giẢi bài tẬp ĐẠi sỐ Đai cƯƠng ---- chƯƠng 1,2,3 · pdf filegiẢi...

GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Chương 1

1 Xét tập hợp các số nguyên và tập * các số tự nhiên khác 0. Gọi S là quan hệ trong

* xác định bởi (a, b) S (c, d) khi và chỉ khi ad = bc. Chứng minh:

a) S là một quan hệ tƣơng đƣơng.

b) Tìm các lớp tƣơng đƣơng của các phần tử: (0; 1), (-1; 1); (1; 2)

Đáp án 2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu)

+ *( ; )a b ta có: ab = ba ( ; ) ( ; )a b S a b (tính phản xạ)

+ *( ; ),( ; )a b c d thỏa mãn:

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )a b S c d ad bc cb da c d S a b (tính đối xứng)

+ *( ; ),( ; );( ; )a b c d e f thỏa mãn: ( ; ) ( ; );( ; ) ( ; )a b S c d c d S e f

af ( ; ) ( ; )ad bc a c e

be a b S e fcf de b d f

(tính bắc cầu)

S là một quan hệ tƣơng đƣơng.

1

b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện)

* *

*

(0;1) ( ; ) : ( ; ) (0;1) ( ; ) : 0

(0; ) :

C a b a b S a b a

b b

* *

*

( 1;1) ( ; ) : ( ; ) ( 1;1) ( ; ) :

( ; ) :

C a b a b S a b a b

b b b

* *

*

(1;2) ( ; ) : ( ; ) (1;2) ( ; ) : .2

( ;2 ) :

C a b a b S a b a b

a a a

1

2 Giả sử C là một quan hệ hai ngôi xác định trong tập hợp các số nguyên Z bởi các cặp

(x, y) với x, y nguyên và x + y chẵn. Chứng minh:

a) S là một quan hệ tƣơng đƣơng.

b) Tìm các lớp tƣơng đƣơng của các phần tử: -1; 1; 2

Đáp án 2




+ x , luôn có: 2x x x chẵn xCx (tính phản xạ)

+ ,x y mà xCy x y chẵn y x chẵn yCx (tính đối xứng)

+ , ,x y z mà , ,xCy yCz x y y z chẵn 2x y z chẵn

Mà 2y chẵn x z chẵn xCz (tính bắc cầu)

C là một quan hệ tƣơng đƣơng.

1

b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện)

( 1) : 1 2C x x { x lẻ}

(1) : 1 2C x x { x lẻ}

(2) : 2 2C x x { x chẵn}

1

3 Cho X là không gian ba chiều thông thƣờng và O là một điểm cố định của X. Trong

X-{O} ta xác định quan hệ S nhƣ sau: PSP’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng (cùng

thuộc một đƣờng thẳng). Chứng minh:

a) S là quan hệ tƣơng đƣơng trong X-{O}.

b) Xác định các lớp tƣơng đƣơng.

Đáp án 2


+ {O}P X ta luôn có O, P, P thẳng hàng PSP (tính phản xạ)

+ , ' {O}P P X mà PSP’ O, P, P’ thẳng hàng O, P’, P thẳng hàng

nên P’SP (tính đối xứng).

+ , ', '' {O}P P P X mà PSP’ và P’SP’’ O, P, P’ thẳng hàng và O, P’,

P’’ thẳng hàng O, P, P’’ thẳng hàng PSP’’ (tính bắc cầu)

Vậy S là một quan hệ tƣơng đƣơng.

1

b)

{O}P X , ta có:

( ) ' {O}: ' { ' {O}C P P X P SP P X sao cho O, P, P’ thẳng hàng}

= đƣờng thẳng OP - {O}

Vậy các lớp tƣơng đƣơng là các đƣờng thẳng qua O (loại điểm O)

1



4

Giả sử ƒ là đơn ánh từ một tập hợp X đến tập hợp các số tự nhiên N và S là một quan

hệ trong X xác định nhƣ sau : xSx’ khi và chỉ khi ƒ(x) ƒ(x’).

a) Chứng minh S là một quan hệ thứ tụ toàn phần.

b) S có phải là một quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao?

Đáp án 2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu)

+ , : ( ) ( )x X talu nc f x f x xSx ô ó (tính phản xạ)

+ , ,x y X mà ( ) ( )

, ( ) ( )( ) ( )

f x f yxSy y Sx f x f y

f y f x

Do f là đơn ánh nên x = y (tính phản đối xứng)

+ , , ,x y z X mà ( ) ( )

, ( ) ( )( ) ( )

f x f yxSy y Sz f x f z xSz

f y f z

(tính bắc cầu)

Vậy S là một quan hệ thứ tự.

+ ( ) ( )

, ( ), ( )( ) ( )

f x f y xSyx y X f x f y

f y f x ySx

Vậy S là một quan hệ thứ tự toàn phần.

1

b) Nêu định nghĩa quan hệ thứ tự tốt ( Nếu nó là một quan hệ thứ tự và tồn tại

phần tử tối đại hoặc tối tiểu)

( )A X f A .

Do là quan hệ thứ tự tốt nên tồn tại 0 min ( )n f A

0 0 0 0 0: ( ) ( ) ( )x A f x n f x f x x A x Sx x A

x0 là phần tử tối tiểu trong A

Vậy S là một quan hệ thứ tự tốt.

1



5 Cho ánh xạ : E F. xét quan hệ R trên tập E xác định nhƣ sau:

xSx’ (x) = (x

’)

a) Chứng minh S là một quan hệ tƣơng đƣơng.

b) Xét trƣờng hợp E = F = ( là tập hợp các số nguyên), (x) = x2 x . Xác

định các lớp tƣơng đƣơng của S trên .

Đáp án 2


+ : ( ) ( )x E x x xSx (tính phản xạ)

+ ,x y E mà ( ) ( ) ( ) ( )xSy x y y x ySx (tính đối xứng)

+ , ,x y z E mà ( ) ( )

, ( ) ( )( ) ( )

x yxSy ySz x z xSz

y z

(tính bắc cầu)

Vậy S là một quan hệ tƣơng đƣơng trên E.

1

b)

Với 2: , x x

2 2( ) : : ( ) ( ) :

: ,

C x y ySx y x y y x y

y x y x x

Vậy các lớp tƣơng đƣơng là : 1, 1}, 2, 2}.... {0},{ {

1

6 Với N là tập hợp các số tự nhiên. Trên N N, định nghĩa quan hệ nhƣ sau:

(a,b) S (c, d) a + d = b+c.

a) Chứng minh S là một quan hệ tƣơng đƣơng.

b) Xác định các lớp tƣơng đƣơng của (0, 3), (5,8), (8,3).

