h c cÙng vietjack y trần xuân trườ · -tìm mặt phẳng qua o và vuông góc với ....

HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher

Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack

KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là ,

với là hình chiếu của trên đường thẳng .

Kí hiệu: .

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , với

là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Kí hiệu: .

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với

nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến

mặt phẳng :

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi

là đƣờng vuông góc chung của . gọi là đoạn vuông góc chung của .

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng đó.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước

M a MH

H M a

,d M a MH

M MH

H M

,d M MH

, ,d a b d M b MH M a

a

M a

, ,d a d M MH M a

, , A, ,d d a d AH a A a

,a b

,a b IJ ,a b

M d

a

b

c

J

Ia

bJ

I

H

M

M

Ha

M

Ha

b

M

H

a

AB

H K

a



Các bước thực hiện:

Bước 1. Trong mặt phẳng hạ với .

Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,

đường tròn, …

Chú ý:

Nếu tồn tại đường thẳng qua và song song với thì:

.

Nếu , thì: .

b. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Các bước thực hiện:

Bước 1. Tìm hình chiếu của lên .

- Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với .

- Tìm .

- Trong mặt phẳng , kẻ tại H.

H là hình chiếu vuông góc của O lên .

Bước 2. Khi đó là khoảng cách từ O đến .

Chú ý:

Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với .

Nếu đã có đường thẳng thì kẻ cắt tại H.

Nếu thì: .

Nếu cắt tại I thì:

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Trường hợp a b:

- Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong dựng BA a tại A.

là đoạn vuông góc chung.

Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp chứa a và song song với b.

- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM () tại M

,M d MH d H d

MH

a A d

, ,d M d d A d AK A d

MA d I,

,

d M d MI

AId A d

O

H O

OH

OH

d / /Ox d

//OA , ,d O d A

OAO,

,

d OI

AId A

,a b

AB

M

Ha

a M A

Kd

A

Kd

I H

M

O

H

H

O d

H

O A

K

H

O

A

KI

b

aB

A

(Hình a)

A

B M

M'

a

b

b'



- Từ M dựng b// b cắt a tại A.

- Từ A dựng cắt b tại B.

AB là đoạn vuông góc chung.

Cách 2: (Hình b)

- Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên

- Trong mp , vẽ OH b tại H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với cắt a tại A.

AB là đoạn vuông góc chung.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của .

-

Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:

Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:

3. Phƣơng pháp tọa độ trong không gian

a) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm :

+ Mặt phẳng đi qua điểm có vtpt có dạng:

+ Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng :

Công thức tính nhanh:

b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là:

c) Góc giữa hai đường thẳng theo công thức:

d) Góc giữa hai mặt phẳng và :

có vecto pháp tuyến ; có vtpt , khi đó:

//AB MM

a

OH

,a b

,a b

,d a b AB

, ,d a b d b

, ,d a b d

MNP ; y ; ,N ;y ; ,P ;y ;M M M N N N P P P

M x z x z x z

MNP ; y ;M M M

M x z A;B;Cn MN MP

0 z 0M M M

A x x B y y C z z Ax By C D

; y ;I I I

I x z MNP

2 2 2,( ) I I I

Ax By Cz DIH d I MNP

A B C

.,( )

MN MP MId I MNP

MN MP

,AB CD.

,AB CD AC

d AB CDAB CD

,AB CD.

cos ,.

ABCDAB CD

AB CD

ABC MNP

ABC1n AB AC MNP

2n MN MP

(Hình b)

b'

a bA

O

I H

B



e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Tính và có vtpt , thì:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG - HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƢƠNG

Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng có mặt đáy là tam giác vuông tại có

. Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng có mặt đáy là tam giác đều, cạnh . Biết góc giữa

và đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh bên , góc tạo bởi và mặt đáy là .

Gọi là trung điểm .Tính cosin góc tạo bởi 2 đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng có . Tính góc tạo bởi

đường thẳng và

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng với đáy là tam giác vuông tại có

,diện tích tam giác là . Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng

và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật có , góc tạo bởi và mặt đáy là

. Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Cho hình lập phương có diện tích tam giác bằng .hãy tính khoảng

cách giữa điểm và mặt phẳng

1 2

1 2

.cos ,

.

n nABC MNP

n n

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

,.

