NYUGAT-MAGYARORSZGI EGYETEM Faipari Mrnki Kar

Mszaki Mechanika s

Tartszerkezetek Intzet

Dr. Hajdu Endre egyetemi docens

MECHANIKA I.

Sopron 2009.

javtott kiads

TARTALOMJEGYZK

I.1. Bevezets a mszaki mechanika tanulsba 1

I. A SZTATIKA ALAPJAI I.2. Vektorok I. 3 I.3. A sztatika alapfogalmai s alapttelei 7 I.4. Knyszerek 11 I.5. Kzs metszspont skbeli errendszer 17 I.6. Hrom er egyenslya 22 I.7. Az er nyomatka 23 I.8. Skbeli prhuzamos errendszer 26 I.9. Skbeli ltalnos errendszer 32 I.10. A sztatikai feladatok megoldsrl 37 I.11. Egyenslyozsi feladatok 42 I.12. Vektorok II. 46 I.13. Nyomatk pontra s tengelyre 47 I.14. Trbeli ltalnos errendszer 52 I.15. Megoszl erk 59 I.16. Slypont 63 I.17. Tapad s cssz srlds 70 I.18. Csapsrlds, ktlsrlds, grdlsi ellenlls 76 I.19. Egyszer gpek, fkszerkezetek 83 I.20. A nyugalmi helyzet stabilitsa 94

II. TARTSZERKEZETEK SZTATIKJA

II.1. A tartszerkezetekrl ltalban 98 II.2. Egyszer rcsos tartk 100 II.3. Csomponti mdszer, CREMONA-erterv 103 II.4. tmetsz mdszer 109 II.5. Csukls szerkezetek 111 II.6. Az egyenes rd ignybevtelei 114 II.7. Ignybevteli brk 120 II.8. Kapcsolat a hajltnyomatk, a nyrer s a terhels kztt 126 II.9. Trt-tengely s gas tartk 131

I.1. Bevezets a mszaki mechanika tanulsba A TRGY SZEREPE A mszaki mechanika a mrnkkpzsnek - teht a faipari mrnkkpzsnek is fontos alaptrgya. Rszben erre pl minden mszaki jelleg szaktrgy, s az zemmrnk mindennapi tevkenysgben is termkenyt a mechanika tanulsa rvn kialakul szemllet. Emltst rdemel a trgy elmefejleszt, gondolkodst fegyelmez hatsa is. HOGYAN TANULJUK A TRGYAT? Ez lnyeges krds. Sokak szmra azrt eredmnytelen a mechanika tanulsra fordtott gyakran tetemes id, mert a gpies tanuls mdszert alkalmazzk az rtelmes tanuls helyett. A tanulsnak aktvnak kell lennie! Ha csak olvasgatjuk, nzegetjk az anyagot, nll szellemi erfeszts nlkl, aligha tanulunk belle valamit. Lassan, de elmlyedve kell tanulmnyozni az j ismereteket, sszekapcsolva a korbbi, mr megemsztett anyaggal. A fogalmak defincik megrtsre s a ttelek pontos ismeretre trekedjnk elszr. Tudsunkat llandan ellenrizzk s fejlesszk feladatok megoldsval. A feladatmegolds lpseit logikailag (ttelekre hivatkozva) kell indokolni, nem csupn a szemlletre alapozva. A JEGYZETRL A jegyzet anyaga fejezetekre s trgypontokra tagoldik. Az utbbiak kzl egyesek matematikai tmkkal foglalkoznak. Ezek elksztik az utnuk kvetkez mechanikai anyagot, rviden sszefoglaljk az alkalmazsra kerl matematikai appartust. Ne haladjunk tovbb, mg a megfelel matematikai ismereteket fel nem frisstettk! Az j fogalmak a jegyzetben al vannak hzva, mgpedig azon a helyen, ahol a fogalom definilva van. Az egyes trgypontokat olykor megjegyzseket, tanulstechnikai tancsok zrjk le. TTEKINTS A MSZAKI MECHANIKRL Mieltt a rszletek megismershez fognnk, vessnk egy pillantst az anyag egszre. Trgyunk tbb szempontbl oszthat fel. Egy lehetsges s szmunkra megfelel feloszts a kvetkez:

Mszaki mechanika

Kinematika Dinamika

Kinetika Sztatika

Merev testek sztatikja

Alakthat testek sztatikja

A

B

C

1. bra

a

2. bra

b

c d

e

Magyarzat: Mszaki mechanika: a mechaniknak a mszaki szempontbl fontos krdseivel foglalkoz rsze. Kinematika: a mozgsoknak trben s idben val lersval foglalkozik. Lnyegben a mozgs geometrija, de az id figyelembevtelvel. Dinamika: az erk hatsa alatt ll, mozgsban vagy nyugalomban lv testekkel foglalkozik. Kinetika: az erk hatsa alatt ll, mozgsban lv testeket vizsglja. Sztatika: a testek nyugalmi llapotval, az erk egyenslyval s mindezek feltteleivel, illetve okaival foglalkozik. Sztatikn tbbnyire a merev testek sztatikjt rtik. Az alakthat testek sztatikjnak szoksos neve: szilrdsgtan, illetve rugalmassgtan. Megjegyezzk, hogy a mszaki mechanika e nagy fejezetei nem vlaszthatk lesen el egymstl. A tovbbiakban gyakran lesz szksgnk a mechanikai mennyisgek vektorral trtn szemlltetsre, lersra. Ezrt a trgyalst a vektorral kapcsolatos nhny alapvet tudnival rvid sszefoglalsval kezdjk. I.2. Vektorok I. ALAPFOGALMAK A vektor irnytott egyenes szakasz. Az A kezdpont s B c vektor (1. bra) hossza vagy abszolt rtke:

BAc = . Az egysgvektor egysgnyi hosszsg vektor. Kt vektor egyenl. Ha hosszuk s irnyuk egyezik. A 2. brn ba, egyirny vektorok,

edc ,, egyllsak

A zrusvektor kezdpontja s vgpontja egybeesik. A szvegben s az brkon a vektorokat fellvonssal jelljk.

Vektornak egy k skalrral val szorzatt gy definiljuk: az a vektor s k skalr szorzata ak olyan vektor, melynek

- hossza: ak .

- irnya: egyez a irnyval, ha k negatv. Egy vektor -1 szerese a vektor ellenttes vektora. E kt vektor hossza egyenl, irnya ellenkez. Mveleti szablyok: ( ) ,anakank +=+ ( ) .bkakbak +=+ Kt vektor sszeghez jutunk, ha: a vektorokat gy helyezzk el, hogy az egyik vgpontja a Vektorkzppontja s a msodik vgpontja ltal msiknak a kezdpontja legyen. Ekkor az els meghatrozott vektor (3. bra) a kt vektor sszege. Hrom, vagy tbb vektor sszegt hasonl mdon, a vektorokat egymshoz fzve llthatjuk el. Az sszegvektor az els vektor kezdpontjbl az utols vektor vgpontjba mutat vektor. Az sszeadand vektorokat tetszleges sorrendben fzhetjk egymshoz. Vektorok sszegt erednek, az sszeg tagjait sszetevknek is mondjuk.

Kt vektor klnbsgt a vektor skalrszorosa

s a vektorsszeg fogalmnak segtsgvel gy kpezzk:

( ).baba +=

3. bra Vagyis a kivonand vektor ellenttes vektort adjuk a kisebbtend vektorhoz (4. bra). A vektoroknak szmokkal trtn jellemzse cljbl egy kzs kezdpontbl kiindul

( )1,1, == jiji egymsra merleges alapvektorokat vesznk fel a skban, illetve kji ,, alapvektorokat a trben. E vektorokat gy vlasztjuk, hogy jobbrendszert alkossanak, vagyis a vektorvgpontok alkotta hromszg krljrsa a kezdpontbl nzve pozitv (az ramutat jrsval ellenttes) legyen. Az alapvektorokat kapcsoljuk egy derkszg koordintarendszerhez az 5. bra szerint. Ekkor brmely skbeli c vektor pontosan egy mdon rhat fel jcicc yx += alakban. Az ji , alapvektorok rendszerben 4. bra

:, yx cc a c vektor komponensei

:, jcic yx a c vektor sszetevi Az 5. brn lthat c vektor esetben ,xcx = ycy = Trbeli vektorokra a komponens s sszetev rtelmezse hasonl. 5. bra Ttel: vektorok sszegnek komponensei a vektorok megfelel komponenseinek sszegei. Ttel: egy vektor k - szorosnak komponensei a vektor megfelel komponenseinek k szorosai. Valamely kcjcicc zyx ++= trbeli vektor abszolt rtke:

.222 zyx cccc ++= A vektornak a tengellyel bezrt szgeit (6. bra), pontosabban irnykoszinuszait gy szmtjuk:

,cosc

cx= ,cosc

cy= c

cz=cos .

E hrom irnykoszinusz nem fggetlen egymstl, fennll a kvetkez relci: 1coscoscos 222 =++ 6. bra A skban minden vektort kt, a trben hrom adat jellemez. Ennek megfelelen minden vektoregyenlet kt, illetve hrom skalregyenletnek felel meg. MECHANIKAI VEKTORMENNYISGEK A mechanikban tbb, vektorokkal jellemezhet mennyisg szerepel. Ezek kztt szerepelnek olyanok is, melyeknl a fizikai hats szempontjbl a kezdpont helyzete lnyeges. Az ilyen vektormennyisget kttt vektorokkal adhatjuk meg. Ha a kezdpont thelyezse a fizikai jelensget nem rinti, szabad vektorrl beszlnk. Azok a fizikai mennyisgek, melyek ugyan irnytott egyenes szakaszokkal jellemezhetk, de nem a vektorilis sszeads szablyai szerint adhatk ssze, nem vektormennyisgek. Dimenzi szempontjbl a vektorok s komponenseik nem hosszsgjellegek, hanem a megfelel mechanikai mennyisg dimenzijval brnak. VEKTORMENNYISGEK BRZOLSA A mszaki mechanikban gyakran szksg van a vektormennyisgek grafikus brzolsra. Ez egy nyllal elltott egyenes szakasz s egy alkalmas mrtk (rajzmrtk, lptk) felvtelvel trtnhet. A nyl jelli a vektormennyisg irnyt, a mrtk alapjn pedig az brzolt vektormennyisg abszolt rtke hatrozhat meg.

A mrtk lnyegben olyan- rendszerint numerikus vagy grafikus- utasts, mely megmutatja, a rajzban brzolt egysgnyi vektorhossz mekkora s milyen mrtkegysg mechanikai mennyisggel egyenrtk. A 7. brn egy ervektor lthat. A kt mdon is megadott mrtk alapjn az er nagysga .8,2 NFF ==

Az egyenrtksg jele .=& 7. bra I.3. A sztatika alapfogalmai s alapttelei ALAPFOGALMAK A sztatika trgyalsnl bizonyos alapfogalmakbl indulunk ki, melyeket nem definilunk, hanem szemlletbl, illetve korbbi tanulmnyainkbl ismertnek tekintnk. Ilyen alapfogalom a tr, melyre az euklideszi tr matematikjt tekintjk rvnyesnek. Ugyancsak nem vizsgljuk egyenlre- hogy mit rtnk idn s mozgson. A trbeli s idbeli mennyisgek jellemzse, s egyb, a mechanikban elfordul mennyisgek mrshez mrtkrendszert kell felvenni. A tovbbiakban kizrlag a Nemzetkzi Mrtkegysgrendszert (SI: Systeme International Unites) illetve az MSZ 4900-as szabvnysorozatban rgztett mrtkegysgeket alkalmazzuk. A nemzetkzi mrtkegysgrendszer mechanikai mrtkegysgei: a mter (m), a msodperc (s) s a kilogramm (kg). A trben foglalnak helyet az anyagi testek. A sztatikban fknt merev testekkel foglalkozunk, melyek jellemzje: a test pontjai egymstl vltozatlan tvolsgban maradnak. Egyelre sima felletekkel hatrolt testekrl lesz sz. A testek egymsra gyakorolt hatsa az er. Az er egysge az 1 newton, jele N, mrtkegysge 2smkg , hozzvetleg az egysgnyi tmegre hat slyer tized rsze. A testek egymsra gyakorolt hatsa gyakran a testek rintkezse tjn addik t. Pldul kt test, hatsfelletk kisebb-nagyobb darabjn egymshoz r. Ha a felletdarab kicsiny, felsznt elhanyagolva egy ponton rvnyeslnek tekintjk a hatst, koncentrlt errl beszlnk. Az a pont, melyben a hats fellp, az er tmadspontja. Az elmondottakat a 8. bra szemllteti. Egy vzszintes tmaszfelletre slyos gmbt helyeznk. A kt test (a gmb s a tmasz) a valsgban egy kicsiny, nagyjbl gmbszelet alak felleten rintkezik egymssal. Ha ez a fellet vizsglatunk szempontjbl elhanyagolhat mret, a gmb ltal a tmaszra gyakorolt hatst a P pontban koncentrltnak tekintjk. 8. bra Rendszerint megadhat egy, a tmadsponton tmen egyenes- az er hatsvonala- s azon egy irny, az er irnya, mely a hats pontosabb jellemzsre szolgl (8/b bra). Arrl az egyenesrl s irnyrl van sz, melyen az er hatsa alatt ll (pontszer) test gyorsulva mozogna, ha az er egyedl hatna. A 8/c bra az er jelkpes brzolst mutatja. Az aljzatot r hatst pontosan jellemezhetjk a tmadspont rajzolt erjelkppel is. Ez egy

