h nh hÅc thi lÎp 10sigmaths.com/uploads/mxdoc/2018/02/08/tnkdk.pdf · 2018. 2. 8. · s³ d¹ d...
TRANSCRIPT
�°ng Thà Thu Thõy − Ths. Ho ng V«n TüuTS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n)
H�NH HÅC THI LÎP 10
Sigma - MATHS
MÖC LÖC Sigma - MATHS
Möc löc
1 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Pythagore 3
1.1 Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Thales 9
2.1 Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 C¡c b i to¡n bê sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Chòm b i to¡n v· trüc t¥m 16
3.1 Mæ h¼nh cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Khai th¡c mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Chòm b i to¡n v· ph÷ìng t½ch 26
4.1 Mæ h¼nh cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Khai th¡c mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
MÖC LÖC Sigma - MATHS
Líi nâi �¦u
Th¥n gûi c¡c em håc sinh!
Vªy l ch°ng �÷íng håc tªp THCS sp træi qua. Bèn n«m THCS l bèn n«m �¦y khâ kh«nvîi nhi·u ki¸n thùc tø �¤i sè �¸n h¼nh håc. �i·u �â ph¦n n o l m cho c¡c em cho¡ng ngñp vîil÷ñng ki¸n thùc lîn. �°c bi»t l mæn h¼nh håc.
�º còng c¡c b¤n håc sinh chõ �ëng tü tin trong håc tªp mæn h¼nh håc ph¯ng. Chóng tæitªp chung ki¸n thùc v o bèn nhâm: �ành lþ Pythagore, �ành lþ Thales, �· t i �÷íng trán nëingo¤i ti¸p, v mët sè kÿ thuªt trong ph÷ìng t½ch. Méi nhâm �· t i nh÷ mët chòm b i to¡n cìb£n ph¥n nhä. N¸u chóng ta tü l m �º hiºu c¡c b i to¡n n y th¼ vi»c l m c¡c b i to¡n �i this³ d¹ d ng hìn nhi·u v c¡i �µp cõa h¼nh håc công �÷ñc thº hi»n mët c¡ch tü nhi¶n.
Và tr½ cõa b i to¡n h¼nh håc trong �· thi v o lîp 10 l væ còng quan trång. V¼ th¸, vi»ckhæng nm chc ki¸n thùc ph¦n n y câ thº quy¸t �ành vi»c th nh b¤i trong k¼ thi tuyºn sinh.V¼ l³ �â, chóng tæi m¤nh d¤n s÷a t¦m v bi¶n so¤n cuèn s¡ch H¼nh håc thi lîp 10 vîi möc�½ch gióp �ï c¡c em câ mët t i li»u tèt �º æn tªp.
Chóng tæi mong nhªn �÷ñc þ ki¸n �âng gâp quþ b¡u cõa quþ b¤n �åc �º cuèn s¡ch �÷ñcho n thi»n hìn.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
Måi þ ki¸n �âng gâp xin chuyºn v·: [email protected]
Ng y ch¿nh sûa: 8 th¡ng 2 n«m 2018
2
Sigma - MATHS
1 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Pythagore
Trong hai ch÷ìng �¦u, chóng tæi tham th£o r§t nhi·u þ t÷ðng cõa th¦y Nguy¹n B¡ �ang v·hai �ành lþ h¼nh håc nêi ti¸ng v câ sû döng mët sè b i tªp cõa th¦y trong cuèn s¡ch "Nhúng�ành lþ chån låc trong h¼nh håc ph¯ng v c¡c b i to¡n ¡p döng".
1.1 Lþ thuy¸t
�ành lþ 1.1. Trong mët tam gi¡c vuæng. B¼nh ph÷ìng c¤nh huy·n b¬ng têng b¼nh ph÷ìng haic¤nh gâc vuæng.
1. Chùng minh b¬ng �¤i sè.
2. Chùng minh b¬ng ct gh²p.
3. Chùng minh cõa têng thèng James A. Garfield .
3
1.1 Lþ thuy¸t Sigma - MATHS
Di»n t½ch h¼nh thang S =1
2(a + b)2.
V¼ têng di»n t½ch c¡c tam gi¡c b¬ng di»n t½ch h¼nhthang.
Do �â,1
2(a + b)2 = ab +
1
2c2 ⇔ a2 + b2 = c2.
4. Chùng minh cõa Leonardo da Vinci .
5. (a− b)2 + 4 · 1
2ab = c2 ⇔ a2 + b2 = c2.
6. Chùng minh b¬ng g§p h¼nh (thæng qua mët m»nh �· mð rëng.)Têng di»n t½ch c¡c �a gi¡c �çng d¤ng düng tr¶n c¡c c¤nh gâc vuæng cõa mët tam gi¡c vuængb¬ng di»n t½ch �a gi¡c �çng d¤ng düng tr¶n c¤nh huy·n.
