Κεφάλαιο 8

Η δομή μιας ομάδας Lie

Σύνοψη

Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε κάποια χρήσιμα εργαλεία τόσο για τη μελέτη της δομής μιας ομάδας

Lie όσο και για τη μελέτη της γεωμετρίας τους. Αυτά είναι κάποια στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων, με

έμφαση στη συζυγή αναπαράσταση μιας ομάδας Lie, στη μορφή Killing και στους μεγιστικούς δακτυλίους.

Θα παρουσιάσουμε (χωρίς απόδειξη) το θεώρημα ταξινόμησης των συμπαγών και συνεκτικών ομάδων Lie

και έτσι να αναδειχτεί το γεγονός ότι η μελέτη των ομάδων πινάκων μας δίνει μία πολύ καλή εικόνα της

γενικής θεωρίας. Οι αναφορές σε αύξοντα βαθμό δυσκολίας είναι τα βιβλία [3], [4], [8], [1], [12] και [11].

Προαπαιτούμενη γνώση

Διαφορικός λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, εισαγωγή στις πολλαπλότητες, γραμμική άλγεβρα,

θεωρία ομάδων.

Είναι μια συνήθης πρακτική στα μαθηματικά να γίνεται προσπάθεια ταξινόμησης των μαθηματικών αντι-

κειμένων τα οποία έχουν κάποιες κοινές ιδιότητες (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι, πολλαπλότητες, κλπ).

Κάποια προβλήματα ταξινόμησης είναι αρκετά απλά (π.χ. διανυσματικοί χώροι) και άλλα εξαιρετικά δύσκο-

λα (π.χ. πεπερασμένες απλές ομάδες). Η πλήρης ταξινόμηση των ομάδων Lie δεν είναι και αυτή εύκολη

υπόθεση. Ακόμα και με κάποιες γενικές υποθέσεις (π.χ. συμπάγεια) το πρόβλημα εινα δύσκολο. Παρ΄ όλα

αυτά, κάποια εργαλεία που χρησιμοποιούνται έχουν μια γενικότερη αξία και χρησιμότητα (π.χ. μεγιστικοί

δακτύλιοι), γι΄ αυτό στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε κάπως με τη δομή μιας ομάδας Lie. Στο τέλος θα

παρουσιάσουμε την ταξινόμηση των απλών, συμπαγών, συνεκτικών και απλά συνεκτικών ομάδων Lie.

Η παρακολούθηση του κεφαλαίου αυτού απαιτεί μια ελαφρώς αυξημένη μαθηματική ωριμότητα, αν και

η μόνη προαπαιτούμενη γνώση είναι γραμμική άλγεβρα δύο εξαμήνων (π.χ. [9]) και βασική άλγεβρα (π.χ.

[7]). Ταυτόχρονα όμως αποτελεί ένα ενδιαφέρον πεδίο ανάδειξης των τεχνικών και των εφαρμογών της.

΄Οπως και να έχει, αρκετές αποδείξεις μπορούν να παραληφθούν από τον αναγνώστη και να επικεντρωθεί

στα αποτελέσματα και τις εφαρμογές αυτών.

2 Η δομή μιας ομάδας Lie

8.1 Ο τύπος των Campbell-Baker-Hausdorff

Η ακριβής σχέση μεταξύ των expX expY και exp(X + Y ) δίνεται από τον τύπο των Campbell-Baker-

Hausdorff1, ο οποίος ουσιαστικά δίνει τη λύση της εξίσωσης Z = log(expX expY ). Ο τύπος είναι αρκετά

δύσκολος στην απόδειξη, αλλά έχει σημαντικές εφαρμογές σχετικά με τη σχέση ανάμεσα στην δομή της

ομάδας Lie και της άλγεβρας Lie. Για παραδειγμα, το Θεώρημα 7.1 (της κλειστής υποομάδας) αποδεικνύεται

χρησιμοποιώντας τον τύπο των Campbell-Baker-Hausdorff.

Θεώρημα 8.1. ΄Εστω G μια ομάδα Lie με άλγεβρα Lie g και έστω X,Y ∈ g. Τότε υπάρχει καμπύληZ : I ⊆ R→ g, t 7→ Z(t) τέτοια ώστε

exp(tX)exp(tY ) = exp(Z(t)), (8.1)

όπου το Z(t) αναπτύσεται σε σειρά Taylor Z(t) =∑∞

n=0 tnZn(X,Y ), με

Z1(X,Y ) = X + Y

Z2(X,Y ) =1

2[X,Y ]

Z3(X,Y ) =1

12[[X,Y ], Y ]− 1

12[[X,Y ], X].

Στις περισσότερες εφαρμογές χρησιμοποιούμε μόνο τους όρους Z1(X,Y ) και Z2(X,Y ), οπότε η (8.1)

γράφεται αντίστοιχα ως

exp(tX)exp(tY ) = exp{t(X + Y ) +O(t2)}

exp(tX)exp(tY ) = exp{t(X + Y ) + t2

2[X,Y ] +O(t3)},

όπου O(t2) και O(t3) είναι λείες συναρτήσεις του t με τιμές στην g, τέτοιες ώστε η 1t2O(t2) να είναι

φραγμένη στο t = 0 και για τη δεύτερη, υπάρχει κάποιο � > 0 τέτοιο ώστε η 1t3O(t3) να είναι φραγμένη για

κάθε |t| < �.Θα αποδείξουμε δύο εφαρμογές του τύπου αυτού σχετικά με αβελιανές ομάδες Lie. Η πρώτη αναφέρει ότι

η εκθετική απεικόνιση μιας συνεκτικής και αβελιανής ομάδας Lie είναι επί και η δεύτερη ότι κάθε συνεκτική

και αβελιανή ομάδα Lie είναι της μορφής T k × Rn−k, όπου T είναι ένας δακτύλιος.

Το παρακάτω αποτέλεσμα αφορά οποιαδήποτε τοπολογική ομάδα.

Λήμμα 8.1. ΄Εστω G μια συνεκτική ομάδα Lie και U ⊂ G μια περιοχή του ουδέτερου στοιχείου e ∈ G.Τότε η G παράγεται από την περιοχή U .

Απόδειξη. ΄Εστω W ένα υποσύνολο της G και συμβολίζουμε με W−1 = {g−1 ∈ G | g ∈ W} και W k ={g1g2 · · · gk : gi ∈W}, όπου k ένας θετικός ακέραιος. ΄Εστω U η ανοικτή περιοχή του ουδέτερου στοιχείουe και θέτουμε V = U ∩U−1 ⊆ U . Τότε το σύνολο V είναι ανοικτό ως τομή των δύο ανοικτών συνόλων Uκαι U−1 και ισχύει V = V −1. ΄Εστω H η τοπολογική ομάδα η οποία παράγεται από το σύνολο V , δηλαδή

H =

∞⋃n=1

V n.

1Henry Frederick Baker, John Edward Campbell, Felix Hausdorff.

Ο τύπος των Campbell-Baker-Hausdorff 3

Τότε η H είναι υποομάδα της G και επιπλέον η H παράγεται από την ανοικτή περιοχή U . Πράγματι, είναι

H =∞⋃n=1

V n ⊆∞⋃n=1

Un.

Η τοπολογική ομάδα H είναι από τον ορισμό της ανοικτή. Για κάθε g ∈ G το σύνολο gH = {gh :h ∈ H} περιέχει το στοιχείο g, άρα είναι ανοικτό, επειδή η αριστερή μεταφορά Lg−1 : G → G είναιομοιομορφισμός (λόγω του ότι είναι αμφιδιαφόριση). Συνεπώς, το σύνολο G γράφεται ως ένωση ξένων

μεταξύ τους αριστερών συμπλόκων gH ως

G =⋃α∈I

gαH.

Επειδή όμως η τοπολογική ομάδα G είναι συνεκτική και τα gαH είναι ανοικτά, αυτό μπορεί να γίνει μόνο

στην περίπτωση που έχουμε μόνο ένα σύμπλοκο, δηλαδή eH = G.

Ορισμός 8.1. Μια άλγεβρα Lie (g, [ , ]) ονομάζεται αβελιανή, εάν για κάθε X,Y ∈ g ισχύει [X,Y ] = 0.

Πρόταση 8.1. ΄Εστω G μια ομάδα Lie με άλγεβρα Lie g. Τότε η G είναι αβελιανή εάν και μόνο εάν η g

είναι αβελιανή.

Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η άλγεβρα Lie g είναι αβελιανή. Τότε για X,Y ∈ g και για κάποιο αρκετά μικρόt, ο τύπος των Campbell-Baker-Hausdorff δίνει

exp(tX)exp(tY ) = exp{t(X + Y )},

συνεπώς θα έχουμε

exp(tX)exp(tY ) = exp{t(X + Y )} = exp{t(Y +X)} = exp(tY )exp(tX). (8.2)

Επειδή η εκθετική απεικόνιση είναι μια αμφιδιαφόριση μεταξύ των περιοχών Ũ 3 0 ∈ g και U 3 e ∈ G,έπεται ότι η ομάδα G είναι αβελιανή στην περιοχή U του ουδέτερου στοιχείου e. Λόγω της συνεκτικότητας

της G από το Λήμμα 8.1 προκύπτει ότι αυτή θα παράγεται από την περιοχή U , συνεπώς θα είναι αβελιανή.

Αντίστροφα, έστω ότι η ομάδα G είναι αβελιανή. Τότε θα είναι:

exptXexptY = exp{t(X + Y ) + t2

2[X,Y ] +O(t3)}

και

exptY exptX = exp{t(Y +X) + t2

2[Y,X] +O(t3)}.

Λόγω της (8.2) τα πρώτα μέλη στις παραπάνω εξισώσεις θα είναι, ίσα οπότε εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη

θα πάρουμε [X,Y ] = [Y,X] και επειδή το γινόμενο Lie είναι αντισυμμετρικό θα έχουμε ότι [X,Y ] = 0,

επομένως η g θα είναι αβελιανή.

Θεώρημα 8.2. Αν μια ομάδα Lie G είναι αβελιανή τότε η εκθετική απεικόνιση exp : g → G είναιομομορφισμός ομάδων Lie.

4 Η δομή μιας ομάδας Lie

Απόδειξη. Επειδή η εκθετική απεικόνιση είναι λεία, αρκεί να δείξουμε ότι exp(X)exp(Y ) = exp(X + Y ).

Στον τύπο των Campbell-Baker-Hausdorff θέτουμε t = 1/n, όπου n αρκετά μεγάλος αριθμός, οπότε

exp( 1nX)

exp( 1nY)

= exp{ 1n

(X + Y )}.

Συνεπώς (exp( 1nX)

exp( 1nY))n

=(

exp{ 1n

(X + Y )})n

.

Επειδή η ομάδα G είναι αβελιανή, θα ισχύει η σχέση (8.2) από την οποία θα πάρουμε:(exp( 1nX)

exp( 1nY))n

=(

exp(1

nX))n(

exp(1

nY ))n.

Επομένως, (exp(

1

nX))n(

exp(1

nY ))n

=(

exp{ 1n

(X + Y )})n

.

Η παραπάνω ισότητα μπορεί να γραφτεί ως

(φX(

1

n))n(

φY (1

n))n

=(φX+Y (

1

n))n,

όπου φX , φY και φX+Y είναι οι αντίστοιχες μονοπαραμετρικές υποομάδες των X,Y και X + Y . Χρησιμο-

ποιώντας το γεγονός ότι οι μονοπαραμετρικές υποομάδες είναι ομομορφισμοί, θα ισχύει η εξής ιδιότητα:

(φ(t))n = φ(t) · · ·φ(t)︸ ︷︷ ︸n−φορές

= φ(t+ · · ·+ t) = φ(nt).

