geometrie detscriptiva

GHEORGHE BELEA

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

Lucrarea este elaborată în baza program ei analitice pentru studenţii din universităţile tehnice, cu specializări în dom eniul construcţiilor, instalaţiilor în construcţii sau geodezie, dar poate fi fo losită şi de elevii de la liceele de specialitate.

Im aginile plane ale d iferitelor elem ente geom etrice sunt reprezentate atât în epură, cât şi în axonom etrie sau perspectivă, form ând astfel la studenţi capacitatea de citire a desenelor tehnice, dar şi înţelegerea tuturor m odalităţilor de reprezentare plană a spaţiului im aginat.

Referent ştiinţific: Prof.dr.arh. C ristian D U M ITR ESC U

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României BELEA, GHEORGHE

Geometrie descriptivă / conf.dr. G heorghe B elea - Timişoara: Editura Politehnica, 2011

Bibliogr.ISBN 978-606-554-335-5

514.18

Conf.dr. Gheorghe BELEA

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

C olecţia “STU D EN T”

EDITURA POLITEHNICA TIMIŞOARA-2011

Copyright © Editura Politehnica, 2011

Toate drepturile sunt rezervate editurii. N ici o parte d in această lucrare nu poate fi reprodusă, stocată sau transm isă prin indiferent ce form ă, fără acordul prealabil scris al Editurii Politehnica.

EDITURA POLITEHNICABd. R epublicii nr. 9 300159 T im işoara, Rom ânia

Tel. 0256/403.823 Fax 0256/403.823 E-mail: editura@ edipol.upt.ro

Consilier editorial: Prof.dr.ing. Sabin IONEL Redactor: C laudia M1HALI

Bun de imprimat: 03.10.2011 Coli de tipar: 11,5 C.Z.U. 514.18 ISBN 978-606-554-335-5

Tiparul executat sub com anda nr. 67la T ipografia U niversităţii "Politehnica" din T im işoara

mailto:[email protected]

PREFAŢĂ

Geometria descriptivă constituie un cumul de sisteme de reprezentare a

obiectelor din spaţiul tridimensional pe planul cu două dimensiuni, deci este ştiinţa

reprezentării plane a spaţiului, în diferite sisteme.

Sistemele de reprezentare se bazează pe semne şi metode convenţionale,

înţelese de oamenii formaţi şi educaţi pentru activitatea tehnică. Ele stabilesc

corespondenţe între obiectele din spaţiu şi reprezentarea lor, care permit

specialiştilor să cunoască fără echivoc obiectele concepute de proiectant şi să le

execute.

Formarea deprinderii de a reprezenta corpurile din spaţiu pe desene plane,

sau de a imagina corpurile prin observarea figurilor plane, conduce la dezvoltarea

capacităţii intelectuale de a vedea în spaţiu, determinantă activităţii specialiştilor.

Principalele sisteme de reprezentare sunt:

- metoda dublei proiecţii ortogonale preconizată de Monge, care

foloseşte proiecţia paralelă şi ortogonală pe două plane de proiecţie

perpendiculare între ele. Pentru a obţine reprezentări cât mai simple ale

obiectelor se vor alege poziţii particulare ale obiectelor, paralele sau

perpendiculare, fa ţă de planele de proiecţie astfel ca să se poată măsura

direct dimensiuni sau unghiuri. Această metodă se foloseşte la lucrări

inginereşti de orice fel, fiind cel mai eficient mod de reprezentare a

obiectelor din spaţiu;

-perspectiva, care foloseşte proiecţia centrală pe un plan de proiecţie

aşezat între obiect şi ochiul observatorului. Pe aceste reprezentări nu se pot

măsura dimensiuni sau unghiuri deoarece obiectele reprezentate sunt

deformate neuniform dar se folosesc pentru obţinerea unor imagini

asemănătoare cu cele percepute de ochiul omului. Acest sistem de

reprezentare se utilizează în special în arhitectură şi urbanism;

- axonometría utilizează proiecţia paralelă, oblică sau ortogonală, pe

un singur plan de proiecţie, corpurile fiind reprezentate prin coordonatele

elementelor care le determină. Aspectul obiectelor reprezentate nu se

deformează prea mult şi se menţine paralelismul dreptelor putându-se face

măsurători directe ale dimensiunilor. Axonometría se utilizează atât în

arhitectură şi urbanism cât şi în construcţii şi instalaţii, pentru

reprezentarea îmbinărilor în mod special;

- proiecţia cotată este un sistem mixt de reprezentare deoarece

foloseşte elemente geometrice pentru proiecţia orizontală şi cifre în locul

proiecţiei verticale. Reprezentările în proiecţie cotată se folosesc în

topografie, căi de comunicaţii, construcţii hidrotehnice şi îmbunătăţiri

funciare.

Prezenta ediţie a manualului de geometrice descriptivă este o variantă

îmbunătăţită şi completată a cursurilor de geometrie descriptivă, ediţiile din anii

1995, 1999 şi 2004. Manualul a fost elaborat de autor în baza programei analitice

pentru studenţii din universităţile tehnice cu profilurile de studiu de inginerie civilă şi.

instalaţii sau de geodezie şi poate f i folosit de elevii de la liceele de specialitate sau de

cursanţii de la studiile post universitare cu acelaşi p ro fil.

Autorul mulţumeşte referentului ştiinţific, Prof dr. ing. Iulia Voia, pentru

analiza pertinentă a manualului şi pentru recomandările făcute pe parcursul

elaborării lucrării şi va f i recunoscător acelora care vor veni cu sugestii pentru

îmbunătăţirea conţinutului unei viitoare ediţii.

C A P I T O L U L 1

ELEMENTE INTRODUCTIVE

1.1. Obiectul disciplineiGeometria descriptivă are drept scop reprezentarea corpurilor din spaţiu,

printr-o figură plană, prin metoda dublei sau triplei proiecţii ortogonale care permite măsurarea dimensiunilor corpurilor, prin metoda perspectivei sau axonometriei care realizează imagini apropiate de ceea ce percepe ochiul omului sau prin metoda proiecţiei cotate ori a fotogrametriei.

Geometria descriptivă contribuie la dezvoltarea deprinderii de a vedea în spaţiu, la însuşirea unei terminologii adecvate şi pregăteşte viitorul inginer cu îndemânarea, precizia şi siguranţa necesară rezolvării grafice a problemelor.

Geometria descriptivă stabileşte un sistem convenţional de corespondenţe între obiectele din spaţiu şi elementele prin care acestea sunt reprezentate pe plan. O corespondenţă între elementele a două mulţimi, astfel încât elementele uneia dintre ele să corespundă univoc elementelor celeilalte şi invers, se numeşte corespondenţă biunivocă.

Activitatea practică inginerească a demonstrat că cele mai multe greşeli în proiectarea şi executarea lucrărilor de construcţii sunt cauzate de insuficienta vedere în spaţiu. Dezvoltarea acestei deprinderi este absolut necesară acelora care activează în domeniul construcţiilor.

Prin rezolvarea grafică a problemelor de geometrie descriptivă, aceasta se leagă mai strâns de alte discipline inginereşti, care folosesc aceleaşi metode, cum sunt: rezistenţa materialelor, statica, construcţiile din beton armat, construcţiile metalice etc.

1.2. IstoricPreocuparea pentru reprezentarea corpurilor din spaţiu pe plan s-a manifestat

din cele mai vechi timpuri. Astfel:- egiptenii utilizau procedee de reprezentare a construcţiilor de morminte şi a

bolţilor din piatră;- grecii căutau să alcătuiască decoruri scenice care să dea iluzia realităţii;- romanii au utilizat adesea perspectiva iar Vitruvius a reprezentat clădirile în

două vederi: plan şi elevaţie;- în timpul Renaşterii s-a manifestat interes pentru perspectivă.întemeietorul geometrice descriptive este considerat matematicianul francez

Gaspard Monge care, prin tratatul de Geometrie descriptivă din 1798, a stabilit o metodă de realizare a corespondenţei biunivoce dintre punctele spaţiului cu trei

8 Capitolul l

dimensiuni şi punctele planului prin proiecţii, reuşind să stabilească ştiinţific şi definitiv metoda de reprezentare a corpurilor pe plan.

în practica proiectării şi executării lucrărilor de construcţii au mai apărut şi alte metode de reprezentare a obiectelor din spaţiu: proiecţia cotată a cărei baze au fost puse de Noisette; proiecţia centrală, care este baza perspectivei, dezvoltată de Fiedler; axonometria oblică şi ortogonală la elaborarea căreia au contribuit Kepler, Weissbach, Pohlke şi Schwartz. Poncelet a dezvoltat geometria proiectivă arătând că unele proiecţii nu modifică unele proprietăţi ale figurilor şi ale corpurilor geometrice.

în ţara noastră primele cursuri de geometrie descriptivă au fost predate de Gheorghe Asachi în anul 1812 la Iaşi şi de Gheorghe Lazăr în anul 1818 la Bucureşti. Dintre cei care au contribuit la dezvoltarea acestei discipline se menţionează: A. Orăscu, Al. Constantinescu, M. Capuţineanu, N. Ureche, E. Pangrati, Al. Pantazi, Gh. Nichifor, T. Lalescu, D. Barbilian, N. Teodorescu şi alţii.

1.3. Proiecţii5

Geometria descriptivă şi desenul tehnic folosesc două tipuri de proiecţii: proiecţia centrală sau conică şi proiecţia paralelă sau cilindrică.

Proiecţia centrală a unui punct A din spaţiu pe un plan de proiecţie H este notată cu a şi este imaginea punctului văzut din centrul O, respectiv punctul în care dreapta OA înţeapă planul H (fig. 1,1). Centrul O şi planul de proiecţie H definesc sistemul de proiecţie centrală. Un alt punct B se proiectează central din O pe planul H în b. Dacă pe proiectanta OB se ia un punct oarecare C, acesta se proiectează în acelaşi loc cu B, c s b. Un punct M din planul H are proiecţia confundată cu punctul, M = m, iar un alt punct N, situat intr-un plan paralel cu H care conţine centrul O, se proiectează la infinit.

Din cele prezentate rezultă că:- unui punct din spaţiu îi corespunde un singur punct din planul de proiecţie;- în proiecţia centrală nu există o corespondenţă biunivocă deoarece proiecţia

unui punct din spaţiu poate să se confunde cu proiecţia altui punct din spaţiu;- punctele din planul de proiecţie au proiecţiile confundate cu însăşi punctele;

- punctele din planul paralel cu planul H, care conţine centrul O, au proiecţiile la infinit.

Elemente introductive 9

Proiecţia centrală a unei drepte D este o linie dreaptă notată cu d (fig. 1.2) care este determinată de proiecţia a două puncte de pe dreaptă, unul din ele putând fi chiar unctul în care dreapta intersectează planul de proiecţie.

Proiecţia paralelă a unui punct din spaţiu (fig. 1.3) pe un plan de proiecţie H se obţine prin aruncarea centrului de proiecţie O la oo, în acest fel proiectantele devin paralele cu o direcţie dată A. Dacă direcţia A este perpendiculară pe planul H proiecţia se numeşte ortogonală, iar dacă este înclinată se numeşte clinogonală sau oblică.

Şi în acest caz corespondenţa dintre punctele spaţiului tridimensional şi proiecţiile pe planul bidimensional de reprezentare este univocă.

Sistemul de proiecţie oblică este utilizat la trasarea umbrelor şi la proiecţia axonometrică oblică. Sistemul de proiecţie ortogonal se foloseşte în dubla şi tripla proiecţie ortogonală, în proiecţia cotată şi în axonometria dreaptă.

în dubla proiecţie ortogonală se folosesc două plane de proiecţie perpendiculare: planul orizontal H şi planul vertical V, intersectate după axa Ox numită linie de pământ (fig. 1.4).

în trip la proiecţie ortogonală cele două plane de proiecţie, H şi V, sunt intersectate de un al treilea plan L, perpendicular pe cele două, numit plan de profil sau plan lateral şi care intersectează planul H după axa Oy şi planul V după axa Oz (fig. 1-5).

Proiecţia cotată utilizează un singur plan de proiecţie, orizontal, pe care sunt proiectate ortogonal punctele din spaţiu lângă care se înscrie, în cifre, cota acestora în raport cu planul H, însoţită de semnul + sau -, după cum punctele se află deasupra sau sub planul H (fig. 1.6).

10 Capitolul 1

Proiecţia axoiiometrică utilizează proiecţia paralelă pe un plan oarecare pe care se proiectează şi axele din sistemul triplei proiecţii (fig. 1.7).

1.4. Importanţa proiecţiei ortogonale

Proiecţia ortogonală stă la baza Geometriei descriptive şi a Desenului tehnic.

O singură proiecţie ortogonală nu determină figura sau corpul din spaţiu dar păstrează anumite proprietăţi şi anume:

- incidenţa, respectiv două drepte concurente au proiecţiile concurente, iară ca reciproca să fie adevărată;

- paralelismul, adică două drepte paralele din spaţiu au proiecţiile paralele, fără ca reciproca să fie adevărată;

- relaţii de conţlnere, adică un punct de pe dreaptă se proiectează pe proiecţia dreptei, urma unei drepte conţinută de un plan se află pe urma planului, urmele a două plane paralele sunt paralele, reciproca nefiind valabilă la nici una din aceste relaţii. Intersecţia urmelor de acelaşi fel a două plane este urma dreptei de intersecţie a planelor;

- proiecţia ortogonală modifică lungimea segmentelor şi m ărimea unghiurilor dreptelor din spaţiu dacă acestea nu sunt paralele cu planul, caz în care ele se proiectează în adevărată mărime;

- raportu l a trei puncte coliniare şi reciproc;

- unghiul drept se proiectează ca unghi drept pe planul la care una din laturile lui este paralelă şi reciproc.

Ridicarea nedeterminării unei singure proiecţii se poate obţine pe cale algebrică sau a proiecţiei cotate utilizată în topografie ori pe cale pur geometrică, a dublei proiecţii ortogonale utilizată în desenul tehnic.

Fig. 1.6. Fig. 1.7.

C A P I T O L U L 2

PUNCTUL

2.1. împărţirea spaţiuluiDacă se consideră două plane perpendiculare unul pe celălalt, în poziţie

particulară, unul orizontal notat cu H şi celălalt vertical notat cu V, ele împart spaţiul în patru părţi, respectiv unghiuri, numite diedre (fig. 2.1). Planele se intersectează după o dreaptă numită linie de pământ sau axă Ox.

Diedral I este cuprins între semiplanul orizontal anterior sau pozitiv +H (din faţa planului V) şi semiplanul vertical superior sau pozitiv +V (deasupra planului H).

Diedrul II este cuprins între semiplanul +V şi semiplanul orizontal posterior sau negativ -H (din spatele planului V).

Diedrul HI este cuprins între semiplanul -H şi semiplanul vertical inferior sau negativ -V (sub planul H).

Diedrul IV este cuprins între semiplanul -V şi semiplanul +H.Unghiurile diedre, curent numite diedre, se împart în opt părţi (unghiuri) egale

cu ajutorul planelor bisectoare S şi K (de simetrie şi de coincidenţă). Unghiurile formate în acest fel poartă denumirea de octante şi se numerotează cu cifre arabe, de la 1 la 8 (fig. 2.2)

Pentru unele aplicaţii ale geometriei descriptive se foloseşte şi al treilea plan de proiecţie, perpendicular pe H şi V, numit plan lateral şi notat cu L. Planul L împreună cu planele H şi V împart sapţiul în 8 triedre tridreptunghice notate cu cifre

12 Capitolul 2

romane de la I la VIU (fîg. 2.3). Planul L intersectează planul H după axa Oy numită axa depărtărilor iar planul V după axa Oz numită axa cotelor.

Trebuie reţinute următoarele observaţii: planele de proiecţie sunt infinite; planele de proiecţie sunt opace; observatorul se consideră în diedrul sau triedrul I,

2.2. Dubla proiecţie a punctului. EpuraDacă se consideră

punctul A din spaţiu (fig. 2.4), acesta se proiectează perpendicular pe planul orizontal H în a şi pe planul vertical V în a'. Proiectantele Aa şi Aa' determină un plan perpendicular pe planele de proiecţie H şi V, pe care le intersectează după liniile de ordine aax şi a'a*, ax fiind proiecţia punctului A pe axa Ox.

Sistemul de proiecţie a unui punct pe două plane de proiecţie perpendiculare se numeşte dublu ortogonal. înacest sistem se stabileşte o corespondenţă biunivocă, între punctul din spaţiu şi proiecţiile acestuia, proiectanta ridicată din a intersectând proiectanta din a' într-un singur punct, A.

Deoarece reprezentarea în spaţiu a mai multor puncte pe cele două plane de proiecţie este dificilă se recurge la reprezentarea punctelor doar prin proiecţiile lor, a şi a'. Pentru aceasta planul orizontal H se rabate în sensul acelor de ceas până se suprapune peste planul vertical V (fig. 2.5), punctul A din spaţiu şi proiectantele Aa şi Aa' nemaifiind figurate. Figura obţinută în acest fel se numeşte epură. Pe epură segmentul Oax reprezintă abscisa (x), segmentul axa depărtarea (y) şi segmentul axa' cota (z) punctului A, acestea fiind coordonatele descriptive ale punctului.

Epura punctelor din spaţiu diferă în funcţie de poziţia lor în cele patru diedre. Punctul A situat în diedrul I are proiecţia orizontală a sub axa Ox, iar proiecţia verticală a', deasupa axei Ox.

Un punct B din diedrul II are ambele proiecţii situate deasupra axei Ox, punctul C din diedrul UE are proiecţia orizontală c deasupra şi proiecţia verticală c' sub

Punctul 13

axa Ox iar punctul D din diedrul IV are ambele proiecţii situate sub axa Ox, toate punctele fiind reprezentate în fig. 2.4 în spaţiu şi în fig. 2,5 în epură.

Fig. 2.5.

23 . Poziţia punctului în spaţiuDacă observatorul se poziţionează în prelungirea axei Ox planul orizontal de

proiecţie H va fi văzut ca o linie orizontală şi planul vertical V ca o linie verticală, care împart spaţiul în diedrele I...IV. Planele bisectoare vor fi văzute ca linii înclinate la -5 3, care împreună cu planele de proiecţie împart spaţiul în octantele 1...8 (fig. 2.6). Un punct din spaţiu poate lua una din poziţiile H, A, V, B, C, D sau O. Epura acestor puncte constituie alfabetul descriptiv al punctului (fig. 2.7).

Fig. 2.6. Fig. 2.7.

Se observă că punctele situate în planul bisector de simetrie S au proiecţiile simetrice faţă de axa Ox iar punctele situate în planul bisector de coincidenţă K au

14 Capitolul 2

proiecţiile suprapuse ( de unde provine denumirea planelor, de simetrie sau de coincidenţă).

2.4. Tripla proiecţie a punctuluiIn general proiecţia orizontală şi proiecţia verticală sunt suficiente pentru

rezolvarea problemelor curente din geometria descriptivă. Totuşi, pentru unele cazuri speciale, se introduce un al treilea plan de proiecţie, planul lateral (fig. 2.3). Proiecţiile punctelor pe acest plan se notează cu litera mică urmată de două accente (a").

Pentru reprezentarea în epură, planul orizontal se rabate pe planul vertical, ca la dubla proiecţie ortogonală, iar planul lateral se rabate în jurul axei Oz, tot pe planul vertical (fig. 2.8), axa Oy rabătându-se şi ea, în Oyi.

Semnele coordonatelor pentru punctele situate în cele 8 triedre sunt prezentate în tabelul următor:

I n m IV V VI v n v mX + + + + - - - -

y + - - + + - -

z + + - - + + - -Pentru construirea epurei se folosesc doar axele de coordonate, planele

nemaifîind limitate.Punctul A(x,y,z), (fig. 2.9), cu proiecţiile a, a' şi a" pe cele trei plane de

proiecţie H, V şi L, se găseşte în triedrul I. Pentru reprezentarea celor trei proiecţii în epură, se măsoară coordonatele x, y şi z pe axele corespunzătoare şi se notează cu ax, ay şi az. Proiecţia orizontală a rezultă la intersecţia liniilor de ordine trasate din ax şi ay, paralele la axele Oy şi Ox. Proiecţia verticală a' se găseşte la intersecţia liniilor de ordine trasate din ax şi az, paralele cu axele Oz şi Ox, Pentru determinarea proiecţiei laterale a" se rabate ay pe axa Oy]; în ayl (cu vârful compasului în O şi cu raza Oay), apoi se trasează liniile de ordine prin ay) şi az, paralele cu axele Oz şi Oy!. La intersecţia acestora se obţine proiecţia laterală.

Fig. 2.9.

Punctul 15

Reprezentarea unui punct B(x, -y, z) din triedrul II, în spaţiu şi în epură, se prezintă în fig. 2.10. Se obsevă că, deoarece coordonata y este negativă, proiecţia orizontală se găseşte deasupra axei Ox iar proiecţia laterală în stânga axei Oz.

Se observă de asemenea că proiecţia orizontală şi cea verticală se găsesc întotdeauna pe o linie de ordine verticală, iar proiecţiile verticală şi laterală se găsesc întotdeauna pe o linie orizontală.

Punctul C(x, -y, -z) din triedrul III are coordonata y negativă astfel că proiecţia orizontală se găseşte deasupra axei Ox şi proiecţia laterală în stânga axei Oz şi deoarece coordonata z este negativă proiecţia verticală se găseşte sub axa Ox.

Un punct D(x, y, -z) din triedrul IV, deoarece are coordonata z negativă, va avea proiecţia verticală sub axa Ox.

Pentru reprezentarea punctelor din triedrele V...VIII se procedează în mod analog cu reprezentarea celor din triedrele I...IV, cu observaţia că abscisa este negativă, deci întotdeauna proiecţiile orizontală şi verticală se găsesc în dreapta axelor Oy şi Oz..

Punctul E(-x, y, -z) se găseşte în triedrul V. Epura se aseamănă cu epura punctului din triedrul I, cu observaţia că proiecţiile orizontală şi verticală se găsesc în ireapta axelor Oy şi Oz.

Punctul F(-x, -y, z) se găseşte în triedrul VI. Epura se aseamănă cu cea a p-jnctului din triedrul II, cu aceeaşi observaţie.

f l _ a .

Fig. 2.10.

16 Capitolul 2

Punctul G(-x, -y, -z) din triedrul VII este reprezentat în spaţiu şi în epură în fig. 2.11. Punctul I(-x, y, -z) din triedrul VIII este reprezentat în spaţiu şi în epură în fig.

2.12. Epura se aseamănă cu cea a punctului din triedrul IV, cu aceeaşi observaţie.

Jy „

| / 1 S7

Fig. 2.12.

2. 5. Poziţia relativă a punctelorUnui punct A din triedrul I îi corespunde: un punct Aj în triedrul H, simetric în

raport cu planul vertical de proiecţie V; un punct A2 în triedrul IV, simetric în raport cu planul orizontal de proiecţie H şi un punct A3 în triedrul V, simetric în raport cu planul lateral de proiecţie L, a căror reprezentare în spaţiu şi în epură se prezintă în fig. 2.13.

—i 0 1 1 1

VA= A 3 } t ’ z ,

------- S 9 0 5 0 1If o i

? a B(I|

- H H 4 QxfQisPQ?x i u

1< ^ H O 2

imD

b-------------O

~V u----

------

--

I¿02 ,y

Fig. 2.13.Unui punct B din octantul 1 îi corespunde: un punct Bj în octantul 2, simetric

în raport cu planul bisector de simetrie S; un punct B2 în octantul 6, simetric în raport cu planul bisector de coincidenţă K şi un punct B3 în octantul 5, simetric în raport cu axa Ox, a căror reprezentare în spaţiu şi în epură se prezintă în fig. 2,14.

Două puncte pot să fie confundate (A şi B), distincte (C şi D) sau pe aceeaşi proiectantă (E şi F), având proiecţiile confundate sau singulare, aşa cum se prezintă în fig. 2.15.

Punctul 17

Probleme propuse1. Să se reprezinte în epură, în dublă proiecţie, punctele: A(3, 1, 2), B (l, -1, 3),

gb'sbpI

QjI9b-] sb'3 iob sb'2 -

Fig. 2.14.C(5, -3, -2) şi D(2, 2, -3). Să se specifice în care diedre şi octanţi sunt situate.

2. Să se reprezinte în epură, dându-se şi valori numerice coordonatelor, punctele P, G, R şi S situate în octanţii 1, 4, 6 şi 8.

3. Să se reprezinte în epură puncte situate în planele de proiecţie.

4. Se dau punctele: A(3, 2, z), B(2, -y, 1), C(4, -y, -3) şi D (l, 4, -z) situate în plznele bisctoare. Să se determine valorile lui y şi z şi să se figureze epura acestor puncte.

5. Să se reprezinte în epură punctul A(3, 5, 2) şi punctele simetrice ale ¿cestuia faţă de planele bisectoare. Să se precizeze triedrele şi octanţii în care suntsituate.

6. Să se reprezinte în epură punctul A(3, 5, 2) şi simetricele sale faţă de planele de proiecţie.

7. Să se reprezinte în epură punctele M, N şi R din diedrul I, ştiind că punctele M şi N sunt situate pe aceeaşi proiectantă la planul H iar punctele M şi R sunt situate pe aceeaşi proiectantă la V.

8. Să se figureze, pe trei plane de proiecţie, epura punctelor: A(20, 20, 30), B< 15, -20, 10), C(30, -30, -30) şi D(15, 25, -25).

18 Capitolul 2

9. Să se reprezinte în tripla proiecţie ortogonală punctele situate în triedrele V, VI, VH şi Vffl: A( -15, 25, 25), B(-25, -25, 35), C(-25, -20, -30) şi D(-18, 18, -30).

10. Să se reprezinte în tripla proiecţie ortogonală punctul A(15, 30, 20) şi simetricele sale în raport cu axele de coordonate.

11. Să se determine coordonatele şi să se reprezinte în triplă proiecţie ortogonală puncte situate în planele de proiecţie.

12. Să se reprezinte punctul A(30, 20, 25) şi simetricele sale, în raport cu originea O şi cu planul lateral de proiecţie.

13. Să se reprezinte în triplă proiecţie ortogonală punctele: A(2, -5, -1); B(7, 0, 2); C(3, -5, 0); D(10, 2, 2); E(5, 0, 0) şi F(-4, 1, -2). Să se specifice care este poziţia acestor puncte.

14. Să se figureze epura punctului din triedrul II de abscisă 3 cm, la distanţa de 3 cm faţă de planul vertical şi de planul orizontal de proiecţie.

15. Să se reprezinte punctul N(2, 3, -5). Să se stabilească coordonatele şi să se reprezinte simetricele punctului faţă de planele de proiecţie H, V, L şi faţă de planele bisectoare S şi K.

16. Se dă punctul A(2, -5, -3). Să se figureze epura punctelor simetrice acestuia în raport cu axele Ox, Oy, Oz.

C A P I T O L U L 3

DREAPTA

3.1. Reprezentarea şi urmele drepteiCea mai simplă determinare a unei drepte, aceea prin două puncte, se

foloseşte cel mai des în geometria descriptivă. Cunoscând proiecţiile a două puncte, proiecţiile dreptei care conţine punctele se figurează prin proiecţiile de acelaşi fel ale punctelor: prin a şi b se trasează proiecţia orizontală a dreptei, notată cu d; prin a' şi b' se trasează proiecţia verticală a dreptei notată cu d'; prin a" şi b" se trasează proiecţia laterală a dreptei notată cu d" (fîg. 3.1). Dreapta mai poate fi definită şi ca intersecţia a două plane, ABba şi ABb'a', din aceeaşi figură. Analitic dreapta este definită prin ecuaţia:

Ax + By + C = 0Punctele în care dreapta înţeapă planele de proiecţie se numesc urme aie

dreptei:- urma orizontală este punctul care rezultă din intersectarea dreptei D cu

planul orizontal de proiecţie, se notează cu H(h, h', h") şi este un punct de cotă zero (z = 0), (fig. 3.2);

- urma verticală este punctul care rezultă din intersectarea dreptei D cu planul vertical de proiecţie, se notează cu V(v, v', v") şi este un punct de depărtarezero (y = 0);

- urma laterală este punctul care rezultă din intersectarea dreptei D cu planul lateral de proiecţie, se notează cu L(l, 1', 1") şi este un punct de abscisă zero (x = 0).

20 Capitolul 3

Un punct A aparţine dreptei dacă proiecţiile lui se găsesc pe proiecţiile de acelaşi fel ale dreptei.

Studiul dreptei presupune parcurgerea următoarelor etape:- reprezentarea dreptei;- determinarea urmelor şi împărţirea dreptei în regiuni (spaţiul străbătut de

dreaptă);- determinarea vizibilităţii dreptei.Reprezentarea dreptei în epură se face prin două puncte de coordonate

cunoscute sau prin două proiecţii, d şi d \ după care se determină proiecţia laterală d", cu ajutorul a două puncte de pe dreaptă sau a două urme ale dreptei (fig. 3.3).

Urmele dreptei se determină ţinând seama de faptul că una din coordonatele lor este nulă:

- u rm a orizontală, care are z = 0, se determină prin intersectarea proiecţiei verticale d ' a dreptei cu axa Ox, unde rezultă h' (proiecţia verticală a urmei), apoi cu linie de ordine se intersectează proiecţia orizontală d, obţinându-se urma orizontală h. Proiecţia laterală fa" a urmei se obţine cu linie de ordine paralelă la axa Ox din h, prin rabatere;

- a rm a verticală, care are y = 0, se determină prin intersectarea proiecţiei orizontale d a dreptei cu axa Ox, unde rezultă v (proiecţia orizontală a urmei), apoi cu linie de ordine se determină urma verticală v' pe d'. Proiecţia laterală se obţine cu linie de ordine paralelă cu axa Ox, din v!, pe axa Oz;

urm a laterală, care are x = 0, se obţine prin intersecatarea proiecţieiverticale d' a dreptei cu axa Oz în 1' şi a proiecţiei orizontale d cu axa Oy în I, după care se rabate I pe axa Oyx în lyl şi se intersectează liniile de ordine din lyi şi 1' în 1” , urma laterală.

•Vf.--------- ---------------- -- -6- î" 'j V ^ T ______ i____ _ J l l VI

W

Fig. 3.3

Dreapta 21

îm părţirea dreptei în regiuni. Urmele dreptei, fiind punctele prin care dreapta trece dintr-un triedru în altul respectiv una din coordonate îşi schimbă semnul, delimitează regiunile prin care trece dreapta. Luând un punct A pe dreaptă, între urmele H şi V, se observă că are toate coordonatele pozitive, deci dreapta parcurge triedrul I (fig. 3.3).

Un punct de pe dreaptă din stânga lui H are z negativ deci dreapta parcurge triedrul IV. Un punct de pe dreaptă situat între H şi L are y negativ, deci dreapta parcurge triedrul EL Orice punct de pe dreaptă situat în dreapta urmei L (axa Oy) are x negativ, deci dreapta parcurge triedrul VI întrucât are şi y negativ.

Se observă că dacă peste sistemul de axe se suprapune spaţiul văzut în lungul axei Ox proiecţia laterală a dreptei confirmă mersul dreptei, prin triedrii II, I şi IV determinaţi anterior.

Vizibilitatea dreptei. Deoarece observatorul se află întotdeauna în triedrul I şi planele de proiecţie sunt opace dreapta se vede pe zona care parcurge acest triedru. în exemplul prezentat dreapta se vede între urmele H şi V, deci proiecţiile dreptei se vor reprezenta cu linie continuăgroasă între h şi v pe d, între h ' şi v' pe d' şi între h" şi v" pe d".

Celelalte zone se vor trasa cu linie întreruptă sau cu linie continuă de grosimemijlocie.

3.2. Poziţiile particulare ale dreptei faţă de planele de proiecţie

Pe lângă poziţia oarecare a unei drepte faţă de planele de proiecţie (proiecţia orizontală şi cea verticală fac unghiuri mai mari de 0 0 sau mai mici de 90 0 cu axa Ox) In care dreapta străbate patru triedri, ea poate lua trei poziţii paralele şi trei poziţii perpendiculare pe câte unul din planele de proiecţie.

Dreapta orizontală O (orizontala) este paralelă cu planul orizontal de rroiecţie H (toate punctele de pe dreaptă au aceeaşi cotă), străbate trei triedre şi întâlneşte două plane de proiecţie, deci are numai două urme. Reprezentarea unei trepte orizontale în spaţiu şi în epură se prezintă în fig. 3.4. Pe epură se prezintă

22 Capitolul 3

urmele dreptei şi punctele de intersecţie cu planele bisectoare.Punctul de intersecţie cu planul bisector de coincidenţă se obţine prin

prelungirea proiecţiei orizontale o până intersectează proiecţia verticală o'. Punctul de intersecţie cu planul bisector de simetrie se obţine la intersecţia paralelei la proiecţia orizontală o, prin v', cu axa Ox.

Deoarece dreapta orizontală este paraleleă cu planul H orice segment de pe dreaptă se proiectează pe planul H în adevărată mărime. De asemenea, unghiurile pe care orizontala le face cu planele de proiecţie V şi L se proiectează pe planul H în adevărată mărime. Proiecţia verticală este paralelă cu axa Ox, iar proiecţia laterală este paralelă cu axa Oy!.

Dreapta frontală F (frontala) este paralelă cu planul vertical de proiecţie V (fig. 3.5), deci are depărtarea constantă (y = const.), străbate trei triedre şi are doar două urme, orizontală şi laterală (fig. 3.5).

Unghiurile pe care frontala le face cu planul orizontal H şi lateral L, se proiectează în adevărată mărime pe planul V, la fel ca şi segmentele de dreaptă, care şi ele se proiectează pe planul vertical în adevărată mărime. Proiecţia orizontală f este paralelă cu axa Ox iar proiecţia laterală f ' este paralelă cu axa Oz. Punctele de intersecţie cu planele bisectoare se determină ca şi la dreapta orizontală.

Dreapta de profil D este paralelă cu planul lateral de proiecţie L, deci are abscisa constantă (x = const.), străbate trei triedre şi întâlneşte două plane de proiecţie, deci are două urme, orizontală şi verticală (fig. 3.6).

Urmele dreptei de profil rezultă prin intersectarea proiecţiei laterale d" a dreptei cu axa Oyb unde se determină h" şi cu axa Oz unde se determină v". Urmele h şi v' se determină cu linii de ordine.

Proiecţia laterală a dreptei de profil conservă adevărata mărime a unghiurilor pe care le face cu planul orizontal H şi cu planul vertical V. De asemenea, segmentelede dreaptă se proiectează pe planul lateral în adevărată mărime.

Punctele de intersecţie cu planele bisectoare se obţin prin intersectareaproiecţiei laterale d" a dreptei cu linii la 45 °, trasate prin O.

Proiecţiile, orizontală şi verticală, sunt paralele cu axele Oy şi Oz.

X

f"

J£&

Fig. 3.5.

Dreapta 23

Dreapta fronto-orizontală F0 este paralelă cu planul orizontal H (z = const.) şi cu planul vertical V (y = const.), fiind perpendiculară pe planul lateral L. Proiecţiile, orizontală f0 şi verticală f0', sunt paralele cu axa Ox, iar proiecţia laterală f0" este un

1

. f o .......... ....i

¿ri

N ş-1

O

X

fo

1/

VFig.3.7.

punct care se confundă cu urma laterală I". Dreapta străbate doar două triedre. Orice segment de pe dreaptă se proiectează în adevărată mărime pe planele H şi V. Urmele, orizontală şi verticală, sunt aruncate la infinit (fîg, 3. 7),

Dreapta de capăt C (fig. 3.8.a) este paralelă cu planul orizontal H (z = const.) şi cu planul lateral L (x = const.), fiind perpendiculară pe planul vertical V.

Proiecţia orizontală c este paralelă cu Oy, proiecţia laterală c" este paralelă cu Oyi iar proiecţia verticală c' este un punct care se confundă cu urma verticală v'. Orice segment de pe dreaptă se proiectează în adevărată mărime pe planele H şi L. Urmele, orizontală şi laterală, sunt aruncate la infinit.

Dreapta verticală V (fig. 3.8.b) este paralelă cu planul V (y = const.) şi cu planul L (x = const.), fiind perpendiculară pe planul orizontal H.

24 Capitolul 3

Proiecţiile, verticală d’ şi laterală d", sunt paralele cu axa Oz iar proiecţia orizontală d' este un punct confundat cu urma orizontală h. Orice segment de pe

d1

z

d*

* , 0— T11

——

///

b) fiFig. 3.8.

dreaptă se proiectează în adevărată mărime pe planele V şi L. Urmele, verticală şi laterală, sunt aruncate la infinit.

Dreapta conţinută în planul orizontal de proiecţie (fig. 3.9.a) este o dreaptă de cotă zero. Se proiectează în adevărată mărime pe planul orizontal. Proiecţia verticală se suprapune axei Ox. Unghiurile pe care le face cu planele de proiecţie se proiectează în adevărată mărime.

3.9.

Dreapta conţinută în planul vertical de proiecţie (fig. 3.9.b) este o dreaptă de depărtare zero. Se proiectează în adevărată mărime pe planul vertical şi conservă adevărata mărime a unghiurilor pe care le face cu planul orizontal şi cu planul vertical. Proiecţia orizontală se suprapune axei Ox iar proiecţia laterală se suprapune axei Oz.

Dreapta conţinută în planul lateral de proiecţie (fig. 3.9.c) este o dreaptă cu abscisa egală cu zero. Se preoiectează în adevărată mărime pe planul lateral şi conservă adevărata mărime a unghiurilor pe care le face cu planul orizontal şi cu planul vertical. Proiecţia orizontală se suprapune axei Oy iar proiecţia verticală axei Oz.

Dreapta 25

3.3. Drepte conţinute în planele bisectoare şi drepte confundatecu axele

Dreapta conţinută în planul bisector de simetrie (fig. 3.10.a) are cota egală cu depărtarea pentru orice punct de pe dreaptă, deci proiecţiile, orizontală şi verticală, sunt simetrice în raport cu axa Ox. Proiecţia laterală trece prin O şi face un unghi de 45 0 cu axa Oy (Oyi). Urma orizontală se confundă cu urma verticală. Dreapta intersectează axa Ox şi ca atare străbate doar trei triedre.

Dreapta conţinută în planul bisector de coincidenţă ( fig. 3.lO.b) are proiecţia orizontală confundată cu proiecţia verticală iar proiecţia laterală face un unghi de 45 0 cu axa Oy (Oyi).

Pe lângă dreptele oarecare, planele bisectoare pot să conţină şi drepte fronto- : rizontale. O fronto-orizontală conţinută în planul S are proiecţia orizontală simetrică rroiecţiei verticale în raport cu Ox. Poate să străbată triedrele I-V sau EQ-VII. Fronto- : rizontala conţinută în planul K are proiecţia orizontală confundată cu proiecţia verticală şi străbate triedrele II-VI sau IV-VIU.

Dreptele confundate cu axele de proiecţie sunt drepte perpendiculare pe p '.anele de proiecţie şi pot să fie: fronto-orizontale cu y = 0 şi z = 0, drepte de capăt cu x = 0 şi z = 0, sau drepte verticale cu x = 0 şi y = 0.

3.4. Poziţia relativă a două drepteDouă drepte din spaţiu (fig. 3.11) pot fi coplanare sau necoplanare. Dreptele

: aplanare pot fi concurente sau paralele. Dreptele necoplanare nu sunt concurente şi î situate în plane diferite.