�ành lþ 1.2 (�ành lþ Pythagore �£o). Tam gi¡c ∆ABC thäa m¢n BC2 = AB2 +AC2 th¼ tamgi¡c ∆ABC vuæng t¤i A.
4
1.2 B i tªp Sigma - MATHS
Chùng minh.
BC2 > A′B2 + AC2, BC2 = AB2 + AC2, BC2 < A”B2 + AC2.
1.2 B i tªp
1 (Cûa thi¶n �÷íng). Mët thanh gé th¦n d i 2000m, hai �¦u �÷ñc buëc ch°t bði mët sñ d¥yd i 2001m. Ai muèn thû láng dông c£m th¼ chui qua khe hð cõa sñi d¥y v thanh gé.Bao nhi¶u ng÷íi �i d¡m v÷ñt qua t¼m may mn?
2. Chùng minh r¬ng SCAG = SCHB
Gñi þ: Hai tam gi¡c chçng kh½t l¶n nhau.
3. Chùng minh di»n t½ch c¡c tam gi¡c sìn m u câ di»n t½ch b¬ng nhau.
5
1.2 B i tªp Sigma - MATHS
4. Chùng minh di»n t½ch c¡c h¼nh còng m u sìn b¬ng nhau.
5. Cho tam gi¡c vuæng ∆ABC. V³ c¡c h¼nh vuæng v· ph½a ngo i tam gi¡c (h¼nh v³). Chùngminh c¡c �÷íng th¯ng qua A vuæng gâc vîi BI, qua B vuæng gâc vîi AD, qua C vuæng gâcvîi AB �çng quy.
6
1.2 B i tªp Sigma - MATHS
Gñi þ: Ba �÷íng cao g°p nhau t¤i mët �iºm.
6. Chùng minh r¬ng: di»n t½ch tam gi¡c vuæng b¬ng têng di»n t½ch hai h¼nh tr«ng khuy¸t.
Gñi þ: �ành lþ Pythagore.
7. Trong h¼nh chú nhªt ABCD l§y �iºm G. Chùng minh r¬ng GA2 + GC2 = GB2 + GD2.
Gñi þ: Tø G h¤ c¡c �÷íng vuæng gâc xuèng c¡c c¤nh. Sû döng �ành lþ Pythagore.Nhªn x²t: K¸t qu£ cõa b i to¡n khæng thay �êi khi �iºm G ð và tr½ têng qu¡t.
8. Nguíi ta muèn �o kho£ng c¡ch tø D �¸n C nh÷ng khæng thº n o �¸n C �÷ñc. Häi câ thº �ogi¡n ti¸p CD khæng? Bi¸t r¬ng AB = 240m, DAC = ABC = 900, BAC = 600, ADC = 300.
9. Cho tam gi¡c EDF vuæng t¤i F . V³ c¡c h¼nh vuæng ra ph½a ngo i nh÷ h¼nh v³. Chùng minhr¬ng: KE = DL.
7
1.2 B i tªp Sigma - MATHS
10. Cho c¡c h¼nh vuæng nh÷ h¼nh v³. Chùng minh r¬ng: b = 2d.
11. Cho c¡c sè a, b thäa m¢n 0 < a < b. Chùng minh c¡c b§t �¯ng thùc sau:
a <2ab
a + b<
a + b
2<
√a2 + b2
2<
a2 + b2
a + b< b
8
Sigma - MATHS
2 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Thales
2.1 Lþ thuy¸t
�ành lþ 2.1 (�ành lþ �÷íng trung b¼nh). Cho tam gi¡c ABC.Ph¦n thuªn: �o¤n th¯ng �i qua trung �iºm M cõa AB v song song vîi BC th¼ �i qua trung
�iºm N cõa AC v MN =1
2BC.
Ph¦n �£o: �o¤n th¯ng �i qua c¡c trung �iºm M, N cõa AB v AC th¼ song song v b¬ngnûa BC.
Chùng minh. Ph¦n thuªn: Qua trung �iºm M cõa AB, v³ �÷íng th¯ng d1 song song vîi BCct AC t¤i N ′, v d2 song song vîi AC ct BC t¤i K.∆AMN ′ = ∆MBK (g.c.g) ⇒MN ′ = BK, MK = AN ′.
∆MBK = ∆KN ′M (g.c.g) ⇒ KN ′ = MB v MKN ′ = BMK ⇒ KN ′//AB, KN ′ =1
2AB.
⇒ ∆AMN ′ = ∆N ′KC (g-c-g).⇒ AN ′ = N ′C . Vªy N ≡ N ′.Ph¦n �£o: Tø M k´ �÷íng th¯ng d1 song song vîi BC. �÷íng th¯ng �i qua trung �iºm cõaAC. Do �â MN n¬m tr¶n d1 l �pcm.