Η προηγούμενη σχέση θα μας δώσει ότι φX(1)φY (1) = φX+Y (1), δηλαδή

exp(X)exp(Y ) = exp(X + Y ).

Στη συνέχεια θα δούμε πότε η εκθετική απεικόνιση είναι επί.

Πρόταση 8.2. Αν μια ομάδα Lie G είναι αβελιανή και συνεκτική, τότε η εκθετική απεικόνιση exp : g→ Gείναι επί.

Απόδειξη. Για να είναι η ακεικόνιση exp επί θα πρέπει για κάθε g ∈ G να υπάρχει κάποιο X ∈ g τέτοιο ώστεexp(X) = g. ΄Εστω g ∈ G και V μια ανοιχτή περιοχή του 0 ∈ g τέτοια ώστε η exp να είναι αμφιδιαφόριση.Τότε η U = exp(V ) είναι μια ανοιχτή περιοχή του e ∈ G η οποία λόγω της συνεκτικότητας θα παράγειτην G (Λήμμα 8.1). ΄Αρα μπορούμε να γράψουμε g = exp(X1) · · · exp(Xn) (όπου n = dimG). Επειδήόμως η ομάδα G είναι αβελιανή, λόγω του Θεωρήματος 8.2 η εκθετική απεικόνιση θα είναι ομομορφισμός,

δηλαδή για κάθε X,Y ∈ g θα ισχύει exp(X)exp(Y ) = exp(X + Y ). Συνεπώς, προκύπτει ότι g =exp(X1) · · · exp(Xn) = exp(X1 + · · ·+Xn︸ ︷︷ ︸

X∈g

).

Στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων 5

Παρατήρηση. Η προηγούμενη πρόταση δεν ισχύει, αν κάποια από τις προϋποθέσεις δεν ικανοποιείται.

Πράγματι, για τη μη συνεκτική ομάδα Lie G = GLnR, η εκθετική απεικόνιση exp : MnR→ GLnR δεν είναι

επί, διότι π.χ. για τον πίνακα g =

(−2 00 −1

)∈ GLnR, δεν υπάρχει A ∈ MnR τέτοιος ώστε ≡ eA = g

(βλ. και ΄Ασκηση 18 του Κεφαλαίου 7).

Ερχόμαστε τώρα στη δεύτερη εφαρμογή του τύπου Campbell-Baker-Hausdorff.

Ορισμός 8.2. ΄Εστω G μια τοπολογική ομάδα και N μια υποομάδα αυτής. Η N ονομάζεται διακριτή

(discete) υποομάδα της G, εάν υπάρχει μια περιοχή U του e τέτοια ώστε N ∩ U = {e}.

Παράδειγμα. Το σύνολο Z των ακεραίων είναι μια διακριτή υποομάδα της προσθετικής ομάδας τωνπραγματικών αριθμών R, αλλά το σύνολο Q των ρητών αριθμών δεν είναι διακριτή υποομάδα του R.

Πρόταση 8.3. ΄Εστω G μια ομάδα Lie και g η άλγεβρα Lie αυτής. Αν η G είναι αβελιανή και συνεκτική

τότε το σύνολο Ker(exp) = {X ∈ g : exp(X) = e} είναι μια διακριτή υποομάδα της g.

Απόδειξη. Επειδή η ομάδα G είναι αβελιανή, η εκθετική απεικόνιση θα είναι ομομορφισμός, δηλαδή exp(0) =

e. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι η εκθετική είναι μια τοπική αμφιδιαφόριση από μια περιοχή V 3 0 ∈ g σε μιαπεριοχή U 3 e ∈ G. Δηλαδή θα έχουμε Ker(exp) ∩ V = {0}.

Πριν παρουσιάσουμε το θεώρημα που ταξινομεί όλες τις αβελιανές και συνεκτικές ομάδες Lie χρειαζό-

μαστε το ακόλουθο αποτέλεσμα σχετικά με τις διακριτές υποομάδες ενός διανυσματικού χώρου (συνδυάστε

τα παρακάτω και με την ΄Ασκηση 7).

Λήμμα 8.2. `Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και έστω K μια

διακριτή υποομάδα του V . Τότε υπάρχει ένα γραμμικώς ανεξάρτητο υποσύνολο {v1, . . . , vk} του V , ώστεK = span{v1, . . . , vk}. Επιπλέον, εάν dimV = n τότε V/K ∼= (Rk/Zk)× Rn−k.

Θεώρημα 8.3. Κάθε συνεκτική και αβελιανή ομάδα Lie G είναι της μορφής Tk ×Rn−k, όπου Tk είναι οk-διάστατος δακτύλιος2 και n η διάσταση της ομάδας G. Αν επιπλέον η G είναι συμπαγής τότε αυτή είναι

κάποιος δακτύλιος.

Απόδειξη. Επειδή η ομάδα G είναι συνεκτική και αβελιανή, η εκθετική απεικόνιση exp : g→ G θα είναι επί,άρα από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμού3 θα έχουμε ότι G ∼= g/Ker(exp). Από την Πρόταση 8.3 ο πυρήναςKer(exp) της εκθετικής απεικόνισης είναι διακριτή υποομάδα της g, οπότε από το προηγούμενο λήμμα είναι

ότι Ker(exp) = spanZ{X1, . . . , Xk} για κάποια Xi ∈ g. Τότε, λαμβάνοντας υπόψη τον ισομορφισμόg ∼= Rn, προκύπτει ότι

G ∼= g/Ker(exp) ∼= (Rk/Zk)× Rn−k ∼= Tk × Rn−k.

2Ο δακτύλιος Tk ∼= S1 × · · · × S1 είναι ισόμορφος με την ομάδα πηλίκο Rk/Zk.3Αν f : (G, ∗)→ (K, ·) είναι ένας ομομορφισμός ομάδων τότε G/Kerf ∼= Imf .

6 Η δομή μιας ομάδας Lie

8.2 Στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων

Γενικά μια αναπαράσταση μιας ομάδας G είναι ένας λείος ομομορφισμός από την G στους αυτομορφισμούς

ενός διανυσματικού χώρου V ή σε ένα σύνολο πινάκων. Οι αναπαραστάσεις αποτελούν ένα χρήσιμο εργα-

λείο στη θεωρία ομάδων, επειδή ανάγουν το δύσκολο πρόβλημα της μελέτης τους, στη μελέτη γραμμικών

απεικονίσεων σε κατάλληλους διανυσματικούς χώρους. Η θεωρία αναπαραστάσεων αναπτύχθηκε κυρίως

από τους Ferdinand Georg Frobenius, Felix Bernstein και Issai Schur. Αποτελεί ένα ιδιαίτερα σημαντικό

εργαλείο στα μαθηματικά και στη φυσική, αλλά και ξεχωριστό ερευνητικό κλάδο.

Στην παρούσα παράγραφο θα παρουσιάσουμε βασικές έννοιες από τη θεωρία αναπαραστάσεων ομάδων

Lie, οι οποίες είναι χρήσιμες στη μελέτη τόσο της δομής των ομάδων Lie, όσο και της γεωμετρίας των

ομογενών χώρων που θα δούμε στα δύο επόμενα κεφάλαια.

Θυμίζουμε ότι για έναν διανυσματικό χώρο V , συμβολίζουμε με Aut(V ) το σύνολο των αντιστρέψιμων

γραμμικών μετασχηματισμών του V .

Ορισμός 8.3. ΄Εστω G μια ομάδα Lie. Μια αναπαράσταση της G είναι ένας ομομορφισμός ομάδων Lie

φ : G → Aut(V ). Αν ο διανυσματικός χώρος V είναι πεπερασμένης διάστασης, τότε η αναπαράστασηονομάζεται πεπερασμένης διάστασης και η διάστασή της ορίζεται ως η διάσταση του διανυσματικού χώρου

V .

Πολλές φορές μια αναπαράσταση της G στον V συμβολίζεται με (G,V ) ή απλά με V . ΄Οταν η απεικόνιση

φ είναι 1 − 1, τότε η αναπαράσταση καλείται πιστή (faithful). Αν η φ απεικονίζει κάθε στοιχείο g ∈ Gστην ταυτοτική απεικόνιση του χώρου Aut(V ), δηλαδή φ(g) = IdV , τότε λέγεται τετριμμένη (trivial) και

συμβολίζεται με 1. Σύμφωνα με τον ορισμό κάθε αναπαράσταση ορίζει μια δράση της ομάδας G στον

διανυσματικό χώρο V ως εξής:

Φ : G× V → V, Φ(g, v) = φ(g)(v).

Για τον λόγο αυτό μια αναπαράσταση λέγεται και G-χώρος (G-space). Αν ο V είναι πραγματικός (αντ.

μιγαδικός, ή υπερμιγαδικός) διανυσματικός χώρος και η απεικόνιση Φg = φ(g) : V → V είναι γραμμικήγια κάθε g ∈ G, τότε η αναπαράσταση καλείται πραγματική (αντ. μιγαδική ή υπερμιγαδική). Σε επόμενοκεφάλαιο θα δούμε αναλυτικότερα την έννοια της δράσης.

Με ανάλογο τρόπο, αν g είναι μια άλγεβρα Lie τότε μια αναπαράσταση της g είναι ένας ομομορφισμός

αλγεβρών Lie φ : g→ End(V ).

Ορισμός 8.4. ΄Εστω (G,V ) μια αναπαράσταση. ΄Ενας υπόχωρος U του V καλείται αναλλοίωτος ή G-

αναλλοίωτος (G-invariant), αν για κάθε g ∈ G ισχύει

gU = {gx : g ∈ G, x ∈ U} ⊆ U.

΄Ενα εσωτερικό γινόμενο 〈·, ·〉 στον χώρο V θα λέγεται G-αναλλοίωτο, εάν

〈φ(g)u, φ(g)v〉 = 〈u, v〉 ,

για κάθε g ∈ G και u, v ∈ V .

Στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων 7

Κάθε αναπαράσταση (G,V ) έχει τουλάχιστον δύο αναλλοίωτους υπόχωρους τον τετριμμένο {0} καιτον ευατό της V . Στην περίπτωση που ο χώρος V είναι εφοδιασμένος με ένα G-αναλλοίωτο εσωτερικό

γινόμενο τότε η αναπαράσταση καλείται ορθογώνια (orthogonal), αν V = R και μοναδιαία (unitary), ανV = C.

Ορισμός 8.5. Μια αναπαράσταση φ : G → Aut(V ) καλείται μη αναγώγιμη (irreducible), αν οι μόνοιαναλλοίωτοι υπόχωροι είναι οι {0} και V .

Δύο αναπαραστάσεις φ : G → Aut(V ) και ψ : G → Aut(W ) ονομάζονται ισοδύναμες (equivalent)(συμβολικά γράφουμε φ ∼= ψ), εάν υπάρχει ισομορφισμός διανυσματικών χώρων A : V →W τέτοιος ώστεγια κάθε g ∈ G και v ∈ V να ισχύει

A(φ(g)v) = ψ(g)A(v), ή πιο απλά Aφ = ψA.

