gibbs phenomenon - پدیده گیبس

TeTextxt

Gibbs Gibbs PhenomenonPhenomenon

گیبس گیبس پدیده پدیده

خوبهی خوبهی شاهین فرد : شاهین خسروی دکتر فرد : استاد خسروی دکتر استاد

تاریخچهتاریخچه

قرن در ،ابتدا نامش خالف بر گیبس قرن پدیده در ،ابتدا نامش خالف بر گیبس به ۱۹۱۹پدیده شخصی به توسط شخصی توسطشد Willbraham Willbraham نامنام شد مشاهده .. مشاهده

معروف ) ریاضیدان گیبس توسط دیگر بار ، عجیب پدیده معروف ) این ریاضیدان گیبس توسط دیگر بار ، عجیب پدیده اینبه( دست گیبس ، ویلبراهام خالف بر ولی شد مشاهده به( آمریکایی دست گیبس ، ویلبراهام خالف بر ولی شد مشاهده آمریکاییپدیده این دلیل همین به و زد پدیده این گسترده بررسی و پدیده تحلیل این دلیل همین به و زد پدیده این گسترده بررسی و تحلیل

است مشهور گیبس پدیده به مراجع اکثر است در مشهور گیبس پدیده به مراجع اکثر .. در

ویژگی Bocher Bocher همچنینهمچنین یک واقع در پدیده، این که داد ویژگی نشان یک واقع در پدیده، این که داد نشانتابع یک ناپیوسگی همسایگی در طرفه یک فوریه سری جمع تابع ذاتی یک ناپیوسگی همسایگی در طرفه یک فوریه سری جمع ذاتی..استاست

تاریخچهتاریخچه

محدود تیوری های بررسی به تنها گیبس محدود پدیده تیوری های بررسی به تنها گیبس پدیدهزمینه از بسیاری در را آن تاثیرات شود،بلکه زمینه نمی از بسیاری در را آن تاثیرات شود،بلکه نمی

میتوان نیز مهندسی و کاربردی علوم میتوان های نیز مهندسی و کاربردی علوم هایکرد کرد مشاهده ..مشاهده

روند در بریتانیایی دانشمندان مثال عنوان روند به در بریتانیایی دانشمندان مثال عنوان بهبه نیاز ، دوم جهانی جنگ طول در رادار به طراحی نیاز ، دوم جهانی جنگ طول در رادار طراحی

طور به که داشتند ای اره دندانه موج طور تولید به که داشتند ای اره دندانه موج تولیدتولیدی موج شکل در گیبس پدیده با تولیدی متمادی موج شکل در گیبس پدیده با متمادی

میشدند میشدند مواجه .. مواجه

پردازش در وفور به پدیده این امروزه پردازش اما در وفور به پدیده این امروزه اماطراحی خصوص به و دیجیتال های طراحی سیگنال خصوص به و دیجیتال های سیگنال

ها سیگنال پردازش برای دیجیتال های ها فیلتر سیگنال پردازش برای دیجیتال های فیلترمیشود میشود مشاهده ..مشاهده

; تصویر در که همانطور دیگر مثالی عنوان ; به تصویر در که همانطور دیگر مثالی عنوان بهتصاویر در پدیده این ردپای میکنید تصاویر مشاهده در پدیده این ردپای میکنید مشاهده

شود می دیده نیز شود پزشکی می دیده نیز تصاویر MRI MRI . .پزشکی در گیبس پدیده مخرب تصاویر تاثیر در گیبس پدیده مخرب تاثیر پزشکیپزشکی

گیبس پدیده گیبس توضیح پدیده توضیح

میپردازیم ناپیوستگی تعریف به ابتدا در آوری یاد عنوان میپردازیم به ناپیوستگی تعریف به ابتدا در آوری یاد عنوان به ..مانند تابعی ، میدانیم که مانند همانطور تابعی ، میدانیم که مانند y(t) y(t) همانطور ای نقطه مانند در ای نقطه دارای دارای t=a t=a دردامنه با دامنه ناپیوستگی با اگر b b ناپیوستگی اگر میباشد ::میباشد

limlime->0e->0[y(a+e) - y(a-e)]= b ≠ 0[y(a+e) - y(a-e)]= b ≠ 0

تابع یک اگر که دید خواهیم ادامه تابع در یک اگر که دید خواهیم ادامه سری پریودیک پریودیک در ،آنگاه باشد سری ،ناپیوسته ،آنگاه باشد ،ناپیوستهداد خواهد نشان خود از عجیب رفتاری آن داد فوریه خواهد نشان خود از عجیب رفتاری آن .. فوریه

گیبس پدیده گیبس توضیح پدیده توضیح

• مجموع مقدار در باالزدگی یا نوسان وجود به گیبس مجموع پدیده مقدار در باالزدگی یا نوسان وجود به گیبس پدیدهگفته ناپیوستگی مقادیر نزدیکی در توابع فوریه گفته سری ناپیوستگی مقادیر نزدیکی در توابع فوریه سری.. میشودمیشود