Bê �· 2.1 ( Bê �· c¡c �o¤n th¯ng song song). Hai nûa �÷ìng th¯ng Ox,Oy còng xu§t ph¡ttø �iºm O. Tr¶n núa �÷íng th¯ng Ox l§y c¡c �iºm A1, A2, A3, . . . , An sao cho OA1 =A1A2 = . . . = An−1An. Tr¶n nûa �÷íng th¯ng Oy l§y c¡c �iºm B1, B2, B3, . . . , Bn sao choOB1 = B1B2 = . . . = Bn−1Bn. Chùng minh r¬ng AiBi, (i = 1, 2, . . . , n) song song vîi nhau.
Chùng minh.
Theo bê �· �÷íng trung b¼nh cõa tam gi¡c, ta nhªn �÷ñc A1B1//A2B2. Ti¸p töc l m vîi tam
9
2.2 B i tªp Sigma - MATHS
gi¡c câ c¤nh l A1A3 ta nhªn �÷ìc A2B2//A3B3 . . .. Cù ti¸p töc nh÷ vªy ta �÷ñc c¡c �o¤nth¯ng AiBi song song vîi nhau.
Bê �· 2.2 (Bê �· húu t�). Cho xOy. Tr¶n c¤nh Ox l§y hai �iºm A, B, tr¶n c¤nh Oy l§y hai�iºm C, D sao cho OA : OB = m : n = OC : OD vîi m, n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Khi �âAC//BD.
Chùng minh. Chia OB th nh n + m ph¦n, chia OD th nh n + m ph¦n. �p döng (2.1).
Bê �· 2.3 (Bê �· væ t�). (Cæng nhªn khæng chùng minh)Cho xOy. Tr¶n c¤nh Ox l§y hai �iºm A, B v tr¶n c¤nh Oy l§y hai �iºm C, D sao choOA : OB = m : n = OC : OD. Khi �â AC//BD.Chó þ: Muèn chùng minh ph£i sû döng cæng cö giîi h¤n.
Bê �· 2.4 (Bê �· h¼nh b¼nh h nh). Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD. Tr¶n c¤nh AB v CD l¦nl÷ñt l§y hai �iºm P v Q sao cho PA : PB = m : n = QC : QD (m,n thüc). Khi �âPQ//BC//AD.
Chùng minh.
�ành lþ 2.2 ( �ành lþ Thales). C¡c �÷íng th¯ng song song chn hai c¡t tuy¸n (�÷íng th¯ng)d, d′ th¼ t¤o ra tr¶n d, d′ c¡c �o¤n th¯ng t÷ìng ùng t¿ l».
2.2 B i tªp
12. Cho h¼nh thang c¥n ABCD. C ′ l �iºm tòy þ tr¶n CD. K´ �÷íng th¯ng qua C ′ v songsong vîi BD ct AB t¤i D′. Chùng minh r¬ng: AC ′ = B′C.
13. Cho tam gi¡cABC. M l trung �iºm cõa c¤nh BC. Qua B v C düng c¡c �÷íng th¯ngsong song vîi AM ct AC v AB l¦n l÷ñt t¤i P v Q.
Chùng minh r¬ng:1
AM=
1
PB+
1
QC.
10
2.2 B i tªp Sigma - MATHS
Gñi þ: Nh¥n hai v¸ vîi AM rçi dòng c¡c �o¤n th¯ng t¿ l» tr¶n BC.
14. Cho tam gi¡c c¥n ABC (AB = AC), k²o d i BC v· ph½a C l§y �iºm M . �÷íng th¯ng d
qua M ct AB v AC l¦n l÷ñt t¤i P v Q. Chùng minh r¬ng:BM
BP− CM
CQkhæng phö thuëc
v o và tr½ cõa M v �÷íng th¯ng d.
Gñi þ: K´ AN//d, bi¸n �êi th nh t¿ l» t÷ìng �÷ìng câ m¨u l AN . Ch¿ ra t¿ l» c¦n t¼m l BC : BA.
15. Cho tam gi¡c ABC câ AB > AC. M l trung �iºm cõa BC. Ph¥n gi¡c gâc A ct BC t¤iL. Tø M k´ �÷íng vuæng gâc vîi AL ct AB t¤i D, ct AC t¤i E. Chùng minh r¬ng:
a) AD =1
2(AB + AC).
b) Gåi F l trung �iºm cõa AC. Chùng minh r¬ng: EF =1
2AB.
Gñi þ :
11
2.2 B i tªp Sigma - MATHS
a) DB = CP (CP//AB).∆PCE c¥n ⇒ CP = CE.
b) AT = 2.FC,BT = 2.CE ⇒ AB = 2.FE.
