geometria - edumath.ch€¦ · corso di matematica - geometria - 3 – ing. l. balogh...
TRANSCRIPT
-
Corso di Matematica - Geometria
- 0 – Ing. L. Balogh [email protected]
Geometria
-
Corso di Matematica - Geometria
- 1 – Ing. L. Balogh [email protected]
Postulati Postulati di appartenenza
Postulato 0: lo spazio è l’insieme di tutti i punti; rette e piani sono sottoinsiemi dello spazio. Una retta contiene infiniti punti, un piano contiene infinite rette, uno spazio contiene infiniti piani. Postulato 1: Per due punti distinti passa una e una sola retta. Vi è un’importante conseguenza del postulato 1, per cui due rette distinte non possono avere più di un punto in comune; quindi, date due rette r ed s, esse possono essere:
• incidenti se hanno un punto in comune; in questo caso si dice che le rette si intersecano in quel punto, e il punto si dice punto di intersezione;
• non incidenti se non hanno punti in comune, quindi se non si intersecano.
• Coincidenti o sovrapposte se hanno tutti i punti in comune tra loro. Punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati. Due rette che giacciono sullo stesso piano e che non si intersecano in nessun punto si dicono parallele. Postulato 2: Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. I punti che appartengono ad uno stesso piano si dicono complanari. Postulato 3: Se due punti di una retta appartengono ad un piano, allora tutti i punti della retta appartengono a quel piano ( la retta appartiene al piano).
Postulati d’ordine
Postulato 4: Tra i punti di una retta è possibile stabilire una relazione di ordine totale, cioè si possono ordinare i punti di una retta in modo che: dati due punti A e B della retta, o A e B coincidono, o A precede B, o B precede A (proprietà di tricotomia); se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva). Una retta su cui è stato scelto un verso di percorrenza si dice retta orientata. Postulato 5: Su una retta orientata ogni punto è seguito da almeno un altro punto ed è preceduto da almeno un altro punto. Postulato 6: Tra due punti di una retta è compreso almeno un terso punto. Teorema: Per un punto passano infinite rette.
-
Corso di Matematica - Geometria
- 2 – Ing. L. Balogh [email protected]
L’insieme di tutte le rette passanti per un punto è detto fascio di rette, o anche fascio proprio di rette; il punto comune a tutte le rette è detto centro del fascio. Un fascio improprio di rette è, invece, costituito da una retta e da tutte le rette parallele ad essa.
Teoremi Si consideri: Inoltre, siano note:
Teorema di Talete
'''' BA
AB
OB
OB
OA
OA==
'' BB
OB
AA
OA=
Fasci di Rette
O
'A
'B
A
B
-
Corso di Matematica - Geometria
- 3 – Ing. L. Balogh [email protected]
Triangoli Triangolo qualunque – somma degli angoli interni, calcolo del perimetro e dell’area
Oggetti Vertici Lati Angoli Altezza Raggio
Simbolo A, B, C a, b, c ∝, 𝛽, 𝛾 ℎ S, r
Perimetro 𝒑 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 Somma
angoli int. ∝ + 𝜷 + 𝜸 = 𝟏𝟖𝟎°
Area: 𝑨𝒓𝒆𝒂 =𝟏
𝟐𝒃𝒉 𝑨𝒓𝒆𝒂 =
𝒂𝒃𝒄
𝟒𝒓
Area con Erone:
𝑨𝒓𝒆𝒂 = √𝒑𝒐 ∙ 𝒑𝒂 ∙ 𝒑𝒃 ∙ 𝒑𝒄 𝑝𝑜: = 𝑝 2⁄
𝑝𝑎 ≔ 𝑝𝑜 − 𝑎 𝑝𝑏 ≔ 𝑝𝑜 − 𝑏 𝑝𝑐 ≔ 𝑝𝑜 − 𝑐
Area con vertici
𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦) 𝐵 = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦) 𝐶 = (𝐶𝑥, 𝐶𝑦)
𝑨𝒓𝒆𝒂 =𝟏
𝟐|(𝑩𝒙 − 𝑨𝒙)(𝑪𝒚 − 𝑨𝒚) − (𝑩𝒚 − 𝑨𝒚)(𝑪𝒙 − 𝑨𝒙)|
Triangolo rettangolo – teorema di Pitagora e teoremi di Euclide
Cateti Ipotenusa Altezza
𝒂, 𝒃 𝒄 𝒉
Teorema di Pitagora
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Teorema di Euclide (I T. Euclide)
{𝑎2 = 𝑎′𝑐𝑏2 = 𝑏′𝑐
𝑐 = 𝑎′ + 𝑏′
𝑎2
𝑎′=
𝑏2
𝑏′
Teorema dell’altezza (II T. Euclide)
ℎ2 = 𝑎′𝑏′ ℎ =𝑎𝑏
𝑐
Il Triangolo Equilatero e le sue relazioni interne
Nel triangolo equilatero, i lati sono tutti uguali e gli angoli, misurano tutti 60°.
