GeometraCompendio de Ciencias IVECAPTULOOBJETIVOSTener presente las semejanzas de tringulos.Ubicar los elementos homlogos y hacer las relaciones que existen entre ellosDiferenciar entre congruencia y semejanza de tringulos.INTRODUCCINEUCLIDES (450 - 347 a.C.)Matemtico griego, se cree que naci en Gela o Megara donde fund una escuela de filosofa.Discpulo de la escuela eletica, se le considera el padre de la Geometra Euclidiana. Mediante un razonamiento de carcter cientfico elabor teoras a partir de la formulacin de hiptesis, siguiendo un meticuloso camino deductivo, accin que se conoce como mtodo axiomtico.Se considera que la implantacin de ese mtodo es el primer caso de un estudio que dise un instrumento de investigacin. Por encargo de Ptolomeo, rey de Egipto, desplaz su sitio de trabajo al Museo de Alejandra, el ms importante centro cultural de la poca.El edificio geomtrico construido por Euclides ha sobrevivido hasta el presente y se dedic a escribir su obra: Elementos (consta de 13 captulos, llamados libros), compendio del conocimiento matemtico desarrollado por l y otros estudiosos de la geometra plana y del espacio, de las proporciones geomtricas y de la aritmtica. Libro I.- Relacin de igualdad de tringulos. Teorema sobre paralelas. Suma de ngulos de un polgono. Igualdad de las reas de los tringulos o paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitgoras. Libro II.- Conjunto de relaciones de igualdad entre reas de rectngulos que conducen a la resolucin geomtrica de la ecuacin de segundo grado. Libro III.- Circunferencia, ngulo inscrito. Libro IV.- Construccin de polgonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia. Libro V.- Teorema general de la medida de magnitudes bajo forma geomtrica, hasta los nmeros irracionales. Libro VI.- Proporciones, tringulos semejantes. Libro VII, VIII y IX.- Aritmtica: proporciones, mximo comn divisor y nmeros primos. Libro X.- Nmeros inconmensurables bajo forma geomtrica a partir de los radicales cuadrticos. Libro XI y XII.- Geometra del espacio y en particular, relacin entre volmenes de prismas y pirmides; cilindro y cono, proporcionalidad del volumen de una esfera al cubo del dimetro. Libro XIII.- Construccin de los cinco poliedros regulares.5 9Compendio de Ciencias IVEGeometraSEMEJANZA DE TRINGULOSLos tringulos son semejantes cuando tienen los ngulosinteriores iguales y los lados homlogos proporcionales.Lados Homlogos:Son los lados opuestos a ngulos iguales de dos tringulos semejantes PSi: A B G Q RA B B C A C P Q Q R P R k ak a cckEjemplos aplicativos:Se tiene un tringulo ABC y sobre los lados AB y BC se construye exteriormente los cuadrados ABPQ y BCMN. Determine el menor ngulo que determinan AN y MQ.Resolucin:Nk razn de semejanza* El smbolo de semejanza es La semejanza de los tringulos nos dice que las formas permanecen invariables, solamente se diferencian por sus P bB b 2 Ma 2 Q a b btamaos.aCASOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOSA CI.Dos tringulos son semejantes cuando tienen dos ngulos respectivamente congruentes. Q A B N B MPor lo tanto: x = 45III.Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionalesEjemplo:Calcular x1 abcEjemplos: akbkckEn los siguientes grficos, calcular xx8BQResolucin: 1 31 21 5 2,63xLos tringulos son semejantes ACPR P1 42,8Resolucin:1 A B C Q Rxx 9 13 14 15 kx 1 x 3 2, 6 2, 8 3Por lo tanto k = 5Entonces:12 15 x 12 2, 49xx35II.Dos tringulos son semejantes, cuando tienen un ngulo respectivamente congruente y las longitudes de l o s l ad o s qu e fo r m a n a di c h o n gu l o respectivamente proporcionales.6 0 PROPIEDADES1.En todo tringulo se cumple que el producto de dos lados es igual al dimetro de la circunferencia circunscrita multiplicado por la altura relativa al tercer lado.GeometraCompendio de Ciencias IVERahb a b 2 R h 5.PAPPUS: El cuadrado de la distancia de un punto del ar c o de u n a c i r c u n fer en c i a a su c u er da correspondiente es igual al producto de las distancias de dicho punto hacia las tangentes trazadas por los extremos de la cuerda. Si M y N son puntos detangencia.TEOREMAS1.En