COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 2011 - Prof. Cecilia Galimberti MATEMÁTICA 4° AÑO B GUÍA N° 2 - NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicio 1: Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones:

Ecuación Resolución N Z Q I R x – 3 = 1

x + 2 = 1

x . 2 = 1

x² – 2 = 0

x² + 1 = 0

Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como , ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a –1.

Para eso definimos el símbolo i para indicar un número tal que: i² = – 1 ó i =

Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones.

Ej: x² + 1 = 0 x² + 2 = 0 x² = – 1 x² = – 2

x = i x = – i x = i x = – i

Ya que: i² + 1 = 0 y (–i)² + 1 = 0 Ya que: ( i)² + 2 = 0 y (– i)² + 2 = 0

Ejercicio 2: Utilicen el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x² + 4 = 0 b) x² + 5 = 0 c) x² – 10 = 2 x²

d) – x² – 9 = 0 e) 9 x² + 16 = 0 f) ( x + 5 )² = 10 x

g) h) ( x – 2 ) ( – x – 2 ) = 20 i) ( x – 8 )² = – 16 x

j) 3 ( 2 – 2 x ) = ( x – 4 ) ( x – 2 ) k) ( 2 x² – 1 )² = ( 1 + 2 x ) ( 1 – 2 x ) – 1

1

Ejercicio 3: Completen la siguiente tabla:

Número ComplejoZ

Parte RealRe (z)

Parte ImaginariaIm(z)

¿es complejo, real o imaginario puro?

5 + 3 i

2 8

– 4 2/3

1 –3

2 – i5 i

0 4

4 0

0 0

CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes:* El conjugado de z es = a – bi ( la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta)* El opuesto de z es – z = – a – bi (la partwe real y la parte imaginaria son opuestas)

2

Ejemplos: = – 1 – 2 i = – 1 + 2 i – = 1 + 2 i= 4 i = – 4 i – = – 4 i= 6 = 6 – = – 6

Ejercicio 4: Completen el siguiente cuadro:

z – z

⅔ + ¾ i

2 – 6 i

– 7 + i– 3

– i2 – ½ i

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN N° COMPLEJO

Ejercicio 5: Representar los siguientes números complejos:= – 1 – i = – 3 + 2 i = 2 – 3i

Ejercicio 6: Dado , graficar . ¿Qué relación existe entre ellos?

MÓDULO Y ARGUMENTO

|Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos:

3

a) 5 – 2 i b) –3 + ½ i c) ⅔ + i d) – 1 – i

FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO

* Forma Binómica: z = 2 + 3 i

* Forma Cartesiana: z = ( 2 ; 3 )

* Forma Polar: z = ( |z| , α ) donde |z| es el módulo , α el argumento

|z| = = ; α = arctg(3/2) = 56°18’35’’ z = ( , 56°18’35’’)

* Forma Trigonométrica: z = |z| . (cos α + i sen α ) |z| módulo α argumento

z = .(cos 56°18’35’’ + i sen 56°18’35’’)

Verificamos : z = 3,605 . ( 0,554 + i 0,832)z = 1,999…. + 2,999…i ( aprox 2 + 3i)

Ejercicio 8: Expresar los siguientes complejos en forma polar:

a) z = – 3 i b) z = – 2 – 5 i c) z = d) z =

Ejercicio 9: Expresar en forma trigonométrica los n° complejos del ej 8

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

En los siguientes ejemplos pueden observar cómo sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números complejos:

Suma: ( 2 + 3 i ) + ( 1 – 5 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 3 – 5 ) i = 3 – 2 i

Resta: ( 2 + 3 i ) – ( 1 – 5 i ) = ( 2 – 1 ) + ( 3 –(–5) i) = 1 + 8 i

Multiplicación: ( 2 + 3 i ) . ( 1 – 5 i ) = 2 . 1 + 2 . (–5i) + 3 i.1 + 3i .(–5i) = = 2 – 10 i + 3 i – 15 i² = 17 – 7 i

(recordar que i² = –1)

División:

4

Para resolver la división de dos números complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos a ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo:

= = = =

Multiplicar por una fracción de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1, por lo tanto, la igualdad no se altera.