betvel vagy szmrtkkel elltott nyl, mely a hats irnyt s nagysgt mutatja. Nem tvesztend ssze az er vektoros brzolsval. Mechanikai szempontbl rendszerint felesleges az egymsra hatst gyakorl testeket feltntetni, elegend csupn a krdses testet r hatsokat egy-egy erjelkppel helyettesteni. Nem mindig alkalmazhat a koncentrlt er absztrakcija. Olykor a hats egy test sszes pontjn rvnyesl. Ilyenkor tmegerrl, vagy trfogati errl beszlnk. Plda a testek slya. Az ilyen megoszl erkrl ksbb lesz sz. A tapasztalat azt mutatja, hogy az erk hatsa alatt ll testek bizonyos esetekben mozgsban vannak, ms esetekben tartsan nyugalomban, illetve egyenes vonal egyenletes mozgsban. A sztatika szmra ez a kt utbbi eset fontos. Ha egy errendszer hatsa alatt ll test tartsan nyugalomban marad, vagy pontjai egyenes vonal egyenletes mozgst vgeznek, azt mondjuk, hogy a test egyenslyban van, illetve a re hat errendszer egyenslyi errendszer. Egyenslyi errendszer a zruser is, mely zrusvektorral brzolhat. Az egyensly klnbz errendszerekkel valstja meg. Pldul a 9. brn lthat trgy egyenslya kt mdon valsul meg: az a. brn a trgy G slya s a fggleges vonalerk alkotnak egyenslyi errendszert. A b. brn a ferde vonalerk tartanak G-vel egyenslyt. A fggleges vonalerk rendszere egyenrtk a ferde helyzet fonlerk rendszervel. ltalnossgban kt errendszert sztatikailag egyenrtknek neveznk, ha ltezik olyan errendszer, mely a kt errendszer mindegyikvel egyenslyi errendszert alkot. Pldnkban ilyen harmadik errendszer a G slyer. 9. bra A sztatika tteleit nhny a tapasztalat ltal igazolt- alapttelre, a sztatika aximira fogjuk visszavezetni. Ezeket az alaptteleket nem bizonytjuk, helyessgkre a rejuk pl ttelek s tapasztalat egyezsbl kvetkeztetnk. AXIMK I. Ha egy test valamely P pontja kt er kzs tmadspontja, s az erk nagysgt s irnyt a

BPAPrr

, irnytott egyenes szakaszok brzoljk, akkor a kt er sztatikailag egyenrtk egy

olyan ervel, melynek tmadspontja P, s melyet a BPAPrr

, irnytott egyenes szakaszok

egymshoz fzsvel nyert CPr

szakasz brzol (10. bra). Az erkre teht a vektorilis sszegzs szablya rvnyes, az er vektormennyisg, beszlhetnk ezrt sszetev s ered errl. II. Kt er egyenslynak szksges s elgsges felttele az, hogy a kt er kzs hatsvonal legyen, - az erk vektorai egyms ellenttes vektorai legyenek. 10. bra

11. bra A II. aximban szerepl errendszer (a zrusert nem szmtva). Megjegyzs a 11. brhoz: klnbztessk meg az er jelkpe mell rt bett ( ),,QF mely az er nagysgt illetve az ert brzol vektor hosszt jelenti, az er vektornak jeltl ( ).,QF III: Merev testre hat errendszer hatsa nem vltozik, ha egy egyenslyi errendszert adunk hozz, vagy tvoltunk el belle. Kvetkezmny: a merev testre hat er hatsvonaln eltolhat. Bizonyts: a 12/a. brn lthat F erhz hozzadjuk az FF , vektor, B tmadspont erket. Ezt a II. s III. axima teszi lehetv. Ezutn ugyan csak III. alapjn- a b. bra errendszerbl eltvoltjuk az brn thzssal jellt, egyenslyi errendszert. A megmaradt B tmadspont F er egyenrtk az eredetileg adott A tmadspont ervel, mindkett vektora .F IV. (Akci reakci elv) 12. bra Ha az A test hatsa a B testre az ABF er s B test hatsa A ra az BAF er, akkor .BAAB FF = Az erk teht prosval jelentkeznek. Feltesszk, hogy hatsvonaluk azonos. A 8. brn megrajzolt gmbt s tmaszt mg egyszer szemllteti a 13. bra. Az a. bra a gmb hatst mutatja a tmaszra, a b. bra a tmasz hatst a gmbre. Az akci s a reakci ltalban kt klnbz testre hat, vagy ugyanazon test, klnbz rszre. Ez utbbira plda egy vgeivel sszeakasztott rug. 13. bra MEGJEGYZS Felhvjuk a figyelmet arra, hogy az I. II. s IV. axima deformlhat testekre is rvnyes. A III. axima alkalmazsa nem merev testek esetben tvedsre vezethet. I. 4. Knyszerek

ltalban az erk hatsa ll test kzvetve vagy kzvetlenl a fldre tmaszkodik, valamilyen mdon a talajhoz kapcsoldik. A nyugalmi helyzet biztostsa csuklkkal, rudakkal, tmaszt felletekkel stb. trtnhet. A testre hat adott, ismert aktv erkn kvl az elbb emltett, mozgst korltoz knyszerek is ert gyakorolnak. A knyszerek ltal gyakorolt erk a reakcik. Ezek rendszerint nem adottak. Mindazt knyszernek mondjuk, ami a test elmozdtst korltozza. A valsgban igen sokfle mdon valsul meg a mozgs korltozsa. Ha azonban a knyszerek fizikai megvalstsban jelentkez esetlegessgektl eltekintnk, s csak arra gyelnk, hogy milyen tpus reakci errendszert szolgltat a knyszer, akkor elg kisszm knyszerfajthoz jutunk. Az alapvet knyszereket az albbiakban soroljuk fel. TMASZTS A test elmozdulst akadlyozhatja az, hogy a krdses test egy msik rgztett- testtel rintkezik. Ez az utbbi a tmaszts vagy tmasz, az elbbi a tmasztott test. Feltesszk, hogy az rintkezs egy-egy ponton ltesl (14. bra). Sima hatrol felleteket tteleznk fel, ami azt jelenti, hogy a felletek az egymson trtn elcssztats ellen nem fejtenek ki ellenllst. A megtmasztott test a tmasztl termszetesen el is tvolthat, csupn olyan mozgs van kizrva, melynl a tmasztott test rintkezsi pontja a tmaszts belsejbe jut. A sima fellettel hatrolt tmaszts lnyege sztatikai szempontbl egy olyan reakcier, melynek 14. bra

- tmasztspontja a tmasztsi pont, - hatsvonala a hatrol felletek normlisa a tmasztspontban, - vektora a tmasztott test fel mutat. -

A vektor hosszrl kzelebbit csak a tmasztott testre hat errendszer ismeretben mondhatjuk. KTL A testek rgztse ktllel (fonllal) is biztosthat. Idelis ktlre gondolunk a kvetkezkben, mely - tkletesen hajlkony, - nyjthatatlan, - slytalan. Ha a test egy P pontjt ktllel rgztjk egy fix O ponthoz (15. bra), akkor a P pont az O-tl legfeljebb ktlhossznyi tvolsgra kerlhet. Mivel rgzt feladatra a ktl csak megfesztett llapotban alkalmas, mondhatjuk, hogy a test ktlhez kapcsolt pontja egy O kzppont gmbfelleten tartzkodhat. Tapasztalatunk szerint a fesztett llapotban lv ktl olyan reakcit gyakorol a testre, melynek

- tmadspontja a test rgztsi pontja, - hatsvonala azonos a ktl tengelyvonalval, - vektora a testtl a ktl fel mutat.

A vektor hosszrl kzelebbit csak a testre hat errendszer ismeretben mondhatunk. A fentieket a 15/a bra szemllteti. Egy gerenda egyik vgt ktllel kapcsoljuk a mennyezethez, s az erk jobb ttekintse cljbl a gerendavget a ktltl elklntve brzoljuk. A gerendavg P pontjban hat K er a ktlvg hatsa a gerendra. Az akci-

reakci elv rtelmben ugyanekkora, de ellenttes irny er hat a ktlvgre is, ez a gerenda hatsa ktlvgre. A 15/b bra a ktl nyugalmi helyzett biztost errendszert szemllteti: a ktl vgn hat erk egyenslyi errendszert alkotnak, s a ktelet hzsra veszik ignybe. Ez mindig gy van, nyomer felvtelre a ktl nem alkalmas. Ktlern a ktl hatst jelent reakcit rtjk. A ktl jelkpes brzolsa folytonos vonalszakasszal s azt lezr nullkrkkel trtnik. Az utbbiak csukls vgkikpzst, illetve pontszer ertadst jeleznek (15. bra).

15. bra CSUKL Az eddig ltott knyszerek a test egyetlen pontjnak mozgsra jelentettek megktst. Az egsz test mozgsra jelent korltozst, ha a testet a 16. brn lthat mdon rgztjk: a test alkalmasan kialaktott rszn furatot ksztnk, s azon hengeres csapszeget tolunk t. A csapszeg szabad vgei az aljzat megfelelen kialaktott rsznek furataiba illeszkednek. A csapbl s a csapgybl ll szerkezet a csukl. A csukl a testnek egyetlen mozgslehetsget hagy meg: a test szabadon elfordulhat a csap tengelye krl. A testnek a csap tengelyvel prhuzamos eltoldsa rendszerint gtolva van. A csap tmrje valamivel kisebb a furatnl. A kzttk tadd er valjban egy keskeny hengerfellet-darabon hat. A valsgos viszonyokat megint egy kiss idealizlva feltesszk, hogy a csap ltal a testre gyakorolt reakcier egyetlen hengeralkotn rvnyesl. 16. bra Ha egyszersg kedvrt skbeli kpen szemlltetjk a valsg trbeli viszonyokat (17. bra), azt mondhatjuk, hogy a csukls megfogs olyan reakciert biztost, melynek

- tmadspontja a csap s a furat rintkezsi pontja, - hatsvonala tmegy a csap (s a furat) kzppontjn.

Valban: a testre vonatkozlag a csap tmasztst jelent, a tmaszter merleges a kzs rintskra, teht thalad az emltett kzppontokon. A reakcier vektornak hosszrl, llsrl s irnyrl kzelebbit, csak a testre hat errendszer ismeretben mondhatunk. A 16. brn rszletesen brzolt kapcsolat jelkpes brzolsra kt lehetsges mdot mutat be a 18. bra. 17. bra

18. bra RD Gyakori rgztelem a rendszerint slytalannak tekintett, vgein csukls megfogsra alkalmasan kialaktott rd (19. bra). Ha a rd csak a vgein a csapszegek kzvettsvel kapcsoldik ms testekhez, akkor a rdvgekre hat erk eredi ltal alkotott egyenslyi errendszereket a 19/b, c brk szemlltetik. A II. axima rtelmben ugyanis a rdvgekre hat kt er egyenslynak szksges felttele, hogy kzs hatsvonalon, vagyis a rdtengelyen mkdjenek. A 19/b bra hzott, a 19/c bra nyomott rudat szemlltet. A fentiek s az akci-reakci elv alapjn belthat, hogy a rd, mint knyszer olyan reakcit jelent, melynek - hatsvonala egybeesik a rdtengellyel, - irnya a test vagy rd fel mutat. 19. bra A reakcier nagysgrl kzelebbit csak a testre hat errendszer ismeretben mondhatjuk. Gyakran trt-tengely, vagy grbe tengely rudakat alkalmazunk. Az ezek ltal gyakorolt reakcier hatsvonala a csuklkzppontok sszekt egyenese (20. bra). Felhvjuk a figyelmet arra, hogy az egyenes- s grbe tengely rd, mint knyszer ltal biztostott reakci hatsvonalrl elmondottak csak akkor rvnyesek, ha a rd vgeken (csuklkzppontokon) kvl mshol nem hat er a rdra. Ha a rdra mshol is hat er, akkor mr nem llthatjuk, hogy a reakcier hatsvonala a csuklkzppontok sszekt egyenese. Tovbbi knyszerekkel a ksbbiekben foglalkozunk.

