittet Platonska kroppar på sidan 96.

Extramaterial

Arbetsblad

2:2 Hur stor är vinkeln? ● ●

2:3 Räkna med vinklar ● ●

Aktiviteter

2:2 Uppskatta vinkeln ● ●

2:3 Konstruera trianglar ● ●

Vinklar och Triangelns vinkelsummaEleverna bör från mellanstadiet känna till hur man ritar vinklar, hur man mäter vinklar och att vinklar mäts i enheten grader (°). Syftet med detta avsnitt är att elever-na ska lära sig olika vinklars namn för att kunna defi nie-ra månghörningar utifrån dessa. Eleverna ska också lära sig att triangelns vinkelsumma är 180° och kunna lösa problem utifrån det. För att kunna rita en triangel utifrån angivna mått på sidorna måste man använda passare. Passare och linjal var de redskap som användes för att göra geometriska konstruktioner för ett par tusen år sedan. I Aktivitet 2:3, Konstruera trianglar får eleverna själva rita trianglar med hjälp av passare och linjal.

Lärandemål


●● att mäta, uppskatta och namnge vinklar

●● att triangelns vinkelsumma är 180° och göra beräk-ningar utifrån det

●● defi niera och namnge olika trianglar och fyrhörningar

●● begreppen spetsig vinkel, trubbig vinkel, rak vinkel, rät vinkel, helt varv, halvt varv, vinkelsumma

Tänk på●● Genom att konkretisera begrepp underlättar man

elevers förståelse. Begreppet vinkel kan konkretiseras genom att man använder en sax och visar hur vinkeln mellan skärbladen ökar när man öppnar saxen. Man kan också använda saxen för att åskådliggöra en spet-sig, en trubbig och en rät vinkel.

●● En del elever har problem med att läsa av en gradskiva när de mäter vinklar. Poängtera att gradskivan har två skalor och att gradskivan läggs så att ena vinkelbenet går genom 0° på den skala som läses av. Ett annat bra råd är att först avgöra om vinkeln är spetsig eller trubbig. På det sättet kan man direkt märka om man har läst av fel på skalan.

StartRita 5 olika vinklar på tavlan och låt eleverna upp-skatta storleken. När alla elever har gjort en upp-skattning så mäter ni vinklarna gemensamt. Elever-na kan sedan få räkna ut hur många grader de var från det rätta värdet och summerar antalet ”felgra-der”. Den som har minst antal ”felgrader” blir vinna-re. Startuppgiften är samma som Aktivitet 2:2.

Alternativ start 1Skriv 360°, 180°, 90° och 45° på tavlan. Vad vet eleverna om dessa vinklar? Låt eleverna tänka själva, diskutera i par och sedan i helklass. Be dem även gärna att fundera över var de hittar dessa vinklar i vardagen.

Alternativ start 2Gör en genomgång av triangelns vinkelsumma genom att låta eleverna rita en valfri triangel på ett papper och mar-kera vinklarna med en båge. Be dem sedan riva av hör-nen och lägga hörnen som bilden på sidan 61 visar. Elev-erna får då möjlighet att upptäcka att alla trianglars vin-kelsumma är 180 grader, en rak vinkel, oavsett vilken triangel de har ritat.

0

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

180170160150140

130120

110100 80 70

6050

4030

2010

0

1020

3040

506070

8090 100 110 120

130

140150160

170180

32

11 3

2

Facit 17 a) A, C och E

b) D, F och Gc) B och H

18 –

19 a) A och C b) B

20 a) 142° b) 296° c) 123°

21 a) Ett halvt varvb) Ett och ett halvt varvc) Tre varv

22 a) 180° b) 90°c) 120° d) 105°

23 a) 80° b) 35°c) 70° d) 55°

24 a) x = 130° b) x = 50°c) x = 30°

25 a) Nej, summan av två vinklar i en triangel måste vara mindre än 180°

b) Nej, summan av två vinklar i en triangel måste vara mindre än 180°

Kommentarer till uppgifter18 Till den här uppgiften behöver eleverna en gradskiva.

Fler liknande uppgifter fi nns på arbetsblad 2:2.

19 Kontrollera elevernas svar på den här uppgiften, den kan avslöja en missuppfattning. Om eleven tror att B har störst vinkel så kan eleven ha missuppfattningen att det är längden på vinkelbenen som avgör storleken.

20 Här ska eleverna utgå från ett halvt varv eller ett helt varv för att beräkna de vinklar som är markerade med x.

21 Uppgiften handlar om snowboardåkare som snurrar eller gör volter som namnsätts efter hur många gra-der som snurren eller volten är. Ett varv heter” tre – sextio”, 360°. Det fi nns fl er idrotter som använder samma benämningar. Fråga gärna eleverna.

24 Genom att uppmana eleverna att förklara hur de beräknat de okända vinklarna så utvecklas deras resonemangsförmåga.

25 Uppgiften bör diskuteras med hela klassen efter att eleverna har gjort uppgiften. Eleverna får då möjlig-het att utveckla sin resonemangsförmåga utifrån begreppen vinklar och vinkelsumma.


Triangelns vinkelsumma

23 Räkna ut vinkeln x.

a) x

50° 50°

b)

x120°

25°

c) x

48° 62°

d) x

35°

24 Räkna ut vinklarna markerade med x.

a) 85°

45°x

b) 80°

xx

c) 120°

x

25 a) Går det att rita en triangel som har två räta vinklar? Motivera ditt svar.

b) Går det att rita en triangel som har två trubbiga vinklar? Motivera ditt svar.

Vinklar

17 Vilka av vinklarna är

a) spetsiga

b) trubbiga

c) räta

18 Rita en trubbig vinkel, en rät vinkel och en spetsig vinkel. Mät vinklarnas storlek med en gradskiva.

19 Här ser du tre vinklar.

a) Vilka vinklar är lika stora?

b) Vilken vinkel är störst?

20 Räkna ut vinkeln som är markerad med x. Använd inte gradskiva.

a) x

38°

b) x

64°

c) x

25° 32°

21 Hur många varv har en snowboardåkare snurrat när han gjort en

a) ”hundraåttio” b) ”fem-fyrtio” c) ”ten-eighty”

22 Hur många grader är den minsta vinkeln mellan timvisaren och minutvisaren när klockan är

a) 18.00 b) 15.00 c) 16.00 d) 21.30

A

B C

D

E

F

GH

0

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

180170160150140

130120

110100 80 70

6050

4030

2010

0

1020

3040

506070

8090 100 110 120

130

140150160

170180

För att kunna beskriva olika månghörningar behöver man kunna namnge olika vinklar.

En rät vinkel markeras

med en hake.

Rät vinkel Spetsig vinkel Trubbig vinkel Rak vinkel 90° mindre än 90° större än 90° 180°, ett halvt varv

Summan av vinklarna i en triangel är alltid 180°. Man säger att triangelns vinkelsumma är 180°. Det kan man visa genom att riva av hörnen på en papperstriangel och lägga dem intill varandra.

ExempelBeräkna vinkeln v.

Om man vet två av triangelns vinklar kan man räkna ut den tredje vinkeln.

35° + 40° = 75°

v = 180° − 75° = 105° Vinklarna i triangeln är tillsammans 180°.

Svar: Vinkeln v = 105°

En triangel har tre sidor och tre vinklar. tri = tre, angel = vinkel

32

11 3

2

ArbetsblAd 2:2–2:3

1 __ 2 varv = 180°

1 varv = 360°

1 __ 4 varv = 90°

v

40° 35°

B CA

G G


GG Slut

1 I en parallellogram är alla vinklar räta. Det är

A sant B falskt


2 I en romb är alla sidor lika långa. Det är

A sant B falskt


3 I en likbent triangel är alla vinklar spetsiga. Det är

A sant B falskt


Frågorna ger dig som lärare en bild över hur eleverna uppfattat begreppen och var eventuella missuppfatt-ningar fi nns. Starta gärna nästa lektion med att följa upp frågorna.

Gå vidareBlå kursMer grundläggande genomgång och uppgifter om olika typer av trianglar och månghörningar fi nns på sidan 83–84.

Röd kursMer om vinklar och vinkelsummor för olika månghör-ningar fi nns på sidan 94. Vinklar tas även upp i samband med avsnittet Platonska kroppar på sidan 96.

Repetition Repetition 7 fi nns på sidan 280.

Extramaterial

Arbetsblad

2:4 Vinkelsumman i en triangel ● ●

Aktiviteter

2:4 Geometriska begrepp med begreppskort och bildkort

● ●

Begreppskarta

2:1 Trianglar

2:2 Fyrhörningar

2:3 Månghörningar

Läs mer●● Laksman, Pesach (2012) Geometri med spagetti,

Nämnaren 3, 2012.

Olika typer av trianglar Olika typer av fyrhörningar Huvudsyftet med dessa två avsnitt är att eleverna ska bli väl förtrogna med olika typer av trianglar och fyrhör-ningar och vad som utmärker dem. Trianglar namnges efter relationen mellan sidorna i triangeln eller efter vinklarna i triangeln. Fyrhörningarna namnsätt efter om motstående sidor är parallella, om det är en rät vinkel i alla hörn och efter om sidorna är lika långa. I rutan på sidan 63 fi nns ett exempel på en begreppskarta. I en begreppskarta är begreppen sammanlänkade med länkord som visar sambandet mellan begreppen.

Lärandemål


●● att defi niera och namnge olika trianglar och fyrhörningar

●● begreppen oliksidig triangel, likbent triangel, liksidig triangel, rätvinklig triangel, spetsvinklig triangel, trubbvinklig triangel, parallellogram, parallelltrapets, romb, rektangel, kvadrat

Tänk på●● I geometriska fi gurer kan de sidor som är lika långa

eller de vinklar som är lika stora markeras med lika många streck. På samma kan man markera sidor som är lika långa med samma antal streck.

●● Begreppet parallell är ett viktigt begrepp när man defi -nierar olika fyrhörningar. Det kan därför vara bra att kolla upp att alla elever har det begreppet klart för sig.

StartFlera av begreppen i avsnittet har eleven mött i tidigare skolår. Genom att låta eleverna beskriva egenskaper hos en triangel och en fyrhörning får de möjlighet att repete-ra och befästa begrepp och även lära sig nya. Låt gärna eleverna diskutera i par och följ sedan upp i helklass.

Vilka egenskaper har fi gurerna?

A B

Exempel på egenskaper:

Triangeln: tre sidor varav två är lika långa, tre hörn, en trubbig vinkel, två lika stora spetsiga vinklar. En sådan triangel kallas likbent.

Fyrhörningen: fyra sidor varav två parallella, fyra hörn, en trubbig vinkel, en spetsig vinkel, två räta vinklar.En sådan fyrhörning kallas parallelltrapets.

Kommentarer till uppgifter29 Här ska eleven inse att det fi nns två trianglar som

uppfyller kriterierna likbent och en vinkel 50°. Det kan underlätta för eleven att rita upp trianglarna.

31 Uppgiften kan med fördel diskuteras i helklass. Begreppskartan i rutan kan tolkas även från höger till vänster. En kvadrat är en romb eftersom den har lika långa sidor, den är även en rektangel eftersom den har räta vinklar i hörnen. Kvadraten är en parallel-logram eftersom den har motstående parallella sidor och den är ett parallelltrapets eftersom den har minst ett par parallella sidor och den är en fyrhörning efter-som den har fyra hörn.

32 Gör gärna uppgiften tillsammans i klassen. Fråga att diskutera: Varför har en fyrhörning vinkelsumman 360° om triangeln har vinkelsumman 180°? Låt elev-erna klippa en fyrhörning längs en diagonal och på så sätt få två trianglar. Visa att trianglarnas vinklar bild-ar fyrhörningens vinklar. Summan av de två triang-larnas vinklar är 2 · 180° = 360°. Oavsett fyrhörning så kan man dela den i två trianglar. Uppgiften kan utvecklas genom att låta eleverna undersöka femhör-ningar, sexhörningar osv och sedan försöka dra en generell slutsats utifrån antalet hörn.

Facit 26 5 cm

3 5

4

(cm)

27 a) v = 50°, rätvinklig triangel

b) v = 40°, likbent triangel

c) v = 60°, liksidig triangel

d) v = 140°, likbent triangel

28 60°

29 50° och 80° eller 65° och 65°

30 a) A b) A och Ec) A, B, D, E d) A, B, C, D, E

31 A – sant, B – falskt, C – falskt, D – sant, E – sant, F – falskt

32 Vinkelsumman är 360°.

33 När man drar en diago-nal i en fyrhörning bild-as två trianglar. Vinkel-summan är därför 2 · 180° = 360°.

34 a) T.ex.

45°

45°

b) 135°

35 T.ex.

10 10

1010

Vinklarna som bildas är 90°


Olika typer av trianglar

26 Rita en rätvinklig triangel där de två korta sidorna är 3 cm och 4 cm. Använd en linjal och mät den längsta sidan. Hur lång är den?

27 Räkna ut vinkeln som är markerad med v. Mät inte med gradskiva. Skriv också vilken typ av triangel det är.

a) b) c) d)

28 I en rätvinklig triangel är en vinkel 30°. Hur stor är den tredje vinkeln?

29 I en likbent triangel är en vinkel 50°. Hur stora är de andra vinklarna? Det finns två lösningar.

v6 cm 6 cm

6 cmv

100°5 cm 5 cm

7 cm

7 cm

v

20°

v

40°

En triangel har tre sidor och tre vinklar. Trianglar får namn både efter sidorna och efter vinklarna.

I en oliksidig triangel En likbent triangel har två I en liksidig triangel är är sidorna olika långa. vinklar som är lika stora alla vinklar 60°. Alla Alla vinklar är olika stora. och två sidor som är lika långa. sidor är lika långa.

En rätvinklig triangel I en spetsvinklig triangel I en trubbvinklig triangelhar en rät vinkel. är alla vinklar spetsiga. är en vinkel trubbig.

Olika typer av fyrhörningar

30 Vilken eller vilka av fyrhörningarna är en

a) kvadrat b) rektangel

c) parallellogram d) parallelltrapets

31 Vilka påståenden är sanna och vilka är falska?

A Alla vinklar i en rektangel är 90°. B Alla vinklar i en romb är räta.

C Alla rektanglar är kvadrater. D Alla kvadrater är rektanglar.

E Alla rektanglar är parallellogram. F Alla romber är kvadrater.

32 Rita en fyrhörning som inte har räta vinklar i hörnen. Mät vinklarna i fyrhörningen och beräkna vinkelsumman.

33 Ta hjälp av Dilans påstående här intill och förklara varför alla fyrhörningar har vinkelsumman 360°.

34 a) Rita en parallellogram där två av vinklarna är 45°.

b) Hur stora är de andra vinklarna?

35 Rita en kvadrat och en annan romb med sidan 10 cm och dra diagonalerna. Vilken slags vinkel bildas där diagonalerna skär varandra?

A B C

D E

Sidorna och vinklarna bestämmer namnet på en fyrhörning. En fyrhörning kallas

●● parallelltrapets, om den har minst två parallella sidor

●● parallellogram, om sidorna är parvis parallella

●● romb, om sidorna är parvis parallella och lika långa

●● rektangel, om alla vinklar är räta

●● kvadrat, om alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta

Om jag drar en diagonal i

fyrhörningen, så kan jag visa att alla

fyrhörningar har vinkelsumman

360°.

