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GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULOGUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO

GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZGABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ

MARÍA VICTORIA BUITRAGO CARDONAMARÍA VICTORIA BUITRAGO CARDONA

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓFUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,ECONÓMICAS Y CONTABLESECONÓMICAS Y CONTABLES

Colombia, 2008Colombia, 2008

COMITÉ DIRECTIVOCOMITÉ DIRECTIVO

Fray Marino Martínez PérezRector

Hernán Ospina AtehortúaVicerrector Administrativo y FinancieroDirector de Planeación

José Jaime Díaz OsorioVicerrector Académico

Francisco Javier Acosta GómezSecretario General

ESTADÍSTICAESTADÍSTICAGabriel Jaime Posada HernándezMaría Victoria Buitrago Cardona

Decana Facultad de Ciencias Administrativas,Económicas y Contables:

María Victoria Agudelo Vargas

Corrección de estilo:Lorenza Correa Restrepo

Diseño:Colectivo Docente Facultad de CienciasAdministrativas, Económicas y Contables

Impresión:Departamento de Publicaciones FUNLAM

www.funlam.edu.co

TODOS LOS DERECHOS RESERVADOSMedellín – Colombia2008

EstadísticaEstadística 2

CONTENIDOCONTENIDO

Pág

GUÍA DIDÁCTICAGUÍA DIDÁCTICA

PRESENTACIÓN 13PRESENTACIÓN 13

1. 1. FICHA FICHA TÉCNICA TÉCNICA 1515

2. 2. INTENCIONAINTENCIONALIDADES LIDADES FORMATIVAS FORMATIVAS 1616

3. 3. OBJETIVOS OBJETIVOS 1717

33..11. . OOBBJJEETTIIVVOOS S EESSEENNCCIIAALLEESS 1177

33..22. . OOBBJJEETTIIVVOOS S CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS 1177

44. . UUNNIIDDAADDEES S TTEEMMÁÁTTIICCAAS S 1199

55. . MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍA A GGEENNEERRAALL 2200

66. . EEVVAALLUUAACCIIÓÓN N IINNTTEEGGRRAALL 2211

II II ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVADESCRIPTIVA

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN 2323

JUSTIFICACIÓNJUSTIFICACIÓN 2525

UNIDAD 1. UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN Y INTRODUCCIÓN Y OBTENCIÓN DE OBTENCIÓN DE DATOSDATOS

EESSTTAADDÍÍSSTTIICCOOSS 2277

11..11. . EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA 2277

1.1.1. Historia 27

1.1.2. Definición 31

1.1.3. División 32


11..22.. CCOONNCCEEPPTTOOS S GGEENNEERRAALLEESS 3322

1.2.1. Unidad de investigación 32

1.2.2. Población 33

1.2.3. Muestra 34

1.2.4.P arámetros y estadígrafos 34

1.2.5. Variables 35

1.2.6. Escalas de medición 38

11..33.. MMUUEESSTTRREEOO 4422

1.3.1. Métodos de muestreo probabilístico 43

1.3.2. Métodos de muestreo no probabilístico 47

1.3.3. Evaluación del valor de una encuesta 49

1.3.4. Errores en las encuestas 50

1.3.5.A spectos éticos del muestreo 52

UNIDAD 2. UNIDAD 2. ORDENACIÓN DE ORDENACIÓN DE DATOS ESTADATOS ESTADÍSTICOSDÍSTICOS

22..11.. TTAABBUULLAACCIIÓÓN N DDE E DDAATTOOSS 5555

2.1.1.2.1.1. Rango o recorrido 55

2.1.2.2.1.2. Amplitud del rango 59

2.1.3.2.1.3. Número de clases 59

2.1.4.2.1.4. Amplitud del intervalo de clase 60

2.1.5.2.1.5. Límites de las clases 61

2.1.6.2.1.6. Tabulación 62

2.1.7.2.1.7. Marca de clase o punto medio 62

22..22.. FFRREECCUUEENNCCIIAASS 66332.2.1.2.2.1. Frecuencia absoluta 63

2.2.2.2.2.2. Frecuencia relativa 64EstadísticaEstadística 4

2.2.3.2.2.3. Frecuencia absoluta acumulada 66

2.2.4.2.2.4. Frecuencia relativa acumulada 67

2.2.5.2.2.5. Números índices 69

22..33.. GGRRÁÁFFIICCAAS S O O DDIIAAGGRRAAMMAASS 7700

2.3.1.2.3.1. Histogramas 70

2.3.2.2.3.2. Polígono de frecuencias 72

2.3.3.2.3.3. Ojivas o polígonos de frecuencias acumuladas 74

2.3.4.2.3.4. Diagramas de barras 75

2.3.5.2.3.5. Diagramas circulares 76

2.3.6.2.3.6. Diagrama de tallo y hojas 77

2.3.7.2.3.7. Diagrama de Pareto 80

22..44.. TTAABBUULLAACCIIÓÓN N DDE E DDAATTOOS S BBIINNAARRIIOOS S O O CCRRUUZZAADDOOSS 8822

UNIDAD UNIDAD 3. 3. MÉTODOS MÉTODOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

33..11.. MMEEDDIIDDAAS S DDE E TTEENNDDEENNCCIIA A CCEENNTTRRAAL L O O DDE E PPRREECCIISSIIÓÓNN 8888

3.1.1.3.1.1. Media aritmética 88

3.1.2.3.1.2. Mediana 91

3.1.3.3.1.3. Moda 96

3.1.4.3.1.4. Cuantiles 100

33..22.. MMEEDDIIDDAAS S DDE E VVAARRIIAABBIILLIIDDAADD 110077

3.2.1.3.2.1. Rango 108

3.2.2.3.2.2. Rango intercuartil 109

3.2.3.3.2.3. Varianza 109

3.2.4.3.2.4. Desviación estándar 1143.2.5.3.2.5. Coeficiente de variación 115


33..33.. MMEEDDIIDDAAS S DDE E LLOOCCAALLIIZZAACCIIÓÓNN 111177

3.3.1.3.3.1. Valor z 118

3.3.2.3.3.2. Teorema de Chebyshev 119

3.3.3.3.3.3. Sesgo o forma 122

3.3.4.3.3.4. Diagrama de caja o bigotes 124

3.3.5.3.3.5. Curtosis 128

UNIDAD 4. UNIDAD 4. REGRESIÓN LIREGRESIÓN LINEAL Y NEAL Y CORRELACIÓNCORRELACIÓN

44..11.. RREEGGRREESSIIÓÓN N LLIINNEEAAL L SSIIMMPPLLEE 113322

4.1.1.4.1.1. Diagrama de dispersión 132

4.1.2.4.1.2. Ajuste de una recta por el método de mínimos cuadrados 135

44..22.C.C OORRRREELLAACCIIÓÓNN 114411

4.2.1.4.2.1. Coeficiente de correlación 141

4.2.2.4.2.2. Coeficiente de determinación 144

IIIIII TTEEOORRÍÍA A DDE E PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEESS

UNIDAD 1. DEFINICIONESUNIDAD 1. DEFINICIONES

1.1 INTRODUCCIÓN 148INTRODUCCIÓN 148

11..22 QQUUÉ É EES S LLA A PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD 114499

11..33 CCOONNCCEEPPTTOOS S BBÁÁSSIICCOOS S DDE E PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD 115500

1.3.1 Fenómeno experimento aleatorio 150

1.3.2 Fenómeno o experimento determinístico 150

1.3.3 Prueba 150

1.3.4 Espacio muestral 150

1.3.5 Elemento o punto muestral 152

1.3.6 Evento 152

1.3.7 Intersección de dos eventos a y b 152EstadísticaEstadística 6

1.3.8 Unión de dos eventos a y b 153

1.3.9. Complemento de un evento a 154

UNIDAD 2. TÉCNICAS DE CONTEOUNIDAD 2. TÉCNICAS DE CONTEO

2.1 2.1 TÉCNICAS DE CONTEOTÉCNICAS DE CONTEO 157 157

Regla 2.1.1. Principio de la multiplicación 157

Regla 2.1.2. Principio de permutación 161

Regla 2.1.3 Variaciones o permutaciones 162

Regla 2.1.4 Combinaciones 164

Regla 2.1.5P articiones 166

22..22 EEJJEERRCCIICCIIOOS S RREESSUUEELLTTOOSS 116677

UNIDAD 3. SUCESOS PROBABILÍSTICOS Y REGLAS DEUNIDAD 3. SUCESOS PROBABILÍSTICOS Y REGLAS DE

PROBABILIDADPROBABILIDAD

33..11 SSUUCCEESSOOS S PPRROOBBAABBIILLÍÍSSTTIICCOOSS 1177223.1.1 Sucesos independientes 172

3.1.2 Sucesos dependientes 172

3.1.3 Sucesos compatibles o mutuamente no excluyentes 172

3.1.4 Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes 172

33..22 DDEEFFIINNIICCIIÓÓN N DDE E PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD 117733

3.2.1. Modelo de probabilidad empírico o frecuencialista. 173

3.2.2. Modelo subjetivo 174

3.2.3 Modelo clásico 174

33..33.. RREEGGLLAAS S PPRRIINNCCIIPPAALLEES S DDE E LLA A PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD 117755


33..44.. AAXXIIOOMMAAS S DDE E PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD 118800

3.4.1 Teorema 1: regla de la unión o suma 180

3.4.2 Teorema 2: regla del complemento 180

3.4.3 Teorema 3: probabilidad condicional 181

3.4.4 Teorema 4: regla de la multiplicación o intersección 182

UNIDAD UNIDAD 4. 4. VARIABLES VARIABLES ALEATORIAS Y ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDADDE PROBABILIDAD

4.1 INTRODUCCIÓN 191INTRODUCCIÓN 191

4.2DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN O O FUNCIÓN FUNCIÓN DE DE PROBABILIDAPROBABILIDAD D 191191

4.3 ALGUALGUNAS DISNAS DISTRIBTRIBUCIONUCIONES DISES DISCRETACRETAS DE PROS DE PROBABIBABILIDALIDADD 194194

44..33..1D1D iissttrriibbuucciióón n bbiinnoommiiaall 119944

4.3.1.1 Características 195

4.3.1.2 Función de probabilidad de la v.a. binomial 196

4.3.1.3 Tablas de probabilidad acumulada de la binomial 200

4.3.1.4 Parámetros de la distribución binomial 205

4.3.2 DDiissttrriibbuucciióón n hhiippeerrggeeoommééttrriiccaa 220066

4.3.2.1 Función de probabilidad de la v.a. hipergeométrica 207

4.3.2.2 Parámetros de la distribución hipergeométrica 212

44..33..33 DDiissttrriibbuucciióón n dde e PPooiissssoonn 221122

4.3.3.1 Función de probabilidad de la v.a. Poisson 213

4.3.3.2 Tablas de probabilidad acumulada de la Poisson 213

4.3.3.3 Parámetros de la distribución Poisson 220


4.44.4 DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAPROBABILIDAD:D:

DISTRIBUCIÓN NORMALDISTRIBUCIÓN NORMAL 220220

4.4.1 La función de densidad de la distribución normal 221

4.4.2 Representación gráfica de esta función de densidad 221

4.4.3 Distribución normal estándar 222

4.4.4 Pasos para buscar en la tabla 222

IV IV ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA INFERENCIAINFERENCIALL

UNIDAD 1. ESTIMACIÓNUNIDAD 1. ESTIMACIÓN

1.1 IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN 223333

1.2 NIVEL NIVEL DE DE CONFIABILIDACONFIABILIDAD D DE DE LOS LOS RESULTADOS RESULTADOS 236236

1.3 PRINCIPALES PARÀMETROS, ESTADÍSTICOSPRINCIPALES PARÀMETROS, ESTADÍSTICOS

Y Y SSUUS S SSÍÍMMBBOOLLOOSS 223366

11..4 4 EESSTTIIMMAACCIIÓÓN N PPUUNNTTUUAALL 223377

1.4.1 Estimación puntual para variable cuantitativa 237

1.4.2 Estimación puntual para variable cualitativa 238

1.1.55 TATAMAMAÑO DE ÑO DE LA MLA MUEUESTSTRA PRA PAARA ERA ESTSTIMIMAAR MER MEDIDIAAS YS Y

PROPORCIONES.PROPORCIONES. 238

1.5.1 Determinación estadística del tamaño de la muestra 240

1.5.1.1 Poblaciones infinitas 240

1.5.1.1.11.5.1.1.1 Proporción conocida 240

1.5.1.1.21.5.1.1.2 Proporción desconocida 240


1.5.1.21.5.1.2 Poblaciones finitas

242

UNIDAD 2. INTERVALOS DE CONFIANZAUNIDAD 2. INTERVALOS DE CONFIANZA

22..1 1 IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN 224444

2.1.12.1.1 Intervalos de confianza para el promedio poblacional 244

2.1.1.1 Parámetros y/o estadísticos para utilizar las fórmulas

de intervalos de confianza 245

2.1.22.1.2 Intervalo de confianzas para la proporción poblacional p 253

2.1.2.1 Parámetros para utilizar las fórmulas de intervalos de confianza 253

UNIDAD 3. PRUEBA DE HIPÓTESISUNIDAD 3. PRUEBA DE HIPÓTESIS

33..11 IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN 225577

3.2DDEEFFIINNIICCIIÓÓN N DDE E PPRRUUEEBBA A DDE E HHIIPPÓÓTTEESSIISS 225577

3.3PASOS PARA LA PRUEBA DE HPASOS PARA LA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARAIPÓTESIS PARAEL EL PROMEDIO PROMEDIO Y Y LA LA PROPORCIÓN PROPORCIÓN P. P. 258258

44.. EESSTTUUDDIIO O DDE E CCAASSOO 227722

5. AACCTTIIVVIIDDAADDEES S DDE E RREECCOONNOOCCIIMMIIEENNTTOO 227766

6. RREESSPPUUEESSTTA A A A PPRREEGGUUNNTTAAS S FFRREECCUUEENNTTEESS 227777

7. AACCTTIIVVIIDDAADDEES S DDE E PPRROOFFUUNNDDIIZZAACCIIÓÓNN 228811

AANEXONEXOSS TATABLABLAS DE S DE PROPROBABABILIBILIDADAD AD ACUMCUMULAULADADA

Anexo A Tabla acumulada de la distribución binomial 297

Anexo B Tabla acumulada de la distribución Poisson 302

Anexo C Tabla acumulada de la distribución normal 305


Anexo D Tabla de la distribución t-student 307

GGLLOOSSAARRIIOO 330088

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA 331177


PRESENTACIÓNPRESENTACIÓN

Apreciado estudiante, bienvenido a la Asignatura Estadística Descriptiva e

Inferencial.

Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en

la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y

alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir

problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y

la tecnología con criterios éticos y de calidad.

La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de

formación que supere obstáculos representados en grandes distancias

geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las

oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior.

Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo,

creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda

nuestra sociedad.

Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que

construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de

comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el

que se diferencian dos partes fundamental es: la guía de estudio y trabajo, y

el módulo de aprendizaje.


La guía considera las orientaciones sobre el desarrollo del curso en cuanto

define los elementos necesarios para la interlocución entre estudiantes y

docente, describiendo en la metodología las actividades a realizar para cada

encuentro, bibliografía complementaria, proceso de evaluación y

compromisos adquiridos por el estudiante. El módulo desarrolla el contenido

conceptual básico que permite al estudiante la comprensión de los

problemas potenciales en el campo administrativo.

Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios

para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos

en este nuevo ciclo de su formación profesional.


1. FICHA TÉCNICA1. FICHA TÉCNICA

CCUURRSSOO EESSTTAADDÍÍSSTTIICCA A DDEESSCCRRIIPPTTIIVVAA

AAUUTTOORREESS GGAABBRRIIEEL L JJAAIIMME E PPOOSSAADDA A HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ

MARÍA VICTORIA BUITRAGO CARDONAMARÍA VICTORIA BUITRAGO CARDONA

IINNSSTTIITTUUCCIIÓÓNN FFUUNNDDAACCIIÓÓN N UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIA A LLUUIIS S AAMMIIGGÓÓ

UUNNIIDDAAD AD ACCAADDÉÉMMIICCAA FFAACCUULLTTAAD DD DE CE CIIEENNCCIIAAS AS ADDMMIINNIISSTTRRAATTIIVVAASS,,

ECONÓMICAS Y CONTABLESECONÓMICAS Y CONTABLES

PPRROOGGRRAAMMAASS AADDMMIINNIISSTTRRAACCIIÓÓN N DDE E EEMMPPRREESSAASS

CONTADURÍA PÚBLICACONTADURÍA PÚBLICA

NEGOCIOS INTERNACIONALESNEGOCIOS INTERNACIONALES

PPAALLAABBRRAAS S CCLLAAVVEE EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA, , CCOONNTTEEOO, , DDAATTOOSS, , MMUUEESSTTRRAA,,

POBLACIÓN, PROBABILIDADPOBLACIÓN, PROBABILIDAD

ÁÁRREEA A DDE E CCOONNOOCCIIMMIIEENNTTOO BBÁÁSSIICCAA

CCRRÉÉDDIITTOOSS 3 3 ((TTRREESS))

CCIIUUDDAADD MMEEDDEELLLLÍÍNN

FFEECCHHAA JJUULLIIO O DDE E 22000077

ACTUALIZACIÓNACTUALIZACIÓN

ADICIÓN DE TEMASADICIÓN DE TEMAS

APROBADA PORAPROBADA POR

2. 2. INTENCIONAINTENCIONALIDADES LIDADES FORMATIVASFORMATIVAS


El mundo global y nuestra sociedad exigen al profesional moderno el

desarrollo de competencias y habilidades que permitan la solución oportuna

y adecuada a los diferentes problemas que se presentan en las

organizaciones.

La Fundación Universitaria Luis Amigó, consciente de ello, ha generado

constantemente espacios que propician la formación integral de sus

estudiantes, partiendo del reconocimiento del “ser humano” como persona y,

sobre él, la técnica y el saber específico que exige la academia.

Por tal razón, el egresado de la Fundación Universitaria Luis Amigó es un

profesional íntegro, ético y comprometido con la sociedad en la búsqueda de

alternativas viables para el mejoramiento funcional de las organizaciones y la

calidad de vida de sus integrantes.

3. OBJETIVOS3. OBJETIVOS


3.1. 3.1. OBJETIVOS OBJETIVOS ESENCIAESENCIALESLES

Manejar adecuadamente los conceptos relacionados con estadística.

Aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos para describir el

comportamiento de una variable en un conjunto de datos.

Analizar los métodos numéricos de un conjunto de datos.

Generar modelos de regresión lineal simple, y realizar análisis pertinentes

para la toma de decisiones.

Aplicar el concepto de teoría de probabilidad para tomar decisiones bajo

incertidumbre.

Manejar las distribuciones discretas y continuas de probabilidad para

resolver problemas reales, teniendo en cuenta los parámetros

poblacionales y el tipo de situación a resolver.

Realizar inferencias partiendo de parámetros muestrales, por medio de

los intervalos de confianza y prueba de hipótesis.

3.2. 3.2. OBJETIVOS OBJETIVOS COMPLEMENTARIOSCOMPLEMENTARIOS

Diferenciar conceptualmente la población y la muestra.

Reconocer los tipos de variables y escalas de medición aplicados a unconjunto de datos.


Calcular e interpretar las medidas de tendencia central, variabilidad y

localización de un conjunto de datos.

Calcular los parámetros de la ecuación de regresión lineal simple.

Calificar el modelo de regresión lineal simple por medio de los

coeficientes de correlación y determinación.

Reconocer un espacio muestral y su técnica de conteo acorde al

problema.

Reconocer las diferentes reglas de probabilidad y su aplicabilidad.

Aplicar y calcular por fórmula o tabla de probabilidad, las distribuciones

binomial, Poisson, hipergeométrica y normal.

Reconocer la información que se tiene para poder sacar una muestra

aleatoria, con un alto grado de confiabilidad

Diferenciar una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria

continua.

Diferenciar un parámetro poblacional y un parámetro muestral.

Aplicar de acuerdo con los estadísticos, un parámetro muestral por medio

del intervalo de confianza o prueba de hipótesis a un nivel de

confiabilidad.


44.. UUNNIIDDAADDEES TES TEMÁMÁTTICICAASS

II II ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVADESCRIPTIVA

UNIDAD 1. UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN Y INTRODUCCIÓN Y OBTENCIÓN DE OBTENCIÓN DE DATOSDATOS

ESTADÍSTICOSESTADÍSTICOS

UNIDAD 2. UNIDAD 2. ORDENACIÓN DE ORDENACIÓN DE DATOS ESTADATOS ESTADÍSTICOSDÍSTICOS

UNIDAD UNIDAD 3. 3. MÉTODOS MÉTODOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

UNIDAD 4. UNIDAD 4. REGRESIÓN LIREGRESIÓN LINEAL Y NEAL Y CORRELACIÓNCORRELACIÓN

IIIIII TTEEOORRÍÍA A DDE E PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEESS

UUNNIIDADAD 1D 1 DDEEFFIINNIICCIIOONNEESS

UNUNIIDADAD 2D 2 TTÉCÉCNINICACAS DE CS DE CONONTTEOEO

UNUNIDIDAAD 3D 3 SUCSUCESESOS POS PROROBABABIBILÍLÍSTSTICICOS Y REOS Y REGLAGLAS DES DE

PROBABILIDADPROBABILIDADUNIUNIDADAD 4D 4 VAVARIARIABLES BLES ALALEATEATORIAORIAS Y DS Y DISTISTRIBRIBUCIUCIONEONES DS DEE


IV IV ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA INFERENCIAINFERENCIALL

UUNNIIDADAD D 11 EESSTTIIMAMACICIÓNÓN

UNUNIDIDAAD 2D 2 ININTETERVRVAALOLOS DE CS DE CONONFIFIAANZNZAA

UUNNIIDDAAD D 33 PPRRUUEEBBA A DDE E HHIIPPÓÓTTEESSIISS


5.5. MEMETOTODODOLOLOGGÍA ÍA GEGENENERARALL

El curso Estadística,Estadística, bajo la modalidad a distancia, es realizado por medio

de encuentros presenciales, utilizando como mediaciones la plataforma

Dicom y el módulo.

En los encuentros presenciales se compartirán los temas propuestos, se

realizarán ejemplos aplicados a la administración y se asignarán actividades

para las siguientes asesorías.

Al iniciar el curso, cada estudiante selecciona una organización (puede ser

pública, privada o del sector de la economía solidaria) o un grupo poblacional

de interés (estudiantes, familias, habitantes de un barrio, etc.). Seleccionará

una muestra de elementos (de un tamaño acordado) y generará una base de

datos que contemple las variables cualitativas, cuantitativas discretas ycuantitativas continuas.

En los elementos de la muestra seleccionada, se aplicarán paulatinamente

los conceptos vistos en el desarrollo del curso. En cada encuentro

presencial se compartirán los avances sobre la secuencia del análisis

estadístico de los elementos de la organización.

A través de la plataforma virtual Dicom, cada estudiante compartirá sus

inquietudes y apreciaciones en el portafoli o personal de desempeño . Estas

inquietudes serán resueltas por este medio o socializadas en la siguiente

asesoría.


6. 6. EVALUAEVALUACIÓN CIÓN INTEGRALINTEGRAL

La evaluación del curso Estadística se realizará de forma cualitativa, por

medio del portafolio personal de desempeño (acorde con el artículo 80 del

Reglamento Estudiantil). Se establecerá un proceso dinámico y continuo que

contenga seguimiento, trabajo aplicado y evaluación final.

El seguimiento se realizará a través de evaluaciones cortas sobre temáticas

ya compartidas, designando un espacio para hacerlas, previo acuerdo con

los estudiantes.

El trabajo de aplicación a la organización o población de interés tendrá un

seguimiento durante todo el curso, el cual será tenido en cuenta para la

evaluación final del mismo; además de la presentación, análisis de variables

y conclusiones.

Al finalizar el curso, se realizará la evaluación final o Prueba Acumulativa de

Conocimiento Integral (PACI), la cual pretende evaluar, de forma global,

todos los temas tratados en el curso.


INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

La estadística o los métodos estadísticos, como se denomina a veces, está

jugando un papel de gran importancia en casi todas las facetas del

comportamiento humano. Ocupada inicialmente en asuntos del Estado, y de

ahí su nombre, la influencia de la Estadística se ha extendido ahora a la

administración, la economía, los negocios, la comunicación, la agricultura, la

medicina, la física, las ciencias políticas, la psicología, la sociología y muchos

otros campos de la ciencia y la ingeniería.

El propósito de este módulo es presentar desde el manejo de la información,

su representación tabular y medidas, hasta el manejo de las probabilidades,

y llegar a conclusiones poblacionales por medio de la inferencia estadística

en la cual son de gran utilidad, para la manipulación de la información,respuestas bajo incertidumbre y respuestas poblacionales. Se ha diseñado

para ser usado como complemento del proceso formativo, acompañado de la

plataforma Dicom y los encuentros presenciales. Además, puede ser

considerado como texto de consulta para aquellas personas que estén

interesadas en aplicar la Estadística en el análisis de problemas

investigativos.

Los temas han sido compilados de diferentes autores: Anderson, Sweeney y

Williams; Berenson, Levine y Krehbiel; Walpole y Myers; Spiegel, entre otros.

Cada unidad comienza con enunciados claros de las definiciones pertinentesy ejemplos aplicados a la vida real. La única base mat emática requerida


para la comprensión de los temas es la aritmética. En la primera unidad se

presenta la conceptualización de la estadística y la forma como se obtiene

una base de datos. La segunda unidad se refiere a la ordenación de datos

estadísticos, según el tipo de variable en la cual se ubican, para luego

representar en la tercera unidad las medidas de tendencia central, de

dispersión y de localización del conjunto de datos. La cuart a unidad

establece la relación entre variables por medio de la regresión lineal y la

correlación. La quinta unidad se refiere a un espacio muestral , las técnicas

de conteo y las reglas de probabilidad. La sexta unidad se refiere a la

diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas y sus distribuciones

de probabilidad. La séptima unidad se refiere a resultados poblacionales, por

medio de los intervalos de confianza y prueba de hipótesis, basándose en

resultados muestrales.

Al final, se presenta un estudio de caso, el cual pretende mayor cercanía de

la Estadística a la administración; además de algunas preguntas frecuentes,

con su respectiva respuesta, que se presentan al estudiar la Estadística.


JUSTIFICACIÓNJUSTIFICACIÓN

El desarrollo científico del siglo XXI exige una formación profesional íntegra,

que reúna conocimientos, experiencia y expectativas, que permita la

utilización adecuada de los recursos y herramientas del mundo actual.

En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren

de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo

lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones,

para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los

conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, que lo hagan más

competente en los retos del mundo moderno.


1. 1. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN Y OBTENCY OBTENCIÓN DE IÓN DE DATOSDATOSESTADÍSTICOSESTADÍSTICOS

1.1. ESTADÍSTICA1.1. ESTADÍSTICA

1.1.1. Historia 1.1.1. Historia

Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto,

cuyos faraones lograron recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos

datos relativos a la población y la riqueza del país. De acuerdo con el

historiador griego Heródoto, dicho registro de riqueza y población se hizo con

el objetivo de preparar la construcción de las pirámides. En el mismo Egipto,

Ramsés II hizo un censo de las tierras con el objeto de verificar un nuevo

reparto.

En el antiguo Israel, la Biblia da referencias, en el libro de los Números, de

los datos estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. El

rey David, por otra parte, ordenó a Joab, general del ejército, hacer un censo

de Israel con la finalidad de conocer el número de la población.

También los chinos efectuaron censos hace más de cuarenta siglos. Los

griegos efectuaron censos periódicamente con fines tributarios, sociales

(división de tierras) y militares (cálculo de recursos y hombres disponibles).

La investigación histórica revela que se realizaron 69 censos para calcular

los impuestos, determinar los derechos de voto y ponderar la potencia

guerrera.

Pero fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor

supieron emplear los recursos de la estadística. Cada cinco años realizaban

un censo de la población, y sus funcionarios públicos tenían la obligación deEstadísticaEstadística 27

anotar nacimientos, defunciones y matrimonios, sin olvidar los recuentos

periódicos del ganado y de las riquezas contenidas en las tierras

conquistadas. Para el nacimiento de Cristo, sucedía uno de estos

empadronamientos de la población bajo la autoridad del imperio.

Durante los mil años siguientes a la caída del imperio romano se realizaron

muy pocas operaciones estadísticas, con la notable excepción de las

relaciones de tierras pertenecientes a la Iglesia, compiladas por Pipino el

Breve en el 758, y por Carlomagno en el 762 DC. Durante el siglo IX se

realizaron en Francia algunos censos parciales de siervos. En Inglaterra,

Guillermo el Conquistador recopiló el Domesday Book o Libro del gran

catastro para el año 1086, un documento de la propiedad, extensión y valor

de las tierras de Inglaterra . Esa obra fue el primer compendio estadístico de

Inglaterra.

Durante los siglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leonardo de Vinci, Nicolás

Copérnico, Galileo, Neper, William Harvey, Sir Francis Bacon y René

Descartes, hicieron grandes operaciones al método científico, de tal forma

que cuando se crearon los Estados nacionales y surgió como fuerza el

comercio internacional existía ya un método capaz de aplicarse a los datos

económicos.

Para el año 1532 empezaron a registrarse en Inglaterra las defunciones

debido al temor que Enrique VII tenía por la peste. Más o menos por la

misma época, en Francia la ley exigió a los clérigos registrar los bautismos,

fallecimientos y matrimonios. Durante un brote de peste que apareció a fines

de la década de 1500, el gobierno inglés comenzó a publicar estadísticas

semanales de los decesos. Esa costumbre continuó muchos años, y en 1632estos Bills of Mortality (Cuentas de mortalidad ) contenían los nacimientos y

fallecimientos por sexo.EstadísticaEstadística 28

En 1662, el capitán John Graunt usó documentos que abarcaban treinta años

y efectuó predicciones sobre el número de personas que morirían de varias

enfermedades y sobre las proporciones de nacimientos de varones y mujeres

que cabría esperar. El trabajo de Graunt, condensado en su obra Natural and

political observations... Made upon the bills of mortality (Observaciones

políticas y naturales... hechas a partir de las cuentas de mortalidad ), fue un

esfuerzo innovador en el análisis estadístico. Por el año 1540, el alemán

Sebastián Muster realizó una compilación estadística de los recursos

nacionales, comprensiva de datos sobre organización política, instruccio nes

sociales, comercio y poderío militar.

Durante el siglo XVII aportó indicaciones más concretas de métodos de

observación y análisis cuantitativo y amplió los campos de la inferencia y la

teoría estadística. Los eruditos del siglo XVII demostraron especial interés

por la estadística demográfica como resultado de la especulación sobre si la

población aumentaba, decrecía o permanecía estática.

En los tiempos modernos, tales métodos fueron resucitados por algunos

reyes que necesitaban conocer las riquezas monetarias y el potencial

humano de sus respectivos países. El primer empleo de los datos

estadísticos para fines ajenos a la política tuvo lugar en 1691 y estuvo a

cargo de Gaspar Neumann, un profesor alemán que vivía en Breslau. Este

investigador se propuso destruir la antigua creencia popular de que en los

años terminados en siete moría más gente que en los restantes, y para

lograrlo hurgó pacientemente en los archivos parroquiales de la ciudad.

Después de revisar miles de partidas de defunción pudo demostrar que en

tales años no fallecían más personas que en los demás. Los procedimientosEstadísticaEstadística 29

de Neumann fueron conocidos por el astrónomo inglés Halley, descubridor

del cometa que lleva su nombre, quien los aplicó al estudio de la vida

humana. Sus cálculos sirvieron de base para las tablas de mortalidad que

hoy utilizan todas las compañías de seguros.

Durante el siglo XVII y principios del XVIII, matemáticos como Bernoulli,

Francis Maseres, Lagrange y Laplace desarrollaron la teoría de

probabilidades. No obstante, durante cierto tiempo, la teoría de las

probabilidades limitó su aplicación a los juegos de azar y hasta el siglo XVIII

no comenzó a aplicarse a los grandes problemas científicos. Godofredo

Achenwall, profesor de la Universidad de Gotinga, acuñó en 1760 la palabra

estadística, que extrajo del término italiano statista (estadista). Creía, y con

sobrada razón, que los datos de la nueva ciencia serían el aliado más eficaz

del gobernante consciente. La raíz remota de la palabra se halla, por otra

parte, en el término latino status, que significa estado o situación. Esta

etimología aumenta el valor intrínseco de la palabra, por cuanto la estadística

revela el sentido cuantitativo de las más variadas situaciones.

Jacques Quételect es quien aplica las estadísticas a las ciencias sociales.

Este interpretó la teoría de la probabilidad para su uso en las ciencias

sociales y resolver la aplicación del principio de promedios y de la

variabilidad a los fenómenos sociales. Quételect fue el primero en realizar la

aplicación práctica de todo el método estadístico, entonces conocido, a las

diversas ramas de la ciencia. Entre tanto, en el período del 1800 al 1820 se

desarrollaron dos conceptos matemáticos fundamentales para la teoría

estadística: la teoría de los errores de observación, aportada por Laplace y

Gauss; y la teoría de los mínimos cuadrados desarrollada por Laplace,Gauss y Legendre.


A finales del siglo XIX, Sir Francis Gaston ideó el método conocido por

Correlación, que tenía por objeto medir la influencia relativa de los factores

sobre las variables. De aquí partió el desarrollo del coeficiente de correlación

creado por Karl Pearson y otros cultivadores de la ciencia biométrica como J.

Pease Norton, R. H. Hooker y G. Udny Yule, que efectuaron amplios estudios

sobre la medida de las relaciones.

Los progresos más recientes en el campo de la Estadística se refieren al

ulterior desarrollo del cálculo de probabilidades; particularmente en la rama

denominada indeterminismo o relatividad, se ha demostrado que el

determinismo fue reconocido en la Física como resultado de las

investigaciones atómicas y que este principio se juzga aplicable tanto a las

ciencias sociales como a las físicas.

1.1.2. Definición1.1.2. Definición

La Estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una informacióncuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc., y

deducir de ello, gracias al análisis de estos datos, significados precisos o

previsiones para el futuro.

La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación,

organización presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con

el fin de realizar una toma de decisión más efectiva.

Los estudiantes confunden comúnmente los demás términos asociados con

las estadísticas, una confusión que es conveniente aclarar debido a que esta

palabra tiene tres significados: la palabra estadística, en primer término, seusa para referirse a la información estadística; también se utiliza para


referirse al conjunto de técnicas y métodos que se utilizan para analizar la

información estadística; y el término estadístico, en singular y en masculino,

se refiere a una medida derivada de una muestra.

1.1.3. División1.1.3. División

La Estadística, para su mejor estudio, se ha dividido en dos grandes ramas:

la Estadística Descriptiva y la Inferencial.

Estadística DescriptivaEstadística Descriptiva: consiste sobre todo en la presentación de datos en

forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada

con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin

factores pertinentes adicionales, esto es, sin intentar inferir nada que vaya

más allá de los datos como tales.

Estadística Inferencial Estadística Inferencial : se deriva de muestras, de observaciones hechas

sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto

implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los

datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente

crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos,

los cuales son utilizados para hacer generalizaciones. La Estadística

Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra

tomada.

1.2.1.2. CONCEPTOS GENERALESCONCEPTOS GENERALES

1.2.1. 1.2.1. Unidad Unidad de ide investigaciónnvestigación


La unidad de investigación es el elemento a quien va dirigida la investigación,

el cual puede ser una persona, una familia, una vivienda, un estudiante, una

universidad, un empleado, una organización, etc. La unidad debe ser

adecuada al tipo de investigación y debe poseer características claras y

entendibles que permitan mediciones y comparaciones.

1.2.2. Población1.2.2. Población

Se entiende por población o universo un conjunto grande de elementos o

unidades de investigación, de los cuales se estudia una o varias

características comunes. Por ejemplo, los estudiantes de una universidad,

las universidades de una ciudad, los artículos producidos en una fábrica, las

empresas de un país, los lanzamientos de una moneda, etc.

Según el tamaño, la población puede clasificarse en finita e infinita.

Se considera una población finita finita cuando tiene un número determinado de

elementos, es decir, se conoce el tama ño de la población. Por ejemplo, los

habitantes de un país, los estudiantes de una universidad, los empleados de

una emp resa, los asoc iados a una cooperativa, etc., mientras que la

población infinita infinita tiene un número indeterminado de elementos, por ejemplo,

los cuerpos que caen, los lanzamientos de un dado, etc.

Esta clasificación sólo existe en la teoría, porque en la práctica existen

poblaciones con un número enormemente grande de elementos, las cuales

son clasificadas como poblaciones infinitas.

Cuando la población está compuesta por un número relativamente alto de

elementos, por razones de costo, tiempo y recursos técnicos que acarrearíaEstadísticaEstadística 33

la observación exhaustiva de cada uno de los elementos de la población, es

necesario recurrir a la selección de una muestra representativa de la

población.

1.2.3. Muestra 1.2.3. Muestra

La muestra es un conjunto de unidades pertenecientes a la población,

seleccionadas adecuadamente; es decir, es una parte de la población o

universo. Por ejemplo, de los 150 empleados de una empresa que

constituyen el universo o población en estudio, al azar se pueden seleccionar

30 empleados, que constituyen la muestra.

Al emplear una muestra se busca lograr que al observar una porción

reducida de unidades, se puedan sacar conclusiones semejantes a las que

se obtendrían si se estudiara el total de la población o universo.

Lo ideal es que el número de elementos o unidades de observación que

constituyen la muestra sea igual al de la población, para evitar los errores al

utilizar muestras no representativas. Sin embargo, por la limitación de

recursos, es preciso acudir al muestreo y asumir los posibles errores que

puedan generarse. Cuando el tamaño de la muestra es igual al de la

población, el trabajo realizado se denomina censocenso.

1.2.4. 1.2.4. Parámetros Parámetros y y estadígrafosestadígrafos

Los parámetros son medidas que describen numéricamente una

característica de la población, tales como: la media aritmética, la varianza, elcoeficiente de variación, etc. Una población puede tener varias

características y, por lo tanto, varios parámetros.EstadísticaEstadística 34

Los estadígrafos o estadísticas son medidas que describen numéricamente

una característica de la muestra; así como los parámetros lo hacen en una

población, igual los estadígrafos lo hacen para la muestra, tales como: la

media aritmética, la varianza, el coeficiente de variación, etc.

1.2.5. Variables1.2.5. Variables

Una variable es cualquier característica o propiedad de una población o de

una muestra, susceptible de asumir distintos valores o modalidades. Por

ejemplo: la altura de cada uno de los estudiantes de un curso puede tomar

distintos valores: ésta puede ser 1.65 m o 1.72 m, o cualquier otro valor, así

la altura es una variable. Esto no significa que la altura de un estudiante

puede variar, sino que la altura puede variar de un estudiante a otro.

El color también es una variable. Si se toma, por ejemplo, el color de las

camisetas de los estudiantes, esta cualidad puede variar de una camiseta a

otra, ya que puede haber camisetas blancas, negras, rojas, azules , etc.

Estos colores son, en este caso, los distintos atributos o modalidades que

puede asumir la variable en mención.