AA B B C CABC MNP

A B C A B C

AB MNP

u AB MNP n MN MP.

sin , ,.

u nAB MNP AB MNP

u n

.ABC A B C ABC B

, 3, 2AB a AC a A B a M AC M ( )A BC

3

4

a 3

2

a 3

2

a 3

4

a

.ABC A B C 3A A a

( )A BC 045 A B CC a

a 3a3 3

3

a 3 3

2

a

.ABC A B C 2a A B 060

M BC A C AM

2

4

3

2

3

6

3

4

.ABC A B C 5 , 6 , 7 ; 3AB a AC a BC a A A a

BC ( )ACC A

51arctan

17

2 51arctan

17

2 51arcsin

17

2 51arcsin

17

.ABC A B C ABC C 8AB cm

060BAC A CC 210cm ( )C AB

( )ABC

5 3

6

5 3

2

3

6

3

2

.ABCD A B C D 3 , 5AB a AD a D B

045 M BC BD

B M

661

20

a 20

661

a 661

30

a 30

661

a

.ABCD A B C D B AB 22a

B ( )C BD



A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật có , góc tạo bởi đường thẳng và

mặt đáy là .Gọi là trung điểm của .Tính góc giữa hai đường thẳng và

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Cho hình lập phương có thể tích là . Tính tan góc tạo bởi đường thẳng

và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật có . Tính góc tạo bởi hai mặt

phẳng và mặt đáy.

A. . B. . C. . D. .

HƢỚNG DẪN GIẢI

CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG -

HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƢƠNG

Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng có mặt đáy là tam giác vuông tại có

. Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến là:

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải

[Cách 1]: Phƣơng pháp cổ điển

+ Đi tính

Kẻ ,có:

Có . Có

Có và là trung điểm

2 3a2 3

3

a 3

3

a 2

3

a

.ABCD A B C D , 2AB a AD a A C

060 I CD BD AI

3arccos

6

3arccos

3

3arccos

4

2 3arccos

3

.ABCD A B C D 327cm

A C ( )BB D D

21

2

2

42 2

.ABCD A B C D ; 2 ; 4AB a AD a A A a

( )C BD

21arccos

22

21arccos

42

21arccos

21

21arccos

12

.ABC A B C ABC B

, 3, 2AB a AC a A B a M AC M ( )A BC

3

4

a 3

2

a 3

2

a 3

4

a

, ( )d A A BC

AH A B ( ) , ( ) AHAH A B

AH A BC d A A BCAH BC

2 2 2 23A A A B AB a 2 2 2 2

1 1 1 4 3

3 2

aAH

AH A A AB a

( )AM A BC C M AC 1 3

,( ) , ( )2 4

ad M A BC d A A BC



[Cách 2] : Phƣơng pháp tọa độ:

Chọn hệ trục toa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:

Ta có:

Khi đó phương trình . Suy ra

Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng có mặt đáy là tam giác đều, cạnh . Biết góc giữa

và đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo là:

A. . B. . C. . D. .


[Cách 1]: phƣ ơng pháp cổ điển:

Ta có . Suy ra

Kẻ . Ta chứng minh được

Khi đó . Ta có

Kẻ . Ta chứng minh được . Ta có

Suy ra

Khi đó vuông cân tại

Mà đều nên

Vậy

2(0;0;0); (0; ;0); ( 2;0;0); (0; ;2 ); ; ;0

2 2

a aB A a C a A a a M

(0; ; 3); ( 2;0;0)BA a a BC a 2 2 2(0; 6; 2) 2(0; 3;1)BA BC a a a

( ) : 3 0A BC y z

3

2 3,( )

2 4

a

ad M A BC

.ABC A B C 3A A a

( )A BC 045 A B CC a

a 3a3 3

3

a 3 3

2

a

// // ( )C C A A C C A ABB , , ( )d C C A B d C A ABB

CH AB ( )CH ABB A

, ( )d C ABB C CH ( ) ( )BC A BC ABC

AM BC ( )BC A AM( ) ( )

( ) ( )

AM A AM ABC

A M A AM A BC

0( ), ( ) , 45A AM ABC AM A M

A AM A 3A A AM a

ABC 3CH AM a

, 3d A B C C a

A

B

CA

B

C

HM

y

A

B

CA

B

C

M

z

x



[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ

Ta tính được

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có

Ta có:

Lại có: . Ta tính được:

Khi đó ta có: .

Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh bên , góc tạo bởi và mặt đáy là .

Gọi là trung điểm .Tính cosin góc tạo bởi 2 đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .


[Cách 1]: Phƣơng pháp tích vô hƣớng

Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều

Áp dụng công thức:

Ta có . Trong có:

Lại có

= . Mặt khác .

[Cách 2]: Phƣơng pháp dựng hình

(Trung tuyến trong tam giác đều)

2 3AB a

(0;0;0); (0;3 ;3 ); ( 3;0;0);M A a a B a ( 3;0;0); ( 3;0;3 )C a C a a

( 3; 3 ; 3 ); (0;0;3 );A B a a a CC a (2 3;0;0)BC a

2 2( 9 ;3 3;0)BA BC a a 3

2

. 18 3

6 3

A B CC BC a

A B CC a

.

, 3A B CC BC

d A B CC aA B CC

.ABC A B C 2a A B 060

M BC A C AM

2

4

3

2

3

6

3

4

.

cos ,.

A C AMA C AM

A C AM

0,( ) , 60A B ABC A B AB ABA v A AB 2tan

3

A A aB AB

AB

1

.2

A C AM AC AA AB AC 1

. . . .2

AC AA AC AB AA AC AA AB

2 01. . os60

2AC AB AC c

2a 2 2 4

3

aA C A A AC

3 2.

2 3

aAM a

A

B

CA

B

C

MH

A

B

CA

B

C

M

xy

z



Khi đó

Gọi là trung điểm của

Suy ra

Xéttam giác có :

Ta có :

Khi đó

[Cách 3]: Phƣơng pháp hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó:

Ta có

Khi đó có

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng có . Tính góc tạo bởi

đường thẳng và

A. . B. . C. . D. .



Kẻ . Suy ra là hình chiếu vuông góc của trên

Khi đó

Ta có

2 3

cos ,4 4

3

aA C AM

aa

N B C // , ,A N AM A C AM A C A N

cos , cos , cosA C AM A C AN CA N

A NC2 2 2

cos2 .

A C A N CNCA N

A C A N

2

2 2 24 13; ;

33

a aA N AM a A C CN CC CN

3cos

4CA N

3cos ,

4A C AM

(0;0;0); (0; ;0); ( ;0;0); (0; ;2 )3

aM A a C A a a

4( ; ;2 ) ; (0; ;0)

3 3

a aA C a a A C AM a AM a

. 3

cos ,. 4

A C AMA C AM

A C AM

.ABC A B C 5 , 6 , 7 ; 3AB a AC a BC a A A a

BC ( )ACC A

51arctan

17

2 51arctan

17

2 51arcsin

17

2 51arcsin

17

( )BH AC BH ACC A HC BC ( )ACC A

, ( ) ,BC ACC A BC HC BC H

92

AB AC BCp a

2( )( )( ) 6 6ABCS p p AB p AC p BC a

A

B

CA

B

C

M

N

A

B

CA

B

C

M

N

z

xy



Mà . Có

Ta có

Xét có . Khi đó

[Cách 2] : Phƣơng pháp tọa độ

Ta tính được

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:

Ta có

Lại có : .

Ta có: có VTPT là , có VTCP là

Khi đó

Đặt

ADCT

Vậy góc giữa và là

Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng với đáy là tam giác vuông tại có

,diện tích tam giác là . Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng

và .

A. . B. . C. . D. .


[Cách 1]:Phƣơng pháp cổ điển

Ta có . Kẻ . Ta chứng minh được

Ta có

1. 2 6

2ABCS BH AC BH a

2 2 2 5HC BC BH HC a

2 2 2 34HC CC HC HC a

vBHC2 6 2 51

tan1734

BHBC H

HC

2 51tan

17BC H acr

2 6;BH a AH a

(0;0;0); (6 ;0;3 ); ( ;2 6;0)A C a a B a a

( ) ( ) : 0A ACC Oxz A ACC y

(5 ;2 6;3 ) (5;2 6;3)BC a a a a

ACC A (0;1;0)n BC (5;2 6;3)u

. 2 87

sin ;( ). 29

n uBC ACC A

n u

, ( )BC ACC A

2 2

2

1 17 2 511 cot cot tan

sin 12 17

BC ( )ACC A 2 51

arctan17

.ABC A B C ABC C 8AB cm

060BAC A CC 210cm ( )C AB

( )ABC

5 3

6

5 3

2

3

6

3

2

( ) ( )AB ABC C AB CH AB ( )AB C CH

( ) ( )

C H (C AB) (ABC)

CH C AB C HC

A

B

CA

B

C

Hz

A

B

CA

B

C

y

H x

z



I

D

A

C

B

E

N

M

Nên

Trong có

Trong . Có

Trong ta có:


Chọn hệ trục toa độ như hình vẽ. Khi đó ta có

Ta có

Lại có

Suy ra có VTPT là và có VTPT là

Khi đó

ADCT

Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật có , góc tạo bởi và mặt đáy là

. Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và

A. . B. . C. . D. .

[Cách 1]: Phƣơng pháp cổ điển:

Gọi là trung điểm .

