geometria 1, normálszint - eötvös loránd universityweb.cs.elte.hu/~lakos/geo1n_03n2019a.pdf ·...

Geometria 1, normálszint 3. eloadás 1 / 27

Geometria 1, normálszintELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék

2019

3. eloadás

A diákat készítette: Moussong Gábor

Előadó: Lakos Gyula [email protected]

Geometria 1, normálszint 3. eloadás 2 / 27

A félév anyaga

A középiskolás eloismeretek áttekintéseAlapfogalmak (térelemek és viszonyaik)TranszformációkFontosabb geometriai alakzatok

VektorgeometriaKoordináták és vektorokVektorok szorzásaVektorok alkalmazásai

KonvexitásSokszögek és poliéderek

Sokszögek és konvex sokszögekKonvex poliéderek, szabályos poliéderek

Koordináták és vektorok Geometria 1, normálszint 3. eloadás 3 / 27

Koordinátarendszer


Koordinátarendszer

Egyenesen:


Koordinátarendszer

Egyenesen:

DefinícióAz egyeneskoordinátarendszerén az egyenesnekazR számegyenessel való konkrét azonosítását értjük.


Koordinátarendszer

Egyenesen:


Ehhez elegendo a 0 és 1 pontokat kijelölni:

0 1


Koordinátarendszer

Egyenesen:



0 1

ezután az elojeles távolságmérés azonosítja az egyenestR-rel.


Koordinátarendszer

Egyenesen:



0 1


Bármelyx, y ∈ R esetén azx és azy pont közötti elojeles távolság:y− x.


Koordinátarendszer

Egyenesen:



0 1


Bármelyx, y ∈ R esetén azx és azy pont közötti elojeles távolság:y− x.

A koordinátarendszer felvétele az egyenes irányítását is rögzíti.


Koordinátarendszer

Síkban:


Koordinátarendszer

Síkban:

0

1

1

DefinícióSíkbelikoordinátarendszer: két,koordinátákkal ellátott metszoegyenes, amelyek közös pontjamindkét egyenesen a kezdopont.


Koordinátarendszer

Síkban:

)x,y(

0 x

y DefinícióSíkbelikoordinátarendszer: két,koordinátákkal ellátott metszoegyenes, amelyek közös pontjamindkét egyenesen a kezdopont.

DefinícióA pontokkoordinátáit a tengelyekkel párhuzamosan húzott egyenesekmetszik ki.


Koordinátarendszer

Síkban:

0

1

1

DefinícióSíkbelikoordinátarendszer: két,koordinátákkal ellátott metszoegyenes, amelyek közös pontjamindkét egyenesen a kezdopont.

DefinícióA pontokkoordinátáit a tengelyekkel párhuzamosan húzott egyenesekmetszik ki.

DefinícióDescartes-félekoordinátarendszer: a tengelyek merolegesekés a távolságegység egyenlo a két tengelyen.


Koordinátarendszer

A síkban a koordinátarendszer felvétele (és a tengelyek sorrendje) asík irányítását is rögzíti:


Koordinátarendszer


0

+

2.

1.


Koordinátarendszer


0

+

2.

1.

Pozitív forgásirány: az elso tengely pozitív félegyenesét a másodiktengely pozitív félegyenesébe vivo π-nél kisebb forgatás iránya.


Koordinátarendszer

Térben:


Koordinátarendszer

Térben:

0 11

1

DefinícióTérbelikoordinátarendszer: három, közösponton áthaladó, nem egy síkban fekvoegyenes, amelyek metszéspontja mindháromegyenesen a kezdopont.


Koordinátarendszer

Térben:

0 11

1


Koordinátasíkok: a tengelyek által páronként kifeszített síkok.


Koordinátarendszer

Térben:

x,y,z( )

x

z

y0



DefinícióA pontokkoordinátáit a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokmetszik ki.


Koordinátarendszer

Térben:

01 1

1



DefinícióA pontokkoordinátáit a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokmetszik ki.

DefinícióDescartes-félekoordinátarendszer: a tengelyek páronkéntmerolegesek és a távolságegység a három tengelyen egyenlo.


