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GEOMETRIA

ANALITICA

PROBLEMARIO

ELABORADO POR:

M. en C. JOSÉ CORREA BUCIO

SEMESTRE AGOSTO 2013 - ENERO 2014

GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 149

M. en C. JOSÉ CORREA BUCIO 2

SISTEMA UNIDIMENSIONAL

1.- Localizaremos en un eje de coordenadas los puntos que tienen por coordenadas los números 6

1,

16

15,

3

2,

2

5 , -2 y

2

1.

2.- Encontraremos la longitud del segmento que tiene por extremos a los puntos 3A y 10B .

3.- Localizaremos los puntos A(3) y B(-5). Encontraremos la distancia existente entre los puntos

dados.

4.- Calcularemos el valor de la coordenada x del punto A si se sabe que el valor de la coordenada

del punto B es -5, y que la distancia entre los puntos dados es de 3 unidades. Mostraremos en una

figura los puntos mencionados.

5.- Los extremos de un segmento se localizan en los puntos 3A y 10B . Calcularemos la

razón PB

AP

d

dr , en la que el punto 6P , divide al internamente segmento AB .

6.- Los extremos de un segmento se localizan en los puntos 3A y 10B . Calcularemos la

razón PA

BP

d

dr , en la que el punto 6P divide internamente al segmento BA .

7.- Un extremo de un segmento se localiza en el punto de coordenadas -8 y su punto medio en el

punto de coordenadas 3. Encontraremos la coordenada del otro extremo del segmento. Véase

figura

8. Encontraremos la coordenada de los puntos de trisección y del punto medio del segmento cuyos

extremos se localizan en los puntos 3A y 10B . Representaremos gráficamente la

situación.

9.- Localizar los puntos A(5) y B(-3) y encontrar la distancia entre ellos.

10.- Calcular la coordenada del punto A si se conoce que B(-5) y la distancia de BA es -3, gráfica y

analíticamente.

11.- Encontrar la longitud del segmento AB cuyos extremos son: (-3) y (-10), hacer gráfica.

12.- Localice los siguientes números en la recta numérica y ordene de menor a mayor:

a) 1/6 b) 15/16 c) √2/3 d) -5/2

e) -2 f) 1/√2

13.- La distancia entre los dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2), donde se localiza el otro

punto, gráfica y analíticamente.



14.- Localizar los puntos (-8) y (17) y encontrar la distancia entre ellos, hacer gráfica

15.- Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P1(4) y P2(-2). Calcular la razón P2P/PP1,

en que el punto P(7) divide al segmento. Hacer su representación gráfica.

16.- Encontrar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son

los puntos (-7) y (-19), Hacer su gráfica correspondiente.

17.- Un extremo de un segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es (3). Encontrar la

coordenada del otro extremo y localizarla mediante la gráfica.

18.- Calcula gráfica y analíticamente la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(8)

y la distancia entre los dos puntos es igual a 3.

19.- Calcula gráfica y analíticamente la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(-5)

y la distancia entre los dos puntos es igual a 4.

20.- Calcula la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(-1) y la distancia entre los

dos puntos es igual a 5. Hacer su gráfica correspondiente

21.- Calcula la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(-10) y la distancia entre los

dos puntos es igual a 8. Hacer su gráfica correspondiente.

22.- Representa en el sistema coordenado lineal los puntos C(-4) y D(5), encuentra analíticamente

los puntos de trisección de dicho segmento.

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

1.- Localizaremos en un plano cartesiano cada uno de los siguientes puntos 05,M , 42 ,N ,

57,P , 45,Q , 65 ,R , 05,T , 30,U y 60 ,W .

2.- Describiremos la región del plano cuyos puntos y,x satisfacen la desigualdad 62 x .

3.- Trazaremos los polígonos cuyos vértices se localizan en los puntos indicados en cada caso.

a) 05,M , 42 ,N y 57,P

b) 65 ,R , 05,T , 30,U y 60 ,W

c) 07,A , 45,Q , 57,B , 05,T y 66,C

4.- Localizaremos el cuarto vértice del rectángulo sabiendo que los otros tres vértices se localizan en

los puntos 65,A , 62,B y 32 ,C . Trazaremos el rectángulo mencionado.

5.- Calcularemos la distancia que existe entre los puntos 52,A , 34 ,B , que representa

también la longitud del segmento AB .



6.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto 111 ,A , si

el otro extremo del segmento es el punto 2,xB , encontraremos el valor de la abscisa x de este

punto.

7.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 4 es el punto 22 ,A , si el

otro extremo del segmento es el punto y,B 2 , encontraremos el valor de la ordenada y de este

punto.

8.- Probaremos mediante la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, si los puntos

43,A , 75,B y 911,C son colineales.

9.- Probaremos mediante la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, que los puntos

22,A , 13,B y 61 ,C son los vértices de un triángulo isósceles. Representaremos

gráficamente el triángulo.

10.- Probaremos mediante la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, que los puntos

23,A , 32 ,B y 40 ,C son los vértices de un triángulo rectángulo. Representaremos

gráficamente el triángulo.

11.- Encontraremos el punto que se localiza en el eje de las abscisas y que es equidistante a los

puntos 214 ,A y 64 ,B .

12.- Encontraremos las longitudes de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices se localizan en

los puntos 79,A , 62 ,B , 15 ,C y 43,D . Representaremos gráficamente el

cuadrilátero y las diagonales mencionadas.

13.- Si la base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos 16,A y 21,B ,

encontraremos la ordenada del otro vértice sabiendo que la abscisa de este tercer vértice es 3.

14.- Se tiene un cuadrado que mide 5 unidades de longitud en cada uno de sus lados,

determinaremos las coordenadas de sus vértices, conociendo que uno de sus vértices está en el

origen del sistema de coordenadas, otro de sus vértices se localiza en el tercer cuadrante y de los

dos restantes, uno se encuentra en la parte negativa del eje de las abscisas y el otro en la parte

negativa del eje de las ordenadas. Encontraremos también la longitud de sus diagonales.

15.- Localizar en el plano cartesiano y mencionar en que cuadrante se localizan los puntos:

a) M(-5, 0) b) N(-2, -4)

c) O(-7, 5) d) Q(-4.9, -2.7)

e) R(9/4, -3/2) f) P(13/16, -7/3)

16.- Representar gráficamente los siguientes puntos:

a) A(3, 4); B(-2, 1) y C(-5, -2)



b) P(1, 3); Q(0, -4) y R(-6, 6)

c) L(2, 2); M(7, -4) y N(-8, 10)

d) S(-9, -3); T(-5, 1) y U(4, 0)

17.- Describir la región de plano cuyos puntos (x, y) satisfacen la desigualdad 2 < x < 6, realizando

dicha gráfica.

