Corporacin Universitaria Minuto de Dios

Programa: Negocios y Mercadeo Curso: Estadstica 2 prof: Nolberto Rivera Chazatar Cel: 313 7149790 nirch6@gmail.com

GUA No. 2

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES

Esperanza Matemtica o Valor Esperado

Se dice que la distribucin de probabilidad muestra los resultados esperados al realizar un experimento, junto a

la probabilidad esperada para cada uno de ellos. Es decir, se hace referencia a los valores posibles de una

variable con sus respectivas probabilidades.

CONCEPTOS BSICOS

ESPACIO MUESTRAL n (E): en un experimento, es el conjunto de todos los resultados posibles.

EVENTO ALEATORIO n (A): es un subconjunto del espacio muestral.

VARIABLE ALEATORIA: cuando los valores que ella toma estn determinados por factores en los

que interviene el azar. (Valores de probabilidad mediante funciones matemticas).

Ejemplo: Vamos a analizar el siguiente experimento nmero posible de caras al lanzar tres monedas.

Solucin:

1. Identificamos el espacio muestral haciendo un diagrama de rbol.

n (E) = 8

Valores de la variable aleatoria X : 0, 1, 2, 3

2. Teniendo en cuenta que el espacio muestral constituye una poblacin, procedemos a encontrar la media ponderada

NOTA: Interpretacin: en un nmero infinito de lanzamiento esperamos obtener tcnicamente un

promedio de caras por lanzamiento.

C

C

S

C

S

C

S

(C, C, C)

(C, C, S)

3

2

(C, S, C)

(C, S, S)

2

1

S

C

S

C

S

C

S

(S, C, C)

(S, C, S)

2

1

(S, S, C)

(S, S, S)

1

0

El valor esperado E(x) (esperanza matemtica), de una variable aleatoria x, es simplemente la media

aritmtica ponderada de todos los posibles valores numricos de la variable con las probabilidades

respectivas usadas como ponderaciones, el valor esperado de una variable aleatoria discreta es:

( ) ( ).

Para construir un cuadro de distribucin de probabilidad que es anlogo en su forma al cuadro realizado en estadstica descriptiva (distribucin de frecuencias).

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

X: nmero de caras Probabilidad de X Producto de X por P(x)

X: variable aleatoria P(x) X . P(x)

0 1/8 0

1 3/8 3/8

2 3/8

3 1/8 3/8

Conclusin: Para hallar E(x) a partir del cuadro, observamos la ltima columna y hallamos la media ponderada

as:

E(x) = X . P(x) E(x) = 1,5

La desviacin estndar de una variable aleatoria es sencillamente la raz cuadrada de la varianza.

Ejemplo:

En un puesto de revistas, se registraron las ventas diarias as: vender 30 revistas corresponde a una probabilidad

de 0,3; vender 35 revistas corresponde a una probabilidad de 0,5 y vender 40 revistas corresponde a una

probabilidad de 0,2.

a. Cul es la venta diaria esperada para este puesto?

b. Determinar la desviacin estndar ()

Elaboramos un cuadro de la distribucin de probabilidades.

X: nmero de revistas

vendidas P(x) X . P(x)

30 0,3 9,0

35 0,5 17,5

40 0,2 8,0

P(x) = 1

X . P(x) = 34,5 revistas

Valor esperado

Interpretacin: se espera que la venta de

revistas sea de 35 diarias.

X . P(x) = 1,5

LA VARIANZA

La varianza de una variable x se expresa con Var(x); se le calcula respecto de E(x) como la media de la

distribucin de probabilidad, la forma de clculo de la varianza que no requiere de la determinacin de

desviaciones respecto de la media es:

( ) ( ) ( ) [ ( )]

( ) [ ( )]

Para hallar la desviacin estndar, hallamos primero la varianza ( ) [ ( )]

Adems ( ) ( )

= (30)2 x 0,3 + (35)2 x 0,5 + (40)2 x 0,2

= 1202,50

2 = 1202,50 1190, 25

A

= 3,5 Desviacin estndar o tpica

Indica el grado de dispersin en la venta de revistas, o sea que las ventas diarias fluctan entre 31 y 38 revistas.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS

Distribucin Binomial

Se aplica cuando los resultados de una variable aleatoria se pueden agrupar en 2 clases excluyentes, llamada

xito o fracaso. Sus reas de aplicacin incluyen inspecciones de calidad, mercadotecnia, mediana y otras.

Ejemplos de este tipo de situaciones:

1. Productos manufacturados clasificados como defectuosos o satisfactorios. 2. Las respuestas de un examen de opcin mltiple pueden ser correctas o incorrectas. 3. Hay 10 aspirantes para una sola vacante de empleo, el resultado se puede establecer como aceptado o no

aceptado.