20. bra

I. Plda Egy vzszintes helyzet, kzepn F ervel terhelt rd egyik (A) vgt csuklval kapcsoljuk egy falhoz, msik (B) vgn pedig klnbz knyszerekkel biztostjuk a rd nyugalmi helyzett. Feladat: llaptsuk meg a B rdvgre hat reakcier irnyt s vzoljuk a knyszerre hat ert is, ha azt alkalmazott knyszerek: a/ tmaszts (21. bra), b/ ferde helyzet rd (22. bra), c/trt-tengely rd (23. bra). Megolds

a/ A szemllet alapjn nyilvnval, hogy a rd mozgst (A krli elfordulst) az bra szerint kialaktott hengeres tmasz kpes megakadlyozni. A tmasz ltal gyakorolt BR reakcier hatsvonala a tmasztpontbeli rintre merleges, vagyis fggleges, s az er a rd fel irnyul. Kln brzoltuk a reakcier ellenerejt, azaz a vzszintes rdnak a tmaszra gyakorolt hatst. E kt er kzs BR nagysga egyelre ismeretlen.

Az A csuklnl bred reakcirl most csak annyit mondtunk, hogy hatsvonala az A ponton halad t egyb adatairl kzelebbit mg nem llthatunk. Az AR er irnynak hatrozatlansgt azzal rzkeltettk, hogy hullmvonalas erjelkppel brzoltuk. b/ A 22. brn lthat rgztsmd szintn alkalmas a nyugalmi helyzet biztostsra. 21. bra

A ferde rd csak vgein kap terhelst, kvetkezskppen a vzszintes rdra hat BR reakcier hatsvonala azonos a ferde rd tengelyvel. Az er B,C irny lehet csak, klnben az AB rd mozgsba jnne. Ezutn mr brzolhat (22/b bra) a ferde rdra hat errendszer is. c/ Nmi geometriai megfontolst ignyel annak beltsa, hogy a 23. brn lthat mdon is biztosthat a rd egyenslya. Az BR reakci hatsvonala abbl a felttelbl addik, hogy a trttengely rdnak csak a vgein hatnak erk, teht egyensly esetn ezek kzs hatsvonala a csuklkzppontok sszekt egyenese. 22. bra

23. bra A reakcier irnya hasonl meggondolssal addik, mint elbb.

MEGJEGYZS A reakcik megllaptsnl lnyeges az alkalmazott knyszerek gondos vizsglata. Csak annyit llthatunk az egyes knyszerfajtk ltal megszabott reakcikrl, amennyit az egyes tpusok bemutatsa sorn ltalnossgban megllaptottunk. A kezd gyakori hibja: rzs alapjn jell be reakcikat. Pldul a 23. brn BR -t vzszintesnek vli. I.5. Kzs metszspont skbeli errendszer ERRENDSZEREKKEL KAPCSOLATOS ALAPFELADATOK Clunkat, a merev test egyenslyi feltteleinek tisztzst oly mdon fogjuk elrni, hogy egyre bonyolultabb errendszerek esetn vizsgljuk meg az egyensly feltteleit. A legegyszerbb esetet mikor kt er hat a testre mr elintztk: a II. axima mondja ki az egyensly felttelt. Ha egy errendszer hatsvonalai egy skban vannak, skbeli errendszerrl beszlnk. Egyelre ilyenekkel foglalkozunk. Minden esetben kt fontos krdsre keresnk vlaszt: 1/ milyen az a legegyszerbb errendszer, mellyel az adott errendszer egyenrtk, vagyis mi az errendszer eredje? 2/ mi az errendszer egyenslynak felttele? KZS METSZSPONT SKBELI ER RENDSZER EREDJE Ha egy errendszer erinek hatsvonalai

- egy skban vannak, - egy pontban metszdnek. Kzs metszspont skbeli errendszerrl beszlnk (24. bra).

Knnyen belthat, hogy egy ilyen errendszer eredjnek meghatrozsa azonos egy kzs tmadspont errendszer ered meghatrozsnak feladatval. A kzs metszspont errendszer erit ugyanis eltolhatjuk a hatsvonalak mentn gy, hogy az erk tmadspontja a hatsvonalak kzs metszspontja legyen. Az gy nyert errendszer eredjnek meghatrozst a 25. bra mutatja be egy ngy erbl ll, kzs tmadspont errendszeren. 24. bra

Az 21,FF erk eredje I. axima rtelmben az a P tmadspont 12F er, melynek vektora az

1F s 2F vektorok sszege: .12F Az els kt ert az 12F rszeredvel helyettestve, mr csak hrom er erdjt kell meghatrozni. Eljrsunkat megismtelve az 123F rszeredt kapjuk, majd ehhez 4F -et adva, az eredeti errendszer F eredjt.

25. bra

Az sszeads kzmbs, a mdszer akrhny erbl ll errendszer esetn is alkalmazhat. Az erd egyetlen er, melynek

- tmadspontja: a hatsvonalak kzs pontja, - vektora: az sszetevk vektorainak sszegvektora.

Ez utbbi zrusvektor is lehet. Ha az ered vektort szmtssal akarjuk meghatrozni, akkor elszr is alkalmas derkszg koordinta-rendszert kell felvenni. Kezdpontja clszeren a hatsvonalak kzs pontja, a tengelyeket gy vlasztjuk meg, hogy az erk irnyszgei lehetleg knnyen szmthatk legyenek. Az er irnyszge vektornak az x tengellyel bezrt szge. Az ered vektornak szmtst az I. 2. trgypontban emltettek alapjn vgezzk. Az ered vektora = iFF , komponensei az sszetev vektorok komponenseinek sszegezsvel szmthatk. A 26. bra jellseivel:

,coscoscoscos 22111

nni

n

iiXX FFFFFF +++=== K

.sinsinsinsin 22111

1 nni

n

iYY FFFFFF +++=== K Az eredvektor hossza s irnyszge:

,22 YX FFF += .X

Y

F

Ftg =

A komponensek szmtsra szolgl egyenletek a komponensegyenletek vagy vetleti egyenletek. A komponensegyenleteket a rvidsg kedvrt gyakran csak a bal oldalon szerepl tkr formban rjuk, nem tntetjk fel az sszegezs hatrait: .= iXX FF 26. bra

Felhvjuk a figyelmet arra, hogy az er komponense, vagy vetlete Newton (N) mrtkegysg mennyisg. EGYENSLY Elfordulhat, hogy a kzs metszspont errendszer eredje zruser, vagyis a vektorilis sszegezs zrusvektort eredmnyez. Ekkor a kzs metszspont errendszer egyenslyban van. Azt a tnyt, hogy valamely nFFF ,,, 21 K erkbl ll errendszer egyenslyi errendszer, illetve eredje zruser, gy fogjuk jellni: ( ) .0,,, 21 =&K nFFF A kzs metszspont skbeli errendszer egyenslynak szksges s elgsges felttele az, hogy az erk vektorilis sszege zrus legyen. A felttel grafikus s analitikus megfogalmazsban a kvetkez. ,0= iXF .0= iYF Az egyensly analitikus felttelhez megjegyezzk, hogy csak a kt egyenlet egyttes teljeslse biztostja az egyenslyt. Az egyensly analitikus felttele az errendszer skjban felvett tetszleges derkszg koordinta-rendszerben rvnyes. Valban: ha az erd zruser, tetszleges koordintatengelyre vonatkozlag a komponensek sszege vagyis az ered komponense zrus kell, hogy legyen. Msrszt: ha a felttel teljesl, vagyis egyidejleg

,0= iXF ,0= iYF akkor ms, mint zruser nem lehet az ered. Tetszleges errendszerhez meghatrozhat egy olyan legegyszerbb msik errendszer, mely az adottal egytt egyenslyi errendszert alkot. Ez a msik errendszer az adott errendszer egyenslyoz errendszere, rviden egyenslyozja. Kzs metszspont skbeli errendszer az egyenslyoz egyetlen er, melynek vektora az ered vektornak ellenttes vektora. Ha az adott errendszer egyenslyi errendszer, az egyenslyoz zruser. 2. plda Egy G sly gmbt a 27. brn lthat mdon, lejtvel s fggleges fallal tmasztunk meg. A gmb felletre a lejt skjval prhuzamos P er hat, a gmb slyereje a kzppontban hat koncentrlt ernek tekinthet. Meghatrozandk a tmasztskokon ered reakcierk. Megolds. Induljunk ki a gmbre hat aktv (G, P) s reakcierk ( )BA RR , vizsglatbl. Ez egy ngy erbl ll, kzs metszspont skbeli egyenslyi errendszer. Mivel az BA RR , reakcierk hatsvonalai ismertek (merlegesek a tmaszokra) s tudjuk, hogy az errendszer vektorilis sszege zrus, egy tetszleges 0 pontbl kiindul s a 28/b brn lthat mdon ellltott vektorsokszgekkel a reakcierk vektorai elllthatk. A feladat analitikus megoldsa a kvetkez lehet: - a gmbkzppontban felvesznk egy koordinta-rendszert, - kiszmtjuk az erk zrussal egyenl komponenssszegt, - a komponensegyenletekbl kiszmthatjuk AR -t s BR -t. 27. bra

az errendszer vektorsokszge zrt

Rszletesen:

0270cos210cos120cos0cos =+++= oooo GPRRF ABix

,

0270sin210sin120sin0sin =+++= oooo GPRRF ABiy

, Egyszerbb alakban:

02

3

2

1 = PRR AB ,

02

1

2

3 = GPRA .

)2(577,03

2Gp

GPRA +=

+= ,

28. bra

)2(577.03

2GP

GPRB +=

+= .

Tovbbi, n. grafo - analitikus megoldshoz jutunk, ha a grafikus megoldshoz hasznlt vektorbra vizsglata alapjn mennyisgi sszefggseket llaptunk meg. Ez a mdszer gyakran gyors eredmnyre vezet, mint most is. A 29/b brrl leolvashat, hogy:

GPRA +=oo 30sin30cos ,

3

2

3

1GPRA += ,

)2(577,0 GPRA += .

oo 60cos30cos AB RPR += , 21

3

2

2

3 GPPRB

++= ,

)2(577,0 GPRB += .

29. bra

I.6. Hrom er egyenslya Klnsen gyakran fordulnak el hrom erbl ll, skbeli egyenslyi errendszerek. Megmutatjuk, hogy amennyiben nem prhuzamos erkrl van sz, az ilyen errendszer mindig kzs metszspont (skbeli) errendszer. Legyen ugyanis egy ilyen errendszer hrom eredje 321 ,, FFF (30. bra). Helyettestsnk kt ert mondjuk 2F - t s 3F - at erdjkkel, 23F - val. Ennek hatsvonala tmegy

32sFF hatsvonalnak kzs M metszspontjn, ami

ltezik, hiszen 32sFF nem prhuzamos.

Mivel egyenslyi errendszerrl van sz ( ) ,0, 231 =&FF kvetkezskppen 231,FF kzs hatsvonal. M rajta van 23F hatsvonaln, az M pont

ennl fogva 1F hatsvonaln is rajta van, teht M a hrom adott er hatsvonalainak kzs pontja. A kzs metszspont skbeli errendszerrel kapcsolatban elmondottak termszetesen a hrom erbl ll kzs metszspont errendszerre is rvnyesek. 30. bra E trgypont a megelzhz kpest annyiban mond jat, hogy bizonyos felttelek esetn (az erk egy skban vannak, pronknt nem prhuzamosak) egy hrom erbl ll egyenslyi errendszer csak kzs metszspont lehet. Olykor ngy erbl ll errendszerek egyenslyt is a fentiek alapjn vizsglhatjuk, ha a ngy erbl kettt az eredjkkel helyettestnk. 3. Plda A 31/a brn lthat, ferdn elhelyezett AB rudat fix csuklval (A) s a rdra merleges ktllel rgztjk (C). A rd B pontjban G er hat 31. bra Hatrozzuk meg az AR reakcit s az CR ktlert. Megolds. A rdra hrom er (31/b bra) hat: CA RRG ,, (a rd slytl eltekintnk) ( ) .0,, =&CA RRG Ezek az erk nem prhuzamosak, hatsvonalaik egy pontban metszdnek. 31. bra A hatsvonalak kzs M pontja kijellhet G s CR hatsvonalnak metszspontjaknt.