18.- Describir la región de plano cuyos puntos (x, y) satisfacen las dos desigualdades, realizando

dicha gráfica.

a) 2 < x < 5 y b) -√2 < x < √2

19.- Localizar gráficamente los siguientes polígonos, formados por las coordenadas de sus vértices:

a) A(4, 5); B(-3, 2) y C(2, -5)

b) A(-2, 7); B(-6, -1) y C(-4, -3)

c) A(6, -1); B(1, -4) y C(5, -7)

d) A(0, 8); B(-4, -2) y C(4, -2)

e) A(-4, 2); B(-2, -3); C(1, -6) y D(0, 4)

f) A(-2, -5); B(5, -2); C(7, 2) ; D(1, 5) y E(-4, 2)

20.- Localizar el cuarto vértice de un rectángulo cuyos otros vértices son: A(5, 6), B(-2, 6), C(-2, -3)

21.- Encontrar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

a) A(-2, 5) y B(4, -3)

b) A(2, 5/3) y B(-3, -3/2)

c) A(0, 4); y B(9, -2)

d) A(9/2, -3/4); y B(17/5, -3/4)

22.- Los puntos A(2, 5) y B(-3, 2) son los extremos del segmento AB. Encontrar la longitud de su

proyección:

a) En el eje de las abscisas.

b) En el eje de las ordenadas.

23.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto A (1, -11); si

la ordenada del otro extremo es (4), encuentra su abscisa.



24.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 4 es el punto P (2, -2); si

la abscisa del otro extremo es (2), encuentra su ordenada.

25.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 10 es el punto B (-3, 6); si

la abscisa del otro extremo es (3), encuentra su ordenada.

26.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a √18 es el punto A (-6, 2); si

la ordenada del otro extremo es (-1), encuentra su abscisa.

27.- Demuestra mediante la ecuación de la distancia entre dos puntos, que los siguientes puntos son

colineales:

a) A(-3, 4); B(5, 7) y C(11, 9)

b) A(10, 1); B(6, -1) y C(2, -3)

c) A(-1, -2); B(3, -10) y C(-4, 6)

d) A(-4, 2); B(4, 6) y C(8, 8)

28.- Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles gráfica y

analíticamente:

a) A(-2, 2); B(3, 1) y C(-1, -6)

b) A(-2, -4); B(-5, -1) y C(-6, -5)

c) A(-6, -6); B(-2, 2) y C(2, -2)

d) A(-6, 4); B(-5, -3) y C(-1, -1)

29.- Demuestre que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo, gráfica y

analíticamente:

a) A(3, 2); B(-2, -3) y C(0, -4)

b) A(-2, -8); B(-6, -1) y C(0, -4)

c) A(3, 5); B(7, 2) y C(4, -2)

d) A(2, 5); B(8, -1) y C(-2, 1)

30.- Encuentre el punto que se localiza sobre el eje X y es equidistante de los puntos A(14, -2) y

B(-4, 6).

31.- Una circunferencia cuyo centro está en (-3, 4) pasa por el punto (9, 9), ¿cuál es su radio?



32.- Encuentre las longitudes de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son (10, 7), (2, -8), (-

5, -1) y (-3, 4).

33.- La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (6, 1) y (-1, 2). La abscisa

del otro vértice es 3 encuentre la ordenada.

34.- Encuentre las coordenadas del centro de un una circunferencia que pase por los puntos: (10, 2),

(9, -3), (-8, -10), encuentre también su radio.

35.- Con base en un cuadrado que tiene 4 unidades de longitud por lado, determinar las coordenadas

de sus vértices si un lado está en el origen y dos de sus lados se encuentran sobre los ejes

coordenados y además el cuarto vértice esta en el cuarto cuadrante. Encontrar la longitud de una

de sus diagonales.

36.- Con base en un cuadrado que tiene 5 unidades de longitud por lado, determinar las coordenadas

de sus vértices si un lado está en el origen y dos de sus lados se encuentran sobre los ejes

coordenados y además el cuarto vértice esta en el tercer cuadrante. Encontrar la longitud de una

de sus diagonales.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA,

UNA RELACIÓN Y PUNTO MEDIO DE ÉSTE.

1.- Si los extremos de un segmento se localizan en los puntos A(7, 4) y B(-1, -4), encontraremos la

razón en la que el punto P(1, -2) divide al segmento.

2.- Trazaremos el segmento cuyos extremos se localizan en los puntos A((-2, -1) y B(4, 2),

determinaremos las coordenadas de su punto medio y los valores de las coordenadas del punto

P(x, y) que se encuentra a los 5/7 de la distancia de A(-2, -1) hacia B(4, 2).

3.- Si AB tiene por extremos A(6, 4), B(2, -4), Encontrar y graficar el punto P(x, y) tal que la razón

r = AP/PB = 1/7.

4.- Trazar el segmento cuyos extremos son los puntos A(-2, -1) y B(4, 2) y determine los siguiente:

a) Las coordenadas del punto medio.

b) Las coordenadas del punto que se encuentra a los 5/7 a partir de A hacia B.

5.- Localizar y calcular los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son

los puntos (-2, 3) y (6, -3)

6.- Los puntos extremos de un segmento son A(2, 4) y B(8, -4). Localízalos y encuentra el punto

P(x, y) que divide al segmento en dos partes tales que la razón r = AP/PB = -2.

7.- Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es (4, 3). Calcula y

localiza el otro extremo.

8.- El punto medio del segmento AB es P(1, 2) y el punto A tiene de coordenadas (5, -2). Encontrar

y graficar las coordenadas del punto B.



9.- El punto medio del segmento AB es R(2, 3) y el punto A tiene de coordenadas (6, 11). Encontrar

y graficar las coordenadas del punto B.

10.- Encontrar las coordenadas del punto P que divida al segmento de extremos P1(3, -2), P2(-4, 3)

en la relación k = PP1/P1P2 = 2/3.

11.- Si el segmento AB está cortado por el punto P(-3, 2) en la relación AP/AB = k = 4/5 y las

coordenadas de A son (7, 5) Encontrar las coordenadas de B.

12.- Calcular y localizar las coordenadas del punto P que corta al segmento de extremos A(4, -2) y

B(7, -12) en la razón r = AP/PB donde:

a) r = 5 b) r = 1/3 c) r = 5/2

13.- Los puntos extremo de un segmento son A(2, 4) y B(8, -4). Encontrar el punto P que divide a

este segmento en dos partes tales que la razón r = BP/PA = -2

14.- Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-1, -4). Calcular la razón r = AP/PB

en que el punto P(1, -2) divide al segmento.

15.- El punto A esta a 2/3 de la distancia de M(6, 5) a N(-3, -6) y el punto B se encuentra a la mitad

del segmento Q(0, 5) con W(-8, -3). Calcular la distancia AB.

16.- El punto A esta a 3/2 de la distancia de M(-7, 7) a N(6, 3) y el punto B se encuentra a la mitad

del segmento Q(-5, 0) con W(5, -8). Calcular la distancia AB.

17.- Los vértices de un triángulo son A(3, 8), B(2, -1) y C(6, -1). Si D es el punto medio del lado

BC. Calcular la longitud de la mediana AD.

18.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son (1, 1), (4, 2) y (2, 5). Encontrar las

coordenadas de los vértices del triángulo.

19.- Encuentra las coordenadas de un punto P(x, y) que divide al segmento determinado por P1 (-2,

5) y P2 (10, -2) en la relación r = 2/3.

20.- Se sabe que el punto P(8, -4) divide al segmento que se determina por los y P1 (14, -12) y P2

(x2, y2) en la relación r = 2; encuentra las coordenadas de P2.

21.- Los extremos del diámetro de una circunferencia son A(3,-2) y B(5, 6); encuentra las

coordenadas del centro.