Đáp án 2


+ ( ; )a b ta có: a + b = b+ a ( ; ) ( ; )a b S a b (tính phản xạ)

+ ( ; ),( ; )a b c d thỏa mãn:

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )a b S c d a d b c c b d a c d S a b (tính đối xứng)

+ ( ; ),( ; );( ; )a b c d e f thỏa mãn: ( ; ) ( ; );( ; ) ( ; )a b S c d c d S e f

a+f ( ; ) ( ; )a d b c

b e a b S e fc f d e

(tính bắc cầu)

1



S là một quan hệ tƣơng đƣơng.

b)

(0;3) ( ; ) : ( ; ) (0;3) ( ; ) : 3

( ; 3) :

C a b a b S a b a b

a a a

(5;8) ( ; ) : ( ; ) (5;8) ( ; ) : 8 5

( ; 3) :

C a b a b S a b a b

a a a

(8;3) ( ; ) : ( ; ) (8;3) ( ; ) : 3 8

( ; ) : 5 ( 5; ) :

C a b a b S a b a b

a b a b b b b

1

7 Giả sử ƒ : X → Y là một ánh xạ, A và B là hai bộ phận của X, C và D là hai bộ phận

của Y. Chứng minh:

a) ƒ(A∪ B ) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)

b) ƒ - 1

(C ∪ D ) = ƒ - 1

(C) ∪ ƒ - 1

(D)

Đáp án 2

a)

( ) : ( )y f A B x A B y f x

: ( ) ( )( ) ( )

: ( ) ( )

x A y f x y f Ay f A f B

x B y f x y f B

( ) ( ) ( )f A B f A f B

Chứng minh tƣơng tự ta có: ( ) ( ) ( )f A f B f A B

Vậy ( ) ( ) ( )f A f B f A B

1

b)

1( ) ( )x f C D f x C D

11 1

1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

f x C x f Cx f C f D

f x D x f D

1 1 1( ) ( ) ( )f C D f C f D

Chứng minh tƣơng tự ta có: 1 1 1( ) ( ) ( )f C f D f C D

Vậy 1 1 1( ) ( ) ( )f C f D f C D

1



8 Giả sử ƒ : X → Y là một ánh xạ, A và B là hai bộ phận của X, C và D là hai bộ phận

của Y. Chứng minh:

a) ƒ(A∩ B ) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B)

b) ƒ - 1

(C ∩D ) = ƒ - 1

(C) ∩ ƒ - 1

(D)

Đáp án 2

a)

( ) : ( )y f A B x A B y f x

: ( ) ( )( ) ( )

: ( ) ( )

x A y f x y f Ay f A f B

x B y f x y f B

( ) ( ) ( )f A B f A f B

1

b)

1( ) ( )x f C D f x C D

11 1

1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

f x C x f Cx f C f D

f x D x f D

1 1 1( ) ( ) ( )f C D f C f D

Chứng minh tƣơng tự ta có: 1 1 1( ) ( ) ( )f C f D f C D

Vậy 1 1 1( ) ( ) ( )f C f D f C D

1

9 Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y và g, g’ : U → X. Chứng minh:

a) Nếu ƒ là đơn ánh và ƒg = fg’ thì g = g’.

b) Nếu với mọi g, g’, với mọi U mà ƒg = g’ kéo theo g = g’ thì ƒ là một đơn ánh.

Đáp án 2

a) x U , ta có: ( ) '( ) ( ( )) ( '( ))fg x fg x f g x f g x

Do f là đơn ánh nên ( ) '( ) 'g x g x x U g g 1

b) Giả sử f không là đơn ánh 1 2 1 2: ( ) ( )x x X f x f x

Xét U = {1; 2} và 2 ánh xạ:

1 1

2 1

: ' :

1 1

2 2

g U X g U X

x x

x x

1



Ta có: 1 1

2 1 2

(1) ( ) '(1) ( )

(2) ( ) '(2) ( ) ( )

fg f x fg f x

fg f x fg f x f x

'fg fg theo giả thiết thì g = g’. Nhƣng theo trên ta có 'g g (Mâu thuẫn)

Vậy f là một đơn ánh.

10 Cho A, B là hai bộ phận của tập hợp X. Chứng minh công thức Đờ moóc - găng:

a) X - (A ∪ B) = (X - A) ∩ (X - B),

b) X - (A ∩ B) = (X - A) ∪ (X - B).

Đáp án 2

a)

( )x X A B

( ) ( )

x Xx X x X A

x A x X A X Bx A B x X B

x B

( ) ( ) ( )X A B X A X B

( ) ( )

( )

x X A X B

x Xx X A x X

x A x X A Bx X B x A B

x B

( ) ( ) ( )X A X B X A B

Vậy ( ) ( ) ( )X A B X A X B

1

b)

( )x X A B

( ) ( )

x Xx X

x Ax X x X Ax X A X Bx A

x A B x X Bx Xx B

x B

( ) ( ) ( )X A B X A X B

1



( ) ( )

( )

x X A X B

x Xx X

x Ax X A x Xx X A Bx A

x X B x A Bx Xx B

x B

( ) ( ) ( )X A X B X A B

Vậy ( ) ( ) ( )X A B X A X B

11 Giả sử S là một quan hệ tƣơng đƣơng trong X và a ∈ X.

C(x) là lớp tƣơng đƣơng của x đối với quan hệ trong tƣơng đƣơng S.

Chứng minh:

a) C(x)

b) Nếu xSy thì C(x) = C(y)

c) Với hai phần tử bất kỳ x và y, ta đều có hoặc C(x)∩C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y)

Đáp án 2

a) Vì S là một quan hệ tƣơng đƣơng nên xSx ( ) ( )x C x C x 0.5

b)

+ ( )

( )à

z C x zSxzSy z C y

m xSy

( ) ( )C x C y

+ Chứng minh tƣơng tự, ta cũng có: ( ) ( )C y C x

Vậy ( ) ( )C x C y

1

c) ,x y X , ta có các trƣờng hợp sau:

hoặc x có quan hệ S với y, nghĩa là xSy ( ) ( )C x C y

hoặc x không có quan hệ S với y ( ) ( )C x C y

Thật vậy, giả sử ( ) ( ) ( ) ( )C x C y z C x C y

( )

( )

z C x zSx xSzxSy

z C y zSy

Mâu thuẫn với x không có quan hệ S

với y.

0.5

12

Trên , định nghĩa quan hệ “ ” nhƣ sau:

'( ; ) ( '; ')

'

x xx y x y

y y

a) Chứng minh “ ” là một quan hệ thứ tự trên .

b) Quan hệ này có là một quan hệ thứ tự toàn phần không? Tại sao?



Đáp án 2

a)

+ ( , )x y , ta luôn có:

( ; ) ( ; )x x

x y x yy y

(tính phản xạ)

+ ( , ),( ', ')x y x y mà ( ; ) ( '; ')x y x y và ( '; ') ( ; )x y x y thì:

'

' '( , ) ( ', ')

' '

'

x x

x x x xx y x y

y y y y

y y

(tính phản đối xứng)

+ ( , ),( ', '),( '', '')x y x y x y mà ( ; ) ( '; ')x y x y và ( '; ') ( ''; '')x y x y

' '' ''( , ) ( '', '')

' '' ''

x x x x xx y x y

y y y y y

(tính bắc cầu)

Vậy là một quan hệ thứ tự.

1.5

b) Quan hệ không phải là một quan hệ thứ tự toàn phần vì (1;2),(2;1) không

so sánh đƣợc với nhau. 0.5

13 Trên , định nghĩa quan hệ đồng dƣ mod 5: Hai số nguyên m, n gọi là đồng dƣ mod 5

( kí hiệu (mod5)m n ) nếu m - n chia hết cho 5.

Kí hiệu: (mod5) 5m n m n

a) Chứng minh quan hệ là một quan hệ tƣơng đƣơng trên .

b) Tìm các lớp tƣơng đƣơng.

Đáp án 2

a)

+ : 0 5 (mod5)m m m m m (tính phản xạ)

+ , : (mod5) 5 5 (mod5)m n m n m n n m n m

(tính đối xứng)

+ , , : (mod5) à n p(mod5)m n p m n v

55 (mod5)

5

m nm p m p

n p

(tính bắc cầu)

Vậy quan hệ là một quan hệ tƣơng đƣơng trên .

1.5

b) 5 , 0,4m m k i i

5 5 (mod5), 0,4m i k m i m i i 0.5



Vậy các lớp tƣơng đƣơng là ( ) 5 , , 0,4C i k i k i

14 Giả sử ƒ : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ và h = g.ƒ là ánh xạ tích của ƒ và g.

Chứng minh:

a) Nếu h là đơn ánh thì ƒ là đơn ánh.

b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh.

b) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.

Đáp án 2

a) 1 2 1 2 1 2 1 2, : ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )x x X f x f x g f x g f x h x h x

Do h là đơn ánh nên 1 2x x .

