GÖSTERİYE BAŞLA

Aa b

b

adxxfA )(

b

adxxfA )(

a bA

a b

A1

A2

b

a

c

bdxxfdxxfA )()(

Rbaf ],[: tanımlı ve bu aralıkta sürekli olmak koşuluyla;

b

a

dxxf )(İntegralinin değerine x=a dan x=b ye kadar f(x) eğrisi ve x ekseni arasındaki alan denir.

TANIM:

f(x) in grafiği y-ekseni y=m ve y=n doğrularıyla sınırlı bölgenin alanı

m

n

A

n

mxdyA

NOT:

6

3)( dxxfa) Yukarıda verilen f(x) fonksiyonuna göre

integralinin değeri nedir? Denildiğinde alanların cebirsel toplamı yapılır.

6

3152059( dxxf

b)|-3,6| aralığında f(x) ve x ekseni arasındaki taralı alan nedir? denildiğinde ise mutlak değerce toplamı yapılır.

26

325205)( brdxxf

-3 63br2

20br2

ÖRNEK1 :x+2 doğrusu x=-1, x=2 doğruları ve x-ekseni arasında kalan alankaç br2dir?

ÇÖZÜM: meydana gelen şekil yamuk olup integralsiz de çözülebilir.

22

2

1

2

1

2

1

2

2

152

2

12*2

2

2

22

)2()(

br

xx

dxxdxxfA

y=x+2

x

-2

2

-1 2

y

ÖRNEK2: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz.

ÇÖZÜM:

-2 2

2

2

33

2

2

2

2

32

3

16

3

44

3

44

6

22*2

6

22*2

3*

2

12

22

br

xxdx

xA

Şekillerde görüldüğü gibi taralı alan;

dirdxxgxfAb

a')()(

a b

f(x)

g(x)

1)f(x)

g(x)

a b

g(x)

f(x)

g(x)a

b

f(x)

2) İki eğri arasında kalan alan şekildeki gibi ise

f(x)

a b c

g(x)

c

adxxgxfA )()(

b

a

c

bdxxgxfdxxfxg )()()()(

ÖRNEK3: y=x2 eğrisi ile y=x+2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?

ÇÖZÜM: Önce kesim noktaları bulunup, grafik çizilir.

y=x2 , y=x+2

x2=x+2

x2-x-2=0

(x+1) (x+2)=0

x=-1 , x=2

y=x+2

y=x2

x

-2

2

2

-1

y

b

adendxxgxfA ')()(

2

2

1

2

1

322

2

9

2

15

3

1

3

8

2

126

3

12

2

1

3

842

32

2)2(

br

xx

xdxxxA

ÖRNEK4: y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?

ÇÖZÜM: y=x-6

y2=x

3

-2x

yy2=y+6

y2-y-6=0

(y+2) (y-3)=0

y=-2 , y=3

Şekilden de anlaşılacağı gibi y ekseni arasında kalan alanı bulmalıyız.

dirbr

yy

ydyyyA

'6

125

6

1119

3

8

2

919

3

8109

2

9

3

812

2

4

3

2718

2

9

36

26

2

3

2

3

2

322

ÖRNEK5: f(x)=x2-x, g(x)=3x-x2 eğrileri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM: iki eğriyi ortak çözüp integral sınırlarını bulalım.

f(x)=g(x) x2-x=3x-x2 ise 2x2-4x=0 x=0, x=2 dir.

2

0

2

0

223)()( dxxxxxdxxfxgA

.'3

8

3

1680

3

8*24*2 2 dirbr

2 3 22 2

0 0

44 2 2

2 3

x xA x x dx

ÖRNEK6: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki

gibidir. Buna göre; ve

ise

değeri nedir?

c

adxxf 10)(

c

adxxf 18)(

c

bindxxf ')(

a bc

f(x)

ÇÖZÜM:

ise üstteki pozitif alan ile alttaki negatif alanın toplamıdır.

c

adxxf 18)( şekildeki taralı alanların toplamıdır.

c

adxxf 10)(

b

aAdxxf )(

c

bBdxxf )( (B<0) dersek,

c

a

c

a

BAdxxf

BAdxxf

10)(

18)(

4

14

10

18

B

A

BA

BA

c

bdxxf 4)(

Yani;

bulunur.

