geometría del espacio - profesora etda rodríguez

7/22/2019 Geometra del Espacio - Profesora Etda Rodrguez

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GEOMETRA DEL ESPACIODEFINICIONES PROPIEDADES

( ENUNCIADOS )

Prof. Etda RodrguezOctubre 2005Montevideo Uruguay


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GEOMETRA del ESPACIO Prof. Etda Rodrguez Octubre 2005 1

NOTA AL LECTOR:

El siguiente trabajo es simplemente la compilacin deenunciados de algunas definiciones y propiedades de unaGEOMETRA EUCLIDIANA del ESPACIO.

No se trata de la presentacin de un desarrollo lgicodeductivo del tema. En consecuencia no se desarrolla lademostracin de ningn teorema.

En los apndices I y II se presenta, a modo de ejemplo, unsistema axiomtico para una Geometra Euclidiana Plana y tambinun sistema axiomtico para una Geometra Euclidiana del Espacio,con sus conceptos primitivos y los respectivos conjuntos de axiomas.

La primera y segunda edicin, en noviembre de 1999 y mayode 2001 respectivamente, fueron publicadas como material de apoyopara los asistentes a los Cursos de Actualizacin y Sensibilizacinpara Docentes con Plan 1996. En febrero de 2005, presentamosuna 3 edicin revisada y ampliada, la que fue distribuida entredocentes de los Institutos Magisteriales.

Este trabajo no fue pensado para ser entregado a los alumnosde Enseanza Media.

Nuestra intencin es brindar a los estudiantes de Profesoradoy a los docentes de Ciclo Bsico un material de fcil consulta,complementario al soporte terico de la mayora de los temas deGeometra del Espacio que se trabajan a lo largo de ese Ciclo de laEnseanza Media.

La presente edicin ha sido revisada y en parte ampliada conrespecto a las anteriores. As, por ejemplo, en el Apndice III seagregan algunas definiciones relacionadas con polgonos ypoliedros.

Prof. Etda Rodrguez4 Edicin Octubre 2005


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CONCEPTOSPRIMITIVOSy

RELACIONES dePERTENENCIA

DETERMINACINde RECTAS

DETERMINACINde PLANOS

1) Existe un conjunto E llamado ESPACIO, al que pertenecen infinitoselementos llamados PUNTOS.

2) Existen infinitos PLANOSincluidos en el Espacio E.

3) Dado un plano , existen puntos en que no pertenecen al . Es decirlos planos son subconjuntos estrictos del espacio.

4) A los planos pertenecen infinitos puntos.

5) Existen infinitasRECTASincluidas en cada plano.

6) Dada una recta r incluida en un plano , existen en puntos que no

pertenecen a la recta r. Es decir lasrectas son subconjuntos estrictos decada plano.

7) A las rectas pertenecen infinitos puntos.

8) Determinacin de una recta: Dados dos puntos distintos, existe yes nica la rectaa la cual pertenecen.Usualmente se enuncia: Dos puntos distintos determinan1una recta que

pasa por ellos.

A rB r

Notacin: AB se lee: la recta que A y B determinan osimplemente la recta AB.

9) Definicin (1): Llamamos figuraa cualquier conjunto de puntos de E.(Las figuras no tienen porque ser slo figuras planas. Por ejemplo los

poliedros, los cilindros y las esferas tambin son figuras.)

10)Definicin (2): Se dice que un conjunto de puntos estn alineados sitodos pertenecen a una misma recta.

11) Determinacin de un plano(1): Dados tres puntos no alineados,existe y es nico el plano al cual pertenecen.

Usualmente se enuncia: Tres puntos no alineados determinan un plano.

Notacin: (ABC) se lee: el plano que A, B y C determinan oel plano ABC .

1Determinan significa que existe y es nica.


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FIGURAS

COPLANARES

RECTASPARALELAS

DETERMINACINde PLANOS

RECTAS que seCRUZAN

12) Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicha recta estincluida en ese plano.

(H) A , B

A , B rA B

(T) r

13) Definicin (3): Dos rectas se llaman secantes si tienen uno y slo unpunto comn.

14) Definicin (4): Se dice que un conjunto de puntos, rectas u otras figuras

son coplanaressi estn incluidos en un mismo plano.

15) Definicin(5): Se dice que dos rectas son paralelas si son coplanaresy no son secantes. Es decir dos rectas paralelas pueden sercoincidentesosercoplanares disjuntas, es decir, coplanares sin ningn punto comn.

16) Axioma de Euclides o de Paralelismo: Por un punto exterior a unarecta, existe y es nica la paralela a una recta dada.

17) Determinacin de un plano (2): Dada una recta y un punto que no lepertenece(un punto exterior), existe y es nico el planoque pasando por elpunto incluye a la recta.

18) Determinacin de un plano (3): Dadas dos rectas secantes, existe y esnico elplanoque las incluye.

19) Determinacin de un plano (4): Dadas dos rectas paralelas disjuntas,existe y es nico elplanoque las incluye.