Vậy f là đơn ánh.

0.5

b) 1 2 1 2, : ( ) ( )y y Y g y g y . Do f là toàn ánh nên:

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, : ( ), ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )x x X y f x y f x g f x g f x h x h x

Do h là đơn ánh nên 1 2 1 2x x y y .

Vậy g là đơn ánh.

0.5

c) z Z , do :h g f X Z là một toàn ánh

: ( ) ( )( ) ( ( ))x X z h x g f x g f x

Đặt ( ) : ( )y f x Y g y z

Vậy g là toàn ánh.

1

15 Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y và h, h’ : Y → Z. Chứng minh rằng:

a) Nếu ƒ là một toàn ánh và hƒ = h’ƒ thì h = h’.

b) Ngƣợc lại nếu với mọi h, h’, với mọi Z mà hƒ = h’ƒ kéo theo h = h’ thì ƒ là một

toàn ánh.

Đáp án 2

a) y Y , do f là toàn ánh nên : ( )x X y f x

Đồng thời từ ' ( ) ' ( ) ( ) '( )hf h f hf x h f x h y h y y Y

Vậy h = h’.

1

b) Giả sử f không là toàn ánh 1

0 0: ( )y Y f y

Xét Z = {1; 2} và 2 ánh xạ: 1



0

0

: ' :

11 '( )

2

h Y Z h Y Z

y yy h y

y y

Rõ ràng 'h h và 'hf h f . Theo giả thiết thì h = h’ (Mâu thuẫn)

Vậy f là một toàn ánh.



Chương 2

1 Cho tập số thực R. xét xem phép toán sau đây trên R lập đƣợc cấu trúc đại số gì?

x * y = (x2 + y

2)

1/2 (x, y R)

Đáp án: 2

2 2 1/2 2 2 2 1/2, , : ( * )* ( ) * ( )x y z x y z x y z x y z

2 2 1/2 2 2 2 1/2*( * ) * ( ) ( )x y z x y z x y z

Suy ra: ( * )* *( * ) , ,x y z x y z x y z (thỏa mãn tính chất kết hợp)

1

2 2 1/2 2 2 1/2, : * ( ) ( ) *x y x y x y y x y x (thỏa mãn tính chất giao

hoán)

Có đơn vị 0

Vậy: ( ; *) là một vị nhóm giao hoán.

1

2 Trong nhóm các phép thế S4, chứng minh rằng các phép thế sau :

A = {e, a = (12)(34), b = (13)(24) và c = (14)(23)}

lập thành lập một nhóm con của S4. Nhóm con đó có là nhóm Abel không? Tại sao?

Đáp án 2

Bảng các phép toán của các phần tử e, a, b, c:

. e a b C

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

1.5

Từ bảng phép toán, ta thấy: A thỏa mãn tính ổn định, giao hoán, có phần tử

nghịch đảo tuộc A. Suy ra A có tính chất giao hoán. Do đó A là một nhóm con

giao hoán của S4.

0.5

3

Cho tập số thực R. xét xem phép toán sau đây trên R lập đƣợc cấu trúc đại số gì?

a*b = (a3 + b

3)

1/3 (a,b R)

Đáp án 2



3 3 1/3 3 3 3 1/3, , : ( * )* ( ) * ( )x y z x y z x y z x y z

3 3 1/3 3 3 3 1/3*( * ) * ( ) ( )x y z x y z x y z

Suy ra: ( * )* *( * ) , ,x y z x y z x y z (thỏa mãn tính chất kết hợp)

3 3 1/3 3 3 1/3: *0 ( 0 ) ;0* (0 )x x x x x x x

Suy ra 0 là phần tử đơn vị của *

1

3 3 1/3 3 3 1/3: *( ) ( ( ) ) 0;( )* (( ) ) 0x x x x x x x x x

-x là phần tử nghịch đảo của x.

3 3 1/3 3 3 1/3, : * ( ) ( ) *x y x y x y y x y x (thỏa mãn tính chất giao

hoán)

Vậy: ( ; *) là một nhóm Abel.

1

4 Cho tập số thực R. Xét xem phép toán sau đây trên R lập đƣợc cấu trúc đại số gì?

x y = x + y + axy (x, y R)

trong đó a là một số thực cho trƣớc.

Đáp án 2

2

, , : ( ) ( ax ) ( )x y z x y z x y y z x y a xy z a x y a xy z

x y z a xy a xz a yz a xyz

Tƣơng tự: 2, , : ( )x y z x y z x y z a xy a xz a yz a xyz

Suy ra: ( ) ( ) , ,x y z x y z x y z (thỏa mãn tính chất kết hợp)

1

: 0 0 .0 ;0 0 0.x x x a x x x x a x x

Suy ra 0 là phàn tử đơn vị của

, : ax yx= y xx y x y x y y y x a (thỏa mãn tính chất giao hoán)

Vậy: ( ; ) là một vị nhóm giao hoán.

Đặc biệt nếu a=0 thì : x y = x + y là phép cộng thông thƣờng, trong

trƣờng hợp này ta có một nhóm Abel.

1

5 Tìm điều kiện đối với các số thực a, b đê R vơi phep toan sau lâp thanh môt nhom :

x*y = ax+by

Đáp án 2



2, , : ( * )* (ax )*x y z x y z by z a x aby bz

2*( * ) *(ay )x y z x bz ax bay b z

( ; *) là một nhóm nên * có tính chất kết hợp. Do dó:

( * )* *( * ) , ,x y z x y z x y z

2

2

0; 0

0 1 0; 1

0 1 1; 0

1; 1

a b

a a a h a a b

b h b a bb b

a b

1

+ 0; 0a b không thỏa mãn (do bị hút về phần tử 0)

+ 0; 1

1; 0

a b

a b

không thỏa mãn (do nó bị hút về x hoặc y)

+ 1; 1 * ( ,*)a b x y x y có phần tử đơn vị là 0, nghịch đảo của x là

-x. Thỏa mãn. Vậy a = b = 1.

1

6 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Chứng minh rằng các điều kiên

sau là tƣơng đƣơng:

a) A là một nhóm con của X.

b) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và x -1

∈ A.

c) Với mọi x, y ∈ A, xy -1

∈ A

Đáp án 2

Ta chứng minh theo sơ đồ: a b c a

+ " "a b : Giả thiết A là một nhóm con của X.

,x y X theo định nghĩa nhóm con 1,xy A x A

+ " "b c : Giả thiết 1, : ,x y A xy A x A

Khi đó:

11

1

:

,

y A y Axy A

x y A

1

+ " "c a : Giả thiết 1, :x y A xy A

Vì 1A a A e aa A

1 1,x A e A x ex A

1



11 1:

( )y A y A

x y A hay xy Ax A

Vậy A là một nhóm con của X.

7

Chứng minh rằng các điều kiện sau là tƣơng đƣơng đối với nhóm (G, , e):

a) G là nhóm Aben

b) a, b G: (ab)2 = a

2b

2

c) a, b G: (ab)-1

= a-1b

-1

Đáp án 2

Ta chứng minh theo sơ đồ: a b c a

+ " "a b : Giả thiết G là một nhóm Abel.

2, : ( ) ( ).( ) ( )a b G ab ab ab a ba b

G giao hoán nên ab ba 2 2 2( ) ( ) ( )ab a ba b a ab b a b

+ " "b c : Giả thiết 2 2 2, : ( )a b G ab a b

1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1, : ( ) ( ) ( )a b G a b a b a a b b

Mặt khác:

1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

( )

( ) ,

a b a b a b a b a b a a b b b a a b

hay ab a b a b G

1

+ " "c a :

Ta luôn có :

(ab)-1

=b-1

a-1

( theo định lý 1)

Giả thiết 1 1 1, :( )a b G ab a b

Vậy G là một nhóm Abel.

