geostatistiques minieres

5/26/2018 GEOSTATISTIQUES MINIERES

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1- introduction 1

1. Rappels statistiques et introduction

Variable alatoire (v.a.) : fonction dont les rsultats possibles sont connus mais dont le rsultat finalne peut tre dtermin, priori, avant d'effectuer la mesure.

ex. : - teneur de cuivre d'une carotte de 1 m- paisseur d'une veine minralise- concentration d'un polluant dans l'eau souterraine

- pH de l'eau de pluie

Description d'une v.a. : sans connatre la valeur que prendra le rsultat final, on peut parfois connatre laprobabilit qu'une v.a. prenne chacun des rsultats possibles. C'est ladescription la plus complte que l'on puisse faire de la v.a.

La fonction qui dcrit ces probabilits est la fonction de densit (pour les v.a.continues; pour les v.a. discrtes, cest la fonction de masse).

Proprits : fX(x) > 0 , toute probabilit est positive

, lintgrale de la fonction de densit donne 1- Xf (x) dx = 1

, probabilit que x prenne une valeur comprise

entre [a et b]ab

Xf (x) dx = P a X b ( )

Certaines quantits rsument les caractristiques principales de la variable alatoire.

*Mesures de tendance centrale:- mode : x tel que fx(x) est maximum- mdiane : x tel que P(X < x) = 0.5- moyenne (ou esprance mathmatique) :

X - Xou E [X] = x f (x) dx

*Mesures de dispersion :

-Variance :

X2 2= E[(X - E[X]) ]

X2

-2

X= (x - E [X] ) f (x) dx

-cart-type :


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1- introduction 2

-Aplatissement : E X - E [X] 4

X

Toutes ces quantits sont gnralement, priori, inconnues. On doit donc les estimer partir d'un ensembled'observations appel l'chantillon (par abus de langage, on parlera souvent des chantillons pour dsigner cesobservations).

partir de l'chantillon, on peut construire des estimateurs:

de la moyenne:1

n x = xi=1

ni

de la variance:1

n (x - x) =i=1

ni

2 2 ou1

n -1 (x - x) = si=1

ni

2 2

de la fonction de densit : histogramme,

de la fonction de densit cumulative : courbe des frquences cumules estime par: rang

(xxF (x) = P(X x)

i)/n

Une des caractristiques importantes d'un estimateur est d'tre sans biais i.e. d'avoir la mme esprancemathmatique que la quantit qu'il cherche valuer.

Ex. :

[ ]E [ X ] 1

nE X = X sans biais pouri=1

ni X est X

de mme, biaisestquealorspourbiaissansests22

x2


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1- introduction 3

Passage plus d'une variable :

On peut aussi tudier et dcrire le comportement simultan de plus d'une variable alatoire.La fonction de densit conjointe : fxy(x,y) donne la probabilit que, simultanment X = x et Y = y.

On a :

- - XY XY

1 2 1 2 x

xy

y

XY

f (x, y) dx dy = 1 , f (x, y)

P [x X x , y Y y ] = f (x,y) dx dy1

2

1

2

< < < <

Deux mesures additionnelles permettent de dcrire des caractristiques importantes de fonction de densitconjointe.

La covariance:Cov(X,Y) = E [ (X - ) (Y - ) ]X Y mesure la force du lien linaire

entre les variables X et Y.La corrlation

XYX Y

= Cov(X,Y)

comme la Cov mais avec des units "normalises"

Proprits de XY:

-1 1

=

XY

XY aX,bY

(avec a et b des constantes quelconques )

Note : XY= 0 ---> absence de lien linaire indpendance de x et y (en effet, on a indpendance ssi

fXY(x,y) = fX(x).fY(y)).Par contre, l'indpendance de X et Y ---> XY= 0.

L'interprtation propre la gostatistique

Les v.a. sont rgionalises i.e. elles dpendent de leur localisation dans le gisement.

Z(x) Ex. Z : teneur de cuivre mesure au point x.(ou dans un volume centr en x)


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1- introduction 4

ZGest la teneur moyenne du gisement obtenue en faisant la moyenne de toutes les valeurs ponctuelles.

collection finie de petits blocs v

G i=1N

vZ =1

N Z (x)

collection finie de gros blocs V

G V

i

M

Z =1

M Z x( )

=

1

et ainsi de suite... Le gisement est donc assimil un ensemble fini ou infini (cas ponctuel) de variablesalatoires. Si on connat le comportement de la variable alatoire au niveau ponctuel (ou quasi-ponctuel) alorson peut aussi dcrire le comportement de Zv, ZVet ZG.

Cette collection de variables alatoires s'appelle fonction alatoire. Le gisement en est une ralisation limitedans le temps et dans l'espace. On cherchera caractriser Z(x) pour pouvoir dire quelque chose sur Zv, ZVetZG.

Support des observations :

Dans la pratique, Z(x) ne sera jamais mesur sur un support ponctuel mais sur un support physiquerelativement trs petit par rapport la taille du gisement (disons v avec v Var (Z3) > Var (Z4) > Var (Z2). Les variances sont inversementproportionnelles aux tailles des supports.

Ex : Sans perte de gnralit supposons que les valeurs des teneurs de cuivre mesures dans des carottes


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1- introduction 5

Var (Z ) = = Var (Z )1 12

1 '

on aura maintenant

Var (Z ) =2

212

en effet

[ ]Var (Z ) = Var1

2(Z + Z ) =

1

4 Var (Z) + Var (Z ) + 2 Cov (Z , Z )

= 12

2 1 1 1 1 1

12

' '

1 '

S'il y a des corrlations entre les carottes, on aura quand mme Var (Z 2) < Var (Z1).

On voit donc que la distribution statistique d'une v.a. est toujours dfinie en relation avec un support physique.

Quelques proprits des distributions normales et lognormales :

Normale :

Z N ( , )Z -

N (0 ,1)

2

Une table unique d'une N(0,1) suffit pour calculer les probabilits de toute loi normale.

La fonction de densit est:

1

2

e-1

2

z -2

Note: La moyenne, la mdiane et le mode d'une loi normale sont gaux .

Lognormale :

Z est lognormale avec moyenne "m" et variance s2si ln Z ~ N (u , 2).

Lien entre m, s2et u , 2

m = e = m (e 1)2 2

+

2

22

Inversant les relations, on obtient:

2

2 21+

ln ln( )met


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1- introduction 6

Q(c) = quantit de mtal au-dessus de la coupure.

m(c) = teneur moyenne de ce qui est au-dessus de c.

T(c) en termes statistiques peut s'crire P (Z > c) .To o Todsigne le tonnage total du gisement.

T(c) = T f (z) dz

Q(c) = T z f (z) dz

m(c) = Q(c) / T(c)

o c Z

o c Z

Si on connat la loi de distribution (et ses paramtres), on peut calculer ces quantits.

Loi normale Loi lognormale

T(c) = T 1 - Fc - m

o

T(c) = T F

1

m

c -

2o

ln

Q(c) = m T(c) + T fc - m

o

Q(c) = m T F

1

m

c +

2o

ln

o : m: moyenne des Z

cart-type des Z

: cart-type des ln Z

F(t) = f (x) dx-t

N(0,1) (cumulative dune N(0,1))

f(t) =1

2 e-

1

2t2

, (fonction de densit dune N(0,1))

Consquences: Les rserves in-situ vont dpendre de la loi de distribution et de ses paramtres.

Ex. : Supposons que l'on connaisse m et 2 pour les units de slection dtermines, voyons quelle estl'influence du type de la loi.

S i 3%


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1- introduction 7

T(4.5) = Mt 1 - F

4.5-3

1.5 = 0.16 Mt

Q(4.5) = 3 0.16Mt + Mt 1.5 f4 .5-3

1.5 = 0.84 x 10 Mt

m(4.5) =x Mt

Mt5.25%

-2

1

1

0 84 10

016

2

=

note: F(1) = 0.84

note: f(1) = 0.24% * * %

.

.

Si la distribution est lognormale, on a alors:

472.01%9

%25.2ln

2/1

2

2

=

+=

et

T(4.5) = Mt F

3

.5 = Mt F Mt

Q(4.5) = Mt 3 F3

.5= Mt F 0.8 x 10 Mt

m(4.5) =x Mt

Mt5. %

-2

1

1

0 472 4

0472

2 1 1095 014

11

0 472 4

0472

21 3% 0 623 0

0 80 10

01471

2

. ln

.

( . ) .

% *.

ln.

* * ( . )

.

.

=

+

=

=

*

Si l'exploitation impose la slection sur de plus gros blocs ayant un cart-type de 1% (au lieu de 1.5% dans

l'exemple prcdent), alors, toujours en supposant une loi lognormale,

= 0.325

etT(4.5) = .08 MtQ(4.5) = .4210-2MtM(4.5) = 5.25%

la quantit de mtal est rduite de moiti!

Si on dfinit le profit par T(c) . (m(c) - c), on passerait de 0.16910-2Mt .0610-2Mt donc une rduction deprs des 2/3 du profit escompt.


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1- introduction 8

Supposons que l'on connaisse la loi de distribution des teneurs des bloc. On peut calculer, comme on l'a fait

l'exemple prcdent, les rserves rcuprables en fonction des diffrentes teneurs de coupure. Ces rservescalcules correspondent ce que nous obtiendrions si lon connaissait effectivement la vraie teneur de tous lesblocs du gisement. En pratique, ces vraies valeurs ne sont jamais connues et doivent tre estimes partir del'information disponible. Quel estimateur choisir? Quelle quantit d'chantillonnage effectuer? Peut-onprdire maintenant ce qui sera effectivement rcupr plus tard partir d'une quantit d'informationsuprieure?

Ces deux problmes sont fondamentaux en gostatistique, on leur a donn un nom: l'effet support et l'effet

information. L'effet support indique que la distribution des teneurs dpend de la taille des blocs que l'onconsidre. Ainsi pour un mme tonnage extrait et supposant que l'on connaisse les vraies valeurs des blocs, onretire toujours plus de mtal si la slection s'effectue sur de petits blocs plutt que sur des gros blocs (l'opration sur de petits blocs est plus slective). L'effet information indique que l'on ne dispose pas des vraiesteneurs des blocs qui nous intressent mais seulement d'une estimation de celles-ci. Pour un mme tonnageextrait, la slection s'effectuant sur des blocs d'une taille donne, on rcuprera toujours moins de mtal avecun estimateur qu'avec les vraies valeurs. Normalement plus on amliore l'estimateur, soit en recourant demeilleures mthodes d'estimation, soit en augmentant le nombre de donnes, plus on retire de mtal pour unmme tonnage.