16. Cho tam gi¡c ABC. D v E n¬m l¦n l÷ñt tr¶n c¡c c¤nh AB v AC sao cho BD = CE.Gåi P l trung �iºm DE, M l trung �iºm cõa BC. Chùng minh r¬ng: PM song song vîi ph¥ngi¡c gâc A.Gñi þ: K´ BG v DK vuæng gâc vîi ph¥n gi¡c gâc A. Ch¿ ra MPUV l h¼nh b¼nh h nh.
17 (�÷íng th¯ng Gauss). Cho tù gi¡c to n ph¦n ABCDEF .
a) Chùng minh r¬ng trung �iºm cõa c¡c �÷íng ch²o AC, BD, EF n¬m tr¶n mët �÷íngth¯ng g, ta gåi l �÷íng th¯ng Gauss.
b) g ct AD v BC l¦n l÷ñt t¤i Y v Z. Chùng minh r¬ng:AY
Y D=
CZ
BZ.
Gñi þ:
a) L§y E l t¥m �çng d¤ng chi¸u c¡c �iºm P, Q, R th nh G, K, F th¯ng h ng.
12
2.2 B i tªp Sigma - MATHS
b) K´ Al v CK còng song song vîi BD. Sû döng �ành lþ Thales.
18. Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD. P l �iºm trong h¼nh b¼nh h nh sao cho APB+CPD = 1800.Chùng minh r¬ng gâc PBC = CDP .
Gñi þ: Tành ti¸n P th nh X theo−−→BC. Tù gi¡c DPCX nëi ti¸p.
19. Cho tam gi¡c ABC, O l �iºm n¬m trong tam gi¡c. AO, BO, CO ct c¤nh BC, CA, ABl¦n l÷ñt t¤i D, E, F . Qua O k´ c¡c �÷íng th¯ng song song vîi BC ct DE, DF l¦n l÷ñt t¤iN v M . Chùng minh r¬ng: ON = OM.Gñi þ: Qua A k´ �÷íng th¯ng song song vîi BC. Chùng minh DA l trung tuy¸n cõa tamgi¡c HDI. Biºu di¹n AQ : BC = AH : BD,BC : AP = DC : AI. Sû döng t½nh �çng d¤ng cõatam gi¡c OPQ v OBC.
20. Cho tam gi¡c nhån ABC, �÷íng ph¥n gi¡c AD. Gåi M v N l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u cõa Dtr¶n AC v AB. Giao �iºm cõa BM v CN l P . Chùng minh AP⊥BC.Nhªn x²t: �¥y l b i to¡n r§t hay, nâi l¶n sü li¶n h» giúa �÷íng ph¥n gi¡c v �÷íng cao trongtam gi¡c.
13
2.3 C¡c b i to¡n bê sung Sigma - MATHS
21. C¡c c¤nh cõa tù gi¡c chia th nh ba ph¦n b¬ng nhau. Chùng minh r¬ng:
a) Di»n t½ch ph¦n tæ x¡m b¬ng1
9di»n t½ch tù gi¡c.
b) C¡c �o¤n th¯ng �·u bà chia th nh ba ph¦n b¬ng nhau.
2.3 C¡c b i to¡n bê sung
22 (�ành lþ Ptoleme). Cho tù gi¡c lçi ABCD. Chùng minh r¬ng:N¸u tù gi¡c ABCD nëi ti¸p th¼ AB · CD + BC · AD = AC ·BD.
Gñi þ Tr¶n AC l§y E sao cho ABE = CBD.
23. Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD. �÷íng trán (k) ct c¡c c¤nh AB, AD v �÷íng ch²o AC l¦nl÷ñt t¤i B′, D′ v C ′. Chùng minh r¬ng: AB′.AB + AD′.AD = AC ′.ACGñi þ: Sû döng �ành lþ ptoleme cho tù gi¡c nëi ti¸p AD′C ′B′ v ∆ADC v ∆B′D′C ′.
14
2.3 C¡c b i to¡n bê sung Sigma - MATHS
24. Cho tam gi¡c ABC câ 2BC = AB + AC. Gåi I l t¥m �÷íng trán nëi ti¸p, O l t¥m�÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆ABC. Chùng minh r¬ng: AI⊥OI.Gñi þ: Sû döng �ành lþ ptoleme
25. Cho hai �iºm D v E n¬m tr¶n nûa �÷íng trán �÷íng k½nh AB. Düng h¼nh b¼nh h nhADCE. Chùng minh r¬ng DE⊥BC.Gñi þ: Ch¿ ra E l trüc t¥m cõa tam gi¡c BCD.
15
Sigma - MATHS
3 Chòm b i to¡n v· trüc t¥m
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi x²t b i to¡n xung quanh mèi quan h» giúa trång t¥m, trüct¥m, t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p v mët sè v§n �· li¶n quan.