Las características de los objetos pueden ser o no ser susceptibles de

medida; en el primer caso (la altura de los estudiantes) se tiene una

característica cuantitativa, y en el segundo (el color de la camiseta) una

característica cualitativa. Por esta razón, las variables se clasifican en

cualitativas y cuantitativas.


Variables cualitativasVariables cualitativas

Las variables cualitativas son las que no permiten construir una serie

numérica definida; los atributos o características que toman son distintas

modalidades observadas cualit ativamente. Son variables cualitativas el

color, la profesión, el estado civil, etc.

Para designar variables cualitativas, generalmente se utilizan las primeras

letras del alfabeto en mayúsculas (A, B, C,...) y para designar el atributo se

toman las letras minúsculas acompañadas por subíndices. Por ejemplo, la

variable profesión en una empresa puede ser representada por la letra A y

sus posibles características: administrador, economista, contador, ingeniero,

por a1, a2 , a3 ,a4, respectivamente, en este caso,

a1 = administrador

a2 = economista

a3 = contador

a4 = ingeniero

Variables cuantitativasVariables cuantitativas

Las variables cuantitativas son aquellas que permiten una escala numérica

de medición, toman distintos valores observados cuantitativamente mediante

una medida y una escala de medidas. Son variables cuantitativas la altura,

el peso, el número de hijos de una familia, el salario, el número de artículos

producidos en una semana.

Para designar las variables cuantitativas se utilizan las últimas letras del

alfabeto en mayúsculas (... X, Y, Z). Por ejemplo, la variable altura de cincoEstadísticaEstadística 36

estudiantes se representa por X y las alturas 1.65 m, 1.67 m, 1.68 m, 1.70 m

y 1.72 m, se representan por x 1, x2 , x3 , x4 y x5 , respectivamente. En este

caso,

x1 = 1.65 m

x2 = 1.67 m

x3 = 1.68 m

x4 = 1.70 m

x5 = 1.72 m

Las variables cuantitativas pueden clasificarse en cuantitativas continuas y

cuantitativas discretas.

Una variable es cuantitativa continuacuantitativa continua si entre dos valores consecutivos

puede tomar infinito número de valores; es decir, entre uno y otro valor de la

variable existen infinitas posibilidades intermedias; son variables continuas el

peso, la temperatura, el tiempo, el salario, etc.

Por ejemplo, el peso es una variable cuantitativa continua porque entre los

valores de 65 Kg y 66 Kg existen infinitos valores, éstos pueden ser 65.9 Kg,

65.99 Kg, 65.999 Kg, etc.

Una variable es cuantitativa discretacuantitativa discreta si entre dos valores consecutivos no

puede asumir otro valor; en este caso la variable no toma valores decimales.

Por ejemplo, el número de empleados de una empresa, el número de

artículos producidos, el número de empresas de la competencia, etc. En

estos casos se habla de un cierto valor como 10, 11, 12 o cualquier otronúmero entero, porque es absurdo decir, por ejemplo, que una empresa tiene

11.8 empleados.EstadísticaEstadística 37

1.2.6. 1.2.6. Escalas Escalas de de mediciónmedición

Una escala es un sistema para asignar valores numéricos a ciertas

características o rasgos mensurables. Existen varios métodos para ordenar

datos; en la mayoría de los casos, las técnicas de medición se pueden

reducir a cuatro tipos de escalas: nominal, ordinal, de intervalos y de razón.

Escala nominal Escala nominal

La escala nominal se aplica a la variable cualitativa, la cual presenta

diferentes categorías o modalidades, cada una de las cuales recibe un

nombre; de ahí la denominación de esta escala. A las variables con tales

características también se les denomina atribut os. Las categorías pueden

estar preconstruidas y ser de aceptación general, o puede definirlas el

investigador de acuerdo con sus intereses, pero en cualquier caso deben ser

exhaustivas y mutuamente excluyentes, esto es, que exista una y sólo una

categoría para cada uno de los elementos de la población.

Ejemplos:

Color = {blanco, rojo, azul, verde, violeta, otro}

Tipo de artículo = {normal, imperfecto}

Cargo = {gerente, coordinador, auxiliar}

Las únicas estadísticas básicas que se pueden obtener a partir de estas

variables son la frecuencia y la moda y, por tanto, los métodos estadísticosdisponibles son aquellos que se basan en las mismas. En el caso de una

sola variable, se pueden obtener tabla s de frecuencias y diagramas deEstadísticaEstadística 38

barras o de sectores; si se tienen dos variables se puede realizar un análisis

de correspondencia o construir tablas de contingencia.

Escala ordinal Escala ordinal

Cada uno de los niveles de esta escala tiene un rango, lo que permite

establecer comparaciones de orden entre los mismos (mayor que, menor

que). No obstante, no es adecuado, en general, suponer que la distancia

entre un nivel y sus niveles adyacentes superior e inferior es la misma.

Ejemplos:

Estado sanitario = {sano, ligeramente afectado, enfermo, muy enfermo,

muerto}

Estrato socioeconómico = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Producción = {alta, media, baja}

Las variables medidas en esta escala contienen más información que

aquellas medidas en escala nominal; por tanto, se podrían aplicar los mismos

métodos y análisis, prescindiendo de la información de orden.

Adicionalmente, se pueden calcular la mediana y la desviación media.

Aunque es posible reemplazar cada una de los niveles por un número

(etiqueta), éste no aporta información adicional y las relaciones que se

pueden establecer siguen siendo las mismas. Así, se podría hacer

corresponder los números del 1 al 5 con cada uno de los niveles de estado

fitosanitario, pero lo único que se podría decir en cuanto a la sanidad es que1 > 2 > 3 > 4 > 5. En general, será inadecuada la utilización de estos


números para efectuar operaciones o deducciones matemáticas de otro tipo,

como la obtención del estado fitosanitario promedio, por ejemplo.

Escala de intervaloEscala de intervalo

Es una escala que contiene más información que las anteriores, pues

además de que existe un orden entre los diferentes niveles, la distancia entre

cualquier par de niveles adyacentes es la misma, lo que implica el uso de

una distancia unitaria de referencia. Esta característica permite establecer

relaciones entre cualquier par de intervalos en la escala; así, es posible

afirmar que la distancia que hay entre 5 y 6 es la misma que hay entre 10 y

11.

Esta escala hace uso de un punto cero que se asigna arbitrariamente en

cada sistema y que no implica aus encia de la característica medida. Este

hecho hace imposible establecer comparaciones de razón. Así, para una

característica medida en esta escala, sería incorrecto afirmar que 5 es la

mitad de 10.

Un ejemplo típico es la escala en que se mide la temperatura; para su

medición se pueden utilizar diferentes sistemas: el Celsius, el Fahrenheit 1 u

otro. Dentro de cualquiera de estos sis temas es posible afirmar que la

distancia entre dos divisiones cualesquiera es la misma, sin importar el lugar

de la escala. No obstante, en la siguiente tabla se observa cómo una

relación entre dos temperaturas cambia dependiendo del sistema, la cual

explica por qué no puede afirmarse que 5 sea la mitad de 10.

CCeellssiiuuss FFaahhrreennhheeiitt

1 (temperatura) ºF = (9/5) * (temperatura) ºC + 32EstadísticaEstadística 40

5 ºC 41 ºF10 ºC 50 ºF

Nótese que cualquier escala ordinal que se construya cuidando que la

distancia entre niveles sea la misma constituirá, en realidad, una escala de

intervalos.

Cuando las variables están medidas en esta escala, se pueden calcular

todos los estadísticos, y es posible usar cualesquiera de los métodos

estadísticos clásicos, siempre que se cumplan los supuestos específico s de

los mismos.

Escala de razonesEscala de razones

Es la escala de medic ión que tiene más información. Posee un punto cero

verdadero que indica ausencia de la característica, lo que permite realizar

comparaciones no sólo de intervalo, sino también de razones, sin importar elsistema utilizado.

Así, por ejemplo, un objeto que mida 5,08 cm tendrá el doble de longitud con

relación a un objeto que mida 2,54 cm, cualquiera que sea el sistema en que

se registre la longitud, tal como se muestra en la siguiente tabla2.

CCeennttíímmeetrtrooss PPuullggaaddaass2,54 15,08 2

Como ejemplo de variables medidas en escala de razones, están los conteos

de cualquier característica, pesos y longitudes, ente otras.

2 1 pulgada = 2,54 centímetrosEstadísticaEstadística 41

Cuando se tiene una variable medida en escala de razones, se pueden

calcular todos los estadísticos y es posible utilizar cualesquiera de los

métodos estadísticos clásicos, siempre que se cumplan los supuestos

específicos de los mismos.

Las escalas de medición que contienen poca información se denominan

débiles, y los métodos estadíst icos que se pueden aplicar sobre las mismas

son, por lo general, más restringidos. Las escalas de medición con mayor

información se denominan escalas fuertes y pueden analizarse mediante los

métodos diseñados específicamente para su análisis o mediante

cualesquiera de los métodos diseñados para trabajar sobre variables

medidas en una escala más débil, simplemente prescindiendo de la

información adicional.

Una clasificación más amplia llama variables cualitativas a aquellas medidas

en escala nominal, y cuantitativas a las medidas en escala de razones o de

intervalo. Las variables medidas en escala ordinal forman un puente entre

ambas.

1.3. MUESTREO1.3. MUESTREO

Los métodos estadísticos proponen diferentes tipos de muestreo, aunque en

general pueden dividirse en dos grandes grupos : métodos de muestreo

probabilísticos y métodos de muestreo no probabilísticos.

1.3.1. 1.3.1. Métodos de Métodos de muestreo prmuestreo probabilísticosobabilísticos


Los métodos de muestreo probabilístico son aquellos que se basan en el

principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los

individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de

una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n

tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Sólo estos métodos de

muestreo probabilístico aseguran la representatividad de la muestra extraída

y son, por tanto, los más recomendables. Dentro de los métodos de

muestreo probabilístico se encuentran los siguientes tipos:

Muestreo aleatorio simpleMuestreo aleatorio simple

El procedimiento empleado es el siguiente: 1) se asigna un número a cada

individuo de la población, y 2) a través de algún medio mecánico (bolas

dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios, números aleatorios

generados con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos

como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.

Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad

práctica cuando la población que se está manejando es muy grande.

Muestreo aleatorio sistemáticoMuestreo aleatorio sistemático

Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de

la población, pero en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae

uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es un número elegido al azar, y

los elementos que integran la muestra son los que ocupan los lugares i, i+k,

i+2k, i+3k,...,i+(n-1)k, es decir se toman los individuos de k en k, siendo k elresultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra:


k=N/n. El número i que se emplea como punto de partida será un número al

azar entre 1 y k.

El riesgo se este tipo de muestreo está en los casos en que se dan

periodicidades en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra

con una periodicidad constante (k) se puede introducir una homogeneidad

que no se da en la población. Supóngase que se está seleccionando una

muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y

los 5 últimos mujeres; si se emplea un muestreo aleatorio sistemático con

k=10 siempre serán seleccionados o sólo hombres o sólo mujeres; no podría

haber una representación de los dos sexos.

Muestreo aleatorio estratificadoMuestreo aleatorio estratificado

Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores, ya que

simplifica los procesos y suele reducir el error muestral para un tamaño dado

de la muestra. Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí

(estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna característica

(se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de

residencia, el sexo, el estado civil, etc.). Lo que se pretende con este tipo de

muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán

representados adecuadamente en la muestra. Cada estrato funciona

independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo

aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que

formarán parte de la muestra. En ocasiones, las dificultades que plantea son

demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población

(tamaño geográfico, sexos, edades...).


La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se

denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos:

Afijación simple Afijación simple: a cada estrato le corresponde igual número de elemento s

muestrales.

Afijación Afijación proporcional proporcional : la distribución se hace de acuerdo con el peso

(tamaño) de la población en cada estrato.

Afijación Afijación óptimaóptima: se tiene en cuenta la previsible dispersión de los

resultados, de modo que se consideran la proporción y la desviación típica.

Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación.

Por ejemplo, se está interesado en estudiar el grado de aceptación que la

implantación de la reforma educativa ha tenido entre los padres de un

municipio. A tal efecto se selecci onó una muestra de 600 padres de famili a.

Se conoce por los datos del Ministerio de Educación que de los 10.000 niños

escolarizados en la básica, 7.000 acuden a colegios públicos y 3.000 a

colegios privados. Como el interés es que en la muestra estén representados

todos los tipos de colegio, se realiza un muestreo estratificado empleando

como variable de estratificación el tipo de colegio.

Si se emplea una afijación simple serían 300 niños de cada tipo de centro,

pero en este caso parece más razonable utilizar una afijación proporcional

pues hay bastante diferencia en el tamaño de los estratos. Por consiguiente,

se calcula la proporción para cada uno de los estratos respecto de la

población, para poder reflejarlo en la muestra.


Colegios públicos: 7.000/10.000 = 0.70

Colegios privados: 3.000/10.000 = 0.30

Para conocer el tamaño de cada estrato en la muestra se multiplica la

proporción por el tamaño muestral.

Colegios públicos: 0.70x600 = 420 padres de familia

Colegios privados: 0.30x600 = 180 padres de familia

Muestreo aleatorio por conglomeradosMuestreo aleatorio por conglomerados

Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar

directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades

muestrales son los elementos de la población. En el muestreo por

conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la población

que forman una unidad, a la que se denomina conglomerado. Las unidades

hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado

producto, etc. son conglomerados naturales. En otras ocasiones, se pueden

utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales.

Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de

"muestreo por áreas".

El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un

cierto número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño

muestral establecido) y en investigar después todos los elementos

pertenecientes a los conglomerados elegidos.

Por ejemplo, en una investigación se trata de conocer el grado de

satisfacción laboral de los empleados de una cadena de almacenes; se tomaEstadísticaEstadística 46

una muestra de 700 empleados. Ante la dificultad de acceder individualmente

a estos empleados, se decide hacer una muestra por conglomerados.

Sabiendo que el número de empleados por almacén es aproximadamente de

35, los pasos a seguir serían:

• Recoger un listado de todos los almacenes.

• Asignar un número a cada uno de ellos.

• Elegir por muestreo aleatorio simple o sistemático los 20 almacenes

(700/35 = 20) que proporcionarán los 700 empleados que se

necesitan.

Finalmente, ante lo compleja que puede llegar a ser la situación real de

muestreo es muy común emplear lo que se denomina muestreo polietápico.

Este tipo de muestreo se caracteriza por operar en sucesivas etapas,

empleando en cada una de ellas el método de muestreo probabilístico más

adecuado.

1.3.2. 1.3.2. Métodos de Métodos de muestreo no muestreo no probabilísticosprobabilísticos

A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta

excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo

conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues no se

tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos

los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En

general, se selecciona a los sujetos siguiendo determinados criterios

procurando que la muestra sea representativa.


Muestreo por cuotasMuestreo por cuotas

También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente

sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o de

los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la

investigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio

estratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad de aquél.

En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número

de individuos que reúnen determinadas condiciones, por ejemplo: 20

individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en una misma

ciudad. Una vez determinada la cuota, se eligen los primeros que se

encuentre que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho

en las encuestas de opinión.

Por ejemplo, una universidad desea estudiar la incidencia de las drogas en la

adolescencia. Lo que debería hacer sería: conocer por los informes del

Estado cuáles son los centros educativos más afectados por el problema,

fijar un número de sujetos a entrevistar, proporcional a cada uno de los

estratos (cuotas) y, finalmente, dejar en manos de los responsables del

trabajo de campo a qué sujetos concretos se deberá entrevistar.

Muestreo opinático o intencional Muestreo opinático o intencional

Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener

muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos

supuestamente típicos. Es muy frecuente su utilización en sondeospreelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado

tendencias de voto.EstadísticaEstadística 48

Muestreo casual o incidental Muestreo casual o incidental

Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona directa e

intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de

este procedimiento es el utilizar como muestra los individuos a los que se

tiene fácil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha

frecuencia a sus propios alumnos). Un caso particular es el de los

voluntarios.

Bola de nieveBola de nieve

Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y éstos a

otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy

frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales",

delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, egresados de una

institución, etc.

1.3.3. 1.3.3. Evaluación del Evaluación del valor de valor de una encuesta una encuesta

Cotidianamente se oye o se lee sobre resultados de encuestas en los

diferentes medios de comunicación. Es evidente que los avances

tecnológicos en las comunicaciones han provocado la proliferación de

investigaciones por medio de encuestas; sin embargo, no todas son

aceptables, significativas o importantes.

Para evitar encuestas carentes de objetividad o credibilidad, debe evaluarsecon sentido crítico todo lo que se lee y escucha, además de examinarse el

valor de la encuesta, evaluando los siguientes aspectos:EstadísticaEstadística 49

Propósito de la encuesta: por qué y para quién se realiza . Un resultado

de opinión o una encuesta realizada para satisfacer la curiosidad

pertenece a la esfera de la diversión. Su resultado es un fin en sí mismo,

no un medio para log rar un fin. Debe existir escepticismo ante tales

encuestas porque el resultado no tiene una aplicación posterior.

Determinar si la encuesta está basada en una muestra probabilística o no

probabilística: el único medio disponible para hacer inferencias

estadísticas correctas a partir de una muestra es el uso de un muestreo

probabilístico. Las encuestas que emplean métodos de muestreo no

probabilístico están sujetas a errores significativos, quizá no

intencionales, que pueden generar resultados sin sentido.

1.3.4. 1.3.4. Errores Errores en las en las encuestasencuestas

Aun cuando en las encuestas se utilizan métodos de muestreo probabilístico,

están sujetas a errores potenciales, los cuales se describen a continuación:

Error de cobertura o sesgo en la selecciónError de cobertura o sesgo en la selección

La clave para una selección apropiada en la muestra es un marco de

población adecuado o una lista actualizada de todos los elementos que

participarán en el muestreo. El error de cobert ura ocurre si se excluyen

ciertos elementos de la lista de población, de manera que no tienen

oportunidad de ser seleccionados en la muestra. El error de cobe rtura

conduce a un sesgo de selecci ón. Si el listado es inadecuado porque no se

incluyeron algunos elementos de la población, cualquier muestra


probabilística aleatoria proporcionará una estimación de las características

del marco, no de la población real.

Error o sesgo de no respuestaError o sesgo de no respuesta

No todas las personas están dispuestas a contestar una encuesta. El error

de no respuesta surge del fracaso al recopilar datos de todos los sujetos de

la muestra y el resultado es un sesgo de no respuesta. Como en general no

se puede suponer que las personas que no responden son semejantes a

aquellas que sí responden, es importante realizar un seguimiento a las no

respuestas después de un periodo determinado. Deben hacerse varios

intentos, ya sea por correo o por teléfono, para convencerlos de que

diligencien la encuesta. Con base en estos result ados, las estimaciones

obtenidas con las respuestas iniciales se combinan con las estimaciones

obtenidas con el seguimiento, de manera que las inferencias hechas a partir

de la encuesta sean válidas.

Error de muestreoError de muestreo

El error de muestreo se presenta cuando se encuesta una muestra y no la

población, es decir, cuando no se aplica un censo. Aun cuando no se puede

evitar este error, sí se puede controlar; una forma importante de controlarlo

es seleccionar un método o un diseño adecuado de muestreo. El error de

muestreo muestra la heterogeneidad o las “diferencias aleatorias” de una

muestra a otra, según la probabilidad de que elementos específicos sean

seleccionados en unas muestras determinadas.

Error de mediciónError de medición


Se refiere a la falta de precisión en las respuestas registradas, debido a fallas

en la redacción del enunciado de las preguntas, la influencia del

entrevistador en la persona que responde, o por el esfuerzo que realiza la

persona que responde.

1.3.5. 1.3.5. Aspectos étiAspectos éticos del cos del muestreomuestreo

En la actualidad se existe una tendencia a la proliferación de investigaciones

que se apoyan en encuestas; no todas son buenas, significativas o

importantes, y no todas son étic as. Debe intentarse distinguir entre un

diseño de encuesta deficiente y un diseño carente de ética.

Las consideraciones éticas surgen con relación a cuatro tipos de errores

potenciales que pueden ocurrir cuando se diseñan encuestas que utilizan

muestras probabilísticas aleatorias: error de cobertura o sesgo de selección,

error o sesgo de no respuesta, error de mue streo y error de medic ión. El

error de cobertura o sesgo de selección se convierte en un problema ético,

sólo si se excluyen a propósito grupos específicos de individuos del marco de

población, para obtener resultados sesgados, que indican una posición más

favorable para los intereses del investigador.

De igual manera, el error o sesgo de no respuesta se convierte en un

problema ético, sólo si es menos probable que grupos o individuos

específicos respondan a una encuesta, y si el investigador la diseña a

propósito con el fin de excluir grupos o elementos.

El error de muestreo se convierte en un problema ético, sólo cuando losresultados se presentan, a propósito, sin referencia al tamaño de muestra o


al margen de error, de modo que el investigador puede promover un punto

de vista que de otra manera sería insignificante.

El error de medición se convierte en un problema ético en cualquiera de las

siguientes situaciones:

Un investigador puede elegir preguntas orientadas que guían las

respuestas hacia una dirección específica.

Un investigador, mediante actitudes y tono de voz, puede crear un efecto

deliberado de halo o puede guiar las respuestas en cierta dirección.

Alguien que responde, pero no está de acuerdo con la encuesta, puede

proporcionar información falsa a propósito.


2. 2. ORDENACIÓN ORDENACIÓN DE DE DATOS DATOS ESTADÍSTICOSESTADÍSTICOSEstadísticaEstadística 54

En los datos obtenidos en encuestas, experimentos o mediante cualquier

instrumento de medida, por ser numerosos, se dificulta su interpretación, a

menos que se ordenen y clasifiquen en forma conveniente. Por lo tanto, se

deben agrupar los datos y presentarlos en forma de tablas.

2.1. TABULACIÓN DE DATOS2.1. TABULACIÓN DE DATOS

La tabulación de datos consiste en tomar los distintos valores o atributos que

toma la variable y colocarlos en columna, de acuerdo con algún criterio de

ordenación, y al frente se coloca el número de veces que aparece el valor o

atributo, o sea, la frecuencia.

Para la tabulación de datos correspondientes a variables cualitativas se

puede hacer de acuerdo con el orden cronológico, con el orden alfabético o

en forma convencional.

Por ejemplo, una Cooperativa de Trabajo Asociado Epsilon desea conocer el

nivel de escolaridad de sus asociados y encuentra la siguiente información: 5

profesionales, 15 técnicos, 20 bachilleres y 10 con básica primaria.

Ordenando los niveles de escolaridad en forma convencional se obtiene la

tabla 1.


Tabla 1. Nivel de Tabla 1. Nivel de escolaridad de los aescolaridad de los asociados de la sociados de la Cooperativa deCooperativa de

Trabajo Asociado EpsilonTrabajo Asociado Epsilon

NNIIVVEEL L DDE E EESSCCOOLLAARRIIDDAADD TTAABBUULLAACCIIÓÓNN FFRREECCUUEENNCCIIAAProfesional ΙΙΙΙΙ 5Técnico ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ 15

Bachiller ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ

ΙΙΙΙΙ

20

Básica primaria ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ 10Fuente: Datos hipotéticos

Para la clasificación de datos correspondientes a variables cuantitativas se

utilizan escalas numéricas y se pueden colocar de forma creciente o

decreciente.

Por ejemplo, se seleccionan diez asociados de la Cooperativa de Trabajo

Asociado Epsilon y se les consulta por el número de hijos que poseen en el

momento, obteniendo los siguientes datos: 2, 3, 1, 1, 0, 2, 4, 3, 2, 2.Ordenando en forma creciente se obtiene la tabla 2.

Tabla 2. Tabla 2. Número de hijNúmero de hijos de los asociados de os de los asociados de la Cooperativa de Tla Cooperativa de Trabajorabajo

Asociado EpsilonAsociado Epsilon

NNÚÚMEMERRO DO DE E HHIJIJOSOS TTAABBULULAACCIÓIÓNN FRFRECECUUENENCCIAIA0 Ι 11 ΙΙ 22 ΙΙΙΙ 43 ΙΙ 24 Ι 1

Fuente: Datos hipotéticos

En la tabla 2 se ha ordenado en forma creciente el número de hijos de los

asociados, pero cuando los datos son numerosos o el recorrido de la variable

es largo, este procedimiento no es práctico y, por lo tanto, se deben formar


grupos o intervalos de clase, mediante el siguiente procedimiento: rango o

recorrido, amplitud del rango, número de clases, amplitud del intervalo de

clase, límites de cada clase y tabulación.

2.1.1. 2.1.1. Rango o Rango o recorrido recorrido (R)(R)

El rango o recorrido (R) de una variable es el campo de variación numérica

de dicha variable, es decir, el intervalo entre el menor valor y el mayor valor

que toma la variable. Se representa como:

Donde, R: rango o recorrido.

Li: límite inferior (menor valor de la variable).

Ls: límite superior (mayor valor de la variable).

Por ejemplo, un grupo de expertos en auditaje analiza el tiempo que tarda

(en minutos) en realizar la audit oría de un proceso similar en difer entes

empresas. Los datos se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 3. Tiempo que tarda (en minutos) un grupo de expertos en auditarTabla 3. Tiempo que tarda (en minutos) un grupo de expertos en auditar

un procesoun procesoEstadísticaEstadística 57

R = Li , Ls

AAuuddititoorr TTiieemmppoo

(min)(min)

AAududititoror TiTiemempopo

(min)(min)

AAuuddiittoorr TTiieemmppoo

(min)(min)

AAuuddiittoorr TTiieemmppoo

(min)(min)

AuAuditditoror TieTiempompo

(min)(min)Aud. 1 70 Aud. 11 47 Aud. 21 57 Aud. 31 52 Aud.41 51Aud. 2 71 Aud. 12 68 Aud. 22 55 Aud. 32 63 Aud.42 50Aud. 3 62 Aud. 13 60 Aud. 23 55 Aud. 33 65 Aud.43 60Aud. 4 63 Aud. 14 54 Aud. 24 57 Aud. 34 50 Aud.44 56

Aud. 5 67 Aud. 15 63 Aud. 25 59 Aud. 35 53 Aud.45 67Aud. 6 65 Aud. 16 60 Aud. 26 74 Aud. 36 59 Aud.46 59Aud. 7 74 Aud. 17 69 Aud. 27 56 Aud. 37 45 Aud.47 68Aud. 8 62 Aud. 18 54 Aud. 28 59 Aud. 38 72 Aud.48 61Aud. 9 65 Aud. 19 73 Aud. 29 71 Aud. 39 64 Aud.49 51Aud. 10 56 Aud. 20 55 Aud. 30 50 Aud. 40 69 Aud.506 4Fuente: Datos hipotéticos

En la tabla 3 el valor mayor es 74 minutos y, el menor, 45 minutos, por lo

tanto:

Li = 45 minutos, Ls = 74 minutos y R = [45, 74]

Límites realesLímites reales: como los tiempos se registran con aproximación a 1 minuto,el límite inferior, 45 minutos, incluye el valor 44.6 minutos; por lo tanto, el

valor real del límite inferior es 44.5 minutos; y el límite superior, 74 minutos,

incluye el valor 74.5 minutos; luego, el límite real superior es 74.5 minutos, y

el recorrido real en este caso es:

R = [44.5, 74.5]

2.1.2. 2.1.2. Amplitud Amplitud del rango del rango (AR)(AR)

La amplitud del rango de una variable se determina hallando la diferencia

entre el límite superior real y el límite inferior real.


AR = Ls - Li

Para el ejemplo de la tabla 3 la amplitud del rango es:

AR = 74.5 minutos – 44.5 minutos = 30 minutos

2.1.3. 2.1.3. Número Número de clde clases (m)ases (m)

El número de clases puede obtenerse de forma convencional, teniendo en

cuenta que no deb e ser menor a 5 ni mayor de 20 clas es. Sin embargo,

puede obtenerse por medio de la fórmula de Sturges, la cual es:

Donde n es el número total de datos.

Para el ejemplo de la tabla 3 el número de intervalos es:

m = 1 + 3.3 x log (50)

m = 1 + 3.3 x 1.69

m = 1 + 5.6

m = 6.6

En este caso se pueden tomar 6 ó 7 intervalos.

2.1.4. 2.1.4. Amplitud del Amplitud del intervalo de intervalo de clase (C)clase (C)

El valor del intervalo de clase no es necesario que sea igual para todos los

intervalos; sin embargo, para fines de simplificación y funcionalidad esEstadísticaEstadística 59

m = 1 + 3.3 x lo

conveniente que todas las clases tengan la misma amplitud. Para obtenerla,

se divide la amplitud del rango entre el número m de clases que se considere

más adecuado, teniendo en cuenta que C debe ser un númer o exacto. En

consecuencia,

Para el ejemplo de la tabla 3 la amplitud del intervalo podría ser:

Si m = 6, entonces C = 30/6, C = 5 minutos

Si m = 7, entonces C = 30/7, C = 4.285714286... minutos

Entre estos dos valores, el más recomendable es C = 5, ya que es exacto.

Por lo tanto, se deben construir 6 intervalos con una amplitud de 5 minutos.

Esto es m = 6 y C = 5.

Cuando la amplitud del intervalo (AR) no es divisible por un número entero,

ésta se puede incrementar hasta hacerla divisible; este incremento debe ser

distribuido proporcionalmente, sumando la mitad al límite superior y restando

la otra mitad al límite inferior.

2.1.5. 2.1.5. Límites Límites de de las las clasesclases

Cada clase tiene un límite inferior il y un límite superior sl ; el límite inferior

de la clase más baja o clase uno es igual al límite inferior del rango L i, y el

límite superior de esta clase es igual al límite inferior, más la amplitud delintervalo (C). El límite inferior de la clase dos es igual al límite superior de la


C = AR / m

clase uno, y el límite superior de esta clase es igual al límite inferior, más la

amplitud del intervalo (C). Y así sucesivamente, hasta cubrir el número de

clases definidas.

Para el ejemplo de la tabla 3, los límites de clases serían:

Tabla 4. Límites de clases para el tiempo que tarda (en minutos) unTabla 4. Límites de clases para el tiempo que tarda (en minutos) un

grupo de expertos en auditar un procesogrupo de expertos en auditar un proceso

NNº º DDE CE CLLAASSEE LLÍÍMMIITTEES DS DE CE CLLAASSEE

il -- sl

INTERVALOS DE CLASEINTERVALOS DE CLASE

il -- sl

1 44.5 - 4 4.5 + 5 = 49.5 44.5 - 4 9.52 49.5 - 4 9.5 + 5 = 54.5 49.5 - 5 4.53 54.5 - 5 4.5 + 5 = 59.5 54.5 - 5 9.54 59.5 - 5 9.5 + 5 = 64.5 59.5 - 6 4.55 64.5 - 6 4.5 + 5 = 69.5 64.5 - 6 9.56 69.5 - 6 9.5 + 5 = 74.5 69.5 - 7 4.5


2.1.6. Tabulación2.1.6. Tabulación

Una vez establecidos los intervalos de clase, se procede al conteo como en

el caso para datos no agrupados, como se ilustra en la tabla 5.

Tabla 5. Tabulación para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo deTabla 5. Tabulación para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo de

expertos en auditar un procesoexpertos en auditar un proceso

Nº Nº DDE CE CLLAASSEE TTIEIEMMPO PO (m(mininuutotos)s) TTAABBULULAACCIÓIÓNN FFRRECECUUENENCCIAIASS


1 44.5 - 49.5 ΙΙ 22 49.5 - 54.5 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙ 93 54.5 - 59.5 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ

ΙΙ

12

4 59.5 - 64.5 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ

Ι

11

5 64.5 - 69.5 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙ 96 69.5 - 74.5 ΙΙΙΙΙ ΙΙ 7


2.1.7. 2.1.7. Marca de Marca de clase o clase o punto medipunto medioo

Cada clase tiene un punto medio o marca de clase.

i x que representa a cada

intervalo. La marca de clase se calcula como la semisuma entre los límites

inferior y superior de cada intervalo, así:

Tabla 6. Marca de clase para el tiempo que tarda (en minutos) un grupoTabla 6. Marca de clase para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo

de expertos en auditar un procesode expertos en auditar un proceso

Nº DENº DE

CLASECLASE

INTERVALOINTERVALO

(Tiempo en minutos)(Tiempo en minutos)

MARCA DEMARCA DE

CLASECLASE1 44.5 - 49.5 472 49.5 - 54.5 523 54.5 - 59.5 57

4 59.5 - 64.5 625 64.5 - 69.5 676 69.5 - 74.5 72


2

.is

i

ll x

+=


Obsérvese que al pasar de una marca de clase a la siguiente, ésta se

incrementa en las mismas unidades de la amplitud del intervalo C; por esta

razón es que C siempre debe ser un número exacto.

2.2. FRECUENCIAS2.2. FRECUENCIAS

2.1.1. 2.1.1. Frecuencia Frecuencia absoluta absoluta (f(fii))

Se llama frecuencia absoluta (f i) al número de veces que aparece el valor x ii

de una variable X en un colectivo. Así, si en un grupo de 30 empleados hay 6

que tienen una edad de 25 años, se dice que la edad 25 años tiene una

frecuencia de 6.

Las frecuencias absolutas para el grupo de expertos de la auditoría de un

proceso se presentan en la tabla 7.

Tabla 7. Frecuencias absolutas para el tiempo que tarda (en minutos) unTabla 7. Frecuencias absolutas para el tiempo que tarda (en minutos) un


NN° ° DDE E CCLLAASSEE IINNTTEERRVVAALLOO


FRECUENCIAFRECUENCIA

ABSOLUTA (fABSOLUTA (fII))1 44.5 - 49.5 22 49.5 - 54.5 93 54.5 - 59.5 124 59.5 - 64.5 115 64.5 - 69.5 96 69.5 - 74.5 7

TOTAL 50Fuente: Datos hipotéticos


Obsérvese que la suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al

número total de datos.

2.2.2. 2.2.2. Frecuencia Frecuencia relativa relativa (h(hii))

Se llama frecuencia relativa (h i) al cociente de dividir la frecuencia absoluta

entre el número total de elementos del colectivo. También se puede

representar en porcentaje.

Donde n es el total de elementos.

Así, si en un grupo de 30 empleados hay 6 que tienen una edad de 25 años,

entonces la frecuencia relativa será:

%20100*30

6==ih

Aquí la edad 25 años tiene una frecuencia relativa de 20%; es decir, el 20%

de los empleados tiene edad de 25 años.

Las frecuencias relativas para el grupo de expertos de la auditoría de un

proceso se presenta en la 8.

Tabla 8. Frecuencias relativas para el tiempo que tarda (en minutos) unTabla 8. Frecuencias relativas para el tiempo que tarda (en minutos) un



100*n

f h i

i =

NN° ° DDE E CCLLAASSEE IINNTTEERRVVAALLOO



RELATIVA (hRELATIVA (hII))1 44.5 - 49.5 (2/50)*100 = 4%2 49.5 - 54.5 (9/50)*100 = 18%3 54.5 - 59.5 (12/50)*100 = 24%4 59.5 - 64.5 (11/50)*100 = 22%5 64.5 - 69.5 (9/50)*100 = 18%

6 69.5 - 74.5 (7/50)*100 = 14%TOTAL 100%


Obsérvese que la suma de las frecuencias relativas es igual al 100%.

La frecuencia relativa se aplica a las variables cualitativa, cuantitativa

discreta y continua.

2.2.3. 2.2.3. Frecuencia Frecuencia absoluta absoluta acumulada acumulada (F(FII))

Se llama frecuencia absoluta acumulada (FI) de un valor x ii de una variable X

a la suma de las frecuencias absolutas hasta la correspondiente frecuencia fI

del valor xii .

Tabla 9. Frecuencias absolutas acumuladas para el tiempo que tarda Tabla 9. Frecuencias absolutas acumuladas para el tiempo que tarda

(en minutos) un grupo de expertos en auditar un proceso(en minutos) un grupo de expertos en auditar un proceso

INTERVALOINTERVALO(Tiempo en(Tiempo en

minutos)minutos)

FRECUENCIAFRECUENCIAABSOLUTA (fABSOLUTA (fii))

FRECUENCIA ABSOLUTAFRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA (FACUMULADA (Fii))


∑=

=i

k

k i f F 1

44.5 - 49.5 2 249.5 - 54.5 9 2 + 9 = 1154.5 - 59.5 12 2 + 9 + 12 = 2359.5 - 64.5 11 2 + 9 + 12 + 11 = 3464.5 - 69.5 9 2 + 9 + 12 + 11 + 9 = 4369.5 - 74.5 7 2 + 9 + 12 + 11 + 9 + 7 = 50


2.2.4. 2.2.4. Frecuencia rFrecuencia relativa elativa acumulada acumulada (H(Hii))

Se llama frecuencia relativa acumulada (HI) de un valor xii de una variable X a

la suma de las frecuencias relativas hasta la correspondiente frecuencia h I

del valor xii .

Tabla 10. Frecuencias relativas acumuladas para el tiempo que tarda (enTabla 10. Frecuencias relativas acumuladas para el tiempo que tarda (en

minutos) un grupo de expertos en auditar un procesominutos) un grupo de expertos en auditar un proceso

INTERVALOINTERVALO

(Tiempo en(Tiempo en

minutos)minutos)


RELATIVA (hRELATIVA (hii))

FRECUENCIA RELATIVAFRECUENCIA RELATIVA

ACUMULAACUMULADA DA (H(Hii))

44.5 - 49.5 4% 4%49.5 - 5 4.5 18% 4% + 18% = 22%54.5 - 59.5 24% 4% + 18% + 24% = 46%


∑=

=i

k

k i h H 1

59.5 - 64.5 22% 4% + 18% + 24% + 22% = 68%64.5 - 69.5 18% 4% + 18% + 24% + 22% + 18% = 86%69.5 - 74.5 14% 4% + 18% + 24% + 22% + 18% + 14% = 100%


Una vez construidos los intervalos y las frecuencias, se ilustra en una tabla el

consolidado para facilitar la interpretación y el análisis de la variable (vertabla 11).

Tabla 11. Intervalos y frecuencias para el tiempo que tarda (en minutos)Tabla 11. Intervalos y frecuencias para el tiempo que tarda (en minutos)

un grupo de expertos en auditar un procesoun grupo de expertos en auditar un proceso

N° DEN° DE

CLASECLASE

TIEMPO ENTIEMPO EN

MINUTOSMINUTOS

.

i x ffii hhii FFii HHii

1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 9 18% 11 22%3 54.5 - 59.5 57 12 24% 23 46%4 59.5 - 64.5 62 11 22% 34 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%

6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%Fuente: Datos hipotéticos

Para analizar los resultados obtenidos en la tabla anterior, se deben tener en

cuenta los siguientes aspectos:

Las frecuencias absolutas y relativas se interpretan a partir de los

intervalos.

Por ejemplo: 2 expertos tardan entre 44.5 y 49.5 minutos en realizar la

auditoría del proceso o el 4% de los expertos tardan entre 44.5 y 49.5

minutos en realizar la auditoría del proceso; 9 expertos tardan entre 49.5

y 54.5 minutos en realizar la auditoría del proceso o el 18% de los


expertos tardan entre 49.5 y 54.5 minutos en realizar la auditoría del

proceso, así sucesivamente.

Las frecuencias absolutas acumuladas y relativas acumuladas se

interpretan con la marca de clase del intervalo.