Drepte concurente. Două drepte sunt concurente (fig. 3.11.a) când au un runct comun - punctul de intersecţie. Două drepte din spaţiu sunt concurente dacă proiecţiile de acelaşi fel se intersectează şi dacă punctele de intersecţie ale proiecţiilor

: află pe aceeaşi linie de ordine.Atunci când dreptele concurente sunt situate într-un plan proiectant la unul din

r .anele de proiecţie, proiecţia dreptelor pe acest plan este confundată cu urma planului îfig. 3.1 l.b).

26 Capitolul 3

Dacă una dintre drepte este perpendiculară, proiecţia ei pe planul la care este perpendiculară trebuie să fie situată pe proiecţia celeilalte drepte (fig. 3.1 l.c).

In cazul unei drepte de profil intersectată cu altă dreaptă este necesar să se construiască şi proiecţia laterală. Dreptele vor fi concurente doar atunci când toate cele trei proiecţii ale punctului de intersecţie corespund (fig. 3.1 l.d).

Fig. 3.11.Când ambele drepte sunt de profil şi sunt concurente, punctul lor de intersecţie

este nedeterminat deoarece proiecţiile lor sunt confundate. Pentru a afla punctul de intersecţie este necesar să se figureze proiecţiile laterale ale dreptelor, care determină proiecţia laterală a punctului de intersecţie, de unde se revine în planul orizontal şi vertical (fig. 3.11 .e).

Printr-un punct oarecare al unei drepte se pot trasa o infinitate de drepte concurente cu acea dreaptă, deci există o infinitate de soluţii. Dacă se pune condiţia ca dreapta să mai treacă printr-un punct există o singură soluţie.

Drepte paralele. în proiecţia dublu ortogonală două drepte paralele în spaţiu au proiecţiile paralele pe oricare din planele de proiecţie (fig. 3.12.a). Dacă planul determinat de cele două drepte paralele este proiectant la unul din planele de proiecţie, atunci proiecţiile dreptelor pe planul respectiv sunt confundate cu urma planului, fiind însă distincte şi paralele pe celălalt plan (fig. 3.12.b). în cazul a două drepte perpendiculare pe un plan de proiecţie, proiecţiile lor pe acel plan sunt puncte (fig.3.12.c) care determină urma planului care le conţine.

Dreapta 27

oQd❖

b ! fy

d

c)

o

Fig. 3.12.

Dreptele paralele eu planele de proiecţie vor fi paralele între ele doar atunci când proiecţiile pe planul la care sunt paralele, vor fi şi ele paralele (fig. 3.13).

Fig. 3.13.

Drepte necoplanare. Două drepte oarecare sunt necoplanare dacă punctele de itersecţie ale proiecţiilor nu se află pe aceeaşi linie de ordine (fig. 3.14,a) sau dacă

Dreptele paralele la planele de proiecţie sunt necoplanare atunci când roiecţiile pe planul la care sunt paralele se intersectează iar celelalte proiecţii sunt aralele între ele şi neconfundate (fig. 3.14.c).

28 Capitolul 3

Două drepte perpendiculare la acelaşi plan de proiecţie sunt întotdeauna coplanare.

Probleme propuse

1. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta definită de punctele; A(2, 3,1) şi B(6, 1,4) şi să se facă studiul dreptei.

2. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta definită de punctele: A(10, 40, -8) şi B(70, -12, 18) şi să se facă studiul dreptei.

3. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta D ce străbate triedrele I, IV şi DI şi să se facă studiul dreptei.

4. Să se reprezinte o dreaptă care intersectează planul orizontal al triedrului V şi planul bisector K.

5. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta orizontală care trece prin triedrele I, V şi VI.

6. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta frontală care conţine punctul A(-30, 20, 35) şi face unghiul a = 30° cu planul H.

7. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta de profil care străbate triedrele I, IV, EI şi este paralelă cu planul bisector de simetrie S.

8. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta verticală D care străbate triedrele I şi IV.

9. Să se reprezinte dreapta de capăt din triedrele HI, IV.10. Să se reprezinte dreapta fronto-orizontală care conţine punctul M(-6, 3, 5).11. Să se reprezinte o dreaptă de profil T perpendiculară pe o dreaptă D

conţinută în planul bisector S.12. Să se construiască din punctul A(x, y, z) o dreaptă T(t, t ’) perpendiculară

pe o dreaptă orizontală D.13. Să se construiască o orizontală D concurentă cu o verticală T.14. Să se construiască o verticală D concurentă cu o dreaptă de capăt T.15. Să se construiască o dreaptă T concurentă cu o verticală şi cu o dreaptă de

capăt date.16. Să se construiască, prin punctul M(x, y, z), o dreaptă oarecare T

concurentă cu o fronto-orizontală D.17. Să se reprezinte o orizontală T şi o dreaptă de profil D neconcurente.18. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie o dreaptă dată, prin urmele:

V(xb 0, z) şi H(x2, y,o).19. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta conţinută în planul

bisector de simetrie.20. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta orizontală care trece prin

triedrele DI şi IV.21. Să se reprezinte pe trei plane de proiecţie dreapta de profil care străbate

triedrele I, II şi III şi este paralelă cu planul bisector de simetrie.22. Să se reprezinte o dreaptă de profil neconcurentă cu o verticală.

C A P I T O L U L 4

PLANUL

4.1. Generalităţi?Un plan se poate defini prin trei puncte necolinire, o dreaptă şi un punct

exterior, două drepte paralele sau două drepte concurente (fîg. 4.1). Ecuaţia analitică de isfinire a planului este:

a' T b1

£I t IA ! 1a h *■

i i b Gar

ja.

Un punct este conţinut în planul determinat de două drepte concurente dacă rroiecţiile sale se află pe proiecţiile de acelaşi fel ale unei drepte conţinute în plan (fig.- 2). Dreapta D este conţinută în planul dat de dreptele D, şi B2 dacă le intersectează, lunoscând proiecţia orizontală d care intersectează pe di şi d2 în 1 şi 2, proiecţia ~erticală d ’ se găseşte 1a. intersecţia liniilor de ordine ridicate din 1 şi 2 pe proiecţiile verticale d ’i şi d ’2, în 1’ şi 2’.

După acelaşi principiu se figurează, în planul a două drepte paralele Di şi D2, o reaptă orizontală O şi o dreaptă frontală F conţinute (fig. 4.3). Pentru figurarea -zontalei se trasează mai întâi proiecţia verticală o’, paralelă cu axa Ox, apoi se

30 Capitolul 4

determină proiecţia orizontală o, iar pentru frontală se trasează mai întâi proiecţia orizontală f, paralelă cu axa Ox, după care se determină proiecţia verticală f .

4.2. Reprezentarea planului prin urme

4.3. Determinarea urmelor planuluiCând planul se dă prin elementele care-1 definesc trebuie să se determine

urmele. Dacă planul este dat prin două drepte concurente într-un punct I se determină urmele dreptelor şi se trasează urma orizontală PK, prin cele două urme orizontale h, şi h2, apoi urma verticală Pv, prin cele două urme verticale v’i şi v ’2 (fig. 4.5).

4.6).

Deoarece reprezentarea planului prin drepte nu este suficient de sugestivă se obişnuieşte a se reprezenta planul prin urme. Urmeleplanului sunt dreptele de intersecţie ale planului cu planele de proiecţie. Dreapta de intersecţie cu planul orizontal se numeşte urmă orizontală şi se notează cu PH. ^g- 4.4.Dreapta de intersecţiecu planul vertical se numeşte urmă verticală şi se notează cu Pv iar dreapta de intersecţie cu planul lateral se numeşte urmă laterală şi se notează cu PL (fig. 4.4).

Epura planului se obţine prin rabaterea planului orizontal O şi a planului lateral L pe planul vertical V. în cele mai multe cazuri sunt suficiente doar două urme, orizontală şi verticală, urma laterală fiind necesară doar atunci când se poate obţine o simplificare în rezolvarea problemelor.

Fig. 4.5. Fig. 4.6.Dacă planul se dă prin două drepte paralele se procedează în mod analog (fig.

Dacă planul se dă printr-o dreaptă D şi un punct A, pentru determinarea urmelor

Planul 31

planului, se trasează prin A o dreaptă concurentă în punctul I luat arbitrar pe dreapta D, sau o dreapta paralelă cu dreapta D.

Dacă planul se dă prin trei puncte A, B şi C problema se rezolvă în mod analog, prin trasarea unei drepte prin A şi B şi a altei drepte prin C, paralelă sau concurentă cu prima dreaptă, după care se continuă cu determinarea urmelor dreptelor prin care se trasează urmele de acelaşi fel ale planului.

4.4. Poziţiile planului faţă de planele de proiecţieUn plan poate să se afle în trei poziţii distincte faţă de planele de proiecţie:

plan oarecare, plan perpendicular pe un plan de proiecţie sau plan paralel la un plan de proiecţie.

4.4.1. Plan oarecare

Planul oarecare intersectează toate cele trei plane de proiecţie, urmele sale făcând unghiuri diferite de 90 0 sau 180 0 cu axele de coordonate (fîg. 4.7).

Urmele planului se pot întâlni sub unghi ascuţit (planele P, R şi T), sub unghi : bîuz (planele Q şi S) sau la 180 0 când poartă denumirea de plan cu urme în prelungire planul V), caz particular a planului cu unghi obtuz.

La reprezentarea în epură un plan poate să aibă urma orizontală RH pe planul enical şi urma verticală Rv pe planul orizontal sau poate să aibă ambele urme pe un

rlan de proiecţie (T).

4.4.2. Plane perpendiculare

Planul perpendicular pe un plan de proiecţie are urma pe planul respectiv o 3 e oarecare şi celelalte două urme paralele cu axa de proiecţie perpendiculară pe icelaşi plan.

Dacă planul este perpendicular pe planul orizontal de proiecţie (proiectant la H. fg . 4.8), proiecţia orizontală a planului este o linie confundată cu urma orizontală ? urma verticală şi urma laterală sunt paralele cu axa Oz, respectiv sunt- r-pendiculare pe Ox şi pe Oy. Relaţia analitică de definire este: Ax + By + D = 0.

Dacă planul este perpendicular pe planul vertical de proiecţie (proiectant la V, _ -.9), proiecţia verticală a planului este o linie confundată cu urma verticală Py,

jrma orizontală şi urma laterală fiind paralele cu axa Oy, respectiv sunt perpendiculare re Ox şi Oz. Relaţia analitică de definire este: Ax + Cz + D = 0.

32 Capitolul 4

Dacă planul este perpendicular pe planul lateral de proiecţie (proiectant la L, fig. 4.10), proiecţia laterală a planului este o linie confundată cu urma laterală PL, urma orizontală şi urma verticală fiind paralele cu axa Ox, respectiv sunt perpendiculare pe Oy şi pe Oz. In această situaţie se lucrează cu epura pe toate cele trei plane de proiecţie. Relaţia analitică de definire este: By + Cz + 1) = 0,

4.4,3. Plane paralele

Planul paralel la planul orizontal de proiecţie, numit plan de nivel (z = 0), se proiectează pe planele de proiecţie V şi L după linii confundate cu urmele Nv şi NL (fig. 4.11), perpendiculare pe axa Oz, iar pe planul orizontal se proiectează ca un plan, în adevărată mărime.

Planul 33

Planul paralel la planul vertical de proiecţie, numit plan de front (y = 0), se proiectează pe planele de proiecţie H şi L după linii confundate cu urmele FH şi FL (fig.

J z zNv NZ NL .

X-

o

yFig. 4.11.

-.12), perpendiculare pe axa Oy, iar pe planul vertical se proiectează ca un plan, în adevărată mărime.

Fig. 4.12

Planul paralel la planul lateral de proiecţie, numit plan de profil (x = 0), se rroiectează pe planele de proiecţie H şi V după linii confundate cu urmele PHşi Pv (fig-- .3), perpendiculare pe axa Ox, iar pe planul lateral de proiecţie se proiectează ca un r'.an, în adevărată mărime. Se recomandă ca epurele planelor de profil să se : instruiască pe toate cele trei plane de proiecţie.

p z

X h 0 $

Phy

Fig. 4.13.

4.5. Poziţia relativă a dreptei faţă de planO dreaptă poate să ia una din următoarele poziţii faţă de un plan: aparţine

: - inului; paralelă cu planul; intersectează planul.

4.5.1. Dreapta aparţine planului

O dreaptă aparţine unui plan atunci când două puncte ale dreptei aparţin : anului, cele două puncte fiind de obicei urmele dreptei atunci când planul este dat r~ - urme.

34 Capitolul 4

într-un plan oarecare dat prin urme se poate construi o dreaptă oarecare D (fig. 4.14) la care urmele: orizontală, verticală şi laterală; se află pe urmele PH, Pv şi Pl ale planului.

Fig. 4.14. Fig. 4.15

O dreaptă orizontală conţinută în planul P (fig. 4.15) are proiecţia verticală paralelă cu axa Ox, urma verticală şi urma laterală pe urmele de acelaşi fel ale planului. Urma orizontală a dreptei fiind situată la infinit, proiecţia orizontală a dreptei este paralelă cu urma orizontală a planului, urmă care este în realitate o orizontală de cotă 0.

Dreapta frontală conţinută în planul P (fig. 4.16) are proiecţia orizontală paralelă cu axa Ox, urma orizontală şi urma laterală pe urmele de acelaşi fel ale planului. Urma verticală a frontalei fiind situată la infinit, proiecţia verticală a dreptei este paralelă cu urma verticală a pianului, care la rândul ei este o frontală de depărtare 0.

Dreapta de profil conţinută în planul P (fig. 4.17) are proiecţia orizontală paralelă cu axa Oy şi proiecţia verticală paralelă cu axa Oz, urmele, orizontală şi verticală, fiind situate pe urnele de acelaşi fel ale planului. Urma laterală a dreptei de profil fiind situată la infinit, proiecţia laterală a dreptei este paralelă cu urma laterală a

planului, care la rândul ei este o dreaptă de profil de abscisă 0. De regulă, reprezentarea dreptei de profil conţinută într-un plan oarecare se face pe toate cele trei plane de proiecţie.

In cazul planelor perpendiculare la planele de proiecţie, proiecţiile dreptelor pe planul de proiecţie la care planul P este proiectant sunt confundate cu urma planului. Astfel, în planul proiectant la H o dreaptă oarecare are proiecţia orizontală confundată

Planul 35

;u. PH, urma verticală şi urma laterală aflându-se pe urmele Pv şi Pi^fig- 4.18.a). în ireeaşi situaţie se află dreapta orizontală (fig. 4.18.b) iar dreapta verticală, care nu are urmă verticală şi urmă laterală, are proiecţia verticală paralelă cu Pv şi proiecţia '.arerală paralelă cu PL (fig, 4.18.c).

Planul proiectant la planul vertical de proiecţie poate să conţină o dreaptă oarecare D (fig. 4.19.a), o dreaptă frontală F (fig. 4.19.b) şi o dreaptă de capăt A (fig. -.19.c), deci dreapta oarecare şi dreptele de poziţie particulară faţă de planul V.

Planul proiectant la planul lateral de proiecţie poate să conţină o dreaptă

Pv d' fz

d"t

V1 l“

Pv=Y 0 r -//

y (Py*b) Fig. 4.18.

secare D (fig. 4.20.a), o dreaptă de profil A şi o dreaptă fronto-orizontală F0 (fig.- 20.b), deci o dreaptă oarecare şi dreptele de poziţie particulară faţă de planul L.

In cazul planelor paralele la planele de proiecţie unele dintre proiecţiile eotelor conţinute se suprapun urmelor planelor.

nV> P y Z\, R * V «

\ f i s d

o \ !

\ d *

■ n v \ h '

\ d /\ 1 /

Ph \ l h .y ]

Fig. 4.20.

36 Capitolul 4

Planul de nivel poate să conţină o dreaptă orizontală D (fig. 4.2La) şi dreptele perpendiculare la planele de proiecţie la care şi N este perpendicular, dreapta de capăt D şi dreapta fronto-orizontală F0 (fig. 4.2l.b).

I

N v ^ | %

z

i* N|_= d 11

ii

x iy

h:

fo

iyd h) Fig. 4.21.Planul de front poate să conţină o dreaptă frontală F (fig. 4.22.a), o dreaptă

verticală D şi o dreaptă fronto-orizontală F0 (fig. 4.22.b).

kz

0

FL®d*'

h» yi

d H h b ) ţ y

/

Fig. 4.22.Planul de profil poate să conţină o dreaptă de profil D (fig. 4.23a), o dreaptă

verticală D (fig. 4,23b) sau o dreaptă de capăt T (fig. 4.23c).

-*0-

Pv«d'

©Hd s h7

d"

w» yi

izV

yy b)

pxsV

PH2t t y c)Fig. 4.23.

Dintre dreptele conţinute în planul oarecare de o importanţă deosebită sunt liniile de cea mai mare pantă faţă de planele de proiecţie, linii care fac cel mai mare unghi cu planul respectiv.

Linia de cea mai mare pantă faţă de planul orizontal de proiecţie D este o dreaptă perpendiculară pe toate orizontalele planului, deci şi pe urma PH a planului (fig. 4.24.a). Dreapta fiind conţinută în planul P are urmele pe urmele de acelaşi fel ale

Planul 37

r lanului. Această linie măsoară, între ea şi proiecţia ei pe planul orizontal de proiecţie, : r"_ mai mare unghi. Linia de cea mai mare pantă faţă de planul orizontal de proiecţie letermină singură planul care o conţine.

Linia de cea mai mare pantă D faţă de planul vertical de proiecţie este o rreaptă perpendiculară pe toate frontalele planului (fig. 4,24 .b). Linia de cea mai mare p antă are importanţă practică inginerească la stabilirea pantei acoperişurilor, a pantei .crărilor de terasamente (săpături sau umpluturi). In lungul acestei linii curge apa, deci

rjnt necesare măsuri tehnice de protejare.

Un punct pentru a fi conţinut într-un plan trebuie să se găsească pe o dreaptă : :rpnută în plan (fig. 4.25),

O figură oarecare, un triunghi, pentru a fi conţinut într-un plan oarecare trebuie : iibă vârfurile situate pe drepte conţinute în plan (fig. 4.26) sau laturile triunghiului- i e drepte conţinute în plan.

4.5.2. Dreapta este paralelă cu planul

O dreaptă este paralelă cu un plan atunci când este paralelă cu o dreaptă -m ută în plan (fig. 4.27). Dreapta D este paralelă cu dreapta T, care aparţine

38 Capitolul 4

planului P, deci dreapta D este paralelă cu planul P.

4.5.3. Dreapta intersectează planul

O dreaptă intersectează un plan dacă nu aparţine planului şi dacă nu este paralelă cu planul. în astfel de probleme mai întâi se determină punctul de intersecţie dintre dreaptă şi plan apoi se stabileşte vizibilitatea dreptei, în ipoteza că planul este opac. Punctul de intersecţie dintre dreapta D oarecare şi planul P. cu unghi ascuţit se determină prin considerarea unei drepte acoperitoare T, care are aceeaşi proiecţie verticală (fig. 4.28). Se determină proiecţia orizontală t a dreptei care aparţine planului P şi care intersectează proiecţia orizontală d în i, proiecţia orizontală a punctului de intersecţie I. Proiecţia verticală a punctului de intersecţie se găseşte la intersecţia liniei de ordine din i’ cu d’.

Pentru studiul vizibilităţii dreptei D faţă de planul P se folosesc puncte acoperitoare. Pentru determinarea vizibilităţii în proiecţie verticală se consideră proiecţiile verticale ale punctelor A de pe dreapta D şi V de pe dreapta T. Coborând linie de ordine din a ’, respectiv v’, se observă că punctul A are depărtarea mai mare, deci în proiecţie verticală se vede punctul A şi proiecţia verticală a dreptei D, până la i’.

Pentru determinarea vizibilităţii în proiecţie orizontală se consideră punctele acoperitoare B de pe urma orizontală PH a planului şi C de pe dreapta D. Deoarece cota punctului C este mai mare decât cota punctului B, punctul C este văzut în proiecţie orizontală, deci şi proiecţia orizontală d a dreptei este văzută până la i.

în cazul unei drepte de profil D, care intersectează planul oarecare P, punctul de intersecţie se determină folosind un plan auxiliar de profil Q (fig'. 4.29.a). Planul Q intersectează planul P după o dreaptă de profil T a cărei proiecţie laterală intersectează pe d” în i” . Celelalte proiecţii ale punctului se determină cu linii de ordine. Vizibilitatea dreptei se determină din proiecţia laterală, privind în sensul arătat de săgeţi, pentru cele două plane de proiecţie.

Intersecţia dreptei cu planul proiectant la H se determină în planul orizontal.

Planul 39

-~de d intersectează urma PH în i. Proiecţia verticală i’ se găseşte cu linie de ordine- iicată până la intersecţia cu d’ (fig. 4.29.b).

Intersecţia dreptei cu planul proiectant la V se determină în acelaşi fel (fig.

Fig. 4.29.

O aplicaţie a acestei probleme este determinarea interseGţiei dintre două plăci -nghiulare (fig. 4.30). Problema se rezolvă prin considerarea"'triunghiului ABC ca in şi a triunghiului RST ca segmente de dreaptă care intersectează planul _-ghiului ABC. Se acoperă latura ST cu dreapta Di şi se determină punctul M de ■frsecţie apoi se acoperă latura RS cu dreapta D2 şi se determină punctul N de

intersecţie. In continuare se studiază vizibilitatea laturilor triunghiurilor, aşa cum s-a prezentat mai sus şi se figurează laturile triunghiurilor ca atare (văzute sau nevăzute).

O categorie aparte a dreptelor care intersectează planul sunt dreptele perpendiculare pe plan.

Pentru ca o dreaptă să fie perpendiculară pe un plan este necesar şi suficient ca să aibă proiecţiile perpendiculare pe urmele de acelaşi fel (fig. 4.31), deci d 1 PH şi d’ 1 Pv.

O dreaptă perpendiculară la un plan dat de două drepte paralele trebuie şi fie perpendiculară pe o dreaptă conţinută în acest plan (fig. 4.32), deci s’ _L t’ şi s JL t. Pentru a construi o singură dreaptă perpendiculară se consideră un punct M prin a cărui proiecţii se trasează proiecţiile dreptei, de acelaşi fel.

40 Capitolul 4

Fig. 4.31. Fig. 4.32.

4.6. Poziţia relativă a două planeDouă plane, unul faţă de altul, pot să fie confundate, paralele sau concurente.

4.6.1. Plane confundate

Două plane sunt confundate atunci când au urmele de acelaşi fel confundate.

4.6.2. Plane paralele

Planele paralele au urmele de acelaşi fel paralele (fig. 4.33). Pentru ca un plan dat prin urme să fie paralel cu planul dat de două drepte concurente, trebuie să conţină două drepte paralele cu dreptele date (fig. 4.34.a).

Fig. 4.33.Pentru a figura un plan care să conţină un punct şi să fie paralel cu un plan dat

prin urme, se construieşte o dreaptă care conţine punctul şi este paralelă cu planul dat. Prin urmele dreptei se trasează urmele planului căutat, paralele cu urmele de acelaşi fel ale planului dat (fig. 4.34.b).

R.

Planul 41

4.6.3. Plane intersectate

Două plane pot să fie concurente sub un unghi oarecare sau la 90 °, deci pot să 5e perpendiculare.

Problema care se pune în cazul planelor concurente este aceea de a determina :roiecţiile dreptei de intersecţie. Pentru determinarea proiecţiilor dreptei de intersecţie iintre două plane oarecare, P şi R date prin urme, se intersectează urmele verticale care iau urma verticală v’, apoi se intersectează urmele orizontale care dau urma orizontală h a dreptei de intersecţie. După determinarea urmelor, proiecţiile dreptei de intersecţie

: rasează prin h-v, respectiv h ’-v’ (fig. 4.35.a).In acelaşi mod se procedează atunci când se intersectează un plan cu unghi

lir jţit cu un plan cu urme în prelungire (fig. 4.35.b).Dacă cele două plane care se intersectează au urmele din acelaşi plan de

—: lecţie paralele, înseamnă că urma dreptei din acel plan se află la infinit, deci —: lecţia respectivă a dreptei de intersecţie este paralelă cu urmele respective ale■ anelor (fig. 4.36.a).

Pentru determinarea dreptei de intersecţie dintre două plane care intersectează -u . Ox în acelaşi punct (fig. 4.36.b), trebuie să se figureze şi urmele laterale ale- -ne'.or. la intersecţia cărora se află urma laterală a dreptei de intersecţie. Proiecţiile

se trasează prin urmele: laterală, orizontală şi verticală, ultimele două fiind a r ; _r. date cu punctul de intersecţie a urmelor planelor pe axa Ox.

42 Capitolul 4

In cazul intersecţiei unui plan oarecare cu unghi ascuţit cu un plan proiectant proiecţia dreptei, din planul de proiecţie la care planul este proiectant, se confundă cu urma planului (fig. 4.37,a).

</

/ A « kIcrÎ

y o,\ y i /

Ha) b) Fig. 4.37.

Dacă se intersectează un plan oarecare cu un plan paralel la unul din planele de proiecţie, una din proiecţiile dreptei de intersecţie coincide cu urma planului paralel iar cealaltă este paralelă cu urma planului oarecare, de pe acelaşi plan de proiecţie (fig. 4.37.b).

Planul proiectant P, la planul orizontal de proiecţie, intersectat cu un plan de front F determină o dreaptă verticală (fig. 4.38.a) iar planul P proiectant la V, intersectat cu un plan de front F, determină o dreaptă frontală (fig. 4,38.b).

Fig. 4.38.

Două plane proiectante la acelaşi plan de proiecţie, P şi R, se intersectează după o dreaptă, perpendiculară şi ea, pe acelaşi plan de proiecţie- (fig. 4.38.c).

Pentru determinarea dreptei de intersecţie a două plane oarecare P şi R, a căror urme verticale nu se intersectează pe planul foii, se foloseşte un plan auxiliar N, de nivel. în acest caz, planul N intersectează planul P după dreapta Di şi planul R după dreapta D2. Punctul de intersecţie I a celor două drepte, împreună cu urma orizontalăH, determină dreapta de intersecţie D (fig. 4.39.a).

Dreapta de intersecţie dintre un plan dat de două drepte concurente Dj şi D2 şi un plan de nivel N are proiecţia verticală d’ confundată cu urma planului. Proiecţia orizontală d a dreptei se determină prin unirea proiecţiilor orizontale 1 şi 2, ale punctelor rezultate din intersectia urmei planului cu proiecţiile verticale ale dreptelor (fig. 4.39.b).

Planul 43

Pentru determinarea dreptei de intersecţie dintre planul dat de două drepte . : -curente Di şi D2 şi planul dat de două drepte paralele D3 şi D4, se folosesc două : .ine auxiliare, N şi F, paralele cu planele de proiecţie (fig. 4.40). Planul de nivel N --jsectează planul dreptelor concurente după dreapta Tj şi planul dreptelor paralele :_pl dreapta Si. Cele două drepte se intersectează în punctul A, care aparţine celor

: _i plane date, deci şi dreptei de intersecţie D.Planul de front F (sau alt plan de nivel) intersectează cele două plane după alte

. 2 drepte, T2 şi S2, care se intersectează, la rândul lor, în punctul B. Cele două■ ~ ::s. A şi B, care aparţin ambelor plane, determină dreapta de intersecţie D.

e perpendiculare între ele sunt plane concurente. Un plan R este perpendicular pe . - ir. P dacă este perpendicular pe o dreaptă conţinută în acel plan. Problema care se■ - r ; in această situaţie este de a determina urmele unui plan care să fie perpendicular ■x ii: pian. Pentru aceasta se figurează o dreaptă D, conţinută în planul P, după care se

- m l urma orizontală RH a planului căutat, perpendiculară pe proiecţia orizontală a ~r—'r _ D (fig. 4.41). Urma verticală Rv se trasează perpendicular pe d \ prin punctul

nosecţie a urmei orizontale RH cu axa Ox, Rx.

44 Capitolul 4

Probleme propuse

1. Să se determine urmele planului

Fig. 4.41.

definit de o dreaptă oarecare şi un punct din triedrul I (fig. 4.1).

2. Să se determine urmele planului definit de o dreaptă oarecare D şi un punct A care aparţine planului lateral L.

3. Să se determine urmele planului definit de o dreaptă oarecare D şi un punct M situat în planul orizontal.

4. Să se determine urmele planului definit de o frontală D şi o dreaptă de profil T, concurente.

5. Să se determine urmele planului definit de o dreaptă oarecare D concurentă cu o dreaptă verticală R.

6. Să se determine urmele planului definit de un punct A situat pe axa Ox şi o dreaptă orizontală D.

7. Să se determine urmele planului definit de de un punct M de pe axa Ox şi o fronto-orizontală D.

8. Să se determine urmele planului definit de trei puncte necoliniare: A(4, 5,2);B (5,7, 5) şi C(3, 9, 6).

9. Să se determine urmele planului definit de două drepte, D şi R, concurente ' în punctul M de pe axa Ox (fig. 3.12).

10. Să se determine dreapta de intersecţie dintre planul P cu unghi ascuţit şi planul R cu unghi obtuz.

11. Să se determine dreapta de intersecţie dintre planul P cu unghi ascuţit şi planul R perpendicular la V.

12. Să se determine dreapta de intersecţie dintre planul P perpendicular la L şi planul S (bisector de simetrie).

19. Intr-un plan P dat prin urme, să se reprezinte o dreaptă frontală F de depărtare lOmm şi o dreaptă orizontală R de cotă 15 mm.

20. Intr-un plan P, definit de două drepte concurente D şi R, să se reprezinte o dreaptă oarecare T, o frontală F şi o dreaptă orizontală O.

21. Printr-un punct A .care aparţine unui plan P proiectant la H, să se reprezinte un triunghi oarecare la care una din laturi este o orizontală a planului P.

2 - 2 5 - V

c)

C A P I T O L U L 5

METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

Rezolvarea unor probleme de geometrie descriptivă este dificilă atunci când r.ementele se dau în poziţii oarecare, Pentru simplificarea rezolvării trebuie să se ¿plice diferite metode de transformare, prin care elementele ajung în poziţii particulare iată de planele de proiecţie. Metodele de transformare ale proiecţiilor sunt: metoda :chtmbării planelor de proiecţie, metoda rotaţiei şi metoda rabaterii.

5.1. METODA SCHIMBĂRII PLANELOR DE PROIECŢIE

5

Caracteristic metodei schimbării planelor de proiecţie este faptul că iminentele rămân pe loc, iar unul din planele de proiecţie îşi schimbă poziţia, astfel ca ijementul să ajungă într-o poziţie particulară faţă de planul schimbat. Dacă tot nu s-a ijuns la poziţia dorită se continuă cu a doua schimbare, a celuilalt plan de proiecţie.

5.1.1. Schimbarea planelor de proiecţie pentru punct

Punctul A din diedrul I are proiecţia orizontală a şi proiecţia verticală a' pe : Urnele de proiecţie H şi V. Dacă proiecţia verticală a' nu satisface o anumită condiţie -.rusă se recurge la schimbarea planului vertical de proiecţie, păstrându-se poziţia

: .netului în spaţiu, planul orizontal H şi proiecţia punctului a, pe acest plan. Noul plan r-rical Vi este perpendicular pe planul orizontal, pe care-1 va intersecta după o altă

ixă, OiX, a cărei orientare se stabileşte astfel ca punctul să rămână în diedrul I (fig.. . format de planul orizontal H şi planul vertical V], Proiecţia verticală a'i pe planul se determină pe linie de ordine trasată din proiecţia orizontală a, perpendiculară la

ix î OjXi, pe care se măsoară cota punctului A, de la axa OiXj, în planul vertical Vj,

46 Capitolul 5

Atunci când se doreşte schimbarea planului orizontal de proiecţie se menţine planul vertical şi proiecţia verticală a punctului. Noul plan orizontal de proiecţie Hi este perpendicular pe planul vertical V, pe care-1 intersectează după axa O ^ . Sensul pozitiv al axei se determină în acelaşi fel ca la exemplul anterior. Noua proiecţie orizontală a: se găseşte pe linia de ordine trasată din proiecţia verticală v', perpendicular la axa O 1X1, pe care se măsoară depărtarea punctului A, de la axa Oix1; în planul orizontal Hi (fig. 5.2).

Paralelizarea şi perpendicularizarea dreptei

Schimbarea unui plan de proiecţie pentru o dreaptă se reduce la schimbarea planului pentru două puncte, A şi B, de pe dreaptă. Schimbarea unui plan de proiecţie pentru o dreaptă se face pentru a transforma o dreaptă oarecare în dreaptă paralelă la unul din planele de proiecţie, deci pentru a paraleliza dreapta şi apoi, succesiv, pentru a transforma dreapta paralelă în dreaptă perpendiculară la celălalt plan de proiecţie, deci pentru a o perpendiculariza.

Pentru transformarea unei drepte oarecare într-o dreaptă paralelă la unul din planele de proiecţie, deci pentru paralelizarea dreptei, se alege noul plan astfel ca axa OiX] să fie paralelă la proiecţia care nu se schimbă a dreptei.

Transformarea dreptei oarecare în frontală se face printr-o schimbare de plan vertical (fig. 5.3.a). Axa OiXi se ia paralelă cu proiecţia orizontală d a dreptei, după care se procedează la schimbarea de plan pentru două puncte de pe dreaptă, obţinându-se noua proiecţie verticală a dreptei, d'i.

Se observă că noua proiecţie verticală a dreptei dă adevărata mărime a unghiului a pe care dreapta îl face cu planul orizontal H şi că pe aceeaşi proiecţie se pot măsura adevărate mărimi ale segmentelor, conform celor menţionate la paragraful 3.2.

Transformarea dreptei oarecare în orizontală se face în mod analog (fig. 5.3.b), prin schimbarea planului orizontal, respectiv trasarea axei OiXi paralelă cu proiecţia verticală d' a dreptei, după care se face schimbarea de plan pentru două puncte de pe dreaptă. In acest caz noua proiecţie orizontală d, a dreptei dă adevărata mărime a unghiului P pe care dreapta îl face cu planul vertical de proiecţie. De asemenea, pe

Metodele geometriei descriptive 47

i:eastă proiecţie se pot măsura adevărate mărimi ale segmentelor, lucru deosebit de j^portant la problemele practice.

Perpendicularizarea dreptei se rezolvă prin două schimbări succesive de plan. Li prima schimbare dreapta oarecare se transformă în dreaptă paralelă la unul din : binele de proiecţie, iar la a doua schimbare de plan dreapta, paralelă cu planul după : Lrimbarea anterioară, se transformă în perpendiculară la celălalt plan de proiecţie.

Dreapta oarecare se transformă în dreaptă frontală după o schimbare de plan- rrtical, aşa cum s-a prezentat mai sus, apoi printr-o altă schimbare de plan, de data ;:easta a celui orizontal, dreapta frontală se transformă în dreaptă verticală. Pentru a ::ua schimbare de plan se trasează axa 0 2x2 perpendicular pe proiecţia verticală d 'i a îreptei, obţinută după prima schimbare de plan. Pe linia de ordine trasată t frpendicular la 0 2x2, din a 'j şi b 'i, se măsoară depărtarea din epura OiXi, care fiind _:eeaşi pentru orice punct de pe dreaptă, rezultă un punct. Acest punct este noua —::ecţie orizontală a dreptei, d2, deci dreapta rezultată este o verticală (fig. 5.3.a).

Dreapta oarecare se transformă în dreaptă de capăt făcând o schimbare de plan -zontal, pentru transformarea ei în orizontală apoi, a doua schimbare, a planului r~c.al pentru transformarea dreptei orizontale în dreaptă de capăt. La a doua ihimbare de plan axa 0 2x2 se trasează perpendicular pe dj, proiecţia orizontală a

rrp te i (fig. 5.3.b). Noua proiecţie verticală se obţine prin transpunerea cotei din epuraI . pe linia de ordine comună celor două puncte de pe dreaptă.

5.1.3. Schimbarea planelor de proiecţie pentru plan Perpendicularizarea şi paralelizarea planului

La prima schimbare de plan, pentru un plan dat prin urme, se transformă- - oarecare în plan proiectant, deci se perpendicularizează planul. Astfel, la. rimbarea planului vertical de proiecţie axa OiXj se trasează perpendicular pe urma -i:n ta lă PH a planului. Pentru determinarea noii urme verticale se procedează la- -imbarea de plan vertical pentru un punct A conţinut în planul P (fig. 5.4.a). în acest .: p se trasează orizontala, conţinută în planul P, prin punctul A apoi se măsoară cota

48 Capitolul 5

punctului şi se determină proiecţia verticală a \ , prin care trece urma verticală PVi, deoarece punctul A este conţinut în planul P.

La schimbarea planului orizontal de proiecţie, pentru planul P dat prin urme, se procedează la fel, deci se trasează noua axă O-X) perpendiculară pe urma verticală Pv, după care se face schimbarea de plan orizontal pentru un punct A ce aparţine planului P (fig. 5.4.b). Noua urmă orizontală PHi trece prin noua proiecţie orizontală a] a punctului A.

Se observă că, pentru simplificarea rezolvării, se pot folosi puncte situate pe urmele planului; la schimbarea planului vertical de proiecţie un punct V de pe urma verticală, iar la schimbarea planului orizontal de proiecţie un punct H de pe urma orizontală a planului.

Pentru paralelizarea planului la unul din planele de proiecţie se trasează o nouă axă 0 2x2, paralel cu urma determinată anterior, apoi se face schimbarea de plan pentru punctele conţinute în plan fig. (5.5.b). Noua proiecţie a punctului se notează cu literă mare deoarece, împreună cu alte puncte, determină adevărata mărime a figurilor conţinute în plan.

5.1.4. Adevărata mărime a triunghiului

a. Triunghi conţinut într-un plan cu urme în prelungirePentru determinarea adevăratei mărimi a unor figuri geometrice trebuie ca

planul în care acestea sunt conţinute să se transforme în plan paralel la unul din planele de proiecţie, ceea ce se realizează prin două schimbări de plan.

Adevărata mărime a triunghiului conţinut în planul cu urme în prelungire se determină prin transformarea planului, prin metoda schimbării planelor de proiecţie, în plan proiectant la planul vertical apoi în plan paralel la planul orizontal. Transformarea planului în plan proiectant se realizează cu ajutorul unei orizontale, trasată prin-un vârf al triunghiului, conţinută în planul P. După prima schimbare de plan proiecţia verticală a triunghiului se suprapune urmei verticale PVi, deci planul triunghiului devine plan proiectant.

Pentru a transforma, în continuare, planul proiectant în plan paralel, se consideră axa 0 2x2 paralelă cu urma verticală PV1 (fig. 5.5.a). Proiecţia orizontală a


—unghiului se determină prin unirea punctelor de pe liniile de ordine coborâte din vârfurile triunghiului, pe care s-au măsurat depărtările din epura OiXi.

b. Triunghi dat prin proiecţii

Pentru determinarea adevăratei mărimi a unui triunghi dat prin proiecţii se face o primă schimbare de plan folosindu-se o dreaptă conţinută în planul triunghiului, -rspectiv o orizontală. A doua schimbare de plan se face luându-se axa 0 2x2, paralelă . Ttoiecţia determinată după prima schimbare de plan a triunghiului, sau confundată . - iceasta. Proiecţia orizontală după a doua schimbare de plan se determină la fel ca la —rblema anterioară (fig. 5.10.b) şi este adevărata mărime a triunghiului.

