TECHNISCHE MECHANIK 2 (1981) Heftl

Manuskripteingang: 4. 4. 1980

Berechnung von Schauteleigenfrequenzen und Untersuchung

spezieller Einflüsse

H. Sollmann

Es wird ein Übertragungsmatrizenverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen und Schwingformen von Schaufeln axialer Turbo-

maschinen vorgestellt, bei dem die Einflüsse der Einspannelastizität, der Temperatur, der Schubverformung und der Drehträgheit der

Querschnitte sowie der Blattverwindung eingearbeitet sind. Da die Aufstellung einer aus Massen- und Elastizitätsmatrix bestehenden

Kombinationsrnatrix im Hauptachsensystem des beliebigen Feldes geschieht, ist bei der Durchführung der Rechnung jeweils nur noch

eine Transformation der Zustandsgröfien in das Hauptachsensystem des nachfolgenden Feldes vorzunehmen. Dadurch wird das vor-

gestellte Verfahren gegenüber bekannten Verfahren erheblich einfacher und es liefert kürzere Rechenzeiten.

l. Einleitung

Das Problem, das hier vorgestellt wird, gehört in das Auf-

gabengebiet der Maschinendynamik, speziell in das

Gebiet der Biegeschwingungen. Das kürzlich erschienene

Lehrbuch der Maschinendynamik von Holzweißig/Dresig

[1] gibt einen Überblick über die Entwicklung der

Methoden der Modellfindung und der Modellberechnung

in der Maschinendynamik und läßt den Platz erkennen,

den diese Problematik einnimmt. In diesem Aufsatz wird

bereits von einem angemessenen Modell zur Berechnung

der Biegeschwingungen, speziell der Eigenfrequenzen,

ausgegangen. Bei der Berechnung der Eigenfrequenzen

von Laufschaufeln axialer Turbomaschinen berücksich-

tigt man oft die Einflüsse der Einspannelastizität, der

Temperatur, der Schubverformung und der Drehträgheit

der Querschnitte sowie der Blattverwindung gesondert

[2]. Das hat den Vorteil, daß man weiß, wie groß dieser

oder jener Einfluß ist, bzw. mit welchen Änderungen zu

rechnen ist, falls bei der Auslegung bestimmte Parameter

geändgrt werden. Indessen lassen sich diese Einflüsse in

bequemer Weise durch das Verfahren der Übertragungs-

matrizen berücksichtigen. Untersuchungen hierzu, die

den einen oder anderen Einfluß berücksichtigen,

insbesondere den der Verwindung, werden beispielsweise

in [3], [4] vorgenommen.

In der vorliegenden Arbeit wird die Gültigkeit der Bal-

kentheorie vorausgesetzt, d. h. es werden formsteife

Profile angenommen. Ferner wird vorausgesetzt, daß

Profilschwerpunkt und Schubmittelpunkt so dicht bei-

einander liegen, daß sie als identisch betrachtet werden

können, wie das bei zahlreichen Schaufelprofilen der

Fall ist. Damit ist es möglich, den Kopplungseffekt

zwischen den vor allem interessierenden Flachkantbiege-

schWingungen und den Torsionsschwingungen zu ver-

nachlässigen, der, wie Untersuchungen zeigten [5], [6],

die Rechnung erheblich aufwendiger gestaltet, wobei im

allgemeinen zu vernachlässigende Frequenzänderungen

zu erwarten sind. Alle anderen genannten Einflüsse

werden berücksichtigt, und es wird auch bei der Auf-

stellung der Matrizen und Durchführung der Rechnung

ein anderer, einfacherer Weg gegenüber den in der Litera-

tur angegebenen eingeschlagen, der im Hinblick auf ein

aufzustellendes Rechenprogramm zu bedeutend kürzeren

Rechenzeiten führt.

2. L0sungsweg

Ausgangspunkt ist ein verwundener Balken, Bild l, der

in diskrete Punktmassen und masselose, elastische Felder

unterteilt wird. Die Drehträgheit der Querschnitte wird

durch entsprechende Massenträgheitsmomente berück—

Bild 1

Aufsicht einer verwundenen Turbinenschaufel

sicbtigt, die den Punktmassen zugeordnet werden. Den

masselosen, elastischen Feldern wird außer der Biege-

steifigkeit auch eine Schubsteifigkeit zugeschrieben, so

daß damit die Schubdeformation Berücksichtigung

findet. Indem man den in der Biegesteifigkeit ent-

haltenen Elastizitätsmodul und den in der Schubsteifig—

keit enthaltenen Gleitmodul eines jeden Feldes als Funk-

tion der Temperatur betrachtet, wird dem Einfluß der

Temperatur Rechnung getragen. Die Verwindung'y des

gesamten Balkens denkt man sich aus sprunghaften

Änderungen A'yk an den Schnittstellen zusammen-

gesetzt.

