hÌnh hoÏc giaÛi tÍch trong maËt phaÚng oxy · trong maët phang toa ñoä oxy, cho hai...

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

196

Chuyeân ñeà 7:

HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY

Vaán ñeà 1: TÌM TOÏA ÑOÄ CUÛA MOÄT ÑIEÅM

TÌM PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

A. TOÏA ÑOÄ CUÛA VECTÔ VAØ CUÛA ÑIEÅM

I. TOÏA ÑOÄ VECTÔ

1 2 1 2

a (a ;a ) a a i a j

Vôùi i = (1; 0) veùctô ñôn vò cuûa truïc Ox

j = (0; 1) veùctô ñôn vò cuûa truïc Oy

II. TOÏA ÑOÄ MOÄT ÑIEÅM

M M M M

OM (x ; y ) M(x ; y )

Cho A(xA; yA), B(xB; yB) ta coù keát quaû sau.

B A B A

2 2

B A B A

i) AB (x x ;y y )

ii) AB AB (x x ) (y y )

iii) M chia ñoaïn AB theo tæ soá k: MA kMB; k 1

Khi ñoù toïa ñoä ñieåm M laø:

A B

M

A B

M

x kxx

1 k

y kyy

1 k

iv) M trung ñieåm AB toïa ñoä ñieåm M

A B

M

A B

M

x xx

2

y yy

2

III. TÍNH CHAÁT VECTÔ

Cho 1 2 1 2

a (a ; a ), b (b ; b )

1 1 2 2 1 2 1 2

1. a b (a b ; a b ) 2. ka k(a ;a ) (ka ;ka )

1 1 2 2

3. a.b a b a b 2 2

1 24. a a a

1 1 1 1 2 2

2 2 2 22 2

1 2 1 2

a b a b a ba.b5. a b 6. cos(a,b)

a b a . b a a b b

O

y

x

B

A j

a

j

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

197

7. a cuøng phöông 1 2 2 1

b a kbhayb ka a b a b 0

8. 1 1 2 2

a b a.b 0 a b a b 0

B. ÑÖÔØNG THAÚNG

a 0 : a goïi laø vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng

khi giaù cuûa a cuøng phöông vôùi ñöôøng thaúng

Neáu a laø vectô chæ phöông cuûa thì

k a cuõng laø vectô chæ phöông cuûa (k 0)

n 0 : n goïi laø vectô phaùp tuyeán cuûa ñöôøng thaúng khi n

Neáu n laø vectô phaùp tuyeán cuûa thì kn cuõng laø vectô phaùp tuyeán cuûa

(k 0)

Caùch ñoåi giöõa vectô chæ phöông u vaø vectô phaùp tuyeán n cuûa ñöôøng thaúng

Coù: n = (A; B) u = (B; A) hay u ( B; A)

Coù 1 2 2 1

u (a ; a ) n (a ; a ) hay 2 1

n ( a ; a )

I. PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG

2 2

: Ax By C 0; A B 0

n (A ; B) ,

Neáu A = 0 C

: y

B

neân // Ox (C = 0 thì Ox)

Neáu B = 0 C

: x

A

neân // Oy (C = 0 thì Oy)

Ox: y = 0, Oy: x = 0 .

II. CAÙCH LAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M(x0; y0)

vaø coù vectô phaùp tuyeán n (A; B); (A2

+ B2

> 0)

Phöông trình toång quaùt d: A(x x0) + B(y y0) = 0

2. Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua M(x0; y0)

vaø coù vectô chæ phöông 1 2

u (a ; a ) (a1

2

+ a2

2

0)

Phöông trình tham soá d: 0 1

0 2

x x a t

t

y y a t

a

a n


198

Phöông trình chính taéc d: 0 0

1 2

x x y y

a a

Phöông trình toång quaùt d: a2(x x0) a1y (y y0) = 0

3. Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua 2 ñieåm A(xA; yA), B(xB; yB)

Phöông trình chính taéc d: A A

B A B A

x x y y

x x y y

4. Phöông trình ñöôøng thaúng theo ñoaïn chaén. Ñöôøng thaúng d caét Ox, Oy laàn löôït

taïi A(a; 0), B(0, b) coù daïng d: x y

1

a b

(a 0, b 0)