• مجموع از استفاده با میتوان را متناوب سیگنال هر مجموع میدانیم از استفاده با میتوان را متناوب سیگنال هر میدانیممتفاوت های فرکانس با متعامد و ساده نوسانی سیگنال متفاوت چند های فرکانس با متعامد و ساده نوسانی سیگنال چند.. نوشتنوشت

• برای شده استفاده های هارمونیک هرچقدر برای همچنین شده استفاده های هارمونیک هرچقدر همچنینبا شده زده تخمین باشند،سیگنال بیشتر سیگنال با بازسازی شده زده تخمین باشند،سیگنال بیشتر سیگنال بازسازی

بود خواهد تر شبیه اصلی سیگنال به ، فوریه بود سری خواهد تر شبیه اصلی سیگنال به ، فوریه .. سری

• محدودی تعداد از تنها که هنگامی که است این جالب نکته محدودی اما تعداد از تنها که هنگامی که است این جالب نکته امااستفاده پیوسته سیگنال بازسازی برای ها هارمونیک استفاده از پیوسته سیگنال بازسازی برای ها هارمونیک از ( نقاط ها لبه در شده سازی شبیه ،سیگنال ) میکنیم نقاط ها لبه در شده سازی شبیه ،سیگنال میکنیم . در( زدگی باال این که بود خواهد باالزدگی دارای . ناپیوستگی در( زدگی باال این که بود خواهد باالزدگی دارای ناپیوستگی

میباشد ۹۹حدود حدود میباشد ٪ ٪ ..• میشود گفته گیبس پدیده ، ها باالزدگی این میشود به گفته گیبس پدیده ، ها باالزدگی این .. به

• سازی شبیه برای استفاده مورد های هارمونیک تعداد بر چه هر ، میکنید مشاهده باال تصویر در که سازی همانطور شبیه برای استفاده مورد های هارمونیک تعداد بر چه هر ، میکنید مشاهده باال تصویر در که همانطور ، میابد کاهش باالزدگی ناحیه عرض میشود افزوده مربعی ، سیگنال میابد کاهش باالزدگی ناحیه عرض میشود افزوده مربعی میماند ! .سیگنال ثابت باالزدگی دامنه میماند ! .اما ثابت باالزدگی دامنه اما

میدانیم که همانطور اما ، رود می بین از هارمونیک آخرین کردن اضافه با زدگی باال این گسسته های سیگنال میدانیم در که همانطور اما ، رود می بین از هارمونیک آخرین کردن اضافه با زدگی باال این گسسته های سیگنال دراصلی موج شکل بازسازی برای الزم های هارمونیک ،تعداد پیوسته زمان و پریودیک های سیگنال بازسازی اصلی برای موج شکل بازسازی برای الزم های هارمونیک ،تعداد پیوسته زمان و پریودیک های سیگنال بازسازی برایبه فوریه سری ، کند میل بینهایت سمت به ها هارمونیک تعداد که هنگامی تنها دیگر بیان به ، است به بینهایت فوریه سری ، کند میل بینهایت سمت به ها هارمونیک تعداد که هنگامی تنها دیگر بیان به ، است بینهایتشد . خواهد همگرا اصلی سیگنال شد . سمت خواهد همگرا اصلی سیگنال سمت

، ها هارمونیک کردن اضافه با ، شد گفته که همانطور ، اما ها هارمونیک کردن اضافه با ، شد گفته که همانطور ثابت تنتناما آن دامنه ولی میابد کاهش باالزدگی پهنای ثابت ها آن دامنه ولی میابد کاهش باالزدگی پهنای هاباال میماندمیماند عرض تنها ، کنیم استفاده پیوسته سیگنال زدن تخمین برای هارمونیک بینهایت از اگر حتی بنابراین باال ، عرض تنها ، کنیم استفاده پیوسته سیگنال زدن تخمین برای هارمونیک بینهایت از اگر حتی بنابراین ،

. ماند خواهد باقی ثابت باالزدگی این دامنه ولی ، میکند میل صفر به ناپیوستگی نقطه در .زدگی ماند خواهد باقی ثابت باالزدگی این دامنه ولی ، میکند میل صفر به ناپیوستگی نقطه در زدگی ، که است این میشود مطرح اینجا در که ، سوالی که است این میشود مطرح اینجا در که ترین آیآیسوالی پیچیده تحلیل به تا ساخته قادر مارا که فوریه سری ترین ا پیچیده تحلیل به تا ساخته قادر مارا که فوریه سری ا

لبه یک سازی شبیه از خود ، بپردازیم فرکانس ی حوزه در ها لبه سیگنال یک سازی شبیه از خود ، بپردازیم فرکانس ی حوزه در ها ؟ (Edge) (Edge) سیگنال است ؟ ناتوان است ناتوان

MATLABMATLAB

• افزار نرم از استفاده با پدیده این بررسی به افزار حال نرم از استفاده با پدیده این بررسی به MATALB MATALBحال..میپردازیممیپردازیم

