hình phẳng oxy vted.vn - hkk

Phát triển tư duy Giải Toán hình phẳng Oxy Huỳnh Kim Kha

Tác giả: Huỳnh Kim Kha Hotline: 0977 232 699 Facebook: Huỳnh Kim Kha

Dành cho học sinh luyện thi THPT Quốc Gia 2016.

Tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên.

Số 1



Lời nói đầu +) Trong cuộc sống có rất nhiều yếu tố để tạo nên sử thành công, tuy nhiên ba yếu tố không thể thiếu đó là: kinh

nghiệm, tư duy và sự nỗ lực. Với những người yêu thích, đam mê môn toán nói chung và học toán nói riêng thì ba

yếu tố đó càng khắc hoạ một cách rõ nét.

+) Bài toán hình phẳng Oxy trong các đề thi THPT Quốc gia hay các kì thi học sinh giỏi các năm gần đây đã xuất hiện

với mật độ càng dày, cách tư duy của người đầy nhiều điều mới mẻ, do đó nó thường được đưa vào loạt các bài toán

ở mức độ tư duy và vận dụng cao. Vì vậy chúng ta phải chuẩn bị hành trang để giải quyết chúng.

+) Để giải quyết về phần này hầu hết các học sinh thường chỉ biết sử dụng kinh nghiệm giải toán nhờ việc đã gặp

một hướng giải quyết tương tự nào trước đó mà quên mất rằng mọi thứ đều có nguyên nhân xác thực của nó, để

giỏi toán nói chung và giỏi phần này nói riêng thì chúng tại luôn phải biết đặt câu hỏi cho mình là vì sao?

+) Đó là những lí do nảy sinh cuốn sách “Phát triển tư duy giải Toán” phát hành để nhằm đáp ứng nhu cầu tìm hiểu

sâu của bạn đọc để nhằm phần nào cho bạn đọc cảm thấy an tâm hay chinh phục để phần trong các đề thi.

+) Sách này mình tuyển tập và chọn lựa các bài hay và khó từ các trường và các anh, chị, thầy, cô như là: Đặng

Thành Nam, Nguyễn Đại Dương, Ngô Minh Ngọc Bảo, Mẫn Ngọc Quang, … . Để thấu hiểu sâu rộng, mình đề nghị

các bạn nên tham gia giải đề do các thầy tổ chức vào chủ nhật các tuần trên nhóm “Học sinh thầy Quang Baby”

hay các nhóm khác và nếu có điều kiện nên tham gia các khoá học về các phần để chuyên sâu hơn như khoá học của

thầy Đặng Thành Nam.

+) Hi vọng cuốn sách các bạn đã mua sẽ góp phần nhỏ giúp các bạn đọc trả lời được một số câu hay và khó mà các

bạn bấy lâu còn vương mắc.

+) Trong quá trình biên soạn có thể cuốn sách gặp phải những lỗi hoặc có sai sót, rất mong các bạn đọc thông cảm

và góp ý cho tác giả hoàn thiện lại tốt hơn cho các đợt sau.

+) Xin cảm ơn các thầy, cô, anh chị đã ủng hộ em để góp phần hoàn thiện sách “Phát triển tư duy giải Toán” .

Tác giả

Huỳnh Kim Kha

Kha



Bài số 1: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AM=AE, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM=BF, phương trình EF: x-2=0. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là

2 2 4 2 15 0x y x y và tung độ điểm A và điểm H dương.

Lời giải chi tiết

Do ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc,

2 đường chéo tạo với các cạnh của hình vuông góc 045

Tam giác AME vuông cân tại A 0; 45AM AE EAO MAO

Suy ra . . .AMO AEO c g c MOA EOA

Suy ra OA là đường phân giác trong của góc .MOE

Chứng minh tương tự, ta cũng có OB là đường phân giác trong

của góc .MOF

Mặt khác 90oMOA MOB AOB

2 180oMOE MOF AOB hay E, O, F thẳng hàng

Ta lại có:

+) Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên 45 .oMHA MEA

+) Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên 45 .oMHB MFB

Suy ra 90 .oAHB AHM MHB

Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H, O cùng nằm trên đường tròn đường kính AB

Toạ độ điểm O và H là nghiệm của hệ phương trình 2 2

2 0 2, 3

2; 14 2 15 0

x x y

x yx y x y

Mà tung độ điểm H dương. Suy ra 2;3 , 2; 1H I

Gọi N là trung điểm AB. Suy ra N là tâm đường tròn đường kính AB.

Do đó N(-2;1)

Ta có: 4;2IN

Đường thẳng AB đi qua N và có VTPT 4;2 / / 2; 1IN có phương trình: 2x-y+5=0

Toạ độ điểm A và B là nghiệm của hệ 2 2

2 5 0

0, 54 2 15 0

4, 3

x yx y

y

x

xx

y

y

Mà tung độ điểm A dương. Suy ra A(0;5), B(-4;-3)

Ta có: I trung điểm AC

2 2.2 0 4

4; 72 2. 1 5 7

C I A

C I A

x x xC

y y y

Ta có: I trung điểm BD

2 2.2 4 8

8;12 2. 1 3 1

D I B

D I B

x x xD

y y y

Kết luận: Vậy 0;5 , 4; 3 , 4; 7 , 8;1A B C D



Bài số 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc

của B lên các đường thẳng AC, CD và M, N lần lượt là trung điểm AD, HI. Viết phương trình đường thẳng AB biết

1; 2 , 3;4M N và đỉnh B nằm trên đường thẳng 9 0x y , 2

cos5

ABM .


Xét ABD và HBI có: ABD HCI HBI

ADB ACB HIB

Suy ra tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI (g.g)

Ta có: BM, BN lần lượt là hai đường trung tuyến của tam giác ABD, HBI

Do đó: BM BA

BN BH (1)

Lại có: ABM HBN MBN ABH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABH đồng dạng với tam giác MBN

Do đó 090MNB AHB , hay MN vuông góc NB

+) Đường thẳng BN đi qua 3;4N và có VTPT 1;3n MN nên có phương trình: 3 15 0x y

+) Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: 3 15 0 6

6;39 0 3

x y xB

x y y

Ta có: 5;5 / / 1;1MB , gọi ;ABn a b là VTPT của AB, ta có:

2 2 2 2 2

2 2

32

5 8 3 10 3 052

3

a ba b

a b a b a ab b baa b

+) TH1: Nếu 3a b , chọn 3 1a b . Phương trình đường thẳng AB: 3 21 0x y

+)TH2: Nếu 3

ba , chọn 1 3a b . Phương trình đường thẳng AB: 3 15 0x y (loại do trùng với BN)

Kết luận: Vậy phương trình đường thẳng AB là 3 21 0x y



Bài số 3: Cho hình vuông ABCD có toạ độ điểm 3;3B . Các điểm E, F lần lượt thuộc cạnh AB, BC sao cho

EF AE CF . Dựng hình chữ nhật EBFG. Đường thẳng AC cắt EG tại M, DE cắt FG tại N. Dựng

MP AD P AD . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết 2; 1 , 3;0N P , phương trình đường thẳng

: 3 0AB y và đường thẳng AC đi qua điểm 1; 1I .


Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK=CF.

Gọi Q là giao điểm của AC và FN.

+) Xét KAD và FCD có:

090

AK CF

AD CD

KAD FCD

. .KAD FCD c g c DK DF

+) Xét DEK và DEF có:

EK EA AK EA FC EF

DK DF

DE chung

. .DEK DEF c c c

+) Kết hợp với EA song song với NF, suy ra FNE KED FED FEN

+) Kết hợp với EK=EF, suy ra EK=EF=NF (1)

Vì ABC vuông cân tại B và BA//FQ nên FQC vuông cân tại F.

Kết hợp với KAD FCD , suy ra KA FC FQ (2)

Từ (1) và (2), chú ý rằng AEMP là hình chữ nhật, ta suy ra:

PM AE EK KA NF FQ NQ

Kết hợp với PM// NQ, suy ra PMQN là hình bình hành.

Do đó NP//QM hay NP//AC.

Đường thẳng NP đi qua 2; 1 , 3;0N P có phương trình là: x+y+3=0

Đường thẳng AC song song với NP và đi qua I(1;-1) là: x+y=0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 3 0

3; 3 3; 3 3; 30

yA C D

x y

Kết luận: 3; 3 , 3; 3 , 3; 3A C D



Bài số 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có phương trình cạnh

: 3 5CD x y . Gọi M là trung điểm AB, H,K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A,B đến MD và MC. Đường

thẳng AH cắt BK tại 2

;23

N

. Tìm toạ độ các đỉnh của hình thang ABCD biết M thuộc : 4 1 0d x y và trung

điểm của MB là 5

0;2

E

.


Ta có: AMD vuông tại A, AH đường cao 2 .AM MH MD

BMC vuông tại B, BK đường cao 2 .BM MK MC

Mà AM=BM do đó . .MH MK

MH MD MK MCMC MD

Xét MKH và MDC , ta có:

: chungKMH

MH MK

MC MD

~MKH MDC

Do đó: MKH IDH

Tứ giác MKNH có 0 0 090 90 180MKH MHN Tứ giác MKNH nội tiếp MKH MNH

Ta có: MNH IDH MKH Tứ giác HNID nội tiếp 090MIC NHD MN CD

Đường thẳng MN đi qua 2

;23

N

vuông góc CD là :3 0MN x y .

Toạ độ M là nghiệm của hệ 4 1 0 1

1;33 0 3

x y xM

x y y

Vì E là trung điểm MB, ta có: 2 2.0 1 1

1;252 2. 3 2

2

B E M

B E M

x x x

By y y

Vì M là trung điểm AB, ta có: 2 2.1 1 3

3;42 2.3 2 4

A M B

A M B

x x xA

y y y

Đường thẳng AD đi qua 3;4A , có VTPT 4; 2 / / 2;1AB có phương trình: 2 10 0x y 7; 4D

Đường thẳng BC đi qua 1;2B , có VTPT 4; 2 / / 2;1AB có phương trình: 2 0x y 1; 2C

Kết luận: Vậy 3;4A , 1;2B , 1; 2C , 7; 4D



Bài số 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC vuông tại A có đường cao AH, I là trung điểm của AC và phương

trình : 1 0AC x y . Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA=2HD. Tìm toạ độ các đỉnh của ABC biết

phương trình đường tròn ngoại tiếp ABI là 2 2: 2 5C x y và đỉnh A có hoành độ dương.