3.1 Mæ h¼nh cì b£n
Cho tam gi¡c ABC nhån nëi ti¸p �÷íng trán (O;R). C¡c �÷íng cao AD, BE, CF ct nhaut¤i H. AD, BE, CF ct �÷íng trán (O,R) l¦n l÷ñt t¤i P, Q, R. Gåi M l trung �iºm cõaBC.
3.2 Khai th¡c mæ h¼nh
26. Chùng minh r¬ng tù gi¡c BFEC nëi ti¸p mët �÷íng trán.
27. Vîi c§u h¼nh cì b£n chùng minh r¬ng:
a) P �èi xùng vîi H qua BC, Q �èi xùng vîi H qua AC.
b) B¡n k½nh c¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c ∆AHB,∆AHC,∆BHC b¬ng nhau v b¬ng b¡nk½nh cõa (O).
28. Vîi c§u h¼nh cì b£n.
a) K²o d i AO ct �÷íng trán (O) t¤i K. Chùng minh r¬ng tù gi¡c BHCK l h¼nh b¼nhh nh.
b) Chùng minh r¬ng K, H, M th¯ng h ng.
29.
a) Chùng minh r¬ng: A l �iºm ch½nh giúa cung QR.
16
3.2 Khai th¡c mæ h¼nh Sigma - MATHS
b) Chùng minh r¬ng: EF//RQ.
c) Chùng minh r¬ng: OA⊥EF .
30 (�÷íng th¯ng Euler). Gåi G l trång t¥m cõa tam gi¡c ABC . Chùng minh r¬ng :H, G, Oth¯ng h ng ( �÷íng th¯ng �i qua H, G, O gåi l �÷íng th¯ng ìle ).
31.
a) Chùng minh r¬ng khi A chuyºn �ëng tr¶n cung BC lîn th¼ b¡n k½nh �÷íng trán ngo¤iti¸p tam gi¡c AEF khæng �êi.
b) T¼m và tr½ cõa A tr¶n cung BC lîn sao cho (DH ·DA) lîn nh§t.
32.
a) Chùng minh r¬ng : BH ·BE + CH · CF = BC2.
b) Chùng minh r¬ng : AH · AD + BH ·BE + CH · CF =AB2 + BC2 + AC2
2.
33. Chùng minh r¬ng H l t¥m �÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c EFD.
34. Khi gâc ABC = 600. Chùng minh r¬ng tam gi¡c MEF �·u.
35. Cho gâc BAC = 450.. T½nh di»n t½ch tam gi¡c MEF theo R.
36. Chùng minh r¬ngAR
AD+
BP
BE+
CQ
CF= 2.
37. �÷íng trán �÷íng k½nh AB ct CF t¤i M , �÷íng trán �÷íng k½nh AC ct BE t¤i N .Chùng minh r¬ng: AM = AN .
38. K´ �÷íng k½nh BOS, tø C k´ CT⊥BS. Chùng minh r¬ng : EF = CT .
39. Gåi I l trung �iºm cõa EF . Chùng minh r¬ng : OA · AI = AM ·MO.
40. T¼m và tr½ cõa A tr¶n cung BC lîn sao cho : EF + ED + FD �¤t gi¡ trà lîn nh§t.
41. Cho R l b¡n k½nh �÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆ABC. Chùng minh r¬ng:
a) AB.AC = 2R.AD.
b) S =AB.BC.CA
4R.
42. �÷íng k½nh AK ct EF t¤i J . Chùng minh r¬ng tù gi¡c FJKB nëi ti¸p �÷íng trán.
43. Tø A k´ ti¸p tuy¸n AL,AN �¸n �÷íng trán ngo¤i ti¸p tù gi¡c BFCE. Chùng minh r¬ng:L,H,N th¯ng h ng.
44. B i to¡n câ thº mð rëng th nh b i to¡n sau: Cho �iºm M n¬m ngo i �÷íng trán (O), k´hai c¡t tuy¸n MBC (B n¬m giúa M v C) v MAD (A n¬m giúa M v D). Gåi H l giao�iºm cõa AC v BD. ML v MN l¦n l÷ñt l ti¸p tuy¸n cõa (O) t÷ìng ùng t¤i L v N . Chùngminh r¬ng: L, H, Nth¯ng h ng.
17
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3
B i 26. �º þ BEC = BFC = 900.
B i 27.
a) Tù gi¡c ABDC nëi ti¸p, ta câ DBE = PAE ⇒ CBQ = PAC = PBC.
b) Chó þ: ∆BPC = ∆BHC; ∆CHA = ∆CQA; ∆AHB = ∆ARB.
B i 28.
a) Ta câ KB ⊥ AB; CF ⊥ AB ⇒ KB//CF ⇒ KB//CH. M°t kh¡c, KC ⊥ AC; BE ⊥AC ⇒ KC//BE ⇒ KC//BH. Vªy BHCK l h¼nh b¼nh h nh.
b) V¼ BHCK l h¼nh b¼nh h nh;M l trung �iºm cõa BC ⇒M trung �iºmKH ⇒K,M,Hth¯ng h ng.