la figura mostrada se cumple: abxMNx 2 ab30 30ab x 3 1 1xa b 6.En la figura mostrada se cumple. Si M y N son puntos de tangencia.2.En la figura mostrada se cumple:45a bx 2 1 1xa b NMaxb x 2 ab3.En todo trapecio issceles circunscrito se cumple. SiM y N son puntos de tangencia.aBC 7.En la figura mostrada se cumple. Si M y N son puntosde tangencia.NMxNAbD x2 1 1xa b M 2 1 1bxa ba4.En un trapecio, si por el punto de interseccin de las diagonales se traza una paralela a las bases, se cumple.Si: B C // E F // A D. a 8.En la figura mostrada se cumple. Si: A B // E F // C D.BBCa DF 1 1 1EF x b xa b2 1 L A E CE FabA Db6 1Compendio de Ciencias IVEGeometraProblema Desarrollado Problema por DesarrollarEn la figura; demostrar que: 3 1 1xa b En la figura demostrar que:2 1 1xa bResolucin:Se prolonga AB hasta P, tal que: PC // BD. Resolucin: A P C : IsscelesEntonces: BP = BC = bP C b 3 A A P C B Dx ab 3 a b x(a)3 b aba b 3 1 13L.q.q.d.a ba b xbax6 2GeometraCompendio de Ciencias IVE1.En el grficoCalcule x. L1 // L 2 . 4.En el grfico, calcule x.Rpta.: ...........................................5.En el grfico, calcule x.12Rpta.: ...........................................2.Si EF // AC. Calcule x.Rpta.: ...........................................6.En el grfico, calcule x.Rpta.: ...........................................3.Calcule x, si ABCD es un romboide. Rpta.: ...........................................7.Calcule el permetro del cuadrado ABCDRpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................6 3Compendio de Ciencias IVEGeometra8.Calcule x. Rpta.: ........................................... 14. S e t i en e u n t r ap ec i o A B C D , BC // AD, c u y as diagonales se intersecan en O. Si: BC = 2; AD = 6 y la altura del trapecio mide 4, calcule la distancia de O hasta AD .Rpta.: ...........................................15. Si ABCD es un romboide, 4BP = 3BD y AB = 12, Calcule NC.9.Se tiene dos tringulos semejantes, el permetro delprimer tringulo es 84 m y los lados del segundo miden3 m; 4 m y 5 m. Determine la diferencia de los lados mayor y menor del primer tringulo.Rpta.: ...........................................10. Si AB = 8 m y BC = 6 m, determine r.Rpta.: ...........................................11. En el tringulo ABC una recta paralela a AC interseca a AB y BC en los puntos P y Q respectivamente, calcule PQ, si AP = 6, PB = 2 y AC = 12.Rpta.: ...........................................12. Los lados de un tringulo miden 17, 19 y 23 calcule la medida del menor lado de otro tringulo semejante a l cuyo permetro es 177.Rpta.: ...........................................13. En un trapecio CADF, sobre CA y DF se toman los puntos B y E respectivamente, tales que AD // BE // CF. Si: 3AB = 5BC y EF = 18. Calcule DF.Rpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................16. Si los lados de un tringulo miden 15; 18 y 24 y el lado menor de un tringulo semejante al primero mide 6. Calcule la longitud del lado mayor del ltimo tringulo.Rpta.: ...........................................17. En un tringulo ABC se traza la altura BH de manera que 5AB = 2BC; mHBC = 3mABH y AH = 2.Determine HC.Rpta.: ...........................................18. En la figura mostrada. Si: MP = a; MQ = b, calculeAB; AM = MB; (O: centro)Rpta.: ...........................................6 4GeometraCompendio de Ciencias IVE19. En la figura L es el ortocentro del tringulo, BH = a yHE = b. Determine BL. 20. En la figura mostrada. Si R = 5; R 1 10 m;Rpta.: ........................................... R2 34 m; y PQ = 6 m y BC = 4 m. Calcule AB.Rpta.: ...........................................1.Si: BD = 20 y BE = 4. Determine AC.A) 4B) 4,5C) 5D) 5,5E) 62.Si PQ // EH. Calcule x.A) 64B) 78C) 8D) 9E) 10 4.En el grfico AB = 9 y DB = 4, Calcule BC.A) 16B) 6C) 26D) 10E) 19Rpta.: ...........................................5.En el grfico, AB = 12, BN = 4, AC = 9. Calcule x.A) 2B) 3C) 43.En el romboide ABCD. BM = MC; OM = 4; calcule AO.A) 4B) 5C) 6 D) 5E) 6D) 8E) 106 5Compendio de Ciencias IVEGeometraCAPTULOOBJETIVOSProporcionar