trova/dati -> 𝑙 ℎ 𝑟 𝜌 𝐴𝑟𝑒𝑎
Lato 𝑙 𝑙 2
3ℎ√3 𝑟√3 2𝜌√3 2 ∙ 3−1 4⁄ √𝐴
Altezza ℎ 1
2𝑙√3 ℎ
2
3𝑟 3𝜌 31 4⁄ √𝐴
Raggio 𝑟 1
3𝑙√3
2
3ℎ 𝑟 2𝜌 2 ∙ 3−3 4⁄ √𝐴
Apotema 𝜌 1
6𝑙√3
1
3ℎ
1
2𝑟 𝜌 3−3 4⁄ √𝐴
Area 𝐴 1
4𝑙2√3
1
3ℎ2√3
3
4𝑟2√3 3𝜌2√3 𝐴𝑟𝑒𝑎
Il Baricentro, il Circocentro, l’Ortocentro e l’Incentro sono sovrapposti.
-
Corso di Matematica - Geometria
- 4 – Ing. L. Balogh [email protected]
Classificazione dei triangoli
• I triangoli si dividono in 7 tipologie e possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati: o In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si può
definire anche come triangolo equiangolo, ovvero triangolo avente i suoi angoli interni di uguale ampiezza, pari a 60°.
o In un triangolo isoscele, due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele si può definire anche come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza.
o In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può definire anche come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze. Classificazione dei triangoli osservando dapprima i lati e poi gli angoli:
• I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più
ampio: o Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90°, cioè un angolo retto.
Il lato opposto all'angolo retto è detto ipotenusa; è il lato più lungo del triangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti. Per questo triangolo valgono il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide.
o Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90°, cioè un angolo ottuso.
o Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90°, cioè ha tre angoli acuti.
o Classificazione dei triangoli osservando dapprima gli angoli e poi i lati:
-
Corso di Matematica - Geometria
- 5 – Ing. L. Balogh [email protected]
Tipologie di triangoli
Triangolo equilatero Triangolo isoscele Triangolo scaleno
tutti i lati lunghi uguali due lati uguali tutti i lati di lunghezza diversa
Triangolo rettangolo Triangolo ottusangolo Triangolo acutangolo
un angolo retto (90°) un angolo ottuso (maggiore di 90°)
tre angoli acuti (minori di 90°)
-
Corso di Matematica - Geometria
- 6 – Ing. L. Balogh [email protected]
Baricentro o Centro di gravità
-
Corso di Matematica - Geometria
- 7 – Ing. L. Balogh [email protected]
Circocentro
-
Corso di Matematica - Geometria
- 8 – Ing. L. Balogh [email protected]
Ortocentro
-
Corso di Matematica - Geometria
- 9 – Ing. L. Balogh [email protected]
Retta di Eulero
Con compasso, riga e squadra, trova il baricentro, il circocentro, l’ortocentro e la retta di Eulero
-
Corso di Matematica - Geometria
- 10 – Ing. L. Balogh [email protected]
Quadrilateri Quadrilateri Un quadrilatero, è un poligono con quattro lati Parallelogrammi Un parallelogramma è un quadrilatero contraddistinto da un centro di simmetria. Di conseguenza, i lati opposti, sono tra loro paralleli. Il parallelogramma è un caso particolare di trapezio.