Gọi N là trung điểm của AH

IN là đường trung bình ACH 2

IN AH

CH IN

Xét ABC có 2.

HB AHHB HC AH

AH HC

Vì 2

2

AH ND HD HB HD

HC NI ND NI

Suy ra ~BDH DIN BDH DIN

090BDI BDN NDI DIN NDI

Do đó BDIA nội tiếp

Toạ độ A,I là nghiệm của hệ

2 2

1

1 0 1;22: 0

0;102 5

1

A

x

x y Aydo x

Ixx y

y

Vì I là trung điểm AC nên 1

2 2.0 1 11;0

2 2.1 2 0

C I A

C A

x x xC

y y y

Đường thẳng AB đi qua 1;2A có VTPT 2; 2 / / 1;1AC có phương trình: 3 0x y

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ

2 2

1

3 0 24; 1

42 5

1

x

x y yB

xx y

y

Kết luận: Vậy 1;2A , 4; 1B , 1;0C



Bài số 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC; D là điểm

đối xứng của H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm D(-1;-1), đường thẳng IG có

phương trình 6x-3y-7=0 và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.


Gọi M là trung điểm của BD, N HM AB .

Ta có N là trung điểm của BI, và theo Tales ta có:

1

; 12 2

HN BH DI AD CIDI HN

CI BC HN AH

Do đó: 2

/ /3

CG CIIG DE

CE CD

Đường thẳng DE đi qua D(-1;-1) và có VTPT 6; 3 / / 2; 1n có phương trình:

Vì E thuộc DE và E có hoành độ bằng 1, Suy ra E(1;3)

Gọi K là trung điểm HE, ta có 2 tam giác vuông cân EAH và ACB đồng dạng có các đường trung tuyến tương ứng AK,

CE suy ra AK CE .

Mà AK//DE, nên DE CE .

Đường thẳng EC đi qua E(1;3) và có VTPT 2;4 / / 1;2DE có phương trình là 2 7 0x y

Toạ độ điểm G là nghiệm của hệ:

7

2 7 0 7 73;

6 3 7 0 7 3 3

3

xx y

Gx y

y

Và có 4 2

3 3 ; 4; 2 5;13 3

EC EG C

Và 2 2 4 1

6; 2 4; 1;3 3 3 3

CI CD I

Vì / /IG DE nên 2 3 3 10

0; 0; 2 1;13 5 5 3

AI AE EA EI A

Vì E là trung điểm AB nên 1;5B

Kết luận: Vậy 1;1A , 1;5B , 5;1C



Bài số 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A(1;2), C(4;6). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên BC,CD. Viết phương trình đường thẳng MN, biết rằng trực tâm H của tam giác AMN có hoành độ

dương nằm trên đường thẳng x + y +1 = 0 , và MN = 3 .


Ta có HM//NC vì cùng vuông góc với AN.

Và NH//MC (cùng vuông góc AM).

Do đó HMCN là hình bình hành.

Suy ra HN / /MC,HN = MC (1).

Gọi F là hình chiếu vuông góc của C lên AD.

Ta có AMCF là hình chữ nhật, do đó AF = CM (2).

Từ (1), (2) suy ra AFNH là hình bình hành.

Do đó / /FN AH FN MN

Tam giác vuông FNM có 2 2 2 2 2 16 4FN FM MN AC MN AH FN

Gọi H(a;-a-1), với a>0 ta có:

2 2 1

1 3 16 1; 23

aa a H

a l

Khi đó gọi K là tâm hình bình hành MHNC, thì K là trung điểm của HC.

Do đó

1 4 5

52 2 2;2

2 6 22

2 2

H CK

H CK

x xx

Ky y

y

Phương trình đường thẳng MN qua 5

;22

K

có VTPT 0; 8 / / 0;1AH có phương trình: 2 0y

Kết luận: Phương trình : 2 0MN y



Bài số 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có điểm 2 2: 2 4 20 0A C x y x y

điểm B(1,3) . AH là đường cao . Vẽ đường tròn ( C') : ( A, R), R AH . Từ B kẻ đường tiếp tuyến của (C’) tại tiếp điểm

M . Đoạn thẳng MH cắt (C’) tại N . Các điểm I,K theo thứ tự là trung điểm của AN và AC .Tìm tọa độ các điểm A,C biết

rằng đường thẳng IK có phương trình : x+3y+8=0 ; AN qua điểm E(1,7) và yA 0.


Ta thấy các góc ký hiệu là 1 bằng nhau : M1 = N1

Vì AMN là tam giác cân tại A ,

M1 = B1 do AMBH nội tiếp ,

B1 = C1 do tam giác ABC cân .

Do đó C1 = N1

=> Tứ giác ANHC nội tiếp

=> Góc CNA = Góc CHA = 090

=> IK vuông góc AN .

Viết phương trinh đường thẳng AN qua E(1,7) và vuông góc với IK : 3x-y+4=0

Tọa độ A là nghiệm của hệ : 2 2

2

5

143 4 0

52 4 20 0

3

5

x

x yy

x y x y

x

y

Ta chọn 23; 5 20A AB

Tham số hóa điểm K(a,b) => a+3b+8 =0 x+3y+8=0

Ta có : 2 22 22 4 20 4 3 5AB AC AK AB AK a b

Ta có hệ phương trình:

2 2

55; 1 7;3

120 4 3 5

13 8 0 1; 3 5; 13

aK C

ba b

ax y K Cb

Kết luận: Vậy A(-3;-5), C(-7;3) hoặc C(5;-1)



Bài số 9: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H3;0 và trung điểm của BC là

I6;1. Đường thẳng AH có phương trình x 2y 3 0. Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác

ABC. Biết đường thẳng DE có phương trình x 2 0 và điểm D có tung độ dương, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác

ABC.


Gọi K là trực tâm của tam giác ADE, ta có

, / /

, / /

EK AC HD AC EK HD

DK AB HE AB DK HE

Do đó EHKD là hình bình hành.

Mặt khác tứ giác EBCD nội tiếp đường tròn tâm I đường kính BC

Do có 090BEC CDB

Suy ra tam giác IDE cân tại I.

Gọi M là trung điểm DE ta có IM DE

Đường thẳng IM đi qua I6;1 và có VTPT 0;1n có phương trình y 1 0.

Suy ra M2;1.

Do EHKD là hình bình hành nên M cũng là trung điểm HK,

Suy ra K1; 2.

Mặt khác AK DE do K là trực tâm tam giác ADE.

Đường thẳng AK đi qua K1; 2 và có VTPT 0;1n nên có phương trình y 2 0.

Suy ra toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 2 3

1;22

x yA

y

Giả sử D2;d với d 0, ta có: . 0 3 ( 2) 0 3AD HD AD HD d d d do d 0.

Suy ra D2; 3.

Đường thẳng BC đi qua I6;1 và có VTPT 2; 1n nên có phương trình là 2x y 11 0.

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 3 7 0

8;52 11 0

x yC

x y

Vì I là trung điểm BC nên B4;1.

Kết luận: Vậy A1; 2 , B4;1 , C8; 5 là các điểm cần tìm.



Bài số 10: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có 045ACB . Gọi M là trung điểm của đoạn

thẳng BC, N là điểm đối xứng với M qua AC, đường thẳng BN có phương trình: 7x y 19 0. Biết A1;1 , tam giác

ABM cân tại A và điểm B có tung độ dương. Tìm toạ độ các điểm còn lại của tam giác ABC.


Gọi H là đường cao của tam giác ABM.

Vì tam giác ABM cân tại A nên BAM 2HAM.

Vì AM và AN đối xứng nhau qua AC nên MAC NAC.

0 02 2 2 90 90BAN BAM MAN HAM MAC HAC ACB

Do đó tam giác ABN vuông tại A.

Mà AB AM AN nên tam giác ABN vuông cân tại A.

Gọi I là trung điểm BN, suy ra AI vuông góc với BN.

Đường thẳng AI đi qua A1;1 và có VTPT 1;7n nên có phương trình: x 7y 8 0

Toạ độ I là nghiệm của hệ

5

7 19 0 5 32;

7 8 0 3 2 2

2

xx y

Ix y

y

Giả sử Bb; 7b 19 , 5 35

;72 2

IB b b

. Tam giác ABN vuông cân tại A nên:

2

225 35 25

7 5 6 032 2 2

bIB IA b b b b

b

Với b 2, ta có: B2; 5 loại. Với b 3, ta có: B3; 2.

Điểm này thoả mãn yêu cầu bài toán. Khi đó N2; 5

Vì M, N đối xứng nhau qua AC và góc 045ACB nên tam giác CMN vuông cân tại C. Suy ra BC 2CN.

Giả sử Cx; y , ta có:

2 2 2 2 5, 4 5; 43 2 4 2 5

3 16 3 16, ;2 3 2 5 0

5 5 5 5

x y Cx y x y

x y Cx x y y

Với 3 16

;5 5

C

, ta thấy A, C cùng phía với BN nên loại.

Kết luận: Vậy B3; 2 , C5; 4 là các điểm cần tìm.



Bài số 11: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C,

và điểm G là trên tia đối của tia DE thoả mãn DG = DF . Viết phương trình 4 đường thẳng AB, biết rằng đỉnh C nằm

trên đường thẳng có phương trình là 2x+y−8 = 0 , và B(- 4;-4), G(2;-6).


Gọi H là trực tâm tam giác ABC,

Tứ giác BDHF nội tiếp nên FDH=FBH=HCE ( cùng phụ góc BAC)

Mặt khác tứ giác DHEC nội tiếp nên EDH=HCE

Từ đó suy ra FDH=EDH AD là phân giác góc EDF

Ta có: BD AD BD là phân giác góc FDG

Lại có DG=DF nên F,G đối xứng với nhau qua BC

Do đó 090BGC BFC BG GC

Ta có: 6; 2 / / 3; 1 :3 12 0BG GC x y

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ 3 12 0 4

4;02 8 0 0

x y xC

x y y

Phương trình đường thẳng BC qua B,C là x-2y-4=0 .

Vì F là điểm đối xứng của G qua BC nên toạ độ trung điểm I của FG thoả mãn hệ 2 4 0

0; 22 2 0

x yI

x y

Vì I là trung điểm FG nên F(-2;2).