MATLABMATLAB

• سری از استفاده با را مربعی موج شکل یک که بنویسیم تابعی میخواهیم ادامه سری در از استفاده با را مربعی موج شکل یک که بنویسیم تابعی میخواهیم ادامه درکند بازسازی کند فوریه بازسازی ..فوریه

• ضرایب تعداد گرفتن با که باشد داشته را قابلیت این گیبس پدیده مشاهده برای ضرایب همچنین تعداد گرفتن با که باشد داشته را قابلیت این گیبس پدیده مشاهده برای همچنینبپردازد شده زده تخمین موج شکل رسم به ورودی عنوان به فوری بپردازد سریه شده زده تخمین موج شکل رسم به ورودی عنوان به فوری ..سریه

MATLABMATLAB

• فوریه سری و مربعی تابع از ، گیبس پدیده سازی شبیه فوریه برای سری و مربعی تابع از ، گیبس پدیده سازی شبیه برایمیکنیم استفاده میکنیم آن استفاده . . آن

• یک در را آن فوریه سری و مربعی موج شکل یک میخواهیم در را آن فوریه سری و مربعی موج شکل میخواهیمfigure figure شکل میخواهیم که است دلیل همین به ، دهیم شکل نشان میخواهیم که است دلیل همین به ، دهیم نشان

بسازیم نیز را مربعی بسازیم موج نیز را مربعی موج• تابع از استفاده مربعی موج شکل تولید های روش از تابع یکی از استفاده مربعی موج شکل تولید های روش از یکی

sign(x) sign(x) استاست . .

MATLABMATLAB

[1] n = 1000; % tedade noghate square wave[1] n = 1000; % tedade noghate square wave[2] t = linspace(-pi,pi,n); % tolide n noghte dar bazeye (-pi,pi)[2] t = linspace(-pi,pi,n); % tolide n noghte dar bazeye (-pi,pi)[3] y = sign(t); % va tolide step wave[3] y = sign(t); % va tolide step wave• نقاط تعداد چه هر بنابراین ، میباشد گسسته صورت به میشود تعریف که هایی سیگنال تمام متلب محیط در نقاط میدانیم تعداد چه هر بنابراین ، میباشد گسسته صورت به میشود تعریف که هایی سیگنال تمام متلب محیط در میدانیم

از اینجا در ما است، بیشتر خروجی دقت ، باشد بیشتر موج شکل تولید برای استفاده از مورد اینجا در ما است، بیشتر خروجی دقت ، باشد بیشتر موج شکل تولید برای استفاده تولید 10001000مورد برای تولید نقطه برای نقطهمیکنیم استفاده مربعی موج میکنیم شکل استفاده مربعی موج .. شکل

• تابع از استفاده با ، دوم خط تابع در از استفاده با ، دوم خط شامل linspace linspace در بعدی یک بردار شامل یک بعدی یک بردار بازه n n یک در ، بازه درایه در ، را pi,pi -pi,pi- درایه آن و میکنیم را استفاده آن و میکنیم استفادهماتریس ماتریس در میکنیم x x در میکنیم ذخیره ..ذخیره

• تابع : از ، داشتید مشخص بازه یک در نقاط یا سیگنال دامنه تولید به نیاز هرگاه تابع : نکته از ، داشتید مشخص بازه یک در نقاط یا سیگنال دامنه تولید به نیاز هرگاه نکته linspace linspace استفاده آنها تولید استفاده برای آنها تولید برایکنید .کنید .

که دارید نیاز کنید فرض ، مثال عنوان که به دارید نیاز کنید فرض ، مثال عنوان مثال -21342134به بازه در ، برابر فاصله با مثال -نقطه بازه در ، برابر فاصله با کنید 300,10300,10نقطه کنید تولید تولید :: x=linspace(- x=linspace(-

300,10,2134)300,10,2134)• تابع از استفاده با سوم خط تابع در از استفاده با سوم خط میکنیم . sign sign در تولید را مربعی موج میکنیم .شکل تولید را مربعی موج شکل

تابع از استفاده تابع با از استفاده کنیم plot plot با مشاهده را خود پالس میتوانیم است گرفته قرار بحث مورد قبال کنیم که مشاهده را خود پالس میتوانیم است گرفته قرار بحث مورد قبال ..که

• plot(t,y,’LineWidth’,2); %argumane avval matrice domain , argumane dovvom matrice signalplot(t,y,’LineWidth’,2); %argumane avval matrice domain , argumane dovvom matrice signal• axis([-pi pi -2 2]);axis([-pi pi -2 2]);• grid on;grid on;

تابع از استفاده باب در تابع نکاتی از استفاده باب در ()plot()plot نکاتی

• تابع از ما ، اینجا تابع در از ما ، اینجا دارای ()plot() plot در تابع این ، ایم کرده استفاده خود تابع رسم دارای برای تابع این ، ایم کرده استفاده خود تابع رسم برایبه میتوانید آنها با آشنایی برای که است متعددی های آرگومان و ها به آپشن میتوانید آنها با آشنایی برای که است متعددی های آرگومان و ها آپشن HELP HELP