18
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
B i 29.
a) X²t tù gi¡c nëi ti¸p BCEF câ ABQ = ACR = sd_EF . Suy ra AR = AQ.
b) Chùng minh EF l �÷íng trung b¼nh ∆HQR.
c) Theo c¥u a, OA ⊥ RQ, suy ra OA ⊥ EF .
B i 30.
X²t tam gi¡c AKH câ O l trung �iºm cõa AK, M l trung �iºm HK. Suy ra OM =1
2AH
⇒MG =1
2GA ⇒ AM ct OH t¤i G.
19
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
B i 31.
a) ∆AEF ngo¤i ti¸p �÷íng trán �÷íng k½nh AH. M AM = 2OM , OM cè �ành. Suy ra
b¡n k½nh1
2AH cè �ành.
b) DH ·DA = DP ·DA = DB ·DC ≤(BD + DC
2
)2
=1
4BC2.
D§u "=" x£y ra khi DB = DC.
B i 32.
a) ∆BDH v ∆BEC ⇒ BD
BE=
BH
BC⇒ BH ·BE = BD ·BC.
∆CDH v ∆CFB ⇒ CD
CF=
CH
CB⇒ CH · CF = CD · CB.
b) Chùng minh t÷ìng tü.
B i 33.+) FEB = FCB = BADBED (tù gi¡c ACDF nëi ti¸p).
+) EDA = EBA = ECF = FDA.Vªy DA v BE l c¡c �÷íng ph¥n gi¡c trong cõa tam gi¡c EFD.
20
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
B i 34.
Ta câ ABC = 600 ⇒ FCB = 300 = FEB.M l t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p BCEF ⇒ EMF = 2FEB = 600; ME = MF ⇒ ∆MEF �·u.
B i 35.
∆AFC vuæng t¤i F , BAC = 450 ⇒ FCA = 450.
FCA =1
2EMF = 450 ⇒ EMF = 900. L¤i câ ME = MF ⇒ ∆MEF vuæng c¥n t¤i M .
Ta câ1
2BC = ME = MF =
R√
2
2.
21
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
S∆MEF =1
2ME ·MF =
1
2· R√
2
2· R√
2
2=
1
4R2.
B i 36.
Ta câAR
AD+
BP
BE+
CQ
CF=
AH
AD+
BH
BE+
CH
CF= 2.
M AH
AD=
AH ·BC
AD ·BC=
1
2AH · (BD + DC)
1
2AD ·BC
=S∆AHB + S∆AHC
S∆ABC
(1)
T÷ìng tü:BH
BE=
S∆BHC + S∆BHA
S∆ABC
(2)
CH
CF=
S∆CHA + S∆CHB
S∆ABC
(3)
Tø (1), (2), (3) ta câ:2S∆AHB + 2S∆AHC + 2S∆BHC
S∆ABC
=2S∆ABC
S∆ABC
= 2.
B i 37.
X²t ∆AMB câ AM2 = AF · AB; ∆ANC câ AN2 = AE · AC. M AF · AB = AE · AC(ph÷ìng t½ch cõa A vîi �÷íng trán ngo¤i ti¸p BCEF ) ⇒ AM = AN .
22
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
B i 38.
Ta câ ∆AFC v ∆OMB v¼ AFC = OMB = 900, FAC = MBO.
⇒ OBM = ACF ⇒ TBC = ECF ⇒_CT=
_EF⇒ CT = EF .
B i 39.
Chùng minh ∆AEF v ∆ABC. Câ I l trung �iºm EF , M l trung �iºm BC, AI v AMl hai trung tuy¸n t÷ìng ùng cõa hai tam gi¡c; �÷íng trán t¥m O ngo¤i ti¸p ∆ABC, AH l
�÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆AEF . Suy raOA
AM=
12AH
AI=
MO
AI⇒ OA · AI = MO ·MA.
B i 40. Ta gåi W, Z t÷ìng ùng l h¼nh chi¸u cõa O tr¶n AB, AC. Chùng minh 2S∆ABC =OM.BC + OW.AC + OZ.AB.
B i 41. a) Chùng minh ∆ABD v ∆AKC ⇒ AB
AK=
AD
AC⇒ AB · AC = AD · AK. M
AK = 2R. Vªy ta câ �pcm.
b) Tø c¥u a ta câAD =AB · AC
2R; S∆ABC =
AD ·BC
2=
(AB · AC) ·BC
2 · 2R=
AB ·BC · CA
4R.
23
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
B i 42.
Ta câ BAK + BKA = 900. M BAK = BPA = sd_AB.