Por ejemplo: 2 expertos tardan menos de 47 minutos en realizar la

auditoría del proceso o 4% de los expertos tardan menos de 47 minutos

en realizar la auditoría del proceso, 11 expertos tardan menos de 52

minutos en realizar la auditoría del proceso o 22% de los expertos tardan

menos de 52 minutos en realizar la auditoría del proceso, así

sucesivamente.

NOTA:NOTA: las frecuencias acumuladas no se aplican a la variable cualitativa.

2.2.5. Números índice2.2.5. Números índice

Un número índice es una medida estadística diseñada para resaltar cambios

en una variable o un grupo de variables relacionadas con respecto al tiempo,

situación geográfica, ingresos, o cualquier otra característica.

El número índice es el cociente que resulta al dividir una determinada

frecuencia de una serie por otra frecuencia de la misma serie, la cual se toma

como base o punto de referencia; puede expresarse en porcentaje o en

miles.

Ejemplo: los precios de un artículo A durante los años 2001 a 2005 fueron$40.000, $48.000, $56.000, $70.000, $84.000, respectivamente. Al tomar


como base el año 2001, que corresponde al 100%, se obtienen los índices

para cada año.

Tabla 12. Índices de precios del artículo a, de los años 2001 a 2005Tabla 12. Índices de precios del artículo a, de los años 2001 a 2005

AAÑÑOO PPRREECCIIO O (($$)) ÍÍNNDDIICCEE2001 40.000 (40.000/40.000)*100 = 100%2002 48.000 (48.000/40.000)*100 = 120%2003 56.000 (56.000/40.000)*100 = 140%2004 70.000 (70.000/40.000)*100 = 175%2005 84.000 (84.000/40.000)*100 = 210%


Esto indica que el precio del artículo A se incrementó 20% en el año 2002

con respecto al año 2001; 40% en el año 2003 con respecto al año 2001;75% en el año 2004 con respecto al año 2001; y 110% en el año 2005 con

respecto al año 2001.

2.3.2.3. GRÁFICAGRÁFICAS S O O DIAGRADIAGRAMASMAS

Las gráficas permiten describir brevemente las características de un

colectivo. Existen varios tipos de gráficas que pued en utilizarse para

representar el comportamiento de una variable, tales como histogramas,

polígonos de frecuencia, ojivas, diagramas circulares y barras.

2.3.1. Histogramas2.3.1. Histogramas


Un histograma de frecuencias consiste en una serie de rectángulos que se

construyen sobre un plano cart esiano. Este tipo de gráfica se aplica a la

variable cuantitativa continua.

Sobre el plano cartesiano, en el eje horizontalm, se ubican los intervalos de

cada clase, y en el eje vertical las frecuencias. Luego, para cada intervalo se

dibuja un rectángulo cuya base es la amplitud del intervalo de cada clase, y

la altura es la frecuencia de cada clase.

Si sobre el eje vertical se ubican las frecuencias absolutas, se obtiene el

histograma de frecuencias absolutas, y si se ubican las frecuencias relativas,

se obtiene el histograma de frecuencias relativas, como se ilustra en las

gráficas 1 y 2 para un grupo de expertos que auditan un proceso.

Gráfica 1. Gráfica 1. Histograma de frHistograma de frecuencias absolutas para un gruecuencias absolutas para un grupo depo de

expertos que auditan un procesoexpertos que auditan un proceso


Gráfica 2. Gráfica 2. Histograma de frHistograma de frecuencias relativas para un ecuencias relativas para un grupo degrupo de


2.3.2. 2.3.2. Polígono Polígono de de frecuenciasfrecuencias

El polígono de frecuencias se construye de forma similar al histograma; la

diferencia radica en la forma y estructura de la gráfica, la cual se obtiene

ubicando las marcas de clase sobre el eje horizontal; y sobre el eje vertical,

las frecuencias, según el tipo de polígono; si se ubican las frecuencias

absolutas, se denomina polígono de frecuencias absolutas; y si se ubican las

frecuencias relativas, se denomina polígono de frecuencias relativas, como

se ilustra en las gráficas 3 y 4 para un grupo de expertos que auditan un

proceso.


Gráfica 3. Gráfica 3. Polígono de frecuencias abPolígono de frecuencias absolutas para un grupo solutas para un grupo dede


Gráfica 4. Gráfica 4. Polígono de frecuencias rPolígono de frecuencias relativas para un grelativas para un grupo de expertosupo de expertos

que auditan un procesoque auditan un proceso


Se acostumbra prolongar el polígono hasta las marcas de clase inferior y

superior inmediatas, que corresponderían a las clases de frecuencia cero.

Los polígonos de frecuencia pueden tomar muchas formas, sin embargo, en

la mayoría de los casos toman una forma acampanada que se identifica con

la curva normal.

2.3.3. 2.3.3. Ojivas o Ojivas o polígonos de polígonos de frecuencias acumuladasfrecuencias acumuladas

La construcción de estos polígonos es similar a los polígonos de frecuencias

absolutas y relativas; la diferencia radica en que aquí se toman las

frecuencias acumuladas, como se puede observar en las gráficas 5 y 6,

donde se presentan los polígonos de frecuencias absolutas y relativas

acumuladas para el grupo de expertos que auditan un proceso.

Gráfica 5. Polígono de frecuencias absolutas acumuladas para un grupoGráfica 5. Polígono de frecuencias absolutas acumuladas para un grupo

de expertos que auditan un procesode expertos que auditan un proceso


Gráfica 6. Gráfica 6. Polígono de frecuencias rPolígono de frecuencias relativas acumuladas para un elativas acumuladas para un grupogrupo

de expertos que auditan un procesode expertos que auditan un proceso

2.3.4.2.3.4. Diagramas de barrasDiagramas de barras

Los diagramas de barras son muy utilizados por la facilidad y sencillez que

ofrecen para presentar características de una población, especialmente de

variables cualitativas o cuantitativas discretas.

Los diagramas de barras consisten en rectángulos de anchura arbitraria en la

cual se ubican los valores de la variable, y de longitud proporcional al número

de observaciones o frecuencias. Las barras se pueden construir de forma

horizontal o vertical, como se muestra en la gráfica 7, correspondiente a los

datos del cuadro 2.


Gráfica 7. Número de hijos de los asociados de la Cooperativa deGráfica 7. Número de hijos de los asociados de la Cooperativa de


2.3.5. 2.3.5. Diagramas Diagramas circularescirculares

Estas gráficas consisten en un círculo dividido en partes proporcionales a los

porcentajes de cada una de las caracte rísticas o valores de la variabl e. Se

utilizan principalmente en la representación de variables cualitativas.

Para su construcción, se dividen los 360° de la circunferencia

proporcionalmente a los porcentajes o a las frecuencias absolutas de cada

característica.

En la gráfica 8 se ilustra el nivel de escolaridad de los asociados de la

Cooperativa de Trabajo Asociado Epsilón. En ella, 360° corre sponde al


100% de los asociados; con nivel profesional corresponde 36°; nivel técnico

corresponde 108°; nivel de bachillerato, 144°; y con básica primaria, 72°.

Gráfica 8. Gráfica 8. Nivel de escolaridad de Nivel de escolaridad de los asociados de la Coolos asociados de la Cooperativa deperativa de


2.3.6.2.3.6. Diagrama de tallo y hojasDiagrama de tallo y hojas

El diagrama de tallo y hoja es una herramienta valiosa y versátil para

organizar un conjunto de datos y entender la distribución y agrupación de los

valores dentro del intervalo de observaciones en el conjunto. Un diagrama

de tallo y hoja separa los datos en dígitos guía, o tallos, y dígitos que le

siguen, u hojas. Para construir el diagrama, primero se ordenan los díg itos

principales de cada dato a la izquierda de una línea vertical. A la derecha de

ésta se registra el último dígito para cada dato conforme al orden de

aparición de las observaciones. El último dígito de cada dato se coloca en la

fila que corresponde a su primer dígito.

Para ilustrar el uso del diagrama de tallo y hojas se consideran los siguientes

datos de la tabla 13. La información es resultado de un examen de aptitudesEstadísticaEstadística 76

de 150 preguntas, aplicado a 50 personas durante un proceso de selección

de personal en Manufacturas Alfa.

Tabla 13. Número de Tabla 13. Número de preguntas contestadas en formpreguntas contestadas en forma correcta a correcta en una en una

prueba de aptitudprueba de aptitud

112 84 108 76 115 102 124 119 7 11573 68 76 118 94 80 83 95 95 85126 100 141 132 97 98 92 104 134 10782 72 119 96 86 106 81 69 128 10092 92 98 91 127 106 106 113 81 75Fuente: Datos hipotéticos

Inicialmente, se deben ubicar los datos en tallo y hojas, así:

66 9 8

77 2 3 6 3 6 5

88 6 2 3 1 1 0 4 5

99 7 2 2 6 2 1 5 8 8 5 4

1010 7 4 8 0 2 6 6 0 6

1111 2 8 5 9 3 5 9

1212 6 8 7 4

1313 2 4

1414 1

Posteriormente, se ordena cada línea en forma ascendente, y una vez

ordenado, queda el diagrama de tallo y hojas como sigue:


66 8 9

77 2 3 3 5 6 6

88 0 1 1 2 3 4 5 6

99 1 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8

1010 0 0 2 4 6 6 6 7 8

1111 2 3 5 5 8 9 9

1212 4 6 7 8

1313 2 4

1414 1

Los números de la izquierda de la línea (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) forman

el tallotallo, y cada dígito de la derecha de la fila es una hojahoja. Por ejemplo, se

considera la primera fila con un valor de tallo igual a 6, y hojas de 8 y 9, lo

cual significa que hay dos valores que tienen un primer dígito de 6; las hojas

muestran que los valores son 68 y 69. De manera similar, la segunda fila

indica que hay seis valores cuyo primer dígito es siete: 72, 73, 73, 75, 76 y

76.

Si se gira el diagrama de tallo y hojas 90° en sentido contrario a las

manecillas del reloj, se obtiene una imagen similar al histograma de

frecuencias. Aunque el diagrama de tallo y hojas parece ofrec er la misma

información que un histograma, tiene dos ventajas principales:

1.1. Es más fácil de construir.

2.2. Dentro de un intervalo de clase, el diagrama de tallo y hojas da más

información que un histograma, porque muestra los valores reales.

2.3.7. 2.3.7. Diagrama Diagrama de de ParetoParetoEstadísticaEstadística 78

El diagrama de Pareto es un recurso gráfico que permite representar datos

categóricos (variables cualitativas) y que a menudo proporciona más

información visual que los diagramas de barras o circulares.

El diagrama de Pareto es un tipo especial de diagrama de barras verticales,

donde las respuestas categorizadas se grafican en orden descendente de

frecuencias y se combinan con un polígono acumulado en la misma escala.

El principio fundamental de la gráfica es separar los “pocos vitales“ de los

“muchos triviales”, lo que permite dirigir la atención a las respuestas

importantes. Así, el diagrama alcanza su utilidad máxima cuando la variable

categórica de interés conti ene muchas categor ías. Este diagrama se utiliza

ampliamente en el control estadístico de procesos y el control estadístico de

calidad del producto.

En la construcción de un diagrama de Pareto, el eje vertical de la izquierda

contiene las frecuencias o porcentajes, el eje vertical de la derecha contiene

los porcentajes acumulados, y el eje horizontal contiene las categorías de

interés. Las barras con separación uniforme tienen el mismo ancho. El

punto en el polígono de porcentajes acumulados para cada categoría se

centra en el punto medio de cada barra. Entonces, al estudiar el diagrama

de Pareto se buscan dos cosas: las magnitudes de las diferencias en las

longitudes de las barras que corresponden a las categorías adyacentes

decrecientes, y los porcentajes acumulados de estas categorías adyacentes.

Para ilustrar el diagrama de Pareto, se utiliza el ejemplo tomado del texto

Estadística para administración, de Berenson y otros, página 60.


El gerente de operaciones de una planta empacadora de cereales indicó que,

según su experiencia, casi siempre hay nueve razones que dan como

resultado la producción de cajas de cartón no conformes al final del proceso

de empaque: cartón roto, cartón abultado, cartón agrietado, cartón sucio,

agujeros en el cartón, peso de empaque inadecuado, error de impresión,

etiqueta ilegible y tapa superior sin sello.

Se tomó una muestra de 50 cajas de cartón no conformes de la producción

de una semana, con los siguientes datos:

Tabla 14. Porcentajes razones de no conformidad de la producción deTabla 14. Porcentajes razones de no conformidad de la producción de

cajas de cartóncajas de cartón

RRAAZZÓÓN N DDE E NNO O CCOONNFFOORRMMIIDDAADD NNÚÚMM %% % % AACCUUMMUULLAADDOOTapa superior sin sello 16 32.0 32.0Etiqueta ilegible 12 24.0 56.0Cartón sucio 9 18.0 74.0Cartón abultado 4 8.0 82.0Cartón roto 3 6.0 88.0

Cartón agrietado 2 4.0 92.0Peso de empaque inadecuado 2 4.0 96.0Agujeros en el cartón 1 2.0 98.0Error de impresión 1 2.0 100.0Total 50 100.00Fuente: Berenson y otros. Estadística para administración, Pág. 60.

Gráfica 9. Diagrama de Pareto para las razones de no conformidad de la Gráfica 9. Diagrama de Pareto para las razones de no conformidad de la

producción de cajas de cartónproducción de cajas de cartón


A pesar de los “pocos vitales” de los “muchos triviales”, se determina que las

tapas sin sello (32.0%), las etiquetas ilegibles (24.0%) y los cartones sucios

(18.0%) representan el 74% de las razones de no con formidad. Las otras

dos razones representan el 26%.

2.4. 2.4. TABULACIÓN DTABULACIÓN DE DAE DATOS BINARIOS O TOS BINARIOS O CRUZADOSCRUZADOS

Con frecuencia se requiere analizar al mismo tiempo las respuestas de dos

variables, por lo cual es necesario cruzar variables para describir

exitosamente el comportamiento de las mismas. En este caso, se utiliz a la

tabulación cruzada o tablas de contingencia.

La tabulación cruzada o tablas de contingenciaLa tabulación cruzada o tablas de contingencia se emplea para resumir

de manera simultánea los datos para dos vari ables. Se describirá el

procedimiento mediante la adaptación del ejemplo planteado por Anderson y

otros en el texto Estadística para administración y economía, Pág. 44.

Un informe mundial sobre restaurantes muestra muchas variables, entre

ellas, la evaluación de la calidad del restaurante y los precios característicos.

La calificación de la calidad es una variable cualitativa, con categorías de

bueno, muy bue no y excelente. El precio de la comida es una variab le

cuantitativa continua que, por lo general, varía de 10 a 49 dólares. Se tomó

una muestra de 300 rest aurantes para un Estado determ inado. En la tabla

15 se muestran sólo los datos para los primeros 10 restaurantes.

Tabla 15. Tabla 15. Evaluación de calidad y Evaluación de calidad y precio de la comiprecio de la comida para restaurantesda para restaurantesde un Estadode un Estado


RERESTSTAUAURARANTNTEE EVEVALALUAUACICIÓN ÓN DE DE LALA

CALIDADCALIDAD

PRECIO DE LAPRECIO DE LA

COMIDA (dólares)COMIDA (dólares)1 Bueno 182 Muy bueno 223 Bueno 284 Excelente 38

5 Muy bueno 336 Bueno 287 Muy bueno 198 Muy bueno 119 Muy bueno 2310 Bueno 13. . .. . .Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.

El formato general de la tabulación cruzada para este ejemplo se muestra en

la tabla 16, la cual ha recogido toda la información para el Estado objeto de

análisis. Los encabezados de las márgenes izq uierda y superior definen las

clases de las dos variab les. En la margen izq uierda se encuen tran las

categorías de la variable Evaluación de la calidad, y en la parte superior losvalores correspondientes a la variable Precio de la comida. Cada

restaurante tiene una evaluación de la calidad y un precio de la comida.

Así, cada restaurante de la muestra se asocia con una celda que aparece en

uno de los renglones y en una de las columnas de la tabulación cruzada. Por

ejemplo, el restaurante 5 se identifica por tener una evaluación de la calidad

muy buena y un prec io de la comida de 33 dóla res. Este restaurante

pertenece a la celda de la fila 2 y la columna 3 de la tabla 15. Para elaborar

una tabulación cruzada simplemente se cuenta la cantidad de restaurantes

que pertenecen a cada una de las celdas de la tabla.


En la tabla 16 se observa que la mayor cantidad de restaurantes (64) en la

muestra tienen calificación de “muy bueno“, y que el precio de la comida está

entre los límites de 20 a 29 dólares. Sólo hay dos restaurantes con

calificación de “excelente” y precio de la comida de 10 a 19 dólares. De las

demás frecuencias se puede llegar a interpretaciones análogas. Además, las

márgenes derecha e inferior de la tabla cruzada indican por separado las

distribuciones de frecuencias de evaluación de la calidad y del precio de la

comida. En la margen derecha se ve que los datos so bre evaluación de la

calidad indican que hay 84 restaurantes buenos, 150 muy buenos y 66

excelentes. De igual forma, la margen inf erior indica la distribución de

frecuencias de la variable “costo de la comida”.

Tabla 16. Tabulación cruzada o tabla de contingencia de calificaciones yTabla 16. Tabulación cruzada o tabla de contingencia de calificaciones y

precio de la comida para restaurantes de un Estadoprecio de la comida para restaurantes de un Estado

EVALUACION DEEVALUACION DE

LA CALIDADLA CALIDAD

PRECIO DE LA COMIDA (dólares)PRECIO DE LA COMIDA (dólares)

10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49

TOTALTOTAL

Bueno 42 40 2 0 8484Muy bueno 34 64 46 6 150150Excelente 2 14 28 22 6666TTOOTTAALL 7788 111188 7766 2288 330000Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.

El valor de una tabulación cruzada consiste en que proporciona una idea de

la relación entre las variables. A partir de los resultados de la tabla 16 los

precios más altos por comida parecen estar asociados con una calidad

mayor del restaurante y el precio más bajo por comida a una calidad menor.

Si se convierten los elementos de la tabla 16 a porcentajes de fila o

porcentajes de columna, se puede tener una mejor idea acerca de la relación

entre las variables. Para los porcentajes de fila, los resultados de dividirEstadísticaEstadística 83

cada frecuencia de la tabla 16 entre su total de fila correspondiente se

muestran en la tabla 17. Por ejemplo, el porcentaje en la primera fi la y la

primera columna (50%) se calcula al dividir 42 entre 84 y multiplicar por 100.

Para los porcentajes de columna, los resultados de dividir cada frecuencia de

la tabla 16 entre su tota l de columna correspondiente se muestran en la

tabla 18. Por ejemplo, el porcentaje en la primera fila y la primera colum na

(53.8%) se calcula al dividir 42 entre 78 y multiplicar por 100.

Tabla 17. Tabulación cruzada o tabla de contingencia de porcentaje deTabla 17. Tabulación cruzada o tabla de contingencia de porcentaje de

fila para las calificaciones de calidad y los precios de la comida fila para las calificaciones de calidad y los precios de la comida

EVALUACIÓN DEEVALUACIÓN DE


PRECIO DE LA COMIDA (dólares)PRECIO DE LA COMIDA (dólares)10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49

TOTALTOTAL

Bueno 50.0 47.6 2.4 0.0 100100Muy bueno 22.7 42.7 30.6 4.0 100100Excelente 3.0 21.2 42.4 33.4 100100

Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.

Tabla 18. Tabla 18. Tabulación cruzada o tablTabulación cruzada o tabla de contingencia de pa de contingencia de porcentaje deorcentaje de

columna para las calificaciones de calidad y los precios de la comida columna para las calificaciones de calidad y los precios de la comida

EVALUACIÓN DEEVALUACIÓN DE


PRECIO DE LA COMIDA (dólares)PRECIO DE LA COMIDA (dólares)10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49

Bueno 53.8 33.9 2.6 0.0Muy bueno 43.5 54.2 60.6 21.4Excelente 2.7 11.9 36.8 78.6TTOOTTAALL 110000 110000 110000 110000Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.


3. MÉTODOS NUMÉRICOS3. MÉTODOS NUMÉRICOS

En la unidad anterior se ordenaron los datos correspondientes a las variables

cualitativa y cuantitativa y se representaron los resultados por medio de

gráficas; sin embargo, el análisis de datos también abarca los cálculos y el

resumen de las características importantes y el análisis de lo que contienen.

En esta unidad se examinarán las medidas de tendencia central, de

variabilidad y de localización para un conjunto de datos. Si se calculan estas

medidas descriptivas globales a partir de una muestra, se denominan

estadísticos; en cambio, si se calculan para toda la población se denominan

parámetros. Esta unidad estará centrada en los estadísticos.

3.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE PRECISIÓN3.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE PRECISIÓN

La mayor parte de los conjuntos de datos muestra una tendencia a agruparse

o aglomerarse alrededor de un punto central . Así, para cualquier conjuntoespecífico de datos, casi siempre se puede seleccionar algún valor típico, o


promedio, para describir todo el conjunto; este valor típico descriptivo es una

medida de tendencia central, entre las cuales están: la media aritmética, la

mediana, la moda y los cuantiles.

3.1.1. Media aritmética 3.1.1. Media aritmética

La media aritmética, también llamada media, es el promedio o medida de

tendencia central que se utiliza con mayor frecuencia, además de que es la

medida de tendencia central representativa por excelencia. Se calcula con la

suma de todas las observaciones en un conjunto de datos, dividida entre el

número de elementos que lo componen. Se representa por X .

Cuando se tienen pocos datos y no se han agrupado, la media aritmética

sería:

Donde

X : media aritmética de la muestra

n : tamaño de la muestra

i x : observación de la variable

∑=

n

i

i x1

: suma de todos los valores de la muestra

Por ejemplo, las notas de un estudiante son 2, 4, 3 y 4.

La media aritmética es 5.34

14

4

5342==

+++=

X


x

X

n

i

i∑==

1

Cuando los datos se han agrupado con frecuencias, pero no se han

construido intervalos, la media aritmética se calcula como:

Donde if es el número de observaciones de cada valor de la variable; es

decir, la respectiva frecuencia absoluta.

Por ejemplo, tomando el número de hijos de la tabla 2 se tendría:

Tabla 19. Tabla 19. Media aritmética Media aritmética para el número para el número de hijos de los de hijos de los asociados deasociados de

la Cooperativa de Trabajo Asociado Epsilonla Cooperativa de Trabajo Asociado Epsilon

NÚMERO DE HIJOSNÚMERO DE HIJOS

i x


if

ii f x .

0 1 0

1 2 22 4 83 2 64 1 4

∑ == 10if n ∑ = 20. ii f x


2

10

20.

1 ===

∑=

n

f x

X

n

i

ii , lo que significa que el promedio es 2 hijos.

Cuando los datos se han agrupado con intervalos, la media aritmética se

calcula como:


f x

X

n

i

ii∑== 1

.

f x

X

n

i

ii∑== 1

.

.

Donde.

i x es la marca de clase de cada intervalo.

Para el ejemplo de la tabla 3, la media aritmética sería:

Tabla 20. Media aritmética para el Tabla 20. Media aritmética para el tiempo que tarda (en minutos) untiempo que tarda (en minutos) un


Nº DENº DE

CLASECLASE

TIEMPO ENTIEMPO EN

MINUTOSMINUTOS

.

i x if .

. ii f x

1 44.5 - 49.5 47 2 942 49.5 - 54.5 52 9 4683 54.5 - 59.5 57 12 6844 59.5 - 64.5 62 11 6825 64.5 - 69.5 67 9 6036 69.5 - 74.5 72 7 504

∑ == 50if n∑ = 3035.

.

ii f x


7.6050

3035.

1

.

===

∑=

n

f x

X

n

i

ii.. lo que significa que el promedio es 60.7 minutos.

3.1.2. Mediana 3.1.2. Mediana

La mediana, representada por MMee, de un conjunto de valores x 1, x2, x3,… xn,

es el valor que ocupa el lugar central ordenando los datos en forma

ascendente o descendente, de tal forma que la mitad de las observaciones


son menores o iguales a la mediana y la otra mitad son mayores o iguales a

dicho valor.

Podría interpretarse la mediana como aquel valor que deja el 50% de las

observaciones por debajo de él y el otro 50% por encima de él.

Cuando los datos están sin agrupar Cuando los datos están sin agrupar , la posición de la mediana se calcula

mediante las siguientes ecuaciones:

Si el total de datos (n) es impar

Si el total de datos (n) es par

Una vez ubicada la posición, el valor correspondiente a dicha posición en la

mediana.

Por ejemplo, sean los valores 3, 6, 4, 5, 8.

Ordenando se tendría: 3, 4, 5, 6, 8.

El total de datos es n = 5. Por lo tanto, la posición de la mediana será

3

2

15

2

1 X X X Me n === ++

El valor correspondiente a la posición x3 en los datos ordenados es 5.


+= n X Me

122

++

=nn X X

Me

En consecuencia, la mediana M e = 5. Es decir, el 50% de los valores están

por encima de 5 y el otro 50% están por debajo de 5.

Si se tienen los valores 5, 15, 5, 13, 9, 13, 11, 7.

Ordenando se tendría: 5, 5, 7, 9, 11, 13, 13, 15

El total de datos es n = 8. Por lo tanto, la posición de la mediana será

222

541

2

8

2

81

22X X

X X X X

Me

nn+

=

+

=

+

=++

Los valores correspondientes a las posiciones x4 y x5 en los datos ordenados

son 9 y 11, respectivamente.

En consecuencia, el valor de la mediana será:

102

20

2

119==

+= Me

Es decir, el 50% de los valores está por encima de 10, y el otro 50% está por

debajo de 10.

Cuando los datos están agrupados en clases o intervalosCuando los datos están agrupados en clases o intervalos, la mediana se

calcula mediante los siguientes pasos:

Primer pasoPrimer paso: se halla n/2.


Segundo pasoSegundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada Fi

contiene a n/2.

Tercer pasoTercer paso: se calcula la mediana por medio de la siguiente ecuación:

Donde:

il : límite inferior del intervalo que contiene a n/2

n : número total de datos

1−i F : Frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo que contiene a n/2

if : frecuencia absoluta del intervalo que contiene a n/2

c : amplitud del intervalo que contiene a n/2

Por ejemplo, para calcular la mediana para el grupo de expertos de la tabla

3, se realizarán los pasos requeridos a partir de los datos de la tabla 21.

Tabla 21. Mediana para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo deTabla 21. Mediana para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo de

expertos en auditar un procesoexpertos en auditar un proceso

Nº DENº DE

CLASECLASE

TIEMPO ENTIEMPO EN

MINUTOSMINUTOS

.


1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 9 18% 11 22%

3 54.5 - 59.5 57 12 24% 2323 46%4 59.559.5 - 64.5 62 1111 22% 3434 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%


c

F n

l Mei

i *21−−

+=


Primer paso: el total de datos es 50, por lo tanto n/2 es = 25.

Segundo paso: en la frecuencia absoluta acumulada se ubica el valor de 25,

el cual corresponde al cuarto intervalo, con una frecuencia absoluta

acumulada de 34 expertos. Nótese que en el tercer interval o no es posibleubicar la mediana, dado que la frecuencia absoluta acumulada hasta este

intervalo es de 23 expertos, y lo querido es de 25 expertos.

Tercer paso: se calcula la mediana por medio de la ecuación, donde:

il = 59.5

n /2 = 25

1−i F = 23

if = 11

c = 64.5 – 59.5 = 5

Luego,

4.609.05.595*11

25.595*

11

23255.59*2

1

=+=+=−

+=−

+=−

cf

F n

l Mei

i

i

Es decir, el 50% de los expertos tarda menos de 60.4 minutos en realizar la

auditoría del proceso y el otro 50% tarda más de 60.4 minutos.

A pesar de que la media aritmética es la medida de tendencia central por

excelencia, en algunos casos la mediana es preferida a la media aritmética,

dado que no es sensible a valores extremos.

Suponiendo que se tienen los siguientes datos sobre el salario de

empleados: $490.000, $550.000, $550.000, $580.000 y $990.000.


La media aritmética X sería $632.000 y la mediana Me = $550.000.

Obsérvese que, en este caso, es más representativa para el conjunto de

datos la mediana que la media aritmética, dado que el salario extremo de

$990.000 influye directamente en el promedio, mostrándolo con un valor

elevado, cuando la mayoría de datos está por debajo de $632.000.

3.1.3. Moda 3.1.3. Moda

La moda es útil en estudios de mercadeo como calzado, vestido, etc.

Algunos la consideran como el promedio industrial ya que la fabricación o

venta de artículos está determinada por la moda.

La moda, representada por MMoo, de un conjunto de valores x1, x2, x3,… xn, es

el valor que se presenta con mayor frec uencia. Puede ser apl icada a

cualquier tipo de variable.

Cuando los datos están sin agrupar Cuando los datos están sin agrupar , la moda se obtiene directamente

ordenándolos ascendentemente.

Por ejemplo, sean los valores 4, 3, 2, 5, 4, 4.

Ordenándolos: 2, 3, 4, 4, 4, 5.

Como el valor 4 se presenta 3 veces y los otros valores una vez, la moda es

4.

La moda no necesariamente debe ser única, y hasta puede no existir.

Cuando existen varios valores con la misma frecuencia máxima se denomina


distribución multimodal, como el ejemp lo de la tabla 22. Si existen dos

valores con la misma frecuencia máxima se llama distribución bimodal (ver

tabla 23) y si sólo existe una frecuencia máxima se denomina distribución

unimodal (ver tabla 24).

Tabla 22. Tabla 22. Ejemplo de Ejemplo de distribución distribución multimodalmultimodal

i x if

2 53 34 55 36 5


Los valores que tienen mayor frecuencia son 2,4 y 6, por tanto la distribución

es multimodal.

Tabla 23. Tabla 23. Ejemplo de Ejemplo de distribución distribución bimodalbimodal

i x if

2 53 84 35 86 5


Los valores que tienen mayor frecuencia son 3 y 5, por tanto la distribución

es bimodal.

Tabla 24. Tabla 24. Ejemplo de Ejemplo de distribución distribución unimodalunimodal


i x if

2 33 74 55 36 2


El valor que tiene mayor frecuencia es 3, por tanto, la distribución es

unimodal.

Cuando los datos están agrupados en clases o intervalosCuando los datos están agrupados en clases o intervalos , se calcula la

moda mediante los siguientes pasos:

Primer pasoPrimer paso : se ubica el intervalo (o los intervalos) de mayor frecuencia

absoluta if .

Segundo pasoSegundo paso : se calcula la moda (o las modas) mediante la siguiente

fórmula:

Donde:

il : límite inferior del intervalo de mayor frecuencia absoluta

1∆ : diferencia entre la frecuencia absoluta mayor y la frecuenc ia absoluta

anterior.

2∆ : diferencia entre la frecuencia absoluta mayor y la frecuencia absoluta

siguiente.


cl Mo i *1

∆+∆

∆+=

c : amplitud del intervalo de mayor frecuencia absoluta.

Por ejemplo, para calcular la moda para el grupo de expertos de la tabla 3,

se realizarán los pasos requeridos a partir de los datos de la tabla 25.

Tabla 25. Moda para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo deTabla 25. Moda para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo deexpertos en auditar un procesoexpertos en auditar un proceso

Nº DENº DE

CLASECLASE

TIEMPO ENTIEMPO EN

MINUTOSMINUTOS

.


1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 99 18% 11 22%3 54.554.5 - 59.5 57 1212 24% 2323 46%4 59.5 - 64.5 62 1111 22% 3434 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%


Primer paso: ubicación del intervalo de mayor frecuencia absoluta if . El

tercer intervalo es el que posee la frecuencia absoluta mayor (12 expertos).

Segundo paso: obtención de valores para el cálculo de la moda.

il = 54.5

1∆ = 12 – 9 = 3

2∆ = 12 – 11 = 1

c = 59.5 – 54.5 = 5

2.584

155.545*

13

35.54*

21

1 =+=+

+=∆+∆

∆+= cl Mo i


Es decir, el tiempo que más se presenta en realizar la auditoría del proceso

es de 58.2 minutos.

3.1.4. Cuantiles3.1.4. Cuantiles

Los cuantiles son valores que dividen el conjunto de datos en porcentajesiguales. Pueden ser cuartiles, deciles o percentiles.

CuartilesCuartiles (Q)(Q): valores que dividen los datos en cuatro partes iguales.

Existen tres cuartiles y se calculan de forma similar a la mediana; de hecho,

el cuartil dos es igual a la mediana.

El primer cuartil Q 1 deja acumulado el 25% de los datos de la variable. Se

calcula con los siguientes pasos:

- Primer pasoPrimer paso: se halla n/4.

- Segundo pasoSegundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumul ada

Fi contiene a n/4.

- TerTercer cer paspasoo: se calcula el primer cuartil por medio de la siguiente

ecuación:


c

F n

lQi

i *41

1

−−

+=

Nota: los componentes de la fórmula tienen la misma descripción que los

componentes de la fórmula para el cálculo de la mediana.

El cálculo del primer cuartil para el ejemplo del tiempo que tardan los

expertos en realizar la auditoría de un proceso se detalla a continuación:

Tabla 26. Primer cuartil para el tiempo Tabla 26. Primer cuartil para el tiempo que tarda (en minutos) un grupoque tarda (en minutos) un grupo

de expertos en auditar un procesode expertos en auditar un proceso

Nº DENº DE

CLASECLASE

TIEMPO ENTIEMPO EN

MINUTOSMINUTOS

.


1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 9 18% 1111 22%3 54.554.5 - 59.5 57 1212 24% 2323 46%4 59.5 - 64.5 62 11 22% 34 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%


Primer pasoPrimer paso: el total de datos es 50, por lo tanto n/4 es = 12.5

Segundo pasoSegundo paso: en la frecuencia absoluta acumulada se ubica el valor de

12.5, el cual corresponde al tercer intervalo, con una frecuencia absoluta

acumulada de 23 expertos.

Tercer pasoTercer paso: se calcula el primer cuartil por medio de la ecuación, donde:

il = 54.5

n /4 = 12.5

1−i F = 11

if = 12


c = 59.5 – 54.5 = 5

Luego,

12.5562.05.545*125.15.545*

12115.125.54*4

1

1 =+=+=−+=

−

+=

−

cf

F n

lQi

i

i

Lo que significa que el 25% de los expertos tarda menos de 55.12 minutos

en realizar la auditoría del proceso.

El segundo cuartil Q2 deja acumulado el 50% de los datos de la variable. Se


- Primer pasoPrimer paso: se halla 2n/4 = n/2.

- Segundo pasoSegundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumul adaFi contiene a n/2.

- Tercer pasoTercer paso : se calcula el segundo cuartil por medio de la siguiente

ecuación:

Nótese que los pasos y la fórmula para calcular el segundo cuartil son los

mismos que los de la media na. En consecuencia, siempre el segundosegundo

cuartil será igual a la mediana cuartil será igual a la mediana .


c

F n

lQi

i *21

2

−−

+=

Luego, para el ejemplo del tiempo que tardan los expertos en realizar la

auditoría de un proceso, Q2 = Me = 60.4 minutos.

El tercer cuartil Q 3 deja acumulado el 75% de los datos de la variable. Se


- Primer pasoPrimer paso: se halla 3n/4.


Fi contiene a 3n/4.

- Tercer pasoTercer paso: se calcula el tercer cuartil por medio de la siguiente ecuación:

Luego,

72.6422.05.645*9

5.35.645*

9

345.375.64*4

31

3 =+=+=−

+=

−

+=−

cf

F n

lQi

i

i

Lo que significa que el 75% de los expertos tarda menos de 64.72 minutos

en realizar la auditoría del proceso.

DecilesDeciles (D)(D): valores que dividen los datos en diez partes iguales. Existen

nueve deciles y se calculan de forma similar a los cuartiles.


F

n

lQi

i *4

31

3

−−+=

El primer decil D 1 deja acumulado el 10% de los datos de la varia ble. Se




Fi contiene a n/10.

- Tercer pasoTercer paso: se calcula el primer decil por medio de la siguiente ecuación:

Los demás deciles se calculan con el procedimiento similar al primer decil,

teniendo en cuenta que, en el primer paso, para el segundo decil

corresponde 2n/10; para el tercer decil, 3n/10; para el cuarto decil, 4n/10;

para el quinto decil, 4n/10 = n/2; así sucesivamente hasta el decil nueve, con

9n/10.

Nótese que, al calcular el decil cinco, en el primer paso se presenta el mismo

planteamiento que para el segundo cuartil y para la mediana (n/2). Por tanto,

el decil cinco es igual al cuartil dos y a la mediana decil cinco es igual al cuartil dos y a la mediana .

El cálculo del primer y noveno decil a partir del ejemplo de la tabla 23 para eltiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de un proceso se

detallan a continuación.EstadísticaEstadística 102

f

F n

l Di

i

i *101

1

−−

+=

75.4425.15.445*2

5.05.445*

2

05.05.44*10

1

1 =+=+=−

+=

−

+=−

cf

F n

l Di

i

i

93.7043.15.695*7

25.695*

7

43455.69*10

91

9 =+=+=−

+=−

+=−

cf

F n

l Di

i

i

PercentilesPercentiles (P)(P): valores que dividen los datos en cien partes iguales.

Existen 99 percentiles y se calculan de forma similar a los cuartiles y deciles.

El primer percentil P 1 deja acumulado el 1% de los datos de la variable. Se




Fi contiene a n/100.

- Tercer pasoTercer paso : se calcula el primer percentil por medio de la siguiente

ecuación:


f

F n

l Pi

i

i *1001

1

−−

+=

Los demás percentiles se calculan con el procedimiento similar al primer

percentil, teniendo en cuenta que, en el primer paso, para el segundo

percentil corresponde 2n/100; para el tercer percentil 3n/100; para el

percentil 10, 10n/100; para el percentil 50, 50n/100 = n/2; así sucesivamente

hasta el percentil 99, con 99n/100.

Nótese que, al calcular el percentil 50, en el primer paso se presenta el

mismo planteamiento que para el segundo cuartil, para el decil cinco y para

la mediana (n/2). Por tanto, el percentil 50 es igual al decil cinco, alpercentil 50 es igual al decil cinco, al

cuartil dos y a la mediana cuartil dos y a la mediana .

Gráfica 10. Gráfica 10. Relación entre Relación entre cuartiles, deciles cuartiles, deciles y percentilesy percentiles

Q1 QQ22 Q3

1% 10% 2 0% 25% 30% 40% 50% 60% 70% 75% 80% 90% 99%

D1 D2 D3 D4 DD55 D6 D7 D8 D9


P1 ..P10 .. P20 P25 P30 ....P40 ..... PP5050 .. P60 ....P70 P75 P80 ...... P90 . P99

MMee

En la gráfica 10 se representa la distribución de cuartiles, deciles y

percentiles, de la cual se deducen las siguientes relaciones:

Q2 = D5 = P50 = Me, Q1 = P25 , Q3 = P75

D1 = P10 , D2 = P20 , D3 = P30 , D4 = P40 , D6 = P60 , D7 = P70 , D8 = P80 ,

D9 = P90

3.2. MEDIDAS DE 3.2. MEDIDAS DE VARIAVARIABILIDADBILIDAD

Además de las medidas de localización o de tendencia central, es necesario

considerar medidas de dispersión o variabilidad, dado que dos conjuntos dedatos pueden tener promedios similares, pero diferir en la dispersión de

éstos.

