21

1.5 HIDRAULINI PRORAUN MAGISTRALNIH VODOVODNIH MREA Postoje dva tipa magistralnih vodovodnih mrea: razgranate i prstenaste. Mesta spajanja i grananja cevi u mrei nazivaju se vorovima. Razgranate vodovodne mree (slika 1.9) sastoje se iz magistrala, grana i ogranka. Pucanje cevovoda ili neki drugi kvar dovode kod ovakvih vodovoda do prekida u snabdevanju vodom vie potroaa. Ovakve mree koriste se za snabdevanje vodom manjeg broja meusobno udaljenih potroaa koji dozvoljavaju i kratkotrajne prekide u snabdevaju (na primer seoski vodovodi). Prstenasta mrea (slika 1.10) sastoji se iz niza zatvorenih kola prstenova iz ijih vorita se preko grana i ogranaka snabdevaju potroai. Gradske vodovodne mree dvosmerno snabdevaju potroae vodom i ne zahtevaju prekid rada cele mree pri iskljuenju pojedinih deonica. Vodovodne mree protivpoarne zatite izvode se iskljuivo kao prstenaste. Napajanje prstenastih vodovodnih mrea obavlja se na jednom ili vie mesta preko magistralnih vodovoda, to zavisi od veliine mree, rasporeda i poloaja potroaa i njihove potronje. Prilikom projektovanja novih vodovoda, hidraulini proraun magistralnih vodovodnih mrea ima zadatak da definie prenike cevovoda i pritisak na mestu napajanja (ili mestima napajanja) pod uslovom da kroz deonice mree protiu odreene koliine vode potrebnog pritiska. Moe da se postavi i zadatak da se odrede prenici cevovoda u deonicama prema raspoloivom pritisku na mestu napajanja. Kod magistralnih vodovodnih mrea lokalni gubici mehanike energije iznose 5 10 % od gubitaka energije usled trenja. U prvom, priblinom proraunu, gubici mehanike energije u deonicama cevovoda raunaju se po izrazu,Yg = Yg l + Yg tr = Yg tr ,

gde je Yg tr , gubitak mehanike energije usled trenja, a , koeficijent koji uzima u obzir lokalne gubitke ( = 1,05 110) . , U hidraulinom proraunu vodovodnih mrea moraju biti zadovoljena dva zakona hidraulike. Prvi, po kojem zbir protoka koji ulaze u vor mora biti jednak zbiru protoka koji izlaze iz vora, odnosno,

V&u = V&ii drugi, koji pokazuje da se pri ustaljenom strujanju razlika pritisaka izmeu bilo koja dva protona preseka troi na savlaivanje otpora i visinske razlike izmeu ta dva preseka. Drugi zakon hidraulike formulie energijska jednaina koja, napisana za dva strujna preseka I i II (pri emu je presek II nizvodno), glasi: pI c p c + I + g z I = II + II + g z II + Yg I II 2 2 pri emu je Yg I II gubitak mehanike energije na putu od preseka I do preseka II. Zanemarujui razliku kinetikih energija (cI cII ) , iz prethodne jednaine sledi da je,pI pII = g ( z II z I ) + Yg I II

(1.12)

22 S obzirom na gubitke mehanike energije, invsticije i pojave hidraulinog udara u vodovodima se preporuuju brzine strujanja vode izmeu 0,75 i 2 m/s, s tim da nie vrednosti odgovaraju manjim prenicima cevovoda. U tabeli 1.2 date su po proraunu ekonominosti preporuene brzine prema Esemanu. Tabela 1.2D [ mm ]C [ m / s]

& V [l / s ]

D [ mm ]

C [ m / s]

& V [ l / s]

60 100 150 200 250 300

0,70 0,75 0,80 0,90 1,00 1,10

2 6 14 28 50 78

400 500 600 800 1000 1200

1,25 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20

155 275 450 900 1550 2100

1.5.1 Hidraulini proraun razgranatih mrea Proraun razgranate vodovodne mree bie izloen na primeru mree ija je konfiguracija prikazana na slici 1.9. Neka su zadate sledee veliine: protoci na krajevima mree

& & & & & & V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 , pritisci na krajevima mree

p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , duine svih deonica

LOA , L AD , LD1 , LD2 , LAB ,... LE 6 , geodezijske visine krajeva zi (i = 1, 2,..., 6) mree u odnosu na mesto napajanja,

( z1 z0 ), ( z2 z0 ),...,( z6 z0 ) .