5.1.5. Epura triunghiului echilateral

Dacă se dă un plan oarecare P prin urme, un punct A care aparţine planului P cngimea laturii triunghiului echilateral, se procedează la două schimbări succesive plan, pentru determinarea proiecţiei orizontale a, a punctului. Se construieşte

- ::ecţia orizontală a triunghiului echilateral cu latura dată după care se revine în : fanul vertical Vi, cu linii de ordine perpendiculare la 0 2x2, până pe urma verticală

Proiecţia orizontală a triunghiului se determină cu linii de ordine perpendiculare . « a OiXb pe care se măsoară depărtarea din epura 0 2x2. Proiecţia verticală se :::ermină cu linii de ordine din proiecţia orizontală, perpendiculare la axa Ox, pe care : măsoară cotele punctelor din epura OiXj (fig. 5.6).

5.1.7. Epura cercului

Se cunosc urmele planului oarecare P care conţine centrul cercului şi mărimea R Se efectuează două schimbări de plan pentru centrul cercului după care se

- : ruieşte proiecţia cercului cu raza R. Pentru determinarea proiecţiilor cercului se -. i irează proiecţia acestuia într-un pătrat cu laturile egale cu 2R şi paralele, respectiv

- e-rendiculare, la axa 0 2x2 (fig. 5.7), după care se revine, cu vârfurile pătratului şi cu- _-.::ele de tangenţă ale laturilor cu cercul, în planele Vh H şi V.

Fig. 5.5.

50 Capitolul 5

în planul vertical V! toate proiecţiile se află pe urma PVi a planului. în planul H proiecţia cercului este o elipsă înscrisă într-un dreptunghi, iar în V tot o elipsă, înscrisă într-un paralelogram.

5.2. METODA ROTATIEI9

Toate problemele care se rezolvă prin metoda schimbării planelor de proiecţie se pot rezolva şi prin metoda rotaţiei.

Prin rotaţie, în jurul unui ax fix oarecare, fiecare punct al sistemului care se roteşte se deplasează într-un plan perpendicular pe axul de rotaţie. Un punct se deplasează pe un cerc a cărui centru se află pe axul de rotaţie. Dacă unul din punctele elementului care se roteşte se află pe ax, acest punct rămâne nemodificat.

Axul de rotaţie poate să fie dat sau ales. In cazul în care axul de rotaţie se alege, acesta va fi o dreaptă verticală sau o dreaptă de capăt, deoarece în acest fel construcţia se simplifică. Rotaţiile care se execută în jurul unor drepte orizontale,

Fig. 5.8.frontale, oarecare etc. se numesc rotaţii speciale şi se folosesc mai rar, de obicei în combinaţie cu o altă metodă.

In cazul metodei rotaţiei planele de proiecţie rămân pe loc iar elementele dir.


: t 2îiu se rotesc, cu un anumit unghi sau până la o poziţie particulară impusă. Spre leosebire de metoda schimbării planelor de proiecţie, unde se modifică o singură rroiecţie, la metoda rotaţiei se modifică ambele proiecţii.

5.2.1. Rotaţia de nivel

în rotaţia de nivel axul de rotaţie este o dreaptă verticală (fig. 5.13). Printr-un : unct oarecare A se figurează planul N, perpendicular pe axul de rotaţie, deci paralel : j planul H. în timpul rotaţiei punctul A descrie, în planul N, un cerc cu raza R care : ste lungimea perpendicularei din A la axul de rotaţie.

Cercul descris de punctul A se proiectează pe planul orizontal iară a se forma. Proiecţiile pe planele V şi L sunt drepte paralele cu Ox şi Oy. Axul de rotaţie

îm d paralel cu axa Oz se notează cu Z. Unghiul cu care se roteşte punctul A poate fiii.: sau rotaţia se face astfel ca punctul să ajungă într-o anumită poziţie, sau pe unul i n planele de proiecţie.

5.2.2. Rotatia de front

în rotaţia de front punctai A se roteşte într-un plan de front, deci în jurul unuiix dreaptă de capăt (fig. 5.9). Punctul A descrie un cerc care se proiectează■ r deformat pe planul vertical de proiecţie şi după drepte paralele cu axele Ox şi Oz pe- linele H şi L. Axul de rotaţie fiind paralel cu axa Oy se notează cu Y.

5.2.3. Rotaţia punctului

Un punct se roteşte în jurul unui ax atunci când se urmăreşte aducerea : -rc rJu i într-un plan anume. Dacă punctul A trebuie adus în planul vertical de —: rc ::e se alege axul de rotaţie Z pentru ca proiecţia orizontală a punctului să poată fix i. r in ă pe axa Ox (fig. 5.15.a). Proiecţia verticală se determină cu linie de ordine he i la aceeaşi cotă.

52 Capitolul 5

Dacă un punct B trebuie adus în planul bisector de simetrie este necesar să se efectueze o rotaţie în jurul unui ax până când depărtarea şi cota ajung egale (fig. 5.15.b). Considerând axul de rotaţie Y, se trasează, în planul V, o dreaptă paralelă cu Ox (orizontală), la o cotă egală cu depărtarea punctului.Punctul B se roteşte până când proiecţia verticală ajunge pe dreapta trasată. Proiecţia orizontală se determină cu linie de ordine având în vedere că depărtarea punctului rămâne aceeaşi.

Fig. 5.10.

Un punct oarecare C, care trebuie adus prin rotaţie în planul a două drepte concurente, se roteşte într-un plan de nivel până când proiecţiile punctului ajung pe orizontala conţinută în planul dreptelor, care are aceeaşi cotă cu punctul (fig. 5.11.a). După alegerea axului de rotaţie şi figurarea proiecţiilor dreptei orizontale, conţinută în planul dreptelor concurente, la cota punctului considerat, se roteşte proiecţia orizontală a punctului până pe proiecţia orizontală a dreptei, după care se determină proiecţia verticală a punctului, cu linie de ordine.

Un alt punct E, care trebuie adus într-un plan oarecare dat prin urme, se roteşte în jurul unui ax până pe o dreaptă conţinută în plan (fig. 5.1 l.b). Dacă se alege axul de rotaţie Y, deci se face o rotaţie de front, se construieşte frontala conţinută în planul dat, care are aceeaşi depărtare cu cea a punctului E. Se execută o rotaţie în planul vertical până când proiecţia verticală a punctului ajunge pe proiecţia verticală a frontalei, după care se determină proiecţia orizontală a punctului cu linie de ordine trasată din e',.

Fig. 5.11.

5.2.4. Rotaţia dreptei

A roti o dreaptă înseamnă a roti două puncte ale ei în acelaşi sens şi cu acelaşi unghi. Pentru a efectua o rotaţie de nivel a dreptei D (fig. 5.12.a) se iau două puncte arbitrare de pe dreaptă, I şi II, care se rotesc cu unghiul a . Proiecţiile verticale ale punctelor după rotaţie se determină cu linii de ordine. Pentru a nu măsura de două ori unghiul a se recomandă alegerea unui punct I, pentru care se face rotaţia, piciorul perpendicularei din z pe proiecţia d. în acest fel se face rotaţia punctului I cu unghiul


:: si se trasează proiecţia orizontală d t a dreptei rotite. Punctul II este necesar doar rentru determinarea proiecţiei verticale a dreptei.

In acelaşi fel se procedează pentru rotaţia de front a unei drepte (fîg. 5.12.b) Lzmci când axul de rotaţie nu intersectează dreapta.

Rezolvarea rotaţiei se simplifică şi mai mult atunci când axul de rotaţie nersectează dreapta. în acest caz, unul din punctele pentru care se face rotaţia este : -.ctul de intersecţie cu axul, care rămâne pe loc, cel de al doilea punct rotindu-se cu -T-ghiul a dat sau până pe când ajunge la o anumită depărtare (fig. 5.13.a).

La rotaţia de nivel noua proiecţie orizontală a dreptei trece prin punctul de / - :T3ecţie cu axul şi prin proiecţia orizontală a punctului II rotit cu unghiul a.

Fig. 5.12.

lecţia verticală se determină cu linii de ordine.In cazul rotaţiei de front, în jurul unui ax concurent cu dreapta, se procedează

. nod analog, axul de rotaţie fiind un ax de capăt, proiecţia verticală rotindu-se cu- ¿nul dat sau până atinge o anumită cotă (fig. 5.13.b).

5.2.5, Rotaţia planului dat prin urmePentru a executa o rotaţie de nivel cu un plan dat prin urme, cu unghiul

rrcare a, se efectuează rotaţia unei drepte oarecare D, conţinută în planul P, care

* L | 0 ,1

I

d j l ^

b) Fig. 5.13.^sectează axul de rotaţie (fig. 5.19.a) şi a cărei proiecţie orizontală este

— rndiculară pe urma orizontală a planului P. După rotirea dreptei cu unghiul a —_ nzontală a planului trece prin hi şi este perpendiculară pe dx iar urma verticală : aniihii trece prin Pxi şi vV

54 Capitolul 5

Rotaţia de front a unui plan oarecare dat prin urme (fig. 5.14.b) se execută în acelaşi fel, folosindu-se o dreaptă conţinută în plan, de exemplu o frontală care se roteşte prin intermediul unui punct N conţinut cu unghiul a . Urma verticală a planului, după rotaţie, este paralelă cu f 1; trece prin m'i şi determină un punct pe axa Ox,

respectiv Pxl. Urma orizontală a planului rotit se trasează prin Pxl şi hj.Şi în cazul rotaţiei planului problema se simplifică atunci când axul de rotaţie

este conţinut într-un plan de proiecţie. Pentru a executa o rotaţie de nivel a unui plan oarecare, în jurul unui ax vertical situat în planul V, se roteşte dreapta conţinută în plan, care intersectează axul de rotaţie şi este perpendiculară pe PH în m. Se roteşte m cu unghiul a , se trasează proiecţia orizontală a dreptei prin z şi mj, se trasează urma PHi prin mls perpendicular la n^z, apoi se trasează PVi prin Px] şi n ’, punctul de intersecţie a planului cu axul de rotaţie (fig. 5.15.a).

Pentru a executa o rotaţie de front în jurul unui ax conţinut în planul orizontal de proiecţie se procedează în mod analog (fig. 5.15.b).

5.2.6. Paralelizarea şi perpendicularizarea dreptei

Prin paralelizarea dreptei se înţelege transformarea unei drepte oarecare într-o dreaptă paralelă la unul din planele de proiecţie.

Prin perpendicularizarea dreptei se înţelege transformarea unei drepte, paralelă cu unul din planele de proiecţie, în dreaptă perpendiculară la celălalt plan de proiecţie


rg. 5.16.a).O dreaptă oarecare D este transformată într-o dreaptă frontală Dj, printr-o

rr-aţie de nivel, fară a mai măsura un unghi oarecare a. Acest unghi se poate iterm ina după ce s-a trasat proiecţia orizontală a dreptei, dl5 paralel cu axa Ox. După : terminarea proiecţiei verticale a dreptei, d ',, prin considerarea unui ax de rotaţie de- i~&t se efectuează a doua rotaţie, de front, astfel ca dreapta să devină o verticală, reatru a doua rotaţie se construieşte perpendiculara din y' la dS şi se execută rotaţia : iz i când perpendiculara ajunge paralelă la Ox, deci d'i ajunge perpendiculară pe şi

; având în vedere că depărtarea este aceeaşi cu a lui dj.Dacă prima rotaţie a unei drepte se face în jurul unui ax de capăt dreapta se

Txnsformă în orizontală. în continuare, cu un ax vertical, orizontala se transformă în ireaptă de capăt (fig. 5.16.b).

5.2.7. Perpendicularizarea şi paralelizarea planului

Spre deosebire de dreaptă un plan oarecare, la prima rotaţie, este transformat în plan proiectant după care, la a doua rotaţie, este transformat în plan paralel la unul din planele de proiecţie.

Un plan oarecare P care se roteşte în jurul unui ax vertical, cu ajutorul unei orizontale conţinute, se transformă în plan proiectant la planul vertical de proiecţie, rotaţia urmei orizontale efectuându-se până când urma ajunge perpendiculară la axa Ox. Urma

=" : ilă PV1 se determină cu ajutorul unui punct A, situat pe orizontala planului (fig.

56 Capitolul 5

A doua rotaţie se face în jurul unui ax de capăt, cu planul proiectant. Se roteşte urma verticală PV1 până când ajunge în poziţie paralelă la axa Ox, deci planul devine un plan de nivel, care nu are urmă orizontală. Proiecţia orizontală a unei figuri conţinute în acest plan se determină cu linii de ordine şi reprezintă adevărata mărime a figurii.

5.2.8. Adevărata mărime a unui triunghi

Adevărata mărime a figurilor geometrice se poate determina şi prin metoda rotaţiei. Dacă se consideră un triunghi conţinut în planul oarecare P dat prin urme, pentru a se determina adevărata mărime a triunghiului este necesar să se efectueze două rotaţii consecutive, pentru a transforma planul oarecare în plan paralel la unul din

planele de proiecţie (fig. 5.27). Pentru efectuarea primei rotaţii se consideră că vârfurile triunghiului sunt situate pe trei orizontale ale planului. Se alege un ax de rotaţie vertical Z şi se transformă orizontalele în drepte de capăt şi planul oarecare în plan perpendicular la planul vertical. A doua rotaţie se efectuează în jurul unui ax de capăt Y, planul perpendicular transformându-se în plan de nivel. Proiecţia orizontală a triunghiului, după cea de a doua rotaţie, este adevărata mărime căutată.

Dacă triunghiul este dat prin proiecţiile vârfurilor se procedează în mod analog (fig. 5.19).

Pentru rezolvare se figurează o orizontală conţinută în planul triunghiului, dacă prima rotaţie este o rotaţie de nivel, sau o frontală dacă prima rotaţie este de front. Rotaţia se face astfel ca orizontala să devină dreaptă de capăt, în această situaţie


~::ecţia verticală a triunghiului devine o dreaptă. Cea de a doua rotaţie se realizează- irul unui ax de capăt figurat chiar în vârful Ai a triunghiului. Se roteşte figura până m i linia pe care se proiectează vârfurile triunghiului ajunge paralelă la axa Ox, după sre se determină proiecţia orizontală a triunghiului, care este chiar adevărata mărime

iîntată.în acelaşi mod se procedează pentru orice figură plană. Acelaşi rezultat se

r r re şi în cazul în care prima rotaţie este de front şi cea de a doua de nivel.

5.2.9. Epura pătratului conţinut Intr-un plan oarecare

In anumite situaţii, în care se cunoaşte planul care conţine o anumită figură metrică şi un element al figurii, se poate solicita construirea proiecţiilor figurii,

epura. Problema se rezolvă în două etape. în prima etapă se transformă planul irecare în plan paralel la unul din planele de proiecţie, prin două rotaţii consecutive.

I zneomitent se efectuează şi rotaţia unui vârf a pătratului, a cărui proiecţie este dată : : 5.20). Etapa a doua constă în figurarea adevăratei mărimi a pătratului, latura

.: : rroia fiind dată, după care urmează revenirea cu celelalte trei vârfuri ale pătratului- clanul iniţial, deci construirea epurei. Problema se rezolvă mai simplu dacă pătratul e construieşte cu laturile paralele şi perpendiculare la axa Ox. în situaţia în care iccvărata mărime se construieşte în pianul vertical, laturile pătratului în epură rezultă re iouă frontale ale planului. Dacă pătratul este construit în proiecţie orizontală- n a rotaţie a planului fiind de nivel şi cea dea a doua de front), laturile pătratului, în

=r _ră, rezultă pe două orizontale conţinute în pian.

5.2.10, Rotaţii specialea. Rotaţia punctului în ju ru l altor axeDacă se dă un punct oarecare şi o dreaptă orizontală D, rotaţia punctului în

orizontalei se poate efectua după realizarea unei schimbări de plan, pentru eecsformarea dreptei orizontale în dreaptă de capăt (fîg. 5.21.a).

58 Capitolul 5

Se face rotaţia punctului în jurul axului de capăt Y cu unghiul a, găsindu-se proiecţia b'j, după care se determină proiecţia orizontală b a punctului şi apoi proiecţia verticală b', a cărei cotă se ia din planul Vi.

Dacă axul de rotaţie este o dreaptă fronto-orizontală (fîg. 5.21 .b), rotaţia se realizează în planul lateral L, cu unghiul a , proiecţia laterală a punctului ajungând în a '1!. Proiecţia orizontală şi cea verticală a punctului rotit se determină cu linii de ordine ţinând cont de faptul că rotaţia s-a efectuat într-un plan de profil, deci abscisa punctului nu s-a modificat.

b. Paralelizarea drepteiO dreaptă oarecare poate să fie transformată într-o dreaptă paralelă la planul

orizontal sau vertical de proiecţie şi printr-o rotaţie în jurul unui ax fronto-orizontal (fîg. 5.22.a). După figurarea proiecţiei laterale a dreptei se face o rotaţie în jurul proiecţiei laterale a axului până când proiecţia dreptei ajunge într-o poziţie paralelă sau perpendiculară la axa Oz, dreapta transformându-se în frontală sau orizontală.

c. Rotaţia triunghiului în jurul unei drepte conţinuteRotaţia unui triunghi se poate realiza şi în jurul unei drepte conţinute,

respectiv a unei orizontale sau frontale (fig. 5.22.b). Pentru aceasta se face o


: :himbare de plan şi se transformă dreapta orizontală conţinută în dreaptă de capăt, ::oiecţia triunghiului rezultând o dreaptă. Rotaţia în jurul axului de capăt se poate face : . un unghi oarecare a dat, sau până la paralelizarea proiecţiei triunghiului (dreptei) la iza OjXj caz în care prin revenire în plan orizontal, triunghiul se va proiecta îni ievărată mărime.

Dacă rotaţia se face în jurul unei frontale, aceasta se transformă în dreaptă erîicală iar adevărata, mărime a triunghiului rezultă în planul vertical.

5.3. METODA RABATERIIRabaterea este un caz particular a rotaţiei în care planele se rotesc (rabat), în

■ui unei urme, până când se suprapun pe unul din planele de proiecţie. Rabaterea se : : ite face şi în jurul unor drepte conţinute în plan (orizontale sau frontale) până când ■Linul rabătut ajunge paralel cu unul din planele de proiecţie (orizontal sau vertical).

Deoarece rabaterea se face : t plane de proiecţie sau pe plane Tsralele la acestea, figurile.rrţinute în planul rabătut se —: :ectează în adevărată mărime pe : ¿nul pe care s-a făcut rabaterea.

Operaţia de readucere a■ .inului din poziţia rabătută în cea rrnală se numeşte ridicarea ■o a terii. Prin ridicarea rabaterii se* : :onstrui proiecţiile unor figuri : re. date în adevărată mărime.

5.3.1. Rabaterea: mctului Fig. 5.23.

Se consideră un punct A situat într-un plan oarecare P dat prin urme,rz'rzentat spaţial pe două plane de proiecţie (fig. 5.23).

Pentru rabaterea punctului A pe planul orizontal de proiecţie se foloseşte ca . ie rabatere urma orizontală PH a planului. Se consideră o dreaptă orizontală din• ir P, care conţine punctul A şi a cărei urmă verticală este v \

Dacă se doreşte şi construirea urmei verticale rabătute, PVi, se face rabaterea ~r_ V, apoi se determină poziţia punctului A rabătut. întrucât rabaterea este o

« tz re . se consideră planul R care conţine punctul V şi este perpendicular pe urma ~:: ~rală a planului P, deci este perpendicular şi pe planul orizontal H. Rabaterea

- --.-_iui V în jurul urmei PH se face în planul R, cu raza v0v', până pe urma r- :: ntală a planului R, respectiv pe planul orizontal H, în V i.

Punctul Ai rabătut se determină prin intersectarea orizontalei rabătute r in k la la PH prin Vi) cu perpendiculara din a la PH. Pentru determinarea poziţiei

a r - _-:e a punctului A, în epură, se foloseşte triunghiul de rabatere (fig. 5.24.a).

60 Capitolul 5

Triunghiul de rabatere, a cărui ipotenuză este raza de rabatere, se construieşte cu unghiul drept în a dacă rabaterea se face pe planul orizontal. Catetele triunghiului se găsesc pe perpendiculara din a la PH, în a8, care este centrul de rabatere şi pe paralela la PH, pe care se măsoară cota punctului A, determinându-se aV Raza de rabatere este ipotenuza triunghiului aaoa'] iar centrul de rabatere a0. Se trasează arcul de cerc din a'i până intersectează prelungirea perpendicularei din a la PH unde se determină poziţia punctului A rabătut, respectiv A i.

Dacă trebuie determinată şi urma verticală rabătută, aceasta se determină fíe construind triunghiul de rabatere pentru urma verticală a orizontalei trasată prin A, fie

intersectând orizontala rabătută prin Ai, cu arcul de cerc trasat cu centrul în Px şi cu raza Pxv\ Urma PVi trece prin Px şi PVi.

Rabaterea în jurul urmei verticale Pv se face în acelaşi mod, de această dată triunghiul de rabatere construindu-se în planul vertical, cu unghiul drept în a' şi depărtarea punctului A măsuratăpe paralela la Pv> prin a', respectiv pe frontala conţinută în planului P, trasată prin punctul A (fig. 5.24.b).

5.3.2. Rabaterea dreptelor

O dreaptă oarecare poate fi definită prin două puncte oarecare sau prin urmele ei, orizontală H şi verticală V. Pentru rabaterea dreptei pe planul orizontal este suficient să se determine poziţia urmei verticale rabătute, întrucât urma orizontală, care se găseşte pe PH, prin rabatere rămâne pe loc, deoarece rabaterea se face în jurul urmei orizontale PH (fig. 5.25.a).


Rabaterea uimei V se poate face fie prin construirea triunghiului de rabatere . - unghiul drept în v, fie prin rabaterea directă cu raza Pxv\ Dreapta rabătută D! trece TTUl V] şi H.

La rabaterea dreptei oarecare pe planul vertical urma verticală rămâne pe loc m urma orizontală H se rabate simultan cu urma PH a planului, în Hi (fig. 5.25.b). Treapta rabătută Di trece prin v' şi Hi.

Drepta orizontală D conţinută în planul P se rabate pe planul orizontal în i u l urmei orizontale PH, cu ajutorul urmei verticale V a dreptei (fig. 5.26.a). Dreapta

-u'rătută D! este paralelă cu PH deoarece cota dreptei este constantă, deci nu este - :: esar a se face rabaterea pentru un alt punct de pe dreaptă. Dacă rabaterea dreptei -zontale se face în jurul urmei verticale Pv, prin intermediul unui punct A de pe

u-eaptă, orizontala rabătută Di trece prin Ai şi v \Dacă se face rabaterea şi pentru urma orizontală a planului Ph, se observă că

rm a PHi este paralelă cu D1; deci nici în acest caz nu este necesară rabaterea unui 7-^ct de pe dreaptă dacă iniţial s-a făcut rabaterea urmei orizontale (fig, 5.26.b),

Dreapta frontală F, prin rabatere în jurul urmei orizontale a planului P, carei . mţine, ajunge paralelă cu urma verticală rabătută a planului P (fig. 5.27.a). Aceasta : roate determina prin rabaterea unui punct A de pe dreaptă cu ajutorul triunghiului _: abatere, alt punct fiind urma orizontală H a dreptei, care prin rabatere rămâne pe

Fig. 5.26.

Fig. 5.27.

62 Capitolul 5

Dacă rabaterea frontalei se face pe planul vertical, axul de rabatere fiind urma Pv, dreapta rabătută Fi trece prin urma orizontală rabătută EL şi este paralelă cu Pv (fig. 5.27.b).

Pentru rabaterea unei drepte de profil D, conţinută într-un plan oarecare P. este suficient să se facă rabaterea unei urme a dreptei, cealaltă urmă rămânând pe loc. La rabaterea pe planul orizontal H, dreapta de profil rabătută este determinată dacă se face rabaterea urmei verticale a dreptei, urma orizontală PH fiind ax de rabatere (fig. 5.28.a).

Dreapta de profil rabătută pe planul vertical este determinată dacă se face rabaterea urmei orizontale a dreptei, urma verticală rămânând pe loc deoarece se află pe axul de rabatere (fig. 5.28.b).

5.3.3. Rabaterea planului unui triunghi

Un triunghi oarecare conţinut într-un plan oarecare P se rabate pe unul din planele de proiecţie pentru a-i determina adevărata mărime (fig. 5.29). Rabaterea se poate face prin construirea triunghiului de rabatere în fiecare vârf a proiecţiei orizontale a triunghiului, aşa cum s-a procedat pentru vârful A dacă rabaterea se face pe planul orizontal,

Rabaterea urmei verticale a planului se ^ poate face luând un punct oarecare pe urma Pv s-au luând acest punct ca şi urmă verticală a orizontalei construite prin vârful C. După construirea urmei rabătute PVi punctul Ci rabătut se determină prin intersectarea orizontalei prin C rabătută, cu perpendiculara la PH, trasată din proiecţia orizontală c, a punctului C.

Pentru rabaterea vârfului B se construieşte proiecţia orizontală a dreptei conţinută în planul triunghiului prin vârful B, Fig.


:are intersectează axa Ox în v, de unde se trasează perpendiculara la P H până ntersectează urma P Vi în V2. Se trasează orizontala rabătută prin V2, care intersectează rerpendiculara din b la P H şi se determină vârful Bi a triunghiului rabătut.

5.3.4. Rabaterea planelor proiectante

Planul proiectant la planul orizontal se rabate pe planul orizontal în jurul rm ei orizontale, care este ax de rabatere. Orice punct din acest plan, inclusiv punctul -- se roteşte în jurul axului de rabatere într-un plan perpendicular pe axul de rabatere ~ g . 5.30). Planul P se suprapune peste planul orizontal de proiecţie.

Fig. 5.30.

în epură, din a se duce o perpendiculară pe urma PH, pe care se măsoară cota- .netului A, determinându-se poziţia rabătută A!.

Dacă rabaterea planului proiectant la H se face pe planul vertical de proiecţie,- urul urmei verticale Pv (fig. 5.31), se poate construi triunghiul de rabatere cu . _:orul căruia se determină Ai.iîrucât această rabatere este o rotaţie de nivel, poziţia rabătută a punctului se poate

Fig. 5.31.r-cnnma prin rotirea proiecţiei orizontale a în jurul centrului de rotaţie Px până se -rrîpune peste axa Ox în a3. Dacă se intersectează perpendiculara la Ox în ai cu

- E n ls la la Ox trasată prin a' se obţine poziţia punctului rabătut Aj.Un plan proiectant la planul vertical de proiecţie se rabate pe planul

64 Capitolul 5

orizontal cu ajutorul triunghiului de rabatere, pentru un punct oarecare aparţinând planului (fig. 5.41.a), sau prin rotaţia proiecţiei verticale a punctului până pe axa Ox. Pentru rabaterea planului pe planul vertical se determină urma orizontală rabătută PHi, perpendiculară pe urma verticală Pv în Px. Pentru determinarea poziţiei rabătute a unui punct din planul P pe planul vertical se trasează perpendiculara la Pv în a', pe care se măsoară depărtarea punctului A (fig. 5.32.b).

Un plan proiectant la planul lateral poate fi rabătut pe toate cele trei plane de proiecţie.

Pentru rabaterea pe planul orizontal se construieşte triunghiul de rabatere pentru un punct oarecare aparţinând planului P, pentru care cota punctului se pune pe paralela la urma orizontală a planului, din proiecţia orizontală a (fig. 5.33.a).

Dacă se lucrează cu proiecţiile pe trei plane, poziţia rabătută a punctului A pe planul orizontal se determină prin rotaţia proiecţiei laterale a" a punctului în jurul axului de rotaţie, axa Ox, respectiv Pyl, până pe axa Oyh apoi cu vârful compasului în originea axelor până pe axa Oy. Perpendiculara la Oy în punctul determinat se intersectează cu perpendiculara la Ox din a, în punctul căutat,

Rabaterea pe planul vertical se face cu ajutorul triunghiului de rabatere sau prin rotaţie, din proiecţia laterală a punctului (fig. 5.33.b), în A2.

Rabaterea pe planul lateral se face în jurul urmei laterale. Urmele, orizontală şi verticală rabătute, vor fi perpendiculare în Pyi şi Pz la urma laterală PL (fig. 5.33.b), în A3. Proiecţia, respectiv poziţia unui punct rabătut se găseşte pe perpendiculara ridicată din proiecţia laterală a punctului la urma laterală PL, pe care se măsoară abscisa

y a) Fig. 5.33.

■ actului luată din planul orizontal sau vertical de proiecţie.

5.3.5. Rabaterea pe alte plane

în rezolvarea unor probleme nu este necesară rabaterea pe planele de proiecţie- rucât este mai simplu să se facă rabaterea pe plane paralele la planele de proiecţie, ifci pe un plan de nivel sau pe un plan de front.

Un triunghi oarecare dat prin proiecţiile sale se rabate pe un plan de nivel în unei orizontale, rezultată din intersectarea planului triunghiului cu un plan de

-vel care conţine un vârf al triunghiului (fig. 5.3 4. a). Dacă planul de nivel conţine irful A rabaterea se face în jurul proiecţiei orizontale r a dreptei de intersecţie. în

caz a şi 1 sunt propriile lor rabătute iar vârfurile Bi şi Ci se determină cu ajutorul --zghiurilor de poziţie. Pentru construirea triunghiurilor de poziţie, pe paralela la- -1 de rotaţie se măsoară diferenţa dintre cotele punctelor şi cota planului orizontal. : observă că este suficient să se construiască triunghiul de rabatere pentru un singur

Dacă s-a determinat B h Ci se găseşte la intersecţia direcţiei B il cu - ■endiculara din vârful c la axul de rabatere.

__________________________________________ Metodele geometriei descriptive 65

Pentru determinarea adevăratei mărimi a unghiului dintre două drepte oarecare* :a:e rabaterea planului dreptelor pe un plan de front. Pentru aceasta se intersectează- dreptelor concurente cu un plan de front F, rezultând o frontală, în jurul căreia

i;e rabaterea, respectiv în jurul proiecţiei verticale 1'2' (fig. 5.34.b). întrucât 1’ şiI : află pe axul de rabatere, ele sunt propriile lor rabătute, iar pentru trasarea

r dffl rabătute este necesar să se rabată punctul de intersecţie I, prin construirea r - - ¿nului de rabatere, pe a cărei catetă se măsoară diferenţa dintre depărtarea

rului de intersecţie şi depărtarea frontalei. în acest fel dreptele D] şi Ti, rabătute x * m ii de front, vor subîntinde între ele unghiul, în adevărată mărime, pe care îl fac.

5.3.6. Probleme de distanţe rezolvate prin rabatere

a. Pentru determinarea adevăratei mărimi a distanţei dintre două puncte, A : 3 prin rabatere, se figurează planul proiectant la H (fig. 5.35.a) sau V care : : - 7_ne cele două puncte şi se face rabaterea planului în jurul urmei orizontale.

66 Capitolul 5

Pentru determinarea poziţiilor punctelor rabătute se construiesc perpendiculare la PH, în a şi b, pe care se măsoară cota punctelor. Segmentul AtBi este adevărata mărime a distanţei dintre puncte.

b. Pentru determinarea distanţei de la un punct la dreaptă prin rabatere, se construieşte un plan de nivel (fig. 5.35.b) sau de front prin punctul dat, care va intersecta dreapta în punctul I. în această situaţie axul de rabatere este o dreaptă

orizontală R a cărui proiecţie pe planul H este al. Se rabate dreapta cu ajutorul triunghiului de rabatere construit într-un punct oarecare II a dreptei. Distanţa care se pune pe paralela la axul de rabatere este diferenţa dintre cota punctului II şi cota orizontalei. Deoarece a se află pe axul de rabatere el rămâne pe loc, astfel că distanţa de la A la dreapta D este perpendiculara din a la dreapta rabătută Di. Pentru construirea proiecţiilor distanţei se face ridicarea rabaterii pentru punctul I, piciorul perpendicularei, ale cărui proiecţii se unesc cu proiecţiile de acelaşi fel ale punctului A.

c. Dacă se dă planul P prin urme şi punctul A prin proiecţiile sale, pentru determinarea distanţei de la punct la plan prin rabatere, se figurează un plan ajutător R, perpendicular la planul vertical de proiecţie (fig. 5.36.a), care conţine punctul A şi are urma verticală Rv perpendiculară la Pv. Cele două plane se intersectează după o dreaptă D, a cărei punct de intersecţie cu planul P este I. Distanţa de la punct la plan este segmentul AI a cărui adevărată mărime se determină prin rabatere în jurul urmei verticale Rv. Pentru rabatere se măsoară depărtarea punctelor A şi I pe perpendicularele ridicate din a' şi i' la urma Rv. Segmentul AJi este adevărata mărime a distanţei.

d. Pentru determinarea distanţei dintre două drepte paralele se procedează la rabaterea planului pe care-1 determină, pe un plan de nivel (fig. 5.36.b) sau de front. Axul de rabatere este orizontala R rezultată din intersectarea planului dreptelor paralele cu un plan de nivel. Pentru rabaterea dreptelor paralele este suficient să se facă rabaterea pentru un punct m , de pe una din drepte, prin construirea triunghiului de rabatere, a cărui catetă este diferenţa dintre cotele punctului III şi a planului de nivel N. Dreapta Ti rabătută trece prin proiecţia orizontală a punctului II, care este şi propriul său rabătut şi prin punctul IU, determinat cu ajutorul triunghiului de rabatere,


i3T drepata Di rabătută trece prin proiecţia orizontală a punctului I şi este paralelă cu T Distanţa L dintre cele două drepte se măsoară pe perpendiculara la D] şi Tj.

5.3.7. Ridicarea rabaterii

De multe ori, în rezolvarea anumitor probleme, fiind dată poziţia rabătută a mor elemente, este necesar să se determine proiecţiile elementelor. Această operaţie t face prin ridicarea rabaterii.

Fig. 5.36.a. Fiind dată poziţia rabătută Ai a unui punct pe planul orizontal, urma PH şi

m a Pvi rabătută a planului care conţine punctul, se cere să se determine proiecţiile, -~ontală şi verticală, punctului A (fig. 5.37.a). Pentru rezolvare se figurează nzontala rabătută prin Ab paralelă la PH, care intersectează urma rabătută PVi în Vi. . ~ a verticală Pv a planului se determină prin intersectarea arcului de cerc cu raza ? V. cu perpendiculara ridicată din v la axa Ox.. Proiecţia v s-a determinat prin -'îTsectarea axei Ox cu perpendiculara din Vi la PH, care este ax de rabatere. Pentru term inarea proiecţiilor punctului A se construiesc proiecţiile orizontalei prin V, care r/rTsectează perpendiculara din Ai la PH, pentru & şi perpendiculara din a la axa Ox,

5.37. ru a'.

b. Dacă se dă dreapta rabătută D1; urma orizontală PH şi urma verticală PVi n tă a planului care conţine dreapta D, pentru determinarea proiecţiilor dreptei,

68 Capitolul 5

se foloseşte ridicarea rabaterii (fig. 5.37.b). Dreapta D, intersectează urma PH în h şi urma PVi în Vj. Se determină urma Pv prin ridicarea rabaterii punctului V. Proiecţia orizontală d a dreptei se trasează prin urma h, care este propriul rabătut şi prin proiecţia v determinată la intersecţia perpendicularei din Vi la PH cu axa Ox. Proiecţia verticală d' a dreptei se trasează prin proiecţia h! şi urma v \ determinate cu linii de ordine din h şi v.

c. Fiind dat planul P prin urme, centrul A al unui cerc conţinut în plan şi raza cercului R, epura cercului se poate construi prin ridicarea rabaterii (fig. 5.38). Pentru aceasta se rabate planul P pe planul orizontal cu ajutorul unei orizontale conţinută în planul P, construită prin punctul A, centrul cercului. După determinarea centrului rabătut Ai se trasează cercul cu raza R. Pentru determinarea proiecţiilor cercului se consideră mai multe drepte conţinute în planul P, care trec prin centrul cercului şi care intersectează cercul în câte două puncte, pentru care se face ridicarea rabaterii.

Orizontala folosită pentru ridicarea rabaterii intersectează cercul în punctele I şi n, care dau diametrul mare a elipsei, proiecţia pe planul orizontal.

Perpendiculara la PH prin centrul cercului dă punctele HI şi IV care reprezintă diametrul mic a elipsei din planul orizontal şi punctele de cotă minimă şi maximă pentru proiecţia verticală.

Frontala prin centrul cercului, conţinută în planul P, dă punctele V şi VI cu ajutorul cărora se determină diametrul mare a elipsei din planul vertical.

Cu ajutorul celor patru drepte, care determină opt puncte de pe cerc, se pot trasa proiecţiile cercului, proiecţii care sunt elipse, a căror diametre sunt determinate.

Fig. 5.38.

Probleme propuse

Metoda schimbării planelor de proiecţie1. Să se afle adevărata mărime a unui segment AB de poziţie oarecare.2. Să se afle adevărata mărime a distanţei de la un punct la o dreaptă oarecare.3. Să se afle adevărata mărime a distanţei dintre două drepte paralele.4. Să se determine adevărata mărime a unghiului diedru format de două

triunghiuri cu latură comună.5. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la un punct la planul

oarecare dat prin urme.


6. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la un punct la planul riunghiului ABC.

7. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M la planul reptelor concurente D şi T.

8. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M la planul rreptelor paralele D şi T.

9. Să se afle adevărata mărime a triunghiului ABC conţinut în planul oarecare r ¿at prin urme.

10. Să se determine adevărata mărime a unghiului format de dreptele : rncurente D şi T.

11. Să se transforme o dreaptă de poziţie oarecare în dreaptă fronto-orizontală, x n două schimbări de plane.

12. Să se determine adevărata mărime a unghiului diedru, format de două plăci rvmghiulare cu latură comună, prin perpendicularizarea laturii comune la planul V.

Metoda rotaţiei1. Cu o rotaţie de nivel să se aducă un punct din diedrul I, M(m, m’), în planul

: irecare P, dat prin urme.2. Cu o rotaţie de front să se aducă punctul din diedrul I, M(m, m ’), în planul

- .rghiului ABC.3. Să se transforme dreapta de poziţie oarecare, D(d, d ’), într-o orizontală,

: j : sind o rotaţie de front.4. Să se transforme dreapta de poziţie oarecare, D(d, d’), într-o frontală,

: - 'sind o rotaţie de nivel.5. Să se transforme o dreaptă oarecare, D(d, d ’), în dreaptă de capăt.6. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M(m, m ’) la

frip ta oarecare D(d,d’)7.Să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M(m, m ’) la

- anul oarecare dat prin urme.8. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M(m, m ’) la

: ¿nul triunghiului ABC.9. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M(m, m ’) la

• irul definit de două drepte concurente, D şi T.10. Să se determine adevărata mărime a distanţei de ia punctul M(m, m’) la

• definit de două drepte paralele, D şi T.11. Să se determine adevărata mărime a triunghiului ABC, conţinut în planul

ii r : :are P dat prin urme.

Metoda rabaterii1. Să se determine adevărata mărime a triunghiului ABC conţinut în planul

- ectant la H, prin rabatere pe planul orizontal.2. Să se determine adevărata mărime a triunghiului ABC conţinut în planul

w sctant la V, prin rabatere pe planul orizontal.