Un problme trs important reli l'effet information et l'effet support est le problme de biais conditionnel.Trs souvent, pour un tonnage extrait donn, on aura retir beaucoup moins de mtal que ne le prvoyaitl'estimation, ce qui risque d'tre ruineux pour la compagnie minire. Pour minimiser ce biais conditionnel, ilfaut utiliser des estimateurs qui tiennent compte la fois de l'effet support et de l'effet information. C'est ceque fait le krigeage.


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1- introduction 9

Exemple numrique (tir de Armstrong, 19981)

Supposons une portion de gisement forme de 16 blocs eux-mmes diviss en 4 parcelles. On connat la vraieteneur de la parcelle du coin suprieur gauche. La teneur de coupure est 300 (reprsente les cots pour extraire

et traiter le bloc). On dfinit le profit comme .>=

16

3001300

it,ii )t(

735 45 125 167

450 337 95 245

124 430 230 460

75 20 32 20

Les vraies teneurs des blocs sont galement connues:

505 143 88 207

270 328 171 411

102 220 154 263

101 54 44 155

Profit maximum que l'on puisse atteindre?

Profit: (505-300)+(328-300)+(411-300)=205+28+111=344

Quels seraient les profits prvu et ralis si lon estime la teneur de chaque bloc par la parcelle connue?

Profit prvu: (735-300)+(450-300)+(337-300)+(430-300)+(460-300)=435+150+37+130+160=912Profit ralis: (505-300)+(270-300)+(328-300)+(220-300)+(263-300)=205-30+28-80-37=86


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1- introduction 10

Quels seraient les profits prvu et ralis si l'on estime la teneur de chaque bloc par la moyenne des parcelles

du bloc et des blocs voisins par le ct?

Rp: Les valeurs estimes seraient alors:

410 310.5 108 179

411.5 271.4 206.4 241.8

269.8 228.2 249.4 238.8

73 139.3 75.5 170.7

Profit prvu: (410-300)+(310.5-300)+(411.5-300)=110+10.5+111.5=232Profit ralis: (505-300)+(143-300)+270-300)=205-157-30=18

Une estimation obtenue par krigeage a fourni les valeurs suivantes:

442 190 142 204

354 276 212 279

189 226 216 271

99 81 88 125

Profit prvu: (442-300)+(354-300)=142+54=196Profit ralis: (505-300)+(270-300)=205-30=175

Dans cet exemple, on note que:-Dans tous les cas, le profit ralis est infrieur au profit optimum (effet information)-Seul le krigeage a fourni un profit prvu s'approchant du profit ralis (absence de biais conditionnel).

Quelques exemples de problmes, dans le domaine minier, auxquels la gostatistique peut apporter une

contribution:

- Lorsque les limites du gisement sont floues, sans contrle structural, dfinies en fonction d'une teneur decoupure (ex. cuivre porphyrique) et que l'on doit dterminer l'emplacement d'un chantier d'abattage.

- A partir de l'information recueillie lors de l'exploration, dterminer la rentabilit du gisement en regard dediffrentes mthodes d'exploitation (elles influencent le type de slection et la taille des blocs) et de diffrents


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1- introduction 11

- Aider dterminer la teneur de coupure optimale.

- Aider dterminer les contours optimaux d'une fosse d'exploitation ciel ouvert.

- Prdire la teneur et la variabilit de la teneur du minerai envoy au concentrateur (moulin) et ainsi aider prdire le taux de rendement de celui-ci.

- Dterminer si un processus dhomognisation ("stockpiling", points de prlvements multiples, etc.) estjustifi afin d'amliorer le rendement du concentrateur. Comparer divers scnarios pour l'homognisation.

- Prdire le plus exactement possible la teneur du minerai qui sera exploit court terme. Dterminer si leminerai ainsi extrait sera suffisant pour alimenter seul une fonderie ou s'il faudra prvoir importer duconcentr d'autres mines et/ou d'autres pays.

Exemples d'applications de la gostatistique dans divers domaines.

- Estimation et planification des mines et des gisements ptroliers.- Prospection gochimique et gophysique.- Cartographie automatique (par ordinateur).- Filtrage de signal.- Simulations d'coulements, prdiction et simulation de conductivits hydrauliques.- Caractrisation de sites contamins.- Cartographie mtorologique.- Classification de sols.

- Estimation de la biomasse et de sa localisation en pches.- Estimation de la compaction du noyau impermable d'un barrage (gotechnique).- Rpartition spatiale de la dformabilit des roches au pourtour d'une excavation.- Charges hydrauliques et directions d'coulement.- Analyse et caractrisation d'images (biomdical, tldtection).- Reprsentation numrique-analytique de surfaces pour la CAO-DAO.


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2- variogrammes 1

2. LE VARIOGRAMME

Ide fondamentale: La nature n'est pas entirement "imprvisible". Deux observations situes l'une prs del'autre devraient, en moyenne, se ressembler davantage que deux observations loignes.

Ex.Soit trois localisations x0, x1et x2, que l'on promne dans le gisement. On mesure la teneur en chacun de

ces points.

x1 x0 x2

La teneur au point x1devrait ressembler plus (en moyenne) celle observe en x0qu' celle en x2.

On a peut-tre intrt utiliser l'information contenue en x1et x2pour fournir un meilleur estim de x0que si l'onn'utilisait que x1.

Notion de "continuit" de la minralisation.

Implicitement toutes les mthodes d'estimation reposent sur ce concept plus ou moins dfini.

En gostatistique, on cherche quantifier cette continuit pralablement tout calcul effectu sur le gisement.

Soit deux points x et x+h spars d'une distance h.

x < > x+h

La teneur en x est une variable alatoire Z(x).La teneur en x + h aussi, Z(x+h).

La diffrence entre les valeurs prises par ces deux v.a. est Z(x) - Z(x+h). C'est galement une v.a. dont on peutcalculer la variance. Cette variance devrait tre plus petite lorsque les points sont rapprochs (les valeurs seressemblent plus en moyenne) et plus grande lorsque les points sont loigns. On appelle variogramme la demi-variance de cette diffrence, i.e.(x,x+h)=0.5*Var(Z(x)-Z(x+h))

Si lon considre n localisations diffrentes x1,x2...xn, la meilleure description que l'on puisse faire des n variablesalatoires Z(x1), Z(x2),...Z(xn) est d'tablir la fonction de distribution conjointe (multivariable). Clairement, cecin'est pas possible puisqu'on ne peut disposer gnralement que d'une seule observation chacun de ces n points.On pourrait formuler une hypothse trs forte du genre: le vecteur des v.a. suit une loi multinormale de moyenneset variances-covariances spcifies. Ceci serait beaucoup trop restrictif.


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2- variogrammes 2

ordre; elles visent essentiellement "dtacher" les deux premiers moments de localisations prcises en permettant

des translations des emplacements x et x+h. La covariance (et le variogramme) deviennent donc des fonctionsdpendant uniquement de la distance sparant les points d'observation et non plus de leur localisation exacte.

2.1 Hypothses de base et dfinition:

Bref, on suppose que:

i. L'esprance mathmatique ne dpend pas de x,i.e. E[Z(x)]=mou

L'esprance des carts est zroi.e. E[Z(x) - Z(x+h)] = 0

ii. La covariance entre Z(x) et Z(x+h) ne dpend que de hi.e. Cov(Z(x),Z(x+h)) = C(h) ; stationnarit du second ordre, C(h) est appel fonction de covariance

ou covariogramme

ouLe variogramme(h) ne dpend pas de la localisation x, seulement de h (soit en module, soit en moduleet en direction).

i.e. 1/2 Var(Z(x)-Z(x+h)) =(h); hypothse intrinsque (cette dernire hypothse est lgrement moins restrictiveque la stationnarit du second ordre)

videmment, ces hypothses supposent une certaine rgularit, une certaine homognit du gisement tudi. Si

on peut reconnatre des zones trs diffrentes gologiquement, on a habituellement intrt les traiter sparment.

La fonction la plus utilise en gostatistique pour dcrire la continuit de la minralisation est le variogramme, etce surtout parce qu'elle est plus simple estimer que la covariance (qui demande l'estimation pralable del'esprance mathmatique), mais galement parce qu'elle permet d'accommoder les situations ou Var(Z(x)) n'estpas dfinie.

Le variogramme thorique est dfini comme:

[ ] ( )[ ]2h)+Z(x-Z(x)E2

1h)+Z(x-Z(x)Var

2

1=(h) =

o x est le vecteur de coordonnes (1, 2 ou 3 coordonnes selon le cas)h est le vecteur distance .

C f i h bi ll i f i d h h i b d'i f i l


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2- variogrammes 3

carts les plus grands, en moyenne entre deux v.a.

iii. Effet de ppite : C0: Variation trs courte chelle, erreurs de localisation, erreurs d'analyse et prcisionanalytique.

Ex. Une carotte fendue en deux et dont chaque partie est analyse sparment nefournira pas exactement les mmes valeurs pour les deux moitis. Un mmepaquet de poudre, spar en deux parties pour analyse ne donnera pasexactement la mme teneur.

Notes : i. Lorsque h = 0 on a

(0) =1

2Var ( Z(x) - Z(x) ) = 0 Coet non

par contre,

l ( ) = C+

0oim

i.e. on a une discontinuit l'origine du variogramme.

ii. Parfois les variogrammes ne montrent pas de palier (dans ce cas, la covariance et la variance n'existent pas).

iii. Lorsque les variogrammes montrent un palier alors on peut facilement tablir le lien entre la valeur du

variogramme pour la distance h et la covariance pour deux observations spares de h.

(h) =1

2Var ( Z(x) - Z(x+ h) )

=1

2[ Var ( Z(x) ) + Var ( Z(x+ h) ) - 2 Cov ( Z(x) , Z(x+ h) )

= - Cov ( Z(x) , Z(x+ h) ) = - C(h)2 2

donc,

(h) = - C(h)2

C(h) est appel le covariogramme de Z. Cette relation est importante et elle est continuellement utilise engostatistique.