Slika 1.9 Razgranata vodovodna mrea

23 Zadatak hidraulinog prorauna je da se odrede prenici svih deonica cevovoda DOA , DAD ,

DD1 , DD2 , D AB ,... DE 6 ) i pritisak napajanja mree p0 . Prema pritisku p0 odreuje se visina napornog rezervoara, ili se bira pumpa.Tok prorauna je sledei:

& 1. Najpre se odrede protoci Vij u svim deonicama prema sledeim jednainama:& VOA =

V& ,i =1 i

6

& & & V AD = V1 + V2 ,

& & VD1 = V1 ,

& & VD2 = V2 , & & VC 3 = V3 , & & VE 6 = V6 .

& & & & & VAB = V3 + V4 + V5 + V6 ,

& & & VBC = V3 + V4 , & & VE 5 = V5 ,

& & VC 4 = V4 , prenici,

& & & VBE = V5 + V6 ,

2. Zatim se na osnovu usvojenih brzina

cij vode u deonicama, izraunaju njihovi

Dij = koji se standardizuju na prvi vei prenik. U razmatranom primeru: za usvojenu brzinu cOA

& 4Vij cij

(1.13)

DOA = D AD =

& 4VOA cOA & 4V AD c AD

standardno DOA standardno D AD , itd.

za usvojenu brzinu c AD

3. Izraunavaju se gubici energije Yg ij u svim deonicama. Kod cevovoda normalne hrapavosti preporuuje se primena Maningovog obrasca ( C = 66 D1/6 ) prema kojem je,

Ytrij = 0, 0144a uzimajui u obzir i lokalne gubitke ( = 1, 05) ,

Li j D5,33 ij

& Vi 2j

Ytrij = 0, 015

Li j D5,33 ij

& Vi 2j

(1.14)YgOA , Yg AD , YgD1 , YgD 2 ,

U razmatranom primeru na ovaj nain raunaju se gubici energije

Yg AB , Yg BC , YgC 3 , YgC 4 , Yg BE , Yg E 5 , Yg E 6 .4. Izraunava se pritisak na poetku mree idui du strujnog toka svakog potroaa. Prema izrazu (1.12) dobija se:p0 (1) = p1 + g ( z1 z0 ) + YgOA + Yg AD + Yg D1 p0 (2) = p2 + g ( z2 z0 ) + YgOA + Yg AD + Yg D 2 p0 ( 3) = p3 + g ( z3 z0 ) + YgOA + Yg AB + YgBC + YgC 3

24

p0 (4) = p4 + g ( z4 z0 ) + YgOA + Yg AB + Yg BC + YgC 4p0 (5) = p5 + g ( z5 z0 ) + YgOA + Yg AB + Yg BE + Yg E 5 p0 ( 6) = p6 + g ( z6 z0 ) + YgOA + Yg AB + YgBE + Yg E 6

(1.15)

gde je p0 (1) pritisak na poetku mree koji odgovara prvom potroau, p0 (2) pritisak na poetku mree koji odgovara drugom potroau, i tako redom, do pritiska p0 (6) koji odgovara estom potroau. Da bi svi potroai dobili zahtevanu koliinu vode odreenog pritiska mora biti zadovoljena jednakost, p0 (1) = p0 (2) = p0 (3) = p0 (4) = p0 (5) = p0 (6) (1.16) Po pravilu, prethodnim proraunom se jednakost pritisaka (1.16) ne postie. Jedan od strujnih pravaca prua najvei otpor, odnosno zahteva najvei pritisak na poetku mree i on je merodavan za ostvarivanje jednakosti (1.16) ako se ostane pri vrednostima ranije izraunatih prenika du tog strujnog pravca. Da bi se zadovoljio uslov (1.16) mora da se poveaju gubici mehanike energije du ostalih strujnih pravaca ime se postie da njima odgovarajui pritisak na poetku mree (1.15) dostigne vrednost merodavnog pritiska. Tek kada se ovo postigne bie zadovoljena oba zakona hidraulike i svaki potroa e dobiti zahtevanu koliinu vode predvienog pritiska. Poveanje gubitka energije u nemerodavnim strujnim pravcima moe da se izvri na vie naina. Na primer, mogue je poveati otpore ugradnjom ventila. Meutim, najcelishodnije je to uraditi smanjenjem prenika cevi u zadnjim deonicama ime se pojevtinjuje investicija. Neka je, na primer, merodavan strujni pravac ka potroau 3. Da bi se pritisci p0 (1), p0 (2), p0 (4), p0 (5) i p0 (6) doveli na vrednost p0 (3) , u strujnom pravcu 1 poveava se gubitak YgD1 , u pravcu 2 gubitak YgD2 , u pravcu 4 gubitak YgC 4 , u pravcu 5 gubitak Yg E 5 i u pravcu 6 gubitak Yg E 6 . Da bi se vrednost pritiska na poetku cevovoda poveala od vrednosti p0 (1) koja odgovara nemerodavnom pravcu 1, na vrednost p0 (3) koja odgovara merodavnom pravcu 3, gubitke mehanike energije u zadnjoj deonici ovog pravca (D1) treba poveati sa vrednosti YgD1 na vrednost YgD1 , YgD1 = p0 (3) p0 (1) + Yg D1 (1.17)