20)Existen pares de rectas que ningn plano las incluye simultneamente.

P Q

r Q r

Las rectas r y PQ no son coplanares


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INTERSECCINde PLANOS

ORDEN en laRECTA

SEMIRRECTA

21)Definicin (6): Se dice que dos rectas se cruzansi no existe algn planoque las incluya simultneamente, es decir cuando no son coplanares.

22) Si una recta es secante a un plano, entonces se cruza con todas las rectas

de ese plano que no pasan por el punto de interseccin.

23)Si dos planos distintos tienen dos puntos comunes, su interseccin es larecta que esos dos puntos determinan. Pero es suficiente que dos planosdistintos tengan un punto comn, para poder afirmar que su interseccin esuna recta a la que pertenece ese punto.

24) Definicin (7): Lamamos haz de planos de eje la recta r al conjunto delos infinitos planos que incluyen a la recta r.

25) Propiedad del orden en la recta: La relacin precederdefinida en elconjunto de los puntos de una recta es una relacin de orden total.

Es decir la relacinprecedercumple las propiedades:i) Tricotoma: Dados dos puntos A y B de una recta, se cumple: A

precede a B o B precede aA o A es B.

ii) Transitiva: si tres puntos A, B y C de una recta cumplen que siA precede aB y B precede aC, entonces A precede aC.

Observacin: los puntos de cada recta pueden ser ordenados en dossentidos opuestos.

26) Las rectas no tienen ni primer ni ltimo punto, es decir las rectas sonconjuntos abiertos.

27) Dados dos puntos cualesquiera de una recta, entre ambos existe otro

punto de esa recta. Es decir las rectas son conjuntos densos.

28)Definicin (8): Una semirrectaes un conjunto formado por un punto deuna recta y todos los puntos de dicha recta que le siguen - o que le preceden.

Notacin: AX se lee: semirrecta de origen A que pasa por X o

semirrecta AX.


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SEGMENTO

ORDEN en elPLANO

SEMIPLANO

Notacin: op AP se lee: semirrecta opuesta a la AP.

29) Definicin (9): Un segmento es el conjunto formado por dos puntos deuna recta y los puntos de esta recta que estn entre ambos.

Notacin: AB se lee: segmento ABsegmento de extremos A y B

30) Particin del plano por una recta: Toda recta r de un plano clasifica a los puntos de que no pertenecen a r en dos conjuntos y que cumplen:

i){r , , }es una particin de . Es decir: los conjuntos r , y, no son vacos, son disjuntos dos a dos y la unin de todos es el plano .

ii) El segmento determinado por un punto de y un punto de * tiene un

punto y slo uno en r.

iii) El segmento determinado por dos puntos de , o por dos puntosde , no tiene ningn punto en r. Se puede sustituir esta afirmacindiciendo que y * son figuras convexas 2.

31) Definicin (10): Dada una recta r incluida en un plano , un semiplanode borde la recta r , es el conjunto formado por los puntos de esta recta ytodos los puntos de una de las dos regiones que, segn la proposicin anterior,la recta r determina en . Cada uno de los conjuntos y * es un

semiplano abiertode borde r.

Notacin: r, P se lee: semiplano r, P o semiplano de borde r al que pertenece P

AB, P se lee: semiplano de borde AB al que pertenece P

______________________________2Ver la proposicin 32.


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NGULO

CONVEXO

TRINGULO

POLGONOCONVEXO

32) Definicin (11): Se dice que una figura es convexa si en ella estincluido el segmento determinado por dos puntos cualesquiera de la misma.

B AA B

es convexa no es convexa

33)Definicin (12): Dadas dos semirrectas de origen comn OX y OY ,el ngulo convexo XOY es la interseccin de dos semiplanos, el de borde la

recta OX que incluye a la semirrecta OY, con el de borde la recta OY queincluye a semirrecta OX. Los lados del ngulo son las dos semirrectas deorigen comn y el vrtice del nguloes dicho origen.

ng. XOY = OX,Y OY,X

34) Definicin (13): Dados tres puntos A, B y C no alineados, llamamostringulo ABC a la interseccin de tres semiplanos, los que tienen por

bordes las rectas determinadas por cada dos de estos puntos y al quepertenezca el tercer punto.Los puntos A, B y C son los vrtices del tringulo y los segmentos que losvrtices determinan sonsus lados.

Tringulo ABC = AB, C BC, A CA, B

35) Definicin (14):Se dan n puntos coplanares, ordenados de manera talque el siguiente del ltimo sea el primero, que cada tres consecutivos no estnalineados y que las rectas determinadas por cada dos consecutivos dejan en unmismo semiplano a los n-2 puntos restantes. Llamamos polgono convexo 3,que tiene por vrtices estos n puntos, a la interseccin de los mencionadossemiplanos.Se llaman lados del polgono a los segmentos determinados por cada dosvrtices consecutivos.