ArbetsblAd 2:4

Redan för 4 000 år sedan odlade egyptierna marken vid Nilens strand. Varje år blev det översvämning och när vattnet drog sig tillbaka måste åkrarna mätas upp igen. För att varje åker skulle få räta vinklar använde de egyptiska lantmätarna rep med knutar. Knutarna var knutna med lika stora mellanrum. Genom att bilda trianglar med sidorna 3, 4 och 5 mellanrum visste de att vinkeln blev rät.

Egyptisk triangel5 l.e.

4 l.e.

3 l.e.

med räta vinklar mellan sidorna kallas

med alla sidor lika

långa kallas

med alla sidor lika långa kallas

med räta vinklar mellan sidorna kallas

med minst två parallella sidor kallas

med parvis parallella

sidor kallasfyrhörning parallell-

trapets kvadratparallello-gram

rektangel

romb

G G


GG SlutLåt eleverna uppskatta hur stor area och hur stor omkrets framsidan av deras lärobok har.

Alternativt slutLåt eleverna bestämma ytan av en oregelbunden fi gur och sedan skriva ner svaren. Använd till exempel Aktivitet 2:9.Starta nästa lektion genom att följa upp aktiviteten.

Gå vidareBlå kursMer grundläggande genomgångar och uppgifter på omkrets och area fi nns på sidorna 85 och 86.

Röd kursMer om area fi nns på sidan 97.

Extramaterial

Arbetsblad

2:5 Omkrets ● ●

Aktiviteter

2:6 Area av oregelbundna fi gurer ● ●

Läs mer●● Holmberg, Britt (2011), Analysera mera i geometri,

Nämnaren 4, 2011.

Omkrets och Area I årskurs 4–6 har eleverna fått lära sig metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometris-ka fi gurer kan bestämmas och uppskattas. Syftet med dessa två avsnitt är att ge eleverna möjlighet att repetera begreppen omkrets och area och koppla dem till begrep-pen endimensionell och tvådimensionell. I de här avsnit-ten och efterföljande avsnitt kommer eleverna att arbeta med både omkrets och area parallellt. Det kan hjälpa eleven att se skillnaden mellan dessa begrepp och att inse skillnaden mellan längdenheter och areaenheter.

Lärandemål


●● metoder för att uppskatta och beräkna omkrets och area av månghörningar och andra tvådimensionella objekt

●● att jämföra begreppen omkrets och area och koppla dem till rätt dimension

●● begreppen omkrets, area, kvadratmeter, kvadrat-decimeter, kvadratcentimeter

Tänk på●● Det händer att elever beräknar omkrets och area utan

att ha förståelse för begreppen. Frågar man vad area är kan man få svaret: ”Area är längden gånger bredden”. Eleven har då lärt sig en metod utantill men förstår inte betydelsen av areabegreppet. Ett sätt att stärka elevernas förståelse av areabegreppet är att låta dem arbeta med uppgifter där de får uppskatta ytor med hjälp av areamallar. Man kan också arbeta med upp-gifter där eleverna får klippa isär fi gurer och se att den totala arean är lika trots att fi gurens form har ändrats.

Start Låt eleverna se sig omkring i klassrummet och uppskatta storleken av några olika ytor och längder. Det kan vara golvlisten, listen runt tavlan, tavlans yta, ytan av en bänk eller ett fönster. Fråga vilken enhet som är lämplig att använda. Tydliggör vilken dimension det handlar om, endimensionell: längden av en sträcka, tvådimensionell: arean av en yta.

Se dig omkring i klassrummet. Uppskatta storleken av några sträckor och några ytor. Vilka enheter använder du?

Alternativ startRita en oregelbunden sluten kurva på tavlan.

Hur kan du mäta omkrets och area av området som är ritat på tavlan?

Facit 36 14 cm

37 T.ex. 7 cm och 5 cm, 8 cm och 4 cm och 9 cm och 3 cm

38 24 cm

39 10 cm och 10 cm eller 8 cm och 12 cm

40 a) x = 3 cm och y = 4 cmb) x = 2 cm och y = 4 cm

41 Omkretsen förändras inte när man ”viker in hörnen”.

42 a) m2 b) cm2

c) dm2 d) m2

43 a) 4,5 cm2 b) 6 cm2

c) ca 12 cm2

Kommentarer till uppgifter39 Uppgiften liknar uppgift 29 på sidan 62. Även här ska

eleven inse att det fi nns två likbenta trianglar som uppfyller kriterierna.

40 En del elever har svårt med den här typen av uppgif-ter. Låt gärna eleverna tänka efter själva först och gå sedan igenom med hela klassen hur man kan avgöra längden av de sträckor som är okända.

41 Att fi gurerna har samma omkrets kan vara svårt att se vid en första anblick. Här får eleverna veta att fi gurer-na har samma omkrets och ska föra ett resonemang som förklarar varför. Uppgiften är lämplig att följa upp i helklass. Att fi gurerna har olika area är ganska uppenbart men uppgiften kan leda till insikten att fi gurer med samma omkrets kan ha olika area.

42 Genom att låta eleverna diskutera och motivera sina val av enheter kan deras uppfattning om areaenheter-nas storlek stärkas och även deras förmåga att föra resonemang.

43 Här ska eleverna uppskatta arean med hjälp av en areamall. Att jämföra en area med en känd enhet (cm2) är en bra övning som ger förståelse för begrep-pet area och areaenheten kvadratcentimeter.

44 Här ska eleverna uppskatta area och omkrets av ett oregelbundet område med hjälp av en angiven sträcka.


Omkrets

36 Mät rektangelns sidor och beräkna omkretsen.

37 Rita tre olika rektanglar som har omkretsen 24 cm.

38 En liksidig triangel har en sida som är 8 cm. Hur lång är triangelns omkrets?

39 I en likbent triangel är en sida 8 cm. Triangelns omkrets är 28 cm. Hur långa är de andra sidorna? Det finns två lösningar.

40 Hur långa är sidorna som är markerade med x och y?

a) 81

5

5

x

y

(cm) b)

8 10

12

x

y

(cm)4

41 De tre figurerna har samma omkrets. Förklara hur man kan veta det.

A B C

När man beräknar omkretsen räknar man ut hur långt det är runt om. Rektangelns omkrets är summan av rektangelns sidor. Omkrets förkortas ofta med O.

ExempelBeräkna rektangelns omkrets.

O = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm

Svar: Omkretsen är 12 cm.

Area

42 Vilken areaenhet ska stå i rutan?

a) Golvet i ett klassrum kan ha arean 80 .

b) Framsidan på en bok kan ha arean 500 .

c) Sitsen på en stol kan ha arean 16 .

d) En fotbollsplan kan ha arean 5 000 .

43 Hur stor area har figurerna? Varje ruta är 1 cm2.

a) b) c)

44 Här ser du en karta över en ö.

a) Ungefär hur stor area har ön?

b) Ungefär hur stor omkrets har sjön på ön?

Area är ett mått på hur stort ett område eller en yta är.

En kvadratmeter (1 m2) är en yta som har lika stor area som en kvadrat med sidan en meter.

En kvadratdecimeter (1 dm2) är ungefär lika stor som en handflata.

En kvadratcentimeter (1 cm2)är ungefär lika stor som en lillfingernagel.

4 (cm)

2

Alla mått i rektangeln är i centimeter.

ArbetsblAd 2:5 1 km

1 m2

1 m 1 m

1 cm2

1 dm2

G G


GG Rektangelns area och Parallellogrammens area Syftet med avsnitten är att eleverna ska lära sig att beräk-na area av fyrhörningar. Hur man beräknar arean av en rektangel är något eleverna troligtvis stött på under mel-lanstadietiden men hur man beräknar arean av en paral-lellogram är nog inte lika bekant. Metoden att beräkna arean är densamma för rektanglar och parallellogram-mer. En parallellogram med samma bas och höjd som en rektangel har lika stor area. Vi har därför valt att kalla rektangelns sidor för bas och höjd istället för längd och bredd. Det gör även att det blir lättare att förstå hur man beräknar triangelns area.

I det centrala innehållet för årskurs 7–9 står att elever-na ska möta: ”Metoder för beräkning av area hos geome-triska objekt”.

Lärandemål


●● metoder för att beräkna rektangelns och parallel-logrammens area

●● att göra jämförelser mellan hur man beräknar rektang-elns och parallellogrammens area

●● begreppen bas, höjd, längd, bredd, rektangel, parallellogram

Tänk på

●● Begreppet höjd är svårt för många elever. Varför kallas det höjd när objektet ligger ner? Vad är höjd i en paral-lellogram? Om eleverna får klippa ut en parallellogram och ställa den upp med en sida mot bordet kan de se vad som är bas och höjd. De kan även vrida parallel-logrammen och se att det fi nns fyra baser med fyra tillhörande höjder.

●● En vanlig missuppfattning hos elever är att arean all-tid ökar om omkretsen ökar, och tvärtom. En annan missuppfattning är att en rektangels area fördubblas om rektangelns längd och bredd fördubblas, när den egentligen blir fyra gånger så stor. Ytterligare en miss-uppfattning är att parallellogrammens sida är en höjd.

StartLåt eleverna själva upptäcka hur man beräknar arean av en rektangel och en parallellogram. Använd centimeter-papper (se Aktivitet 2:5 A) och låt dem rita upp tre olika rektanglar med given höjd och bredd, alla med samma area. Eleverna kan sedan beräkna arean genom att räkna rutor, men kommer även att inse att det går att få fram arean på ett enklare sätt, genom att multiplicera rektang-elns bredd (bas) med rektangelns höjd.

Rita 3 rektanglar med följande mått:

Rektangel A Bredd: 12 cm Höjd: 2 cm

Rektangel B Bredd: 3 cm Höjd: 8 cm

Rektangel C Bredd: 6 cm Höjd: 4 cm

Vad har rektanglarna gemensamt?

Hur beräknar man en rektangels area?

Fortsättning eller alternativ start Här ska eleverna inse att man kan beräkna parallel-logrammens area på samma sätt som för en rektangel, nämligen genom att multiplicera basen med höjden.

Rita en parallellogram som inte är en rektangel.

Välj en sida som bas och rita en höjd mot basen.

Klipp längs höjden och lägg den avklippta triangeln så att en rektangel bildas.

Hur beräknar man arean av en parallellogram?

Slut

1 En rektangel som har arean 25 cm2 har basen 5 cm.

A ja B nej

C stämmer ibland D vet ej

2 En kvadrat som har arean 25 cm2 har basen 5 cm.

A ja B nej

C stämmer ibland D vet ej

3 En parallellogram som inte är en rektangel har längden 5 cm och höjden 4 cm. Omkretsen är

A 20 cm B 18 cm

C går ej att beräkna

Här kan man få reda på om eleverna har förstått att rek-tanglar som har olika bas och höjd ändå kan ha samma area, om eleverna använder parallellogrammens höjd som sida eller tror att en rektangel inte kan ha formen av en kvadrat.

Gå vidareBlå kurs Mer grundläggande genomgångar och uppgifter på rek-tangelns och parallellogrammens area fi nns på sidan 87.


Extramaterial

Arbetsblad

2:6 Area och omkrets ● ●

Facit 45 a) 12 cm2 b) 5,5 cm2

46 a) – b) 15 cm2

47 a) Kvadrat med sidan 2 cm

b) Kvadrat med sidan 3 cm

c) Kvadrat med sidan 5 cm

48 –

49 –

50 a) Rektangel med arean 16 cm2

b) 4 gånger störrec) 9 gånger större

51 a) 6 cm2 b) 8 cm2

c) 10 cm2

52 a) Dilan har räknat rätt.b) Anna har beräknat

omkretsen. Benjamin har beräknat arean av en annan parallel-logram med basen 5 cm och höjden 4 cm.

53 a) – b) 15 cm2

54 –

Kommentarer till uppgifter48, 49 Uppgifter där eleverna har möjlighet att upptäcka att

rektanglar med lika lång omkrets kan ha olika area. De får också upptäcka att rektanglar med lika stor area kan ha olika lång omkrets. Diskutera dessa upp-gifter med eleverna så att de blir uppmärksammade på syftet med uppgifterna.

50 En uppgift som visar att arean av en rektangel ökar fyra gånger om både längden och bredden fördubblas och att arean ökar med 9 gånger om sidorna tredubb-las. Låt gärna eleverna jämföra sina rektanglar med varandra och se att dessa samband gäller oavsett vilka ursprungsmåtten är. Du kan även utmana eleverna förklara varför det är så och sedan följa upp i helklass. Eleverna får då möjlighet utveckla sin förmåga att följa och föra matematiska resonemang. Under årskurs 9 kommer eleverna att få arbeta med areaskala.

53, 54 Om eleverna inte tidigare ritat parallellogram så kan det vara bra att tillsammans gå igenom hur man gör det.


Parallellogrammens area

51 Mät bas och höjd och beräkna parallellogrammens areor.

a) b) c)

52 Anna, Benjamin och Dilan har räknat ut parallellogrammens area.

Här ser du deras beräkningar.

5 + 4 + 5 + 4 = = 18

Anna

5 · 4 = 20

Benjamin

5 · 3 = 15

Dilana) Vem har rätt?

b) Vad har de andra räknat ut?

53 a) Rita en parallellogram med basen 5 cm och höjden 3 cm.

b) Beräkna arean.

54 Rita två olika parallellogrammer (som inte är rektanglar) som har arean 20 cm2.

5 cm

3 cm4 cm

Rektangelns area

45 Mät i figuren och beräkna arean.

a) b)

46 a) Rita en rektangel med bredden 2,5 cm och längden 6 cm.

b) Beräkna rektangelns area.

47 Rita en kvadrat som har arean

a) 4 cm2 b) 9 cm2 c) 25 cm2

48 Rita två olika rektanglar som har omkretsen 12 cm. Beräkna arean av varje rektangel.

49 Rita två olika rektanglar som har arean 12 cm2. Beräkna omkretsen av varje rektangel.

50 a) Rita en rektangel med dubbelt så stor area som rektangeln här bredvid.

b) Hur många gånger större blir arean av en rektangel om du fördubblar både längden och bredden?

c) Hur många gånger större blir arean om du gör både längden och bredden tre gånger större?

Längden och bredden av en rektangel kallas ofta för bas och höjd. Höjden är alltid vinkelrät mot basen.

I en rektangel där sidorna är 4 cm och 3 cm får det plats 4 ∙ 3 = 12 hela rutor med arean 1 cm2. Rektangelns area är 12 cm2.

Arean = 4 cm ∙ 3 cm = 12 cm2

1 cm2

Arean = basen · höjden

A = b · h

Arean av en parallellogram beräknar man på samma sätt som arean av en rektangel.


Figuren visar att alla parallellogrammer kan göras om till en rektangel.


A = b · h

höjd

bas

Höjden är alltid vinkelrät mot basen.

3 cm

4 cm

höjd

bas bas

ArbetsblAd 2:6

G G


GG SlutRita en triangel på tavlan och skriv måtten 4 cm på basen och 3 cm på höjden.

Hur stor är triangelns area?

A 12 cm2 B 6 cm2

C 7 cm2 D vet ej

Läraren får en snabb koll på om eleverna har förstått och kan beräkna arean av en triangel. Eventuella missupp-fattningar (t.ex. glömt att dividera med två) kommer också fram.

Alternativt slutBe eleverna rita en triangel och rita alla höjderna i triang-eln. Be dem sedan räkna ut omkretsen och arean.

Gå vidareBlå kurs Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om tri-angelns area finns på sidorna 88– 89.

