Elips

Elips dan sifat-sifat matematisnya

Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips

Parabola

A parabola parabola A

. parabola Sebuah diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan pesawat.

. Dalam matematika , dengan parabola (parabolae jamak atau parabola, diucapkan / pəræbələ / , dari bahasa Yunani παραβολή) adalah irisan kerucut , persimpangan hak melingkar permukaan kerucut dan sebuah pesawat untuk menghasilkan sebuah garis lurus permukaan tersebut. Diberi titik (yang fokus ) dan sebuah garis yang sesuai (dengan directrix ) pada pesawat, lokus dari titik-titik di pesawat yang equi jauh dari mereka adalah sebuah parabola.

parabola ini memiliki banyak aplikasi penting, dari reflektor lampu mobil untuk merancang rudal balistik. Mereka sering digunakan dalam fisika , teknik , dan banyak daerah lain.

Sejarah

Parabolic kompas dirancang oleh Leonardo da Vinci .

Parabolae adalah bagian kerucut .

Pekerjaan dikenal kerucut pada bagian paling awal adalah dengan Menaechmus pada abad keempat SM. Ia menemukan cara untuk memecahkan masalah menggandakan kubus menggunakan parabolae. (Solusi, bagaimanapun, tidak memenuhi persyaratan yang dikenakan oleh kompas dan sejajar konstruksi parabola.yang menemukan banyak sifat bagian kerucut. The-directrix properti fokus parabola dan conics lainnya adalah karena Pappus .

Galileo menunjukkan bahwa jalan proyektil yang berikut parabola, konsekuensi dari percepatan gravitasi seragam.

. Ide penggunaan paraboloid di sebuah teleskop mencerminkan karena James Gregory tahun 1663 dan yang pertama akan dibangun adalah dengan Isaac Newton in 1668. Prinsip yang sama digunakan dalam piring satelit dan penerima radar. Persamaan koordinat Cartesian

Biarkan directrix menjadi garis x = - p dan membiarkan fokus menjadi titik (p, 0).: Jika (x, y) adalah titik pada parabola kemudian, dengan 'definisi Pappus dari parabola, itu adalah jarak yang sama dari directrix sebagai fokus, dalam kata lain:

Squaring both sides and simplifying produces Menegakkan kedua belah pihak dan menyederhanakan menghasilkan

sebagai persamaan parabola itu.

Dengan terjemahan, persamaan umum parabola dengan sumbu horisontal

dan interchanging peran x dan y memberikan persamaan yang sesuai dari parabola dengan sumbu vertikal sebagai

Persamaan terakhir dapat ditulis ulang

sehingga grafik fungsi yang merupakan polinomial derajat 2 dalam x adalah sebuah parabola dengan sumbu vertikal.

Secara umum, parabola adalah kurva di bidang Cartesius didefinisikan oleh tereduksi persamaan dalam bentuk

sehingga

dimana semua koefisien adalah nyata, baik A atau B adalah nol dan lebih dari satu solusi yang ada, mendefinisikan sepasang titik (x, y) pada parabola tersebut. Bahwa persamaan ini tereduksi berarti tidak faktor sebagai produk dari dua persamaan linier tidak selalu berbeda.

definisi geometrik]

Sebagai konsekuensi dari ini, parabolae semua sama , yang berarti bahwa sementara mereka bisa ukuran yang berbeda, mereka semua bentuk yang sama parabola A juga dapat diperoleh sebagai batas dari urutan elips di mana salah satu fokus disimpan tetap sebagai yang lain diperbolehkan untuk memindahkan sewenang-wenang jauh di satu arah.. Dalam hal ini, sebuah parabola dapat dianggap elips yang memiliki satu fokus pada tak terhingga . . parabola ini adalah invers transformasi dari cardioid .

parabola memiliki sumbu tunggal reflektif simetris , yang melewati fokus dan tegak lurus terhadap directrix nya.Titik persimpangan dari sumbu dan parabola disebut titik tersebut.. Sebuah parabola berputar di sekitar sumbu ini dalam tiga dimensi bekas sebuah bentuk yang dikenal sebagai paraboloid revolusi.

parabola ini dapat ditemukan dalam banyak situasi di dunia fisik (lihat di bawah).

Persamaan

(Dengan titik (h, k) dan jarak antara titik p dan fokus - diketahui bahwa jika berada di bawah titik fokus, atau dengan kata di atas adalah directrix, p positif, dinyatakan p adalah negatif; sama dengan sumbu horisontal p simetri adalah positif jika adalah titik di sebelah kiri fokus, atau ekuivalennya ke kanan directrix)

Cartesian

Vertikal sumbu simetri

. .