1

8 Hãy tìm các nhóm thƣơng của:

a) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 3 trên nhóm con các số nguyên là bội của 15.

b) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 4 trên nhóm con các số nguyên là bội của 24.

Đáp án 2

a) (3 , ) là nhóm cộng các số nguyên bội của 3

(15 , ) là nhóm con các số nguyên bội của 15. (3 , ) là một nhóm giao hoán 1



nên (15 , ) là nhóm con chuẩn tắc của (3 , ) .

3 15 : 315

x x

33 3 , ;

15 15 5

x k kx x k k dƣ 0, 1, 2,3, 4

15 3 , 0,4 3

3 15 ,3 15 ,6 15 ,9 15 ,12 1515

x n i i x i

b) (4 , ) là nhóm cộng các số nguyên bội của 4

(24 , ) là nhóm con các số nguyên bội của 24. (4 , ) là một nhóm giao hoán

nên (24 , ) là nhóm con chuẩn tắc của (4 , ) .

4 24 : 424

x x

44 4 , ;

24 24 6

x k kx x k k dƣ 0, 1, 2,3, 4,5

24 4 , 0,5 4

4 24 ,4 24 ,8 24 ,12 24 ,16 24 ,20 2424

x n i i x i

1

9 Em hay mô ta câu truc nhom S 3 và tìm các nhóm con thực sự của S3.

Đáp án 2

Nhóm các phép thế S3 gòm 6 phần tử:

123 123 123 123 123 123; ; ; ; ;

123 132 213 231 312 321e a b c d f

1 1 1 1 1; ; ; ;a a b b c d d c f f

1

Các nhóm con thực sự của S3:

+ Nhóm con gồm 2 phần tử: {e; a}, {e; b}, {e; f}

+ Nhóm con gồm 3 phần tử: {e; c; d}

+ Không có nhóm con thực sự gồm: 4, 5 phần tử theo định lý Lagrange

1

10 Cho (X, ., e) là một nhóm, A là một nhóm con chuẩn tắc của X. Chứng minh rằng:

a) Quy tắc cho tƣơng ứng với cặp (xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X/A X/A

đến X/A.

b) X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA) = (xy)A là 1 nhóm



Đáp án 2

a)

11 1

1 1 11 1

( ; ) ( ; )xA x A x x A

xA yA x A y AyA y A y y A

Do A là nhóm con chuẩn tắc nên

1 11 1 1

1 111

( )y x x y Ay x x y A

y y A

Hay 11 1 1 1( ) ( )xy x y A xyA x y A

Vậy quy tắc cho tƣơng ứng với cặp (xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X/A

X/A đến X/A.

1

b) +) ; ; XxA yA zAA

, ta có:

( . ). . ( ) ( ) . .( . )xA yA zA xyA zA xy zA x yz A xA yzA xA yA zA (có t/c kết hợp)

+) : . ; . exXxA xAeA xeA xA eA xA A xAA

Suy ra eA là phần tử đơn vị.

+) 1 1 1 1: . ; . xXxA xA x A xx A eA x A xA x A eAA

Suy ra 1x A là phần tử nghịch đảo của xA .

Vậy X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA) = (xy)A là 1 nhóm.

1

11 Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y, A là một nhóm

con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Chứng minh:

a) f(A) là một nhóm con của Y.

b) f -1

(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X .

Đáp án 2

a) Ta có

+ ey = f(ex) f(A) nên f(A)

+ y, y1 f(A). Vì y, y1 f(A), nên có x, x1 A sao cho y = f(x) và y1 = f(x1).

Ta có y.y1-1

= f(x)f(x1)-1

= f(x).f(x1-1

) = f(xx1-1

).Vì A là nhóm con nên xx1-1

A,

1



do đó y.y1-1

= f(xx1-1

) f(A).

Suy ra f(A) là một nhóm con của Y.

b) Ta có

+ f(ex) = ey B nên ex f1-1

(B), f-1

(B) .

+ f(xx1-1

) = f(x).f(x1-1

) = f(x)f(x1)-1

. Nhƣng f(x), f(x1) B và f(x)f(x1)-1 B

nên f(xx1-1

) B tức là xx-1 f

-1(B), do đó f

-1(B) là nhóm con của X.

+ Với mọi a f-1

(B) và x X.

f(x-1

.ax) = f(x-1

).f(a).f(x) B vì f(a) B và B là chuẩn tắc. Do đó x-1

ax f-1

(B)

với mọi a f-1

(B) và mọi x X .

Vậy f-1

(B) chuẩn tắc .

1

12 Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y. Chứng minh:

a) f(ex) = ey

b) f(x-1

) = [f(x)]-1

với mọi x X

Đáp án 2

a)

, ( ) ( ) ( ) ( )X Xx X f x f xe f x f e

mà ( ) ( ) Yf x f x e

( ) ( ) ( )Y Xf x e f x f e

Y là một nhóm nên có luật giản ƣớc

( )Y Xe f e

1

b) 1 1, ( ). ( ) ( ) ( )X Yx X f x f x f xx f e e

suy ra 1 1( ) ( )f x f x x X

1

13 Giả sử X là một nhóm, ta gọi là tâm của X bộ phận:

C(X) = { a X | ax = xa với mọi x X }.

Chứng minh rằng C(X) là một nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X)

là một nhóm con chuẩn tắc của X.

Đáp án

Hiển nhiên là C(X) là nhóm con giao hoán của X.



Ta cần chứng minh: mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X.

Theo định nghĩa nhóm con chuẩn tắc:

)(, XCaXx : xét

)(.... 11 XCaaxxxax

Vậy C(X) là nhóm con chuẩn tắc của X

14 Cho X là một nhóm và A là một bộ phận khác rỗng của X. Chứng minh A là nhóm con

của X khi và chỉ khi AA-1

= A.

với AB = { ab | a A, b B }, A-1

= {a-1

| a A }

Đáp án

+ Nếu A là một nhóm con của nhóm X.

1 1AA , ,x x ab a b A

mà A là nhóm con của X nên 1ab A hay 1AAx A A

Mặt khác 1 1: . AA AAx A x x e A

Suy ra: 1AAA

+ Nếu 1AAA

1 1 1 1, A AAa b A b ab A ab A

Vậy A là nhóm con của X.

15 Cho A, B là hai bộ phận của một nhóm X. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (A-1

)-1

= A

b) (AB)-1

= B-1

A-1

c) Nếu A là một nhóm con của X thì A-1

= A

Đáp án

a)

+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A ( ) (A ) ( ) ( )a A a a a hay a A A A

+

1 1 1 11 1

1 1

1 1

( ) A :( )

A A: b =

( )

a A a A b a ba c c A

b c c

A A



Vậy 1 1( )A A

b)

1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) , : ( ) A ( ) Ay AB a A b B y ab b a B AB B

1 1 1 1 1 1 1 1 1, : ( ) ( ) A ( )y B A a A b B y b a ab AB B AB

1 1 1A ( )B AB

c) Nếu A là một nhóm con của X. Khi đó :

1 1 1 1 1A ( ) Aa A a a a A A

1 1:a A b A a b

Mà 1 1b A b A a A A A . Vậy 1A A

16 Cho X là một nhóm. Ánh xạ : 1: ,X X a a là một tự đẳng cấu của nhóm X

khi và chỉ khi X là một nhóm Abel.

Đáp án

Nếu X là một nhóm Abel.

Xét ánh xạ 1: ,X X a a , ta có:

+ 1 1 1, : ( ) ( )a b X ab ab b a . Do X là Abel nên 1 1 1 1b a a b

1 1( ) ( ) ( )ab a b a b . Vậy là một đồng cấu.

+ 1 1, : ( ) ( )a b X a b a b a b suy ra là một đơn cấu

+ 1 1 1 1, : ( ) ( )b X a b a a b b suy ra là một toàn cấu.