Phương trình đường thẳng AB qua B,F là 3x−y+8 =0

Kết luận: Vậy phương trình :3 8 0AB x y



Bài số 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 3

3;2

C

và trực tâm H, phương trình đường cao

AH là 2x−y+1=0, một đường thẳng d đi qua H và cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt tại P và Q (khác điểm A) thoả

mãn HP = 3HQ có phương trình là 5x−9y+22=0. Tìm toạ độ các đỉnh A và B.


Gọi M là điểm thuộc cạnh BC thoả mãn BM = 3MC

Qua C kẻ đường thẳng song song với d cắt AB tại N, AH tại K

Do CN//PQ, HP = 3HQ nên NK=3CK suy ra

1

/ /4

CM CKMK BN MK CH

CB CN

Lại có: MC HK , vì vậy M là trực tâm của tam giác HKC

Suy ra HM KC HM PQ

Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ 2 1 0 1

1;35 9 22 0 3

x y xH

x y y

Phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc AH là x+2y−6=0

Phương trình đường thẳng HM đi qua H và vuông góc PQ là 9x+5y−24=0

Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ

9

9 5 24 0 9 154;

152 6 0 4 8

8

xx y

Mx y

y

Vì 3BM MC suy ra B(0;3)

Phương trình đường thẳng AC đi qua C và vuông góc BH là x−3=0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 3 0 3

3;72 1 0 7

x xA

x y y

Kết luận: Vậy 3;7A , 0;3B



Bài số 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có 7

;32

D

là chân đường phân giác

trong góc A. Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng qua B và vuông góc trung tuyến AM có phương trình: 4x+7y-

20=0 , đường thẳng qua M và vuông góc với cạnh AC có phương trình: 2x+11y-50=0 . Viết phương trình cạnh BC,

biết B có tọa độ nguyên.


Gọi K là giao điểm của hai đường vuông góc. Do đó 13 16

;3 3

K

Gọi N là điểm đối xứng với K qua M suy ra BKCN là hình bình hành

Xét tam giác ANC có M là trực tâm suy ra CM vuông AN

Mà CM vuông AB suy ra ABN thẳng hàng suy ra BN vuông BC

Do đó CK vuông BC.

Gọi 3 11 ;4 2 , 2 7 ;4 4N MK N a a B BK B b b

Suy ra 2 11 14

;3 2 3

M a a

25 11 5 11

; , 7 ; 1 4 , 5 11 7 ;2 46 2 3 2

MD a a BD b b BN a b a b

Do M, D, B thẳng hàng nên ,MD BD cùng phương phương

Suy ra ta có 25 33 5 3 1

3 111 14 1 4

a aa

b b b

(1)

Và BD vuông góc BN nên 11

. 0 5 11 7 7 2 4 1 4 02

BD BN a b b a b b

(2)

Thay (1) vào (2) ta được: 3 2

1

178 127 24 25 0 ,

3

25

6

b

b b b b

b

+) Với 2

1 5;0 , (3;4) : 2 5 03

b a B M BC x y

+) Với 1 13 16

;3 3 3

b B

loại

+) Với 25 123 2

;6 26 13

b B

loại

Kết luận: Vậy phương trình đường thẳng BC là 2 5 0x y



Bài số 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AD, N là điểm trên cạnh

CD sao cho CN=3ND. Đường tròn tâm N đi qua M cắt AC tại P(3;1) , đường thẳng qua MN có phương trình x+y+1=0 .

Xác định tọa độ đỉnh B biết rằng ABCDS 60 (dvdt).


Gọi I là giao điểm hai đường chéo và P là trung điểm IC, ta có NI=NM

I thuộc đường tròn tâm N bán kính MN

Và MDN NHP MN NP

Suy ra P thuộc đường tròn tâm N bán kính MN.

Suy ra (N) cắt AC tại I và P.

TH1: Nếu 2 2

3 1 1 53;1 ;

21 1I d I MN

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a, ta có:

2

22 2 2 2

1 1 1 4 1 2 5 5 125, ' 60

2 ' 5 2 25

2

ABCD

aIM IM a a S a

IM IM a a

P I

TH 2 : P là trung điểm IC 5

;2

d P MN

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a, ta tính được:

5 10 5' , ' ,

2 4 4

a a aBM MM MP M P NP

Suy ra tam giác M’MB, M’NP vuông cân suy ra P là trung điểm BM’ và 5

2NP

Ta có: 25 5

2 10 40 604 2

ABCD

aNP a S a

Và ' 2. ' 5PM NP PM

Gọi 2 2

' ' ; 1 ' 3 2M MN M t t PM t t 2 2 3

3 2 52

tt t

t

+) Với 3 ' 3; 4 3;6t M B

+) Với 2 ' 2;1 8;1t M B

Kết luận: Vậy 3;6B hoặc 8;1B



Bài số 15: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I . Đỉnh B thuộc đường thẳng

:5 3 10 0d x y . Gọi M là điểm đối xứng với D qua C. Điểm H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D và C

lên AM. Xác định toạ độ điểm B biết 1;1K và đường thẳng HI có phương trình là3 1 0x y .


Ta có:

+) BKD vuông tại B đường kính BD

+) BCD và BAD lần lượt vuông tại C và A đường kính BD

Do đó: 5 điểm A, B, K, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính BD và AC (do ABCD là hình vuông)

Do đó 090BAD BK DK (1)

Ta có: 045HBD AKD (góc nội tiếp chắn cùng chắn cung AD)

HDK vuông cân tại H (vì 090DHK ). Suy ra: HK HD

Ta lại có: BKD vuông tại B đường kính BD IK ID

Do đó HI là đường trung trực của DK, do đó HI DK (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra / /HI BK .

Đường thẳng BK đi qua 1;1K và song song với :3 1 0HI x y có phương trình: 3 4 0x y

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

1

3 4 0 1 52;

5 3 10 0 5 2 2

2

xx y

Bx y

y

Kết luận: Vậy điểm 1 5

;2 2

B



Bài số 16: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có D là chân đường phân giác trong ABC, E là trung điểm

BD. Đường thẳng CE cắt đường phân giác ngoài của góc ABC tại F. Biết rằng B(5;1), F(4;3) và điểm A thuộc đường

thẳng x+2y-18=0. Viết phương trình đường thẳng BC.


Gọi A' là điễm đối xứng với A qua BD

M là giao điễm của AA' với BD

'A BC và M là trung điểm AA’

Qua D kẻ DI//BF I CF , do E là trung điểm của BD

Suy ra BFDI là hình bình hành.

Suy ra E là trung điểm FI

Gọi N là giao điểm của BD và AI

Do M là trung điểm AA’ và MN//A’I

Nên N là trung điểm AI

Xét tam giác FAI có EN là đường trung bình nên EN//FA, mà EN BF FA BF

Đường thẳng BF qua B5;1 và F 4;3 nên BF :2x+y-11=0

Đường thẳng BD qua B5;1 và vuông góc với đường thẳng BF nên phương trình BD: x-2y-3=0

Đường thẳng BF qua F 4;3 và vuông góc với đường thẳng BF nên phương trình AF: x-2y+2=0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 2

2 18 0 88;

2 05

5x y

x y xA

y

Đường thẳng AA' qua A8;5 và vuông góc với đường thẳng BD có phương trình 2x+y-21=0

Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ 2 21 0 9

9;32 3 0 3

x y xM

x y y

Và M là trung điểm của AA’ nên suy ra ' 10;1A

Đường thẳng BC qua B5;1 và A’(10;1) nên phương trình đường thẳng BC: y-1=0

Kết luận: Vậy BC: y-1=0



Bài số 17: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn, AC > AB . Đường phân giác của góc BAC cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm E(-4;-4) (E khác A). Gọi D(1;1) là điểm trên cạnh AC sao cho ED = EC , tia BD

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai F(4;0). Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C.


Vì E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên EB = EC

Mặt khác theo giả thiết có, ED = EC, suy ra EB = ED (1)

Tam giác ECD cân có: ECD=EDC

0 0180 180ECD EDC ADE ECD ACE

Lại có tứ giác ABEC nội tiếp nên

0 0180 180ACE ABE ABE ACE

Suy ra: ADE ABE (2)

Từ (1),(2) suy ra AE là trung trực của AD, AE BD (3)

Xét tam giác DCF có: DCF=ABF (cùng chắn cung AF)

Và CDF=ADB(đối đỉnh), và ADB=ABF (tam giác ABD cân tại A)

Từ đó suy ra: DCF=CDF tam giác CDF cân tại F

Do đó FD=FC mà ED=EC, suy ra EF là trung trực của CD, suy ra EF AD (4)

Từ (3), (4) suy ra D là trực tâm tam giác AEF

Phương trình đường thẳng AC qua D vuông góc EF là 2x+y−3=0

Phương trình đường thẳng AE qua E vuông góc DF là 3x−y+8=0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 2 3 0 1

1;53 8 0 5

x y xA

x y y

Gọi H là giao điểm của EF và AD, thì H là trung điểm của CD

Toa độ điểm H là nghiệm của hệ 2 3 0

2; 1 3; 32 4 0

x yH C

x y

Phương trình đường thẳng BF qua D,F là x+3y−4=0

Gọi G là giao điểm của BF và AE thì G là trung điểm của BD

Toạ độ G là nghiệm của hệ 3 4 0 2

2;2 5;33 8 0 2

x y xG B

x y y

Kết luận: Vậy 1;5A , 5;3B , 3; 3C



Bài số 18: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(- 2;1), gọi H(-1;-1) là chân

đường cao hạ từ đỉnh A, và M là trung điểm cạnh BC, N là điểm đối xứng của M qua I. Đường thẳng qua A vuông góc

với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D, đường thẳng CD cắt AH tại điểm E(0;2). Tìm toạ độ các đỉnh

tam giác ABC biết B có hoành độ dương.