Az A s M pontok sszektsvel AR hatsvonala ismertt vlik, gy a vektorbra megszerkeszthet. A vektorbrrl leolvashat, hogy ,GRA = .41,12 GGRC ==

MEGJEGYZS A hrom er egyenslyi felttele alapjn mr pontosan meg tudnk hatrozni az 1. pldban szerepl AR jel reakcierket. Tegyk teljess a megoldst!

I.7. Az er nyomatka Legyen adott a skban egy F er s egy P pont (32. bra). Ha a pontnak az er hatsvonaltl mrt tvolsga k, akkor az ernek a pontra vonatkoz nyomatkn (forgatnyomatk) a kvetkez skalris mennyisget rtjk:

FkM p .= (Nm). Pozitv eljelet vesznk, ha az er irnyba nzve a P nyomatkvonatkoztatsi pont az ertl balra fekszik. A k tvolsgot az er (P-re vonatkoz) karjnak is mondjuk Zrus a nyomatk rtke, ha vagy az er, vagy a kar zrus. Ha az egymstl klnbz 1F s 2F erknek egy pontra vonatkoz karja 1k illetve 2k , akkor a kt ernek a pontra szmtott nyomatka pontosan akkor egyenl, ha teljesl: 32. bra

.1

2

2

1

k

k

F

F=

Ttel: (nyomatkttel) ernek egy pontra vonatkoz nyomatka egyenl tetszleges kt sszetevjnek nyomatksszegvel ugyanazon pontra. Bizonyts. Vlasszuk a tetszleges 0 pontot egy derkszg koordintarendszer kezdpontjul (33. bra) s bontsuk az adott F ert derkszg sszetevkre. rjuk fel az sszetevk 0-ra vonatkoz nyomatkt: ( ) .cossincossin 0F

a

xy MaFyxFyFxFyFxF ==== 444 3444 21

A jobb oldalon szerepl szimblum az F er 0-ra vonatkoz nyomatkt jelenti. Azokban a klnleges esetekben, mikor P azonos a tmaszponttal, illetve rajta van a hatsvonalon, a ttel nyilvnval, illetve hasonlan lthat be. A ttelt derkszg sszetevkre bizonytjuk, de ltalnosan rvnyes, nem derkszg sszetevkre is. 33.bra

Nha szksg lehet a nyomatk grafikus ton trtn meghatrozsra. Ilyenkor a kvetkezkppen jrhatunk el, (34. bra). Ha az F er p pontra vonatkoz nyomatkt kvnjuk meghatrozni, bontsuk fel az F ert 21,SS sszetevkre oly mdon, hogy az egyik sszetev hatsvonala tmenjen P-n. Ekkor .111

1 pkSkMM SPFP ===

Ezek szerint, ha P-n t F-fel prhuzamos egyenest hzunk, ebbl 21sSS hatsvonalai olyan 1k tvolsgot metszenek ki, mely p-vel szorozva s megfelel eljellel elltva- a keresett nyomatkot adja. Megjegyezzk, hogy az 21,SS segderk klnleges megvlasztsa nem lnyeges, a 34. brn szaggatott vonallal jellt megolds is helyes.

.1 pkpkM

FP ==

A vektorbrn mindent, teht p-t is erlptkben kell mrni, az erk brjn pedig rajzmrtkben. MEGJEGYZS Rajztechnikai szrevtel a 33; 34. brhoz: a jegyzet bri nem mindenben kvetik a mszaki rajzi szabvnyokat. Lnyegben a tvolsgok s a szgek megadsban trtnk el. Ennek oka: a nyilat, mint rajzjelet kizrlag erk, illetve egyb vektormennyisgek brzolsra tartjuk fenn. 34. bra 4. Plda Adott egy szablyos hromszg A, B, C cscsa. Keressk azon F er vektort s hatsvonalt a hromszg skjban, melynek nyomatkai a hromszg cscsaira a kvetkezk: ,FB

FC

FA MMM == .: pozitvM

FA

1. Megolds.

FC

FA MM = : ebbl kvetkezik, hogy az A s C pont az er

hatsvonala ltal kettosztott sk ugyanazon rszben van, a hatsvonaltl egyenl tvolsgra. A feltteleknek megfelel hatsvonalak kz tartoznak a folytonos vonallal rajzolt egyenesek a 35. brn.

FB

FC MM = : ebbl kvetkezik, hogy a C s B pont az

er hatsvonala ltal kettosztott sk klnbz rszben van, a hatsvonaltl egyenl tvolsgban. A feltteleknek megfelel hatsvonalak kz tartoznak a 35. bra szaggatottan rajzolt egyenesei. A megadott felttelek mindegyikt kielgt er hatsvonala az brn pont-vonallal megrajzolt egyenes, melyen az erjelkp nyila a nyomatkok eljelbl llapthat meg. Az er nagysga gy addik: 35. bra

( ) ,2

3

230cos

2F

aF

akFM FA ===

o .3

4 FAM

aF =

2.Megolds Az FC

FA MM = felttelbl kvetkezik, hogy a hatsvonal prhuzamos az AC egyenessel, teht

metszi az AB egyenest. Bontsuk fel F-et az AB egyenesre es 1F s arra merleges 2F sszetevkre.

,2 FBFA

FA MMM == ebbl kvetkezik, hogy 2F az AB tvolsg felezpontjn megy t (36.

bra).

,2 2

Fa

M FA = ,22FAM

aF =

,2

31FaM

FC = ,

3

21

FAM

aF =

( ) ( ) ,3

44 22

2

22

22

1FA

FA Ma

Ma

FFF +=+=

36. bra

.3

4 FAM

aF =

I.8. Skbeli prhuzamos errendszer Prhuzamos errendszernek nevezzk a prhuzamos hatsvonal erk rendszert (37. bra). Egyelre feltesszk, hogy a hatsvonalak egy skban vannak, vagyis skbeli prhuzamos errendszerekkel foglalkozunk. 37. bra KT PRHUZAMOS ER A legegyszerbb prhuzamos errendszer kt erbl ll. Ilyen kt er sszegezsre az I. axima kzvetlenl nem hasznlhat. Megmutatjuk, hogy az ilyen errendszer erdje bizonyos kivteles esettl eltekintve- egyetlen er. Adjunk a III. axima alapjn az adott 21,FF errendszerhez (38/a. bra) egy 21,SS egyenslyi errendszert gy, hogy 21 SS = legyen (38/b. bra). Nylvn ( ) ( ).,,,, 212121 SSFFFF =&

38. bra Ezekkel az errendszerekkel egyenrtk az 11,SF illetve 22 ,SF erk eredibl ll F s F errendszer a 38/c. brn. Ez utbbi errendszer F erdje viszont mr az I. axima alapjn meghatrozhat. Ltni fogjuk, hogy F prhuzamos 21sFF ervel. Hogy ez utbbi lltst igazoljuk, vgezzk el a ltott sszegezst a megfelel ervektorokkal a 39. brn. Megjegyezzk ehhez az brhoz, hogy 21,SS segderket clszer, de nem lnyeges az brn lthat mdon felvenni. Az ered hatsvonala a T ponton megy t, vektora: FF + Mint az brbl kitnik: .212 FFFFF +=+= A hatsvonal helyzetre vonatkozlag az bra pontozssal jellt hromszgeinek hasonlsgbl kvetkezik, hogy

;1

2

2

1

F

d

F

d= .

1

2

2

1

F

F

d

d=

Az ered hatsvonala az sszetevk hatsvonalai kzti tvolsgot az erk nagysgnak arnyban osztja fel, mgpedig gy, hogy az er a nagyobbik erhz van kzelebb. Abban az esetben, ha a klnbz nagysg

21sFF er irnya ellenttes, hasonl gondolatmenettel jutunk clhoz. Eredmnynk birtokban mr meg tudnnk hatrozni tbb erbl ll prhuzamos errendszer eredjt is. Ezzel a problmval s az egyensly feltteleivel azonban csak a kvetkez trgypontban foglalkozunk. 39. bra Igazoljuk mg, hogy a nyomatki ttel kt prhuzamos er esetben is rvnyes. Elrebocsjtunk egy szrevtelt: a 40. bra alapjn belthat a kvetkez nyomatkszmts helyessge: ( ) xFMxFaFFxaM FAFB +=+== . Ezen szrevtel, a 39. bra s az 021 =+ FT

FT MM egyenlsg

alapjn egy tetszleges P pontra (41. bra) a prhuzamos erk nyomatka: 40. bra

( ) .2121 2121 xFFFxxFMxFMM FTFTFFP =+=+++=+ ERPR Az erpr (42. bra) olyan kt erbl ll errendszer, melynek - vektorai egyms ellentettje, - a kt er hatsvonala nem azonos. Az erpr erinek kzs F nagysga az erpr alapja, a hatsvonalak egymstl mrt k tvolsga az erpr karja. A hatsvonalak ltal meghatrozott sk az erpr skja. Az erpr 41. bra nem egyenslyi errendszer, noha az errendszer vektorilis sszege zrus. A tapasztalatbl tudjuk, hogy erpr hatsa alatt ll test (forg) mozgsba jn. Ttel. Az erpr nyomatka skjnak brmely pontjra lland, egyenl az erpr karjnak s alapjnak (eljeles) szorzatval. Az erpr nyomatka a kt alap nyomatkainak algebrai sszege. Bizonyts. Az egyik alaptl tetszleges x tvolsgra lv P pontra 42. bra (43. bra) a nyomatk ( ) ..FkxFFxkM P =+= Mint lthat, az erpr nyomatknak szempontjbl a nyomatkvonatkoztatsi pont helyzete kzmbs. Egy adott erprt vgtelen sokflekppen talakthatunk vele egyenl nyomatk erprokk. Nyilvnval, hogy egyenl nyomatk erprok esetn nagyobb karhoz kisebb alap tartozik s fordtva, kisebb karhoz nagyobb alap. 43.bra A 44. brn lthat rdra f kar, F alap erpr hat (az erprt most nem erjelkppel, hanem vektorokkal brzoltuk). Ha olyan MfF = nyomatk s a rdtengelyre merleges alap erprt mkdtetnk a rdra, melynek eri A pontban, illetve attl x tvolsgban hatnak, akkor az x tvolsgban hat ervektor vgpontja hiperbola-gat r le. Valban:

,xQMfF == .1 Mx

Q =

44.bra Ttel. Kt egyenl nyomatk erpr sztatikailag egyenrtk. Bizonyts. Legyen a kt egyenl nyomatk erpr az 21, FFf = illetve 21, QQk = adatokkal jellemezve s tegyk fel, hogy a kt erpr eri nem azonos llsak (45. bra).

Azt kell igazolni, hogy tallhatunk olyan errendszert, mely az adott errendszerek (a kt erpr) brmelyikvel egyenslyban van. Legyen, a megfelel hatsvonalak metszspontja A illetve B. Azt lltjuk, hogy az A s B tmadspont, 21 QilletveQ vektor errendszer ilyen. Az nyilvnval, hogy ez az utbbi errendszer a 21,QQ erprral egyenslyban van. Hogy a msikkal is, az gy lthat be: rjuk fel az A tmadspont 11sQF erk nyomatkt B-re. Felttelnk szerint 45.bra .011 = kQfF E kt er erdjnek hatsvonala teht tmegy az A s B ponton, vektora a B pontban hat

22 ,QF erk eredvektornak ellentettje. Ezrt az A pontban hat 11,QF s a B pontban hat

22 ,QF kzs hatsvonal, egyenslyi errendszer. Az egyenl nyomatk, de prhuzamos alap erprok egyenrtksgnek igazolsa mg egyszerbben lthat be. Az eddigiekbl kitnhetett, hogy sztatikai szempontbl egy ismert sk erpr egyetlen lnyeges adata a nyomatka. Az alapok vagy a kar nagysga nmagban ppgy kzmbs, mint az erpr elhelyezkedse a sajt skjban. ppen ezrt az erprt gyakran csak egy krv alak nyllal, az erprjelkppel brzoljuk (46. bra). A nyl a krven egy forgsmdot szab meg. Ha ez az ramutat jrsval ellenttes, a nyomatk pozitv, klnben negatv. Az erprjelkp mell rt mennyisg a nyomatk abszolt rtkt s mrtkegysgt jelli. Nha az erpr karja elhanyagolhatan kicsiny. Pldul ha a 47/a brn lthat rd furatn hengeres testet tolunk t s a hengerre erprt mkdtetnk, akkor a rudat r hats erprral jellemezhet, amint a kinagytott brarszlet mutatja. 46. bra A furat kis mreteit elhanyagolva azt mondhatjuk, hogy a rdra koncentrlt erpr hat s a 47/b brarszlettel brzoljuk. Ttel. Kt (kzs sk) erpr erdje olyan erpr, melynek nyomatka a kt adott erpr nyomatknak algebrai sszege. Bizonyts. Legyen a kt erpr 1M illetve 2M nyomatka pozitv, egymstl klnbz. Az erprok talakthatk egyenl alap s klnbz kar erprokk (48. bra) gy, hogy 47. bra

,11 MFk = .22 MFk = (Ezek az erprok fentebbi ttelnk rtelmben sztatikailag egyenrtkek az eredeti erprokkal.) Ha a kt erprt sajt skjban gy mozgatjuk el, hogy kt ellenttes irny alap egybeessk, akkor ezeket elhagyva az errendszer eredje egyetlen F alap s 21 kk + alap, teht

21 MM + nyomatk erpr lesz. Ha a nyomatkok eljele klnbz, a bizonyts akkor is hasonl. 48. bra ER S ERPR Ttel. Er s erpr eredje egyetlen er, melynek vektora egyenl az adott er hatsvonaltl

F

M tvolsgra van, ahol M az erpr nyomatka, F az er nagysga.