________________________________3Para una definicin general de polgono ver el Apndice III.


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ORDEN en elESPACIO

SEMIESPACIO

DIEDROS

TRIEDROS

36) Particin del espacio por un plano: Todo plano clasifica a lospuntos de E que no pertenecen a en dos conjuntos y * quecumplen:

i) { , , * } es una particin de E.ii) El segmento determinado por un punto de y un punto de * tiene

un punto y slo uno en .iii) El segmento determinado por dos puntos de , o por dos puntos de*, no tiene ningn punto en . Se puede sustituir esta afirmacindiciendo que y * son figuras convexas 4.

37)Definicin (15): Dado un plano , llamamos semiespaciode borde elplano , al conjunto formado por los puntos de este plano y todos los puntos

de una de las dos regiones que el plano determina en E segn laproposicin anterior.

Notacin: , P se lee: semiespacio de borde que pasa por PABC, P se lee: semiespacio de borde el plano ABC, que pasa por P

38) Definicin (16): Dados dos semiplanos que tienen por borde la mismarectar: el r, A y el r, B , llamamos ngulo diedro convexo A,r,B dearista r a la interseccin de los semiespacios que tienen por bordes estossemiplanos y que incluyen al otro.

Es decir un ngulo diedro convexo es la figura interseccin de dossemiespacios cuyos bordes son planos secantes. La recta interseccin de losplanos, que son bordes de estos semiespacios, se llama arista del diedro.

39) Definicin (17): Dadas tres semirrectas de origen comn, llamamosngulo triedro a la interseccin de tres semiespacios, los que tienen por

borde los planos determinados por cada dos de estas semirrectas y queincluyen a la tercera. Estas semirrectas son las aristasde triedro, los ngulosconvexos que cada dos de ellas determinan se llaman caras del triedro y elorigen comn de todas ellas se llama vrtice del triedro.

Vrtice: OAristas: Semirrectas Oa , Ob , OcCaras: ngulos aOb , bOc , cOa

Notacin: Oabc se lee: triedro O,a,b,c

40)En todo triedro cada cara es menor que la suma de las otras dos y mayorque su diferencia.

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NGULOPOLIEDROCONVEXO

TETRAEDRO

POLIEDRO

4Ver proposicin 32.

41) En todo triedro la suma de sus tres caras es menor que un ngulocompleto.

42)Definicin (18): Dadas n semirrectas de origen comn, ordenadas de

manera tal que la siguiente de la ltima sea la primera, que cada tresconsecutivas no sean coplanares y que los planos determinados por cada dosconsecutivas dejan en un mismo semiespacio a las n-2 semirrectas restantes.Llamamos ngulo poliedro convexo, que tiene poraristas estasnsemirrectas,

por caras los ngulos convexos determinados por cada dos aristasconsecutivas y por vrticeel origen comn de todas ellas, a la interseccin delos mencionados semiespacios.

43)En todo ngulo poliedro convexo, cualquiera de sus caras es menor que lasuma de las restantes.

44)En todo ngulo poliedro convexo, la suma de todas sus caras es menor queun ngulo completo.

45) Definicin (19): Dados 4 puntos no coplanarios A, B, C, y D,llamamos tetraedro de vrtices A, B, C, y D , a la figurainterseccin de los 4 semiespacios:

ABC, D BCD, A CDA, B DAB, C .

Sus caras son los tringulos ABC , BCD , CDA y DAB ,sus aristas los segmentos DA, DB , DC , AB , BC y CA ,sus diedros son cada uno de los diedros convexos que incluyen al tetraedro ytienen por aristas las rectas determinadas por los vrtices ysus ngulos poliedros, son triedros con vrtices en los vrtices del tetraedro.

46) Definicin (20): Llamamos poliedro 5 a la figura unin de un nmerofinito de tetraedros tales que todos tengan al menos un punto en comn conotro y que la interseccin de dos cualesquiera de ellos sea una de las siguientes

figuras: el conjunto vaco, una cara comn, una arista comn, el conjunto unitario formado por un vrtice comn.

Los poliedros que sean figuras convexas, se llaman poliedros convexos.

47)Definiciones (21): Dado un poliedro todos los puntos del espacio que nopertenecen a ese poliedro se llaman puntos exteriores al poliedro.Los puntos que pertenecen al poliedro pueden ser puntos fronterao puntosinteriores al poliedro.

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SUPERFICIEPOLIDRICACONVEXA

Teorema de EULER

AXIOMAMTRICO

CIRCUNFERENCIA

5Por otra definicin general de poliedro ver el Apndice III.

Un punto de un poliedro se llama punto frontera si siempre existen puntosexteriores al poliedro en cualquier esfera 6 que tenga centro en l.Los puntos de un poliedro que no son puntos frontera se llaman puntosinteriores.