Vậy là một tự đẳng cấu.

Nếu 1: ,X X a a là một tự đẳng cấu, nên:

1 1 1 1 1 1, : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b X ab a b ab a b ab a b ba .

Do đó X là nhóm Abel.

17 Giả sử X, Y là những nhóm. f: X Y là một đồng cấu nhóm. Chứng minh rằng:

a) Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X.

b) Đồng cấu nhóm f: X Y là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = ex.

Đáp án

a) + ( ) er erX Y Xf e e e K f K f



+ 1 1 1, er . ( ) ( )[ ( )] erYa b K f f ab f a f b e ab K f . Vậy Ker f là một

nhóm con của X.

+

1 11

1

, er . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

er

Y Yx X a K f f x ax f x f a f x f x e f x e

x ax K f

Vậy Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của X.

b) + Nếu f là đơn cấu, er : ( ) ( ) erY X X Xx K f f x e f e x e K f e

+ Nếu er XK f e

1 1 1, : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) erY Ya b X f a f b f a f b e f ab e ab K f

Do er XK f e nên ta có: 1Xab e a b . Vậy f là đơn cấu.

18 Giả sử A, B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. Chứng minh:

a) AB là nhóm con chuẩn tắc của X

b) AB là một nhóm con chuẩn tắc của X và cũng là một nhóm con chuẩn tắc của A.

Đáp án

a) + X X Xe e e AB AB

+ 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2

, , ; , : ;

( )( )

x y AB a a A b b B x a b y a b

xy a b a b a b b a

B là nhóm con nên 11 2b b B , mặt khác B là chuẩn tắc nên: 1 1

2 1 2 2( )a b b a

Lại do 1 1 1 1 11 2 1 2 2 1 2 2a a A xy a a a bb a AB

Vậy AB là nhóm con của X.

+ 1 1 1, ( , ) .x X ab AB a A b B x abx x ax x bx

Do A là chuẩn tắc 1x ax A

Do A là chuẩn tắc 1x bx B

1 1 1.x abx x ax x bx AB . Vậy AB là nhóm con chuẩn tắc của X.

b) + ,X X Xe A e B e A B A B

+

11

1

,,

,

x y A xy Ax y A B xy A B

x y B xy B



Vậy A B là nhóm con của X.

+ , ,x X a A B a A a B

Do A, B là chuẩn tắc

11

1

x ax Ax ax A B

x ax B

Vậy A B là nhóm con chuẩn tắc của X.

19 Giả sử G1, G2 là những nhóm với đơn vị là e1, e2 ; G = G1xG2. Trên G trang bị phép

toán : 1 1 2 2 1 2 1 2( , ).( , ) ( , )a b a b a a bb

a) Chứng minh G cùng phép toán trên là một nhóm

b) Giả sử X là một nhóm và 1 2: , :f X G g X G là những ánh xạ. Xét ánh xạ :

:h X G , ( ) ( ( ), ( ))x h x f x g x .

Chứng minh h là đồng cấu khi và chỉ khi f và g là những đồng cấu.

Đáp án

a) Kiểm tra 3 tiên đề nhóm ( Tính kết hợp, Tồn tại ptđv, Tồn tại ptnđ)

+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a b a b a b G , ta có :

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 2 3 3

( , ).( , ) .( , ) ( , ).( , ) (( ) ,( ) )

( ( ), ( )) ( , ).( , ) ( , ). ( , ).( , )

a b a b a b a a b b a b a a a b b b

a a a b b b a b a a b b a b a b a b

(t/c kết hợp)

+ 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) : ( , ).( , ) ( , ) ( , );( , ).( , ) ( , ) ( , )a b G a b e e ae be a b e e a b e a e b a b

1 2( , )e e là phần tử đơn vị của G.

+

1 1 1 11 2

1 1 1 11 2

( , ) : ( , ).( , ) ( , ) ( , )

( , ).( , ) ( , ) ( , )

a b G a b a b aa bb e e

a b a b a a b b e e

Suy ra 1 1( , )a b là phần tử nghịch đảo của ( , )a b .

Vậy G cùng phép toán . là một nhóm

b)

,x y X

h là đồng cấu ( ) ( ). ( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )).( ( ), ( ))h xy h x h y f xy g xy f x g x f y g y

( ( ), ( )) ( ( ). ( ), ( ). ( ))

( ) ( ). ( )

( ) ( ). ( )

f xy g xy f x f y g x g y

f xy f x f y

g xy g x g y



f, g là những đồng cấu.

20 Cho G1, G2 là những nhóm với đơn vị theo thứ tự là e1, e2 và G = G1 x G2 là tích của G1

và G2. A = G1 x {e2} và B = {e1} x G2. Xét các ánh xạ:

1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

: :

( , ) ( , )

p G G p G G

x x x x x x

Chứng minh p1, p2 là những toàn cấu. Xác định Ker p1, Ker p2?

Đáp án

+ 1 2 1 2( , ),( , )x x y y G , ta có:

1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2(( , ).( , )) ( , ) ( , ) ( , )p x x y y p x y x y x y p x x p y y

suy ra p1 là đồng cấu.

+ 1 1x G , ta có: 1 2( , )x e G mà 1 1 2 1( , )p x e x . Vậy p1 là toàn cấu.

+ 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1er ( , ) : ( , ) ( , ) :K p x x G p x x e x x G x e

1 2 1 2( , )e x G e G B

+ 1 2 1 2( , ),( , )x x y y G , ta có:

2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2(( , ).( , )) ( , ) ( , ). ( , )p x x y y p x y x y x y p x x p y y

suy ra p2 là đồng cấu.

+ 2 2x G , ta có: 1 2( , )e x G mà 2 1 2 2( , )p e x x . Vậy p2 là toàn cấu.

+ 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2er ( , ) : ( , ) ( , ) :K p x x G p x x e x x G x e

1 2 1 2( , )x e G G e A

21 Cho G1, G2 là những nhóm với đơn vị theo thứ tự là e1, e2 và G = G1 x G2 là tích của G1

và G2. A = G1 x {e2} và B = {e1} x G2. Xét các ánh xạ:

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

: :

( , ) ( , )

q G G q G G

x x e x e x

Chứng minh q1, q2 là những đơn cấu. Xác định Im q1, Im q2. Từ đó suy ra G1 đẳng cấu

với A, G2 đẳng cấu với B.

Đáp án

+ 1 1 1,x y G , ta có: 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1( . ) ( , ) ( , )( , ) ( ). ( )q x y x y e x e y e q x q y

suy ra q1 là đồng cấu.



+ 1 1 1,x y G mà 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( , ) ( , )q x q y x e y e x y suy ra q1 là đơn

ánh.

Vậy q1 là đơn cấu.

+ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2Im ( ) : ( , ) :q q x G x G x e G x G G e A

Do q1 là đơn cấu nên 1 1ImG q A

+ 2 2 2,x y G , ta có: 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2( . ) ( , ) ( , ).( , ) ( ). ( )q x y e x y e x e y q x q y

suy ra q2 là đồng cấu.

+ 2 2 2,x y G mà 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2( ) ( ) ( , ) ( , )q x q y e x e y x y suy ra q2 là

đơn ánh.

Vậy q2 là đơn cấu.

+ 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2Im ( ) : ( , ) :q q x G x G e x G x G e G B

Do q2 là đơn cấu nên 2 2ImG q B

22 Cho X là một nhóm. Với mỗi phần tử a X , ta xét ánh xạ:

:af X X , 1( )ax f x a xa

a) Chứng minh fa là một tự đẳng cấu của X, gọi là tự đẳng cấu trong xác định bởi phần

tử a.

b) Chứng minh rằng tập hợp các tự đẳng cấu trong của X lập thành một nhóm con của

nhóm của nhóm các tự đẳng cấu của X.

