Universidad TecnicaFederico Santa MaraDepartamento de Matematica

Matematica IIIGua N7

Primer Semestre 2015

EDOs de Orden Superior

Problemas Propuestos

1. Sea y(t) = (1 + t)2 solucion de la ecuacion diferencial:

2y(t) + p(t)y(t) + q(t)y(t) = 0.

Si el Wronskiano de dos soluciones de esta ecuacion es constante distinta de cero.

(a) Determine p(t) y q(t).

(b) Resolver2y(t) + p(t)y(t) + q(t)y(t) = 1 + t.

Ayuda: Considere yp(t) = (1 + t) , con , R.

2. Resolver la ecuacion diferencial

x2y(x) x(x+ 2)y(x) + (x+ 2)y(x) = x3,si se sabe que para algun numero real n, y(x) = xn es solucion de la ecuacion diferencial homogenea asociada.Hint. Determine n.

3. (a) La ecuacionxu(x) u(x) + r(x)u(x) = 0, x > 0,

tiene a u1(x) = p(x) y a u2(x) = xp(x) como soluciones, donde p(1) = 1. Determine las funciones r(x) yp(x).

(b) Con r(x) y p(x) determinados en (a) encuentre todas las soluciones de la ecuacion

xy(x) y(x) + r(x)y(x) = x1/2p(x)

4. Resolver el problema con condiciones iniciales

xy(x) + (2x 1)y(x) 2y(x) = x2e3x, x > 0.y(1/2) = 0; y(1/2) = 0.

Si se sabe que y1(x) = ex, R es solucion de la ecuacion diferencial homogenea asociada.

5. Discuta el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:

(a) Si u(x) y v(x) son dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion lineal y(x) + a(x)y(x) +b(x)y(x) = 0 para a(x), b(x) continuas en algun intervalo real I, entonces los ceros de u(x) y v(x) sondistintos.

(b) Sean u(x) y v(x) dos soluciones linealmente dependientes de la ecuacion y(x)+cosx y(x)+e3xy(x) = 0.Si u(0) = 1 , u(0) = 2 , v(0) = 3. Entonces v(0) esta unvocamente determinado.

6. Resolver la ecuaciony + 4y = cot 2x.

Sugerencia: Utilice variacion de parametros.

7. Considere la ecuacion:y(t) + ay(t) + by(t) + cy(t) = et,

donde a, b, c, son constantes, y denotemos por p(m) al polinomio caracterstico asociado. Pruebe que si escero de p y p() 6= 0 entonces

y(t) =tet

p(),

es una solucion particular de la ecuacion.

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8. Una solucion y = u(x) de la ecuacion diferencial y y 2y = 0 intersecta a una solucion y = v(x) de laecuacion y + 4y 5y = 0 en el punto (0, 0).Determinar las funciones u y v si las dos tienen la misma pendiente en el origen y ademas satisfacen:

lmx

[v(x)]2

u(x)= 1.

9. Usando la transformacion t = sen(x) convierta la ecuacion diferencial

y + tan(x)y + cos2(x)y = 0

en una ecuacion de coeficientes constantes y resuelva.

10. Resolver

(a) y + 3y + 3y + y = ex + 3x 1.(b) 4y + y = xex, y(0) = y(0) = 0.

(c) y(iv) 6y(iii) 3y + 52y 60y = 0, y(0) = 1, y(i)(0) = 0, i = 1, 2, 3.11. Encuentre la velocidad de escape para un cuerpo proyectado hacia arriba con una velocidad inicial v0 desde

un punto x0 = R sobre la superficie de la tierra, donde R es el radio de la tierra y es una constante. Notome en cuenta la resistencia del aire. Encuentre la altitud inicial desde la cual el cuerpo debe ser lanzado parareducir la velocidad de escape al 85 % de su valor en la superficie de la tierra.

12. Al sujetar una masa de 2 kilos a un resorte, este se alarga 2, 5 metros y luego permanece en reposo. El cuerpose desplaza un metro sobre la posicion de equilibrio y se suelta con una velocidad de dos metros por segundohacia abajo.

(a) Encuentre la ecuacion del movimiento del sistema si este se somete a la fuerza externaf(t) = 4 cos2 t, t > 0. Considere g = 10[m/s2].