Röd kursHur man beräknar arean av trubbvinkliga trianglar finns på sidan 97.

Extramaterial

Arbetsblad

2:7 Triangel – bas, höjd och area ● ●

Aktiviteter

2:6 Triangeln är en halv fyrhörning ● ●

Begreppskarta

2:4 Area

Triangelns area Metoden för att beräkna area av trianglar har eleverna redan mött i årskurs 4–6. Syftet med detta avsnitt är att befästa metoden samt att öva eleverna på att mäta och bestämma höjden i en triangel oavsett vilken sida som anges som bas. I det centrala innehållet för årskurs 7–9 står det att eleverna ska möta: ”Metoder för beräkning av area hos geometriska objekt”.

Lärandemål


●● att bestämma och mäta olika baser och höjder i trianglar

●● en metod för att beräkna area av trianglar

●● begreppen bas, höjd, triangel

Tänk på●● En del elever lär sig formeln för triangelns area utan

att ha förståelse för vad den innebär. Att utgå från en rektangel och visa att en triangel är en halv rektangel kan hjälpa eleverna att inse varför man ska dividera

med två när man beräknar triangelns area, b · h

____ 2 .

Det är också viktigt att eleverna får öva på att dra höj-den vinkelrät mot den sida som man kallar för bas. Använd gärna Arbetsblad 2:7.

●● Elever som alltid ser trianglar där basen är den sida som triangeln vilar på, kan tro att trianglar alltid måste vara placerade så för att kallas triangel. En triangel som har ett hörn nederst kan uppfattas som en triangel som är upp och ned. Eleverna bör få arbeta med trianglar där vilken sida som helst kan väljas som bas. Om elever-na får klippa ut en triangel och ställa den upp med en sida mot bordet kan de lättare se vad som är bas och höjd. De kan även vrida triangeln och se att det finns tre baser och tre till dem tillhörande höjder.

StartLåt eleverna rita och klippa ut en rektangel/parallel-logram av papper och sedan mäta och beräkna figurens area. Därefter ska eleverna klippa itu rektangeln/parallel-logrammen längs diagonalen så att det bildas två triang-lar. Steget är nu inte långt för eleverna att inse att man kan beräkna triangelns area genom att dividera rektang-elns/parallellogrammens area med två.

Rita en parallellogram.

Mät och beräkna parallellogrammens area.

Klipp itu parallellogrammen längs diagonalen så att det bildas två lika stora trianglar.

Bestäm arean av varje triangel.

Kommentarer till uppgifter57 Uppgiften kan göras gemensamt med hela klassen.

Uppmana eleverna att rita stora trianglar och tipsa om att de kan ha användning av en genomskinlig plastlinjal när de ska rita höjden mot basen. Visa gärna elevernas trianglar med dokumentkamera. Det är vanligt att höjden inte ritas vinkelrät mot basen trots upprepad undervisning.

59 Uppgiften kan utvecklas genom att låta eleverna mäta alla tre baserna och alla tre höjderna i varje triangel och upptäcka att det alltid blir lika stora area.

60 Den här uppgiften kan utvecklas till en resonemangs- och problemlösningsuppgift om eleverna uppmanas att hitta flera olika trianglar med en given area.

61 Den här uppgiften är baserad på ett tangrampussel. I b-uppgiften är det inte meningen att eleverna ska mäta och göra beräkningar utan att de ska utgå från helheten. De ska se hur stor del av hela pusslet som de olika månghörningarna upptar.

62 Uppgiften testar om eleverna även tar med triangelns höjd när de beräknar omkretsen. Var uppmärksam på det.

Facit 55 a) 10 dm2 b) 3 m2

c) 320 m2

56 a) Höjden är 3 cm och arean är 7,5 cm2.

b) Höjden är 3,5 cm och arean är 5,25 cm2.

c) Höjden är 4 cm och arean är 16 cm2.

57 a) – b) T.ex.

58 Arean är 10 cm2

59 a) 3,5 cm2 b) 6 cm2

c) 10,5 cm2

60 a) – b) – c) –

61 a) Rätvinklig och likbent triangel, kvadrat och parallellogram.

b) Trianglar: 4 cm2, 2 cm2 och 1 cm2

Kvadrat: 2 cm2

Parallellogram: 2 cm2

62 a) 9 cm b) 3 cm2


Triangelns area

55 Beräkna arean av den färgade triangeln.

a) b) c) 20 m

32 m

56 Mät höjden mot den sida som kallas bas och beräkna triangelns area. Kom ihåg att höjden är vinkelrät mot basen.

a) b)

c) bas

4 dm

5 dm

2 m

3 m

bas

bas

Triangelns area är hälften av en parallellograms area, om deras bas och höjd är lika.

Arean = 4 cm · 3 cm

__________ 2 = 6 cm2

Arean av en triangel = basen · höjden

_____________ 2

Arean = basen · höjden _____________ 2

A = b · h ____ 2

Dividera med 2, eftersom en triangel är en halv parallellogram.

bas

höjd

A

C B

bas höjd

A

C B

bas

A

C B

höjd

57 a) Rita två trianglar i ditt räknehäfte. De ska ha ungefär samma form som trianglarna A och B, men rita dem gärna lite större.

b) Rita höjder från alla tre hörnen i varje triangel. Om du har ritat noggrant, möts alla tre höjderna i en punkt.

A B

58 Rita tre olika trianglar som alla har basen 5 cm och höjden 4 cm. Beräkna arean.

59 Mät bas och höjd och beräkna arean av trianglarna. Välj själv vilken höjd och bas du mäter.

a) b) c)

60 Rita en triangel som har arean

a) 12 cm2 b) 9 cm2 c) 15 cm2

61 Här intill har vi ritat ett så kallat tangrampussel.

a) Vad heter månghörningarna i tangrampusslet?

b) Bestäm hur stor area de olika figurerna har.

62 Beräkna triangelns

a) omkrets

b) area

(cm)

2 3

4

1,5

ArbetsblAd 2:7

3 cm

4 cm

höjd

bas

G G


GG Slut

Den här är en ritning av ett rum.

Du renoverar och ska lägga in nytt golv och köpa nya lister.

a) Hur mycket golv måste du minst köpa?

b) Hur många meter golvlist behöver du minst köpa?

Alternativt slutRita upp en skiss av en gräsmatta med några uteplatser på och mått utsatta. Fråga eleverna hur stor area gräs-mattan har.

Gå vidareBlå kurs Mer grundläggande genomgång och uppgifter om sammansatta fi gurer fi nns på sidan 90.

RepetitionRepetition 9 fi nns på sidan 282.

Extramaterial

Arbetsblad

2:8 Sammansatta fi gurer ● ●

2:9 Renovera lägenheten ● ●

Sammansatta fi gurer I det här avsnittet får eleverna möjlighet att tillämpa den kunskap de inhämtat i tidigare avsnitt. Att kunna tilläm-pa metoder i nya situationer är ett bra sätt att befästa de metoder man tidigare övat på och visa att man förstått. Här får eleverna också möjlighet att öva på hur samman-satta fi gurer kan delas in för att underlätta vid beräkning av arean. Det ger eleverna en förförståelse inför nästa avsnitt där de ska beräkna arean av kroppars begräns-ningsyta.

Lärandemål


●● metoder för att beräkna area på sammansatta fi gurer

●● att kunna tolka en ritning och göra enkla vardagsnära beräkningar

Tänk på●● Många elever har svårt att dela in en sammansatt fi gur

i delar som är möjliga att beräkna arean av. Det kan underlätta för eleverna att vi ger dem en tydlig arbets-gång. En sådan arbetsgång kan vara:

1 Rita av fi guren

2 Skriv ut alla mått. Vilka mått saknas? Kan du beräkna dem?

3 Dela in fi guren i delar som är möjliga att beräkna arean av.

4 Beräkna arean av de olika delarna och addera.

5 Är svaret rimligt?

StartRita upp en ”husgavel” och en ram på tavlan och fråga hur man kan gå till väga för att beräkna arean. Syftet med den här övningen är att eleverna själva får fundera över hur man kan gå till väga för att bestämma arean av en sammansatt fi gur. Tanken är inte att de ska beräkna ett svar utan att de ska hitta ett tillvägagångssätt för att kunna beräkna arean.

Hur gör man för att beräkna arean av husgaveln och ramen?

Följ upp i helklass. Sätt sedan ut mått på husgaveln och ramen och låt eleverna beräkna arean.

Kommentarer till uppgifter65 Här ska spegelglasets area tas bort från den totala

arean. Det kan fi nnas elever som inte inser det. Upp-giften kan därför med fördel diskuteras i helklass. Fler liknande uppgifter fi nns på arbetsblad 2:8.

66 Här ska eleverna utgå ifrån en ritning och använda skala för att göra areaberäkningar.

Man kan göra liknande uppgifter genom att låta elev-erna arbeta utifrån en katalog eller ett reklamblad från ett byggvaruhus och samtidigt ha tillgång till en ritning över ett hus eller lägenhet.

Facit 63 a) 15 m2 b) 5 m2

c) 20 m2

64 a) 30 m2 b) 34 m2

c) 31,5 m2

65 a) 36 dm2 b) 16 dm2

c) 20 dm2

66 a) 3,5 m b) 6 m c) 21 m2

d) ca 6 000 kr (5 985 kr)

67 a) 6,1 m b) 17 m

68 a) 4 st b) 16 stc) 25 st d) 100 st

69 a) 28 st b) 112 st

(m)4

3

2

7

4

4

6

7

8

15


Sammansatta figurer

63 Husets kortsida har formen av en rektangel och en triangel. Beräkna

a) rektangelns area

b) triangelns area

c) hela arean av husets kortsida

64 Hur stor area har kortsidorna på husen?

a) b) c)

65 Emelie sätter in en kvadratisk spegel i en kvadratisk ram. Beräkna arean av

a) hela kvadraten (spegelglas och ram)

b) spegelglaset

c) ramen kring spegelglaset.

2 m

6 m

4 m 5 m

8 m

3,5 m

7 m

4 m5 m

När man ska beräkna arean av en sammansatt figur kan man dela in den i mindre figurer som är lättare att beräkna arean av.

Man kan dela in husväggen i en rektangel och en triangel.

Rektangelns area: 6 m ∙ 3 m = 18 m2

Triangelns area: 6 m ∙ 2,5 m

__________ 2 = 15

___ 2 m2 = 7,5 m2

Väggens area: 18 m2 + 7,5 m2 = 25,5 m2

2 m

3 m

5 m

Titta på ritningen och mät med linjal.

66 a) Hur brett är vardagsrummet i verkligheten?

b) Hur långt är vardagsrummet i verkligheten?

c) Beräkna vardagsrummets area.

d) Hur mycket skulle det kosta att lägga in parkettgolv i vardagsrummet?

Skala 1:100

Sovrum

HallTM

K/F

Kök

Uteplats

Kläd-kam-mare

Vardagsrum

67 a) Beräkna hur mycket golvlist som behövs i klädkammaren. Tänk på att inte räkna med dörren.

b) Hur lång golvlist behövs i vardagsrummet?

68 Du ska lägga stenplattor på en yta som är 1 m2. Hur många plattor behöver du om de är kvadratiska och har sidlängden

a) 50 cm b) 25 cm

c) 20 cm d) 10 cm

69 Du ska lägga stenplattor på uteplatsen. Hur många plattor behövs det om en platta har måtten

a) 50 cm × 50 cm b) 25 cm × 25 cm

Ritningar är ofta ritade i

skala 1:100. Det betyder att

1 centimeter på ritningen är 1 meter

i verkligheten.

Triangelns höjd är

5,5 m – 3 m = = 2,5 m.

6 m

5,5 m

3 m

6

4

4

6

(dm)

ArbetsblAd 2:8

ArbetsblAd 2:9

Parkettgolv

285 kr/m2

50 cm × 50 cm betyder att plattans bredd är 50 cm och att plattans längd är

50 cm.

G G


GG Slut

Här

Ange rimlig volym av

a) en hink b) en kopp c) ett badkar

d) en tegelsten e) en limpa f) läroboken

har läraren en möjlighet att se hur väl eleverna har förstått och kan uppskatta en volym av en kropp. Vid uppföljning av svaren kan man jämföra de största och minsta måtten som eleverna föreslog på kropparna. Är svaren rimliga? Vad borde ”rätt svar” vara?

Gå vidareBlå kurs Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om volym fi nns på sidan 91.

Extramaterial

Aktiviteter

2:8 Rita rätblock ● ●

Volym och Rätblock Syftet med det första avsnittet är att eleverna ska få en känsla för begreppet volym. Att kroppar är tredimensio-nella och att volymen anger hur stor en kropp är eller hur mycket något innehåller är centralt. Eleverna får även möta två sätt att ange enhet för volym, litersystemet och metersystemet.

Det andra avsnittet handlar om rätblock. Det är bra om eleverna lär sig att rita ett rätblock med stöd av rutnä-tet i räknehäftet. Det gör att de inte behöver fundera på hur de ska gå till väga när de senare behöver göra en skiss av ett rätblock. Eleverna brukar dessutom tycka att det är roligt. Att inte kunna rita fi nt, att inte veta hur man ska göra, brukar däremot uppfattas som mycket frustreran-de. I det centrala innehållet för årkurs 7–9 står att elever-na ska möta ”Avbildning och konstruktion av geometris-ka objekt”.

Lärandemål


●● att kunna förklara vad volym är för något

●● använda och välja olika enheter för volym

●● en metod för att rita ett rätblock

●● begreppen volym, liter, deciliter, centiliter, milliliter, kubikmeter, kubikdecimeter, kubikcentimeter

Tänk på

Att uttrycka volym i metersystemet kan vara nytt för eleverna. Eleverna kan behöva få se på, ta på och bygga med centikuber (kuber med volymen 1 cm3) och kuber med volymen 1 dm3 för att få en känsla för storleken av de olika enheterna.

Bygg gärna en kubikmeter (byggsats fi nns att köpa) och resonera kring hur många kuber med sidan 1 dm den kan rymma. Vi har inte så många uppgifter med enhets-omvandlingar här i åk 7 men eleverna bör ändå få en storleksuppfattning av de olika enheterna. Mer om enhetsomvandlingar för volym kommer i årskurs 8.

StartUppmana eleverna att bygga rätblock av ett bestämt antal centikuber på så många olika sätt de kan. Här ska eleverna få en känsla för volym och enheten kubikcentimeter och även inse att olika rätblock kan ha samma volym.

Bygg ett rätblock av 12 centikuber.

Finns det andra rätblock som också består 12 cen-tikuber? Om ja, bygg på så många olika sätt du kan komma på.

Jämför med en kompis.

Alternativ startGör uppgift 73 tillsammans steg för steg. Kontrollera att alla elever

●● använder rutnätet som stöd

●● förstår att alla hörnen för ett rätblock är 90° även om det bildas en vinkel som är 45° när man ritar diagona-len i en ruta i rutnätet och att man ritar så för att per-spektivet ska stämma.

●● förstår att man ska rita rätblockets bredd hälften så lång som det angivna måttet för att ögat ska uppfatta proportionerna korrekt.