22.- El extremo del diámetro de una circunferencia de centro C(6, -2) es A(2, 4); encuentra las

coordenadas de B(x, y) del otro extremo.

23.- Determina la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto P(x, y) equidista de los

puntos A(2, 2) y B(9, 9); encuentra las coordenadas de dicho punto.



24.- Los extremos de un segmento son A(-3, -1) y B(5, 7). Encontrar el punto P(x, y) que divide a

este segmento en dos partes tales que BP/PA = -3

25.- Dados los puntos medios de los lados de los siguientes triángulos, encuentre las coordenadas de

los vértices de cada uno:

a) (2, -3), (5, 2) y (-2, 1) b) (6, -1), (3, 3) y (1, -3)

c) (5, -4), (-1, -2) y (3, 2) d) (8, 0), (-4, 7) y (2, -1)

26.- Determina las coordenadas del punto P(x, y) que se encuentra a los 5/7 a partir del segmento

A(2, 4) hacia B(8, -4).

27.- Encuentre las coordenadas de los puntos que dividen al segmento determinado por A(9, -3) y

B(-2, 7) en cuatro partes iguales.

28.- Encuentre las coordenadas del punto P(x, y) tal que k = AP/AB, para los siguientes casos:

a) A(4, -2), B(12, 8); k = 3/4 b) A(1, 1), B(-2, -3); k = 2

c) A(-2, 1), B(6, 4); k = 3/2 d) A(-2, 5), B(10, 1); k = 5/6

29.- Encuentra las coordenadas del punto P que se halla a 1/3 a partir del punto A(-6, 4) hacia B(2, -8).

30.- En una recta determinada por los puntos A(2, 3) y B(6, 5), ¿Cuál debe ser el valor de k si un

punto P de la recta tiene de abscisa (15/2)?

31.- Dados los puntos A(-5, 3), B(7, -9); a) Encuentre las coordenadas del punto que divide al

segmento AB en la razón 2/3. b) Encuentre las coordenadas del punto que divide al segmento

AB en la razón 3/2.

31.- Los vértices de un triángulo son A(-2, 8), (6, 4) y C(2, -4). Los puntos medios de AB y de AC

son B´ y C´ respectivamente. Demuestre encontrando valores numéricos, que: a) B´C´ = ½

BC. b) Área AB´C´ = ¼ ABC.

32.- Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo A(8, 6), B(4, -2) y C(-2, 8).

33.- Los vértices de un cuadrilátero son (7, 4), (-5, -2), (3, -8), (-1, 6), Demuestre, calculando los

valores numéricos que el perímetro del cuadrilátero formado al unir los puntos medios de los

lados, es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.

34.- Hállese la razón en la cual el punto (2, 3) divide al segmento que une (3, 8) con (-1, -12).

35.- El punto (5, -1) divide al segmento P1P2 en la razón 2/3. Si las coordenadas de P1 son (11, -3)

¿Cuáles son las coordenadas de P2?

36.- Los extremos de un segmento son los puntos P1(-5, 8) y P2(3, 0). Hallar la razón P1P : PP1 en

que el punto P(1, 2) divide al segmento. Hacer su representación en el plano.



PERIMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS

1.- Calcular el perímetro y el área de los triángulos:

a) A(0, 0) B(1, 2) y C(3, -4)

b) A(3, -4) B(5, 2) y C(-7, -3)

c) A(-4, -1) B(-2, -6) y C(5, 2)

d) A(4, 9) B(-2, 1) y C(-5, 3)

e) A(7, 3) B(-2, 2) y C(6, 4)

f) A(-1 -1) B(4, 2) y C(2, -3)

g) A(1, 0) B(-2, 0) y C(2, -1/2)

h) A(3, 4) B(-3, -4) y C(1, 2)

2.- Calcular el perímetro, semiperímetro y el área de los siguientes polígonos.

a) A(-3, 3) B(4, 2) C(7, 7) y D(-1, 6)

b) A(-3, -1) B(0, 3) C(3, 4) y D(4, -1)

c) A(-3, -1) B(0, 3) C(3, 4) y D(4, -1)

d) A(0, 1) B(1, 3) C(-1, 5) y D(-5, 0)

e) A(-3, -2) B(-7, 1) C(-2, 8) D(1, 5) y E(6, 3)

f) A(-5, 1) B(-4, 6) C(3, 5) D(7, 2) y E(2, -4)

g) A(-5, 1) B(-4, 6) C(3, 5) D(4, 7) E(7, 2) F(2, -4)

3.- En un sistema de coordenadas rectangulares se han dado dos vértices opuestos de un cuadrado

B(√2, 3/2) y C(1, ½). Determinar y localizar los otros dos vértices, calcular el perímetro,

semiperímetro y área del cuadrado.

4.- El centro de un cuadrado es el punto P(2, -1) y dos de sus vértices son A(2, 2) y B(-1, -1).

Encontrar y dibujar el plano las coordenadas de los otros dos vértices y calcular su área.

5.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (-½, ½), (3, -½) y (-3/2, -3); encuentra las

coordenadas de sus vértices, el área, perímetro y semiperímetro.

6.- Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son A(0, 0), B(1, 2) y C(3, -4); comprueba el

resultado por la formula de Herón para el área del triángulo en función de sus lados.



7.- Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son: A(2, -2), B(-8, 4) y C(5, 3); comprueba el

resultado por la formula: (b) (h)/2.

8.- El área de un triángulo cuyos vértices son (a, 6), (2, a), (4, 2) es 28. Encuentre los valores de a.

9.- Los vértices de un triángulo son (2, 7), (5, 1), (x, 3); su área es 18. ¿Cuál es el valor de x? a) Si

están en sentido contrario que el sentido del reloj; b) Si están en el sentido del reloj.

10.- Conociendo que el área del triángulo cuyos vértices se localizan en los puntos A(2, 7), B(5, 1) y

C(x, 3) es 18, encontraremos los valores de x.

11.- El punto P(2, 1) es el centro de un cuadrado que tiene dos de sus vértices en los puntos A(2, 2)

y B(-1, -1). Encontraremos las coordenadas de los otros dos vértices y calcularemos el área, el

perímetro y el semiperímetro del cuadrado.

PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA.

1.- Encontraremos la ecuación, en diferentes formas, de la línea recta que pasa por el punto

95,A y tiene pendiente 4

3m . Graficaremos la línea recta.

2.- Encontraremos la ecuación, en diferentes formas, de la línea recta que pasa por el punto

59 ,A y tiene un ángulo de inclinación º45 . Graficaremos la línea recta.

3.- Encontraremos la ecuación, en diferentes formas, de la línea recta que tiene pendiente 6

1m y

ordenada al origen 2. Graficaremos la línea recta.

5.- Encontraremos la pendiente, el ángulo de inclinación la recta de ecuación general

01234 yx además de las coordenadas de los puntos donde dicha línea recta interseca a los

ejes de coordenadas.

6.- Encontraremos las medidas de los ángulos que forma la línea recta que pasa por los puntos de

coordenadas 72, y 21 , con la línea recta que pasa por los puntos de coordenadas 46, y

22, . Graficaremos tales rectas en un mismo sistema de coordenadas.

7.- Encontraremos la medida de cada uno de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices se

localizan en los puntos de coordenadas 24, , 212 , y 68, .