Đáp án



Chương 3

1

Cho tập các ma trận cấp hai:

: ,a b

A a bb a

a) Chứng minh rằng A là vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân

ma trận.

b) Phần tử a b

Ab a

là ƣớc của 0 trong A ( ) 0Det A

Đáp án

a) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành

+ , ,( , , , )a b c d

A B A a b c db a d c

, .a c b d ac bd bc ad

A B A AB Ab d a c bc ad ac bd

Phép cộng và nhân ma trận ổn định trên A .

+ , , : ( ) ( );A B C A A B C A B C A B B A

A A

: ( ) ( )a b a b

A A A A A A A Ab a b a

( , )A là một nhóm Abel

+ , , : ( . ). .( . )A B C A AB C A BC

+ , , : ( ). . . ; .( ) . .A B C A A B C AC BC A B C AB AC

, : . .a b c d ac bd bc ad

A B A AB B Ab a d c bc ad ac bd

1 0: : . .

0 1I A B A I B B I B

Vậy ( , ,.)A là một vành giao hoán có đơn vị.



b) + Giả sử a b

Ab a

là ƣớc của 0 trong A . Khi đó:

, , : . .

0(*)

0

c d a b c dB A B B AB

d c b a d c

ac bd ad bc ac bd

ad bc ac bd ad bc

Nếu 0, 0

( ( ) 0)0, 0

a bDet A

a b

, từ (*) 0, 0c d ( A không có ƣớc của 0)

Nếu 0, 0a b :

(*) 2 2

0 0

0 ( ) 0

bcac bd ac b

aa b Det Abc

bcdda

a

(đpcm)

2 Cho hai tập hợp: 2 : ,A a b a b , : ,B a bi a b với phép cộng và

phép nhân thông thƣờng.

Chứng minh rằng:

a) (A, +, .) là một vành con của vành số thực .

b) (B, +, .) là một vành con của vành số phức .

Đáp án

a) ) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành

0 0 0 2 A A

+ 1 1

1 1 2 2

2 2

2, ( , , , )

2

x a bx y A a b a b

x a b

1 2 1 2 1 2 2 1( 2 ) ( ) 2xy a a bb a b a b A

1 2 1 2( ) ( ) 2x y a a b b A

Vậy A là vành con của vành các số thực .

b) 0 0 0i B B

+ 1 1

1 1 2 22 2

, ( , , , )x a b i

x y B a b a bx a b i



1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )xy a a bb a b a b i B

1 2 1 2( ) ( )x y a a b b i B

Vậy B là vành con của vành các số thực .

3 Cho tập hợp X = cùng với hai phép toán:

(a1, b1 ) + (a 2, b2 ) = (a1+ a2, b1 + b2)

(a1, b1 ) (a 2, b2 ) = (a1a2, b1b2)

a) Chứng minh X là một vành giao hoán, có đơn vị.

b) Hãy tìm tất cả các ƣớc của không của vành này.

Đáp án


+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a b a b a b , ta có:

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3

1 1 2 2 3 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

a b a b a b a a b b a b

a a a b b b a b a a b b

a b a b a b

+ ( , )a b , ta có:

( , ) (0,0) ( 0, 0) ( , );(0,0) ( , ) (0 ,0 ) ( , )a b a b a b a b a b a b

Suy ra (0, 0) là phần tử trung hòa của phép + trên .

+ ( , )a b , ta có: ( , ) ( , ) ( , ) (0,0)

( , ) ( , ) ( , ) (0,0)

a b a b a a b b

a b a b a a b b

(-a, -b) là phần tử đối của (a, b)

+ ( , ),( , ) :a b c d

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d c a d b c d a b

Phép + có tính chất giao hoán.

Vậy ( , ) là một nhóm Abel.

+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a b a b a b , ta có:

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 1 2 3 2 3 1 1 2 2 3 3

( , ).( , ) .( , ) ( , ).( , ) ( , )

( , ).( , ) ( , ). ( , ).( , )

a b a b a b a a bb a b a a a bb b

a b a a b b a b a b a b

Vậy ( ,.) là một nửa nhóm.

+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a b a b a b , ta có:



1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 3 2 3 1 3 2 3 1 1 2 2 1 1 3 3

( , ) ( , ) .( , ) ( , ).( , ) (( ) ,( ) )

( , ) ( , ).( , ) ( , ).( , )


a a a a bb b b a b a b a b a b

Tƣơng tự ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng.

Phép . có tính chất giao hoán và có phần tử đơn vị là (1, 1)

Vậy ( , ,.) là một vành giao hoán có đơn vị.

b) Ƣớc của không là: ( ,0),(0, ) ( , 0)a b a b

4 Giả sử X là một vành có tính chất sau đây: x2

= x với mọi x X. Chứng minh rằng:

a) x = - x với mọi x X

b) X là vành giao hoán.

c) Nếu X là vành không có ƣớc của 0, có nhiều hơn một phần tử , thì X là miền

nguyên.

Đáp án

a) x X , ta có: 2 2( ) ( )( )x x x x x

Mặt khác theo giả thiết 2( )x x x x

b) ,x y X , ta có: 2( )x y x y

X là một vành nên:

2 2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) yx

yx

x y x y x y x y x x y y x xy y

x xy y

Do đó yx 0 yxx xy y x y y x xy xy y x

Vậy X là một vành giao hoán.

c) Giả sử , , 0x y X x , ta có: 2 ( )xy x y x xy

Do X không có ƣớc của không nên y xy , tƣơng tự ta có: y yx

Vậy x là phần tử đơn vị của X

Do đó X gồm có hai phần tử {0, đơn vị e} nên X là một miền nguyên.

5

Giả sử X là một miền nguyên, :mX mx x X là một idean của X (m ) và n là

cấp của phần tử đơn vị e trong nhóm cộng X. Chứng minh:

a) n là số nguyên tố

b) Mọi phần tử khác không x X có cấp n.



c) X XmX

nếu m là bội của n.

{0}XmX

nếu m không phải là bội của n.

Đáp án

a) n là cấp của phần tử đơn vị e trong nhóm cộng X nên n là số nguyên dƣơng

nhỏ nhất sao cho ne = 0

Giả sử n không phải là số nguyên tố, vậy n = n1.n2 (1 < n1, n2 <n)

ne = (n1.n2)e = (n1e)(n2e) = 0

Do X là miền nguyên nên n1e = 0 hoặc n2e = 0. Mâu thuẫn với định nghĩa n

là cấp của e. Suy ra n là số nguyên tố.

b) x X , ta có: ex ( ) ( ) 0 0x nx n e x ne x x

Suy ra cấp của x là ƣớc của n, n lại là số nguyên tố nên cấp của x là n.

c) + Nếu m chia hết cho n thì 0 : 0mX mx x X

{0}X X XmX

+ Nếu m không chia hết cho n, n nguyên tố nên (m, n) = 1

, : 1u v mu nv

x X , có: 1. ( ) ( ) ( ) (ux)x x mu nv x m u x n vx m mX

X mX mà mX X mX X

Vậy {0}X XmX X

.

6

Giả sử X là một vành tuỳ ý, Z là vành các số nguyên. Xét tập hợp tích X x Z. Trong

X x Z ta định nghĩa các phép toán nhƣ sau:

(x1 , n1) + (x2 , n2) = (x1+ x2, n1 + n2)

(x1, n1)(x2 , n2) = (x1x2 + n1x2 + n2x1, n1n2)

a) Chứng minh rằng X x Z là một vành có đơn vị

b) Ánh xạ f : X X x Z

x (x,0) là một đơn cấu.