una forma indirecta para el clculo de los segmentos de un tringulo rectngulo.Conocer los tipos de proyeccin.INTRODUCCINPITGORASIsla de Samos, actual Grecia, hacia 572 a.C. Filsofo y matemtico griego. Se tienen pocas noticias de la biografa de Pitgoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condicin de fundador de una secta religiosa propici la temprana aparicin de una tradicin legendaria en torno a su persona.Parece seguro que Pitgoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pas en Samos, la isla que probablemente abandon unos aos antes de la ejecucin de su tirano Polcrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este ltimo pas, cuna del conocimiento esotrico, se le atribuye haber estudiado los misterios, as como geometra y astronoma.Algunas fuentes dicen que Pitgoras march despus a Babilonia con Cambises, para aprender all los conocimientos aritmticos y musicales de los sacerdotes. Se habla tambin de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde goz de considerable popularidad y poder.La comunidad liderada por Pitgoras acab, plausiblemente, por convertirse en una fuerza poltica aristocratizante que despert la hostilidad del partido demcrata, de lo que deriv una revuelta que oblig a Pitgoras a pasar los ltimos aos de su vida en Metaponto.La comunidad pitagrica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discpulos deban esperar varios aos antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseanzas recibidas. Las mujeres podan formar parte de la cofrada; la ms famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quiz del propio Pitgoras y madre de una hija y de dos hijos del filsofo.El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal asctico y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificacin ritual (catarsis) de sus miembros a travs del cultivo de un saber en el que la msica y las matemticas desempeaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofa, trmino que, segn la tradicin, Pitgoras fue el primero en emplear en su sentido literal de amor a la sabidura.Tambin se atribuye a Pitgoras haber transformado las matemticas en una enseanza liberal mediante la formulacin abstracta de sus resultados, con independencia del contextomaterial en que ya eran conocidos algunos de ellos; ste es, en especial, el caso del6 6GeometraCompendio de Ciencias IVEfamoso teorema que lleva su nombre y que establece la relacin entre los lados de un tringulo rectngulo, una relacin de cuyo uso prctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemtico a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el mtodo pitagrico para la purificacin y perfeccin del alma, que enseaba a conocer el mundo como armona; en virtud de sta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposicin armnica que haca que sus distancias estuvieran entre s en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armona era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numrico, y si todo era armona, el nmero resultaba ser la clave de todas las cosas.La voluntad unitaria de la doctrina pitagrica quedaba plasmada en la relacin que estableca entre el orden csmico y el moral; para los pitagricos, el hombre era tambin un verdadero microcosmos en el que el alma apareca como la armona del cuerpo. En este sentido, entendan que la medicina tena la funcin de restablecer la armona del individuo cuando sta se viera perturbada, y, siendo la msica instrumento por excelencia para la purificacin del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitgoras implicaba toda una serie de normas higinicas basadas en tabes como la prohibicin de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigracin de las almas; se dice que el propio Pitgoras declar ser hijo de Hermes, y que sus discpulos lo consideraban una encarnacin de Apolo.PROYECCIONES1.PROYECCIN DE UN PUNTOLa proyeccin de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULORECTNGULOBPProyeccin P Proyectante c hA m H a90 n Cb2.PROYECCIN DE UN SEGMENTOLa proyeccin de un segmento se obtiene proyectando los extremos del segmento