Facit 70 a) cm3

b) liter eller dm3

c) m3

71 a) 24 cm3 b) 16 cm3

c) 18 cm3

72 10 900 kr

73 a) – b) – c) –d) 60, 96 och 8 st

74 a) – b) – c) –

75 27, 64 och 125 st

76 a) T.ex. 1 cm × 1 cm × 1 cm

b) T.ex. 1 cm × 2 cm × 2 cm

c) T.ex. 2 cm × 2 cm × 3 cm

77 T.ex. 1 dm × 2 dm × 0,5 dm och 2 dm × 2 dm × 0,25 dm

Kommentarer till uppgifter70 För att utveckla resonemangsförmågan och begrepps-

förståelsen ytterligare kan man göra en liknande upp-gift gemensamt i klassen. Låt eleverna först tänka själva och skriva ned förslag på föremål som har voly-men i storleksordningen m3, dm3 och cm3. De kan sedan jämföra sina förslag med en klasskompis och därefter har man en gemensam diskussion i helklass.

71 Här kan man låta de elever som behöver använda centikuber och bygga rätblocken.

72 Resultatet på uppgiften kan vara förvånande för elev-erna. Här är det bra att ha en kubikmeter i naturlig storlek och en förpackning med en liter mjölk.

77 Det fi nns troligtvis elever i klassen som tänker att det bara fi nns en kub med måtten 1 dm x 1 dm x 1 dm och inte kommer vidare. Det kan därför vara bra att följa upp uppgiften med en diskussion i klassen. Vilka olika mått har eleverna använt och vilken metod använde de för att lösa problemet?


Rätblock

73 Rita ett rätblock med

a) längden 4 cm, bredden 3 cm och höjden 5 cm

b) längden 6 cm, bredden 4 cm och höjden 4 cm

c) längden 2 cm, bredden 2 cm och höjden 2 cm

d) Hur många kuber med kantlängden 1 cm får plats i vart och ett av de rätblock du ritade?

74 Rita en kub som har kantlängden

a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm

75 Hur många kuber med kantlängden 1 cm får plats i de kuber du ritat?

76 Rita ett rätblock som har volymen

a) 1 cm3 b) 4 cm3 c) 12 cm3

77 Rita två olika rätblock som båda har volymen 1 dm3.

Volym

70 Välj rätt enhet.

a) En läskburk kan innehålla 330 .

b) Ett badkar kan rymma 450 .

c) En bassäng kan rymma 500 vatten.

71 Hur stor volym har figuren? Varje kub är 1 cm3.

a) b) c)

72 Hur mycket kostar det att fylla en kubikmeter med mjölk? En liter mjölk kostar 10,90 kr.

liter

cm3

dm3

m3

Volym är ett mått på hur stor en kropp är. Volym kan också vara ett mått på hur mycket till exempel en läskburk kan innehålla.

Stenen har volymen 975 cm3.

Burken har volymen 0,33 dm3.

liter

liter 1 m3

1 m10 dm

1 m10 dm

1 m10 dm

1 dm3 mjölk

Rita ett rätblock

Rita ett rätblock där basytan är en rektangel med längden 3 cm och bredden 2 cm. Höjden ska vara 1,5 cm. Följ beskrivningen.

1. Rita först framsidan av rätblocket som en rektangel med längden 3 cm och höjden 1,5 cm.

2. Rita sedan bredden från varje hörn som en sträcka snett uppåt höger, längs rutans diagonal. Låt den vara hälften så lång som det angivna måttet. Här ska den alltså ritas 1 cm.

3. Rita de sträckor som saknas på rätblockets baksida. Strecka de kantlinjer som man inte ser.

1 dm10 cm

1 dm3

1 cm3

1 dm10 cm

1 dm10 cm

En kubikdecimeter =

= 1 liter

1.

2.

3.

G G


GG SlutVisa ett rätblock, t.ex. en låda av något slag. Ange måtten och låt eleverna parvis beräkna lådans volym och begränsningsarea.

Att eleverna arbetar parvis gör att de får träna på att kommunicera och att föra ett matematiskt resonemang.

Alternativ Låt eleverna i par beskriva skillnaden mellan volym och begräsningsyta av ett rätblock.

Här blir det tydligt om eleverna förstått skillnaden mellan dessa begrepp.

Vid uppföljning av uppgiften kan man presentera de vanligaste felsvaren. Att utgå från vanliga felsvar och resonera sig fram är ofta givande och belyser vanliga missuppfattningar som eleverna kan ha.

Gå vidareBlå kursMer grundläggande genomgångar och uppgifter om volym och begränsningsyta fi nns på sidorna 91–92.

Röd kursHur man beräknar volymen av en prisma och av en parallellepiped fi nns på sidorna 98 och 99. Fler uppgifter om begränsningsyta och volym fi nns på sidan 100.

RepetitionRepetition 10 fi nns på sidan 283.

Extramaterial

Arbetsblad

2:10 Rätblockets volym ● ●

2:11 Beräkna begränsningsytans area ● ●

Rätblockets volym och Begränsningsyta Syftet med detta uppslag är att eleverna ska lära sig att beräkna volym och begräsningsytans area för ett rät-block. Avsnittet rätblockets volym är en fortsättning på föregående avsnitt där eleverna fi ck lära sig att rita ett rätblock. Begreppet begränsningsyta är troligtvis helt nytt för de fl esta eleverna. De har tidigare beräknat area av rektanglar och får här möjlighet att tillämpa dessa kunskaper genom att dela upp en kropp i dess sidoytor och därefter beräkna summan av alla sidoytors area.

Lärandemål

Här ska eleverna lära sig

●● en metod för att räkna volym på ett rätblock

●● förklara vad begränsningsyta är

●● en metod för att beräkna begränsningsytans area på ett rätblock

●● redogöra för skillnaden mellan volym och begräs-ningsytans area

●● begreppen basyta, begränsningsyta, sidoyta

Tänk på●● Det kan vara bra att lyfta fram skillnaden på beteck-

ningarna b och B. Basen i en två dimensionell kropp förkortas ofta med b, medan basytan i en tredimensio-nell kropp ofta förkortas med B.

●● Det är lätt att glömma någon sidoyta när man beräk-nar en kropps begränsningsyta. Det kan underlätta för eleverna om de ritar ut alla sidoytor och skriver mått-ten de har innan de räknar ut begräsningsytans area.

Start

Bygg med centikuber ett rätblock med måtten 3 cm � 2 cm � 4 cm.

Hur stor volym har rätblocket?

Skrivsättet med � mellan längderna kan behöva förkla-ras. Följ upp i helklass och diskutera hur man kan beräk-na att volymen är 24 cm3 utan att räkna kuberna var och en för sig.

Formulera formeln för volymen av ett rätblock: Volymen = Basytans area · höjden.

Visa även hur formeln kan skrivas med beteckningar som V = B · h.

Man använder oftast beteckningen B för basyta istället för b för att inte förväxla med begreppet bas.

Alternativ startAnvänd klipparken som fi nns till Aktivitet 2:12 A och låt eleverna beräkna arean av varje sidoyta. Be dem sedan bygga ihop kropparna och beräkna begränsningsytans area.

Kommentarer till uppgifter78–80 Om någon elev har svårt att förstå hur volymen av ett

rätblock beräknas kan man inledningsvis låta eleven använda centikuber som stöd och bygga de aktuella rätblocken.

82 Uppgiften uppmärksammar att olika rätblock kan ha samma volym.

83 Uppgiften är av problemlösande karaktär och visar en metod att beräkna volymen av oregelbundna föremål. Utför en liknande uppgift praktiskt med eleverna.

87 Den här uppgiften lämpar sig väl till att låta eleverna arbeta med enskilt för att sedan diskutera i grupp. Titta gemensamt på några elevlösningar, gärna med hjälp av dokumentkamera. Diskutera olika metoder att lösa uppgiften. Hur väl har eleverna ritat fi gurer och måttsatt dem? Vilken metod använde man för att beräkna den sammanlagda arean? Vilken lösning visar på tydlig kommunikation?

Facit 78 a) 12 cm3 b) 27 cm3

c) 24 cm3

79 a) – b) 24 cm2

c) 72 cm3

80 a) – b) 64 cm3

81 a) 40 cm2 b) 5 cm

82 T.ex. 2 cm × 2 cm × 6 cm eller 2 cm × 3 cm × 4 cm

83 A 576 cm3 B 1 152 cm3

84 a) 150 cm2 b) 600 cm2

c) 94 cm2

85 520 cm2

86 448 cm2

87 a) 5 st b) – c) ≈ 156 cm2


2,6 cm3 cm

3 cm

3 cm

16,5 cm

Begränsningsyta

84 Beräkna arean av begräsningsytan av kropparna.

a)

5 cm

5 cm5 cm

b)

10 cm

10 cm

10 cm

c)

4 dm5 dm

3 dm

85 Beräkna arean av chokladkartongens begränsningsyta.

86 Beräkna arean av glasspaketets begränsningsyta.

87 a) Hur många sidoytor har chokladförpackningen?

b) Gör en skiss av hur sidorna ser ut och sätt ut måtten.

c) Beräkna arean av förpackningens begränsningsyta. Avrunda till hela kvadratcentimeter.

8 dm2

4 dm

2 dm 4 dm

8 dm2

2 cm

10 cm

20 cm

12 dm2 12 dm2 3 dm6 dm2 6 dm2

3 dm

4 dm

2 dm

15,5 cm

8 cm

4 cmGLASS

78 Beräkna volymen

a) b) c)

79 a) Rita ett rätblock med längden 6 cm, bredden 4 cm och höjden 3 cm.

b) Beräkna basytans area. c) Beräkna rätblockets volym.

80 a) Rita en kub med sidan 4 cm. b) Beräkna kubens volym.

81 Ett rätblock har längden 8 cm och bredden 5 cm. Volymen är 200 cm3. Beräkna

a) bottenytans area b) höjden

82 Rita två olika rätblock som båda har volymen 24 cm3.

83 Max och Åsa har hittat två stenar på stranden. De tar reda på hur stora stenarna är med hjälp av en genomskinlig plastlåda, en linjal och vatten. Hur stor volym har varje sten, A och B?

3 cm2 cm

2 cm

3 cm

3 cm

3 cm

2 cm

6 cm

2 cm

Rätblockets volym

Bottenlagret rymmer 3 · 2 kuber = 6 kuber. Hela rätblocket rymmer 6 · 4 = 24 kuber. Om varje kub är 1 cm3 så är hela rätblockets volym 24 cm3.

Volymen av ett rätblock:

Volymen = basytan · höjden

Volymen = 3 cm · 2 cm · 4 cm = 24 cm3

basyta höjd Volymen = basytan · höjden

V = B · h

12 cm

14 cm

10 cm

18 cm 16 cm

Begränsningsytan av en kropp är den sammanlagda arean av sidoytorna.

ExempelBeräkna arean av lådans begränsningsyta.

Om man viker ut lådan som i figuren ser man att begränsningsytan består av sex sidoytor. måttsätt sidorna och beräkna arean av varje sidoyta.

2 · 8 dm2 + 2 · 12 dm2 + 2 · 6 dm2 = = 16 dm2 + 24 dm2 + 12 dm2 = 52 dm2

Svar: Begränsningsytans area är 52 dm2.

8 dm2

4 dm

2 dm 4 dm

8 dm2

2 cm

10 cm

20 cm

12 dm2 12 dm2 3 dm6 dm2 6 dm2

3 dm

4 dm

2 dm

15,5 cm

8 cm

4 cmGLASS

ArbetsblAd 2:10

ArbetsblAd 2:11

3 cm2 cm

4 cm

12 cm

14 cm

10 cm

18 cm 16 cm

A

12 cm

14 cm

10 cm

18 cm 16 cm

B

3 dm

2 dm

4 dm

4 dm

8 dm2

12 dm26 dm2 6 dm2 12 dm2

8 dm2

4 dm

3 dm

2 dm2 dm

2 dm

G G


ProblemlösningLösningar och kommentarerBåde A och B uppgiften kan lösas genom att rita en bild och göra en tabell.

A Här är det lämpligt att börja rita en bild.

(cm)

40 40 40

30 30 … osv.

En slutsats är att det alltid ska vara en platta mer än antalet mellanrum.

Sedan kan man pröva i tabell

Platta Mellanrum Totalt

7 · 40 cm = = 280 cm

6 ·30 cm = = 180 cm

280 cm + 180 cm = = 460 cm

11 · 40 cm = = 440 cm

10 · 30 cm = = 300 cm

440 cm + 300 cm = = 740 cm

9 · 40 cm = = 360 cm

8 · 30 cm = = 240 cm

360 cm + 240 cm = = 600 cm

Svar: Basim behöver 9 plattor.

B Börja med att rita en bild.

Kaninhage

Vägg

Gör sedan en tabell.

Vi förutsätter att hagen ska ha formen av en rektangel. Om bredden till exempel är 3 meter så kommer längden att vara 14 meter eftersom 20 meter – 2 · 3 meter = 14 meter.

Bredd Längd Area

2 m 16 m 32 m2

3 m 14 m 42 m2

4 m 12m 48 m2

5 m 10 m 50 m2

6 m 8 m 48 m2

7 m 6 m 42 m2

Svar: Hagens sidor ska vara 5 meter och 10 meter om man vill att arean ska vara så stor som möjligt.

Fler problem som kan lösas med strategierna Rita en bild och Rita en tabell fi nns på sidorna 266 och 269.

Begrepp och resonemangVem eller vilka har rätt?Uppgiften fördjupar förståelsen av begreppen omkrets och area och tränar eleven på att föra ett matematiskt resonemang. Gör övningen parvis eller i helklass.

Både Clara och Dilan har rätt. Utveckla gärna uppgiften med att be eleverna ge exempel på när Clara har rätt och när Dilan har rätt.

BegreppDen här övningen lämpar sig bra att göra parvis eller i grupp. Låt eleverna tillsammans använda begreppen i rutan för att beskriva fi gurerna. Man kan också låta en elev beskriva för någon annan så kan den gissa vilken fi gur som beskrivs. Uppgiften kan utvecklas genom att eleverna ritar egna fi gurer som de beskriver för en kom-pis som i sin tur ska rita den utifrån beskrivningen. Se aktivitet 2:8.

Uppgiften utvecklar både elevernas begrepps- och resonemangsförmåga.

Begreppskarta

I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter fi nns fl er begreppskartor som passar till kapitlet.

likbent triangel

rät-vinklig triangel

liksidig triangel

lika stora (60°)

Triangel

som har lika långa sidor kallas

och i den är alla vinklar

som har två lika långa sidor och

två lika stora vinklar

som har en vinkel som är 90°

Sant eller falsktPåståendena handlar mycket om begrepp och metoder. Om övningen används gemensamt där eleverna får dis-kutera tillsammans så tränas både resonemang och kom-munikation. Bra frågor att ställa

●● om svaret är sant. Hur visar du att påståendet är sant? Hur visar du att påståendet alltid gäller?

●● om svaret är falskt. Hur visar du att påståendet är falskt? Hur kan du ändra påståendet så att det blir sant?

Facit

1 sant

2 falskt

3 sant

4 falskt

5 falskt

6 falskt

7 sant

8 falskt

9 sant

10 sant

11 falskt

12 sant

Arbeta tillsammansSyftet med övningen är att eleverna ska upptäcka att arean kan vara olika hos två fi gurer trots att omkretsen är densamma. Den fi gur som ger störst area är cirkeln och cirkelns area tar vi upp först i åk 8. Om eleverna vill ha en räknemetod för att beräkna cirkelns area kan du förstås visa dem den, men här är det annars tänkt att eleverna ska uppskatta arean genom att räkna rutor, vilket ger en bra förståelse för areabegreppet.