Las medidas de variabilidad de mayor uso en estadística son rango, rango

intercuartil, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

3.2.1. Rango3.2.1. Rango

El rango es la medida de dispersión más sencilla en un conjunto de datos.

Se calcula por medio de la siguiente ecuación:


Ran o = valor máximo – valor mínimo

Aunque el rango es la medida de dispersión más fácil de calcular, casi nunca

se usa como la única medida de dispersión, debido a que se basa sólo en los

valores extremos del conjunto de datos.

Por ejemplo, para el tiempo que tardan los expertos en auditar un proceso, el

rango sería:

Rango = 74 – 45 = 29 minutos

El rango debe interpretarse a partir de los valores extremos; es decir,

mencionar entre qué valores está el rango. Para el ejemplo, se dice que la

variación del tiempo de los expertos es de 29 minutos, el cual oscila entre 45

y 74 minutos.

3.2.2. Rango intercuartil3.2.2. Rango intercuartil

El rango intercuartil (RIC) es una medida de dispersión que elimina la

influencia de los valores extremos de un conjunto de datos. Se define como

la diferencia entre el tercer cuartil Q 3 y el primero Q 1. En otras palabras, el

rango intercuartil corresponde al rango del 50% intermedio de los datos.

Para los datos del tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de

un proceso, los cuartiles son Q1 = 55.12 minutos y Q3 = 64.72 minutos. Así el

rango intecuartil es


Ran o intercuartil RIC = Q 3 - Q1

RIC = 64.72 – 55.12 = 9.6 minutos.

El intervalo 55.12 a 64.72 suele denominarse mitad central y 9.6 minutos la

dispersión media o rango intercuartil del tiempo que tardan los expertos en

realizar la auditoría de un proceso.

3.2.3. Varianza 3.2.3. Varianza

La varianza es una medida de dispersión que emplea todos los datos. Se

basa en la diferencia de cada observación (x i) y la media. La diferencia entre

cada x i y el promedio ( x para una muestra y µ para una población) se

llama desviación respecto al promedio . Para una muestra, la desviación

respecto a la media se expresa como )( x xi − ; para una población es

)( µ −i x . Para calcular la varianza, las desviaciones respecto al promedio se

elevan al cuadrado.

Si el conjunto de datos es una población, el promedio de las desviaciones al

cuadrado se llama varianza de la población y se representa con el símbolo

griego 2σ . Para una población con N observaciones o datos, cuando µ

representa el promedio de esa población, la definición de la varianza de la

población es:

En la mayoría de los análisis estadísticos los datos analizados son una

muestra. Cuando se calcula la varianza para la muestra, lo más impo rtante


N

xi∑ −=

2

2)( µ

σ

es emplearla para estimar la varianza de todo el conjunto de datos, es decir,

para la población.

La varianza de la muestra (s2) es la suma de los cuadrados de las

desviaciones con relación a la media aritmética, dividida entre el tamaño de

la muestra menos 1.

Donde:

x : media aritmética de la muestra


i x : cada dato u observación de la variable X.

Si el denominador fuera n en lugar de n – 1, se obtendría el promedio de los

cuadrados de las diferencias con respecto a la media. Sin embargo, se

utiliza n – 1 debido a ciertas propiedades matemáticas deseadas que tiene el

estadístico s2, las cuales lo hacen apropiado para hacer inferencias

estadísticas. Al aumentar el tamaño de la muestra, la diferencia entre n y n –

1disminuye cada vez más.

Cuando se calcula la varianza, las unidades en las cuales fueron medidos los

datos causan confusiones. Como los valores que se suman al calcular la

varianza, que son 2)( x xi − , se elevan al cuadrado, las unidades asociadas

con la varianza de la muestra también se elevan al cuadrado. Por ejemplo, si


)( 2

2

−

−=

∑ x xs

i

se está calculando la edad en años para un grupo de empleados, la varianza

tendrá (años)2.

Las unidades al cuadrado asociadas con la varianza hacen difícil la

interpretación. Por tanto, se recomienda que se tome la varianza como un a

medida útil para comparar el grado de dispersión de dos o más variables y, al

compararlas, la que tienen mayor varianza tiene mayor dispersión o

variabilidad.

Por ejemplo, en la tabla 27 se presenta el salario, en millones de pesos, de

los gerentes de una cadena de almacenes; calcular la varianza.

Tabla 27. Tabla 27. Salario en Salario en millones de millones de pesos de gerentpesos de gerenteses

SALARIOSALARIO

(millones)(millones)

i x

MEDIA DE LAMEDIA DE LA

MUESTRAMUESTRA

x

DESVIACIÓNDESVIACIÓN

)( x xi −2)( x xi −

3,5 9.57 -6.07 36.844,5 9.57 -5.07 25.706,0 9.57 -3.57 12.748,0 9.57 -1.57 2.4610,0 9.57 0.43 0.1815,0 9.57 5.43 29.4820,0 9.57 10.42 108.78

∑=− 0)( x x

i

∑=− 18.216)(

2 x xi



Luego, la varianza será:

03.366

18.216

1

)( 2

2==

−

−=

∑n

x xs

i

Cuando los datos están agrupados en frecuencias o por intervalos, la fórmulapara la varianza puede ser transformada en la siguiente ecuación:

Donde:

x : media aritmética de la muestra


i x : cada dato u observación de la variable X o marca de clase si es

intervalo

if : frecuencia absoluta del valor de la variable X

Para los datos de tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de

un proceso, presentados en la tabla 10, la varianza sería:

Tabla 28. Tabla 28. Varianza para el tVarianza para el tiempo que tardan iempo que tardan los expertos en reallos expertos en realizar la izar la

auditoría de un procesoauditoría de un proceso


22

2*

xf x

sii −= ∑

Nº DENº DE

CLASECLASE

TIEMPO ENTIEMPO EN

MINUTOSMINUTOSi x if 2

i x ii f x *2

1 44.5 - 49.5 47 2 2209 44182 49.5 - 54.5 52 9 2704 243363 54.5 - 59.5 57 12 3249 389884 59.5 - 64.5 62 11 3844 422845 64.5 - 69.5 67 9 4489 40401

6 69.5 - 74.5 72 7 5184 3628850=n715.186*

2 =∑ ii f xFuente: Datos hipotéticos

De la tabla 17 se tienen que el promedio es 7.60= x ; luego

81.4949.36843.3734)7.60(50

715.186*22

2

2 =−=−=−= ∑ x

n

f xs

ii

3.2.4. Desviación estándar3.2.4. Desviación estándar

La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la

varianza. Se denota por s la desviación estándar de la muestra y por σ la

desviación estándar de la población.

La desviación estándar indica cómo se agrupa o distribuye un conjunto de

datos alrededor de la media. Para la mayor parte de los conjuntos de datos,

la mayoría de los valores observados cae dentro de un intervalo que

corresponde a la media aritmética más o menos una desviación estándar.

Esto implica que el intervalo comprendido entre S X 1− y S X 1+ , por logeneral, incluye la mayoría de los valores de los dato s. Por consiguiente, el


2

2

σ σ =

= ss

conocimiento de la media aritmética y la desviación estándar ayudan a definir

en dónde se agrupa la mayor parte de los datos.

Para los datos de tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de

un proceso, presentados en la tabla 26, la desviación estándar sería:

06.781.492

=== ss minutos

La desviación estándar del tiempo de los expertos es 7.06 minutos. Esto

indica que los tiempos que tardan en realizar la auditoría del proceso para la

mayor parte de los expertos se agrupan dentro de 7.06 minutos alrededor de

la media 60.7 minutos; es decir, se agrupan entre 64.531 =− S X y

76.671 =+ S X minutos.

Finalmente, para comprender la variación de los datos se deben tener en

cuenta los siguientes aspectos:

Cuanto más dispersos estén los datos, mayores serán el rango, el rango

intercuartil, la varianza y la desviación estándar.

Cuanto más concentrados u homogéneos sean los datos, menores serán

el rango, el rango intercuartil, la varianza y la desviación estándar.

Si los datos son todos iguales (de manera que no hay variación de los

datos), el rango, el rango intercuartil, la varianza y la desviación estándar

serán iguales a cero.


Las medidas de variación (rango, rango intercuartil, varianza y desviación

estándar) nunca son negativas.

3.2.5. Coeficiente de variación3.2.5. Coeficiente de variación

El coeficiente de variación, denotado por CV , es una medida descripti va queindica lo grande que es la desviación estándar en comparación con la media

aritmética; se expresa en porcent aje y se calcula por medio de la siguie nte

ecuación:

Para los datos del tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de

un proceso, el promedio es 60.7 minutos y la desviación estándar es 7.06

minutos. El coeficiente de variación sería:

%6.11100*7.60

06.7100* ===

X

SCV

Interpretando estos datos, el coeficiente de variación indica que la desviación

estándar de la muestra es el 11.6% del valor de la media de la muestra.

Como medida relativa, el coeficiente de variación resulta especialmente útil

cuando se compara la variabilid ad de dos o más conjuntos de datos, que se

expresan en diferentes unidades de medida. Esto se muestra en el siguiente

ejemplo, adaptado del texto Estadística para administración, de Mark L.

Berenson y otros, página 120.


100* X

SCV =

Suponga que un inversionista desea adquirir acciones en una de dos

compañía A o B, li stadas en la Bol sa de Valores. Si nin guna de las

compañías ofrece dividendos a sus clientes y ambas tienen igual

clasificación (según los servicios de inversión) en términos del crecimiento

potencial, el inversionista quizá considere la volatilidad o variabilidad de

ambas acciones para ayudar en la decisión de inversión.

Supóngase que cada acción de la compañía A ha promediado $150.000 en

los últimos meses, con desviación estándar de $30.000. Además, durante el

mismo período el precio promedio de las acciones en la compañía B fue de

$36.000 con una desviación estándar de $12.000. ¿Cómo puede determinar

el inversionista cuáles acciones son más variables?

SoluciónSolución

En términos de las desviaciones estándar, el precio de las acciones de A

parece más volát il o variable que el de las accio nes de B. Sin embargo,

como los precios promedio por acciones de las dos compañías son tan

diferentes, es más conveniente que el inversionista considere la variabilidad

del precio respecto al promedio con el fin de analizar la estabilidad de ambas

acciones.

Los coeficientes de variación para las compañías A y B serían:

%0.20100*000.150$

000.30$100* ===

X

SCV A y %3.33100*

000.36$

000.12$100* ===

X

SCV B

En consecuencia, en relación con la media, el precio de las acciones B es

más variable que el de las acciones A.


3.3. MEDIDAS DE 3.3. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓNLOCALIZACIÓN

Hasta el momento se han descrito algunas medidas de tendencia central y

de dispersión. La media es la que más se usa com o medida de tendencia

central, mientras que la desviación estándar y la varianza son las másempleadas para la disper sión. Las medidas de local ización relativa se

apoyan en la media y la desviación estándar para ubicar valores particulares

de un conjunto de datos.

3.3.1. Valores3.3.1. Valores z z

Al usar la media y la desviación estándar se puede determinar la localización

relativa de cualquier observación. Supóngase que hay una muestra de n

datos, con sus valores representados por x1 , x2 , x1 x3 ,. . . .,xn . Además, se

han calculado la media x y la desviación estándar s de la muestra. Existeotro valor asociado con cada valor xi de los datos que se denomina valor z, el

cual se calcula con la siguiente ecuación:

Donde,

i z : valor de z del elemento xi

x : media de la muestra

s : desviación estándar de la muestra.


s

x x z i

i

−=

Con frecuencia se le da el nombre de valor estandarizado al valor de z. El

valor i z se interpreta como el número de desviaciones estándar que dista xi

de promedio x . Por ejemplo, si 2.1=i z indica que x 1 es 1.2 desviaciones

estándar por encim a de la media de la muestra. Igualmente, 5.02 −= z

indica que x 2 está a 0.5, o ½ desviación estándar por debajo de la media de

la mues tra. Obsérvese que los valores de z positivos corresponden a

observaciones o datos con valores mayores que la media, y que los valores

de z negativos corresponden a observaciones con valores menores que la

media. Un valor z igual a cero indic a que el valor de una observ ación es

igual a la media.

Los valores de z para el ejemplo de la tabla 25, donde se presenta el salario,

en millones de pesos, de los gerentes de una cadena de almacenes, con

media $9.57 millones y desviación estándar $6 millones, serán:

Tabla 29. Tabla 29. Valores z para el Valores z para el salario en millsalario en millones de pesos de gerentesones de pesos de gerentes

SALARIOSALARIO

(millones)(millones)

i x

DESVIACIÓNDESVIACIÓN

)( x xi −

VALOR ZVALOR Z

s

x xi −

3,5 -6.07 -1.014,5 -5.07 -0.846,0 -3.57 -0.608,0 -1.57 -0.2610,0 0.43 0.0715,0 5.43 0.9020,0 10.42 1.74



Obsérvese que el valor z de 1.74 para el séptimo dato indica que es el más

alejado del promedio; está a 1.74 desviaciones estándar por encima del

promedio.

3.3.2. Teorema de Chebyshev3.3.2. Teorema de Chebyshev

El teorema de Chebyshev permite inferir la proporción de valores que deben

quedar dentro de una cantidad específica de desviaciones estándar respecto

a la media.

Por ejemplo, cuando z es igual a 2, 3 y 4 desviaciones estándar, se tienen

las siguientes implicaciones a partir del teorema de Chebyshev:

• Cuando menos, el 0.75 o 75% de los datos debe estar a menos de 2

desviaciones de la media (z = 2).

• Cuando menos, el 0.89 u 89% de los datos debe estar a menos de 3


• Cuando menos, el 0.94 o 94% de los datos debe estar a menos de 4



Teorema de ChebyshevTeorema de Chebyshev

Cuando menos

−

2

11

zde los datos debe estar a menos de z desviaciones

estándar de separación respecto a la media, siendo z cualquier valor mayorque 1.

Como ejemplo de la aplicación del teorema de Chebyshev, supóngase que

las puntuaciones de un examen de ingreso de 100 aspirantes al programa de

Administración de una universidad tuvieron un promedio de 70 puntos y una

desviación estándar de 5 puntos. ¿Cuántos aspirantes tuvieron

puntuaciones entre 60 y 80? ¿Cuántos entre 58 y 82?

Para las puntuaciones de 60 a 80 se observa que el valor 60 está a dos

desviaciones estándar por debajo del promedio: (60-70)/5 = -2, y que el valor

80, a dos desviaciones estándar por encima del promedio: (80-70)/5 = +2. Al

aplicar el teorema de Chebyshev , cuando menos el 0.75 o 75% de los datos

debe tener valores menores de dos desviaciones estándar del promedio.

Así, cuando menos o mínimo 75 de los 100 aspirantes deben haber obtenido

puntuaciones entre 60 y 80.

Para las puntuaciones entre 58 y 82, (58-70)/5 = -2.4 indica que 58 están a

2.4 desviaciones estándar por debajo del promedio, y que (82-70)/5 = +2.4

indica que 82 están a 2.4 desviaciones estándar por encima del promedio.

Aplicando el teorema de Chebyshev con z = 2.4 se obtiene:

( )826.0

4.2

11

11

22=

−=

−

z

Lo que significa que, mínimo 82.6% de los aspirantes deben tener

puntuaciones entre 58 y 82.

La regla empíricaLa regla empírica


Una de las ventajas del teorema de Chebyshev es que se aplica a cualquier

conjunto de datos, independientemente de la forma de la distribución de los

mismos. Sin embargo, en las aplicaciones prácticas se ha encontrado que

muchos conjuntos de datos tienen una distribución en forma de colina o de

campana. Cuando se cree que los datos tien en aproximadamente esa

distribución, se puede aplicar la regla empírica para determinar el porcentaje

de elementos que debe estar dentro de determinada cantidad de

desviaciones estándar respecto al promedio.

Por ejemplo, en una línea de producción se llenan, automáticamente,

envases de plástico con detergente líquido. Con frecuencia, el volumen de

llenado tiene una distribución en forma de campana. Si el volumen promedio

de llenado es de 16 cm 3 y la desviación estándar 0.25 cm 3, se puede aplicar

la regla empírica para concluir:


Regla empírica para datos con distribución en forma deRegla empírica para datos con distribución en forma decampana campana

• Aproximadamente 68% de los elementos están a menos de una desviación

estándar de la media.

• Aproximadamente 95% de los elementos están a menos de dosdesviaciones estándar de la media.

• Casi todos los elementos están a menos de tres desviaciones estándar dela media.

• Aproximadamente 68% de los envases llenos tienen entre 15.75 y 16.25

cm3 (esto es,, menos de una desviación estándar de la media).

• Aproximadamente 95%95% de los envases llenos tienen entre 15.50 y 16.50

cm3 (esto es, menos de dos desviaciones estándar de la media).

• Casi todos los envases llenos tienen entre 15.25 y 16.75 cm 3 (esto es ,,

menos de tres desviaciones estándar de la media).

3.3.3. Sesgo o forma 3.3.3. Sesgo o forma

El sesgo o forma es la manera como se distribuyen los datos. La distribución

de los datos es simétrica (en forma de campana) o no lo e s. Si no es

simétrica, recibe el nombre de distribución asimétrica o sesgada.

Para describir el sesgo o la forma, se deben comparar la media y la mediana.

Si ambas medidas son iguales, por lo general se considera que los datos son

simétricos (o con sesgo cero ). Por el contrario, si la media es mayor que la

mediana, los datos se describen como sesgados a la derechasesgados a la derecha, o con sesgo

positivo. Si la media es menor que la medi ana, los datos suel en llamarse

sesgados a la izquierdasesgados a la izquierda, o con sesgo negativo. Es decir,

El sesgo positivo surge cuando la media aumenta debido a algunos valores

grandes y poco usuales; el sesgo negativo ocurre cuando la media se reduce

debido a algunos valores muy pequeños. Los datos son simétricos cuandoEstadísticaEstadística 120

Media > Mediana: sesgo positivo o a la derecha

Media = Mediana: simetría o sesgo cero

Media < Mediana: sesgo negativo o a la izquierda

en realidad no hay valores extremos en ninguna dirección, de tal manera que

los valores grandes y pequeños se equilibran.

Gráfica 11. Forma o sesgo de un conjunto de datosGráfica 11. Forma o sesgo de un conjunto de datos

La grafica 11 mues tra la forma o sesgo de tres con juntos de datos . Los

datos del primer cuadro son simétricos; cada mitad de la curva es la imagen

del espejo de la otra mitad. Los valores grandes y pequeños se compensan,

y la media es igual a la mediana.

Los datos del cuadro del centro t ienen sesgo negativo o a la izquierda. Se

observan una cola larga y una distorsión hacia la izquierda, causadas por

valores en extremo pequeños. Estos valores tan pequeños jalan la media

hacia abajo y result a menor que la median a. Los datos del terce r cuadro

tienen un sesgo positivo o a la derecha. Se observan una cola larga hacia la

derecha de la distribución y una distorsión hacia la derecha, causadas por

valores muy grandes. Estos valores en extremo grandes jalan la media hacia

arriba y resulta mayor que la mediana.

El sesgo para el ejemplo de la tabla 25, donde se presenta el salario, en

millones de pesos, de los gerentes de una cadena de almacenes, con media

$9.57 millones y mediana $8 millones, será positivo o a la derecha, dado que

la media es mayor que la mediana. Además, el conjunto de datos presenta


un valor extremo muy alto, el cual atrae la media hacia el extremo derecho

de la distribución.

3.3.4. Diagrama de caja o bigotes3.3.4. Diagrama de caja o bigotes

El diagrama de caja o bigotes es un resumen gráfico de los datos basado enel resumen de cinco números.

En un resumen de cinco números se emplean cinco cantidades para resumir

los datos:

Valor mínimo

Primer cuartil (Q1)

Mediana (Me = Q2)

Tercer cuartil (Q3)

Valor máximo

La forma más ágil de elaborar un resumen de 5 números es poner los datos

en orden ascendente. Así facilita la identificación del valor mínimo, los tres

cuartiles y el valor máximo.

Por ejemplo, los salarios mensuales, en miles de pesos, de 12 egresados de

un programa de Administración son 2.940, 2.920, 2.950, 2.710, 2.850, 2.755,

2.890, 2.880, 2.880, 3.130, 3.325 y 3.050.

Organizando los datos y calculando los cuartiles, se tiene la siguiente

distribución:

2710 2755 2850 2880 2880 2890 2920 2940 2950 3050 3130 3325


Q1 = 2865 Q 2 = 2905

(Mediana)

Q3 = 3000

Al analizar los datos anteriores se ve un valor mínimo de 2.710 y un valor

máximo de 3.325 miles de pesos. Así, el resumen de los cinco números de

los datos de salarios es 2.710, 2.865, 2.905, 3.000 y 3.325 miles de pesos.

Aproximadamente una cuarta parte, 25% de los valores de los datos, están

entre dos números adyacentes del resumen de cinco números.

El diagrama de caja y bigotesEl diagrama de caja y bigotes resume gráficamente los cinco números.

Los pasos para trazar un diagrama de caja y bigotes son los siguientes:

• Se traza un rectángulo con los extremos en el primer y tercer cuartiles.

Este rectángulo contiene el 50% intermedio de los datos. Para los

datos de salarios Q1 = 2.865 y Q3 = 3.000.

• En la caja se traza una recta vertic al en el lugar de la mediana (2.950para los dat os de salari os). Así, la línea de la media na divide los

datos en dos partes iguales.

• Se ubican los límites mediante el rango intercuartil, RIC = Q 3 - Q1. Los

límites en el diagrama de caja están a 1.5(RIC) por debajo de Q 1 y

1.5(RIC) por encima de Q3 . Para los datos de salarios RIC = Q3 - Q1 =

3.000 – 2.865 = 135. Así, los límites son 2.865 – 1.5(135) = 2.662,5 y

3.000 + 1.5(135) = 3.202,5. Se considera que los datos fuera de estos

límites son valores atípicos.

• Los bigotes de la caja se trazan con líneas punteadas, desde los

extremos de la caja hasta los valores mínimo y máximo dentro de los

límites. Así, los bigotes terminan en los valores de salarios de 2.710 y

3.130.


• Por último, se marcan con un asterisco (*) las localizaciones de los

valores atípicos. Para el ejemplo se localiza un valor atípico de 3.325.

Gráfica 12. Gráfica 12. Diagrama de caja Diagrama de caja y bigotes con líy bigotes con líneas que muestran losneas que muestran los

límiteslímites

En la gráfica 12 se trazaron las líneas que indican el lugar de los límites con

el fin de mostrar cómo se calculan éstos y dónde se ubican en el caso de los

salarios. Aunque siempre se calcul an, por lo general no se trazan en los

diagramas de caja. En la gráfica 13 se muestra el aspecto habitual de un

diagrama de caja y bigotes para los datos de los salarios.


Grafica 13. Grafica 13. Diagrama de caja Diagrama de caja y bigotes de los y bigotes de los sueldos mensuales de unsueldos mensuales de un

grupo de egresados de un programa de Administracióngrupo de egresados de un programa de Administración

ObservaciónObservación

Al utilizar el diagrama de caja y bigotes se tiene la opción de identificar los

mismos valores atípicos que los encontrados con el método de valores z:

menores que –3 y mayores que +3 . Sin embargo, el obje tivo de ambos

métodos es identificar elementos que se deben revisar para asegurar la

validez de los datos. Se deben revisar los valore s atípicos identificados porcualquiera de los métodos.


3.3.5. Curtosis3.3.5. Curtosis

La curtosis mide si los valores de la distribución están más o menos

concentrados alrededor de los valores medios de la muestra. El coeficiente

percentil de Curtosis (k ) analiza el grado de concentración que presentan losvalores alrededor de la zona central de la distribución; se calcula con la

siguiente ecuación:

Donde,

Q3: tercer cuartil.

Q1: primer cuartil.

P90: percentil 90.P10: percentil 10.

Nota: es importante recordar que el P10 es igual al D1 y el P90 es igual al D9.

Según el coeficiente de Curtosis, se definen 3 tipos de distribuciones, los

cuales se ilustran en la gráfica 14:

Gráfica 14. Gráfica 14. Tipos de distribuTipos de distribución según el coeficiente ción según el coeficiente de Curtosisde Curtosis


132

1 )( QQk

−

=

DistrDistribuciibución ón mesocúmesocúrticartica: presenta un grado de concentración medio

alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una

distribución simétrica o normal). El valor de k = 0.263.

Distribución leptocúrticaDistribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración

alrededor de los valores centrales de la variable. El valor de k > 0.263.

Distribución platicúrticaDistribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración

alrededor de los valores centrales de la variable. El valor de k < 0.263.

Para el ejemplo de la tabla 23 del tiempo que tarda un grupo de expertos en

realizar la auditoría de un proceso, Q1 = 55.12, Q3 = 64.72, P10 = D1 = 44.7 y

P90 = D9 = 70.9.

El coeficiente percentil de Curtosis (k ) será:

183.02.26

8.4

2.26

)6.9(5.0

7.449.70

)12.5572.64()(2

1

1090

132

1

===

−

−

=

−

−

=

P P

QQk

Por lo tanto, el coeficiente percentil de Curtosis es 0.183, lo que quiere decir

que se trata de una distribución platicúrtica, es decir, con una reducida

concentración alrededor de los valores centrales de la distribución.


4. 4. REGRESIÓN REGRESIÓN LINEAL LINEAL Y Y CORRELACIÓNCORRELACIÓN

En las unidades anteriores se ha centrado la atención en el tratamiento de

los valores que puede tomar una variable definida en una investigación, tanto

en el nivel de muestra como en el de población. Sin embargo,

frecuentemente las investigaciones implican considerar dos o más variables.

Los procedimientos para el análisis de la relación de dos variables serán

contemplados en esta unidad.

4.1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE4.1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

La regresión es un método para determinar la relación existente entre una

variable independiente y otra dependiente, con fines de predicción de esta

última variable ante los cambios de la primera.

La variable independiente o predictora suele representarse por X y la variable

dependiente por Y. En algunos casos, la variable independiente se asocia

con medidas de “causa” y la dependiente con medidas de “efecto”.

En la producción industrial pueden ser variables independientes: el número

de trabajadores, el tiempo de labor semanal, la cantidad de materia prima,

entre otras. Y variables dependientes: el número de artículos producidos, los

ingresos semanales, el posicionamiento en el mercado, etc. Obsérvese que


las variables dependientes se muestran como “ efecto” de las variables

independientes o “causa” del proceso de producción.

Por ejemplo, una compañía de bienes raíces residenciales en una ciudad

desea predecir los costos mensuales del alquiler de apartamentos, basado

en el área en metros cuadrados. Se seleccionó una muestra aleatoria con

los siguientes datos:

Tabla Tabla 30. 30. Área Área y costo y costo de de alquiler alquiler de apartde apartamentosamentos

AAPPAARRTTAAMMEENNTTOO ÁÁRREEA (A (mm 22)) CCOSOSTTO MO MEENNSSUUAAL (L (mmiillees s dde pe peessooss))1 79 4752 135 8003 101 6004 114 7505 67 4756 138 8507 106 8258 67 4679 65 43710 89 57511 102 70012 119 82513 184 115014 127 90015 109 70016 114 72517 116 55018 117 85019 107 60020 83 57521 126 80022 97 82523 70 60024 93 40025 111 875

Fuente: Adaptación del texto Estadística para administración. Berenson y otros, pág. 466.


En este caso, se busca relacionar las variables área y costo mensual; donde

la variable independiente (X) es el área, y la dependiente (Y), el costo

mensual.

4.1.1. Diagrama de dispersión4.1.1. Diagrama de dispersión

Cuando se toma una muestra de dos variables o bivariada, se obtiene una

serie de pares de datos. Estas parejas son de la form a (x,y) y se pueden

representar como puntos en un plano bidimensional o plano cartesiano; la

representación gráfica de las parejas se conoce como diagrama de

dispersión.

La regresión lineal pretende encontrar una recta que represente todos los

puntos que se encuentran en el plano cartesiano.

En la gráfica 15 se ilustran algunos diagramas de dispersión.

Gráfica 15. Representación de algunos diagramas de dispersiónGráfica 15. Representación de algunos diagramas de dispersión

Para el ejemplo de la tabla 30, el diagrama de dispersión se presenta en la

gráfica 16.EstadísticaEstadística 131

Gráfica 16. Diagrama de dispersión para el área y costo de alquiler deGráfica 16. Diagrama de dispersión para el área y costo de alquiler de

apartamentosapartamentos

El diagrama de dispersión muestra una relación lineal positiva; es decir, a

medida que crece el área aumenta el valor del alquiler del apartamento.

Adicionalmente, no se observa ningún valor atípico.

4.1.2. Ajuste de una recta por el método de mínimos cuadrados4.1.2. Ajuste de una recta por el método de mínimos cuadrados

Sobre el diagrama de dispersión se puede trazar un sinnúmero de líneas

rectas que represente el conjunto de datos y facilite la predicción para la

variable dependiente. Sin embargo, este método intui tivo es demasiado

subjetivo.

El objeto de la regresión lineal consiste en determinar una recta de la forma

iixbb y +=

0

, que sea representativa del conjunto de datos muestrales; este


proceso se conoce como ajuste de una recta y se utiliza como procedimiento

el método de mínimos cuadrados.

En este sentido, el método de mínimos cuadrados es objetivo y no depende

de la apreciación personal del investigador, sino de relaciones matemáticas

preestablecidas.

La tarea está en determinar los parámetros 0b y b en la ecuación de

regresión lineal simple ii xbb y +=0 , donde

i x : es el i-ésimo valor de la variable X.

i y : es el i-ésimo valor de la variable y

0b : es el valor que toma la variable dependiente "y", cuando la variable

independiente "x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje vertical.

b : determina la pendiente de la recta, su grado de inclinación.

Una vez hallados los parámetros 0b y b , los valores calculados a partir dela ecuación de regresión se denominan valores estimados, y se representan

por i y .

En el método de mínimos cuadrados se emplean los datos de la muestra

para determinar los parámetros 0b y b que minimizan la suma de los

cuadrados de las desviaciones entre los valores observados de la variable

dependiente i y y los valores estimados de la variable dependiente i y .

La desviación se obtiene entre la diferencia de los valores “reales” i y y los

valores “estimados” i y ; por tanto, la suma de los cuadrados de lasdesviaciones debe ser mínima. Esto es,


min ∑ − )ˆ( ii y y

Con el cálculo diferencial se puede demostrar que los parámetros 0b y b

que minimizan el cuadrado de las desviaciones son:

y

Los parámetros para el ejemplo de la tabla 30, se calculan a partir de los

datos presentados en la tabla 31.

Tabla Tabla 31. 31. Valores para Valores para el cálculo el cálculo de parámetros de parámetros de la de la compañía decompañía de

bienes raízbienes raíz

AAPPAARRTTAAMMEENNTTOO XX YY XXYY X X 2 2 YY22

1 79 475 37525 6241 2256252 135 800 108000 18225 6400003 101 600 60600 10201 3600004 114 750 85500 12996 562500

5 67 475 31825 4489 2256256 138 850 117300 19044 7225007 106 825 87450 11236 6806258 67 467 31289 4489 2180899 65 437 28405 4225 190969

10 89 575 51175 7921 33062511 102 700 71400 10404 49000012 119 825 98175 14161 68062513 184 1150 211600 33856 132250014 127 900 114300 16129 81000015 109 700 76300 11881 49000016 114 725 82650 12996 52562517 116 550 63800 13456 30250018 117 850 99450 13689 72250019 107 600 64200 11449 36000020 83 575 47725 6889 33062521 126 800 100800 15876 64000022 97 825 80025 9409 68062523 70 600 42000 4900 36000024 93 400 37200 8649 16000025 111 875 97125 12321 765625


∑ ∑∑−

−

= 2

iiii

x xn

y x y xn

b

xb y

bii

∑ ∑−

=0

TTOOTTAALL 22..663366 1177..332299 11..992255..881199 229955..113322 1122..779977..118833Fuente: Adaptación del texto Estadística para administración. Berenson y otros, pág. 466.

De la tabla 29 se tiene que:

∑= 636.2

i

x

, ∑= 329.17

i

y

, ∑= 819.925.1

ii

y x

, ∑= 132.295

2

i

x

y n =25

por tanto,

73804,5804.429

231.466.2

)636.2()132.295(25

)329.17)(636.2()819.925.1(25

)( 22==

−

−=

−

−=

∑ ∑∑ ∑∑

ii

iiii

x xn

y x y xnb

14120,8825

53,203.2

25

)636.2)(73804,5(329.170 ==

−=

−=

∑ ∑n

xb yb

ii

en consecuencia, el modelo de regresión para estimar el costo de alquiler

mensual de un apartamento a partir del área será:

x y 73804,514120,88ˆ +=

Este modelo representa la integración de todos los puntos ubicados en el

diagrama de dispersión, y garantiza que la suma del cuadrado de las

desviaciones es mínima, como se ilustra en la gráfica 17.

Gráfica 17. Modelo de regresión lineal para el área y costo de alquiler deGráfica 17. Modelo de regresión lineal para el área y costo de alquiler de

apartamentosapartamentos


Interpretación deInterpretación de bboo y by b

bo = 88,1412 indica que cuando el cambio en el área es cero, el cambio

esperado en el costo de alquiler mensual es de 88,1412 miles de pesos; es

decir, que el costo de alquiler mensual aumenta 88,1412 miles de pesos. La

pendiente b = 5,73804 señala que por cada incremento de 1 m 2 en el área,

se pronostica que el cambio esperado en el costo mensual de alquile r es de

5,73804 miles de pesos, cuyo significado es que se pronostica que el costo

de alquiler aumenta 5,73804 miles de pesos por cada 1 m2 de incremento en

el área.

PrediccionesPredicciones


Con la ecuación de regresión encontrada, es posible predecir algunos

valores para la variable dependiente a partir de la variable independiente

ObservaciónObservación

Cuando se utiliza un modelo de regresión con propósitos de pronóstico, es

importante que se tenga en cuenta sólo el intervalo de valores que toma la

variable independiente y que fueron usados para construir el modelo.

Entonces, si se predice un valor de Y para un valor dado de X, es posible

interpolar dentro de este intervalo de valores de X, pero no se debe

extrapolar hacia fuera de este intervalo. Por ejemplo, cuando se usa el área

en m2 para predecir el alquiler mensual, se observa en la tabla 29 que los

metros cuadrados varían de 65 a 184. Por tanto, las predicciones de costos

de alquiler mensual deben hacerse sólo para apartamentos con un área

entre estas medidas. Cualquier pronóstico de costos de alquiler mensual con

áreas fuera de este intervalo es poco confiable.

4.2. CORRELACIÓN4.2. CORRELACIÓN

Hasta el momento se ha considerado el problema de la regresión lineal

simple o estimación de una variable dependiente a partir de una variable

independiente. Sin embargo, surge el interrogante: ¿Qué tanto se relacionan

las variables dependiente e independiente? La correlación pretende dar

respuesta a esta pregunta e intenta medir el grado de asociación entre dos

variables por medio de los coeficientes de correlación y determinación.

4.2.1. Coeficiente de correlación4.2.1. Coeficiente de correlación


El coeficiente de correlación (r) es la medida de la intensidad de la relación

entre dos variables. Se calcula con la ecuación

Donde,

( )( )∑∑∑ − y x xyn : desviación conjunta de los datos X y Y

( )22

∑∑ − x xn : desviación de los datos X

( )22

∑∑ − y yn : desviación de los datos Y

El coeficiente de correlación toma valores comprendidos entre –1 y +1, de tal

forma que cuando r = -1 ó r = +1 existe una correlación perfecta entre las

variables. Esto es, todos los pun tos del plano cartes iano están alineados (o

se ajustan perfectamente) a la línea recta de la ecuación de regresión.

Cuando r = 0, no existe correlación entre las vari ables. La correlación

aumenta cuando r se acerca de 0 a +1 ó de 0 a –1.

En la medida en que los puntos se acerquen a la recta, el coeficiente de

correlación será más próximo a 1, y si los puntos se alejan de la recta, el

coeficiente de correlación será más próximo a cero.

Aunque la correlación o la medida de la intensidad de la relación puedeoscilar entre –1 y +1, no existe una regla precisa para afirmar si la correlación

es buena o mala entre las variables, ya que la calificación depende del rigorEstadísticaEstadística 138

( (222

*

∑∑∑

−−

−=

y x xynr

del estudio y la experiencia del investigador para juzgar los resultados de

acuerdo con las expectativas planteadas. Sin embargo, en la tabla 32 se

presenta un esquema que puede ayudar a la calificación de un modelo de

regresión.

Tabla 32. Tabla 32. Calificación del Calificación del modelo de modelo de regresiónregresión

rr CALIFICACIÓNCALIFICACIÓN rr-0.1-0.2-0.3

Correlación nula0.10.20.3

-0.4-0.5-0.6

Correlación baja0.40.50.6

-0.7-0.8-0.9

Correlación alta0.70.80.9

-1.0 Máxima correlación 1.0

Gráfica 18. Gráfica 18. Correlación Correlación entre dos entre dos variablesvariables

En la gráfica 18 se presen ta la correlación entre dos variables. Obsérvese

que en la correlación lineal positiva, la pendiente de la recta es positiva, y en

la correlación lineal negativa, la pendiente es negativa. Al calcular el

coeficiente de correlación, el signo debe ser el mismo del parámetro b 1, dadoEstadísticaEstadística 139

que este parámetro corresponde a la pendiente de la recta. En

consecuencia, existe una igualdad de signos entre la pendiente de la recta y

el coeficiente de correlación.

El coeficiente de correlación para el ejemplo de la tabla 29, en el cual se

relaciona el área con el precio de alquiler de apartamentos sería:

( )( )

( ) ( ) 222222 )329.17()183.797.12(25*)636.2()132.295(25

)329.17)(636.2()819.925.1(25

* −−

−=

−−

−=

∑∑∑∑

∑∑∑

y yn x xn

y x xynr

8489.0296,037.905.2

321.466.2

18,431.4*59,655

321.466.2===r

Como r = 0,8489 y la pendiente b1 es positiva, indica que hay alta correlación

entre el área y el precio de alquiler de los apartamentos.

4.2.2. Coeficiente de determinación4.2.2. Coeficiente de determinación

Para predecir una variable en función de otra predomina la incertidumbre, y

la pregunta forzada es ¿qué tan bien se ajusta a los datos la ecuación de

regresión? En este aparte se muestra que el coeficiente de determinación

(r2) es una medida de la bondad de ajuste para una ecuación de regresión.

El coeficiente de determinación (r2) expresa el porcentaje de variación de la

variable dependiente causado o atribuido por la variación de la variable

independiente.


Coeficiente de determinación = (Coeficiente de correlación)2 * 100r2 = (r)2 * 100

El coeficiente de determinación para el ejemplo de la tabla 29, en el cual se

relaciona el área con el precio de alquiler de apartamentos, sería:

r2 = ( 0,8489 )2 * 100 = 72%

Este valor permite concluir que el 72% del aumento en el costo de alquiler

del apartamento se debe al incremento en el área, el otro 28% se debe al

cambio producido por otras variables que no fueron analizadas en el modelo

(por ser regresión lineal simple).

Además de los coeficientes de correlación y determinación, la correlación

puede ser analizada con mayor profundidad por medio de la inferencia del

coeficiente de correlación poblacional ( p) (se lee rho), la cual incluye pruebas

de hipótesis e intervalos de confianza para p.


