grupy coxetera i diagramy coxetera dynkinajustus/conf/wyk_szczecin_coxeter-d.pdf · istnieje...
TRANSCRIPT
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Grupy Coxetera i diagramy
Coxetera–Dynkina
Justyna Kosakowska
Szczecin, kwiecień 2013
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Cel wykładu
Omówimy klasyfikację oraz pewne własności skończonych grupCoxetera.
Wstęp
Skończone grupy Coxetera odgrywają ważną rolę m.in. w
klasyfikacji półprostych algebr i grup Liego;teorii grup algebraicznych.klasyfikacji wielościanów foremnych;
Znana jest klasyfikacja skończonych grup Coxetera(wykorzystująca systemy pierwiastków oraz grafyCoxetera).
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Oznaczenia
Mn(R) – algebra n × n-macierzy o współczynnikachw ciele R;
e1, . . . , en – baza standardowa p. lin. Rn;
〈−,−〉 : Rn ×Rn → R – standardowy iloczyn skalarny;
O(n) = O(n,R) = {A ∈Mn(R) ; A · Atr = E} grupa
macierzy ortogonalnych (pełna grupa ortogonalna);
grupa O(n) jest izomorficzna z grupą O(Rn) wszystkichliniowych ortogonalnych przekształceń f : Rn → Rn
(tzn. 〈f (u), f (v )〉 = 〈u, v〉);dalej będziemy utożsamiać te grupy;
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Definicja
Przekształcenie liniowe s : Rn → Rn nazywamy odbiciem,
jeśli istnieje hiperpłaszczyzna P w Rn (tzn. podprzestrzeńliniowa wymiaru n − 1) taka, że s(x) = x, jeśli x ∈ P orazs(x) = −x, jeśli x ∈ P⊥.Niech 0 6= α ∈ P⊥. Wtedy odbicie względem P jest postaci
sα(x) = x −2〈x , α〉
〈α, α〉α.
Oczywiście sα ∈ O(n).
Problem
Opisać skończone podgrupy w O(n) generowane przez odbicia.
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Odbicia
Każde odbicie s wyznacza jednoznacznie hiperprzestrzeń Poraz prostą
L = P⊥ = αR , 0 6= α ∈ P⊥.
Będziemy stosować oznaczenia s = sα, P = Pα oraz L = Lα.
Wektor α (tzw. pierwiastek) NIE jest jednoznaczniewyznaczony przez s (sα = sλα dla 0 6= λ ∈ R).
Pα
Lα
α
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Dwa przykłady
Niech �m będzie m-kątem foremnym w R2 (o środku ciężkościw (0, 0)) oraz niech
Hm := O(�m) = {A ∈ O(2) ; A(�m) = �m}
= {E ,Rθ,R2θ, . . . ,Rm−1
θ,T ,Rθ · T ,R
2θ· T , . . . ,Rm−1
θ· T},
gdzie
Rθ =
(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)
, T =
(
1 00 −1
)
.
oraz θ = 2π/m, (grupa dyhedralna).
Grupa Hm jest generowana przez dwa odbicia: T oraz Rθ · T .
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Grupy H4, H6 oraz H5
θ
1
2
θ
1
2 θ
1
2
Rθ = s2 · s1
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Dwa przykłady
Niech Sn będzie grupą symetryczną. Wtedy Sn →֒ O(n)(permutacje wektorów bazowych).
Transpozycja (ij) działa jak odbicie: przeprowadza ei − ejw −(ei − ej) oraz jest niezmiennicze na przestrzeniprostopadłej do ei − ej .
Zatem grupa Sn jest generowana przez odbicia (i , i + 1),1 ¬ i ¬ n − 1.
Wiadomo, że (Rn)Sn = (e1 + e2 + . . .+ en)R. Zatem Sn działarównież na Rn−1 oraz Sn →֒ O(n − 1).
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Uwaga
Niech W ⊆ O(n) będzie podgrupą oraz niech
V0 = V0(W ) = (Rn)W
Wtedy Rn = V0 ⊕ V⊥0 oraz W (V0) = V0, W (V⊥0 ) = V
⊥0 .
Zatem W →֒ O(m), gdzie m = dimR V⊥0 . Bez straty ogólności
można założyć, że V0 = 0.