sobre la recta.A B N P M A H : Proyeccin de AB H C : Proyeccin de BCTeorema:Si en un tringulo rectngulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se determina 2 tringulos parciales semejantes al tringulo dado, por consiguiente se cumplenlas siguientes relaciones:A B M N P Q Relaciones:I.c2 = bm a2 = bnII.h2 = mnA' B' proyeccin de A BA III.b2 = a2 + c2(T. Pitgoras)IV.ac = bh1 1 1B' V.A'B VI. h2 a2 c 22a m c 2 n6 7Compendio de Ciencias IVEGeometraLa altura relativa a la hipotenusa es menor o igual que la mitad a dicha hipotenusa Teoremas: (P y Q son puntos de tangencia)1.PQh b h 2R rb P Q 2 R rAPLICACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA2.a.SemicircunferenciaCbBx m nb.Semicircunferencia x 2 m n c aA d D a2 c 2 b 2 d 2xx 2 m nnmProblema Desarrollado:Demostrar que h2 = mn Problema por DesarrollarDemostrar que a2 = cmResolucin:AHB BHCh m n h Resolucin:h2 m n L.q.q.d.6 8GeometraCompendio de Ciencias IVE1.Segn el grfico, Calcule x.Rpta.: ...........................................2.En un tringulo rectngulo las proyecciones de la hipotenusa sobre cada cateto miden 5 y 12. Calcule la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.Rpta.: ...........................................3.Del grfico, calcule x. 6.En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, lasmedianas AM y BN se cortan perpendicularmente en el punto P. Si AP = 2 m. Calcule AC.Rpta.: ...........................................7.En el grfico, calcule x.Rpta.: ...........................................8.Segn el grfico, calcule x.x2Rpta.: ...........................................4.Segn el grfico, calcule x. Rpta.: ...........................................9.Calcule x. Si O es centro.B CRpta.: ........................................... A O DRpta.: ...........................................5.Calcule x. 10. En la figura, O es centro de la semicircunfencia cuyo radio mide 9, calcule CH. Si AC=6Rpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................6 9Compendio de Ciencias IVEGeometra11. En un tringulo rectngulo, los catetos miden 6 m y8 m; determine la longitud de proyeccin del mayor cateto sobre la hipotenusa. 16. En la figura, OA = R, calcule la longitud de la tangenteAT en funcin de R.ARpta.: ...........................................12. Calcule el cateto menor de un tringulo rectngulo, si la hipotenusa mide 15 u y la altura relativa a ella mide 6 u.Rpta.: ...........................................13. En la figura, determine la longitud del radio de la circunferencia tangente a los cuartos de circunferenciay al lado BC del cuadrado ABCD, en funcin de L. TO BRpta.: ...........................................17. En la figura ABCD es un romboide, AG es bisectrizAM = MG, AL = 9 y BF = 4, calcule LM.B F G CMA L DRpta.: ...........................................Rpta.: ...........................................14. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide L unidades. Determine la longitud del radio de la circunferencia en funcin de L. 18. En la figura ABC es un tringulo equiltero cuyo ladomide7 . Si BP =5 , calcule la distancia entre los puntos medios de AC y BP .BPA CRpta.: ...........................................Rpta.: ...........................................15. En la figura, A y G son puntos de tangencia; y AB es dimetro. Calcule BG, si GF = 1 y MB = 4. 19. En un rectngulo ABCD (AB < BC) se trazan lasperpendiculares A E y CF a la diagonal B D . SiAB=EF y BE=2m, calcule CD.Rpta.: ...........................................20. En la figura, calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito en el cuarto de crculo de radio R.AO BRpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................7 0GeometraCompendio de Ciencias IVE1.Calcule AC, en el grfico.BA) 3B) 424C) 5D) 6A H C 4.En la figura AB es dimetro, determine PQ; si AQ = 4y BQ = 12.A) 4 2PB) 4E) 7 x x+ 2 C) 4 3A Q B2.En la figura. Calcule x.CA) 56 3B) 6xC) 7BD) 86 D) 6RE) 85.En la figura, calcule AB, si AFAC = 72.E) 9A3.Calcule x. 11 D A) 5BB) 6C) 7A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6 