Kẻ đường kính AA’, khi đó tứ giác ANA’M là hình bình hành

Do đó AN//A’M, suy ra 'A M AD nên BAD=BA’M (1)

Xét hai tam giác ABD và A’BM có:

BAD=BA’M và DAB=MBA’ (cùng phụ với ABC)

Từ (1),(2) suy ra ΔABD đồng dạng với ΔA'BM

Suy ra, BA.BM = BD.BA'⇒ BA.BC=2BD.BA'

Gọi J là điểm đối xứng của B qua D

Ta có: BA.BC = BJ.BA'⇒ΔBAJ đồng dạng với ΔA'BC

Do đó BAJ = BA'C

Mặt khác, 0' 180BA C BAC . Suy ra:

0180BAJ BAC ⇒ A, J,C thẳng hàng

Xét tam giác BJC có BD//AH và D là trung điểm của BJ nên E là trung điểm của AH (đpcm)

Vì E là trung điểm của AH nên A(1;5)

Phương trình đường thẳng BC qua H vuông góc với AH là x+3y+4=0

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2 2

2 1 25x y

Toạ độ điểm B,C là nghiệm của hệ

2 2

2

2; 222 1 25

7;173 4 0

1

x

Byx y

Cxx y

y

Kết luận: Vậy A(1;5), B(2;-2) và C(-7;1)



Bài số 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD . Gọi M là điểm trên cạnh AB, N là điểm

trên tia đối của tia AD thoả mãn AD = AM,AN = BM . Giả sử H(2;-2) là hình chiếu vuông góc của A lên A lên DM,

E(2;3) là trung điểm của BN. Viết phương trình đường thẳng AD biết đỉnh B có hoành độ dương và điểm F(5;7)

thuộc đường thẳng BC.


Theo giả thiết, AM = AD ⇒ ΔADM vuông cân tại A, nên 1

2AH HM DM

Xét tam giác AHN và MHB có

0

1

2

90

AN MB gt

AH HM DM

HAN HMB HAM

Suy ra HAN HMB

Suy ra HN = HB, HNA=HBM=HBA

Do đó AHBN nội tiếp, suy ra 090BHN BAN BH HN , tức tam giác HNB vuông cân tại B, do đó HE BN

Ta có: 0;5HE , phương trình đường thẳng BN qua E vuông góc HE là y-3=0

Suy ra B(b;3) với b>0, ta có: EB=HE=5

2 7 /2 25 7;3

3

b t mb B

b l

Do E là trung điểm BN nên N(-3;3), ta có 2; 4 / / 1; 2BF

Đường thẳng AD qua N nhận (2;1) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là 2x+y+3=0

Kết luận: Vậy AD: 2x+y+3=0



Bài số 20: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), có góc 060BAC ,

phương trình đường phân giác trong góc A là x + y −1 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh A và viết phương trình đường thẳng BC.


Gọi D là giao điểm thứ hai của phân giác trong góc A

với đường tròn (ABC)

Ta có D là điểm chính giữa cung BC và

0 0120 , 2 120BDC BIC BAC BDC BIC

Do đó BDCI là hình thoi

nên ID cắt BC tại trung điểm M của BC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên phân giác AD, thì H là trung điểm AD

Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: 1 0 0

0;11 0 1

x y xH

x y y

Gọi G là trọng tâm tam ABC, ta có G cũng là trọng tâm tam giác AID

Do đó 1 1 1 1 2

; ;3 3 3 3 3

GH IH G

Gọi A(a;1-a), ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1

; ;2 2 3 3 2 2 2 2

GM AG a a M a a

Vì M là trung điểm ID nên D(-a;a-1)

Ta có: 2 2 2 2

1 1 1 3 2IA ID a a a a a

3 3

2; 1 , ; , 2;12 2

A M D

Suy ra 3; 1ID

Đường thẳng BC qua M vuông góc ID có phương trình là 3x+y+3=0

Kết luận: Vậy BC: 3x+y+3=0

0



Bài số 21: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có hình chiếu vuông góc từ đỉnh A lên cạnh

BC là H. Gọi 1 5

; ; 1;13 3

I J

và 4 4

;3 3

K

lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC; ABH và ACH. Xác

đỉnh toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.


Gọi E AJ CI và F BI AK

Xét ABH vuông tại H 090ABH BAH

0 01 190 45

2 2BAH ABH JAB JBA (1)

Ta có: 090BAH CAH

0 0 01 145 45 45

2 2BAH CAH JAH FAH FAJ (2)

Từ (1) và (2), suy ra 090JBA JAB FAJ

0 090 90FBA FAB BFA AF BF

Chứng minh 1 cách tương tự CE AE

Đường thẳng AE đi qua J và vuông góc IK có phương trình 3x-y+4=0

Đường thẳng AF đi qua K và vuông góc IJ có phương trình 2x+y-4=0


0;42 4 0 4

x y xA

x y y

Gọi M AE BC E là trung điểm của AM

Đường thẳng CE đi qua I và K có phương trình 3x+9y-16=0

Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ

23 9 16 0 2

;233 4 0 3

2

x y xE

x yy

Vì E trung điểm AM nên 4

;03

M

Gọi N AF BC F là trung điểm của AN

Đường thẳng BF đi qua I và J có phương trình x-2y+3=0

Toạ độ điểm F là nghiệm của hệ 2 3 0 1

1;22 4 0 2

x y xF

x y y

Vì F là trung điểm của AN nên N(2;0)

Đường thẳng BC đi qua 2 điểm M và N là y=0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 0 3

3;02 3 0 0

y xB

x y y

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ

160 16

;033 9 16 0 3

0

y xC

x yy

Kết luận: Vậy 0;4A , 3;0B , 16

;03

C



Bài số 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có 3;3M và N thuộc BC sao cho BM CN.

Điểm 3; 3E trên AB, điểm F trên AC sao cho EN//AC, FM//AB và EN cắt FM tại 3; 1I . Biết BI là phân

giác góc B, xác định tọa độ các đỉnh A, B, C.


Ta tính được IE=IM=4, 0120EIM

Vẽ IH song song BC ta được BMIH là hình bình hành,

do BI là phân giác góc B nên BMIH là hình thoi

IH IM IE IEH cân tại I

Suy ABC cân tại C.

Mà AEIF là hình bình hành nên 0 0180 60EAF EIF EIM

suy ra ABC là tam giác đều.

Ta cm được EFNM là hình chữ nhật

Suy ra được : I là trung điểm EN 3 3;1N

Ta lại có: I là trung điểm MF 3; 5 3; 7F A

Vì M là trung điểm BN 3;5B

N là trung điểm MC 5 3; 1C

Kết luận: Vậy 3; 7A , 3;5B , 5 3; 1C



Bài số 23: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, điểm M thuộc cung nhỏ BC

và không trùng với B, C. Gọi H(1;4) và 2 11

;5 5

K

lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Phương trình đường

thẳng BC: x+y-1=0 và khoảng cách M đến BC bằng 2 2 . Tìm toạ độ điểm A, biết hoành độ điểm M dương.


Gọi E là hình chiếu của M trên BC. Khi đó ME= 2 2

+) Tứ giác HMEB nội tiếp nên HEM=HBM (cùng chắn cung HM)

+) Tứ giác ABMC nội tiếp nên HBM=MCA (cùng bù góc ABM)

Suy ra HEM=MCA (1)

Tứ giác EMCK nội tiếp nên 0180MEK HCK (2)

Từ (1) và (2), suy ra 0180MEK HEM hay H, E, K thẳng hàng

Đường thẳng HK đi qua hai điểm H và K nên có phương trình: 3x-y+1=0

Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ 1 0 0

0;13 1 0 0

x y xE

x y y

Đường thẳng ME đi qua E và vuông góc với BC nên có phương trình x-y+1=0

Điểm M ME nên M(a;a+1) với a>0

Ta có:

22

2 2 2 2 2 2;32

mME m M

m l

Đường thẳng AB đi qua H(1;4) và có VTPT 1; 1HM nên có phương trình: x-y+3=0

Đường thẳng AC đi qua 2 11

;5 5

K

và có VTPT 8 4

;5 5

KM

nên có phương trình 2x+y-3=0


2

00 3

3 0;

3

x y

x y

xA

y

Kết luận: Vậy 0;3A



Bài số 24: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là I(0;-1), tâm đường tròn

bàng tiếp góc A là J(5;4) và điểm 11 2

;25 25

H

là hình chiếu của điểm A trên cạnh BC. Tìm toạ độ các đỉnh của tam

giác, biết điểm B có hoành độ dương.


Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC tại E và cắt HJ tại F

Theo tính chất đường phân giác, ta có: ID BD JD

IA BA JA

Suy ra ID JD

IA ID JA JD

hay

ID JD

AD JA JD

Suy ra ID JD ID

DA JA JD DA

hay

2

ID IJ

DA JA (*)

Mà ,ID IE JI IF

DA AH JA AH nên từ (*) ta suy ra

2

IE IF

AH AH hay 2IF IE

Điều này chứng tỏ E là trung điểm IF nên HE là đường phân giác góc IHJ

Ta có: 090IBJ ICJ nên tứ giác IBJC nội tiếp đường tròn đường kính IJ

Đường tròn đường kính IJ có phương trình 2 2

5 3 25:

2 2 2C x y

Đường phân giác HE đi qua điểm H và có VTCP HI HJ

uHI HJ

có phương trình: 3x+4y-1=0

Toạ độ điểm B, C là nghiệm của hệ

2 23

5 3 252

2 2 21

3 4 1 01

x

yx y

xx y

y

Do điểm B có hoành độ dương nên 3; 2 , 1;1B C

Đường thẳng AH đi qua H và vuông góc với BC có phương trình 4x-3y-2=0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 4 3 2 0 1

1; 21 0 2

x y xA

x y y

Kết luận: Vậy 1; 2A , 3; 2 , 1;1B C



Bài số 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn 2 2: 1C x y . Gọi A là điểm thuộc đường thẳng y-3=0

và B, C lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A đến (C). Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (C) tại D,

AD cắt (C) tại E. Tìm toạ độ điểm A, biết BE cắt AC tại điểm I(1;2).


IC là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên 2 .IC IE IB (1)

Theo tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, ta có:

EBA BDAEBA EAI

BDA EAI so le

Do đó tam giác IBA đồng dạng với tam giác IAE (g.g)

+) Suy ra: 2 .

IA IBIA IE IB

IE IA (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IA=IC, hay I là trung điểm AC.

+) Gọi A(a;3) thuộc đường thẳng y-3=0, do I là trung điểm AC nên C(2-a;1)

Mặt khác 22 1 2 1 1 2 2;3OC a a A


Cách 2:

Kẻ tiếp tuyến với (C) tại D, cắt AC tại M. Hình thang ABDM có DBA=BDM nên hình thang cân.