Prema izrazu (1.14) ovoliki gubitak energije omoguava cevovod prenika, & 0, 015 LD1 V12 5,33 DD1 = YgD1 1

(1.18)

Najee, po izrazu (1.18) dobija se nestandardni prenik koji je manji od prethodno usvojenog standardnog prenika DD1 . Poto prenik cevovoda treba da bude standardan usvaja se na delu l deonice LD1 prvi manji standardni prenik, dok na delu l = LD1 l deonice LD1 ostaje prethodno usvojeni standardni prenik. Duina deonice l manjeg prenika izraunava se pomou izraza

25

& L l YgD1 = 0, 015 V12 D15,33 + DD1 odakle sledi,

5,33 ( DD1 ) l

LD1 & 2 D5,33 0, 015 V1 D1 l = 1 1 5,33 5,33 DD1 ( DD1 )

YgD1

(1.19)

Analignim postupkom (1.17) do (1.19) odreuju se prenici zadnjih deonica u ostalim nemerodavnim pravcima.1.5.2 Hidraulini proraun prstenastih mrea

Proraun prstenaste mree razmotrie se na primeru mree prikazane na slici 1.10.

Slika 1.10 Prstenasta vodovodna mrea Zadate veliine su: & 1. Protoci u vorovima iz kojih se odvodi voda potroaima Vi , i = 1,2,...,9 . 2. Duine svih deonica Lij . 3. Geodezijske visine svih vorova zi , ili visinske razlike u odnosu na vor u kojem se mrea napaja iz magistrale ( zi z4 ) . 4. Najmanji dozvoljeni radni pritisak u mrei, a nekad i mesto gde ovaj treba da se odrava. Mesto u mrei gde treba odravati najmanji dozvoljeni pritisak odreuje gde mrea treba da se napaja i da li e napajanje biti na jednom ili vie mesta. & Protok napajanja mree V0 jednak je zbiru protoka koji se iz vorova alju potroaima,

& & V0 = Vii =1

n

(1.20)

26 Zadatak hidraulinog prorauna je da se odrede prenici Dij svih deonica mree, kao i pritisak napajanja ( u ovom sluaju pritisak p4 ), pod uslovom da svi potroai dobijaju traene protoke i rade na odgovarajuim pritiscima. Reenje zadatka treba da zadovolji oba zakona hidraulike. Po prvom zakonu, algebarski zbir protoka u svakom voru mree treba da je jednak nuli,

& & (Vi + Vij ) = 0i

(1.21)

to znai da zbir protoka koji ulaze u vor (+) treba da je jednak zbiru protoka koji iz njega izlaze (). Za razmatrani primer po ovom uslovu mogu da se napiu sledeih 8 nezavisnih jednaina (jedna manje od broja vorova, zbog identiteta (1.20)): & & & V41 = V1 + V12 & & & & V12 + V52 = V2 + V23 & & & V23 + V63 = V3 & & & & & V0 = V45 + V41 + V47 + V4 & & & & & V45 = V5 + V52 + V56 + V58 & & & & V56 = V6 + V63 + V69 & & & V47 = V7 + V78 & & & & V78 + V58 = V8 + V89 (1.22)

Umesto jedne od jednaina (1.22) moe se uzeti jednaina za vor 9 , & & & V89 + V69 = V9 . Po drugom zakonu hidraulike koji mora biti zadovoljen, gubici mehanike energije u svakom prstenu moraju biti uravnoteeni. Posmatrajui prvi prsten (slika 1.11 ), od vora 4 do vora 2 postoje dva strujna toka, jedan preko vora 1, a drugi preko vora 5. Kako je razlika energija u vorovima jednaka gubicima energije na putu izmeu vorova, mora biti zadovoljen sledei uslov:

Yg41 + Yg12 Yg45 + Yg52 = 0

(

)

Slika 1.11 Prvi prsten mree

Prema gornjem izrazu algebarski zbir gubitaka mehanike energije u prstenu mora biti jednak nuli, uzimajui sa negativnim znakom gubitke u deonicama sa smerom strujanja suprotnim od smera kazaljke na satu. Za ostale prstenove vae sledee jednaine:

27

Yg52 + Yg23 Yg63 + Yg56 = 0Yg56 + Yg69g89

Yg45 + Yg58

( ( Y ( Y

+ Yg58

g78

+ Yg47

) )= 0 )= 0(1.23)

Gubici mehanike energije mogu da se izraze formulom:

& Ygij = K ijVij2 ,tako da uslovi uravnoteenja gubitaka mehanike energije glase:

( )=0 & & & & K V + K V (K V + K V ) = 0 & & & & K V + K V (K V + K V ) = 0 & & & & K V + K V (K V + K V ) = 0&2 &2 &2 &2 K41 V41 + K12 V12 K52 V52 + K45 V4552 2 52 23 2 23 63 2 63 56 2 56 56 2 56 69 2 69 89 2 89 58 2 58 45 2 45 58 2 58 78 2 78 47 2 47

(1.24)

Ako se gubici mehanike energije raunaju po izrazu (1.14), koeficijenti karakteristika gubitaka su: Lij Kij = 0, 015 5,33 . (1.25) Di j Ako se sa s oznai broj prstenova u mrei, sa r broj deonica, a sa n broj vorova, ukupan broj jednaina oblika (1.22) i (1.24) je (n 1) + s , a po Ojlerovoj teoremi o broju strana, rogljeva i ivica kod poliedra je r = ( s 1) + n , to znai da je broj jednaina jednak broju deonica u mrei. Da bi se odredili prenici cevovoda Dij po deonicama potrebno je prethodno odrediti protoke & V u njima. Poto protoci u deonicama zavise od prenika cevi zadatak se mora reavatiij

iterativno. U poetnom priblienju pretpostavljaju se protoci u deonicama, ali tako da zadovoljavaju uslove (1.22). Ovo praktino znai da se pretpostavi s (u primeru 4) protoka, a ostalih & (n 1) (u primeru 8) raunaju se po jednainama (1.22). Po odreivanju protoka Vij , preniciDij raunaju se po formuli (1.13), usvajajui preporuene brzine strujanja iz tabele 2.

Posle odreivanja prenika proverava se valjanost pretpostavljenih protoka. Kod tano odreenih protoka moraju biti zadovoljeni uslovi (1.24). U poetnom priblienju do ovoga moe doi samo sluajno, pa se zbog toga raunaju odstupanja od nule razlika gubitaka energije u jednainama (1.24):

&2 &2 &2 &2 1 = K 41 V41 + K12 V12 K 52 V52 + K 45 V45 &2 &2 &2 2 = K 52 V52 + K 23 V23 K 63 V63 + K 56 &2 &2 3 = K 56 V56 + K 69 V69 &2 &2 4 = K 45 V45 + K 58 V58 &2 89 V89 + K 58 &2 V78 + K 47

(

( (K (K

78

) & V ) & V ) & V )2 56

2 58

(1.26)

2 47

28

& Kada se odrede odstupanja s ( s = 1,2,3,4) odreuju se novi protoci Vij (u prvompriblienju), tako da budu zadovoljeni uslovi (1.22) i da odstupanja s budu ispod dogovorene vrednosti koja je bliska nuli. Najee se smatra da su uslovi (1.24) ispunjeni kada su odstupanja s < 5 J / kg (to odgovara gubitku pritiska ispod 0,05 bara).

& Odreivanje novih protoka vri se po metodi Hardi Krosa (Hardy Cross). Novi protoci Vij & & odreuju se tako to se prethodno utvreni protoci Vij koriguju za vrednost Vs , & & & Vij = Vij Vs& pri emu se Vs menja od prstena do prstena, a brojana vrednost mu zavisi od ranije utvrenog odstupanja s .