48) Definicin (22): Llamamos superficie polidrica convexa (o cscarapolidrica)al conjunto formado por todos los puntos frontera de un poliedroconvexo.Se trata de una figura que es la unin de un nmero finito de polgonosconvexos llamadoscarasque verifican las siguientes condiciones:i) La interseccin de dos caras cualesquiera puede ser: el conjunto vaco, o

un segmento (un lado comn a dichas caras), o un conjunto unitarioformado por un vrtice comn.

ii) Dos caras cualesquiera no son coplanares.iii)No hay tres caras con un lado comn.

iv) Todos los lados de cada cara tambin son lados de otra cara.v) Los planos que incluyen cada cara dejan en un mismo semiespacio a lasrestantes caras.

Llamamos aristas a los lados de las caras.Los vrtices de las caras son los vrtices del poliedro y de la superficiepolidrica.

49) En todopoliedro convexola suma del nmerocde caras, ms el nmero vde vrtices, excede en dos unidades al nmeroade aristas.

c+ v=a+ 2

50) Axioma mtrico:i) Existe un funcin llamada distancia, que va del producto cartesiano del

Espacio por el Espacio ( ExE ), en el conjunto formado por todos losnmeros reales positivos y el cero. Es decir, dados dos puntos cualesquieradel espacio P y Q, existe y es nico el nmero real 0, tal que ladistancia entre esos puntos es y lo anotamos d (P,Q) = .

ii)Dados dos puntos A y B cualesquiera, se cumple que la d (A,B) = d (B,A).iii)Si un punto C pertenece al segmento que A y B determinan, se cumple:

d (A,C) + d (C,B) = d (A,B).iv)Si un punto C no pertenece al segmento que A y B determinan, se cumple:

d (A,C) + d (C,B) >d (A,B).v)Dado un nmero real 0 y una semirrecta OX, existe y es nico un

punto P en la semirrecta OX, tal que d (O,P) = .

51)La condicin necesaria y suficiente para que dos puntos coincidan es quela distancia entre ellos sea cero.

52)Definiciones (23): Dado un plano , un punto O perteneciente a yun nmero real r (positivo o cero), llamamos circunferencia de centro O yradio r , al conjunto de los puntos del plano que estn a la distancia r del

punto O.___________________________


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CRCULO

CSCARA

ESFRICA

ESFERA

ISOMETRAS

DETERMINACINde ISOMETRAS

6Por la definicin de esfera ver la proposicin 53.

El crculo de centro O y radio r es el conjunto de los puntos del planoque estn a una distancia menor o igual que rdel O.

53)Definiciones (24): Dado un punto O del espacio E y un nmero real r

(positivo o cero), llamamos cscara esfrica de centro O y radio r , alconjunto de los puntos del espacio que estn a la distancia r del punto O.La esferade centro O y radio r es el conjunto de los puntos del espacio queestn a una distancia menor o igual que rdel O.(Observacin: Muchos autores llaman esfera a lo que nosotros llamamoscscara esfrica y en ese caso le llaman bola a lo que nosotros llamamosesfera)

54) Definicin (25): Una isometra del espacio, es unafuncin biyectivadelEspacio en el Espacio, que conserva las distancias.

55) En una isometra, a puntos alineados y en un cierto orden le correspondenpuntos alineados y en el mismo orden. Es decir, las isometrasconservan lasrelaciones de pertenencia y orden.

56) En una isometra la imagen de:una recta, es una recta.un segmento, es el segmento determinado por las imgenes de sus

extremos.una semirrecta, es una semirrecta que tiene por origen la imagen del

origen y est incluida en la imagen de la recta sostn de la semirrecta dada.

un semiplano de borde r al que pertenece un punto P, es el semiplano quetiene por borde la imagen de r y al que pertenece la imagen de P.un semiespacio de borde al que pertenece un punto P, es el semiespacio

que tiene por borde la imagen de y al que pertenece la imagen de P.

57) Axioma de determinacin de las isometras: Dadas: dos semirrectas AX y BY , dos semiplanos: el de borde AX 7 y el de borde BY , dos semiespacios : el de borde 8y el * de borde ,existe y es nica la isometraM tal que :

M(AX) = BY M() = M() = *

58)Las isometrasconservan el paralelismo.

________________________________________________

7 Nos referimos al semiplano que tiene por borde la recta sostn de la

semirrecta AX. Por razones de simplicidad diremos el semiplano con borde lasemirrecta.8 Nos referimos al semiespacio que tiene por borde el plano que incluye alsemiplano . Por razones de simplicidad nos ponemos de acuerdo en decir el


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PARALELISMOentre RECTA yPLANO

PLANO SECANTEal por unaPARALELA al

semiespacio con borde el semiplano.

59)Las isometrasconservan la perpendicularidad.

60) Las isometras en el espacio son:

Directas: La Identidad Traslacin Giro Movimiento Helicoidal.No directas: Simetra central Simetra especular Reflexin condeslizamiento 9.

61) Definicin (26): Una recta es secante a un plano, si la interseccin deambos es un punto.

62)Definicin (27): Una recta es paralelaa un plano, si no es secante conese plano.

Observacin: Una recta es paralela a un plano cuando no tiene ningnpunto en el plano o cuando est incluida en l.

63) La condicin necesaria y suficientepara que una recta sea paralela aun planoes que exista una paralela a dicha recta que est incluida en eseplano.