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2- variogrammes 4

ii. Dans l'expression du variogramme, la constante "m" n'apparat pas et l'on n'a donc pas besoin de l'estimer

comme c'est le cas lorsqu'on veut calculer directement le covariogramme.Variogramme exprimental et thorique

distance h

(h)

C0

Palier (C0+C)

Porte (a)

Chaque phnomne gologique possde un variogramme qui lui est propre.Ainsi,

Un gisement d'or prsentera un variogramme erratique avec un fort effet de ppite et une faible porte. Un gisement de cuivre porphyrique montrera un variogramme linaire l'origine avec faible effet de ppite et

grande porte. Un gisement sdimentaire de fer prsentera une porte plus grande paralllement la stratification que

perpendiculairement celle-ci (anisotropie gomtrique). La topographie pourra prsenter un variogramme trs continu avec comportement parabolique l'origine et

absence d'effet de ppite.

Variogramme => outil descriptif puissant utilisable dans une multitude de domaines.


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2- variogrammes 5

2.3 Estimation du variogramme

On estime le variogramme l'aide de

[ ]=

)h(N

iiie h)+xZ(-)xZ(

N(h)2

1=(h)

1

2

o N(h) nombre de paires dont les points sont espaces de h.

Pour un champ donn, rien n'assure que la continuit soit identique dans toutes les directions. Par exemple, il sepourrait que des teneurs montrent une meilleure continuit paralllement la stratigraphie queperpendiculairement celle-ci. De mme, pour la contamination par des hydrocarbures, on pourrait observer unemeilleure continuit horizontalement que verticalement en raison de la gravit. Si le nombre d'observations lepermet (typiquement au moins 50, prfrablement 100), on peut chercher vrifier ce point en calculant levariogramme exprimental dans diffrentes directions.

On peut aussi calculer le variogramme selon certaines directions spcifiques:

[ ]

=

),h(N

iiie h)+xZ(-)xZ()N(h,2

1=)(h,

1

2

o N(h,) = nombre de paires spares de h dans la direction .

En pratique on s'accorde une tolrance sur h et sur afin d'avoir suffisamment de paires pour chaque h et chaque. Pour chacune des classes ainsi formes, on calcule la distance moyenne sparant les extrmits des paires(abscisse) et on value le variogramme exprimental pour chaque classe. On obtient donc une srie de pointsexprimentaux auxquels on cherche ajuster un modle (i.e. expression analytique) permettant de dduire lacovariance entre deux points quelconque en fonction de leur espacement gographique (et, ventuellement, de ladirection qu'ils dfinissent). Une fois le modle adopt, toute la suite des calculs se fait avec les valeurs obtenuesdu modleet non avec les valeurs exprimentales.

La figure suivante illustre quelques exemples de surface et le variogramme exprimental correspondant. Lessimulations ont t ralises avec GSLIB-SGSIM, en imposant les valeurs 0, 2 , 2 et 4 aux 4 coins. De hauten bas, on a simul un gaussien de porte 25, un sphrique de porte 25, un sphrique avec 20% deffet deppite et porte 25, un sphrique avec 80% deffet de ppite et porte 25. Comme on le voit, le variogrammeexprimental dcrit bien le degr d'irrgularit des surfaces.


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2- variogrammes 6

0

10

20

0

10

20

-5

0

5

xy

z(x,y

)

0 2 4 6 8 100

1

2

3

distance (h)

Variogramme

0

10

20

0

10

20

-5

0

5

xy

z(x,y

)

0 2 4 6 8 100

1

2

3

distance (h)

Variogramme

0

10

20

0

10

20

-5

0

5

xy

z(x,y

)

0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

distance (h)

Variogramme

3


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2- variogrammes 7

Note: Sur les 4 figures prcdentes, les points (0,0), (20,0), (0,20) et (20,20) ont des valeurs identiques de

respectivement 0,2,2 et 4.

2.3.1 Exemple numrique

Soit une matrice de donnes 3 x 3 ayant les valeurs suivantes (la distance horizontale et verticale entre 2 lmentsconscutifs est de 1 m et NaN indique une donne manquante).

3 6 5

7 2 24 NaN 0

Le calcul du variogramme selon la direction horizontale donne:

h g(h) N(h)

1 4.375 42 7.5 3

Note: g(1)=0.5/4*[(3-6)2+(6-5)2+(7-2)2+(2-2)2]

Dans la direction verticale, on calcule:

h g(h) N(h)

1 5.4 52 6.5 2

Dans la direction 45, on calcule:

h g(h) N(h)

1.41 2.33 32.82 0.5 1

2e Exemple numrique (1D)

Soit les squences 1D suivantes :

0 1 2 3 2 1 0

3 1 0 2 1 2 0


19/185

2- variogrammes 8

Le variogramme de la 1re srie montre une croissance soutenue alors que la seconde srie montre un

variogramme peu prs constant un niveau prs de la variance exprimentale (1.06).

2.4 Modlisation

Les modles sont des expressions analytiques que l'on tente d'ajuster le mieux possible aux points desvariogrammes exprimentaux.

Condition d'admissibilit des modles:

Toute fonction ne peut tre utilise comme modle. Soit une somme quelconque de variables alatoires (plusgnralement, une combinaison linaire de telles v.a.), la variance de cette combinaison est ncessairementpositive (une variance est, par dfinition, toujours positive). Or cette variance peut s'exprimer en fonction ducovariogramme (modles avec palier) ou du variogramme (modles avec palier ou sans palier pourvu que lasomme des poids de la combinaison linaire donne 0). Il faut donc que le covariogramme ou le variogrammeassure des variances positives quelle que soit la combinaison des v.a. considre.

Bref, soit une combinaison linaire . Dans le cas stationnaire (variogramme avec palier),i

iiZ

==i i j

j,ijii j

jijiii )h(C)Z,Z(Cov)Z(Var 0

Dans le cas intrinsque (variogramme sans palier)

Sous la condition 0aon0 == i

j,ii j

jiiii

i )h()Z(Var,

La vrification de l'admissibilit d'un modle donn est relativement complexe et dpasse le cadre de ce cours.Dans la pratique on se limite des modles prouvs et des modles construits partir de modles prouvs enutilisant des proprits comme :- une combinaison linaire (avec coefficients positifs) de variogrammes admissibles donne un modle admissible;- un produit de modles de covariance admissibles donne un modle de covariance admissible;- un modle admissible en Rpest admissible en Rp-1(linverse nest pas ncessairement vrai).

Types de modles courants

En gologie, les modles les plus courants sont :

- Effet de ppite.Puissance (cas particulier : linaire)


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2- variogrammes 9

Sphrique : (h)= C [1.5 h/a - 0.5 (h/a)3] si 0 < h < a

C si h a

Gaussien: (h)= C [1 - exp(-3(h/a)2)]

Exponentiel (h)= C [1 - exp(-3h/a)]

Puissance (h)= C hb 0


21/185

2- variogrammes 10

gnral que le prcdent. Cette hypothse est nomme hypothse intrinsque. Elle est en fait une

hypothse de stationnarit de 2e ordre postul pour les incrments de Z plutt que pour Z lui-mme. Onpeut gnraliser ce modle en supposant la stationnarit dordre 2 pour des incrments dordre suprieurde Z (dans ce cas, de nouvelles fonctions de structure spatiale, les covariances gnralises, peuvent treutilises). loppos, des modles plus restrictifs (stationnarit stricte au niveau univariable ou mmemultivariable) sont utiliss en gostatistique non-linaire.

0 100 2000

100

200 effet de ppite

h

g(h)

0 100 2000

100

200 linaire

h

g(h)

0 100 2000

100

200 sphrique

h

g(h)

0 100 2000

100

200 gaussien

h

g(h)

0 100 2000

100

200 exponentiel

h

g(h)

2.4.1 Anisotropies

La continuit spatiale n'est pas ncessairement la mme dans toutes les directions.

ex. - gisement prsentant une forme lenticulaire; on peut avoir une meilleure continuit selonl'allongement principal des lentilles;

- gisement stratiforme; meilleure continuit paralllement aux strates que perpendiculairement.

- placer; meilleure continuit le long des palochenaux que perpendiculairement.- etc.

Bien que dans la nature il existe une trs grande varit d'anisotropies, en gostatistique, on ne peut modliseraisment que les anisotropies gomtriques.


22/185

2- variogrammes 11

- On peut rendre les portes identiques (et gales agsuivant toutes les directions en multipliant la

composante de la porte parallle appar le facteur (ag/ap). Bref, les portes dcrivent une ellipsedont l'axe majeur est orient paralllement ag.i.e.

(a )

a +

(a )

a = 1

2

g2

2

p2

cos sin

Connaissant aget ap, on peut trouver a, o dsigne l'angle mesur par rapport la direction o est rencontr ag.

{ }

aa a

a a

g p

p g

=

+2 2 2 21 2

cos sin/

On peut ainsi valuer(h, ) soit en utilisant a, soit en corrigeant la distance h pour tenir compte de l'anisotropie:

(h , ) = (h )g

modle isotrope avec porte ag

avec,

g2

2g

ph = (h ) +

a

a h cos sin

Typiquement on retrouve l'anisotropie gomtrique l o le corps tudi montre des allongementsprfrentiels. (lentilles, palochenaux, strates...).

Note: Pour l'anisotropie gomtrique, on peut toujours, par simple rotation et dilatation se ramener un modleisotrope, cest ce qui est fait dans la mthode utilisant le calcul de hg.

Exemple:

Un gisement 2D est modlis par un modle avec anisotropie gomtrique. Le modle est sphrique avecC=17%2et effet de ppite C0=13%

2et les portes sont de 100m dans la direction (convention trigonomtrique) deplus grande continuit (30o) et 60m dans la direction de plus petite continuit (120o) Quelle est la valeur du


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2- variogrammes 12

=

=

= arctan arctan .

y y

x x

o2 1

2 1

10

30

18 4

Cette direction forme un angle de 48.4oavec la direction de plus grande continuit.

On calcule la porte dans cette direction en utilisant la formule plus haut :

{ }a m =

+

=100 60

60 48 4 100 48 4

70812 2 2 2

1 2

*

cos ( . ) sin ( . )

./

On calcule la valeur du variogramme en utilisant lquation du modle sphrique pour la distance plus haut etavec la porte 70.81m:

( . ) * . *.

.. *

.

..31 62 13% 17% 15

3162

70810 5

3162

70812363%2 2

32m

m

m

m

m= +

=

2emthode

On calcule la distance quivalente dans la direction de meilleure continuit avec la formule prcdente, o reprsente langle entre la direction de meilleure continuit et la direction dfinie par les deux points (48.4o ).

g2

2

h = ( m ) +m

mm m31 62 48 4

100

6031 62 48 4 44 65. cos( . ) . sin . .