Đáp án


+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a n a n a n X , ta có:



1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3

1 1 2 2 3 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

(( ) , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

a n a n a n a a n n a n

a a a n n n a n a a n n

a n a n a n

+ ( , )a n X và 0X là phần tử không của vành X, ta có:

( , ) (0 ,0) ( 0 , 0) ( , );(0 ,0) ( , ) (0 ,0 ) ( , )X X X Xa n a n a n a n a n a n

Suy ra (0X, 0) là phần tử trung hòa của phép + trên .

+ ( , )a n X , ta có: ( , ) ( , ) ( ( ), ) (0 ,0)

( , ) ( , ) (( ) , ) (0 ,0)

X

X

a n a n a a n n

a n a n a a n n

(-a, -n) là phần tử đối của (a, n)

+ 1 1 2 2( , ), ( , ) :a n a n X

1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a n a n a a n n a a n n a n a n


Vậy ( , )X là một nhóm Abel.

+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a n a n a n X , ta có:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , ).( , ) .( , ) ... ( , ). ( , ).( , )a n a n a n a n a n a n

Vậy ( ,.)X là một nửa nhóm.

+ Tƣơng tự ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng, phép cộng phân

phối đối với phép nhân.

Phép . có phần tử đơn vị là (0X, 1)

Vậy ( , ,.)X là một vành có đơn vị.

b) Ta có: , : ( ) ( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ) ( )x y X f x y x y x y f x f y

( ) ( ,0) ( ,0).( ,0) ( ). ( )f xy xy x y f x f y

Do đó f là một đồng cấu.

, : ( ) ( ) ( ,0) ( ,0)x y X f x f y x y x y Vậy f là một đơn cấu.

7 Chứng tỏ rằng tập các số nguyên Z với 2 phép toán:

a b = a + b – 1

a b = a + b – ab

là một vành giao hoán có đơn vị.

Đáp án



) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành

+ , ,a b c ta có:

( ) ( 1) 2( ) ( )

( ) ( 1) 2

a b c a b c a b ca b c a b c

a b c a b c a b c

+ : 1 1 1 ;1 1 1a a a a a a a

1 là phần tử trung hòa của

+ : (2 ) 2 1 1;(2 ) 2 1 1a a a a a a a a a

2 - a là phần tử đối của a.

+ , : 1 1a b a b a b b a b a

có tính chất giao hoán

Vậy ( , ) là một nhóm Abel.

+ , , : ( ) ( )a b c a b c a b ab c a b c ab ac bc abc

( ) ( )a b c a b c bc a b c ab ac bc abc

( ) ( )a b c a b c ( , ) là một nửa nhóm.

+ , , : ( ) ( 1) ... ( ) ( )a b c a b c a b c a b b c

( ) ) ... ( ) ( )a b c a c b c

+ , :a b a b a b ab b a

+ : 0 0 .0 ;0 0 0.a a a a a a a a a

0 là phần tử đơn vị.

Vậy ( , , ) là một vành giao hoán có đơn vị.

8 Cho A, B là hai vành tuỳ ý . Xét tập hợp tích đề các X = A x B trong X ta định nghĩa

phép toán

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) (c, d) = (ac, bd)

Chứng minh rằng X là một vành.

Đáp án

a) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành

+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a b a b a b A B , ta có:



1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3

1 1 2 2 3 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

a b a b a b a a b b a b

a a a b b b a b a a b b

a b a b a b

+ ( , )a b A B , ta có:

( , ) (0,0) ( 0, 0) ( , );(0,0) ( , ) (0 ,0 ) ( , )a b a b a b a b a b a b

Suy ra (0, 0) là phần tử trung hòa của phép + trên .

+ ( , )a b A B , ta có: ( , ) ( , ) ( , ) (0,0)

( , ) ( , ) ( , ) (0,0)

a b a b a a b b

a b a b a a b b

(-a, -b) là phần tử đối của (a, b)

+ ( , ),( , ) :a b c d A B

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d c a d b c d a b


Vậy ( , )A B là một nhóm Abel.

+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a b a b a b A B , ta có:

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 1 2 3 2 3 1 1 2 2 3 3

( , ).( , ) .( , ) ( , ).( , ) ( , )

( , ).( , ) ( , ). ( , ).( , )

a b a b a b a a bb a b a a a bb b

a b a a b b a b a b a b

Vậy ( ,.)A B là một nửa nhóm.

+ 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , )a b a b a b A B , ta có:

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 3 2 3 1 3 2 3 1 1 2 2 1 1 3 3

( , ) ( , ) .( , ) ( , ).( , ) (( ) ,( ) )

( , ) ( , ).( , ) ( , ).( , )


a a a a bb b b a b a b a b a b

Tƣơng tự ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng.

Vậy ( , ,.)A B là một vành.

9

Cho A, B là hai vành tuỳ ý. Giả thiết X = A x B với hai phép toán:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) (c, d) = (ac, bd) là một vành.

Chứng minh rằng :

a) Các bộ phận A = {(a,0} | a A} và B = {(0, b) |b B} là hai idean của X

đẳng cấu theo thứ tự với A và B

b) Giả sử A, B là hai vành có đơn vị là eA, eB. Tìm các đơn vị của X, A và B .



Đáp án

a)

+ A vì (0,0) A

+ 1 2( ,0),( ,0)a a A , ta có:

1 2 1 2( ,0) ( ,0) ( ,0)a a a a A vì 1 2a a A

1 2 1 2( ,0).( ,0) ( . ,0)a a a a A vì 1 2.a a A

A là một vành con của vành X.

+ ( , ) , ( ,0) ,x y X a A xa ax A

( , ).( ,0) ( ,0) ,( ,0).( , ) ( ,0)x y a xa A a x y ax A

A là một idean của vành X.

+ Xét :

( ,0)

f A A

a a

f là một đồng cấu vì ( ) ( ,0) ( ,0).( ,0) ( ). ( ) ,f ab ab a b f a f b a b A

hơn nữa f là một song ánh nên f là một đẳng cấu A A

+ B vì (0,0) B

+ 1 2(0, ),(0, )b b B , ta có:

1 2 1 2(0, ) (0, ) (0, )b b b b B vì 1 2b b B

1 2 1 2(0, ).(0, ) (0, . )b b b b B vì 1 2.b b B

B là một vành con của vành X.

+ ( , ) , (0, ) ,x y X b B xb bx B

( , ).(0, ) (0, ) ,(0, ).( , ) (0, )x y b yb B b x y by B

B là một idean của vành X.

+ Xét :

(0, )

f B B

b b

f là một đồng cấu vì ( ) (0, ) (0, ).(0, ) ( ). ( ) ,f ab ab a b f a f b a b B

hơn nữa f là một song ánh nên f là một đẳng cấu B B



b) Giả sử A, B là hai vành có đơn vị là eA, eB.

Khi đó vành X có đơn vị là (eA, eB)

Vành A có đơn vị là (eA, 0). Vành B có đơn vị là (0, eB).

10 Chứng minh rằng tập hợp các ma trận : ,

a bA a b

b a

là một vành con

giao hoán của vành các ma trận vuông cấp 2. Vành này đẳng cấu với vành

: ,A a bi a b (các phép toán là cộng và nhân thông thƣờng).

Đáp án


+ A

vì 0 0

0 0A

+ , ,( , , , )a b c d


Ta có: , .( ) ( )

a c b d ac bd ad bcA B A AB A

b d a c ad bc ac bd

A là vành con của vành các ma trận vuông cấp 2.

. .( )

ac bd ad bcAB B A

ad bc ac bd

A là vành con giao hoán của vành các ma trận vuông cấp 2.