(b) Resuelva la ecuacion del movimiento encontrada por usted en (a). Es periodica la solucion? De ser as,cual es su perodo?

(c) Como se comporta la amplitud de las oscilaciones si t?13. Un posible modelo para la fuerza que actua dentro del tubo de un canon cuando este se dispara esta dado por

la ecuacion diferencial

y(t) + y(t) ={

1 t2/T 2 si 0 t T0 si t > T

, y(0) = y(0) = 0.

Resuelva esta ecuacion teniendo presente que en t = T tanto y(t) como y(t) deben ser continuas.

14. Resolver(2x+ 1)2y 2(2x+ 1)y 12y = 6x, 2x+ 1 > 0.

15. Considere la siguiente ecuacion diferencial de segundo orden.

(4x2 4x+ 1)y + (8x 4)y + y = 2x 1 , x > 1/2

y(1) = 1, y(1) = 1.

}(P )

(a) Determinar los valores de R para que la solucion del problema (P ) sea oscilatoria.(b) Determinar el perodo de la solucion de (P ), si existe, para los valores de obtenidos en (a).

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Problemas Resueltos

1. Resolver el problema con condiciones iniciales

xy + (x 1)y y = x2(x+ 2)ex, x > 0.y(1) = 0; y(1) = 0.

Si se sabe que y1(x) = ex es solucion de la ecuacion diferencial homogenea asociada, para algun R.

Solucion. Reemplazando a y1(x) en la ecuacion diferencial homogenea asociada encontramos el valor de, que da = 1. Debemos generar una segunda solucion linealmente independiente de y1(x), para tal finutilizamos la formula de Abel, es decir ex y2ex y2

= e (1x)dx,que conduce a la ecuacion diferencial de primer orden con coeficientes constantes:

y2 + y2 = x.

Una solucion de este problema se consigue por el metodo de los coeficientes indeterminados (o simple inspeccion)y da y2(x) = x1. Debemos emplear Variacion de Parametros y buscamos una solucion particular de la formay(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x), entonces:

W [y1, y2] =

ex x 1ex 1 = xex.

c1(x) = x(x+ 2)ex(1 x)

xex= (x+ 2)(1 x)

c2(x) =x(x+ 2)exex

xex= (x+ 2)ex.

Luego

c1(x) = x+ x2

2+x3

3,

c2(x) = (x+ 3)ex

As, se tiene que la solucion del problema es

y(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x)

=

(x+ x

2

2+x3

3

)ex (x 1)(x+ 3)ex

=

(3 4x x

2

2+x3

3

)ex.

Sin, embargo, el primer termino debe eliminarse pues 3ex esta en el espacio generado por la solucion y1(x).Finalmente, la solucion particular es

y(x) =

(4x x

2

2+x3

3

)ex

.

2. Resuelvay + 9y = 24 senx 26e2x + 27x3 + sen 3x.

Solucion. Primero resolvemos el problema homogeneo

y + 9y = 0,

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cuya solucion es yh(x) = c1 cos 3x + c2 sen 3x; c1, c2 R. A continuacion buscamos una solucion particular.Usamos el principio de superposicion y el metodo de los coeficientes indeterminados. Es decir, debemos resolverlos cuatro sub-problemas:

y + 9y = 24 senxy + 9y = 26e2xy + 9y = 27x3

y + 9y = sen 3x

La solucion particular, yp(x) es la suma de las soluciones de cada uno de estos problemas subsidiarios. Lasolucion particular del primer problema es yp,1(x) = 3 senx. La solucion del segundo es yp,2(x) = 2ex yla del tercero yp,3(x) = 3x

3 2x. El ultimo problema es mas interesante pues el lado derecho esta contenidoen el espacio de soluciones generadas por sen 3x (hay resonancia). Se conjetura una solucion de la formayp,4(x) = x(A cos 3x+ B sen 3x), con cual se llega a A = 1/6, B = 0. Por lo tanto, yp,4(x) = x6 cos 3x. As,la solucion particular es

yp(x) = yp,1(x) + yp,2(x) + yp,3(x) + yp,4(x)

= 3 senx 2ex + 3x3 2x x6

cos 3x.