ÖRNEK7: Grafiği verilen f(x) fonksiyonu,

x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan taralı alan kaç br2dir?

y=x2+2x

2-2

x

y

2

2

0

23

0

2

23

2

2

2

0

20

2

22

2

2 21

83

24

3

20

3

404

3

84

3

80

33

222

)(

br

xx

xx

A

dxxxdxxxdxxx

AAdxxf

ÇÖZÜM:

Y=f(x) denklemi ile temsil edilen eğrinin [a,b] aralığına ait parçanın Ox ekseni etrafından döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmi :

b

a

b

a

x dxydxxfV 22)(

x

y=f(x)y

ba

1.

2.Aynı şekilde y=f(x) denklemi ile temsil edilen [c,d] aralığına ait parçanın Oy ekseni etrafında döndürülmesi ile meydana getirilen cismin hacmi:

c

c

d

c

y dyxdyyfV 22)(

d

a b

c

x

y

y=f(x)

f(a)=c

f(b)=d

3.

ba

y

x

f(x)

g(x)İki eğri arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında 360 derece döndürülmesinden elde edilen şeklin hacmi:

b

a

x dxxgxfV ])()([ 22

Örnek 1:

y=x2 eğrisi ile x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür?

3

2

0

5

2

0

4

2

0

2

5

32

5

br

x

dxx

dxyVx

dür.

x=2

x

y

y=x2

Çözüm:

Örnek 2: y=ex eğrisi ve x=1 doğrusu ve eksenler arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür?

Çözüm: y=ex

1 x

y

32021

0

2

1

0

2

21

0

1

0

2

12222

breeee

dxe

dxe

dxyV

x

x

x

X

Örnek3:

Çözüm:

y=cosx eğrisinin x=0, x=л doğruları ve x ekseni arasında kalan alanın yine ox ekseni etrafında döndürülmesinden meydana gelen cismin hacmi kaç br3’tür?

y=cosx

/2 0

y

x

0 ve /2arasındaki alan, /2 ile arasında kalan alana eşit olduğundan x ekseni etrafında dönmesinden oluşacak hacimlerde eşit olacağından;

2

0

2

0

2

0

22

0

2

12cos2

12cos2

cos22

dxxdxx

xdxdxyVx

32

20

22

022

1*

22sin

22

1*2sin

br

x

Örnek4:

Çözüm:

f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür?

Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir.

Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur.

-3/2 3/2x

y f(x)=-2x*2/x4 =-4/x3

m=f-1(x)=-4

x=1 için f(1)=2

A(1,2)

Teğetin denklemi:

y-y1=m(x-x1)

y-2=-4(x-1)

y=-4x+6

1. Yol: Şekil konidir. Koninin hacminden;

3

2

2

2

9

3*4

6*9*

3

6*23

*

3

**br

hrV

2.Yol:

3

3323

6

0

23

6

0

26

0

6

0

22

2

9

16

72*

667216

06*366*63

6

16

362

12

316

3612164

6

br

yyy

dyyydyy

dyxVy

Örnek5: İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz.

Çözüm: Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım.