Xét ánh xạ:

:f A A

a ba bi

b a

,a bi c di A

, ta có:

(( ) ( )) (( ) ( ) )

( ) ( )( )

f a bi c di f a c b d i

a c b d a b c df a bi f c di

b d a c b a d c



(( ).( )) (( ) ( ) 2))

. ( ). ( )( )

f a bi c di f ac bd bc ad

ac bd bc ad a b c df a bi f c di

bc ad ac bd b a d c

Vậy f là một đồng cấu. Hơn nữa f là một song ánh do đó:

A A


2

a bA a b

b a

là một vành con của

vành các ma trận vuông cấp 2. Vành này đẳng cấu với vành 2 : ,A a b a b

(các phép toán là cộng và nhân thông thƣờng).

Đáp án


+ A

vì 0 0

2.0 0A

+ , ,( , , , )2 2

a b c dA B A a b c d

b a d c

Ta có: 2

, .2( ) 2( ) 2

a c b d ac bd bc adA B A AB A

b d a c bc ad ac bd

A là vành con của vành các ma trận vuông cấp 2.

2. .

2( ) 2

ac bd bc adAB B A

bc ad ac bd

A là vành con giao hoán của vành các ma trận vuông cấp 2.

Xét ánh xạ:

:

22

f A A

a ba b

b a

2, 2a b c d A

, ta có:



(( 2) ( 2)) (( ) ( ) 2)

( 2) ( 2)2( ) 2 2

f a b c d f a c b d

a c b d a b c df a b f c d

b d a c b a d c

(( 2).( 2)) (( 2 ) ( ) 2))

2. ( 2). ( 2)

2( ) 2 2 2

f a b c d f ac bd bc ad

ac bd bc ad a b c df a b f c d

bc ad ac bd b a d c

Vậy f là một đồng cấu. Hơn nữa f là một song ánh do đó:

A A

12 Giả sử X là một trƣờng, e là phần tử đơn vị của X. Xét bộ phận A = {ne | n Z }.

Chứng minh:

a) A là một vành con của vành X. A có phải là một miền nguyên không? Tại sao?

b) A đẳng cấu với vành số nguyên Z khi e có cấp vô hạn, và A đẳng cấu với vành Zp

các số nguyên mod p khi e có cấp p.

Đáp án

a) + 1. ;0 1.0e e A A A có nhiều hơn một phần tử.

+ ,ne me A , ta có:

( ) ;( ).( ) ( . )ne me n m e A ne me nm e A

A là vành con của vành X.

+ X là một trƣờng và A là vành con nên A không có ƣớc của 0.

Vậy A là một miền nguyên.

b) Xét ánh xạ : : ,X n ne

+ , : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( . ) ( . ) ( )( ) ( ) ( )

n m n m n m e ne me n m

nm nm e ne me n m

là một đồng cấu.

Ta có Im , er {n :ne=0}er

A K AK

+ Nếu e có cấp p thì 0 erne n p K p

Vậy Ap

mà p p A

p



+ Nếu e có cấp vô hạn thì 0 : 0

er {0}0 0. 0

n neK

n e

Vậy {0}

A

13 Cho A là một iđêan, B là một vành con của vành có đơn vị X. Chứng minh :

a) A + B là vành con của vành X.

b) A B là một iđêan của B.

Đáp án

a) : ,A B a b a A b B

+ 0 ,0 0 0 0A B A B A B

+ 1 1 2 2,a b a b A B , ta có:

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ).( ) . . . .

a b a b a a b b A B

a b a b a a a b b a b b

Do A là một idean của X nên 1 2 1 2. , .a b b a A mà 1 2.a a A do đó

1 2 1 2 1 2. . .a a a b b a A

B là vành con của X nên 1 2.b b B . Vậy :

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ).( ) . . . .a b a b a a a b b a b b A B .

Suy ra A + B là vành con của vành X.

b) B là một vành, A B B

+ 0 ,0 0A B A B A B

+ ,

,,

a b Aa b A B

a b B

ta có:

Do A, B là hai vành con nên: ,

. , . .

a b A a b B a b A B

a b A a b B a b A B

A B là vành con của vành B.

+ , ,x B a A B a A a B

Do A là Idean nên ,xa a x A , do B là vành con nên ,xa a x B

Vậy ,xa a x A B

A B là Idean của vành B.




2

a bA a b

b a

là một trƣờng đối

với phép cộng và nhân ma trận.

Đáp án

) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của trƣờng

+ , ,( , , , )2 2

a b c dA B A a b c d

b a d c

2, .

2( ) 2( ) 2

a c b d ac bd bc adA B A AB A

b d a c bc ad ac bd


+ , , : ( ) ( );A B C A A B C A B C A B B A

A A

: ( ) ( )2 2( )

a b a bA A A A A A A A

b a b a


+ , , : ( . ). .( . )A B C A AB C A BC


2

, : . .2 2 2( ) 2

a b c d ac bd bc adA B A AB B A

b a d c bc ad ac bd

1 0: : . .


2 2 *

2 2 2 21

2 2

2 2 2 2

, : ( ) 2 0 ,2

1 2 2

222

2 2

a bA A A Det A a b a b

b a

a b

a b a b a bA A

b a b aa b

a b a b

Vậy ( , ,.)A là một trƣờng.




a bA a b

b a

là một trƣờng đối

với phép cộng và nhân ma trận.

Đáp án

Kiểm tra các tiên đề quan trọng của trƣờng

+ , ,( , , , )a b c d


, .( ) ( )

a c b d ac bd ad bcA B A AB A

b d a c ad bc ac bd


+ , , : ( ) ( );A B C A A B C A B C A B B A

A A

: ( ) ( )( )

a b a bA A A A A A A A

b a b a


+ , , : ( . ). .( . )A B C A AB C A BC


, : . .( )

a b c d ac bd ad bcA B A AB B A

b a d c ad bc ac bd

1 0: : . .


2 2 *

2 2 2 21

2 2

2 2 2 2

, : ( ) 0 ,

1

a bA A A Det A a b a b

b a

a b

a b a b a bA A

b a b aa b

a b a b

Vậy ( , ,.)A là một trƣờng.



16

Cho X là một vành tùy ý, a X . Chứng minh rằng :

a) Bộ phận :aX a x x X là một idean phải của X.

b) Bộ phận :Xa xa x X là một idean trái của X.

Đáp án

a) :aX a x x X

+ 0 .0 0X a aX aX

+ 1 2 1 2 1 2 1 2, ( ) ( )a x a x aX a x a x a x x aX x x X

+ 1 2 1 2 1 2 1 2, ( ).( ) ( .( )) ( .( ) )a x a x aX a x a x a x a x aX x a x aX

:aX a x x X là vành con của vành X.

+ 1 2 1 1 1, , ( ). ( . ) ( . )a x a x aX x X a x x a x x aX x x X

:aX a x x X là idean của vành X.

b) :Xa xa x X

+ 0 0. 0X a Xa Xa

+ 1 2 1 2 1 2 1 2, ( ) ( )x a x a aX x a x a x x a Xa x x X

+ 1 2 1 2 1 2 1 2, ( ).( ) ( .( )) ( .( ) )x a x a Xa x a x a x x a a Xa x x a Xa

:Xa xa x X là vành con của vành X.

+ 1 1 1 1, .( ) ( . ) ( . )x a aX x X x x a x x a Xa x x X

:Xa xa x X là idean của vành X.

Lưu ý:

- Sinh viên khi làm bài tập cần phải xem lại các định nghĩa, định lý,

tính chất… liên quan đến câu hỏi.

- Phải kiểm tra ( trả lời) được tiến trình làm trên ( vì sao, theo cái gì

mà ta có thể làm được điều đó).

- Lên tìm thêm nhiều hướng giải mới. Vì chúng tôi chỉ đề cập đến

các hướng giải theo cách thức thông thường cần ít nhất các kiến

thức đã có.

Chúc các bạn thành công. Thân ái!

giẢi bài tẬp ĐẠi sỐ Đai cƯƠng ---- chƯƠng 1,2,3 · pdf filegiẢi...

Documents