8.- Una línea recta 1 que pasa por los puntos 25,A y 73 ,B es paralela a una línea recta

2 que pasa por el punto 32 ,C . Encontraremos las ecuaciones de estas líneas rectas y

trazaremos sus gráficas en un mismo sistema de coordenadas.

9.- Una línea recta 1 que pasa por los puntos 25,A y 73 ,B es perpendicular a una línea

recta 2 que pasa por el punto 32 ,C . Encontraremos las ecuaciones de estas líneas rectas y

trazaremos sus gráficas en un mismo sistema de coordenadas.



10.- Las ecuaciones 042 yx y 0735 yx corresponden a dos líneas rectas oblicuas,

encontraremos el punto común (o punto de intersección) de tales líneas rectas y las graficaremos

en un mismo sistema de coordenadas.

11.- Encontraremos la distancia que existe entre la línea recta de ecuación 01243 yx y el

punto de coordenadas 32 , .

12. Encontraremos el área del triángulo rectángulo formado por partes de los ejes de coordenadas y

de la línea recta de ecuación general 0623 yx . Graficaremos la línea recta.

13.- Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3,

2) y (7, -3).

14.- Trazar la recta que pasa por el punto A(-3, -2) y que tiene una pendiente igual a 4/5.

15.- Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que se forman con

los puntos:

a) A(-5, -2) y B(7, 5) b) A(0, 3) y B(11, -1)

c) A(7, 8) y B(4, 3) d) A(7, 4) y B(6, -1)

16.- Demuestra por medio de las pendientes que los siguientes puntos son colineales.

a) A(-2, 3), B(2/3, 1) y C(6, -3) b) A(7, 9) , B(2, -2) y C(-3, 5)

c) A(-4, 7), B(2, 2) y C(5, -1/2) d) A(2, 7), B(4, 3) y C(6, -1)

17.- Una recta de pendiente (-2/3) pasa por el punto A(-2, 5); la ordenada de otro punto B de la recta

es (1), encuentra su abscisa.

18.- Una recta de pendiente (-6/5) pasa por el punto P(3, -5) y por los puntos A y B. Si la ordenada

de A es (-2) y la abscisa de B es (-2), ¿Cuál es la abscisa de A y la ordenada de B?

19.- Determina la pendiente de las siguientes rectas cuya inclinación es:

a) 3π/4 b) 120º c) 60º d) π/4

20.- Determina el ángulo de inclinación para las siguientes rectas cuya pendiente es:

a) ∞ b) 2.1445506 c) -1.428148

21.- Traza las siguientes rectas que pasan por el punto dado y cuya pendiente se indica:

a) A(6, -2); m = -3/4 b) P(2, 1); m = ¾

c) R(2, -7) m = -4 d) A(4, 0) m = -3



22.- Demostrar que los puntos A(-4, 5), B(4, 3), C(3, -1) y D(-5, 1) son los vértices de un rectángulo

en función de sus pendientes, y que el lado AB es paralelo al lado DC y AD paralelo a BC y

que AB es perpendicular a AD como CD a BC.

23.- La recta que pasa por los puntos (-4, -6) y (6, 4) es perpendicular a la recta que pasa por los

puntos (-3, 1) y (2, -4), demuéstralo.

24.- Demuestre que los siguientes puntos dados forman triángulos rectángulos, aplicando teorema de

Pitágoras y la condición de perpendicularidad:

a) (-5, -1), (-1, 4) y (9, -4) b) (-5, -1), (4, -4) y (6, 2)

c) (-3, -5), (-2, 2) y (5, 1) d) (-4 4), (1, 5) y (3, -5)

e) (4, 2), (-5, -1) y (-2, -4) f) (8, 1), (1, -2) y (6, -4)

25.- Averiguar si las recta que pasa por los puntos (3, 7) y (-1, -1) con la recta que pasa por los

puntos (4, 5) y (-2, -7) son paralelas o perpendiculares.

26.- Averiguar si las recta que pasa por los puntos (3, 7) y (-1, -1) con la recta que pasa por los

puntos (4, -5) y (6, -6) son paralelas o perpendiculares.

27.- Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos de cuatro puntos son vértices del

paralelogramo ABCD.

a) A(2, 0), B(6, 0), C(4, 3) y D(0, 3) b) A(-2, 2), B(6, 0), C(5, -3) y D(-3, -1)

c) A(0, -2), B(4, -6), C(12, -1) y D(8, 3) d) A(-1, 0), B(5, 2), C(8, 7) y D(2, 5)

28.- La recta que pasa por los puntos (4, 3) y (-6, 0) intersecta a la recta a través de (0, 0) y (-1, 5),

trace en el punto de intersección una recta perpendicular a la primera recta y una paralela a la

segunda recta que pase por el punto (3, 3).

30.- Demostrar que la recta que pasa por los puntos (-2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la recta que

pasa por los puntos (-1, 1) y (3, 7).

31.- Una recta L1 pasa por los puntos (3, 2) y (-4, 6), y otra recta L2 pasa por el punto (-7, 1) y el

punto A cuya ordenada es -6. Encuentra la abscisa del punto A, sabiendo que L1 es

perpendicular a L2.

32.- Demuestre que los cuatro puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son vértices de un rombo y que sus

diagonales son perpendiculares y se cortan en el punto medio.

33.- Demuestre que los cuatro puntos (2, 4), (7, 3), (6, -2) y (1, -1) son vértices de un cuadrado y

que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.

ECUACIONES DE LA RECTA

1.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente que se indica:

a) A(5, 9) y m = 3 b) Q(0, -2) y m = -3/4



c) B(-6, 5) y m = 2/3 d) R(3, 1) y m = -2

2.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene el ángulo de inclinación que

se indica:

a) A(7, 4) y θ = 60º b) Q(2, -7) y θ = 135º

c) B(5, -2) y θ = 71º 33’ 54’’ d) R(-1, -1) y θ = 61º 36’ 25’’

3.- Encuentre la ecuación de la recta que tiene la pendiente dada y su intersección con el eje Y se

indica.

a) m = -3/5, intersección (-3) b) m = 4, intersección (6/5)

c) m = -5, intersección (2) d) m = 1/6, intersección (-8/3)

4.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:

a) A(2, 4) y B(-7, 5) b) P(-1, 3) y Q(2, 6)

c) R(-3, -2) y S(5, 3) d) M(5, -4) y N(2, 7)

5.- Encuentra la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes X & Y se indican

respectivamente:

a) A(-5, 0) y B(0, 2) b) P(5/2, 0) y Q(0, 11/4)

c) R(3, 0) y S(0, 1) d) M(7, 0) y N(0, -5)

6.- Una recta que pasa por los puntos P(7, 4) y Q(3, -6); encuentra su ecuación en forma canónica.

7.- Una recta de pendiente (-7/2) y que pasa por el punto A(-2, 6); determina su ecuación en la

forma general y simétrica.

8.- Demuestra que los puntos P(2, -6), Q(-3, -1) y R(-5, 1) son colineales, y encuentra la ecuación

de la recta que pasa por dos de estos puntos dados.

9.- Encuentra le área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya

ecuación es 3x – 2y -6 = 0.

10.- Encuentra la pendiente e intersecciones con los ejes coordenados para la recta 4x+ 3y + 13 = 0.

