hØgskolen i sØr-trØndelag avdeling for teknologi 14h regtek/lx2013destele2… · sidesprang 2:...

D:\Per\Fag\Regtek\Eksamen\Eksamen13\LX2013desTELE2001v6.wpd

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Eksamensdato 16. desember 2013 LØSNINGSFORSLAG (NB! Ikke kvalitetssikra!)

Fag TELE2001 Reguleringsteknikk

Dato: 19.12.13 Sign: PHv

Løsningsforslag basert på læreboka til Bjørvik og Hveem

Oppgave 1 (100%) Effektregulering av vindmølle.

Figur 1. Forenkla blokkskjema for effektregulering av vindkraftaggregat.

Blokkskjemaet over viser ei effektreguleringssløyfe. Regulatoren er en langsom digital regulatormed samplingstid lik 0,01 sekund. Når regulatoren brukes som PID-regulator er den på sum-form.

Figur 2. Forenkla blokkskjema for bladvinkelstyring, aggregat og nivåmåler.

Blokkskjemaet over viser bladvinkelstyring, aggregat og effektmåler når regulatoren ikke er kopla til.

ProblemstillingDu skal modellere blokkene som inngår i effektreguleringa. Deretter skal du bruke forskjelligemetoder for å komme fram til forslag på digital regulatortype (P, PI, PD eller PID) ogregulatorparametre. Det er gjort endel målinger og eksperiment på reguleringssløyfa og dissemåleresultatene er grunnlaget for å løse oppgava. Måleresultatene er lagt ved oppgavesettet i form avfigurer og tabeller. Reguleringssløyfa er lite plaga med støy.

Krav til reguleringssløyfa1 Null stasjonært avvik2 Innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse3 Raskest mulig reguleringssløyfe

Side 1

Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2013 2

A (6 %) Eksperimentell modellering av bladvinkelstyring Sprangresponsen for bladvinkelstyringa er vist i figur 3. Vi ser at responsen i figur 3tilhører en første ordens prosess uten tidsforsinkelse. Overføringsfunksjonen har derforfølgende form:

Stasjonær endring i utsignalet (bladvinkelen) er 0,99 - 0,77 = 0,22 og endringen i

bvinnsignalet (pådraget) er 0,9 - 0,7 = 0,2. Dette gir K = 0,22/0,2 = 1,1

Spranget i innsignalet kommer når t = 0,5 sek og spranget i utsignalet kommer nøyaktigsamtidig. Vi har dermed ingen tidsforsinkelse. Tidskonstanten er den tida utgangenbruker på å nå 63% av stasjonær endring. Dvs tida det tar å nå 0,22*0,63 . 0,14 opp iforhold til startverdien for utsignalet på 0,77. Utsignalet når verdien 0,77+0,14 = 0,91når t . 0,52 sek. Det betyr at tidskonstanten, T = 0,52 - 0,5 = 0,02 sek. Overføringsfunksjonen for pådragsorganet blir da:

B (8 %) Eksperimentell modellering av aggregatet Sprangresponsen til aggregatet er vist i figur 4. Se også figur på neste side. Vi ser atsprangresponsen har svingninger som dør ut mot en stasjonærverdi. Det betyr atsprangresponsen er andre ordens med komplekskonjugerte poler. Fordi responsenkommer med en gang spranget på inngangen kommer så er det ingen tidsforsinkelse. Overføringsfunksjonen er dermed på formen:

Stasjonær endring i utsignalet (effekten) er 0,855 - 0,64 = 0,215 og endringen i

aginnsignalet (bladvinkel) er 0,8 - 0,7 = 0,1. Dette gir K = 0,215/0,1 = 2,15 . 2,2

Relativ demping ( æ ) kan finnes ved å måle oversvinget ( ) og så først finne relativt

oversving ( ä ) og deretter den relative dempinga. Ut fra figuren er = 0,97 - 0,855

= 0,115. Relativt oversving blir da:

og relativ demping:

0 p Udempa egenfrekvens ( ù ) kan finnes ut fra periodetida ( T ) på svingningene ogrelativ demping. Periodetida er 12,9 - 10,95 = 1,95 sek.

Side 2


Overføringsfunksjonen blir nå:

C (6%) Eksperimentell modellering av effektmåler Frekvensresponsen for effektmåler er vist i bodediagrammet i figur 5.

