guia induccion
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Ejemplo 1
Demuestre por inducción matemática que:
Si n es un entero positivo, entonces n ( n + 1 ) es divisible por 2 .
a ) Sea n = 1 , entonces:
n ( n + 1 ) = 2 ( Verdadero ) .
b ) Sea n = k , entonces:
k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Hipótesis de inducción ) .
c ) Sea n = k + 1 , entonces:
( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 ( Tesis ) .
d ) Demostración:
( k + 1 ) ( k + 2 ) = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 )
k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Por hipótesis de inducción ) .
2 ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Entero par ) .
Por lo tanto ( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 .
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Ejemplo 2
Demuestre por inducción matemática que:
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 n – 2 ) = 2 n 2
a ) Sea n = 1 , entonces:
4 n – 2 = 2
2 n 2 = 2 ( Verdadero ) .
b ) Sea n = k , entonces:
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) = 2 k 2 ( Hipótesis de inducción ) .
c ) Sea n = k + 1 , entonces:
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 ( k + 1 ) 2 ( Tesis ) .
d ) Demostración:
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) = 2 k 2 ( Por hipótesis de inducción ) .
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 k 2 + ( 4 ( k + 1 ) – 2 )
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 k 2 + 4 k + 2
Por lo tanto 2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 ( k + 1 ) 2
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Ejemplo 3
Demuestre por inducción matemática que:
Si n es un entero positivo, entonces a 2 n – b 2 n es divisible por a + b .
a ) Sea n = 1 , entonces:
a 2 n – b 2 n = a 2 – b 2 = ( a + b )( a – b ) ( Verdadero ) .
b ) Sea n = k , entonces:
a 2 k – b 2 k es divisible por a + b ( Hipótesis de inducción ) .
c ) Sea n = k + 1 , entonces:
a 2 ( k + 1 ) – b 2 ( k + 1 ) es divisible por a + b ( Tesis ) .
d ) Demostración:
a 2 k – b 2 k es divisible por a + b ( Por hipótesis de inducción ) .
a 2 ( a 2 k – b 2 k ) es divisible por a + b .
b 2 k ( a 2 – b 2 ) es divisible por a + b .
a 2 ( a 2 k – b 2 k ) + b 2 k ( a 2 – b 2 ) es divisible por a + b .
a 2 k + 2 – a 2 b 2 k + b 2 k a 2 – b 2 k + 2 es divisible por a + b .
Por lo tanto a 2 ( k + 1 ) – b 2 ( k + 1 ) es divisible por a + b .