11.- Determina los ángulos interiores de los triángulos siguientes cuyos vértices son los puntos que a

continuación se indican; comprueba los resultados.

a) A(-2, 0), B(5, -5) y C(3, 7) b) K(-5, -4) , L(9, -2) y M(1, 6)



c) P(2, 5), Q(-3, -2) y R(4, 2) d) L(-2, 3), M(4, 4) y N(-3, -1)

12.- Determina el ángulo de formado entre las dos rectas 2x – 6y + 12 = 0 y 2x – y + 1 = 0.

13.- Demuestra que las rectas 3x + 2y = 0 y 2x – 3y + 6 = 0 satisfacen la condición de

perpendicularidad.

14.- Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a x - 7y - 11 = 0 en su intersección con la

recta 3x + 5y – 7 = 0

15.- Determinar la distancia absoluta de las siguientes rectas al punto indicado.

a) 4x – 5y – 13 = 0 al punto A(7, -1)

b) 2x + 5y + 10 = 0 al punto C(1, 3)

c) 3x – 4y + 2 = 0 al punto P(5, -2)

16.- Determina la distancia dirigida de las siguientes rectas dadas al punto indicado.

d) 3x + 5y + 4 = 0 al punto A(3, 5)

e) 5x - 3y - 16 = 0 al punto B(-2, -3)

f) x – y - 3 = 0 al punto C(4, -2)

g) 2x + y – 8 = 0 al punto Q(6, 4)

h) x – 6y = 0 al punto M(2, 5)

17.- Determina la ecuación de la recta y determina los coeficientes de la forma general, que pasa por

el punto A(-1, 4) y tiene una pendiente igual a (- ½).

18.- Encuentre los ángulos del triángulo cuyos vértices son: A(-4, 2), B(12, -2) y C(8, 6).

19.- Encuéntrese el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos (2, 7) y (1, -2) con la que pasa

por los puntos (6, 4) y (-2, 2).

20.- Demuestra que el triángulo cuyos vértices son: A(8, -1), B(-6, 7) y C(2, -5) tiene un ángulo

recto en C.

21.- Demuestra que la recta que pasa por los puntos (-4, 3) y (6, -1) es perpendicular a la recta que

pasa por los puntos (2, 4) y (-2, -6).

22.- Dadas las ecuaciones de dos rectas x + 2y = 4 ; 5x -3y +7 = 0 indicar:

a) Cuál es la pendiente de cada una de ellas.

b) Presenta las ecuaciones en la forma pendiente ordenada al origen y las ecuaciones en

forma simétrica.

c) Graficas de dichas rectas en el mismo plano.

23.- La recta L1 que pasa por los puntos (5, 2) y (-3, -7) es paralela a la recta L2 que pasa por el

punto (2, -3) encuentre la ecuación de la recta L2 y grafíquelas.



24.- El ángulo que forma la recta 2x + 3y = -6 con la recta que pasa por (2, -2) es 50º. Encontrar su

ecuación.

25.- La recta que pasa por el punto P(-3, 5) y tiene una pendiente m = -2/3; Encontrar y graficar una

recta paralela a ésta que pase por el punto A(3, 3).

26.- Encontrar la recta perpendicular a la recta 2

5

4

3 xy y que pase por el punto B(-2. 2).

27.- Dada la siguiente grafica, encuentre el ángulo ABC.

28.- Determinar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 6x – 8y – 24 = 0 y 3x – 4y +

12 = 0.

29.- Determinar la distancia comprendida entre las rectas x + 2y + 4 = 0 y 2x + 4y - 5 = 0.

CIRCUNFERENCIA.

1.- Hallaremos la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia cuyo centro se

localiza en el punto 67 ,A y que pasa por el punto 22,B .

2.- Los extremos de un diámetro de una circunferencia se localizan en los puntos 32,A y

54,B . Hallaremos la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia.

Graficaremos la circunferencia.

3.- Hallaremos la ecuación ordinaria y la ecuación general de una circunferencia cuyo centro se

localiza sobre el eje de las abscisas y que pasa por los puntos 31,A y 64,B .



4.- Determinaremos la ecuación ordinaria y la ecuación general, las coordenadas del centro y la

medida del radio de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas 00, , 63, y

07, . Graficaremos la circunferencia.

5.- Encontraremos las coordenadas del centro y la medida del radio de la circunferencia de ecuación

general 071062222 yxyx . Graficaremos la circunferencia.

6.- Dada la ecuación ordinaria o canónica 4

12582

22 yx correspondiente a una

circunferencia. Determinaremos la ecuación de la línea recta tangente a dicha circunferencia en

el punto de coordenadas

2

53, .

7.- Encontraremos la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia que tiene su

centro en el punto de coordenadas 20, y es tangente a la línea recta cuya ecuación es

02125 yx .

9.- Encontraremos la ecuación ordinaria o canónica y la ecuación general de la circunferencia que

tiene su centro en 23,C y es tangente a la línea recta que pasa por los puntos 010,A y

50 ,B . Encontraremos las coordenadas del punto de tangencia.

10.- Los extremos de un diámetro son los puntos A(2, 3) y B(-4, 5). Hallar la ecuación de la curva.

11.- Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (7, -6) y que pasa por el punto

A(2, 2).

12.- Una circunferencia tiene su centro en el punto C(0, 2) y es tangente a la recta

5x – 12y + 2 = 0. Hallar su ecuación.

13.- Hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los

puntos A(1, 3) y B(4, 6)

14.- La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)

2 = 20. Hallar la ecuación de la tangente a

esta circunferencia en el punto (6, 7).

15.- Hallar el centro y el radio de la circunferencia de la ecuación 2x2 + 2y

2 – 6x + 10y + 7 =0

16.- Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por A(0, 0), B(3, 6) y C(7,

0).

17.- Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por A(1, 1), B(1, 3) y C(9,

2).

18.- Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por A(1, 1), B(1, 3) y C(-3,

-1).



19.- Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por A(-4, 0), B(0, 2) y C(-

2, -2).

20.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, -4) y (5, 2) y que tiene su

centro en la recta representada por la ecuación x - 2y + 9 = 0.

21.- Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y

2 + 2x – 2y – 39 = 0 en el punto A(4,

5).

22.- Obtener la ecuación general de la circunferencia de centro (-2, 1) y que pasa por (5, -2).

23.- Obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia 9x2 + 9y

2 +72x - 12y + 130 = 0.

24.- Encontrar el centro y radio y graficar la circunferencia cuya ecuación es:

-2x2 - 2y

2 + 6x - 10y - 7 = 0.


x2 + y

2 + 2x - 6y + 6 = 0.


a) 9x2 + 9y

2 + 72x - 12y +103 = 0. b) x

2 + y

2 – 8x + 10y - 12 = 0.

c) x2 + y

2 - 8x - 7y = 0. d) 2x

2 + 2y

2 - 10x + 6y - 15 = 0.

e) 4x2 + 4y

2 - 28x - 8y +53 = 0.


x2 + y

2 - 3y = 0.

28.- Dada la ecuación de la circunferencia (x - 2)2 + (y - 8)

2 = 0 Determinar la ecuación de la recta

tangente a dicha circunferencia en el punto (3, 5/2)

29.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y

2 + 2x – 2y – 39 = 0, en el punto

(4, 5).

30.- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y

2 = 5 en el punto (-1, 2).