Side 3


Vi ser at amplitudekurva er flat ved lave frekvenser med amplitude på ca 0 dB og gårnedover med !20dB/dekade ved høge frekvenser. Fasekurva starter ved null grader vedlave frekvenser og ser ut til å gå ned i kjelleren ved høge frekvenser. Dermed ereffektmåleren en første ordens prosess med tidsforsinkelse og har denneoverføringsfunksjonen:

Ved å legge en asymptote med stigning lik 0 dB/dekade til kurva for amplitudeforholdetved lave frekvenser og en asymptote med stigning lik !20 dB/dekade ved høge

kfrekvenser finnes knekkfrekvensen ù . 33 rad/sek. Knekkpunktet ser rett ut fordikurva går ca 3 dB under knekkpunktet. Frodi vi har en tidsforsinkelse vilfaseforskyvinga være mer enn !45E ved knekkfrekvensen. Forsterkinga ved lavefrekvenser gir stasjonær forsterking K. Av Bodediagrammet ser den ut til å være ca 0dB. Dette gir K = 10 . 1,0. Tidskonstanten er det inverse av knekkfrekvensen: T =0/20

k1/ ù = 1/33 rad/sek . 0,03 sek.

Tidsforsinkelsen kan finnes ved å se på hvor mye ekstra faseforskyving det er i forholdtil faseforskyvina som skyldes en første ordens prosess. Teikner opp asymptotene tilfaseforskyvinga for den første ordens prosessen med knekkfrekvens lik 33 rad/sek. Såteiknes den virkelige fasekurva for den første ordens prosessen uten tidsforsinkelse. Tilslutt velges det ut en frekvens og den ekstra tidsforsinkelsen leses av. I figuren er det

ô valgt frekvensen 500 rad/sek. Den ekstra faseforskyvinga ö = -220E- (-85E) = -135E.

Side 4


Tidsforsinkelsen blir

Overføringsfunksjonen for effektmåleren blir dermed:

D Sprangresponsen for ventil, tank og nivåmåler samla. Da (6 %) Sprangresponsen for bladvinkelstyring, aggregat og effektmåler tatt oppsamla er vist på figur 6 og et utsnitt er vist på figur 7. Vi ser at sprangresponsen harsvingninger som dør ut mot en stasjonærverdi. Det betyr at sprangresponsen er andreordens med komplekskonjugerte poler. Fordi responsen ikke kommer med en gangspranget på inngangen kommer så er det en tidsforsinkelse i tillegg og kanskje et førsteordens ledd. Overføringsfunksjonen er dermed på formen:

Tidsforsinkelsen finnes best fra utsnittet i figur 7 og ser ut til å være omtrent 0,035sekunder. Dette er tida fra innsignalet kommer til utsignalet endrer seg første gang.

Side 5


Stasjonær endring i utsignalet er 0,93 - 0,70 = 0,23 og endringen i innsignalet

uy(bladvinkel) er 0,8 - 0,7 = 0,1. Dette gir K = 0,23/0,1 = 2,3

Relativ demping ( æ ) kan finnes ved å måle oversvinget ( ) og så først finne relativt

oversving ( ä ) og deretter den relative dempinga. Ut fra figuren er = 1,06 - 0,94 =

0,12. Relativt oversving blir da:

og relativ demping:

0 p Udempa egenfrekvens ( ù ) kan finnes ut fra periodetida ( T ) på svingningene ogrelativ demping. Periodetida er 12.9 - 11,05 = 1,95 sek.

Sidesprang 1: Når vi finner at relativt oversving og periodetid er så godt som det samme som foraggregatet så trenger vi strengt tatt ikke rekne ut dette på nytt. Det går greit å slå fast at relativ dempingog udempa egenfrekvens blir som for aggregatet. Sidesprang 1 slutt.

Side 6


Periodetida er på1,95 sek. 2. ordens leddet med komplekskonjugerte poler starter en

phalv periode, dvs T /2 før topp-punktet. Topp-punktet kommer når t=11,05 sek. Detbetyr at 2. ordens leddet starter når t = 11,05 - 1,95/2 = 11,05 - 0,975 = 10, 075. Dersomvi bare har 2. ordens med tidsforsinkelse skal 2. ordens leddet starte opp entidsforsinkelse etter spranget på inngangen. Dvs 10 + 0,035=10,035. Men basert påtopp-punktet og periodetida starter det først 10,075. Differansen mellom disse to tidene

1 skyldes tidskonstanten i første ordens leddet. T =10,075 - 10,035 = 0,04 [sek]. Det vilsi at vi også har et første ordens ledd med tidskonstant 0,04 sek.