70 Capitolul 5

3. Să se determine adevărata mărime a triunghiului ABC conţinut în planul proiectant la L, prin rabatere pe planul lateral.

4. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la un punct M la o dreaptă oarecare D.

5. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la un punct M la planul oarecare D.

6. Să se determine proiecţiile pătratului conţinut într-un plan oarecare cu unghi ascuţit, rabătut pe planul H.

7. Să se determine proiecţiile triunghiului echilateral conţinut într-un plan oarecare cu unghi obtuz, rabătut pe planul H.

8. Să se determine urma verticală a unui plan, cunoscând urma orizontală a planului, rabaterea şi proiecţia orizontală a unui punct M din plan.

9. Să se determine poiecţiile cercului de rază R, conţinut în planul ce trece prin Ox (se face ridicarea rabaterii).

10. Să se determine proiecţiile cercului de rază dată, conţinut în planul P proiectant la H.

C A P I T O L U L 6

POLIEDRE

6.1. Clasificări, reprezentarePoliedrele sunt corpuri geometrice rezultate prin limitarea unei zone din

-¿ţiu cu ajutorul a mai multor plane.O faţă este o porţiune limitată dintr-un plan, de celelalte plane. Feţele sunt

::'.:goane plane. Muchia este dreapta de intersecţie dintre două feţe. Vârful este - .rctul de intersecţie a cel puţin trei feţe alăturate.

Un poliedru este regulat dacă feţele lui sunt poligoane regulate. Conform r : Temelor lui Euler există cinci poliedre regulate:

- tetraedrul cu patru feţe triunghiuri echilaterale;- cubul cu şase feţe pătrate;- octaedrul cu opt feţe triunghiuri echilaterale;- dodecaedrul cu douăsprezece feţe pentagoane regulate;- icosaedrul cu douăzeci feţe triunghiuri echilaterale.Poliedrele neregulate au feţele poligoane neegale. Cel mai des întâlnite sunt

jnsma şi piramida.Un poliedru este convex

_: I rămâne în întregime pe- rsaşi parte a oricărei feţe sau ■cav dacă una dintre feţe taie

p bedrul.Majoritatea elementelor

i : : onstrucţii din: lemn, metal,- ; r î beton, zidărie etc. sunt■ -r.ucrate în forme poliedrice,

liDsebi din m otive tehnice.- Lsi construcţiile sunt

3 :cre: ziduri, stâlpi, grinzi, aăc: etc.

Reprezentarea unui 7 ; iru pe două sau trei plane de Fig. 6.1.- scţie (fig. 6.1) se face prin

72 Capitolul 6

proiectarea vârfurilor şi muchiilor ortogonal la planele de proiecţie. Pentru stabilirea elementelor care se văd observatorul se consideră situat la infinit faţă de planele de proiecţie. Ca atare, pe fiecare plan de proiecţie apare un contur al poliedrului de formă poligonală, numit contur aparent a proiecţiei respective. Conturul aparent este văzut în întregime şi se reprezintă cu linie continuă. Celelalte muchii reprezentate în interiorul conturului aparent vor fi figurate cu linii continue, sau întrerupte, după cum sunt văzute sau nevăzute. Contururile aparente obţinute pe cele trei plane de proiecţie diferă între ele, pe flecare plan.

In general, poliedrele sunt situate în spaţiu. în construcţii, toate elementele se reazemă (stau) pe planul orizontal, respectiv pe pământ.

In unele situaţii se pot rezema pe un plan oarecare (fig.6.2.a) sau pe un plan proiectant (fig. 6.2.b).

Prisma şi piramida sunt poliedre neregulate drepte dacă muchiile prismei suntperpendiculare pe planulorizontal de proiecţie, respectiv dacă vârful piramidei se proiectează pe planul orizontal în interiorul proiecţiei bazei. Dacă cele de mai sus nu sunt respectate corpurile se numesc oblice.

6.2. Prisma şi piramida dreaptă. Punct pe suprafaţăO dreaptă care se deplasează pe un poligon, paralel cu o direcţie dată,

generează o suprafaţă prismatică. Dacă această suprafaţă este secţionată de două plane paralele, care taie toate muchiile, se obţine prisma.

Poligoanele rezultate prin secţionare se numesc baze.Dacă muchiile sunt perpendiculare pe baze, prisma este dreaptă.Suprafaţa piramidală este generată de o dreaptă care trece printr-un punct

fix şi se sprijină tot timpul pe un poligon director, Corpul limitat de o suprafaţă piramidală şi un plan se numeşte piramidă, iar secţiunea plană bază. Prin secţionarea piramidei cu un plan care taie toate muchiile suprafeţei piramidale, între acest plan şi bază, se obţine un trunchi de piramidă.

Prisma şi piramida se reprezintă pe cel puţin două plane de proiecţie (fig. 6.3). Dacă muchiile prismei sunt perpendiculare pe planul bazei, baza fiind poligonul regulat abc situat în planul orizontal de proiecţie, conturul aparent orizontal este redus la poligonul de bază, peste care se suprapune poligonul bazei (feţei) superioare 123 (fig. 6.3.a).

Conturul aparent vertical al prismei se obţine cu ajutorul liniilor de ordine

Poliedre 73

(

m 1

r

011

X*

. 1 '1

a ' j . q‘ b o ,

1

., b ,2

!m,3

Fig. 6.3.

trasate din proiecţia orizontală şi este următorul: a'c'b' pe linia de pământ, proiecţia verticală a bazei; 1'3'2' proiecţia verticală a feţei superioare; a'l' şi b'2' proiecţiile verticale ale celor două muchii situate la distanţa cea mai mare între ele (de contur aparent). Muchia c'3' nu face parte din conturul aparent şi este văzută deoarece are depărtarea mai mare decât faţa laterală al2b.

Un punctoarecare M situat pe una din feţele laterale aleprismei, pentru care se dă proiecţia verticală m', este precis definit atunci când se cunoaşte şiproiecţia orizontală apunctului. Punctul Mpoate fi situat pe faţa AC văzută dacă are proiecţia orizontală mi, caz în care; în proiecţie verticală este văzut, sau poate fi situatpe faţa AB nevăzută, situaţie în care proiecţia verticală a punctului este nevăzută.

Piramida dreaptă se reprezintă în proiecţie orizontală prin poligonul bazei, care este şi contur aparent şi muchiile piramidei, care sunt toate văzute (fig. 6.3.b). Conturul aparent din proiecţia verticală este format din proiecţia bazei şi proiecţiile muchiilor AS şi CS, cele mai îndepărtate. Muchia BS, având depărtarea cea mai mică, este nevăzută, reprezentată cu linie întreruptă, iar muchia DS, având depărtarea cea mai mare, este văzută, deci reprezentată cu linie continuă.

Dacă pentru un punct M se dă proiecţia m, pentru determinarea proiecţiei verticale se figurează proiecţia orizontală 12 a dreptei care conţine punctul şi este situată pe aceeaşi faţă, apoi se determină proiecţia verticală 1'2' pe care se găseşte proiecţia verticală m ', cu linie de ordine din m.

Dacă se dă proiecţia verticală a unui punct N se reprezintă proiecţia verticală a dreptei care conţine punctul şi vârful piramidei, dreaptă care intersectează proiecţia -erticală a bazei în una din proiecţiile 3' sau 4'. Proiecţia orizontală se obţine prin

trasarea liniei de ordine din n' pe proiecţia s3 dacă punctul este văzut în proiecţie ••'erticală sau pe proiecţia s4 dacă punctul este nevăzut în proiecţie verticală.

6.3. Prisma şi piramida oblică. Punct pe suprafaţăPrisma cu baza un triunghi ABC situat în planul orizontal şi cu muchiile

irepte oarecare, paralele cu o direcţie dată, este prismă oblică. Faţa superioară DEF are proiecţia orizontală congruentă cu a bazei ABC iar proiecţia verticală paralelă cu axa Ox, deoarece este situată într-un plan de nivel, la o cotă dată (fig. 6.4).

74 Capitolul 6

în proiecţie verticală se văd muchiile de contur aparent AD şi CF şi este nevăzută muchia BE a cărei depărtare este mai mică. în proiecţie orizontală se văd muchiile de contur aparent AD şi CF, muchia BE şi faţa superioară DEF care are cota mai mare decât orice punct situat pe aceeaşi linie de ordine.

în proiecţie laterală muchiile de contur aparent sunt AD şi BE. Muchia CF, având abscisa mai mică decât celelalte muchii, este nevăzută.

Un punct oarecare M, pentru care se dă proiecţia orizontală m, poate să aibă proiecţia verticală în m 'i sau m '2, după cum se află pe faţa AC văzută sau AB nevăzută, poziţie care se determinată cu ajutorul unei drepte care conţine punctul şi este paralelă cu muchiile prismei, trasată prin proiecţia orizontală a punctului.

Dacă pentru punctul N se dă proiecţia verticală, proiecţia orizontală se poate găsi, tot cu ajutorul unei drepte paralele cu muchiile prismei, în n3 dacă punctul se află pe faţa BC sau în n4 dacă punctul se află pe faţa AC care conţine punctul N.

Piramida cu baza ABC situată în planul orizontal de proiecţie şi vârful S situat la o cotă oarecare şi proiecţia orizontală situată în exteriorul proiecţiei orizontale a bazei, este o piram idă oblică (fig. 6.5).

Vizibilitatea muchiilor se tratează ca la prisma oblică.Un punct oarecare M, pentru care se dă proiecţia orizontală m, are

proiecţia verticală m'i dacă se găseşte pe faţa ACS sau ra'2 dacă este situat pe faţa ABS. Proiecţiile s-au determinat cu ajutorul unor drepte care conţin punctul M şi vârful piramidei şi se află pe una sau alta din feţele piramidei. Dacă proiecţia verticală este m'i atunci punctul este nevăzut iar dacă proiecţia verticală este m '2 atunci punctul este văzut, fiind situat pe o faţă văzută.

Un punct oarecare N, pentru care se dă proiecţia verticală n', are proiecţia orizontală n 3, dacă se găseşte pe faţa BCS, sau 114, dacă se găseşte pe

Poliedre 75

faţa ACS, determinate cu ajutorul unor drepte care conţin punctul şi vârful piramidei.

In proiecţie laterală muchiile de contur aparent sunt BS şi AS, care au abscisa mai mare, respectiv depărtarea cea mai mică şi cea mai mare. Muchia CS, cu o depărtare cuprinsă între celelalte două, va fi nevăzută deoarece are abscisa mai mică decât faţa laterală ABS a piramidei.

6.4. Secţiuni plane şi desfăşurări la prismă

Secţiunea plană rezultă prin intersectarea (secţionarea) poliedrelor cu un plan. Vârfurile poligonului rezultat prin secţionare sunt punctele de intersecţie dintre muchiile poliedrului şi planul de secţionare.

Secţiunea plană în prismă poate fi:- longitudinală - paralelă cu muchiile prismei;- transversală - planul taie toate muchiile laterale;- dreaptă - perpendiculară pe muchiile laterale;- prin vârfuri - după generatoare.Secţiunea plană se află fie determinând punctele în care muchiile înţeapă

planul, fie determinând dreptele după care planul feţelor intersectează planul de secţionare.

Adevărata mărime a secţiunii se determină, în general, prin metoda rabaterii.Prin desfăşurarea unui poliedru se înţelege rabaterea tuturor feţelor şi a

razelor pe un singur plan.La desfăşurare este necesar să se cunoască adevărata mărime a muchiilor

poliedrelor, a laturilor bazelor şi a laturilor poligonului de secţionare.a. Prisma dreaptă patrulateră secţionată cu plan proiectant la planul vertical de

rroiecţieîn cazul secţionării cu plan proiectant, proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie

ile muchiilor cu planul se găsesc pe urma planului în 1', 2', 3' şi 4' (fig. 6.6). Proiecţiile : rizontale 1, 2, 3 şi 4 se confundă cu proiecţiile muchiilor prismei, care sunt drepte verticale. Având cele două proiecţii ale poligonului de secţionare adevărata mărime a secţiunii se ierermină prin rabatere, în jurul urmei PH, pe planul orizontal în I, II, III şi IV.

76 Capitolul 6

Desfăşurarea trunchiului de prismă rămas după secţionare se face pe un plan, după o linie dreaptă pe care se măsoară lungimea laturilor bazei, aflate în adevărată mărime în planul orizontal de proiecţie. Adevărata mărime a muchiilor laterale se determină în proiecţia verticală deoarece muchiile sunt drepte verticale.

Poligonul bazei ABCD se figurează pe una din laturi. Dacă această latură este AD, vârful B se găseşte la intersecţia arcelor de cerc cu centrele în A şi D, cu razele AB şi DB, luat din planul orizontal. Vârful C rezultă la intersectia arcelor cu razele AC şi DC.

Poligonul rezultat prin secţionare se reprezintă şi el pe una din laturi, respectiv pe HI, IV. Vârfurile I şi II se găsesc în acelaşi fel ca pentru bază, cu ajutorul compasului.

Fig. 6.6.

b. Prisma dreaptă triunghiulară secţionată cu plan proiectant la planul orizontal

Determinarea secţiunii este simplă deoarece urma PH a planului secant conţine proiecţia orizontală a secţiunii. Aceasta este deformată şi se găseşte pe urmă între 1 - 2 , respectiv 3 - 4, care sunt proiecţiileorizontale ale punctelor de intersecţie ale planului cu laturile bazelor prismei.Proiecţiile verticale 1', 2', 3' şi 4' se determină cu linii de ordine,

Poliedre 77

plecând de la proiecţiile orizontale (fig. 6.7.a).Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabatere, în jurul urmei

orizontale, pe planul orizontal de proiecţie, după metoda cunoscută.

c. Prisma triunghiulară dreaptă secţionată cu plan oarecareDeoarece prisma este dreaptă, poligonul rezultat prin secţionare are proiecţia

orizontală 123 confundată cu proiecţia orizontală a bazei (fig. 6.7.b). Proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie ale muchiilor cu planul se determină cu ajutorul unor drepte orizontale conţinute în planul P şi a căror proiecţii orizontale trec prin 1,2, şi 3. Aceeaşi situaţie se obţine şi în cazul folosirii unor drepte frontale.

Adevărata mărime a secţiunii rezultă prin rabatere, în jurul urmei orizontaleP h -

d. Prisma triunghiulară frontală secţionată cu plan proiectant la V şi perpendicular pe muchii

Dacă prisma oblică are muchiile laterale drepte frontale se numeşte prismă frontală. Deoarece planul de secţionare este proiectant la V proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie se găsesc pe urma verticală a planului, Pv. Proiecţiile orizontale 1,2, şi 3 se determină cu linii de ordine din 1', 2' şi 3' (fig. 6.8).

Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabatere pe planul orizontal, în jurul urmei P h -

Desfăşurarea trunchiului de prismă rămas după secţionare se face pe o linie perpendiculară pe muchii, care poate să fie chiar adevărata mărime a secţiunii. Deci, pe o linie orizontală se măsoară adevărata mărime a laturilor poligonului de secţionare. Prisma fiind frontală, adevărata mărime a muchiilor se ia din proiecţia verticală şi se figurează sub linia de desfăşurare a secţiunii. Baza prismei se figurează pe una din muchii, respectiv BC, iar poligonul de secţionare se figurează pe una din laturile lui, în figură pe II şi EI.

Dacă se doreşte desfăşurarea întregii prisme, deasupra liniei de desfăşurare se va pune adevărata mărime a muchiilor de la porţiunea înlăturată, respectiv

78 Capitolul 6

Fig. 6.9.

1' - d ', 2' - e' şi 3' - f , iar în final faţa superioară.

e. Prisma triunghiulară oblică secţionată cu plan oarecare perpendicular pe muchii

Deoarece atât muchiile prismei cât şi planul sunt oarecare, proiecţiile punctelor de intersecţie nu se găsesc pe baza prismei sau pe una din urmele planului. Pentru a ajunge la una din situaţiile tratate anterior se face o schimbare de plan vertical, atât pentru prismă cât şi pentru plan (fig. 6.9). în acest caz prisma oarecare se transformă în prismă frontală iar planul oarecare se transformă în plan proiectant la V1( situaţie în care proiecţiile punctelor de intersecţie se găsesc pe urma PVi.

Proiecţiile orizontale sedetermină cu linii de ordine perpendiculare la axa OjXj iar proiecţiile verticale cu linii de ordine, din proiecţiile orizontale, perpendiculare la axa Ox.

Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabaterea planului proiectant, respectiv a lui PVi, pe planul orizontal de proiecţie.

f. Prisma oblică secţionată cu plan oarecareIn această situaţie, când

planul nu mai este perpendicular pe muchii, nu se mai pot obţine punctele de intersecţie prin metoda schimbării planelor de proiecţie. O metodeă de rezolvare este aceea în care se suprapun urmele verticale ale unor plane proiectante R la planul vertical de proiecţie, peste proiecţiile verticale ale muchiilor (fig. 6.10).

Cele două plane se vor intersecta după o dreaptă a cărei proiecţie orizontală este conţinută în planul R, ca şi muchia B. Cele două proiecţii se intersectează într-un punct II, care este chiar proiecţia orizontală a punctului

Fig. 6.10

Poliedre 79

de intersecţie dintre planul P şi muchia B. La fel se determină proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie cu celelalte muchii, după care proiecţiile verticale se determină cu linii de ordine perpendiculare la Ox.

Adevărata mărime a poligonului de secţionare rezultă prin rabaterea planului P pe planul orizontal de proiecţie folosind triunghiurile de rabatere.

Pentru a face desfăşurarea este necesar să se determine şi adevărata mărime a muchiilor, ceea ce se poate face prin oricare din metodele geometriei descriptive.

Aceeaşi problemă se poate rezolva şi prin ale metode. Una dintre acestea este metoda proiecţiei paralele (fig. 6.11).

Se alege ca direcţie a proiecţiei paralele direcţia frontalelor planului P. Proiecţiile paralele, după această direcţie, a muchiilor pe planul orizontal de proiecţie sunt adlţ bej, şi cfj. Proiecţiile dt, ei şi fi s-au obţinut prin construirea frontalelor conţinute în planul P, prin d, e şi f.

Vârfurile a, b şi c sunt propriile lor proiectate. Punctele în care muchiile întâlnesc planul P sunt proiectate pe urma orizontală PH a planului în l i , 2j şi 3i, la intersecţia dintre muchiile proiectate şi urma PH. Din proiecţia paralelă se aduc înapoi puntele de intersecţie în proiecţia iniţială obţinându-se în acest fel proiecţiile punctelor de intersecţie: 1, 2 şi 3, respectiv 1', 2' şi 3'.

Adevărata mărime a secţiunii şi a muchiilor pentru desfăşurare se determină ?rin una din metodele studiate anterior.

O dreaptă intersectează o prismă în două puncte. Proiecţiile punctelor de intersecţie se determină cu ajutorul unor plane auxiliare care conţin dreapta şi care secţionează prisma. Punctele de intersecţie ale dreptei cu poligonul rezultat sunt chiar sunetele căutate.

Fig. 6.11.

6.5. Intersecţia dreptei cu prisma

80 Capitolul 6

Planul auxiliar poate fi un plan proiectant, sau un plan paralel cu muchiile prismei, care conţine dreapta.

Vizibilitatea dreptei în raport cu prisma se determină prin studiul vizibilităţii feţelor prismei intersectate cu dreapta.

a. Intersecţia dreptei oarecare cu o prismă dreaptăPrisma fiind dreaptă proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie se

Fig. 6.12.

găsesc la intersecţia proiecţiei orizontale a dreptei cu baza prismei (fig. 6.12.a). Proiecţiile verticale se determină cu linii de ordine din 1 şi 2.

Vizibilitatea se determină pentru fiecare plan de proiecţie. Pe planul orizontal ambele proiecţii ale punctelor de intersecţie sunt văzute, deci proiecţia dreptei este văzută în exteriorul proiecţiei bazei. în proiecţie verticală, proiecţia 1' este văzută fiind situată pe faţa ad, văzută a prismei, deci d' se vede de la 1' în stânga. Proiecţia 2' este nevăzută, fiind situată pe faţa bc nevăzută a prismei, deci d' este nevăzută de la 2' la muchia c' iar în continuare este văzută.

b. Intersecţia dreptei oarecare cu prisma oblică

Pentru determinareapunctelor de intersecţie se suprapune proiecţiei verticale a dreptei urma unui plan proiectant, care conţine dreapta, la planul vertical de proiecţie, plan care secţionează prisma după poligonul mnr (fig. 6.12.b). Proiecţia orizontală a dreptei intersectează proiecţia orizontală a poligonului în

Poliedre 81

punctele căutate, respectiv 1 şi 2. Proiecţiile verticale se determină la intersecţia liniilor de ordine cu proiecţia verticală a dreptei, în 1' şi 2'.

în proiecţie orizontală proiecţia 1 este văzută, fiind situată pe o faţă văzută, iar proiecţia 2 este nevăzută, fiind situată pe o faţă nevăzută.

Pe planul vertical ambele proiecţii ale punctelor sunt văzute, fiind situate pe feţe văzute.

Aceeaşi problemă se poate rezolva cu ajutorai unui plan care conţine dreapta şi care intersectează prisma, paralel cu muchiile laterale (fig. 6.13).

Se determină urma orizontală PH a planului de secţionare folosindu-se urma orizontală a dreptei date şi urma orizontală a unei drepte paralelă cu muchiile prismei şi intersectată cu dreapta dată în I. Urma orizontală a planului intersectează baza în m şi n, prisma fiind secţionată de planul celor două drepte paralel cu muchiile, în lungul dreptelor M şi N. La intersecţia celor două drepte cu dreapta D se află punctele de intersecţie căutate, I şi II, cu proiecţiile orizontale 1 şi 2 şi proiecţiile verticale 1' şi 2'.

Punctul I este văzut în ambele proiecţii fiind situat pe faţa ad văzută. PunctulII este văzut doar în proiecţie verticală, în proiecţie orizontală este nevăzut fiind situat pe faţa cd nevăzută.

6.6. Secţiuni plane şi desfăşurări la piramidăa. Piramida dreaptă patrulateră secţionată cu plan proiectant la Vîntrucât planul de secţionare este proiectant, proiecţiile verticale ale punctelor

de intersecţie se află pe urma planului la intersecţia cu proiecţiile verticale ale muchiilor, în 1', 2', 3' şi 4' (fig. 6.14). Proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie se găsesc la intersecţia liniilor de ordine cu proiecţiile orizontale ale muchiilor în 1, 2, 3 şi 4, care determină proiecţia orizontală a poligonului de secţionare.

A

a

x

Fig. 6.14

82 Capitolul 6

Adevărata mărime a poligonului de secţionare se determină prin rabaterea planului de secţionare pe planul orizontal de proiecţie.

Pentru a desfăşură piramida este necesar să se determine în prealabil adevărata mărime a muchiilor. Aceasta se face printr-o rotaţie de front, în jurul unui ax de capăt care conţine vârful piramidei, muchiile transformându-se în drepte orizontale. în acelaşi timp se rotesc şi punctele de intersecţie. Desfăşurarea feţelor laterale se face în jurul unui punct S, din care se figurează feţele corespunzătoare vârfului piramidei (fig.6.15).

Adevărata mărime a muchiei AB se ia de pe proiecţia orizontală a bazei iar adevărata mărime a muchiei SB de pe proiecţia orizontală a muchiei după efectuarea rotaţiei. în acelaşi fel se figurează toate muchiile, baza piramidei, dreptele de intersecţie ale feţelor şi poligonul de intersecţie.

b. Piramida dreaptă secţionată cu plan proiectant la H

In cazul secţionării piramidei drepte cu un plan proiectant la planul orizontal de proiecţie (fig. 6.16), proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie cu muchiile se află pe urma orizontală PH a pianului în 1, 2 şi d, deoarece planul conţine vârful D al piramidei.Proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie Fig. 6.16.se determină cu linii de ordine, în 1% 2* şi d'.

Adevărata mărime a poligonului de secţionare se determină prin rabaterea planului de secţionare pe planul orizontal de proiecţie, în jurul urmei orizontale PH.

Pentru desfăşurare este necesar să se determine adevărata mărime a m uchiilor prin m etoda rotaţiei.

c. Piramida oblică secţionată cu plan proiectant la VŞi în acest caz, planul fiind proiectant, proiecţiile verticale ale punctelor de

Poliedre 83

intersecţie se găsesc pe urma verticală a planului. Proiecţia orizontală a punctelor de intersecţie, respectiv a poligonului de secţionare, se determină cu ajutorul liniilor de ordine trasate din proiecţia verticală (fig. 6.17).

6.17.Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabaterea planului de

secţionare, în jurul urmei orizontale PH, pe planul orizontal de proiecţie.Adevărata mărime a muchiilor se determină printr-o rotaţie de nivel în jurul

unui ax vertical care conţine vârful piramidei, muchiile transformându-se în drepte frontale. Proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie rotite se determină cu linii paralele la axa Ox trasate de la proiecţia verticală iniţială.

Desfăşurarea se face în acelaşi mod ca şi cea prezentată la paragraful 6.6.a, prin desfăşurarea feţelor laterale şi apoi a bazei şi a poligonului de secţionare în adevărată mărime.

Fig. 6.18.

d. Piramida dreaptă secţionată cu plan proiectant la L

Pentru determinarea punctelor de intersecţie cu muchiile, respectiv a poligonului de intersecţie, este necesar a se construi şi proiecţia laterală (fig. 6.18).

84 Capitolul 6

In această situaţie, pe planul lateral, se găsesc proiecţiile punctelor de intersecţie pe urma laterală a planului.

Celelalte proiecţii ale poligonului de intersecţie, orizontală şi verticală, se determină cu linii de ordine. Adevărata mărime a secţiunii se poate determina prin rabatere în jurul oricărei urme a planului. La rabaterea în jurul urmei laterale, pe planul lateral de proiecţie, pe perpendicularele ridicate din 1", 2", 3" şi 4" la PL, se măsoară abscisele punctelor de intersecţie.

Rabaterea în jurul urmei verticale, pe planul vertical de proiecţie, este făcută pentru vârfurile II şi III ale poligonului de intersecţie. în mod similar se procedează şi pentru celelalte vârfuri.

Rabaterea în jurul urmei orizontale, pe planul orizontal de proiecţie, este făcută pentru vârfurile I şi IV ale poligonului de intersecţie.Aceasta s-a făcut cu compasul, în ju ru l lui Pyi, până la axa Oyi, apoi în juru l lui O până pe axa Oy, după care punctele rabătute s-au determinat cu linii de ordine.

e. Piramida dreaptă secţionată cu plan oarecare

La secţionarea cu plane oarecare proiecţiile punctelor de intersecţie nu se găsesc pe una din urmele planului aşa că trebuie să se folosească altă metodă pentru determinarea lor.Metoda cea mai des folosită este metoda schimbării planelor de proiecţie, pentru transformarea planului oarecare în plan proiectant (fig. 6.19). în acest sens se trasează axa OiXi perpendicular la PH, se ia un punct V pe urma verticală a planului cu ajutorul căruia se face schimbarea de plan pentru urma verticală a planului, după care se face schimbarea de plan pentru piramidă.

Urma verticală PVi intersectează muchiile piramidei rabătute în 1 \, 3'! şi4'j, de unde se trasează liniile de ordine, în direcţie inversă, în planul orizontal şi apoi în planul vertical de proiecţie, determinându-se proiecţiile secţiunii.Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabaterea planului vertical V] pe planul orizontal de proiecţie, în jurul urmei PH.Pentru desfăşurare trebuie să se determine adevărata mărime a muchiilor, problemă

Poliedre 85

care se rezolvă de obicei prin metoda rotaţiei.

f. Piramida oblică secţionată cu plan oarecare

Determinarea proiecţiilor poligonului de secţionare se poate face prin mai multe metode, dintre care se prezintă, în continuare,-jrmătoarele:

- prin muchii (fig.6.20);

- prin feţe (fig.6.21);-paralelă(fig. 6.22).La determinarea

secţiunii prin muchii se acoperă proiecţia verticală a muchiei CS cu urma verticală a unui plan proiectant Q, la V, atunci când piramida are baza în planul H şi se determină

proiecţia orizontală a dreptei de intersecţie dintre planele Q şi P. Deoarece dreapta aparţine şi planului Q, ea intersectează muchia CS care a determinat planul. Punctul de intersecţie dintre dreaptă şi muchie este unul dintre punctele căutate. Se determină în acelaşi mod şi celelalte puncte de intersecţie ale muchiilor cu planul P (fig. 6.20).

Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabatere în jurul unei urme, iar a muchiilor prin rotaţie.

La determinarea secţiunii prin feţe, este necesar a se determina iniţial un punct oarecare a poligonului de secţionare. Acesta se determină cu ajutorul a două orizontale care au proiecţiile verticale confundate. Orizontala Oi, care aparţine planului P, intersectează orizontala 0 2, care aparţine

feţei ACS a piramidei, într-un punct M, care aparţine poligonului de secţionare (fig. 6.21).

Deoarece urma unui plan este dreapta de intersecţie dintre planul respectiv şi planul de proiecţie corespunzător urmei, laturile figurilor din planul P se întâlnesc cu iturile figurilor corespondente, din planul de proiecţie, pe urma planului. Figurile

86 Capitolul 6

corespondente, conform proiecţiei centrale, sunt proiecţiile figurii din planul P, pe planul de proiecţie.

Fig. 6.22.Pe baza celor arătate mai sus se prelungeşte proiecţia orizontală ac a bazei

până intersectează urma PH a planului în t. Prin t şi m se trasează proiecţia orizontală a dreptei de intersecţie dintre planul P şi faţa ACS, care intersectează muchia as în 1 şi muchia cs în 3.

In mod similar, se prelungeşte proiecţia orizontală bc a bazei până intersectează urma PH a planului în u. Prin u şi 3, determinat anterior, se trasează

proiecţia orizontală a dreptei de intersecţie dintre planul P şi faţa BCS, care va intersecta muchia bs în 2.

Proiecţia orizontală a dreptei de intersecţie dintre planul P şi faţa ABS, se determină în acelaşi mod sau prin unirea proiecţiilor 1 şi 2. Proiecţia verticală a poligonului de secţionare se determină cu linii de ordine din 1, 2 şi 3.

Pentru determinarea poligonului de secţionare prin metoda proiecţiei paralele se proiectează muchiile piramidei pe planul orizontal în lungul unei frontale conţinută în planul P şi care trece prin vârful S a piramidei. în acest fel vârful piramidei se proiectează în Si iar baza piramidei, fiind situată în planul H, va fi propria ei proiectată (fig. 6.22).

Muchiile piramidei proiectate paralel pe planul orizontal intersectează

Fig. 6.23.

Poliedre 87

urma orizontală a planului în l u 2, şi 3j. Prin ridicarea proiecţiei, deci ducând paralele la ssi prin l l5 2j şi 3i se obţin proiecţiile orizontale ale poligonului de secţionare în 1, 2 şi 3. Proiecţiile verticale se determină cu linii de ordine.

g. Piramida dreaptă secţionată cu plan oarecare ce conţine vârfulUn plan oarecare, pentru a conţine vârful unei piramide, trebuie să conţină o

dreaptă care trece prin vârf (fig. 6.23).Pentru ca acest plan să secţioneze piramida trebuie ca urma orizontală să

intersecteze baza. Proiecţia orizontală a poligonului de secţionare este dată de proiecţia vârfului şi punctele de intersecţie dintre Ph şi laturile bazei, respectiv 1 şi 2. Proiecţia verticală a poligonului de secţionare este dată de proiecţia vârfului, 1' şi 2', acestea determinate cu linii de ordine.

Adevărata mărime a poligonului de secţionare se determină prin rabatere pe planul orizontal folosind metoda triunghiului de rabatere.

6.7. Intersecţia piramidei cu dreaptaPunctele de intersecţie ale dreptei cu feţele piramidei se determină la fel ca la

prismă. Una dintre metode este aceea de a determina poligonul de secţionare folosind un plan proiectant care conţine dreapta (fig. 6.24). Acest plan determină poligonul Imn a cărui laturi, fiind situate în acelaşi plan cu dreapta, se intersectează cu aceasta în 1 şi2. Proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie se determină pe d', cu ajutorul ‘.miilor de ordine.

In planul orizontal punctul I este văzut deoarece se află pe o faţă văzută iar punctul II este nevăzut, deoarece se află pe o faţă nevăzută. Proiecţia orizontală este văzută până la 1, revăzută deci reprezentată cu linie întreruptă de la 2 până la muchia de rontur aparent cs, apoi văzută în rontinuare.

în planul vertical ambele rroiecţii ale punctelor de intersecţie sunt văzute, fiind situate pe feţe văzute.

Altă posibilitate de isterminare a punctelor de intersecţie este aceea care foloseşte ca plan ajutător planul care conţine vârful riramidei (fig. 6.25).

In această situaţie se găseşte -rma orizontală a planului determinat de dreapta dată D şi de o altă dreaptă T care :onţine vârful S, intersectată cu D. Se determină urmele orizontale ale celor două repte prin care se trasează urma orizontală a planului. Acesta intersectează baza

88 Capitolul 6

prismei în m şi n, care unite cu s dau poligonul de secţionare.Proiecţia orizontală a dreptei intersectează acest poligon în 1 şi 2, care sunt proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie. Proiecţiile verticale se determină la intersecţia liniilor de ordine cu proiecţia verticală d' a dreptei.

In proiecţie orizontală punctul I este văzut şi punctul II este nevăzut iar în proiecţie verticală ambele puncte sunt văzute.

6.8. Intersecţiide poliedre

Poliedrele se intersectează după unul sau două poligoane de intersecţie, care rezultă prin unirea punctelor de intersecţie a muchiilor unui poliedru cu feţele celuilalt poliedru.

Dacă toate muchiile unui poliedru participă la intersecţie, atunci rezultă două poligoane de intersecţie, aceasta numindu-se pătrundere.

Dacă cele două poliedre care se intersectează au cel puţin câte o muchie care nu participă la intersecţie atunci rezultă un singur poligon de intersecţie, aceasta numindu-se rupere.

Poligoanele de intersecţie pot fi poligoane plane sau poligoane strâmbe.Partea comună a celor două poliedre care se intersectează se numeşte solid

comun.Vârfurile poligoanelor de intersecţie sunt punctele în care muchiile unui

poliedru intersectează feţele celuilalt poliedru. Laturile poligoanelor sunt dreptele rezultate din intersecţia feţelor unui poliedru cu feţele celuilalt poliedru. De aici rezultă că intersecţia poliedrelor se rezolvă prin intersectarea unei drepte cu un plan sau prin intersectarea a două plane, respectiv a două feţe. Prima metodă este cea mai utilizată fiind mai simplă, mai explicită şi nu se caută intersecţii care în realitate nu există, deci plane care nu se intersectează.

Pentru a intersecta o muchie a unui poliedru cu faţa altui poliedru este necesar să se traseze un plan auxiliar prin muchie, aşa cum s-a arătat la intersecţia poliedrelor cu dreapta.

Planele care secţionează ambele poliedre se numesc plane utile. Dintre acestea, cele extreme se numesc plane limită.

Există patru cazuri posibile de intersecţie (fig. 6.26). Dacă planele limită intersectează baza unui poliedru intersecţia este o pătrundere (fig. 6.26.a). Dacă un

Fig. 6.25.

Poliedre 89

plan limită intersectează baza unui poliedru iar celălalt plan limită intersectează baza celuilalt poliedru, atunci intersecţia este o rupere (fig. 6.26.b). Dacă un plan limită intersectează o singură bază iar celălalt trece prin vârfurile celor două baze există o pătrundere tangenţială simplă (fig. 6.26.c). Dacă cele două plane limită trec numai prin vârfuri ale bazelor, atunci pătrunderea este tangenţială dublă (fig. 6.26.d).

Unirea punctelor de intersecţie se face după regula mobilului, cu linii continue dacă ambele puncte sunt văzute şi cu linii întrerupte dacă un punct este văzut şi celălalt nevăzut, sau ambele sunt nevăzute.

Ordinea de unire a punctelor din figura 6.26.a este următoarea:- primul poligon - m l - b3 -15 - n7 - b4 - m l;- al doilea poligon - m2 -16 - n8 - m2.

-11 - b 3 - c7 -12 -m 6 - c8 -m 5 ~b4 -11.Etapele de rezolvare a intersecţiei dintre două poliedre sunt următoarele:- aflarea planelor utile şi limită;- determinarea punctelor de intersecţie dintre muchii şi feţe;- unirea punctelor de intersecţie conform metodei mobilului;- studiul vizibilităţii laturilor poligonului de intersecţie şi a muchiilor

poliedrelor.

a. Intersecţia dintre două prismeSe dau două prisme oblice cu bazele în planul orizontal de proiecţie (fig.

5.27). Pentru determinarea urmelor orizontale ale planelor de secţionare se trasează :rintr-un punct oarecare T două drepte paralele cu muchiile prismelor. Unind urmele :nzontale ale celor două drepte se obţine urma orizontală a planului de secţionare sau irecţia pentru trasarea urmelor planelor de secţionare prin vârfurile bazelor. Se observă că planele limită trec prin vârfurile 1, m, n şi r, care aparţin unei prisme, ca

90 Capitolul 6

atare intersecţia este pătrundere. Planele trasate prin b şi c nu intersectează baza celeilalte prisme, ca atare muchiile respective nu participă la intersecţie, zonele din baze situate între vârfuri şi planele limită fiind haşurate.

Fig. 6.27.

Pentru determinarea punctelor de intersecţie ale muchiilor unei prisme cu feţele celeilalte prisme se procedează în felul următor:

- se notează punctele de intersecţie ale planelor limită şi utile cu laturile bazelor cu cifre (planul i corespunzător muchiei 1 determină punctele 1 şi 2);

- se trasează prin punctele determinate paralele la muchiile prismei căreia îiaparţin;

se intersectează muchia 1 cu cele două drepte şi se notează cu combinaţia dintre denumiri (11 şi 12), după care se procedează în acelaşi fel cu toate muchiile care participă la intersecţie.

Pentru unirea punctelor se scrie regula mobilului în felul următor:

Poliedre 91

- se porneşte de la un plan limită pe bazele celor două prisme, în acelaşi sens;- se notează toate combinaţiile găsite, dintre muchii şi drepte;- pe fiecare bază se face un circuit complet, sau dus-întors dacă o zonă nu

participă la intersecţie.Pentru exemplul dat regula mobilului este următoarea:

11 - a3 - r7 - n9 - m5 - a4 -11. primul poligon; 12 - m6 - nlO - r8 -12, al doilea poligon.

Vizibilitatea punctelor se stabileşte pentru fiecare proiecţie. Pentru proiecţia orizontală punctele văzute sunt subliniate. Ele sunt văzute dacă muchia şi dreapta care le determină sunt văzute.

Muchiile poligonului de intersecţie sunt văzute dacă ambele vârfuri suntvăzute.

Pentru proiecţia verticală ordinea de unire a vârfurilor este aceeaşi dar vizibilitatea este alta, stabilită în acelaşi fel, punctele fiind barate aşa cum se observă la al doilea poligon.

b. Intersecţia prismei cu piramidaSe dă o prismă oblică patrulateră şi o piramidă oblică triunghiulară (fig. 6.28)

rrismei şi să conţină vârful piramidei. Urmele orizontale ale acestora se determină cu l utorul unei drepte care trece prin vârful piramidei şi este paralelă cu muchiile

prismei. Se determină urma orizontală a dreptei, care se uneşte cu vârfurile bazelor celor două corpuri. Planele limită trec prin vârful 1 a bazei piramidei şi d a bazei prismei, deci intersecţia este o rupere.