Suy ra BAI=M và C là trung điểm AM

Gọi K là trung điểm của AD, ta có CK là đường trung bình của tam giác ADM nên

2 2 2

MD AB ACCK

Tam giác ABI và CAK có AB=AC, ABI=CAK, BAI=ACK nên bằng nhau

Do đó AI=CK, vì vậy 2

ACAI suy ra I là trung điểm của AC



Bài số 26: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho

BM=CN. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và MN. Đường thẳng DE cắt các đường thẳng AB, AC tại P, Q. Phương

trình đường thẳng BC là x-10+25=0 và 1 1

0; , 0;2 2

P Q

. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết A nằm trên đường

thẳng 2x-y+2=0.


Ta có: tam giác APQ cân tại A

Gọi F là trung điểm của CM

Khi đó EF, DF là đường trung bình của tam giác MNC và BCM

Suy ra ,2 2

CN BMEF DF .

Mà BM=CN EF DF DEF cân tại F

Mặt khác DF//PA, EF//QA

Suy ra tam giác DEF đồng dạng với tam giác PQA hay tam giác PQA cân tại A.

Gọi A(a;2a+2), ta có phương trình: 2 2

2 23 52 2 1 1;0

2 2a a a a a A

Đường thẳng AB đi qua A và P nên có phương trình x-2y+1=0

Đường thẳng AC đi qua A và Q nên có phương trình x+2y+1=0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 10 25 0 5

5;32 1 0 3

x y xB

x y y

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 10 25 0 5

5;22 1 0 2

x y xC

x y y




Bài số 27: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm 7

;22

H

là điểm thuộc đường thẳng AD.

Phân giác trong góc BAD cắt cạnh CD tại I, cắt đường thẳng BC tại E. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp ICE. Giả sử

đường tròn ngoại tiếp tam giác DKC có phương trình 2

29 253

2 4x y

, đường thẳng AI có phương trình x-

y-3=0, đỉnh B thuộc đường thẳng d: x+3y-9=0. Tìm toạ độ điểm D biết B, D có toạ độ nguyên.


Theo giả thiết, ta có tam giác ADI cân tại D nên DA=AI;

Tam giác ICE cân tại C nên CI=CE

Suy ra DC=DI+CI=DA+CE=BC+CE=BE (1)

Cũng từ ICE cân tại C nên DCK=ICK=KCE=KEC=BEK (2)

Hơn nữa lại có (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra DCK BEK nên CDK=EBK=CBK

Chứng tỏ 2 điểm D và B cùng nhìn đoạn CK dưới góc bằng nhau

Suy ra BCKD nội tiếp. Do đó B thuộc đường tròn (C)

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 2

2

3 9 0

69 253 6;1

12 4

,

x y

xx y B

y

x y

Gọi H’(x;y) là điểm đối xứng của H qua phân giác AI

Toạ độ điểm H’ là nghiệm của hệ

72 52 3 0 1

2 2 ' 5;12

7 21. 1. 2 02

xy x

Hy

x y

Đường thẳng AB đi qua 2 điểm H’ và B nên có phương trình x-2y-4=0


2; 12 4 0 1

x y xA

x y y

Đường thẳng AD đi qua 2 điểm A và H nên có phương trình 2x-y-5=0

Toạ độ điểm D là nghiệm của hệ 2

2

2 5 0

39 253 3;1

12 4

,

x y

xx y D

y

x y

Kết luận: Vậy 6;1B , 3;1D



Bài số 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, gọi P là điểm trên cạnh BC. Đường thẳng qua P

song song với AC cắt AB tại điểm D, đường thẳng qua P song song với AB cắt AC tại điểm E. Gọi Q là điểm đối xứng

của P qua DE. Tìm toạ độ đỉnh A, biết rằng B(-2;1), C(2;-1) và Q(-2;-1).


Ta chứng minh Q thuộc đường tròn (ABC)

Vì AD//PE, AE//PD nên ADPE là hình bình hành do đó

PD = AE,AD = PE

Gọi I,H lần lượt là giao điểm của DE với AP, CQ.

Vì P,Q đối xứng nhau qua DE nên ,PD AE AD PE

Do đó AE = DP = DQ,EQ = EP = AD .

Suy ra ADEQ là hình thang cân, vì vậy 0180DAQ DEQ

Tam giác ABC cân tại A nên tam giác EPC cân tại E, suy ra EP=EC

Lại có Q đối xứng với P qua DE nên EQ = EP EQ = EP = EC

Từ đó suy ra EQC ECQ

EPH ECH EPCHEPH EQH

nội tiếp

Do đó 0 0 0180 180 180BCQ PEH QEH DEQ BAQ

Tức là 0180BCQ BAQ ABCQ nội tiếp, tức Q thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua B,C,Q là 2 2 5x y

Phương trình đường thẳng BC là x+2y=0

Phương trình trung trực của BC là 2x−y=0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ2 2

1

25

2 0 1

2

x

yx y

x y x

y

Đối chiếu A,Q cùng phía với đường thẳng BC ta nhận điểm A(-1;-2).

Kết luận: Vậy A(-1;-2).



Bài số 29: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC không tù có D là chân đường phân giác trong của góc A.

Gọi 1 2

1 5 14 10; , ;

3 3 3 3O O

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD,ACD. Biết rằng phương trình

đường trung trực của đoạn BC là x − 3 = 0 , đỉnh A nằm trên Oy. Tìm toạ độ điểm A, và viết phương trình đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC.


Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của AB,AD,AC.

Gọi O là tâm ngoại tiếp ABC.

Ta có các tứ giác 1 2, ,AMO N AO EN AMOE nội tiếp.

Suy ra:

1 1

1 2

2 2

MAO MNO

MNO O NE

O NE O AE

.

Do đó 2 1 2MAO O AE MAE O AO

Mặt khác: 0 0

1 2 1 2 1 2180 180MAE OOO O AO OOO

Suy ra 1AO OO nội tiếp

Ta có: 1 2 2 1 2

1 1,

2 2ABD AO D AOO ADB AO B AO M AO O

Suy ra tam giác ABD đồng dạng với tam giác 2AOO . Nên 22 .

OO AO BDOO AO

BD AB AB

Mặt khác theo tính chất đường phân giác, Ta có: 2

. .BD AB AB BC BC AOBD OO

CD AC AC AB AC AB

Tương tự, ta có: 2 1 2

.BC AOOO OO OO

AC AB

Toạ độ điểm O là nghiệm của hệ 2 2 2 2

3 03

3;01 5 14 100

3 3 3 3

xx

Oyx y x y

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 2OO O là 2 2 2 22 2 0, 0x y ax by c a b c

Ta có hệ

13

9 6 0 6

26 2 10 50

9 3 3 2

4296 28 200

9 3 3

aa c

a bc b

ca ac

. Suy ra 2 2

1 2

13: 5 4 0

3AO O x y x y


0, 15 4 00;1 ; 0;43

0, 40

x yx y x yA A

x yx

Kết luận: Vậy 0;1 ; 0;4A A



Bài số 30: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O(0;0). Đường tròn qua B tiếp

xúc với AC tại A cắt đường tròn qua C tiếp xúc với AB tại A cắt nhau tại điểm 5 2

;29 29

D

, (D khác A). Biết rằng

phương trình đường thẳng AB là x − y −1 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C


AC là tiếp tuyến của (1O ) nên ABD = CAD

Và AB là tiếp tuyến của ( 2O ) nên ACD =BAD

Suy ra tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACD.

Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC ta có DMA = DNC

Suy ra 0180DMA DNA AMDN nội tiếp (1)

Mặt khác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO (2)

Từ (1),(2) suy ra D thuộc đường tròn đường kính AO, suy ra 090ADO AD DO

Ta có: 5 2

; / / 5; 229 29

OD

Suy ra phương trình đường thẳng AD :5x − 2y +1 = 0


1; 25 2 1 0 2

x y xA

x y y

Gọi M là trung điểm của AB, thì M là hình chiếu của O lên AB, dễ có 1 1

;2 2

M

Suy ra B(2;1)

Phương trình đường tròn tâm 1O qua A,B,D có phương trình là 2 2

2 2 9x y

Tức là 1 2; 2O

Phương trình phương trình đường thẳng AC qua A vuông góc với 1O A là x +1 = 0

Gọi N là trung điểm AC thì N là hình chiếu của O lên AC, dễ có N(-1;0). Do đó C(-1;2)

Kết luận: Vậy A(-1;-2), B(2;1), C(-1;2)



Bài số 31: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm I có trọng tâm

2 4;

3 3G

. Gọi 8 4

1;1 , ;5 5

E F

lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên AI. Tìm toạ độ điểm A.


Gọi M là trung điểm BC

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A, K là trung điểm EC

Và D là điểm đối xứng của A qua I

Ta có MK//BE, mặt khác BE AD

Suy ra MK AD (1)

Tam giác MEF vuông tại F có KE = KF (2)

Từ (1),(2) suy ra: MK là đường trung trực của EF

Do đó ME = MF

Phương trình đường thẳng AI qua E,F là 3x+y−4=0

Gọi A(a;4-3a)

Vì3 3 2 4 3 9

; 4 3 1 ; 42 2 3 3 2 2

a aAM AG a a

Suy ra 3

1 ;2 2

a aM

Do ME=MF

Ta có phương trình:

2 22 3 3 3 41

4 2 5 2 2 5

a a a a

0a

Suy ra M (1;0); A(0;4)

Kết luận: Vậy A(0;4)

Bình luận: Ta có tính chất khác sau:

+ Tứ giác AEHB nội tiếp, nên EHM = BAE = BCD ⇒ HE//CD . Mặt khác CD ⊥ AC ⇒ HE ⊥ AC .

+ ME = MF = MH .



Bài số 32: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm 8

;03

G

và có đường tròn ngoại tiếp là (C)

tâm I. Biết rằng các điểm M(0;1) và N(4;1) lần lượt là các điểm đối xứng của I qua các đường thẳng AB và AC, đường

thẳng BC đi qua điểm K(2;-1). Viết phương trình đường tròn (C)


Ta có AM = AI, AN = AI

⇒ AM = AN = AI .