4. Las llamadas telefnicas pueden ser locales o de larga distancia.

Para saber si podemos utilizar la distribucin binomial, se deben cumplir las siguientes condiciones:

i - existen (n) observaciones o ensayos idnticos.

ii - cada ensayo tiene dos posibles resultados, uno denominado xito y el otro fracaso iii - las probabilidades de xito (P) y que d fracaso [q=1-P] se mantienen constantes para todos los

ensayos.

iv - ( ) (binomio de Newton).

Para calcular la distribucin binomial, utilizamos la siguiente frmula binomial

( ) ( )

EJEMPLO:

Se hace un estudio de un proceso mecnico en que histricamente 0,8 de las piezas producidas han sido de buena

calidad, se desea calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 piezas de buena calidad de cuatro piezas.

Datos del problema:

probabilidad de piezas producidas de buena calidad

probabilidad de piezas producidas de mala calidad

nmero establecido de xitos (nmero deseado)

nmero de ensayos

( ) ( ) ( ) ( )

Interpretacin: la probabilidad de obtener 3 piezas de buena calidad de cuatro es 0,41, es decir 41%

La distribucin binomial tiene un valor esperado o una media () y una desviacin estndar (), que le determinan con las siguientes frmulas:

Distribucin de Poisson

La distribucin de Poisson ha resultado aplicable a muchos procesos en los que hay una observacin por unidad

de tiempo o de espacio.

Ejemplos de procesos de este tipo:

1. El nmero de clientes que llega a una ventanilla de pagos en un banco en un perodo de 5 minutos. 2. En los problemas de seguros, para verificar el nmero de siniestros en una unidad de tiempo. 3. Los accidentes registrados en una fbrica por da. 4. El paso de autos registrados en un peaje por hora 5. Las llamadas registradas cada 10 minutos.

Probabilidad de x

aciertos en n sucesos

La distribucin de Poisson, sirve para describir las probabilidades del nmero de ocurrencias con respecto a un

intervalo continuo, generalmente de tiempo o espacio.

La frmula para la distribucin de Poisson es:

donde:

nmero de ocurrencias (xitos) nmero promedio de ocurrencias por intervalo de tiempo o espacio ( ) base de los logaritmos Neperianos (2,72)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS

Estos tipos de distribuciones corresponden a variables aleatorias continuas, los que admiten todos los valores

posibles entre dos valores dados. Dado que existe un nmero infinito de medidas fraccionarios posibles, no se

pueden enlistar todos los posibles valores con su probabilidad correspondiente. Se define entonces una ( ), para cualquier valor establecido de la variable aleatoria ( ). La representacin grfica de esta funcin se llama curva de probabilidad, y el rea entre dos puntos cualesquiera bajo la curva indica la probabilidad de ocurrencia

aleatoria de un valor entre esos dos puntos.

DISTRIBUCIN NORMAL

La distribucin que vamos a estudiar, tiene la caracterstica fundamental que la Moda = Mediana = Media, por

lo tanto se convierte en un modelo terico o ideal, a sta distribucin se le conoce como la CURVA NORMAL o

CAMPANA DE GAUSS.

CARACTERSTICAS DE LA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD NORMAL

1. La curva tiene slo un punto mximo (unimodal), su forma es de campana (Campana

de Gauss).

2. La media () est ubicada en el centro de la curva normal.

3. La media, moda, mediana, tienen el mismo valor en la curva normal.

4. Las dos colas de la curva normal se extienden indefinidamente y no tocan el eje horizontal.

(Es Asinttica)

5. Para definir una distribucin de probabilidad normal especfico, se necesita slo dos parmetros: la

media () y la deviacin estndar ().

Regiones simtricas

ColasColas

MediaModa

Mediana

Curva de frecuencia para la distribucin de Probabilidad Normal : Curva Normal

REAS BAJO LA CURVA NORMAL: el rea total bajo la curva normal es 100%, por tanto debe tratarse como probabilidad, las reas

bajo la curva (rea sombreada):

1. Generalmente el 68% de todos los valores de una poblacin de distribucin normal caen dentro de 1 desviacin estndar (ms y

menos) a partir de la media.

2. Aproximadamente el 95,5% de todos los valores de una poblacin distribuida normalmente caen dentro de 2

desviaciones estndar (ms o menos) a partir de la media.

3. Aproximadamente el 99,7% de todos los valores de una doble distribucin normalmente caen dentro de 3 desviaciones

estndar (ms y menos) a partir de la media.