Vem eller vilka har rätt? Finns det något samband mellan omkretsen och arean av en rektangel?

Anna

När omkretsen ökar i en

rektangel, så ökar alltid arean.

När omkretsen ökar i en rektangel,

så minskar alltid arean.

Bemjamin


rektangel, så kan arean öka.

Clara


rektangel, så kan arean minska.

Dilan

BegreppBeskriv figurerna med hjälp av några av begreppen i rutan.

Rät vinkel höjd basyta kant hörn sida sidoyta bas area volym

omkrets endimensionell tvådimensionell tredimensionell

BegreppskartaRita av begreppskartan och fyll i det som saknas.

1 Golvet i ett rum kan ha arean 15 m2.

2 Volym mäts i meter.

3 Det finns fyra räta vinklar i en rektangel.

4 När man beräknar arean tar man reda på hur långt det är runt om en figur.

5 En kropp som har volymen en kubikmeter är alltid en kub.

6 Du räknar ut triangelns area genom att multiplicera basen med höjden.

7 I en triangel kan man dra tre höjder.

8 Det spelar ingen roll vilken vinkel som höjden har mot basen.

9 Det är alltid rät vinkel mellan sidoytorna i ett rätblock.

10 Kvadratcentimeter är en enhet för area.

11 En kvadratdecimeter är ungefär lika stor som en fingernagel.

12 Ett rätblock har 8 kanter.

Sant eller falskt?

Arbeta tillsammans

Rita ett rutnät som är 15 cm × 15 cm i ditt räknehäfte. Rutorna ska ha arean 1 cm2.

Klipp av en bit snöre eller metalltråd som är 30 cm lång.

Lägg snöret på rutnätet så att snöret stänger in ett område. Hur stor area har området?

Gör området så litet som möjligt. Hur ser området ut? Hur stor area har området?

Gör området så stort som möjligt. Hur ser området ut nu? Hur stor area har området?

Begrepp och resonemang

likbent triangel

rät- vinklig

triangel?

?

Triangel


och i den är alla vinklar

? ?

A Basim lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 40 cm. Det är 30 cm mellan varje platta. Gången är 6 meter och ska börja och sluta med en platta. Hur många plattor behöver han?

B Hans ska sätta staket runt en kaninha-ge som ligger mot en vägg. Hagen behöver alltså bara ha staket på tre sidor. Sidorna skall vara i hela meter. Staketet är 20 meter långt. Hur långa ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt?

Problemlösning

A B

Uppslaget Uppslaget


G GG G

Uppslaget

I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där fi nns även en alternativ diagnos, som du som lärare kan använda om eleven behöver genomföra ytterligare en diagnos.

Begrepp och metod

FACIT AVSNITT SIDA K

URS

SIDA K

URS

ARBE

TS

BLAD

1 a) A och Db) B och C

Olika dimensioner

50 80 2:1

2 a) kubikmeter, m3

b) kvadratmeter, m2

c) meter, m

Enheter för olika dimensioner

57 80 2:1

3 a) Omkrets: 12 cm, area: 9 cm2

b) Omkrets: 13,4 cm, area: 10 cm2

c) Omkrets: 13 cm, area: 7,5 cm2

Omkrets och Area

64 6667

85 87

2:5 2:6

4 a) T.ex.

b) T.ex.

Omkrets och Area

64 66

85 87

2:5 2:6

5 T.ex. Triangelns area

68 89 2:7

6 10,5 dm2 Samman-satta fi gurer

70 90 2:8

7 12 dm2 (1 200 cm2) Samman-satta fi gurer

70 90 2:8

8 En sida är avståndet mellan två närliggan-de hörn i en mång-hörning och en sidoyta är ytan mel-lan kanterna i en kropp. I en kant möts två sidoytor.

Kroppar – föremål som är tredimen-sionella

58 81

9 a) 24 cm3

b) 12 cm3

c) 40 cm3

Rätblockets volym

74 91 2:10

10 24 cm3 Begräns-ningsyta

75 92 2:11

(cm)

5

3

6

2

(cm)

(cm)

6

4

Resonemang och kommunikation

FACIT AVSNITT SIDA K

URS

SIDA K

URS

ARBE

TS

BLAD

11 Andrea har fel. En rektangel med stör-re omkrets kan ha större area, men det behöver inte alltid vara så. Till exempel om jag har en rek-tangel med sidorna 4 cm och 5 cm. Då är omkretsen 18 cm och arean 20 cm2. En annan rektangel har sidorna 2 cm och 9 cm. Då är omkretsen 22 cm och arean är 18 cm2.

Omkretsen är längre men arean är min-dre.

Omkrets och Area

64 66

85 87

2:5 2:6

12 – Rätblockets volym

74 91 2:10

Problemlösning

13 Gör en tabell och pröva dig fram.

Bredd Längd Area10 m 45 m 450 m2

20 m 35 m 700 m2

30 m 25 m 750 m2

40 m 15 m 600 m2

31 m 24 m 744 m2

28 m 27 m 756 m2

29 m 26 m 754 m2

27,5 m 27,5 m 756,25 m2

Svar: En kvadratisk hage med sidorna 27,5 m ger den största arean.

Kommentar: Eleverna behöver en räknare när de löser problemlös-ningsuppgiften. Ett godtagbart svar är 756 m2 om elever-na kan motivera sin undersökning.

Fler problem som kan lösas med strategin Pröva i tabell fi nns på sidan 269.

BedömningsuppgiftLösningar och kommentarer:

a) Det fi nns tre möjliga varianter:

3 cm, 6 cm och 8 cm

6 cm, 8 cm och 11 cm

8 cm, 11 cm och 18 cm

b) Man kan skriva villkoret med ord. Till exempel: ”De två kortare sidorna måste tillsammans vara längre än den längsta sidan”. Man kan även använda matema-tiska symboler eller variabler. Till exempel: ”Kalla de korta sidorna för a och b och den längsta sidan för c. Summan av a och b skrivs som a + b. Villkoret att a + b måste vara större än c kan beskrivas matema-tiskt som a + b � c.

Kommentar: Om man ska beskriva något matematiskt villkor är det bra att kunna använda ord men man visar en högre matematisk nivå genom att uttrycka sig med hjälp av symboler och algebraiska uttryck.

På sidan xxx fi nns en bedömningsmatris kopplad till denna uppgift.


Begrepp och metod 1 Vilka av figurerna har

a) längd, bredd och höjd b) endast längd och bredd

A B C D

2 Vilken enhet använder man när man ska ange hur

a) mycket vatten det finns i en simbassäng

b) stort klassrummet är

c) långt det är runt fotbollsplanen

3 Mät och beräkna figurens omkrets och area.

a) b) c)

4 a) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 16 cm.

b) Räkna ut rektanglarnas area.

5 Rita en triangel som har arean 12 cm2.

6 Hur stor area har klubbmärket i Jack Russel-klubben?

7 Räkna ut ramens area.

80 cm

60 cm50 cm

70 cm

8 Vad är det för skillnad på begreppen ”sida” och ”sidoyta”? Vad är det för skillnad på sida och kant?

3 dm

5 dm

2 dm

9 Hur stor volym har figurerna?

a)

3 cm2 cm

4 cm

b)

2 cm2 cm

4 cm

c)

4 cm

4 cm

2 cm

2 cm

2 cm

10 Beräkna rätblockets

a) volym

b) begränsningsarea

Resonemang och kommunikation 11 Andrea säger: Om en rektangel har större omkrets än en annan rektangel så

har den också alltid större area. Har Andrea rätt eller fel? Skriv ned hur du resonerar.

12 Visa hur du räknar ut volymen av ett rätblock.

Problemlösning 13 Petter har 110 meter stängsel att sätta

upp för att skydda sina får. Han vill att fåren ska få så mycket yta att beta på som möjligt och att fårhagen ska vara en fyrhörning. Vilka mått har den fyrhörning som ger mest yta till Petters får?

4 cm2 cm

3 cm

Du har 5 spagettibitar i längderna 3 cm, 6 cm, 8 cm, 11 cm och 18 cm.

a) På vilka sätt kan du välja tre bitar och lägga dem i form av en triangel?

b) Beskriv vad som måste gälla för de kortare sidorna jämfört med den långa sidan om det ska vara möjligt att bilda en triangel.

Bedömningsuppgift

D D

Diagnos


D DDiagnos

B B

Kommentarer till uppgifter7 Här kan man uppmana eleverna att även motivera

varför de namngett vinklarna på det sätt de gjort, dvs. vad som utmärker en spetsig, rät respektive trubbig vinkel.

9 Om eleven tror att vinkel B är störst så kan eleven ha missuppfattningen att det är längden på vinkelbe-nen som avgör storleken.

10 En del elever kan uppfatta den här uppgiften som svårare än vad den är eftersom uppgiften innehåller det okända talet x. Här kan man förklara att det lika gärna kunde ha stått att man ska beräkna den tredje vinkeln men att det är vanligt inom matematiken att använda x för något man ännu inte känner till storleken av.

Extramaterial

Arbetsblad

2:2 Mäta vinklar ● ●

2:3 Beräkna vinklar ● ●

2:4 Vinkelsumman i en triangel ● ●

Aktiviteter

2:2 Uppskatta vinkeln ● ●

2:3 Konstruera trianglar ● ●

2:3 Begreppskarta trianglar ● ●

Kommentarer till uppgifter1 Uppgiften behandlar olika dimensioner och vad

som utmärker dem. Här kan man lyfta fram att alla föremål är tredimensionella medan ett föremåls yta är tvådimensionell. Till exempel är ett mjölkpakets yta tvådimensionell men själva mjölkpaketet är tre-dimensionellt. Sträckan mellan två hörn på mjölk-paketet är endimensionell. När det gäller tecknade föremål är det här inte lika lätt att se. Det underlät-tar för eleven om man konkretiserar t.ex. genom att ta med ett mjölkpaket. Man kan även låta eleverna se sig runt i klassrummet och ge exempel på något som är endimensionellt, tvådimensionellt respekti-ve tredimensionellt.

2 Elever kan ha svårt att hålla isär vilken enhet som hör till vilken dimension. Utmana gärna eleven att ge egna förslag på sammanhang där enheterna m, m2 och m3 passar in.

3 Om eleverna få se och ta på de geometriska kroppar-na så kan de lättare förstå vad som är hörn, och sidoytor. Använd gärna de geometriska kropparna i hårdplast som fi nns på de fl esta skolor eller använd olika livsmedelsförpackningar.

4, 5 Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär och tränar elevens förmåga att tänka tredimensio-nellt.

Facit

1 a) B och D b) A c) C

2 a) m2 b) m3

c) m d) m3

3 a) A – rätblock, B – Kub, C – Pyramid, D – Prisma

b) A – 8, B – 8, C – 5, D – 12

c) A – 6, B – 6, C – 5, D – 8

4 a) A b) C c) B

5 A

Extramaterial

Arbetsblad

2:1 Vika kuber ● ●

Aktiviteter

2:1 Vika kroppar ● ●


Facit

6 a) A och D b) Bc) C

7 a) A och Db) C c) B

8 a)

b)

b)

c)

9 Benjamin har rätt. Vink-larna är lika stora.

10 a) x = 70° b) x = 30°c) x = 60° d) x = 45°

11 a) likbent b) rätvinkligc) liksidigd) rätvinklig och likbent

12 a) 1 röd likbent, 2 gröna rätvinkliga

b) 1 röd likbent, 1 blå rätvinklig, 1 grön rätvinklig

c) 2 svarta likbenta, 2 gröna likbenta


Vinklar

6 Vilken eller vilka av figurerna visar en vinkel som är

a) rät b) spetsig c) trubbig

A B C D

7 Vilka av vinklarna är

a) spetsiga

b) trubbiga

c) räta

8 Rita en vinkel som är

a) 90° b) större än 90° c) mindre än 90° d) 180°

9 Vem har rätt? Motivera ditt svar.

A B

Vinkel A är större än vinkel B.

Anna

Vinklarna är lika stora.

Benjamin

Vinkel B är större än vinkel A.

Dilan

En rät vinkel markeras

med en hake.

Rät vinkel Spetsig vinkel Trubbig vinkel Rak vinkel 90° mindre än 90° större än 90° 180°, ett halvt varv

Trianglar

10 Beräkna den vinkel som är markerad med x.

a)

x 70°

40°

b)

x

60° c)

x 60°

60°

d)

x

45°

11 Vad kallas trianglarna i uppgift 10?

12 På flaggorna syns olika trianglar. Vilka olika trianglar hittar du och vilka färger har de i

a) Guyanas flagga b) Eritreas flagga c) Jamaicas flagga

90 grader skrivs 90°

En triangel har tre sidor och tre vinklar. Om man adderar en triangels vinklar blir summan alltid 180°. Man säger att vinkelsumman är 180°.

I en rätvinklig triangel är en vinkel rät.

En likbent triangel är två vinklar lika stora och två sidor lika långa.

I en liksidig triangel är alla vinklar 60° och alla sidor är lika långa.

ExempelBeräkna vinkeln som är markerad med x.

Om man vet två av triangelns vinklar kan man räkna ut den tredje.

60° + 40° = 100°

180° – 100° = 80°

Svar: Vinkeln x är 80°.

60°

40° xVinklarna i triangeln är tillsammans 180°.

ArbetsblAd 2:2–2:3

ArbetsblAd 2:4

1 __ 2 varv = 180°

1 varv = 360°

1 __ 4 varv = 90°

A B C D

B B


Olika dimensioner

1 Vilka bilder visar något som har

A B C D

a) längd, bredd och höjd

b) endast bredd och längd

c) endast längd

2 Välj i rutan vilken enhet man använder när man ska ange

a) hur stort ett golv är

b) hur mycket en tunna rymmer

c) längden på en flaggstång

d) hur mycket vatten som ryms i en bassäng

Vi lever i en tredimensionell värld. Om något har tre dimensioner så har det längd, bredd och höjd.

Tredimensionell Rummet har längd, bredd och höjd.

TvådimensionellGolvet har längd och bredd.

2,5 m

3 m

EndimensionellGolvlisten under fönstret brukar man endast mäta längden av.

3 m

Kroppar – föremål som har längd, bredd och höjd

3 a) Vad kallas formen på kropparna?

b) Hur många hörn har de?

c) Hur många sidoytor har de?

4 Bilderna visar hur det ser ut när vi har vikt ut sidoytorna på föremålen i rutan. Vilken av bilderna hör till

a) kuben

b) pyramiden

c) rätblocket

5 Du viker ihop den utvikta figuren till en kub. Vilken av kuberna A–D visar resultatet?

A B C D

A B C D

A B C

Ett föremål som har längd, bredd och höjd kallas för kropp.

PrismaBasytan är en månghörning.

RätblockBasytan är en rektangel.

KubBasytan är en kvadrat.

PyramidSpetsig kropp. Basytan är en månghörning.

Basytan till de här

kropparna har formen av en månghörning.

2,5 m

3 m

2,4 m

ArbetsblAd 2:1

kubikmeter kvadratmeter meter

1 m3 1 m2 1 m

basyta

hörnkant

sidoyta

B B

Blå kurs

80 812 geometri2 geometri

B B

Kommentarer till uppgifter13 Här kan det vara bra att lyfta fram att fyrhörningar-

na kan ha olika namn. Till exempel är en kvadrat även en rektangel, en parallellogram och en paral-lelltrapets. Vi har i facit valt att ange det namn som anger fyrhörningens egenskaper mest noggrant. Att säga att alla fem fyrhörningar är parallelltrapetser är ju i och för sig sant, men säger inget om hur fyr-hörningarna skiljer sig åt.