Bizonyts. Legyen az adott erpr nyomatka M, az er F (49/a bra). Az erpr elllthat F alappal s

F

Mk = karral a 49/b bra szerint.

49. bra A kapott errendszerbl elhagyva az egyenslyban lv FF , vektor errendszert, egyetlen, a ttelnek eleget tev F vektor ert kapunk. Arra vonatkozlag, hogy az ered a megadott er hatsvonalnak melyik oldaln lesz, a kvetkez mondhat: ha M pozitv , akkor az er irnyba nzve a hatsvonal jobb oldaln lesz az erd er, klnben a bal oldalon. Er s erpr a fenti ttel rtelmben nem alkot egyenslyi errendszert. Erpr erprral egyenslyban lehet. MEGJEGYZS Vigyzzunk arra, hogy az erpr s a nyomatk elnevezseket a megfelel helyen alkalmazzuk, s ne keverjk ssze ket. Az egyik egy errendszert, a msik egy mennyisget jelent.

5. Plda Az 50. brn lthat slytalan rudat csukl s csign tvezetett ktl segtsgvel rgztjk. A rd B pontjban M nyomatk koncentrlt erpr hat. llaptsuk meg az AR reakcier s a ktlgakban mkd erk nagysgt. Megolds. Vizsgljuk a rdra hat erket! C s D pontban egyenl nagy S erk hatnak. Ez rgtn belthat, ha a csiga egyenslyt vizsgljuk (51. bra). 50. bra Az A pontban hat reakcier s a s a C,D pontokban hat S erk eredje az M erprral egyenslyban van. Az S erk eredje az brn pontvonallal megrajzolt hatsvonalon felfel hat. Mivel az M erprral csak erpr tarthat egyenslyt, kvetkezik, hogy AR lefel irnyul, 2S nagysg er. Most mr knny kiszmtani a keresett rtkeket: 51. bra

,22

5MSa = ,

1.5

100

5==

a

MS ,20NS = .40NRA =

I.9. Skbeli ltalnos errendszer ERED Az olyan skbeli errendszert mely nem kzs metszspont s nem prhuzamos, skbeli ltalnos errendszernek (sztszrt errendszer) nevezzk. Az ilyen errendszer erdjhez gy fogunk eljutni, hogy az adott errendszert sztatikailag egyenrtk, egyszerbb errendszerr alaktjuk. Az 52/a bra szemllteti egy adott n erbl ll- errendszer els, msodik s n-edik ert. Ezzel egyenrtk errendszert kapunk, ha az errendszerhez tovbbi egyenslyban lv- erket csatolunk oly mdon, hogy egy tetszlegesen felvett P ponthoz, mint tmadsponthoz az

nn FFFFFF ,,,,,, 2211 K vektor erket rendeljk (52/b bra).

52. bra

Ezt a III. axima alapjn megtehetjk. Az azonos index erkbl egy-egy ert s erprt kpezve az 52/c brn lthat, nFFF ,,, 21 K erbl s nMMM ,,, 21 K erprbl ll rendszert nyerjk. A kzs metszspont nFFF ,,, 21 K erket egyetlen P kezdpont ered erv, a kzs sk

nMMM ,,, 21 K erprokat egyetlen ered erprr sszetve, az eredeti errendszert egy vele egyenrtk, F erbl s M erprbl ll rendszerr alaktottuk (52/d bra). Az imnt ltott eljrs az errendszernek egy pontra val reduklsa. Vegyk szre, hogy F a P pont vlasztstl fggetlen, tovbb hogy F s M brmelyike esetleg zrus is lehet! Az 52/d brn lthat rendszer F s M rtktl fggen mg tovbb egyszersthet:

Lnyegben hrom eset van teht: ered er, ered erpr s egyensly. Az 0,0 MF s az 0,0 = MF esetek kzt csak annyi a klnbsg, hogy az els esetben az ered hatsvonala nem megy t a P reduklsi ponton. AZ EGYENSLY ANALITIKUS FELTTELE Mg egyszer megfogalmazzuk a fentieket, az analitikus geometria nyelvn. A tetszlegesen vlasztott P pont most legyen egy x, y koordinta-rendszer kezdpontja (53. bra), s tekintsk ismertnek az nynxyxyx FFFFFF ,,,,,, 2211 K erkomponenseket, Valamint az nn yxyyxx ,,,,,, 2121 K tmadspontokat. Az bra az adott errendszer erit nem tnteti fel. Az erk 0-ra trtnt reduklsval nyert kzs metszspont errendszer F eredjnek komponensei. gy szmthatk: ,= ixx FF ,= iyy FF ( ).,,2,1 ni K= Az ered er irnyszge s nagysga:

,x

y

F

Ftg = .22 yx FFF +=

Az 52/c brn jellt erprok nyomatkai most azonosak az egyes erk 0-ra vonatkoz nyomatkaival. Ezek a nyomatkttel alapjn szmthatk; algebrai sszegk az ered erpr nyomatka: ,10 == ixiiyiFF FyFxMM nK .,,2,1 ni K= 53. bra

Az F, M rendszer eredje:

egyetlen er

egyetlen er

egyetlen erpr

zruser (egyensly van)

0,0 MF 0,0 = MF 0,0 = MF 0,0 == MF

Amennyiben 0,0 MF , mg meg kell hatroznunk az ered er hatsvonalnak helyzett.

Az ismert ttel szerint a hatsvonal az O ponttl F

Mk = tvolsgra lesz, ha F irnyba nznk,

akkor pozitv nyomatk esetben O-tl jobbra, klnben balra. Ms megoldssal gy tehetjk egyrtelmv az ered er helyt: meghatrozzuk a hatsvonal s pldul- az x tengely metszspontjt. Ha az ered ert e pontban bontjuk sszetevkre (53. bra), akkor a metszspont koordintjt Fx -vel jellve:

,MFx yF = .y

F F

Mx =

Az egyensly fennllshoz kell, hogy F=0, vagyis ,0= ixF ,0= iyF Tovbb M=0, teht ( ) 0= ixiiyi FyFx legyen. Ezek az egyenslynak szksges s elgsges felttelei. AZ EGYENSLY GRAFIKUS FELTTELE A skbeli ltalnos errendszer eredjt egy ms megfontols tjn is meghatrozhatjuk. A mdszert egyszersg kedvrt hrom erbl ll errendszeren mutatjuk be, tetszleges szm erbl ll rendszer esetn az eljrs hasonl. Legyen az adott errendszer ( )321 ,, FFF /54. bra/.

54. bra Helyettestsk ezt az errendszert egy klnlegesen vlasztott, vele egyenrtk msik errendszerrel a kvetkez mdon: az 1F ert helyettestsk olyan ISS ,1 erkkel, melyekre fennll: 11 FSS I =+ . Az 2F ert hasonl tulajdonsg IISS ,2 erkkel helyettestsk oly mdon, hogy 2sSSI hatsvonala kzs legyen,

ISS =2 teljesljn.

A helyettest errendszer tbbi elemre hasonl felttelek teljeslnek. Ilyen mdon a vektorbrn a segderk vektorainak lesz egy kzs pontja, az O pluspont. Ezt szabadon vlasztjuk meg. Ekkor ( ) ( ).,,,,,,, 321321 IIIIII SSSSSSFFF =& Mivel ( ) ( )32 ,,, SSSS III pronknt egyenslyban lv erkbl ll, melyek a III. axima rtelmben elhagyhatk, nyilvn: ( ) ( )IIISSFFF ,,, 1321 =& Ez utbbi errendszer eredje mely egyben az eredeti errendszer is- az brn leolvashat mdon megszerkeszthet: IIIsSS1 hatsvonalnak metszspontja megadja az ered er hatsvonalnak egy pontjt, az ered vektora pedig a vektorbrbl nyerhet. Az K,,, 21 SSS I errendszer hatsvonalai ltal alkotott trttvonal neve ktlsokszg. Az elnevezs magyarzata: egy vgein rgztett, koncentrlt erkkel terhelt ktldarab egyenslyi alakja ilyen trttvonal. Hogy a skbeli ltalnos errendszerek lehetsges eredi fltt ttekintst nyerjnk, elegend az K,,, 21 SSS I helyettest errendszert vizsglni, hiszen ez egyenrtk az nFFF ,,, 21 K errendszerrel. Ha a helyettest errendszer els s utols ernek vektorilis sszege zrustl klnbzik, ms szval az nFFF ,,, 21 K vektorsokszg nyitott, az eredeti errendszer eredje egyetlen er. Ezt az esetet szemllteti az 54. bra. Ha a helyettest errendszer els s utols ernek vektorilis sszege zrus, kt eset lehetsges.

55. bra Ha a helyettest errendszer els s utols erje klnbz hatsvonal, akkor a helyettest errendszer s az eredeti is- erprral egyenrtk. Ilyen esetet szemlltet az 55. bra. Az erpr alapja IVSS =1 , karja k. Ha a helyettest errendszer els s utols erje kzs hatsvonal (zrt vektorsokszg mellett), a helyettest errendszer, s a vele egyenrtk eredeti errendszer is egyenslyban van (56. bra).

56. bra MEGJEGYZS Az 54. brn az ered hatsvonalnak megszerkesztshez elegend lenne csak a ktlsokszg megrajzolsa, a helyettest errendszer nlkl. Ehhez szksgtelen a helyettest erk vektorainak feltntetse, elegend csak a plust az adott errendszer vektorsokszgnek szgpontjaival sszektni. Az gy nyert plussugarakkal prhuzamosakat hzva (a megfelel hatsvonalak kztt), mr elllthat egy ktlsokszg. Felhvjuk a figyelmet a skbeli ltalnos errendszer egyenslynak felttelt jelent hrom egyenletre. Gyakorlati alkalmazsukat a kvetkez trgypont ismerteti. I.10. A sztatikai feladatok megoldsrl Mr az eddigiekbl is kitnhetett, hogy a sztatikai fogalmak s ttelek puszta megrtse nem mindig jelenti egyttal azok alkalmazni tudst is. Ms szval: az elvek ismerete nem elg, feladatmegold kpessget is ki kell alaktani. A problmk megragadni tudsa, a megoldshoz vezet t megtallsa s a logikai biztonsg megszerzse csak szmos feladat nll megoldsa tjn sikerl. Mgis, fel lehet vzolni a sztatikai feladatok megoldsnak egy ltalban kvethet tjt s r lehet mutatni bizonyos kezdknl gyakori- hibkra. A megoldsmenet ltalnossgban a kvetkez: 1. Megrtjk az adott mszaki problmt. (Itt csak a problma sztatikai oldalra gondolunk). 2. Megalkotjuk a problma modelljt.

Ez rendszerint az adott szerkezetek egyszerstett vzlata, mely a szerkezet sztatikai szempontbl lnyeges elemeit tartalmazza, a szerkezetre hat erkkel egytt. Klnleges figyelmet ignyel az erk helyes szmbavtele. Gyakori hibk: - ltez erket mellz, nem ltez erket tartalmaz a vzlat, - egyes erk hatsvonalt, st irnyt kell indokls nlkl, a knyszerek - megszabta

feltteleket figyelmen kvl hagyva vesznk fel, - az akci reakci elv figyelmen kvl hagysa. Tbb rszbl ll szerkezet esetn clszer a szerkezetet rszeire bontani, a megfelel erkkel egytt. Ilyenkor a bels reakcierkr l nem szabad megfeledkezni.