Gọi E,F là trung điểm của AB và AC

Ta có: EF là đường trung bình của tam giác IMN và ABC

Do đó MN//EF//BC

Phương trình đường thẳng BC qua K song song MN là: y+1=0

Gọi H là trung điểm BC, ta có H(a;-1)

Vì 8 16 6

2 2 ;1 ;23 3

aGA HG a

Suy ra 8 2 ;2A a

Lại có AM = AN 2 2

1 8 2 4 2 1 3a a a

Do đó H(3;-1), A(2;2)

Đường thẳng IH qua H vuông góc BC là x − 3 = 0 .

Gọi I(3;t), ta có AI = AM = 2 4

5 1 2 50

tt

t

Suy ra I(3;0) hoặc I(3;4), đối chiếu A,I khác phía với MN suy ra I(3;0)

Đường tròn (C) có tâm I(3;0) và bán kính AI = 5 có phương trình

2 23 5x y

Kết luận: Vậy (C): 2 23 5x y



Bài số 33: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh B,C nằm trên Ox, D là trung điểm

cạnh BC, điểm E thuộc đoạn DC. Gọi 1

12;

2O

và 2O (7;8) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE

và ACE. Tìm toạ độ điểm E và D, biết rằng hoành độ điểm E lớn hơn hoành độ điểm D


1O AE cân tại

1O nên 0 01

1 90 902

AO EO AE ABC (1)

Tương tự ta có: 0

2 90O AE ACB

Từ (1) và (2) suy ra: 0 0

1 2 180 90O AO ABC ACB

Vì 1 2O O là trung trực của AE nên A, E đối xứng qua 1 2O O

Suy ra 0

1 2 90O EO

Ta có: 1 2/ / , / /O D AC O D AB . Suy ra 0

1 90O DO

Toạ độ điểm D, E là nghiệm của hệ 2

22 2

0

3, 0155

6, 09 17 2

2 4 4

y

x y

x yx y

Vì E Dx x D(3;0), E(6;0) .

Phương trình đường thẳng 1 2O O là 3x−2y−5= 0

Giao điểm H của AE và 1 2O O là trung điểm AE

Toạ độ H là nghiệm của hệ 3 2 5 0 3

3;22 3 12 0 2

x y xH

x y y

Vì H là trung điểm của AE nên A(0;4)

Ta có: 1

11; / / 2; 1

2O D

,

Đường thẳng AB qua A vuông góc 1O D có phương trình là 2x−y+4=0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 0 2

2;02 4 0 0

y xB

x y y

Vì D là trung điểm BC nên C(8;0)

Kết luận: Vậy A(0;4), B(-2;0), C(8;0).



Bài số 34: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn BC,

G là trọng tâm tam giác ABM, D(7;-2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD . Viết phương trình đường thẳng

AB của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phương trình đường thẳng AG là 3x−y-13=0


Tam giác AMB vuông cân tại M nên GA=GB.

Theo giả thiết GA=GD nên GA=GB=GD.

Vì vậy G là tâm ngoại tiếp tam giác ABD.

Kẻ MG cắt AB tại E thì E là trung điểm AB

Và có 1

2ADB BGA EGA

Suy ra tứ giác AGMD nội tiếp.

Vì vậy 090AGD AMD (cùng chắn cung AD)

Vậy G là hình chiếu của D trên AG. Dễ tìm được G(4;-1).

Gọi A(a;3a-13) với a<4 thuộc AG

Tam giác AGD vuông cân nên GA = GD 2 2 5( )

4 3 12 103( / )

a la a

a t m

Do đó A(3;-4). Suy ra toạ độ trung điểm N của BM thoả mãn 1 1 3 9 1

; ;2 2 2 2 2

GN AG N

Đường thẳng BD đi qua D và N nên có pt là x + y−5 = 0 .

Điểm M là hình chiếu của A trên BD nên M(6;-1).

N là trung điểm của BM nên B(3;2)

Đường thẳng AB đi qua điểm A,B nên có phương trình x-3=0.

Kết luận: Vậy BC: x-3=0

Chú ý:

+) Có thể chứng minh góc 02 90AGD ABD hoặc có thể dùng véc tơ hoặc xây dựng hệ toạ đô mới

+) Không cần tìm G có thể suy ra được A bằng cách sử dụng 2. ;AD d D AG

+) Viết phương trình đường thẳng AB có thể dựa vào góc 3

cos10

BAG



Bài số 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 8

;03

G

và có đường tròn ngoại

tiếp là (C) tâm I. Biết rằng các điểm M (0; 1) và N(4; 1) lần lượt là điểm đối xứng của I qua các đường thẳng AB và

AC, đường thẳng BC đi qua điểm K(2; -1). Viết phương trình đường tròn (C)


Gọi H, E là trung điểm MN, BC H (2; 1)

Từ giả thiết suy ra IAMB ,IANC , là các hình thoi.

Mà IA=IB=IC=R

Suy ra AMN, IBC là các tam giác cân bằng nhau

Suy ra ,AH MN IE BC mà MN//BC

Suy ra AH//IE mà ta có: IA//MB//HE

Do đó AHEI là hình bình hành

Suy ra G cũng là trọng tâm HEI

HG cắt IE tại F là trung điểm IE

Vì BC // MN và K(2; -1) BC. Suy ra BC: y+1=0

Ta có: 8

2;1 , ;03

H G

và 3

2HF HG

13;

2F

Từ FE BC phương trình EF: x-3=0


3; 11 0 1

x xE

y y

Vì F là trung điểm IE nên I(3;0), 5R IA HE

Suy ra 2 2: 3 5C x y

Kết luận: Vậy 2 2: 3 5C x y



Bài số 36: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Điểm M2;-

1 là trung điểm cạnh BC và điểm 31 1

;13 13

E

là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AI. Xác định tọa độ

các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng AC có phương trình 3x+2y-13=0


Gọi D là hình chiếu vuông góc của A trên BC

Và N là trung điểm của cạnh AB.

Khi đó: do tứ giác BDEA nội tiếp đường tròn đường kính AB

Và ngũ giác BNIEM nội tiếp đường tròn đường kính BI nên:

ENM=EBM=EBM=1

2END

Hay NM là phân giác của góc END

Lại vì NE=ND suy ra NM là trung trực của đoạn thẳng DE

Đường thẳng MN đi qua M và song song với AC nên có phương trình 3x+2y-4=0

Đường thẳng DE qua E vuông góc với MN nên có phương trình 2x-3y-5=0

Từ MN là trung trực của DE ta tìm được D1;-1

Do đó phương trình đường thẳng BC là y 1

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ

Vì M trung điểm BC suy ra suy ra B1;-1

Đường thẳng AD đi qua D vuông góc với BC nên có phương trình là x 1

Vậy tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 1 1

1;53 2 13 5

x xA

x y y

Kết luận: Vậy 1;5A , 1; 1B , 5; 1C



Bài số 37: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn, đỉnh A(−2;−1). Gọi

H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD,CD. Phương trình đường tròn ngoại tiếp

tam giác HKE là (C): 2 2 4 3 0x y x y Tìm toạ độ các đỉnh B,C, D biết H có hoành độ âm, C có hoành độ dương

và nằm trên đường thẳng x− y− 3 = 0.


+) Ta có: 090AHC AEC nên bốn điểm A, H, C, E

cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Ta có: 02 2 180HIE HAE BCD

Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên EKD=EAD và BKH=BAH

Do đó 0 0180 180HKE EKD BKH EAD BAH

02 2 180HAE BCD HIE

Vì vậy tứ giác HKIE nội tiếp. Do đó I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HKE.

+) Gọi 2 4

; 3 , 0 ;2 2

c cC c c d c I

, do I thuộc (C) nên có phương trình:

2

22 0

1

cc c

c l

. Suy ra C(2;-1) và I(0;-1)

Điểm E,H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên toạ độ thoả mãn hệ phương trình:

2 2

22

0, 34 3 0

8 11,1 4

5 5

x yx y x y

x yx y

+) Vì H có hoành độ âm nên 8 11

; , 0; 35 5

H E

Suy ra AB:x-y+1=0, BC:x-3y-5=0

Toạ độ B thỏa mãn 1 0 4

4; 33 5 0 3

x y xB

x y y

Ta có: 2;2 , 6;2 . 16 0 /BA BC BA BC t m

Vì 4;1AB DC D

Kết luận: Vậy 4; 3B , 2; 3C , 4;1D ,



Bài số 38: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I. Gọi M là trung điểm CD, H là hình chiếu

vuông góc D lên AM và N là trung điểm AH. Tìm toạ độ các đỉnh B, D biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác IMN là 2 2

5 9 5:

2 2 2C x y

và đỉnh D có hoành độ nguyên nằm trên đường thẳng x-2y=0


Đường (C) có tâm 5 9

;2 2

J

, bán kính 10

2R

Gọi E là trung điểm HD, ta có:

1

2

/ /

NE IM

NE IM

Suy ra tứ giác IMEN là hình bình hành.

Do đó E là trực tâm tam giác MND,

Và EM ND

Suy ra IN ND

Hay 090IND IMD do đó IMDN nội tiếp đường tròn

+) Do D thuộc (C) nên toạ độ D thoả mãn hệ

2 23, 65 9 5

3;62 2 2 8 16,

5 52 0

x yx y

Dx y

y x

+) Do J là trung điểm của ID nên I(2;3),

Và I là trung điểm của BD nên B(1;0).

Kết luận: Vậy B(1;0), 3;6D



Bài số 39: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi N là điểm trên cạnh CD sao cho CN=3ND.

Đường tròn tâm N, bán kính NI cắt AC tại điểm thứ 2 là P, cắt đoạn thẳng AD tại M. Giả sử P(3;1), đường thẳng MN

có phương trình x+y+1=0. Tìm toạ độ các đỉnh B, D biết rằng điểm B có hoành độ là số nguyên tố.


Gọi E là trung điểm C

Xét tam giác vuông NDM và NEI, ta có: NM NI

NDM NEIND NE

Suy ra 2

ADDM EI nên M là trung điểm của AD

Kẻ NK//BD K IC , suy ra NK AC và 1

4

IK DN

IC DC (1)

Từ NK AC , kết hợp với giả thiết suy ra P đối xứng với I qua K (2)

Từ (1) và (2), suy ra 1

2

IP

IC hay P trung điểm IC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của P trên CD, suy ra PH//AD

Ta có: 1

4

CH CP

CD CA , suy ra CD=4CH nên

2

CDNH DM

Xét 2 tam giác vuông NDM và PHN có DM HN

NDM PHNNM PN

Suy ra DNM HPN . Mà 090HPN HNP nên 090DNM HNP

Do đó 090MNP hay PN MN

Gọi a>0 là cạnh hình vuông.