Αυτό σημαίνει ότι το παρακάτω διάγραμμα είναι μεταθετικό:

Vφ(g) //

A��

V

A��

Wψ(g) //W

Κάθε απεικόνιση A που ικανοποιεί την παραπάνω ιδιότητα ονομάζεται G-ισοαναλλοίωτη (G-equivariant).

΄Εστω οι αναπαραστάσεις φi : G→ Aut(Vi), i = 1, 2 της ομάδας G. Τότε ορίζονται δύο νέες αναπαρα-στάσεις της G ως εξής:

φ1 ⊕ φ2 : G→ Aut(V1 ⊕ V2), g 7→ (φ1 ⊕ φ2)g : V1 ⊕ V2 → V1 ⊕ V2,

(x, y) 7→ (φ1 ⊕ φ2)g(x, y) = g(x, y) = (gx, gy)

φ1 ⊗ φ2 : G→ Aut(V1 ⊗ V2), g 7→ (φ1 ⊗ φ2)g : V1 ⊗ V2 → V1 ⊗ V2,

(x⊗ y) 7→ (φ1 ⊗ φ2)g(x⊗ y) = g(x⊗ y) = gx⊗ gy.

Οι παραπάνω αναπαραστάσεις ονομάζονται αντίστοιχα eυθύ άθροισμα και tανυστικό γινόμενο των φ1 και

φ2 αντίστοιχα.

Ορισμός 8.6. Μια αναπαράσταση φ : G→ Aut(V ) ονομάζεται aναγώγιμη (reducible), αν εκφράζεται ωςευθύ άθροισμα μη αναγώγιμων αναπαραστάσεων φ1, . . . , φk, δηλαδή ισχύει

φ ∼= φ1 ⊕ · · · ⊕ φk : G→ Aut(V1 ⊕ · · · ⊕ Vk),

όπου Vi είναι G-αναλλοίωτοι υπόχωροι του διανυσματικού χώρου V και φi : G→ Aut(Vi).

Αποδεικνύεται ότι κάθε αναπαράσταση (G,V ) μιας πεπερασμένης ομάδας G έχει ένα G-αναλλοίωτο

εσωτερικό γινόμενο4. Το ίδιο αποτέλεσμα γενικεύεται και στις συμπαγείς τοπολογικές ομάδες. Πριν περά-

σουμε στην απόδειξη θα χρειαστούμε το ακόλουθο αποτέλεσμα (από τις τοπολογικές ομάδες), δηλαδή ότι σε

4Δηλαδή αν ο V είναι πραγματικός (αντ. μιγαδικός) διανυσματικός χώρος η αναπαράσταση είναι ορθογώνια (αντ. μονα-

διαία.)

8 Η δομή μιας ομάδας Lie

κάθε τοπικά συμπαγή τοπολογική ομάδα G ορίζεται μοναδική απεικόνιση από το σύνολο των πραγματικών

συνεχών συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς

f 7−→∫Gf(g)dg

η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

(i)∫G(α1f1(g) + α2f2(g))dg = α1

∫G f1(g)dg + α2

∫G f2(g)dg (γραμμικότητα)

(ii) Αν f > 0 τότε∫G f(g)dg > 0 (θετικά ορισμένη)

(iii)∫G f(xg)dg =

∫G f(gx)dg =

∫G f(g)dg για κάθε x ∈ G (αναλλοίωτη κάτω από την αριστερή και

δεξιά μεταφορά)

(iv)∫G IdG dg = 1.

Ο αριθμός∫G f(g)dg καλείται ολοκλήρωμα του Haar

5.

Θεώρημα 8.4. ΄Εστω φ : G → Aut(V ) μια αναπαράσταση μιας συμπαγούς ομάδας Lie. Τότε υπάρχειένα G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο 〈 , 〉 στον V , δηλαδή

〈φ(g)u, φ(g)v〉 = 〈u, v〉 για κάθε u, v ∈ V και g ∈ G.

Απόδειξη. Θεωρούμε ένα τυχαίο εσωτερικό γινόμενο 〈〈·, ·〉〉 στον διανυσματικό χώρο V και ορίζουμε

〈u, v〉 =∫G〈〈φ(g)u, φ(g)v〉〉 dg, για κάθε u, v ∈ V. (8.3)

Από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος Haar και επειδή το 〈〈·, ·〉〉 είναι εσωτερικό γινόμενο, αποδεικνύεταιεύκολα ότι η σχέση (8.3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο V . Θα αποδείξουμε ότι αυτό είναι

G-αναλλοίωτο. Πράγματι, έστω h ∈ G. Τότε

〈φ(h)u, φ(h)v〉 =∫G〈〈φ(g)φ(h)u, φ(g)φ(h)v〉〉 dg

=

∫G〈〈φ(gh)u, φ(gh)v〉〉 dg

=

∫G〈〈φ(g)u, φ(g)v〉〉 dg

= 〈u, v〉 .

Για μια συμπαγή ομάδα Lie οι μη αναγώγιμες αναπαραστάσεις αποτελούν τους θεμέλιους λίθους για

κάθε αναπαράσταση πεπερασμένης διάστασης. Χρειαζόμαστε πρώτα το εξής:

5 Alfréd Haar.

Στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων 9

Λήμμα 8.3. ΄Εστω G μια συμπαγής ομάδα Lie, V πραγματικός ή μιγαδικός χώρος, φ : G→ Aut(V ) μιααναπαράσταση και έστω U ένας G-αναλλοίωτος υπόχωρος του V . Εφοδιάζουμε τον V με ένα G-αναλλοίωτο

εσωτερικό γινόμενο 〈 , 〉. Τότε ο υπόχωρος

U⊥ = {v ∈ V : 〈u, v〉 = 0 για κάθε u ∈ U}

είναι G-αναλλοίωτος.

Απόδειξη. Θα πρέπει να δείξουμε ότι φ(g)U⊥ ⊆ U⊥ για κάθε g ∈ G. Επειδή το εσωτερικό γινόμενο είναιG-αναλλοίωτο, για κάθε u ∈ U, v ∈ U⊥ και g ∈ G, έχουμε ότι

0 = 〈u, v〉 = 〈φ(g)u, φ(g)v〉 .

Επομένως θα πρέπει το φ(g)v να ανήκει στον U⊥, άρα το ορθογώνιο συμπλήρωμα του U είναι πράγματι

G-αναλλοίωτος υπόχωρος.

Θεώρημα 8.5. ΄Εστω G μια συμπαγής ομάδα Lie και V ένας πραγματικός ή μιγαδικός διανυσματικός

χώρος. Τότε κάθε αναπαράσταση φ : G→ Aut(V ) πεπερασμένης διάστασης εκφράζεται ως ευθύ άθροισμαμη αναγώγιμων αναπαραστάσεων, δηλαδή η φ είναι αναγώγιμη.

Απόδειξη. Εφοδιάζουμε τον διανυσματικό χώρο V με ένα G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο 〈 , 〉 το οποίουπάρχει από το Θεώρημα 8.4. ΄Εστω U ένας μη αναγώγιμος G-αναλλοίωτος υπόχωρος του V τέτοιος ώστε

dim(U) > 0 και έστω U⊥ = {v ∈ V : 〈u, v〉 = 0 για κάθε u ∈ U} το ορθογώνιο συμπλήρωμα. Τότεο V γράφεται ως ευθύ άθροισμα δύο G-αναλλοίωτων υποχώρων, δηλαδή V = U ⊕ U⊥ και dim(V ) =dim(U) + dim(U⊥). Στην περίπτωση που οι χώροι U και U⊥ είναι μη αναγώγιμοι τότε η αναπαράσταση φ

θα γράφεται ως ευθύ άθροισμα δύο μη αναγώγιμων αναπαραστάσεων

φ ∼= φ1 ⊕ φ2, όπου φi : G→ Aut(Vi), i = 1, 2.

Αν όμως οι χώροι U , U⊥ είναι αναγώγιμοι, τότε ο καθένας θα γράφεται ως ευθύ άθροισμα ορθογώνιων

G-αναλλοίωτων υπόχωρων, όπως και προηγουμένως. Αν αυτοί οι υπόχωροι είναι μη αναγώγιμοι, θα έ-

χουμε το ζητούμενο, αν όχι θα επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία. Επειδή ο διανυσματικός χώρος V είναι

πεπερασμένης διάστασης, έστω n, από την παραπάνω διαδικασία θα έχουμε ότι

V ∼= U1 ⊕ · · · ⊕ Un,

όπου Ui, i = 1, . . . n είναι μη αναγώγιμοι G-αναλλοίωτοι υπόχωροι, δηλαδή

φ ∼= φ1 ⊕ · · · ⊕ φn : G→ Aut(U1 ⊕ · · · ⊕ Un).

΄Εστω (G,V ) μια αναπαράσταση πεπερασμένης διάστασης. Σύμφωνα με το Θεώρημα 8.4, όταν η ομάδαG

είναι συμπαγής, τότε υπάρχει πάντα ένα G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον χώρο V . Θα αποδείξουμε

ότι, αν η (G,V ) είναι μη αναγώγιμη (δηλαδή οι μόνοι G-αναλλοίωτοι υπόχωροι του V είναι ο {0} και οεαυτός του) και ο V είναι μιγαδικός διανυσματικός χώρος, τότε το G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο 〈 , 〉

10 Η δομή μιας ομάδας Lie

στον V είναι μοναδικό. Ειδικότερα θα δούμε ότι, αν 〈 , 〉′ είναι κάποιο τυχαίο εσωτερικό γινόμενο του V ,τότε

〈 , 〉′ = c 〈 , 〉 , c ∈ R.

Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει και στην περίπτωση που η αναπαράσταση (G,V ) είναι πραγματική.

Θα χρειαστούμε ένα εξαιρετικά χρήσιμο αποτέλεσμα, γνωστό ως Λήμμα του Schur, το οποίο εμφανίζεται

με διάφορες εκδοχές.

Θεώρημα 8.6. (Λήμμα του Schur, Πρώτη εκδοχή).

΄Εστω φi : G → Aut(Vi), i = 1, 2 δύο μη αναγώγιμες αναπαραστάσεις της G και έστω f : V1 → V2 μιαG-ισοαναλλοίωτη απεικόνιση. Τότε είτε η f είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων (οπότε η φ1 είναι

ισοδύναμη με την φ2), είτε f = 0.

Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι χώροι Kerf = {x ∈ V1 : f(x) = 0} ⊂ V1 και Imf = {f(x) : x ∈V1} ⊂ V2 είναι αντίστοιχα φi(g)-αναλλοίωτοι για κάθε g ∈ G. Επειδή η απεικόνιση f είναι G-ισοαναλλοίωτη,θα ισχύει f ◦ φ1(g) = φ2(g) ◦ f για κάθε g ∈ G.

΄Εστω x ∈ Kerf . Τότε f(x) = 0, επομένως για κάθε g ∈ G είναι:

(φ2(g) ◦ f)(x) = φ2(g)(f(x)) = φ2(g)(0) = 0 = (f ◦ φ1(g))(x)⇒

f(φ1(g)(x)) = 0⇒ φ1(g)(x) ∈ Kerf,

άρα ο χώρος Kerf είναι φ1(g)-αναλλοίωτος. Επειδή η αναπαράσταση φ1 : G→ Aut(V1) είναι μη αναγώγιμη,θα πρέπει Kerf = 0 ή Kerf = V1. Στη συνέχεια, θα δείξουμε ότι το σύνολο Imf είναι φ2(g)-αναλλοίωτο.