Irányítás a térben



Szemléletesen:



Szemléletesen:

A tapasztalati térben felvett koordinátarendszertpozitív irányításúnak



Szemléletesen:

A tapasztalati térben felvett koordinátarendszertpozitív irányításúnak(jobbsodrású rendszernek) mondjuk, ha:



Szemléletesen:


a tengelyek sorrendjét is rögzítjük, és emellett



Szemléletesen:



jobb kezünk elso három ujja természetes tartással rendrea három tengely pozitív irányába tud mutatni.



Szemléletesen:



jobb kezünk elso három ujja természetes tartással rendrea három tengely pozitív irányába tud mutatni.

Ha a koordinátarendszer nem ilyen (azaz a bal kezünk elso három ujjajobban illeszkedik hozzá), akkornegatív irányításúnak vagy(balsodrású rendszernek) mondjuk.


Irányítás a térben, precízebben



A matematikai térben csak valamely rögzített koordinátarendszerhezviszonyítvabeszélhetünk pozitív, illetve negatív (azaz: jobbsodrású,illetve balsodrású) koordinátarendszerrol:




Két térbeli koordinátarendszer megegyezo sodrású(vagy megegyezo irányítású), ha:





az egyik a másikba átviheto olyan deformációval, amelynek során atengelyek szöge és a távolságegységek folytonosan változhatnak, de ahárom egyenes mindvégig koordinátarendszert alkot (azaz egyetlenpillanatra sem eshet egy síkba).





az egyik a másikba átviheto olyan deformációval, amelynek során atengelyek szöge és a távolságegységek folytonosan változhatnak, de ahárom egyenes mindvégig koordinátarendszert alkot (azaz egyetlenpillanatra sem eshet egy síkba).

Az egymással megegyezo irányítású koordinátarendszereknekpontosan két osztálya van. Azt mondjuk, hogy a teretirányítássallátjuk el, ha az egyik osztályt kiszemeljük és pozitívnak tekintjük.


Koordinátarendszer

A koordinátarendszer rögzítésével bijektív megfeleltetéseket kaptunk:


Koordinátarendszer


egyenes ←→ R

sík ←→ R2

tér ←→ R3


Koordinátarendszer


egyenes ←→ R

sík ←→ R2

tér ←→ R3

Elnevezések: R számegyenesR

2 koordinátasíkR

3 koordinátatér


Koordinátarendszer


egyenes ←→ R

sík ←→ R2

tér ←→ R3

Elnevezések: R számegyenesR

2 koordinátasíkR

3 koordinátatér

A továbbiakban aP = (x1, x2, x3) formula jelöli azt, hogy aP pontkoordinátái azx1, x2, x3 számok.


Pontok távolsága


Pontok távolsága

Descartes-féle koordinátarendszerben:


Pontok távolsága


A Ba b

Egyenesen:


Pontok távolsága


A Ba b

Egyenesen:d(A,B) =

∣

∣b− a∣

∣ =√

(b− a)2


Pontok távolsága


A Ba b

Egyenesen:d(A,B) =

∣

∣b− a∣

∣ =√

(b− a)2

a1 b1

a2

b2A

B

0

Síkban:


Pontok távolsága


A Ba b

Egyenesen:d(A,B) =

∣

∣b− a∣

∣ =√

(b− a)2

a1 b1

a2

b2A

B

0

Síkban:d(A,B) =

√

(b1− a1)2 + (b2− a2)2


Pontok távolsága


A Ba b

Egyenesen:d(A,B) =

∣

∣b− a∣

∣ =√

(b− a)2

a1 b1

a2

b2A

B

0

Síkban:d(A,B) =

√

(b1− a1)2 + (b2− a2)2

A

B

0

Térben:


Pontok távolsága


A Ba b

Egyenesen:d(A,B) =

∣

∣b− a∣

∣ =√

(b− a)2

a1 b1

a2

b2A

B

0

Síkban:d(A,B) =

√

(b1− a1)2 + (b2− a2)2

A

B

0

Térben:d(A,B) ==

√

(b1− a1)2 + (b2− a2)2 + (b3− a3)2


Pontok távolsága


A Ba b

Egyenesen:d(A,B) =

∣

∣b− a∣

∣ =√

(b− a)2

a1 b1

a2

b2A

B

0

Síkban:d(A,B) =

√

(b1− a1)2 + (b2− a2)2

A

B

0

Térben:d(A,B) ==

√

(b1− a1)2 + (b2− a2)2 + (b3− a3)2

(Pitagorasz-tétel)


Vektorok bevezetése



Megjegyzés:

Egyszerre beszélhetünk az egyenes, a sík, illetve a tér vektorairól,ugyanis az elobbiek felfoghatók a tér valamely rögzített egyeneséhez,illetve síkjához tartozó vektorokként.