Tacó

Kẻ . Chứngminh được

Kẻ đường cao của ta có

Ta có

Ta có

( ), ( ) ,C AB ABC C H CH C HC

V ABC cos 4AC

CAB AC cmAB

0: .sin 60 2 3V AHC CH AC cm 1

. 52

A C CS C A C C C C cm

V C CH5 3

tan6

CCCHC

CH

(0;0;0); (0;4;0) (4 3;0;0); (0;0;5)C A B C

( ) ( ) ( ) : 0ABC Oxy ABC z

(0;4; 5); (4 3;0; 5)C A C B ( 20; 20 3; 16 3)C A C B

( )C AB (5;5 3;4 3)n ( )ABC (0;0;1)n

. 2 3

cos ( ), ( )37.

n nC AB ABC

n n

2

2

1 5 31 tan tan ( ), ( )

cos 6C AB ABC

.ABCD A B C D 3 , 5AB a AD a D B 045

M BC BD

B M

661

20

a 20

661

a 661

30

a 30

661

a

N DC

//(B MN)BD , , ( ) , ( )d BD B M d BD B MN d B B MN

,BE MN BK B E ( )BK B MN , ( )d B B MN BK

CI CMN CI BE

2 2 2

1 1 1 6

5

aCI BE

CI CN CM

0, ( ) 45D B ABCD D BD

A

A

B

C

C

B

H

A

A

B

C

C

B

y

x

z



Suy ra vuông cân tại

Lại có


Chọn hệ trục toa độ như hình vẽ. khi đó :

Có

Ta có :

Khi đó

Câu 7. Cho hình lập phương có diện tích tam giác bằng .hãy tính khoảng cách

giữa điểm và mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .



Gọi ;

Do

Kẻ . Ta có:

Đặt . Có

BD D 5D BD D D a

1

B 2 2 2

1 1 1 30

661

aBH

BH BE BB

3(0;0;0);M( ;0;0); (0;0;5 ); (3 ;4 ;0)

2

aB B a D a a

3 3(3 ;4 ;0); ( ;0;5 ); ( ;0;0)

2 2

a aBD a a B M a BM

2 2 2(20 ; 15 ;6 );BD B M a a a

2 3611; . 3BD B M a BD B M BM a

. 30

,661

BD B M BM ad BD B M

BD B M

.ABCD A B C D B AB 22a

B ( )C BD

2 3a2 3

3

a 3

3

a 2

3

a

O AC BD I B C BC

( )B C C BD I

, ( )1

C,( )

d B C BD IB

d C BD IC

, ( ) C,( )d B C BD d C BD

CH C O ( ) , ( )CH C BD d C C BD CH

AB x 2 212 2

2B A BS x a x a

A

AB

C

C

B

D

MD N

K

E

zA

A B

C

C

B

D

M

Dx

y

z

A

A B

C

CB

D

O

Dy

x

A

A

BC

CB

D

OD

HI



Có . Khi đó


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó :

Ta có

Suy ra nhận là VTPT và qua điểm

Nên có PT:

Khi đó

Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật có , góc tạo bởi đường thẳng và

mặt đáy là .Gọi là trung điểm của .Tính góc giữa hai đường thẳng và

A. . B. . C. . D. .


Cách 1: Phƣơng pháp tích vô hƣớng

Áp dụng công thức:

Ta có : ;

Trong có

Ta có

Ta tính được: . Khi đó

Vậy

[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

2 2 2

1 1 1 2 3

3

aCH

CH CO CC

3,( )

2

ad B C BD

(0;0;0); (2 ;0;0); (0;2 ;0); (0;0;2 ); (0;2 ;2 )C D a B a C a B a a

(0; 2 ;2 ); ( 2 ;0;2 )C B a a C D a a 2 2 2 2( 4 ; 4 ; 4 ) 4 (1;1;1)C B C D a a a a

( )C BD (1;1;1)n (2 ;0;0)D a

( )C BD 2 0x y z a

2 2 2 2 3

, ( )33

a a a ad B C BD

.ABCD A B C D , 2AB a AD a A C

060 I CD BD AI

3arccos

6

3arccos

3

3arccos

4

2 3arccos

3

.

cos ,.