΄Εστω y ∈ Imf . Τότε υπάρχει x ∈ V1 τέτοιο ώστε y = f(x). Επομένως, για κάθε g ∈ G έχουμε ότι

φ2(g)(y) = φ2(g)(f(x)) = (φ2(g) ◦ f)(x) = (f ◦ φ1(g))(x) = f(φ1(g)(x))⇒ φ2(g)(y) ∈ Imf,

δηλαδή ο Imf είναι πράγματι φ2(g)-αναλλοίωτος. Αφού η αναπαράσταση φ2 : G → Aut(V2) είναι μηαναγώγιμη, θα πρέπει Imf = 0 ή Imf = V2.

Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε τις εξής περιπτώσεις:

(1) Αν Kerf = V1, τότε Imf = 0, δηλαδή f = 0 και

(2) Αν Kerf = 0, τότε Imf = V2, δηλαδή η f είναι ισομορφισμός.

Θεώρημα 8.7. (Λήμμα του Schur, Δεύτερη εκδοχή).

΄Εστω φ : G → Aut(V ) μια μη αναγώγιμη αναπαράσταση της G στον μιγαδικό χώρο V και f ∈ End(V )μια G-ισοαναλλοίωτη απεικόνιση. Τότε f = cIdV , για κάποιο c ∈ C.

Απόδειξη. ΄Εστω A = (αij) ο πίνακας του ενδομορφισμού f ως προς κάποια βάση του V . Τότε από το

θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας το χαρακτηριστικό πολυώνυμο p(x) της f έχει μια ρίζα c ∈ C. Επομένως

p(c) = det(cIdV −A) = 0.

Στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων 11

Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας του ενδομορφισμού f1 := cIdV − f δεν είναι ο μηδενικός υπόχωρος, δηλαδήKer(cIdV − f) 6= {0}. Επίσης, για κάθε g ∈ G έχουμε ότι

f1φ(g) = (cIdV − f)φ(g) = cφ(g)− fφ(g) = φ(g)c− φ(g)f = φ(g)(IdV c− f) = φ(g)f1.

Αυτό σημαίνει ότι η f1 είναι μια ισοαναλλοίωτη απεικόνιση και ο V είναι μη αναγώγιμος υπόχωρος, άρα από

την πρώτη εκδοχή του Λήμματος του Schur προκύπτει ότι f1 = 0 και άρα f = cIdV .

Θα δούμε τώρα το βασικό θεώρημα της παραγράφου. Το θεώρημα αυτό έχει πολλές εφαρμογές στη

γεωμετρία των ομάδων Lie και των ομογενών χώρων. Για παράδειγμα, όπως θα δούμε αργότερα, μας

βοηθάει να περιγράψουμε τις αναλλοίωτες μετρικές σε έναν ομογενή χώρο.

Θεώρημα 8.8. ΄Εστω V ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος διάστασης n και φ : G→ Aut(V ) μια μηαναγώγιμη αναπαράσταση της G. Τότε υπάρχει ένα και μοναδικό G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον

V , αγνοώντας πολλαπλασιασμό με θετικές σταθερές.6

Απόδειξη. Η ύπαρξη εξασφαλίζεται από το Θεώρημα 8.4. ΄Εστω 〈 , 〉1 και 〈 , 〉2 δύο G-αναλλοίωτα εσω-τερικά γινόμενα στον V . Τότε (βλ. Ασκηση 1) υπάρχει μοναδικός γραμμικός τελεστής T : V → V τέτοιοςώστε

〈u, v〉1 = 〈T (u), v〉2 .

Ο T είναι αυτοσυζυγής ως προς το εσωτερικό γινόμενο 〈 , 〉2 . Επίσης, για κάθε g ∈ G ισχύει ότιT (φ(g)v) = φ(g)T (v). Πράγματι,

〈T (φ(g)u), φ(g)v〉2 = 〈φ(g)u, φ(g)v〉1= 〈u, v〉1 επειδή το 〈 , 〉1 είναι G-αναλλοίωτο

= 〈T (u), v〉2= 〈φ(g)T (u), φ(g)v〉2 επειδή το 〈 , 〉2 είναι G-αναλλοίωτο.

΄Αρα T (φ(g)u) = φ(g)T (u), δηλαδή ο T είναι μια G-ισοαναλλοίωτη απεικόνιση. Επειδή ο T είναι αυτοσυ-

ζυγής, θα υπάρχει μια 〈 , 〉2-ορθοκανονική βάση απο ιδιοδιανύσματα και επιπλέον ο τελεστής T θα έχειτουλάχιστον μία πραγματική ιδιοτιμή λ ∈ R. 7 Θεωρούμε τον υπόχωρο Ker(T − λIdV ) του V . Επειδή τολ είναι ιδιοτιμή, τότε ο πυρήνας της γραμμικής απεικόνισης T − λIdV : V → V θα είναι μη μηδενικός, διότιθα υπάρχει κάποιο v ∈ V τέτοιο ώστε (T − λIdV )(v) = 0, δηλαδή v ∈ Ker(T − λIdV ), οπότε

Ker(T − λIdV ) 6= {0}.

Αρκεί να δείξουμε ότι ο χώρος Ker(T − λIdV ) είναι G-αναλλοίωτος, δηλαδή ότι για κάθε g ∈ G

φ(g)Ker(T − λIdV ) ⊆ Ker(T − λIdV ).6Δηλαδή αν 〈·, ·〉1 και 〈·, ·〉2 είναι δύο G-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον V τότε 〈·, ·〉1 = λ 〈·, ·〉2, λ ∈ R

+.7 ΄Εστω λ μια ιδιοτιμή και v το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Τότε λ 〈v, v〉2 = 〈T (v), v〉2 = 〈v, T (v)〉2 = 〈v, λv〉2 = λ̄ 〈v, v〉2,

άρα θα πρέπει λ = λ̄ δηλαδή λ ∈ R.

12 Η δομή μιας ομάδας Lie

Πιο αναλυτικά θα πρέπει να ισχύει φ(g)v ∈ Ker(T − λIdV ) εάν και μόνο εάν (T − λIdV )(φ(g)v) = 0, γιακάθε v ∈ Ker(T − λIdV ).

Η απεικόνιση T − λIdV είναι G-ισοαναλλοίωτη, επειδή ισχύει

〈(T − λIdV )(φ(g)u), φ(g)v〉2 = 〈T (φ(g)u), φ(g)v〉2 − λ 〈φ(g)u, φ(g)v〉2= 〈φ(g)T (u), φ(g)v〉2 − λ 〈φ(g)u, φ(g)v〉2= 〈T (u), v〉2 − λ 〈u, v〉2 = 〈(T − λIdV )(u), v〉2= 〈φ(g)(T − λIdV )(u), φ(g)v〉2 .

Στην δεύτερη και στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε αντίστοιχα ότι ο τελεστής T είναι G-ισοαναλλοίωτη

απεικόνιση και ότι τα εσωτερικά γινόμενα 〈 , 〉i , i = 1, 2 είναι G-αναλλοίωτα. Οπότε (T −λIdV )(φ(g)u) =φ(g)(T − λIdV )(u), επομένως για κάθε v ∈ Ker(T − λIdV ) θα είναι

(T − λIdV )(φ(g)v) = φ(g)(T − λIdV )(v)

= φ(g)0

= 0.

Συνεπώς, φ(g)v ∈ Ker(T−λIdV ), και κατ΄ επέκταση το σύνολο Ker(T−λIdV ) είναι G-αναλλοίωτο. Επειδήη αναπαράσταση φ : G → Aut(V ) είναι μη αναγώγιμη και αποδείξαμε ότι το σύνολο Ker(T − λIdV ) είναιG-αναλλοίωτο τέτοιο ώστε Ker(T − λIdV ) 6= {0}, από το Λήμμα του Schur (δεύτερη εκδοχή) θα πρέπειέπεται ότι

Ker(T − λIdV ) = V,

δηλαδή κάθε στοιχείο του χώρου V είναι ιδιοδιάνυσμα του τελεστή T. ΄Εστω τώρα u, v ∈ V . Τότε

〈T (u), v〉2 = 〈λu, v〉2 = λ 〈u, v〉2 , λ ∈ R.

Αλλά 〈T (u), v〉2 = 〈u, v〉1, άρα θα έχουμε το ζητούμενο:

〈u, v〉1 = λ 〈u, v〉2 , λ ∈ R.

Στην περίπτωση που η αναπαράσταση φ : G → Aut(V ) είναι αναγώγιμη, δηλάδη φ ∼= φ1 ⊕ · · · ⊕ φn,όπου κάθε υποαναπαράσταση φi : G → Aut(Ui), i = 1, . . . , n είναι μη αναγώγιμη, τότε ισχύει το εξήςσημαντικό αποτέλεσμα:

Θεώρημα 8.9. ΄Εστω μια αναγώγιμη αναπαράσταση φ : G → Aut(V ) τέτοια ώστε φ ∼= φ1 ⊕ φ2, όπουφi : G → Aut(Ui), i = 1, 2 είναι δύο μη ισοδύναμες υποαναπαραστάσεις, δηλαδή φ1 � φ2. Τότε ως προςένα G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο του διανυσματικού χώρου V οι υπόχωροι U1 και U2 είναι κάθετοι

μεταξύ τους (U1⊥U2).

Απόδειξη. Εφοδιάζουμε τον διανυσματικό χώρο V ∼= U1 ⊕ U2 με ένα G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο.Θεωρούμε την ορθογώνια προβολή σ : U2 → U1, u 7→ x του U2 επί του U1, όπου το u ∈ U2 γράφεται κατά

Η συζυγής αναπαράσταση 13

μοναδικό τρόπο ως u = x+ y, με x ∈ U1 και y ∈ U⊥1 . Προφανώς η απεικόνιση IdU2 − σ είναι η ορθογώνιαπροβολή του U2 επί του U⊥1 , δηλαδή για κάθε u ∈ U2 θα είναι

u− σ(u)︸ ︷︷ ︸∈U⊥1

⊥U1. (8.4)

Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι η απεικόνιση σ είναι η μηδενική. Η σ : U2 → U1 είναι G-ισοαναλλοίωτη.Πράγματι, για κάθε g ∈ G έχουμε

σ(φ2(g)u

)= σ

(φ2(g)(x+ y)

)= σ

(φ2(g)x+ φ2(g)y

)= φ2(g)x = φ1(g)x, επειδή οι υπόχωροι U1, U2 είναι G-αναλλοίωτοι

= φ1(g)σ(x+ y) = φ1(g)σ(u).

Επειδή οι αναπαραστάσεις φ1 και φ2 είναι μη ισοδύναμες, από το Λήμμα του Schur (πρώτη εκδοχή) θα πρέπει

σ = 0, οπότε από την σχέση (8.4) προκύπτει ότι για κάθε u ∈ U2 θα είναι u⊥U1, δηλαδή U2⊥U1.

Σημειώνουμε ότι τα παραπάνω ισχύουν για οποιαδήποτε αναπαράσταση μιας ομάδας.

8.3 Η συζυγής αναπαράσταση

Μια ιδιαίτερα σημαντική αναπαράσταση για τη μελέτη της δομής μιας ομάδας Lie είναι η συζυγής αναπαρά-

σταση αυτής. ΄Εστω G μια ομάδα Lie. ΄Ενας ισομορφισμός ομάδων Lie φ : G→ G καλείται αυτομορφισμός(automorphism) της G. Για κάθε g ∈ G η απεικόνιση

Ig = Rg−1 ◦ Lg : G→ G, x 7→ gxg−1

είναι αμφιδιαφόριση και επομένως ανήκει στους αυτομορφισμούς της G. Ονομάζεται εσωτερικός αυτομορ-

φισμός της G.