DefinícióA tér irányított szakaszaitvektoroknak nevezzük azzal amegállapodással, hogy:



DefinícióA tér irányított szakaszaitvektoroknak nevezzük azzal amegállapodással, hogy:nem teszünk különbségetazA1B1 és azA2B2 irányított szakasz mintvektor között, ha létezik olyan eltolás, amelynélA1 7→ A2 ésB1 7→ B2.



DefinícióA tér irányított szakaszaitvektoroknak nevezzük azzal amegállapodással, hogy:nem teszünk különbségetazA1B1 és azA2B2 irányított szakasz mintvektor között, ha létezik olyan eltolás, amelynélA1 7→ A2 ésB1 7→ B2.

A1 A2

B1B2

Azaz:ha d(A1,B1) = d(A2,B2)és az A1B1, A2B2 félegyenesekegyirányúak.


Vektorok bevezetése: ekvivalenciaosztályok

A vektortehátnemugyanazt jelenti, mint azirányított szakasz,



A vektortehátnemugyanazt jelenti, mint azirányított szakasz,hanem irányított szakaszok egy egész osztálya tartozik egy vektorhoz.




Ennek a matematikai konstrukciónak a neve:ekvivalencia-osztályozás.





A séma:Eloször megmondjuk, mely dolgokat kívánunk ekvivalensnektekinteni





A séma:Eloször megmondjuk, mely dolgokat kívánunk ekvivalensnektekinteni (a konkrét esetben az egymásba eltolható irányítottszakaszokat),





A séma:Eloször megmondjuk, mely dolgokat kívánunk ekvivalensnektekinteni (a konkrét esetben az egymásba eltolható irányítottszakaszokat),majd az ekvivalenciaosztályokat képezzük





A séma:Eloször megmondjuk, mely dolgokat kívánunk ekvivalensnektekinteni (a konkrét esetben az egymásba eltolható irányítottszakaszokat),majd az ekvivalenciaosztályokat képezzük (a konkrét esetben ezeklesznek a vektorok).






Hasonló matematikai konstrukciók pl.:







kongruencia modulom maradékosztályok,







kongruencia modulom maradékosztályok,

koordinátarendszerek azonos sodrású volta irányítás.


Vektorok

Jelölések, elnevezések:


Vektorok


Az AB irányított szakaszhoz tartozó vektort−→AB jelöli.


Vektorok



Használjuk av =−→AB jelölést is.


Vektorok




(Nyomtatásban vastag betu, kézírásban aláhúzás:v = v =−→AB .)


Vektorok





Az AB irányított szakaszt av vektor egyreprezentánsának mondjuk.


Vektorok





Az AB irányított szakaszt av vektor egyreprezentánsának mondjuk.

Pl.: bármelyA pontra−→AA = 0 anullvektor.


Szabad vektor, helyvektor

A most bevezetett vektorfogalom az ún. „szabad vektor” fogalma.



A most bevezetett vektorfogalom az ún. „szabad vektor” fogalma.Az elnevezés arra utal, hogy a vektort reprezentáló irányított szakaszkezdopontja bárhol, szabadon felveheto.




Szokás ún. „helyvektorokat” is használni, amelyeknél a kezdopontrögzítve van.





Bármelyv vektorhoz ésO ponthoz egyértelmuen található olyanPpont, hogy

−→OP = v.






−→OP = v.

Ez az összefüggés bijektív kapcsolatot létesít a (szabad) vektorokhalmaza és a rögzítettO kezdopontú irányított szakaszok (azazhelyvektorok) halmaza között.






−→OP = v.

Ez az összefüggés bijektív kapcsolatot létesít a (szabad) vektorokhalmaza és a rögzítettO kezdopontú irányított szakaszok (azazhelyvektorok) halmaza között.

A helyvektorok pedig (a végpont hozzárendelése útján) bijektívkapcsolatban állnak a tér pontjaival.