64)Por un punto exterior a un plano, existen infinitas rectas paralelas a eseplano.

65)Dados una recta y un punto exterior, existen infinitos planos paralelos aesa recta que pasan por el punto dado.

66)Si una recta es paralela a un plano, todo plano que la incluya e intersequeal primero lo interseca segn una recta paralela a la recta dada.

r // r r//t=t

___________________________9 A la Reflexin con deslizamiento en nuestro pas se la conoce comoAnti traslacin .


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PARALELA a unaRECTA por unPUNTO de unPLANOPARALELO

TRANSITIVIDADdel paralelismo entrerectas

RECTA

PARALELA a dosPLANOSSECANTES

67)Si una recta es paralela a un plano, toda paralela a ella por un punto de eseplano, est incluida en dicho plano.

r// P P a a

a//r

68) Si una recta a es paralela a una recta b y b es paralela a una recta c ,se cumple que la recta a es paralela a la recta c.

69)Si una recta es paralela a dos planos secantes, entonces es paralela a suinterseccin.

=tr// r//tr//

70) Si dos rectas se cruzan, existey es nicoel plano que incluye a una deellas y es paralelo a la otra.

noa,b a,b // ,

es nico

71) Todo plano que interseca a una de dos rectas paralelas, tambin interseca ala otra.

P{P} =r Q{Q} =sr//s


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PARALELISMOentre PLANOS

CONDICINNECESARIA ySUFICIENTE

TRANSITIVIDADdel paralelismo entreplanos

LUGAR

GEOMTRICO delas rectas PARA-LELAS a unPLANO por unPUNTO

72) Definicin (28): Dos planos son secantessi su interseccin es una recta.

73) Definicin (29): Dos planos son paralelos si no son secantes.

Comentario: Dos planos son paralelos cuando son coincidentes o cuando sonconjuntos disjuntos.

74)Si dos planos son paralelos, todas las rectas incluidas en uno de ellos sonparalelas al otro.

75) La condicin necesaria y suficientepara que dos planos sean paralelos,es que uno de ellos incluya dos rectas secantes entre s que sean paralelasal otro.

// a,b, P a b = {P} , a// , b// , a , b

76) Existe y es nico el plano paralelo a otro por un punto.

77) Si un plano es paralelo a un plano y es paralelo a un plano ,se cumple que es paralelo a.

78)El lugar geomtrico de las rectas paralelas a un plano por un punto, es el

plano paralelo al plano dado, por ese punto.P a, b, c ; a, b, c// a, b, c , // , P

79) Si una recta es secante con uno de dos planos paralelos, tambin interseca


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TEOREMA deTHALES

RECTAPERPENDICULARa un PLANO

al otro.

80)Los segmentos que sobre rectas paralelas determinan dos planos paralelos,son congruentes.

81) Son proporcionales los segmentos que tres o ms planos paralelosdeterminan sobre dos rectas secantes a dichos planos.

// // BC

AB =

''

''

CB

BA

Comentario: las rectas r y s pueden ser no coplanares.

82)Definicin (30):Una recta es perpendicular a un plano si y slo si esperpendicular a todas las rectas de ese plano que pasan por su pie en dichoplano.

83)La condicin necesaria y suficientepara queunarecta sea perpendiculara un plano es que seaperpendicular a dos rectas

secantes que pasando por su pieestn incluidas en dicho plano.

rar rb

a b= {P}a b P r

84) El lugar geomtrico de las perpendiculares a una recta en uno de suspuntos, es el plano perpendicular a ella en dicho punto.


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DISTANCIA entrePLANOSPARALELOS

PLANOSPERPENDICULARES

85) Si una recta es perpendicular a un plano, todas las paralelas a ella tambinlo son.

a , a // b b

86)Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a todoslos planos paralelos a l.

87) Definicin (31): Llamamos distancia entre dos planosparalelos a ladistancia entre los puntos de interseccin de dichos planos con una recta

perpendicular a ellos.

// d (, ) = d ( A , B )

r

88) Definicin (32): Decimos que dos planos son perpendiculares cuando

uno de ellos incluye una recta perpendicular al otro.

r , r

89) La relacin perpendicularidad entre planos cumple la propiedadrecproca.

90) Si en uno de dos planos perpendiculares se traza una perpendicular a lainterseccin de ambos planos, esta recta es perpendicular al otro plano.

, =t , r , rt r


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RECTASORTOGONALES

TEOREMA de lasTRESPERPENDICULARES

(Propiedadrecproca de laortogonalidad)

91)Si dos planos son perpendiculares y por un punto de uno de ellos se trazala perpendicular al otro entonces esa recta est incluida en el primer plano.