3. Felrjuk az egyenslyi egyenleteket. Rendszerint a szerkezetre hat kls vagy bels reakcik meghatrozsa a cl. Ha az egsz szerkezet egyenslyban van, rszei is egyenslyban vannak, gy rszeire is felrhatjuk amennyiben szksges- az egyenslyi egyenleteket. Figyelmet rdemel mert kevesebb szmtsi munkt eredmnyezhet- a koordinta rendszer clszer megvlasztsa.

4. Kiszmtjuk a keresett ismeretleneket. Ezt a lpst is rdemes krltekinten vgezni. Alkalmas szmtsi sorrendet kvetve, pldul ismeretlenes egyenleteket kell megoldanunk egyetlen, tbbismeretlenes egyenletrendszer helyett.

5. Ha lehetsges ellenrizzk eredmnyeinket. Ez jelentheti a szmtott rtkeknek ms mdon pldul szerkesztssel- trtn ellenrzst, s jelentheti az eredmnyeknek az eredeti mszaki problma szempontjbl trtn mrlegelst.

MEGJEGYZS Kezdetben gy tnhet: ahny feladat, annyi megoldsi tletre van szksg. Nmi rutin megszerzse utn felismerjk, hogy az erk helyes szmbavtele utn rendszerint csak az egyenslyi egyenleteket kell felrni (esetleg nem is mindegyiket). A kvetkezkben a rvidsg, illetve a knnyebb kvethetsg kedvrt a kvetkez jellsekkel lnk: ixF helyett: , iyF helyett: , iPM helyett: 6. Plda A vzszintessel szget bezr, 3a hosszsg, rudakbl s csigkbl ll szerkezet az 57. brn lthat mdon van tmasztva, illetve ktl segtsgvel rgztve. A csigkon tfut ktl segtsgvel 2G=4kN sly terhet akarunk felemelni. A ktelet csrlvel mozgatjuk. Krds: mekkora er bred a rgzt ktlben, egyenletes teheremelskor, milyen erk hatnak

a szerkezet als vgvel rintkez vzszintes s fggleges sk tmaszokra?

Megolds. A problma mechanikai modelljnek megalkotsa cljbl bizonyos feltevsekkel lnk. Feltesszk, hogy - a szerkezet slya a teher slyhoz kpest elhanyagolhat, - a csigk kismretek, - a ktl idelis, - srlds nincs. A szerkezet szimmetrijt kihasznlva, csak egyetlen rddal s G=2kN terhelssel foglalkozunk. 57. bra Nveljk gondolatban a csrl ltal az emelktlre gyakorolt ert O-tl G-ig. G elrsekor mg a szerkezet minden rsze egyenslyban, illetve egymshoz kpest nyugalomban van. Vizsglhatnnk minden rsz egyenslyt kln kln, a feladatunk szempontjbl elnysebb gy eljrni, hogy egyetlen szerkezetnek tekintjk a rdbl, csigkbl s az

P

emelktlnek a csigk kzti darabjbl ll rendszert (ide szmtva a csigkkal rintkez ktldarabokat is). Az gy definilt rendszerre hat erk a kvetkezk (58. bra):

- a ktlvgekre hat G nagysg erk, melyet a csigk kis mretei miatt a rdvgen, illetve a rd als harmadban hatnak tekinthetk,

- a rgzt ktl ltal gyakorolt S er, melynek irnya (ppgy mint az emelktlnl) a ktl hzott voltbl addik,

- a tmaszoknl bred er. Ez utbbirl annyit mondhatunk, hogy olyan er, melynek hatsvonala kzeltleg a tmasztskok ltal meghatrozott D ponton halad t. Pontosabb kpet a kinagytott brarszlet mutat.

Vgeredmnyben a problma modellje egy als vgn kt skkal megtmasztott slytalan rd, melyre a felsorolt, ismert irny koncentrlt erk hatnak. Ezek kzl a D-ben hat ernek irnyt nem ismerjk. A szmtshoz szksges koordinta rendszert vegyk fel az 58. brn lthat mdon (a koordinta rendszert a ksbbiekben gyakran nem tntetjk fel). Mieltt a szmtshoz fognnk, megjegyezzk mg, hogy a D pontban hat ert sszetevkre bontva tntettk fel. Clszer pozitv komponenseket felttelezni, a szmts eredmnyekppen add yx DD , fogja

megmutatni, milyen irny a kt sszetev. 58. bra 0=++ SGDx 0= GDy 0sinsin2cos3 = GaSaGa A msodik egyenletbl mris eredmnyt kapunk: kNGDy 2== .

Az els egyenletet 2-vel szorozva, a harmadikat egyszerstve, a kvetkez egyenletrendszert kapjuk: 0222 =++ SGDx 023 = GSGctg A kt egyenletet sszeadva: ( ) ,0312 =++ ctggDx ( ).31

2ctgGDx +=

D

A D-ben hat er vzszintes sszetevje teht balra mutat, mint vrtuk. A rgzt ktlben ered S ert a egyenletbe val helyettestssel szmthatjuk:

( ),312

ctgGGDGS x ++==

( ).132

= ctgGS

S csak addig pozitv mg ctg3 >1, vagyis ha arc

3. Egyenslyozzunk egyetlen adott F ert hrom olyan ervel, melyek hatsvonalai nem metszdnek ugyanabban a pontban. Ez a nevezetes feladat CULMANN-tl szrmazik. A feladatnak pontosan egy megoldsa van.

60 60. bra

61. bra

Legyenek az egyenslyoz errendszer hatsvonalai az 1, 2, 3 jel egyenesek. Egyenslyozzuk elszr F-et az 1 hatsvonalon s a 61. brn lthat mdon vlasztott s segdegyenesen. Ez az egyenes teht az f er hatsvonalnak s 1-nek metszspontjn, valamint a 2 s 3 egyenesek metszspontjn halad t. F-et egyenslyozni tudjuk az 1, s egyeneseken hat 1E s S vektor erkkel. Ezutn mg S ert felbontjuk (nem egyenslyozzuk!) 2E s 3E vektor erkre, s gy az F er

321 ,, EEE egyenslyoz errendszerhez jutunk.

RITTER FLE SZMTS A feladat szmt megoldsa RITTER nevhez fzdik. Legyen ismt az 1, 2, 3 hatsvonalakon mkd keresett hrom egyenslyoz er 321 ,, EEE . Ekkor ( ) ,0,,, 321 =&EEEF Kvetkezskppen az errendszer nyomatka a sk brmely pontjra zrus. Vlasszuk nyomatkvonatkoztatsi pontul az egyenslyoz errendszer kt hatsvonalnak metszspontjt. Erre a pontra kt egyenslyoz er nyomatka zrus, a nyomatkegyenletbl gy egy ismeretlen meghatrozhat.

A 62. brn a 2 s 3 egyenesek metszspontjra felrt nyomatkegyenlet pldul gy fest:

;0111 = FtEd

.1

11 d

FtE =

A 11,td tvolsgok ismeretben teht 1E

meghatrozhat. Az 1E egyenslyoz irnyt abbl a

felttelbl kapjuk, hogy 1E a nyomatkvonatkoztatsi pontra vonatkozlag ellenttes forgsmdot szabjon meg, mint F. 62. bra MEGJEGYZS Trgyalsunkban hallgatlagosan feltettk, hogy a megadott hrom hatsvonal metszspontjai kzl egyik sincs az egyenslyozand er hatsvonaln s egyik sincs a vgtelenben. Ajnlatos teht vgiggondolni a 63. brn lthat eseteket is. Ugyancsak figyelmet rdemel egy erpr egyenslyozsa hrom adott hatsvonalon.

63. bra 7. Plda G=1kN sly, hasb alak testet erstnk fggleges falhoz csukls rudak segtsgvel, a 64. brn lthat mdon. Hatrozzuk meg a rudakban bred erket! Megolds: A rudak slyt elhanyagolva, brzoljuk a hasbra hat erket: G: a hasb geometriai kzppontjban hat slyer,

321 ,, EEE : a rudak ltal a hasbra kifejtett

egyenslyoz erk (65. bra) Ezek irnyt elre megllaptani nem tudjuk. Clszer mindegyik rudat hzottnak felttelezni. Ha a szmts sorn negatv ernagysg addik, az azt jelenti, hogy az er irnyt tvesen vettk fel, a rd nyomott. A feladatot szerkesztssel nem oldjuk meg, szrl 64. bra szra a Culmann fle eljrst kellene alkalmazni.

A Ritter fle szmt eljrs viszont nem mindegyik rd esetben alkalmazhat. Nzzk az egyes rudakat! A 2 s 3 rudak metszspontjra felrt nyomatkegyenlet: ,033 1 = EG ,11 kNGE == a rd hzott. 65. bra Az 1 s 3 rudak metszspontjra:

,031 2 =+ EG .32G

E =

Az er irnyt tvesen vettk fel, a rd nyomott: 65. bra .333,02 kNE =

A 3 jel rd ltal kifejezett 3E egyenslyoz er meghatrozsra nem rhatunk fel jabb nyomatkegyenletet az 1 s 2 jel rdtengelyek metszspontjra, hiszen az nem ltezik. Mivel

21sEE mr ismert, felrhatnnk ugyan egy tetszleges pontra nyomatkot, de egyszerbben is eljrhatunk. Mivel ( ) ,0,,, 321 =&EEEG rjunk fel egy komponens - egyenletet: ,0

32

3cos

2233=

+= EGEG

.3

133 GE =

3E ezek szerint tvesen van feltntetve az brn, a rd valjban nyomott, .202,13 kNE =

I. 12. Vektorok II. A trbeli sztatika trgyalst a vektoralgebra megfelel rszeinek ttekintsvel ksztjk el. A tetszleges a s b vektorok skalris szorzata egy skalris mennyisg, melynek - jellse: ba vagy ,ba - rtelmezse: cosbaba = , a kt vektor ltal bezrt szg (66. bra).

A defincibl kiolvashat, hogy .baab = A ksbbiekben szksgnk lesz az albbi ttelekre. Ttel. Kt vektor skalris szorzata pontosan akkor* 0, ha a kt vektor merleges egymsra. Ttel. Minden a , b vektorra s k szmra 66. bra

( ) ( ).bkabakbak ==

Ttel. ( ) .cabacba +=+ Ttel. Egy a vektornak egy e egysgvektorral prhuzamos sszetevje ( ) .eaeap = Ttel. Az kajaiaa zyx ++= s kbjbibb zyx ++= vektorok skalris szorzata .zzyyxx babababa ++=

A trbeli a ,b vektorok vektorilis szorzata bxa egy olyan vektor (67. bra),

a / amelynek hossza ,sinba

b / amely merleges az a , b vektorokra, c / amelynek irnya olyan, hogy a , b s bxa jobbrendszert alkot. * vagyis akkor s csak akkor A defincibl kiolvashat, hogy .axbbxa = Ttel. Kt vektor vektorilis szorzata pontosan akkor 0, ha a kt vektor prhuzamos. Ttel. Minden a ,b vektorra s k szmra ( ) ( ) ( ).bkxabxakbxak == 67. bra Ttel. Az kajaiaa zyx ++= s a kbjbibb zyx ++= vektorok vektorilis szorzata

.

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bxa =

I.13. Nyomatk pontra s tengelyre

VEKTOR NYOMATKA PONTRA A mechanikai problmk vizsglathoz a skalris nyomatkdefinci nem mindig megfelel. Rmutatunk pldul arra, hogy a skalris nyomatk eljele fgg attl: az er s a nyomatkvonatkoztatsi pont skjnak melyik oldalrl szemlldnk. Alkalmasabb defincit fogunk bevezetni, mely a skalris nyomatkfogalom nyjtotta elnyket is megtartja. Mivel a mechanikban tbb vektormennyisg nyomatka elfordul, az ltalnossg kedvrt vektor nyomatkval foglalkozunk, s eredmnyeink a mechanikai vektormennyisgekre is rvnyesek. Ha r valamely P pontbl egy c (kttt) vektor hatsvonalnak Q pontjba mutat vektor (68. bra), akkor c vektor P-re vonatkoz nyomatkn a kvetkez vektort rtjk: cxrM cP =

(nem mindig szksges jellni, hogy melyik vektor nyomatkrl van sz, st nha a nyomatkvonatkoztatsi pontot sem tntetjk fel indexknt, egyszeren csak az M jellst alkalmazzuk). Az cPM vektor neve nyomatkvektor. Jellemzi:

- llsa: merleges a P, c skra, - nagysga: sincr ( : az cr , vektorok ltal bezrt szg) - irnya: cPMcr ,, jobbrendszert alkot.