Vektorok állása


Vektorok állása

Legyeneku =−→AB ésv =

−−→CD nullvektortól különbözo vektorok.


Vektorok állása



Azt mondjuk, hogyu ésv

párhuzamos, haAB ‖ CD;


Vektorok állása




párhuzamos, haAB ‖ CD;ezen belül:


Vektorok állása





egyirányú, ha azAB és aCD félegyenes egyirányú,


Vektorok állása





egyirányú, ha azAB és aCD félegyenes egyirányú,ellentétes irányú, ha azAB és aCD félegyenes ellentétes irányú,


Vektorok állása






meroleges, haAB ⊥ CD.


Vektorok állása






meroleges, haAB ⊥ CD.

(Megjegyzés: a definíciók korrektek, mert a feltételek nem függnek areprezentánsok (AB ésCD) választásától, csak a vektoroktól.)


Vektorok állása

Hasonlóan definiáljuk vektornak egyenessel vagy síkkal vettpárhuzamosságát, merolegességét is.


Vektorok állása


Vektorok egy rendszerétegysíkúnak mondjuk, ha létezik olyan síkamellyel mindegyik vektor párhuzamos.


Vektorok állása



Megállapodás: a0 nullvektor bármely vektorral (egyenessel, síkkal)párhuzamos és ugyanakkor bármely vektorra (egyenesre, síkra)meroleges is.


Vektorok állása



Megállapodás: a0 nullvektor bármely vektorral (egyenessel, síkkal)párhuzamos és ugyanakkor bármely vektorra (egyenesre, síkra)meroleges is.

(Azt mondjuk, hogy0 határozatlan irányú.)


Vektorok szöge, hossza



Definíció: két vektor szöge

Legyenu =−→AB 6= 0 ésv =

−→AC 6= 0.





−→AC 6= 0. Ekkor:

(u, v)∢ = azAB és azAC félegyenes által bezárt szög.







Ha u = 0 vagyv = 0, akkor az(u, v)∢ szögetnemértelmezzük.








Definíció: vektor hossza

Legyenu =−→AB .









Legyenu =−→AB . Ekkor:

∣

∣u∣

∣ = d(A,B).










∣

∣u∣

∣ = d(A,B).

Pl. a nullvektor hossza 0 (és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor).










∣

∣u∣

∣ = d(A,B).

Pl. a nullvektor hossza 0 (és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor).A v vektortegységvektornak nevezzük, ha

∣

∣v∣

∣ = 1.


Vektorok koordinátái



Rögzítsünk egyO kezdopontú koordinátarendszert.

O




O

v Tetszolegesv vektorhoz




O

P

vv Tetszolegesv vektorhoz tekintsük azt a

P pontot, amelyre−→OP = v




O

P


P pontot, amelyre−→OP = v, ésv koordinátáin

értsük aP pont koordinátáit.




O

P




Ezáltal bijektív megfeleltetést nyertünk a vektorok halmaza ésR3

(illetve az egyenes esetébenR, sík esetébenR2) között.




O

P






Általában, hav =−→AB ésA = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), akkor

v = (b1− a1, b2− a2, b3− a3).




O

P






Általában, hav =−→AB ésA = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), akkor

v = (b1− a1, b2− a2, b3− a3).

Ha a koordinátarendszer Descartes-féle, akkor av = (v1, v2, v3)vektor hossza ∣

∣v∣

∣ =√

v21 + v2

2 + v23.


Vektormuveletek


Vektormuveletek

Összeadás:


Vektormuveletek

Összeadás:

u+vv

u

vagy u+v

u

v


Vektormuveletek

Összeadás:

u+vv

u

vagy u+v

u

v

Koordinátákkal:


Vektormuveletek

Összeadás:

u+vv

u

vagy u+v

u

v

Koordinátákkal:

Legyenu = (u1, u2, u3) ésv = (v1, v2, v3), ekkor

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3).


Vektormuveletek

Összeadás:

u+vv

u

vagy u+v

u

v

Koordinátákkal:

Legyenu = (u1, u2, u3) ésv = (v1, v2, v3), ekkor

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3).

(Mindegyik koordinátatengelyen irányított szakaszok elojeles hosszaadódik össze.)