Definicja
Skończoną podgrupę W ⊆ O(n) generowaną przez odbiciaoraz taką, że V0(W ) = 0 będziemy nazywać grupą Coxetera.
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Definicja
Niech W będzie grupą Coxetera oraz niech
Φ = ΦW = {α,−α ; ‖ α ‖= 1 oraz sα ∈ W }.
Zbiór Φ nazywamy systemem pierwiastków grupy W .
Systemy pierwiastków grup H4, H6 oraz H5
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Niech t ∈ Rn będzie taki, że 〈t, r〉 6= 0 dla każdego r ∈ Φ.Definiujemy
Φ+ = Φ+t = {r ∈ Φ ; 〈t, r〉 > 0}
oraz Φ−t = −Φ+t . Wtedy Φ = Φ+
t ∪ Φ−t oraz |Φ
+t | = |Φ
−t |.
Ustalamy Φ+. Niech ∆ ⊆ Φ+ będzie minimalnym podzbioremo tej własności, że każdy r ∈ Φ+ jest kombinacją liniowąo nieujemnych współczynnikach elementów z ∆. Taki zbiór ∆nazywamy t-bazą (krótko: bazą) systemu Φ.
Niech ∆ = {r1, . . . , rn} będzie bazą systemu Φ (jest torównież baza liniowa Rn). Pierwiastki r1, . . . , rn nazywamyprostymi pierwiastkami natomiast odpowiadające im odbicias1, . . . , sn fundamentalnymi odbiciami w W .
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Systemy pierwiastków grup H4 oraz H6
Φ+
Φ−
t×
•
•
•
•
•
•
•
•t×
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Φ+
Φ−
Φ = {•, •, •} , Φ+ = {•, •} , ∆ = {•}.
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Twierdzenie
Niech W ⊆ O(n) będzie grupą Coxetera. Wtedy
istnieje dokładnie jedna t-baza systemu Φ;
każda t-baza systemu Φ jest bazą liniową przestrzeni Rn;
jeśli ∆, ∆′ są odp. t, t ′-bazami, to istnieje w ∈ W takie,że w(∆) = ∆′.
Twierdzenie (Coxeter, 1934)
W ∼= 〈s1, . . . , sn ; (sisj)pij = 1 , i , j = 1, . . . , n〉,
gdzie pij jest rzędem elementu sisj w grupie W .
Uwaga
Grupą Coxetera nazywa się też każdą grupę posiadającą takąprezentację (wymagamy pii = 1, ale dopuszczamy pij =∞).
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Definicja
Skończony graf nieskierowany Q = (V ,E ) z waluacjąω : E → N nazywamy grafem Coxetera, o ile dla każdejkrawędzi i j jej waga ωij = ω( i j ) jest liczbąnaturalną > 2.
Definicja
Niech W będzie grupą Coxetera generowaną przez{s1, . . . , sn}. Graf QW = ({1, . . . , n},E ) z waluacjąp : E → N, p( i j ) = pij , gdzie
E = { i j ; pij > 2}, nazywamy grafem Coxeteragrupy W.
QHn = Hn2 : ◦ n ◦
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Twierdzenie
Niech W1,W2 ⊆ O(n) będą grupami Coxetera. JeśliQW1 = QW2, to istnieje T ∈ O(n) taki, że TW1T
−1 = W2.
Dowód
Niech ∆1, ∆2 będą bazami (odpowiednio systemu ΦW1 orazΦW2), które wyznaczają graf QW1 = QW2. Stąd
∆1 = {r1, . . . , rn} oraz ∆2 = {r′
1, . . . , r′
n},
gdzie 〈ri , rj〉 = 〈r′i , r′j 〉 = − cos(
π
p′ij
) ( ⇐⇒ pij = p′ij) dla i , j .
Def. p. lin. T : Rn → Rn przez T (ri) = r′i . Mamy
〈T (ri),T (rj)〉 = 〈r′
i , r′
j 〉 = 〈ri , rj〉,
więc T ∈ O(n).
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Dowód
Niech si , s′i będą odbiciami odpowiadającymi odpowiednio
pierwiastkom ri , r′i . Mamy s
′i = TsiT
−1. Istotnie,
TsiT−1(r ′i ) = Tsi(ri) = T (−ri) = −r
′
i
oraz dla x takiego, że 〈x , r ′i 〉 = 0 zachodzi
0 = 〈T−1(x),T−1(r ′i )〉 = 〈T−1(x), ri〉.