Ta có: 2 2

2 2 2 2 2 2 2 ; 2 102 4

a aNM DM DN NP DM DN d P MN a

Do PN MN nên N là hình chiếu vuông góc của P trên MN

Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ

1

1 0 1 32;

2 0 3 2 2

2

xx y

Nx y

y

Gọi I(x;y), ta có:

2 2

2 2

3 1 551;2

4 5 2 1 3 25 4; 12 2 2 2

x yAC IPIIP

IIN x yIN NP

+) Với I(4;-1), suy ra C(2;3). Từ 3CN ND suy ra D(0;-3). Do đó B(8;1) nên loại

+) Với I(1;2), suy ra C(5;0). Từ 3CN ND suy ra D(-1;-2). Do đó B(3;6): thoả

Kết luận: Vậy B(3;6), D(-1;-2)



Bài số 40: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, điểm B(1;2). Vẽ đường cao AH. Gọi I là trung

điểm của AB, đường vuông góc với AB tại I cắt AH tại N. Lấy điểm M thuộc đường thẳng AH, sao cho N là trung điểm

AM. Điểm K(-2;-2) là trung điểm NM. Tìm toạ độ điểm A biết A thuộc đường thẳng x+y-3=0 .


ABM có IN la đường trung bình ,

Do đó BM//IN , do đó BM vuông góc AB

Tứ giácINMB là hình thang

Kẻ KP vuông góc với AB

KP sẽ là đườngtrung bình của hình thang INMB

Vì có KP song song 2 đáy và đi qua trung điểm của MN

P là trung điểm của BI

Xét tam giấc KBI có KP vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên KBI cân

KB = KI

Cách 1 : I là điểm thuộc đường tròn tâm K(-2,-2) bán kính KB = 5 : 2 2

2 2 25x y

Gọi I(x,y) A(2x-1;2y–2)

thay vào đường thẳng đi qua A ta có : (2x-1)+(2y–2)–3=0 hay : x+y–3=0

Giải hệ :

2 2

1, 22 2 253;0

2,– 3 0 1

x y lx

yA

xx

y

y

Cách 2 : Do ta thấy phương trình AB chính là phương trình đường thẳng đầu bài cho : x + y – 3 = 0

Nên ta có thể xác định P bằng cách sau : Viết phương trình đường thẳng KP (biết qua K , vuông góc KP) :x–y=0

P có tọa độ là nghiệm hệ :

3

3 32; 2;1 3;

– 0

2

2

– 30

3 20

xx

P I A

y

y

x y




Bài số 41: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm H(5;5) là trực tâm tam giác ABC, điểm

9 7;

2 2M

là trung điểm cạnh BC. Đường thẳng đi qua chân đường cao hạ từ B,C của tam giác ABC cắt đường thẳng

BC tại điểm P(0;8) . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C.


Gọi D,E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B,Ccủa tam giác ABC.

Ta có BD ⊥ AC,CE ⊥ AB .

Suy ra B,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1);

Và E,A,D,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH (2).

Dựng hình bình hành ABKC ta có: CK / /AB ⇒ EC ⊥ KC

Tương tự có BH ⊥ KB .

Do đó B,H,C,K cùng thuộc đường tròn đường kính KH (2).

Từ (1),(2),(3) suy ra 3 trục đẳng phương của từng 2 đường tròn một sẽ đồng quy.

Tức PH là trục đẳng phương của 2 đường tròn (BHCK) và (AEHD).

Giả sử PH cắt đường tròn (AEHD) tại điểm thứ 2 là điểm N.

Thì do AH là đường kính của (AEHD) nên 090ANH ⇒ PH ⊥ AM .

Đường thẳng BC đi qua M,P có phương trình là BC : x + y − 8 = 0 .

Đường cao AH đi qua H và vuông góc với BC có phương trình là AH : x − y = 0 .

Đường thẳng AM đi qua M và vuông góc với PH có phương trình là AM :5x − 3y −12 = 0 .


6;65 3 12 0 6

x y xA

x y y

+) Gọi B(b;8 − b) ∈BC , do M là trung điểm BC nên 9 ; 1C b b

3 ; 7 , 5 ; 3AC b b BH b b

Do BH vuông góc với AC nên:

3. 0 3 5 7 3 0 3 12 2 0

6

3;5 , 6;2

6;2 , 3;5

bAC BH b b b b

Cb

b

B

B Cb

Kết luận: Vậy toạ độ các đỉnh cần tìm là A(6;6), B(6;2), C(3;5) hoặc A(6;6), B(3;5), C(6;2).



Bài số 42: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x − 2y − 4

= 0 . Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC,AI với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm

toạ độ các đỉnh A,B,C biết D(2;2),E(−1;−4) và đỉnh B có hoành độ âm


+) Gọi M là trung điểm BC

Tứ giác ADEB, BEIM nội tiếp đường tròn.

Do đó 0180DEB BAD (1)

Mặt khác: BEM=BIM (cùng chắn cung BM)

Lại có: 1

2BIM BIC BAD (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: 0180DEB BEM

D,E,M thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng DE là 2x − y − 2 = 0 .


0; 22 2 0 2

x y xM

x y y

+) Gọi B(2b+4;b) thuộc BC, do M là trung điểm BC nên C(-2b-4;-4-b).

Đường thẳng IM đi qua M và vuông góc BC nên có phương trình 2x + y + 2 = 0 .

Gọi I(a;-2a-2) thuộc IM, ta có: I(a;−2a−2), B(2b+4;b), C(−2b−4;−4−b)

⇒ 1 ;2 2 , 2 5; 4( ) ( )

( )2 6; 6 ), 2 2( ;2

a a BE b b

CD b b BD b

IE

b

Ta có: 1 2 5 2 2. 0 ( )( ) ( )( ) 1

. 0 ( )( ) ( )(

4 0

2 6 2 2 6 2 ) 0 4

IE BE a b a b

CD BD b b

IE BE a

CD B bbD b

Do đó B(-4;-4) và C(4;0), I(-1;0). Đường thẳng AI đi qua I,E có phương trình x +1 = 0 .

Đường thẳng AC đi qua C,D có phương trình x + y − 4 = 0 .


1;54 0 5

x xA

x y y

Kết luận: Vậy toạ độ các đỉnh cần tìm A(-1;5), B(-4;-4), C(4;0).



Bài số 43: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh B, C

lên đường phân giác trong góc A, điểm K là giao điểm của các đường thẳng FB và CE. Tìm toạ độ các đỉnh của tam

giác ABC biết 1

2; 1 , 1;2

E K

và đỉnh A có hoành độ nguyên nằm trên đường thẳng 2x+y+3=0


Ta có: BE//CF (vì cùng vuông góc với AD).

Do đó KB KE

KF KC (1)

Mặt khác: tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF.

Do đó BE AE

CF AF (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra KB BE AE

KF CF AF

Suy ra / /AK BF AK AE

Gọi A(a;-2a-3), ta có: 5

2 ;2 2 , 1 ;22

AE a a AK a a

Vì vậy:

1

5. 0 2 1 2 2 2 0 1; 13

25

a

AE AK a a a a Aa l

+) Đường thẳng AE đi qua A, E có phương trình: y+1=0

+) Đường thẳng CF đi qua C và vuông góc với AE có phương trình là x+2=0

Do đó toạ độ điểm F là nghiệm của hệ 2 0 2

2; 11 0 1

x xF

y y

+) Đường thẳng CE đi qua C, K có phương trình: x+2y=0

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ 2 0 2

2;12 0 1

x xC

x y y


2; 11 0 1

x y xE

y y

+) Đường thẳng BE đi qua E và vuông góc AE có phương trình x-2=0

+) Đường thẳng BF đi qua F, K có phương trình: 3x-2y+4=0

Do đó toạ điểm B là nghiệm của hệ 2 0 2

2;53 2 4 0 5

x xB

x y y

Kết luận: Vậy 1; 1A , 2;5B



Bài số 44: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD . Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên

AB,AD thoả mãn AM = AN . Các đường thẳng đi qua A,M và vuông góc với BN cắt đường thẳng BD lần lượt tại

16; 1 ,

9K

4

;13

H

. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết đỉnh A có hoành độ nguyên và thuộc đường thẳng 2x + y +

5 = 0 .


Kéo dài AK, MH cắt CD lần lượt tại E,F

Ta có KE//HF (vì cùng cuông góc với BN)

Theo Talets ta có: DK DE

DH DF (1)

Tứ giác AMFE là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song với nhau

Do đó EF = AM = AN ⇒ DF = DE + AN (2)

Xét hai tam giác vuông ADE và BAN có DAE=ABN (cùng phụ góc ANB)

Do đó ADE đồng dạng với tam giác BAN suy ra: 1

2

DE AD

AN BA (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra:

+) Đường thẳng BD đi qua hai điểm K,H có phương trình là 9x + 2y −14 = 0

Do AB = 2AD ⇒ 2 2

1 1 1cos

51 tan 1 2BDA

BD

+) Giả sử đường thẳng AD có vtpt là (a;b), 2 2 0a b

Ta có phương trình:

2 2

49 2 1

16 13585

b aa b

a ba b

TH1: Nếu 16a = −13b , chọn a = 13,b = −16 ⇒ AD :13x −16y − 58 = 0 .

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ

22

2 5 0 45

13 16 58 0 181

45

xx y

lx y

y

TH2: Nếu b = 4a , chọn a = 1,b = 4 ⇒ AD : x + 4y + 6 = 0


2; 14 6 0 1

x y xA

x y y

+) Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc AD có pt là AB :4x − y + 7 = 0 .

Toạ độ điểm B thoả mãn hệ 4 7 0 0

0;79 2 14 0 7

x y xB

x y y

Do 4;6BC AD C

Kết luận: Vậy A(-2;-1), B(0;7), C(4;6) và D(2;-2).



Bài số 45: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm G. Gọi E và H lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB và BC, D(-1;-1) là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và

đường thẳng CD, phương trình đường thẳng IG là 6x-3y-7=0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết E có

hoành độ bằng 1.