=

On calcule la valeur du variogramme en utilisant lquation du sphrique pour la distance 44.65m et avec la

porte ag= 100m.

g mm

m

m

m( . ) * . *

.. *

..44 65 13% 17% 15

44 65

1000 5

4465

1002363%2 2

32= +

=

Remarques importantes concernant la dtection danisotropies gomtriques:

a) Le facteur danisotropie gomtrique obtenu avec les variogrammes exprimentaux sous estime en gnralle vritable facteur danisotropie en raison de lutilisation dune fentre angulaire et du fait que lesvariogrammes exprimentaux ne sont pas ncessairement orients exactement selon les directions principalesde lellipse danisotropie.


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2- variogrammes 13

La figure suivante montre le rapport danisotropie apparent observ en considrant les directions et +90 (:

angle avec la direction de plus grande porte) en fonction du rapport danisotropie (plus grande porte/plus petiteporte). On constate quun rapport danisotropie peut facilement tre sous-estim si on nidentifie pascorrectement la direction de plus grande porte.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

10

20

30

Rapport apparent en fonction de la direction (: angle avec ag) et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: ag/ a

p

Rapp

ortapparent:a/

a+90


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2- variogrammes 14

La figure suivante montre le rapport danisotropie apparent que lon devrait observer en fonction de langle de

tolrance (fentre angulaire) adopt dans le calcul du variogramme. Le tableau suivant illustre les rsultats pourun rapport danisotropie rel de 5.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

10

20

30

40

0tolrance

Rapport apparent en fonction de la tolrance et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: ag/ a

p

Rapportapparent

Rapport danisotropie apparent en fonction de la tolrance pour un rapport vrai de 5

Tolrance angulaire Rapport apparent45o 2.4

22.5o 3.610o 4.55o 4.9

Anisotropie zonale

Parfois, une simple correction gomtrique ne suffit pas rendre les modles isotropes. C'est le cas par exemple silon observe des paliers diffrents ou si les portes ne dcrivent pas une ellipse. On peut alors tenter d'ajuster lesvariogrammes exprimentaux directionnels l'aide d'une somme (ou ventuellement d'un produit de covariances)


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2- variogrammes 15

zonal p(h, ) = (h) + (h ) isotrope sin

o l'indice p rfre au modle anisotrope suivant la direction de porte minimale

Cas 3D:

En 3D, lellipse danisotropie devient un ellipsode. Pour entirement spcifier le modle, il faut fournir les trois

portes principales (axes de l'ellipsode) et les 3 angles de rotation qui permettent de faire concider le systme derfrence avec les axes de l'ellipsode. Souvent la gologie dictera les directions o calculer le variogramme pourtenter de dtecter une ventuelle anisotropie (ex. perpendiculairement la stratigraphie et dans le plan de lastratigraphie.

Lors de l'utilisation d'un programme de calcul de variogramme ou de krigeage, il est trs important de biencomprendre les conventions utilises pour le systme de rfrence et les rotations afin de spcifier correctementles modles. Habituellement, le systme de rfrence utilis est le systme main droite (pouce pointe vers "z",la main droite replie va de "x" vers "y").

La modlisation en 3D est parfois trs difficile en raison dune disposition dfavorable des observations. Si lonprend lexemple dune grille rgulire de forages verticaux, on dispose de beaucoup de paires pour toute distanceselon la verticale. Par contre, dans le plan horizontal, aucune paire ne peut tre form pour des distances autresquun multiple du pas de grille. Si le pas est large, ce qui est souvent le cas, on aura trs peu de points sur levariogramme exprimental et la dtermination des portes dans ces directions sera difficile. La situation secomplique davantage lorsque la gologie ne suit pas les directions du systme de rfrence.

Finalement, il faut noter quen 3D, la spcification des paramtres de recherche de paires pour le calcul duvariogramme ncessite une bonne dose de rflexion afin de sassurer que la zone spcifie correspond bien celledsire. Par exemple, une tolrance angulaire de 10o sur la direction et sur le pendage du vecteur souhait nereprsentent pas du tout la mme enveloppe si le vecteur considr est horizontal ou vertical. Ce ne sont pas tousles programmes qui permettent de spcifier un cne de tolrance autour de l'orientation du vecteur distancesouhaite.

2.5 Remarques concernant le calcul de variogrammes et lajustement de modles

- On accorde plus de poids aux points du variogramme exprimental calculs avec beaucoup de paires.- On essaie davoir N(h) 30 pour chaque point exprimental du variogramme. Si ce nest pas possible pour

certaines classes, on accorde moins dimportance ces points. Si le nombre de paires est trs faible (10), onne considre plus du tout le point.O d l d id i i d i (h i ) l i l l


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2- variogrammes 17

points de la zone. Si l'paisseur d'une veine varie alors la teneur pour une portion de la veine n'est plus gale la

teneur moyenne des points correspondants mais plutt une moyenne pondre par les paisseurs).

2.6 Problmes courants avec les variogrammes et solutions possibles

2.6.1 Donnes extrmes

Le variogramme tant une moyenne de diffrences au carr, il est clair que la contribution d'une donneextrme peut tre dterminante. Si la localisation d'une donne extrme est telle qu'elle apparat plus souventdans certaines classes de distance que d'autres, alors le variogramme sera trs bruit. Si elle est situe enpriphrie du domaine, elle introduira une tendance croissante sur le variogramme. Si elle est situe aucentre, elle introduira plutt une tendance dcroissante.

Exemple:

10 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

60

70

Variogramme exprimental

Distance

gamma(h

)


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2- variogrammes 18

0 0 10 0 0 0

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35


Distance

gamma(h)

Comme on le voit, la position de la valeur extrme dans le champ a une influence prpondrante sur la formedu variogramme.

Solutions possibles: Si la donne extrme est une erreur, on l'enlve tout simplement. Enlever la donne extrme pour le calcul et la modlisation du variogramme afin de mieux cerner la

structure spatiale sous-jacente. Toutefois, il faut remettre cette donne au moment de l'estimation.Gnralement, il faut aussi modifier le modle de faon ce que son palier reflte mieux la variance desdonnes lorsque les donnes extrmes s'y trouvent (par exemple, ajout d'un effet de ppite oumultiplication de C et C0par une constante approprie.

Transformer les donnes de faon diminuer l'influence des donnes extrmes (ex. couper les valeursextrmes un seuil maximal, prendre le logarithme, la racine carre, etc.). On peut par la suite identifier

les grandes caractristiques du variogramme (modle, isotropie-anisotropie, importance approximativede C0/(C0+C)) avec les donnes transformes puis on cherche retrouver ces caractristiques sur lesvariogrammes exprimentaux. Normalement on ne peut estimer les valeurs transformes car latransformation inverse pose un problme de biais difficile contourner.

Utiliser un estimateur robuste aux donnes extrmes (ex. au lieu de prendre la moyenne des carts-carrs,on pourrait en prendre la mdiane) Toutefois cet estimateur sous estime la variabilit spatiale et il doit


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2- variogrammes 19

2.6.2 Pas d'chantillonnage variable selon les zones d'un gisement

Zone A: (pas de 2m)4 4 5 6 6 7 6 5 4

Zone B: (pas de 1m)8 6 8 10 12 8 10 12 14 10 8 6 12 8 10 10 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8

7

6 5


Distance

gamma(h

)

Zone A

17

16

15

14

13

12

11

10

9

Zone B

1724

15

21

13

18

11

15 9

Zone A+B

Le variogramme A est plus bas car la zone A est moins variable. Le variogramme B est le plus lev car lazone B est la plus variable et le variogramme A+B est un mlange des 2 zones. Toutefois, comme les pas

d'ordre impair (1,3,5..) n'apparaissent pas dans la zone A, le variogramme A+B est identique au variogrammeB pour ces pas.

Solutions possibles: Sparer en 2 zones d'tude distinctes si possible, sinon Uniformiser l'chantillonnage par exemple en prenant 1 point sur 2 dans la zone B


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2- variogrammes 21

2.6.4 Erreurs de localisation

Les erreurs de localisation viennent fausser les distances et donc fausser le variogramme exprimental. Ainsi,certaines paires petites distances seront considres comme des distances plus grandes quelles ne le sontrellement et vice-versa. L'effet net est d'augmenter l'effet de ppite apparent sur le variogramme.

Exemple: On simule 225 donnes sur une grille rgulire de 15 x 15 et de pas 1, puis on suppose que chaquepoint a t mal localis et que la position rapporte se situe 1 en x et y. Voici les variogrammes obtenusen utilisant les vraies localisations et les localisations rapportes:

Solutions possibles:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

6

8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Variogrammes

h

Localisations vraies

Localisations erronnes

0.

0.(h

)

Gamma

Localiser avec soin les donnes Si on a une ide sur la distribution des erreurs de localisation, on peut essayer d'en tenir compte lors de

l'estimation (il subsiste quand mme une perte d'information substantielle)

Note: Ce problme est particulirement aigu avec des donnes de forages (3D) qui dvient souvent de faonimportante et pour lesquels les mthodes de mesure de dviations ne sont pas toujours prcises.


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2- variogrammes 22

Supposons qu'un vnement tectonique tardif vienne plisser les roches. Les distances entre les points, aprsplissement, seront modifies altrant ainsi la structure spatiale. Dans certains cas, lorsque la tectonique n,estpas trop complique et que la gologie est bien connue, il est possible de "dplisser" le gisement pourretrouver les positions originales des points et ainsi mieux dcrire la structure spatiale de la minralisation.

20

15

10

Exemples gologiques:

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

Posit ions observes

x

y

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

20Positions "dplies"

x

y

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Variogrammes initiaux

h

Dir. x

Dir. y

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Variogrammes aprs "dpliage"

h

// strates

Perpendiculaire(h

)

Gamma

(h)

Gamma

Structures plisses


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3- Variances de blocs, de dispersion et destimation 1

3. VARIANCES DE BLOCS, DE DISPERSION, D'ESTIMATION

3.1 Variances de blocs:

On a vu prcdemment l'importance de connatre la variance de la variable alatoire correspondant au supportd'exploitation de la mine. Ce support n'est videmment pas la carotte mais plutt un bloc d'une certaine taille(ex. 5m x 5m x 5m). On distingue 2 notions de variances diffrentes et complmentaires :

Variance de bloc: dcrit lamplitude thorique des variations des teneurs de bloc pour un domaine infini. C'est

l'analogue de la variance ponctuelle (palier du variogramme) pour des blocs. Cette notionn'est dfinie que pour les modles de variogramme avec palier.Variance de dispersion: dcrit lamplitude thorique des variations des teneurs de bloc lintrieur dun

domaine fini. La variance de dispersion peut sobtenir partir de la variance debloc comme on le verra plus loin. Cette notion est dfinie mme pour lesvariogrammes sans palier.