Das so vorbereitete Modell wird nun unter der Wirkung

der Fliehkraft betrachtet. Hierbei wird nicht der von

Jäger [4] eingeschlagene, aufwendige Weg beschritten,

der eine dauernde Hin- und Rücktransformation

zwischen dem scheibenfesten Koordinatensystem xyz

und dem Hauptachsensystem Enz des betrachteten

Feldes erforderlich macht, sondern es werden die

41

Zustandsgrößen im Hauptachsensystem beschrieben.

Werden die Elastizitätsmatrix des masselosen, elastischen

Feldes und die Massenmatrix noch zu einer Kombina-

tionsmatrix zusammengefaßt, so ist dann an der Schnitt-

stelle zum nächsten Feld lediglich eine Transformation

der Zustandsgrößen in das neue Hauptachsensystem vor-

zunehmen. Dem Einfluß der Einspannelastizität wird

schließlich durch entsprechende Berücksichtigung der

Randbedingungen an der Einspannstelle Rechnung

getragen.

_ q ' Ä2 Ä3

v— 1 Ä k ( _k _

HT k 26k 66k

Ä 2

w: 0 1 _.k_ AL

.:= 5k 26k

M-T __ O Ä ö l Äk /EI k k k

QFTZ __ o 0 0 1

- EI ‚i u

3. Beschreibung der Matrizen

3.1 . Elastizitätsmatrix

Bezeichnet man nach Bild 2 mit vz eine der Ebenen Ez

bzw. nz des Hauptachsensystems (Bild 3), so erhält man

mit den Gleichgewichts- und Verformungsbedingungen

nach Integration und Beacht_ung der Randbedingungen

zwischen den Schnittstellen k und k-l den Zusammen-

hang der Zustandsgrößen in dimensionsloser Form

J Feldk(EIk‚rs‚GAk‚l„)

(r

{x

“\

F k-1 F z_

VK.

9m (1(2) (um da(\ l I

Bild 2

Balkenelement

mit den Bezugsgrößen

l—

Ei — Bezugssteifigkeit

— Bezugslänge

und den Abkürzungen

1 EI s T2 GA T2_ k _ . _ __

Äk 3ek‘_k’5k' .k. W k_. ‘ (2)

EI EI KS EI

42

Die Längskraft Sk wurde dabei im Feld k als konstant

betrachtet. Ferner wurde unter der Voraussetzung einer

kleinen Feldlänge 1k die Näherung

“’m z S”k-I

verwendet, und es wurden die in die Matrix (l) zunächst

eingehenden Größen

2 2 Aakxk ökÄk 3L (3)

66k 26k 0k

39‘ 3/ Wk-l -

0k l

‘Pk.1

T (1)

M _

k'l / EI

T2 __

_ _Qk'l E14

gestrichen, da sie im allgemeinen sehr viel kleiner als 1

und damit gegen 1 vernachlässigbar sind.

Feld “51“,“, ‚25)

n1th

“km?“

Bild 3

Kräfte und Verschiebungen der Masse mk

Im i'm-Koordinatensystem besteht damit der Zusammenhang

r - _— )‘Izc 7‘: "k Igfi 1 xk (—6.. _ _).

Zenk enk Ok I

Ä2

p,” O 1 —)\k— k '

I

MUT/EI 0 Aksk 1 xk |

_ I2

Qg' /_ o 0 o 1 |

EI

_ _. ._ - = l

O 0 0 O i"/T I

I

I

„E 0 0 0 0 |

!MT_ 0 0 O 0 I

E /EI I

2QnT E 0 0 0 0 :

- - F L.

oder

2; = EkEk-l ‚ (5)

wobei die unterschiedlichen Biegesteifigkeiten in dimen-

sionsloser Form durch

e 2 Elmk.

77k ET ’

EIE‚k:+ 6

65k ET ( )

bezeichnet sind.

