guia04 math

Clculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Prof. Farith J. Briceo N.

Objetivos a cubrir Cdigo : MAT-CDI.4

Primitiva de una funcin real. Mtodo de integracin: Integrales directas

1. Demuestre que si f (x) = arcsenx, entonces f 0 (x) =1p1 x2

2. Demuestre que si f (x) = arctanx, entonces f 0 (x) =1

1 + x2

3. Demostrar que si f (x) = ln jxj, entonces f 0 (x) = 1x

4. Suponga que

f (x) =d

dx

1px y g (x) = d

dx(x+ 2)

Encuentre

1:

Zf (x) dx 2:

Zg (x) dx 3:

Z[f (x)] dx 4:

Z[g (x)] dx

5:

Zf (x)

4dx 6:

Z2g (x) dx 7:

Z[f (x) + g (x)] dx 8:

Z[f (x) g (x)] dx

5. Hallar una funcin f tal que se cumpla la siguiente igualdad

1:

Zf (x) dx = x+ C 2:

Zf (x) dx = mx+ C 3:

Zf (x) dx =

x2

2+ C

4:

Zf (x) dx =

x3

3+ C 5:

Zf (x) dx =

x4

4+ C 6:

Zf (x) dx = 2

px+ C

7:

Zf (x) dx =

2px3

3+ C 8:

Zf (x) dx =

33px4

4+ C 9:

Zf (x) dx =

33px2

2+ C

10:

Zf (x) dx =

2px+ C 11:

Zf (x) dx =

3px

3+ C 12:

Zf (x) dx =

xn+1

n+ 1+ C

13:

Zf (x) dx = ex + C 14:

Zf (x) dx = ln jxj+ C 15:

Zf (x) dx = ln j3xj+ C

16:

Zf (x) dx = senx+ C 17:

Zf (x) dx = cosx+ C 18:

Zf (x) dx = tanx+ C

19:

Zf (x) dx = secx+ C 20:

Zf (x) dx = cscx+ C 21:

Zf (x) dx = cotx+ C

22:

Zf (x) dx = arctanx+ C 23:

Zf (x) dx = arcsenx+ C 24:

Zf (x) dx =

sec2 x

2+ C

25:

Zf (t) dt = arctan

t2+ C 26:

Zf (x) dx =

sec3 x

3+ C 27:

Zf (t) dx =

tan2 t

2+ C

6. Hallar las primitivas de las siguientes funciones

1:

Zdx 2:

Zm dx 3:

Zx dx 4:

Zx2 dx 5:

Zx3 dx

1

6:

Z1pxdx 7:

Z px dx 8:

Z3px dx 9:

Z13pxdx 10:

Zxn dx

11:

Zex dx 12:

Z1

xdx 13:

Zcosx dx 14:

Zsenx dx 15:

Zsec2 x dx

16:

Zsecx tanx dx 17:

Zcscx cotx dx 18:

Zcsc2 x dx 19:

Zdx

1 + x2

20:

Zdxp1 x2

7. Con los resultados obtenidos en el ejercicio 6 completar la siguientes tabla

Tabla de integrales bsicas

Zk dx = ; k constante

Zxn dx = ; para n 6= 1

Z1

xdx =

Zex dx =

Zsenx dx =

Zcosx dx =

Zsec2 x dx =

Zcsc2 x dx =

Zsecx tanx dx =

Zcscx cotx dx =

Z1

1 + x2dx =

Z1p1 x2 dx =

8. Calcular las siguientes integrales

1:

Z6 dx 2:

Z3 dx 3:

Ze3 dx 4:

Zx2 dx 5:

Z px dx

6:

Zx3=7 dx 7:

Z2

x6dx 8:

Z3

t4dt 9:

Z3p! d! 10:

Zdw

w2

11:

Z p2

t3dt 12:

Zdxnpx

13:

Z5a2x6 dx 14:

Z5a2x6 da 15:

Zb3

p3dp

16:

Zb3

p3db 17:

Zx

p2dx 18:

Za

xp2dp 19:

Zsec2 d 20:

Zcsc2 d

21:

Z(3x 5) dx 22:

Z(3xpx) dx 23:

Z 1

t2 1t4

dt 24:

Z pt 2p

t

dt

25:

Z 3pr +

13pr

dr 26:

Z 4pt5 +

5pt4dt 27:

Z(cosx 2 senx) dx

28:

Z(2x+ senx) dx 29:

Z(2x+ secx tanx) dx 30:

Z(cos + 2 sen ) d

31:

Z 3t2 2 sen t dt 32: Z (3 sen t 2 cos t) dt 33: Z x4=3 2x1=3 dx

2

34:

Z 5px2 1

x3

dx 35:

Z y9 2y5 + 3y dy 36: Z x2 + 1 + 1

x2

dx

37:

Z 5t2 4t+ 3 dt 38: Z 1 2x 3x2 dx 39: Z 5y4 6y2 + 14 dy

40:

Zy2y2 3 dy 41: Z u (pu+ 3pu) du 42: Z pxx2 1

x

dx

43:

Zxpx dx 44:

Zypy + 3

py 2 dy 45: Z (x 1) (3x+ 2) dx

46:

Z(px+ 1) (xpx+ 1) dx 47:

Zx (x+ a) (x+ b) dx 48:

Zt6 t2t4

dt

49:

Zx2 + 1p

xdx 50:

Zx 13px2

dx 51:

Zs4 8s2

ds 52:

Zx+

3px4px

dx

53:

Z4x6 + 3x5 8

x5dx 54:

Zx3 3x2 + 1p

xdx 55:

Zx4 2x3 + 1

x2dx

56:

Z x2 + 1

2dx 57:

Z x3 12 dx 58: Z x+ 1

x

2dx 59:

Z 2pt2 dt

60:

Z y2 + 4y

2dy 61:

Z a+ bt3

2dt 62:

Z a+ bt3

2da

63:

Z(x+ 1)

3dx 64:

Z pt 1

5pt2

3dt 65:

Zxx2 + 1

3dx

66:

Z(xm xn)2p

xdx 67:

Z x2 + 1

x2 2

3px2

dx 68:

Z(at)

1=ndt

69:

Z(nx)

1nn dx 70:

Zx4 1x2 + 1

dx 71:

Zx3 8x 2 dx 72:

Zx2 4x 2 dx

73:

Zx3 1x 1 dx 74:

Zx2 162px dx 75:

Zx4 2x2 + 1

x+ 1dx 76:

Z sen2 t+ cos2 t

dt

77:

Zsen 2t

sen tdt 78:

Zsen 4x dx

cos 2x cosx79:

Zcos 2x

cosx+ senxdx 80:

Z(senx+ cosx)

2

senxdx

81:

Ze99 ln x dx 82:

Ze2x+3

exdx 83:

Ze2x 3ex

exdx 84:

Zcos 2x dx

cosx senx

85:

Zcos2 x

1 + senxdx 86:

Zsen2 x dx

cos2 (x=2)87:

Zcos 2x

1p2 cosx dx 88:Zcos2

t

2dt

89:

Zcos2 (arcsenx)

x5dx 90:

Zcos2 (arcsenx) 7

x5dx 91:

Zsec4 (arctanx)

sen2 (arctanx2)dx

92:

Z2 sen2 x+ 5 senx 3

senx+ 3dx 93:

Zdx

sen4 x cos4 x sen2 x 94:Ze7 ln x1 dx

95:

Z ln7et4t6

dt 96:

Zx log3 x

lnpxdx 97:

Zxn logn x

lnpx

dx 98:

Z1 ex1 ex dx

99:

Z5x+ 8x2 3x3 6

x5 3x4 dx 100:Zsen3 x+ 2 sen2 x senx 2

cos2 xdx

101:

Z5

3px2 3x 3px+ 2p2 3px dx 102:

Zx4 log4 x lnx

ln 4px

dx 103:

Zlogpx log3 4

px

log5 xdx

3

104:

Ze3x e2x 5ex + 2e2x 3ex + 1 dx 105:

Z 5px3 (x 1)px 1 dx 106:

ZZ 4px3 (x 1)3px 1 dx

107:

Z(x 1)2 dx4px3 (

px 1) 108:

Z(x 1)2 dx4px3 ( 3

px 1)

9. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (9; 4) y cuya pendiente en cada punto es 3px

10. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (1; 2) y cuya pendiente en cada punto es 4x2

11. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (0;2) y cuya pendiente en cada punto es ex 2

12. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (1; 5) y cuya pendiente en cada punto es4x2

13. Encuentre una funcin y = f (x), tal qued2y

dx2=

1

4x3=2 1x2, F tenga un punto estacionario en x = 4 y pase por el

punto (1;1).