31.- Encontrar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos vértices son: A(-2, 3),

B(1, -4) y D(5, 3)

32.- Encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triángulo cuyos vértices son: A(-3,

6), B(2, -4) y D(6, 3)

33.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas 4x + 3y - 3 = 0 y 5x -

12y + 5 = 0 y su centro se localiza en la recta 7x - 2y = 1.

34.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las recta 2x - y + 1 = 0 en el punto

P(2, 5) y su centro se localiza en la recta x + y = 9.



35.- Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por A(6, 2), B(8, 0) y su

centro se localiza en la recta 3x - 7y + 2 = 0.

36.- Obtener la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro el punto P(10, 4) y es

tangente a la recta 3y + 2x = 1.

37.- Obtener la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro el punto P(7, -5) y es

tangente a la recta 2x - 2y - 8 = 0.

38.- Comprobar que la ecuación de la recta 2y + x = 10, es tangente a la circunferencia: x2 + y

2 – 2x

- 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia.


2 – 8x + 3 = 0 en el punto

(6, 3).


2 – 8x - 2y + 7 = 0 en el

punto (1, 2).

41.- Determinar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones:

x2 + y

2 – 2 x + 4 y = 0 y x

2 + y

2 + 2 x + 6 y = 0.

42.- Determinar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones:

x2 + y

2 – 2 x - 2 y = 0 y x

2 + y

2 + 2 x + 6 y = 0.

43.- Determinar los puntos donde la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y

2 + 2 x - 4 y = 0. Corta

los ejes de coordenadas.

44.- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(1, 0), sabiendo que es

concéntrica a la representada por la ecuación: x2 + y

2 - 2 x + 8 y + 13 = 0.

PARÁBOLA

1.- Encontraremos ahora la ecuación ordinaria de una parábola con vértice en el origen de un

sistema de coordenadas cartesiano y cuyo foco se localiza en el punto F(2, 0).

2.- Una antena parabólica está diseñada de manera que la sección transversal que pasa por su eje de

simetría es una parábola cuyo foco coincide con el extremo izquierdo del receptor de señales. Si

la antena mide 3 metros de ancho en la abertura, y su foco está a un metro de su vértice, según

se muestra en la figura 7.2.

a) Determinaremos las coordenadas del foco de la parábola respecto de un sistema de

coordenadas cartesiano con origen en el vértice de la parábola y la parte positiva del eje Y

pasando por el foco de ésta.

b) Hallaremos la ecuación ordinaria de la parábola.

c) Encontraremos las coordenadas de los extremos de la sección transversal de la antena.



(25, 0)

Figura 7.2 Corte transversal de una antena parabólica.

3.- El radar es un instrumento que se ha utilizado para localizar objetos distantes mediante ondas de

radio y su antena tiene forma parabólica, de manera que todas las ondas de radio provenientes del

espacio que entren paralelas a su eje focal sean reflejadas (por un principio físico) al foco de la

antena, según se muestra en la figura 7.3. Si la sección eficaz de la antena del radar está dada por

la ecuación y2 = 100 x, donde x y y, están expresadas en metros, determinaremos la distancia de

la base de la antena hasta el foco.

Figura 7.3

Corte transversal de un antena de radar.

4.- Encontraremos la ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto F(3, 2) y que su

directriz tenga por ecuación a y = 4 o y – 4 = 0.

5.- Una manguera situada horizontalmente a una altura de 19.6 metros sobre el suelo arroja agua con

una velocidad de 10 m/s. El chorro de agua sigue la forma de una parábola con vértice en (0,19.6)

cómo se muestra en la figura 7.5.

a) Encontraremos las coordenadas del punto del piso donde cae el chorro de agua.

b) Hallaremos la ecuación de la parábola.

(1.5, 0.5625) (-1.5, 0.5625)

(0, 1)



8.25

5.5

5.5

2.75

16.511

16.5

11

13.75

Y

X

19.25

Figura 7.5 Trayectoria seguida por un chorro de agua.

6.- Si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s, su

posición en la dirección vertical está determinada, en forma aproximada, por la ecuación: 29.430 xxy

Donde y es la altura sobre el piso, en metros, en el instante de tiempo x.

a) ¿En qué instante llegará la pelota al punto del cual fue lanzada?

b) ¿En qué instante alcanza la pelota su máxima altura?

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

Figura 7.6 Gráfica posición- tiempo de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba.

7.- Determinaremos la altura de los puntos situados a una distancia de 12 m del punto medio de la

base de un arco parabólico de 24 m de altura y 36 m de base.

12

-15-20

4

8

-10 -5 2015105X

20

24

16

Y

28

Figura 7.7 Arco parabólico.



8.- Dada la ecuación (y – 2)2 = 8 (x+3), encontraremos los elementos característicos de la parábola

correspondiente.

9.- Si se sabe que una parábola tiene su vértice en el punto de coordenadas (2, 4) y que su foco está

en el punto F(2, 2), encontraremos la ecuación de su directriz, las ecuaciones ordinaria y general

de la parábola, y trazaremos su gráfica.

10.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en (3, 0).

11.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz de la recta y – 5 = 0

12.- Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y foco son (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente.

Hallar también la ecuación de su directriz.

13.- La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0, y su foco es el punto (4, -3). Hallar su

ecuación.

14.- Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado

recto de la parábola de ecuación: 4y2 - 48x - 20y = 71.


recto de la parábola de ecuación: 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0.

16.- Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz, longitud del lado recto de la

parábola de ecuación: y2 + 4x = 0.


parábola de ecuación: x2 – 2y = 0.


parábola de ecuación: 1/8x2 + 2y = 0.

19.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco (1, -3).

20.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz x + 5 = 0.

21.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (-4, 3) y foco (-1, 3). Hallar la ecuación de su

directriz.

22.- Una circunferencia de centro (4, -1) pasa por el foco de x2 + 16y = 0. Demostrar que es tangente

a la directriz de la parábola.

23.- Determinar la ecuación de la parábola que pasa por (0, 0), (8, -4) y (3, 1).

24.- Determinar la ecuación de la parábola que pasa por (2, -2), (8, 4) y (0, 0).



25.- Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X pasa por el punto

A(3, 6), determinar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su

directriz y la longitud de su lado recto.

26.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en (3, 0)

27.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz de la recta y – 5 = 0

28.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente.

Hallar también la ecuación de la directriz.

29.- La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0, y su foco es el punto (4, -3). Hallar su

ecuación.

30.- Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre el eje de las “x”

y pasa por el punto (-3, 6).

31.- Determinar la ecuación de la parábola con vértice en (4, -2), su directriz vertical y su lado recto

es 7.

32.- Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje Y, y que pasa por

los tres puntos L(-2, 9), M(0, 1) y N(3, 4)

33.- Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje X, y que pasa por

los tres puntos L(-1, 3), M(1, 2) y N(-2, 1).

34.- Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje X, y que pasa por

los tres puntos A(3, 3), B(6, 5) y C(6, 3)

35.- Indicar cuál es la ecuación de la parábola, que tiene su eje focal horizontal, V(0, 0), el lado recto

esta a la derecha del origen y tiene una longitud de 7 unidades.


recto de la parábola de ecuación: 3x2 – 9x – 5y -2 = 0


recto de la parábola de ecuación: y = (x +1)2 + 3

38.- Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco esta en (-2, -4) y su lado recto une los puntos

Q(-2, 2) y Q´(-2, -4).