Gọi N và K là trung điểm EH và AC

Dễ thấy 4 điểm B,N,G,K thẳng hàng

Ta có EH là đường trung trực của AB BN=AN

Suy ra tam giác ABN cân tại N . Do đó ABN=BAN (1)

Ta có: ABG ACG ABN ACG (2)

Từ (1) và (2) suy ra BAN=ACE

Do đó 090ACE AEC EAN AEC

Suy ra AN CE

Xét tam giác DEH có AN là đường trung bình

Suy ra AN//DE DE CE

Tứ giác DEHC nội tiếp 045ECD EHD

Suy ra DEC vuông cân tại E

Ta có: 045GCI GAB Tứ giác AGCI nội tiếp

Suy ra 090IGC IAC

Do đó IGC vuông cân tại G / /IG EC IG DE

Đường thẳng DE đi qua D và song song IG có phương trình 2x-y+1=0

Điểm E có hoành độ bằng 1 và thuộc DE 1;3E

Đường thẳng EC đi qua E và vuông góc DE có phương trình x+2y-7=0

Toạ độ điểm G là nghiệm của hệ

8

2 7 0 8 83;

6 3 7 0 8 3 3

3

xx y

Gx y

y

G là trọng tâm tam giác ABC 2 5;1CG GE C

Ta có IG//DE2 2 1

2 1;3 3 3

CG CICI CD CI ID I

CE CD

Đường thẳng AB đi qua I và E có phương trình là x-1=0

Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc AB có phương trình là y-1=0


1;1 2;61 0 1

x xA B

y y




Bài số 46: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn tâm I(2;1). Gọi D,E,F

lần lượt là tiếp điểm của BC,CA,AB với (I) và M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳng MI cắt cạnh AB tại N, đường

thẳng DF cắt đường cao AH tại điểm P. Cho biết N(3;4), P(1;2) và đỉnh A thuộc đường thẳng x − 3y − 5 = 0 . Tìm toạ

độ các đỉnh A,B,C.


Do 090 , / /AN AM

A IE AC IE ANEI EM

Do đó

. .

2

AM EI AC EIAN

EM AM AE

(1)

Vì 090A AEIF là hình vuông, do đó AE = EI

Ta có: 1

2AE CD BD AB BC CA (2)

2

CA AB BCAE

Ta lại có BC − AB = CD − AF = CE − AE = 2(AM − EM ) (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra:

2 22 . .

2 2 2 2

AC CA AB BC BC AB AC AB BCAC AB AC AC BC BC AB ACAN

BC AB BC AB BC AB

(*)

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DF tại K, ta có BD = BF

Do đó 0 1, 90

2AK AF AE AKF BDF B BIF

Xét tam giác AKP có 0 1.tan .tan 90 .cot .cot

2 2 2

B BAP AK K AK B AK AE

Do đó .2

AC AB BC BDAP

ID

. Mà ,

2 2

BC AB AC AC AB BCBD ID AE

Suy ra 2

BC AB ACAP

(**)

Từ (*),(**) suy ra AN = AP


2 2 2 2

3 5 0 55;0

03 4 1 2

x y xA

yx y x y

Phương trình đường thẳng AB đi qua A,N là 2x + y −10 = 0

Phương trình đường thẳng AC đi qua A vuông góc AB là x − 2y − 5 = 0

Phương trình đường cao AH đi qua A,P là x + 2y − 5 = 0

Đường thẳng MN đi qua N,I là 3x − y − 5 = 0


1; 22 5 0 2

x y xM

x y y

Do M là trung điểm AC nên C(-3;-4)

Phương trình đường thẳng BC đi qua C vuông góc AH là 2x − y + 2 = 0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 2 2 0 2

2;62 10 0 6

x y xB

x y y

Kết luận: Vậy A(5;0), B(2;6) và C(-3;-4)



Bài số 47: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC (AC>AB). Gọi 3

2;2

D

là chân đường phân giác

trong góc A, E(-1;0) là một điểm thuộc đoạn AC thoả mãn AB=AE. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết phương trình

đường ngoại tiếp tam giác ABC là 2 2 2 30 0x y x y và A có hoành độ dương.


Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm 1

;12

I

bán kính bằng 5 5

2

Gọi H là giao điểm của AI và đường thẳng DE

+) Xét giữa tam giác ABD và AED có: AB=AE, BAD=EAD, AD chung

Suy ra tam giác ABD bằng tam giác ADE

Suy ra: AED=ABC

Ta có: 0

018090

2

AICHAE ICA ABC

Suy ra: 0 090 90AHE AED HAE ABC ABC

Vì vậy AI vuông góc với đường thẳng DE

+) Ta có: 3

3; / / 2; 12

DE

+) Đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với DE nên có phương trình là 2x-y+2=0


2 2

2, 62 2 02;6

3, 42 30 0

x yx yA

x y lx y x y

+) Đường thẳng AD đi qua A, D có phương trình là x-2=0

Gọi A’ là giao điểm thứ 2 của AD và đường tròn (C)

Toạ độ điểm A’ thoả mãn hệ

2 2

2 2, 6' 2; 4

2 30 0 2, 4

x x y lA

x y x y x y

+) Đường thẳng BC đi qua D và vuông góc với IA’ có phương trình là x-2y-5=0

Toạ độ điểm B, C là nghiệm của hệ 2 2

2 5 0 5, 0

3, 42 30 0

x y x y

x yx y x y

Suy ra B(5;0), C(-3;-4) hoặc B(-3;-4), C(5;0)

Đối chiếu với điều kiện AC>AB, ta có: B(5;0), C(-3;-4)

Kết luận: Vậy A(2;6), B(5;0), C(-3;-4)



Bài số 48: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm J(-1;0), trực tâm là điểm H(1;1).

Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh A, và I,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB,HC. Phương trình đường

thẳng IK là 1

02

y . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết đỉnh A nằm trên đường thẳng 4x +5y−21= 0 , đỉnh B có hoành

độ âm.


Gọi E,F là chân đường cao hạ từ đỉnh B,C.

Ta có: EF ⊥ JA

Tứ giác HIDK nội tiếp vì 090I K

Do đó HIK=HDK (cùng chắn cung góc DHC)

Mặt khác HDK=HCD (cùng phụ góc DHC)

Suy ra HIK=HCD=FEB

Tức EF//IK, do đó IK ⊥ JA .

Phương trình đường thẳng JA qua J vuông góc IK là x +1= 0 .


1;54 5 21 0 5

x xA

x y y

Gọi M là trung điểm BC, ta có: 2 0; 2AH IM M

Đường thẳng BC qua M vuông góc IM là x−2y−4 = 0

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2 21 25x y

Toạ độ B,C là nghiệm của hệ

2 2 4, 41 25

4; 4 , 4;04, 02 4 0

x yx yB C

x yx y

Kết luận: Vậy A(−1;5), B(−4;−4),C(4;0) .



Bài số 49: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm H(4;3) thuộc đường thẳng AD. Đường

phân giác trong góc BAD cắt cạnh CD tại I, cắt BC tại E. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICE. Cho biết

phương trình đường đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD là 2

29 253

2 4x y

và phương trình đường thẳng

AI là x−y−3=0 , đỉnh B nằm trên đường thẳng x + 3y − 9 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết B,D là các điểm có toạ

độ nguyên.


Do ABCD là hình bình hành kết hợp AE là phân giác góc BAD

nên AEC=DAE=EAB

Do đó CIE=AID=AEC suy ra tam giác CIE cân tại C nên CI = CE

Do góc DAI=DIA DI DA BC

Do K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI nên KC = KE = KI

Suy ra KCE=KEC=KIC

Do đó 0 0180 180DIK CIK KCE KCB

Xét tam giác IDK và CKB có DI = BC,KC = KI, DIK=BCK nên bằng nhau

Do đó KBC=KDI suy ra BDKC nội tiếp

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ

22 6, 19 25

36;12 4 21 23

,10 103 9 0

x yx y

Bx y l

x y

Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua AI, khi đó H’ thuộc AB.

Phương trình đường thẳng AB đi qua B,H’ là x − 2y − 4 = 0 .


2; 13 0 1

x y xA

x y y

Phương trình đường thẳng AD đi qua A,H là 2x − y − 5 = 0

Toạ độ điểm D là nghiệm của hệ

22 3, 19 25

33;12 4 26 27

,5 52 5 0

x yx y

Dx y l

x y

Do 4;2 7;3DC AB C

Kết luận: Vậy A(2;-1), B(6;1), C(7;3) và D(3;1).



Bài số 50: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là điểm H(2;-1). Gọi I là

điểm trên đoạn AH, đường thẳng CI cắt AB tại điểm P(-2;2) và đường thẳng BI cắt AC tại điểm Q(2;2). Tìm toạ độ

các đỉnh A,B,C biết đỉnh B nằm trên đường thẳng x + y + 8 = 0 .


Qua I kẻ đường thẳng MN song song với BC ( M ∈AB, N ∈AC )

MN cắt HP,HQ lần lượt tại E và F

Ta có MN//BC nên: IE CH

IM CB và

IN BC

IF BH

Suy ra: . .IE IN CH BC CH

IM IF CB BH BH

Mặt khác: IN CH

IM BH nên 1

IE

IF tức I là trung điểm EF mặt khác HI ⊥ EF

Vì vậy AH là phân giác của góc PHQ

+) Phương trình đường thẳng HP qua H,P là 3x + 4y − 2 = 0

Phương trình đường thẳng HQ qua H,Q là x − 2 = 0

Suy ra phương trình AH là 2 3 03 4 2 2

2 4 05 1

x yx y x

x y

Đối chiếu P,Q khác phía với AH nên AH :2x + y − 3 = 0

+) Phương trình đường thẳng BC qua H vuông góc AH là x − 2y − 4 = 0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4 0 4

4; 48 0 4

x y xB

x y y

+) Phương trình đường thẳng AB qua B,P là 3x − y + 8 = 0


1;53 8 0 5

x y xA

x y y

+) Phương trình đường thẳng AC qua A,Q là x + y − 4 = 0 .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ 4 0 4

4;02 4 0 0

x y xC

x y y

Kết luận: Vậy A(-1;5),B(-4;-4), C(4;0)

hình phẳng oxy vted.vn - hkk

Documents