Ces 2 notions interviennent dans le calcul des rserves rcuprables dun gisement, dans des calculs pourdterminer lefficacit et le rendement de piles dhomognisation, dans le calcul de la variabilit de laproduction minire pour tout intervalle de temps dsir et dans le calcul de la variance de l'erreur d'estimation(variance d'estimation).

On peut calculer la variance des blocs si lon connat le variogramme des informations ponctuelles ou quasi-ponctuelles (carottes). De fait, on peut mme calculer le variogramme (et le covariogramme) de blocs.

Soit Z(x) la v.a. correspondant l'information ponctuelle.Soit Zv(x) la v.a. correspondant un bloc centr en x.

On a

v vZ (x) =1

v Z(y) dy

Cette relation exprime simplement la ralit physique que la teneur d'un bloc est la moyenne des teneurs despoints composant le bloc.

E [ Zv(x) ] = m

et la variance de Zv(x) s'crit:

Var( vZ (x)) = v2 = E [ ( vZ (x) - m

2) ]

2


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On peut intervertir E et car ce sont deux oprateurs linaires.

[ ]=1

v E ( Z(y ) - m ) ( Z(y ) - m ) dy dy

=1

v Cov ( Z( y ) , Z( y ) ) dy dy

2 v v 1 2 1

2 v v 1 2 1 2

2

v2

vVar Z = C (v,v)( )=

Cette dernire expression indique que la variance du bloc v est donne par la moyenne des covariances entretoutes les paires de points que l'on peut former l'intrieur du bloc v.

En termes de variogramme, utilisant la relation

C(h) = - (h)2

On obtient

v2 2 = - (v,v)

Si on connat le variogramme (ponctuel), et si celui-ci montre un palier, alors on connat toutes les

variances de blocs, peu importe la taille ou la forme des blocs. les blocs peuvent tre constitus de

plusieurs portions spatialement non-contigus.

On vrifie aisment de cette dernire expression que pour tous les modles croissants de variogramme:

v 0

v 0

v

v2 2

v2

v2

si

si

si

Complment : variogramme de blocs (peut tre omis dans une premire lecture)

Considrons maintenant deux blocs spars d'une distance h. Il peut tre utile de dfinir la relation entrevariogramme de bloc et variogramme ponctuel. Pour deux blocs spars d'une distance h, on aura:


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3.2 Variance de dispersion

La variance de bloc permet de calculer la variance thorique de la teneur de bloc dans un domaine dextensioninfinie. Bien sr les gisements rels ne sont jamais infinis et il est souhaitable de pouvoir prvoir lamplitudedes variations des teneurs de bloc pour un domaine fini correspondant au gisement ou une partie dugisement.

Considrons un grand bloc Vjdcoup en petits blocs vi.

On a bien sr:

Z(V ) =1

n Z(v )j

i=1

n

i

vi

Vj

On peut vouloir dterminer l'importance de la variation de v idans Vj, en moyenne pour l'ensemble des blocsV. C'est ce que l'on appelle la variance de dispersion de v dans V que l'on note D2(v|V).

Soit la variance chantillonnale pour un bloc Vj:

( )i jv V

2

i=1

n2

i js =1

n Z(v ) - Z(V )|

On dfinit la variance de dispersion comme l'esprance de cette variance exprimentale lorsqu'on considretous les blocs possibles Vj:

D v V E s = E

1

n ( Z(v ) - Z(V ) ) i jv V2

i

n

i j

22

( | ) |=

{ }= E1

n ( Z(v ) m - Z(V ) m

n

i j

) ( ) 2


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2 v2 V2D (vV) = -|

i.e., la variance de dispersion nest autre quune diffrence de variabilit de teneurs mesures sur 2 volumesdiffrents. Utilisant les rsultats prcdents concernant les variances de blocs, on peut obtenir les formulationsquivalentes suivantes:

2D (v|V) = C(v,v) - C(V,V)

= (V,V) - (v,v)

On notera en particulier que, pour les modles croissants de variogramme, on aura:

v 0 D (v|V) (V,V)

v V D (v|V) 0

V D (v|V)

2

2

2v2

Dans une mine, "v" pourrait correspondre la production quotidienne et "V" la production hebdomadaire oumensuelle. Le rendement du concentrateur pourrait tre reli l'importance des fluctuations journalires surune priode mensuelle, i.e. D2(v|V).

Les relations prcdentes se gnralisent aisment et permettent de dfinir une rgle dadditivit trs gnralepour plusieurs blocs de taille diffrentes:

D2(v1|vn)= D2(v1|v2)+ D2(v2|v3)+........+D

2(vn-1|vn)

avec les tailles des supports ordonns par ordre croissant: v1


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3.3 Variance d'estimation

Dans cette section, on cherche tablir les rsultats permettant de fournir une mesure de la prcision desestims effectus par une mthode destimation quelconque (linaire).

Soit une v.a. Zvque l'on veut estimer, d'une faon ou d'une autre, en formant une combinaison linaire desvaleurs observes en diffrents endroits, i.e.

v*

i 1

n

i iZ = Z=

(1)

o:Zi: valeur observe au point xi(v.a.)Zv

*: estimateur de Zv

On dfinit l'erreur d'estimation :

*vv ZZe =

La variance de cette erreur est la variance d'estimation :

),(2)()()( ** vvvv ZZCovZVarZVareVar +=

Substituant Zv*par son expression, en fonction des Zi, donne en (1), on obtient:

)Z,Z(Cov2-)Z,Z(Cov+)Z(Var= viii

jijiji

v2e (2)


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Qui peut tre rcrit en fonction du variogramme:

( ) v),x(-2-)x-x(-+v)(v,-= i2ii

ji2

jiji

22e

Puis finalement, puisqu'on a habituellement i= 1,

)x,x(-v)(v,-v),x(2= jijiji

iii

2e (3)

On peut calculer la variance d'estimation soit en utilisant le covariogramme (2) ou le variogramme (3). Dansles cas de modles sans palier, seul le variogramme peut tre utilis pourvu que i= 1 dans (1).

i. Dans les formules prcdentes (2 et 3), on reconnat 3 termes : 1 terme li au bloc estimer (Var(Zv)ou )v,v( ), 1 terme li aux points servant lestimation (Cov(Zi,Zj) ou )x,x( ji ) et 1 terme

crois entre les points servant lestimation et le bloc estimer (Cov(Z i,Zv) ou )v,x( i .

ii. La variance de l'erreur d'estimation est une mesure de la prcision de l'estimation. On pourrait vouloirchoisir les ide faon ce que e

2soit minimale. C'est ce que nous ferons plus tard avec le krigeage.iii. La variance destimation est une mesure de prcision obtenue, en moyenne, sur lensemble du

gisement pour une mme configuration points-bloc. On constate en effet que la variance destimationpeut tre calcule ds que lon connat le variogramme (ou le covariogramme), lemplacement despoints de donnes et le bloc estimer. La variance destimation ne permet donc pas de tenir comptedu fait que certaines portions pauvres du gisement sont peut-tre plus faciles estimer que des zones haute teneur (effet proportionnel rencontr par exemple avec des distributions lognormales). On peut

en tenir compte par l'emploi d'un variogramme relatif (norm par la moyenne locale au carr).Toutefois l'estimation du variogramme relatif est souvent dlicate. Les mthodes non-linaires et lessimulations permettent de mieux tenir compte de ce facteur.

Ex. Soit x1, x2et x3trois points chantillonns que l'on veut utiliser pour estimer la valeur inconnue au pointx0.

x1

x2 x0 x3

Soit la matrice des distances sparant ces points:


40/185


(h) = 1 + h

Calculons la variance d'estimation obtenue par trois mthodes diffrentes d'estimation:

a) Estimation polygonale (plus proche voisin)

1 3 2

0*

2

20 2 0 0 2 2

= = 0 = 1

Z = Z

= 2 (x ,x ) - (x , x ) - (x , x )

= 2 (1 + 1) - 0 - 0 = 4

b) Inverse de la distance

.23=.45=.32=

2.21=d1/

1/2=d1/1=d1/1/1.4=d1/

321

i

i

321

( )

( )

2

i

i i 0 0 0

i j

i j i j= 2 (x ,x ) - (x ,x ) - (x ,x )

= 2 .32 (1+1.4) + .45 (1+1) + .23 (1+ 2) - 0

- 2 .32 .45 (1+ 1) + .32 .23 (1+ 3.2) + .45 .23 (1+ 3)

2.7

Ici l'inverse de la distance est trs suprieur la mthode polygonale en terme de variance d'estimation.

c) krigeage


41/185


42/185


v2 2

0 0L l

L l

= - (v,v)

= (C +C) - C + C FL

a,

l

a

= C 1- FL

a,

l

a

= 15 (1- F ( 0.2 , 0.2 ))

= 15 0.84 = 12.6

Pour des blocs 50 m X 50 m, on trouve F(0.5 , 0.5) 0.38 et

v2 15 0.62 = 9.3

Pour des blocs 50 m x 100 m, on trouve F(0.5 , 1) 0.54 et

v2 15 0.46 = 6.9

Si au lieu du variogramme isotrope prcdent une anisotropie gomtrique avec ax= 100, ay= 50 taitprsente, on aurait alors pour:

un bloc 50 m en x par 100 en y; F(.5 , 2) .73

v2 15 .27 4.1

un bloc 100 m en x par 50 en y; F(1 , 1) .68

v2 15 .32 = 4.8

On constate que la variance des blocs dpend de leur allongement par rapport la direction d'anisotropie!

Note: Lorsqu'il y a anisotropie, il faut, pour pouvoir utiliser les abaques, que les directions principales

d'anisotropie soient parallles aux cts du bloc considr.

ex. Variance de blocs 3-D

Les abaques sont construites en supposant qu'au moins 2 des 3 rapports l /a l /a l /a sont gaux Ces


43/185


v2 15 0.6 = 9.0

ex. Variance de dispersion

On utilise les abaques pour chacun des termes et on obtient la variance de dispersion par diffrence.(Rappelons que l'abaque F( , ) permet dobtenir la valeur de ( , )v v ).

ex. Variances d'estimation

Chaque configuration et chaque estimateur donnent lieu un calcul diffrent. Il n'existe donc des abaques quepour les cas simples d'extension.