Punctele de intersecţie, respectiv vârfurile poligonului de intersecţie, se stabilesc în acelaşi mod ca la problema anterioară, cu deosebirea că la piramidă punctele de pe bază se unesc cu vârful piramidei. Ordinea de unire a punctelor este următoarea:

fi - d7 - c 3 - 1 2 - c 4 - m6 - d8 - m.5 - 11.Punctele văzute în proiecţie orizontală sunt subliniate iar cele văzute în

proiecţie verticală sunt barate.Analizând vizibilitatea din proiecţia verticală se observă că latura 11 - m5 a

poligonului este figurată cu linie întreruptă, cu toate că ambele puncte sunt barate, deci nu se respectă regula stabilită anterior. Acest lucru este datorat faptului că latura 11 - m5 se află pe o faţă nevăzută în proiecţie verticală, deci este nevăzută.

a. Intersecţia a două piramideSe dau două piramide oblice triunghiulare cu bazeile în planul orizontal de

proiecţie (fig. 6.29). Planele de secţionare trebuie să conţină muchiile piramidelor, deci şi vârfurile. Deoarece piramidele au bazele situate în planul orizontal este necesar să se determine urmele orizontale ale planelor auxiliare. Acestea se determină cu ajutorul unei drepte care conţine vârfurile piramidelor.

92 Capitolul 6 ______________________________________________________

Fig. 6.29.

Poliedre 93

Urma orizontală a dreptei se uneşte cu vârfurile bazelor piramidelor şi se obţin urmele planelor limită prin muchia 1 a unei piramide şi muchia c a celeilalte piramide. în acest

două piramide.Unirea punctelor se face după regula mobilului, în felul următor:

U - c7 - b3 -12 - b4 - m6 - c 8 - m 5 - i l .Punctele văzute în proiecţie orizontală sunt subliniate iar cele văzute în

proiecţie verticală sunt barate.

e. Intersecţia piramidei drepte cu baza în planul orizontal cu prisma orizontală cu baza în planul vertical

Pentru determinarea urmelor planelor de secţionare se trasează o dreaptă orizontală prin vârful piramidei, paralelă cu muchiile prismei, a cărei urmă verticală sste v' (fig. 6.30).

Urmele verticale ale planelor de secţionare trec prin v' iar urmele orizontale sunt paralele cu muchiile prismei. Se observă că intersecţia este o rupere având o neparticipare din partea piramidei şi o neparticipare din partea prismei.

Ordinea de unire a vârfurilor solidului comun este următoarea: al - c 3 - n 6 - c 4 - m8- a2 - m l -n5 - al.

Vizibilitatea laturilor poligonului rezultat şi a muchiilor celor două corpuri se stabileşte la fel ca la problemele anterioare..

94 Capitolul 6

f. Prisma fronto-orizontală intersectată cu prisma verticalăDeoarece feţele laterale ale prismei verticale sunt plane verticale, acestea dau

proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie dintre cele două prisme: m l, m2, n5 şi n6 (fig. 6.31).

Se observă că muchiile b şi 1 a celor două prisme nu participă la intersecţie deci intersecţia este o rupere. Muchiile b şi c participă la intersecţie dar punctele de intersecţie ale lor cu feţele celeilalte prisme se determină în proiecţie laterală deoarece feţele prismei LMN sunt plane proiectante la planul lateral de proiecţie.

De pe planul lateral rezultă punctele de intersecţie a7, a8, c3 şi c4.Ordinea de unire a punctelor de intersecţie se determină cu regula mobilului

-pe cele două baze ale prismelor şi este:a7 - c3 - n5 - c4 - m l - a8 - m2 - n6 - a7.Poligonul de intersecţie se trasează doar pe planul vertical de proiecţie, pe

planul orizontal şi pe cel lateral fiind suprapus bazelor celor două prisme.

g. Prisma dreaptă paralelă cu V intersectată cu piramida cu baza în planul orizontal

în situaţiile în care poziţiile corpurilor sunt particulare faţă de planele de proiecţie nu este necesr să se folosească plane auxiliare pentru determinarea poligoanelor de intersecţie (fig. 6.32).

Faţa superioară a prismei este un plan de nivel aşa că din proiecţia verticală rezultă poligonul 1-2-3-1 de intersecţie cu vârful piramidei.

Faţa laterală lm a prismei este un plan de front care dă vârrfurile 4-6-5-4 ale poligonului de intersecţie cu vârful b a piramidei, 4 şi 6 rezultând din intersecţia cu baza piramidei iar 5 din intersecţia planului cu muchia bs.

Poliedre 95

Faţa laterală nr a prismei este tot un plan de front care dă vârfurile 7-9-8-7 ale poligonului de intersecţie cu vârful c a piramidei.

Acelaşi lucru se observă şi din proiecţia laterală a intersecţiei celor douăcorpuri.

fa. Intersecţia coloanei cu soclul

O coloanăhexagonală verticalăintersectează un soclu de forma unei piramide patrulatere cu vârful situat pe axa coloanei, după un

y poligon spaţial (fig. 6.33).Prisma fiind dreaptă

toate feţele ei sunt plane verticale, deci proiecţiile orizontale ale poligonului de intersecţie se suprapun bazei prismei. Se observă că muchiile c şi f ale prismei se intersectează cu muchiile

m şi r ale piramidei.Punctele de intersecţie ale

muchiilor b, d, e şi a ale prismei intersectează feţele piramidei înpunctele bl, d2, e3 şi a4, situate la intersecţia cu urmele planelor verticale determinate de muchii şi vârful piramidei.

Punctele de intersecţie alemuchiilor 1 şi n cu feţele prismei, care sunt plane verticale, rezultă din proiecţia orizontală.

Ordinea de unire a punctelor se stabileşte pe proiecţia orizontală a bazei prismei.

Vizibilitatea se stabileşte doar pentru proiecţia verticală, pe planul H poligonul de secţionare suprapunându- se bazei prismei. Fig. 6.33.

96 Capitolul 6

Probleme propuse

1. Să se figureze proiecţiile secţiunii plane dintre prisma dreaptă cu baza situată într-un plan de nivel şi un plan de capăt P, care secţionează şi baza prismei. Să se afle adevărata mărime a secţiunii şi să se desfăşoare prisma rămasă.

2. Să se determine proiecţiile poligonului de intersecţie dintre prisma dreaptă cu baza un patrulater situat în planul H şi planul oarecare P, a cărui urmă orizontală PH taie baza prismei. Să se afle adevărata mărime a secţiunii şi să se facă desfăşurarea.

3. Să se găsească proiecţiile secţiunii determinate de un plan cu urmele în prelungire într-o prismă dreaptă triunghiulară.

4. Să se determine adevărata mărime a secţiunii dintre prisma oblică, cu baza triunghiulară situată în planul orizontal şi un plan oarecare P.

5. Să se determine proiecţiile secţiunii realizate de un plan ce trece prin Ox, într-o piramidă dreaptă cu baza în planul H. Să se afle adevărata mărime a secţiunii şi desfăşurata.

6. Să se rezolve intersecţia dintre piramida dreaptă cu baza situată în planul H şi un plan vertical P.

7. Să se afle punctele de intersecţie dintre o dreaptă de capăt şi o prismădreaptă.

8. Să se determine punctele de intersecţie dintre o dreaptă de profil T şi o prismă dreaptă patrulateră.

9. Să se afle punctele de intersecţie I şi E dintre o dreaptă fronto-orizontală şio prismă oblică.

10. Să se construiască intersecţia dintre o dreaptă verticală şi o piramidădreaptă.

11. Să se construiască intersecţia unei fronto-orizontale T, cu piramida oblică.12. Să se determine proiecţiile intersecţiei dintre o dreaptă de profil şi o

piramidă oblică.13. Să se afle intersecţia dintre două prisme oblice, având bazele în planul

orizontal de proiecţie.14. Să se afle intersecţia dintre două prisme oblice cu bazele în plane diferite.15. Să se afle intersecţia dintre o prismă şi o piramidă, ambele poliedre fiind

oblice şi cu bazele situate în planul H.16. Să se afle intersecţia dintre două piramide oblice cu bazele în planul H.17. Să se afle intersecţia dintre două piramide oblice, având bazele în plane

diferite, H şi V.

C A P I T O L U L 7

SUPRAFEŢE DE ROTATIE9 5

7.1. ClasificăriSuprafeţele de rotaţie sunt suprafeţele generate prin rotaţia unei linii drepte

sau curbe în jurul unui ax. Aceste suprafeţe poartă denumirea de suprafeţe cilindro- conice.

Suprafeţele de rotaţie sunt numite suprafeţe riglate atunci când generatoarele sunt linii drepte şi suprafeţe neriglate atunci când generatoarele sunt linii curbe. Dacă suprafeţele se pot desfăşură pe un plan se numesc suprafeţe desfăşurabile iar dacă nu se pot desfăşură se numesc suprafeţe nedesfăşurabile. Dintre aceste suprafeţe se studiază cilindrul, conul şi sfera.

Cilindrul este generat de o dreaptă D care se roteşte în jurul unui ax, cu care este paralelă. Curba pe care se roteşte se numeşte curbă directoare şi este un cerc.

Conul este generat de o dreaptă D care se rotaşte în jurul unui ax, cu care este concurentă într-un punct fix numit vârful conului. Conul poate avea două pânze, care sunt suprafeţele conului, situate de o parte şi de alta a vârfului.

Dacă axul de rotaţie este vertical rezultă cilindru sau con drept. Dacă axul de rotaţie este o dreaptă oarecare rezultă cilindru sau con oblic.

Sfera este suprafaţa generată prin rotaţia unui cerc în jurul unui diametru al său. Distanţa de la centrul sferei la oricare punct a suprafeţei sale este raza sferei.

Suprafeţele cilindro-conice se reprezintă în epură prin proiecţiile cercului director şi ale generatoarelor aparente de direcţie dată sau ale vârfului în cazul conului.

Contururile aparente, orizontal, vertical şi lateral, sunt suprafeţe limitate de curbe şi drepte, în interiorul cărora se proiectează toate punctele suprafeţei de rotaţie.

Contururile aparente ale sferei sunt cercuri egale între ele rezultate prin secţionarea sferei cu plane paralele cu planele de proiecţie, care trec prin centrul sferei.

Pentru cilindru şi con contururile aparente sunt diferite pe cele trei plane de proiecţie. în interiorul unui contur aparent unele puncte sau drepte sunt văzute,altele nevăzute. Pentru studiul vizibilităţii se utilizează puncte acoperitoare, ştiind că în rroiecţie orizontală sunt văzute punctele cu cota mai mare iar în proiecţie verticală sunt văzute punctele cu depărtarea mai mare.

7.2. Cilindrul şi conul drept. Punct pe suprafaţăCilindrul drept, al cărui cerc director se află în planul orizontal de proiecţie,

98 Capitolul 7

Fig. 7.1.

are conturul aparent orizontal chiar proiecţia cercului, care este văzut în întregime.Conturul aparent vertical şi cel lateral sunt date de proiecţiile cercurilor de

bază şi generatoarele tangente la cercul director (fig. 7.1.a). Acestea sunt generatoarelede abscisă maximă şi minimă pentru proiecţia verticală şi generatoarele de depărtare maximă şi minimă pentru proiecţia laterală. în interiorul conturului aparent vertical se văd generatoarele situate pe semicercul adb, deci cele cu depărtarea mai mare.

Un punct oarecare M aparţine suprafeţei cilindrice dacă proiecţiile sale se află pe proiecţiile corespunzătoare ale unei generatoare. Dacă este dată doar proiecţia verticală m' a punctului,

proiecţia orizontală poate să fie mi dacă proiecţia verticală este văzută, sau m2 dacă proiecţia verticală este nevăzută.

Conul drept se reprezintă pe planul orizontal prin cercul director şi proiecţia vârfului, situată în centru cercului director, iar pe planul vertical prin proiecţia cercului director şi a două generatoare paralele cu planul vertical(fig. 7.1.b).

Un punct M este situat pe suprafaţa conului dacă proiecţiile lui se află pe proiecţiile corespunzătoare ale aceleaşi generatoare. Dacă se dă proiecţia verticală m' a punctului, proiecţia orizontală este situată pe generatoarea sp dacă punctul este văzut în proiecţie verticală sau pe generatoarea sr dacă punctul este nevăzut în proiecţie verticală.

7.3. Cilindrul şi conul oblic. Punct pe suprafaţăCilindrul oblic, având cercul director în planul orizontal de proiecţie, se

proiectează pe planul orizontal prin cercul de bază şi cercul superior în adevărată mărime şi generatoarele eg şi fh, care sunt tangente la cele două cercuri şi paralele cu direcţia dată d (fig. 7.2).

Pe planul vertical de proiecţie conturul aparent este dat de proiecţiile cercurilor de bază şi ale generatoarelor a'c' şi b'd', tangente la cercuri şi paralele cu direcţia dată d\

Generatoarele de contur aparent orizontal nu sunt aceleaşi cu generatoarele de contur aparent vertical. în proiecţie orizontală sunt văzute generatoarele de pe semicercul de contur aparent eaf şi sunt nevăzute generatoarele de pe semicercul ebf. In proiecţie verticală sunt văzute generatoarele de pe semicercul afb şi sunt nevăzute

Suprafeţe de rotaţie 99

reprezintă pedouă plane de proiecţie prin cercuri cu raza egală cu raza ei. Cercul de contur aparent din proiecţia orizontală, numit cerc ecuator, rezultă prin secţionarea sferei cu un plan de nivel care trece prin centrul sferei. Cercul de contur aparent din proiecţia verticală, numit cerc meridian, rezultă prin secţionarea sferei cu un plan de front care trece prin centrul sferei (fig. 7.4).

100 Capitolul 7

Dacă se cunoaşte proiecţia orizontală m a unui punct M de pe suprafaţa sferei, proiecţia verticală se găseşte pe proiecţia cercului de secţionare a sferei cu un plan de front care conţine punctul M. Dacă proiecţia orizontală ra este văzută, punctul este situat pe semisfera superioară şi proiecţia verticală este mi, iar dacă proiecţia orizontală m este nevăzută, punctul fiind situat pe semisfera inferioară, proiecţia verticală este m2.

Dacă se cunoaşte proiecţia verticală n' a unui punct de pe suprafaţa sferei, proiecţia orizontală se găseşte pe proiecţia cercului de secţionare a sferei cu un plan de nivel care conţine punctul N. Dacă proiecţia verticală n ' este văzută, punctul fiind situat pe semisfera anterioară, proiecţia orizontală este n3, iar dacă proiecţia verticală n! este nevăzută, punctul fiind situat pe semisfera posterioară, proiecţia orizontală este n4.

7.5. Torul şi elipsoidulDacă un cerc se roteşte în jurul unui ax

exterior Z, situat în acelaşi plan cu el, rezultă to ru l Dacă axul Z este vertical, torul mai poartă şi denumirea de inel circular (fig, 7.5).

Conturul aparent orizontal este dat de cercul 1-4 şi de cercul 2-3, ambele cu central în proiecţia orizontală a axului Z.

Conturul aparent vertical este dat de semicercurile 6 '1 '5 ' şi 7 '4 '8 ' şi de tangentele la aceste semicercuri, respectiv proiecţia verticală a cercurilor 5’-7’ şi 6'-8'.

Pentru a determina poziţia unui punct M, de pe suprafaţa torului, când se cunoaşte proiecţia orizontală m, se figurează cercul care conţine punctul, după care se determină proiecţia verticală a acestui cerc. Problema admite două soluţii deoarece cercului trasat prin m în proiecţie orizontală îi corespund două

cercuri în proiecţie verticală, simetrice faţă de cercul 1-4, care dă conturul aparent orizontal. Ca atare, proiecţia verticală este m 'j dacă în proiecţie orizontală m este nevăzut sau m'2 dacă în proiecţie orizontală m este văzut.

Fig. 7.5.

Fig. 7.4.

Suprafeţe de rotaţie 1Q1

| rsrc se roteşte în jurul unui ax e ' iceiaşi plan cu el, rezultă

I es:e vertical, torul mai poartă t î nrcular (fig. 7.5).i ¿r^rent orizontal este dat de cer: _l 2-3, ambele cu centrul în

Kl.I i axului Z.î -riren t vertical este dat de1 5 ş; " '4 '8 ' şi de tangentele la

- rectiv proiecţia verticală

i :;:ennm a poziţia unui punct n toiului, când se cunoaşte

- - 1 m. se figurează cercul care— : upă care se determină

a acestui cerc. Problema— :r;arece cercului trasat prin rc.zcntală îi corespund două

- 1-4. care dă conturul aparent & ir rroiectie orizontală m este

r

Proiecţia orizontală a unui punct N, pentru care se dă proiecţia verticală, se determină pe cercul rezultat prin secţionarea torului cu un plan de nivel ce conţine punctul. In această situaţie problema admite patru soluţii, respectiv deoareceprin secţionarea torului cu un plan de nivel rezultă două cercuri.

Elipsoidul se obţine prin rotirea unei elipse în jurul uneia din axele sale (fig. 7.6). Suprafaţa rezultată prin rotaţia elipsei în jurul axei mari este un elipsoid alungit, iar cea rezultată prin rotaţia în jurul axei mici este un elipsoid turtit.

Pentru elipsoidul de rotaţie meridianul este o elipsă iar ecuatorul un cerc, deci conturul aparent vertical este o elipsă meridian, iar conturul aparent orizontal este un cerc ecuator.

Conturul aparent din planul lateral este tot o elipsă, congruentă cu cea din planul vertical.

Figurarea proiecţiilor unui punct de pe suprafaţă, atunci când una din proiecţiile sale este cunoscută, se face prin metoda generală aplicată la suprafeţele de rotaţie, respectiv prin secţionare cu

Fig. 7.6.

un plan de nivel pentru cazul în care se dă proiecţia orizontală sau cu un plan de front atunci când este dată proiecţia verticală.

7.6. Plane tangentePlanul tangent la o

suprafaţă curbă poate avea un singur punct, sau o infinitate de puncte, comune cusuprafaţa. Dacă există o infinitate de puncte comune acestea se găsesc pe o generatoare a suprafeţei care se numeşte linie de contact.

a. Plan tangent într- un punct situat pesuprafaţă

Fiind dat un cilindru oblic şi un punct M pesuprafaţa acestuia, trebuie să se determine urmele planului 7-7-

102 Capitolul 7

tangent la cilindru în punctul M (fig. 7.7). Pentru aceasta se figurează proiecţiile generatoarei T cilindrului prin punctul M şi ale tangentei D, la cercul de bază al cilindului, în punctul de intersecţie a generatoarei cu baza.

Se determină urmele celor două drepte care sunt concurente, prin care se trasează urmele planului tangent căutat.

Dacă punctul M de tangenţă se află pe suprafaţa unui con oblic (fig. 7.8.a), se procedează ca la problema anterioară, generatoarea conului trasându-se prin proiecţiile punctului dat şi ale vârfului conului.

Fig. 7.8.Dacă punctul M de tangenţă se află pe suprafaţa unei sfere, planul este tangent

într-un singur punct, respectiv M şi perpendicular pe raza sferei trasată din M (fig. 7.8.b).

Ţinând cont de această observaţie, urmele planului de tangenţă trec prin urmele dreptelor, orizontală şi frontală, care conţin punctul M şi sunt perpendiculare pe raza sferei.

b. Plan tangent care conţine un punct exterior suprafeţei

Un plan care conţine un punct M şi este tangent la un cilindru oblic este determinat de o dreaptă D care conţine punctul M şi este paralelă cu generatoarele cilindrului şi o altă dreaptă care trece prin urma orizontală h a dreptei D şi este tangentă la cercul

Suprafeţe de rotaţie 1Q3

de bază a cilindrului (fig. 7.9).Se observă că problema admite două soluţii deoarece prin urma orizontală h se

pot trasa două tangente la cercul de bază a cilindrului.Planul căutat este tangent la cilindru după generatoarea 1 sau 2, după cum se

foloseşte tangenta tj sau t2 pentru determinarea acestuia.Dacă planul trebuie să fie tangent unui con oblic, pentru determinarea lui se

foloseşte dreapta prin punctul M şi vârful conului şi tangenta T¡ sau T2 la cercul de bază a conului, care trece prin urma orizontală h a dreptei D (fig. 7.10.a).

Planul tangent la sferă, printr-un punct M exterior acesteia, se determină cu ajutorul unui con care are vârful în punctul M şi este tangent la sferă (fig. 7.10.b). Fiecare generatoare a acestui con este o linie de contact a unui plan tangent la sferă, ca

104 Capitolul 7

c. Plan tangent, paralel cu o dreaptă datăPentru determinarea planului tangent la un cilindru oblic, paralel cu dreapta D

dată, se figurează, printr-un punct A arbitrar două drepte: Di paralelă cu dreapta D şi R paralelă cu generatoarele cilindrului (fig. 7.11).

Se determină urmele orizontale ale celor două drepte prin care se trasează urma orizontală PH a unui plan paralel cu dreapta D şi cu cilindrul oblic. Paralel la urma PH se trasează urma Pj sau P2 a planului tangent la cilindru, după generatoarea 1 sau 2.

Planul tangent la conul oblic, paralel cu o dreaptă dată, se determină cu ajutorul unei drepte Du paralelă cu dreapta D, care trece prin vârful conului şi a unei tangente la cercul de bază a conului şi care conţine urma orizontală a dreptei Di (fig. 7.12.a).

Se observă că problem a admite două soluţii întrucât din h se pot trasa două tangente la cercul de bază a conului. Generatoarele de contact dintre plan şi con sunt Îs şi 2s.

Planul tangent la sferă, paralel cu o direcţie dată, se determină cu ajutorul unui cilindru circumscris sferei ale cărei generatoare sunt paralele cu direcţia dată (fig. 7.12.b). Şi această problem ă admite o infinitate de soluţii, fiecare generatoare fiind paralelă cu dreapta dată poate fi linia de contact a unui plan tangent.

d. Plan tangent paralel cu un plan dat

Această problemă se întâlneşte la sferă. Planul tangent la sferă este perpendicular pe raza sferei trasată în punctul de tangenţă (fig. 7.13). Se trasează dreapta D care conţine raza perpendiculară pe urmele planului P dat. Pentru a afla

rSuprafeţe de rotaţie 105

punctul în care dreapta intersectează sfera se ia un alt punct arbitrar A pe dreapta D. Se transformă dreapta D în frontală, prin rotaţie în jurul axului vertical Z care trece prin centrul sferei. Noua proiecţie verticală a dreptei, d \ , intersectează cercul meridian în b'i. Printr-o rotaţie inversă se obţine punctul B, punct de contact a planului căutat cu sfera. Se trasează o dreaptă

orizontală prin punctul B şi se determină urma verticală, v', a acesteia. Urma verticală Tv a planului căutat trece prin v' şi este paralelă cu Pv, iar urma orizontală TH este paralelă cu PH.

7.7. Secţiuni plane şi desfăşurări la cilindruCilindrul de rotaţie poate fi asimilat cu o prismă care are un număr mare de

laturi. Ca atare, pentru trasarea secţiunilor plane în cilindru trebuie să se determine punctele de intersecţie ale generatoarelor cu planul de secţionare, ca şi la prismă.

Secţiunile pot să fie drepte (cu plane perpendiculare pe axul cilindrului), oblice (cu plane înclinate faţă de axul cilindrului) sau longitudinale (cu plane paralele cu axul cilindrului).

a. Secţionarea cilindrului drept cu plan proiectant (fig. 7.14).

în situaţia în care planul este proiectant la planul vertical de proiecţie, se

106 Capitolul 7

împarte cercul de bază într-un număr oarecare de părţi egale şi se determină punctele de intersecţie ale generatoarelor, care sunt drepte verticale, cu planul. Aceste puncte au proiecţiile orizontalesuprapuse generatoarelor iar proiecţiile verticale pe urma verticală a planului.

Secţiunea este oelipsă a cărei adevărată mărime se obţine prin rabatere pe planul orizontal, în jurul

Fig. 7.15. urmei PH. Axa mare a elipseieste segmentul V T din

proiecţia verticală iar axa mică este diametrul cercului de bază. Elipsa apare pe planul lateral de proiecţie, dar este deformată.

Desfăşurarea suprafeţei laterale a cilindrului pe un plan se face considerând cercul de bază desfăşurat pe o linie dreaptă, generatoarele care sunt drepte verticale fiind figurate perpendicular pe linia considerată, adevărata mărime a acestora luându-se din proiecţia verticală (fig. 7.15).

Pentru ca desfăşurarea să fie completă, tangent la desfăşurata bazei se figurează cercul de bază iar tangent la desfăşurata curbei de secţionare se figurează adevărata mărime a elipsei din planul rabătut.

Dacă pianul de secţionare a cilindrului drept este proiectant la planul orizontal de proiecţie (fig. 7.16), urma orizontală intersectează cercul de bază în două puncte ale căror proiecţii sunt a şi b. Cilindrul fiind drept, cercul superior este intersectat şi el, în alte două puncte, 1 şi 2, ale căror proiecţii orizontale se suprapun primelor, pe urma orizontală a planului. Suprafaţa laterală este intersectată după două generatoare, care sunt drepte verticale, cu proiecţiile orizontale suprapuse proiecţiilor punctelor de intersecţie cu cercurile de bază. Adevărata mărime a figurii rezultate prin secţionare se determină prin rabatere pe planul orizontal, în jurul urmei orizontale PH.

b. Secţionarea cilindrului drept cu pîan oarecare

Şi în cazul secţionării unui cilindru drept cu un plan oarecare dat prin urme,


curba de secţionare este o elipsă a cărei proiecţie orizontală se suprapune cercului de bază (fig.7.17).

Elipsa fiind conţinută în plan, proiecţia verticală se determină cu ajutorul unor drepte orizontale (sau frontale) trasate prin proiecţiile orizontale ale punctelor cunoscute sau stabilite pe baza cilindrului.

Proiecţiile verticale rezultă la intersecţia liniilor de ordine cu proiecţiile verticale ale orizontalelor (sau frontalelor).

Adevărata mărime a elipsei se obţine prin rabatere, cu ajutorul triunghiurilor de rabatere, pe unul din planele de proiecţie, în figura prezentată pe planul orizontal prin Transpunerea cotelor pe paralelele la axul de rabatere, aşa cum s-a procedat

Fig. 7.18.

corespunzătoare proiecţiilor verticale.

Fig. 7.17.

pentru punctul VH.

Planul de secţionare fiind plan proiectant la planul vertical de proiecţie (fig.7.18), proiecţia verticală a elipsei de secţionare estecunoscută deoarece estesituată pe urma verticală a planului, la intersecţia cu proiecţiile verticale alegeneratoarelor. Proiecţia orizontală a elipsei sedetermină prin intersectarea linilor de ordine, trasate din proiecţia verticală, cuproiecţiile orizontale alegeneratoarelor

c. Secţionarea cilindrului oblic cu plan proiectant

108 Capitolul 7

Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabatere pe planul orizontal de proiecţie, în jurul urmei orizontale PH a planului.

In acelaşi mod se determină proiecţiile elipsei de secţionare a cilindrului oblic cu un plan proiectant ia planul orizontal de proiecţie. în această situaţie este cunoscută proiecţia orizontală a elipsei, care se află pe urma orizontală a planului de secţionare.

d. Secţionarea cilindrului oblic cu plan oarecare

Deoarece atât planul cât şi generatoarele cilindrului sunt oarecare, elipsa de secţionare nu se mai poate determina imediat. Pentru determinarea acesteia se aplică o metodă de transformare a proiecţiilor.

Dacă se foloseşte metoda schimbării planelor de proiecţie, planul oarecare se transformă în plan proiectant iar cilindrul oarecare în cilindru frontal (fig. 7.19).

După această transformare problema se rezolvă ca şi în cazul secţionării cu plan proiectant, în sistemul 0 ,x ,. Adevărata mărime a secţiunii se determină prin


rabaterea planului vertical V! pe planul orizontal. Dacă urmele planului de secţionare sunt perpendiculare pe generatoarele cilindrului, în planul vertical Vi generatoarele sunt reprezentate în adevărată mărime fiind drepte frontale, astfel că se poate face desfăşurarea doar pentru partea de sub planul de secţionare (fig. 7.20) sau pentru tot cilindrul.

Pe o linie orizontală se desfăşoară elipsa de secţionare în adevărată mărime. Adevăratele mărimi ale generatoarelor se iau din planul Vi şi se reprezintă perpendicular pe linia ‘7'20'de desfăşurare a elipsei de secţionare. Baza cilindrului se ia din planul orizontal elipsa de secţionare se construieşte grafic, având axele cunoscute.

iar

7=8. Intersecţia dreptei cu cilindrulPentru a afla punctele de intersecţie ale unei drepte cu o suprafaţă cilindrică se

procedează ca şi la prismă, respectiv se determină punctele de intersecţie ale dreptei cu suprafaţa rezultată prin secţionarea cilindrului cu un plan secant auxiliar care conţine dreapta. Planul poate să fie proiectant ia un plan de proiecţie sau paralel cu generatoarele cilindrului.

a, Intersecţia dreptei cu cilindru! drept

în această situaţie proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie se găsesc la intersecţia proiecţiei orizontale a cercului de bază al cilindrului cu proiecţia orizontală a dreptei (fig.'.21). Proiecţiile verticale ale punctelor deintersecţie se determină cu linii de ordine, peproiecţia verticală a dreptei.

In proiecţie orizontala dreapta este văzută in exteriorul cercului de bază al cilindrului. în proiecţie verticală, punctul I fiind nevăzut, dreapta este văzută până la conturul aparent alcilindrului şi de la punctul 2 (punct văzut) în Fig• 7.21.dreapta.

b. In ter secţia dreptei cu cilindrul oblic

Punctele de intersecţie ale unei drepte oarecare cu un cilindru oblic se

110 Capitolul 7

7.9. Secţiuni plane şi desfăşurări la conUn plan oarecare secţionează un con după o conică, care este o elipsă, o

hiperbolă sau o parabolă, după cum planul secţionează toate generatoarele, este paralel cu o generatoare sau nu secţionează şi nu este paralel cu o generatoare.

determină cu ajutorul unui plan care secţionează cilindrul. Dacă se foloseşte un planproiectant la planul vertical de proiecţie care conţine dreapta (fig. 7.22), acesta secţionează cilindrul transversal, după o elipsă.

Se determină proiecţia orizontală a elipsei care este intersectată de proiecţia orizontală a dreptei în două puncte, M şi N, acestea fiind punctele căutate. în proiecţie orizontală punctul M este văzut şi N nevăzut iar în proiecţie verticală punctul M este nevăzut şi N este văzut. Vizibilitatea dreptei se stabileşte ţinând cont de cele de mai sus.

Dacă se doreşte secţionarea longitudinală a cilindrului cu un plan paralel cu generatoarele (fig. 7.23), atunci printr-un punct arbitrar I de pe dreaptă se figurează o dreaptă T

Fig. 7.22.paralelă cu generatoarele cilindrului. Se determină urmele orizontale ale dreptelor D şi T, care dau urma orizontală a planului P de secţionare a cilindrului.

Urma PH intersectează baza cilindrului în punctele M şi N, prin care se trasează cele două generatoare, după care planul P secţionează cilindrul .Punctele de intersecţie ale dreptei cu cilindrul sunt punctele de intersecţie ale dreptei cu cele două generatoare.

Vizibilitatea dreptei se stabileşte ţinând cont că atât în proiecţie orizontală cât şi în proiecţie verticală, punctul I este văzut iar punctul

Fig. 7.23.

II este nevăzut.


a. Secţionarea conului cu plan de capăt - secţiune elipsăDacă planul P secţionează toate generatoarele secţiunea este o elipsă care se

proiectează pe planul vertical pe urma Pv a planului de secţionare (fig. 7.24).

Fig. 7.24Proiecţia orizontală a elipsei se construieşte prin puncte. Cunoscând proiecţiile

verticale ale punctelor pe urma planului, proiecţiile orizontale rezultă la intersecţia liniilor de ordine cu proiecţiile orizontale ale generatoarelor corespunzătoare. Proiecţiile orizontale ale punctelor situate pe generatoarele drepte de profil, se determină prin secţionarea conului cu un plan de nivel N. Planul de nivel secţionează conul după un cerc, a cărui proiecţie orizontală intersectează generatoarele în punctele căutate.

Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabaterea planului de secţionare pe planul orizontal.

Pentru desfăşurarea suprafeţei laterale, (fig. 7.25), se asimilează conul cu o piramidă înscrisă cu un număr mare de feţe laterale. Pentru desfăşurare este necesar să se cunoască adevărata mărime a generatoarelor, distanţa de la vârf la punctele de intersecţie ale generatoarelor şi adevărata mărime a secţiunii şi a cercului de bază.

La conul drept generatoarele se află în adevărată mărime pe planul vertical,

112 Capitolul 7

respectiv pe proiecţia verticală a generatoarelor de contur aparent care sunt drepte frontale.

După fixarea unui punct pentru desfăşurarea vârfului conului se trasează un arc de cerc cu raza egală cu adevărata mărime a generatoarelor pe care se desfăşoară cercul de bază din planul orizontal.Distanţa de la bază la punctele de intersecţie se măsoară tot pe proiecţia verticală a generatoarelor de contur aparent, după efectuarea unei rotaţii de nivel şi transformarea generatoarelor în drepte frontale. Ca atare, distanţa BII se ia de pe proiecţia s'g' de la g! la2' i . Adevărata mărime a cercului de bază se ia din proiecţia orizontală iar a secţiunii din planul rabătut.

b. Secţionarea conului cu plan de capăt - secţiune parabolăDacă planul de secţionare are urma verticală Pv paralelă cu o generatoare

secţiunea care rezultă este o parabolă (fig. 7.26.).Punctele de intersecţie cu

generatoarele se determină în acelaşi fel ca la problema anterioară. în acest caz planul nu intersectează toate generatoarele, în schimb, intersectează cercul de bază în două puncte. Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabaterea planului P pe planul orizontal de proiecţie. Desfăşurarea se face în acelaşi fel ca la problema anterioară.

b. Secţionarea conului cu plan de capăt - secţiune hiperbolă

Dacă planul de secţionare nu intersectează toate generatoarele şi nu este paralel cu nici una, secţiunea care rezultă este o hiperbolă (fig. 7.27).

Proiecţiile punctelor de intersecţie Fig. 1.21. ale generatoarelor cu planul de secţionare


se determină în acelaşi fel ca la problemele anterioare.Adevărata mărime a secţiunii se determină prin rabaterea planului de

secţionare pe planul orizontal de proiecţie.Desfăşurarea se face în acelaşi mod.

d. Secţionarea conului drept cu plan verticalUn plan vertical secţionează conul

drept tot după o hiperbolă deoarece nu intersectează toate generatoarele şi nu este paralel cu nici una (fig. 7.28). Proiecţia orizontală a hiperbolei se găseste pe urma orizontală PH a planului de secţionare.

Proiecţia verticală a hiperbolei se determină la intersecţia liniilor de ordine cu generatoarele corespunzătoare. Vârful IV a hiperbolei se determină pe generatoarea perpendiculară, în proiecţie orizontală, pe urma PH a planului de secţionare.

Adevărata mărime şi formă a hiperbolei de secţionare se determină prin rabaterea planului de secţionare pe planul orizontal de proiecţie.

Dacă planul de secţionare conţine vârful conului, secţiunea rezultată este un triunghi a cărui adevărată mărime este chiar conturul aparent vertical a conului.

Desfăşurarea se face în acelaşi mod.

e. Secţionarea conului oblic cu plan verticalDeoarece planul de secţionare intersectează toate generatoarele conu-lui

secţiunea este o elipsă (fig. 7.29). Proiecţia orizontală a elipsei se află pe urma orizontală PH a planului de secţionare. Proiecţia verticală a elipsei se determină la xtersecţia liniilor de ordine, ridicate din proiecţia orizontală, cu proiecţia verticală a generatoarelor corespun-zătoare.

Adevărata mărime a elipsei se determină pe planul vertical, prin rabaterea planului P de secţionare.

Adevărata mărime a generatoarelor se determină printr-o rotaţie de nivel în urul unui ax vertical, care trece prin vârful conului, deci prin transformarea generatoa

relor în drepte frontale.Adevărata mărime a segmentelor de la vârful conului la punctele de intersecţie

a generatoare-lor cu planul se determină la intersecţia liniilor de ordine trasate din proiecţia verticală a elipsei cu proiecţia verticală a generatoarelor după efectuarea rotaţiei.

114 Capitolul 7

Pentru desfăşurare (fig. 7.30), adevărata mărime a cercului de bază se ia din proiecţia orizontală iar adevărata mărime a elipsei de secţionare din planul P rabătut.

7.10, Intersecţia dreptei cu eonulPunctele de intersecţie dintre o dreaptă şi un con se găsesc la intersecţia

dreptei cu curba de secţionare a conului cu un plan care conţine dreapta.


Planul desecţionare poate să fie un plan proiectant la unul din planele de proiecţie sau un plan determinat de vârful conului şi dreaptă.

a. Intersecţia dreptei oarecare eu conul drept

Se consideră un punct oarecare I pe dreaptă (fig. 7.31) prin care se trasează o dreaptă T ce conţine vârful S a conului. Se determină urmele orizontale ale dreptelor D şi T prin care

se trasează urma orizontală a planului de secţionare a conului. Urma planului intersectează cercul de bază în m şi a, care unite cu vârful s dau poligonul de secţionare a conului. Proiecţiile orizontale nas şi ns, fiind conţinute în acelaşi plan cu dreapta D, intersectează proiecţia orizontală a acesteia în 1 şi 2, proiecţiile orizontale ale punctelor căutate.

Proiecţiile verticale 1' şi V se determină la intersecţia liniilor de ordine cu proiecţia verticală a dreptei.

Vizibilitatea dreptei se stabileşte în funcţie de vizibilitatea punctelor de intersecţie, în proiecţie orizontală, conul fiind drept, ambele puncte sunt văzute. în proiecţie verticală ambele puncte sunt nevăzute, deci dreapta este văzutădoar în exteriorul conturului aparent a FiS- P i conului.

b. Intersecţia dreptei cu conul oblicîn cazul conului oblic se procedează la fel ca în exemplul anterior (fig. 7.32),

cu deosebirea că dreapta T ajutătoare este paralelă cu dreapta D dată.

116 Capitolul 7

Se determină urmele orizontale ale dreptelor D şi T prin care se trasează urma orizontală a planului de secţionare a conului. Urma planului intersectează cercul de bază în bî şi n, care unite cu vârful s dau poligonul de secţionare a conului.Proiecţiile orizontale ms şi ns, fiind conţinute în acelaşi plan cu dreapta D, intersectează proiecţia orizontală a acesteia în 1 şi2, proiecţiile orizontale ale punctelor căutate. 7'32'

Proiecţiile verticale V şi 2' se determină la intersecţia liniilor de ordine cu proiecţia verticală a dreptei. Vizibilitatea punctelor, deci şi a dreptei, este aceeaşi pentru ambele proiecţii, respectiv punctul I este văzut iar punctul II este nevăzut. Dreapta este văzută în stânga punctului I şi în dreapta generatoarelor de contur aparent.

Fig. 7.33.