, P , P r , r r

92)Definicin (33): Una recta es ortogonal con otrasi existe un plano que laincluye y es perpendicular a laotra.

ab a, b

93) La relacin deortogonalidad entre rectascumple lapropiedad recproca.

ab ba

Notacin: Recta que pasa por los puntos A y B, lo anotamos: AB

El segmento de extremos A y B, lo anotamos: AB

La semirrecta de origen A a la que pertenece B, lo anotamos: AB

an

b

H

N


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APNDICE I

UN SISTEMA AXIOMTICO PARA UNA GEOMETRA EUCLIDIANAPLANA1

Comentarios previos:

Al realizar la presentacin axiomtica de una Geometra Euclidiana Plana es preciso puntualizarque utilizaremos:

Las reglas de la LGICA CLSICA para deducir proposiciones a partir de otras quesean verdaderas.

El lgebra de CONJUNTOS.

El conjunto de los NMEROS REALES, estructurado como un CUERPOCONMUTATIVO, ORDENADO y COMPLETO.

A.- CONCEPTOS PRIMITIVOS

Partimos de un conjunto llamado PLANO y a sus elementos les llamamos PUNTOS.En el plano destacamos ciertos subconjuntos a los que les llamamos RECTAS.

Comentario:Los conceptos primitivos son slo dos. Estos pueden ser:

PUNTO y RECTA.

En este caso, definimos al PLANO como el conjunto de todos los PUNTOS.

PLANO y RECTA.

En este caso a los PUNTOS los definimos como los elementos del PLANO.

1Los axiomas seleccionados son esencialmente los que presenta Hctor Merklen en Geometra, editado

por el Instituto para la Promocin de la Enseanza de la Ciencia Lima - 1964.


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B.- AXIOMAS

B.1) AXIOMAS DE PERTENENCIA

(I)Axioma de existencia de rectas:

Existen al menos dos rectas incluidas en el plano y a cada recta pertenecen al menos dos puntos.

a, b R (2) / a (3) , b

r R , P , Q / P r, Q r

(II)Axioma de determinacin de rectas:

Para todo par de puntos distintos, existe y es nica la recta a la cual pertenecen.

P, Q , a R / P a, Q a ;

a , b R / P a, Q a y P b, Q b a = b

B.2) AXIOMA DE PARALELISMO

(III)Axioma de Paralelismo 4(de Euclides 5):

Para cada recta y para cada punto exterior a ella, existe y es nica la paralela a dicha recta por

ese punto.

2 ConR nombramos al conjunto de todas las rectas del plano , al que le llamamos Familia de lasrectas de .3Con nombramos al conjunto de todos lo puntos, es decir al plano.4Una recta es paralela a otra, si coincide con ella o cuando no tiene ningn punto que pertenezca a laotra recta.5La proposicin que ac presentamos la nombramos as en honor aEUCLIDES. En realidad hemosoptado por la redaccin propuesta por Playfair. El quinto postulado que Euclides presenta en su libroElementosescrito entre los aos 330 y 320 a. de C. dice: Si una lnea recta que corta a otras dos rectas

forma de un mismo lado con ellas ngulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos ltimasrectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los ngulos es menor que dosrectos.


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B.3) AXIOMAS DE ORDEN

(IV)Axioma de ordenacin de los puntos de una recta:En cada recta, entre sus puntos est definida una relacin, llamada preceder ampliamente6

que es una relacin deorden total amplio 7.

(V)Axioma de particin del plano:

i) Toda recta determina en el plano una particin en tres conjuntos: la recta y los dos

semiplanos abiertos8, y , con borde en ella.

ii) y son figuras9convexas. 10iii) Cualquier segmento determinado por dos puntos de semiplanos abiertos opuestos,

siempre corta a la recta.

B.4) AXIOMA MTRICO

(VI)Axioma Mtrico:

i) Existe una funcin, llamada distancia, cuyo dominio es el producto cartesiano del plano

por el plano y el codominio es el conjunto formado por el cero y todos los nmeros reales

positivos.11

6En adelante la llamaremos preceder,sobreentendiendo que se trata de un orden amplio.7Entonces la relacin preceder cumple las propiedades:

(I) Idntica - Todo punto se precede a s mismo.(II) Antisimtrica - Si un punto A precede a un punto B y el B precede al A, entonces el punto Acoincide con B.(III) Transitiva -Si tres puntos A, B y C de una recta cumplen que A precede a B y B precede a C,entonces A precede a C.(IV) Total - Dados dos puntos cualesquiera en una recta, uno de ellos precede al otro.

8Los puntos de la recta bordeno pertenecen al semiplano abierto.9Llamamos figura a cualquier conjunto de puntos.10

Una figura es convexasi incluye el segmento determinado por dos puntos cualesquiera de la misma.11Es decir, la funcin distancia establece que a cada par de puntos del plano le corresponde siempre unnmero real positivo o nulo.


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ii) La distancia no cambia cualquiera sea el orden en que se consideren los puntos.

iii)Si un punto pertenece a un segmento, se cumple que la suma de sus distancias a los

extremos del segmento es igual ala distancia entre los extremos.

iv)Si un punto no pertenecea un segmento, se cumple que la suma de sus distancias a los

extremos de dicho segmento es mayor que la distancia entre los extremos. 12

v) Dado un nmero real positivo o nulo , una recta orientada r, y un punto A en ella,

existe y es nico el punto B de la recta r, que sigue al A y tal que la distancia del Aal B es .