فرمایید مراجعه فرمایید متلب مراجعه ..متلب• از ما ، خود مربعی تابع رسم از برای ما ، خود مربعی تابع رسم یاد 33برای به همواره ، ایم کرده استفاده آن یاد آرگومان به همواره ، ایم کرده استفاده آن آرگومان

نیز را دامنه ماتریس ، مختصات های محور درست بندی مقیاس برای که باشید نیز داشته را دامنه ماتریس ، مختصات های محور درست بندی مقیاس برای که باشید داشتهتابع تابع به ، ()plot() plot به است مهم تابع شکل دیدن تنها که مواقعی در کار این چند هر ، ، بدهید است مهم تابع شکل دیدن تنها که مواقعی در کار این چند هر ، بدهید

ندارد . ندارد .ضرورتی ضرورتیمیباشد تابع ماتریس دوم آرگومان و دامنه ماتریس اول آرگومان منظور میباشد بدین تابع ماتریس دوم آرگومان و دامنه ماتریس اول آرگومان منظور ..بدین

plot(t,y); % t is the matrice of our step function and y is our plot(t,y); % t is the matrice of our step function and y is our functionfunction

• قطر کننده مشخص که ایم کرده استفاده نیز دیگری آرگومان از اینجا در ما قطر همچنین کننده مشخص که ایم کرده استفاده نیز دیگری آرگومان از اینجا در ما همچنینمیکنند رسم را تابع که است میکنند خطوطی رسم را تابع که است ، ، خطوطی LineWidth LineWidth را آن میزان ما را که آن میزان ما گذاشته گذاشته 22که

تا تا ایم ایمشود دیده تر واضح خروجی شکل تا باشند تر کلفت شود خطوط دیده تر واضح خروجی شکل تا باشند تر کلفت . .خطوط

• plot(t,y,’LineWidth’,2); plot(t,y,’LineWidth’,2);

دیگر نکته دیگر یک نکته !! یک

• نام به دیگری تابع از ما میبینید که نام همانطور به دیگری تابع از ما میبینید که کردن ()axis() axis همانطور مشخص برای تابع ،این ایم کرده استفاده کردن نیز مشخص برای تابع ،این ایم کرده استفاده نیزتابع از استفاده با که هنگامی واقع در ، میشود استفاده مختصات های محور ماکسیمم و تابع مینیمم از استفاده با که هنگامی واقع در ، میشود استفاده مختصات های محور ماکسیمم و مینیمم plot() plot()

طور . به خروجی موج شکل است ممکن شده باز پنجره در میکنیم رسم را خود نظر مورد تابع طور . شکل به خروجی موج شکل است ممکن شده باز پنجره در میکنیم رسم را خود نظر مورد تابع شکلکنیم مشخص را مختصات های محور حدود میتوانیم تابع این از استفاده با که نباشد مشخص کنیم کامل مشخص را مختصات های محور حدود میتوانیم تابع این از استفاده با که نباشد مشخص کامل ..

• میباشد زیر شکل به ، تابع از استفاده میباشد روش زیر شکل به ، تابع از استفاده ::روشaxis([xmin xmax ymin ymax]); axis([xmin xmax ymin ymax]);

• از ما دامنه میدانیم مثال این از در ما دامنه میدانیم مثال این از - pi pi تاتا pi -pi- در ما برد از -و ما برد های ۱۱تا تا ۱۱و محور میتوانیم بنابراین میکند های تغییر محور میتوانیم بنابراین میکند تغییرکنیم تنظیم گونه بدین را کنیم مختصات تنظیم گونه بدین را .. مختصات

• axis([-pi axis([-pi pi -2 2])pi -2 2])

• ؟ چه میکنند تغییر حدودی چه در برد و دامنه که ندانیم اگر ؟ حال چه میکنند تغییر حدودی چه در برد و دامنه که ندانیم اگر حالکنیم استفاده زیر دستور همانند ترکیبی حالت یک از میتوانیم حالت این کنیم در استفاده زیر دستور همانند ترکیبی حالت یک از میتوانیم حالت این !!در

• axis([min(x)-5 max(x)+5 min(y)-5 max(y)+5]); axis([min(x)-5 max(x)+5 min(y)-5 max(y)+5]);

• و x x کهکه ، دامنه نقاط و ماتریس ، دامنه نقاط دستورات y y ماتریس از استفاده با که میباشد تابع مقادیر دستورات ماتریس از استفاده با که میباشد تابع مقادیر ()max() max وو ()min() min ماتریسمیکنیم استفاده و آورده بدست را ها ماتریس این مقدار بزرگترین و میکنیم کوچکترین استفاده و آورده بدست را ها ماتریس این مقدار بزرگترین و کوچکترین ..