7.11. Secţiuni plane şi desfăşurări Ia sferă

Toate secţiunile plane prin sferă sunt cercuri de rază mai mică sau cel mult egală cu raza sferei. Centrul cercului de secţiune este proiecţia centrului sferei pe planul de secţiune. De obicei, proiecţiile cercului de secţiune sunt deformate.

a. Secţionarea sferei cu plan decapăt

Proiecţia verticală a cercului de secţionare este segmentul 1 '2! situat pe urma verticală Pv a planului (fig. 7.33). Proiecţia verticală a centrului cercului de secţionare se obţine ducând o perpendiculară din centrul sferei la urma planului şi este c'.

Proiecţia orizontală a cercului de


secţionare este o elipsă. Axa mică a elipsei este segmentul 12 obţinut prin coborârea liniilor de ordine din 1' şi 2'. Axa mare este segmentul 78 determinat cu ajutorul planului de nivel N3 trasat prin c \ Acest plan secţionează sfera după un cerc C3 pe a cărui proiecţie orizontală, la intersecţia cu liniile de ordine coborâte din 7' şi 8', se află proiecţiile 7 şi 8.

Alte puncte ale elipsei se obţin cu ajutorul planelor de nivel N1...N5, care secţionează sfera după cercurile C1...C5. Proiecţiile orizontale ale punctelor elipsei se găsesc pe proiecţiile orizontale ale cercurilor de secţionare.

b. Secţionarea sferei cu un plan oarecareCea mai simplă rezolvare a acestei probleme este cea prin metoda schimbării

planelor de proiecţie, când planul oarecare se transformă în plan proiectant şi rezolvarea se face ca la problema anterioară.

Altă metodă de rezolvare este aceea care foloseşte plane ajutătoare de nivel şi de front (fig. 7.34).

Axa mare a proiecţiei pe planul orizontal se determină cu ajutorul planului de nivel Ni care secţionează sfera după cercul ecuator. Pe proiecţia orizontală dlţ a dreptei de intersecţie dintre planele Ni şi P, se află proiecţiile orizontale 1 şi 2, respectiv axa mare a elipsei din planul H. Un alt pian N2, luat arbitrar, intersectează planul P după dreapta D2 a cărei proiecţie orizontalăintersectat cu cercul Q , de secţionare a sferei cu N2, dă proiecţiile orizontale 5 şi 6, ale altor două puncte de pe elipsă. Proiecţiile verticale ale celor patru puncte se găsesc pe urmele verticale ale planelor Ni şi N2.

Axa mare a elipsei din planul vertical se obţine cu ajutorul unui plan de front Fj care trece prin centrul sferei şi intersectează planul P după frontala Fi. La intersecţia proiecţiei verticale a frontalei cu cercul meridian se obţine axa mare 3 '4 '. Proiecţiile orizontale ale celor două puncte, HI şi IV, se obţin la intersecţia liniilor de ordine cu urma Fi.

Alte două puncte se obţin cu ajutorul altui plan de front F2, de poziţie

Fig. 7.34.

118 Capitolul 7

oarecare, ce secţionează sfera după cercul C2 şi planul P după dreapta F2. La intersecţia dintre proiecţia verticală a cercului cu proiecţia verticală a dreptei se află proiecţiile 7' şi 8', care aparţin cercului de secţionare. Cu cât se folosesc mai multe plane de nivel şi de front pentru secţionare cu atât se pot construi mai exact elipsele după care se proiectează cercul de secţionare a sferei cu planul P.

c. Desfăşurarea sfereiSuprafaţa sferei este o suprafaţă nedesfaşurabilă. Totuşi, mai ales în

topografie, se obişnuieşte a se face o desfăşurare aproximativă a sferei prin metoda zonelor sau prin metoda fusurilor sferice.

Zonele, (fig. 7.35), reprezintă suprafeţe ale sferei obţinute prin secţionarea cu plane de nivel echidistante care se desfăşoară. Astfel, suprafaţa cuprinsă între planele Ni şi N2 se poate aproxima cu suprafaţa unui cilindru al cărui cerc de bază are lungimea 2rcR, R fiind raza sferei.

Suprafeţele cuprinse între planele N2 şi N3, respectiv Ni şi N5, se aproximează cu suprafeţele unor trunchiuri de con care se desfăşoară cu razele s^S', respectiv s!)6\

Suprafeţele cuprinse între planele N3 şi N4, respectiv N5 şi N5, se aproximează tot cu suprafeţele unor trunchiuri de con, care au vârful în s’2 şi se desfăşoară cu razele s ' 26 ' ş is ’27 \

Calotele sferice rămase se desfăşoară aproximativ, ca o suprafaţă circulară cu raza r '4, raza cercului de secţionare a sferei cu planul N4, sau ca o suprafaţă conică cu generatoarea V 2 \

Pentru desfăşurarea sferei în fusuri sferice egale între ele se secţionează sfera


cu plane verticale care trec prin centrul sferei şi care deschid între ele acelaşi unghi diedru (fig. 7.36).

Proiecţiile orizontale ale fusurilor pot fi asimilate cu nişte triunghiuri (al2, a23,...). Pentru desfăşurarea aproximativă a unui fus sferic se consideră planele de nivel care determină prin proiecţiile c', b' arce de cerc egale pe fiecare meridian a sferei. Lungimile acestor arce se măsoară între punctele Mt, M2, M3. Pe orizontalele trasate prin aceste puncte se măsoară arcele de cerc 12, ce, bf. Segmentele MiM2, M2M3 şi M3A se iau de pe cercul meridian, respectiv I V , c'b' şi b'a'. Pentru desfăşurarea sferei prin această metodă trebuie să se secţioneze sfera în cel puţin 12 fusuri, deci planele verticale să facă unghiuri de cel mult 3 0 0 între ele.

Fig. 7.36.

7.12. Intersecţia dreptei cu sferaO dreaptă oarecare D, care nu trece prin centrul sferei, intersectează sfera în

două puncte ale căror proiecţii se pot determina prin una din metodele de transformare a proiecţiilor.

Dacă se face o schimbare a planului vertical de proiecţie (fig. 7.37) luându-se axa O ^ i paralelă cu proiecţia orizontală a dreptei D, se obţine noua proiecţie verticală a sferei cu centrul în o'i şi proiecţia verticală a dreptei d 'i, aceasta fiind transformată în dreaptă frontală. Se suprapune dreptei un plan de front F care secţionează sfera după

120 Capitolul 7

> [ s \

o ’ j ! \\â

i ,

1 1 / m i /d/ i \ .

L k

X <% it u ________ Q i

un cerc c \ de rază r, luată din planul orizontal. Cercul determinat intersectează dreapta D în cele două puncte căutate, respectiv în proiecţiile verticale 1 '1; şi 2 \. Cu linii de ordine se determină proiecţiile orizontale ale punctelor de intersecţie, 1 şi 2, la intersecţia acestora cu proiecţia orizontală a dreptei.

Proiecţiile verticale se determină cu linii de ordine trasate din proiecţia orizontală.

în proiecţie orizontală punctul I este văzut, fiind situat pe semisfera superioară, iar punctul II este nevăzut, fiind situat pe semisfera inferioară.

în proiecţie verticală ambele puncte sunt văzute, fiind situate pe semisfera anterioară

Alt procedeu de determinare a punctelor de intersecţie este cel prin metoda rotaţiei (fig. 7.38).

Se figurează perpendiculara pe dreapta D prin centrul sferei, care se roteşte până când se transformă în dreaptă de profil, dreapta D transformându-se în dreapta Di frontală. Suprapunând dreptei Di un plan de front, acesta

ci

secţionează sfera după un cerc a cărei proiecţie verticală este c 'i şi care intersectează pe d'i în l ’i şi 2 \. Se determină proiecţiile orizontale l t şi 2U ale celor două puncte, apoi se ridică rotaţia şi se determină proiecţiile orizontale 1 şi 2 ale punctelor de intersecţie dintre dreapta D şi sferă. Proiecţiile verticale se determină cu linii de ordine.

in proiecţie orizontală punctul I este nevăzut şi punctul II văzut iar în proiecţie verticală punctul I este văzut şi II nevăzut. Vizibilitatea dreptei se stabileşte ţinând cont de vizibilitatea punctelor. Proiecţia orizontală este văzută de la cercul ecuator în stânga şi de la 2 în dreapta, iar proiecţia verticală de la 1' în stânga şi de la cercul meridian în dreapta.

° l-rnii

d ' Xm n | !

I1

d' $ ^

A... _J— L_

!

i ° 'i 1

X I j d /i1 i

! od ________ 12 k______ E a

$1

! l i W i / i ,1 f

d = F \ l i - r n j j ^

Fig. 7.38.

7.13. Intersecţii ale suprafeţelor de rotaţieCa şi în cazul poliedrelor, intersecţiile dintre corpurile de rotaţie pot fi:- pătrundere, când curba de intersecţie este discontinuă, fiind formată din două

ramuri;- rupere, când curba de intersecţie este continuă, fiind formată dintr-o singură

ramură.

a. Intersecţia dintre doi cilindriSe consideră doi cilindri oblici ale căror curbe directoare sunt cercuri situate

în planul orizontal de proiecţie (fig. 7.39).Prin punctul I oarecare se figurează dreptele D şi T paralele cu generatoarele

cilindrilor. Deoarece bazele celor doi cilindri sunt situate în planul orizontal de proiecţie este suficient să se determine urma orizontală a planului P, determinat de dreptele D şi T. Toate planele auxiliare sunt paralele cu planul P.

_____________________________________________ Suprafeţe de rotaţie 121

Planele limită sunt tangente la un cilindru şi secante la celălalt, astfel că intersecţia este pătrundere.

Planele auxiliare intermediare se trasează prin generatoarele care dau conturul aparent orizontal şi vertical, dacă aceste generatoare participă la intersecţie.

122 Capitolul 7

Pentru a uşura determinarea punctelor se notează cu litere intersecţia planelor cu unul din cercurile de bază şi cu cifre cele cu celălalt cerc.

Punctele de intersecţie se obţin prin intersectarea generatoarelor celor do: cilindri, determinate de fiecare plan auxiliar.

Proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie se determină cu linii de ordine sau, mai corect, prin intersectarea proiecţiilor verticale ale generatoarelor la fel ca îr proiecţia orizontală.

Planele limită determină câte două puncte de intersecţie iar planele intermediare câte două puncte, planele Pi şi P2, sau patru puncte, planul P3.

Vizibilitatea punctelor se stabileşte în funcţie de vizibilitatea generatoarelor dacă ambele generatoare sunt văzute punctul este văzut iar dacă una din generatoare este nevăzută, sau ambele sunt nevăzute, punctul este nevăzut.

Ordinea de unire a punctelor_este dată de regula mobilului:- curba de intrare: g6 - h2 - j8 - k9 - Ti - J 3 - i 4 - h 5 - g 6 ;- curba de ieşire: al - b l - d3 . - e4- f 6 -d8 - c9- blO- al.Punctele văzute în proiecţie orizontală sunt subliniate iar cele văzute în


b. Intersecţia unui cilindra cu un conCele două corpuri sunt situate cu bazele în planul orizontal şi sunt oblice (fig.

7.40).

Fig. 7.40.Planele auxiliare de intersecţie trebuie să conţină vârful conului şi să fie

paralele cu generatoarele cilindrului. Pentru determinarea urmelor orizontale ale


planelor auxiliare se figurează dreapta D prin vârful conului, paralelă cu generatoarele cilindrului. Urma orizontală h a dreptei împreună cu punctele caracteristice de pe bazele celor două corpuri dau urmele planelor auxiliare de secţionare.

Intersecţia este o rupere.Ordinea de unire a punctelor este dată de regula mobilului:e l - c2 - a4 -b5 - d7 - e8 -£7 - h 6 - i5 - j4 - h 3 - g 2 - e l .Proiecţia verticală a punctelor de intersecţie se determină cu linii de ordine sau

prin intersectarea proiecţiilor verticale ale generatoarelor, ca şi în proiecţia orizontală.Punctele văzute în proiecţie orizontală sunt subliniate, iar cele văzute în


c. Intersecţia a două conuriDouă conuri oblice cu bazele situate în planul orizontal de proiecţie se

secţionează cu plane auxiliare care conţin vârfurile (fig. 7.41). Pentru determinarea

124 Capitolul 7

urmelor orizontale ale acestor plane se figurează dreapta D prin vârfurile conurilor Urma orizontală a dreptei se uneşte cu punctele caracteristice de pe bazele conurilor, rezultând urmele planelor auxiliare. Intersecţia este pătrundere pentru că neparticiparea la intersecţie este doar din partea unui con.

Punctele se unesc după regula mobilului, astfel: e l - d2 - b3 - a4 - b5 - c6 - d7 - e l; f l - h3 - i4 - h5 - g6 - f l.

Punctele văzute în proiecţie orizontală sunt subliniate iar cele văzute în proiecţie verticală sunt barate.

Proiecţiile verticale ale punctelor se determină cu linii de ordine sau la intersecţia proiecţiilor verticale ale generatoarelor.

d. Intersecţia cilindrului vertical cu cilindrul fronto-orizontalCilindri care se intersectează fiind situaţi în poziţii particulare faţă de planele

de proiecţie şi planele de intersecţie sunt particulare, respectiv plane de front (fig. 7.42). Pentru determinarea proiecţiilor verticale ale punctelor de intersecţie este necesar să se figureze şi proiecţia laterală a cilindrilor.

Fig. 7.42.Proiecţia orizontală a punctelor de intersecţie rezultă pe cercul de bază a

cilindrului vertical iar proiecţia laterală pe cercul de bază a cilindrului fronto-orizontal.Proiecţia verticală a punctelor de intersecţie rezultă la intersecţia

generatoarelor cilindrului vertical cu generatoarele cilindrului fronto-orizontal, determinate cu ajutorul planelor auxiliare.

Ordinea de unire a punctelor de intersecţie se stabileşte cu regula mobilului şi


este: fl - g2 - h3 - i4 - j5 - k 6 - j7 - i8 - h9 - glO - f l l - elO - d9 - c8 - b7 - a6 -b5 - c4 - d3 - e2 - f l .

Vizibilitatea punctelor se stabileşte doar pentru proiecţia verticală,

7.14. Sfera utilizată ca suprafaţă auxiliară deintersectie

5

La intersecţia unor corpuri de rotaţie, în locul planelor auxiliare de intersecţie, se foloseşte sfera ca suprafaţă auxiliară de intersecţie,

a. Intersecţia cilindrului fronto-orizontal cu cilindrul frontal cu axele intersectate

Deoarece ambele corpuri sunt paralele cu planul vertical, punctele de intersecţie se pot determina direct pe planul vertical de proiecţie (fig. 7 ,4 3 ).

Se trasează sfera Si cu centrul în i' care secţionează cei doi cilindri după cercurile Q şi C2, situate în plane proiectante la planul vertical de proiecţie. Punctele

Fig. 7.43.de intersecţie ale celor două cercuri reprezintă două puncte de intersecţie dintre cilindri: unul văzut notat cu f6 şi unul nevăzut notat cu f6 j.

In acelaşi fel se procedează pentru determinarea altor puncte. La intersecţia

126 Capitolul 7

generatoarelor de contur aparent rezultă alte două puncte ale curbei de intersecţie, gl Şi g7.

Desfăşurarea acestor suprafeţe se face după criteriile stabilite la desfăşurarea cilindrului. Se rabat cercurile de bază ale cilindrilor pe planul vertical şi se intersectează cu generatoarele trasate prin punctele de intersecţie. Pe desfăşurată se măsoară distanţele luate de pe cercurile rabătute.Generatoarele se măsoară direct de pe epură, cilindri fiind paraleli la planul vertical.

Cilindrul fronto-orizontal s-a desfăşurat doar parţial, respectiv agaj, iar cilindrul frontal s-a desfăşurat separat, în întregime

b, Intersecţia conului drept cu cilindrul frontal a căror axe se intersectează

Conul drept cu baza cerc situat în planul orizontal se intersectează cu un cilindru frontal, a căror axe sunt concurente în punctul I, după o curbă care se obţine cu ajutorul sferei ca suprafaţă auxiliară (fig. 7.44).

Sfera Si cu centrul în punctul I, tangentă interior la con, secţionează conul după cercul Ci şi cilindrul după cercul C2. Cele două cercuri se intersectează în două puncte, C şi D.

Sfera S2 secţionează conul după cercurile C3 şi C4 şi cilindrul după cercul C5. Punctele de intersecţie ale cercurilor dau alte patru puncte ale curbei de intersecţie. Generatoarele de contur aparent se intersectează în alte două puncte ale curbei căutate.

Vizibilitatea punctelor de intersecţie se stabileşte ţinând cont de coordonatele punctelor.

Ordinea de unire a punctelor se stabileşte pe proiecţia orizontală, după determinarea proiecţiilorpunctelor.

Desfăşurarea celor două suprafeţe se face după criteriile stabilite la conului.

Fig. 7. 44.

desfăşurarea cilindrului, respectiv a


7.15. Elice şi suprafeţe elicoidaleElicea circulară este o curbă strâmbă situată pe un cilindru de rotaţie, care în

desfăşurare se transformă în linie dreaptă (fig. 7.45).

Fig. 7.45.Arcul de elice cuprins între punctele consecutive ale aceleaşi generatoare se

numeşte spiră. Segmentul de generatoare dintre aceste puncte se numeşte pas şi senotează cu h. Unghiul pe care tangentele la elice îl fac cu planul unei secţiuni drepte a cilindrului este constant şi se numeşte unghiul elicei.

Daca se consideră un cilindru drept cu baza în planul orizontal de proiecţie, acesta se desfăşoară după un dreptunghi cu lungimea 2nR.

Proiecţia orizontală a elicei este confundată cu conturul aparent al cilindrului. Proiecţia verticală a elicei se determină la intersecţia liniilor de ordine ridicate din proiecţia orizontală cu cele de pe desfăşurata elipsei.

Proiecţia verticală a elicei este o sinusoidă.

Dacă curba este situată pe un con se obţine o elice conică, iar dacă este situată pe o sferă se obţine o elice sferică.

Suprafeţele elicoidale au mai multe aplicaţii în practică dintre care se menţionează şuruburile cu filet cu profil pătratic,Fig. 7.46.

128 Capitolul 7

triunghiular sau trapezoidal, precum şi scările elicoidale cu sâmbure central (fig. 7.46 sau fără sâmbure central.

Dacă în proiecţie orizontală se dau cercurile de bază a doi cilindri concentric: se împarte cercul exterior într-un număr de trepte, respectiv 1 2 .

Se trasează muchiile radiale ale treptelor.In proiecţie verticală se trasează elicele pe cei doi cilindri după care sî

trasează treptele.Scările elicoidale sunt aplicaţii ale suprafeţelor elicoidale cu plan director

orizontal, perpendicular pe axa elicei directoare.

Probleme propuse

1. Să se intersecteze un cilindru drept cu baza în planul H cu un plan proiectant la V. Să se afle adevărata mărime a secţiunii şi desfăşurarea.

2. Să se determine intersecţia dintre cilindrul circular oblic, cu baza în plani:. H şi un plan oarecare P.

3. Să se desfăşoare un cilindru oblic cu baza un cerc situat în pianul H şi generatoarele drepte frontale.

4. Să se desfăşoare un cilindru oblic cu baza în planul orizontal de proiecţie şi generatoarele drepte oarecare,

5. Să se determine proiecţiile secţiunii cu un plan de capăt P într-un con circular drept cu două pânze.

6 . Să se determine curba de intersecţie dintre un con circular oblic cu baza în planul H şi un plan proiectant la V şi să se desfăşoare suprafaţa trunchiului de con.

7. Să se determine proiecţiile şi adevărata mărime a secţiunii determinate de un plan oarecare P într-un con circular oblic.

8 . Să se desfăşoare suprafaţa de legătură dintre o prismă cu baza un pătrat şi un cilindru (latura pătratului este mai mare decât diametrul cercului).

9. Să se determine punctele de intersecţie dintre o dreaptă oarecare şi un cilindru drept cu baza un cerc situat în planul lateral de proiecţie.

10. Să se determine intersecţia dintre doi cilindri oblici cu bazele cercuri situate în planul vertical de proiecţie.

11. Să se determine intersecţia dintre un cilindru şi un con, având bazele cercuri conţinute în planul vertical de proiecţie.

12. Să se determine intersecţia dintre două conuri oblice, având bazele cercuri situate în planul vertical de proiecţie.

13. Să se determine intersecţia dintre un cilindru drept cu baza în planul V cu un cilindru cu baza în planul L, având axele neconcurente.

14. Să se determine intersecţia dintre un cilindru vertical cu baza în planul H şi o sferă, centrul sferei fiind situat pe axul cilindrului.

15. Să se rezolve intersecţia dintre un con circular drept şi o sferă cu centrul în punctul 0 i(oi,o’i) situat pe axul conului.

16. Să se determine intersecţia dintre un cilindru circular vertical cu baza în planul H şi un cilindru circular fronto-orizontal, cu axele concurente şi de diametre (pj


= q>2-17. Să se rezolve intersecţia dintre doi cilindri cu axele concurente şi

perpendiculare între ele, ce au cele două diametre diferite, cp! > cp2.18. Să se determine intersecţia dintre un con circular drept şi un cilindru

fronto-orizontal ce au axele concurente şi perpendiculare.19. Să se determine intersecţia dintre un con circular drept şi un cilindru

frontal cu axele concurente în punctul 0 (o, o’).20. Să se determine desfăşurata piesei de legătură (ramificaţie simplă la 60 °)

formată din doi cilindri, unul vertical şi unul frontal de acelaşi diametru, cu axele concurente.

21. Să se determine desfăşurata piesei de legătură (ramificaţie simplă la 45 °), formată din doi cilindri, unul fronto-orizontal şi unul frontal, de acelaşi diametru.

22. Să se determine desfăşurata unei ramificaţii duble, realizată dintr-un cilindru vertical şi doi cilindri frontali, de acelaşi diametru.

23. Să se determine proiecţiile curbelor de intersecţie dintre o prismă dreaptă cu baza situată în planul orizontal de proiecţie şi un cilindru drept, perpendicular la V, a căror axe se intersectează.

24. Să se determine proiecţiile curbelor de intersecţie dintre o prismă fronto- orizontală situată pe planul orizontal de proiecţie şi un trunchi de con d rep t.

25. Să se determine proiecţiile curbei de intersecţie dintre o prismă patrulateră dreaptă cu un con drept a căror axe coincid şi diagonalele bazei prismei sunt egale cu diametrul cercului director al conului.

26. Să se determine proiecţiile curbei de intersecţie dintre o sferă şi un plan oarecare P.

27. Să se determine proiecţiile punctelor de intersecţie dintre o sferă şi o dreaptă oarecare D.

28. Să se determine intersecţia dintre un cilindru drept şi o sferă.29. Să se determine intersecţia dintre o prismă triunghiulară frontală şi o sferă.

C A P I T O L U L 8

PERSPECTIVA

8.1. Generalităţi şi clasificăriPrin perspectivă se defineşte reprezentarea obiectelor din spaţiu pe un singur

plan de proiecţie, aşa cum sunt văzute de ochiul observatorului.Acest mod de reprezentare este o proiecţie centrală, la care observatorul este

centrul de proiecţie. Planul pe care se reprezintă obiectele se numeşte plan tablou. El poate fi situat în spatele obiectelor care se reprezintă deci în spaţiul real, să conţină o faţă ori o muchie, sau între obiect şi observator deci în spaţiul intermediar. în funcţie de poziţia planului tablou obiectele sunt reprezentate micşorate, în mărime reală sau mărite.

La reprezentarea în perspectivă se folosesc o serie

- planul orizontal pe care stă observatorul şi obiectele, deci terenul, se numeşte geometral;

- planul vertical pe care se figurează perspectiva, care poate să fie chiar planul vertical de proiecţie, se numeşte plan tablou (fig. 8 .1 );

- linia de intersecţie a planului tablou cu geometralul, notată cu Ox, se numeşte urma tabloului;

- poziţia din spaţiu a observatorului se numeşte punct de vedere şi se noteazăcu V;

- proiecţia ortogonală pe tablou a punctului de vedere notată cu P, se numeşte punct principal;

- raza vizuală dusă din punctul de vedere, perpendicular pe tablou, se numeşte rază vizuală principală;

- planul vizual principal este determinat de laturile unghiului vizual orizontal notat cu (3, a cărui valoare pentru o perspectivă corectă, este mai mică de 37 °. Când

Perspectiva 131

raza vizuală principală este orizontală, planul vizual principal este de nivel şi se numeşte planul orizontului;

- linia de intersecţie a planului orizontului cu planul tablou notată cu HH se numeşte linia orizontului;

- planul vertical care trece prin punctul de vedere şi punctul principal, în care se măsoară unghiul vizual vertical a , a cărui valoare este mai mică de 28 °, se numeşte plan vertical principal;

- planul paralel cu planul tablou şi care conţine punctul de vedere, se numeşte plan neutru.

Planul tablou şi planul neutru delimitează spaţiul real de cel intermediar şi de cel virtual.

Se recomandă, pentru o reprezentare sugestivă în axonometrie, ca observatorul să fíe astfel amplasat încât raza vizuală principală să treacă prin centrul de greutate al corpurilor a căror perspectivă se figurează şi să fie perpendiculară pe urma tabloului.

Clasificarea dată de Leonardo da Vinci pentru perspectivă este următoarea:- perspectiva liniară care se bazează pe principiile proiecţiei conice şi se

figurează prin linii;- perspectiva aeriană care se bazează pe studiul culorilor şi a intensităţii

luminii.în practica inginerească se foloseşte perspectiva liniară care, la rândul ei,

se clasifică după mai multe criterii:a. După direcţia principală de vedere:

- pe tablou vertical când direcţia principală este orizontală;- pe tablou înclinat când direcţia principală de vedere este înclinată în

sus (ascendentă) sau în jos (descendentă);- pe tablou orizontal.

b. După forma tabloului:- pe tablou plan;- pe tablou cilindric;- pe tablou sferic.

c. După metodele de figurare folosite:- dependentă, când sunt date proiecţiile ortogonale ale corpului;- liberă sau directă, când se construieşte liber ţinând cont de

forma, mărimea şi poziţia obiectului;- de observaţie, când se figurează liber, după observaţiile directe

asupra corpului din spaţiu.

8.2. Perspectiva punctului şi a drepteiPerspectiva unui punct M pe un tablou T perpendicular la planul orizontal de

proiecţie se determină cu ajutorul razei vizuale (fig. 8 .2 ,a).Proiecţia orizontală a razei vizuale prin m intersectează urma TH a tabloului în im iar proiecţia verticală a razei vizuale prin m1 intersectează tabloul T în i'm, determinat

132 Capitolul 8

laintersecţia lui r' cu linia de ordine ridicată din im Se rabate planul tablou T pe plănui vertical de proiecţie şi se determină perspectiva punctului M.

Dacă planul tablou este chiar planul vertical de proiecţie se procedează în moc

analog (fig. 8.2.b), dar nefiind necesară rabaterea, perspectiva punctului N se găseşte chiar în i'„.

Perspectiva unei drepte oarecare definită prin proiecţiile a două puncte, pe orice plan tablou, se determină prin unirea perspectivelor celor două puncte care o definesc.

Perspectiva unei drepte se poate determina şi cu ajutorul punctului de fugă (fig. 8 .3.a). Dacă planul tablou este T _L H, proiecţia orizontală a dreptei intersectează urma Th în i, i' determinându-se cu linie de ordine pe d'. Deoarece punctul de fugă este perspectiva punctului de la infinit a dreptei, prin V se trasează raza vizuală paralelă cu dreapta D. Proiecţia orizontală a razei vizuale

intersectează urma TH în f, iar f se determină cu linie de ordine care intersectează proiecţia verticală a razei vizuale. Se rabat proiecţiile i şi f pe planul vertical de proiecţie şi se obţine perspectiva dreptei oarecare prin I şi F.

Pentru o dreaptă D, paralelă cu geometralul (dreaptă orizontală), perspectiva determinată cu ajutorul unui punct de fugă, pe planul tablou T s V, se determină în acelaşi fel (fig. 8.3.b). în acest caz proiecţiile verticale, a punctului de fugă şi a punctului de intersecţie a dreptei cu planul tablou, se confundă cu perspectivele lor.

Fig. 8.2.

H

£

Fig. 8.3.

Perspectiva 133

Punctul de fugă se găseşte pe linia orizontului.Perspectiva dreptei verticale se determină cu ajutorul a două puncte de pe

dreaptă, respectiv a urmei dreptei şi a unui punct arbitrar M (fig. 8.4.a). Se observă că în perspectivă, dreapta este perpendiculară la urma tabloului.

Perspectiva dreptei fronto-orizontale, pe plan tablou identic cu planul vertical de proiecţie, se determină cu ajutorul a două puncte M şi N de pe dreaptă (fig. 8.4,b).

Se observă că perspectiva dreptei rămâne paralelă cu urma tabloului.Un fascicul de drepte oarecare paralele se reprezintă în perspectivă, pe tablou

identic cu planul vertical de proiecţie, cu ajutorul punctului de fugă determinat de raza vizuală paralelă cu dreptele date (fig. 8.5.a). Se determină, pentru fiecare dreaptă, punctul de intersecţie cu planul vertical care se uneşte cu perspectiva punctului de fugă, obţinându-se perspectiva dreptelor D, T şi S.

In mod analog se determină perspectiva unui fascicul de drepte de capăt (fig.8.5.b). Se observă, de această dată, că perspectivele dreptelor de capăt nu au o poziţie particulară faţă de urma planului tablou.

8.3. Perspectiva figurilor planePerspectiva figurilor geometrice se obţine fíe prin perspectiva punct cu punct,

fie prin perspectiva laturilor. Dacă figura geometrică se află în geometral atunci determinarea perspectivei este mai simplă.

134 Capitolul 8

a. Perspectiva pătratului din geometralSe stabilesc punctele de fugă cu

ajutorul paralelelor la laturile pătratului, trasate prin proiecţia orizontală a punctului de vedere şi apoi punctele în care laturile pătratului intersectează tabloul (fig. 8 .6), acestea fiind punctele I (de incidenţă). Unind punctele I cu punctele de fugă se obţine perspectiva pătratului ABCD, sub forma unui patrulater oarecare.

Dacă planul tablou nu este confundat cu planul vertical, construcţia perspectivei este asemănătoare (fig. 8.7). Se

Fig- 8-6. stabilesc punctele de fugă pe urma planuluitablou, cu ajutorul paralelelor la laturile pătratului prin proiecţia orizontală a punctului de vedere. Proiecţiile orizontale ale razelor vizuale prin vârfurile pătratului, intersectează urma tabloului în 1, 2, 3 şi 4. Proiecţiile verticale ale razelor vizuale se intersectează cu liniile de ordine din 1...4 şi dau perspectiva deformată a pătratului.

Fig. 8.7.

Perspectiva reală a pătratului se obţine prin suprapunerea urmei planului tablou, cu punctele de pe ea, pe axa Ox, de unde se ridică perpendiculare şi se determină punctele de fugă pe linia orizontului. Vârfurile pătratului se găsesc la intersecţia liniilor de ordine din 1...4 şi din at...di, Se observă că laturile pătratului ABCD, din perspectivă, converg spre punctele de fugă.

Perspectiva pătratului paralel cu geometralul pe plan tablou T s V , laturile pătratului fiind fronto-orizontale şi drepte de capăt, se determină cu ajutorul razelor vizuale trasate prin colţurile pătratului (fig. 8 .8).

Astfel, proiecţia orizontală a razei vizuale trasată prin a intersectează urma tabloului în ia, de unde se ridică linie de ordine care intersectează proiecţia verticală a razei vizuale în A, perspectiva punctului A. La fel se procedează şi pentru celelalte vârfuri.

Perspectiva 135

Dacă se cunoaşte perspectiva laturii AE şi direcţia laturilor AB şi CE, atunciperspectiva laturii BC se poate determina cu ajutorul punctului de distanţă, D.

Punctul de distanţă D este determinat de o rază vizuală, conţinută în planul orizontului, care face un unghi de 45 0 cu raza vizuală principală.

Spre acest punct converge diagonala AC a pătratului.

Dacă punctul de vedere este prea îndepărtat şi nu intră pe coala de desen se pot folosi puncte de distanţă redusă: D/2; D/3; D/4.

Dacă pătratul estevertical, punctele de fugă ale laturilor înclinate la 45 0 faţă de geometral se află pe verticala punctului principal (fîg. 8.9).

La fel se vor situa şi punctele de distanţă. Când se cunoaşte perspectiva laturii AB, cea mai apropiată de observator şi punctul de distanţă D/4, perspectiva pătratului se figurează astfel:

- se divide latura AB în patru părţiegale;

- se trasează liniile de fugă din A şi B spre punctul principal;

- se uneşte extremitatea primului segment de pe AB cu punctul de distanţă redusă D/4 şi se obţine vârful E a pătratului;

- se determină vârful C cu o paralelă prin E la latura AB, sau prin intersectarea liniei de fugă din B cu linia trasată din 3 la D/4.

Perspectiva oricărei figuri geometrice se construieşte conform cu cele prezentate mai sus.

8.4. Perspectiva corpurilorPentru figurarea perspectivei corpurilor geometrice se folosesc mai multe

metode, pe baza definiţiei perspectivei, respectiv intersectând razele vizuale cu tabloul:

136 Capitolul 8

- dacă se intersectează razele vizuale ale fiecărui punct caracteristic a obiectului, metoda se numeşte punct cu punct;

metoda dreaptă cu dreaptă, consideră ca element esenţial dreapta care se pune în perspectivă în funcţie de poziţia ei, de punctul de fugă sau de punctul de distanţă;metoda care pune în perspectivă feţele corpurilor.

Tabloul folosit este perpendicular pe geometral. Uneori se poate folosi şi tablou înclinat. El poate să fie confundat sau nu, cu planul vertical de proiecţie.

Punctul de vedere se alege astfel ca raza vizuală principală să fie perpendiculară pe tablou şi să treacă prin centrul geometric a proiecţiei orizontale a corpului. De asemenea, trebuie îndeplinită condiţia ca unghiul orizontal de vedere să fi mai mic de 37 °, iar cel vertical de 28 °.

Cota punctului de vedere este, de obicei, înălţimea medie a omului. în cazul unor perspective speciale poate să fie mai mare sau mai mică. ¿

a. Perspectiva prismei drepte cu baza în geometral, tablou T s Y

Se dau proiecţiile orizontale şi verticale ale prismei şi punctului de vedere (fig. 8 .1 0 ).Perspectiva punct cu punct se construieşte pentru fiecare punct în parte. Astfel, pentru vârful A, se trasează proiecţiile razelor vizuale prin va, respectiv v'a', după care se intersectează proiecţia verticală cu linia de ordine ridicată din ia, perpendicular la p urma tabloului. Pentru punctul I se intersectează linia de ordine ridicată din ia cu proiecţia verticală a razei vizuale, v 'l\ în acelaşi fel se procedează pentru toate vârfurile.

b. Perspectiva piramidei drepte din diedrul IISe dă proiecţia bazei piramidei, înălţimea h, punctul de vedere şi punctul de

distanţă (fig. 8.11 .a). Perspectiva piramidei (fig. 8.11 .b) s-a. construit alăturat pentru a nu încărca figura. Se trasează razele vizuale prin v' şi proiecţiile laturilor şi vârfului pe

Fig. 8.11

Perspectiva 137

axa Ox. Baza piramidei este determinată odată cu trasarea liniei de la punctul de distanţă D la intersecţia diagonalei bazei cu axa Ox, aceasta determinând vârfurile B şi E ale bazei. Laturile bazei fiind fronto-orizontale, paralele prin B şi E la axa Ox dau perspectiva vârfurilor A şi C. Pe perpendiculara din is la axa Ox se măsoară înălţimea piramidei şi se trasează raza vizuală din v', pe care se găseşte vârful piramidei.

c. Perspectiva unui ansamblu pe plan T _L HSe dau două prisme alăturate, cu înălţimile h] şi h2, reprezentate în dublă

proiecţie şi planul tablou T care conţine muchia A, a unei prisme (fig. 8.12.a).Se alege poziţia punctului de vedere astfel ca să corespundă condiţiilor

138 Capitolul 8

necesare pentru construirea unei perspective corecte. Se consideră că centrul geometric a bazei celor două prisme se găseşte pe perpendiculara din vârful g la urma tabloului. Se prelungeşte perpendiculara şi se stabileşte arbitrar proiecţia orizontală a punctului de vedere şi apoi proiecţia verticală. Se verifică unghiurile pe care le fac razele vizuale în plan orizontal şi în plan vertical. Dacă sunt mai mici decât cele indicate, punctul de vedere este poziţionat corect.

Perspectiva ansamblului se poate construi cu ajutorul razelor vizuale din v la vârfurile bazei ansamblului (fîg. 8 .1 2 .b) sau cu ajutorul punctelor de intersecţie dintre prelungirea laturilor ansamblului cu urma tabloului (fig. 8 .1 2 .c).

în primul caz, se figurează separat urma tabloului pe care se pun toate punctele de intersecţie ale proiecţiilor orizontale ale razelor vizuale cu urma tabloului şi punctele de fugă, determinate la intersecţia paralelelor, trasate prin v, la laturile bazei cu urma planului tablou. Deoarece tabloul conţine muchia A, aceasta se reprezintă în perspectivă în mărime reală. Trasând de la această muchie raze vizuale spre punctele de fugă, deasupra punctelor 1 şi 4 de pe urma tabloului se determină muchiile verticale B şi D ale primei prisme. Din extremităţile acestora se trasează raze vizuale la punctele de fugă F2 şi Fi, la intersecţia cărora, pe verticala din 2, se determină perspectiva muchiei C. Pentru prisma CEFG se prelungeşte latura ce până intersectează urma planului tablou în 7, de unde se ridică verticala pe care se măsoară adevărata mărime a muchiei E. Celelalte muchii se determină, plecând de la această muchie, la fel ca şi pentru prisma ABCD.

In al doilea caz, pe urma planului tablou se figurează punctele de intersecţie ale laturilor bazei cu urma planului tablou, respectiv 9, a, 3, 7, 8 . Pe verticalele din aceste puncte se măsoară adevărata mărime a înălţimilor prismelor. Razele vizuale trasate de la punctele de fugă la punctele de pe urmă şi cele corespunzătoare înălţimilor determină, la intersecţia lor, muchiile care sunt drepte de capăt sau fronto- orizontale ale prismelor. Muchiile verticale se trasează după determinarea celor de mai sus.

8.5. Perspectiva în coordonateîn unele situaţii este mai uşor să se construiască perspectiva unor corpuri într-

un sistem de trei axe de coordonate. Pentru aceasta trebuie să se pună în perspectivă şi axele de coordonate.

Axele de coordonate sunt rectangulare: axa Ox a absciselor pe urma tabloului, axa Oy a ordonatelor conţinută în geometral şi perpendiculară pe Ox, iar axa înălţimilor Oz perpendiculară pe planul celorlalte. în perspectivă originea axelor O se ia la o extremitate a urmei tabloului, axa Oz perpendiculară pe aceasta, iar axa Oy care trece prin V, deoarece este dreaptă de capăt (fig. 8.13).

Etalonarea axelor Ox şi Oy, deoarece se găsesc în tablou, se face direct, la scara desenului. Axa Oy fiind dreaptă de capăt se poate grada cu ajutorul dreptelor înclinate la 45 °, care fug în punctul de distanţă D sau cu ajutorul distanţei reduse D/2, când punctul de distanţă D este inaccesibil.

Perspectiva 139

Fig. 8.13.