Ορισμός 8.7. Η συζυγής αναπαράσταση (adjoint representation) της ομάδας LieG είναι ο ομομορφισμός

Ad : G→ Aut(g), με τιμή Ad(g) = (dIg)e.

Επειδή Ixy = Ix ◦ Iy, παίρνοντας τα διαφορικά και στα δύο μέλη, θα έχουμε Ad(xy) = Ad(x) ◦Ad(y), δηλαδή είναι ομομορφισμός ομάδων Lie. Αποδεικνύεται ότι η Ad είναι λεία, άρα είναι πράγματι ένας

ομομορφισμός ομάδων Lie.

Το διαφορικό της Ad ορίζει τη συζυγή αναπαράσταση της άλγεβρας Lie g:

Ορισμός 8.8. Η συζυγής αναπαράσταση της άλγεβρας Lie g είναι ο ομομορφισμός ad : g→ End(g), μετιμή ad(X) = (dAd)e(X).

΄Εστω G μια ομάδα Lie. Τότε για κάθε t ∈ R, g ∈ G και X ∈ g ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

(1) gexp(tX)g−1 = exp(tAd(g)X).

(2) Ad(exp(tX)) = exp(tad(X)).

14 Η δομή μιας ομάδας Lie

Πράγματι, για την πρώτη σχέση λαμβάνοντας υπόψη τη φυσιολογική συμπεριφορά της εκθετικής απεικόνισης

(Θεώρημα 7.6), το παρακάτω διάγραμμα θα είναι μεταθετικό:

gAd(g) //

exp

��

g

exp

��G

Ig // G

Με τον ίδιο τρόπο η δεύτερη σχέση προκύπτει εύκολα από το διάγραμμα

gad //

exp

��

End(g)

exp

��G

Ad // Aut(g)

Γνωρίζουμε ότι το κέντρο μιας ομάδας είναι μια υπομάδα ιδιαίτερης σημασίας. Το κέντρο της ομάδας Lie

G να είναι το σύνολο

Z(G) = {g ∈ G : gh = hg για κάθε h ∈ G}

και είναι μια υποομάδα Lie της G. Εύκολα προκύπτει ότι το Z(G) είναι μια κανονική αβελιανή υποομάδα

της G και στην περίπτωση που η G είναι αβελιανή τότε Z(G) = G. Με ανάλογο σκεπτικό ορίζουμε το

κέντρο της άλγεβρας Lie g ως το σύνολο

Z(g) = {X ∈ g : [X,Y ] = 0 για κάθε Y ∈ g}.

Αν η ομάδα Lie G είναι συνεκτική τότε KerAd = Z(G) και Ker ad = Z(g). Επιπλέον, η άλγεβρα Lie του

Z(G) είναι το σύνολο Z(g). Η πρόταση που ακολουθεί δίνει ένα κριτήριο του κάτα πόσον η ομαδά G είναι

αβελιανή.

Πρόταση 8.4. Η συζυγής αναπαράσταση της g ικανοποιεί τη σχέση ad(X)Y = [X,Y ], για κάθε X,Y ∈g.

Η απόδειξη είναι κάπως τεχνική και την παραλείπουμε.

Πολλές φορές, η συζυγής αναπαράσταση μιας άλγεβρας Lie ορίζεται από την σχέση ad(X)Y = [X,Y ]

(ιδιαιτέρως όταν κάποιος μελετά αποκλειστικά θεωρία αλγεβρών Lie).

Παρατήρηση. Εάν η ομάδα Lie G είναι αβελιανή τότε Ig = Id, άρα Adg = Id για κάθε g ∈ G. Τότε απότην προηγούμενη πρόταση προκύπτει ότι [X,Y ] = 0 για κάθε X,Y ∈ g. Μια άλγεβρα Lie g που ικανοποιείτη συνθήκη αυτή ονομάζεται αβελιανή. Αποδεικνύεται ότι το αντίστροφο ισχύει, εάν η G είναι συνεκτική

ομάδα Lie.

Στην περίπτωση που η ομάδα Lie G είναι μια ομάδα πινάκων, δηλαδή κάποια κλειστή υποομάδα της

γενικής γραμμικής ομάδας GLnK, K ∈ {R,C,H}, τότε η συζυγής αναπαράσταση έχει μια ιδιαίτερα απλήμορφή:

Πρόταση 8.5. Αν η G είναι μια ομάδα πινάκων, τότε Ad(g)X = gXg−1 για κάθε g ∈ G, X ∈ g(πολλαπλασιασμός πινάκων).

Η συζυγής αναπαράσταση 15

Απόδειξη. ΄Εστω t 7→ exp(tX) η μονοπαραμετρική υποομάδα του X. Τότε

Ad(g)X = (dIg)eX =d

dtIg(exp(tX))

∣∣∣t=0

=d

dtg(exp(tX)g−1)

∣∣∣t=0

= gd

dtetX∣∣∣t=0

g−1 = gXg−1.

Στην τέταρτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η ομάδα G είναι ομάδα πινάκων και επομένως η

εκθετική απεικόνιση είναι συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων.

Παράδειγμα. ΄Εστω η ομάδα Lie G = SU(2) = {A ∈ U(2) : det(A) = 1} με άλγεβρα Lie su(2) = {A ∈GL2C : A+ Āt = 0, trA = 0}. Από την σχέση (7.6) έχουμε ότι

su(2) = span

{X1 =

(i 0

0 −i

), X2 =

(0 1

−1 0

), X3 =

(0 i

i 0

)}.

Θα υπολογίσουμε πρώτα τη συζυγή αναπαράσταση Ad : SU(2)→ Aut(su(2)). Γνωρίζουμε ότι τα στοιχεία

της SU(2) έχουν τη μορφή A =

(x+ iy u+ iv

−u+ iv x− iy

), οπότε αρκεί να βρούμε τον πίνακα της γραμμικής

απεικόνισης Ad(A) : su(2) → su(2), με τύπο Ad(A)B = ABA−1, ως προς τη βάση {X1, X2, X3} τηςsu(2). Είναι

Ad(A)X1 =

(x+ iy u+ iv

−u+ iv x− iy

)(i 0

0 −i

)(x+ iy u+ iv

−u+ iv x− iy

)−1

=

(ix2 + iy2 − iu2 − iv2 −2ixu+ 2uy + 2xv + 2ivy

2iux+ 2xv − 2uy + 2ivy iu2 + iv2 − ix2 − iy2

)= (x2 + y2 − u2 − v2) ·X1 + (2xv + 2yu) ·X2 + (−2xu+ 2yv) ·X3

Παρόμοια, βρίσκουμε ότι

Ad(A)X2 = (−2xv + 2yu) ·X1 + (x2 − y2 + u2 − v2) ·X2 + (2xy + 2uv) ·X3Ad(A)X3 = (2xu+ 2yv) ·X1 + (−2xy + 2uv) ·X2 + (x2 − y2 − u2 + v2) ·X3.

Συνεπώς, ο πίνακας της απεικόνισης Ad(A) είναι

[Ad(A)] =

x2 + y2 − u2 − v2 −2xv + 2yu 2xu+ 2yv

2xv + 2yu x2 − y2 + u2 − v2 −2xy + 2uv−2xu+ 2yv 2xy + 2uv x2 − y2 − u2 + v2

.

Για την ειδική περίπτωση όπου A = g =

(eiθ 0

0 e−iθ

), παίρνουμε ότι

Ad(g)X1 = 1 ·X1 + 0 ·X2 + 0 ·X3Ad(g)X2 = 0 ·X1 + cos 2θ ·X2 + sin 2θ ·X3Ad(g)X3 = 0 ·X1 − sin 2θ ·X2 + cos 2θ ·X3.

16 Η δομή μιας ομάδας Lie

Οπότε ο πίνακας της απεικόνισης Ad(g) σε αυτήν την περίπτωση θα είναι

[Ad(g)] =

1 0 00 cos 2θ − sin 2θ0 sin 2θ cos 2θ

.Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε τη συζυγή αναπαράσταση ad : su(2) → End(su(2)) της άλγεβρας Liesu(2). Για X ∈ su(2) θα βρούμε τον πίνακα της γραμμικής απεικόνισης ad(X) : su(2) → su(2) με τύποad(X)Y = [X,Y ] ως προς τη βάση {X1, X2, X3}. ΄Οπως θα εξηγηθεί στη συνέχεια, αρκεί να επιλέξουμε

su(2) 3 X =

(iθ 0

0 −iθ

). Τότε

ad(X)X1 =

(iθ 0

0 −iθ

)(i 0

0 −i

)−

(i 0

0 −i

)(iθ 0

0 −iθ

)= 0 ·X1 + 0 ·X2 + 0 ·X3

Παρόμοια θα είναι

ad(X)X2 = 2θ

(0 i

i 0

)= 0 ·X1 + 0 ·X2 + 2θ ·X3

ad(X)X3 = −2θ

(0 1

−1 0

)= 0 ·X1 − 2θ ·X2 + 0 ·X3.

Επομένως ο πίνακας που ζητάμε είναι ο

[ad(X)] =

0 0 00 0 −2θ0 2θ 0

.8.3.1 Η συνήθης αναπαράσταση

΄Εχουμε δει ότι μια αναπαράσταση φ : G→ Aut(V ) ορίζει μια δράση της ομάδας G στον διανυσματικό χώροV μέσω της απεικόνισης G×V → V, (g, v) 7→ φ(g)v. Γενικά ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή κάθε δράσηορίζει μια αναπαράσταση. Ιδιαιτέρως, όταν η ομάδα G είναι μια από τις ομάδες πινάκων GLnR, SO(n) ήO(n), τότε η δράση

G× Rn → Rn, (g, v) 7→ g · v

όπου g · v είναι ο συνήθης πολλαπλασιασμός πινάκων, ορίζει μια αναπαράσταση φ : G → Aut(Rn), ηοποία καλείται συνήθης αναπαράσταση της G (standard representation). Ανάλογα ορίζεται και η συνήθης

αναπαράσταση των ομάδων πινάκων GLnC, SU(n) και U(n) στον διανυσματικό χώρο Cn. Συμβολίζουμεμε λ̃n τη συνήθη αναπαράσταση της GLnR και με λn τη συνήθη αναπαράσταση της SO(n), όπου ισχύειλn = λ̃n

∣∣∣SO(n)

. Συχνά με λn θα συμβολίζουμε και τη συνήθη αναπαράσταση της O(n). Επίσης με µ̃n

συμβολίζουμε τη συνήθη αναπαράσταση της GLnC και με µn τη συνήθη αναπαράσταση της SU(n) (ήαντ. της U(n)). Τέλος, θα συμβολίζουμε με νn τη συνήθη αναπαράσταση της Sp(n). Αποδεικνύεται ότι

Η συζυγής αναπαράσταση 17

η συζυγής αναπαράσταση των προηγούμενων ομάδων Lie με βάση αυτόν τον συμβολισμό εκφράζεται ως

εξής:

AdGLnR = λ̃n ⊗R λ̃∗n,

AdGLnC = µ̃n ⊗C µ̃∗n,

AdO(n) = ∧2λn,

AdSO(n) = ∧2λn,

AdU(n) ⊗ C = µn ⊗C µ∗n = µn ⊗C µ̄n,

AdSU(n) ⊗ C = µn ⊗C µ̄n − 1,

AdSp(n) ⊗ C = S2νn.