3.2. Massenmatrix

Bild 3 zeigt die Verhältnisse. Die an der Masse mk

angreifende Fliehkraft Fk wird ausgedrückt durch ihre

Komponenten im Enz-Hauptachsensystem‚ das zur Be-

schreibung der Deformation des masselosen Balken-

abschnittes benutzt wurde und in dem auch die

Bewegung der Masse mk beschrieben werden soll. Der

Masse mk werden zur Berücksichtigung der Drehträgheit

noch die Massenträgheitsmomente Jgk bei Drehung um

die E-Achse in der nz-Ebene und Jnk bei Drehung um die

n-Achse in der Ez-Ebene zugeordnet.

In das Bild 4 sind in den beiden Ebenen Ez bzw. nz außer

den Komponenten der Fliehkraft noch die weiteren

Trägheitswirkungen, die Schnittreaktionen und die im

Feld k bzw. im Feld k+l konstante Längskraft Sk bzw.

Sk+1 eingetragen.

Man sieht aus dem Gleichgewicht der Kräfte in z-Rich-

tung, daß sich die Stabkraft im nachfolgenden Balken-

abschnitt k+l um die Komponente Zk der Fliehkraft Fk

vermindert.

--——————-———————._-.—

O

0 0 0

0 o 0 «pn

O 0 0 Mül/E

o o 0 QET2/_

EI.. ._ ._ .. 4)

2 3 (

255k 0k

A x2

1 ——k— k ‘Pg

65k 265k

Äkök 1 >‘k MEI/E

20 0 1 OJ E

_ L _ k-l

Die übrigen Gleichgewichts und Verformungsbedin-

gungen bilden die Grundlage für die Massenmatrix.

Berücksichtigt man dabei die Zusammenhänge

Uk

Zk

yk

R+zk ,

(7)

yk = 2k sin'yk + 11k cos’yk; xk = 5k cos'yk — 12k sin'yk , (8)

so wird wegen

Zk s Fk =mk<R+zk>92 (9)

Uk z mk szk = mk 92 (Ek sin'yk + nk cos'yk), (10)

so daß die in den Gleichgewichtsbedingungen auf—

tretende Größe Uk eliminiert werden kann.

Mit den schon verwendeten und den weiteren Abkür-

zungen

m EI 002

#k=_—"; <32: —:‚:2=—2— <11)m [71 1 3 Ö

und 2

J k J k $2ünk=__n__2;t9€k:_%; 12=__’ (12)

nil 1711 52

wobei 1T1 — Bezugsmasse,

erhält man in dimensionsloser Form

5k = Mk 51: (13>

mit der Massenmatn'x

43

3.3. Kombinationsmatrix

Aus den Gln. (13) und (5) folgt

_ik z fikEkEk-l = Fkik-l ’ (15)

dabei stellt Fk die dimensionslose Kombinationsmatrix

dar, die mit den Bezeichnungen nach Bild 5 lautet

1 Äk aIn am I 0

0 1 a3n al n l 0

0 am a5,” a6," I o

bs 1ka alan (111932,?l 37

L _ _ _ _ . _ _ _1__

" I0 0 0 0 l l

0 0 O 0 I 0

0 0 0 0 | 0

g a7 >‘15"‘7 a73111 at73217 he

wobei in der Matrix (16) abgekürzt wurde

_ Ki 1%aln - 2 als :

3 3

a = Lk- i a = ‘_k _ Lk27’ 6€ a s 6€ o

nk k 5k k

Ä Äk

a3 — 83 : —

n enk E Esk

b3 = pk(fzsin27k + :2)

1 0 0 0 I 0 0 0 0 T

o 1 o 0 l 0 o 0 o

0 .ank g2 1 o I o 0 0 0

uk(rzsin27k+§2) 0 0 1 : „krzsinykcosyk 0 0 0

Mk 2 _ _ _ _ _ _ _ _ .. I. _ _ _ _ _ — — —— (14)

0 o 0 o | 1 o 0 o

0 0 0 0 ' o 1 0 0

0 0 o 0 o .9352 1 0

L ka2sin7k cos'yk 0 0 0 l „((12 c0s27k+;2) 0 n 1 a

Bild 4

Schnittreaktionen, Trägheitswirkungen und Stablängskräfte im

Hauptachsensystem

0 0 O

0 O O

0 0 O

‘‘ _ — . — “ — (16)

>‘k als 32$

1 33€ als

345 “52 36$

Äkbc a1 Ebe (1+bc)a2€

Äkank 52 35€ = 1 _ M951: g‚2

(ink 65k

)‘121 ‘9 k 2 232395 2-Äk-—2€—1Lf 362=Äk— e f

nk Sk

(16a)

a7 = ukT2sin7k ' cos'yk

bc = uk(1200527k +

Die in die Abkürzung (2) eingehende Stahlängskraft Sk

des Abschnittes k berechnet sich aus

n n

sk = 25„ z $22 vaan z„).