Vektormuveletek


Vektormuveletek

Szorzás skalárral (azaz valós számmal):


Vektormuveletek


Adott av vektor és aλ ∈ R szám;


Vektormuveletek


Adott av vektor és aλ ∈ R szám; három esetet tekintünk:


Vektormuveletek


Adott av vektor és aλ ∈ R szám; három esetet tekintünk:λ > 0:


Vektormuveletek


Adott av vektor és aλ ∈ R szám; három esetet tekintünk:λ > 0: ekkorλv egyirányúv-vel

és∣

∣λv∣

∣ = λ ·∣

∣v∣

∣, λvv


Vektormuveletek



és∣

∣λv∣

∣ = λ ·∣

∣v∣

∣, λvv

λ = 0: ekkorλv = 0,


Vektormuveletek



és∣

∣λv∣

∣ = λ ·∣

∣v∣

∣, λvv


λ < 0: ekkorλv ellentétes irányú

v-vel és∣

∣λv∣

∣ = −λ ·∣

∣v∣

∣. λv v

(Jelölés:−v = (−1)v)


Vektormuveletek



és∣

∣λv∣

∣ = λ ·∣

∣v∣

∣, λvv



v-vel és∣

∣λv∣

∣ = −λ ·∣

∣v∣

∣. λv v


Koordinátákkal:


Vektormuveletek



és∣

∣λv∣

∣ = λ ·∣

∣v∣

∣, λvv



v-vel és∣

∣λv∣

∣ = −λ ·∣

∣v∣

∣. λv v


Koordinátákkal:

v = (v1, v2, v3) eseténλv = (λv1, λv2, λv3)


Vektormuveletek


Vektormuveletek

Muveleti tulajdonságok


Vektormuveletek

Muveleti tulajdonságok (mind nyilvánvaló):


Vektormuveletek


u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

u + 0 = u

(−u) + u = 0

(λ+ µ)u = λu + µu

λ(u + v) = λu + λv

(λµ)u = λ(µu)

1u = u


Vektormuveletek


u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

u + 0 = u

(−u) + u = 0


λ(u + v) = λu + λv

(λµ)u = λ(µu)

1u = u

Ezek a tulajdonságok mutatják, hogy a vektorok ezekre a muveletekrenézvevektorteretalkotnak a valós számtest fölött


Vektormuveletek


u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

u + 0 = u

(−u) + u = 0


λ(u + v) = λu + λv

(λµ)u = λ(µu)

1u = u

Ezek a tulajdonságok mutatják, hogy a vektorok ezekre a muveletekrenézvevektorteretalkotnak a valós számtest fölött (ld. algebra).


Bázis


Bázis

DefinícióVektorok egy rendszerétbázisnak nevezzük, ha bármely vektoregyértelmuen felírható ezek lineáris kombinációjaként (azaz:skalárszorosainak összegeként)


Bázis

DefinícióVektorok egy rendszerétbázisnak nevezzük, ha bármely vektoregyértelmuen felírható ezek lineáris kombinációjaként (azaz:skalárszorosainak összegeként) (ld. algebra).

Például:


Bázis


Például:

Az egyenes vektorai számára bázist alkot bármelyik6= 0 vektor.


Bázis


Például:


A sík vektorai számára bázist alkot bármely két nem párhuzamosvektor.


Bázis


Például:



A tér vektorai számára bázist alkot bármely három nem egysíkúvektor.


Bázis


Például:



A tér vektorai számára bázist alkot bármely három nem egysíkúvektor.

Az egyenes, a sík, illetve a tér vektorai tehát rendre egy-, két-, illetveháromdimenziós vektorteret alkotnak.


Bázisok és koordinátarendszerek



Ha adott egy koordinátarendszer, akkor az egyértelmuen származtategy bázist



Ha adott egy koordinátarendszer, akkor az egyértelmuen származtategy bázist (a koordinátarendszeralapvektorait):




0 1

egyenesen




0 1

egyenesen

0

1

1

síkban




0 1

egyenesen

0

1

1

síkban0 1

1

1

térben




0 1

egyenesen

0

1

1

síkban0 1

1

1

térben

Megfordítva, az origó rögzítése és egy bázis kiválasztásameghatározza a koordinátarendszert.




0 1

egyenesen

0

1

1

síkban0 1

1

1

térben


Ha a, b, c az alapvektorok ésv koordinátái(v1, v2, v3), akkor

v = v1a + v2b + v3c.