Bx x+ 1A x+ 2 C D) 8AE) 9 F C7 1CAPTULOTEOREMA DE LAS CUERDAS:Si dos o ms cuerdas se intersectan en un punto interior de una circunferencia, el producto de las longitudes de los segmentos que determinan dichas cuerdas es constante. FLECHA O SAGITA :Es el segmento perpendicular, trazado desde el punto medio del arco, a la cuerda que subtiende dicho arco.ADa y (A P)(P B)(C P)(P D)Px bB a b x yCDemostracin :ADPBC N B MN flechaA M donde:A M M BANTambin :N BLa prolongacin de N M pasa por el centro de la circunferencia.Problema:1.En una circunferencia, una cuerda mide 16m; y su flecha mide 4m. Calcule el radio de la circunferencia. Resolucin:84 8Mr1.Se forma los tringulos APC y BPDC2.APC ~ BPDA BA P C P3.P D P B (A P)(P B)(P D)(C P)L.q.q.d.Problema:1.En la figura, determine x.3 D1. Si AB = 16 m AM = MB = 8 mMC = 4 m2. CD=2r (dimetro) MD = CD 43. (AM)(MB)=(CM)(MD) (teorema de las cuerdas)8.8 = 4.(2r 4)4 2r = 20 r 10x 6Resolucin:x.3 = 4.6 TEOREMA DE LA TANGENTE :Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante. La longitud de la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante completa por la parte externa.TP T 2 (A P)(B P)x8 ABPCompendio de Ciencias IVEGeometra7 2GeometraCompendio de Ciencias IVEdonde :A P secante completaB P parte externaProblema: TEOREMA DE PTOLOMEOEn todo cuadriltero inscrito o inscriptible; el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma del producto de las longitudes de los lados opuestos.1.En el grfico. Calcule BC :B CxT a yD5A B C10 A dSea :ABCDd o n d e : A C = x BD = yResolucin:Si : AT2 = ACAB x y a c bd 52 = 10.AB A B2, 5 Problema:1.Si los lados de un cuadriltero inscrito miden 1; 2; 3; 4Pero : AB + BC = 10 BC=10 AB BC = 10 2,5 = 7,5Entonces:B C 7, 5 metros y la longitud del segmento que une los puntos medios de sus diagonales fuera 1 m. Calcule la suma de las longitudes de sus diagonales.Resolucin:B CTEOREMA DE LA SECANTE:xSi desde un punto exterior a una circunferencia se trazan1 yDdos o ms secantes, el producto de las longitudes de laA 4secante entera por su parte externa, es igual a otra secanteentera por su parte externa.P A B Por el Teorema de Euler :1. 12 + 22 + 32 + 42 = 4(1)2 + x2 + y2x2 + y2 = 26.... ()Problema: CD(P B)(P A)(P D)(P C) 2. Por el teorema de Ptolomeo :x.y = 13 + 24xy = 11... () 2(xy) = 2112xy = 22... ()de () y () (sumando m.a.m.)x2 + 2xy + y2 = 48 (x + y)2 = 481.En la figura. Determine x x y 486A B x y4 3P xx C8 DResolucin:De la figura:6 (6 x) = 8x3(6 x) = 4x18 3x = 4x7x = 18 TEOREMA DE VIETTEEn todo cuadriltero inscriptible o inscrito la relacin entre las longitudes de las diagonales es igual a la relacin de las suma de productos de las longitudes de los lados que tengan a los extremos de las diagonales como vrtices comunes.C BA x1877 3Compendio de Ciencias IVEGeometraSea elABCD :donde : AC = x CD = yvrtice A : comn a los lados AD ABvrtice C : comn a los lados CB CDvrtice B : comn a los lados BC BAvrtice D : comn a los lados DC DA Sea elABC :*AC BD en P1.La suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de cuadrados de los otros dos. x ad bc yab cd a2 c 2 b 2 d 2Problema:1.En la figura calcular la longitud de las diagonales.y 2.La suma de cuadrados de las longitudes de los segmentos determinados en las diagonales es igual a4 veces el cuadrado del radio de la circunferenciacircunscrita.x3a m 2 n2 p 2 q 2 4 R2Resolucin:1. xy = (2a)(a) + (2a)(3a)(T. Ptolomeo)xy = 2a2 + 6a2xy = 8a2... () Problema:1.En la figura, Calcule R.42 6x (2a)(3a)(2 )(a)6a 2a 2 a 22.y (2a)(2a)(3 a) a 4 a2 3a2 (T. Viette)3 Rx 8 a2 x 8 Resolucin:y 7 a2 y 7 () 4R2 = 22 + 42 + 62 + 32 (2do. Teorema)4R2 = 4 + 16 + 36 + 9 = 65de ( ) : se multiplica m.a.m.2 2 R 65 R 65()x 2 64 a x 64 a2774 2 x a78 78 a 77 RECTAS ISOGONALESSon aquellas que, partiendo del vrtice, forman ngulos congruentes con los lados de un ngulo.AReemplazando en () :Xy 7 y 7 x Rectasx 88Y O y 7 8 7 a 7a B y7 a87TEOREMA DE ARQUMEDES:En todo cuadriltero inscrito o inscriptible si las diagonales se cortan perpendicularmente se cumple : tambin se dice que son simtricas respecto a la bisectriz del