V=k V=k

(17)

3.4. Transfornwtionsnmtrix

Da die Hauptachsen des nachfolgenden Querschnittes

um den Winkel A'yk = 7k+1 ~7k gedreht sind, ist der

Ausgangsvektor aus dem Feld k nicht gleich dem Ein-

gangsvektor in das Feld k+1‚ und es muß erst eine Trans-

formation der Zustandsgrößen in das neue Hauptachsen-

system 517 vorgenommen werden. Nach Bild 6 erhält man

cos A7k 0 0 O

0 cos Ayk 0 O

0 0 cos A'yk 0

O O 0 cos Ayk

T z

——sm A'yk 0 0 0

0 —sm A'yk 0 0

0 0 —sm A'yk 0

b 0 O 0 —sm A'yk

Bild 6

Zur Transformation der Zustandsgrößen

für eine beliebige Zustandsgröfie, zum Beispiel für die

Verschiebung v, die durch die Komponenten vE und v

ausgedrückt ist, nach der Drehung n

v—=v cosAyk +v sinA'yk,E E n (18)

v7? = — vE sin A'yk + vn cos A'yk

usw.

Somit ist der Zusammenhang der Zustandsgrößen nach

und vor der Drehung hergestellt, er lautet

‘z'k = Tk -‘z‘k (19)

mit der Transformationsmatrix

sin Ayk 0 0 0 "

0 sin A7k 0 O

O 0 sm A7k 0

0 0 0 sm A‘yk

(20)

cos A7k 0 0 0

0 cos A7k 0 0

0 0 cos A'yk 0

0 0 O cos AykJ

FeldHEI'ImiE—TgkiG/‘nik’k i‘rSilk)

Bild 5

Zur Kombinationsmatrix

1. Rechengang

Beginnt man die Rechnung am Innenrand, so ist A7k

negativ (vgl. Bild l), und es ist bei elastischer Einspan-

nung durch die Randbedingungen

= 0VE’O = 0; Vn,0

_ M„T _

80""): fl".M"’0:B"< Ü >0; ß":ßn

_ MEI _ EI

02,0: ßE'ME’OSßE(E_I )0; ‘T—

der Eingangsvektor festgelegt, nämlich

45

-01 _0

1 o

O (MT) 1 QETZ

EO: —-- —_-_n— + -—-

9 EI 0 0 EI 0

0 O

0 0

L0- h—O-

Bei dieser Vorgehensweise sind für die numerische Aus-

wertung auf einem Digita_lrechner die bezogenen Ein-

spannelastizitäten ET, und ß; als Zahlenwerte vorzugehen

und es ist die Kreisfrequenz 0.) so lange zu variieren, bis

der Restwert R(w) zu Null wird, der durch die Rand-

bedingungen des Ausgangsvektors gegeben ist.

Führt man indessen die Rechnung vom freien Außenrand

zum Innenrand durch; so ist A'yk positiv und es ist eine

Kombinationsmatrix F]: zu verwenden, die sich aus der

Matrix (16) durch Spiegelung an der Nebendiagonalen

ergibt. Die Stablängskraft lautet dann

k

s: = 522 vam + 21,).

12:1

(23)

Dieser Weg hat den Vorteil, daß die Einspannelastizi-

täten erst nach den Matrizenmultiplikationen über die

FO 0

0 0

0 0

° (“9) ° (“7‘”)+ ___ _ + --- __ (22)

0 E1 0 0 E 0

Es 0

1

-0 .1 L1 d

Randbedingungen am Innenrand in die Rechnung ein-

gehen. Es läßt sich dann das Problem umkehren, indem

nämlich das zugehörige Wertepaar (BE, ß ) berechnet

. .. . 77 .

Wird, welches das gewahlte w zur Eigenkrelsfrequenz

macht. Gibt man das Verhältnis der Einspannelastizi-

täten

ß

V z i

ßn

über flache und hohe Kante vor, so läßt sich schließlich

die Funktion BE = f(w‚V) aufstellen, aus der die

Frequenzen für bestimmte Werte BE bei gegebenem Ein-

spannverhältnis abgelesen werden können.