Εδώ με ∧2 και S2 συμβολίζουμε τη δεύτερη εξωτερική και συμμετρική δύναμη. Επίσης, συμβολίζουμε μεAdG ⊗ C, τη μιγαδοποίηση της συζυγούς αναπαράστασης της G ∈ {U(n),SU(n),Sp(n)}.Θα συζητήσουμε το θέμα της μιγαδοποίησης αμέσως μετά.

Παράδειγμα. Θα αποδείξουμε αναλυτικά ότι AdSO(3) = ∧2λ3, όπου λ3 : SO(3) → Aut(R3), A 7→λ3(A)(v) = A · v, v ∈ R3 η συνήθης αναπαράσταση της SO(3). Η άλγεβρα Lie της SO(3) είναι so(3) ={A ∈ GL3R : At = −A} = span{X1, X2, X3}, όπου

X1 =

0 1 0−1 0 00 0 0

, X2 = 0 0 10 0 0−1 0 0

, X3 =0 0 00 0 1

0 −1 0

.Επειδή η SO(3) είναι συμπαγής και συνεκτική, αρκεί να δουλέψουμε με στοιχεία που να ανήκουν στο σύνολο

T =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

: θ ∈ (0, 2π]

(βλ. Θεώρημα 8.12). ΄Εστω A ∈ T . Τότε ο πίνακας της απεικόνισης Ad(A) : so(3)→ so(3), Ad(A)(B) =ABA−1, B ∈ so(3) ως προς τη βάση {X1, X2, X3} είναι

[Ad(A)] =

1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

.Αν {e1, e2, e3} είναι η κανονική βάση του R3, τότε ∧2R3 = span{e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3}. Η απεικόνιση∧2λ3 : SO(3) → Aut(∧2R3) δίνεται ως A 7→ ∧2λ3(A) : ∧2R3 → ∧2R3, ei ∧ ej 7→ ∧2λ3(A)(ei ∧ ej) =Aei ∧Aej . Τότε για κάθε A ∈ T έχουμε ότι

∧2λ3(A)(e1 ∧ e2) = Ae1 ∧Ae2 = (cos θe1 − sin θe2) ∧ (sin θe1 ∧ cos θe2) = e1 ∧ e2

και παρόμοια προκύπτει ότι

∧2λ3(A)(e1 ∧ e3) = − sin θ(e2 ∧ e3) + cos θ(e1 ∧ e3)

∧2λ3(A)(e2 ∧ e3) = sin θ(e1 ∧ e3) + cos θ(e2 ∧ e3),

18 Η δομή μιας ομάδας Lie

άρα ο πίνακας της απεικόνισης ∧2λ3(A) είναι

[∧2λ3(A)] =

1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

= [Ad(A)].8.3.2 Μιγαδοποίηση

΄Εστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του R. Τότε μπορούμε να ορίσουμε τον διανυσματικό χώρο V C =V ⊗R C (ή πιο απλά V ⊗ C) επί του C, όπου

V ⊗R C = {X + iY : X,Y ∈ V, i =√−1}.

Ο διανυσματικός χώρος V C λέγεται μιγαδοποίηση (complexification) του V . Η διάσταση του V C επί του

C είναι ίση με τη διάσταση του V επί του R, δηλαδή

dimCVC = dimRV.

Αν g είναι μια άλγεβρα Lie επί του R, τότε η μιγαδοποίηση της g είναι η άλγεβρα Lie gC = g⊗C (ή μερικέςφορές γράφουμε g + ig), όπου το γινόμενο Lie δίνεται ως εξής:

[U + iV,X + iY ] = [U,X]− [V, Y ] + i([V,X] + [U, Y ]).

Αν φ : G → Aut(V ) είναι μια αναπαράσταση της ομάδας Lie G στον διανυσματικό χώρο V επί του R,τότε συνδυάζοντας τα προηγούμενα μπορούμε να ορίσουμε τη μιγαδοποιημένη αναπαράσταση (complexified

representation) της G ως εξής:

φC = φ⊗ C : G→ Aut(V C).

Αντίστοιχα ορίζεται και η μιγαδοποιημένη αναπαράσταση μιας άλγεβρας Lie g. Ακριβώς λόγω της παραπάνω

ισότητας των διαστάσεων, η μιγαδοποίηση είναι μια πολύ χρήσιμη διαδικασία στη θεωρία αναπαραστάσεων

και γενικά στη θεωρία των ομάδων και αλγεβρών Lie, αλλά χρειάζεται προσοχή στον χειρισμό της.8

8.4 Η μορφή Killing

Σύμφωνα με το Θεώρημα 8.4, κάθε αναπαράσταση (G,V ) μιας συμπαγούς ομάδας Lie G έχει ένα G-

αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο (στον χώρο V ). Το ίδιο ισχύει ιδιαίτερα και για τη συζυγή αναπαράσταση

(G, g) της ομάδας G. Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε ένα πολύ χρήσιμο εσωτερικό γινόμενο στην άλγεβρα

Lie g, χρησιμοποιώντας τη συζυγή αναπαράσταση.

Ορισμός 8.9. Η μορφή Killing (Killing form) μιας άλγεβρας Lie g είναι η απεικόνιση

B : g× g→ R με τύπο B(X,Y ) = tr(adX ◦ adY ).

Η μορφή Killing μιας ομάδας Lie είναι η μορφή Killing της αντίστοιχης άλγεβρας.

8Γι΄ αυτό πολλές φορές αναφέρεται ως ένα ‘έξυπνο αλλά βρώμικο τέχνασμα’.

Η μορφή Killing 19

Πρόταση 8.6. Η μορφή Killing B : g× g→ R έχει τις εξής ιδιότητες:

(1) Είναι μια συμμετρική διγραμμική μορφή.

(2) Αν g είναι η άλγεβρα Lie της G, τότε η B είναι Ad-αναλλοίωτη, δηλαδή

B(X,Y ) = B(Ad(g)X,Ad(g)Y ), για κάθε g ∈ G και X,Y ∈ g.

Αυτό σημαίνει ότι η απεικόνιση Ad(g) είναι ορθογώνια ως προς τη μορφή Killing, ή απλά B-

ορθογώνια.

(3) Για κάθε Z ∈ g η απεικόνιση ad(Z) : g → g είναι αντισυμμετρική ως προς τη μορφή Killing B,δηλαδή

B(ad(Z)X,Y ) = −B(X, ad(Z)Y ) ή B([X,Z], Y ) = B(X, [Z, Y ]).

Απόδειξη. Η πρώτη ιδιότητα είναι απλή και την αφήνουμε για άσκηση. Για τη δεύτερη ιδιότητα, θεωρούμε

έναν αυτομορφισμό σ ∈ Aut(g). Αυτό σημαίνε ότι η απεικόνιση σ : g→ g είναι ισομορφισμός διανυσματικώνχώρων και επιπλέον ισχύει η σχέση σ[X,Y ] = [σX, σY ]. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ad(σX)◦σ =σ ◦ ad(X) ή ad(σX) = σ ◦ ad(X) ◦ σ−1. Πράγματι, για κάθε Y ∈ g είναι

ad(σX)Y = [σX, Y ] = [σX, σσ−1Y ] = σ[X,σ−1Y ] = σ ◦ ad(X) ◦ σ−1Y.

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση θα έχουμε:

B(σX, σY ) = tr(ad(σX) ◦ ad(σY ))

= tr(σ ◦ ad(X) ◦ σ−1 ◦ σad(Y ) ◦ σ−1)

= tr(σ ◦ ad(X) ◦ ad(Y ) ◦ σ−1)

= tr(ad(X) ◦ ad(Y )) = B(X,Y ),

όπου στην τέταρτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι tr(ABA−1) = tr(B). Αν επιλέξουμε σ = Ad τότε παίρ-

νουμε ότι η B είναι Ad-αναλλοίωτη.

Θα δείξουμε τώρα την τρίτη ιδιότητα, δηλαδή ότι η απεικόνιση ad(Z) είναι αντισυμμετρική ως προς την

B. Εφαρμόζουμε δύο φορές την ταυτότητα του Jacobi και παίρνουμε

[Z, [X, [Y,W ]]] = [[Z,X], [Y,W ]] + [X, [Z, [Y,W ]]]

= [[Z,X], [Y,W ]] + [X, [[Z, Y ],W ]] + [X, [Y, [Z,W ]]].

Επομένως, επειδή ad(X)Y = [X,Y ], προκύπτει ότι

ad(Z) ◦ ad(X) ◦ ad(Y ) = ad(ad(Z)X) ◦ ad(Y )

+ad(X) ◦ ad(ad(Z)Y ) + ad(X) ◦ ad(Y ) ◦ ad(Z).

Επιπλέον, έχουμε ότι

[ad(Z), ad(X) ◦ ad(Y )] = ad(Z) ◦ ad(X) ◦ ad(Y )− ad(X) ◦ ad(Y ) ◦ ad(Z)

= ad(ad(Z)X) ◦ ad(Y ) + ad(X) ◦ ad(ad(Z)Y )

+ad(X) ◦ ad(Y ) ◦ ad(Z)− (ad(X) ◦ ad(Y )) ◦ ad(Z)

= ad(ad(Z)X) ◦ ad(Y ) + ad(X) ◦ ad(ad(Z)Y ).

20 Η δομή μιας ομάδας Lie

Λόγω του ότι tr([A,B]) = tr(AB −BA) = tr(AB)− tr(BA) = 0, τελικά προκύπτει ότι

0 = tr([ad(Z), ad(X) ◦ ad(Y )]) = tr(ad(ad(Z)X) ◦ ad(Y )) + tr(ad(X) ◦ ad(ad(Z)Y ))

= B(ad(Z)X,Y ) +B(X, ad(Z)Y ).

Παρατηρούμε ότι λόγω της ταυτότητας Jacobi ισχύει

ad(X)[Y,Z] = [ad(X)Y,Z] + [Y, ad(X)Z],

το οποίο σημαίνει ότι η απεικόνιση ad(X) : g → g είναι μια παραγώγιση της άλγεβρας Lie g (δηλαδήad(X) ∈ Der(g). Γενικά ισχύει ότι

D ∈ Der(g) αν και μόνο αν B(DX,Y ) +B(X,DY ) = 0.

Ορισμός 8.10. Μια ομάδα Lie G (αντ. άλγεβρα Lie) ονομάζεται ημιαπλή (semisimple), εάν η μορφή

Killing είναι μη εκφυλισμένη (non degenerate).

Το να είναι η μορφή Killing μη εκφυλισμένη σημαίνει ότι εάν B(X,Y ) = 0 για κάθε X ∈ g, τότε Y = 0.Ισοδύναμα, εάν ο πίνακας της απεικόνισης B ως προς μια βάση του χώρου έχει αντίστροφο.

Στην περίπτωση που η ομάδα Lie G είναι ημιαπλή, τότε το κέντρο της άλγεβρας Lie g είναι τετριμμένο.

Πράγματι, έστω X ∈ Z(g). Τότε για κάθε Y ∈ g θα είναι [X,Y ] = 0, δηλαδή η απεικόνιση ad(X) είναι ομηδενικός τελεστής του χώρου End(g). Επομένως,

B(X,X) = tr(ad(X) ◦ ad(X)) = 0.

Επειδή η G είναι ημιαπλή, θα πρέπει X = 0, άρα Z(g) = {0}.