Quadrato
-
Corso di Matematica - Geometria
- 11 – Ing. L. Balogh [email protected]
Romboide
-
Corso di Matematica - Geometria
- 12 – Ing. L. Balogh [email protected]
Perpendicolare al segmento passante per un dato punto
La sezione aurea
Sezione aurea di un segmento Rettangolo aureo
𝐴𝐵/𝐴𝐹 = 𝐴𝐹/𝐹𝐵
Spirale aurea Pentagono
-
Corso di Matematica - Geometria
- 13 – Ing. L. Balogh [email protected]
Poligoni
Poligoni Regolari Numero di
vertici (numero di lati)
n
Lato m
Raggio cerchio circoscritto
r
Angolo al centro α
Apotema (raggio cerchio inscritto)
ρ
𝑨𝒓𝒆𝒂 =𝟏
𝟐∙ 𝒎 ∙ 𝒏 ∙ 𝝆
𝜶 =𝟑𝟔𝟎°
𝒏
𝒎 = 𝟐 ∙ √𝒓𝟐 − 𝝆𝟐
Triangolo Equilatero (n=3) Quadrato (n=4) Pentagono (n=5)
Esagono (n=6) Eptagono (n=7) Ottagono (n=8)
-
Corso di Matematica - Geometria
- 14 – Ing. L. Balogh [email protected]
Cerchio Cerchio e Circonferenza
Raggio cerchio r Circonferenza c
Circonferenza (𝒄)
𝒄 = 𝟐𝒓 ∙ 𝝅
Arco di circonferenza 𝒌
𝒌 =𝜶𝒓
𝟏𝟖𝟎∙ 𝝅
Area cerchio (𝑨𝒄)
𝑨𝒄 = 𝒓𝟐 ∙ 𝝅
Area settore circolare (𝑨𝒔𝒄)
𝑨𝒔𝒄 =𝟏
𝟐𝒓𝒌 =
𝜶𝒓𝟐
𝟑𝟔𝟎∙ 𝝅
Ellisse Ellisse
Perimetro e Area
Perimetro ellisse (𝒑𝒆)
𝒑𝒆 = 𝝅 (𝟑
𝟐(𝒂 + 𝒃) − √𝒂𝒃)
Area ellisse (𝑨𝒆)
𝑨𝒆 = 𝒂𝒃 ∙ 𝝅
-
Corso di Matematica - Geometria
- 15 – Ing. L. Balogh [email protected]
Cilindro Cilindro retto
Raggio di base
𝒓
Altezza 𝒉
Circonferenza di base
𝒄 𝒄 = 𝟐𝒓 ∙ 𝝅
Area di base 𝑨𝒃 𝑨𝒃 = 𝒓𝟐 ∙ 𝝅
Superficie laterale
𝑺𝒍 𝑆𝑙 = 𝑐 ∙ ℎ = 2𝑟 ∙ 𝜋 ∙ ℎ ⇒
𝑺𝒍 = 𝟐𝒓𝒉 ∙ 𝝅
Superficie totale
𝑺 𝑆 = 2𝐴𝑏 + 𝑆𝑙 = 2𝑟
2 ∙ 𝜋 + 2𝑟ℎ ∙ 𝜋
𝑺 = 𝟐𝒓(𝒉 + 𝒓) ∙ 𝝅 ⇒ 𝑆 = 𝑐 ∙ (ℎ + 𝑟)
Volume 𝑽 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 𝑟
2 ∙ 𝜋 ∙ ℎ ⇒
𝑽 = 𝒓𝟐𝒉 ∙ 𝝅
Sviluppo del ciclindro Rettangolo di rotazione