M°t kh¡c:AFJ = AFE
= AHE (tù gi¡c AEHF nëi ti¸p)= BHP (�èi �¿nh)= BPA (∆BHP c¥n t¤i B)
= BPD = sd_AB
Suy ra AFJ + F JA = 900 ⇒ ∆AJF vuæng t¤i J ⇒ AK⊥EF .Tù gi¡c FJKB câ FBK = F JK = 900 ⇒ FJKB nëi ti¸p �÷íng trán �÷íng k½nh FK.
B i 43. Gåi AM ct LN t¤i �iºm Z. Ta câ AZ ·AM = AN2 = AL2 = AE ·AC = AF ·AB ⇒∆AZE v ∆ACM v ∆AZF v ∆ABM . Suy ra AZE = ACM v AZF v ABM .M°t kh¡c, FZE = AZE+ AZF = MCE+MBF = FHE. Suy ra EZHF nëi ti¸p �÷íng trán�÷íng k½nh AH ⇒ HZA = 900 ⇒ L,H,Z,N th¯ng h ng.
24
3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS
B i 44. Chùng minh t÷ìng tü b i to¡n tr¶n.Möc �½ch cõa t i li»u �º luy»n thi n¶n chóng tæi khæng �i s¥u v o khai th¡c b i to¡n d÷îi d¤ngnghi¶n cùu, nh÷ng công gñi þ cho c¡c b¤n �¥y l mët �· t i thó và.
25
Sigma - MATHS
4 Chòm b i to¡n v· ph÷ìng t½ch
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi bt �¦u vîi b i to¡n quen thuëc xoay quanh ki¸n thùc v·ph÷ìng t½ch v mët sè v§n �· li¶n quan.
4.1 Mæ h¼nh cì b£n
Cho �÷íng trán t¥m (O). Cho �iºm M n¬m ngo i (O), v³ c¡c ti¸p tuy¸n MA, MB v c¡ttuy¸n MCD tîi (O), vîi MC < MD. I l trung �iºm cõa CD. AB ct MO t¤i H.
4.2 Khai th¡c mæ h¼nh
45.
a) Chùng minh r¬ng: MA2 = MC.MD.
b) Chùng minh r¬ng OH.OM + MC.MD = MO2
c) Chùng minh r¬ng n«m �iºm M, A, I, O, B thuëc mët �÷íng trán.
d) IM l tia ph¥n gi¡c cõa AIB.
e) Gåi H1 l trüc t¥m ∆MAB. Chùng minh r¬ng �ë d i cõa H1A khæng phö thuëc v o vàtr½ cõa �iºm M.
46.
a) Chùng minh r¬ng: Tù gi¡c CHOD nëi ti¸p mët �÷íng trán.
b) HA l tia ph¥n gi¡c cõa CHD.
47. BI ct (O) t¤i Y ′. Chùng minh r¬ng: AY ′//MD.
48 (Tr½ch �· thi v o 10 H Nëi, 2013−2014). K´ �÷íng th¯ng d qua D, d//MO ct �÷íng k½nhAA′ t¤i Y . Chùng minh r¬ng: IY//A′C.
26
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 Sigma - MATHS
49. E l trung �iºm cõa MA. Gåi W l h¼nh chi¸u cõa E tr¶n MO. K´ WV l ti¸p tuy¸n vîi(O). Chùng minh r¬ng MV⊥V H.
50.
a) Gåi J giao �iºm cõaMO vîi (O). Chùng minh r¬ng J l t¥m �÷íng trán nëi ti¸p ∆MAB.
b) Gåi N l giao �iºm cõa AB v CD. Chùng minh r¬ng: Tù gi¡c OHNI nëi ti¸p mët�÷íng trán.
c) Chùng minh r¬ng: MA2 = MN.MI.
51. Ti¸p tuy¸n t¤i C v D cõa (O) ct nhau t¤i K. Tø K k´ �÷íng th¯ng vuæng gâc vîi MOct (O) t¤i A v B. Chùng minh MA v MB l ti¸p tuy¸n cõa (O).
52. Ti¸p tuy¸n t¤i C v D cõa (O) ct nhau t¤i K. Chùng minh r¬ng: A, B, K th¯ng h ng.
53. Tø mæ h¼nh cì b£n cho M, C, D cè �ành. �÷íng trán (O) nh÷ng luæn qua C v D. Chùngminh A, B luæn chuyºn �ëng tr¶n �÷íng trán cè �ành.
54. �÷íng th¯ng �i qua C v vuæng gâc vîi OA ct AB, AD l¦n l÷ñt t¤i A1 v A2. Chùngminh r¬ng CA1 = A1A2.
55. Gåi P l trung �iºm cõa MA, E l giao �iºm cõa BP vîi �÷íng trán (O). Tia ME ct�÷íng trán (O) t¤i F. Chùng minh r¬ng ∆MPE v ∆BPM. v BF//MA.