11..11 IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

En nuestra vida aparecen a diario, no importa en el ámbito que nos estemos

desenvolviendo, muchas situaciones bajo incertidumbre como, por ejemplo:

qué posibilidad tengo de conseguir el empleo, qué posibilidad tengo de ganar

la evaluación, qué posibilidad hay de que compren el producto, qué

probabilidad hay de que una persona se recupere de la enfermedad, qué

posibilidad hay de que todos los productos salgan bajo las especificaciones

exigidas, qué posibilidad tengo de encontrar la información que necesito,

etc. La respuesta a todas las preguntas anteriores tiene un grado de

Incertidumbre, aunque tengamos alguna base para obtener las primeras

respuestas. Pero existen otros casos en que las respuestas no dependen de

conocimientos anteriores sino del azar. Como, por ejemplo, qué posibilidad

tengo al lanzar un par de dados de obtener un 7 o un doble uno.

En nuestro lenguaje cotidiano, palabras como “probablemente…”, “es poco

probable que…”, “hay muchas posibilidades de que…” hacen referencia a

esta incertidumbre.

La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y

tratar de obtener respuesta a estas incertidumbres. Cuando se aplican las

técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la

teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de

las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al

importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística,

es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el

objetivo del presente tema.


Al estudiar las probabilidades existen los siguientes objetivos:

• Familiarizar al estudiante con experiencias de la vida diaria en las que

interviene el azar.

• Entender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus

peculiaridades, ventajas e inconvenientes.• Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a

problemas concretos.

• Entender los teoremas de la probabilidad y su aplicabilidad.

11..22 ¿¿QQUUÉ EÉ ES LS LA PA PRROOBABABIBILLIIDADAD?D?

La teoría de probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos

aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en

los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones

determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el aguacalentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en

vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el

experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como

resultados posibles un conjunto de alternativas, ejemplos: lanzar un dado o

una moneda. O sea que la probabilidad es darle una medida o un valor a la

incertidumbre.


1.3 CONCEPTOS BÁSICOS DE CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAPROBABILIDADD

1.31.3.1.1 FenFenómeómeno exno experperimeimento anto alealeatortorioio.. Es el proceso mediante el cual

se obtiene una observaci ón o una medida de un fenómeno o es aquel

que en las mismas condiciones iniciales produce distintos resultadosfinales, que son conocidos por anticipado pero no se puede predecir

con certeza el resultado en cada exp eriencia en particular. Ejemplo:

lanzar una moneda, un dado, etc.

1.31.3.2.2 FenFenómeómeno o experno o exper imeimento detnto determerminíinístistico.co. Es aquel en el que las

mismas condiciones provocan los mismos efectos, como por ejemplo:

un capital bajo el mismo intervalo de tiempo, produce el mismo

resultado.

11..33..33 PPrruueebbaa.. Es una observación particular.

1.1.3.3.44 EsEspapacicio mueo mueststrarall (S)(S). Es el con junto de todo s los res ultados

posibles de un experimento estadístico.

Ejemplos:Ejemplos:

a. Considérese el experimento de lanzar un dado. Sus resultados posibles

son: S = (1,2,3,4,5,6).

b. Considérese el expe rimento de lanzar una mon eda una sola ve z. Sus

resultados posibles son: S= (cara, sello).

c. Considérese el experimento de lanzar una moneda dos ve ces. Sus

resultados posibles son:

S = [(Cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)].EstadísticaEstadística 146

d. Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire. Si sale cara, se

lanza otra vez la moneda. Si sale sello, se lanza un dado una vez. Sus

resultados posibles son:

Sea C =Cara y S = Sello

e. Un experimento consiste en lanzar primero un dado y después lanzar una

moneda, siempre y cuando el número en el dado sea par. Si el resultado

del dado es impar, la moneda se lanza 2 veces. Encuentre el espacio

muestral.

f. Si queremos lanzar una moneda 5 veces, al especificar todos los

resultados posibles, es necesario saber cuántos resultados tendría, dado

que es muy fácil perderse en el desarrollo.

Habría resultados posibles. Si queremos lanzar una moneda

10 veces habría resultados posibles.

En muchos casos no es necesario desagregar los resultados posibles sino

que es importante y necesario saber el total de resultados posibles en un

experimento. Dada la complejidad de los experimentos, en muchas

ocasiones es difícil saber el total de resultados posibles del experimento y es

necesario utilizar fórmulas que son proporcionadas por una de las


herramientas de las matemáticas llamada técnicas de conteo. Tema que

veremos más adelante.

1.3.5 1.3.5 EleElemenmento to o o punpunto to muemuestrstral.al. Es cada uno de los elementos o

resultados del espacio muestral.

1.3.6 1.3.6 Evento.Evento. Un evento es un subco njunto de un espac io muestral. En

muchos experimentos solo nos interesa averiguar ciertos elementos

de un espacio muestral. Ejemplo: al lanzar un dad o, solo nos

interesa encontrar los números primos.

S = (1, 2, 3, 4, 5,6) A = (1, 2,3, 5).

1.3.7 1.3.7 Intersección de dos eventos A y B.Intersección de dos eventos A y B. A A BB.

Es el evento que contiene a los elementos comunes a A y a B, o sea:

Gráficamente,

EjemploEjemplo

Sea el espacio muestral S = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y los Eventos:A = ( 1,2,3,4,5)


AA BB

B = ( 0,1,3,6,8 )

C= (3,4,6,9)

GRAFICANDO,GRAFICANDO,

1.

2.

3.

4.

1.3.81.3.8 Unión de dos eventos a y b:Unión de dos eventos a y b: A A BB.

Es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B o

a ambos. O sea:

Gráficamente,


A A BB

CC7

2 80

34 6

9

EjemploEjemplo

Con el espacio muestral del ejercicio anterior, hallar los siguientes eventos:

1.3.91.3.9 Complemento de un evento a:Complemento de un evento a: A’.A’.

Es el conjunto de todos los elementos de S (del espac io muestral) que no

están en A, o sea:

Gráficamente,

SS


EjemploEjemplo

Con el espacio muestral del ejercicio anterior, hallar los siguientes eventos:


AA

22..11 TTÉÉCCNNIICCAAS DS DE CE COONNTTEEOO

Es una herramienta matemática que sirve para conocer el total de resultados

posibles en un experimento estadístico. Las principales son:

RRegeglla a 2.2.11..11: : PPrriincnciippiio o de de lla a mmuulltitiplpliiccaacicióónn

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Sarita es una niña que vive en un distrito, tiene de vestuario 3

sombreros, 2 faldas y 2 blusas. Sarita desea vestir cada día de una maner a

diferente. Su problema es saber en cuánto s días pued e salir a la calle

vestida de manera diferente.

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Sea = sombrero 1 =sombrero 2 = sombrero 3

= falda 1 = falda 2

=blusa 1 =blusa 2

El número de resultados finales:

3 sombreros 2 faldas 2 blusas

Número de resultados posibles o número de vestidos diferentes:


Si un acontecimiento AA puede ocurrir de mm maneras diferentes, y si para

cada una de esas mm maneras posibles de ocurrencia de AA, un segundo

acontecimiento BB puede ocurrir de nn maneras diferentes, entonces, el

número de manetas diferentes en que puede ocurrir el acontecimiento A

seguido del acontecimiento BB es m x nm x n

3x2x2=12

Según el diagrama de árbol, los resultados son:


(S 1 , f 1 , b 1) (S2 , f 1 , b 1) (S 3 , f 1 , b 1)(S 1 , f 1 , b 2) (S2 , f 1 , b 2) (S 3 , f 1 , b 2)(S 1 , f 2 , b 1) (S2 , f 2 , b 1) (S 3 , f 2 , b 1)(S 1 , f 2 , b 2) (S2 , f 2 , b 2) (S 3 , f 2 , b 2)

Ejemplo 2:Ejemplo 2: ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar una moneda 3

veces?

SoluciónSolución sea c = cara s = sello

El número de resultados finales:

Primera moneda 2 resultados= c, s

Segunda moneda 2 resultados=c, s

Tercera moneda 2 resultado= c, s

Total de resultados posibles= 2x2x2=8 resultados.


C

S

C

C

SS

C

S

C

SS

S

CC

Según el diagrama de árbol, los resultados son:

(C,C,C),(C,C,S),(C,S,C)(C,S,S,),(S,C,C),(S,C,S),(S,S,C)(S,S,S).

Ejemplo 3Ejemplo 3: Suponga que se seleccionan en forma aleatoria 3 artículos de

un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se les clasifica

como D-Defectuosa y B-Bueno. ¿Cuáles son los resultados posibles?

SoluciónSolución

El número de resultados posibles:

• Primer artículo, dos resultados posibles = B,D

• Segundo artículo, dos resultados posibles B,D

• Tercer artículo, dos resultados posibles B,D

• Total de resultados posibles= 2x2x2=8 resultados.

(B,D,B),(B,D,D),(B,B,B),(B,B,D),(D,D,B),(D,D,D,)(D,B,B,)(D,B,D).EstadísticaEstadística 156

B

DB

B

D

B

DB

D

DB

DB

D

Regla Regla 2.1.2. 2.1.2. Principio Principio de de permutaciónpermutación

Ejemplo 4:Ejemplo 4: ¿De cuántas maneras podemos organizar cuatro personas en

una fila?

SoluciónSolución

Sea A la persona 1

B la persona 2

C la persona 3

D la persona 4.

Para saber el total de resultados posibles = 4! = 1.2.3.4= 24 resultados

posibles:


Se define el número de permutaciones de n objetos como el total de

maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale

a1x2x3x ... x n = n ! , definido como factorial de n.

n! n! (factorial) es (factorial) es el producto el producto de los de los enterosenteros

Desde 1 hasta n.Desde 1 hasta n.

= = = =

0!0!

(A B C D) (B A CD) (CA BD) (D A B C)(A B D C) (BA DC) (CA B) (DA C B)(A C B D) (B C AD) (CB AD) (D B A C)(A C D B) (BC DA) (CB A) (DB C A)(A D B C) (B D AC) (CD AB) (DC A B)(A D C B) (BD CA) (CD BA) (DC B A)

Ejemplo 5Ejemplo 5. Se tiene un equipaje conformado de pantalones: P; camisas: C;

y zapatos: Z. ¿De cuántas maneras se puede colocar en un armario de 3

compartimentos?

Para saber el total de resultados posibles = 3! = 1.2.3.= 6 resultados

posibles:

(P C Z)(P Z C)(ZP C)(ZC P)

(C Z P)(C P Z)

Regla 2.1.3: Variaciones o permutacionesRegla 2.1.3: Variaciones o permutaciones


Cuando se permutan u organizan de los n elementos, solo r ( r≤ n),

teniendo en cuenta o siendo importante el orden ya que tiene sentido,

decimos que es una variación o permutación . Su fórmula:

Ejemplo 6:Ejemplo 6: Se tiene a cuatro concursantes para un primer y segundo

puesto. ¿Cuáles son los resultados posibles para los cuatro concursantes?

SoluciónSolución

• Sea A el concursante 1

• Sea B el concursante 2

• Sea C el concursante 3

• Sea D el concursante 4

El total de resultados posibles:

(A B) (BA)(A C) (CA)(A D) (D A)(B C) (C B)(B D) (D B)(C D) (D C)

(A,B)(A,B) significa que el concursante A ocupó el primer puesto y B ocupó el

segundo puesto. En cambio (B,A)(B,A) significa que el concursante B ocupó el

primer puesto y el concursante A ocupó el segundo puesto; estos dos

resultados son diferentes.


Ejemplo 7Ejemplo 7. Si en el eje rcicio de las prendas (ejemplo 5), se tuvieran

pantalones: P; interiores I; camisas: C; y zapatos: Z, ¿de cuántas maneras se

pueden colocar en un armario de 3 compartimentos, teniendo en cuenta que

la prenda sobrante se coloca en otro armario?

SoluciónSolución


(P I C) (P C I) (I C P) (I P C) ( CI P) (CP I)

(P I Z) (P Z I) (I P Z) (I Z P) ( ZI P) (ZP I)

(P C Z) (P Z C) (C I P) (C P I) ( I C P) (I P C)

(I C Z) (I Z C) (C I Z) (C Z I) ( Z I C (ZC I)

Regla 2.1.4: CombinacionesRegla 2.1.4: Combinaciones

Ejemplo 8:Ejemplo 8: Se tienen cuatro reglas de salud:

• Regla A: no fumar


Cuando se organizan de los n elementos, solo r ( r≤ n), sin tener en

cuenta el orden o al cambiar de orden no se pierde el sentido, decimos que

es una combinación . Su fórmula:

• Regla B: hacer ejercicios

• Regla C: tomar 7 u 8 vasos diarios de agua

• Regla D: comer verduras.

Si actualmente todas no se cumplen y se quieren cumplir 2 de ellas, ¿cuáles

serían las opciones?

SoluciónSolución


Si se tiene las soluciones (A,B) y (B, A) se está diciendo no fumar y hacer

ejercicios, y para el segundo se está diciendo, hacer ejercicios y no fumar;

este resultado es igual.

Teniendo en cuenta lo anterior, los resultados quedarían:

(A B)(A C)(A D)(B C)(B D)(C D)


Regla 2.1.5: ParticionesRegla 2.1.5: Particiones

Ejemplo 9:Ejemplo 9: Un colegio participa en 4 partidos de fútbol en una temporada.

¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 2 victorias,

1 derrotas y 1 empate?

• Sea V victoria (2)

• Sea D derrota (1)

• Sea E empate (1)

SoluciónSolución

Para saber el número de resultados posibles.


El número de particiones distintas de n objetos en los cuales n1 son de

una

clase, n2 de una segunda clase, ..., nk de una k - ésima clase, coincide con

el número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en

k

celdas con n1 objetos en la primera celda, n2 elementos en la segunda

celda y así sucesivamente donde

V V D E V D E V D E V VV V E D V E D V E D V VV D V E D V V E E V D VV E V D D V E V E V V D

22..22 EEJJEERRCCIICCIIOOS S RREESSUUEELLTTOOSS

1.1. Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las

diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y

auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.

¿Cuántos y cuáles diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el

vendedor?

SoluciónSolución

Para solucionar el problema se emplea la técnica de la multiplicación, (donde

mm es número de modelos y nn es el número de tipos de rin).

Sea m = 3 A auto convertible B 2 puertas C 4 puertas

n = 2 D rin deportivo E rin estándar


Número total Número total de arreglos = de arreglos = 3 x 2 3 x 2 = 6= 6arreglos diferentesarreglos diferentes

De acuerdo con el diagrama deárbol, los resultados posibles son:

(A,D),(A,E), (B,D),(B,E),(C,D),(C,E).(A,D),(A,E), (B,D),(B,E),(C,D),(C,E).

22 Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios

disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuántas

maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres

espacios disponibles?

SoluciónSolución

Para solucionar el problema se emplea la técnica de Permutación, (donde nn

es el número de máquinas y r r es el número de espacios disponibles).


E

D

B

A

E

CD

E

D

3.3. Una tarjeta de circuito impresa se puede comprar con cinco proveedores.

¿De cuántas maneras de pueden escoger tres proveedores de los cinco?

SoluciónSolución

Para solucionar el problema se emplea la técnica de las combinaciones,

(donde nn son los 5 proveedores y rr son los 3 proveedores a escoger).

4.4. Un estudiante desea acom odar ocho libros en un anaquel. Calcule el

número de maneras en que puede hacerlo si la condición es que:

a. Tres libros específicos siempre deben quedar juntos.

b. Tres libros específicos nunca deben quedar todos juntos.

Solución del numeral a Solución del numeral a


Número total de arreglosNúmero total de arreglos

Número total de arreglosNúmero total de arreglos

En realidad los 8 puestos se convierten en 6; ya que 3 libros deben quedar

juntos. Pero esos 3, a su vez, se pueden organizar de diferentes maneras.

Supongamos que los libros 1,2,3 deben quedar juntos…..

LIBROS 1 2 3 4 5 6 7 8

PUESTOS 2 3 4 5 61

Solución del numeral bSolución del numeral b

3 separados es lo contrario a los 3 juntos. Esto quiere decir que al organizar

8 libros (8!=40320) y al restarle los resultados de los 3 juntos (4320), nos

quedan los resultados de los 3 separados.

5.5. Un comité de 5 personas se va a elegir entre 10 principales y 7 suplentes,

¿de cuántas maneras es posible si ha de haber más principales que

suplentes?

SoluciónSolución

Para que los principales sean más que los suplentes deben quedar:

3 principales yy 2 suplentes oo 4 principales yy un suplente oo 5 principales yy 0

suplentes. .



Recordemos que en matemáticas el conectoryy significa producto y el conector oo significa

3.3.11 SSUCUCESESOS POS PRROBOBAABIBILÍLÍSSTITICCOSOS

De acuerdo con la forma como ocurren dos o más sucesos probabilísticos

estos pueden ser:

3.3.1.1.11 SuSucecesosos s inindedepependndieientntes:es: son aquellos sucesos en donde la

ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia de otro u

otros sucesos. Ejemplo: sacar de una urna una pelot a blanca, si

antes se sacó una pelota negra y se devolvió a la urna.

3.3.1.1.22 SuSucecesosos s dedepependndieientntes:es: son aquellos sucesos en donde la ocurrencia

de uno de ellos sí depende de la ocurrencia de otro u otros sucesos.

Ejemplo: sacar de una urna una pelota blanca, si antes se sacó una

pelota negra y no se devolvió a la urna.

3.13.1.3.3 SucSucesoesos s comcompatpatiblibles o es o mutmutuamuamentente e no exclno excluyeuyententes:s: son aquellos

sucesos que pueden ocurrir al mismo tiempo o simultáneamente, es

decir, la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia de otro u

otros sucesos. Ejemplo: se lanzan dos dados al mismo tiempo,

¿puede salir el 1 o el 5?

3.13.1.4.4 SucSucesoesos ins incomcompatpatiblibles o es o mutmutuamuamentente e excexcluyluyententeses : son aquellos

sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo en forma simultánea,

es decir, que la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de

otro. O sea AA B =B = Ejemplo: En el lanzamiento de dos

dados simultáneamente, sacar al mismo tiempo dos números pares y

que su suma sea impar.EstadísticaEstadística 168

3.3.22 DEDEFIFININICICIÓN ÓN DE DE PRPROBOBAABIBILILIDADADD

La posibilidad de que se presente un evento resultante de un experimento

estadístico se evalúa por medio de un conjunto de números reales llamad os

ProbabilidadesProbabilidades que caen en el rango (0 ,1). A cada punto en el espacio

muestral se le asigna una probabilidad tal que la suma de todas las

probabilidades tiene que ser igual a 1.

3.2.1. Modelo de probabilidad empírico o frecuencialista 3.2.1. Modelo de probabilidad empírico o frecuencialista

El modelo de frecuencia relativa llamado también modelo a posteriori utiliza

datos que se han observ ado empíricamente, registra la frecuencia con que

ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el

evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos.

La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se

determina mediante:

EjemploEjemplo

Un resultado de Gregor J. Mendel (1822-1884)) en uno de sus experimentos

con cruzamiento de plantas fue de 355 guisantes amarillos (A) y 123 verdes

(V) o sea que la frecuencia relativa para los guisantes amarillos fue de


. En otro experimento obtuvo 315 guisantes amarillos y

108 verdes o sea que la frecuencia relativa para los guisantes amarillos fue

de . La estabilidad de las frecuencias relativas

alrededor de 0.74 para la ocurren cia de guisantes amarillos y 0.26 para los

guisantes verdes lo condujeron a formular la ley. Por lo tanto, se le llamó ala frecuencia constante la probabilidad del evento A.

3.2.2. Modelo subjetivo3.2.2. Modelo subjetivo

Es el grado de creencia personal de la posibilidad de que ocurra un suceso.

Ejemplo:Ejemplo: Posibilidad de que gane mi equipo favorito es de un 70%.

3.2.3. Modelo clásico3.2.3. Modelo clásico

En este enfoque se asume que todos los resultados de un experimento

tienen la misma posibil idad de ocurrir. La probabilidad clásica de un evento

A se determina

EjemploEjemplo

Se tiene una muestra de 20 artículos y 5 de ellos son defectuosos; al

seleccionar uno en forma aleatoria, la probabilidad de que sea defectuoso es

de 5/20 =0.25 y la probabilidad de que sea un artículo bueno es de

15/20=0.75.EstadísticaEstadística 170

3.3.22 REREGLGLAAS PRS PRININCICIPAPALELES DE S DE LA LA PRPROBOBAABIBILILIDADADD

Para asignar probabilidades a los puntos muestrales se ha convenido:

Antes de entrar a ver los axiomas de probabilidad es importante que se

experimenten varios puntos:

1. Es necesario el conocimiento de la teoría de conjuntos para poder

interpretar muchos problemas de probabilidades.

2. En muchos casos, no se nece sitan las reglas de probabilidades para

poder obtener la respuesta de probabilidad…; es suficiente tener buena

interpretación de lo que se pregunta y tener clara la fórmula básica de

probabilidad.


REGLAS DE PROBABILIDADREGLAS DE PROBABILIDAD

La probabilidad de cada punto

muestral debe estar entre 0 y 1, o

sea

La suma de las probabilidades de todos

los puntos muestrales debe ser igual a

uno

Los casos favorables son aquellos que cumplen con la condición, y los casos

posibles son todos los resultados posibles en un experimento estadístico

(espacio muestral).

Para comprobar lo anterior, se hará un ejemplo donde la respuesta es

obtenida solamente utilizando la lógica y la fórmula anterior, y después se

comprobará la respuesta utilizando las reglas de probabilidad.

Ejemplo 1 de probabilidadEjemplo 1 de probabilidad

En un curso, 10 alumnos aprobaron Historia, 15 aprobaron Matemáticas y 14

aprobaron Español; 3 alumnos aprobaron Español e Historia, 5 Matemáticas

y Español, 3 aprobaron Matemáticas e Historia y 1 solo aprobó las 3

materias. Si seleccionamos un estudiante en forma aleatoria, hallar:

a. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas

b. Probabilidad de que haya aprobado solamente Matemáticas

c. Probabilidad de que nono haya aprobado Matemáticas

d. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas oo Historia

e. Probabilidad de que haya aprobado Historia yy Español

f. Si aprobó Español, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado

Historia?

SoluciónSolución

Para mayor comprensión es necesario realizar un Diagrama de Venn con

toda la información que se tiene de los 10 estudiantes:


2929

a. Para hallar la probabilidad de que haya aprobado Matemática, se tienen

como casos favorables los que aprobaron Matemáticas, que en este caso

son 15, y como casos posibles , los estudiantes que se están analizando,

que en este caso son 29. O sea la fórmula queda:

La probabilidad de que haya aprobado

Matemática es de 51.72% o sea que el 51.72% de los estud iantes

aprobaron Matemáticas.

b. Para hallar la probabilidad de que haya aprobado solamente Matemática,

se tienen como casos favorables, los estudiantes que aprobaron

Matemáticas, y no Esp añol ni Historia. En est e caso, son 8 los

estudiantes que solo aproba ron Matemáticas; los casos posib les son

todos los estudiantes que se están analizando, que en este caso son 29.

O sea la fórmula queda:


M M EE

HH

48

2

7

. La probabilidad de que haya

aprobado Matemática solamente es 27.59%, o sea, que el 27.59% de

los estudiantes aprobó solamente Matemática.

c. Para hall ar la probabilidad de que no haya aprobado Matemàtica, se

tienen como casos favorables 14 estudiantes que no aprobaron

Matemática; como casos posibles, los estudiantes que se están

analizando, que en este caso son 29.

. La probabilidad de que no haya aprobado

Matemática es 48.28%, o sea, que el 48.28% de los estudiantes no

aprobó Matemática.

d. Para hallar probabilidad de que haya apro bado Matemática oo Historia, se

utiliza la definición de uniónunión en teoría de conjuntos, o sea, los queaprobaron Matemática oo Historia oo ambos, como casos favorables; en

este caso son 22 los estudiantes y todos los casos posibles son todos los

estudiantes que se están analizando que, en este caso, son 29.

. La probabilidad de que haya aprobado

Matemática oo Historia es 75.86%, o sea, que el 75.86% de los

estudiantes aprobaron Matemática oo Historia.

e. Para hallar la probab ilidad de que hay a aprobado Historia yy Español se

utiliza la definición de intersecciónintersección en teoría de conjuntos, o sea, los que

aprobaron tanto Español como Historia, como casos favorables; en este


caso son 3 los estudiantes y todos los casos posibles son todos los

estudiantes que se están analizando, que en este caso son 29.

La probabilidad de que haya aprobado

Historia y Español es 10.34%, o sea, que el 10.34% de los estudiantes

aprobaron Historia y Español.

f. Para hallar la probabilidad de que haya aprobado Historia dadodado que

aprobó Español, quiere decir que se conoce que aprobó Español y de

ellos, cuántoscuántos aprobaron Historia. Por lo tanto, el total de casos posibles

cambia; no son 29, sino que son el total que aprobó Español (14) y de

ellos los casos favorables (los que aprobaron Historia) son 3.

. La probabilidad de que haya aprobado

Historia dado que aprobó Español es 21.43%, o sea, que el 21.43% delos estudiantes que aprobaron Español, también aprobaron Historia.


¡observa que hasta ahora no se han necesitado los axiomas de probabilidad, pararesponder las preguntas. Solo se ha necesitado de tu buena interpretación y análisis!

Para comprobar las preguntas anteriores, se utilizan los axiomas.

3.3.33 AAXIXIOMOMAAS DS DE PE PROROBABABIBILILIDADADD

3.4.13.4.1 TeoremTeorema 1: Regla 1: Regla de la una de la unión o suión o suma ma

Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces la probabilidad de A oo B

EjemploEjemplo:

Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas oo Historia (numeral d. del

ejercicio anterior).

3.4.23.4.2 TeoremTeorema 2: Regla 2: Regla del coma del complemenplementoto


EVENTOS MUTUAMENTEEVENTOS MUTUAMENTE

NO EXCLUYENTESNO EXCLUYENTES EXCLUYENTESEXCLUYENTES

Si A’ es el complemento de A, entonces:

EjemploEjemplo:

Probabilidad de que no haya aprobado Matemática. (Numeral c. del ejercicio

anterior).

3.4.33.4.3 TeoremTeorema 3: Probaba 3: Probabilidad cilidad condiciondicionalonal

A la probabilidad de que un evento A ocurra dado que un evento B ya

ocurrió, se llama probabilidad condicional y se escribe .

Donde A es la pregunta, y B es lo conocido, y su fórmula es:

EjemploEjemplo:

Si aprobó Español, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Historia?


(Numeral f. del ejercicio anterior). Otra forma de plantear la pregunta es:

¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Historia dado que aprobó

Español?

3.4.43.4.4 TeoremTeorema 4: Regla de la multiplica 4: Regla de la multiplic ación o interseación o interseccióncción

A la probabilidad de que ocurra un Evento A y y B

EjemploEjemplo:

Probabilidad de que haya aprobado Historia yy Español. (Numeral e. del

ejercicio anterior).

Como son eventos dependientes,


EVENTOSEVENTOS

DDEEPPEENNDDIIEENNTTEESS IINNDDEEPPEENNDDIIEENNTTEESS

Ó

EJEMPLO 2 EJEMPLO 2 DE PROBABILIDADDE PROBABILIDAD

La asociación de estudiantes de Estadístic a en una universidad muy grande

quería determinar si hay una relación entre el interés de un estudiante por la

Estadística y su capacidad para las Matemáticas. Se selecciona una

muestra aleatoria de 200 estudiantes y se obtienen los siguientes resultados:

80 tienen capacidad baja para las Matemáticas, de los cuales 15 tienen

interés medio en la Estadística.

90 tienen interés bajo por la Estadística, de los cuales 15 tienen capacidad

media para las Matemáticas.

40 tienen interés alto por la Estadística de los cuales 10 tienen capacidad

media para las Matemáticas.

50 tienen capacidad alta para las Matemáticas, de los cuales 25 tienen

interés alto por la Estadística.

Si se selecciona un estudiante en forma aleatoria,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga capacidad alta para las

Matemática?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga inte rés bajo o medio por la

estadística?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga capacidad media para las

Matemáticas o un interés alto por la Estadística?d. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga capacidad alta para las


Matemáticas?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga capacidad alta para las

Matemáticas, dado que su interés por la Estadística es bajo?

f. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto la capacidad para las Matemáticas

como el interés por la Estadística sean medios?

SoluciónSolución

Para mayor comprensión del ejercicio, es adecuado llevar los datos a un

Cuadro de contingencia o doble entrada.Cuadro de contingencia o doble entrada.

1. El 25% de los estudiantes tienen capacidad alta

para las Matemáticas.

2. Como los eventos son mutuamente excluyentes,

El 80% de los estudiantes tienen

interés bajo o medio por la Estadística.


OPCIÓN ALTO MEDIO BAJO TOTALTOTAL

ALTO 25 10 15 5500

MEDIO 10 45 15 7700

BAJO 5 15 60 8800

TTOOTTAAL L 440 0 770 0 990 0 220000

C A P A C I D A D

M A T E M

Á T I C A S

IINTERÉS NTERÉS --ESESTADÍTADÍSSTITICACA

3. Como los eventos son mutuamente no excluyentes,

EL 50% de los

estudiantes tienen capacidad media para las Matemáticas o un interés

alto por la Estadística.


ALTO 25 10 15 5500

MEDIO 10 45 15 7700

BAJO 5 15 60 8800

TTOOTTAAL L 440 0 770 0 990 0 220000 C A P A C

I D A D

M A T E M Á

T I C A S

IINTERÉS NTERÉS --ESESTADÍSTICATADÍSTICA

4. El 75% de los estudiantes

no tienen capacidad alta para las Matemáticas

5. Se sab e que el int erés por Estadística es bajo; o sea que es una

probabilidad condicional y su fórmula es:


El 16.67% de los estudiantes que tienen interés bajo por la Estadística tienen

una capacidad media para la Matemática.


ALTO 25 10 15 5500

MEDIO 10 45 15 7700

BAJO 5 15 60 8800

TTOOTTAAL L 440 0 770 0 990 0 220000 C A P A C I D A D

M A T E M

Á T I C A S

IINTERÉS NTERÉS -ESTADÍSTICA-ESTADÍSTICA

6. Como los eventos son dependientes, la fórmula es:

El 7.5% de los estudiantes, tienen una capacidad media para las

Matemáticas y un interés medio por la Estadística.


La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de


televisión es de 0.4, y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga,

0.5; la probab ilidad de que un hombre vea el progr ama, dado de que su

esposa lo hace, es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:

1. Una pareja de casados vea el programa.

2. Una esposa no vea el programa, dado que su esposo lo hace.

3. Al menos una persona de un matrimonio vea el programa

4. Ninguno de los dos vea el programa

SoluciónSolución

Parámetros: sea H: hombre casado M: mujer casada.

1.

La probabilidad de que una pareja de casados vea el programa es de un

35%.

2. Es más fácil s i se obtiene el denominador de un

Diagrama de Venn.


PPRROOBBAABBIILLIIDDAAD D TTOOTTAAL L 11

1

La probabilidad de que una esposa no vea el programa, dado que su esposo

lo hace, es de 12.5%.

3.

La probabilidad de que al menos una persona de un matrimonio vea el

programa es de 55%

4.

La probabilidad de que ninguno de los dos vea el programa es de 45%.



M H

0.45

0.15

0.35

Suponga que en un estante de una biblioteca hay ocho libros de Física

iguales (mismo autor, edición y título), excepto que cuatro son ediciones

rústicas y los otros cuatro están empast ados (o encuadernados). Suponga,

además, que en forma sucesiva vienen tres lectores y cada uno de ellos pide

a la bib liotecaria un ejemplar de ese libro para llevar a casa. Si la

bibliotecaria los elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al primero le

toque empastado, al segundo rústico y al tercero también rústico?

SoluciónSolución

El espacio muestral sería: (r, r, r, r, e, e, e, e).

Sea A, el evento de sacar un libro empastado

Sea B, el evento de sacar un libro rústico

Sea C, el evento de sacar un libro rústico

La probabilidad de que al primero le toque empastado, al segundo rústico y

al tercero también rústico es 14.29%.



De lo visto anteriormente en probabilidades y espacio muestral, se concluye

que muchos experimentos son muy complejos dados los múltiples

resultados.

Una forma de suavizar o canalizar el tema de las probabilidades es por

medio de fórmulas que asocien el experimento con una función o distribución

de probabilidad de acuerdo con sus características. Por ejemplo, son

muchos los experimentos que tienen que ver con solo dos posibles

resultados (defectuoso-no defectuoso, ganar-perder, vivir-morir, vender-no

vender, etc.); otros experimentos, tienen que ver con el número de resultados

en un intervalo de tiempo o región específica (número de llamadas por

minuto a un conmutador, número de artículos defectuoso por lote, número de

clientes en un banco por mes, etc.); otros experimentes tienen que ver con la

toma de una medida y bajo una situación normal (peso, tiempo, estatura,

dimensiones, temperatura, área, etc.).

Las fórmulas o distribuciones de probabilidad son una herramienta muy

importante para solucionar problemas bajo incertidumbre sin necesidad de

desarrollar todos los posibles resultados del experimento y de acuerdo con

las características de la situación.

4.4.22 DIDISTSTRIRIBUBUCICIÓN ÓN O FUO FUNCNCIÓIÓN DN DE PE PROROBABABIBILIDLIDAADD

Como ya se vio al principio del módulo, las variables aleatori as son aquellas

que se asocian a la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de


estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a

cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de

probabilidad, la cual es la distribución de las probabilidades asociadas a cada

uno de los valores de la variable aleatoria.

Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una

tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso a tal regla de

correspondencia se le denomina función de probabilidadfunción de probabilidad.

Existen dos tipos de distribuciones; distribuciones de probabilidad para distribuciones de probabilidad para

variables discretas y para variables continuas.variables discretas y para variables continuas.

Para una variable discreta variable discreta , la distribución de probabilidadesdistribución de probabilidades es, por lo

general, una tabla que asocia una probabilidad a cada valor que puede tomar

la variable aleatoria. La probabilidad de que la var iable esté dentro de un

rango de valores se halla por medio de la suma de todos los enteros que

estén dentro del rango, incluyendo los extremos. Por ejemplo:

Al considerar las variables continuasvariables continuas se encuentra uno el problema de que,

lo más probable, los datos que se puedan recabar no sean completamente

exactos, o dos o más de ellos no coincidan, por lo que se tienen que trabajar

en intervalos y, en ese momento, modelar una función se convierte en un

problema serio.

Sin embargo, se pueden realizar aproximaciones y describir la probabilidad a

través de modelos teóricos de probabilidad cuya gráfica es una línea

continua, a diferencia de las variables discretasvariables discretas que les corresponde un


histograma. La probabilidad de que la variable esté dentro de un ran go de

valores no se puede hallar por medio de la suma, dado que sería una suma

infinita; en estos casos la probabilidad se halla por medio de la integral

definida o sea:

En distribuciones continuas de probabilidad, la probabilidad de que X tome

un valor exacto es igual a cero; esto quiere decir que no existe la igualdad.


¡NO OLVIDAR!¡NO OLVIDAR!

4.2.1 Paralelo entre la distribución discreta y la continua deParalelo entre la distribución discreta y la continua de

probabilidadprobabilidad

DDIISSCCRREETTAA CCOONNTTIINNUUAACondiciones para queCondiciones para que

sea distribución desea distribución de

probabilidadprobabilidad

1.

2.

Esperanza Esperanza

matemática matemática

Varianza matemática Varianza matemática

4.4.33 AALGULGUNANAS DIS DISTSTRIRIBUBUCICIONONES ES DIDISCSCRERETATAS DS DEE


4.3.1 Distribución binomialDistribución binomial

4.34.3.1..1.11 CarCaractacteríerístisticascas


• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el

suceso A y su contrario A’, como por ejemplo, defectuoso-no

defectuoso, ganó-perdió, sobrevivió-no sobrevivió, cara-sello, etc.

• El suceso A se conoce como éxito (se representa por p p) y el suceso

contrario A’ se conoce como fracaso (se representa por qq y es igual a

1-p.

• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los

resultados obtenidos anteriormente.

• El éxito y, por ende, el fracaso se dan en términos de probabilidad y

son parámetros poblacionales obtenidos de conocimientos y/o

experiencias de estudios anteriores.

• El experimento consta de un número n de pruebas o muestras.

• El objetivo de la distribución binomial es buscar la probabilidad deéxito en la muestra

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el

modelo de la distribución binomial distribución binomial .

A la variable x, que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba

del experimento, se le llama variable aleatoria binomial variable aleatoria binomial .

La variable binomial es una variable aleatoria discreta y sólo puede tomar

los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

4.4.3.3.1.1.2 2 FuFuncncióión dn de pe prorobababibililidadad dd de le la va v.a. .a. bibinonomimialal


Función de probabilidad de la distribución binomial, para hallar la

probabilidad de obtener x-éxitos en la muestra.

Ejemplo 1Ejemplo 1

La probabilidad de que una determinada vacuna surta efecto es de 0.8.

Calcule la prob abilidad de que una vez administrada a 15 pacientes:

a) A ninguno le surta efecto

b) A 12 les surta efecto.

c) A máximo 3 no les surtano les surta efectoefecto.

d) A mínimo 13 les surtales surta efecto

e). De 10 a 12 no les surtano les surta efecto

Solución:Solución:

Se trata de una distribución binomial con los siguientes parámetros:

• Probabilidad de que la vacuna surta efecto: 0.8

• Probabilidad de que la vacuna no surta efecto 0.2

• Tamaño de muestra: 15

a). Para la pri mera pregunta: la probabilidad de que a ninguno le surta

efecto, el :EstadísticaEstadística 192

• Éxito poblacional p=0.8

• Fracaso poblacional q=0.2

• Éxito de la muestra= a ninguno de la muestra, les surta efecto o sea

P(x=0)

No hay posibilidad de que de los 15, a ninguno le surta efecto

b).b). Para la probabilidad de que a 12 les surta efecto, el



• Éxito de la muestra= a 12 de la muestra, les surta efecto o sea

P(x=12)

La posibilidad de que de los 15 a 12 les surta efecto es de un 25.01%

c) Para la probabilidad de que a máximo 3 no les surta efecto, el:



• Éxito de la muestra= a 0, 1 ,2 o 3 de los de la muestra, no les surta

efecto o sea


La posibilidad de que de los 15, a máximo 3 no les surta efecto, es de 64.89%.

d) Para la probabilidad de que mínimo a 13 les surta efecto, el:



• Éxito de la muestra= a 13,14 o 15 de los de la muestra, les surta

efecto, o sea,

La posibilidad de que de los 15, a mínimo 13 les surta efecto es de 39.8%.

e). Para la probabilidad de que, de 10 a 12 no les surta efecto, el:




• Éxito de la muestra= a 10,11 o 12 de los de la muestra, no les surta

efecto, o sea,

No hay posibilidad de que de los 15, a 10,11 ó 12 no les surta efecto la

vacuna.

Ejemplo 2Ejemplo 2

Una empresa productora sabe por experiencia que el 10% de sus artículos

salen defectuosos. Un cliente interesado en los artículos decide hacer un

pedido significativo, siempre y cuando al seleccionar una muestra aleatoria

de tam año 5, no más de un artículo sal ga def ectuoso. ¿Cuál es la

probabilidad de que haga el pedido?