Horisontal sumbu simetri

. .

parabola Umum

Bentuk umum untuk parabola adalah

Hasil ini berasal dari persamaan kerucut umum yang diberikan di atas:

and the fact that, for a parabola, dan kenyataan bahwa, untuk sebuah parabola,

. .

Persamaan untuk parabola umum dengan fokus titik F (u, v), dan directrix dalam bentuk

adalah

rektum Latus, semi-Latus rektum, dan polar koordinat

, parabola dengan fokus pada asal dan directrix paralel ke sumbu y, diberikan oleh persamaan

: jarak dari fokus ke parabola sendiri, diukur sepanjang garis tegak lurus dengan sumbu.. Catatan bahwa ini adalah dua kali jarak dari fokus ke node dari parabola atau jarak tegak lurus dari fokus ke rektum Latus.

Rektum Latus adalah akord yang melewati fokus dan tegak lurus terhadap sumbu. It has a length of 2l. Hal ini memiliki panjang 2l.

dipetakan Gauss-bentuk

bentuk: (2 tan φ, 2tanφ) telah normal (cosφ, sinφ).

formulir Parametrik

Sebuah parabola memiliki sebuah sumbu simetri horisontal sebagai sumbu X dari sistem koordinasi Cartesius dapat dinyatakan sebagai:

. dimana x, y adalah koordinat-koordinat dari setiap titik yang berbaring di parabola, 't' adalah parameter dan 'a' adalah seperempat dari panjang rektum Latus dari parabola tersebut.

Selain itu, setiap persamaan parametrik dalam bentuk:

di mana x dan y adalah koordinat-koordinat dari setiap titik yang berbaring di parabola, 't' adalah parameter dan a, b, c, l, m dan n adalah konstanta seperti yang * m b <0, selalu akan mewakili sebuah parabola . (a,b,c,l,m,n are all real numbers) (A, b, c, l, m, n adalah semua bilangan real)

Penurunan fokus

Jarak dari titik P n diberikan kepada fokusnya adalah selalu sama dengan jarak dari P n ke titik Q n langsung di bawah, di directrix.

Parabolic menunjukkan kurva garis acak (L), fokus (F), dan vertex (V). L adalah garis tegak lurus sembarang sumbu simetri dan berlawanan fokus parabola dari titik (yaitu jauh dari V dari dari F.) Panjang setiap baris F - P n - n Q adalah sama. Ini mirip dengan mengatakan bahwa parabola adalah elips, tapi dengan satu titik fokus pada ketakterhinggaan.

Untuk menurunkan fokus parabola sederhana, dimana sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu y dengan titik di (0,0), seperti

. maka ada titik (0, f)-fokus, F-seperti bahwa setiap titik P pada parabola akan berjarak sama dari kedua fokus dan directrix linea, L. The linea directrix adalah garis tegak lurus terhadap sumbu simetri dari parabola (dalam kasus ini paralel dengan sumbu x) dan melalui titik (0, - f). Jadi setiap titik P = (x, y) di parabola akan berjarak sama kedua ke (0, f) dan (x, - f).

FP, sebuah garis dari fokus ke satu titik di parabola, memiliki panjang yang sama seperti QP, garis ditarik dari titik pada parabola tegak lurus ke linea directrix, berpotongan di titik T.

Bayangkan sebuah segitiga siku-siku dengan dua kaki, x dan y (jarak vertikal antara F dan P). Panjang sisi terpanjang, FP, diberikan oleh

(Perhatikan bahwa (y) dan (YF) menghasilkan hasil yang sama karena kuadrat.)

Garis QP diberikan dengan menambahkan y (jarak vertikal antara titik P dan sumbu-x) dan f (jarak antara sumbu vertikal x-dan directrix linea).

Kedua segmen garis adalah sama, dan, seperti yang ditunjukkan di atas, y = ² kapak, sehingga

Square kedua belah pihak,

Batal tentang ketentuan dari kedua belah pihak,

Bagilah keluar ² x dari kedua belah pihak (kita asumsikan bahwa x tidak nol),

Jadi, untuk parabola seperti f (x) = x ², a koefisien adalah 1, sehingga F fokus adalah (0, ¼)

Sebagaimana dinyatakan di atas, ini adalah derivasi dari fokus parabola sederhana, yang berpusat di titik asal dan dengan simetri di sekitar sumbu-y. Untuk setiap parabola umum, dengan persamaan yang diberikan dalam bentuk standar