39.- Demostrar que la ecuación: y2 = 3x + 2y – 4, es una parábola. Determinar sus elementos y

graficarla.

40.- Indicar la ecuación de la parábola que tiene las siguientes características: vértice sobre la recta

2x – 3y + 17 = 0, foco sobre 3 – 3y = 0 y de directriz x = -10.



F(4, 0) F’(-4, 0)

P(x, y)

V(5, 0)

V’(-5, 0)

(0, 3)

(0, -3)

C

41.- Indicar la ecuación de la parábola que satisface la condición de: F(- 3, - 2), eje focal y = -2,

longitud del lado recto 9 unidades.

42.- Determinar los puntos donde la recta 2 y - x = 4, corta a la parábola cuya ecuación es: 2y - x2 +

2 = 0

LA ELIPSE.

1.- Con esta relación obtenida, entre a, b y c, procederemos a encontrar las ecuaciones ordinarias o

canónicas de la elipse mostrada en la figura 8.1.

Figura 8.1 Elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje de las abscisas.

2.- La galería de los murmullos, en el edificio del Capitolio en Washington D. C, tiene como techo

un domo en forma de elipsoide (superficie formada al girar una elipse sobre uno de los ejes). Un

murmullo que se emite en uno de los focos de la galería puede escucharse claramente en el otro

foco (una elipse refleja ondas que sales de un foco y llegan al otro foco), si la distancia entre los

focos es de 48 m y la longitud de la sala (eje mayor) es 52 m. ¿cuál es una ecuación de la elipse

a la que pertenece una sección transversal vertical de la galería, que pasa por sus focos?



P(x, y)

V(0, 5)

F(0, 3)

V’(0, -5)

F’(0, -3)

(4, 0) (-4, 0)

Figura 8.2 gráfica de la ecuación 1100676

22

yx

.

3.- Encontraremos la ecuación ordinaria o canónica de la elipse que se muestra en la figura 8.3.

Figura 8.3 Elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje de las ordenadas.

4. El diseño de una leva (elemento que gira, de perfil no circular, empleado para transformar el

movimiento giratorio en movimiento alternativo lineal) para automóvil se programa empleando las

ecuaciones generales de una elipse y de una circunferencia, las cuales son:

004.025.016.0 22 yx

005.06.022 xyx

Grafica estas Ecuaciones.

5.- El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal, la base del arco tiene 30 metros

de longitud y su parte más alta con respecto al suelo mide 10 metros, según se muestra en la

figura 8.5. Determinaremos la altura del arco a 6 metros de ambos lados del centro de la base.

Cuál es la ecuación de la elipse formada.



Figura 8.5 Puente semielíptico.

1.- Encontrar las coordenadas de los vértices, focos, longitud del lado recto, eje mayor, eje menor,

excentricidad y grafica de:

a) 49 x2 + 81 y

2 = 3969 b) 25 x

2 + 9 y

2 = 225

c) 4 x2 + 9 y

2 = 36 d) 12 x

2 + 8 y

2 = 96

e) 9 x2 + 4 y

2 = 36

f) 1254

22

yx

2.- Determinar la ecuación de la elipse cuyos focos son:

a) F ( 0, 2 ) , F´( 0, -2 ) y excentricidad 2/3.

b) F ( 2, 0 ), F´( -2, 0 ) y excentricidad 2/3

c) F ( 5, 0 ) , F´( -5, 0 ) y excentricidad 5/8.

3.- Determinar la ecuación de la elipse y sus demás elementos y graficarla. Si los vértices son: V ( 7,

1 ) , V´( 1, 1 ) y excentricidad 1/3.

4.- Determina la ecuación de la elipse cuyos vértices y focos son:

a) V ( 5, 0 ) , V´( -5, 0 ) y F ( 3, 0 ) , F´( -3, 0 )

b) V ( 0, 7 ) , V´( 0, -7 ) y F ( 0, 4 ) , F´( 0, -4 )

c) V ( 4, 0 ) , V´( -4, 0 ) y F ( 3, 0 ) , F´( -3, 0 )

5.- Determina la ecuación de la elipse cuyos focos y longitud de uno de sus lados rectos es:

a) F ( 0, 53 ) , F´( 0, -53 ) y L.R. = 5

b) F ( 3, 0 ) , F´( -3, 0 ) y L.R. = 9

c) F ( 3/2, 0 ) , F´( -3/2, 0 ) y L.R. = 9/2

d) F ( 3, 0 ) , F´( -3, 0 ) y L.R. = 9

e) F ( -4, -2 ), F ( -4, -6 ) y L.R. = 6

f) F (3, 8), F (3, 2) y L.R. = 8

6.- El centro de una elipse es C( -2, -1 ) y un vértice es ( 3, -1 ). Si L.R. = 4, Encuentra su ecuación

y demás elementos y grafícala.

7.- El centro de una elipse es C( -3, 2 ). Si la longitud del semieje mayor es 4 y la longitud del eje

menor es 6. Encuentra su ecuación y demás elementos y grafícala.

8.- El centro de una elipse es C( 2, -4 ), y el vértice y foco de un mismo lado del centro son los

puntos (-2, -4) y (-1, -4) respectivamente. Hallar la ecuación y demás elementos y grafícala.

9.- Los focos de una elipse son los puntos (1, 2) y (3, 4).



9.- Determina todos los elemen

tos y traza la gráfica de las siguientes elipses:

17

)4(

16

)2()

116

)4(

12

)4()1

8

)1(

9

)4()

19

)1(

8

)3()1

9

)2(

18

)4()

120

)3(

36

)8()1

9

)2(

1

)1()

22

2222

2222

2222

yxg

yxf

yxe

yxd

yxc

yxb

yxa

10.- Hallar la ecuación de la elipse y la excentricidad, si esta tiene centro en el origen y uno de sus

vértices es (0, 7) y pasa por el punto (√5, 14/3)

11.- Discute si cada una de las siguientes ecuaciones representa o NO una elipse; en caso afirmativo

determina sus elementos correspondientes y traza su gráfica.

0211664)036243649)

0296244)037183294)

0121664)012335)

021813294)011168149)

0105542496)010940104)

0211664)032849)

2222

2222

2222

2222

2222

2222

yxyxlyxyxk

yxyxjyxyxi

yxyxhyyxg

yxyxfyxyxe

yxyxdyxyxc

yxyxbyyxa

12.- Determina la ecuación de la elipse que pasa por los puntos:

a) A ( 4, 0 ); B ( 1, 1 ); C ( 0, 1 ) y D ( 2, 2 )

b) A ( -8, 3 B ( -2 , 4 ); C ( 8, -1 ) y D ( 6, -4 )

13.- Determinar la ecuación de la elipse que tenga como centro C(-2, 4) y sea tangente a los ejes

coordenados.

HIPÉRBOLA.

1. El físico Ernest Rutherford, descubrió que cuando se disparan partículas alfa () hacia el núcleo

de un átomo, algunas de ellas son repelidas por el núcleo siguiendo trayectorias hiperbólicas. El



dibujo representa la trayectoria de una partícula que se dirige hacia el origen sobre la recta de

ecuación xy2

1 y llega a 3 unidades de distancia respecto del núcleo. Determinar una ecuación

de la trayectoria de dicha partícula.