mismo ngulo.XCB C P O YA donde : O X y OY, se llaman isogonales respecto a los ladosRD O A y O B .7 4GeometraCompendio de Ciencias IVETEOREMA DE LAS RECTAS ISOGONALESEn todo tringulo se cumple que :El producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de l a s l o n g i t u des de l o s seg m en t o s i s o go n al es correspondientes al ngulo que forman dichos lados, uno de ellos limitado por el tercer lado del tringulo y el otro por la circunferencia circunscrita a dicho tringulo.B Problema:1.En la figura determine la altura BH : Si: AB = 2 y BC = 12BA C H O4 A P C R Resolucin:En la figura se traza el dimetro B D.BQSea el ABC: dondeB P y B Q (rectas isogonales) 12A C H O4(A B)(B C)(B P)(B Q)tambin se cumple :B donde : BD = 2R; DA B H m D BmC c aOA H C RDdonde : por el Teorema de las rectas isogonales.a.c = BH (2R)2.12 = BH(8) BH3B H B D son rectas isogonalesB D Dimetro (BD = 2R) (a)()(c2 R)(B H)7 5Compendio de Ciencias IVEGeometraProblema DesarrolladoDemostrar que: x2 = ab Problema por Desarrollar:Calcule x; en la figura x xb aResolucin: a 4a3 aResolucin:xA C Bb aAFCBPB:x b axx 2 ab L.q.q.d.1.En el grfico; calcule x.A 2.En el grfico, calcule x.B P 3 C8 x 1Bx 9 xD C ARpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................7 6GeometraCompendio de Ciencias IVE3.En el grfico, calcule x.A B 4 P23x C 8.En el grfico, calcule x.P A8D1 xCED QRpta.: ...........................................4.En el grfico, calcule x.B Rpta.: ...........................................A x 9.En el grfico, P es punto de tangencia, calcule x.92xP Ax 4 xD CB9Rpta.: ...........................................C5.En el grfico, calcule x.A B 1 Px1 Rpta.: ...........................................10. En el grfico, si T es punto de tangencia, calcule x.T 6 A6 CxDBRpta.: ...........................................56.En el grfico, calcule x.Px Q2 Rx CRpta.: ...........................................11. En la figura C es punto de tangencia. Calcule AB, siBC = 4 y CD = 6.Dx N 2 AM CBRpta.: ...........................................A7.En el grfico, si P es punto de tangencia, calcule x.P 6 Ax Rpta.: ...........................................x B 12. Por un punto A exterior a una circunferencia se trazan las secantes ABC y AFM tal que AB = BC. CalculeC BC, si AF = 9 y FM = 7.Rpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................7 7Compendio de Ciencias IVEGeometra13. En la figura D y T son puntos de tangencia QT = CP, CD = 5 y BC = 4. Calcule ATQ 17. En la figura G es un punto de tangencia y baricentro del tringulo ABC, BF = 4 y FC = 5. Calcule ABA T B BC FPGA CDRpta.: ...........................................14. En la figura M es punto de tangencia, calcule AM, siAE = 5; EF = 8, CF = 6 y FG = 4 Rpta.: ...........................................18. En la figura calcule x.M A 8C E x9FGDRpta.: ...........................................15. En la figura, calcule x. Rpta.: ...........................................19. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 20.T es un punto de tangencia y AD es dimetro de la semicircunferencia. Calcule MG.B C10 15TG M2x A DRpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................16. En el figura, calcule x.22,5 1,5 x 20. Se tiene el tringulo ABC inscrito en una circunferenciaen el cual se traza la cuerda PQ (P en el arco AB y Q en el arco BC) que corta en M a AB y N a BC, tal que: PM = MN = NQ. Calcule NC, si AM =5 , BM=4 y BN=2.Rpta.: ...........................................Rpta.: ...........................................7 8GeometraCompendio de Ciencias IVE1.Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores 2 a2 cuyos radios miden 3; 2 y 9; calcule la distancia del centro de la circunferencia mayor a la recta que une los centros de las otras dos. 4.En el grfico, calcule x.B Ax 58 6A)512 6C)5 9 6xB)45C10 6DD)514 6E)5 Rpta.: ...........................................5.Calcule BC, si AB = 9 y CD = 402.En el grfico, calcule x.A) 37 B) 23 C) 45D) 60xE) 753.En la figura, calcule x.A) 1B) 2C) 34D) 4x3E) 5 A) 50B AB) 41C) 43D) 46E) 45C D7 9