B.5) AXIOMA DE LAS ISOMETRAS

(VII)Axioma de determinacin de isometras:

Dados dos puntos A y B, dos semirrectas con orgenes en ellos Ax y By 13 , y dos

semiplanos, y ', de bordes respectivamente en dichas semirrectas14, existe y es nica la

isometra M tal que:

M(A) = B M (Ax) = By y M() = '

12A esta propiedad se la conoce como propiedad triangular.13Comentario sobre notacin: es usual identificar a una semirrecta nombrando primero su origen (elpunto A) y a continuacin utilizar una letra minscula que correspondera a su nombre (ac por ejemplo,

de todas las semirrectas de origen A, estamos considerando la que llamamos x )14Para abreviar, convenimos en expresarnos de esta manera, en lugar de decir que los semiplanostienen por bordes las rectas sostn de dichas semirrectas.


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APNDICE II

UN SISTEMA AXIOMTICO PARA UNA GEOMETRAEUCLIDIANA DEL ESPACIO

A.- CONCEPTOS PRIMITIVOS

Los conceptos primitivos que tomaremos son:

PUNTO15

RECTA16

PLANO17

Partimos de un conjunto llamado ESPACIO 18y a sus elementos les llamamos PUNTOS.

En el espacio destacamos ciertos subconjuntos que les llamamos PLANOS. En cada plano

existen unos subconjuntos llamados RECTAS. 19 Estos conceptos los caracterizaremos a

partir de los axiomas.

B.- AXIOMAS

B.1.- AXIOMAS DE PERTENENCIA

(I)Axioma de existencia derectas y planos:

Existen al menos dos planos, en cada plano estn incluidas al menos dos rectas y a cada rectapertenecen al menos dos puntos.

15A los puntos los nombraremos y anotaremos con letras maysculas.16A las rectas las nombraremos y anotaremos con letras minsculas.17A los planos los nombraremos y anotaremos con letras griegas.18

Al espacio lo nombraremos E.19Comentario: los conceptos primitivos son slo tres. Al espacio lo definimoscomo el conjunto de todoslos puntos.


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(II)Axioma de determinacin de rectas:

Para todo par de puntos distintos, existe y es nica la recta a la cual pertenecen.

(III)Axioma de determinacin de planos:

Dados tres puntos no alineados, existe y es nico el plano al cual pertenecen.

(IV)Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicha recta est incluida en ese plano.

B.2.- AXIOMA DE PARALELISMO

(V)Axioma de Euclides:

Por un punto existe y es nica la paralela a una recta dada.

B.3.- AXIOMAS DE ORDEN

(VI)Axioma de orden en la recta (Primer Axioma de Orden):

En cada recta, entre sus puntos est definida una relacin, llamada preceder ampliamente20,

que es una relacin deorden total amplio 21.

20Al igual que en el abordaje de una Geometra Euclidiana Plana, en adelante slo diremos preceder sobreentendiendo que se trata de un orden amplio.21Entonces la relacin preceder ampliamente cumple las propiedades:

(I) Idntica-Todo punto se precede a s mismo.(II) Antisimtrica - Si un punto A precede a un punto B y el B precede al A, entonces el punto Acoincide con B.(III) Transitiva-Si tres puntos A, B y C de una recta cumplen que A precede a B y B precede a C,

entonces A precede a C.(IV) Total - Dados dos puntos cualesquiera en una recta, uno de ellos precede al otro.


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(VII)Axioma de particin del Plano (Segundo Axioma de Orden):

Toda recta r de un plano clasifica a los puntos de que no pertenecen a r en dos

conjuntos y (semiplanos abiertos de borde la recta r )que cumplen:

i) {r , , }es una particin de . Es decir: los conjuntos r, y , no son

vacos, son disjuntos dos a dos y la unin de todos es el plano .

ii) El segmento determinado por un punto de y un punto de * tiene un punto y slo

uno en r.

iii) Las figuras y son convexas. 22

(VIII)Axioma de particin del Espacio (Tercer axioma de Orden):

Todo plano clasifica a los puntos de E que no pertenecen a en dos conjuntos y

(semiespacios abiertos de borde el plano ) que cumplen:

i) { , , } es una particin de E. Es decir los conjuntos , y , no

son vacos, son disjuntos dos a dos y la unin de todos es el espacio E.

ii) El segmento determinado por un punto de y un punto de * tiene un punto y slo

uno en .

iii) Las figuras y son convexas.

B.4.- AXIOMA MTRICO

(IX)Axioma Mtrico:

i) Existe una funcin, llamada distancia, cuyo dominio es el producto cartesiano del

espacio por el espacio y el codominio es el conjunto formado por el cero y todos los

nmeros reales positivos. 23

22Recordemos que una figura es convexa cuando el segmento determinado por dos puntos

cualesquiera de dicha figura est siempre incluido en ella.23Es decir, la funcin distancia establece que a cada par de puntos del espacio le corresponde siempreun nmero real positivo o nulo.