X

Y

642-2

-4

0

-2

2

4

6

Núcleo

Partícula Alfa

Figura 9.1 Partículas alfa.

2.- Un avión de la fuerza Aérea Mexicana ejecuta una maniobra a alta velocidad sobre la trayectoria

descrita por 2 y2

- x2 = 8. ¿Qué tanto se aproxima el avión a una ciudad situada en (3, 0)?

X

Y

1

-4

0

-2

-6

2 3 4 5 6 7-6 -5 -4 -3 -2 -1-7

2

4

6

Avión

Ciudad

(x, y)

Figura 9.2 Avión fuerza aérea.

3.- Para un gas ideal a temperatura constante, la ley de Boyle enuncia que PV = C, donde P es la

presión, V es el volumen y C es una constante. Si 5 m3 de hidrógeno se encuentran bajo una

presión de 800 kPa, trazar la gráfica del volumen V contra la presión P, a una temperatura

constante.

4.- Un cometa sigue una trayectoria hiperbólica con el Sol como foco. Cuando el cometa se

encuentra en el punto más cercano al Sol se calcula que se ubica a 2*108 km del centro del Sol y

a 6*108 km del centro de la hipérbola. Determinar una ecuación de la ruta del cometa, si el Sol

se encuentra sobre el eje X y el centro de la hipérbola está en el punto de coordenadas (0, 0).



5.- Hallar las coordenadas de los vértices, focos, longitud de eje transverso y conjugado,

excentricidad, longitud del lado recto de las hipérbolas:

63)1243)

144916)25)

3649)200972)

623)1553)

44)3694)

2222

2222

2222

2222

2222

yxjxyi

yxhxyg

xyfxyd

yxeyxc

yxbyxa

6.- El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso ésta sobre el eje Y. Si un foco es

el punto (0, 5) y la excentricidad es 3, encuentre la ecuación de la hipérbola y la longitud de sus

lados rectos.

7.- Hallar la ecuación de la hipérbola y sus demás elementos y grafícala. Si los vértices y focos son:

a) V ( 3, 0 ) , V´( -3, 0 ) y F ( 5, 0 ) , F´( -5, 0 )

b) V ( 0, 2 ) , V´( 0, -2 ) y F ( 0, 3 ) , F´( 0, -3 )

8.- Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos A( 0, 4 ) y A´( 0, -4) y la

longitud de cada lado recto es 8; Determina su ecuación, demás elementos y grafícala.

9.- Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos A ( 0, 3 ) y A´( 0, -3) y la

longitud de cada lado recto es 6. Determina su ecuación, demás elementos y grafícala.

10.- Encontrar la ecuación de la hipérbola que pasa por (3, -2) y (7, 6), tiene su centro en el origen y

el eje transverso coincide con el eje X.

11.- Determina la ecuación de la hipérbola, sus elementos y grafícala. Si sus vértices están en las

coordenadas ( 4, 0 ) y ( -4, 0 ) y su excentricidad es 3/2.

12.- Determina la ecuación de la hipérbola, sus elementos y grafícala. Si sus vértices están en las

coordenadas ( 0, 7 ) y ( 0, -7 ) y su excentricidad es 4/3.

13.- Los vértices de una hipérbola son (-1, 3), (3, 3) y su excentricidad 3/2. Encuentre su ecuación,

las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado y de cada

lado recto.

14.- Determina las longitudes de los radios vectores para cada una de las siguientes hipérbolas en el

punto indicado:



)2,6(63)

)4,4(1645)

)2,3(1654)

)4,5(9)

22

22

22

22

Penxyd

Penyxc

Penyxb

Penyxa

15.- El centro de la hipérbola es C( 2, -2 ) y uno de sus vértices es ( 0, -2 ). Si la longitud de su lado

recto es 8, encuentra su ecuación y demás elementos y grafícala.

16.- Una hipérbola tiene su centro en el punto C( -3, 2 ), uno de sus focos en ( -3, 6 ) y uno de sus

vértices en ( -3, -1 ). Determina su ecuación ordinaria y general y traza su gráfica.

17.- Encontrar la ecuación de le hipérbola cuyos focos son (-1, 1) y (5, 1) y un vértice en (0, 1).

18.- Los vértices de una hipérbola son (2, 0), (-2, 0) y sus focos (3, 0), (0, -3). Encontrar su

ecuación, demás elementos y grafica.

19.- Los focos de una hipérbola son los puntos (4, -2), (4, -8) y la longitud de su eje transverso es

igual a 4. Encuentre su ecuación, la longitud de su lado recto y su excentricidad.

20.- Determinar la ecuación de la hipérbola si los focos son los puntos (3, 4), (3, -2) y su

excentricidad igual a 2.

21.- La ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la elipse x2

/ 100 + y2

/ 64 = 1

y las directrices pasan por los focos de esta elipse.

22.- Dada la ecuación de la hipérbola (x – 4)2 / 16 – y

2 / 128 = 1, encontrar los elementos y graficar

dicha curva.

21.- Discute si las siguientes ecuaciones representan o NO una hipérbola; en caso afirmativo,

determina sus elementos correspondientes y grafícalas.



144169)

0891864916)

06436494)

0413649)

0158424)

05510549)

06364216)

0742)

017543294)

0142183)

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

yxj

yxyxi

yxyxh

yxyxg

xyxyf

yxyxe

yxxyd

yxyxc

yxyxb

yxyxa

COORDENADAS POLARES

1.- Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (6, 150º).

2.- Determinar las coordenadas polares del punto A cuyas coordenadas rectangulares son (-4, -7).

3.- Graficas los puntos cuyas coordenadas polares son:

4

7,2)

4,3)

2

3,4)

cba

4.- Determinar las coordenadas polares de los puntos M, N, P y Q que se indican en la figura:



5.- Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación es:

senr

21

1

6.- Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación es:

1cos

4

r

7.- Obtener la ecuación cartesiana de la línea r ( 5 cos θ + 3 sen θ) = 6

8.- Transformar la ecuación de la recta 4x – 5y +20 = 0 a la forma polar.

9.- Transfórmese la ecuación x2 + y

2 = 6x a coordenadas polares.

10.- Dada la ecuación polar r (3 – 2 cos θ) = 2. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

11.- Dada la ecuación polar r = 5 cos θ. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

12.- Dada la ecuación polar r cos θ - 2 = 0. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

13.- Dada la ecuación polar r = 4 sen θ. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

14.- Dada la ecuación polar r = 2a cos θ. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

15.- Dada la ecuación polar r – r cos θ = 4. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

16.- Dada la ecuación polar r cos (θ – u) = p. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

17.- Dada la ecuación polar r2 (1 + sen

2 θ) = 8. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.






2 = 8 a coordenadas polares.

21.- Transfórmese la ecuación 2x - y = 0 a coordenadas polares.

22.- Transfórmese la ecuación 5x2 + 9y

2 = 8x + 4 a coordenadas polares.

23.- Transfórmese la ecuación x cos u + y sen u = p a coordenadas polares.

24.- Transfórmese la ecuación 2x2 + 2y

2 + 2x – 6y + 3 = 0 a coordenadas polares.

26.- Transfórmese la ecuación x2 + 4y - 4 = 0 a coordenadas polares.

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