diszkrét matematika 3. eloadás - sapientiamgyongyi/diszkretmat/3_szamtart.pdfdiszkrét matematika...

Diszkrét matematika

3. el®adás

MÁRTON Gyöngyvérhttps://ms.sapientia.ro/∼mgyongyi/[email protected]

Sapientia EMTE,Matematika-Informatika TanszékMarosvásárhely, Románia

2020, ®szi félév

MÁRTON Gyöngyvér 2020, Diszkrét matematika

https://ms.sapientia.ro/~mgyongyi/

Mir®l volt szó az elmúlt el®adáson?

Python, alapfogalmak: változók, típusok, függvények, algoritmusok, aprogramírás lépései, operátorok, utasítások (while), rekurzió, típusokközötti átalakítások

számtartományok: természetes számok

aritmetikai m¶veletek, a min függvény

a faktoriális függvény - iteratív, rekurzív változatok


Mir®l lesz szó?

a gyorshatványozás algoritmusa - iteratív, rekurzív változatok, szorzásokszáma

Python alapfogalmak: a lista, tuple típus

számtartományok: egész számok

polinom helyettesítési értéke


Algoritmusok Pythonban

1. feladat

Határozzuk meg xn értékét a gyorshatványozás algoritmusával.

Létezik olyan algoritmus, amely 2100 meghatározásakor 9 darab szorzást végez.Hogyan?? ⇒ a gyorshatványozás algoritmusával, amely logaritmikus futásiidej¶.

def my_pow (x, n):

res = 1

while n != 0:

if n % 2 == 1:

res = res * x

n = n // 2

x = x * x

return res

>>> my_pow(2, 100)

1267650600228229401496703205376L

def my_pow_ (x, n):

res = 1

while True:

if n % 2 == 1:

res = res * x

n = n // 2

if n == 0: break

x = x * x

return res


A gyorshatványozás algoritmus, példa

3100 meghatározása:

def my_pow (x, n):res = 1while n != 0:

if n % 2 == 1: res = res * xn = n // 2x = x * x

return res

x n res1

3 100 132 = 9 50 1

34 = 81 25 8138 = 6561 12 81

316 = 43046721 6 81332 = 1853020188851841 3 150094635296999121

364 = 3433683820292512484657849089281 1 5153775207320113310364611297656212727021075220013128 = 117 . . . 961 0

Az eredmény: 3100 = 34 · 332 · 364 = 515377520732011331036461129765621272702107522001.



2. feladat

Határozzuk meg xn értékét, rekurzív I. változat

def my_pow1 (x, n):

if n == 0: return 1

if n % 2 == 1: return x * my_pow1 (x * x, n // 2)

return my_pow1 (x * x, n // 2)

>>> my_pow1(2, 100)

1267650600228229401496703205376



3. feladat

Határozzuk meg xn értékét, rekurzív II. változat.

def my_pow2 (x, n):

if n == 0: return 1

temp = my_pow2 (x, n // 2)

if n % 2 == 1: return x * temp * temp

else: return temp * temp


Python, szintaxis

A rendezett ennes (tuple) típus

elemek/adatok szekvenciája, amelyek értékét nem lehetmegváltoztatni/immutable

létrehozásakor kerek zárójelet használunk, helyenként ez elhagyható

ha azt szeretnénk, hogy egy függvény egynél több értéket térítsen vissza, akkornagyon el®nyös a használatuk

Példák:

>>> t = (1, "karakterlanc", 5.4)

>>> t[1]

'karakterlanc'

>>> t[1] = "masik karakterlanc"

...

TypeError: 'tuple' object does not support item assignment

>>> t = t + ("masik karakterlanc",) #hozzafuzes - append

(1, 'karakterlanc', 5.4, 'masik karakterlanc')

>>> len(t) #a tuple elemeinek száma

4MÁRTON Gyöngyvér 2020, Diszkrét matematika


4. feladat

Határozzuk meg, hogy hány szorzást végez a gyorshatványozás algoritmusának

II. rekurzív változata.

def my_pow2_ (x, n):

if n == 0: return 1, 0

temp, nr = my_pow2_ (x, n // 2)

if n % 2 == 1: return x * temp * temp, nr + 2

return temp * temp, nr + 1

def SzorSzama (x, n):

res, nr = my_pow2_(x, n)

print ("Szorzasok szama: ", nr)

#print(res)

A my_pow2_ függvény visszatérítési értéke egy tuple típusú érték (számpár),ahol a kerek zárójeleket elhagytuk.