14. Encuentre una funcin y = f (x), tal qued2y

dx2=2 + 3x

4x3=2, f tenga un mnimo relativo en

2

3;43

r2

3

!.

15. El punto (3; 2) est en una curva y en cualquier punto (x; y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente iguala 2x 3. Encontrar una ecuacin de la curva.

16. Los puntos (1; 3) y (0; 2) estn en una curva y en cualquier punto (x; y) de la cruva d2y

dx2= 2 4x. Encontrar una

ecuacin de la curva.

17. Una ecuacin de la recta tangente a una curva en el punto (1; 3) es y = x+2. Si en cualquier punto (x; y) de la curvad2y

dx2= 6x, encontrar una ecuacin de la curva.

18. En cualquier punto (x; y) de una curvad2y

dx2= 1x2 y una ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto (1; 1)

es y = 2 x. Encontrar una ecuacin de la curva.


dx3= 2 y (1; 3) es un punto de inexin en el que la pendiente de la tangente

de inexin es 2. Encontrar una ecuacin de la curva.20. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x; y) en una curva es 10 4x y el punto (1;1) est en la

curva. Encontrar una ecuacin de la curva.


dx2= 4 x2 y una ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto

(1;1) es 2x 3y = 3. Encontrar una ecuacin de la curva.22. Una partcula se mueve en lnea recta; s es la distancia dirigida de la partcula desde el origen en t seg de tiempo, v

es la velocidad en p/seg de la partcula en t seg y a es la aceleracin en p/seg2 de la partcula en t seg. Si a = 2t 1y v = 3 y s = 4 cuando t = 1, expresar v y s como funciones de t.

23. Se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 128 p/seg. Si la nicafuerza considerada es la que se le atribuye a la aceleracin de la gravedad, encontrar qu tan alto llegar la piedra yla velocidad con la que llegar al suelo. Encontrar tambin cuanto tiempo tomar a la piedra llegar al suelo.

24. En los siguientes ejercicios la nica fuerza considerada es la debida a la aceleracin de la gravedad que tomamos como32 p/seg2 en la direccin hacia abajo.

(a) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 p/seg.

i. Cunto tiempo le tomar llegar al suelo y con qu velocidad llegar?ii. Durante cunto tiempo estar subiendo la piedra y que tan alto llegar?

(b) Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 150 p de altura y est subiendo a raznde 10 p/seg. Cunto tiempo tardarn los binoculares en llegar a suelo y cul es su velocidad de impacto?

4

25. Si el conductor de un automvil desea aumnetar su rapidez de 20 mi/hr a 50 mi/hr mientras recorre una distanciade 528 p, cul es la aceleracin constante que debe mantener?

26. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleracin negativa constante de 20 p/seg2. Cul es la velocidad mximaa que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 80 p despus de aplicados los frenos?

27. Si se aplican los frenos de un carro viajando de 50 mi/hr y si los frenos pueden dar al carro una aceleracin negativaconstante de 20 p/seg2. Cunto tardar el coche en detenerse? Qu distancia recorrer antes de parar?