Ex. Toujours avec le sphrique ayant C0=5, C=15 et a=100 m,

Si on estime une cellule de 10 m X 10 m par son point central, on obtient avec l'abaque #7, E32, value l/a

= 10/100 = 0.1 :

0.57=.038152e

A cette quantit, il faut ajouter un terme reli C0, d'o:

5.57=5+.572e

Le terme reli C0provient de l'expression gnrale de la variance d'estimation (pour tout estimateur linaire):

)x,x(-v)(v,-v),x(2= jijiji

iii

2e

En identifiant les termes en C dans cette dernire expression on voit que la variance d'estimation est accrue


44/185


2C

-C

-C

C 2 - 1 -

i

n

i 0 0

i j

i

n

j

n

i j 0

0

i

n

i

i j

i

n

j

n

i j

i.e.

On peut simplifier davantage puisqu'on a presque toujours:

i

i = 1

o

i ji

n

j

n

i j 0

i

i2C 1 - = C

Avec un bloc de 100 m X 100 m, on aurait obtenu:

2 15 .41 + 5 = 11.15

Si plutt que d'utiliser la valeur de l'intersection centrale, on avait utilis les quatre coins i.e. n = 4, = 1/4,

i = 1...4, on aurait obtenu pour le bloc de 10 m X 10 m: i

1.61=1/45+.024152e

Et, pour le bloc de 100 m X 100 m:

e

2 15 .27 + 5 1 / 4 = 5.3

Une rduction trs substantielle de la variance d'estimation est obtenue en utilisant les quatre coins deprfrence la valeur centrale. On voit que lorsqu'on a un effet de ppite important, on a intrt former unestimateur utilisant plus d'observations de faon diminuer la variance d'estimation. En effet, lorsque les

3 V i d bl d di i d i i 12


45/185


ex. Extension d'un segment une surface

Toujours avec le mme modle de variogramme, pour une cellule de 10 m X 10 m qu'on estime par sonsegment central. S'il n'y avait pas d'effet de ppite, on aurait:

0.14=.00915=2e

Le segment renferme "n" petits segments de la longueur des supports ayant servi dfinir le variogramme. Lepoids associ chaque petit segment (support) est donc de 1/n et la part de l'effet de ppite dans la variance

d'extension sera donc de C0/n. Quand le support est trs petit par rapport au segment considr, alors n -->, etla part relie l'effet de ppite devient nulle. Si le support est le segment au complet, alors n est 1 et lavariance d'extension est accrue de C0.

Dans l'exemple prcdent, si le support est constitu de carottes de 1 m, alors

.64=5/10+0.142e

3.5 Combinaison d'erreurs lmentaires pour une estimation globale

Si lon a beaucoup d'observations et qu'on dsire estimer une moyenne pour un volume important, le calcul dela variance d'estimation utilisant la formule thorique peut devenir laborieux. Il existe toutefois un principe quipermet de simplifier les calculs tout en conservant une bonne prcision sur le calcul de la varianced'estimation. Ce principe est celui des extensions lmentaires. Il consiste dcomposer une estimationdonne en une srie d'estimations lmentaires approximativement indpendantes et pour lesquelles la

variance d'estimation est facilement calculable.

i. ex. estimation de la moyenne d'un champ partir d'une grille rgulire.

L'estim est alors simplement:1

n Z

i=1

n

i . C'est comme si on tendait la valeur de chaque point chaque bloc

correspondant aux dimensions de la grille rgulire. Pour chaque extension, on commet une erreur dont lavariance est . Cette variance est constante pour chaque bloc. Ces erreurs sont approximativement

indpendantes puisque chaque bloc est estim par son point central et qu'il n'y a donc pas deux estimsutilisant les mmes donnes. La variance de l'erreur globale est donc la variance d'une somme de n erreurs

2ei

2

3 V i d bl d di i t d ti ti 13


46/185


ii. ex. estimation de la moyenne d'un champ partir d'un chantillonnage alatoire mais densit

uniforme (chantillonnage alatoire stratifi).

Dans ce cas, on peut considrer qu'on a implant alatoirement un point dans chaque cellule lmentaire. Ontrouve la taille de cette cellule lmentaire partir de la taille du champ total et du nombre et de la rpartition

des points chantillons. La variance de l'erreur pour un bloc i est . Cette variance

dpend de l'emplacement prcis du point dans le bloc i. Le point tant plac alatoirement, on peut calculerla valeur probable de cette variance d'estimation lmentaire par:

2e i v

2i

= E[(Z -Z ) ]

1

v E [(Z(x)-Z ) ] dx

v v

2

Qui n'est rien d'autre que la variance de dispersion d'un point dans un bloc v, i.e. D2(|v). nouveau, puisque chaque erreur est indpendante, pour l'ensemble du champ, la variance d'estimation seraD2(|v)/n.

iii. ex. estimation d'une moyenne d'un champ partir d'un chantillonnage quelconque.

On peut appliquer la mthode dcrite au point ii. sur des sous-domaines o l'hypothse de rpartition alatoirestratifie est raisonnable. On calcule alors par la mthode dcrite au point ii. les variances destimation pourchaque sous-domaine. Pour l'ensemble du champ, l'estim est obtenu en combinant, selon des poidsproportionnels aux volumes des sous-domaines, les diffrents estims obtenus. On aura donc:

v=VavecZvV

1=Z i

n

1=iv

*

ii

p

1=i

*g

et la variance d'estimation sera, puisque chaque erreur est considre indpendante:

e22

i

n

1=i2

2g iv

V

1=

o les variances d'estimation lmentaires sont celles correspondant aux diffrents sous-domaines que l'on apu reconnatre.

Note: - Paradoxalement, l'estimateur particulier utilis pour obtenir l'estim pour la moyenne du champn'intervient pas dans le calcul de la variance d'estimation globale par la mthode des erreurslmentaires. L'estimation aurait pu tre obtenu par krigeage, par inverse de la distance, par mthodepolygonale, etc.. La raison de cette apparente anomalie est que les estims globaux obtenus par cesmthodes sont trs similaires. Ils consistent plus ou moins en une moyenne, pondre par la zone

3 Variances de blocs de dispersion et destimation 14


47/185

3- Variances de blocs, de dispersion et d estimation 14

trouvent, puis de combiner les variances de krigeage en fonction de la taille des blocs commel'indique la formule prcdente. Il est important de ne pas avoir des donnes communes pour

l'estimation de deux blocs car alors les erreurs d'estimation ne pourraient plus tre considres commeindpendantes.

Ex. Une zone a t estime directement par krigeage (variance d'estimation 0.36) puis par combinaison de 4parcelles (selon 2 scnarios diffrents). Pour l'estimation de chaque parcelle, on n'utilise que les points s'yretrouvant. On calcule les variances d'estimation pour chaque parcelle et on combine le tout suivant le carrdes surfaces de chaque parcelle. Les rsultats obtenus par subdivision, dans les deux cas, sont quasi-identiquesau rsultat direct.

0 50 1000

20

40

60

80

100

z1

z2

z3

z4

2zone`globale: 0.36

2pour z1 : 1.6

2pour z2 : 1.4

2pour z3 : 1.4

2pour z4 : 1.3

2combin : 0.35

0 50 1000

20

40

60

80

100

z1

z2

z3

z4

2pour z1 : 7.8

2pour z2 : 1.7

2pour z3 : 1.9

2pour z4 : 0.63

2combin : 0.36

En rsum :

i. les variances de bloc, de dispersion et d'estimation peuvent toutes tre calcules partir duvariogramme ponctuel (ou quasi-ponctuel);

ii. pour la variance de bloc et la variance de dispersion, si les donnes sont dfinies sur un support quasi-ponctuel, alors l'effet de ppite n'intervient pas. Si les donnes sont dfinies sur un support nonponctuel, alors l'effet de ppite intervient pour les petits blocs. Pour la variance d'estimation (enparticulier d'extension), le traitement de l'effet de ppite dpend du support des donnes servant l'estimation relativement au support ayant servi l'obtention du variogramme;

iii. pour le calcul de la variance d'estimation d'une quantit moyenne sur un grand champ, on peutrecourir des approximations bases sur des erreurs lmentaires peu prs indpendantes. Ceci n'a

3- Variances de blocs de dispersion et destimation 15


48/185

3 Variances de blocs, de dispersion et d estimation 15

en paquets de 16, 32, 64 et 128 en glissant une fentre le long de la srie. Dans chaque cas, on a calculla variance exprimentale de ces valeurs (s2) et la valeur thorique D2(v|V) calcule partir du

variogramme (Figure 2).

On notera que pour une variance ponctuelle gale, les blocs forms sur la srie ponctuelle montrant lameilleure structure spatiale (srie 1) demeurent beaucoup plus variables que les blocs forms sur la srieayant la moins bonne structure spatiale (srie 2). On notera galement, l'assez bonne concordance entreles valeurs thoriques et les valeurs exprimentales obtenues, surtout pour la 2e srie. L'cart entre celles-ci s'explique par le fait que pour la valeur exprimentale, on considre un seul bloc V = 512, alors que lavaleur thorique reprsente, par dfinition, une valeur moyenne de cette variance exprimentale prise surun trs grand nombre de blocs V.

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Variogramme exprimental et modle ajust

Modle sphr ique c0= 0.31751 c= 0.70065 a= 29.4009

amme

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

1.5

2

2.5Variogramme expriemntal et modle ajust, 1re simulation

Modle gaussien(c=0.48, a=63) + effet de trou [0.76*(1-cos (2*pi*h/175))]

Distance

Variogramme

500

500

500

500

500


49/185

0

250

300

350

400

450

500

Simulation1

s2=1

D2(v|V)=1.1

4

oint

0

250

300

350

400

450

500

s2=0.9

6

D2(v|V)=1.1

1

oc16

0

250

300

350

400

450

500

s2=0.8

8

D2(v|V)=1.0

3

oc32

0

250

300

350

400

450

500

s2=0.6

2

D2(v|V)=0.7

58

oc64

0

250

300

350

400

450

500

s2=0.1

7

D2(v|V)=0.2

42

oc128

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-2024

S

imulation2

s2=1

D2(v|V)=0.9

98

poin

t

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-2024

s2=0.4

5

D2(v|V)=0.4

76

bloc

16

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-2024

s2=0.3

1

D2(v|V)=0.3

09

bloc

32

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-2024

s2=0.1

5

D2(v|V)=0.1

61

bloc

64

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-2024

s2=0.0

46

D2(v|V)=0.0

66

bloc

128

5- krigeage 1


50/185

5. KRIGEAGE

Puisqu'on peut calculer la variance d'estimation pour tout estimateur linaire, pourquoi ne pas choisir celuiqui assure la variance d'estimation minimale? C'est prcisment ce qu'effectue le krigeage. Dans le casstationnaire, on en reconnat 2 types principaux, selon que la moyenne du processus est connu ou non, soit lekrigeage simple et le krigeage ordinaire. Ce dernier est, de loin, le plus frquemment utilis.