MATLABMATLAB

• زده خود مربعی پالس از پریود یک تولید به دست اینجا به زده تا خود مربعی پالس از پریود یک تولید به دست اینجا به تابیابیم را آن فوریه سری باید حال ، بیابیم ایم را آن فوریه سری باید حال ، .. ایم

• جمع حاصل جمع میدانیم حاصل مربعی N N میدانیم پالس فوریه سری از مربعی ضریب پالس فوریه سری از ضریباگر که میاید بدست زیر رابطه اگر از که میاید بدست زیر رابطه ، ، N->infinite N->infinite از انگاهانگاه

SSNN(x)=square(x)(x)=square(x)

MATLABMATLAB

میکنیم سازی پیاده متلب در را قبل صفحه رابطه میکنیم حال سازی پیاده متلب در را قبل صفحه رابطه حال ..[4] M=20; %tedade zaryeb baraye takhmine square wave[4] M=20; %tedade zaryeb baraye takhmine square wave[5] for i=1:2:M[5] for i=1:2:M[6] sum = sum +(4/pi)*(sin(i*t) / i);[6] sum = sum +(4/pi)*(sin(i*t) / i);

شکل M M متغیرمتغیر تخمین برای فوریه سری از شده استفاده جمالت شکل تعداد تخمین برای فوریه سری از شده استفاده جمالت تعدادکه کنیم مشاهده میتوانیم ضریب این تغییر با که ، میکنند مشخص را ، که موج کنیم مشاهده میتوانیم ضریب این تغییر با که ، میکنند مشخص را ، موجبلکه ، نمیرود بین از ناپیوسگی نقطه در باالزدگی ضرایب، شدن تر زیاد بلکه با ، نمیرود بین از ناپیوسگی نقطه در باالزدگی ضرایب، شدن تر زیاد با

میشود کوچکتر آن پهنای میشود تنها کوچکتر آن پهنای ..تنهاحلقه یک از استفاده با انتها در حلقه و یک از استفاده با انتها در با for for و فوریه با سری فوریه سازی M M سری شبیه را سازی جمله شبیه را جمله

.. میکنیممیکنیمماتریس ماتریس بنابراین از sum sum بنابراین استفاده با اصلی موج شکل تخمین از بیانگر استفاده با اصلی موج شکل تخمین M M بیانگر

میباشد فوریه سری از میباشد جمله فوریه سری از .. جمله

نویسی برنامه نوع از نصیحت نویسی یک برنامه نوع از نصیحت .. یک

کردن زیاد با که میبینید ، کنید اجرا را قبل برنامه کردن اگر زیاد با که میبینید ، کنید اجرا را قبل برنامه حلقه M M اگر شدن اجرا حلقه تعداد شدن اجرا به for for تعداد برنامه و یافته به افزایش برنامه و یافته افزایشبرای ! که ای گونه به ، میشود کند برای ! شدت که ای گونه به ، میشود کند خواهید M M شدت عاجز آن اجرای از که میشود کند حدی به برنامه بزرگ خواهید های عاجز آن اجرای از که میشود کند حدی به برنامه بزرگ های

.… ! .… ! بودبود؟ چیست آن دلیل ؟ اما چیست آن دلیل اما

خط شدن اجرا بار هر خط با شدن اجرا بار هر ماتریس ۶۶با طول به ماتریس ، طول به ، sum sum ای حافظه افزایش معنای به افزایش این و ، میشود ای افزوده حافظه افزایش معنای به افزایش این و ، میشود افزودهحافظه در آن سازی ذخیره برای که حافظه است در آن سازی ذخیره برای که میشود RAM RAM است استفاده میشود کامپیوتر استفاده ..کامپیوتر

خط شدن اجرا بار هر با خط بنابراین شدن اجرا بار هر با که ۶۶بنابراین ، میکند را بیشتر ای حافظه درخواست عامل سیستم از متلب برنامه که ، ، میکند را بیشتر ای حافظه درخواست عامل سیستم از متلب برنامه ، ; این برنامه این سازی بهینه های راه از یکی میشود برنامه اجرای شدن کند باعث و است زمانبر عملی خود ; این این برنامه این سازی بهینه های راه از یکی میشود برنامه اجرای شدن کند باعث و است زمانبر عملی خود این

حلقه به شدن وارد از قبل که حلقه است به شدن وارد از قبل که ماتریس for for است برای نیاز مورد ماتریس حافظه برای نیاز مورد شود sum sum حافظه داده تخصیص آن شود به داده تخصیص آن ..بهماتریس طول ماتریس میدانیم طول طول sum sum میدانیم به ماتریسی را آن است کافی بنابراین ، میباشد دامنه نقاط تعداد ی اندازه طول به به ماتریسی را آن است کافی بنابراین ، میباشد دامنه نقاط تعداد ی اندازه به

صورت t t ماتریسماتریس به را آن که است معمول ولی ، باشد چیزی هر میتواند ماتریس های درایه ، کنیم صورت تعریف به را آن که است معمول ولی ، باشد چیزی هر میتواند ماتریس های درایه ، کنیم تعریفمیکنیم اضافه نیز را خط این ، ششم خط از قبل بنابراین ، کنیم تعریف صفر میکنیم ماتریس اضافه نیز را خط این ، ششم خط از قبل بنابراین ، کنیم تعریف صفر ..ماتریس

sum = zeros(length(t));sum = zeros(length(t));حافظه ، اصلی برنامه اجرای از پیش کنید سعی همواره اما ، میکنید نویسی برنامه زبانی چه با نیست حافظه مهم ، اصلی برنامه اجرای از پیش کنید سعی همواره اما ، میکنید نویسی برنامه زبانی چه با نیست مهم