Cu ajutorul acestei scări se acoperă toate planele reprezentate în tablou cu câte un cadrilaj care permite punerea în perspectivă a oricărui obiect. în fig. 8.13 s-au reprezentat două prisme alăturate.

8.6. OglindireaDacă geometralul este suprafaţă oglindă el reflectă obiectul după legile

reflexiei, (fig. 8.14). Atunci când se construieşte perspectiva unui obiect situat pe un

geometral oglindă, se va construi şi perspectiva imaginii din oglindă.Imaginea oglindită a unui punct din geometral este confundată cu punctul.

Deoarece muchia BF este conţinută în planul tablou, atât în perspectivă, cât şi în

140 Capitolul 8

oglindire, ea se reprezintă în mărime reală. Acest lucru permite să se afle oglindirea în geometral a prismei. Deoarece laturile bazei sunt orizontale, ele converg spre punctele de fugă, iar muchiile sunt tot verticale şi în oglindire.

Dacă oglindirea pe plan orizontal se face la un nivel diferit de cel al geometralului, imaginea oglindită va fi diferită de imaginea obiectului (fig. 8.15).

Pe lângă proiecţiile prismei se dau şi proiecţiile malului şi a nivelului apei. dacă oglindirea se face într-un lac, reprezentate în perspectivă prin liniile de fugă MF şi NF. Oglindirea se figurează prin simetrie în raport cu planul orizontal a nivelului apei.

Cunoscându-se punctele de fugă, se prelungeşte latura AB a bazei, până la linia malului pe care o intersectează în m. De aici, se coboară o verticală până la oglinda apei, 0 . Se uneşte n cu punctul de fugă şi se obţine orizontala faţă de care se face oglindirea. Se prelungeşte muchia BG până pe orizontala determinată şi se obţine punctul Bi de unde se măsoară BjG = B;Gi. Gi se uneşte cu punctele de fugă şi se obţine perspectiva oglindirii. Pe figură s-a figurat şi oglindirea malului, după linia M J .

8.7, Perspectiva pe tablou orizontalPerspectiva pe tablou orizontal, paralel cu geometralul, se realizează pentru

suprafeţe mari, cum ar fi intersecţiile căilor de comunicaţii, suprafaţa unei întreprinderi sau a unui oraş. Punctul de vedere, în această situaţie, se ia ia o înălţime foarte mare (fig. 8.16), pentru ca să nu apară deformaţii mari.

Intersectând razele vizuale cu tabloul, se obţin perspectivele colţurilor, A...I...IV, care unite corespunzător dau perspectiva prismei. Tabloul fiind paralel cu geometralul, nu mai este necesară rabaterea, deoarece rezultă perspectiva reală, aşa cum este văzută de observator,

Perspectiva 141

8.8. Perspectiva ascendentă pe tablou de capăt

Perspectiva pe tablou de capăt se construieşte atunci când obiectul a cărui perspectivă se figurează este foarte înalt în raport cu observatorul, când perspectiva se numeşte ascendentă (după direcţia razei principale de vedere), sau când observatorul se află la o înălţime mult mai mare decât obiectul, când perspectiva se numeşte descendentă.

Fiind dată o prismă dreaptă şi planul tablou de capăt T, se determină

Fig. 8.17,

punctele de fugă fi şi f2 pe linia orizontului A (dreapta de intersecţie dintre planul

142 Capitolul 8

tablou T şi planul orizontului H). Cel de al treilea punct de fugă f3 se determină la intersecţia liniei de ordine din V cu urma verticală Tv a planului tablou (fîg. 8.17).

Se roteşte urma Tv până se suprapune cu urma TH, planul tablou transformându-se în plan de profil, apoi se translatează în poziţia TP].

După rabaterea planului tablou odată cu punctele de intersecţie ale laturilor bazei cu urma orizontală a tabloului se determină punctele de fugă F| şi F2, apoi se trasează liniile de fugă pentru baza prismei. Punctul de fugă F3 se determină la intersecţia proiecţiei orizontale a direcţiei principale de vedere cu linia de ordine din f3.

Pentru determinarea perspectivei muchiei aA se intersectează proiecţia verticală a razei vizuale principale cu urma Tvîn A'i, care se roteşte în Ao, de unde se trasează linia de ordine paralelă cu urma orizontală rabătută, Aceasta se intersectează cu linia de fugă trasată de la vârful a a bazei la F3 şi se obţine perspectiva muchiei verticale aA. In continuare se trasează liniile de fugă de la celelalte vârfuri ale bazei la F3, care intersectează liniile de fugă trasate din A la Fi şi F2, apoi din B la Fi şi din D la F2.

La această perspectivă muchiile laterale, care sunt drepte verticale în realitate, tind să se întâlnească în F3,

8.9» Perspectiva descendentă pe tablou de capăt

Perspectiva 143

Perspectiva descendentă pe tablou de capăt se figurează în acelaşi fel ca şi perspectiva ascendentă, cu deosebirea că muchiile verticale ale prismei tind să se întâlnească în F3 care se găseşte de această dată sub perspectiva corpului (fig. 8.18).

Probleme propuse

1. Să se construiască perspectiva la două puncte de fugă a corpurilor reprezentate în dublă proiecţie ortogonală din fig. 8.19.

ff

e2

ib 6 U

Fig. 8.19. Fig. 8.20.2. Să se construiască perspectiva pe planul orizontal a ansamblului de corpuri

din fig. 8 .2 0 .3. Să se construiască perspectiva în coordonate a ansamblurilor de corpuri din

fig. 8 .2 1 .4. Să se reprezinte în perspectiva ascendentă, apoi în perspectiva descendentă,

ansamblurile de corpuri din figurile 8 . 2 1 şi 8 .2 2 .5. Să se reprezinte în perspectiva la două puncte de fugă ansamblul de corpuri

din fig. 8 .2 2 .

m 34 tsr

Fig. 8.21.6 . Să se reprezinte în perspectiva la două puncte de fugă ansamblurile de

Fig. 8.22.

C A P I T O L U L 9

AXONOMETRIA

9.1. Generalităţiîn practica proiectării şi executării lucrărilor de construcţii este necesar să se

reprezinte obiectele din spaţiu prin desene cât mai apropiate de imaginile înregistrate de ochiul omului, pe care să se poată face măsurători directe de unghiuri şi de distanţe. Reprezentarea care permite aprecierea formei şi măsurarea dimensiunilor, prin construcţii grafice simple, se numeşte reprezentare axonometrică.

Reprezentarea axonometrică are unele avantaje faţă de celelalte reprezentări,astfel:

- la reprezentarea obiectelor prin proiecţiile ortogonale pe planele de proiecţieH, V şi L se determină cu precizie dimensiunile acestora, deoarece apar nedeformate, dar imaginile nu sunt sugestive;

- la reprezentarea în perspectivă imaginile obiectelor apar aşa cum le înregistrează ochiul, dar determinarea exactă a dimensiunilor nu este posibilă datorită deformării unghiurilor, a lungimilor, dar mai ales a nepăstrării paralelismului dreptelor.

Reprezentarea axonometrică este un caz particular a proiecţiei centrale, în care centrul de proiecţie se află la infinit, iar proiectantele devin paralele cu o direcţie dată. Proiecţia paralelă în axonometrie poate să fie ortogonală sau oblică şi se realizează pe un plan a cărui poziţie se ia convenabil faţă de poziţia obiectului.

Reprezentarea axonometrică este convenabilă şi are avantajele:- construcţii grafice simple;- deformări uniforme pe o anumită direcţie;- păstrarea paralelismului dreptelor din spaţiu.

9 . 2 . P l a n a x o n o m e t r i e . A x e a x o n o m e t r i c eProiecţia axonometrică se realizează pe un plan oarecare P, a cărui poziţie se

alege convenabil faţă de planele de proiecţie (fig. 9.1).Planul P se numeşte plan axonometrie şi intersectează planele de proiecţie

după cele trei urme care limitează între ele triunghiul axonometrie.In axonometrie vârfurile triunghiului axonometrie se notează cu A, B şi C.

Originea axelor ortogonale O se proiectează pe planul axonometrie în O0, iar vârfurile A, B şi C sunt propriile lor proiecţii. Dreptele trasate prin Oo şi vârfurile A, B şi C sunt proiecţiile axelor ortogonale pe planul axonometrie şi se numesc axe axonometrice.

Axonometría 145Triunghiul axonometric este întotdeauna un triunghi ascuţit unghi

deoarece pătratul oricărei laturi este mai mic decât suma pătratelor celorlalte două laturi. In triunghiurile dreptunghice AOB, BOC şi AOC se pot scrie relaţiile:

a2 = q2 + r2; b2 = r2 + p2 şi c2 = p2 + q2

Prin însumarea primelor două egalităţi se obţine:

a2 + b2 = p2 + q2 + 2r2 = c2 + 2r2 sau c2 = a2 + 2r2 adică c2 < a2 + b2

Analog se poate deduce că: b2 ^ a2 + c2 şi a2 < b2 + c2

Axele axonometrice sunt înălţimile triunghiului axonometric, punctul lor de concurenţă fiind ortocentrul triunghiului axonometric. Cele de mai sus se demonstrează prin faptul că segmentul OO0 este perpendicular pe triunghiul axonometric, OC pe planul orizontal xOy. iar planul triunghiului O0OC pe ambele, fiind perpendicular în acelaşi timp şi pe dreapta lor de intersecţie. Deci O0z0 este perpendiculară pe AB, care este o dreaptă a planului axonometric. La fel, se poate demonstra acest lucru şi pentru celelalte laturi.

Fig. 9.1.

Axele axonometrice fac între ele unghiuri obtuze. S-a arătat că unghiurile triunghiului axonometric sunt ascuţite. în patrulaterul O0LBN suma unghiurilor interioare este egală cu 360°. Deoarece unghiurile L şi N sunt drepte, suma unghiurilor O0 şi B este de 180 °. Pentru că unghiul B este ascuţit, aşa cum s-a determinat mai sus, rezultă că unghiul O0 este obtuz. Acelaşi lucru se poate arăta şi pentru celelalte două unghiuri.

146 Capitolul 9Relaţia fundamentală a axenometriei drepte (OO0 1 P). Dacă se notează

unghiurile dintre axele axonometrice şi axele ortogonale cu a , (3 şi y se pot scrie relaţiile:

= AO0/AO = cos a ; uy = BOo/BO = cos P; iaz = CO0/CO = cos y

unde uX], uy şi Uz sunt unităţile de măsură pe cele trei axe axonometrice, în funcţie de unităţile de pe axele descriptive. Unităţile de măsură de pe axele axonometrice sunt întotdeauna mai mici decât unitatea de pe axele descriptive şi se numesc coeficienţi de transform are sau de reducere. Aceşti coeficienţi sunt legaţi între ei prin relaţia:

cos2 a + cos2 p + cos2 y = 2 , care este relaţia fundamentală a axonometriei,%

Segmentul OO0 face cu axele descriptive unghiurile: ; -— S ş i ---- y.2 2

7C 7C 7TDin geometria analitică se cunoaşte relaţia:cos2(-----a ) + cos2(— — p) + cos2(------y)

2 X 2

= 1 sau sin2 a + sin2p + sin2y = 1 sau ( 1 - cos2a) + ( 1 - cos2p) + ( 1 - cos2y) = 1

După deschiderea parantezelor rezultă: cos2 a + cos2 p + cos2 y = 2.

9.3. Clasificarea reprezentărilor axonometriceReprezentările axonometrice se clasifică în funcţie de poziţia segmentului OO0

faţă de planul axonometric şi în funcţie de laturile triunghiului axonometric, deci de coeficienţii de reducere, conform schemei logice alăturate (fig. 9.2).

^ D a CAVALIES4. . ORIZONTALA

^ 0 q CAVAL IERA■ F R O N T A L Ă

CAVAL iERĂ L A T E R A L A

9.4. Proiecţia axonometrică dreaptă

a. Reprezentareaizometrică (fig. 9.3)

La reprezentareaizometrică unghiurile dintre axele descriptive şi axele axonometrice sunt egale între ele, a = P = y, deci relaţia fundamentală devine: 3 cos2 a = 2 de unde cos2 a = 2/3, iar cos a

= J - =0,82.

Fig. 9.2.

Axonometría 147In acest caz triunghiul axonometric

este echilateral, iar înălţimile din vârfuri, deci axele axonometrice, fac între ele unghiuri de 120°. Scările de reprezentare după cele trei direcţii fiind aceleaşi proiecţia se numeşte izometrică şi este cel mai des utilizată în practică, fiind expresivă şi uşor de construit.

De cele mai multe ori se păstrează scara descriptivă şi în reprezentarea izometrică, figura în acest caz fiind mărită de1 , 2 ori.

a. Reprezentarea dimetrică (fig.9.4)

Dacă planul axonometric are aceeaşi înclinare faţă de două din axele descriptive atuncipoate exista relaţia a = (3 ^ y. Se recomandă să se ia raportul între coeficienţii de reducere cos a = cos y = 2 cos p cu care relaţia fundamentală devine: cos2 a + cos2

a + (cos2 a)/4 = 2,

Fig. 9.4.

Triunghiul axonometric în acest caz este isoscel, iar reprezentarea se numeşte dimetrică. Axele axonometrice fac două unghiuri de 131 °25' (fig. 9.4.a).

Construcţia grafică a axelor axonometrice se bazează pe faptul că perpendiculara la O0Z0 în O0 face un unghi de 7 °10' cu axa O0x0 şi de 41 °25' cu axaO0y<>-

Deoarece tg 7 °10’ = 1/8 şi tg 41 °25' = 7/8 pe perpendiculară se măsoară 8

unităţi din O0. Pe paralela la O0Z0 din punctul determinat la 8 unităţi se măsoară o unitate în sus şi 7 unităţi în jos, care unite cu O0 dau axele axonometrice (fig. 9.4.b).

148 Capitolul 9Adeseori în practică axa O0x0 este perpendiculară la O0z0, iar celelalte axe

astfel ca să formeze unghiuri de 135 °, cu coeficienţi de reducere unitari pe O0X0 şi OoZo, respectiv 0,5 pe axa O0y0.

c. Reprezentarea anizometrică (fig. 9.5)

Dacă poziţia planului axonometric este oarecare faţă de axele Ox, Oy şi Oz, atunci şi unghiurile sunt diferite, scările fiind şi ele diferite; cos a ^ cos y cos p.

Această reprezentare se foloseşte rar. în special atunci când reprezentările izometrice şi dimetrice nu dau imagini suficient de sugestive.

Practic o buna reprezentare anizometrică se obţine luând axele axonometrice astfel ca să formeze între ele următoarele unghiuri:

xoOoyo =135°; y0O0zo =120°;x0OoZo= 105°.

Coeficienţii de reducere corespunzători sunt: 0,86 pe axa O0x0; 0,65

f ig p 5 pe axa O0y0; 0,92 pe axa O0z0.

9 . 5 . R e p r e z e n t a r e a î np r o i e c ţ i a a x o n o m e t r i c ă d r e a p t ă

Punctul reprezentat în dubla proiecţie ortogonală (fig. 9.6.a) se reprezintă în proiecţia axonometrică dreaptă izometrică prin figurarea paralelipipedului cu laturile egale cu coordonatele punctului, la scările respective (fig. 9,6.b).

Dreapta se dă prin două puncte, iar reprezentarea axonometrică ortogonală se face cu ajutorul acestora.

Dreptele paralele cu planele de proiecţie se reprezintă în axonometrie dreaptă izometrică în fig. 9.7.Ca şi în reprezentarea descriptivă, proiecţia verticală şi proiecţia laterală a dreptei orizontale sunt paralele cu axele Fig. 9.6.

Axonometría 149O0x0 şi Ooyo. La fel şi la celelalte drepte paralele cu planele de proiecţie.

Dreptele perpendiculare pe planele de proiecţie se reprezintă în axonometrie izometrică dreaptă în fig. 9.8. Reprezentările axonometrice sunt foarte sugestive în raport cu reprezentările în epură, prin faptul că în axonometrie se pot reprezenta şi dreptele din spaţiu, nu numai proiecţiile lor.

9.6. Proiecţia axonometrică oblicăDacă originea sistemului ortogonal de axe se proiectează oblic pe planul

axonometrie, proiecţia axonometrică se numeşte oblică.în domeniul

construcţiilor, acest sistem de proiecţie, se foloseşte doar atunci când planul axonometrie este paralel cu unul din planele de proiecţie şi poartă denum irea deaxonometrie cavalieră.

După cum planul axonometrie este paralel cu planul de proiecţie orizontal, vertical sau lateral, perspectivacavalieră va fi orizontală, verticală sau laterală.

Fig. 9.7.

Dacă planul axonometrie nu este paralel cu unul din planele de proiecţie se poate discuta despre acelaşi fel de reprezentări ca şi în proiecţia axonometrică dreaptă.

Dacă triunghiul axonometrie este echilateral, proiecţia axonometrică este izometrică oarecare,deci axele axonometrice se iau arbitrar şi coeficienţii de reducere sunt egali (fig.9.9.a).

La acest tip de proiecţie se disting două cazuri particulare:

Fig. 9.8.

150 Capitolul 9- proiecţia axonometrică oblică izometrică orizontală care se caracterizează

prin faptul că axele axonometrice O0x0 şi O0yo sunt perpendiculare, axa O0z0 este verticală şi coeficienţii de reducere sunt egali sunt egali (fig. 9.9.b);

Fig. 9.9.

- proiecţia axonometrică oblică izometrică frontală care se caracterizează prin faptul că axele axonometrice OoZo şi O0y0 sunt perpendiculare, axa O0y0 are o direcţie arbitrară şi coeficienţii de reducere sunt egali (fig. 9.9.c).

Proiecţia axonometrică oblică dimetrică oarecare se caracterizează prin faptul că pe axele axonometrice arbitrare se aleg doi coeficienţi de reducere egali (fig. 9.10). Şi la acest tip de proiecţie se disting două cazuri particulare:

Z°Z°

UZ Xp \ J o¡¿7 / V

/ x \

/ Uy\* 0 o > 4 ^

Q Fig. 9.10

- proiecţia axonometrică oblică dimetrică orizontală la care axele O0x0 şi O0y0

sunt perpendiculare şi coeficienţii de reducere sunt egali pentru OoXo şi Ooyo şi diferit pentru O0z0 (fig. 9.11.a);

proiecţia axonometrică oblică dimetrică verticală la care axele O0x0 şi OoZo sunt perpendiculare şicoeficienţii de reducere sunt egali pentru 0Xo şi OoZo şi diferit pentru Ooyo (fig, 9.11 .b).

în cazulproiecţiei axonometrice

Axonometría 151oblice anizometrice (fig. 9.12) axele axonometrice se iau arbitrar şi coeficienţii de reducere sunt diferiţi pe toate axele.

Această reprezentare axonometrică se mai numeşte şi perspectivă paralelă oarecare.

Fig. .9.12

Probleme propuse

1. Să se construiască proiecţia axonometrică ortogonală anizometrică a clădirii reprezentate în tripla proiecţie ortogonală fig. 8 ,2 0 .

2. Să se construiască proiecţia axonometrică ortogonală dimetrică a clădirii reprezentată în tripla proiecţie ortogonală în fig.8 .2 1 .

3. Să se construiască proiecţia axonometrică ortogonală izometrică a clădirii reprezentate în tripla proiecţie ortogonală în fig. 8 .2 0 ,

4. Să se reprezinte în perspectivă cavalieră orizon-tală ansamblul de construcţii din fig. 8 .2 1 .

5. Să se reprezinte în perspectivă cavalieră frontală (verticală) acelaşi ansamblu de construcţii din fig. 8 .2 1 .

6 . Să se construiască proiecţia axonometrică ortogonală diametrică a ansamblului de corpuri din fugura 8 .2 2 .

7. Să se construiască proiecţia axonometrică ortogonală izometrică a corpului din figura 8.23.

C A P I T O L U L 10

PROIECŢIA COTATĂ9

1 0 . 1 . G e n e r a l i t ă ţ iProiecţia cotată este un sistem special de proiecţie în care una din cele trei

dimensiuni, cea măsurată pe verticală, este mult redusă faţă de celelalte două dimensiuni măsurate pe orizontală. Acest sistem de reprezentare se foloseşte, în special în domeniul construcţiilor, la reprezentarea reliefului, a lucrărilor de terasamente şi căi de comunicaţii, la reprezentarea acoperişurilor şi în topografie.

La acest sistem de reprezentare planul de proiecţie este un pian orizontal H situat la aceiaşi nivel cu nivelul mării sau alt plan orizontal situat la o cotă cunoscută faţă de nivelul mării. Cotele pozitive se măsoară deasupra planului orizontal şi se numesc altitudini, iar cotele negative se măsoară sub planul orizontal şi se numesc adâncimi.

Citirea planului cotat se face cu ajutorul scării la care a fost întocmit, scară numerică sau scară grafică.

Scările numerice sunt date sub formă de fracţie: 1:10; 1:100 etc. unde numărătorul reprezintă unitatea de măsură, iar numitorul este impus de standarde.

Scările grafice se reprezintă pe epură prin două linii paralele orizontale divizate în mai multe segmente egale cu unitatea de reprezentare. Primul segment este subdivizat în 10 subunităţi şi poartă denumirea de tal o ii (fig. 10.1). Un segment se măsoară prin amplasarea cu un capăt în dreptul unei unităţi şi cu celălalt capăt în dreptul talonului pe care se aproximează subunităţile.

Q u Fig. 10.1.

1 0 . 2 . R e p r e z e n t a r e a p u n c t u l u iProiectanta trasată din punctul A din spaţiu intersectează planul de proiecţie H

în a, care este proiecţia punctului pe planul cotat (fig. 1 0 .2 ) sub care se scrie cota punctului. Cota se scrie cu semnul + sau - în faţă, care indică amplasarea punctului deasupra sau sub planul de proiecţie. Dacă punctul este conţinut în planul de proiecţie, sub proiecţia sa se scrie 0. Epurele pe care sunt reprezentate obiecte în proiecţie cotată se numesc planuri cotate (fig. 1 0 .2 ,b).

Proiecţia cotată

Q

3O

bo

ooc

HQ tr

Fig. 10.2.

10.3. Reprezentarea drepteiProiecţia cotată a unui segment de dreaptă AB este dată de proiecţia cotată a

celor două puncte, care prin unire determină proiecţia segmentului (fig. 10.3). De obicei dreapta se reprezintă prin câteva puncte de cotă întreagă, reprezentare care poartă denumirea de scară de pantă. Punctul de cotă 0 reprezintă urma dreptei. O dreaptă orizontală se reprezintă prin proiecţia ei şi cota scrisă sub proiecţie, o dreaptă conţinută în planul cotat prin proiecţia ei şi cota 0 scrisă sub ea, iar o dreaptă verticală printr-un punct.

a. Rabaterea drepteiPentru determinarea grafică a distanţei dintre două puncte A şi B de pe dreaptă

se face rabaterea dreptei pe planul cotat. Rabaterea se rezolvă prin trasarea perpendicularelor la proiecţia dreptei în a şi b, proiecţiile punctelor. Pe acestea se măsoară cotele punctelor, între care se obţine adevărata mărime a segmentului AB (fig.10.4).

Distanţa orizontală a două puncte este distanţa măsurată între proiecţiileorizontale ale punctelor, deci ab şi se notează cu d.

Distanţa verticală este diferenţa dintre cotele cele două puncte A şi B şi se notează cu h.

Raportul dintre distanţa verticală şi distanţa orizontală a două puncte se numeşte pantă:

p = h/d = tg a Pantele se dau în:- procente: 1 %; 2 % etc., notaţie folosită la reprezentarea terenurilor, a căilor

de comunicaţie etc.;- promile: 1 %0; 2 % 0 etc., notaţie folosită la lucrări hidrotehnice, căi ferate

etc.;- rapoarte: 1/2; 3/2; 1/3 etc., notaţie folosită la reprezentarea acoperişurilor,

taluzuri de terenuri etc.;- unghiuri: 25 °; 40 0 etc., în notaţii diverse.

Fig. 10.3.

Distanţa orizontală a două puncte a căror distanţă pe verticală este egală cu unitatea se numeşte intervalul dreptei şi se notează cu i. Panta este inversul intervalului, deoarece când h = 1 , p = h/d = l/i.

b. Poziţia relativă a două drepteDouă drepte pot fi coplanare (paralele sau concurente) sau necoplanare.Două drepte sunt paralele dacă proiecţiile pe planul cotat sunt paralele, pantele

sunt egale şi scările de pantă cresc în acelaşi sens (fig. 10.5.a).Două drepte sunt concurente dacă proiecţiile pe planul cotat sunt concurente,

^g/| Capitolul 10 _________ ______ ________ _______ _____________________

iar punctul de concurenţă are aceeaşi cotă (fig. 10.5.b).Două drepte sunt necoplanare atunci când proiecţiile se intersectează dar

punctul de intersecţie are cote diferite (fig. 10.5.c) sau când proiecţiile sunt paralele dar au intervale diferite sau intervale egale dar de sens diferit (fig. 1 0 .5.d).

c. Distanţa de la punct la dreaptăPentru determinarea adevăratei mărimi a distanţei de la punctul A la dreapta

D, reprezentate în proiecţie cotată, se rabate dreapta D pe un plan de nivel care conţine punctul A, utilizându-se ca ax de rabatere orizontala de cotă 7, care trece prin A şi B de aceiaşi cotă (fig. 10.6). Pentru aceasta se figurează un triunghi de rabatere corespunzător unui punct oarecare M de cotă 9. Cateta mmt a triunghiului de rabatere este egală cu diferenţa dintre cota punctului M şi cota planului de nivel pe care se face rabaterea, H7. Prin rabaterea dreptei, respectiv a punctului M, se obţin două soluţii, M, şi M2, care împreună cu punctul B determină poziţiile D) şi D2 din planul de nivel pe care se rabate dreapta. Distanţa reală de la punctul A la dreapta D se măsoară pe perpendiculara din A la D! sau la D2.

d. Unghiul dintre două drepte concurentePentru determinarea adevăratei mărimi a unghiului dintre două drepte

concurente date prin scările de pantă (fig. 10.7), se figurează orizontala de cotă 5 a planului format de dreptele D, şi D2 prin unirea punctelor de cotă 5 de pe scările de pantă ale dreptelor. Orizontala figurată este ax de rabatere. Se figurează triunghiul de rabatere în raport de acest ax, corespunzător punctului M de concurenţă dintre cele două drepte şi se rabate pe planul de nivel de cotă 5. Cateta triunghiului de rabatere mmi este egală cu diferenţa dintre cota punctului M şi cota planului de nivel pe care s

Proiecţia cotată

au rabătut dreptele date şi care este egală cu 5. Se unesc proiecţiile punctelor A şi B de cotă 5 cu M0 şi se obţin laturile unghiului a , unghiul în mărime adevărată format de cele două drepte concurente.

10.4. Reprezentarea planuluiUn plan este determinat de două drepte paralele sau concurente, o dreaptă şi un

punct sau trei puncte necoliniare, precum şi prin linia de cea mai mare pantă faţă de planul orizontal de proiecţie. Aceasta este o dreaptă perpendiculară pe toate orizontalele pianului şi deci proiecţia liniei de cea mai mare pantă este perpendiculară pe proiecţiile orizontalelor planului,

Ea poate fi trasată prin orice punct a planului (fig. 10.8). De obicei se reprezintă şi dreapta de intersecţie a planului dat cu planul cotat, în special ia planul vertical (fig. 1 0 .8 .b şi c).

Pentru a se deosebi de dreptele reprezentate prin scara de pantă, linia de cea mai mare pantă se reprezintă în proiecţie cotată printr-o linie dublă, scara de pantă a acesteia reprezentând scara de pantă a planului.

a. Poziţia punctului faţă de planUn punct oarecare A (fîg. 10.9) se află deasupra

planului P dacă orizontala dusă prin punct, paralelă cu orizontalele planului, are cota mai mare decât orizontala planului cu care coincide.

Un punct oarecare B se află în planul P dacă orizontala dusă prin punct coincide cu orizontala de aceeaşi cotă a planului.

Un punct oarecare C se află sub planul P dacă orizontala dusă prin punct are cota mai mică decât orizontala planului.

b. Poziţia relativă a două plane

Două plane pot fi paralele sau concurente. Pentru ca două plane să fie paralele este necesar şi suficient ca liniile lor de cea mai mare pantă să fie paralele (fig. 10.10.a).

Pentru ca două plane verticale să fie paralele trebuie ca urmele lor să fie paralele (fig. lO.lO.b). Două plane sunt concurente cînd liniile de cea mai mare pantă

jjgg Capitolul 10____________ ____________________________

Fig. 10.10.nu sunt paralele (fig. lO.lO.c). Pentru determinarea dreptei de intersecţie dintre cele două plane se trasează orizontalele de aceeaşi cotă a celor două plane până se intersectează. Prin punctele de intersecţie ale orizontalelor se trasează proiecţia dreptei de intersecţie a planelor.

c. Poziţia dreptei faţă de planO dreaptă poate fi paralelă cu planul, conţinută în plan sau poate intersecta

planul.O dreaptă conţinută într-un plan trebuie să aibă cel puţin două puncte conţinute

în plan, adică orizontalele planului să intersecteze dreapta în puncte de aceeaşi cotă (fig. 1 0 . 1 1 .a).

O dreaptă T este paralelă cu planul P când este paralelă cu o dreaptă D conţinută în plan (fig. 1 0 . 1 1 .b).

Punctul de intersecţie dintre dreapta D şi planul P se determină prin considerarea unui plan oarecare R care conţine dreapta (fig. 10.12). Cele două plane se intersectează după dreapta T. Punctul de intersecţie dintre dreapta T şi dreapta D este

-<«¡7Proiecţia cotată '

D intersectează planul P.punctul în care dreapta

Fig. 10.11.

Dreapta D este văzută de la punctul de intersecţie spre dreapta deoarece înaceastă zonă conţine puncte de cotă mai mare decât cota planului.

d. Perpendiculara la un planO dreaptă D perpendiculară pe planul P

este perpendiculară pe toate dreptele planului, deci şi pe orizontalele planului. Linia de cea mai mare pantă a planului este perpendiculară pe orizontalele planului, deci proiecţia dreptei perpendiculare D este suprapusă liniei de cea mai

mare pantă (fig. 10.13.a). Dacă printr-un punct M se trasează linia de cea mai mare pantă a planului şi perpendiculara pe planul P se observă că:

- proiecţiile dreptelor sunt în prelungire, fiind conţinute în acelaşi plan proiectant;

- panta unei drepte este egală cu intervalul celeilalte;- scările de pantă ale celor două drepte cresc în sens contrar (fig. 10.13.b).

e. Distanţa de la punct la planAdevărata mărime a distanţei de la punctul A la planul P se măsoară pe

perpendiculara din A la plan, deci proiecţia perpendicularei pe plan este paralela D dusă prin A la planul P (fig. 10.14). Punctul de intersecţie a perpendicularei cu planul P se determină cu ajutorul unui plan auxiliar Q care conţine dreapta D. Dreapta de

intersecţie T, a celor două plane, intersectează dreapta D în I. Adevărata mărime a segmentului AI se determină prin rabaterea segmentului pe planul de nivel care conţine unul din punctele A sau I.

10.5. Reprezentarea poliedrelor şi cilindro-conicelorîn proiecţie cotată poliedrele se reprezintă prin proiecţia cotată a vârfurilor şi

proiecţia cotată a muchiilor. Conul se reprezintă prin proiecţia directoarei, proiecţia vârfului şi proiecţia generatoarelor caracteristice; cilindrul prin urma sa pe planul orizontal de proiecţie şi proiecţia cotată a unei generatoare, iar sfera prin proiecţia cotată a centrului şi proiecţia conturului aparent (cercul ecuator).

a. Intersecţia dreptei cu corpurilePunctele de intersecţie ale dreptei D cu conul se determină cu ajutorul unui

plan auxiliar care conţine dreapta şi vârful conului (fig. 10.15). Acest plan este definit de orizontalele de cotă 0 şi 7. Cercul de bază a conului, situat în planul orizontal de proiecţie, este intersectat de urma planului în a şi b. Punctele căutate, Ai (văzut fiind situat pe un arc văzut) şi Bj (nevăzut fiind situat pe arcul nevăzut a cercului de bază), se găsesc la intersecţia dreptei cu generatoarele Sa şi Sb ale conului.

ţg g Capitolul 10 _____ _____ ____________________________________ _

Punctele de intersecţie ale dreptei D cu prisma se determină cu ajutorul unui plan auxiliar care conţine dreapta şi este paralel cu muchiile prismei (fig. 10.16). Planul de intersecţie se determină cu ajutorul unei drepte paralele cu muchiile prismei, intersectată cu dreapta dată. Urma planului determinat intersectează baza prismei în m şi n şi feţele laterale ale prismei după paralelele prin m şi a la muchiile prismei. Punctele căutate, M x (nevăzut fiind situat pe faţă nevăzută) şi Ni (văzut fiind situat pe faţă văzută), se găsesc la intersecţia paralelelor respective cu proiecţia dreptei.

b. Secţiuni plane în poliedreSecţiunile plane în poliedre se determină prin muchii, când se intersectează o

dreaptă cu un plan, sau prin feţe, când se determină drepte de intersecţie dintre plane.Intersecţia unei piramide cu planul P se determină prin prima metodă, respectiv

se intersectează fiecare muchie a piramidei cu planul P. Se consideră un plan auxiliar prin muchia SA, a cărui orizontale de cotă 0 şi 5 se intersectează cu orizontalele de aceeaşi cotă a planului P. Dreapta rezultată intersectează muchia SA în unul din

_ , 1SQProiecţia cotată

punctele căutate.Se procedează în mod analog cu celelalte muchii şi se obţin alte puncte de

intersectie, care unite între ele dau proiecţia cotată a secţiunii piramidei cu planul P (fig. 10.17).

Intersecţia unei prisme cu un plan P se determină prin metoda a doua, respectiv se intersectează planul P cu planul feţelor laterale ale prismei. Se intersectează planul P cu faţa laterală abed a prismei cu ajutorul orizontalelor de cotă 1 şi 3 a celor două plane. Dreapta rezultată, conţinută în planul feţei prismei, este o latură a poligonului de secţionare. Se procedează în mod analog pentru încă o faţă a prismei, bcfe pentru care este suficient să se folosească orizontala de cotă 3, determinându-se altă latură a poligonului de secţionare (fig. 10.18).

în cazul unei prisme triunghiulare cea de a treia latură se obţine prin unirea extremităţilor libere ale celorlalte două.

c. Secţiuni piane la suprafeţe cilindro-coniceProiecţia curbei de intersecţie dintre un con şi un plan P, dat prin linia de cea

mai mare pantă, se determină prin intersectarea fiecărei generatoare a conului cu planul P. Se consideră plane auxiliare pentru fiecare generatoare a conului, care se intersectează cu planul P după o dreaptă. Dreapta, la rândul ei, intersectează generatoarea considerată în punctul căutat. In acelaşi fel se procedează cu cel puţin şase generatoare, dintre care două trebuie să fie cele de contur aparent. Unind punctele de intersecţie determinate se obţine proiecţia curbei de intersecţie, respectiv a elipsei (fig. 10.19). Curba de intersecţie rezultată din secţionarea unui cilindru oblic cu un plan P, dat prin linia de cea mai mare pantă, se determină în mod similar ca la problema anterioară. Orientarea proiecţiilor generatoarelor este dată de un punct L de pe una din generatoarele de contur aparent, respectiv EL (fig. 10.20). Prin această generatoare se consideră un plan ajutător a cărui orizontale de cotă 0 şi 3 se intersectează cu orizontalele de aceeaşi cotă ale planului P în punctele M şi N. Dreapta MN intersectează două generatoare ale cilindrului în şi E],

Punctele de intersecţie ale celorlalte generatoare ale cilindrului se determină cu ajutorul dreptelor paralele la MN, trasate prin punctele de intersecţie ale orizontalelor

de cotă 0 cu orizontala de cotă 0 a planului P. Prin unirea punctelor de intersecţie determinate rezultă tot o elipsă, deci planul secţionează toate generatoarele cilindrului.

ţ fiQ Capitolul 10_________________________________________________________

10.6. Suprafeţe topograficeReprezentarea terenului în proiecţie cotată se face cu ajutorul curbelor de nivel,

care sunt proiecţiile pe planul orizontal a curbelor obţinute prin intersectarea reliefului cu plane de nivel echidistante. Pe fiecare curbă de nivel trebuie să se înscrie cota. Curbele de nivel curente se trasează cu linie subţire, iar cele principale (multiplu de 5 a cotei) se trasează cu linie mijlocie.

Linia de cea mai mare pantă a unui teren este linia care uneşte două curbe de nivel vecine şi în acelaşi timp este perpendiculară pe ele.

Deoarece curbele de nivel nu respectă regulile matematice, având forme foarte variate, rezultă că şi linia de cea mai mare pantă este o curbă oarecare. Atunci când planele au echidistanţa mică linia de cea mai mare pantă se apropie de curba care generează suprafaţa terenului. Modul în care se succed planele de nivel, deci a curbelor de nivel, dă caracteristica terenului.

Când curbele de nivel sunt paralele şi la distanţă constantă terenul are suprafaţa cu pantă constantă şi liniile de cea mai mare pantă sunt linii drepte.

Când distanţa dintre curbele de nivel se reduce cu creşterea cotei, linia de cea mai mare pantă este o curbă concavă.

Când distanţa dintre curbele de nivel creşte odată cu creşterea cotei, linia de cea mai mare pantă este tot o curbă, dar convexă.

a. Intersecţia suprafeţei topografice cu un plan

Punctele de intersecţie dintre un plan dat prin linia de cea mai mare pantă şi o suprafaţă topografică se găsesc la intersecţia curbelor de nivel cu orizontalele planului de aceeaşi cotă (fig, 10.21). Prin unirea punctelor determinate se obţine o linie frântă.

b. Punctul de intersecţie a unei curbe cu suprafaţa topografică

Proiecţia cotată 161

Se suprapune liniei curbe o suprafaţă cilindrică auxiliară care se intersectează cu suprafaţa topografică după curba abcdm obţinută prin intersectarea orizontalelor suprafeţei cilindrice cu curbele de nivel de aceeaşi cotă (fig. 10.22). Punctul de intersecţie k se găseşte la intersecţia curbei date cu curba rezultată. Curba este văzută de la punctul de intersecţie spre cota 9, unde se află deasupra suprafeţei topografice, având cota mai mare.

c. Construcţia unei platforme orizontale

Pe un plan cotat reprezentat prin curbe de nivel la scara 1:200, se execută o platformă orizontală cu dimensiunile în plan de 50 x 20 m şi cota de 10 m.

Analizând cota colţurilor platformei în raport cu cota terenului (fig. 10.23) se observă că în colţurile A şi D trebuie executată umplutură (rambleu), cota terenului fiind mai mică decât cota platformei, iar în colţurile B şi C trebuie executată săpătură (debleu).