Το επόμενο θεώρημα είναι χρήσιμο, διότι καθιστά τη μορφή Killing ένα εσωτερικό γινόμενο σε συμπα-

γείς και ημιαπλές ομάδες Lie.

Θεώρημα 8.10. Αν η ομάδα Lie G είναι συμπαγής και ημιαπλή, τότε η μορφή Killing είναι αρνητικά

ορισμένη.

Απόδειξη. ΄Εστω Ad : G → Aut(g) η συζυγής αναπαράσταση της G. Επειδή η ομάδα G είναι συμπαγής,από το Θεώρημα 8.4 υπάρχει ένα G-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο 〈 , 〉 στον χώρο g, δηλαδή

〈Ad(g)X,Ad(g)Y 〉 = 〈X,Y 〉 για κάθε g ∈ G, X, Y ∈ g.

Αυτό σημαίνει ότι η απεικόνιση Ad(g) είναι 〈 , 〉-ορθογώνια. Επομένως, από την τρίτη ιδιότητα της Πρό-τασης 8.6, για κάθε X ∈ g, η απεικόνιση ad(X) : g → g θα είναι αντισυμμετρική ως προς το εσωτερικόγινόμενο 〈 , 〉 . ΄Εστω (αij) ο πίνακας της απεικόνισης ad(X) ως προς μια ορθοκανονική βάση του χώρουg. Τότε

B(X,X) = tr(ad(X) ◦ ad(X) =∑i

∑j

αijαji = −∑i,j

α2ij ≤ 0.

Επειδή η G είναι ημιαπλή η B είναι μη εκφυλισμένη, οπότε το παραπάνω άθροισμα θα είναι αυστηρά αρνητικό.

Η μορφή Killing 21

Το συμπέρασμα που παίρνουμε από το παραπάνω θεώρημα είναι ότι, όταν έχουμε μια συμπαγή και

ημιαπλή ομάδα Lie G, τότε μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο

〈 , 〉 = −B( , )

στην άλγεβρα Lie g. Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος ισχύει, όταν η ομάδα Lie G είναι συνεκτική

και είναι αρκετά πιο δύσκολο στην απόδειξη. Συγκεριμένα:

Θεώρημα 8.11. Αν η G είναι μια συνεκτική ομάδα Lie και η μορφή Killing B είναι αρνητικά ορισμένη

στην g, τότε η G είναι συμπαγής και ημιαπλή.

Παραδείγματα.

1. Θα υπολογίσουμε τη μορφή Killing της SU(2) περιορισμένης στα διαγώνια στοχεία. Θα δούμε στη

συνέχεια ότι αυτό δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστικό.

Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε βρει ότι

ad(X) =

0 0 00 0 −2θ0 2θ 0

, όπου X = ( iθ 00 −iθ

)∈ su(2).

Για X =

(iθ 0

0 −iθ

), Y =

(iφ 0

0 −iφ

)∈ su(2), με απλές πράξεις προκύπτει ότι

B(X,Y ) = tr(ad(X) ◦ ad(Y )) = −8θφ = 4trXY.

Για τον πίνακα της απεικόνισης B ως προς τη συνήθη βάση {X1, X2, X3} της su(2) με στοιχεία Bij =B(Xi, Xj), θα έχουμε

Bij = 0, για i 6= j και Bij = −8 για i = j, με i, j = 1, 2, 3.

΄Αρα τελικά προκύπτει ότι

(Bij) =

-8 0 00 -8 00 0 -8

.Παρατηρούμε ότι det(Bij) 6= 0 δηλαδή η μορφή Killing είναι μη εκφυλισμένη, επομένως η ομάδα SU(2)είναι ημιαπλή.

2. Θα υπολογίσουμε τη μορφή Killing της U(2). Θεωρούμε τη βάση της u(2) = {A ∈ GL2C : A+ Āt = I}

= span

{X1 =

(i 0

0 0

), X2 =

(0 0

0 i

), X3 =

(0 1

−1 0

), X4 =

(0 i

i 0

)}.

Αρχικά υπολογίζουμε τον πίνακα της γραμμικής απεικόνισης ad(X) : u(2) → u(2) ως προς την προηγού-μενη βάση. Επιλέγουμε για ευκολία στους υπολογισμούς έναν πίνακα με διαγώνια στοιχεία u(2) 3 X =(

iθ1 0

0 iθ2

). Τότε

ad(X)X1 =

(iθ1 0

0 iθ2

)(i 0

0 0

)−

(i 0

0 0

)(iθ1 0

0 iθ2

)= 0 ·X1 + 0 ·X2 + 0 ·X3 + 0 ·X4

22 Η δομή μιας ομάδας Lie

Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι

ad(X)X2 = 0 ·X1 + 0 ·X2 + 0 ·X3 + 0 ·X4,

ad(X)X3 = 0 ·X1 + 0 ·X2 + 0 ·X3 + (θ1 − θ2) ·X4,

ad(X)X4 = 0 ·X1 + 0 ·X2 + (θ2 − θ1) ·X3 + 0 ·X4.

Συνεπώς, ο πίνακας της απεικόνισης ad(X) είναι

[ad(X)] =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 θ2 − θ10 0 θ1 − θ2 0

.

Επομένως, αν X =

(iθ1 0

0 iθ2

), Y =

(iφ1 0

0 iφ2

)∈ u(2), τότε η μορφή Killing της u(2) θα είναι

B(X,Y ) = tr(ad(X) ◦ ad(Y )) = −2θ1φ1 − 2θ2φ2 + 2θ1φ2 + 2θ2φ1= −4(θ1φ1 + θ2φ2) + 2(θ1 + θ2)(φ1 + φ2)

= −4trXY + 2trXtrY.

Παρατηρούμε ότι για θ1 = θ2 = φ1 = φ2 = 1, θα έχουμε X =

(i 0

0 i

)και B(X,X) = 0, δηλαδή η

ομάδα U(2) δεν είναι ημιαπλή.

Με εκτενείς υπολογισμούς προκύπτει ότι η μορφή Killing μερικών ομάδων πινάκων είναι οι εξής:

Ομάδα Lie Μορφή Killing B

U(n) B(X,Y ) = −2ntrXY + 2trXtrYSU(n) B(X,Y ) = 2ntrXY

SO(n) B(X,Y ) = (n− 2)trXYSp(n) B(X,Y ) = 2(n+ 1)trXY

8.5 Μεγιστικοί δακτύλιοι

Οι μεγιστικοί δακτύλιοι αποτελούν τους δομικούς λίθους των συμπαγών ομάδων Lie. Σε αυτή την ενότητα

θα αναφέρουμε κάποια χρήσιμα αποτελέσματα που αφορούν τους μεγιστικούς δακτυλίους των ομαδών Lie

και αποτελούν το κλειδί για την ταξινόμηση των συμπαγών και συνεκτικών ομάδων Lie. Για εύληπτες

παρουσιάσεις παραπέμπουμε στα βιβλία [5], [14] και στην εργασία [13].

Ο κύκλος S1 είναι η μοναδική συμπαγής και συνεκτική ομάδα Lie διάστασης 1 και το καρτεσιανό γινόμενοπολλών τέτοιων κύκλων είναι, λόγω του Θεωρήματος 8.3, η μόνη συμπαγής, συνεκτική και αβελιανή ομάδα

Lie. ΄Ενα τέτοιο γινόμενο κύκλων ονομάζεται δακτύλιος.

΄Ενας μεγιστικός δακτύλιος μιας ομάδας Lie G θα συμβολίζεται με T και είναι ουσιαστικά μια μέγιστη

συνεκτική, αβελιανή υποομάδα της. Στα παραδείγματα υπολογισμού της συζυγούς αναπαράστασης και της

μορφής Killing χρησιμοποιήσαμε στοιχεία του δακτυλίου T .

Μεγιστικοί δακτύλιοι 23

Ορισμός 8.11. ΄Ενας n-διάστατος δακτύλιος (torus) Tn σε μια ομάδα Lie G είναι μια υποομάδα αυτής η

οποία είναι ισόμορφη με το καρτεσιανό γινόμενο n κύκλων S1, δηλαδή Tn ∼= S1×· · ·×S1. ΄Ενας δακτύλιοςT ονομάζεται μεγιστικός δακτύλιος (maximal torus) της G, αν για οποιονδήποτε άλλο δακτύλιο S της G

με T ⊂ S ⊂ G ισχύει T = S.

Παρατηρήσεις.

1. Αν G,H είναι δύο ομάδες, τότε το καρτεσιανό γινόμενο G×H γίνεται ομάδα με πράξη (g, h)(g1, h1) =(gg1, hh1), (g, g1 ∈ G και h, h1 ∈ H). Στην περίπτωση που οι ομάδες G και H είναι υποσύνολα τουMn(K) και Mm(K) αντίστοιχα, τότε ένα τυχαίο στοιχείο (g, h) του γινομένου G×H γράφεται ως (g, h) =diag(g, h), δηλαδή είναι ένας (n+m)× (n+m) πίνακας. Τότε για (A1, B1), (A2, B2) ∈ G×H είναι

(A1, B1)(A2, B2) = diag(A1A2, B1B2) ∈Mn+m(K).

Επομένως, με βάση τα παραπάνω είναι εύκολο να δούμε ότι ο 2-διάστατος δακτύλιος T 2 ∼= S1×S1 εκφράζεταιως

S1 × S1 = diag(eiϑ, eiϕ) =

cosϑ sinϑ 0 0

− sinϑ cosϑ 0 00 0 cosϕ sinϕ

0 0 − sinϕ cosϕ

.Γενικά ένας n-διάστατος δακτύλιος Tn είναι ένας 2n× 2n διαγώνιος πίνακας της μορφής

Tn ∼={

diag(eiϑ1 , eiϑ2 , . . . , eiϑn) : ϑi ∈ [0, 2π)}⊂ GLn(C) ⊂ GL2n(R).

Τέλος, θυμίζουμε ότι Tn ∼= Rn/Zn, δηλαδή ένας δακτύλιος είναι μια συμπαγής, συνεκτική και αβελιανήομάδα.

2. Μια ομάδα Lie G περιέχει πάντα κάποιον δακτύλιο, αφού αποδεικνύεται ότι για οποιοδήποτε X ∈ g ηκλειστότητα του συνόλου {exp(tX) : t ∈ R} (γνωστή και ως κλειστή θήκη), είναι μια συμπαγής, συνεκτικήκαι αβελιανή ομάδα, άρα από το Θεώρημα 8.3 είναι ένας δακτύλιος.

Πρόταση 8.7. Κάθε δακτύλιος περιέχεται σε έναν μεγιστικό δακτύλιο.

Απόδειξη. Πράγματι, αν T ⊂ T1 ⊂ T2 ⊂ · · · είναι μια αύξουσα ακολουθία από δακτυλίους της G, αρκείνα δείξουμε ότι αυτή είναι πεπερασμένη. Παίρνοντας τις άλγεβρες Lie των παραπάνω δακτυλίων, έχουμε

την ακολουθία t ⊂ t1 ⊂ t2 ⊂ · · · δηλαδή είναι μια αύξουσα ακολουθία διανυσματικών χώρων πεπερασμένηςδιάστασης, οπότε πρέπει και αυτή να είναι πεπερασμένη.

Πρόταση 8.8. ΄Εστω G μια συμπαγής ομάδα Lie. Τότε κάθε μεγιστικός δακτύλιος T είναι μια μεγιστική

συνεκτική αβελιανή υποομάδα της G.