اصطالح به مموری از را خود های متغیر برای نیاز اصطالح مورد به مموری از را خود های متغیر برای نیاز افزایش allocate allocate مورد تان برنامه اجرای سرعت تا ، افزایش کنید تان برنامه اجرای سرعت تا ، کنیدبیابدبیابد

(( باشند میتوانند برنامه سرعت کاهش اصلی عوامل از نیز تو در تو های حلقه باشند همچنین میتوانند برنامه سرعت کاهش اصلی عوامل از نیز تو در تو های حلقه (.(.همچنین

MATLABMATLAB

یک در را شده زده تخمین موج شکل و اصلی موج شکل کافیست یک حال در را شده زده تخمین موج شکل و اصلی موج شکل کافیست حالباز منظور بدین ، کنیم مقایسه هم با را دو این بتوانیم تا کنیم رسم باز پنجری منظور بدین ، کنیم مقایسه هم با را دو این بتوانیم تا کنیم رسم پنجری

تابع از تابع هم از میکنیم ()plot() plot هم میکنیم استفاده .. استفادهتابع اجرای بار هر با تابع اما اجرای بار هر با و ()plot() plot اما ، داشت خواهیم جدید پنجره یک و ما ، داشت خواهیم جدید پنجره یک ما

چاره ! ، کنیم رسم هم روی و پنجره یک در را موج شکل دو چاره ! نمیوانیم ، کنیم رسم هم روی و پنجره یک در را موج شکل دو نمیوانیم؟ ؟ چیست چیست

اجرای از پس از اجرای میتوانیم از پس از دستور ()plot() plot میتوانیم از ، دستور اول از ، استفاده استفاده ”hold on” hold on“ “ اولکه میگوید متلب به دستور این ، که کنیم میگوید متلب به دستور این ، پالت plot plot کنیم همین روی نیز را پالت بعدی همین روی نیز را بعدی

.. بکشدبکشدرسم هم روی را موج شکل چندین دارید نیاز که مواقعی در رسم بنابراین هم روی را موج شکل چندین دارید نیاز که مواقعی در بنابراین

هر از پس میتوانید ، هر کنید از پس میتوانید ، کنید plot plot کنید استفاده دستور این کنید از استفاده دستور این .. ازمیکنیم کامل را برنامه میکنیم حال کامل را برنامه .. حال

Final CodeFinal Code

n = 1000; % tedade noghate square waven = 1000; % tedade noghate square wave

t = linspace(-pi,pi,n); % tolide n noghte dar bazeye (-pi,pi)t = linspace(-pi,pi,n); % tolide n noghte dar bazeye (-pi,pi)

y = sign(t); % va tolide step wavey = sign(t); % va tolide step wave

M =30;M =30;

sum = zeros(1,length(t));sum = zeros(1,length(t));

for i = 1:2:Mfor i = 1:2:M

sum = sum + (pi/2.5)*(sin(i*t)/i);sum = sum + (pi/2.5)*(sin(i*t)/i);

endend

%Start Plotting%Start Plotting

plot(t,y,'LineWidth',1.2);plot(t,y,'LineWidth',1.2);

hold on;hold on;

plot(t,sum,'r','LineWidth',1.5); %'r' stands for the color redplot(t,sum,'r','LineWidth',1.5); %'r' stands for the color red

%Initializing the Figure Window%Initializing the Figure Window

axis([-2*pi 2*pi -1.5 1.5]); %modifing axis' limitsaxis([-2*pi 2*pi -1.5 1.5]); %modifing axis' limits

thetitle = ['Coefficient = ' num2str(M)];thetitle = ['Coefficient = ' num2str(M)];

title(thetitle);%set the tile of our figuretitle(thetitle);%set the tile of our figure

تابع توسط شده رسم های نمودار برای عنوان تابع تنظیم توسط شده رسم های نمودار برای عنوان PLOTPLOT تنظیم

• نیز ،عنوان اید کرده رسم که نموداری برای میخواهد کنید نیز فرض ،عنوان اید کرده رسم که نموداری برای میخواهد کنید فرضتابع از استفاده با را کار این میتوانید ، تابع بگذارید از استفاده با را کار این میتوانید ، بگذارید title() title() تابع از تابع پس از پس

plot plot کنید کنید استفاده .. استفاده• عنوان به را عدد و رشته از ترکیبی میخواستیم اینجا در عنوان ما به را عدد و رشته از ترکیبی میخواستیم اینجا در ما title title

عدد باید ابتدا ترتیب بدین ، کنیم عدد انتخاب باید ابتدا ترتیب بدین ، کنیم انتخاب M M در رشته حالت به در را رشته حالت به را..آوریمآوریم