Se trata de una distribución binomial con los siguientes parámetros:

Probabilidad de éxito: p= 0.1

Probabilidad de f racaso: q=0.9

Tamaño de muestra: n=5

Criterio de aceptación o compra: encontrar en la muestra máximo 10artículos defectuosos o sea,

La posibilidad de que el cliente compre es de un 91.86%

4.3.1.3 Tablas de probabilidad acumulada de Tablas de probabilidad acumulada de la distribución binomialla distribución binomial

En muchos casos, hallar la probabilidad resulta largo y se tiene mayor riesgo

de una equivocación en su cálculo. Para solucionar esto, se crearon unas

tablas de probabilidad acumulada que facilitan la solución de problemas

binomiales.

La tabla acumulada de probabilidad binomial tiene los siguientes parámetros:

(ver anexo A)


nn xx 00,,1100 00,,2200 00,,2255 00,,3300 00,,4400 00,,5500 00,,6600 00,,7700 00,,8800 00,,9900

9 0 0,3874 0,1342 0,0751 0,0404 0,0101 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7748 0,4362 0,3003 0,1960 0,0705 0,0195 0,0038 0,0004 0,0000 0,0000

2 0,9470 0,7382 0,6007 0,4628 0,2318 0,0898 0,0250 0,0043 0,0003 0,0000

3 0,9917 0,9144 0,8343 0,7297 0,4826 0,2539 0,0994 0,0253 0,0031 0,0001

4 0,9991 0,9804 0,9511 0,9012 0,7334 0,5000 0,2666 0,0988 0,0196 0,0009

5 0,9999 0,9969 0,9900 0,9747 0,9006 0,7461 0,5174 0,2703 0,0856 0,0083

6 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9750 0,9102 0,7682 0,5372 0,2618 0,0530

7 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9962 0,9805 0,9295 0,8040 0,5638 0,2252

8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9899 0,9596 0,8658 0,6126

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

pp

(CONTINUACIÓN(CONTINUACIÓN) ) TABLA TABLA ACUMULADA ACUMULADA DE DE LA LA DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN BINOMIALBINOMIAL

Para trabajar con la tabla binomial se deben seguir los siguientes pasos: (ver

tabla anterior)

1. Matematizar la pre gunta.

2. Como la tabla es acumulada, se debe ll evar la pregunta a menor e igual

, con la siguientes reglas:

a.

b.

c.

d.

e.

f.g.


Tamaño de muestra nn

Probabilidad de éxito pNúmero de éxitos en la muestra

3. Se busca en la primera columna el tamaño de la muestra n

4. Se busca en la primera fila la probabilidad de éxito p

5. Se busca en la segunda columna el valor de X.

6. La intersección entre la segunda columna (x) y el valor de p, es la

probabilidad acumulada. O sea la .

Ejemplo 3Ejemplo 3

Volviendo al ejemplo 6.1, y resolviéndolo por medio de la tabla acumulada

binomial, se tiene:

a) A ninguno le surta efecto



• Éxito de la muestra= a ninguno de la muestra, les surta efecto o sea

P(x=0)

n n x x 00,,110 0 00,,220 0 00,,225 5 00,,330 0 00,,440 0 00,,550 0 00,,660 0 00,,770 0 00,,880 0 00,,9900

15 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000

5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000

6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000

7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000

8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003

9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022

10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,1841

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

pp

b). Para la probabilidad de que a 12 les surta efecto,




• Tamaño de muestra n=15

nn xx 00,,1100 00,,2200 00,,2255 00,,3300 00,,4400 00,,5500 00,,6600 00,,7700 00,,8800 00,,9900

15 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000

5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000

6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000

7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000

8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003

9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022

10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,35180,3518 0,0556

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,60200,6020 0,1841

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

pp

c) Para la probabilidad de que a máximo 3 no les surta efecto, el:





n n x x 00,,110 0 00,,220 0 00,,225 5 00,,330 0 00,,440 0 00,,550 0 00,,660 0 00,,770 0 00,,880 0 00,,9900

15 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9444 0,64820,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000

5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000

6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000

7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000

8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003

9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022

10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,1841

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

pp

d) Para la probabilidad de que mínimo a 13 les surta efecto, el:




nn xx 00,,1100 00,,2200 00,,2255 00,,3300 00,,4400 00,,5500 00,,6600 00,,7700 00,,8800 00,,9900

15 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9444 0,64820,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000

5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000

6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000

7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000

8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003

9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022

10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732

0,60200,60200,1841

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

pp


e) Para la probabilidad de que, de 10 a 12 no les surta efecto, el:




(Ver anexo tablas de probabilidad)

44..33..1.1.4 4 PPaarráámmetetrroos s dde e lla a ddiiststrriibbuucciióón bn biinnoommiiaall

Ejemplo 4Ejemplo 4

La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica

defectuoso es del 8 por 100. Hallar:

a) El número de carburadores defectuosos Esperados en un lote de 548

b) La varianza y la desviación típica.



Medianp= µ

Varianza npq=

2

σ

Desviación típicanpq=σ

Parámetros:Parámetros:

Probabilidad de éxito:

Probabilidad de fracasos:

Tamaño de muestra= 548

a)

b)

InterpretaciónInterpretación

En promedio se espera que salgan aproximadamente 44 carburadores

defectuosos, con una variación de aproximadamente 6 carburadores.

4.3.24.3.2 DISTRDISTRIBUCIBUCIÓN HIIÓN HIPERGEPERGEOMÉTRIOMÉTRICACA

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes

características:

a) Igual que en la distribución binomial, trabaja con los experi mentos que

tienen solo dos resultados posibles.

b) Se conoce el tamaño de l a población. La población se obt iene por lo

general por medio de un lote, producción, caja, o sea, un total, del cual se

extrae una muestra aleatoria para ser analizada.

c) De la población se tienen dos características:-- Una llamada éxito (se denota por K)


-- Otra llamada fracaso (se denota por N-K)

d) El éxito y el fracaso poblacional de la distribución se dan en térm inos de

cantidad y son obtenidos por experiencia y/o estudios anteriores.

e) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los

demás.

d) Se selecciona una muestra aleatoria de ta maño n y se busca la

probabilidad de exitos (x) en la muestra.

4.4.3.3.2.2.1 1 FuFuncncióión de pn de prorobababibililidadad de ld de la va v.a. .a. hihipepergrgeoeomémétrtricica a

En estadística, la distribución hipergeométrica distribución hipergeométrica es una distribución de

probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, k y n cuya función de

probabilidad es:

Ejemplos 5:Ejemplos 5:

Si de un lote de 25 artículos se sabe que 5 están def ectuosos, hallar las

siguientes probabilidades en una muestra de 8 artículos seleccionados del

lote aleatoriamente.

a) Probabilidad de que de los 8, salgan 3 defectuosos.

b) Probabilidad de que de los 8, salgan 6 buenos.

c) Probabilidad de que de los 8, salgan mínimo 4 defectuosos.

d) Probabilidad de que de los 8, salgan entre 3 y 4 buenos.


e) Se considera aceptable el lote, si en la muestra todos están buenos.

¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote?


ParámetrosParámetros

• Tamaño de población N=25

• Características de la población:Características de la población:

-- Cantidad de artículos defectuosos= 5

-- Cantidad de artículos buenos= 20

• Tamaño Tamaño de de la la muestra muestra n=8n=8

a) Para la probabilidad de que de los 8, salgan 3 defectuosos, se tiene:

N= 25

K= 5 (recordar que la muestra y la población deben contener el mismo

sentido de éxito)

N-K=20

n=8

La probabilidad de que salgan 3 defectuosos es de un 14.33%

b) Para la probabilidad de que de los 8, salgan 6 buenos.


N= 25


sentido de éxito)

N-K=5

n=8

La probabilidad de que de los 8, salgan 6 buenos es de 35.84%

c) Para la probabilidad de que de los 8, salgan mínimo 4 defectuosos.

N= 25


sentido de éxito)

N-K=20

n=8

Esto quiere decir que la


Tener en cuenta que aunque el tamaño de lamuestra es 8 no se pueden encontrar ni 6, 7 u 8defectuosos, ya que en la población hay máximo5 defectuosos

La probabilidad de que de los 8 salgan mínimo 4 defectuosos es 2.35%

d) Para la probabilidad de que de los 8, salgan entre 3 y 4 buenos.N= 25

K= 20

N-K=5

n=8

La probabilidad de que de los 8 salgan entre 3 y 4 buenos es de 2.35%.

e) Para aceptar el lote, deben existir todos buenos o cero malos. O sea, que

se soluciona de cualquiera de las dos maneras, sin cambiar el resultado:

TTooddoos s bbuueennooss CCeerro o ddeeffeeccttuuoossooss

N= 25 N=25

K= 20 K=5

N-K=5 N-K=20

n=8 n=8


La probabilidad de que se acepte el lote es de 11.65%

Ejemplos 6:Ejemplos 6:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas

de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son

similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas

aleatoriamente para analizarlas, ¿cuál es la probabilidad de que el viajero

sea arrestado por posesión de narcóticos?


N = 9+6 =15 total de tabletas

K= 6 tabletas de narcótico

N-K= 9

n = 3 tabletas seleccionadas

x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que indica el número de

tabletas de narcótico que se pueden encontrar al seleccionar las 3 tabletas

P(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3

tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)


Existe un 81.54% de posibilidad de que el viajero sea arrestado por

posesión ilegal de narcóticos.

4.3.2.2 4.3.2.2 Parámetros Parámetros de de la la distribución distribución hipergeométrica hipergeométrica

4.34.3.3.3 DISDISTRITRIBUCBUCIÓN IÓN DE DE POIPOISSOSSONN

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta.

Trabaja con la probabilidad de ocurrencia en un tiempo determinado o región

específica, teniendo como parámetro de la distribución el promedio de

ocurrencias en el mismo intervalo de tiempo o región específica. Por

ejemplo, el número de llamadas telefónicas que entran a un conmutador por

hora; número de personas que se inscriben a la universidad por semestre,

número de artículos defectuosos que salen por hora, etc.

Condición:Condición: Los eventos deben ser independientes.

4.4.3.3.3.3.1 1 FuFuncncióión dn de pe prorobababibililidadad dd de e la la v.v.a. a. PoPoisissosonn


Media

Varianza )

Su distribución de probabilidad está dada por

Donde:

• es la base del logaritmo natural= (e = 2.71828...),

• x ! es el factorial de x,

• µ es un número real positivo, equivalente al número esperad o de

ocurrencias durante un intervalo dado.

4.3.3.4.3.3.22 TablTablas de probabilias de probabilidad acumuladdad acumulada de la distribuca de la distribución Poissonión Poisson

Como en la distribución binomial, existen tablas que facilitan el cálculo de las

probabilidades. La tabla de distribución Poisson también es acumulada y

necesita llevar las preguntas a menor e igual (

).

La tabla acumulada de probabilidad Poisson tiene los siguientes parámetros:

(Ver anexo B)(Ver anexo B)


x x 00,,1 1 00,,2 2 00,,330 0 00,,4 4 00,,5 5 00,,6 6 00,,7 7 00,,8 8 00,,99

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066

1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725

2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371

3 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865

4 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977

5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9997

6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Para trabajar con la tabla Poisson se siguen los siguientes pasos: (ver tabla

anterior)

1. Matematizar la pre gunta.

2. Como la tabla es acumulada, se lleva la pregunta a menor e igual ,

con la siguientes reglas:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

3. Se busca en la primera fila el valor del promedio

4. Se busca en la primera columna el valor de la variable x

5. La intersección entre la fi la y la columna es la probabilidad acumulada.O sea la .


EJEMPLO 7EJEMPLO 7

Si en promedio ocurren 5 accidentes por día, hallar las siguientes

probabilidades:

a). Probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes.

b). Probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes.

c). Probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes.

d). Probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes.

e). Probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente.

SoluciónSolución

Parámetro:Parámetro:

Promedio de accidentes por día.

Observación: cada pregunta se resuelve tanto por fórmula como por tabla

para comprobar el resultado.

a). Para la probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes.

Por fórmula:

Por tabla: ver reglas para manejo de tablas Poisson

La probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes es de 14.03%.EstadísticaEstadística 211

x x 1 1 11,,5 5 2 2 22,,5 5 3 3 33,,5 5 4 4 44,,5 5 55

00 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067

11 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,0404

22 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,12470,1247

33 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,26500,2650

44 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405

55 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,616066 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,7622

77 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,8666

88 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,9319

99 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 0,9829 0,9682

1010 0,9999 0,9997 0,9990 0,9972 0,9933 0,9863

1111 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9976 0,9945

1212 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980

1313 1,0000 0,9999 0,9997 0,9993

1414 1,0000 0,9999 0,9998

1515 1,0000 0,9999

1616 1,0000

b). Para la probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes.

Por fórmula:Por fórmula:


Como no se conoce el tamaño de lamuestra, no se sabe hasta dónde va lasuma…. Pero por definición deprobabilidad se sabe que

Por tabla: ver reglas para manejo de tablas Poisson

La probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes es de 87.54%.

x x 1 1 11,,5 5 2 2 22,,5 5 3 3 33,,5 5 4 4 44,,5 5 5500 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067

11 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,0404

22 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,12470,1247

33 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,26500,2650

44 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405

c). Para la probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes.



Por tabla:Por tabla:

La probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes es de

26.50%

x x 1 1 11,,5 5 2 2 22,,5 5 3 3 33,,5 5 4 4 44,,5 5 55

00 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067

11 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,0404

22 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,12470,1247

33 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,26500,2650

44 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405

55 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,6160

66 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,7622

77 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,8666

88 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,9319

d). Para la probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes.



Por tabla Por tabla : ver reglas para manejo de tablas Poisson

La probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes es de

49.72%.

e). Probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente.


Por tabla:Por tabla: ver reglas para manejo de tablas Poisson


Como la variable de interés x, tiene que tener la mismaunidad de medida del promedio, entoncesu

xx 11 11,,55 22 22,,55 33 33,,55x 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000

0 0,3679 0,2231 0,1353 0,08210,0821 0,0498 0,0302

1 0,7358 0,5578 0,4060 0,28730,2873 0,1991 0,1359

2 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208

3 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366

4 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254

5 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576

6 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347

7 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733

La probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente es de 20.52%.

4.3.3.3 4.3.3.3 Parámetros Parámetros de de la la distribución distribución PoissonPoisson

4.4 DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAPROBABILIDAD:D:

DISTRIBUCIÓN NORMALDISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución

gaussiana, es la distribución continua de probabilidad más importante de

toda la Estadística, debido a que su función de densidad es simétrica y con

forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran

número de variables estadísticas.


MediaVarianza

4.4.1 FFunción de densidad unción de densidad de la distribución normalde la distribución normal

Donde:Donde:

MediaVarianza

σσ Desviación estándar

4.4.24.4.2 Representación gráfica de esta función de densidadRepresentación gráfica de esta función de densidad


4.4.3 Distribución normal estándar4.4.3 Distribución normal estándar

La probabilidad de que la variable aleatoria (que sigue una distri bución

normal) se encuentre entre dos valores determinados será en general difícil

de calcular (hay que usar la integral de la función de probabilidad). Para ello,

existen tablas que dan estos valores directamente.

Dado que la variable de interés X, puede tomar valores ∞<<∞− X , , sese

tipifica la variable de interés para así poder trabajar con la tabla, quedando la

distribución normal, como una distribución normal tipificada con

μ = 0 y σ = 1.μ = 0 y σ = 1.

Para tipificar la variable de interés X, se lleva a la fórmula:

4.4.4 Pasos para 4.4.4 Pasos para buscar en lbuscar en la tabla a tabla (ver anexo C)(ver anexo C)

1.1. PlPlanantetear ar la la prpregegununta ta mamatetemmátátiicacammenentete..

22.. DDaaddo o qquue e llaas s ttaabbllas as ssoon n acacuummuullaattiivvaass, , sse e lllleveva a lla a pprreegguunntta a a a

menor. menor. Utilizando Utilizando las siglas siguientes reglas:uientes reglas:

1.1. Se tipifica cada valor de X utilizando la fórmula:


σ

µ −=

xZ . El valor de Z debe quedar con dos decimales.

2.2. Para buscar en la tabla, tanto el signo como el entero y el primer

decimal, se encuentra en la primera colum na. El segundo decimal se

encuentra en la primera fila. La intersección entre la fila y la columna es

la respectiva probabilidad.

EjemploEjemplo. Suponga que Z=0.43, luego 6664.0)43.0( =< z p

ZZ 00,,000 0 00,,001 1 00,,002 2 00,,003 3 00,,004 4 00,,0055

0,00,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199

0,10,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596

0,20,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987

0,30,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368

0,40,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,6664 0,6700 0,6736

0,50,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088

0,60,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422

0,70,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734

0,80,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023

0,90,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289

1,01,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531

Ejemplo 8Ejemplo 8

El peso promedio de las bolsas de café tiene una distribución

aproximadamente normal con un peso prom edio de 501 gramos y una

desviación estándar de 15 gramos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor

a 532.05 gms?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayora 448.5 gms?


c. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso entre

456 y 513.75 gms?

d. ¿Cual es el pe so máximo para que cubra el 5 9.10% de la s bolsas de

café?


Sea X la variable de interés que significa el peso de las bolsas de café.

ParámetrosParámetros:

Peso promedio de las bolsas de café

Desviación estándar

a. Para la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor a

532.05 gms:


ZZ 00,,000 0 00,,001 1 00,,002 2 00,,003 3 00,,004 4 00,,005 5 00,,006 6 00,,007 7 00,,008 8 00,,0099

0,00,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,10,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,20,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,30,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,40,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,50,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,60,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,70,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,80,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,90,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,01,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,11,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,21,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,31,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,41,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,51,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,61,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,71,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,81,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,91,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,02,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,98080,9808 0,9812 0,9817

2,12,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,22,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,32,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,42,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,52,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,62,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

La probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor a 532.05 gmses de 98.08%.

b. Para la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayor a

448.5 gms:


ZZ 00,,000 0 00,,001 1 00,,002 2 00,,003 3 00,,0044

-3,9-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

-3,8-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,7-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,6-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001

--33,,5 5 00,,00000022 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002

-3,4-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003

La probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayor a 448.5 gms

es de 99.98%

c. Para la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso entre 456 y

513.75 gms:


ZZ 00,,000 0 00,,001 1 00,,002 2 00,,003 3 00,,0044 0,050,05

0,00,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199

0,10,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596

0,20,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987

0,30,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368

0,40,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736

0,50,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088

0,60,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422

0,70,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734

0,80,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,80230,8023

0,90,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289

ZZ 00,,0000 00,,0011 00,,0022 00,,0033

-3,9-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

-3,8-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,7-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,6-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001

--33,,55 00,,00000022 0,0002 0,0002 0,0002

-3,4-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003

-3,3-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004

-3,2-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006

-3,1-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009

--33,,00 00,,00001133 0,0013 0,0013 0,0012

-2,9-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017

d. 59.10% significa la probabilidad. Lo que interesa es conocer el peso

máximo (x) de las bolsas de café que cubre dicho porcentaje o

probabilidad.

Se halla el valor de 0.5910 en la tabla normal, encontran do así el valor

de Z que le corresponde; luego se despeja el valor de X o variable de

interés.


ZZ 00,,000 0 00,,001 1 00,,002 2 00,,0033

0,00,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120

0,10,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517

0,20,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,5910

0,30,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293

0,40,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664

0,50,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019

El peso máximo para que cubre el 59.10% de las bolsas de café es

504.45gms.

Ejemplo 9Ejemplo 9

La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye

normalmente con una media de 10.000 kilogramos por centímetro cuadrado

y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado.

a. ¿Qué proporción de estos componentes excede 10.150 kilogramos por

centímetro cuadrado de resistencia a la tracción?

b. Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan

resistencia a la tracción entre 9.800 y 10.200 kilogramos por centímetro


cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas esperaría que se

descartaran?


Sea X la variable de interés que sign ifica la resi stencia a la tracción

(kilogramos/centímetros cuadrados).

Parámetros:Parámetros:

Resistencia promedio

Desviación estándar

a.

El 6.68% de los componentes de metal excede en 10.150

kilogramos/centímetros cuadrados a la resistencia a la tracción

b. Se descartan todas las piezas que están por fuera de las

especificaciones.


O sea

El 4.56% de las piezas se descartarán, ya que no cumplen con las

especificaciones.



A manera de ejemplo, el rector de una universidad desea conocer la nota

promedio de TodosTodos los estudiantes que cursaron el semestre

inmediatamente anterior y la proporción de estudiantes que obtuvieron una

nota superior a 4.0.

Para solucionar el ejemplo anterior, se retoma todo lo visto anteriormente; se

saca una muestra aleatoria de nn estudiantes (ya sea por encuesta

directamente a los n-estudiantes o por datos históricos obtenidos de

Admisiones).

Con las n-notas se saca una nota promedio y se cuenta el número de

estudiantes que obtuvi eron un prome dio superior a 4.0. Para efecto del

ejemplo, se seleccionó una muestra de 25 estudiantes con los siguientes

resultados:

ESTUDIANTEESTUDIANTE

NNRROO

NOTANOTA

PROMEDIOPROMEDIO


NNRROO

NOTANOTA

PROMEDIOPROMEDIO


NNRROO

NOTANOTA

PROMEDIOPROMEDIO


NNRROO

NOTANOTA

PROMEDIOPROMEDIO


NNRROO

NOTANOTA

PROMEDIOPROMEDIO

1 3,8 6 3,5 11 3,5 16 4,3 21 3,8

2 4,3 7 4 12 3,8 17 3,2 22 3,6

3 4,5 8 4,1 13 4,2 18 3,5 23 3,5

4 4 9 3,6 14 4,8 19 3,8 24 4,2

5 3,3 10 3,2 15 4 20 3,6 25 3,5


Para hallar el promedio de la muestra, se trabaja con la media aritmética. Y

para obtener la proporción de estudiantes con una nota superior a 4.0, se

trabaja con la proporción muestral. Al recordar sus fórmulas, tenemos:

Para la nota promedionota promedio de todos los estudiantes:

X: Variable de interés que significa la nota promedio

: La nota promedio del estudiante i

n Tamaño de la muestra que en este caso es igual a 25

Para la proporción de estudiantesproporción de estudiantes con una nota superior a 4.0:

x Total de estudiantes de la muestra que obtuvieron una nota superior a 4.0.

n Tamaño de la muestra que en este caso es igual a 25

De acuerdo con los datos, se tiene:


Para datos sin agrupar

Interpretación de resultados:Interpretación de resultados:

Los 25 estudiantes en el semestre anterior obtuvieron en promedio una nota

promedio de 3.8.

De los 25 estudiantes, el 28% obtuvo el semestre anterior una nota superior

a 4.0.

La interpretación se puede dar solamente de los estudiantes que

pertenecieron a la muestra. Pero el interés en la investigación es obtener

respuesta de todos los estudiantes, o sea, de la población.

Todo el proceso anterior es muy válido y necesario… pero no suficiente. Lo

anterior es lo que se conoce como Estadística DescriptivaEstadística Descriptiva, y se necesita

de otras herramientas de la Estadística, para poder hablar de toda la

población. Esto es lo que se conoce como Estadística Inferencial,Estadística Inferencial, que es

el tema de esta parte del módulo.


¡Ojo con la ¡Ojo con la interpretacióninterpretación!!

1.2NIVEL DE CONFIABILIDAD DE LOS RESULTADOSNIVEL DE CONFIABILIDAD DE LOS RESULTADOS

Cuando se selecciona una muestra aleatoria, el nivel de confiabilidad o

seguridad de los resultados ya no es del 100%, porque no se están tomando

todos los datos; por lo tanto, la confiabilidadconfiabilidad de un estudio o investigación

dependerá del nivel de seguridad (porcentaje) con el cual se desea que los

parámetros estén contenidos en la muestra seleccionada. Los niveles de

confiabilidad deben ser mínimo del 95%; o sea, entre 95% y 99%; este valor

es escogido por el investigador o por el presupuesto de la investigación,

aclarando que entre mayor sea el nivel de confianza nivel de confianza mayor será el costo del

estudio, dado que aumentará el tamaño de la muestra.

1.31.3 PRINPRINCIPALECIPALES S PARÁMPARÁMETROS, ETROS, ESTADÍESTADÍSTICAS STICAS Y Y SUS SUS SÍMBOSÍMBOLOSLOS


NOMBREPOBLACIÓN (PARÁMETRO)MUESTRANOMBREPOBLACIÓN (PARÁMETRO)MUESTRA

(ESTADÍSTICO)(ESTADÍSTICO)TAMAÑOTAMAÑO NnNnMEDIADESVIACIÓNMEDIADESVIACIÓN

ESTÁNDARESTÁNDARSSVARIANZAPROPORCIÓNVARIANZAPROPORCIÓN

1.1.44 ESESTITIMAMACICIÓN ÓN PUPUNTNTUAUALL

Si a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor

como estimación de un parámetro de la población desconocido, el

procedimiento se denomina estimación puntual.estimación puntual. Existen básicamente tres

parámetros muestrales:

1.4.1 Estimación puntual para variable cuantitativa Estimación puntual para variable cuantitativa

Esencialmente son dos los parámetros de interés:

• Media:Media: se toma como aproximación la media de la muestra. Al recordar

la fórmula (Unidad 3 de Estadística Descriptiva):


DDAATTOOS S SSIIN N AAGGRRUUPPAARR DDAATTOOS S AAGGRRUUPPAADDOOSS

• Varianza de la población:Varianza de la población: se toma como aproximación la cuasivarianza

de la muestra. Al recordar la fórmula se tiene:

1.4.21.4.2 EstimEstimación ación puntupuntual pal para ara variabvariable le cualitcualitativativa a

• Proporción:Proporción: se toma como aproximación la proporción muestral,


DDAATTOOS S SSIIN N AAGGRRUUPPAARR DDAATTOOS AS A GGRRUUPPAADDOOSS

Casos favorables es el total de resultados de la muestra que cumple con la

condición.

1.5 TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS YMEDIAS Y

PROPORCIONESPROPORCIONES

El tamaño de la muestra, un tema que siempre preocupa, no tiene fácil

solución y va estrechamente unido a la representatividad.

No existe un tamaño ideal de la muestra. A efectos descriptivos, se considera

una muestra grande cuando n > 30. Una muestra debe ser lo suficientemente

grande como para ser representativa, pero el número de elementos

necesarios para lograr la representatividad varía de una investigación a otra.

Cuanto más homogénea es una población en la/s característica/s objeto de

estudio, más fácil resulta obtener muestras representativas sin necesidad de

que sean grandes. Es decir, el tamaño de la muestra está en relación directa

con la desviación típica de las puntuaciones en la/s características de la

variable a investigar.

El tamaño de la muestra puede dilucidarse en parte preguntándose por

• La cuantía del error que es probable cometer al calcular diversos

estadísticos partiendo de muestras de diferente tamaño.

• Nivel de confianza: Es el porcentaje de confiabilidad con el cual se estima

la verdadera proporción de éxito. El nivel de confianza tiene relación

directa con el tamaño de la muestra, por lo tanto, se dirá que a mayor


nivel de confianza más grande debe ser el tamaño de la muestra. El nivel

es fijado por el investigador, de acuerdo con su experiencia.

Por ejemplo:Por ejemplo: con un nivel de confianza del 95% se determinaría que de 100

muestras aleatorias diferentes se podría esperar que la proporción de éxitose encuentre en 95 de ellas.

Nivel de confianza 1-1- αα = 0.95.= 0.95.

1.5.1 Determinación estadística del tamaño de la Determinación estadística del tamaño de la muestra muestra

Conociendo el nivel de confianza que se quiere alcancen los datos, se puede

aplicar una ecuación matemática para estimar el tamaño de la muestra.

Según se trate de poblaciones infinitas o finitas, la determinación variará,

según las siguientes ecuaciones:

1.5.1.1 Poblaciones infinitasPoblaciones infinitas

En este caso pueden presentarse dos situaciones:

1.5.1.1.1 Proporción conocida Proporción conocida

Conociendo la proporción de elementos que posee la característica

a través de estudios previos.

En este caso se aplica la fórmula:


ZZ Valor de la distribución normal que genera un nivel de confiabilidad 1 - α.

PP Proporción de éxito

QQ Proporción de fracaso = 1-P

EE Error muestral admisible: El error muestral admisible es el error que se

está dispuesto a cometer en la precisión de la estimación de la proporción. O

sea, es el margen de error que el investigador fija de acuerdo con el

conocimiento que tenga acerca del parámetro que piensa estimar. No es

recomendable un margen de error superior al 5%.

Pasos para hallar el valor de Z:Pasos para hallar el valor de Z:

• Tomar el nivel de confiabilidad 1- α =

• Despejar el nivel de no confiabilidad α

• Hallar el valor de α/2

• Dicho resultado es restado de 1. = 1- α/2

• Buscar 1- α/2 en la tabla normal (de adentro hacia afuera) y hallar el

valor de Z.

1.5.1.1.2 Proporción desconocida Proporción desconocida

Si se desconoce la proporción de individuos que poseen la característ ica, se

toma p = 50% y q = 50%.

2


Ejemplo:Ejemplo:

El número de elementos óptimo de una muestra, estimando qué proporción

de sujetos poseen una característica al nivel de confianza del 99.7% y un

error de estimación admitido del 2%, será:

p=q= 0.5 ya que no se conoce la proporción

E = 0.02

Para hallar Z

Nivel de confiabilidad 1- α = 0.997

Nivel de no confiabilidad α = 0.003

Valor de α/2 = 0.0015

1- α/2= 1-0.0015=0.9985

Z=3.0

32*0.5.0.5n = ------------------- = 5625 elementos.

0.022

1.5.1.2 Poblaciones infinitasPoblaciones infinitas

En este caso se emplea la siguiente fórmula:


EjemploEjemplo:

Revisar

El número óptimo para un estudio de 60.000 personas inscritas en cursos de

formación, estableciendo un nivel de confianza de 95.5%, el margen de error

en el 3% y si suponemos que la opción por inscribirse en cursos de

formación, o no, es del 50%., sería:



Los resultados obtenidos sobre la nota promedio y la proporción de alumnos

con una nota superior a 4.0, del ejemplo que se encuentra en la Introducción

de la Unidad1, no son suficientes para poder hablar del promedio y laproporción poblacional; es necesario incluir otros métodos y entre ellos está

el de los intervalos de confianza.

Una estimación de intervalo es un intervalo de valores reales que se utiliza

para estimar un parámetro de población. Aunque existen muchos parámetros

poblacionales desarrollados a partir de los resultados de una muestra, en

este módulo solo se verán dos.

2.1.1 Intervalo de confianza para el promedio poblacionalIntervalo de confianza para el promedio poblacional

A un nivel de confiabilidad del , el intervalo de confianza para el

promedio poblacional se obtiene por medio de una de las siguientes

fórmulas:

EstadísticaEstadística

CCoonnddiicciióónn FFóórrmmuulla a

240

• Si por estudios anteriores se tiene el parámetro , se utiliza la

fórmula 1.fórmula 1.

• Si no se tiene el parámetro y el tamaño de la muestra es mayor o

igual que 30, se utiliza la fórmula 2.fórmula 2.

• Si no se tiene el parámetro y el tamaño de la muestra es menor

que 30, se utiliza la fórmula 3fórmula 3

2.1.1.1 Parámetros y/o estadísticos para utilizar las fórmulas deParámetros y/o estadísticos para utilizar las fórmulas de

Intervalo de confianza Intervalo de confianza

• Tamaño de muestra nn

• Media aritmética de la muestra .

• Desviación estándar poblacional en caso de no conocerla, se halla la

desviación estándar muestral (s).

• Para hallar el valor de se utiliza la tabla normal.

• Para hallar el valor de se utiliza la tabla t-student.

Para hallarPara hallar seguimos los siguientes pasos (ver anexo C)(ver anexo C)

• Se tiene nivel de confianza .

• Se halla el nivel de error

• Se halla

• Se calcula

• Se busca en la tabla normal de adentro hacia fuera, el valor de ,y se halla el valor de .


Ejemplo.Ejemplo.

Con un nivel de confianza del 95% y tamaño de muestra n=40, buscamos en

la tabla normal ya que el tamaño de la muestra es mayor de 30.

• Nivel de confianza .

• Nivel de error

•

•

• Se busca en la tabla normal de dentro hacia fuera, el valor de 0.975 y el

valor de =1.96


Método Método para para hallar hallar (ver (ver anexo anexo D)D)

• Nivel de confianza ..

• Nivel de error

•

•

• Se halla el valor de

• Se busca en la primera columna el valor de

• Se busca en la primera columna el valor de v v

• La intersección entre la fila y la columna es el valor de t t


Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808

Ejemplo.Ejemplo.

Con un nivel de confianza del 95%, tamaño de muestra n=10, y

.

Se busca en la tabla t-student ya que el tamaño de la muestra es menor de

30. y .

• Nivel de confianza ..

• Nivel de error

•

•

•

• La intersección entre la fila y la columna es el valor de t t =2.262


n n 00..775 5 00..880 0 00..8855 00,,9 9 00..995 5 00..997755 00,,999 9 00..999955

1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

2 0,816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 0,765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 0,741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 0,727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 0,718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 0,711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 0,706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 0,703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 0,7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

TABLA T-STUDENTTABLA T-STUDENT

11

EEjjeemmpplloo 11

Retomando el ejemplo que se tiene en la introducción del capítulo, hallar la

nota promedio a un nivel de confianza del 99% de todos los estudiantes quecursaron el semestre inmediatamente anterior.

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Como la desviación estándar poblacional desconocida y el tamaño de la

muestra es menor de 30, utilizamos la fórmula:

• Tamaño de la muestra

• Media muestral .

• Como no se conoce la desviación estándar poblacional , se halla

la desviación estándar muestral s.s.

.

Para hallar el valor dePara hallar el valor de ::

• Con un nivel de confianza del 99%, tamaño de muestra n=25.


• Nivel de confianza .

• Nivel de error

•

•

• • t =2.797

Reemplazando en la fórmula,



Hay un 99% de Hay un 99% de confiabilidad al afirmarconfiabilidad al afirmar

que la nota promedio de los estudiantesque la nota promedio de los estudiantes

de la universidad está entre 3.6 y 4.0de la universidad está entre 3.6 y 4.0

EjemploEjemplo

Un fabricante de pintura necesita por efecto de calidad del producto, el

tiempo promedio de secado de una pintura nueva para exteriores. Si en 42

áreas de prueba de igual tamaño, se obtuvo un tiempo promedio de secado

de 30.2 minutos y una desviación estándar de 1.1 minutos, ¿cuál será el

tiempo promedio real de secado, con un 95% de confiabilidad?

SoluciónSolución

• Necesitamos un intervalo de confianza para ..

• Desviación estándar poblacional desconocida;

• Tamaño de muestra mayor de 30.

• Su fórmula es:

• Parámetros muestrales:Parámetros muestrales:


• Media muestral .

• Desviación estándar muestral s.s.

.


• Para hallar el valor dePara hallar el valor de : (aunque la desviación estándar

poblacional es desconocida, el tamaño de la muestra es mayor de

30)


• Tenemos nivel de confianza .• Despejamos el nivel de error

• Hallamos a

• Calculamos

• Buscamos en tabla normal el valor de

Con todos los datos, procedemos a reemplazar en la fórmula:



Hay un 95% de Hay un 95% de confiabilidad al afirmarconfiabilidad al afirmar

que el tiempo de secado de la nueva que el tiempo de secado de la nueva

pintura está entre 29.9 y 30.5 minutospintura está entre 29.9 y 30.5 minutos

Fórmula Fórmula

2.1.2 Intervalo de Intervalo de confianza para lconfianza para la proporción poa proporción poblacional blacional pp

A un nivel de confiabilidad del , el intervalo de confianza para la

proporción poblacional se obtiene por medio de la siguiente fórmula:

2.1.2.1 Estadísticos para utilizar la fórmula de Intervalo de Estadísticos para utilizar la fórmula de Intervalo de confianza confianza

• Tamaño de muestra nn

• Proporción muestral

• Proporción muestral

• Para hallar el valor de se utiliza la tabla normal.


EjemploEjemplo

Continuando con el ejemplo que se tiene en la introducción del capítulo, falta

hallar la proporción de estudiantes que obtuvieron una nota promedio mayor

de 4.0, a un nivel de confianza del 99%.

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Su fórmula es:


• Proporción muestral son 7 los estudiantes de la muestra

que sacaron una nota superior a 4.0 (resaltados en la tabla de resultados

del ejercicio, con amarillo)

• Por la Ley del Complemento ( teoría de conjuntos)

Para hallar el valor dePara hallar el valor de ::


• Tenemos nivel de confianza .

• Despejamos el nivel de error


• Hallamos a

• Calculamos

• Buscamos en tabla normal el valor de

Con todos los datos, procedemos a reemplazar en la fórmula:


Preguntas:Preguntas:

• ¿Por qué razón el intervalo dio tan amplio?

• Si le disminuimos el nivel de confianza, ¿qué pasaría con la amplitud del

intervalo?


Hay un 99% de confiabilidad al afirmar que la Hay un 99% de confiabilidad al afirmar que la

proporción de estudiantes que sacaron una proporción de estudiantes que sacaron una

nota superior a 4.0 está en el 5 y el 50%nota superior a 4.0 está en el 5 y el 50%

• Conclusiones.



Retomando el ejemplo propuesto en la introducción de esta unidad, el rector

de la universidad, en vez de preguntar (como lo hizo en el ejemplo), Afirma Afirma

que el promedio de los alumnos de dicha universidad fue de 4.2, y más del

60% de ellos obtuvo una nota superior a 4.0, esto con un margen de error del

5%.

Fuera de los intervalos de confianza, existe otra forma de plantear el deseo

de conocer un parámetro poblacional, y es por medio de una hipótesis

lanzada.

3.2DEFINICIÓN DE PRUEBA DE HIPÓTESISDEFINICIÓN DE PRUEBA DE HIPÓTESIS

Una prueba de hipótesis es una afirmación o conjetura que se lanza sobre un

parámetro poblacional; su objetivo en un nivel de significancia o error es

demostrar por medio de resultados muestrales, si existe suficiente evidencia

o no que apoye la hipótesis.

En este módulo, se conocerá la forma de comprobar las hipótesis

relacionadas con los parámetros poblacionales (Promedio) y p

(Proporción).


3.3 . Pas. Pasos paos para la prra la pr ueueba de hiba de hi pópóttesesiis s papara el prra el pr omomedediio o y y la la

proporciòn p.proporciòn p.

PAPASO SO 11 PPllaanntteaear o r o mmaatteemmatatiizazar lr la ha hiippóótteessiis ls lananzzaadda ya y

matematizar matematizar la hipótla hipótesis esis que la que la contradicecontradice

Ejemplo 1:Ejemplo 1:

1.1 El peso promedio de los artículos exportados es de 20 kilos.

.

1.2 El tiempo promedio para atender a una persona en una

cafetería es mínimo de 8 minutos.

1.3 Más del 35% de las solicitudes de préstamo en el b anco x so n

para vivienda.

1.4 Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el

contenido de grasa saturada no excede 1.5 gramos.