Slika 1.12 Uz odreivanje popravnih protoka Neka su 1 i 4 negativne, a 2 i 3 pozitivne vrednosti i po apsolutnoj veliini vee od dozvoljenog odstupanja (na primer s > 5 J / kg ) (vidi sliku 1.12). Da bi se novim protocima zadovoljile jednaine (1.24) u prstenovima sa s < 0 treba poveati protoke na putevima sa strujanjem u smeru kazaljke na satu, a smanjiti protoke na putevima sa strujanjem suprotnim smeru kazaljke na satu. U pstenovima gde je s > 0 treba postupiti suprotno, odnosno, smanjiti protoke na putevima sa strujanjem u smeru kazaljke na satu, a poveati protoke na putevima sa strujanjem suprotnim smeru kazaljke na satu. U razmatranom primeru je, za prvi prsten 1 < 0 , & & & & & & V12 = V12 + V1 , V41 = V41 + V1 , za drugi prsten 2 > 0 , & & & & & & V23 = V23 V2 , V52 = V52 V2 , za trei prsten 3 > 0 , & & & V52 = V52 V1 , & & & V63 = V63 + V2 , & & & V45 = V45 V1 & & & V56 = V56 + V2

29 & & & V56 = V56 V3 , & & & V69 = V69 V3 , & & & V89 = V89 + V3 , & & & V78 = V78 V4 , & & & V58 = V58 + V3 & & & V47 = V47 V4

za etvrti prsten 4 < 0 , & & & & & & V58 = V58 + V4 , V45 = V45 + V4 ,

& Veliine popravnih protoka Vs ( s = 1,2,3,4) , u prstenovima odreuju se iz uslova da novi & protoci V zadovolje uslove (1.24). Prema ovom uslovu, za prvi prsten ( < 0 ) je,ij 1

& & & & & & & & K41 V41 + V1 + K12 V12 + V1 K52 V52 V1 K45 V45 V1 = 0

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

( K41 + K12 K52 K45 ) ( V&1 )& V1 =

2

& & & & & + 2 K41V41 + K12 V12 + K52 V52 + K 45 V45 V1 + 1 = 0

(

)

& Zanemarujui lan koji sadri V12 dobija se,

1 , & +K V +K V +K V ) & & & 2( K 41V41 12 12 52 52 45 45

1 < 0

(1.27)

Prema uinjenoj pretpostavci ( 2 > 0 ) , a po uslovu (1.24) u drugom prstenu mora da je,

& & 2 & & 2 & & 2 & & 2 K 52 V52 V2 + K 23 V23 V2 K 63 V63 + V2 K 56 V56 + V2 = 0

(

)

(

)

(

)

(

)

( K52 + K23 K63 K56 ) ( V&2 )

2

& & & & & 2 K52V52 + K23 V23 + K63 V63 + K56 V56 V2 + 2 = 0

(

)

& Zanemarujui lan koji sadri V22 dobija se,

& V2 =

2 , & & & & 2( K 52V52 + K 23V23 + K 63V63 + K 56V56 )

2 > 0

(1.28)

U optem sluaju, dakle, moe da se napie:

& Vs =

s & 2 K ijVijs

(1.29)

& & & & Posle odreivanja popravnih prrotoka V1 , V2 , V3 i V4 odreuju se u prvom priblienju & protoci V u deonicama mree. U deonicama koje su zajednike za dva prstena, da se ne biij

& naruila ravnotea algebarskog zbira protoka u vorovima, protok Vij se koriguje i s obzirom & & na Vn i Vm protok, pri emu su n i m prstenovi kojima je ij deonica zajednika. Prema slici 1.12 protoci u prvom priblienju iznose:& & & V41 = V41 + V1 & & & V12 = V12 + V1 , & & & & V52 = V52 V1 V2 , & & & & V45 = V45 V1 + V4 & & & V23 = V23 V2 , & & & V63 = V63 + V2 , & & & & V56 = V56 + V2 V3 & & & V69 = V69 V3 & & & V89 = V89 + V3 & & & & V58 = V58 + V3 + V4 & & & V78 = V78 V4 & & & V47 = V47 V4

30

& Po odreivanju protoka Vij u prvom priblienju, odreuju se nove vrednosti s odstupanja & jednaina (1.24) od nule. Iterativni postupak odreivanja protoka Vij nastavlja se sve dokodstupanja s u svim vorovima ne budu manja od unapred dogovorene vrednosti. Prema zadatoj vrednosti minimalnog pritiska sada se moe odrediti pritisak napajanja mree, kao i pritisci u ostalim vorovima mree.