Απόδειξη. Πράγματι, αν T ⊂ A, όπου A είναι μια συνεκτική και αβελιανή ομάδα, τότε T ⊂ Ā (Ā η κλειστήθήκη της A). Επειδή η G είναι συμπαγής και η Ā είναι κλειστή, θα είναι και συμπαγής, άρα η Ā είναι

μια συνεκτική, συμπαγής και αβελιανή ομάδα, δηλαδή είναι ένας δακτύλιος. Τέλος, αφού T ⊂ Ā και Tμεγιστικός δακτύλιος, θα πρέπει T = Ā.

24 Η δομή μιας ομάδας Lie

Παρατήρηση. Αν T είναι ένας μεγιστικός δακτύλιος της ομάδας Lie G, τότε μέσω του εσωτερικού

αυτομορφισμού Ig : G → G, το σύνολο gTg−1 = {gαg−1 : α ∈ T} είναι ένας μεγιστικός δακτύλιος τηςG. Πράγματι, επειδή η απεικόνιση Ig είναι ισομορφισμός (g ∈ G), το σύνολο gTg−1 θα είναι ισόμορφομε τον T , άρα θα είναι ένας δακτύλιος. Αυτός είναι μεγιστικός δακτύλιος. Πράγματι, έστω T ′ ⊂ G έναςμεγιστικός δακτύλιος της G. Τότε είναι gTg−1 ⊂ T ′, άρα T ⊂ I−1g (T ′), πράγμα άτοπο, διότι ο T είναιμεγιστικός. Επομένως, ο gTg−1 είναι μεγιστικός.

Το κεντρικό θεώρημα στη θεωρία δακτυλίων είναι το εξής:

Θεώρημα 8.12. ΄Εστω G μια συμπαγής και συνεκτική ομάδα Lie. Τότε

(α) Κάθε στοιχείο g ∈ G περιέχεται σε κάποιον μεγιστικό δακτύλιο.(β) Οποιοιδήποτε δύο μεγιστικοί δακτύλιοι είναι συζυγείς. Δηλαδή αν T1, T2 είναι μεγιστικοί δακτύλιοι της

G, τότε υπάρχει ένα στοιχείο g ∈ G τέτοιο ώστε gT1g−1 = T2.

Από το δεύτερο σκέλος του προηγούμενου θεωρήματος, προκύπτει ότι δύο τυχαίοι μεγιστικοί δακτύλιοι

έχουν την ίδια διάσταση, δηλαδή η διάσταση των δακτυλίων ορίζει μια αναλλοίωτη ποσότητα στις συμπαγείς

και συνεκτικές ομάδες Lie ως ακολούθως:

Ορισμός 8.12. Η τάξη (rank) μιας συμπαγούς και συνεκτικής ομάδας Lie είναι η διάσταση ενός μεγι-

στικού δακτυλίου.

Κάποιες συνέπειες του παραπάνω κεντρικού θεωρήματος είναι οι εξής:

Πρόταση 8.9. ΄Εστω G μια συμπαγής και συνεκτική ομάδα Lie με άλγεβρα Lie g. Τότε:

(1) Υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία μεταξύ μεγιστικών δακτυλίων T της G και μεγιστικών αβελιανών υποχώ-

ρων h της g, η οποία δίνεται μέσω της απεικόνισης T ↔ h = exp(t), όπου t είναι η άλγεβρα Lie του T .(2) Αν T είναι ένας μεγιστικός δακτύλιος της G με άλγεβρα Lie t, τότε G =

⋃g∈G gTg

−1 και g =⋃g∈G Ad(g)t.

(3) Το κέντρο της G είναι ίσο με την τομή όλων των μεγιστικών δακτυλίων της G.

(4) Αν S είναι ένα υποσύνολο της G, ορίζουμε την κεντροποιούσα (centralizer) υποομάδα του S ως το

σύνολο C(S) = {g ∈ G : gx = xg για κάθε x ∈ S}. Τότε, αν T είναι μεγιστικός δακτύλιος της G, ισχύειC(T ) = T.

(5) Οι μεγιστικοί δακτύλιοι είναι επίσης μεγιστικές αβελιανές υποομάδες της G.

Στη συνέχεια θα δούμε κάποια παραδείγματα μεγιστικών δακτυλίων των γνωστών μας ομάδων Lie.

Παραδείγματα.

1. ΄Ενας μεγιστικός δακτύλιος της U(n) είναι το σύνολο

T =

{diag(eiθ1 , . . . , eiθn) =

eiθ1 0 · · · 00 eiθ2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · eiθn

: θi ∈ (0, 2π]}.

Το σύνολο T είναι ένας δακτύλιος, διότι είναι ισόμορφος με το καρτεσιανό γινόμενο n κύκλων. Θα αποδεί-

ξουμε ότι είναι μεγιστικός, δηλαδή δεν υπάρχει άλλος δακτύλιος που να τον περιέχει. Αυτό είναι ισοδύναμο

Μεγιστικοί δακτύλιοι 25

με το να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο A ∈ U(n), που μετατίθεται με όλα τα στοιχεία του T , ανήκει στον T(αν υπήρχε για παράδειγμα κάποιος άλλος δακτύλιος T ′ ο οποίος να περιέχει τον T , τότε όλα τα στοιχεία

του T ′ θα μετατίθενται με όλα τα στοιχεία του T , οπότε ο T δεν θα είναι μεγιστικός). ΄Εστω ένας πίνακας

A ∈ U(n) που αντιμετατίθεται με κάθε στοιχείο του T. ΄Εστω Tj η υποομάδα του T η οποία αποτελείταιαπό τους πίνακες με 1 στο j-στοιχείο της διαγωνίου. Τότε, αν πάρουμε

tn = diag(eiθ, eiθ, . . . , 1) ∈ Tn,

παρατηρούμε ότι tnAen = Atnen = Aen, (όπου en είναι το διάνυσμα στήλη με 1 στην n-γραμμή και μηδέν

αλλού). Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα Aen διατηρείται σταθερό από την δράση των στοιχείων του Tn, οπότε

θα έχουμε Aen = λnen για κάποιο λn ∈ C, δηλαδή η n-στήλη του A θα είναι της μορφής (0, 0, . . . , λn).Επειδή A ∈ U(n), οι στήλες του θα αποτελούν βάση του χώρου Rn2 , οπότε το μέτρο κάθε στήλης θαείναι ίσο με 1, επομένως μπορούμε να θέσουμε λn = eiφn , για κάποιο φn ∈ (0, 2π). Επαναλαμβάνοντας τηνπαραπάνω διαδικασία για n = 1, 2, . . . , n− 1, προκύπτει ότι

A = diag(eiφ1 , eiφ2 , . . . , eiφn),

άρα A ∈ T , δηλαδή ο T είναι μεγιστικός δακτύλιος της U(n). Η τάξη της U(n) θα είναι n.

2. ΄Ενας μεγιστικός δακτύλιος της SU(n) είναι το σύνολο των διαγώνιων πινάκων της μορφής

T ={

diag(eiθ1 , . . . , eiθn−1 , e−i(θ1+···+θn−1)) : θi ∈ [0, 2π)}

=

{diag(eiθ1 , . . . , eiθn) :

n∑i=1

θi = 0, θi ∈ [0, 2π)

}.

Το παραπάνω σύνολο είναι ισόμορφο με το καρτεσιανό γινόμενο n − 1 κύκλων, οπότε είναι δακτύλιος καιη τάξη της SU(n) είναι n− 1.

Για το ότι είναι μεγιστικός, θα αποδείξουμε πρώτα την απλή περίπτωση για n = 2, δηλαδή θα δείξουμε

ότι το σύνολο

T ={

diag(eiθ, e−iθ) =

(eiθ 0

0 e−iθ

): θ ∈ (0, 2π)

}είναι ένας μεγιστικός δακτύλιος της SU(2). Είναι γνωστό ότι ένα τυχαίο στοιχείο της SU(2) γράφεται ως

A =

(z w

−w̄ z̄

). Ο πίνακας A μετατίθεται με τα στοιχεία του συνόλου T , επομένως θα έχουμε

AT =

(z w

−w̄ z̄

)(eiθ 0

0 e−iθ

)=

(zeiθ we−iθ

−w̄eiθ z̄e−iθ

)και

TA =

(eiθ 0

0 e−iθ

)(z w

−w̄ z̄

)=

(zeiθ weiθ

−w̄eiθ z̄e−iθ

)Από ισότητα πινάκων παίρνουμε ότι

we−iθ = weiθ ⇔ w(e−iθ − eiθ) = 0,

−w̄e−iθ = −w̄e−iθ ⇔ w̄(−eiθ + e−iθ) = 0,

26 Η δομή μιας ομάδας Lie

άρα w = 0 και w̄ = 0 και ο πίνακας A παίρνει τη μορφή A =

(z 0

0 z̄

). ΄Ομως A ∈ SU(2), οπότε

det(A) = 1 δηλαδή zz̄ = 1 ή |z|2 = 1, άρα μπορούμε να θέσουμε z = eiϕ για κάποιο ϕ ∈ (0, 2π). Οπότετελικά ο A θα έχει τη μορφή

A =

(eiϕ 0

0 e−iϕ

), δηλαδή A ∈ T.

Στη συνέχεια, θα αποδείξουμε την περίπτωση για n = 3 και με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται για n > 3.

Αποδεικνύουμε ότι το σύνολο

T ={

diag(eiθ1 , eiθ2 , e−i(θ1+θ2)) =

eiθ1 0 0

0 eiθ2 0

0 0 e−i(θ1+θ2)

: θ1, θ2 ∈ (0, 2π)}

είναι ένας μεγιστικός δακτύλιος της SU(3) (διάστασης 2). ΄Εστω A =

a1 a2 a3b1 b2 b3g1 g2 g3

∈ SU(3), οοποίος μετατίθεται με κάθε στοιχείο της T . Θα δείξουμε ότι A ∈ T. Ο A θα μετατίθεται με το στοιχείο

B =

1 0 00 eiθ 00 0 e−iθ

του T , οπότε θα ισχύει ότι AB = BA όπου

AB =

a1 a2 a3b1 b2 b3g1 g2 g3

1 0 00 eiθ 0

0 0 e−i(0+θ)

= a1 a2e

iθ a3e−iθ

b1 b2eiθ b3e

−iθ

g1 g2eiθ g3e

−iθ

και

BA =

1 0 00 eiθ 00 0 e−i(0+θ)

a1 a2 a3b1 b2 b3

g1 g2 g3

= a1 a2 a3b1eiθ b2eiθ b3eiθ

g1e−iθ g2e

−iθ g3e−iθ

.΄Αρα για κάθε θ ∈ (0, 2π) από ισότητα πινάκων θα πάρουμε

a1 ∈ C, a2 = a3 = 0, b2 ∈ C, b1 = b3 = 0, g3 ∈ C, g1 = g2 = 0.

΄Αρα ο πίνακας A θα έχει τη μορφή A =

a1 0 00 b2 00 0 g3

και παρατηρούμε ότι κάθε γραμμή είναι πολ-λαπλάσιο των e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) και e3 = (0, 0, 1). Επειδή A ∈ SU(3) = U(3) ∩ SL3(C),οι γραμμές του θα έχουν μοναδιαίο μήκος, δηλαδή |a1| = |b2| = |g3| = 1, οπότε μπορούμε να θέσουμεa1 = e

iϕ1 , b2 = eiϕ2 και g3 = eiϕ3 για κάποια ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (0, 2π). Επίσης θα