Sidesprang 2: Når avlesingene fra figur 6 i beste fall har en nøyaktighet på nærmeste 0,05 sekunder,så vil relativt små feil i avlesinga for tida for topp-punktet påvirke denne tidskonstanten veldig mye.

1 Verdien på T på 0,04 har dermed en ganske stor feilmargin. Kanskje så mye som ± 0,05/2.Sidesprang 2 slutt.

Overføringsfunksjonen blir nå:

Db (6 %) Sammenhengen mellom overføringsfunksjonen du fant i punkt Da over ogoverføringsfunksjonene for ventil, nivåmåler og tank som du fant i

uy bv ag mpunktene A, B og C skal være at h = h * h * h

Vi ser her at andre ordens leddet i nevner er det samme som i Da, men at vi har to førsteordens ledd i nevner. I Da er det bare et første ordens ledd. Et av første ordensleddenegjemmer seg i tidsforsinkelsen i Da. Et første ordens ledd på nevnerplass kan tilnærmetsettes som en tidsforsinkelse. Bruker her T=0,03 som en tidsforsinkelse i stedet ogmultipliserer ut tellerene så får vi:

Nå stemmer telleren helt, tidsforsinkelsen er lik, andre ordens leddet er likt, men førsteordens leddet stemmer ikke helt. Dette skyldes avlesningsproblemene for å finne tidskonstanten som nevnt under oppgave Da.

Side 7


E (10 %) Endring i stasjonær effekt ved sprangendring i vindstyrken

Se på figur 1. Effektreguleringa går med en P-regulator med Kp = 0,2. Med en referanse

0(r) på 0,8 og en vindstyrke på 12 m/s er det nominelle pådraget (u ) justert sånn at målteffekt (y) blir 0,8. Plutselig øker vinden fra 12 m/s til 14 m/s. Dette tilsvarer enforstyrrelse (v) på 0,2. for å finne den målte stasjonære effekten med en vind på 14m/sholder det å se på hvilken endring i effekten endringen i forstyrrelsen fører tilstasjonært.

Når vi bruker sluttverditeoremet skal s gå mot null. Dersom det er blokker ireguleringssløyfa som får en stasjonær forsterking når s går mot null kan vi bruke denstasjonære forsterkinga for disse blokkene direkte. Det gjelder alle blokkene i

bv ag mreguleringssløyfa vår. De stasjonære forsterkingene blir K = 1,1 K = 2,1 og K =

p1,0. I tillegg kommer K = 0,2. Da får vi:

ny gmlI normaliserte verdier blir effekten nå y = y + Äy = 0,8 + 0,287 = 1,087 . 1,1

Det blir også rett å gå den lange veien med å bruke sluttverditeoremet, men det blir ikkevist her!

F Frekvensanalyse

Fa (4 %) Valg av regulatortype: Ut fra kravet om null stasjonært avvik vet vi atvi bør velge en regulator med integratorvirkning. Kravet om raskest muligreguleringssløyfe tilsier at vi bør ha med derivatorvirkning i regulatoren. Derivatorvirkninga kan skape problemer om vi har mye støy i sløyfa, meni oppgaveteksten står det at reguleringssløyfa er lite plaga med støy. Viender dermed opp med en PID-regulator.

Fb (10%) Se på figur 2. På bakgrunn av overføringsfunksjonene forbladvinkelstyring, aggregat og effektmåleren er frekvensresponsen fra util y teikna opp i bodediagrammet i figur 8. Faseforskyvinga tilfrekvensresponsen i figur 8 må modifiseres for at det skal kunne brukessom utgangspunkt for å finne fram til et forslag til innstilling av dendigitale regulatoren. Overføringsfunskjonen til åpen sløyfe uten digitalregulator, men med den digitale regulatorens tidsforsinkelse kalles gjerne

0dh . Fordi vi har en langsom digital regulator med samplingstid (h) lik*

0,01 sekunder må faseforskyvinga til en tidsforsinkelse på 1,5h dvs 0,015sekunder legges til. Faseforskyvinga til en tidsforsinkelse er proporsjonalmed frekvensen.

Side 8


ô Det enkleste er å finne frekvensen (ù ) som gir en faseforskyving på -1radian eller -57E.

Ved 66,7 rad/sek gis det et tillegg i faseforskyvinga på -57E. Ved den

ô ôdoble frekvensen i forhold til ù (dvs 2 @ ù = 133 rad/sek) gis det et tillegg

ôpå 2 @ (-57E) = -114E osv. Ved den halve frekvensen (dvs 0,5 @ ù = 33,3rad/sek) gis det et tillegg på 0,5 @ (-57E) = -28E osv. Korrigertbodediagram blir da som vist på neste figur.