0 1

egyenesen

0

1

1

síkban0 1

1

1

térben


Ha a, b, c az alapvektorok ésv koordinátái(v1, v2, v3), akkor

v = v1a + v2b + v3c.

(Azaz: a koordináták éppen a lineáris kombinációban szereploegyütthatók.)


Descartes-féle alapvektorok



A Descartes-féle koordinátarendszerhez tartozó alapvektorok:

i 10

egyenesen




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban

0 11

1

i

k

jtérben




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban

0 11

1

i

k

jtérben

Itt i, j, k páronként meroleges egységvektorok,i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban

0 11

1

i

k

jtérben


A v = (v1, v2, v3) vektor tehátv = v1i + v2j + v3k alakban is írható.




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban

0 11

1

i

k

jtérben



Megállapodás:




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban

0 11

1

i

k

jtérben



Megállapodás:

egyenesen: az irányítást azi vektor jelöli ki;




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban

0 11

1

i

k

jtérben



Megállapodás:


síkban:i-t j-bepozitív90◦-os forgatás viszi;




i 10

egyenesen0

1

1

j

isíkban

0 11

1

i

k

jtérben



Megállapodás:


síkban:i-t j-bepozitív90◦-os forgatás viszi;

térben:i, j, k (ebben a sorrendben)jobbsodrásúrendszert alkot.


Komponensek

Tegyük föl, hogy a rögzítetta, b ésc vektorok bázist alkotnak a térvektorai számára.


Komponensek


Fejezzünk ki egy tetszolegesv vektort ebben a bázisban:

v = αa + βb + γc

alkalmasα, β, γ skalárokkal.


Komponensek



v = αa + βb + γc


Az αa, βb, γc vektorokat av vektor (adott bázisra vonatkozó)komponenseinek vagyösszetevoinek nevezzük.


Komponensek



v = αa + βb + γc


Az αa, βb, γc vektorokat av vektor (adott bázisra vonatkozó)komponenseinek vagyösszetevoinek nevezzük.

(Figyeljünk a különbségtételre: azα, β, γ koordináták skalárok, míga komponensek vektorok.)


Komponensek

Rögzítsünk egyS síkot és egy vele nem párhuzamosa vektort.

a

S


Komponensek


va

S

A tér bármelyv vektora egyértelmuen írható

v = v′ + v′′

alakban, aholv′ ‖ a ésv′′ ‖ S.


Komponensek


va

OS

P

Valóban, hav =−→OP , aholO ∈ S,


Komponensek


P’’

v

v’’a

OS

P


akkor av′′ =−−→OP′′ vektor számára aP′′ ∈ S pontot aP-n áthaladó,

a-val párhuzamos egyenes döfi ki azS síkból.


Komponensek


P’’

v

v’’

v’a

OS

P



a-val párhuzamos egyenes döfi ki azS síkból.Ezutánv′ a v− v′′ különbségvektorként adódik.


Komponensek


P’’

v

v’’

v’a

OS

P



a-val párhuzamos egyenes döfi ki azS síkból.Ezutánv′ a v− v′′ különbségvektorként adódik.

Ilyenkor azt mondjuk, hogy av vektort felbontottuk aza vektorralpárhuzamos és azS síkkal párhuzamos komponensekre.


Komponensek

Fontos speciális eset: amikora ⊥ S.


Komponensek

Fontos speciális eset: amikora ⊥ S. Ilyenkor ezt a tételt kapjuk:

vp

vm

a v

TételRögzítetta 6= 0 vektor mellett a tér bármelyv vektora egyértelmuenírható

v = vp + vm

alakban, aholvp ‖ a ésvm ⊥ a.


Komponensek

Fontos speciális eset: amikora ⊥ S. Ilyenkor ezt a tételt kapjuk:

vp

vm

a v

TételRögzítetta 6= 0 vektor mellett a tér bármelyv vektora egyértelmuenírható

v = vp + vm

alakban, aholvp ‖ a ésvm ⊥ a.

Itt azt mondjuk, hogy av vektort felbontottuk aza vektorralpárhuzamosvp és aza vektorra merolegesvm komponens összegére.

geometria 1, normálszint - eötvös loránd universityweb.cs.elte.hu/~lakos/geo1n_03n2019a.pdf ·...

Documents