Luego, la solucion general y(x) es

y(x) = yh(x) + yp(x)

= c1 cos 3x+ c2 sen 3x+ 3 senx 2ex + 3x3 2x x6

cos 3x.

3. Una cadena homogenea de longitud l esta puesta sobre una mesa horizontal sin roce, con una longitud y0colgando del borde. La cadena es liberada. Encuentre, como funcion del tiempo, la porcion de cadena quecuelga desde el borde de la mesa (no se moleste con t despues que la cadena pierde el contacto con la mesa).Tambien, encuentre la velocidad de la cadena justo cuando ella pierde el contacto con la mesa.Solucion.

Sea y(t) la longitud del segmento de cadenaque cuelga desde el borde en el instante t. Sea la densidad de la cadena. Entonces, la masatotal es m = l, y la masa del segmento col-gante es y. La unica fuerza que actua sobrela cadena es, por tanto (y)g. As, la segundaLey de Newton Implica que

gy = ly y = gly.

La solucion a esta ecuacion es

y(t) = Aet +Bet, =g

l.

Derivando, obtenemos a y(t) y, usando el dato y(0) = 0, se tiene que A = B. Ahora, usando la condiciony(0) = y0, se obtiene que A = B = y0/2. El segmento que cuelga desde el borde entonces es

y(t) =y02

(et + et) = y0 cosht.

Y la velocidad es y(t) = y0 senh t. El tiempo T que satisface y(T ) = l esta dado por l = y0 coshT . Usando

la identidad senhx =

cosh2 x 1, encontramos que la velocidad de la cadena cuando pierde contacto con lamesa es

y(T ) = y0 senhT = l2 y20 =

gl

1 20 ,

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donde 0 = y0/l es la fraccion inicial colgando desde el borde de la mesa. Si 0 0, entonces la velocidad enT es

gl, que es la velocidad a la cual cae el centro de masa de la cuerda, en l/2.

4. Un resorte esta hecho de un material tal que un peso de 1[kg] lo deforma 1/90 metros. En el instante t = 0comienza a actuar una fuerza igual a sen(2t) [N ] sobre el resorte. Si el peso de 1 kilo se suelta desde el puntosituado a 10 centmetros por debajo del punto de equilibrio. Determine la posicion del peso en todo instantede tiempo.(Recordar : Peso = mg, m = masa [kg], g = 10[mt/seg2].)Solucion. En el equilibrio se tiene que

mg = ky0 k = 900[kg/seg2].Entonces, la ecuacion diferencial que gobierna el problema es

y + 900y = sen 2t; y(0) = 1/10; y(0) = 0.

El problema homogeneo esy + 900y = 0.

La ecuacion caracterstica asociada es

2 + 900 = 0 = 30i.Luego, la solucion homogenea es yh(t) = c1 cos 30t+ c2 sen 30t.

En tanto, la solucion particular se calcula mediante el metodo de coeficientes indeterminados y se obtiene alhacer yp(t) = a sen 2t que entrega a = 1/896. As, la solucion particular es

yp(t) =1

896sen 2t [mt].

La solucion general es entonces y(t) = yh(t) + yp(t):

y(t) = c1 cos 30t+ c2 sen 30t+1

896sen 2t [mt].

Finalmente se imponen las condiciones iniciales para obtener c1 = 1/10 y c2 = 1/13440.5. Resolver

x2y + 10xy + 20y = 4 lnx x.Solucion. Note que la ecuacion homogenea es una ecuacion de Euler. Haciendo el cambio de variable x = et

obtenemos la E.D.O lineal de segundo orden con coeficientes constantes

y(t) + 9y(t) + 20y(t) = 4t et.Usamos la ecuacion caracterstica para resolver la ecuacion homogenea, obteniendo la solucion

yh(t) = c1e5t + c2e4t.

Ahora, usando coeficientes indeterminados, encontramos una solucion particular de la ecuacion no homogenea,obteniendo

yp(t) =t

5 e

t

30 9

100.

Por lo tanto, la solucion general es

y(t) = c1e5t + c2e4t +

t

5 e

t

30 9

100.

Volviendo a la variable original, x

y(x) =c1x5

+c2x4

+1

5lnx 1

30x 9

100.

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