.

.


El El (asterisco (asterisco *) *) en en los los ejemplos,ejemplos,significa que son las hipótesis que sesignifica que son las hipótesis que selanzaronlanzaron

1.5 El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad pequeña

afirma que la proporción de ahorradores a quienes se les paga

su sueldo semanalmente es menos del 20%

PPAASSO O 22 DDeeffiinniir r llaas s hhiippóótteessiiss

En la solución de la prueba de hipótesis, existen dos clases de

hipótesis; la hipótesis que se plantea y la hipótesis que la contradice.

Las hipótesis son:

• Hipótesis nula Hipótesis nula : Se representa por . Una hipótesis nula con

respecto a un parámetro poblacional siempre se establecerá de

modo que especifique un valor exacto del parámetro; esto quiere

decir que la hipótesis nula contiene la matematización de la

hipótesis que contiene los signos:

• HipótHipótesis esis alteralternativnativa a : Se representa por Una hipótesis

alternativa contiene la contradicción de la hipótesis nula o sea que

la hipótesis alternativa contiene la representación matemática que

contiene los siguientes signos:


Ejemplo 2:Ejemplo 2:

Teniendo en cuenta el ejercicio 1 de este tema, se clasificará cada hipótesis

dentro de la nula y de la alternativa

Ejemplo

nro.

Hipótesis

nula

Hipótesis

alternativa

1.1 .

1.2

1.3

1.4 . .

1.5

PAPASO SO 33 SeSellececcicioonanar r el el ninivvel el de de sisiggninifificacancnciia a


<<

>>

Observemos que la Observemos que la hipótesis que lanzamos nohipótesis que lanzamos no

siempre queda planteada ensiempre queda planteada enla hipótesis nula la hipótesis nula

Observemos que la hipótesisObservemos que la hipótesisnula siempre contiene el signonula siempre contiene el signo

==

El nivel de significancia es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula

cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es

denominada como nivel de riesgo; este término es más adecuado, ya que se

corre el riesgo de rechazar la hipó tesis nula, cuando en real idad es

verdadera. Este nivel está bajo el control de la persona que realiza la prueba.

Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de

significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, que esté fuera fuera

de área de aceptación. El nivel de confianza nivel de confianza (1-α) indica la probabilidad de

aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.

PPAASSO O 44 DDeeffiinniir r lla a rreeggiióón n ccrrííttiicca a

Como se sabe por el tema de intervalo de confianza, los parámetros

poblacionales dependen por lo general de los resultados muestrales; pero es

necesario definir a partir de qué valores muestrales se puede aceptar como

parámetro poblacional, ya que es muy importante no caer en el erro r de la

subjetividad. Suponiendo que la afirmación dada por el rector (ejercicio de la

introducción) es suficiente para un estadís tico una nota promedio muestral

de 3.8 y en cambio para otro no.

Por esto, es necesario definir estadísticamente, y sujetos al nivel de

significancia, el área a partir de qué valores va mos a aceptar la hipótesis

nula y rechazar la hipótesis alternativa. Esto es lo que se conoce com o

región crítica. La región crítica depende de la hipótesis alternativa, tamaño de

muestra y conocimiento o no de la desviación estándar poblacional (si el

parámetro poblacional se refiere al promedio ).

Los pasos a seguir están resumidos en el siguiente cuadro:


Cuadro Cuadro 1. 1. Definición Definición de de la la región región crítica crítica

Hipótesis /Hipótesis /condicióncondición

y/oy/o

Buscar el valorde en latabla normalde adentrohacia afuera y

encontrar elvalor de

yy

Buscar el valorde en latablat-student. conv=n-1v=n-1.y encontrar elvalor de

graficar al

ladoizquierdocon signo

negativo y allado derecho

con signopositivo

Buscar elvalor deen la tablanormal yencontrar

Buscar elvalor deen la tablat-student.encontrar

graficar allado

izquierdocon signonegativo

Buscar elvalor deen la tablanormal yhallar

Buscar elvalor deen la tablat-student.encontrar

graficar allado

derechocon signopositivo

HipótesisHipótesis

Buscar el valorde en latabla normal

de adentrohacia afuera yencontrar el

valor de

graficar allado

izquierdo

con signonegativo y allado derecho

con signopositivo

Buscar elvalor deen la tabla

normal yencontrar

graficar al

ladoizquierdocon signonegativo

Buscar elvalor deen la tabla

normal yhallar

graficar al

ladoderecho

con signopositivo

PAPASO 4.SO 4.11 GrGrafaficicas das de la re la regegioionenes crs crítíticicasas

De acuerdo con lo visto en el cuadro anterior, se tienen las siguientes

gráficas:

HIPÓTESISHIPÓTESIS


RechazoRechazoRechazoRechazo

1.

2.

3.

PAPASO SO 55 CCaallcucullaar er el el essttadadííssttiicco do de pe prruueebba a


No rechazoNo rechazo

Rechazo

Valor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para

determinar si se rechaza la hipótesis nula. La elección del estadístico de

prueba depende (igua l que en los intervalos de confianza) del tamaño de

muestra y conocimiento o no de la desviación estándar poblacional (si el

parámetro poblacional se refiere al promedio ).

CUADRO CUADRO 2. 2. Estadísticos Estadísticos de de prueba prueba

Prueba de hipótesis para Prueba de hipótesis para

condicióncondición Estadístico deEstadístico deprueba prueba

yy

yy

Prueba de hipótesis para Prueba de hipótesis para

Estadístico de prueba

PPAASSO O 66 TToommaar r uunna a ddeecciissiióónn


En este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de

prueba, su resultado se coloca en la gráfica y se toma la decisión de

rechazar o no la hipótesis nula así:

• Si el estadístico de prueba cae en la región de aceptación, aceptar la

hipótesis nula.

• Si el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, rechazar la

hipótesis nula.

Tener presente que en una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de

dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula. Debe subrayarse que

siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis nula cuando no debería

haberse rechazado (error tipo I). También existe la posibilidad de que la

hipótesis nula se acepte cuando debería haberse rechazado (error de tipo II).

Ejemplo :Ejemplo :

Continuando con el ejemplo del rector, a un nivel de significancia del 5%,

comprobar la hipótesis lanzada por él.

Paso 1Paso 1 Plantear o matematizar la hipótesis lanzada y matematizar la

hipótesis que la contradice

.

Paso 2Paso 2 Definir las hipótesis.

.

Paso 3Paso 3 Seleccionar el nivel de significancia


Paso 4Paso 4 Definir la región crítica

Teniendo en cuenta el ejercicio, se tienen los siguientes datos (los datos se

encuentran en el ejemplo 1 del tema intervalos de confianza):

. .

Según lo anterior, y y .. Por lo tanto, se utiliza de la

tabla 1


yy

Buscar el valorde en latablat-student. conv=n-1v=n-1.

y encontrar elvalor de

graficar allado

izquierdocon signo

negativo y al

lado derechocon signopositivo


Paso 5Paso 5 Estadístico de prueba.

condicióncondición Estadístico de prueba Estadístico de prueba

yy

Paso 6Paso 6 Decisión


2.064

-4.76

-2.064 2.064

Como el estadístico de prueba cae en la región derechazo, se rechaza la hipótesis nula.

“La nota promed“La nota promedio de los estudiio de los estudiantes no es de 4.2. antes no es de 4.2. El El rector no tiene la razón”.rector no tiene la razón”.

Con respecto a la afirmación del rector: “ másmás del 60% de ellos obtuvo una

nota superior a 4.0”, se siguen los pasos para verificar la hipótesis lanzada

por él:

Paso 1Paso 1

Paso 2Paso 2 Definir las hipótesis.

.

Paso 3Paso 3

Paso 4Paso 4 Definir la región crítica.

HipótesisHipótesis

Buscamosel valor deen la

tablanormal yhallamos

graficamosal lado

derechocon signopositivo

Paso 5Paso 5 Estadístico de prueba.


Estadístico de prueba Estadístico de prueba

Paso 6Paso 6 Decisión.

Ejemplo:Ejemplo:

Históricamente el promedio de clientes que compran con tarjeta de crédito en

una determinada tienda es como mínimo 35; sin embargo, la dueña de la

tienda piensa que esta cifra ha disminuido significativamente. De una

muestra aleatoria de 50 clientes, 20 compraron con tarjeta de crédito con una

desviación estándar de 2 clientes. A un nivel de significancia del 96%, ¿se

está cumpliendo lo que piensa la dueña?

SoluciónSolución

Paso 1Paso 1

Paso 2Paso 2 Definir las hipótesis


-3.26 1.65

Como el estadístico de prueba cae en la región deaceptación, aceptamos la hipótesis nula,

“el 60% o menos de los estudiantes obtuvo una nota“el 60% o menos de los estudiantes obtuvo una nota promedio super promedio superior a 4.0. ior a 4.0. El rector no tiene El rector no tiene la razon”.la razon”.

Paso 3Paso 3

Paso 4Paso 4 Definir la región crítica

. .

Según lo anterior, y y .. Por lo tanto,


y/oy/o

Buscamos elvalor deen la tablanormal yencontramos

graficamosal lado

izquierdocon signonegativo

Paso 5Paso 5 Estadístico de prueba

condicióncondición Estadístico de prueba Estadístico de prueba

yy00

Paso 6Paso 6 Decisión



-53 -1.75Como el estadístico de prueba cae en la región de

rechazo, rechazamos la hipótesis nula,“la cantidad de clientes que pagan con tarjeta de crédito“la cantidad de clientes que pagan con tarjeta de crédito

ha disminuido”. La señora tiene la razón”.ha disminuido”. La señora tiene la razón”.

4.4. ESESTUTUDIDIO DE CASO DE CASOO

La revista Propiedad es de julio de 2006, con respaldo de La Lonja, Camacol

y El Colombiano, promociona la venta de apartamentos nuevos en diferentes

zonas de la ciudad de Medellín y el Área Metropolitana. Se ha dividido el

territorio en cuatro zonas, las cuales se describen a continuación:

Zona 1: Centro, Manrique, Aranjuez, Prado, Buenos Aires, Loreto,

Milagrosa y Villa Hermosa.

Zona 2: Poblado, Envigado, Sabaneta, San Diego, Las Palmas.

Zona 3: Laureles, América, Estadio, Castilla, Pedregal, Bello,

Tricentenario y Conquistadores.

Zona 4: Rosales, Belén, La Mota, Guayabal, Itagüí y la Estrella.

En la siguiente tabla, se especifica la localización del apartamento, el

número de alcobas y el precio.

ZZOONNAA NNº Dº DE AE ALLCCOOBABASS PPRREECCIIO (O ($ e$ en n mmiilleess))1 2 27.9001 2 29.2001 3 31.4701 3 32.4001 3 34.8001 2 35.5001 3 37.944

1 2 38.5001 2 39.8801 3 44.415


ZZOONNAA NNº Dº DE AE ALLCCOOBABASS PPRREECCIIO (O ($ e$ en n mmiilleess))1 2 55.9001 3 58.7362 2 38.9002 2 48.9002 2 51.0002 2 55.100

2 3 304.0002 3 61.5002 3 374.0002 2 72.6002 2 116.0002 3 113.2002 3 135.2002 3 217.9303 3 35.0003 3 41.9003 3 45.9003 3 50.7503 2 54.9803 3 64.1003 3 158.1003 2 71.900

3 3 84.5003 2 96.7853 3 104.3413 3 120.0004 1 28.5604 2 38.1504 3 37.4004 3 44.3004 2 42.8004 3 45.0004 2 48.9004 3 58.0004 3 90.0004 3 104.9004 3 229.3604 2 110.000

Fuente: Revista Propiedades, julio de 2006.


Un inversionista desea adquirir una propiedad nueva, y para tomar la

decisión se hace los siguientes interrogantes:

• ¿Cuál será la zona de mayor valor promedio?

• ¿Cómo es la variación del costo en cada una de las zonas?

• ¿Cuál es la zona con precio más estable?

• ¿Se podría pronosticar el precio a partir del número de alcobas en cada

zona y en todo el territorio?

• ¿Sería confiable este pronóstico?

• A partir de estos interrogantes, ¿qué zona le sugiere usted al

inversionista?

• A un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el precio promedio de las casas

en Medellín?

• A un nivel de confiabilidad del 96%, ¿cuál es la proporción de casas con

un precio superior a 90.000?

• Si el inversionista, afirma a un nivel de significancia del 5% que el precio

promedio de las casas es superior a 50.000, ¿qué le diría usted al

inversionista?

• Si el inversionista afirma a un nivel de significancia del 4% que el 60% de

las casas con un costo superior a 90.000 tiene 3 habitaciones, ¿que le

diría usted?


5.5. ACTIVACTIVIDADES IDADES DE REDE RECONOCICONOCIMIENTOMIENTO

Para lograr el alcance de los objetivos planteados en el curso, es necesario

que los estudiantes tengan claridad en los siguientes conceptos y

operaciones:

Operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división.

Porcentaje.

Sumatoria de números enteros.

Coordenadas en el plano cartesiano

Función lineal: ecuación de línea recta, pendiente, gráfica en el plano

cartesiano.

Teoría de conjuntos

Técnicas de conteo

Desigualdades


6.6. RESPURESPUESTA A ESTA A PREGUNPREGUNTAS FRETAS FRECUENTECUENTESS

Desde el punto de vista estadístico, ¿cuál es la importancia de la variable

en una investigación?

R/ La var iable es la que det ermina la característica que se va a

investigar. Es la que se cuantifica con el fin de obtener la muestra. Es, a

la vez, la que determina la población para la investigación.

¿Qué indica el signo negativo de la pendiente de una recta?

R/ Indica que la curva desciende a medida que aumenta el valor de la

variable independiente X.

Si un investigador encuentra que, en un conjunto de datos, la media, la

mediana y la moda son iguales, ¿qué se puede deducir de la distribución

de los datos?

R/ La distribución de los datos se ajusta a una curva normal , ya que los

tres estadígrafos de tendencia central son iguales y se localizan en el

punto central de la curva.

¿Qué sentido tiene hablar de intervalos de clase cuando se tienen datos

sin agrupar?

R/ No tiene ningún sentido, ya que el concepto de intervalo de clase se

srcina por la necesidad de agrupar los datos dentro de ciertos límites,

con el fin de facilitar la comprensión y el manejo de una muestra.


¿Qué se entiende por marca de clase?

R/ La marca de clase es el punto central de un intervalo. Es aquel valor

que representa el intervalo de clase.

¿Qué significa el sesgo?

R/ El sesgo significa la tendencia de los datos a agruparse a la derecha o

izquierda de la media.

¿Que se entiende por probabilidad?

R/ La probabilidad es la posibilidad relativa de que ocurra un suces o o

evento.

¿Qué una técnica de conteo?

R/ Una técnica de conteo es una herramienta matemática que sirve para

hallar el total de resultados en un experimento estadístico.

¿Qué es Estadística Inferencial?

R/ La Estadística Inferencial es la rama de la Estadística que sirve para

hallar parámetros poblacionales, partiendo de resultados muestrales.

¿Qué significa nivel de confiabilidad?


R/R/ Confiabilidad indica cuán seguros podemos estar de que el proceso

seguido resulte en valores que representen verdaderamente la población. Se

usa más comúnmente con intervalos de confianza. En sentido probabilístico,

si tuviéramos una confiabilidad del 95%, decimos que si repitiéramos el

proceso muchas veces, en cerca del 95% de las veces obtendríamos

resultados que reflejan verdaderamente la realidad. Cerca del 95% de los

intervalos así construidos contendrían el valor desconocido del parámetro.

¿Qué significa nivel de significancia?

R/R/ Nivel de significancia corresponde a la probabilidad de error tipo I que

estamos dispuestos a permitir cuando hacemos una prueba de hipótesis.

Usualmente se expresa como un porcentaje. Los valores más comunes son

1%, 5%, 10%. Una significancia del 5% quiere decir que de cada cien

pruebas donde rechacemos la hipótesis nula, nos permitimos la posibilidadde haberla rechazado en 5 ocasiones a pesar de ser cierta. El nivel de

significancia se selecciona de acuerdo con una amplia gama de criterios que

incluyen el costo de cometer error tipo I y la tradición en el área de contenido

sobre el cual se está haciendo la prueba.

¿Qué se entiende por intervalo de confianza?

R/ Intervalo de conf ianza es el rango de valor es dentro del cual se

encuentra un parámetro con una determinada probabilidad (esta

probabilidad es el denominado nivel de confianza).


¿Qué se entiende por prueba de hipótesis?

R/R/ Una prueba de hipótesis es un procedimiento por el cual establecemos

hipótesis nula y alterna con el fin de resolver un problema. El procedimiento

incluye el diseño y selección de la muestra. Luego de tomados los datos de

la muestra, se calcula el valor de una prueba estadística. A un nivel de

significancia previamente seleccionado, la estadística prueba se compara

con el valor obtenido de la tabla de la distribución estadística apropiada. Esa

comparación nos lleva a tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.

¿Qué se entiende por proporción?

R/R/ Proporción es la fracción cuyo numerador está formado por un subgrupo

de individuos incluido en el denominador.


7.7. ACTIVIACTIVIDADES DADES DE PRODE PROFUNDIZFUNDIZACIÓNACIÓN

1. Una emisora realizó una encuesta musical a los nuevos oyentes, la cual

contenía, entre otras, las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos CD y casetes compró usted en los últimos 12 meses?

b) ¿Es actualmente miembro de un club radial? (Sí o No).

c) ¿Qué edad tiene usted?

d) Incluyéndose usted, ¿cuántas personas (adu ltos y niños) viven en su

casa?

e) ¿Qué tipo de música le interesa comprar?

Diga si en cada pregunta se piden datos cualitativos o cuantitativos

(discretos o continuos).

2. La dependencia de recursos humanos de una empresa clasifica las

ocupaciones de los trabajadores como profesional, de oficina y obrero.

Los datos se registran con 1, que indica profesional; 2, oficina; y 3,

obrero.

a) ¿Cuál es la variable?

b) ¿Qué tipo de variable es?

c) ¿Qué tipo de escala de medición se está usando?

3. Diga si cada una de las sig uientes variables es cual itativa o cuantitativa

(discreta o continua) e indique la escala de medición que sea apropiada

para cada una.


a) Edad en años

b) Sexo

c) Posición en la lista de clase

d) Marca de automóvil

e) Número de personas que están a favor del aborto.

f) Ventas anuales

g) Tamaño de la gaseosa (pequeña, mediana o grande)

h) Código o clasificación del cargo del empleado

i) Ganancias anuales

j) Forma de pago (efectivo, cheque, tarjeta de crédito)

4. Las calificaciones de un estudiante en seis pruebas fueron: 5, 2, 1, 3, 4 y

1.

Calcular las siguientes medidas e interpretar los resultados.

a) Media aritmética

b) Mediana

c) Moda

d) Desviación estándar

e) Coeficiente de variación

5. Supongamos que las estaturas, en metros, de los empleados de una

empresa son:

1,65 1,53 1,71 1,69 1,80 1,67 1,60 1,62 1,86

1,64 1,85 1,73 1,77 1,60 1,62 1,59 1,98 1,81

1,78 1,56 1,59 1,57 1,60 1,86 1,71 1,81 1,52

1,92 1,98 1,58


a. Construir intervalos de clase.

b. Distribución de frecuencias: absoluta, relativa y acumuladas.

c. Gráficas: barras, circular, histogramas, polígonos y ojivas.

d. Diagrama de tallo y hojas.

e. Medidas de tendencia central.

f. Medidas de variabilidad.

g. Medidas de localización.

6.6. Los siguientes datos representan la altura en centímetros y peso en

kilogramos de los alumnos de una clase. Considere que la altura

es la variable independiente "x" y que el peso es la variable

dependiente "y".

AAlluummnnoo EEssttaatuturraa PPeessoo AAlluummnono EEsstatattuurraa PPeessoo AAlluummnnoo EEsstatattuurraa PPeessoo1 1,25 32 11 1,25 33 21 1,25 332 1,28 33 12 1,28 35 22 1,28 343 1,27 34 13 1,27 34 23 1,27 344 1,21 30 14 1,21 30 24 1,21 315 1,22 32 15 1,22 33 25 1,22 326 1,29 35 16 1,29 34 26 1,29 347 1,30 34 17 1,30 35 27 1,30 348 1,24 32 18 1,24 32 28 1,24 319 1,27 32 19 1,27 33 29 1,27 3510 1,29 35 20 1,29 33 30 1,29 34

Fuente: datos hipotéticos

a) Construir el diagrama de dispersión.

b) Hallar los parámetros bo y b1 del modelo de regresión lineal simple.

c) Graficar el modelo de regresión encontrado.

d) Calificar el modelo mediante los coeficientes de correlación y

determinación.EstadísticaEstadística 278

e) Realice proyecciones para el peso y analícelas.

7. A los participantes de una convención se les ofrecen 6 recorridos por día

para visitar lugares de interés durante 3 días de duración del evento.

¿En cuántas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno

de ellos? R/18

8. Los estudiantes de un colegio privado de Humanidades se clasifican

como estudiantes de primer año, de segundo, de penúltimo, y también de

acuerdo con su sexo: hombre, mujer. Encuentre el número total de

clasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio.

R/ 6

9. Un comité de 5 personas se va a elegir entre 10 pr incipales y 7

suplentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

a. Si en el comité ha de haber más principales que suplentes. R/4242

b. Debe haber 4 suplentes. R/350

10.¿De cuántas maneras puede vestirse un individuo con 10 pantalones, 15

camisas y 2 chaquetas? R/ 300

11.¿Cuántos números con al menos 4 dígitos se pueden formar con las

cifras 1,2,3,5,7,8 sin repetir cifras? R/ 1800

12.En el último año de la escuela, en un grupo de 100 alumnos se encontróEstadísticaEstadística 279

que 42 cursaron Matemáticas, 68 Sicología, 54 Historia, 22 Matemática

e Historia, 25 Matemática y Sicología, 7 Historia pero no Matemát ica ni

Sicología, 10 las tres materias y 8 ninguna de las tres. Si se selecciona

un estudiante aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que:

a. Una persona inscrita en Sicología haya estudiado las tres materias.

b. Una persona que no se inscribió en Sicología haya tomado Historia y

Matemática.

13.La probabilidad de que a un automóvil al que se le llena el tanque de

gasolina necesite también un cambio de aceit e es de 0.25. La de que

requiera un nuevo filtro de aceite, de 0.40, y de que la haga falta tanto

cambio de aceite como de filtro de 0.14.

a. Si debe cambiar el ace ite, ¿cuál es la prob abilidad de que neces ite un

filtro nuevo?

b. Si necesita un filtro nuevo, ¿cuál es la probab ilidad de que requie ra que

se le cambie el aceite?

14.Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios,

la probabilidad de que la esposa trabaje es de 0.21 y la de que su

esposo lo haga , de 0.28. y la de que ambos trabajen, de 0.15. Si los

eventos son DEPENDIENTES, ¿cuál es la probabilidad de que

a. Al menos un miembro de la pareja de casados trabaje

b. Trabaje un esposo, dado que su esposa lo hace

c. Trabaje una esposa, dado que su esposo no lo hace


15.Un distribuidor de ligas gara ntiza que el 10% son defectuosas. Un

consumidor controla cada paquete extrayendo 10 ligas sin reemplazo. Si

la muestra no cont iene ligas defectuosas, él acepta el paquet e. De otra

manera lo rechaz a. Encontrar la probabilidad de que en este proces o

cualquier paquete se rechace

16.En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 70% de los

robos la necesidad de dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la

probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esta

área:

a. Exactamente 2 se debieron a la ne cesidad de dinero par a comprar

drogas.

b. Cuando mucho 3 se debieron a la misma razón arriba indicada.

17.Al probar una cie rta clase de neumát icos para camión en un terreno

escabroso se encontró que 25% de los camiones terminaban la pruebacon los neumáticos dañados. De los siguientes 15 camiones probados,

encuentre la probabilidad de que:

a. De 3 a 6 tengan ponchaduras.

b. Menos de 4 tengan pinchaduras.

18.Solo 40% de todos los insectos expuestos a un insecticida en condiciones

de laboratorio pudieron sobrevivir. Si se expone una muestra de 8

insectos a este insecticida, cuál es la probabilidad de que:

a. Sobrevivan 4 insectos

b. No sobrevivan 3.


19.Según “NBC”, el 40% de los televidentes de Colombia sintonizan

generalmente RCN. De una muestra aleatoria de 15 televidentes hallar

las siguientes probabilidades:

a. Por lo menos cinco televidentes sintonicen RCN

b. Catorce televidentes no sintonicen RCN.

20.Una fuerza de tareas gubernamental sospecha que algunas fábricas

violan los reglamento s contra la contaminación ambiental con respecto a

la descarga de cierto tipo de produ cto. Quince empresas están bajo

sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que cuatro

de las empresas violan los reglamentos.

a. ¿Cuál es la pro babilidad de que la in spección de se is empresas no

encuentre ninguna violación?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de seis empresas

encuentre que mínimo tres de ellas violan los reglamentos?

21.Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción

de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se

preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una

muestra de tres en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno

defectuoso, toda la caja se regres a para verif icar el 100%. Si no se

encuentran defectuosos, la caja se embarca.

a. ¿Cuál es la p robabilidad de que una caja que contiene tres defectuosos

se embarque?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contenga sólo un artículo

defectuoso se regrese para su revisión?


22.Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6

tabletas de narcóticos en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina

que son similares en apariencia. Si el oficial de la Aduana selecciona 3

tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿cuál es la probabilidad de que

el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos?

23.Se está planeando un nuevo hospital para el pueblo “x”, una comunidad

que todavía no tiene su propio hospital. Si el pueblo tiene en promedio 14

nacimientos por semana, calcule las probabilidades. de que el número de

nacimientos en un día sea:

a. Al menos de 3 nacimientos.

b. Entre 1 y 3 nacimientos.

24.Concediendo que el conmutador de una oficina de consultoría recibe en

promedio 0.6 llamadas por minuto, determine las probabilidades de que:

a. Haya más de una llamada.

b. Haya menos de tres llamadas.

25.El número promedio de quejas de pasajeros recibidas en la Secretaría de

Transporte es de 6 quejas diarias. En un día cualquiera, cuál es la

probabilidad de que la secretaría de transporte reciba:

a. No más de dos quejas.

b. Entre cuatro y siete quejas.

c. No reciba quejas.


26.El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente

distribuido con una media de 10 centímetros y una desviación estándar

de 0.03 centímetros.

a. ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda

de 10.075 centímetros?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro

interno entre 9.97 y 10.03?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro

interno inferior a 10.03?

27.La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye

normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro

cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro

cuadrado.

a. ¿Qué proporción de estos componentes excede 10.150 kil ogramos por

centímetro cuadrado de resistencia a la tracción?

b. Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan

resistencia a la tracción entre 9.800 y 10.200 kilogramos por centímetro

cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas esperaría que se

descartaran?

28.La vida útil de cierto tipo de lavadora automática tiene una distribución

aproximadamente normal con una vid a promedio de 3.1 años y una

desviación estándar de 1.2 años.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora dure entre 2.9 y 3.5 años?

c. Si este tipo de lavadora tiene garantía de un año, ¿qu é fracción de la

cantidad vendida srcinalmente, necesitará ser reemplazada?


29.En un proceso industrial, el diámetro de un cojinete es una parte

componente importante. El comprador establece que las especificaciones

en el diámetro sean 3.0 ± 0.01 cm. La implicación es que ninguna parte

que caiga fuera de estas especi ficaciones se aceptará. Se sabe que en

el proceso, el diámetro de un cojinete tiene una distribución

aproximadamente normal con un promedio de 3.0 y una desviación

estándar de 0.005. ¿Qué porcentaje de cojinetes se descartarán?

30.Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una determinad a marca dio un

contenido promedio de nicotina de 3 miligramos, con una desviación

estándar de 1 miligramo. Obtenga e interprete un intervalo de confianza

del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos

cigarrillos, si el contenido en nicotina de estos cigarrillos sigue una

distribución normal. El fabricante garantiza que el contenido promedio de

nicotina es 2.9 miligramos, ¿qué puede decirse de acuerdo con el

intervalo hallado?

31.Los siguientes números representan el tiempo (en minutos) que tardaron

15 operarios en familiarizarse con el manejo de una nueva máquina

adquirida por la empresa: 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4.0, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7,

3.0, 3.6, 2.8, 4.8. Supongamos que los tiempos se distribuyen

normalmente. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media

poblacional.

32.Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con

distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40

horas. Si una muestra de tamaño 30 focos tiene una vida promedio de780 horas, encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media


poblacional de todos los focos que produce esta empresa.

33.Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad

de líquido despachada se distribuye aproximadamente normal con una

desviación estándar igual a 0.15 decilitros. Encuentre un intervalo de

confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve estamáquina, si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido

promedio de 2.25 decilitros.

34.Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura

media de las fibras. Diseña un experimento en el que se observan las

tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos del proceso seleccionados

aleatoriamente. Las tensiones son: 20.8, 20.6, 21.0, 20.9, 19.9,

20.2, 19.8, 19.6, 21.1, 20.4, 20.6, 19.7, 19.6, 20.3, 20.7,

20.9. Supóngase que la tensión de ruptura se distribuye normalmente,

hallar un intervalo del 95% de confianza para estimar la tensión de

ruptura promedio de la fibra.

35.Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarro y se

encuentra que 86 de ellos prefieren la marca X. Encuentre el intervalo de

confianza de 90% para la frac ción de la pobla ción de fumadores que

prefieren la marca X.

36.El gerent e de una sucursal bancaria en una ciud ad pequeña querría

determinar la proporción de ahorradores a quienes se les paga su sueldo

semanalmente. Una muestra aleatoria de 100 indica que a 30 no se les

paga semanalmente. Estime un intervalo de confianza del 96% para la

proporción real de ahorradores que reciben su sueldo semanalmente.


37.Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está

distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 800

horas y una desviación estándar poblaciones de 40. Pruebe la hipótesis

de que µ = 800 horas en contraposición de la alternativa de que µ ≠ 800

horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio

de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04.

38.Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora

automática tiene un contenido promedio de 21.9 decilitros, con una

desviación estándar de 1.42 decilitros. Pruebe la hipótesis de que µ ≥

22.2 decilitros en contraposición a la hipótesis alternativa, µ < 22.2, en el

nivel de significancia de 0.04.

39.La altura promedio de las mujeres en el grupo de primer año de una

institución de enseñanza superior es de 162.5 centímetros. con una

desviación estándar poblacional de 6.9 centímetros. ¿Hay alguna razón

para creer que existe un cambio en la altura promedio si una muestra

aleatoria de 50 mujeres del grupo actual tiene una altura promedio de

165.2 centímetros? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

40.Se afirma que un automóvi l recorre un promedio anual de más de 20.000

km. Para probar esta afirmación, se le solicita a una muestra aleatoria

de 100 propietarios de automóvil que lleve un registro de los km que

recorre. ¿Estaría usted de acuerdo con esta afi rmación si en la muestra

aleatoria resulta un promedio de 23.500 km y una desviación estándar

poblaciones de 3.900 km? Utilice un nivel de significancia de 0.05.


41.Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un

lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra

aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9,

10.4, 10.3, 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga

que la distribución de los contenidos es normal.

42.Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un

contenido promedio de nicotina de 4.2 miligramos y una desviación

estándar muestral de 1.4 mili gramos. ¿Está esto de acuer do con la

afirmación del fabricante de que el contenido promedio de nicotina no

excede de 3.5 miligramos? Suponga que la distribución de los contenidos

de nicotina es normal. Asuma un nivel de significancia de 0.01.

43.Un fabricante de televisores anuncia que el 90% de sus aparatos no

necesita ninguna reparación durante los dos primeros años de uso. La

Oficina de Protección al Consumidor selecciona una muestra de 100

aparatos y encuentra que 14 necesitaron alguna reparación durante los

dos primeros años de uso. Al nivel de significancia de 0.0 1, ¿a qué

conclusión puede llegar la Oficina de Protección al Consumidor?

44.Una compañía product ora de combustibles asegura que una quinta parte

de los hogares en una cie rta ciudad se cal ienta con petróleo. ¿Se tiene

alguna razón para dudar de esta afirmación si, en una muestra aleatoria

de 1000 hogares en esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan con

petróleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01.


45.Se cree que al menos 60% de los residentes en una cierta área favorecen

una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión sacaría

usted si sólo 110 en una muestra aleatoria de 200 votantes favorecen al

acta? Utilice un nivel de significancia de 0.04.

46.Un cantante graba en vídeo-cinta sus actuaciones y registra el total de los

tiempos que debe esperar a que el público deje de aplaudir. En

actuaciones anteriores, el tiempo promedio que tenía que esperar era de

65.1 segundos. Interesado en saber si sus actuaciones son mejores,

seleccionó una muestra aleatoria de 15 actuaciones en la que utilizó

nuevos tipos de música, dando como resultado un tiempo promedio de

espera de 71.5 segundos y una desviación estándar de 21.3 segundos.

¿Cree usted, a un nivel de significancia del 0.05, que sus viejas

actuaciones no son mejores que las actuaciones nuevas?

47.Se cree que un protector solar es efectivo sólo en un 70% de los casos.

Resultados experimentales con un nuevo protector solar, mostraron que

de 60 personas seleccionadas aleatoriamente, 15 no fueron protegidas

contra el sol. ¿Es ésta suficiente evidencia para concluir a un nivel de

significancia de 0.05, que tanto el nuevo como el viejo protector solar son

igual de efectivos?

48.En el banco Jefferson, dado la cantidad de quejas por parte de los

usuarios por el tiempo (en mi nutos) que deben hacer fila para que los

atiendan, se hizo un estudio para mirar el tiempo (en minutos) que se

demoran en la fila antes de que los atiendan, para buscar la solución al

problema después de haber aumentado el número de ventanillas y losresultados fueron los siguientes:

10.2 5.3 8.5 9.3 20.1 3.5 5.5 7.3EstadísticaEstadística 289

8.5 5.4 6.7 10.2 10.5 15.5 25 23.2

19.5 17.3 26.5 10.5 9.3 8.5 4.3 5.8

6.5 4.3 15.3 10.8 19.5 23.2

Después del aumento de las ventanillas, ¿cuál es el tiempo promedio real

(con un nivel de significancia del 0.05 ) de espera de los clientes?

49.En el banco Z, dada la cantidad de quejas por parte de los usuarios

(cuenta con 30 clientes fijos, de los cuales 8 están satisfechos) por el

tiempo (en minutos) que deb en hacer fila para que los atienda n, se hizo

un estudio, para buscar la solución al problema; se sabe:

• El tiempo de espera se distribuye aproximadamente normal con un

tiempo promedio de 22.5 minutos y una desviación estándar de 2.5

minutos.

• En promedio se retiran del banco 2 clientes por mes.

• De una muestra aleatoria de tamaño 150 clientes, el 60% de ellos son

hombres.Responder:

a. ¿Cuál es la prob abilidad de que el tie mpo de espera sea superior a 18

minutos?

b. De una mues tra aleatoria de 15 clien tes, ¿cuál es la proba bilidad de que

al menos 12 estén satisfechos con el servicio del banco?

c. Si el 15% de los clientes se retiran del banco en menos de 20 días, ¿cuál

sería el tiempo promedio de retiro de ellos?

d. Con una confianza del 95%, ¿cuál sería la proporción de clientes

hombres en el banco?

e. Los clientes afirman que consideran el servi cio inefectivo si el promedio

de tiempo de espera es por lo menos de 18 minutos, ¿cuál es la

probabilidad de que sigan reclamando?


f. De una muestra aleatoria de 10 cl ientes, ¿cuál es la probabilidad de que

8 clientes estén satisfechos?

g. Si el 35% de los cli entes esperan menos de 22 minutos, ¿cuál sería el

tiempo de espera promedio real?

h. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente esté insatisfecho?

i. ¿Cuál es la probabilidad de que se retire un cliente en al menos 10 días?

j. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes no se retiren clientes?