>>> SzorSzama(2, 1023)

Szorzasok szama: 20


Szorzasok szama: 12


Szorzasok szama: 13

Miért van ekkora eltérés a szorzások számátillet®en, a három különböz® hatványkitev®esetében?

Meghatározzuk a kitev®k kettes számrendszerbeli alakját, használjuk a beépített binfüggvényt:

>>> bin(1023)

'0b1111111111'

>>> bin(1024)

'0b10000000000'

>>> bin(1025)

'0b10000000001'

A szorzások számát az határozza meg, hogy a hatványkitev® kettes számrendszerbeli

alakja hány bites, illetve hány 1-es szerepel benne!!


Python függvények

További számrendszerek közötti átalakításokat is végezhetünk; 8-as, illetve 16-osszámrendszerbeli értéket határoz meg a következ® két függvény, az eredmény stringtípusú lesz:

>>> oct(1023)

'0o1777'

>>> hex(1023)

'0x3ff'

Az int függvény a stringként megadott hexadecimális, bináris, stb, alak alapjánmeghatározza a tízes számrendszerbeli alakot:

>>> int('3FF', 16)

1023

>>> int('1111111111', 2)

1023


Python függvények

A format kétparaméteres, alkalmas bináris, oktális, hexadecimális alakmeghatározására:

>>> format(1023, 'b') #bináris (2-es) alak

'1111111111'

>>> format(1023, 'o') #oktális (8-as) alak

'1777'

>>> format(1023, 'x') #hexa (16-os) alak

'3ff'

>>> format(1023, 'X')

'3FF'


Egész számok

halmazjelölés: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . },

tulajdonságok:

N ⊂ Z, és a két halmaz számossága ugyanaz,két halmaz számossága, akkor egyezik meg, ha a két halmaz között

létezik egy bijekció, pl: f (x) =

{2x ha x ≥ 0,−2x − 1 ha x < 0,

kommutatívitás, asszociativitás, disztributivitás,az egész számok halmaza zárt az összeadásra, kivonásra, szorzásranézve, de ez nem igaz az osztásra,az összeadásra nézve minden elemnek van inverz eleme,rendezettség: a ≤ b, ha b − a ∈ N.


Python, szintaxis

A lista (list) típus

elemek/adatok szekvenciája, amelyek értékét meg lehetváltoztatni/mutable

létrehozásakor szögletes zárójelet használunk

hasonló a tuple adatszerkezethez, a programozó dönti el, mikor, melyiketel®nyösebb használni

azonos típusú adatok esetében lista típust, különböz® típusú adatokesetében tuple típust szoktak használni

Példák:

>>> L = list(range(10))

>>> print (L)

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

>>> print (L[2])

2

>>> L[2] = -2 #a lista egy vagy több elemének értéke megváltoztatható

>>> print (L)

[0, 1, -2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]


Python, szintaxis

>>> L = L + [10] #hozzafuzes - append

>>> print (L)

[0, 1, -2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

>>> print ('a lista fordított sorrendben: ', L[::-1])

a lista fordított sorrendben: [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, -2, 1, 0]

L = L + ['kar lanc'] #más típusú adattal is b®víthet® a lista

>>> print (L)

[0, 1, -2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 'kar lanc']

>>> L[:3] # a lista elemei, a harmadik elemig

[0, 1, -2]

>>> L[3:] # a lista elemei a harmadik elemt®l kezd®d®en

[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 'kar lanc']

>>> L1 = 5 * ['helo']

>>> print(L1)

['helo', 'helo', 'helo', 'helo', 'helo']


Python, szintaxis

Mit írnak ki a képerny®re a következ® függvényhívások?