Respuestas

4:1: 1px; 4:2: x+ 2; 4:3: px 1; 4:4: x 2; 4:5: 1px

4 ; 4:6: 2x+ 4; 4:7: xpx+ 3;

4:8: px x 1; 5:1 f (x) = 1; 5:2 f (x) = m; 5:3 f (x) = x; 5:4 f (x) = x2; 5:5 f (x) = x3;5:6 f (x) = 1p

x; 5:7 f (x) =

px; 5:8 f (x) = 3

px; 5:9 f (x) = 13px ; 5:10 f (x) =

1px3; 5:11 f (x) = 1

93px2;

5:12 f (x) = xn; 5:13 f (x) = ex; 5:14 f (x) = 1x ; 5:15 f (x) =1x ; 5:16 f (x) = cos x; 5:17 f (x) = sen x;

5:18 f (x) = sec2 x; 5:19 f (x) = sec x tan x; 5:20 f (x) = csc x cot x; 5:21 f (x) = csc2 x; 5:22 f (x) = 11+x2

;

5:23 f (x) = 1p1x2

; 5:24 f (x) = sec2 x tan x; 5:25 f (t) = 2t1+t4

; 5:26 f (x) = sec3 x tan x; 5:27 f (x) = sec2 t tan t;

6:1 x+ C; 6:2 mx+ C; 6:3 x2

2 + C; 6:4x3

3 + C; 6:5x4

4 + C; 6:6 2px+ C; 6:7 2

3px3

+ C;

6:8 343px4

+ C; 6:9 323px2

+ C; 6:10 xn+1

n+1 + C; 6:11 ex + C; 6:12 ln jxj+ C; 6:13 sen x+ C;

6:14 cos x+ C; 6:15 tan x+ C; 6:16 sec x+ C; 6:17 csc x+ C; 6:18 cot x+ C; 6:19 arctan x+ C;

6:20 arcsen x+ C; 8:1: 6x+ C; 8:2: 3x+ C; 8:3: xe3 + C; 8:4: 1x + C; 8:5: 23x32 + C; 8:6: 710x

107 + C;

8:7: 25x5

+ C; 8:8: 1t3+ C; 8:9: 34!

43 + C; 8:10: 1w + C; 8:11: 12t2

p2 + C; 8:12: n x

(n1)x1n

+ C;

8:13: 57a2x7 + C; 8:14: 53a

3x6 + C; 8:15: 12 b3

p2+ C; 8:16: 14

b4

p3+ C; 8:17: 1

2p2x2 + C; 5:18: apx + C;

8:19: tan + C; 8:20: cot + C; 8:21: 32x2 5x+ C; 8:22: 32x2 23x32 + C; 8:23: 1

3t3

1 3t2+ C;

8:24: 23 t32 4pt+ C; 8:25: 32 r

23 + 34 r

43 + C; 8:26: 49 t

94 + 59 t

95 + C; 8:27: 2 cos x+ sen x+ C; 8:28: x2 cos x+ C;

8:29: x2 + sec x+ C; 8:30: sen 2 cos + C; 8:31: 2 cos t+ t3 + C; 8:32: 3 cos t 2 sen t+ C;

8:33: 37x73 32x

43 + C; 8:34: 1

2x2+ 57x

75 + C; 8:35: 32y

2 13y6 + 110y10 + C; 8:36: x 1x + 13x3 + C;

8:37: 3t 2t2 + 53 t3 + C; 8:38: x x2 x3 + C; 8:39: 14y 2y3 + y5 + C; 8:40: 15y5 y3 + C;

8:41: 25u52 + 37u

73 + C; 8:42:

px27x

3 2+ C; 8:43: 25x 52 + C; 8:44: 25y 52 y2 + 37y 73 + C;8:45: x3 12x2 2x+ C; 8:46: x+ 25x

52 + C; 8:47: 14x

4 + a3 x3 + b3x

3 + ab2 x2 + C; 8:48: 1t +

13 t

3 + C;

8:49: 2px+ 25x

52 + C; 8:50: 3

px34x 3

+ C; 8:51: 8s +

13 s

3 + C; 8:52: 23x32 + 611x

116 + C;

8:53: 3x+ 2x2 + 2x4

+ C; 8:54: 2px 65x

52 + 27x

72 + C; 8:55: 13x

3 x2 1x + C; 8:56: x+ 23x3 + 15x5 + C;

8:57: x 12x4 + 17x7 + C; 8:58: 2x 1x + 13x3 + C; 8:59: 4t+ 12 t2 83 t32 + C; 8:60: 163 y

3 + 2y4 + 15y5 + C;