A 68. bra (mely a koordinta rendszert nem tnteti fel) alapjn rgtn belthat, hogy a nyomatkvektor hossza korbbi definciknak megfelelen "." ererrk Ugyanis

[ [ ./180sin/sin ckcrcrM P == o Knnyen belthat az is, hogy a nyomatkvektor fggetlen a Q pontnak c hatsvonaln elfoglalt helytl. Ttel. Egy vektornak egy pontra vonatkoz nyomatka egyenl tetszleges kt sszetevjnek nyomatkval ugyanazon pontra (nyomatk ttel nven tallkoztunk mr ezzel a ttellel). Bizonyts. Legyen 21 ccc += . A tetszleges O pontot vlasszuk egy koordinta rendszer kezdpontjul. E rendszerben a hrom vektor kzs kezdpontja legyen .r Ekkor ( ) cOcOcO McxrccxrcxrcxrMM ==+=+=+ 212121 . ERPR NYOMATKVEKTORA Az erpr nyomatka mint lttuk- skjnak brmely pontjra egyenl. Ezzel az rtkkel, az erpr nyomatkval jellemeztk az erprt a skbeli sztatikban. Trbeli erprok jellemzsre hasonl lehetsg knlkozik. 68. bra Ttel. Az erpr nyomatka a tr tetszleges pontjra egyenl. Bizonyts. Legyen a 69. brn fel nem tntetett koordinta rendszerre vonatkozlag az erpr erinek tmadspontjba mutat kt helyvektor 21 rsr . Ekkor az erprnak az O pontra vonatkoz nyomatka:

( ) .212121 FxrrFxrFxrFxrFxrM O ==+= Ez olyan vektor, mely

- merleges az erpr skjra, - hossza Fk /k az erpr karja/, - ( ) OMFrr ,,21 jobbrendszert alkot.

69. bra

Mint ltjuk, az OM vektor fggetlen az O pont vlasztstl, csak az erprra jellemz.

Valban: OM hossza az erpr skalris nyomatknak abszolt rtke, a vektor llsa meghatrozza az erpr skjnak llst, a vektor nyilbl pedig az erpr ltal megszabott forgsmdra kvetkeztethetnk. Jogos teht, az erpr matematikai jellemzjnek tekinteni az

OM , illetve egyszerbben M vektort, melyet a tovbbiakban az erpr nyomatkvektornak neveznk. Bizonyts nlkl kzljk a kvetkez ttelt. Ttel. Az egyenl nyomatkvektor trbeli erprok sztatikailag egyenrtkek. Vagyis az erpr nem csupn skjban mozdthat el s alakthat t, hanem skjval egytt is elmozdthat, ha a sk llsa vltozatlan marad. Ms szval: a nyomatkvektornak egyedl az llsa s irnya lnyeges, tmadsponthoz, st hatsvonalhoz sincs ktve, vagyis szabad vektor. Megjegyezzk, hogy brinkon a nyomatkvektort knnyebb megklnbztets vgett res vg nyllal jelljk. Hogy a nyomatkot valban vektornak tekinthessk, mg igazoland a kvetkez Ttel: ha egy F alap erpr nyomatkvektora ,FM egy Q alap erpr ,QM akkor a kt erprt sszegezve olyan erprt kapunk, melynek nyomatkvektora .QF MM + Bizonyts. Azzal az esettel foglalkozunk, mikor az erprok skjai metszik egymst (70. bra). Az erprok megengedett talaktsokkal olyan helyzetbe hozhatk, hogy a megfelel alapok hatsvonalai metszik egymst. Ekkor a kzs metszspont, QF , illetve QF , vektor alapokat sszegezve valban kt ellenttes vektor, nem kzs hatsvonal ert, vagyis erprt kapunk (ezt az bra nem tnteti fel). Ennek az erprnak egy tetszleges O pontra vonatkoz nyomatka az bra jellseivel: 70. bra

( ) ( ) ( ) ( ) .2121221121 QFO MMQxrrFxrrQxrFxrQxrFxrQFxrQFxrM +=+=+++=++= TENGELYRE VONATKOZ NYOMATK Tekintsk a 71. brn vzolt kialakts merev testet, mely egy fix tengely krl elforgathat s elcssztathat a test slytl eltekintnk Tapasztalatunk szerint egy, a tengellyel prhuzamos hatsvonal PF er hatsra a test a tengely mentn eltoldik, de nem fordul el.

71. bra

Ugyancsak a tapasztalat azt mutatja, hogy a tengelyre merleges hatsvonal, de a tengelyt nem metsz mF er hatsra a test a tengely krl elfordul, de nem toldik el. Ha az mF er hatsvonalnak a forgstengelytl mrt tvolsga k, a forgathats mrtknek a

mkF szorzatot tekintjk. A forgathats pontosabb jellemzse cljbl a forgstengely

szimmetriavonalt lssuk el irnytssal, vagyis a test elfordulst matematikai rtelemben vett tengely krl vizsgljuk. A forgst akkor tekintjk pozitvnak, ha a tengely irnyval szembenzve az mF er az rajrssal ellenttes forgsmdot szab meg. Ekkor az mF ernek a felvett mondjuk x tengelyre vonatkoz nyomatka (72. bra): .mx kFM =

Nyilvnval, hogy ,Dx MM = ahol D az x

tengely s az mF er hatsvonaln ttett, x-re merleges sk dfspontja. A tengelyre vonatkoz nyomatk skalr. Ha az er a forgstengelyhez kpest ltalnos helyzet, akkor a tengelyre vonatkoz nyomatkot a kvetkezkppen rtelmezzk: ttesznk az er hatsvonaln egy, a tengellyel prhuzamos skot (73. bra) s felbontjuk F-et a skban pF s mF sszetevkre (az bra F-et nem tnteti fel). 72. bra Az utbbi sszetevnek az x tengelytl mrt k tvolsgval a tengelyre vonatkoz nyomatk:

.mx kFM = Az eljelet illetleg a fentebb mondottak rvnyesek. Amint az bra alapjn knnyen belthat, a tengelyre vonatkoz nyomatk fggetlen az er tmadspontjnak a hatsvonalon elfoglalt helyzettl. Ugyanis k a tmadspont helyzettl fggetlenl egyenl a hatsvonal s a tengely norml transzverzlisnak hosszval, mF pedig csak az er s a tengely hajszlszgtl fgg adott F esetn. Vgl rmutatunk a tengelyre s a pontra vonatkoz nyomatk kztti kapcsolatra. Szmtsuk ki a tr ( )zyxr ,, helyvektor pontjban hat,

( )zyx FFFF ,, vektor ernek a koordinta-rendszer kezdpontjra vonatkoz nyomatkt (74. bra)! 73. bra

===

zyx

O

FFF

zyx

kji

FxrM

( ) ( ) ( ).xyzxyz yFxFkxFzFjzFyFi ++= Vegyk szre, hogy a zrjelben lev mennyisgek rendre a kvetkezk: .,, zyx MMM

Teht .kMjMiMM zyxO ++= Vagyis az O pontra vonatkoz nyomatkvektor komponensei a tengelyre vonatkoz nyomatkok. Nyilvn OM pontosan akkor zrus, ha

.0=== zyx MMM 74. bra I. 14. Trbeli ltalnos errendszer ERED A trbeli errendszer jellemzje: hatsvonalai nincsenek kzs skban. A trbeli errendszert kevsb rszletesen trgyaljuk, mint a skbeli errendszert. Nem trnk ki kln a kzs metszspont trbeli errendszerre, melynek lnyege: a hatsvonalaknak van kzs pontjuk, de nincs kzs skjuk; sem a trbeli prhuzamos errendszerre, mely prhuzamos hatsvonal, de nem egy skban lv erkbl ll. Rgtn a legltalnosabb esettel, a trbeli ltalnos errendszerrel foglalkozunk, vagyis olyan trbeli errendszerrel, mely nem csupa kzs metszspont, vagy kizrlag prhuzamos erkbl ll. Az errendszer eredjhez pontosan olyan meggondolssal juthatunk, mint amelyet a skbeli ltalnos errendszernl alkalmaztunk az 52. brval kapcsolatban (nincs szksg j brra, ha az 52/a. bra erit most trbeli ltalnos errendszernek tekintjk). Az adott trbeli errendszer mindeniF erhez hozzrendelnk egy tetszlegesen felvett pontbl

kiindul iF s iF vektor ert. Ezt a hozzrendelst az errendszer minden elemre elvgezve egy kzs metszspont trbeli errendszert s olyan erprokat nyernk, melyek a felvett ponton tmen klnbz skokban helyezkednek el. A kzs metszspont erk eredjt s az erprok ered erprjt ellltva, vgeredmnyben az eredeti errendszert a vele egyenrtk, egyetlen erbl s egyetlen erprbl ll rendszerr alakthatjuk. Hogy a skbeli ltalnos errendszernl kvetett thoz kpest most mi az j, azt a nyomatkvektor fogalmnak felhasznlsval knnyen belthatjuk. Skbeli errendszer esetn azt mondjuk, hogy az egyenrtk talakts egy erre s egy r merleges nyomatkvektor erprra vezetett, vagyis az er s az erpr egy skban volt. Trbeli errendszer esetn az er vektora s a nyomatkvektor ltalban nem merleges egymsra.

Termszetesen itt is megtrtnhet, hogy F s M brmelyike esetleg zrusvektor. A trbeli ltalnos errendszer lehetsges erinek ttekintse eltt rszletesen meg kell vizsglni az egymshoz kpest ltalnos helyzet F s M vektorok eredjt, hiszen ezzel a feladattal korbban nem tallkoztunk. Az ltalnos eset a 75. brasorozatbl rthet meg.

75. bra A 75/a. brn adott M nyomatkvektort felbontjuk az F vektorval egylls pM s arra

merleges mM sszetevre (75/b. bra). mM helyettesthet a 75/c. brn feltntetett F alap

erprral. Ha most az egyenslyban lv FF , rendszert elhagyjuk, a 75/d. brn lthat, egyetlen erbl ( )F s a r merleges sk pM nyomatkvektor erprbl ll rendszerhez, ercsavarhoz jutunk. A 75/e. bra csupn az ercsavar szemlletesebb brzolsa. Ha az pM erpr egyik alapjt az F ervel sszegezzk (ez sokflekppen trtnhet), akkor kt kitr egyenesen hat erbl ll trbeli errendszert, trserket kapunk (76. bra). Az egymsra merleges trserket erkeresztnek nevezik.

76. bra Egy ercsavar vgtelen sokflekppen alakthat erkeresztt. Most mr ttekinthetjk a trbeli errendszerek lehetsges eredit. Ha az egyenrtk talakts utn nyert MF , vektorok ltal bezrt szg , akkor a lehetsges esetek a kvetkezk:

A lnyegileg klnbz esetek szma teht 4. Az ered gyakorlati meghatrozsa az MsF vektorok kiszmtst ignyli. Az utbbi vektor fgg attl, melyik pontra redukljuk az errendszert. Ha ez a pont a koordinta rendszer kezdpontja, akkor ,OMM = melynek komponensei a tengelyekre vonatkoz nyomatkok. Ezek szmtst az elz trgypontban lttuk. Az kFjFiFF zyx ++= vektor komponensei

,cos iiixx FFF == ,cos iiiyy FFF == iiizz FFF cos == egyenletbl szmthatk. Itt iii ,, az iF erknek a tengelyekkel bezrt szge (77. bra). F abszolt rtke:

.222 zyx FFFFF ++==

F s a tengelyek hajlsszgre egyrszt fennll a

,cosF

Fx= ,cosF

Fy= ,cosF

Fz=

msrszt a 1coscoscos 222 =++ sszefggs. 77. bra A fentiek alapjn az MsF vektorokat meg tudjuk hatrozni. Tovbbi rszletekkel nem foglalkozunk. Megemltjk mg, hogy grafikus mdszerek a trbeli errendszerekkel kapcsolatban kevsb hasznlatosak, mint a skbelieknl. A trbeli errendszert mint lttuk teljesen meghatrozza a redukls sorn nyert MsF vektor. E tny s az errendszerek egyenrtksgnek fogalma alapjn a kvetkez megllaptst tehetjk: kt errendszer pldul az I s a II rendszer sztatikailag egyenrtk, ha brmely pontra .IIIIII MMsFF == Megmutathat, hogy ha egy pontra teljesl a fenti egyenlsg, akkor minden pontra teljesl. EGYENSLY A trbeli ltalnos errendszer egyenslynak felttele az eddigiek alapjn knnyen megfogalmazhat. Tetszleges P pontra 0=F s .0=PM Megmutathat, hogy ha egy pontra