18 Här kan man utvidga uppgiften och träna elevernas förmåga att föra resonemang genom att ställa frågor och låta eleverna motivera sina svar. Till exempel:

Finns det fl er kvadrater med omkretsen 20 cm?

Finns det fl er rektanglar än de du ritat som har omkretsen 22 cm och där alla sidors längd är heltal? Om nej, varför? Om ja, rita dem.

Extramaterial

Arbetsblad

2:5 Omkrets ● ●


Facit

21 a) 9 cm2 b) 10 cm2

c) 7 cm2

22 a) cm2 b) dm2

c) m2 d) dm2

e) cm2 f) m2

23 a) 12 cm2 b) 6 cm2

c) 10 cm2

24 a) 54 cm2 b) 7,5 cm2

c) 5 dm2


b) Kvadrat med sidan 3 cm

c) Kvadrat med sidan 4 cm

26 T.ex. med sidorna 3 cm och 4 cm eller 2 cm och 6 cm

27 a) 3,5 m b) 4 m c) 14 m2

Facit

13 A – rektangelB – parallellogramC – rombD – kvadratE – parallelltrapets

14 a) – b) –

15 a) – b) 5 cm

16 a) kvadratb) rektangel och kvadratc) triangel och kvadratd) triangele) triangel och rektangelf) parallelltrapets och

rektangel

17 a) A – 7 cm, B – 6 cm, C – 6 cm, D – 7,5 cm

b) A – rektangelB – parallellogram C – rätvinklig triangel D – liksidig triangel


b) T.ex. med sidorna 5 cm och 6 cm eller 4 cm och 7 cm

19 a) x = 3 cm, y = 5 cmb) 26 cm

20 a) 52 dm b) 52 dm

Kommentarer till uppgifter21 Här ska eleverna uppskatta arean med hjälp av en

areamall. Att jämföra en area med en känd enhet (cm2) kan ge förståelse för begreppet area och area-enheten kvadratcentimeter.

22 Genom att kombinera olika föremåls ytor med olika areaenheter stärks elevernas uppfattning av storle-ken på enheterna. Uppmana gärna eleverna att ge ytterligare exempel på ytor som kan kopplas till enheterna cm2, dm2 och m3.

26 Uppgiften leder till insikten att två rektanglar med olika bas och höjd kan ha samma area. Utmana gärna eleverna att rita ytterligare en rektangel med arean 12 cm2. För att träna elevernas resonemangs-förmåga kan man även återkoppla till uppgift 25 och fråga varför det bara fi nns en kvadrat som har arean 4 cm2, 9 cm2 respektive 16 cm2.

27 Här ska eleverna utgå från en ritning och använda skala för att och ta reda på ett rums längd, bredd och area. Begreppet skala tas upp först i årskurs 9, men skala har eleverna arbetat med i åk 4–6 och i uppgiften får eleverna tillräckligt med information för att de ska kunna klara av att lösa den.

Extramaterial

Arbetsblad

2:6 Area och omkrets ● ●



Area

21 Varje ruta har arean 1 cm2. Hur stor area har figurerna?

a) b) c)

22 Vilken areaenhet ska stå i rutorna? Välj i rutan till höger.

a) b) c)

78 96 6

d) e) f)

4,5 21 5 000

För att beskriva hur stort ett område är använder man ordet area.

Ett rum kan ha arean 15 kvadratmeter (m2). Det betyder att 15 kvadrater med sidan 1 meter får plats på golvet.

En mindre enhet är kvadratcentimeter (cm2). Frimärket har arean 12 cm2.

Rektangelns area

23 Mät i figuren och beräkna rektangelns area.

a) b) c)

24 Beräkna arean

a)

9 cm

6 cm

b)

2,5 cm

3 cm

c)

2 dm

2,5 dm

25 Rita en kvadrat som har arean

a) 4 cm2 b) 9 cm2 c) 16 cm2

26 Rita två olika rektanglar som har arean 12 cm2.

27 Rummet är ritat i skala 1:100. Det betyder att 1 cm på ritningen är 100 cm i verkligheten.

a) Hur brett är rummet?

b) Hur långt är rummet?

c) Vilken area har rummet?

När du ska beräkna arean av en rektangel multiplicerar du längden med bredden. Ofta använder man orden bas och höjd i stället för längd och bredd.

Arean = 4 cm · 2 cm = 8 cm2

Arean = basen · höjden A = b · h

Skala 1:100

cm2

dm2

m2

Varje ruta har arean 1 cm2.

ArbetsblAd 2:6

1 m 1 m

1 cm2

höjden2 cm

basen 4 cm

B B


Fyrhörningar

13 Vad heter fyrhörningarna?

A B C D E

14 a) Rita en kvadrat där sidorna är 4 cm.

b) Dra diagonalerna i kvadraten.

15 a) Rita en rektangel där sidorna är 3 cm och 4 cm.

b) Rita en diagonal i rektangeln. Hur lång är diagonalen?

16 Vilket namn har formen på de olika sidoytorna?

a) b) c)

d) e) f)

Alla fyrhörningar har fyra hörn och fyra sidor. Hörn

Sida

Parallellogram Romb Parallelltrapets Sidorna som är mittemot En parallellogram med Minst två sidor är parallella. varandra är parallella. alla sidor lika långa.

Rektangel Kvadrat Alla vinklar är räta. En rektangel med alla sidor lika långa.

En sträcka som går mellan två hörn som inte ligger intill varandra kallas för en diagonal.

diagonal

Omkrets

17 a) Mät i figurerna och räkna ut omkretsen.

A B C D

b) Vad heter månghörningarna?

18 a) Rita en kvadrat som har omkretsen 20 cm.

b) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 22 cm.

19 a) Bestäm sträckorna markerade med x och y.

b) Beräkna figurens omkrets.

20 En svensk flagga får inte se ut hur som helst. En flagga med rätt mått ser du här intill.

a) Beräkna flaggans omkrets.

b) Beräkna omkretsen av det gula korset.

5 dm 2 dm 9 dm

4 dm

2 dm

4 dm

Med omkrets menar man hur långt det är runt om en figur.

ExempelRäkna ut rektangelns omkrets.

Omkretsen = 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm = 10 cm

Svar: Omkretsen är 10 cm. 3 cm

2 cm

En månghörning

är en figur som har flera hörn.

Omkrets förkortas ofta med O. Här är O = 10 cm.

(cm)

8

5

3

2

xy

Parallella linjer kan

aldrig mötas.

ArbetsblAd 2:5

B B


B B

Facit

34 a) 8 cm2 b) 18 dm2

c) 20 m2

35 a) 44 m2 b) 28 cm2

c) 24 dm2

36 a) 32 cm2 b) 15 cm2

37 a) 12 cm3 b) 24 cm3

c) 27 cm3

38 4 · 4 · 4

39 a) 240 cm3 b) 140 dm3

40 a) 60 dm3 b) 60 liter

Facit

28 a) bas 4 cm, höjd 2 cmb) bas 5 cm, höjd 3 cmc) bas 2 cm, höjd 4 cm

29 a) 3 cm b) 2,7 cm c) 4 cm

30 a) 5,5 dm b) 5 dm

31 a) 6 cm2 b) 4,5 cm2

c) 4 cm2

32 a) 5 cm2 b) 7,5 cm2 c) 6 cm2

33 44 dm2

Kommentarer till uppgifter29 Det är viktigt att eleverna, som i den här uppgiften,

får möta trianglar där basen inte alltid är den sida som triangeln ”vilar på”. Här får eleven på egen hand mäta höjden vinkelrät mot den sida som man kallar för bas. I arbetsblad 2:7 fi nns fl er liknande övningar där eleven själv ska rita och mäta en höjd mot en bas.

30 Här ska eleverna utgå från en bild, mäta och använda skala för att ta reda på varningstriangelns verkliga mått. Begreppet skala tas upp först i årskurs 9, men eleverna har arbetat med längdskala på mellanstadiet så de bör kunna lösa uppgiften.

31 En del elever lär sig formeln för triangelns area utan att ha förståelsen för vad den innebär. Att utgå från en rektangel och visa att en triangel är en halv rek-tangel kan hjälpa eleverna att inse varför man ska dividera med två när man räknar ut triangelns area.

Extramaterial

Arbetsblad

2:7 Triangel – bas, höjd och area ● ●

Aktiviteter

2:6 Triangeln är en halv fyrhörning ● ●


Kommentarer till uppgifter35 En del elever kan tycka att uppgiften är svår att

tyda. Man ser inte vilka fi gurer som hela fi guren kan delas upp i. Här kan eleven behöva hjälp att avläsa i fi gurerna. 35 c) skiljer sig från övriga uppgifter genom att man här drar ifrån en yta istället för att lägga ihop ytor.

37 Här kan man låta de elever som behöver använda centikuber för att bygga rätblocken. Det gör det även tydligare att det är volymsenheten kubikcenti-meter man använder.

40 Att en liter är lika mycket som 1 dm3 är inte känt av alla elever. Konkretisera gärna genom att visa ett mjölkpaket och en plastmodell av en kub som är 1 dm3. Använd ris, vatten eller liknande för att visa att det är lika mycket.

Extramaterial

Arbetsblad

2:8 Sammansatta fi gurer ● ●

2:10 Rätblockets volym ● ●



Sammansatta figurer

Beräkna arean av figurerna.

34 a) (cm)3

2

2

b) (dm)

24

3 3

c) (m)

5

3

2

35 a) (m)

47

8

b) 5 2

2

3

(cm) c) (cm)

5

6

3

2

36 Mät i figuren och beräkna arean.

a)

b)

ExempelBeräkna arean av figuren.

Figuren består av en rektangel och en triangel.

Rektangelns area: 5 cm ∙ 3 cm = 15 cm2

Triangelns area: 3 cm ∙ 2 cm

__________ 2 = 6 cm2

______ 2 = 3 cm2

Svar: Hela figurens area är 15 cm2 + 3 cm2 = 18 cm2

Räkna först ut arean av varje

del. Addera sedan areorna.

Volym

37 Hur stor volym har rätblocken? Varje liten kub är 1 cm3.

a) b) c)

38 Vilket uttryck visar hur man räknar ut volymen av en kub? Välj i rutan.

4 + 4 + 4 3 ∙ 4 4 ∙ 4 ∙ 4

39 Beräkna volymen.

a)

8 cm5 cm

6 cm

b)

7 dm4 dm

5 dm

40 Räkna ut akvariets volym. Svara i

a) kubikdecimeter

b) liter

Varje liten kub har kantlängden 1 cm och volymen 1 cm3.

På botten av rätblocket får det plats

4 ∙ 2 = 8 kuber

Det får plats 3 rader ovanpå varandra. Det får plats 3 ∙ 8 = 24 kuber i rätblocket.

Rätblockets volym är alltså: 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24 cm3

Basytan är 8 cm2.

Höjden är 3 cm.

3 dm5 dm

4 dm

1 dm3 är lika med 1 liter.

4

ArbetsblAd 2:8

ArbetsblAd 2:10

Alla mått är i centimeter

3

5 2

(cm) 3 cm

2 cm4 cm

4

44

B B


7 dm

4 dm

4 dm

Höjder i trianglar

28 Mät de markerade höjderna och baserna i trianglarna.

a) b) c)

29 Mät höjden mot den sida som är markerad som bas.

a) b) c)

30 Bilden är i skala 1:10. I verkligheten är varningstriangelns bas och höjd tio gånger längre. Mät och beräkna längden av

a) basen

b) höjden

En höjd i en triangel går från ett av hörnen vinkelrätt mot den sida som är mittemot hörnet. Den sidan kallas för triangelns bas.

höjd

bas

höjd

bas

höjd

bas

höjd

bas

bas

höjd

bas

höjd

bas

bas

bas

En höjd kan ritas från alla

hörn i triangeln.

Triangelns area

31 Beräkna arean av den färgade triangeln.

a) b)

3 cm

3 cm

c)

32 Mät höjden och basen i trianglarna och beräkna arean.

a) b) c)

33 Beräkna drakens area.

3 cm

4 cm

4 cm

2 cm

bas

höjd

bas

höjdhöjd

bas

En triangel är en halv rektangel. Arean av en triangel = basen · höjden

_____________ 2

ExempelBeräkna arean av de färgade trianglarna.

Arean = b · h

____ 2 = 6 cm · 4 cm

__________ 2 = 24 cm2

_______ 2 = 12 cm2

4 cm

6 cm

4 cm

6 cm

4 cm

6 cm

Svar: Båda trianglarna har arean 12 cm2.

A = b · h ____ 2

Trianglarna har samma

area.

ArbetsblAd 2:7

B B


RB

Extramaterial

Arbetsblad

2:11 Begränsningsytans area ● ●

ProblemlösningA Man kan börja med att rita en bild. En slutsats är då

att det alltid ska vara en platta mer än antalet mellanrum.

Uppgiften kan även lösas genom att man prövar i tabell:

Platta Mellanrum Totalt6 · 50 cm = = 300 cm

5 · 25 cm = = 125 cm

350 cm + 150 cm = = 425 cm

7 · 50 cm = = 350 cm

6 · 25 cm = = 150 cm

350 cm + 150 cm = = 500 cm

Svar: Leyla behöver 7 plattor.

I detta avsnitt får eleverna bekanta sig med regelbundna månghörningar och undersöka deras egenskaper. Ett annat namn för månghörning är det grekiska ordet polygon (poly = många och gon = hörn). Här kan eleverna lära sig de grekiska namnen på några vanliga regelbund-na månghörningar: tetragon, pentagon, hexagon, hepta-gon och oktagon. Prefi xen återkommer i nästa avsnitt i samband med de platonska kropparna och används även i organisk kemi där de namnger olika kolväten efter antal kolatomer i molekylen; pentan, hexan, heptan osv.

Kommentarer till uppgifter2, 3 Dessa uppgifter hör ihop och utmynnar i att elever-

na ska kunna se ett samband mellan vinkelsumman och antalet hörn i en månghörning.

7 Här får eleverna bekanta sig med begreppet tessele-ra, undersöka om några olika månghörningar tesse-lerar och fundera över vad det beror på. Anledning-en till att vissa polygoner tesselerar är att vinkel-summan av de hörn som möts måste vara 360°.

Extramaterial

Arbetsblad

2:12 Månghörningar klippark ● ●

Facit 1 A – pentagon, B – okta-

gon, C – hexagon, D – heptagon, E – tetragon (kvadrat)

2 a) –b) Vinkelsumman är

180° i varje triangel.c) 360° d) 3 e) 540°

3 Namn Antal

hörnVinkel-summa

Triangel 3 180°

Fyr-hörning 4 2 · 180° =

= 360°

Fem-hörning 5 3 · 180° =

= 540°

Sex-hörning 6 4 · 180° =

= 720°

Sju-hörning 7 5 · 180° =

= 900°

Åtta-hörning 8 6 · 180° =

= 1 080°

4 a) 1 440°b) Vinkelsumman =

= 180° · (antalet hörn i polygonen – 2)

v = 180°(n – 2) v = vinkelsumma,

n = antal hörn i polygonen

c) 17 640°

5 C, D och E

6 a) –b) en femuddig stjärna

(ett pentagram)

7 a) A, B, C och Db) Summan av vinklarna

i hörnen måste vara 360°.

c) När oktagoner läggs intill varandra bildas ett kvadratiskt mellan-rum.