StądTsi(T
−1(x)) = T (T−1(x)) = x .
Ponieważ odbicia s1, . . . , sn oraz s′1, . . . , s
′n generują
odpowiednio grupy W1 oraz W2, więc W2 = TW1T−1. �
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Definicja
Grupę Coxetera W nazywamy nieprzywiedlną, jeśli nie jestona produktem dwóch nietrywialnych grup Coxetera.
Stwierdzenie
Niech W będzie grupą Coxetera oraz QW jej grafem Coxetera.
Grupa W jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdygraf QW jest spójny.
Jeśli Q1, . . . ,Qm są spójnymi składowymi grafu QW , toW =W1 × . . .×Wm oraz QWi = Qi (i = 1, . . . ,m).
Wniosek
Wystarczy podać klasyfikację nieprzywiedlnych grup Coxetera.
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Twierdzenie
Jeśli W jest nieprzywiedlną grupą Coxetera, to QW jestjednym z poniższych grafów Coxetera-Dynkina.
Dla każdego grafu Coxetera-Dynkina Q istnieje grupaCoxetera W taka, że QW = Q.
Uwaga
Piszemy ipijj , jeśli pij > 3 oraz i j , jeśli pij = 3.
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Grafy Coxetera-DynkinaAn : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (n 1 wierzchołków)
Bn : ◦4◦ ◦ ◦ ◦ (n 2 wierzchołków)
◦
Dn : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (n 4 wierzchołków)
F4 : ◦ ◦4◦ ◦ H
n2: ◦
n◦ (n 5)
I3 : ◦5◦ ◦ I4 : ◦
5◦ ◦ ◦
◦
E6 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦
E7 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦
E8 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Idea dowodu
Z grafem Coxetera stowarzysza się macierz symetrycznątzw. macierz Coxetera.
Graf Coxetera nazywamy dodatnio określonym, jeśliodpowiadająca mu macierz jest dodatnio określona.
Pokazuje się, że graf Coxetera grupy Coxetera jestdodatnio określony.
Dowodzi się, że jedynymi dodatnio określonymi grafamiCoxetera są te wymienione powyżej.
Dla każdego z powyższych grafów Coxetera wskazuje się(konstruuje) odpowiednią grupę Coxetera.
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Wielościany/wielokomórki foremne wypukłe
wielokąty foremne wypukłe �m w R2;
bryły platońskie w R3;
w R4:
24-ścian (ścianami są trzywymiarowe ośmiościany);120-ścian (ścianami są trzywymiarowe dwunastościany);600-ścian (ścianami są trzywymiarowe czworościany);
n-wymiarowe sympleksy w Rn;
n-wymiarowe kostki w Rn;
n-wymiarowe 2n-wielokomórki;
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Typ Hn2 : ◦n ◦
Grafem Coxetera grupy Hn ∼= O(�n) jest Hn2.
Typ An : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Grafem Coxetera grupy Sn−1 jest An.
S3 ∼= H3 ∼= O(�3);
S4 ∼= O(T4) (permutuje wierzchołki czworościanuforemnego T4);
Sn+1 ∼= O(∆n) (permutuje wierzchołki sympleksu ∆nwymiaru n);
Typ Bn : ◦4 ◦ ◦ ◦ ◦
Grupa Coxetera: O(I n), gdzie I n jest n-wymiarową kostką(I 3 = T6 oraz O(T6) = O(T8)).
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Typ ◦
Dn : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Grupa Coxetera: grupa symetrii n-wymiarowej demi-kostki.
Typ I3 : ◦5 ◦ ◦
Grupa Coxetera: O(T12) = O(T20) jest I3.
Typ I4 : ◦5 ◦ ◦ ◦
Grupa Coxetera: grupa symetrii foremnego 4-wymiarowego120-ścianu (lub 600-ścianu).
Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina
Typ F4 : ◦ ◦ 4 ◦ ◦
Grupa Coxetera: grupa symetrii foremnego 4-wymiarowego24-ścianu.
Typ E6, E7, E8 ◦
E6 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Grupy Coxetera: grupy symetrii półforemnych wielościanówopisanych w 1900 roku przez T. Gosseta. Są to tzw. 6-ic, 7-icoraz 8-ic półforemne wielościany.