ANEXOS ANEXOS TABLAS DE PROBABILIDAD ACUMTABLAS DE PROBABILIDAD ACUMULADAULADA

Anexo A Anexo A

n n x x 00,,110 0 00,,220 0 00,,225 5 00,,330 0 00,,440 0 00,,550 0 00,,660 0 00,,770 0 00,,880 0 00,,9900

1 0 0,9000 0,8000 0,7500 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000

1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

2 0 0,8100 0,6400 0,5625 0,4900 0,3600 0,2500 0,1600 0,0900 0,0400 0,0100

1 0,9900 0,9600 0,9375 0,9100 0,8400 0,7500 0,6400 0,5100 0,3600 0,1900

2 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

3 0 0,7290 0,5120 0,4219 0,3430 0,2160 0,1250 0,0640 0,0270 0,0080 0,0010

1 0,9720 0,8960 0,8438 0,7840 0,6480 0,5000 0,3520 0,2160 0,1040 0,0280

2 0,9990 0,9920 0,9844 0,9730 0,9360 0,8750 0,7840 0,6570 0,4880 0,2710

3 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

4 0 0,6561 0,4096 0,3164 0,2401 0,1296 0,0625 0,0256 0,0081 0,0016 0,0001

1 0,9477 0,8192 0,7383 0,6517 0,4752 0,3125 0,1792 0,0837 0,0272 0,0037

2 0,9963 0,9728 0,9492 0,9163 0,8208 0,6875 0,5248 0,3483 0,1808 0,0523

3 0,9999 0,9984 0,9961 0,9919 0,9744 0,9375 0,8704 0,7599 0,5904 0,3439

4 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

5 0 0,5905 0,3277 0,2373 0,1681 0,0778 0,0313 0,0102 0,0024 0,0003 0,0000

1 0,9185 0,7373 0,6328 0,5282 0,3370 0,1875 0,0870 0,0308 0,0067 0,0005

2 0,9914 0,9421 0,8965 0,8369 0,6826 0,5000 0,3174 0,1631 0,0579 0,0086

3 0,9995 0,9933 0,9844 0,9692 0,9130 0,8125 0,6630 0,4718 0,2627 0,0815

4 1,0000 0,9997 0,9990 0,9976 0,9898 0,9688 0,9222 0,8319 0,6723 0,4095

5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

6 0 0,5314 0,2621 0,1780 0,1176 0,0467 0,0156 0,0041 0,0007 0,0001 0,0000

1 0,8857 0,6554 0,5339 0,4202 0,2333 0,1094 0,0410 0,0109 0,0016 0,0001

2 0,9842 0,9011 0,8306 0,7443 0,5443 0,3438 0,1792 0,0705 0,0170 0,0013

3 0,9987 0,9830 0,9624 0,9295 0,8208 0,6563 0,4557 0,2557 0,0989 0,0159

4 0,9999 0,9984 0,9954 0,9891 0,9590 0,8906 0,7667 0,5798 0,3446 0,1143

5 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9959 0,9844 0,9533 0,8824 0,7379 0,4686

6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

7 0 0,4783 0,2097 0,1335 0,0824 0,0280 0,0078 0,0016 0,0002 0,0000 0,0000

1 0,8503 0,5767 0,4449 0,3294 0,1586 0,0625 0,0188 0,0038 0,0004 0,0000

2 0,9743 0,8520 0,7564 0,6471 0,4199 0,2266 0,0963 0,0288 0,0047 0,0002

3 0,9973 0,9667 0,9294 0,8740 0,7102 0,5000 0,2898 0,1260 0,0333 0,0027

4 0,9998 0,9953 0,9871 0,9712 0,9037 0,7734 0,5801 0,3529 0,1480 0,0257

5 1,0000 0,9996 0,9987 0,9962 0,9812 0,9375 0,8414 0,6706 0,4233 0,1497

6 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9984 0,9922 0,9720 0,9176 0,7903 0,5217

7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

8 0 0,4305 0,1678 0,1001 0,0576 0,0168 0,0039 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000

1 0,8131 0,5033 0,3671 0,2553 0,1064 0,0352 0,0085 0,0013 0,0001 0,0000

2 0,9619 0,7969 0,6785 0,5518 0,3154 0,1445 0,0498 0,0113 0,0012 0,0000

3 0,9950 0,9437 0,8862 0,8059 0,5941 0,3633 0,1737 0,0580 0,0104 0,0004

4 0,9996 0,9896 0,9727 0,9420 0,8263 0,6367 0,4059 0,1941 0,0563 0,0050

5 1,0000 0,9988 0,9958 0,9887 0,9502 0,8555 0,6846 0,4482 0,2031 0,0381

6 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9915 0,9648 0,8936 0,7447 0,4967 0,1869

7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9832 0,9424 0,8322 0,56958 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

TABLA TABLA ACUMULAACUMULADA DE DA DE LA DISTLA DISTRIBUCIRIBUCI N BINOMIALN BINOMIAL

pp


n n x x 00,,110 0 00,,220 0 00,,225 5 00,,330 0 00,,440 0 00,,550 0 00,,660 0 00,,770 0 00,,880 0 00,,9900

9 0 0,3874 0,1342 0,0751 0,0404 0,0101 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7748 0,4362 0,3003 0,1960 0,0705 0,0195 0,0038 0,0004 0,0000 0,0000

2 0,9470 0,7382 0,6007 0,4628 0,2318 0,0898 0,0250 0,0043 0,0003 0,0000

3 0,9917 0,9144 0,8343 0,7297 0,4826 0,2539 0,0994 0,0253 0,0031 0,00014 0,9991 0,9804 0,9511 0,9012 0,7334 0,5000 0,2666 0,0988 0,0196 0,0009

5 0,9999 0,9969 0,9900 0,9747 0,9006 0,7461 0,5174 0,2703 0,0856 0,0083

6 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9750 0,9102 0,7682 0,5372 0,2618 0,0530

7 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9962 0,9805 0,9295 0,8040 0,5638 0,2252

8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9899 0,9596 0,8658 0,6126

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

10 0 0,3487 0,1074 0,0563 0,0282 0,0060 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7361 0,3758 0,2440 0,1493 0,0464 0,0107 0,0017 0,0001 0,0000 0,0000

2 0,9298 0,6778 0,5256 0,3828 0,1673 0,0547 0,0123 0,0016 0,0001 0,0000

3 0,9872 0,8791 0,7759 0,6496 0,3823 0,1719 0,0548 0,0106 0,0009 0,0000

4 0,9984 0,9672 0,9219 0,8497 0,6331 0,3770 0,1662 0,0473 0,0064 0,0001

5 0,9999 0,9936 0,9803 0,9527 0,8338 0,6230 0,3669 0,1503 0,0328 0,0016

6 1,0000 0,9991 0,9965 0,9894 0,9452 0,8281 0,6177 0,3504 0,1209 0,0128

7 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9877 0,9453 0,8327 0,6172 0,3222 0,0702

8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9983 0,9893 0,9536 0,8507 0,6242 0,2639

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9990 0,9940 0,9718 0,8926 0,6513

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

11 0 0,3138 0,0859 0,0422 0,0198 0,0036 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,6974 0,3221 0,1971 0,1130 0,0302 0,0059 0,0007 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9104 0,6174 0,4552 0,3127 0,1189 0,0327 0,0059 0,0006 0,0000 0,0000

3 0,9815 0,8389 0,7133 0,5696 0,2963 0,1133 0,0293 0,0043 0,0002 0,0000

4 0,9972 0,9496 0,8854 0,7897 0,5328 0,2744 0,0994 0,0216 0,0020 0,0000

5 0,9997 0,9883 0,9657 0,9218 0,7535 0,5000 0,2465 0,0782 0,0117 0,0003

6 1,0000 0,9980 0,9924 0,9784 0,9006 0,7256 0,4672 0,2103 0,0504 0,0028

8 1,0000 0,9983 0,9935 0,9821 0,9240 0,8062 0,6446 0,4671 0,2719 0,0738

9 1,0000 0,9983 0,9936 0,9826 0,9292 0,8330 0,7333 0,6669 0,5671 0,2869

10 1,0000 0,9983 0,9936 0,9827 0,9299 0,8384 0,7599 0,7601 0,8034 0,6704

11 1,0000 0,9983 0,9936 0,9827 0,9299 0,8389 0,7635 0,7799 0,8893 0,9842

12 0 0,2824 0,0687 0,0317 0,0138 0,0022 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,6590 0,2749 0,1584 0,0850 0,0196 0,0032 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8891 0,5583 0,3907 0,2528 0,0834 0,0193 0,0028 0,0002 0,0000 0,0000

3 0,9744 0,7946 0,6488 0,4925 0,2253 0,0730 0,0153 0,0017 0,0001 0,0000

4 0,9957 0,9274 0,8424 0,7237 0,4382 0,1938 0,0573 0,0095 0,0006 0,0000

5 0,9995 0,9806 0,9456 0,8822 0,6652 0,3872 0,1582 0,0386 0,0039 0,0001

6 0,9999 0,9961 0,9857 0,9614 0,8418 0,6128 0,3348 0,1178 0,0194 0,0005

7 1,0000 0,9994 0,9972 0,9905 0,9427 0,8062 0,5618 0,2763 0,0726 0,0043

8 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9847 0,9270 0,7747 0,5075 0,2054 0,0256

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9972 0,9807 0,9166 0,7472 0,4417 0,1109

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9968 0,9804 0,9150 0,7251 0,3410

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9978 0,9862 0,9313 0,7176

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

pp

(CONTINUACIÓN) (CONTINUACIÓN) TABLA TABLA ACUMULAACUMULADA DA DE DE LA LA DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN BINOMIALBINOMIAL


n n x x 00,,110 0 00,,220 0 00,,225 5 00,,330 0 00,,440 0 00,,550 0 00,,660 0 00,,770 0 00,,880 0 00,,9900

13 0 0,2542 0,0550 0,0238 0,0097 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,6213 0,2336 0,1267 0,0637 0,0126 0,0017 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8661 0,5017 0,3326 0,2025 0,0579 0,0112 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000

3 0,9658 0,7473 0,5843 0,4206 0,1686 0,0461 0,0078 0,0007 0,0000 0,0000

4 0,9935 0,9009 0,7940 0,6543 0,3530 0,1334 0,0321 0,0040 0,0002 0,0000

5 0,9991 0,9700 0,9198 0,8346 0,5744 0,2905 0,0977 0,0182 0,0012 0,0000

6 0,9999 0,9930 0,9757 0,9376 0,7712 0,5000 0,2288 0,0624 0,0070 0,0001

7 1,0000 0,9988 0,9944 0,9818 0,9023 0,7095 0,4256 0,1654 0,0300 0,0009

8 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9679 0,8666 0,6470 0,3457 0,0991 0,0065

9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9922 0,9539 0,8314 0,5794 0,2527 0,0342

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9888 0,9421 0,7975 0,4983 0,1339

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9983 0,9874 0,9363 0,7664 0,3787

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9903 0,9450 0,7458

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

14 0 0,2288 0,0440 0,0178 0,0068 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5846 0,1979 0,1010 0,0475 0,0081 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8416 0,4481 0,2811 0,1608 0,0398 0,0065 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9559 0,6982 0,5213 0,3552 0,1243 0,0287 0,0039 0,0002 0,0000 0,0000

4 0,9908 0,8702 0,7415 0,5842 0,2793 0,0898 0,0175 0,0017 0,0000 0,0000

5 0,9985 0,9561 0,8883 0,7805 0,4859 0,2120 0,0583 0,0083 0,0004 0,0000

6 0,9998 0,9884 0,9617 0,9067 0,6925 0,3953 0,1501 0,0315 0,0024 0,0000

7 1,0000 0,9976 0,9897 0,9685 0,8499 0,6047 0,3075 0,0933 0,0116 0,0002

8 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9417 0,7880 0,5141 0,2195 0,0439 0,0015

9 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9825 0,9102 0,7207 0,4158 0,1298 0,0092

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9961 0,9713 0,8757 0,6448 0,3018 0,0441

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9935 0,9602 0,8392 0,5519 0,1584

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9919 0,9525 0,8021 0,4154

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9932 0,9560 0,771214 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

15 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000

5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000

6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000

7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000

8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003

9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022

10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,1841

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

(CONTINUACIÓN) (CONTINUACIÓN) TABLA TABLA ACUMULADA ACUMULADA DE DE LA LA DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN BINOMIALBINOMIAL

pp


n n x x 00,,110 0 00,,220 0 00,,225 5 00,,330 0 00,,440 0 00,,550 0 00,,660 0 00,,770 0 00,,880 0 00,,9900

16 0 0,1853 0,0281 0,0100 0,0033 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,5147 0,1407 0,0635 0,0261 0,0033 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,7892 0,3518 0,1971 0,0994 0,0183 0,0021 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9316 0,5981 0,4050 0,2459 0,0651 0,0106 0,0009 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9830 0,7982 0,6302 0,4499 0,1666 0,0384 0,0049 0,0003 0,0000 0,0000

5 0,9967 0,9183 0,8103 0,6598 0,3288 0,1051 0,0191 0,0016 0,0000 0,0000

6 0,9995 0,9733 0,9204 0,8247 0,5272 0,2272 0,0583 0,0071 0,0002 0,0000

7 0,9999 0,9930 0,9729 0,9256 0,7161 0,4018 0,1423 0,0257 0,0015 0,0000

8 1,0000 0,9985 0,9925 0,9743 0,8577 0,5982 0,2839 0,0744 0,0070 0,0001

9 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9417 0,7728 0,4728 0,1753 0,0267 0,0005

10 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9809 0,8949 0,6712 0,3402 0,0817 0,0033

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9951 0,9616 0,8334 0,5501 0,2018 0,0170

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9991 0,9894 0,9349 0,7541 0,4019 0,0684

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9979 0,9817 0,9006 0,6482 0,2108

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9967 0,9739 0,8593 0,4853

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9967 0,9719 0,8147

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

17 0 0,1668 0,0225 0,0075 0,0023 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,4818 0,1182 0,0501 0,0193 0,0021 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,7618 0,3096 0,1637 0,0774 0,0123 0,0012 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9174 0,5489 0,3530 0,2019 0,0464 0,0064 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9779 0,7582 0,5739 0,3887 0,1260 0,0245 0,0025 0,0001 0,0000 0,0000

5 0,9953 0,8943 0,7653 0,5968 0,2639 0,0717 0,0106 0,0007 0,0000 0,0000

6 0,9992 0,9623 0,8929 0,7752 0,4478 0,1662 0,0348 0,0032 0,0001 0,0000

7 0,9999 0,9891 0,9598 0,8954 0,6405 0,3145 0,0919 0,0127 0,0005 0,0000

8 1,0000 0,9974 0,9876 0,9597 0,8011 0,5000 0,1989 0,0403 0,0026 0,0000

9 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9081 0,6855 0,3595 0,1046 0,0109 0,0001

10 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9652 0,8338 0,5522 0,2248 0,0377 0,0008

11 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9894 0,9283 0,7361 0,4032 0,1057 0,004712 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9975 0,9755 0,8740 0,6113 0,2418 0,0221

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9936 0,9536 0,7981 0,4511 0,0826

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9988 0,9877 0,9226 0,6904 0,2382

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9979 0,9807 0,8818 0,5182

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9977 0,9775 0,8332

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

18 0 0,1501 0,0180 0,0056 0,0016 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,4503 0,0991 0,0395 0,0142 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,7338 0,2713 0,1353 0,0600 0,0082 0,0007 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9018 0,5010 0,3057 0,1646 0,0328 0,0038 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9718 0,7164 0,5187 0,3327 0,0942 0,0154 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9936 0,8671 0,7175 0,5344 0,2088 0,0481 0,0058 0,0003 0,0000 0,0000

6 0,9988 0,9487 0,8610 0,7217 0,3743 0,1189 0,0203 0,0014 0,0000 0,0000

7 0,9998 0,9837 0,9431 0,8593 0,5634 0,2403 0,0576 0,0061 0,0002 0,0000

8 1,0000 0,9957 0,9807 0,9404 0,7368 0,4073 0,1347 0,0210 0,0009 0,0000

9 1,0000 0,9991 0,9946 0,9790 0,8653 0,5927 0,2632 0,0596 0,0043 0,0000

10 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9424 0,7597 0,4366 0,1407 0,0163 0,0002

11 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9797 0,8811 0,6257 0,2783 0,0513 0,0012

12 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9942 0,9519 0,7912 0,4656 0,1329 0,0064

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9987 0,9846 0,9058 0,6673 0,2836 0,0282

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9962 0,9672 0,8354 0,4990 0,0982

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9993 0,9918 0,9400 0,7287 0,2662

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9858 0,9009 0,5497

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9820 0,8499

18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

(CONT(CONTINUAINUACICI N) N) TABTABLA LA ACUACUMULAMULADA DA DE DE LA LA DISTRIDISTRIBUCIBUCI N N BINOMIABINOMIALL

pp


n n x x 00,,110 0 00,,220 0 00,,225 5 00,,330 0 00,,440 0 00,,550 0 00,,660 0 00,,770 0 00,,880 0 00,,9900

19 0 0,1351 0,0144 0,0042 0,0011 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,4203 0,0829 0,0310 0,0104 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,7054 0,2369 0,1113 0,0462 0,0055 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,8850 0,4551 0,2631 0,1332 0,0230 0,0022 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9648 0,6733 0,4654 0,2822 0,0696 0,0096 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9914 0,8369 0,6678 0,4739 0,1629 0,0318 0,0031 0,0001 0,0000 0,0000

6 0,9983 0,9324 0,8251 0,6655 0,3081 0,0835 0,0116 0,0006 0,0000 0,0000

7 0,9997 0,9767 0,9225 0,8180 0,4878 0,1796 0,0352 0,0028 0,0000 0,0000

8 1,0000 0,9933 0,9713 0,9161 0,6675 0,3238 0,0885 0,0105 0,0003 0,0000

9 1,0000 0,9984 0,9911 0,9674 0,8139 0,5000 0,1861 0,0326 0,0016 0,0000

10 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9115 0,6762 0,3325 0,0839 0,0067 0,0000

11 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9648 0,8204 0,5122 0,1820 0,0233 0,0003

12 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9884 0,9165 0,6919 0,3345 0,0676 0,0017

13 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9969 0,9682 0,8371 0,5261 0,1631 0,0086

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9904 0,9304 0,7178 0,3267 0,0352

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9978 0,9770 0,8668 0,5449 0,1150

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9945 0,9538 0,7631 0,2946

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9992 0,9896 0,9171 0,5797

18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9989 0,9856 0,8649

19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

20 0 0,1216 0,0115 0,0032 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3917 0,0692 0,0243 0,0076 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,6769 0,2061 0,0913 0,0355 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,8670 0,4114 0,2252 0,1071 0,0160 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9568 0,6296 0,4148 0,2375 0,0510 0,0059 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9887 0,8042 0,6172 0,4164 0,1256 0,0207 0,0016 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,9976 0,9133 0,7858 0,6080 0,2500 0,0577 0,0065 0,0003 0,0000 0,00007 0,9996 0,9679 0,8982 0,7723 0,4159 0,1316 0,0210 0,0013 0,0000 0,0000

8 0,9999 0,9900 0,9591 0,8867 0,5956 0,2517 0,0565 0,0051 0,0001 0,0000

9 1,0000 0,9974 0,9861 0,9520 0,7553 0,4119 0,1275 0,0171 0,0006 0,0000

10 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,8725 0,5881 0,2447 0,0480 0,0026 0,0000

11 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9435 0,7483 0,4044 0,1133 0,0100 0,0001

12 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9790 0,8684 0,5841 0,2277 0,0321 0,0004

13 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9935 0,9423 0,7500 0,3920 0,0867 0,0024

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9984 0,9793 0,8744 0,5836 0,1958 0,0113

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9941 0,9490 0,7625 0,3704 0,0432

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9987 0,9840 0,8929 0,5886 0,1330

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9964 0,9645 0,7939 0,3231

18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9924 0,9308 0,6083

19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9992 0,9885 0,8784

20 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

(CONT(CONTINUAINUACICI N) N) TABTABLA LA ACUACUMULAMULADA DA DE DE LA LA DISTRIDISTRIBUCIBUCI N N BINOMIABINOMIALL

pp


ANEXO BANEXO B

xx 00,,11 00,,22 00,,3300 00,,44 00,,55 00,,66 00,,77 00,,88 00,,99

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066

1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725

2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371

3 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865

4 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977

5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9997

6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

xx 11,,00 11,,55 22,,00 22,,55 33,,00 33,,55 44,,00 44,,55 55,,00

0 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067

1 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,0404

2 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,1247

3 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,2650

4 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405

5 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,6160

6 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,7622

7 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,8666

8 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,9319

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 0,9829 0,9682

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9972 0,9933 0,9863

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9976 0,9945

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9993

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

TABLA ATABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN CUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSONPOISSON


(Continuaciòn)(Continuaciòn)

xx 55,,55 66,,00 66,,55 77,,00 77,,55 88,,00 88,,55 99,,00 99,,55

0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001

1 0,0266 0,0174 0,0113 0,0073 0,0047 0,0030 0,0019 0,0012 0,0008

2 0,0884 0,0620 0,0430 0,0296 0,0203 0,0138 0,0093 0,0062 0,0042

3 0,2017 0,1512 0,1118 0,0818 0,0591 0,0424 0,0301 0,0212 0,0149

4 0,3575 0,2851 0,2237 0,1730 0,1321 0,0996 0,0744 0,0550 0,0403

5 0,5289 0,4457 0,3690 0,3007 0,2414 0,1912 0,1496 0,1157 0,0885

6 0,6860 0,6063 0,5265 0,4497 0,3782 0,3134 0,2562 0,2068 0,1649

7 0,8095 0,7440 0,6728 0,5987 0,5246 0,4530 0,3856 0,3239 0,2687

8 0,8944 0,8472 0,7916 0,7291 0,6620 0,5925 0,5231 0,4557 0,3918

9 0,9462 0,9161 0,8774 0,8305 0,7764 0,7166 0,6530 0,5874 0,5218

10 0,9747 0,9574 0,9332 0,9015 0,8622 0,8159 0,7634 0,7060 0,6453

11 0,9890 0,9799 0,9661 0,9467 0,9208 0,8881 0,8487 0,8030 0,7520

12 0,9955 0,9912 0,9840 0,9730 0,9573 0,9362 0,9091 0,8758 0,8364

13 0,9983 0,9964 0,9929 0,9872 0,9784 0,9658 0,9486 0,9261 0,8981

14 0,9994 0,9986 0,9970 0,9943 0,9897 0,9827 0,9726 0,9585 0,9400

15 0,9998 0,9995 0,9988 0,9976 0,9954 0,9918 0,9862 0,9780 0,9665

16 0,9999 0,9998 0,9996 0,9990 0,9980 0,9963 0,9934 0,9889 0,9823

17 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9984 0,9970 0,9947 0,9911

18 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9997 0,9993 0,9987 0,9976 0,9957

19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9995 0,9989 0,9980

20 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9991

21 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996

22 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999

23 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

24 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000



(continuaciòn)(continuaciòn)

xx 1100 1111 1122 1133 1144 1155 1166 1177 1188

0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,0028 0,0012 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0103 0,0049 0,0023 0,0011 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,0293 0,0151 0,0076 0,0037 0,0018 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001

5 0,0671 0,0375 0,0203 0,0107 0,0055 0,0028 0,0014 0,0007 0,0003

6 0,1301 0,0786 0,0458 0,0259 0,0142 0,0076 0,0040 0,0021 0,0010

7 0,2202 0,1432 0,0895 0,0540 0,0316 0,0180 0,0100 0,0054 0,0029

8 0,3328 0,2320 0,1550 0,0998 0,0621 0,0374 0,0220 0,0126 0,0071

9 0,4579 0,3405 0,2424 0,1658 0,1094 0,0699 0,0433 0,0261 0,0154

10 0,5830 0,4599 0,3472 0,2517 0,1757 0,1185 0,0774 0,0491 0,0304

11 0,6968 0,5793 0,4616 0,3532 0,2600 0,1848 0,1270 0,0847 0,0549

12 0,7916 0,6887 0,5760 0,4631 0,3585 0,2676 0,1931 0,1350 0,0917

13 0,8645 0,7813 0,6815 0,5730 0,4644 0,3632 0,2745 0,2009 0,1426

14 0,9165 0,8540 0,7720 0,6751 0,5704 0,4657 0,3675 0,2808 0,2081

15 0,9513 0,9074 0,8444 0,7636 0,6694 0,5681 0,4667 0,3715 0,2867

16 0,9730 0,9441 0,8987 0,8355 0,7559 0,6641 0,5660 0,4677 0,3751

17 0,9857 0,9678 0,9370 0,8905 0,8272 0,7489 0,6593 0,5640 0,4686

18 0,9928 0,9823 0,9626 0,9302 0,8826 0,8195 0,7423 0,6550 0,5622

19 0,9965 0,9907 0,9787 0,9573 0,9235 0,8752 0,8122 0,7363 0,6509

20 0,9984 0,9953 0,9884 0,9750 0,9521 0,9170 0,8682 0,8055 0,7307

21 0,9993 0,9977 0,9939 0,9859 0,9712 0,9469 0,9108 0,8615 0,799122 0,9997 0,9990 0,9970 0,9924 0,9833 0,9673 0,9418 0,9047 0,8551

23 0,9999 0,9995 0,9985 0,9960 0,9907 0,9805 0,9633 0,9367 0,8989

24 1,0000 0,9998 0,9993 0,9980 0,9950 0,9888 0,9777 0,9594 0,9317

25 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9974 0,9938 0,9869 0,9748 0,9554

26 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9987 0,9967 0,9925 0,9848 0,9718

27 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9983 0,9959 0,9912 0,9827

28 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9978 0,9950 0,9897

29 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9989 0,9973 0,9941

30 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9986 0,9967

31 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9993 0,9982

32 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9990

33 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9995

34 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998

35 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

36 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

37 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000



ANEXO CANEXO C

ZZ 00,,000 0 00,,001 1 00,,002 2 00,,003 3 00,,004 4 00,,005 5 00,,006 6 00,,007 7 00,,008 8 00,,0099

-3,9-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

-3,8-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,7-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,6-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,5-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002

-3,4-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002

-3,3-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003

-3,2-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005

-3,1-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007

-3,0-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

-2,9-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

-2,8-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

-2,7-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

-2,6-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

-2,5-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

-2,4-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

-2,3-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

-2,2-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

-2,1-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

-2,0-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-1,9-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

-1,8-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

-1,7-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

-1,6-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

-1,5-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

-1,4-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

-1,3-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

-1,2-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

-1,1-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

-1,0-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

-0,9-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

-0,8-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

-0,7-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148

-0,6-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

-0,5-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

-0,4-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

-0,3-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

-0,2-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

-0,1-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,00,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

TABLA DE PROBABILIDADES ACUMULADAS NORMALTABLA DE PROBABILIDADES ACUMULADAS NORMAL


(C(Contontininuauacici n)n)

ZZ 00,,000 0 00,,001 1 00,,002 2 00,,003 3 00,,004 4 00,,005 5 00,,006 6 00,,007 7 00,,008 8 00,,0099

0,00,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,10,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,20,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,30,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,40,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,50,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,60,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,70,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,80,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,90,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,01,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,11,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,21,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,31,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,41,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,51,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,61,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,71,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,81,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,91,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,02,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,12,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,22,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,32,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,42,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,52,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,62,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,72,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,82,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,92,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,03,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,13,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,23,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,33,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,43,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,53,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,63,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,73,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,83,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,93,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

TABLA DE PROBABILIDADES ACUMULADAS NORMALTABLA DE PROBABILIDADES ACUMULADAS NORMAL


ANEXO DANEXO D

00,,4 4 00,,3 3 00,,2 2 00,,115 5 00,,1 1 00,,005 5 00,,00225 5 00,,002 2 00,,00115 5 00,,001 1 00,,00008 8 00,,00005 5 00,,000033

11 0,325 0,727 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 15, 895 42,433 31, 821 42,433 63, 657 127,321

22 0,289 0,617 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 4,849 8,073 6,965 8,073 9,925 14,089

33 0,277 0,584 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 3,482 5,047 4,541 5,047 5,841 7,453

44 0,271 0,569 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 2,999 4,088 3,747 4,088 4,604 5,598

55 0,267 0,559 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 2,757 3,634 3,365 3,634 4,032 4,773

66 0,265 0,553 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 2,612 3,372 3,143 3,372 3,707 4,317

77 0,263 0,549 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,517 3,203 2,998 3,203 3,499 4,029

88 0,262 0,546 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,449 3,085 2,896 3,085 3,355 3,833

99 0,261 0,543 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,398 2,998 2,821 2,998 3,250 3,690

1010 0,260 0,542 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,359 2,932 2,764 2,932 3,169 3,581

1111 0,260 0,540 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,328 2,879 2,718 2,879 3,106 3,497

1212 0,259 0,539 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,303 2,836 2,681 2,836 3,055 3,428

1313 0,259 0,538 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,282 2,801 2,650 2,801 3,012 3,372

1414 0,258 0,537 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,264 2,771 2,624 2,771 2,977 3,326

1515 0,258 0,536 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,249 2,746 2,602 2,746 2,947 3,286

1616 0,258 0,535 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,235 2,724 2,583 2,724 2,921 3,252

1717 0,257 0,534 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,224 2,706 2,567 2,706 2,898 3,222

1818 0,257 0,534 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,214 2,689 2,552 2,689 2,878 3,1971919 0,257 0,533 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,205 2,674 2,539 2,674 2,861 3,174

2020 0,257 0,533 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,197 2,661 2,528 2,661 2,845 3,153

2121 0,257 0,532 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,189 2,649 2,518 2,649 2,831 3,135

2222 0,256 0,532 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,183 2,639 2,508 2,639 2,819 3,119

2323 0,256 0,532 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,177 2,629 2,500 2,629 2,807 3,104

2424 0,256 0,531 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,172 2,620 2,492 2,620 2,797 3,091

2525 0,256 0,531 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,167 2,612 2,485 2,612 2,787 3,078

2626 0,256 0,531 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,162 2,605 2,479 2,605 2,779 3,067

2727 0,256 0,531 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,158 2,598 2,473 2,598 2,771 3,057

2828 0,256 0,530 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,154 2,592 2,467 2,592 2,763 3,047

2929 0,256 0,530 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,150 2,586 2,462 2,586 2,756 3,038

3030 0,256 0,530 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,147 2,581 2,457 2,581 2,750 3,030

3131 0,256 0,530 0,853 1,054 1,309 1,696 2,040 2,144 2,576 2,453 2,576 2,744 3,022

3232 0,255 0,530 0,853 1,054 1,309 1,694 2,037 2,141 2,571 2,449 2,571 2,738 3,015

4040 0,255 0,529 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,123 2,542 2,423 2,542 2,704 2,971

6060 0,254 0,527 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,099 2,504 2,390 2,504 2,660 2,915

120120 0,254 0,526 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,076 2,468 2,358 2,468 2,617 2,860

VV

VALORES CRÍTICOS DE LA DISTRIBUCIÓN TVALORES CRÍTICOS DE LA DISTRIBUCIÓN T


GLOSARIOGLOSARIO

Ajuste de una recta Ajuste de una recta : aproximación a una ecuación de una serie de parejas

de datos (x,y), relacionados linealmente.

Amplitud:Amplitud: es la distancia entre el valor máximo observado y el valor mínimo

observado en un conjunto o distribución de datos.

Amplitud intercuartila:Amplitud intercuartila: es la distancia entre la primera y tercera cuartilas del

conjunto de datos.

Al Al azaazar, r, estestocáocástistico:co: este término representa una idea que debe ser

expresada en términos del concepto de probabilidad. Tenemos la noción de

que un fenómeno ocurre en forma aleatoria cuando no sigue un patrón

particular que se pueda describir directamente por ecuaciones. Así, nopodemos hacer una predicción perfecta del resultado que se obtendrá del

fenómeno. Al decir que un proceso es aleatorio estamos diciendo que sigue

alguna distribución de probabilidad.

Atributo:Atributo: característica cualitativa de un objeto o individuo tal como sexo,

país de srcen, estado marital.

Censo:Censo: decimos que realizamos un censo cuando se observan todos los

elementos de la población estadística

Coeficiente de correlaciónCoeficiente de correlación: medida de la intensidad de la relación entre dosvariables.


Coeficiente de determinaciónCoeficiente de determinación : medida en la cual las variaciones de una

variable se pueden atribuir a las variaciones en la otra variable.

Confiabilidad:Confiabilidad: indica cuán seguros podemos estar de que el proceso

seguido resulte en valores que representen verdaderamente la población. Seusa más comúnmente con intervalos de confianza. En sentido probabilístico,

si tuviéramos una confiabilidad del 95%, decimos que si repitiéramos el

proceso muchas veces, en cerca del 95% de las veces obtendríamos

resultados que reflejan verdaderamente la realidad. Cerca del 95% de los

intervalos así construidos contendrían el valor desconocido del parámetro.

CorrelaciónCorrelación: relación existente entre dos variables sin un nexo definido de

dependencia.

Datos:Datos: valores que se obtienen al observar directamente los resultados de

una variable en la muestra o población. Pueden ser numéricos o cualitativos.

Diagrama de dispersiónDiagrama de dispersión: gráfica en la cual se presentan las parejas (x,y) de

datos de una muestra.

Distribución bimodalDistribución bimodal: distribución de datos que tiene dos modas.

Distribución multimodalDistribución multimodal: distribución de datos que tiene más de una moda.

Distribución unimodalDistribución unimodal: distribución de datos que tiene una sola moda.

EstadígrafosEstadígrafos: cálculos realizados con los datos de la muestra.


Encuesta:Encuesta: método de obtener datos de una población o muestra, sin

ejercer control alguno sobre los factores que pueden afectar las

características de interés o resultados de la encuesta.

Error tipo IError tipo I: ocurre cuando rechazamos la hipótesis nula siendo ésta cierta.

Error tipo II:Error tipo II: ocurre cuando no rechazamos la hipótesis nula siendo ésta

falsa.

Error Error muestmuestral:ral: es la diferencia entre un estadístico y su parámetro

correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones del

parámetro usando muestras repetidas en torno al valor de la población; nos

da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación

basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio

de un censo completo.

Error no muestral:Error no muestral: son errores que ocurren en la selección, recolección,

anotación y tabulación de los datos. Son usualmente resultado de error

humano.

Espacio muestral:Espacio muestral: es el conjunto de todos lo posibles resultados de un

experimento.

Estadística:Estadística: es una función real de los datos, concretamente, es un valor

que se calcula a partir de los datos. Ejemplos: suma, producto, mediana,

máximo, desviación absoluta, media de los datos.


Estadística Descriptiva Estadística Descriptiva : métodos que usamos para describir los datos que

se han obtenido de la muestra o población. Nos sirve para presentar una

idea de la realidad y para hacer inferencia informal.

Estadística Inferencial:Estadística Inferencial: métodos probabilísticos que usamos para tomar

decisiones, estimar, predecir o hacer generalizaciones sobre una población

basados en una muestra.

Estadística prueba Estadística prueba : cantidad calculada de los datos maestrales, que se usa

para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula. Generalmente, un valor

grande de esta estadística es un indicador que nos apunta hacia el rechazo

de la hipótesis nula.

Estimador:Estimador: el estimador de un parámetro poblacional es una función de las

observaciones que de alguna manera resulta en un valor cercano al

parámetro poblacional. Por ejemplo, la media de la muestra es un estimador

de la media poblacional.

EstimEstimador ador insesginsesgadoado: es un estimador cuyo promedio es el valor del

parámetro desconocido. Su valor esperado es el valor del parámetro

poblacional. Un estimador insesgado es uno que tiene la propiedad de

exactitud.

EventoEvento: conjunto o colección de uno o más posibles resultados de un

experimento. Un evento ocurre cuando cualquier resultado contenido en el

evento es observado.

Eventos independientesEventos independientes: dos eventos son independientes si el que uno

ocurra no afecta la probabilidad de que el otro ocurra


Eventos mutuamente excluyentesEventos mutuamente excluyentes: son dos o más eventos que no pueden

ocurrir simultáneamente.

Exactitud:Exactitud: una medida (o un instrumento para medir) tiene la propiedad de

exactitud cuando las observaciones que se toman se distribuyen alrededor

del valor "real". El valor "real" es un parámetro de la población cuyo valor es

usualmente desconocido, tal como la media poblacional. Un estimador de un

parámetro es exacto cuando es insesgado, es decir, cuando su valor

esperado o promedio es igual al parámetro que se estima. Por ejemplo, la

media muestral es un estimador exacto (insesgado) para la media

poblacional.

ExperimentoExperimento: es un proceso que cuando lo llevamos a cabo resulta en uno y

sólo uno de los posibles resultados que podríamos obtener (probabilidad).

Generalmente, son datos observados de los miembros de la población o

muestra, ejerciendo control sobre uno o más de los factores que podrían

alterar la característica de interés o los resultados del experimento (ciencia).

Función de densidad:Función de densidad: se asocia a una variable aleatoria continua X. Es una

función, f(x), no negativa y su integral sobre todos los números reales resulta

en 1. El área bajo f(x) y sobre el intervalo [a, b] (el integral de f(x) desde a

hasta b) nos da la probabilidad de que X adquiera algún valor en ese

intervalo: P( a <= X <= b).

FunFuncióción n de de disdistritribucbución ión acuacumulmulatiativa va : se asocia a cualquier variable

aleatoria X. F(x) nos da la probabilidad de que X sea menor o igual al

número x: F(x) = P( X ≤ x).

Función de probabilidadFunción de probabilidad: se asocia a una variable aleatoria discreta X. Es

una función, f(x), no negativa, tal que la suma sobre todos los posiblesEstadísticaEstadística 307

valores que puede asumir X resulta en 1. La función de probabilidad de X

evaluada en un número a es igual a la probabilidad de que X sea igual al

número a: f(a) = P( X = a).

HipótHipótesis esis nula nula : es una aseveración sobre el valor de un parámetro

desconocido de una población. Se presume cierta hasta tanto se demuestre

lo contrario. Esta hipótesis se rechaza o no (no decimos se acepta)

dependiendo del valor de la estadística prueba o del valor p al nivel de

significancia deseado.

IndividuosIndividuos: se lla ma unidad estadística o individuo a cada uno de los

elementos que componen la población estadística. El individuo es un ente

observable que no tiene por qué ser una persona, puede ser un objeto, un

ser vivo, o incluso algo abstracto.

Margen de error:Margen de error: cuando deseamos estim ar el valor de un parámetro,usamos una estadística para ello y construimos un intervalo alrededor de esa

estadística. Decimos entonces que con una confiabilidad establecida, el

intervalo incluye el valor desconocido del parámetro. El margen de error es la

mitad del ancho de ese intervalo.

MétodMétodo o de de mínimínimos mos cuadracuadradosdos: método para ajustar una recta, que hace

mínimo el promedio de los errores de las estimaciones de Y, a partir de X.

Muestra:Muestra: es un subconjunto finito de elementos de la población. A las

características que poseen los elementos de la población y que son objeto

de estudio se denominan variables. A cada valor medido de la variable le

llamamos dato.


Nivel de significancia Nivel de significancia : probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es

cierta. Probabilidad de cometer un error tipo I. Este nivel es seleccionado por

el investigador antes de realizar el experimento. Los valores más

comúnmente seleccionados son niveles de .01, .05 y .10.

ParámetrosParámetros: cálculos realizados con los datos de la población.

PruPrueba eba de de hiphipóteótesissis:: es un procedimiento por el cual establecemos

hipótesis nula y alterna con el fin de resolver un problema. El procedimiento

incluye el diseño y selección de la muestra. Luego de tomados los datos de

la muestra, se calcula el valor de una estadística prueba. A un nivel de

significancia previamente seleccionado, la estadística prueba se compara

con el valor obtenido de la tabla de la distribución estadística apropiada. Esa

comparación nos lleva a tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.

Población:Población: llamamos población estadística, universo o colectivo al conjunto

de referencia sobre el cual van a recaer las observaciones.

RegresiónRegresión: relación que se da entre una variable independiente y otra

dependiente.

Significancia:Significancia: corresponde a la probabilidad de error tipo I que estamos

dispuestos a permitir cuando hacemos una prueba de hipótesis. Usualmente

se expresa como un porcentaje. Los valores más comunes son 1%, 5%,

10%. Una significancia del 5% quiere decir que de cada cien pruebas donde

rechacemos la hipótesis nula, nos permitimos la posibilidad de haberlarechazado en 5 ocasiones a pesar de ser cierta. El nivel de significancia se

selecciona de acuerdo con una amplia gama de criterios que incluyen elEstadísticaEstadística 309

costo de cometer error tipo I y la tradición en el área de contenido sobre el

cual se está haciendo la prueba.

TabTabla la de de concontintingengencia cia : es una tabla que sirve para clasificar a los

miembros de un grupo de acuerdo con algunas características cualitativas o

cuantitativas.

VariableVariable: característica de un conjunto de elementos.

Variable aleatoria:Variable aleatoria: es una función que asigna un valor numérico a cada

suceso elemental del espacio muestral. Es decir, una variable aleatoria es

una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del

experimento aleatorio. La variable aleatoria la notaremos con letras en

mayúscula X, Y, ... y con las letras en minúscula x, y, ... sus valores.

Variable aleatoria discreta:Variable aleatoria discreta: se dice que una variable aleatoria X es discretasi puede tomar un número finito o infinito, pero numerable, de posibles

valores. Una variable aleatoria discreta se obtiene después de sumar o

contar; trabaja con números enteros, ejemplo: número de artículos

defectuosos en una producción, número de artículos vendidos por día,

número de personas que se presentan a la universidad, etc.

VariabVariable le aleatoaleatoria ria conticontinua:nua: se dice que una variable aleatoria X es

continua si puede tomar un número infinito (no numerable) de valores, o bien,

si puede tomar un número infinito de valores correspondientes a los puntos

de uno o más intervalos de la recta real. Una variable aleatoria continua se

obtiene después de hacer una medición; trabaja con números reales.


Ejemplo: temperatura, estatura, presión, tiempo, área, dimensiones, peso

etc.

Variable dependienteVariable dependiente: aquella cuyos valores dependen de los valores que

tome la variable independiente.

VariabVariable le indepindependienendientete: aquella que puede manipular el investigador,

determinando los valores que puede tomar.


BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAFUNDAMENTALL

ANDERSON, David; SWEENEY, Dennis y WILLIAMS, Thomas. Estadísticapara administración y economía. 8ª edición. Thomson, México, 2003. 884 p.

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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADABIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

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guÍa didÁctica y mÓdulo un espacio muestral y su técnica de conteo acorde al ... unidad...

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