A(0,r)

B(h,0)

y

x

A (0 , r) = (x1 , y1) , B = (h , 0) = (x2 , y2)

(x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1)

(x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r)

-x*r = h*(y-r) ise y=r-(x*r)/h

Buna göre;

32

222

3

2

22

22

0

3

2

2222

0 2

2222

0

2

3

**

3

03

**

3*

2*

2*

***2

*

brhr

V

hrhrhr

h

h

rh

h

rhr

x

h

rx

h

rxr

dxh

rx

h

rxr

dxh

rxrV

x

h

h

h

x

1 ) y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

E) 3/2 A ) 16/3 B) 8/3 C ) 4/3 D) 3

ÇÖZÜM: A=A1+A2

y=x2-2x

y

x

32

2

3

2

232

0

23

2

0

3

2

22

3

8

3

40

3

4

43

89

3

2704

3

8

22

322

3

22

br

xxxx

dxxxdxxxA

CEVAP B

2) y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

E ) A ) 4 B) C ) D ) 2 3 43 43

4

43

ÇÖZÜM:

-1

y=3

y=x3-1

233 4

3 43 4

3

13 4

4

3

1

3

1

32

23

3

1

3

1

3

434*4

3

)11(134

3

14

3

43

33*

*31

1

br

yt

dttdtttA

dydttyt

dyyxdyA

CEVAP D

3) y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin alanı kaç br2’dir?

E) 5/2 A ) 1/2 B) 1 C ) 3/2 D) 2

SANKİ BULDUM

GİBİ..

e1

y=lnx

y

x

2

1

1

110)(

11ln*1ln*

ln*

**lnln

bree

eee

xxx

x

dxxxxxdxA

e

e

xu ln dxdv xv x

dxdu

exdxA

1ln

CEVAP B

ÇÖZÜM:

4) y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir?

E) 8/3 A ) 11/12 B) 5/6 C ) 4/3 D) 1/2

ÇÖZÜM:

-11

1

y=x2

y=2-x2

y=x2

y=2-x2

x2=2-x2

2x2=2 ise x2=1

x=1, x=-1

2

33

1

1

1

1

32

1

1

221

1 21

3

8

3

4

3

4

3

4

3

4

3

22

3

22

3

1*21*2

3

1*21*2

32222

2)(

br

xxdxx

dxxxdxyyA

CEVAP E

5 ) f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve

f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir?

E) (e-2)/2 A ) 2 B) 1 C ) e D) e/2

ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur.

f(x) = lnx A(e,1)

f´(x)=1/x ise m=1/e dir

y-y1=m(x-x1)

y-1=1/e(x-e)

y=x/e-1+1 y=x/e

T

y=lnx

01 e

1

2

21

2

1ln*ln

21**

2

1

1 1

ee

A

xxxxdxS

eeA

e e

üçgen

CEVAP E

6 ) f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360 döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

E) A ) /15 B) 2/15 C ) 1/15 D) 15/A ) /15 B) 2/15 C ) 1/15 D) 15/

ÇÖZÜM: f(x) =g(x) x2=x x=0 veya x=1

3

1

0

53

1

0

42

1

0

22

15

2

5

1

3

1

5

1

3

1

*

br

xx

dxxx

dxxfxgV

CEVAP B

1

f(x) =x2

g(x) = x

7 ) y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy eksen etrafında 360 döndürülmesi ile elde edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.

E) /3 br3 A ) 2 br3 B) 3/2 br3 C ) br3 D) /2 br3

2 y=2

y= x

ÇÖZÜM: y = x2 x = y (x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:

32

0

2

2

0

22

0

2

4

2

****

bry

dyydyyV

CEVAP A

8 ) x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?

E) /2 br3 A ) 32/2 br3 B) 32/3 br3 C ) 16 /2br3 D) 5/6 br3

3

1

5y=(4-x2)+3

-2 2

ÇÖZÜM: M(0,3) r=2

Oluşacak şekil küre olduğundan

Kürenin hacmi ile de çözülebilir.

Vy=4/3 br3 =4/3*8

32/3 br3

CEVAP B

9 ) y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmi kaç br3’tür?

E) /256 br3 A ) 256/4 br3B) 128/5 br3C ) 64 /2br3 D) 256/5 br3

ÇÖZÜM: x2=y x2=4 x=2 , x=-2

y2=x2

y1=4

-2 2

32

2

4

2

2

22

21

5

25616*

*

brdxx

dxyyVx

CEVAP D

İLK SLAYT