• ، کاراکتری یا رشته حالت به عددی فرمت هر تبدیل برای ، این کاراکتری یا رشته حالت به عددی فرمت هر تبدیل برای اینتابع از تابع میتوانید از کنید ()num2str() num2str میتوانید کنید استفاده ..استفاده

• ؟ بچسبانیم هم به را نظر مورد رشته دو چگونه ؟ حال بچسبانیم هم به را نظر مورد رشته دو چگونه حال• اول عبارت را آن اول درایه و کرده تعریف جدید ماتریس یک اول میتوانیم عبارت را آن اول درایه و کرده تعریف جدید ماتریس یک میتوانیم

را … ماتریس این سپس و بگذاریم و دوم عبارت را آن دوم درایه را … و ماتریس این سپس و بگذاریم و دوم عبارت را آن دوم درایه وتابع تابع به .. بدهیمبدهیم ()title() title به

سازی شبیه سازی نتایج شبیه نتایج

تحلیلتحلیل

• پهنای تنها ضرایب تعداد افزایش با میبینید که پهنای همانطور تنها ضرایب تعداد افزایش با میبینید که همانطورندارد تاثیری آن دامنه در ولی ، میشود کم ندارد باالزدگی تاثیری آن دامنه در ولی ، میشود کم . . باالزدگی

• تخمین برای را فوریه سری جمالت از تعداد چه نیست تخمین مهم برای را فوریه سری جمالت از تعداد چه نیست مهمشکل به ، باشد بیشتر آنها تعداد چه هر آنکه با ، کنیم شکل استفاده به ، باشد بیشتر آنها تعداد چه هر آنکه با ، کنیم استفادهباالزدگی دامنه در تاثیری اما ، میشود تر شبیه اصلی باالزدگی سیگنال دامنه در تاثیری اما ، میشود تر شبیه اصلی سیگنال.. نداردندارد

• زمان های سیگنال ناپیوستگی نقاط در که پدیده این زمان به های سیگنال ناپیوستگی نقاط در که پدیده این به ، میگوییم گیبس پدیده ، افتد می اتفاق پریودیک و ، پیوسته میگوییم گیبس پدیده ، افتد می اتفاق پریودیک و پیوسته

است نامطلوب اوقات اغلب پدیده است این نامطلوب اوقات اغلب پدیده این

ریاضیات چاشنی با گیبس ریاضیات پدیده چاشنی با گیبس .. پدیده

از محدودی تعداد جمع بوسیله ناپیوسته تابع یک تخمین در ریاضی ذاتی توانایی عدم بیانگر پدیده این واقع از در محدودی تعداد جمع بوسیله ناپیوسته تابع یک تخمین در ریاضی ذاتی توانایی عدم بیانگر پدیده این واقع درمیباشد پیوسته های کسینوسی و ها میباشد سینوسی پیوسته های کسینوسی و ها .. سینوسی

،توسط بینهایت در تابع یک فوریه سری ضرایب میرایی ، که کرد توجیه نیز قاعده این با میتوان را گیبس ،توسط پدیده بینهایت در تابع یک فوریه سری ضرایب میرایی ، که کرد توجیه نیز قاعده این با میتوان را گیبس پدیدهمیشود کنترل تابع آن همواری میشود میزان کنترل تابع آن همواری . (Smoothness) .. (Smoothness) .میزان

میشوند میرا سرعت به ، ها هارمونیک ضرایب که میبینیم کنیم مشاهده را هموار بسیار توابع فوریه سری میشوند اگر میرا سرعت به ، ها هارمونیک ضرایب که میبینیم کنیم مشاهده را هموار بسیار توابع فوریه سری اگرشد خواهد همگرا اصلی تابع به زودتر فوریه سری که است معنی بدین خود این شد که خواهد همگرا اصلی تابع به زودتر فوریه سری که است معنی بدین خود این .. که

) ( که ، شد خواهند میرا کمتری بسیار سرعت با فوریه سری ضرایب ، مربعی تابع همانند ناپیوسته توابع در ( اما ( که ، شد خواهند میرا کمتری بسیار سرعت با فوریه سری ضرایب ، مربعی تابع همانند ناپیوسته توابع در اماشود همگرا اصلی موج شکل به دیرتر بسیار فوریه سری تا میشود باعث خود نوبه به قضه شود این همگرا اصلی موج شکل به دیرتر بسیار فوریه سری تا میشود باعث خود نوبه به قضه ..اینبودند شکل بدین فوریه سری ضرایب ، مربعی موج شکل در مثال عنوان بودند به شکل بدین فوریه سری ضرایب ، مربعی موج شکل در مثال عنوان به

11- ,- ,1/31/3 , , 1/51/5- , - , 1/71/7 ,…,…میباشد ریاضیات در هارمونیک سری همانند ، سری این میبینیم که میباشد همانطور ریاضیات در هارمونیک سری همانند ، سری این میبینیم که سرعت (Harmonic series) (Harmonic series)همانطور سرعت و و