(24)

Liegt der Eigenwert w fest, so liefert eine nochmalige

Durchrechnung den Zustandsvektor an der Schnitt—

stelle k, Gl.(15). Die damit festliegenden Verschie-

bungen Ek und 11k lassen sich anschließend mit dem

Winkel 7k nach den Gln. (8) in das xyz-Koordinaten-

Tabelle l

Berücksichtigung von l. Eigenwert 2. Eigenwert

(Flachkant- (Hochkant-

schwingung) schwingung)

ohne mit ohne mit

Verwindung Ver— Verwindung Ver-

windung Windung

Handr. Auto- Auto- Handr. Auto- Auto-

matr. matt. matr. matr.

f[Hz] f[Hz] f[Hz] f[Hz] f[Hz] f[Hz]

Biegung 310,3 309,9 313,5 1241,3 1239,8 1009,8

Biegung,

Schub und 308,9 308,4 311,1 1161,9 1160,4 972,2

Drehträgheit

Biegung,

Einspann- 259,5 259,9 263,1 1241,3 1240,5 945,4

elastizität

Biegung,

Schub u. Dreh-

trägheit, 276,4 276,3 278,7 1167,4 1165 923,7

Einspannel.,

Fliehkraft

46

system umrechnen, so dal3 die Schwingform vorliegt. Das

beschriebene Verfahren wurde in der Sprache FOR-

TRAN für die Rechenanlage BESM 6 programmiert”

und steht als Programm zur Nutzung bereit.

5. Berechnungsbeispiel

Aus Gründen der Vergleichbarkeit der Rechenergebnisse

bei getrennter Berücksichtigung verschiedener Einflüsse

wird ein in der Radscheibe elastisch eingespannter Stab

mit konstantem Rechteckquerschnitt untersucht, der

zwischen 'yi und 7a gleichmäßig verwunden ist. Alle für

die Rechnung erforderlichen Daten sind in das Bild?

eingetragen.

- 3000min"

- 500mm

- 200mm

- 60 mm

15 mm

%L rod (80').

a' {gr—rad (20°)

- o

[31 - 0,6-10'81/Nmm

E - 2,06405N/mm2

-L

6 2,6

?5- 1,2

op°<5SJUPRJJ

I

Bild 7

Daten für das Berechnungsbeispiel

l) Die Programmierung wurde freundlicherweise von Herrn

Doz. Dr.-Ing. D. Orlamünder, Rechenzentrum der TU Dres-

den, übernommen.

Tabelle l zeigt die Ergebnisse. Dabei sind die mit dem

Rechenautomaten erhaltenen Ergebnisse denen gegen-

übergestellt, die man von Hand bei gesonderter Berück-

sichtigung der Einflüsse erhält (vgl. auch Für die

Automatenrechnung wurde der Stab in 20 Abschnitte

unterteilt. Diese Unterteilung ist für die Untersuchung

der ersten beiden Eigenfrequenzen offensichtlich fein

genug, um genügend genaue Werte zu erhalten, denn die

Ergebnisse der Automatenrechnung unterscheiden sich

von denen der Handrechnung für den unverwundenen

Stab nur äußerst wenig voneinander.

Man sieht, daß durch die Verwindung der erste Eigen-

wert geringfügig erhöht (N 1 %)‚ der zweite Eigenwert

indessen beachtlich herabgesetzt wird (z 20 %).

LIT ERAT UR

[l] Holzweifiig/Dresig: Lehrbuch der Maschinendynamik. VEB

Fachbuchverlag Leipzig 1979.

[2] Sollmann, H.: Schaufelschwingungen axialer Turbo-

maschinen. Dissertation B an der TU Dresden 1977.

[3] Dietrich, G., Anke, H.: Die Berechnung der Biegeeigen—

frequenzcn verwundener Schaufeln mit Hilfe von Über-

tragungsmatrizen. Maschinenbautechnik 11 (1962),

S. 627 — 630.

[4] Jäger, B.: Die Eigenfrequenzen verwundener Schaufeln.

Ingenieur-Archiv, XXIX. Band 1960, S. 280 — 290.

[5] Montoya, I.: Gekoppelte Biege-Torsionsschwingungen

einer stark verwundenen rotierenden Schaufel. Brown

Roveri Mitteilungen. Bd. 53. Nr. 3, S. 216 — 230.

[6] Stüwing, D.: Berücksichtigung der Kopplung zwischen

Biegung und Torsion bei diskreten Balkenmodellen.

Maschinenbautechnik 24 (1975), S. 567 — 570.

Anschrift des Verfassers:

Doz. Dr. so. techn. H. Sollmann

Technische Universität

Sektion Grundlagen des

Masohinenwesens,

8027 Dresden, Mommsenstraße

47