Fc (10 %) Bruker det modifiserte bodediagrammet for å finne fram til et forslag tilinnstilling av regulatoren. Dimensjonering: Vi skal ha en PID-regulatorpå sumform. Kravet til innsvingningsforløp er minimum forstyrrelse. Ifølge læreboka kan vi oppnå dette med stabilitetsmarginer på minst 45 ogo

minst 12dB. Ved dimensjoneringen tar vi utgangspunkt i fasemarginen.

0<h = !210E + 45E = !165E. Bodediagrammet er teikna opp i forrigedeloppgave (Fb) og gjentas her:.

Side 9


Finner fasevinkelen som gir ønska kryssfrekvens ut fra det skissen tilfrekvensresponsen for åpen sløyfe uten regulator, men hvor vi harinkludert tidsforsinkelsen i regulatoren. Vi ser at !165E har vi ved 4,6

øcrad/sek. Dette gir en ønska kryssfrekvens: ù = 4,6 rad/sek. Amplitudeforholdet ved denne frekvensen leses av til 6 dB. Regulatorparametrene kan nå raskt reknes ut:

I øc D øcT = 2,8/ù = 2,8/4,6 = 0,61sek og T = 1/ù = 1/4,6 = 0,22sek,

P o øcK = ! |h (jù )| ! 2dB = !(6dB)!2dB = -8dB = 10 = 0,4* -8/20

0Fd (8 %) Frekvensresponsen til åpen sløyfefunksjon med regulator (dvs for h ) er

cvist i figur 9. Av figuren ser vi at kryssfrekvensen ù = 4,9 rad/sek Det erlitt mer enn ønska kryssfrekvens som var 4,6. Fasemarginen er bare 40E,mens kravet var 45E. Forsterkingsmarginen er hele 22 dB, mens kravetbare var 12dB. Fordi fasemarginen bare ligger litt under kravet ogforsterkingsmarginen er langt over kravet, så er dette ofte greit. Formeltsett bør P-forsterkinga reduseres med 3dB sånn at fasemarginenbliromtrent 45E. kryssfrekvensen havner på 0,42 for da blir. Ny P-forsterkingblir da

Side 10


G Polanalyse

Ga (10%) Karakteristisk likning får vi ved å sette nevneren i overføringsfunksjonenfra en inngang til en utgang i den lukka reguleringssløyfa lik null. Dennenevneren er lik 1 + åpen sløyfefunksjon. Skal vi bruke Ziegler-Nicholstommelfingerregler og finne kritisk forsterking og kritisk periodetid må

pregulatoren være en P-regulator med forsterking K . Vi bruker en digitalregulator og må derfor legge til tidsforsinkelsen i den digitale regulatorentil overføringsfunskjonene i åpen sløyfe. Fordi vi har en langsom regulatorsettes tidsforsinkelsen i den digitale regulatoren til 1,5 ganger

regsamplingstida. I vårt tilfelle blir ô = 1,5 @ h = 1,5 @ 0,01 = 0,015 [sek]. Ieffektmålerblokka inngår det også en tidsforsinkelse. For å lettehandrekninga summerer vi tidsforsinkelsene før vi padé-approksimerer.Fordi hele sløyfa er av minst andre orden med tidsforsinkelsen så kan viher bruke en første ordens padé-approksimasjon i stedet for den samlatidsforsinkelsen.

Side 11


Den karakteristiske likninga får vi når nevneren i overføringsfunksjonen frareferansen, r, og til den målte temperaturen, y, blir satt lik null. Nevneren blir

0 0alltid 1+h hvor h er lik åpen sløyfefunksjon. Bruker verdiene funnet i A, B ogC fordi disse er mer riktige enn verdiene funnet i Da.

0 reg bv ag mVi får da: h = h * h * h * h

Likninga over er god nok som svar. Full utrekning gir:

Gb (8%) Av tabell 1 finner vi kritisk tilfelle når vi har et komplekskonjugert polpar

ppå imaginær akse. Dette skjer når K er større enn 0,8, men mindre enn

p0,9. Her gir K =0,8 et polpar i venstre halvplan nær imaginær akse, mens

pK = 0,9 gir et polpar i høgre halvplan 2,5 ganger lenger fra imaginær akse. Det er derfor grunn til å anta at at en forsterking bare litt over 0,8 vil gi et

kpolpar omtrent på imaginær akse. Velger derfor K . 0,8. Kritiskperiodetid finnes ut fra imaginærdelen til polparet på imaginær akse.