Ejercicio 10: Consideren los complejos: = –2 + i ; = 3 + 5 i ; = 4 – i y resuelvan las siguientes operaciones:

a) + – = b) + – = c) – = d) 5. = e) ( + ). = f) (– + ).( – ) = g) . – = h) ( )² =

Ejercicio 11: Consideren los complejos: = 3 – i ; = – 4 i ; = 7 + 2 i y resuelvan las siguientes divisiones:

a) b) c) d) e) = f) =

Ejercicio 12: Completen las potencias de i:

¿Qué regularidad observan?

Ejercicio13: Calcular las siguientes potencias:

a) e) i)

b) f) ( j)

c) g) ( k) x + 1 =

d) h) ( l) x – i =

EJERCITACIÓN

5

14) Adición y Sustracción de Números Complejos:

a) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) + ( 4 + 5 i ) = R: ( 22, 10) b) ( 7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i ) – ( – 5 + 2 i ) = R: ( 9 , 7 )

c) ( 1 + ½ i ) + ( 3 – 3/2 i ) + ( – 4 + i ) =R: ( 0 )

d) ( – 8 + + (– R: (– 10 + i )

e) ( R: ( – i )

f) ( R: ( )

15) Multiplicación y División de Números Complejos:

a) ( 10 + 2 i ) . ( 3 + 15 i ) = R: ( 156 i )

b) ( – 5 + 2 i ) . ( 5 + 2 i ) = R: ( – 29 )

c) ( – 1 + i ) . ( – 1 – i ) = R: ( 2 )

d) – R: (4/5)

e) ( i) . ( i ) = R: (5 i )

f) ( R: ( 1 + 6 i )

g) ( – 4 + 2 i ) : ( 1 + i ) = R: ( – 1 + 3 i )

h) ( – 1 + i ) : ( – 1 – i ) = R: ( – i )

i) (4 + 2 i ) : i = R: ( 2 – 4 i )

j) (– R: ( i )

k) ( i) : ( i ) = R: (– )

16) Potencia de Números Complejos:

a) i = b) i =c) i = d) i =e) ( – i ) = f) ( – i ) =g) ( 1 + i )² = (R: 2i) h) ( 4 – 3 i)² = (R: 7 – 24 i)

i) ( )² = (R: – ) j) ( )² = (R: – )

17) Ejercicios combinados en C:

a) = (R: ) d) =

6

b) = (R: ) e)

c) (R: ) f) =

18) Ecuaciones en C: Hallar el valor de z:

a) z . ( 2 – 3 i ) + ( – 2 – i ) = 3 – 2 i R: ( 1 + i )

b) ( – 1 , – 2 ) – z = ( 1 , – 1 ) R: (–2, –1)

c) ( 2 , – 3 ) + z = ( –1 , 2 ) R: ( – 3 , 5 )

d) ( – 2 , ) + z = ( – 2 , 3 ) – z R: ( 0 , )

e) ( 1 – i ) . z = – 1 + i R: ( – 1 )

f) = ( 2 , 2 ) R: ( 6 , 1 )

g) ( 2 , – 2 ) . z – ( 8 , – 2 ) = ( 0 , 2 ) R: ( 2 , 2 )

h) + ( 1 , 0 ) = ( + 1 , ) R: ( 0 , – 1 )

i) 2 i + z = 3 – i R: ( 3 – 3 i )

j) ( 2 – 3 i ) . z = ( 2 + 3 i ) . i R:( – )

k) 2 + i + 3 z = 2 – i R: ( – 2/3i)

l) – ( 1 + 2 i ) = i R: (

ll) R: ( 2 – i)

m) R:

n) R: ( 1 – i )

o) i R: ( )

p) z = z i – ( – i ) R: ( –1 )

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