GRAPH THEORY 圖論

第二組 晏彩霞陳弘益王文斕

Contents 圖論的起源 + 圖的基本概念 一些特殊的圖 在電腦上表示圖的方法 一些圖論的應用

什麼是圖？ 圖論中所謂的圖是由一些點 (vertices) ，和一些連接兩點

的邊 (edges) 所形成的

圖論的起源 哥尼斯堡七橋問題 : 要如何走過每座橋恰一次，再返回出

發點？

普瑞格爾河

一筆畫問題 哥尼斯堡七橋問題可以看成是：對這樣一個封閉的圖形，

是否可以一筆畫完成它並且回到原點

數學家歐拉 (Euler, 1707-1783) 於 1736 年嚴格地證明了上述哥尼斯堡七橋問題無解，並且由此開創了圖論的典型思維方式及論證方式

圖的基本概念

圖的定義 我們用 G=(V,E) 來表示一個圖，其中

V 為圖的點所形成的集合 E 為圖的邊所形成的集合

相鄰 (adjacent): 由一邊所連接的兩個點稱相鄰 獨立 (independent): 兩點沒有邊相連

V={a, b, c}E={e1, e2} ={ac, ab}

a is adjacent to b and cb and c are independent

一些基本的圖形

Graph( 無向圖 )

Digraph( 有向圖 )

Multigraph( 多圖 )

Pseudograph

loop

loop

Path and Cycle

路徑 (path): 是一個有限非空的點和邊的交錯序列，其中的點兩兩不相同

迴圈 (cycle): 起點和終點相同的路徑

路徑 P=fdabce

迴圈 C=abca

E.g.

連通性 connectivity 對於圖中的任意兩點 x,y 皆存在 (x,y) 路徑

這是一個由兩個連通子圖所構成的非連通圖

加權圖 weighted graph 加權圖 (weighted graph): 對每一個邊賦以一個實數的權

值

分集合 Partite sets A graph G is m-partite if it can be partitioned into

m partite sets such that each edge of G joins two vertices in different partite sets

This graph can be partitionedinto 3 partite sets V1={A,B} V2={C} V3={D}

每一個邊所連到的點都在不同的分集合 !

Isomorphism G is isomorphic to H (G~H) if:

G 上的每一點在 H 上都只有一個對應的點，使得在 G 上相鄰的兩個點在 H 上面也是相鄰的

The three graphs above are isomorphic這三個圖表示相同的概念

生活中的一些例子

台大網路架構圖

一些特殊的圖

完整的圖 Complete graphs 任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以

Kn 來表示， n 為點數，邊數為 2nC

樹狀圖 Trees 樹 (tree): 一個連通的無圈無向圖

若有 n 個點，則有 n-1 條邊 任兩點間僅有一條路徑

生成樹 (spanning tree): 包括圖中所有的頂點，並且是一顆樹

A connected graph G

Spanning trees of G

tree

雙分圖 Bipartite graphs A graph that can be decomposed into two partite

sets but not fewer is bipartite It is a complete bipartite if its vertices can be

divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and vice-versa

Complete bipartite graph K2,3The graph is bipartite

平面圖 Planar graphs A planar graph is a graph that can be embedded

in a plane so that no edges intersect

Planar: =

NOT Planar:

在電腦上表示圖的方法 Incident list Incident matrix Adjacency list Adjacency matrix

Adjacency list and adjacency matrix

adjacency matrix

A:BB:A,C,DC:B,DD:B,C

adjacency list

圖論的應用及演算法

連通性問題 (Connectivity) Question : 判斷一個圖形是否具有連通性

Main Algorithms: 深度搜尋法 (Depth-first search) 廣度搜尋法 (Breadth-first search)

深度搜尋法 (Depth-first search) Example: a graph with 10 vertices

(1) (2)

(3)

(4)(5)

(6)(7)

(8)

(9)

(10) 完成 !

廣度搜尋法 (Breadth-first search)

Check A B D E C H J F G I

(1) (1)

(1)(0)

(2)

QueueABDEDECECCHJFGJFGIFGIGII

(3)

(3)

(3)(3)

(4)

完成 !

日常生活中的例子： 深度搜尋法 (Depth-first search)

Question : 判斷圖形可否一筆畫完，亦即筆尖不離開 紙面，而且每條線都只畫一次而不重複 .

一筆畫問題 (Euler Tour)

已知一圖形 , 我們能否將它所有的邊排成一連續路徑 ( 稱為 Euler Tour)

一筆畫定理：一個圖形是一筆畫的 iff 它是連通且奇頂點 (odd vertex) 的個數等於 0 或 2

一筆畫問題 (Euler Tour) 哥尼斯堡 (Konigsberg) 七橋問題

一筆畫問題 (Euler Tour) 中國郵路問題

可以一筆畫 不能一筆畫

更複雜的一筆畫問題 哈密頓（ Hamilton）環遊世界問題

如何一次歷遍二十個城市而不重覆？

這是一個 NP Complete 的問題

References Graph Theory, Ronald Gould 圖論演算法 , 黃國卿沿著歐拉的足跡──圖論初探 http://www.all-science-fair-projects.com/scie

nce_fair_projects_encyclopedia/

報告完畢！