Side 12


pVelger imaginærdelen for polparet nærmest imaginær akse når K =0,8. Det gir â.0,0545*10 = 5,45. NB! 1.0e + 2 * betyr at tallene som2

kommer etter skal ganges med 10 .2

kK =0,8 og

Ut fra kravene og svaret i Fa ender vi opp med en PID-regulator. Denne stillesinn etter Ziegler-Nichols regler:

P K I KK = 0,65*K = 0,65*0,8 .0,52 T = 0,5*T = 0,5*1,15 . 0,58 sek

D KT = 0,12*T = 0,12*1,15 . 0,14 sek

Gc (8%) Av tabell 2 ser vi at reguleringssløyfa med ferdig innstilt regulator erstabil fordi alle polene har negativ realdel dvs de ligger i venstre halvplan. I tillegg ser vi at dempinga til det polparet som ligger nærmest imaginærakse har en demping på 0,15 Dette tilsier ei reguleringssløyfe medinnsvingningsforløp med litt mer svingninger enn typen minimum areal(demping mellom 0,25 og 0,35). Kravet i oppgaveteksten var minimumforstyrrelse. Vi kan derfor forvente å få et innsvingningsforløp på mer enn6 halvperioder, mens vi ønsker 1 - 2 halvperioder. Ser vi på periodetida tilsvingningene som skyldes det polparet som ligger nærmest imaginær akse

pså får vi: T = 2ð/â = 2ð/4,9 = 1,28[sek]. Dette er bare litt lenger enn detsom var kritisk periodetid og tyder på at de oscillasjonene vi har i sløyfa erP-svingninger. Vi kunne prøvd å redusere P-forsterkinga en del. Redusert P-forsterking gir større dynamisk avvik, men ofte mindre svingninger ireguleringssløyfa. Dette må etterprøves på den virkeligereguleringssløyfa.

PSidesprang 3: En reduksjon av K fra 0,52 til 0,39 gir en relativ demping på 0,14. Her fører ikke

predusert K til større demping. Det er derfor ikke noe poeng i å bare gå ned med P-forsterkinga.Prosesser med komplekskonjugerte poler og lav relativ demping er vanskelige å regulere medvanlige tommelfingerregler.Sidesprang 3 slutt!

Side 13


Sidesprang 4: En simulering av reguleringssløyfa med de foreslåtte verdiene for PID-regulatoren frabåde polanalyse og frekvensanalyse er vist på neste figur. Figuren viser at innsvingningsforløpet blirlangt fra minimum forstyrrelse.

Etterjusteringa i tidsplanet er basert på at sprangreponsen til verdiene fra frekvensanalysa er best. Mensprangresponsen viser at I-tida er altfor lang. For å få sprangresponsen raskere opp til referansen førstegang er I-tida korta ned. Det er vist som etterjustering 1 på neste figur. Her er I-tida korta ned helt tilsvingningene svinger symmetrisk rundt referansen.Dette innsvingningsforløpet er for urolig. Fordi en reduksjon av P-forsterkinga tydeligvis ikke virkerså er alternativet å prøve og øke D-tida. En auke i D-tida viser at innsvingningsforløpet blir bedre ogbedre opp til et vist nivå. Etterjustering 2 og 3. Med ei D-tid som i dette tilfelle er lenger enn I-tida blirdet best. Da er det i dette tilfelle mulig å få til minimum forstyrrelse.

Side 14


Ei polanalyse basert på regulatorinnstillingene til etterjustering 3 gir en relativ demping på 0,6. Dettilsvarer minimum forstyrrelse.

Ei oppteikning av åpen sløyfefunksjon med regulatorinnstillingene til etterjustering 3 er vist på nestefigur.

Her ser vi at både fasemargin og forsterkingsmargin oppfyller kravene til minimum forstyrrelse.

For prosesser med svingninger (komplekskonjugerte poler) er det vanskelig å etterjustere direkte medpolanalyse og eller med frekvensanalyse. I dette tilfellet gikk det å etterjustere i tidsplanet, sjøl om detbeste resultatet ikke helt følger tommelfinger-regelen om at I-tida bør være vesentlig lenger enn D-tida.Sidesprang slutt!

Side 15

hØgskolen i sØr-trØndelag avdeling for teknologi 14h regtek/lx2013destele2… · sidesprang 2:...

Documents