Teresa PTeresa Péérez Drez DííazazProfesora de matemProfesora de matemááticatica

Los cuerpos geométricos están limitados por superficies planas (Poliedros) o curvas (Redondos) y, a diferencia de las figuras geométricas, poseen volumen.

Cuerpos Geométricos

PoliedrosRedondos

Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos.

Poliedros

Los poliedros pueden ser convexos y cóncavos.

Un cuerpo geométrico se dice convexoconvexo si, dados dos puntos cualesquiera que pertenezcan a él , el segmento que los une, estácompletamente contenido en el cuerpo

Poliedros

Poliedros cóncavos

Poliedros

Caras: Polígonos que limitan el poliedro. Las caras que tienen lados comunes con las bases son las caras laterales. La cara en la que se apoya el poliedro y su opuesta se llaman bases.

Aristas: lados de las caras.

Elementos de los poliedros

Caras lateralesCaras basales

Aristas

Vértices : puntos comunes de las aristas.

Vértices

Fórmula de Euler

En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación:

C + V = A + 2

n° de caras + n° de vértices = n° de aristas + 2

C = 6

V = 8

A =12

Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.

Apotema: altura de las caras laterales.

Apotema basal

Apotema lateral

Diagonales

Los poliedros pueden ser regulares o irregulares

Están delimitados por polígonos regulares congruentes. También son conocidos como sólidos platónicos. (Estos son 5)

Poliedros Regulares

Tetraedro

Hexaedro o Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Video

Únicamente existen cinco poliedros regulares convexos, puesto quelas sumas de las caras de un ángulo poliedro tiene que ser forzosamente menor que 360º.

No puede constituirse ningún poliedro regular con más de cinco caras concurrentes en un mismo vértice, puesto que si tuviera seis caras tendríamos que 6 x 60º = 360º.

Poliedros Regulares

Poliedros RegularesTetraedro

Poliedros RegularesOctaedro

Poliedros RegularesDodecaedro

Poliedros RegularesIcosaedro

Poliedros RegularesHexaedro

Cubo o Hexaedro regular

AT = 6a2 V= a3

3ad =

a

Poliedros Irregulares

Se encuentran entre ellos las prismas y las pirámides

Son cuerpos geométricos que tienen dos caras paralelas y congruentes llamadas caras basales y tres o más caras laterales que son paralelogramos.

Prismas

Arista basal

Arista lateral

Altura

Apotema basal

Prismas

Clasificación

Prismas

Oblicuos

Rectos

IrregularesRegulares

Prisma Pentagonal

Para nombrar un prisma se utilizan los polígonos que forman sus bases

Prisma Triangular

Prismas

Prisma Cuadrangular

Prisma Hexagonal

Prismas

Prismas

LateralBaset AAA += 2 hAV Base ⋅=

Paralelepipedo

acbcabAt 222 ++= cbaV ⋅⋅=

222 cbad ++=

a b

c

Son poliedros que tienen como base un polígono cualquiera y sus otras caras son triángulos que concurren en un vértice común. Para nombrar una pirámide se utiliza el polígono de su base.

Pirámides

a

a´

Apotema lateral o altura de la cara

Arista lateral

Altura de la pirámideApotema basal

Base

Arista lateralArista lateral

• Tiene una cara por base.• Caras laterales son triángulos.

Pirámides

Oblicuas

Rectas

IrregularesRegulares

Pirámides

Pirámide Pentagonal

Pirámide Triangular

Pirámide Cuadrangular

Pirámide Hexagonal

Pirámides

Pirámides

Área=2

)( oppP +

Volumen =3

hAbase ⋅

P: Perímetro

p:Apotema lateral

p0: Apotema basal

Se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje

Cuerpos redondos

• Cilindro• Cono• Esfera

Un cilindro es el cuerpo de revolución que resulta al girar un rectángulo alrededor de un eje.

Bases: dos círculos iguales y paralelos.

Radio: el radio de las bases.

Generatriz: el lado del rectángulo opuesto al eje que genera la superficie cilíndrica.

Eje: el lado fijo del rectángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra al cilindro.

Altura: la longitud de la generatriz (distancia entre las dos bases).

Superficie lateral: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un rectángulo.

Cilindro

Al desarrollar un cilindro se obtiene un rectángulo y dos círculos iguales, que constituyen las bases:

• La base del rectángulo es la longitud de la circunferencia de la base. • La altura del rectángulo es la generatriz del cilindro.

Cilindro

A partir del desarrollo del cilindro podemos calcular su área.

Área lateral, AL: Es el área de un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de base 2πr, y la altura, h, es la altura del cilindro o generatriz, g:

AL = 2 · π · r · h

Área de las bases, AB: Es la suma de las áreas de las dos bases.

Como las bases son círculos, cada una tendrá un área: AB = π · r2

El área total de un cilindro es la suma del área lateral más el área de las dos bases.

AT = AL + 2 · AB = 2πrh + 2πr2

Área de un cilindro

Volumen de un cilindro

Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será:

Vcilindro = AB · h = π r2h

Un cono es un cuerpo de revolución que se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto.

Base: el círculo sobre el que se apoya el cono.

Radio: el radio de la base.

Generatriz: el segmento que une el vértice con un punto cualquiera de la circunferencia (coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo que genera el cono).

Eje: el cateto del triángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra el cono.

Altura: la distancia desde el vértice a la base.

Superficie lateral: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un sector circular.

A partir de su desarrollo podemos calcular el área de un cono.

Área lateral, AL: Es el área de un sector circular, siendo la longitud del arco la longitud de la circunferencia de la base:

AL = Asector circular = Larco·radio del sector = 2 π r · g = π r g 2 2

Área de la base, AB:

Es el área del círculo: AB = π · r2

El área total de un cono es la suma del área lateral más el área de la base:

AT = AL + AB = πrg + πr2

Área de un cono

Volumen de un cono

El volumen del cono será igual, por tanto, a un tercio del área de la base por la altura, es decir:

331 2hrhAV basecono

π=⋅=

La esfera es un cuerpo de revolución. Es generado por el giro de una semicircunferencia en torno a su diámetro. No tiene desarrollo plano.

EsferaDiámetro

Eje giro Radio

Centro

Generatriz

Eje de giro

AESFERA = 4πr2

Superficie de la esfera

Consideramos la esfera dividida en multitud de pequeñas pirámides iguales con vértice común en el centro de la esfera. La base de cada una de las pirámides es muy pequeña, por lo que podemos considerarla plana y aplicar la fórmula del volumen de una pirámide. Así, si llamamos AB al área de la base de la pirámide, su volumen es:

V PIRÁMIDE = AB · h = AB · r3 3

El volumen V, de la esfera es la suma de los volúmenes de todas las pirámides:

V ESFERA = AB · r + AB · r + AB · r + ... = ( AB + AB + AB + ... ) r3 3 3 3

La suma de las bases de todas esas pirámides será el área total de la esfera (que, como ya sabemos, es 4πr2):

V ESFERA = ( 4 π r 2 ) · r = 4 π r 33 3

Volumen de la Esfera