def valtozok1():

x = 6

y = x

x += 1

print('x: ', x)

print('y: ', y)

print('id_x: ', id(x))

print('id_y: ', id(y))

print (x == y)

def valtozok2():

x = [6, 7]

y = x

x = x + [8]

print('x: ', x)

print('y: ', y)


print('id_: ', id(y))

print (x == y)

def valtozok3():

x = [6, 7]

y = x

x += [8]

print('x: ', x)

print('y: ', y)


print('id_: ', id(y))

print (x == y)

def valtozok4():

x = (6, 7)

y = x

x += (8,)

print('x: ', x)

print('y: ', y)


print('id_y: ', id(y))

print (x == y)


Logikai kifejezések, m¶veletek, operátorok

Összehasonlító operátorok:

a == b, ha a egyenl® b-vel, akkor True értéket ada != b, ha a nem egyenl® b-vel, akkor True értéket ada > b, ha a nagyobb, mint b, akkor True értéket ada >= b, ha a nagyobb vagy egyenl®, mint b, akkor True értéket ada < b, ha a kisebb, mint b, akkor True értéket ada >> x = 760

>>> if x % 2 == 0 and x % 5 == 0: print ('a szam osztható 10-el')

else: print ('a szam nem osztható 10-el')

>>> mStr = 'Helo világ!'

>>> if mStr[-1] == '!' or mStr[-1] == '?':

print ('nem kijelento mondat')

else: print ('kijelento mondat')



5. feladat

Határozzuk meg egy adott polinom helyettesítési értékét, megadott értékre.

A függvény bemenete tartalmazza a helyettesítési értéket és a polinomegyütthatóit, mint listaelemeket, ahol a lista els® eleme a polinom legnagyobbfokszámú eleme lesz: A(c) = an · cn + · · ·+ a1 · c + a0kétféleképpen is megadjuk az algoritmust, ahol a Horner módszer lesz ahatékonyabb, kevesebb szorzást végez a végs® eredmény meghatározásához.

def poly(c, A):

p = 1

res = 0

for a in reversed(A):

res = res + a * p

p *= c

return res

>>> poly(5, [4,7,0,8,2,1,20])

def horner(c, A):

res = 0

for a in A:

res = res * c + a

return res

>>> horner(5, [4,7,0,8,2,1,20])

85450 = 4 · 56 + 7 · 55 + 0 · 54 + 8 · 53 + 2 · 52 + 1 · 51 + 20MÁRTON Gyöngyvér 2020, Diszkrét matematika


6. feladat

A numpy, illetve matplotlib csomagok segítségével ábrázoljunk egy megadott

együtthatójú polinomot.

A numpy és matplotlib csomagokat telepítéséhez, el®bb érdemes telepíteni a piptelepít®t, amivel a kés®bbiekben bármilyen Python csomagot könnyedén tudunktelepíteni (a Python újabb verziói tartalmazzák alapból).

Windows: be kell állítani a PATH környezetváltozót (environment variable), úgyhogy megadjuk a python.exe állomány elérési útvonalát (System/Advancedsystem settings), ezután bárhonnan kiadható lesz a python parancs

töltsük le egy mappába a get-pip.py állományt

nyíssunk meg egy Command prompt ablakot, válasszuk ki azt a mappát amibe aget-pip állományt tettük

adjuk ki a következ® parancsokat:

python get-pip.py

python -m install �-upgrade pip

python -m pip install numpy

python -m pip install matplotlib

python -m pip install matplotlib.pyplot


https://bootstrap.pypa.io/3.2/get-pip.py


import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def main():

X = np.linspace(-200, 200, 300, endpoint=True)

F1 = horner(X, [1, -4, 3])

F2 = horner(X, [2, 7, 7])

#F1 = horner(X, [4, 11, 3, 5])

#F2 = horner(X, [10, 3, 11, 19])

plt.plot(X, F1, label = "F1")

plt.plot(X, F2, label = "F2")

plt.show()

main()


diszkrét matematika 3. eloadás - sapientiamgyongyi/diszkretmat/3_szamtart.pdfdiszkrét matematika...

Documents