, ,

fokus terletak pada titik

yang juga dapat ditulis sebagai

tersebut ditetapkan oleh persamaan

yang juga dapat ditulis sebagai

properti reflektif] dari tangen

Sebuah diagram yang menunjukkan properti reflektif, hijau (directrix solid), dan garis-garis yang menghubungkan fokus dan directrix ke parabola (biru)

Garis singgung dari parabola digambarkan oleh persamaan y = ax 2 memiliki kemiringan

Baris ini memotong sumbu y pada titik (0, - y) = (0, - x ²), dan sumbu-x pada titik (x / 2, 0).. Biarkan saat ini disebut G. Point G is also the midpoint of points F and Q : Point G juga titik tengah titik F dan T:

Karena G adalah titik tengah dari garis FQ, ini berarti bahwa

: dan sudah diketahui bahwa P berjarak sama dari kedua F dan T:

: dan, ketiga, baris GP sama dengan dirinya sendiri, maka:

Ini berarti bahwa . .

. Line QP dapat diperluas di luar P ke beberapa titik T, dan garis GP dapat diperpanjang di luar P ke beberapa titik R., sehingga mereka sama (kongruen). Karena itu is equal to sama dengan . .

RG garis bersinggungan dengan parabola pada P, sehingga setiap berkas cahaya memantul dari titik P akan bertingkah seakan-akan RG garis adalah cermin dan hal itu memantul dari cermin.

Biarkan seberkas cahaya perjalanan menuruni garis vertikal TP dan terpental dari P. is Sudut berkas tentang kecenderungan dari cermin adalah , sudut inklinasi yang harus sama dengan . . telah terbukti sama dengan . .. Oleh karena itu balok bouncing di sepanjang garis FP: langsung menuju fokus.

Kesimpulan: Setiap berkas cahaya yang bergerak vertikal ke bawah di cekungan dari parabola (sejajar dengan sumbu simetri) akan terpental dari parabola bergerak langsung ke arah fokus. (See parabolic reflector .) (Lihat reflektor parabola .)

Alasan yang sama dapat diterapkan untuk parabola yang sumbu vertikal, sehingga dapat ditentukan dengan persamaan

y = a x 2 + b x + c . y = x 2 + b x + c.

tangen telah lalu kemiringan generik

m t a n = 2 a x + b . m t n = 2 x + b.

bersama-sama dengan aturan tambahan sudut trigonometri, mengarah pada hasil bahwa sinar yang dipantulkan memiliki kemiringan

. .

Ketika bervariasi b

X-koordinat di titik tersebut , Yang ditemukan oleh berasal asli persamaan y = x 2 + b c + x, y pengaturan yang dihasilkan = 2 x + b sama dengan nol (a titik kritis ), dan memecahkan untuk x.: Pengganti ini x-coodinate ke dalam persamaan asli untuk menghasilkan:

Penyederhanaan:

point Jadi, titik berada pada titik

Parabolae di dunia fisik

Sebuah bola memantul diambil dengan flash stroboskopik di 25 gambar per detik. Perhatikan bahwa bola menjadi signifikan non-bola setelah setiap bouncing, terutama setelah yang pertamaItu, bersama dengan spin dan hambatan udara , menyebabkan kurva tersapu sedikit menyimpang dari yang diharapkan parabola sempurna.

Parabolic lintasan air di air mancur.

Di alam, perkiraan dari parabolae dan paraboloids ditemukan dalam beragam situasi. Yang terkenal misalnya parabola terbaik dalam sejarah fisika adalah lintasan sebuah partikel atau badan dalam gerakan bawah pengaruh seragam medan gravitasi tanpa hambatan udara (misalnya, bola terbang di udara, mengabaikan udara gesekan ).

Lintasan parabola proyektil ditemukan eksperimen oleh Galileo pada awal abad ke-17, yang melakukan eksperimen dengan bola menggelinding pada bidang miring. Dia juga kemudian terbukti ini secara matematis dalam bukunya Dialog Tentang Dua Ilmu Baru. [1] [2] Untuk obyek diperpanjang dalam ruang, seperti penyelam melompat dari papan loncat, obyek itu sendiri mengikuti gerakan yang kompleks seperti berputar, tetapi pusat massa obyek bagaimanapun bentuk parabola. a. Seperti pada semua kasus di dunia fisik, lintasan selalu perkiraan sebuah parabola.Adanya hambatan udara, misalnya, selalu mendistorsi bentuk, meskipun pada kecepatan rendah, bentuk adalah pendekatan yang baik tentang parabola. Pada kecepatan yang lebih tinggi, misalnya di dalam balistik, bentuknya sangat menyimpang dan tidak menyerupai parabola.