نمیباشد همگرا کامل طور به سری این که میباشد هارمونیک سری میرایی سرعت همان به نیز آن نمیباشد میرایی همگرا کامل طور به سری این که میباشد هارمونیک سری میرایی سرعت همان به نیز آن !! میراییصورت به همگرایی آنگاه ، باشند مطلق همگرای فوریه سری ضرایب اگر که بگوییم طور این میتوانیم ادامه صورت در به همگرایی آنگاه ، باشند مطلق همگرای فوریه سری ضرایب اگر که بگوییم طور این میتوانیم ادامه در

عدم باعث نمیتواند آنها از حاصل فوریه سری که معناست بدین خود این که ، میدهند نتیجه را عدم یکنواخت باعث نمیتواند آنها از حاصل فوریه سری که معناست بدین خود این که ، میدهند نتیجه را یکنواختبنابراین ، همگراست اصلی موج شکل به فوریه سری نقاط تمام در یعنی ، شوند تابع نقاط برخی در بنابراین همگرایی ، همگراست اصلی موج شکل به فوریه سری نقاط تمام در یعنی ، شوند تابع نقاط برخی در همگرایی

بیاورند وجود به نمیتوانند را گیبس پدیده همانند هایی بیاورند باالزدگی وجود به نمیتوانند را گیبس پدیده همانند هایی .. باالزدگیطور به ای فوریه سری ضرایب ، ناپیوسته تابع یک که است ممکن غیر که بگوییم میتوانیم ، استدالل همین طور با به ای فوریه سری ضرایب ، ناپیوسته تابع یک که است ممکن غیر که بگوییم میتوانیم ، استدالل همین با

پیوسته توابع حدی مجموع صورت به میتوان را تابع این صورت این در زیرا ، باشد داشته همگرا پیوسته مطلق توابع حدی مجموع صورت به میتوان را تابع این صورت این در زیرا ، باشد داشته همگرا مطلق ) یعنی) این و ، باشد پیوسته نیز اصلی تابع باید که است معنی بدین خود این که نوشته کسینوسی و ( سینوسی یعنی) این و ، باشد پیوسته نیز اصلی تابع باید که است معنی بدین خود این که نوشته کسینوسی و سینوسی

. !. ! تناقضتناقض

بر بر مرور MATLABMATLAB مرور

تعداد که بنویسیم تابع یک صورت به را برنامه این میخواهیم کنید تعداد فرض که بنویسیم تابع یک صورت به را برنامه این میخواهیم کنید فرضزده تخمین موج شکل و فوریه ،تبدیل ارور تابع و گرفته ما از را زده ضرایب تخمین موج شکل و فوریه ،تبدیل ارور تابع و گرفته ما از را ضرایب

کند رسم را کند شده رسم را .. شدهتعریف آرگومان عنوان به ورودی یک با جدید تابعی کافیست منظور تعریف بدین آرگومان عنوان به ورودی یک با جدید تابعی کافیست منظور بدین

کنیم استفاده فوریه سری ضرایب تعداد عنوان به را آرگومان آن و ، کنیم کنیم استفاده فوریه سری ضرایب تعداد عنوان به را آرگومان آن و ، ..کنیمنام با نهایی فایل نام که با نهایی فایل سامانه gibbs.m gibbs.m که سامانه در است ivut ivut در شده است ذخیره شده .. ذخیرهتابع فایل توسط تولیدی نتایج میتوانید ادامه تابع در فایل توسط تولیدی نتایج میتوانید ادامه در gibbs gibbs فایل در آن کد فایل که در آن کد که

gibbs.m gibbs.m کنید مشاهده را است آمده کنید میباشد مشاهده را است آمده میباشدجمالت تعداد بر کردن اضافه با کرد خواهید مشاهده که جمالت همانطور تعداد بر کردن اضافه با کرد خواهید مشاهده که همانطور

نقطه در که ما ارور ، شده نقطه استفاده در که ما ارور ، شده ولی t=0 t=0 استفاده ، میشود کمتر میافتد ولی اتفاق ، میشود کمتر میافتد اتفاقکمتر آن پهنای و میشود جابجا تنها بلکه ، نمیشود صفر کمتر هیچگاه آن پهنای و میشود جابجا تنها بلکه ، نمیشود صفر هیچگاهبه) جمالت افزایش با باالزدگی این که است معنی بدین پهنا کاهش به) میشود جمالت افزایش با باالزدگی این که است معنی بدین پهنا کاهش میشودمیشود !( نزدیکتر و نزدیک ناپیوستگی میشود !(نقطه نزدیکتر و نزدیک ناپیوستگی نقطه

Gibbs PhenomenonGibbs Phenomenon

خوبهی خوبهی شاهین [email protected]@gmail.c شاهینomom

““Logic will get you from A to Z; imagination Logic will get you from A to Z; imagination will get you everywhere.” will get you everywhere.”

––Albert EinsteinAlbert Einstein

The The EndEnd

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

gibbs phenomenon - پدیده گیبس

Engineering