Todo valor de (x) precedente de una poblacin con distribucin normal

puede convertirse en el equivalente valor normal estndar de mediante la frmula

En el anexo se indica proporciones de rea de varios intervalos de valores para la distribucin normal, donde el

lmite inferior del intervalo siempre corresponde a la media. Esta tabla se usa en vez de la integracin de

funciones

EJEMPLO

Se sabe que el ciclo de vida de un componente elctrico sigue una distribucin normal con una media = 2000

horas y una desviacin estndar =200 horas. La probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure entre 2000 y 2400 horas se determina de la siguiente manera:

El lmite inferior del intervalo se encuentra en la media de la distribucin, y coincide por lo tanto con el valor de

. El lmite superior es:

Interpretacin: buscamos en tabla de Distribucin Normal

Para y corresponde a 0,4772 que es la probabilidad de que un componente elctrico dure entre 2000 y

2400 horas, con una confiabilidad aproximada del 47,72%.

3

1 400 1 600 1 800 2 000 2 200 2 400 2 600 X, horas

= 2 000

= 200

f(X)

2 1 0 +1 +2 +3 (escala normal estndar)

TALLER

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES

1. En un ejercicio de normal se dan valores de = 32 y = 3,2; encontrar la probabilidad para los siguientes valores de :

b) c)

2. En la siguiente tabla se identifica la probabilidad de que una red de cmputo se halle fuera de operacin durante un nmero indicado de perodos por semana en su fase inicial de instalacin. Calcule:

a. El nmero esperado de veces por semana en que la red estar fuera de operacin. b. La varianza. c. La desviacin estndar.

Nmero de perodos

(x) 4 5 6 7 8 9

Probabilidad

P(x) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06

3. En el lanzamiento de 4 monedas Cul es la probabilidad de obtener?

a) Exactamente 2 caras. b) Por lo menos 2 caras. c) Exactamente 3 caras. d) Con mximo 3 caras.

4. La probabilidad de que un prospecto de venta aleatoriamente elegido realice una compra es de 0,2. Si un representante de ventas visita a seis prospectos Cul es la probabilidad de que realice exactamente cuatro

ventas?.

5. Las calificaciones reportadas en una prueba de aprovechamiento de vigencia nacional para graduados de

preparatoria tiene una media de = 500 con la desviacin estndar = 100. La distribucin de calificaciones es aproximadamente normal. Cul es la probabilidad de que la calificacin de un graduado

aleatoriamente elegido se encuentre entre 500 y 650?

6. A causa de las condiciones econmicas imperantes, una empresa informa que 30% de las cuentas por cobrar a otras empresas comerciales estn sobrevencidas. Si un administrador financiero toma una muestra aleatoria

de cinco de esas cuentas, determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

a) ninguna de las cuentas est sobrevencida b) exactamente dos cuentas estn sobrevencidas c) exactamente 20% de las cuentas estn sobrevencidas

7. En un programa de entrenamiento diseado para promover las aptitudes administrativas de los supervisores del nivel medio, se ha detectado en estudios anteriores que el tiempo medio dedicado al programa es de 50

horas y que sta variable aleatoria tiene una desviacin estndar de 10 horas. Cul es la probabilidad de que

un participante seleccionado al azar requiera entre 50 y 65 horas para completar el programa.

8. El nmero de vagonetas solicitadas en venta a una agencia de alquiler de automviles durante un perodo de 30 das se identifican en la siguiente tabla:

Demanda posible X 3 4 5 6 7 8

No. de das 3 7 12 14 10 4

a. Construir su correspondiente distribucin de probabilidades. b. Hallar E(x) y la desviacin estndar.

9. Se ha determinado que la vida til de cierta marca de llantas de alto rendimiento sigue una distribucin

normal con = 38.000 millas y = 3000 millas. Cul es la probabilidad de que una llanta aleatoriamente seleccionada tenga una vida til entre 40.000 y 45.000 millas? Si un distribuidor hace un pedido de 500

llantas para su venta aproximadamente qu nmero de llantas corresponde a este evento?

10. Una firma de arrendamientos de estructuras para la limpieza de edificios tiene disponible 3 estructuras para alquilar por da, se observa que el promedio de estructuras alquiladas por da durante un cierto perodo es

2,5. Si se asume que la demanda de estructuras obedece a la distribucin de Poisson, encontrar el porcentaje

de das en el cual:

a) ninguna estructura es alquilada b) las 3 estructuras son alquiladas

11. El proceso de empaque de una compaa productora de cereales para el desayuno ha sido ajustado para que

cada paquete contenga un promedio de = 13 oz de cereal, la desviacin estndar del peso es = 0,1 oz, determine

a) La probabilidad de que un paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13 y 13,2 oz de cereal. b) Cul es la probabilidad de que el peso del cereal exceda de 13,25 oz? c) Cul es la probabilidad de que el peso del cereal se halle entre 12,9 y 13,1 oz?

12. La probabilidad de que un estudiante al salir de un establecimiento educativo se encuentre una billetera con dinero, es apenas del 0,06%, es decir, P = 0,0006. Si en ese momento transitan 950 estudiantes Cul es la

probabilidad de que, por lo menos dos de ellos (2) tengan la suerte de encontrarla?

ANEXO