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ii) La distancia no cambia cualquiera sea el orden en que se consideren los puntos.

iii) Si un punto pertenece a un segmento, se cumple que la suma de sus distancias a los

extremos del segmento es igual a la distancia entre los extremos.

iv) Si un punto no pertenece a un segmento, se cumple que la suma de sus distancias a los

extremos de dicho segmento es mayor que la distancia entre los extremos. 24

v) Dado un nmero real positivo o nulo , una recta orientada r, y un punto A en ella,

existe y es nico el punto B de la recta r, que sigue al A y tal que la distancia del A alB es .

B.5.- AXIOMA DE LAS ISOMETRAS

(X)Axioma de determinacin de isometras:

Dados dos puntos A y B, dos semirrectas con orgenes en ellos Ax y By , dos

semiplanos, y ', de bordes respectivamente en dichas semirrectas , y dos semiespacios

y ' con bordes respectivamente en estos semiplanos25, existe y es nica la isometra

M tal que:

M(A) = B M (Ax) = By M() = ' y M() = '

24A esta propiedad se la conoce como propiedad triangular.25De manera anloga a cuando, por abreviar, decimos semiplano de borde la semirrecta... , al

decir semiespacio con borde el semiplano... tenemos que explicitarles a nuestros alumnos queestamos dando por sobreentendido que nos referimos al semiespacio con borde en el plano queincluye al semiplano... .


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APNDICE III

POLGONOS Y POLIEDROS

1. POLGONOS

1.1) Definicin:

Una LNEA POLIGONAL CERRADA SIMPLE (o simplemente POLIGONAL CERRADASIMPLE) es la figura unin de un nmero finito1 de segmentos que cumplen tres

condiciones:

1) dos cualesquiera de estos segmentos o tienen un extremo en comn o no tienen ningnpunto en comn.

2) todos estos segmentos cumplen que cada uno de sus extremos es tambin extremo de unoy slo uno de los otros segmentos.

3) dos de estos segmentos que tengan un extremo comn (consecutivos) no pueden estarincluidos en una misma recta, no pueden ser colineales.

_____________1

El nmero de segmentos es mayor o igual a tres.

Cada uno de estos segmentos se llama LADO de la poligonal; sus extremos son losVRTICES de lapoligonal.

Un punto es PUNTO INTERIOR a lapoligonalsi cumple que toda semirrecta con origen enl siempre interseca a lapoligonal en al menos un punto. Un punto es PUNTO EXTERIORa la poligonal si al menos una semirrecta con origen en l no tiene ningn punto en la

poligonal.

El INTERIOR de lapoligonales el conjunto de todos sus puntos interiores.

1.2) Definicin:

Llamamos POLGONO a la figura unin de unapoligonaly suinterior.

Los lados y los vrtices de la poligonal son los LADOS y los VRTICES delPOLGONO generado por esapoligonal.

Lapoligonal es el CONTORNO o FRONTERA del polgono.


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1.3) Definicin:

Un POLGONO es CONVEXO si es una figura convexa. Es decir si el segmento

determinado por dos cualesquiera de sus puntos est siempre incluido en l.Cuando un polgono es convexo, cualquier semirrecta con origen en uno de sus puntosinteriores siempre interseca al contorno en un punto y en uno solo.(Por otra definicin ver la proposicin N 35)

2.POLIEDROS

Definicin:Una CSCARA o SUPERFICIE POLEDRICA es la figura unin de un nmero finito1de

polgonos que cumplen tres condiciones:1) dos cualesquiera de estos polgonos o tienen un lado en comn, o un vrtice en comn, o

no tienen ningn punto en comn.2) todos estos polgonos cumplen que cada uno de sus lados es tambin lado de uno y slo

uno de los restantes polgonos.3) dos de estos polgonos que tengan un lado comn no pueden ser coplanares.

_____________1El nmero de polgonos es mayor o igual que cuatro.

A cada uno de estos polgonos se le llama CARA de la cscara polidrica, sus lados yvrtices son respectivamente ARISTAS y VRTICES de la cscara polidrica.

Un punto es PUNTO INTERIOR a la cscara polidricasi cumple que toda semirrectacon origen en l siempre tiene interseccin no vaca con la cscara. Un punto es PUNTOEXTERIOR a la cscara polidricasi cumple que existe al menos una semirrecta con origenen l que no tiene ningn punto en la cscara polidrica.

El INTERIOR de la cscara polidricaes el conjunto de todos sus puntos interiores.

Definicin:

Llamamos POLIEDRO a la unin de una cscara polidricay su interior. Las caras, aristasy vrtices de la cscara polidricason las caras, aristas y vrtices del poliedro generado porla superficie polidrica.


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BIBLIOGRAFA

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SEVERI, Francesco (1965) -Elementos de Geometra.Editorial Labor. Barcelona.

geometría del espacio - profesora etda rodríguez

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