Se impune panta taluzului de 1:1 pentru săpătură, iar pentru umplutură de 1:1,5. Se figurează liniile de cea mai mare pantă pentru planele taluzurilor

(perpendicular pe conturul platformei, orizontale de cotă 1 0 ) apoi se intersectează planele taluzurilor cu suprafaţa topografică, respectiv orizontalele planelor cu curbele de nivel de aceeaşi cotă. Prin unirea punctelor de intersecţie rezultate se obţine amprize platformei, respectiv lmno pentru umplutură şi opri pentru săpătură.

d. Ampriza unei rampe cu panta de 20 %Pe planul cotat reprezentat prin curbe de nivel la scara 1:200 se execută o

rampă cu lăţimea de 5 m şi panta longitudinală de 20 %, respectiv 1:5 (fig. 10.24). Se figurează orizontalele de cotă rotundă a rampei, prima orizontală având cota 9 iar ultima 3. Se observă că partea din stânga a rampei se execută în săpătură (terenul având cota mai mare decât a rampei), iar în partea din dreapta este nevoie de umplutură (terenul având cota mai mică decât cota rampei).

^ 2 Capitolul 10_________________________________________________________

Liniile de cea mai mare pantă ale taluzurilor, respectiv scările de pantă, se trasează în punctele de cotă 8 şi 4 ale marginilor rampei. Se construiesc semicercurile corespunzătoare pantelor de 1/1, respectiv 2/3, în punctele menţionate. Tangentele la semicercuri de cotă rotundă, trasate prin punctele de pe marginea platformei de aceeaşi cotă, sunt orizontale ale planelor taluzurilor corespunzătoare. Liniile de cea mai mare pantă se figurează perpendicular pe tangente, apoi se trasează orizontalele planelor taluzurilor la echidistanţe egale cu raza semicercurilor.

Se intersectează orizontalele taluzurilor cu curbele de nivel de aceeaşi cotă şi se obţin punctele prin care se trasează ampriza rampei. Punctele M şi N marchează trecerea de la săpătură la umplutură.

10.7. Acoperişuriîn general acoperişurile construcţiilor sunt plane cu pantă dată, care asigură

scurgerea apelor.In proiectarea acoperişurilor se cere determinarea liniilor de intersecţie ale

Proiecţia cotată

planelor feţelor acoperişurilor care poartă denumirea de coame atunci când sunt convexe, respectiv când picătura de apă se îndepărtează de linia de intersecţie şi dolii atunci când sunt concave, respectiv când picătura de apă se apropie de linia de intersecţie.

Fiind dat un acoperiş a cărui contur în proiecţie orizontală este dreptunghiul ABCD, se cere determinarea coamelor dacă pantele celor patru feţe ale acoperişului sunt:

- faţa corespunzătoare laturii AB, pi = 1/2, respectiv ii = 2;- feţele corespunzătoare laturilor BC şi AD, p2 = 2/3, respectiv i2 = 1,5;- faţa corespunzătoare laturii CD, p3 = 1/1, respectiv i3 = 1 .Determinarea poziţiei coamelor se poate face în două feluri (fig. 10.25):

folosind linia de cea mai mare pantă sau figurând pe fiecare latură semicercurile cu razele egale cu ii...i3, determinate mai sus (fig. 10.25).

figurat poziţiile celor trei pante într-un caroiaj corespunzător scării.La intersecţia orizontalelor tangente la semicercuri, sau determinate de scara

de pantă a feţelor, se obţin punctele 1, 2, 3 şi 4, care unite cu colţurile dreptunghiului de bază dau proiecţiile coamelor acoperişului. Coamele se intersectează câte două în punctele M şi N, care unite dau proiecţia crestei acoperişului.

Adevărata mărime a suprafeţei feţelor acoperişului, necesară pentru determinarea suprafeţei învelitorii, se află prin rabaterea planelor feţelor pe planul de nivel a poalei acoperişului.

Probleme propuse

1. Să se reprezinte în proiecţie cotată punctele: A, B, C şi E de cote: -2, 5, 3, respectiv 0 .

2. Să se reprezinte în proiecţie cotată dreptele: oarecare prin punctele de cotă 2 şi 5 şi orizontala de cotă 4.

3. Să se rabată dreapta prin punctele de cote -2 şi 3, pe planul cotat.4.Să se reprezinte în proiecţie cotată o dreaptă orizontală intersectată cu o

dreaptă verticala.5. Să se reprezinte în proiecţie cotată două drepte oarecare perpendiculare.

6 . Să se traseze o dreaptă de pantă dată printr-un punct al unui plan P.7. Să se afle adevărata mărime a unghiului format de două plane oarecare date

prin linia de cea mai mare pantă.8 . Să se afle distanţa dintre două drepte paralele.9. Să se construiască, prin dreapta D, un plan P de pantă dată.10. Printr-un punct M„ aparţinând planului P, să se construiască o dreaptă de

pantă dată.11. Să se determine punctele de intersecţie dintre o dreaptă oarecare şi o

piramidă.12. Să se determine punctele de intersecţie dintre o dreaptă oarecare şi un

cilindru oblic.13. Să se determine punctele de intersecţie dintre o dreaptă oarecare şi o sferă.14. Să se determine intersecţia dintre o piramidă oblică cu o prismă oblică,

ambele având bazele în planul de proiecţie.15. Să se determine intersecţia dintre un cilindru oblic cu baza într-un plan

oarecare şi un plan dat prin linia de cea mai mare pantă faţă de planul de proiecţie.16. Să se determine unghiul dintre o dreaptă dată şi un plan P definit prin linia

de cea mai mare pantă.17. Să se determine planul bisector a diedrului format de planele P şi Q.18. Să se traseze o dreaptă de pantă dată pe o suprafaţă topografică.19. Să se determine amprizele rampelor şi platformelor din fig. 10.22, la cotele

indicate pe fiecare epură, ştiind că taluzurile debleului au pante de 1 : 1 iar a rambleului de 1:1,5.

20. Să se determine coamele şi doliile pentru acoperişuri de diferite forme rectangulare, prin metoda liniei de cea mai mare pantă şi a semicercurilor, feţele având pante diferite.

Capitolul 10_________________________________________________________

C A P I T O L U L 11

UMBRE

11.1. Generalităţi

Studiul umbrelor, sau al traseului umbrelor, se impune ca o necesitate de control a formelor spaţiale concepute, a raportului lumină-umbră, pentru plastica volumelor.

Desenul tehnic şi desenul în perspectivă sunt mijloace de exprimare grafică a concepţiei spaţiale; desenul tehnic redă la scară obiectul din spaţiu, permite realizarea lui şi constituie proiectul obiectului, iar desenul perspectiv redă imaginea obiectului aşa cum este văzut de ochiul omului.

Studiul umbrelor se impune atât în desenul tehnic cât şi în desenul perspectiv, în ambele cazuri sursa de lumină fiind Soarele sau o lumină artificială. Deoarece Soarele se află la o distanţă foarte mare razele de lumină se pot considera un fascicol de drepte paralele de o anumită direcţie:

Lumina artificială fiind situată la o distanţă mică razele de lumină formează un fascicol de drepte concurente în punctul de lumină.

Traseul umbrelor se determină prin stabilirea liniei de separaţie dintre partea luminată şi cea umbrită, atât pe suprafeţele proprii ale corpului, umbra proprie, cât şi pe suprafeţe care nu aparţin corpului, umbra purtată sau aruncată.

Dacă sursa de lumină este Soarele direcţia razei de lumină se consideră diagonala cubului care are trei feţe confundate cu planele de proiecţie (fig. 1 1 .1 ) şi face, cu fiecare din ele, un unghi de aproximativ 350 16'. Sensul propagării luminii este spre O .

Proiecţiile razelor de lumină pe planele de proiecţie fac unghiuri de 45 0 cu linia de pământ.

Capitolul 11

11.2. Umbra punctelor şi a dreptelora. Umbra punctuluiPentru a afla umbra aruncată de un punct pe cele două plane de proiecţie se

trasează raze de lumină înclinate la 45 0 faţă de axa Ox, prin proiecţiile punctului. Umbra rezultă la intersecţia razelor de lumină cu planele de proiecţie (fig. 11.2).

Oh

Q Fig. 11.2.Umbra purtată pe planul de proiecţie pozitiv este umbră reală, iar umbra

purtată pe planul de proiecţie negativ este umbră virtuală. Din cele de mai sus rezultă că pentru un punct situat în diedrulI, dacă cota este mai mare decât depărtarea, umbra reală se găseşte pe planul vertical, iar dacă depărtarea este mai mare decât cota umbra reală se găseşte pe planul orizontal.

Umbra punctului C pe planul oarecare dat prin urme este punctul de intersecţie a razei de lumină dusă prin punct, cu planul, deci cH şi Cy, determinată cu ajutorul unui plan proiectant la H care conţine raza de lumină ce trece prin punctul C.

b. Umbra dreptelor pe pianele de proiecţiePentru determinarea umbrei unei drepte oarecare D se trasează raze de

lumină la 45 0 prin proiecţiile a două puncte de pe dreaptă, A şi B (fig. 11.3).

Fig. 11.3.Dacă cele două puncte au umbre pe planul orizontal de proiecţie, dreapta are

umbră purtată numai pe planul orizontal. Dacă punctele au umbrele pe planul vertical de proiecţie, umbra dreptei se găseşte doar pe planul vertical.

Atunci când un punct al dreptei are umbra pe planul orizontal de proiecţie, iar celălalt punct are umbra pe planul vertical, umbra dreptei suferă o frângere pe axa Ox.

Umbre 167

reptelor

ice'.e două plane de proiecţie se I t . prin proiecţiile punctului,

c proiecţie (fig. 1 1 .2 ).

C Fig. 11.5.Şi aici apare particularitatea observată la dreapta verticală şi anume umbra

dreptelor frontale pe planul V este întotdeauna paralelă şi de aceeaşi mărime cu segmentele de drepte considerate.

Li se găseşte pe planul vertical,2 . găseşte pe planul orizontal.

este punctul de intersecţie : . determinată cu ajutorul unui te punctul C.

ire-care D se trasează raze de pci- A şiB (fig. 11.3).

Problema mai poate fi rezolvată, în cazul unor drepte nelimitate şi prin determinarea urmelor planului de direcţie care conţine dreapta dată, urmele planului fiind chiar umbra dreptei pe cele două plane de proiecţie.

Umbrele dreptelor oarecare pe planele de proiecţie sunt în acelaşi timp şi urmele planelor de lumină ce conţin dreptele respective.

Umbra dreptelor orizontale pe planele de proiecţie poate să se găsească, ca şi în cazul dreptelor oarecare, numai pe planul orizontal, numai pe planul vertical sau pe ambele plane de proiecţie (fig. 11.4).

Păstrând aceeaşi metodă de determinare a umbrelor se observă următoarea particularitate:

Umbra dreptelor orizontale pe planul H este întotdeauna paralelă şi de aceeaşi mărime cu segmentele de drepte considerate.

Umbra dreptelor frontale pe planele de proiecţie se determină similar cu a dreptelor oarecare, cu ajutorul a două puncte. Umbra poate să apară doar pe planul orizontal sau vertical, ori poate să se extindă pe ambele plane de proiecţie (fig. 1 1 .5 ).

C Fig. 11.3.rzontal de proiecţie, dreapta are ; e au umbrele pe planul vertical cm ;al.ir ', anul orizontal de proiecţie, iar ice: suferă o frângere pe axa Ox.

Fig. 11.4.

Fig. 11.2.

-y.t umbră reală, iar umbra ■LI. Din cele de mai sus rezultă

Umbra dreptelor de profil pe planele de proiecţie se determină, de asemenea, cu ajutorul a două puncte de pe dreaptă (fig. 1 1 .6).

1 68 Capitolul 11_________________________________________________________

Fig. 11.6.

Şi de această dată umbra poate să apară doar pe planul orizontal sau vertical, ori pe ambele plane de proiecţie.

Umbra dreptelor verticale pe planele de proiecţie, determinată cu ajutorul a două puncte de pe dreaptă, poate să fie purtată numai pe planul H sau pe planul V, ori poate să fie purtată pe ambele plane de proiecţie. Se observă că întotdeauna umbra purtată are aceeaşi direcţie pe planele de proiecţie, deci apare următoarea regulă:

Umbra dreptelor verticale pe planele de proiecţie este verticală pe planul vertical şi înclinată la 450 pe planul orizontal (fig. 11.7).

Fig. 11.7.

Umbra dreptelor de capăt pe planele de proiecţie se determină prin metoda cunoscută şi anume prin intersectarea semidreptei de umbră de direcţie dată cu planele de proiecţie (fig. 1 1 .8).

Umbre 169

Se observă că umbra purtată a unei drepte de capăt pe planul V este înclinată la 45 0 faţă de axa Ox şi trece prin proiecţia verticală a dreptei, iar umbra purtată pe planul orizontal este paralelă cu proiecţia orizontală a dreptei.

în cazul în care umbra se extinde pe ambele plane de proiecţie, ea va avea un punct de frângere pe axa Ox. Şi aici apare o regulă:

Umbra dreptelor de capăt pe planele de proiecţie este paralelă cu proiecţia lor pe pianul orizontal şi înclinată la 4 5 0 pe planul vertical, unde trece prin proiecţia lor verticală.

Umbra drepteior fronto-orizontale pe planele de proiecţie se poate determina tot cu ajutorul a două puncte de pe dreaptă (fig. 11.9). Se observă că umbra apare numai pe planul orizontal sau numai pe planul vertical, în funcţie de depărtarea şi cota dreptei. Rezultă că este suficient să se determine umbra unui punct de pe dreaptă pentru a trasa umbra dreptei conform următoarei reguli;

Umbra dreptelor fronto-orizontale pe pianele de proiecţie este paralelă şi de aceeaşi mărime cu dreptele date.

b. Umbra dreptelor pe plane proiectante la LUmbra dreptei verticale pe plan paralel cu axa Ox se întâlneşte frecvent la

coşurile de fum şi la lucarne.Proiecţia orizontală a umbrei dreptei verticale pe planul paralel cu axa Ox are

Fig. 11.9.

direcţia r şi este conţinută într-un plan proiectant la H care trece prin proiecţia orizontală a dreptei (fig. 1 l.lO.a).

Intersecţia planului vertical de direcţie R cu planul paralel cu axa Ox reprezintă o dreaptă de umbră a verticalei pe acest plan.

Capitolul 11_________________________________________________________

A &

Fig. 11.10.

Proiecţia verticală a umbrei dreptei verticale pe planul paralel cu axa Ox face un unghi egal cu unghiul planului dat faţă de planul orizontal.

Cunoscând aceste reguli se poate construi uşor umbra oricărei drepte verticale pe orice plan paralel cu axa Ox.

Umbra dreptei de capăt pe plan paralel cu axa Ox se determină foarte uşor dacă se cunoaşte sau dacă se stabileşte punctul de intersecţie a dreptei cu planul dat, acesta fiind un punct de fugă a ei (fig. ll.lO.b).Umbra dreptei are în proiecţie pe planul V direcţia r ', iar pe planul H se determină prin punctele A şi H.

Umbrele purtate de dreptele fronto-orizontale pe plane paralele cu axa Ox sunt paralele cu dreptele date (fig. 11.11). Umbra unui punct A de pe dreapta dată se determină cuajutorul proiecţiei pe planul lateral şi a proiecţiei razei de lumină în a". Umbra oricărui punct de pe dreaptă are aceeaşi proiecţie laterală, de unde rezultă că proiecţiile umbrei pe cele două plane sunt paralele cu axa Ox.

Î ,V A ..................... ..

o) J \ .........X<L

Tii1|

Ia -W R ................------- * * ------- — t i --------- —

r / fV

113. Umbra figurilor planeUmbrele purtate de figurile plane pe planele de proiecţie sunt tot figuri plane,

cu excepţia cazului particular când figura plană este situată în planul de lumină, situaţie în care umbra ei se reduce la o dreaptă. Umbra poate cădea fie numai pe un plan de proiecţie, fie pe ambele plane de proiecţie, prezentând puncte de frângere pe axa Ox.

Umbre 171

a. Umbra triunghiului dintr-un plan de profilUmbra triunghiului dintr-un plan de profil, având o latură dreaptă de capăt şi

alte două laturi care fac acelaşi unghi cu planul H, se determină la intersecţia razelor de lumină cu planele de proiecţie (fig. 1 1 .1 2 ).

Dacă toate vârfurile au depărtarea mai mare decât cota, umbra purtată se găseşte pe planul H. Dacă cotele vârfurilor sunt mai mari decât depărtările, umbra purtată se găseşte pe planul V. în caz că unul din vârfuri, C, are cota mai mare decât depărtarea, iar vârfurile A şi B au cota mai mică decât depărtarea, umbra se extinde pe ambele plane de proiecţie. In această situaţie se determină şi umbra punctului C pe planul orizontal, hc, care se uneşte cu umbra vârfurilor A şi B. Umbra acestor laturi va fi văzută până la axa Ox unde suferă o frângere, pentru a se continua spre umbra vârfului C de pe planul vertical.

b. Umbra pătratuluiUmbra unui pătrat situat într-un plan de nivel, care are două laturi drepte de

capăt şi două laturi drepte fronto-orizontale (fig. 11.13), poate să se găsească doar pe unul din planele de proiecţie, sau pe ambele plane, în funcţie de cota la care se găseşte pătratul.

0

Fig. 11.12.

D0 ,

Fig. 11.13..

Umbra pătratului pe planul vertical este un paralelogram cu două laturi paralele cu direcţia razei de lumină, dacă cotele vârfurilor sunt mai mari decât depărtările. Umbra pe planul orizontal este un pătrat congruent cu pătratul dat, atunci când depărtările vârfurilor sunt mai mari decât cotele. în caz contrar, laturile drepte de capăt vor suferi o frângere pe axa Ox.

c. Umbra triunghiului oarecare

Umbra unui triunghi situat într-un plan oarecare se determină cu ajutorul razelor de lumină trasate prin vârfuri (fîg. 11.14). Vârfurile A şi C dau umbre pe planul orizontal, iar vârful D dă umbră pe planul vertical. Umbrele laturilor AB şi BC suferă o frângere pe axa Ox, care se determină cu ajutorul umbrei nevăzute a unui vârf pe un plan de proiecţie şi anume a vârfului B pe planul orizontal, hb.

Umbrele celor două laturi sunt văzute pe planul orizontal până la axa Ox, de unde se continuă nevăzute spre urma orizontală hb a razei de lumină ce trece prin vârful B şi văzute Fig. 11.14.spre umbra vârfului B.

d. U m bra cercului din planul de nivelDupă cum s-a văzut la umbra pătratului situat într-un plan de nivel, umbra pe

planul orizontal este congruentă cu figura dată (fîg. 11.15).Deci umbra cercului pe planul orizontal este tot un cerc care este văzut doar până la axa Ox, unde suferă două frângeri. Pentru construirea cercului de umbră se determină umbra centrului şi se

q trasează cercul de umbră, raza —1 fiind aceeaşi.

Umbra cercului pe planul vertical este o elipsă care se determină înscriind cercul într-un pătrat şi determinând umbra pătratului, respectiv punctele în care elipsa este tangentă la pătrat. Elipsa poate fi determinată şi cu ajutorul mai multor puncte de pe cerc, pentru care se determină umbra.

Din umbra situată pe

Capitolul 11_________________________________________________________

Umbre 173

planul vertical numai cea de deasupra axei Ox este văzută, fiind reală, cea de sub axa Ox fiind umbră virtuală.

11.4. Umbra proprie şi umbra aruncată a corpurilor geometrice

în cazul corpurilorgeometrice, pe lângă umbraaruncată, se caută şi umbra proprie.Umbra proprie a poliedrelor se determină prin analizarea feţelor luminate sau umbrite. Liniile de separaţie sunt muchiile poliedrelor.In cazul corpurilor de rotaţie liniile de separaţie trebuie determinate şi sunt linii de tangenţă a razelor de lumină la corpuri.

Umbra aruncată se găseşte la intersecţia prismei de lumină tangentă corpului cu planele de proiecţie.

a. Umbra prismei dreptePrisma dreaptă patrulateră

(fig. 11.16) are feţele BC şi CD umbrite, deoarece trasând razele de lumină în proiecţie orizontală, ele întâlnesc feţele AB şi AD. Liniile de separaţie sunt muchiile B2 şi D4. In proiecţie verticală faţa CD43, care se găseşte în umbră proprie, este văzută umbrită.

Umbra aruncată se determină pentru muchiile B2, D4, 23 şi 34 care sunt linii de separaţie. Muchiile BC şi CD care sunt drepte conţinute în planul orizontal sunt şi propriile lor umbre. Umbra aruncată pe planul vertical este văzută doar în exteriorul conturului aparent a prismei pe plan.

b. Umbra piramidei dreptePiramida dreaptă patrulateră

(fig. 11.17) are feţele BCS şi CDS umbrite, muchiile BS şi DS fiind linii de separaţie pentru umbra proprie. în proiecţie verticală faţa umbrită CDS este văzută. Baza piramidei fiind situată în planul orizontal de proiecţie, pentru umbra aruncată este suficient

Capitolul 11_____________________

să se determine umbra vârfului piramidei, Se trasează proiecţiile razei de lumină prin vârful S a piramidei şi se determină urmele acesteia pe cele două plane de proiecţie. Umbra aruncată pe planul orizontal se află unind b şi d cu Sjj" Până la axa Ox umbra este reală, iar în continuare este virtuală.

Umbra aruncată pe planul vertical se află unind punctele de frângere a umbrei de pe axa Ox cu sVj umbra vârfului pe planul vertical.Umbra de pe planul vertical este văzută doar în exteriorul conturului aparent a piramidei.

c. Umbra cilindrului dreptUmbra proprie a cilindrului

drept (fig. 11.18) este limitată de planele de lumină duse prin generatoarele A şi B, iar umbra aruncată, generatoarele fiind drepte verticale, este înclinată la 45 0 pe planul orizontal şi paralelă cu generatoarele din spaţiu pe planul vertical de proiecţie. Baza inferioară este situată în planul H, iar baza superioară într-un plan de nivel N, a cărui umbră este o elipsă. Elipsa se poate figura prin puncte de umbră de pe cercul trasat cu centrul în sH. Astfel, pentru un punct gH de pe cercul de umbră se trasează o linie de ordine paralelă cu proiecţia orizontală a razei de lumină până la Ox, de unde se ridică o perpendiculară pe axă, care se intersectează cu paralela la axă din gH, obţinându-se umbra G. Procedându-se în acelaşi fel pentru mai multe puncte se poate figura zona de elipsă care este văzută sau nevăzută.

d. Um bra sfereiSfera se proiectează pe planul orizontal după cercul ecuator, iar pe pianul

vertical după cercul meridian. Razele de lumină tangente la sferă formează un cilindru, iar generatoarele acestuia sunt tangente la sferă după un cerc a cărui plan este perpendicular pe razele de lumină şi trece prin centrul sferei. Acest cerc este linia de separaţie dintre lumina şi umbra de pe suprafaţa sferei.

Axa mare a elipsei după care se proiectează linia de separaţie este diametrul sferei şi trece prin centrul acesteia (fig. 11.19). Pentru determinarea axei mici se trasează un plan T, proiectant la planul orizontal de proiecţie, prin centrul sferei. Se rabate cercul de secţionare a elipsei, dat de planul R, în jurul urmei orizontale TH, în acelaşi timp cu raza de lumină R. Cercul aibb perpendicular pe raza de lumină, cu centrul în centrul sferei, dă axa mică a elipsei după care se proiectează linia de separaţie pe planul orizontal, apoi se face revenirea din rabatere.

Proiecţia verticală a liniei de separaţie se determină în acelaşi fel ca în proiecţia orizontală, prin rabatere pe planul vertical a planului proiectant la V, care conţine raza de lumină şi trece prin centrul sferei.

Umbre 175

Pentru determinarea umbrei aruncată de sferă pe planele de proiecţie se determină urmele razei de lumină care trece prin centrul sferei, respectiv cH şi cv. Axa mică a elipsei I-II, din planul orizontal, trece prin cH şi este egală cu diametrul sferei. Axa mare se găseşte pe raza de lumină care trece prin c, la intersecţia acesteia cu razele de lumină tangente la sfera rabătută pe planul orizontal şi s-a notat cu AB.

în acelaşi fel se procedează pentrudeterminarea axelor elipsei după care se proiectează umbra sferei pe planul vertical, care s-a notat cu III- IV, respectiv D-E.

Umbra reală a sferei pe planul orizontal este dată de zona din elipsa de pe planul orizontal situată sub axa Ox. Pe planul vertical, umbra reală este dată de zona din elipsa de pe acest plan situată deasupra axei Ox.

e. Um bra unei construcţiiDacă construcţia este o clădire paralelipipedică cu acoperiş cu doi versanţi se

pune problema dacă înclinarea acoperişului este mai mică decât a razelor de lumină,caz în care ambii versanţi sunt luminaţi. Dacă înclinarea acoperişului este mai mare decât a razelor de lumină un versant este umbrit (fig. 1 1 .2 0 ).

Detaliile se analizează după trasarea umbrei elementelor mari, deoarece unele din ele pot fi complet în umbră. Se începe cu umbra aruncată de pereţi, după care se determină umbra aruncată de streaşină şi în final umbra aruncată de coamă.

Streaşina aruncă umbră pe peretele construcţiei, iar coşul de fum aruncă umbră pe planul acoperişului, care face unghiul a cu planul orizontal.

Pentru determinarea acestor umbre se construieşte proiecţia laterală a clădirii şiapoi cu paralele la proiecţia laterală a razei de lumină se determină liniile de separaţiedintre lumina şi umbra aruncată de cele două elemente.

y iţ Capitolul 11

Fig. 11.20.

11.5. Umbra In perspectivăTrasarea umbrelor în perspectivă se face cu ajutorul razei de lumină. Aşa cum

perspectiva se figurează pe un singur plan, numit plan tablou şi umbra se figurează pe acelaşi plan tablou, deci şi sursa de lumină, Soarele, este situată în planul tablou. In perspectivă se notează cu S urma razei de lumină pe tablou şi cu s proiecţia orizontală a urmei razei de lumină pe tablou, care se află pe linia orizontului.

Dacă Soarele se află deasupra orizontului se consideră în spaţiul real (fig.11.21.a). Umbra aruncată de o dreaptă verticală se determină prin intersectarea liniei, respectiv a razei, de lumină trasată prin S şi A cu proiecţia ei trasată prin s şi a. Punctul de intersecţie se notează cu A0, iar umbra aruncată de verticală este segmentul aA0.

Atunci când Soarele se află în spaţiul neutru razele de lumină se notează cu R

Fig. 11.21.

Umbre 177

şi sunt paralele cu o direcţie dată, de obicei la 45 °, iar proiecţia orizontală a razei de lumină este paralelă cu linia orizontului (fig. 11.21 .b). Umbra aruncată de o dreaptă verticală este segmentul bB0.

Dacă Soarele se află sub linia orizontului se consideră a fi în spaţiu virtual sau imaginar, iar proiecţia orizontală a razei de lumină se află pe linia orizontului (fig.11.21.c). Umbra aruncată de o dreaptă verticală este segmentul cC0.

Umbra aruncată de o prismă dreaptă se determină cu ajutorul muchiilor verticale. Dacă Soarele se află în spaţiul real (fig. 11,22) umbra este dată de muchiile aA, bB şi cC şi se găseşte prinunirea vârfurilor bazei cu umbrele Ao, B0 şi C0. Feţele văzute ale prismei se află în umbră proprie. Se poate spune că umbra se află în fata prismei.

Umbra aruncată de aceeaşi prismă atunci când Soarele se află în spaţiul neutru se determină în acelaşi mod (fig. 11.23). în umbră proprie se află una din feţele văzute şi una din feţele nevăzute. De această dată umbra se află alături de prismă.

Fig. 11. 23.

Atunci când Soarele se află în spaţiul virtual umbra aruncată de prismă se află în spatele ei şi se determină în acelaşi fel ca şi pentru celelalte cazuri (fig. 11.24). Dacă Soarele se află în afara punctelor de fugă feţele văzute se află una în lumină şi una în umbră proprie. în situaţia în care Soarele se află între punctele de fugă feţele nevăzute se află în umbră proprie.

Capitolul 11

s Fig. 11. 24.

11.6. Umbra în axonometrieUmbra unui corp reprezentat în axonometrie se determină cu ajutorul razei de

lumină din spaţiu, Ro, reprezentată axonometrie şi a proiecţiei orizontale a acesteia, r 0, reprezentată tot axonometrie. La o scară cu parapet şi podest parapetul aruncă umbră pe trepte, pe podest şi pe perete, iar treptele aruncă umbră pe teren şi pe perete după direcţia razei de lumină şi a proiecţiei r0.

Umbra aruncată de muchia verticală aA a parapetului (fig. 11.25), se determină cu paralele la Ro şi r0 şi este aA0 la nivelul ternului. Deoarece umbra acestei verticale întâlneşte prima treaptă ea face un salt pe verticală până la nivelul ah nivelul primei trepte, de unde se continuă spre Ab determinat ca şi Aq şi se reprezintă umbra verticalei

Umbre 179

ai A pe planul primei trepte, considerat nivelul 1. Pentru că umbra vârfului A se află pe prima treaptă se trasează, în continuare, umbra muchiei AB, care este o dreaptă de capăt. Umbra acestei muchii pe planele de nivel ale treptelor este paralelă cu muchia, iar planele verticale ale treptelor se determină prin unirea umbrelor de pe planele de nivel.

Vârful B a parapetului are umbra B4 pe planul de nivel al podestului, care însă nu se vede datorită peretelui. Umbra aruncată pe perete se determină prin unirea lui B cu B4r care s-a determinat la intersecţia umbrei muchiei pe planul podestului cu dreapta de intersecţie dintre face planul peretelui şi planul podestului.

Treptele aruncă şi ele umbră pe teren şi pe perete, care se determină cu ajutorul muchiilor drepte verticale şi de capăt, ale treptelor.

Faţa văzută a parapetului, capătul scării şi faţa văzută a nişei se află în umbrăproprie.

Probleme propuse

1. Să se determine umbra proprie şi aruncată, sursa de lumină fiind Soarele, pentru ansamblurile de corpuri reprezentate în dublă proiecţie în figurile: 9.13; 9.14; 9.15 şi 9.16.

2. Să se determine umbra în perspectivă pentru ansamblurile de corpuri reprezentate în dublă proiecţie în figurile: 9.13; 9.14; 9.15 şi 9.16.

3. Să se determine umbra în axonometrie pentru ansamblurile de corpuri reprezentate în dublă proiecţie în figurile: 9.13; 9.14; 9.15 şi 9.16.

BIBLIOGRAFIE

1. BELEA; GH. - Geometrie descriptivă. Editura Orizonturi Universitare, Timişoara,

1999.

2. BELEA; GH. - Reprezentări geometrice. Editura Politehnica, Timişoara, 2004.

3. BELEA; GH., VOICU; C.O. - Geometrie descriptivă. Culegere de probleme.

Editura Orizonturi Universitare, Timişoara, 2002.

4. BOTEZ, M. Şt., MIRESCU, N. P. - Axonometria. Editura Tehnică, Bucureşti,

1970.

5. CHIU, T. - Curs de geometrie descriptivă. Institutul Politehnic Timişoara, 1969.

6. COCHECI, H., RACHIN, N., DUMITRESCU, C. -Geometrie descriptivă,

perspectivă, um bre. Institutul Politehnic "Traian Vuia", Timişoara, 1980.

7. DRĂGAN, D., MÂRZA, C. -Geometrie descriptivă. Editura U. T. Pres, Cluj-

Napoca, 2002

8. GORDON, V., SEMENŢOV-OGHIEVSCHI, M. - Curs de geometrie descriptivă.

Editura Tehnică, Bucureşti, 1952.

9. IANCĂU, V , BĂRBAT, V., ZETEA, E., ROŞA, S , RUSU, I. - Reprezentări

geometrice si desen tehnic. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.

10. IORGA, E., MIHĂESCU, C-tina, KELER, E. - Reprezentări geometrice.

Culegere de probleme. Institutul Politehnic "Traian Vuia", Timişoara, 1989.

11. KRYLOV, N., LOBANDIYEVSKY, P,, MEN, S. - Descriptive geometrv. Mir

Publishers, Moscow, 1974.

12. ROŞA, S., MIHĂESCU, C-tina, IORGA, E. - Reprezentări geometrice si desen.

Institutul Politehnic "Traian Vuia", Timişoara, 1980.

13. TĂNĂSESCU, A. - Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie. Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975.

14. ŢICLETE, Gh., ONOSE D. - Geometrie descriptivă. Editura MATRIX ROM,

Bucureşti, 2005.

CUPRINS

PR EFA ŢĂ ............................................................................................................. 51. ELEMENTE INTRODUCTIVE1.1. Obiectul disciplinei........................................................................................... 71.2. Istoric.................................................................................................................... 81.3. Proiecţii............................................................... .......................................... 91.4. Importanţa proiecţiei ortogonale.....................................................................102. PUNCTUL2.1. împărţirea spaţiului............................................................................................ 112.2. Dubla proiecţie a punctului. E pura....................... ............... ..........................122.3. Poziţia punctului în spaţiu.................................................................................132.4. Tripla proiecţie a punctului.......................................................................... 142.5. Poziţia relativă a punctelor........................................................................... 16

Probleme propuse................................................................. ........................ 173. DREAPTA3.1. Reprezentarea şi urmele dreptei....................................................................... 193.2. Poziţiile particulare ale dreptei faţă de planele de proiecţie........................... 213.3. Drepte conţinute în planele bisectoare şi drepte confundate cu axele..... 253.4. Poziţia relativă a două drepte....................................................................... 25

Probleme propuse.......................................................................................... 284. PLANUL4.1. Generalităţi.................................. ................................................................. 294.2. Reprezentarea planului prin urme.......................... ......... .......................... 304.3. Determinarea urmelor planului........................................................ ........ 304.4. Poziţiile planului faţă de planele de proiecţie........................................... 314.5. Poziţia relativă a dreptei faţă de plan......................................................... 334.6. Poziţia relativă a două plane....................................................... ............... 40

Probleme propuse................ ......................................................................... 445. METODELE GEOM ETRIEI DESCRIPTIVE5.1. Metoda schimbării planelor de proiecţie......................................................... 45

5.1.1. Schimbarea planelor de proiecţie pentru punct................................ 455.1.2. Schimbarea planelor de proiecţie pentru dreaptă

Paralelizarea şi perpendicularizarea dreptei..................................... 465.1.3. Schimbarea planelor de proiecţie pentru plan

Perpendicularizarea şi paralelizarea planului................................... 475.1.4. Adevărata mărime a triunghiului...................................................... 485.1.5. Epura triunghiului echilateral........................................................... 495.1.6. Epura cercului.................................................................... ....................49

182

5.2. Metoda rotaţiei............................................................................................... 505.2.1. Rotaţia de nivel................................................................................... 515.2.2. Rotaţia de front.................................................................................. 515.2.3. Rotaţia punctului.....................................................................................515.2.4. Rotaţia dreptei.................. ......................................................................525.2.5. Rotaţia planului dat prin urme.......................................................... 535.2.6. Paralelizarea şi perpendicularizarea dreptei................................... 545.2.7. Perpendicularizarea şi paralelizarea planului.................................. 555.2.8. Adevărata mărime a unui triunghi.................................................... 565.2.9. Epura pătratului conţinut într-un plan oarecare.......... ..................... 575.2.10. Rotaţii speciale............................................................................... 57

5.3.Metodarabateri i ........ .................................................................................. 595.3.1. Rabaterea punctului.......................................................................... 595.3.2. Rabaterea dreptelor........................................................................... 605.3.3. Rabaterea planului unui triunghi.................................................... 625.3.4. Rabaterea planelor proiectante.................. ..................................... 635.3.5. Rabaterea pe alte plane..................................................................... 655.3.6. Probleme de distanţe rezolvate prin rabatere................................. 655.3.7. Ridicarea rabaterii............................................................................ 67

Probleme propuse............................................................................. 686. POLIEDRE6.1. Clasificări, reprezentare................................................................. ................ 716.2. Prisma şi piramida dreaptă. Punct pe suprafaţă......................................... 726.3.Prisma şi piramida oblică. Punct pe suprafaţă............................................ 736.4. Secţiuni plane şi desfăşurări la prismă............................................ 756.5. Intersecţia dreptei cu prisma...................................................................... 796.6. Secţiuni plane şi desfăşurări la piramidă.................................. ............... 816.7. Intersecţia piramidei cu dreapta.................................................................. 876.8. Intersecţii de poliedre................................. ................................................ 88

Probleme propuse........................................................................................... 967. SUPRAFEŢE DE ROTAŢIE7.1. Clasificări........................................................................................................ 977.2. Cilindrul şi conul drept. Punct pe suprafaţă................................................ 977.3. Cilindrul şi conul oblic. Punct pe suprafaţă................................................ 987.4. Sfera. Punct pe suprafaţă............................................................................... 997.5. Torul şi elipsoidul...........................................................................................1007.6. Plane tangente..................................................................................................1017.7. Secţiuni plane şi desfăşurări la cilindru......................................................... 1057.8. Intersecţia dreptei cu cilindrul.................................................................... 1097.9. Secţiuni plane şi desfăşurări la con........................................................... 1107.10. Intrersecţia dreptei cu conul.................................................................... 1147.11. Secţiuni plane şi desfăşurări la sferă......................................................... 1167.12. Intersecţia dreptei cu sfera.......................................................................1197.13. Intersecţii ale suprafeţelor de rotaţie....................................................... 121

Cuprins 1837.14. Sfera utilizată ca suprafaţă auxiliară de intersecţie................................ 1257.15. Elice şi suprafeţe elicoidale..................................................................... 12"

Probleme propuse..................................................................................... 1288. PERSPECTIVA8.1. Generalităţi şi clasificări....................................................................... . 1308.2. Perspectiva punctului şi a dreptei.............................................................. 1318.3. Perspectiva figurilor plane........................................................................ 1338.4. Perspectiva corpurilor................................................................................. 1358.5. Perspectiva în coordonate........................................................................... 1368.6. Oglindirea.................................................................................................. 1398.7. Perspectiva pe tablou orizontal................................................................ 1408.8. Perspectiva ascendentă pe tablou de capăt............................................. 1418.9. Perspectiva descendentă pe tablou de capăt........................ ................ 142

Probleme propuse..................................................................................... 1439. AXONOMETRIA9.1. Generalităţi................................................................................................ 1449.2. Plan axonometric. Axe axonometrice..................................................... 1449.3. Clasificarea reprezentărilor axonometrice............................................. 1469.4. Proiecţia axonometrică dreaptă............................................................... 1469.5. Reprezentarea în proiecţia axonometrică dreaptă................................. 1489.6. Proiecţia axonometrică oblică................................................................ 149

Probleme propuse................................................................................... 15110. PROIECŢIA COTATĂ10.1. Generalităţi............................................................................................. 15210.2. Reprezentarea punctului....................................................................... 15210.3. Reprezentarea dreptei................................... ....................................... 15310.4. Reprezentarea planului......................................................................... 15510.5. Reprezentarea poliedrelor şi cilindro-conicelor.......................... ....... 15810.6. Suprafeţe topografice............................................................................ 16010.7. Acoperişuri................................... ............................................................ 162

Probleme propuse.......................................................................................... 16311. UMBRE11.1. Generalităţi.............................................................................................. 16511.2. Umbra punctului şi a dreptelor............................................................... 16611.3. Umbra figurilor plane.......................................................................... . 17011.4. Umbra proprie şi umbra aruncată a corpurilor geometrice................ 17311.5. Umbra în perspectivă.............................................................................. 17611.6. Umbra în axonometrie............................................................................. 178

Probleme propuse...................................................................................... 179BIBLIOGRAFIE.................................................................................................. 180CUPRINS........................................................................................................... 181

EDITURA POLITEHNICA

ISBN 978-606-554-335-5

geometrie detscriptiva

Documents