56. X¡c �ành và tr½ cõa �iºm M �º tù gi¡c AMBF l h¼nh b¼nh h nh.
57. Qua (O) k´ �÷íng th¯ng vuæng gâc vîi MO ct MA v MB t¤i P v Q. T¼m và tr½ cõaM �º di»n t½ch tam gi¡c MPQ nhä nh§t.
58 (Tr½ch �· thi tuyºn sinh v o 10 Ninh B¼nh 2017 − 2018). Ti¸p tuy¸n t¤i M cõa �÷íng trán(O) ct MA v MB t¤i E v F . Chùng minh r¬ng: POE = OFQ v PE + QF ≥ PQ.
59. AB ct OE v OF l¦n l÷ñt t¤i Q′ v P ′. Chùng minh r¬ng: T¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p∆OEF n¬m tr¶n �÷íng th¯ng cè �ành khi C di �ëng tr¶n cung AB.
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4
B i 45.
a) Chùng minh ∆MAC v ∆MDA
27
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 Sigma - MATHS
b) OH.OM = OA2, MC.MD = MA2.
c) L§y O′ l trung �iºm cõa MO. Chùng minh M, A, I, O, B thuëc mët �÷íng trán (O′).
d) Chùng minh AIM = MIB.
e) Chùng minh AOBH1 l h¼nh b¼nh h nh.
B i 46.
a) Do tam gi¡c MAB vuæng t¤i A n¶n MH.MO = MA2 m MA2 = MC.MD n¶nMH.MO = MC.MD.Do �â 4MHC �çng d¤ng vîi 4MDO n¶n CHM = CDO.
b) Ta câ DHO = DCO(gâc nëi ti¸p chn cung OD) m DCO = CDO (tam gi¡c OCD c¥n)n¶n DHO = CDO. Do CDO = CHM n¶n DHO = CHM .
B i 47.
Chùng minh MIB = MAB (gâc nëi ti¸p chn cung MB) m MAB = AY ′B suy ra AY ′B =
MIB n¶n AY ′//MD..
B i 48.
28
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 Sigma - MATHS
Chùng minh Ta câ IDY = OMI (do DY//MO) m OMI = OAI = Y AY n¶n tù gi¡cAY ID nëi ti¸p. Suy ra DIY = DAA′ m DAA′ = = DCA′ n¶n CA′//IY.
B i 49.
Chùng minhTa câ OV 2 + WV 2 = WO2 = (WH + HO)2 = WH2 + HO2 + 2WWH.HO = WH2 + HO2 +MH.HO = WH2 + HO2 + AH2 = WH2 + OA2. Suy ra OV 2 + WV 2 = WH2 + OA2. VªyWV = WH m E l trung �iºm cõa MA n¶n W l trung �iºm cõa MH n¶n tam gi¡c MVHvuæng t¤i V .
B i 50.
a) Chùng minh AJ l ph¥n gi¡c cõa gâc MAB . Thªt vªy, MAJ =1
2AOJ =
1
2BOJ = JAB.
b) Chùng minh NIO + NHO = 1800.
29
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 Sigma - MATHS
c) MI.MN = MO.MH (do HNIO l tù gi¡c nëi ti¸p) m MO.MH = MA2(do tam gi¡cMAO vuæng ) n¶n MA2 = MN.MI.
B i 51.
Chùng minh. Hiºn nhi¶n O, I,K th¯ng h ng v OA2 = OD2 = OI.OK. n¶n 4AOI �çng d¤ngtam gi¡c 4AOK n¶n IAO = OKA = OKH m OKH = IMO (hai gâc câ c¤nh t÷ìng ùngvuæng gâc ) n¶n IMO = IAO n¶n tù gi¡c MAIO nëi ti¸p. Vªy MAO = MIO = 900
B i 52.
Chùng minh K, H, A th¯ng h ng.Nhªn x²t: N¸u b i to¡n ph¡t biºu th nh Ti¸p tuy¸n t¤i C v D cõa (O) ct nhau t¤i K. Chùngminh r¬ng: K n¬m tr¶n �÷íng th¯ng cè �ành khi �÷íng th¯ng d thay �êi v thäa m¢n �· b i.
B i 53.
30
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 Sigma - MATHS
Chó þ �¯ng thùc MA2 = MB2 = MC.MD.
B i 54.
Chùng minh AI l �÷íng trung b¼nh cõa ∆CA2D
B i 55.
Chùng minh ∆MPE v ∆BPM .
B i 56.
31
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 Sigma - MATHS
Chùng minh ∆MAB �·u.
B i 57.
Chùng minh MP = MA + AP ≥√MA.AP = R.
B i 58.
Chùng minh POE = OFQ.
B i 59.
32
4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 Sigma - MATHS
Gåi T l giao �iºm cõa �÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆OEF vîi MO.Chùng minh OT l �÷íng k½nh cõa (OEF ).
33