Summan av vinklarna blir 135° + 135° + 90° = = 360°

Facit

41 a) 24 cm2 b) 96 cm2

c) 150 cm2

42 40 cm2

43 a) 62 dm2 b) 108 dm2

c) 78 cm2

B Vi förutsätter att hagen ska ha formen av en rektangel. Om omkretsen är 12 m så är rektangelns längd och bredd tillsammans 6 m.

Prövning i tabell: Bredd Längd Area1 m 5m 5 m2

2 m 4 m 8 m2

3 m 3 m 9 m2

Svar: Både längd och bredd ska vara 3 m för att arean ska bli så stor som möjligt. En kvadratisk hage ger den största ytan.

Fler problem som kan lösas med strategin Pröva i tabell fi nns på sidan 269.

Resonemang och kommunikationA Andra rektanglar med arean 12 cm2 är:

och

B Andra rektanglar med omkretsen 14 cm förutom den som visas är:

och

BegreppÖvre cirkel: parallellogram, vänster cirkel: rektangel, höger cirkel: romb, nedre cirkel: kvadrat.

5 cm

2 cm6 cm

1 cm

6 cm

2 cm12 cm

1 cm

82 GEOMETRI86 2 GEOMETRI

5 I en regelbunden månghörning är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Vilka av figurerna är regelbundna månghörningar?

A B C D E

6 En femhörning har vinkelsumman 540°. I en regelbunden femhörning är varje vinkel

540°

_____ 5 = 108°

a) Rita en regelbunden femhörning med sidan 5 cm.

b) Dra alla diagonaler från samtliga hörn i femhörningen. Vad kallas figuren som diagonalerna bildar?

7 Man säger att kvadrater tessellerar. Det betyder att man kan täcka en oändligt stor yta med ett oändligt antal kvadrater utan att det blir något mellanrum mellan dem eller att de ligger över varandra.

a) Undersök vilka av figurerna här nedanför som tessellerar.

A B C D E

b) Förklara varför en kvadrat tessellerar men inte en femhörning.

c) Oktagonen tessellerar tillsammans med en kvadrat. Varför är det så?

Mer om månghörningar

1 Vilket grekiskt namn har de olika figurerna?

A B C D E

2 a) Rita först en fyrhörning ungefär så stor som en halv sida i räknehäftet. Rita sedan en diagonal i fyrhörningen. Nu har det bildats två trianglar i fyrhörningen.

b) Mät vinklarna i varje triangel och räkna ut varje triangels vinkelsumma.

c) Räkna ut vinkelsumman i fyrhörningen.

d) Rita en femhörning. Dra alla diagonaler från ett hörn. Hur många trianglar har du delat in femhörningen i?

e) Räkna ut vinkelsumman i femhörningen.

3 Undersök hur stora vinkelsummorna är hos olika månghörningar. Rita av och fyll i tabellen.

4 a) Hur stor är vinkelsumman i en tiohörning?

b) Beskriv sambandet mellan antalet hörn i en polygon och vinkelsumman i polygonen.

c) Hur stor är vinkelsumman i en hundrahörning?

Namn Antal hörn VinkelsummaTriangel 3 180°Fyrhörning 4 2 · 180° = 360°Femhörning 5

678

En månghörning där alla sidorna är lika långa kallas en regelbunden mångörning. En regelbunden månghörning har grekiska namn efter hur många hörn den har. Till exempel kallas en regelbunden femhörning för pentagon eftersom penta betyder fem och gon betyder hörn.

De regelbundna månghör-ningarna har namn efter de grekiska räkneorden.fyrhörning – tetragonfemhörning – pentagonsexhörning – hexagonsjuhörning – heptagonåttahörning – oktagon

Fem-hörningar tessellerar

inte

108° 108°

108°108°

108°

Tips! Räkna ut summan av vinklarna där figurernas hörn möts.

ArbetsblAd 2:12

R R

Röd kurs


Begränsningsyta

41 Beräkna arean av kubernas begränsningsyta.

a) 2 cm

2 cm2 cm

b)

4 cm

4 cm4 cm

c)

5 cm

5 cm

5 cm

42 Så här ser det ut när man viker ut rätblockets sidoytor. Beräkna arean av rätblockets begränsningsyta.

2 cm

4 cm

2 cm

2 cm4 cm

43 Beräkna arean av rätblockens begränsningsytor.

a)

5 dm

3 dm2 dm

b)

4 dm

3 dm6 dm

c)

4 cm 1,5 cm

6 cm

En kub har 6 sidoytor. Varje sidoyta är en kvadrat. När man räknar ut begränsningsytans storlek så adderar man arean av alla sidoytor.

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm3 cm

Varje kvadrat har arean: 3 cm ∙ 3 cm = 9 cm2

All kvadrater tillsammans har arean 6 ∙ 9 cm2 = 54 cm2

ArbetsblAd 2:11

A Leyla lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 50 cm. Det är 25 cm mellan varje platta. Gången är 5 meter och ska börja och sluta med en platta. Hur många plattor behöver hon?

B Anna ska sätta staket runt en kaninhage. Sidorna ska vara i hela meter. Staketet är 12 meter långt. Hur långa ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt? Ta hjälp av tabellen.

Problemlösning

Bredd Längd Area1 m 5 m 5 m2

Lisa säger att det bara finns en rektangel med arean 12 cm2.

a) Visa med ett exempel att det finns flera rektanglar som har arean 12 cm2.

b) Visa med exempel att det finns flera rektanglar med omkretsen 14 cm.

Resonemang och kommunikation

4 cm

3 cm

Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i rätt begrepp i cirklarna.

Begrepp

kvadrat

rektangel

parallellogram

romb

som har parvis parallella sidor kallas

som har rät vinkel i hörnen kallas



som har rät vinkel i hörnen kallas

Fyr- hörning

?

?

??

Uppslaget

932 geometri

BB

92 2 geometri

RR

Facit 8

Nam

nFo

rm p

å si

doyt

aSt

orle

k på

vi

nkla

r hos

si

doyt

an

Ant

al s

ido-

yt

or s

om

bild

ar h

örn

Vin

kels

umm

a av

si

doyt

orna

som

bi

ldar

hör

n

Tetr

aede

rTr

iang

el60

°3

3 · 6

0° =

180

°

Hex

aede

rKv

adra

t90

°3

3 · 9

0° =

270

°

Okt

aede

rTr

iang

el60

°4

4 · 6

0° =

240

°

Dod

ekae

-de

rPe

ntag

on10

8°3

3 · 1

08° =

324

°

Ikos

aede

rTr

iang

el60

°5

5 · 6

0° =

300

°

9 a) Summan av vinklarna blir 4 · 90° = 360°. Det betyder att man får en plan eller platt figur, som inte kan bli någon tredimensionell kropp.

b) Summan av vinklarna blir 6 · 60° = 360°

c) Summan av vinklarna blir 3 · 120° = 360°

10 Summan av vinklarna i ett hörn måste vara min-dre än 360°. De fem pla-tonska kropparna är de enda som uppfyller det kravet.

11 a) 2,5 cm2 b) 5,6 cm2

c) 4,2 cm2

12 a) och b)

c) –

13 a) ≈ 0,13 m2 b) ≈ 0,10 m2

c) 0,12 m2 d) ≈ 0,25 m2

14 Trianglarna har gemen-sam bas (sträckan BC) och höjderna är lika långa.

Här får eleverna möta och bekanta sig med de platonska kropparna. De är alla regelbundna polyedrar dvs. kropp-ar där alla sidoytor är likadana regelbundna månghör-ningar.

Platon (430–249 f.Kr.) var en grekisk filosof och lär-junge till Aristoteles. Han ansåg att de styrande skulle ägna sig åt matematikstudier. Genom att tänka logiskt skulle de bli bättre ledare. Platon grundade en akademi som blev ett grekiskt matematikcentrum. Ovanför Pla-tons Akademia stod skrivet: ”ATEΩMETRPHTOΣ MHΔEIΣ EIZITΩ”, ”Må ingen okunnig i geometri här inträda (Ols-son, Matematiska nedslag i historien 1999).

Tidigare har eleverna bara mött trianglar där höjden faller innanför triangeln. I avsnittet Mer om area får elev-erna lära sig att markera höjden i en trubbvinklig triangel och sedan beräkna triangelns area.

Kommentarer till uppgifter11 En del elever har svårt att se hur de ska markera höj-

den utanför triangeln. Betona vikten av att höjden måste vara vinkelrät mot den förlängda basen.

Extramaterial

Arbetsblad

2:13 A Platonska kroppar, klippark ●

2:13 B Platonska kroppar, tabell ●

2:14 Trubbvinkliga trianglar ●

Detta uppslag är en utvidgning av området volym. Här får eleverna möta prismats och parallellepipedens volym. I egentlig mening är det många kroppar som är prismor eftersom definitionen av en prisma är en kropp som har sidoytor som är parallellogrammer och en bas-yta som har formen av en polygon. Parallellepipeden är en prisma där sidorna som står mot varandra är parallel-la. Sidoytorna är parallellogrammer.

Kommentarer till uppgifter15 Bottenytan kan beräknas med hjälp av Pythagoras

sats, men eftersom eleverna ännu inte lärt sig den metoden så får eleverna istället rita, mäta och göra en uppskattning.

16 Här kan en del elever missta sig på vilken av sidoytorna som är Tobleroneaskens basyta eftersom asken ligger ner.

Facit 15 a) –

b) 16,5 cm2 ( 6 · 2,5 · 2,2

_______ 2 ) Mät i figur.

c) 297 cm3

16,5 · 18 = 297

16 a) 3,9 cm2

3 · 2,6

______ 2 = 3,9

b) 64 cm2

3,9 · 16,5 = 64,35

17 a) 1 266 cm2 2(23 · 5) + 2(18,5 · 5) + + 2(23 · 18,5) = 1 266

b) 156 cm2 (156,3)3(16,5 · 3) + 2· 3,9 = = 156,3

c) 303 cm2

6(2,5 · 18) + 2· 16,5 = = 303

18 a) 27 cm3

4,5 · 3

______ 2 · 4 = 27

b) 55 cm3

(4 · 2 · 5) + 5 · 3

____ 2 · 2 = 55

19 a) 24 cm3

4 · 3 · 2 = 24b) 78 m3

4 · 3 · 6,5 = 78c) 78,72 dm3 ≈ 79 dm3

6 · 4,1 · 3,2 = 78,72

20 a) 8 b) 12 c) 6

21 a) parallellogrammer, rektanglar och kvadra-ter

b) 75 cm2

2(2,5 · 2,5) + + 2(2,5 · 6) + + 2(2,5 · 6,5) = 75

c) 37,5 cm3

2,5 · 2,5 · 6 = 37,5


2,6 cm3 cm

3 cm

3 cm

16,5 cm

19 Beräkna volymen av parallellepipederna.

a)

43

2

(cm) b) (m)

46,5

3

c)

6,04,1

3,2

(dm)

Bilden visar en parallellepiped. Hur många

20 a) hörn har den

b) kanter har den

c) sidoytor har den

21 a) Vilken form har sidoytorna?

b) Beräkna begränsningsytans area.

c) Beräkna volymen.

Mer om volym

15 a) Rita av Drosteaskens bottenyta i rätt mått.

b) Uppskatta arean av bottenytan med hjälp av din figur.

c) Uppskatta Drosteaskens volym.

16 a) Beräkna arean av bottenytan på Tobleroneasken.

b) Beräkna askens volym.

17 Hur stor area har alla sidoytorna tillsammans på

a) Alladinasken

b) Tobleroneasken

c) Drosteasken

18 Beräkna volymen på kropparna.

a)

43

4,5

(cm) b)5

4

3

2

(cm)

Prismats volymEn kropp som har sidoytor som är rektanglar och en basyta som är en månghörning kallas prisma.

De här förpackningarna är exempel på prismor.

Basytan är en rektangel Basytan är en triangel Basytan är en sexhörning.

När man beräknar volymen av ett prisma så räknar man på samma sätt som när man räknar ut volymen av ett rätblock. Man räknar först ut basytans area och multiplicerar sedan med höjden.

Parallellepipedens volym

En parallellepiped är en prisma där sidoytor som står mot varandra är parallella.

Vi beräknar alltså volymen av en parallellepiped på samma sätt som ett rätblock.

ExempelBeräkna volymen av parallellepipederna.

V = 5 cm · 2 cm · 4 cm = 40 cm3

Svar: Båda parallellepipederna har volymen 40 cm3 eftersom de har samma basyta och höjd. 5 cm

2 cm

4 cm

5 cm2 cm

4 cm

Volymen = Basytans area ∙ höjdenV = B ∙ h

18,5 cm

23 cm

5 cm

18 cm

2,5 cm

2,5 cm

6,5

2,52,5

6

(cm)

Kropparna har samma volym. De har samma bottenyta och samma höjd.

R R


Platonska kroppar

8 Rita av tabellen och gör den klar.

Namn Form på sidoytan

Storlek på vinklarna hos sidoytan

Antal sidoytor som bildar ett hörn

Summan av vinklarna i hörnet

Tetraeder Triangel 60° 3 3 · 60° = 180°HexaederOktaederDodekaeder 108°Ikosaeder

9 Förklara varför det inte går att göra en platonsk kropp

a) där fyra kvadrater möts i ett hörn

b) där sex liksidiga trianglar möts i ett hörn

c) av regelbundna sexhörningar

10 Ta hjälp av det du kommit fram till på den här sidan och förklara varför det endast kan finnas 5 platonska kroppar.

Det här är de fem platonska kropparna. I en platonsk kropp är sidoytorna likadana regelbundna mång- hörningar. De platonska kropparna har namn efter hur många sidoytor de har.

tetraeder hexaeder oktaeder dodekaeder ikosaedertetra = 4 hexa = 6 okta = 8 dodeka = 12 ikosa = 20

Ordet eder kommer från det grekiska ordet heder och som betyder sidoyta. En tetraeder har alltså fyra sidoytor.

Mer om area

11 Mät först höjden mot den markerade basen. Beräkna sedan arean.

a) b) c)

12 a) Rita triangeln i ditt räknehäfte. Triangeln ska ha ungefär samma form som triangeln till höger, men rita den gärna större.

b) Rita höjder från alla tre hörnen.

c) Beräkna arean.

13 Bilden visar flagga. Beräkna arean av det

a) blå fältet

b) gula fältet

c) vita fältet

d) röda fältet

Svara i kvadratmeter med två decimaler.

14 Förklara varför de båda trianglarna ABC och BCD har samma area.

I alla trianglar kan man rita tre höjder, en från varje hörn. I spetsvinkliga trianglar är alla höjder innanför triangeln. I en trubbvinklig triangel är två höjder utanför triangeln.

För att kunna rita en höjd i den trubbvinkliga triangeln ABC mot sidan BC, måste basen förlängas så som figuren visar.

A

CB bas

höjd

bas

bas

bas

3 sidoytor bildar ett hörn. Summan av

vinklarna i hörnet är 3 · 60°.

ArbetsblAd 2:13A och 2:13b

ArbetsblAd 2:14

Pythagoreerna var ett sällskap som bildades av den grekiska matematikern Pythagoras. De platonska kropparna har fått sitt namn från den grekiska matematikern Platon. För Pythagoreerna symboliserade de platonska kropparna de fyra elementen jord, luft, eld, och vatten samt universum.