BD AIBD AI

BD AI

0, ( ) 60A C ABCD A CA 3AC a

V A AC 0. tan 60 3A A AC a

. ( ).( )BD AI BB BA BC AD DI

22 21 1 3

( ).( )2 2 2

aBB BA BC BC BA BA BC

32 3;

2

aBD a AI

23

2 3cos ,

3 62 3.

2

a

BD AIa

a

3

, arccos6

BD AI

A

A

B C

CB

D

I

D

y

x

A

A

BC

CB

D

ID

z



Khi đó ta có

Ta có

Khi đó

Vậy:

Câu 9. Cho hình lập phương có thể tích là . Tính tan góc tạo bởi đường thẳng

và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải:


Gọi

Ta chứng minh:

Suy ra là hình chiếu vuông góc của lên

Nên

Đặt . Có thể tích hình lập phương là . Tính được

Xét tam giác vuông có

Vậy góc giữa và mặt phẳng là góc thỏa mãn


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta được:

Ta có

Suy ra có VTPT là và có VTCP là

Khi đó . Đặt

Do

(0;0;0); ( ; 2;0); (0; 3;0); ( ;0;0); ( ;0;3 )2

aC A a a B a I D a a

3( ; 2;3 ) 2 3; ( ; 2;0)

2 2

a aBD a a a BD a AI a AI

23

. 2 3cos ,

3. 62 3.

2

a

BD AIBD AI

aBD AIa

3

, arccos6

BD AI

.ABCD A B C D 327cm

A C ( )BB D D

21

2

2

42 2

; ;H A C B D K AC BD I HK A C

( ); ( )AH BB D D CK BB D D

HK A C ( )BB D D

, ( ) ,A C BB D D A C HK A IK

AB x 327 3x x cm 3 2AC

A IK tan 2A H

A IHIH

A C ( )BB D D tan 2

(0;0;0); (0;0;3) (3;3;0); (3;0;0); (0;3;3)D D B C A

(3;3;0); (0;0;3); ( 3;3;3)DB DD A C (9; 9;0) 9(1; 1;0)DB DD

( )BB D D (1; 1;0)n A C ( 1;1;1)u

. 6

sin , ( )3.

n uA C BB D D

n u , ( )A C BB D D

2

2

1 11 cot cot tan 2

sin 2

K

I

H

A

A

B C

CB

D

D D

z

x

A

A

BC

CB

D

y



Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật có . Tính góc tạo bởi hai mặt

phẳng và mặt đáy.

A. . B. . C. . D. .



Ta có . Kẻ . Ta chứng minh:

Ta có

Ta có

Trong tam giác vuông tại có

Do . Suy ra

Cách 2: Phƣơng pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có

Ta có

Lại có

Suy ra có VTPT là và có VTPT là

Khi đó Vậy

.ABCD A B C D ; 2 ; 4AB a AD a A A a

( )C BD

21arccos

22

21arccos

42

21arccos

21

21arccos

12

( ) ( )BD C BD ABCD CH BD ( )BD C CH

( ) ( )

( ) ( )

C HC C BD C H

C HC ABCD CH

( ), ( ) ,C BD ABCD C H CH C HC

2 2 2

1 1 1 2

5

aCH

CH CD CB

C HC C tan 2 5C C

C HCCH

2

2

1 211 tan cos

21cosC HC C HC

C HC

21arccos

21C HC

(0;0;0); ( ;0;0); (0;2 ;0); (0;0;4 )C D a B a C a

( ) ( ) ( ) : z 0ABCD Oxy ABCD

(0;2 ; 4 ); ( ;0; 4 )C B a a C D a a 2 2 2 2( 8 ; 4 ; 2 ) 2 (4;2;1)C B C D a a a a

( )ABCD (0;0;1)n ( )C BD (4;2;1)n

. 1

cos ( ), ( )21.

n nC BD ABCD

n n

21( ), ( ) arccos

21C BD ABCD

y

x

A

A

BC

CB

D

D

z

D

A

A

B C

CB

D

H

h c cÙng vietjack y trần xuân trườ · -tìm mặt phẳng qua o và vuông góc với ....

Documents