Lain situasi di mana parabolae mungkin timbul di alam dalam tubuh orbit dua , misalnya, sebuah planit kecil atau objek lain di bawah pengaruh gravitasi matahari. Seperti orbit parabola adalah kasus khusus yang jarang ditemukan di alam. Orbit yang membentuk sebuah hiperbola atau elips yang jauh lebih umum.Bahkan, orbit parabolik adalah kasus perbatasan antara kedua jenis orbit..

Sebuah benda bergerak mengikuti orbit parabola tepat pada kecepatan melarikan diri dari obyek itu mengorbit, sedangkan orbit elips yang lambat dan orbit hiperbolik lebih cepat.

Suspensi kabel jembatan mengikuti kurva, parabola, tidak catenary.

Parabola jembatan di Newcastle uT

Aproksimasi dari parabolae juga ditemukan dalam bentuk kabel utama pada tipikal jembatan gantung. Bebas tergantung kabel seperti terlihat pada jembatan gantung sederhana tidak menggambarkan kurva parabolik, hiperbolik melainkan catenary kurva.. Di bawah pengaruh beban seragam (seperti dek ditunda horizontal), kabel dinyatakan hiperbolik adalah cacat menuju sebuah parabola.. Tidak seperti rantai inelastis, musim semi bebas-tergantung dari panjang nol lain mengambil bentuk sebuah parabola.

Paraboloids muncul dalam beberapa situasi fisik juga. The best-known instance is the parabolic reflector , Yang terkenal adalah contoh terbaik reflektor parabolik , yang merupakan cermin atau perangkat reflektif serupa yang konsentrat atau bentuk lain terang radiasi elektromagnetik ke umum titik fokus . Prinsip reflektor parabolik mungkin telah ditemukan di abad ke-3 SM oleh ahli ilmu ukur yang Archimedes , yang, menurut legenda kejujuran diperdebatkan, dibangun cermin parabola untuk membela Syracuse melawan Romawi armada, dengan berkonsentrasi matahari sinar untuk membakar dek kapal Romawi.. Prinsip tersebut diterapkan pada teleskop di abad ke-17. Hari ini, reflektor umum paraboloid dapat diamati di banyak dunia dalam gelombang mikro dan hidangan antena satelit.

Bentuk parabola yang dibentuk oleh permukaan cairan di bawah rotasi. Dua cairan dengan densitas berbeda yang terkandung dalam sebuah tangki empat persegi panjang yang sempit

Paraboloids juga diamati di permukaan cairan terbatas pada wadah dan diputar di poros tengah. Dalam hal ini, gaya sentrifugal menyebabkan cairan mendaki dinding kontainer, membentuk permukaan parabola. Ini adalah prinsip di belakang teleskop cermin cair .

Pesawat yang digunakan untuk membuat sebuah negara bobot untuk kepentingan penelitian, seperti NASA s '" Vomit Comet , "mengikuti lintasan parabola vertikal untuk periode singkat untuk melacak program dari obyek dalam jatuh bebas , yang menghasilkan efek yang sama dengan nol gravitasi untuk tujuan yang paling.

generalisasi

parabola adalah umum oleh kurva normal rasional , yang memiliki koordinat

parabola standar adalah kasus n = 2, dan kasus n = 3 dikenal sebagai twisted kubik . Sebuah generalisasi lebih lanjut diberikan oleh berbagai Veronese , ketika ada lebih dari satu variabel input.

Dalam teori bentuk kuadrat , parabola adalah bentuk grafik kuadrat x 2 (atau kerak lainnya), sedangkan paraboloid eliptik adalah grafik definit positif- bentuk kuadrat x 2 + y 2 (atau kerak) dan hiperbolik paraboloid adalah grafik dari bentuk kuadrat terbatas x 2-2 y. generalisasi untuk variabel yang lebih banyak menghasilkan benda-benda tersebut lebih lanjut.

Irisan kerucut

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-

dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang

dapat terjadi adalah parabola, elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan

Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

Geometri

Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya

Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang

membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang

dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang

disebut verteks kerucut.

Jenis-jenis irisan kerucut

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka

irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya

akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang

pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips,

yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Kasus degenerasi

Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-

irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah

titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana

pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut,

dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola

yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks

kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

Geometri analitis

Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut

ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik

tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F

Eksentrisitas adalah rasio antara FM dan M'M. Elips (e=1/2), parabola (e=1) dan hiperbola (e=2)

dengan fokus (F) dan direktriks yang tetap.

Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan

bilangan non-negatif. Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah sebuah titik, e < 1 sebuah elips,

e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 adalah sebuah hiperbola.

Koordinat Kartesius

Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu

menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0

maka:

Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.

Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.

Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.

Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.

Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.