8:61: a2t+ 12abt4 + 17 b

2t7 + C; 8:62: 13a3 + a2bt3 + ab2t6 + C; 8:63: x+ 32x

2 + x3 + 14x4 + C;

8:64: 55pt+ 25 t

52 158 t

85 + 307 t

710 + C; 8:65: x

2

2 +34x

4 + x6

2 +x8

8 + C; 8:66:2

4m+1x2m+1

2 + 2x2n+1

24n+1 4x

m+n+12

2m+2n+1 + C;

8:67: 3px313x

4 37x2 6+ C; 8:68: n tn+1 (at)

1n + C; 8:69: (nx)

1n + C; 8:70: 13x

3 x+ C;

8:71: 4x+ x2 + 13x3 + C; 8:72: 2x+ 12x

2 + C; 8:73: x+ 12x2 + 13x

3 + C; 8:74: x32 25x 83 x2 8x+ C;

8:75: x 12x2 13x3 + 14x4 + C; 8:76: t+ C; 8:77: 2 sen t+ C; 8:78: 4 cos x+ C; 8:79: cos x+ sen x+ C;

8:80: 2 sen x+ ln jcsc x cot xj+ C; 8:81: x100100 + C; 8:82: ex+3 + C; 8:83: ex 3x+ C; 8:84: sen x cos x+ C;

8:85: x+ cos x+ C; 8:86: 2x 2 sen x+ C; 8:87: xp2 sen x+ C; 8:88: t2 + 12 sen t+ C; 8:89: 2x214x4

+ C;

8:90: x2+3

2x4+ C; 8:91: 2x+ 23x

3 + 15x5 + 1

3x3

6x2 1+ C; 8:92: x 2 cos x+ C; 8:93: tan x+ C;8:94: 18x

8e1 + C; 8:95: 1t5

15 ln 7 t4+ C; 8:96: x2ln 3 + C; 8:97: 2xn+1(1+n) lnn + C; 8:98: ex + C;8:99: 1

6x3

3x+ 18x2 4+ C; 8:100: cos x 2x+ C; 8:101: p2x+ 95x 53 + 3px 34x+ 32x 53 + C;

8:102: 45x5

ln 4 4x+ C; 8:103: xln 3 (ln 5)12 ln 3 14

+ C; 8:104: ex + 2x+ C; 8:105: 58x

85 + 1021x

2110 + C;

8:106: 47x74 + 1225x

2512 + 1229x

2912 + C; 8:107: 4

px45x 4

+ x

3447x 43

+ C;

5

8:108: 4px45x 4

+ x

7121219x 127

+ x

11121223x 1211

+ C; 9: f (x) = 2x

32 50; 10: f (x) = 43x3 + 23 ;

11: f (x) = ex 2x 3; 12: f (x) = 4x + 1; 13: f (x) = ln xpx; 14: f (x) = x

32 2px;

15: f (x) = x2 3x+ 2; 16: f (x) = 7x+ x2 23x3 + 2; 17: f (x) = x3 2x+ 4;

18: f (x) = x2

2 5x3 x4

12 +94 ; 19: f (x) =

x3

3 x2 x+ 143 ; 20: f (x) = 10x 2x2 9;

21: f (x) = 2x2 3x x412 + 112 ; 22: v (t) = t2 t+ 3; y s (t) = t3

3 t2

2 + 3t+76 ;

23: Mxima altura : 256 p; Tiempo de vuelo : 8 seg; Velocidad de impacto : 128 p/seg;

24:a:i: Tiempo de vuelo : 34 seg; Velocidad de impacto : 20 p/seg; 24:a:ii: Tiempo subiendo :58 seg; Mxima altura :

254 p;

24:b: Tiempo de vuelo : 3:4 seg; Velocidad de impacto : 99 p/seg; 25: 7718 p/seg2; 26: 300

p2

11 min/h;

27: Tiempo : 113 seg; Distancia :12109 p;

Bibliografa

1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Clculo". Novena Edicin. Pearson Prentice Hall.

2. Stewart, J.: Clculo". Grupo Editorial Iberoamericano.

Clculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Prof. Farith Briceo - 2009

e-mail : [email protected]

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