5.1 Krigeage ordinaire

Supposons que l'on veuille estimer un bloc v centr au point x0. Notons Zvla vraie valeur (inconnue) de cebloc et Zv

*l'estimateur que l'on obtient.

L'estimateur est linaire, i.e.:

v*

i=1

n

i iZ = Z

o les Zidsignent les v.a. correspondant aux points chantillons.On veut minimiser:

e2

v v*

v v*

v v* = Var[Z -Z] = Var[Z] + Var[Z] - 2 Cov[Z,Z]

Substituant l'expression de l'estimateur dans cette quation, on obtient:

e2

v

i=1

n

j=1

n

i j i j

i=1

n

i v i= Var[Z] + Cov[Z,Z] - 2 Cov[Z,Z]

Pour que l'estimateur soit sans biais, il faut que:

i=1

n

i = 1

En effet, dans ce cas, ===i

ii

ii*v mm]Z[E]Z[E

On a un problme de minimisation d'une fonction quadratique (donc convexe) sous contrainte d'galit quel'on solutionne par la mthode de Lagrange. On forme le lagrangien:

+ 12=)L( -in

2e

5- krigeage 2

S d k i di i


51/185

Systme de krigeage ordinaire

j=1

n

j i j v iCov[

Z,

Z] + = Cov[

Z,

Z] i = 1...n

j=1

n

j = 1

La variance d'estimation minimale, appele variance de krigeage, est obtenue en substituant les quations dekrigeage dans l'expression gnrale pour la variance d'estimation:

k2

v

i=1

n

i v i= Var[Z] - Cov[Z, Z] - Note: Cette variance de krigeage ne dpend pas des valeurs observes, elle ne dpend que du variogramme

et de la configuration des points servant l'estimation par rapport au point (ou bloc) estimer.

Systme de krigeage crit en terme du variogramme:

Comme la variance d'estimation s'crit aussi directement en terme du variogramme, on peut aussi crire lesystme de krigeage en fonction du variogramme. Ceci tient au fait que C(h) = 2-(h) et que i=1.

1...n=i)xv,(=)x,x( ijij

n

1=j

j=1

n

j = 1

et , alors

-)v,v()xv,(= iin

1=i

2k

Il est intressant de visualiser le systme de krigeage ordinaire et la variance de krigeage ordinaire sous formematricielle:

ooo kK = oovk k'o =

22

o

12 )ZZ(C)ZZ(C

5- krigeage 3


52/185

=

1

2

1

)Z,Z(Cov

)Z,Z(Cov

)Z,Z(Cov

k

vn

v

v

o ,

=

n

o

2

1

et )v,v(Cv =2

5.2 Krigeage simple

Parfois on connat la moyenne "m" du champ estimer ou du moins on en possde un estim fiable. On peutalors former un estimateur sans biais sans imposer la contrainte que la somme des poids soit gale 1.

mZ=Z -+ in

1=iii

n

1=i

*v

1

Tout comme pour le krigeage ordinaire, on crit la variance d'estimation et on substitue l'expressionprcdente pour l'estimateur Zv

*. On trouve:

e2

v

i=1

n

j=1

n

i j i j

i=1

n

i v i= Var[Z] + Cov[Z,Z] - 2 Cov[Z,Z]

On drive cette expression par rapport chacun des i. On trouve alors le systme de krigeagesimple:

Systme de krigeage simple

j=1

n

j i j v iCov[Z, Z] = Cov[Z, Z] i = 1...n

et la variance d'estimation, appele variance de krigeage simple s'crit:

]Z,ZCov[-]ZVar[= ivi

n

1=iv

2ks

Note: - La variance de krigeage simple est toujours infrieure la variance de krigeage ordinaire car on n'a

5- krigeage 4

Le systme de krigeage simple (KS) ne peut s'crire directement en termes de variogrammes


53/185

- Le systme de krigeage simple (KS) ne peut s crire directement en termes de variogrammespuisqu'on n'a pasi= 1.- En termes pratiques, les estims obtenus par krigeage ordinaire (KO) et simple (KS) sont trs

similaires lorsqu'on effectue le krigeage courte distance par rapport aux points connus et parrapport la porte du variogramme et que le variogramme montre une structure importante.Lorsqu'on effectue l'estimation grande distance ou si le variogramme montre un effet de ppite plusimportant, alors l'estimation KO consistera essentiellement en une moyenne des points du voisinageet l'estime KS sera simplement la moyenne suppose connue, i.e. "m".

- Rgle gnrale, le KO est prfrable au KS. Dans certaines applications telles le krigeaged'indicatrices et les simulations il est prfrable de recourir au KS.

5.3 Quelques cas trs simples de krigeage

Ces quelques cas sont prsents dans le seul but d'acqurir une certaine intuition du comportement dukrigeage. On suppose un variogramme sphrique de porte finie "a".

i. Estimation d'un point par un autre point situ une distance "h"

Krigeage ordinaire :( ) )h()h(C,

ok === 221 221 (Note si h>a, )

22 2=ok

Krigeage simple:

2

222

21

=

=

)h(C,

)h(Csk

(Note si h>a, )22 =sk

Remarque:Il est possible d'avoir une variance de krigeage ordinaire suprieure la variance thorique de lavariable tudie!

ii. Estimation d'un bloc "v" par un point situ en "x1".

Krigeage ordinaire :

)x,v(C, vko 1222

1 21 +==

Krigeage simple :

2

2122

21

1

=

=)x,v(C

,)x,v(C

vks

5- krigeage 5

22 )(C*)(C)(C*)(C*)(C)(C*


54/185

( ) ( ) ( ) ( )

221

22

1021202

22

2122

2021102

1)x,x(C

)x,x(C*)x,x(C)x,x(C*,

)x,x(C

)x,x(C*)x,x(C)x,x(C*

=

=

Note: dans les deux cas, les poids peuvent tre ngatifs dpendant de la position respective des trois points.Dans le cas du krigeage simple, les poids sont nuls si les 2 points sont une distance de x 0suprieure laporte.

iv. Estimation d'un point par "n" points en prsence d'un variogramme effet de ppite pur.

Krigeage ordinaire :

22 1et1 +== n)(n,

n oki

Krigeage simple :22et0 ==

ski,

5.4 Lien entre krigeage simple et krigeage ordinaire

On peut dmontrer que le krigeage ordinaire d'un point ou d'un bloc partir de "n" points observations peutse dcomposer en 2 tapes:

i. Estimation de la moyenne "m" (inconnue) du processus par krigeage ordinaire en utilisant les "n" points.ii. Estimation du point ou du bloc par krigeage simple en prenant la moyenne estime par krigeage ordinaire

comme une moyenne connue et toujours utilisant les mmes "n" points.

Soit , et les poids de krigeage ordinaire, le multiplicateur de Lagrange et la variance de

krigeage ordinaire obtenus pour l'estimation de la moyenne. Soit et les poids et le multiplicateur de

Lagrange pour le krigeage ordinaire du point ou bloc, les poids de krigeage simple et

i,m m 2 m,ko

i,o

i,s =i

i,ss )1(S

le poids attribu la moyenne dans le krigeage simple. On a alors les galits suivantes:

i,msi,si,o S +=

msS= 2222

m,kosksko S +=

Lorsque les donnes sont abondantes et que la structure spatiale est forte, alors le poids attribu la

5- krigeage 6


55/185

Les krigeages simples ou ordinaire fournissent donc des estimations similaires dans les zones fortementchantillonnes. Dans les zones sous chantillonnes, le krigeage simple attribue un poids important la

moyenne globale suppose connue, alors que le krigeage ordinaire attribue le mme poids unemoyenne estime localement. Cette plus grande flexibilit du KO en fait habituellement la mthode dechoix. Comme la moyenne est constamment restime localement (utilisant les points retenus pour lekrigeage), l'hypothse de stationnarit requise pour ce krigeage est moindre (il suffit que la moyenne soitlocalement constante et non globalement comme pour le KS).

Exemple: Considrons en 1D un variogramme sphrique de palier 2 et de porte 10 et trois points x0, x1et x2situs respectivement en x=0, x=3 et x=4. On veut estimer la teneur au point x0 partir des 2 autres points.

On trouve : , C(1,2)=1.701, C(1,0)=1.127, C(2,0)=0.86422 =Appliquant les relations prcdentes (voir 5.3 iii.), on trouve:

KO:

, KS: et donc S

7438.1

855.0

0602.0

9398.0

2

ko

2,o

1,o

=

=

=

=

3488.1

1708.0

7088.0

2ks

2,s

1,s

=

=

=

s=(1-0.7088-(-0.1708))=0.462

Si l'on estime la moyenne par krigeage ordinaire, l'on trouve les poids suivants (note le systme de krigeagedemeure le mme sauf pour le membre de droite pour lequel toutes les covariances deviennent 0):

8505.1

8505.1

5.0

5.0

2m,ko

m

2,m

1,m

=

=

=

=

On vrifie que l'on a bien :0.7088+0.462*0.5=0.9398= et -0.1708+0.462*0.5=0.0602= 1,o 2,o

de mme:0.462*-1.8505=-0.855 (multiplicateur de Lagrange du KO)

et1.3488+0.4622*1.8505=1.7438 (variance de krigeage du KO)

5- krigeage 7


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5.5 Proprits du krigeage

Les principales proprits et caractristiques associes au krigeage sont:

i. Linaire, sans biais, variance minimale, par construction.

ii. Interpolateur exact. : si lon estime un point connu, on retrouve la valeur connue.

iii. Prsente un effet d'cran: les points les plus prs reoivent les poids les plus importants. Cet effet d'cranvarie selon la configuration et selon le modle de variogramme utilis pour le krigeage. Plus l'effet deppite est important, moins il y a d'effet d'cran.

iv. Tient compte de la taille du champ a estimer et de la position des points entre eux.

v. Par l'utilisation du variogramme, tient compte de la continuit du phnomne tudi (effet de ppite,anisotropie, etc.).

vi. Effectue gnralement un lissage, i.e. les estimations sont moins variables que les teneurs relles (pointou bloc) que l'on cherche estimer.

vii. Presque sans biais conditionnel. Ceci signifie que lorsqu'on applique une teneur de coupure des valeursestimes, on rcuprera approximativement la teneur prvue. C'est une proprit trs importante pour lesmines. Cette proprit implique que l'estimateur utilis soit plus lisse que la valeur qu'il cherche estimer, ce qui est le cas pour le krigeage.

viii. Transitif. Si lon observe en un point une valeur concidant avec la valeur krige pour ce point, alors lesvaleurs kriges en d'autres points ne sont pas modifies par l'inclusion de ce nouveau point dans leskrigeages. Par contre les variances de krigeage, elles, sont diminues. De mme, si lon krige un certainnombre de points et que lon utilise les valeurs kriges comme si ctaient de nouvelles donnes, alors leskrigeages subsquents ne sen trouvent pas modifis (sauf pour la variance de krigeage).