Az errendszer eredje:

90

,0

F

ercsavar

=90

0

M

egyet- len er

0,0 = MF

egyetlen er

0,0 = MF

egyetlen erpr

zruser /egyen- sly van

0,0 == MF

ez teljesl, akkor tetszleges egyb pontra is teljesl. Reduklsi pontul a koordinta - rendszer kezdpontjt vve, az egyensly szksges s elgsges felttele teht gy is megfogalmazhat: ,0== iFF ( ) .0== ii FxrM E kt vektoregyenletnek megfelel 6 skalregyenlet a kvetkez: ,0== ixx FF ( ) ,0== yzx zFyFM ,0== iyy FF ( ) ,0== zxy xFzFM ,0== izz FF ( ) .0== xyz yFxFM Szavakban: az egyensly szksges s elgsges felttele az, hogy az errendszernek a tengelyekre (brmely tengelyre) vonatkoz komponenssszege s nyomatksszege zrus legyen. Feladatok megoldsban klnsen a nyomatkegyenletek alkalmazhatk elnysen. A megfelel nyomatkvonatkoztatsi tengely gyes megvlasztsval gyakran egyenletrendszer felrsa nlkl juthatunk az ismeretlenekhez. Amint lthat, az egyenslynak hat egymstl fggetlen felttele van trbeli ltalnos errendszerrel terhelt test esetn. Ha az egyenslyoz errendszert (reakcik) csupn egyenslyi megfontolsokkal nem lehet meghatrozni, a feladat sztatikailag meghatrozhatatlan. KNYSZEREK Felsorolunk nhnyat a trbeli sztatika lehetsges knyszerei kzl. Gmbcsukl (78. bra). Lnyege: az aljzat megfelelen kialaktott, gmbfelletetekkel hatrolt rsze a testnek kialaktott gmb alak fszekbe illeszkedik. A gmbcsukl a test olyan mozgsait engedi meg, melyeknl a test pontjainak a gmbkzpponttl mrt tvolsga vltozatlan marad. Sztatikai szempontbl olyan reakci errendszert jelent, melynek eredje egyetlen er. Ennek hatsvonala tmegy a gmbkzpponton, a reakcier hrom komponensrl tovbbiakat csak a testre hat errendszer ismeretben mondhatunk. 78. bra Hengergyr (79. bra). A test hengeres rsze csszer rgzt elembe illeszkedik. Ilyen kialakts a testnek a hengergyr tengelye menti eltoldst s elfordulst engedi meg. A hengergyr ltal gyakorolt hats a kvetkez lehet: a tengelyre merleges er, a tengelyre merleges nyomatkvektor erpr, illetve ezek kombincija. 79. bra Befogs

Olyan rgztsmdot jelent, mely a test minden mozgslehetsgt megsznteti. Megvalsthat pldul gy, hogy a test egy rszt a 80. brn lthat mdon befalazzuk. Sztatikai szempontbl a befogs olyan reakci errendszert jelent, mely ltalnos esetben ercsavarral egyenrtk. Az ercsavar hat adatrl (hrom erkomponens s hrom nyomatk- komponens) kzelebbit csak a terhel errendszer ismeretben 80. bra mondhatunk. 8. Plda Forgcslapkteget akarunk daruval felemelni a 81. brn lthat mdon. A forgcslapkteg slya G = 10kN, az emelshez hasznlt ktl teherbrsa 8kN. A lapok ngyzet alakak, a = 2m. Krds: a vonhorog a forgcslapkteg fltt milyen m magassgban lehet minimlisan, ha azt akarjuk, hogy a ktlgakban legfeljebb 7kN er bredjen? Knnyen belthat ugyanis, hogy ha ,0m a ktler . 81. bra Megolds. Vizsgljuk a vonhorog egyenslyt! Ha a vonhorog mreteitl s slytl eltekintnk, a tartktelek slyt s vastagsgt szintn elhanyagoljuk, akkor a vonhorogra hat erk egy trbeli, kzs metszspont errendszernek tekinthetk. Ezek az erk: G, a vonlnc hatsa a vonhorogra, tovbb szimmetriaviszonyokbl kvetkezleg ngy egyenl K ktler. Mivel egyensly van, a fggleges z tengelyre felrhatjuk a 82. bra alapjn: ,0cos4 == KGFz ahol

,

2

cos2

2

ma

m

+

=

,

2

4cos

22

ma

m

K

G

+

== .

162 22 GK

Gam

= 82. bra

Ha K=7 kN, ,107.162

2.1022

=m .38,0 mm =

9. Plda Egy vzszintes skban elhelyezked trt tengely rd egyik vge vzszintes s fggleges sk terletekre tmaszkodik, msik vge csdarabba nylik (83. bra). A szerkezetet F nagysg erkbl ll erkereszt terheli. Meghatrozandk a reakcierk. Megolds. Vegynk fel egy alkalmas koordinta rendszert s brzoljuk a reakcierrendszer er- s nyomatk sszetevit (84. bra)! 83. bra Az A pontban a tmasz kialaktsa olyan, hogy az y irny reakcier nem bredhet,

zx AA , klnbzhet zrustl.

A B-beli megfogs eleve biztostja, hogy 0=xB s .0=xM

Most mr alkalmazhatjuk az egyenslyi egyenleteket. 84. bra

,0== FAF xix .FAx = ,0== yiy BF .0=yB

,02 =+= zix aBaFM .2F

Bz =

,02

=+= FFAF ziz .2F

Az =

,02

2 =+= FaMM yiy .aFM y = ,02 =+= zi MaFM .2aFM z =

85. bra A 85. bra a testre hat aktv s reakcierket (erprokat) egytt szemllteti. Tanulsgos az errendszert egyenrtk egyszerbb errendszerekk alaktva is beltni, hogy a vzolt errendszer egyenslyi errendszer.

I.15. Megoszl erk FAJLAGOS ER Sok esetben a valsgos mechanikai viszonyok pontatlan lersra vezet a koncentrlt er fogalmnak alkalmazsa. Ugyanis nem mindig vehetjk gy, hogy a hats elhanyagolhat felszn felletdarabon rvnyesl. A testek egymsra gyakorolt hatsa olykor egy kis szlessg, de hossz svon addik t - gondoljunk egy fal ltal a talajra gyakorolt hatsra ilyenkor vonal mentn megoszl errl vagy errendszerrl beszlnk. Hasonl fogalom a felleten megoszl er. Plda r az a hats, melyet egy folyadkkal telt tartly falra a folyadk gyakorol. Sz lehet trrszen megoszl errl (trfogati er, tmeger) is. Erre plda a slyer, mely egy test ltal elfoglalt trrsz valamennyi pontjban hat. A megoszl erk jellemzst felletdarabon megoszl er esetn mutatjuk be. Ha pldul a (vzszintesnek kpzelt) talaj egy A terlet darabjt lland vastagsg homokrteg fedi, akkor feltehetjk, hogy a terhelt terlet minden pontjn azonos hats rvnyesl, melynek irnya a talaj skjra merleges. E hats jellemezhet az egysgnyi felletdarabra jut terhelssel. Ha a teljes homokmennyisg

slya F, a terhelt felletdarab felszne A, akkor az A

F hnyados egyrtelmen jellemzi a

megoszl errendszert. Ha a homokrteg vastagsga vltoz, akkor egyetlen hnyadossal nem jellemezhet a terhels, hiszen nyilvnval, hogy pontonknt klnbzhet a talajt r hats. Ilyenkor a tetszleges P pontban rvnyes terhels jellemzsre kijelljk a terhelt idom egy olyan A terlet darabjt, mely p-t tartalmazza (86. bra).

Ha a raA jut terhels ,F akkor a A

F

hnyados

bizonyos mrtkben jellemzi a P pontban rvnyesl hatst, mrpedig annl inkbb, minl kevsb vltozik a

A alap homok-oszlop magassga. Ha ,0A akkor ltalban az oszlop-magassg vltozsa is zrushoz tart. Kzenfekv teht, hogy a tetszleges P pontban rvnyes hats jellemzsre az 86. bra

A

Ff

= lim

2m

N

0A Hatrrtket, a fajlagos ert (fajlagos teher, teherintenzits (adjuk meg) amennyiben a hatrrtk ltezik). A felletdarabon megoszl errendszer ismerethez minden pontban ismerni kell a fajlagos ert s a hats irnyt.

mgpedig gy, hogy a A terlet skidom legnagyobb mrete is zrushoz tart. Hasonlkppen rtelmezzk a vonal mentn, illetve trrszen megoszl terhels esetn is a fajlagos ert:

l

Ff

= lim ,

m

N illetleg

V

Ff

= lim .

3

m

N

0l 0V Itt l s V a krdses pontot tartalmaz vonaldarab hossza, illetve trrsz trfogata. MEGOSZL PRHUZAMOS ER RENDSZER A fentiekben hallgatlagosan feltettk, hogy a terhelt idom (fellet, vonal, trrsz) minden pontjban azonos a hats irnya. Mivel rendszerint valban ez a helyzet, a tovbbiakban csak prhuzamos megoszl errendszerekkel foglalkozunk, melyek ismerethez egy irny s a fajlagos er (mint a hely fggvnye) megadsa szksges. A kvetkezkben vonal mentn megoszl errendszerekre tesznk nhny megllaptst, melyek rtelemszeren felleten, vagy trrszen megoszl errendszerekre is tvihetk. Legyen adott az AB szakasz minden pontjban a fajlagos er. Vagyis az A pontbl mrt x koordinta fggvnyben ismerjk a fajlagos ert (az f=f/x/) fggvnyt s a terhels irnyt (87. bra). A fajlagos er fggvnynek grafikonja a terhelsbra. A terhelsbrval egytt feltntetjk a terhels irnyt jellemz nyilat is. Az f/x/ fggvny ismeretben az AB szakaszra jut teljes terhels meghatrozhat. A dx hosszsg vonaldarabra jut er ,// dxxfdF = a teljes AB szakaszra jut terhels: 87. bra

==lB

A

dxxfdFF0

.//

Ms szval: a terhelsbra s a terhelt vonaldarab kz es idom terlete a teljes terhelssel (a terlet itt gy rtend, hogy tvolsgot szorzunk er) tvolsg dimenzij mennyisggel). A megoszl prhuzamos errendszer eredjnek helyt gy szmthatjuk: ha Fx az ered koordintja, akkor

==l

F

l

F dxxfxFxdxxxf00

;//// .

//

//

0

0

=l

l

F

dxxf

dxxxf

x

A megoszl erk eredje lehet zruser s erpr is. A kvetkezkben szksg lesz a megoszl erk valamely pontra vonatkoz nyomatknak meghatrozsra. Foglalkozzunk az egyenletesen megoszl prhuzamos errendszer esetvel, melynl f = const. Terhelsbrjt a terhelt vonallal prhuzamos szakasz v. flegyenes (egyenes) hatrolja (88. bra).

88. bra Hatrozzuk meg a terhelt vonalon felvett P pontra a tle balra lv megoszl er nyomatkt. Vagyis PM -t keressk x fggvnyben. Ez a nyomatk az x hosszon megoszl erk F eredjnek nyomatkval egyenl:

.222

// 2xf

xfx

Fx

xM P ===

A nyomatk x fggvnyben parabolikusan vltozik. Grafikusan is knnyen meghatrozhat a nyomatk: az I. 7. ben ltott szerkesztst alkalmazzuk az F= x f erre. kpxM P =// . A nyomatki metszkek /k/ vgpontjai paraboln vannak. Ez gy is belthat:

,2

// 2 pkxf

xM P == .22x

p

fk =

Az hajlsszg e egyenes a parabola rintje, hiszen

.tgp

F

p

fx

dx

dk ===

10. Plda Az AB szakaszon linerisan vltoz megoszl er mkdik, vagyis f /x/ = C x (89. bra).

A teljes terhels nagysga F, .lAB = Meghatrozand a C lland, valamint M(x) s x hosszra es terhels T(x) fggvnye. Megolds. A terhelsbra alatti terlet a teljes terhelssel egyenl. A B pontbeli fajlagos er:

,Clf B = gy

,2

1FCll = .2

2l

FC = 89. bra

( ) ( ) ( ) ( ) ,32

222//

0

32

20

22

02

0

xxxx

xl

Fdx

l

Fdx

l

FxdfxM

==== .

3

2//

3