Historik

0,43 m 0,34 m 0,43 m

0,2 m

0,2 m

0,2 m

h1 h2

h1 = h2

A

B C

D

R R


912 geometri

RR

90 2 geometri

Mer om begränsningsyta och volym 22 Vilka av figurerna är

a) parallellepipeder

b) rätblock

c) kuber

d) pyramider

23 Prismornas basyta är regelbundna månghörningar. Beräkna

a) volymen av prismorna

b) arean av prismornas begränsningsyta

3,5 m

2 m

2,2 m

B

5 dm

4,3 dm 5 dm

C

5 cm2

1,7 cm

2,5 cm

A

24 Vilka mått har en kub som har volymen

a) 1 dm3 b) 8 dm3 c) 64 dm3

25 Tänk dig att du ska göra en förpackning som har volymen en liter. Förpackningen ska vara en parallellepiped och du vill att begränsningsytan ska vara så liten som möjligt.

a) Vilken form kommer din förpackning att ha? Vilken längd, bredd och höjd kommer din förpackning att ha?

b) När vi köper mjölk i förpackningar så har de inte en form som gör att det går åt så lite material som möjligt till förpackningen. Varför är det så?

A B C

F

D

GE

A Undersök vilken av figurerna som har störst area. Alla figurer har omkretsen 24 cm.

En rektangel där längden är dubbelt så lång som bredden.

En kvadrat.

En liksidig triangel

B Räkna ut vinklarna som är markerade med u och v.

a) b)

C Beräkna volymen av prismat.

Problemlösning, resonemang och kommunikation

u v

132°

32°

47° u

v

45°

30°

8

6

4

4

Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i länkord i rektangeln och begrepp i cirklarna.

Begrepp

kub ? ? ??

där alla sidoytor är rektanglar kallas? där alla sidoytor är

likadana är t.ex.

Geome-trisk kropp

ArbetsblAd 2:15

5 dm

Uppslaget

1012 geometri

RR

100 2 geometri

Syftet med avsnittet är att elevernas ska få praktisera de kunskaper de inhämtat från tidigare avsnitt. Eleverna får här öva mer på att beräkna volym och begräsningsarea.

Kommentarer till uppgifter24 För att öka förståelsen kan eleverna gärna rita en

skiss av kuberna och sätta ut måtten.

Extramaterial

Arbetsblad

2:15 Volym och begränsningsarea ●

Facit

22 a) A, C, D, E, G b) A, C, E, Gc) A, Gd) B, F

23 a) A – 12,5 cm3 B – 7,7 m3 C – 54 dm3 (53,75)

b) A – 31,25 cm2 B – 27,5 m2 C – 96,5 dm3

24 a) 1 dm � 1 dm � 1 dm b) 2 dm � 2 dm � 2 dmc) 4 dm � 4 dm � 4 dm

25 a) En kub med sidan 1 dm ger den minsta begränsningsytan.

b) En kub är opraktisk att hantera, framförallt att hälla ur. Den blir även ganska ostadig när den är fylld med vätska.

Begrepp

kub tetraeder

oktaeder

dode-ka-

ederrätblock

där alla sidoytor är rektanglar kallas

där alla sidoytor är kvadrater

där alla sidoytor är likadana är t.ex.

Geome-trisk kropp

Lösningsförslag uppslaget

A

8 cm

4 cm

Rektangelns area: 4 cm · 8 cm = 32 cm2.

6 cm

6 cm

Kvadratens area: 6 cm · 6 cm = 36 cm2.

8 cm

8 cm 8 cmh

Uppmärksamma eleverna på att triangelns höjd måste vara vinkelrät mot basen. Rita och mät i figuren. Triangelns area

är ungefär 8 cm · 6,9 cm

____________ 2 ≈ 27,7 cm2.

Kvadraten har alltså störst area och triangeln har minst area om omkretsen är lika.

B a)

u v

132°

32°

47°

180° – 132° = 48°

v = 180° – 48° – 58° = 74°

180° – 90° – 32° = 58°

u = 180° – 47° – 48° = 75°

b)

u

v

45°

30°

180° – 90° – 45° = 45°

180° – 45° – 90°= 45°

u = 180° – 45° = 135°

180° – 135° = 45°

180° – 30° – 45° = 105°

v = 180° – 105° = 75°

C Bottenytan = 4 · 6

____ 2 + 8 · 6

_____ 2 = 12 + 24 = 36 cm2.

Volymen = 36 cm2 · 4 cm = 144 cm3.

SS


1 En kvadrat med sidan 10 centimeter är sönderklippt som bilden visar. Alla vinklar är räta. Beräkna figurens omkrets.

2 Hur många kvadrater går det att hitta i figuren?

3 Figuren är byggd av 7 st kuber med kantlängden 1 cm. Hur många kuber behövs ytterligare för att bygga en kub med kantlängden 3 cm?

4 Tre identiska tärningar har limmats ihop som på bilden. Summan av prickarna på tärningens motstående sidor är alltid 7. Vilken är summan av prickarna på de sidor som limmats ihop?

5 En kub har kantlängden 1 meter. Kubens volym är 1 m3 och arean av begränsningsytan är 6 m2.

a) Kuben delas i 8 mindre kuber. Beräkna volymen och arean av begränsningsytan av en liten kub.

b) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan av alla småkuber tillsammans.

c) Kuben delas i 64 mindre kuber. Beräkna volymen och arean av begränsningsytan av en liten kub.

d) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan av alla småkuber tillsammans.

e) Vad blir resultatet om du upprepar delningen en gång till?

6 En trädgård har formen av en rektangel. På tomten finns en gräsmatta med en gång runt. Gången har lika stor area som gräsmattan. Hur bred är gången?

7 En 2 km lång väg ska beläggas med asfalt. Vägbanan, som är 7 meter bred ska täckas med ett 5 cm tjockt asfaltlager. Ungefär hur många lastbilslass asfalt behövs det till vägbeläggningen om varje lastbil lastar 8 m3 asfalt?

8 En rektangel är uppdelad i fem mindre rektanglar som på bilden. Omkretsen av var och en av de fyra bruna rektanglarna är 6, 11, 12 och 13 längdenheter. Beräkna omkretsen av den stora rektangeln.

9 Du ska bygga en kub. Till din hjälp har du ett antal rätblock som har längden 3 dm, bredden 2 dm och höjden 1 dm. Hur många rätblock går det minst åt för att bygga kuben. Motivera ditt svar.

1 dm

2 dm3 dm

10 a) I figuren är arean av rektangeln ABCD 72 cm2 och området DFG 15 cm2.

A E B

H

D G C5 4

F

(cm)

Hur stor är arean av det vita området? Motivera.

b) Till vilka av figurens områden finns det inte tillräckligt med information om för att man ska kunna beräkna deras area? Motivera.

11 I triangeln har vi markerat tre yttervinklar. Summan av yttervinklarna är 360 grader. Varför är det alltid så? Motivera ditt svar.

12 Hur många diagonaler kan du som mest dra i en

a) triangel b) fyrhörning c) femhörning

d) sexhörning e) åttahörning f) hundrahörning

24

18

10

10

(cm)

S S

Svarta sidorna


Svarta sidornaDe svarta sidorna är avsedda för de elever som är klara med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga innehåll. För att underlätta för dig som lärare finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter.

Kommentarer och lösningar till uppgifter

1 40 centimeter

Summan av de vågräta sidorna är 20 centimeter. Det gäller även summan av de lodräta sidorna.

2 30 kvadrater

16 st med sidan 1 längdenhet (l.e.). 9 st med sidan 2 l.e. 4 st med sidan 3 l.e. 1 st med sidan 4 l.e. (Rita på mot-svarande sätt en kvadrat med 10 l.e. Hur många kvadrater finns i en sådan? 385)

3 20 kuber

En kub med kantängden 3 cm innehåller 3 · 3 · 3 = 27 kuber. Eller: I översta och understa lagret sak-nas 8 kuber och i det mellersta saknas 4 kuber.

4 Summan är 14

Vi vet att summan av prickarna på sidorna på den mitters-ta tärningen är 7. De två yttersta tärningarna ligger iden-tiskt så vi kan dra slutsatsen att de hoplimmade sidorna har 2 respektive 5 prickar.

5 a) Volymen är 1

__ 8 m3 = 0,125 m3.

Arean av begränsningsytan är 1,5 m2 (6 · 0,5 · 0,5)b) Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begräns-

ningsytan är 12 m2 (8 · 1,5)

c) Volymen är 1

___ 64 m3 ≈ 0,016 m3. Arean av begränsnings-

ytan är 0,375 m2 (6 · 0,25 · 0,25)d) Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begräns-

ningsytan är 24 m2 (64 · 0,375)e) Volymen av en liten kub är

1 ____ 512 m3 ≈ 0,00195 m3 ≈ 1,95 dm3

( 1 __ 8 · 1

__ 8 · 1

__ 8 ) Arean av begränsningsytan är 0,09375 m2 ≈ 9,4 dm2

(6 · 0, 125 · 0,125) Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsy-

tan är 48 m2 (512 · 0,09375)

6 3 meterGräsmattans area är 216 m2 ( 24 · 18

______ 2 ) . Kortsidan av gräsmattan måste vara mindre än 18 m och långsidan måste vara mindre än 24 m. Prövning ger enda alternativet 18 m × 12 m. Det ger bredden 3 m för gången.

7 Ett tips till de elever som behöver kan vara att göra enhets-byten innan de börjar med sina beräkningar.Volymen av asfalten i m3 = 2 000 · 7 · 0,05 = 700 m3 ≈ 88.

Antal lass 700

____ 8 = 87,5.

8 21 längdenheter

Omkretsen av den stora rektangeln är hälften av de fyra färgade små rektanglarna och har längden

6 + 11 + 12 +13

______________ 2 = 21

9 36 rätblockVolymen av ett byggblock är 6 dm3. Av sex rätblock kan man bygga en kvadratisk ”bottenplatta” och sedan lägga sex sådana ”våningar ovanpå varandra.

10 a) 9 cm2

Arean av ABCD är 72 cm2 och sträckan DC är 9 cm. Då är både BC och AD 8 cm. Triangeln DFG har arean 15 cm2. Då är höjden FG 6 cm. Sträckan EF är 8 – 6 = 2 cm. Det vita området kan delas upp i två trianglar med basen 2 cm höjden 5 cm respektive 4 cm.

Arean = 2 · 5

____ 2 + 2 · 4

____ 2 = 9 cm2

b) Områdena FHCG och EBH. Vi vet inte var punkten H är belägen mellan hörnen B och C.

11 Varje yttervinkel bildar tillsammans med vinkeln i triang-eln en rak vinkel som är 180°. Det betyder att det i de tre hörnen totalt finns 3 raka vinklar, 180° · 3 = 540°. Eftersom triangelns vinkelsumma är 180° blir summan av yttervink-larna 540° – 180° = 360°

12 a) 0 b) 2 c) 5d) 9 e) 20f) 4 850 diagonaler

Från varje hörn kan man dra lika många diagonaler som antalet hörn minus 3. Man kan inte dra en diagonal till det egna hörnet och till de två närliggande hörnen. Man delar sedan med 2 eftersom varje diagonal annars räk-nas 2 gånger. Om antalet sidor är n kan man skriva

antalet diagonaler som n(n – 3)

_______ 2 .

SS


SammanfattningSammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder som behandlas i kapitlet. Den ger en bra överblick av kapitlet och är därför en god hjälp för eleverna när de ska repetera.

BegreppskartorEtt bra sätt att repetera de begrepp och metoder som pre-senterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas reso-nemangsförmåga, är att låta eleverna arbeta med begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gör att eleverna blir uppmärksammade på sina egna kunskaper. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns ett arbetsmaterial som underlättar elevernas arbete med begreppskartor.

Begreppskarta 2:1 Trianglar

Begreppskarta 2:2 Fyrhörningar

Begreppskarta 2:3 Månghörningar

Begreppskarta 2:4 Area

BedömningEfter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är önskvart att eleverna får visa sina kunskaper på olika satt.

I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns för-slag till kapitelprov på E- till A-nivå, kapitelprov på E-ni-vå och även förslag till muntligt prov. Till proven finns dessutom bedömningsmallar och bedömningsmatriser.

Till varje kapitel finns också en självskattningsmatris där eleven själv får bedöma sina kunskaper mot kapitlets lärandemål. Den kan hjälpa eleven att reflektera over sitt eget lärande men kan också ge dig som lärare en bild av elevens kunskapsnivå.

Att låta eleverna arbeta med begreppskartor kan, för-utom att ge eleverna insikt om sitt eget lärande, aven fungera som ett sätt för eleverna att visa sina kunskaper.

Mer om bedömning, prov och hur de kan användas finns att läsa om i lärarguidens inledande text.

Sammanfattning

S S

●● MånghörningFigurer med tre eller flera hörn.

Det här är en femhörning.

hörn

sida

diagonal

●● VinklarEn rät vinkel

markeras med en hake.

Rät vinkel90°

Rak vinkel180°, ett halvt varv

Spetsig vinkelmindre än 90°

Trubbig vinkelstörre än 90°

●● Triangelns vinkelsummaEn triangels vinkelsumma är alltid 180°

Exempel180° – 40° – 35° = 180° – 75° = 105°

Vinkeln v = 105°

v

40° 35°

●● Olika dimensioner

Längd

Bredd

Höjd

BreddLängdLängd

En sträcka är endimensionell. Enheten kan vara meter, m.

En yta är tvådimensionell. Enheten kan vara kvadratmeter, m2.

En kropp är tredimensionell. Enheten kan vara kubikmeter, m3.

●● AreaStorleken av en ytaRektangelns area

2 cm

4 cmA = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2

Arean är 8 kvadratcentimeter

Parallellogrammens area

4 cm

2 cm

A = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2


Triangelns area

4 cm

2 cm

A = basen · höjden _____________ 2 = 4 cm · 2 cm __________ 2 = 8 cm2 _____ 2 =

= 4 cm2


●● Kroppar

basyta

hörn

kant

sidoyta

PrismaBasytan är en månghörning och sidoytorna är rektanglar.

RätblockEtt prisma med en rektangel som basyta.

KubEtt rätblock där alla sidoytor är kvadratiska.

PyramidSpetsig kropp med en månghörning som basyta.

●● Trianglar

höjd

basOliksidig triangelAlla sidor är olika långa och alla vinklar är olika stora.

Likbent triangelTvå sidor är lika långa och två vinklar är lika stora.

Liksidig triangelAlla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora.

Rätvinklig triangelEn vinkel är rät.

●● BegränsningsytaArean av rektangelns begränsningsyta är

2 · 4 cm · 2 cm + 2 · 4 cm · 3 cm + 2 · 3 cm · 2 cm = = 2 · 8 cm2 + 2 · 12 cm2 + 2 · 6 cm2 = = 16 cm2 + 24 cm2 + 12 cm2 = 52 cm2

3 cm

2 cm

4 cm4 cm 4 cm 3 cm

3 cm 2 cm

4 cm

●● Fyrhörningar

Parallelltrapets Parallellogram

Romb Rektangel Kvadrat

●● VolymStorleken av en kropp

Volym = Basytan · höjden

V = B · h = 3 cm · 2 cm · 4 cm = = 6 cm2 · 4 cm = 24 cm3

Volymen är 24 kubikcentimeter.

3 cm2 cm

4 cm


geometri 12 - sanomautbildning.se€¦ · endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell att...

Documents