5- krigeage 8


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INTERPOLATEUR EXACT

Exemples d'interpolation par krigeage en 1D, utilisant diffrents modles de variogrammes:

0 5 100

2

4

6

8

10

x

Z(x)

Modle linaire

0 5 100

2

4

6

8

10

x

Z(x)

Modle gaussien (a=10)

0 5 100

2

4

6

8

10

x

Z(x)

Modle sphrique (C0=25%, a=10)

0 5 100

2

4

6

8

10

x

Z(x)

Effet de ppite pur

Note: Aux points chantillons, le krigeage retourne la valeur de l'chantillon. Pour viter les discontinuitsdans des cartes il est donc recommand de ne pas kriger un point chantillon. En somme, on s'assure d'avoir

i di t " il " t l i t k i t l i t h till C t l' ff t d

5- krigeage 9

EFFET D'CRAN


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- Cas extrme : modle linaire en 1-D

- Diminue lorsque l'effet de ppite augmente(il n'y a pas d'effet d'cran lorsqu'on a un effet de ppite pur)

- Permet de limiter les systmes de krigeage aux observations avoisinantes (voisinages glissants)

-50 0 50

-50

0

50

l=0.25 l=0.25

l=0.25 l=0.25

Variogramme sphrique; C=100, a=100, C0=0

Var.k.= 29.0

-50 0 50

-50

0

50

l= -0.02 l= -0.01 l= -0.01 l= -0.02

l= -0.01 l= 0.29 l= 0.29 l= -0.01

l= -0.01 l= 0.29 l= 0.29 l= -0.01

l= -0.02 l= -0.01 l= -0.01 l= -0.02

Var.k.= 28.0

5- krigeage 10

INFLUENCE DE LA TAILLE DU CHAMP


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Lorsque la taille du champ estim augmente,

- Les poids tendent devenir gaux

- La variance d'estimation diminue puis augmente si on cherche estimer un champ plus grand quecelui renfermant les donnes (extrapolation)

-50 0 50

-50

0

50

-0.02 0 0 -0.02

0 0.27 0.27 0

0 0.27 0.27 0

-0.02 0 0 -0.02

Var. k. = 8.24

-50 0 50

-50

0

50

02 05 05 02

05 12 12 05

05 12 12 05

02 05 05 02

Var. k. = 1.56

-50 0 50

-50

0

50

06 06 06 06

06 06 06 06

06 06 06 06

06 06 06 06

Var. k. = 1.06

-100 -50 0 50 100

-100

-50

0

50

100

12 06 06 12

06 01 01 06

06 01 01 06

12 06 06 12

Var. k. = 5.03


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5- krigeage 12

INFLUENCE DE L'EFFET DE PEPITE ET DE LA PORTE


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INFLUENCE DE L EFFET DE PEPITE ET DE LA PORTE

Plus l'effet de ppite est important (relativement un plateau fixe), plus la variance d'estimation augmente.Inversement, plus la porte augmente, plus la variance destimation diminue.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

2

3

4

5

6

7variance de krigeage vs proportion relative de ppite

proportion relative de ppite

var. k.

modle sphrique, a=100, c0+c=100; bloc de 133 x 133; grille centre de 4x4

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5variance de krigeage vs porte

porte (m)

var. k.modle sphrique, c0=0; c=100; bloc de 133 x 133; grille centre de 4x4

5- krigeage 13

INFLUENCE D'ANISOTROPIES


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INFLUENCE D ANISOTROPIES

On doit adapter l'chantillonnage en augmentant la densit d'chantillonnage dans la direction de plus faibleporte.

Dans cet exemple, le modle est sphrique avec Co=0; C=100 et ax==200 et ay=50. Les 3 exemples ci-contrecorrespondent une mme densit d'chantillonnage (1 chantillon par surface de 33*33 units). Pour lemme cot d'chantillonnage on peut donc obtenir des estimations beaucoup plus prcises si l'on ajuste lastratgie dchantillonnage lanisotropie.

-50 0 50

-50

0

50

-0.01 -0.02 -0.02 -0.01

0.1 0.19 0.19 0.1

0.1 0.19 0.19 0.1

-0.01 -0.02 -0.02 -0.01

var. k. = 26.5

-50 0 50

-50

0

50

0.17

0.17

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.17

0.17

var. k. = 87.1

-50 0 50

-50

0

50

-0.02 -0.02

0.01 0.01

0.26 0.26

0.26 0.26

0.01 0.01

-0.02 -0.02

var. k. = 12.1


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5- krigeage 16

BIAIS CONDITIONNEL


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Considrons la teneur relle du bloc Zvet son estimation Zv*

. Supposons que l'esprance conditionnelle de Zvtant donn Zv*est linaire (ce sera assur si les deux suivent une loi binormale). On aura alors:

*v

*vv bZaZ|ZE +=

o)Z(Var

)Z,Z(Covb

*v

*vv= et a=(1-b)m

Krigeage simple,

Par construction, on a : Var 0a1,b === )Z,Z(Cov)Z( *vv*v

Consquemment,*v

*vv ZZ|ZE =

ce qui dmontre que dans ce cas on retire en moyenne ce que l'on a prvu (absence de biais conditionnel).

Krigeage ordinairePar construction on a alors:

)))Z,Z(Cov)Z(Var *vv

*v *

v*v Var(Z

a,Var(Z

1b

=

+==+

Consquemment,

[ ] )mZ()Z(Var

ZZ|ZE *v*v

*v

*vv

+=

ce qui indique que le krigeage prsente un biais conditionnel. Ce biais sera trs faible lorsque l'estimation seraprcise (faible variance de krigeage et multiplicateur de Lagrange prs de zro, forte Var(Zv

*)).

Gnralement, le multiplicateur de Lagrange est lgrement ngatif, ce qui implique que la pente de largression est infrieure 1. Donc en utilisant les valeurs kriges directement, on surestime lgrement auxfortes teneurs et on sous-estime aux faibles teneurs.

Note : pour lestimateur par mthode polygonale, lon a :

1)Z,Z(Cov)Z(Var

)Z,Z(Covb 2 iv*v

*

vv 10; peut atteindre jusqu' 50-100).

iii. Zone de recherche des points assez grande pour assurer un minimum de points dans le krigeage.S'il y a anisotropie, on peut adopter une zone de recherche elliptique parallle la direction de meilleurecontinuit. Toutefois une zone de recherche circulaire peut tre suffisante si l'on augmente suffisammentle nombre de points dans le krigeage.

iv. Recherche par quadrants assure une rpartition plus uniforme des points (exiger au moins 2 ou 3 pointspar quadrant)

Exemple: Recherche circulaire avec un maximum de deux points par quadrant.

3 et 11 sont rejets car en dehors du cercle de recherche.8 est rejet car deux autres points sont plus rapprochs du point estimer dans ce quadrant.

7

5- krigeage 18

5.7 Validation croise


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Une pratique intressante pour valider le modle de variogramme et le voisinage utilis pour le krigeageconsiste effectuer une validation croise. Le principe est d'liminer tour de rle chaque observation et del'estimer l'aide de ses voisins. En chaque point, on obtient donc une valeur vraie et une valeur estime quel'on peut comparer pour dterminer si le modle fournit des estimations se comportant comme prvu , si levoisinage utilis est adquat, etc.

Plus prcisment, soit Zi* l'estimation obtenue par krigeage au point "i" (en enlevant la valeur observe Zi)

ainsi que la variance de krigeage . On peut dfinir un rsidu e2ki i=Zi-Zi*et un rsidu normalis

ki

ii

en

= .

Un modle et un voisinage adquats devraient fournir:

i. 0et0 i i

ii ne

ii. i i

ii minemin|e|2ou

iii. 1

0.5

i

2inn

1

iv. Il faut aussi examiner l'histogramme des ei et des ni, de mme que leur disposition spatiale pourvrifier si les statistiques prcdentes pourraient tre causes par 1 ou 2 donnes extrmes et vrifiersi les rsidus sont spatialement homognes.

Remarques:

Dans le krigeage pour la validation croise, il faut chercher reproduire autant que possible un contexted'estimation semblable celui qui sera utilis au moment du krigeage proprement dit. Ainsi, si lesdonnes proviennent de forages, on n'utilisera pas tous les voisins du point estimer car lorsqu'onestimera un bloc, les observations montreront des distances suprieures, par rapport au bloc, cellesrencontres le long d'un forage. On devrait donc, pour estimer un point d'un forage, viter d'utiliser desobservations du mme forage. galement, on devrait viter d'inclure les points de la priphrie qui setrouvent alors estims en situation d'extrapolation. On peut les reprer assez facilement l'aide desvariances de krigeage qui seront suprieures pour ces points.

Les statistiques prcdentes sont assez peu sensibles des changements mineurs de voisinage ou demodle de variogramme. Il faut les utiliser en conjonction avec le variogramme exprimental.

Pour choisir entre 2 modles, les statistiques des erreurs brutes sont prfrables. On peut ensuite ajusterce modle, par exemple en multipliant le variogramme par une constante (C0 et C). Dans ce cas lesestimations ne changent pas mais les variances de krigeage sont multiplies par cette constante. Si la


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5- krigeage 21

On note que la variance de krigeage sous-estime la variance des erreurs (vue optimiste); la variance deserreurs normalises est donc suprieure 1.


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Figure 4 : On a fourni un modle trop optimiste par rapport la ralit (sphrique avec a=10 fourni vsralit : effet de ppite pur)

2 3 4 5 6 7 80

geostatistiques minieres

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