Löu yù: Cho d: Ax + By + C = 0

d' // d d': Ax + By + C' = 0 (C' C)

d' d d': Bx Ay + C' = 0 hay Bx + Ay + C' = 0

III. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0

d2: A2x + B2y + C2 = 0

Laäp 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

A B C B A C

D , Dx , Dy

A B C B A C

i/ d1 caét d2 D 0

ii/ d1 // d2

D 0 D 0

hoaëc

Dx 0 Dy 0

iii/ d1 d2 D = Dx = Dy = 0

IV. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0 1 1 1

n (A ;B )

d2: A2x + B2y + C2 = 0 2 2 2

n (A ;B )

1 2 1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 1 2 2

n .n A A B B

cos

n . n A B A B

Neáu d1, d2 laø caùc ñöôøng thaúng khoâng ñöùng.

d1 : y = k1x + b1; d2 : y = k2x + b2

tan(d1, d2) 2 1

1 2

k k

1 k .k

V. KHOAÛNG CAÙCH

1. Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B laø: 2 2

B A B AAB (x x ) (y y )


199

2. Khoaûng caùch töø M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0

d(M, d) 0 0

2 2

Ax Bx C

A B

Löu yù: d(M, Ox) = yM

d(M, Oy) = xM

VI. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC TAÏO BÔÛI HAI

ÑÖÔØNG THAÚNG

Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0, d2: A2x + B2y + C2 = 0

Khi ñoù phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc laø:

1 1 1 2 2 2

1 22 2 2 2

1 1 2 2

A x B y C A x B y Ct t

A B A B

Tìm phaân giaùc goùc nhoïn hay goùc tuø.

Daáu 1 2

n .n Phaân giaùc goùc tuø Phaân giaùc goùc nhoïn

1 2

1 2

n .n 0

n .n 0

t1 = t2

t1 = t2

t1 = t2

t1 = t2

B. ÑEÀ THI

Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011

Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng : x – y – 4 = 0 vaø

d: 2x – y – 2 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm N thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho ñöôøng thaúng

ON caét ñöôøng thaúng taïi ñieåm M thoûa maõn OM.ON = 8.

Giaûi

M M(m; m – 4) vaø N d N(n; 2n – 2).

OM m; m 4 , ON n; 2n 2 .

O, M, N thaúng haøng OM cuøng phöông ON

m(2n – 2) – n(m – 4) = 0 mn – 2m + 4n = 0 4n

m

2 n

OM.ON = 8 2 22 2

m m 4 n 2n 2 64

2 2

224n 4n4 n 2n 2 64

2 n 2 n

2 2

22n n16 16 1 n 2n 2 64

2 n 2 n

d1

d2 2

1

O

d

N

M


200

2 2

22n 2n 2n 2n 2 4

2 n 2 n

2 2 22 2

n 2n 2 n 2n 2 4 2 n

2

225n 8n 4 4 2n

2 25n 8n 4 4 2n 5n 8n 4 4 2n 0

2 2

5n 6n 5n 10n 8 0

n = 0 hoaëc 6

n

5

.

Vaäy N(0; –2) hoaëc 6 2

N ;

5 5

.

Caùch 2: Nhaän thaáy raèng O, M, N thaúng haøng, do ñoù ta coù theå chuyeån ñieàu kieän

OM.ON = 8 sang heä thöùc vectô baèng caùch: Veõ hai ñöôøng thaúng d vaø trong maët

phaúng (Oxy), ta coù hai vectô OM vaø ON cuøng höôùng, neân:

OM.ON = 8 OM . ON = 8 mn + (m – 4)(2n – 2) = 8

3mn – 2m – 8n = 0. Khi ñoù ta coù heä phöông trình:

3mn 2m 8n 0

mn 2m 4n 0

3 2m 4n 2m 8n 0

mn 2m 4n 0

m 5n

5n n 2 5n 4n 0

n = 0 hoaëc

6n

5

.

Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011

Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù ñænh B(–4; 1), troïng taâm

G(1; 1) vaø ñöôøng thaúng chöùa phaân giaùc trong cuûa goùc A coù phöông trình x – y – 1 = 0.

Tìm toïa ñoä caùc ñænh A vaø C.

Giaûi

Goïi d laø ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A d: x – y – 1 = 0,

vaø goïi B' ñoái xöùng vôùi B qua d B' AC.

BB' ñi qua B(–4; 1) vaø vuoâng goùc vôùi d.

suy ra: BB': (x + 4) + (y – 1) = 0 x + y + 3 = 0.

Goïi I laø giao ñieåm cuûa BB' vaø d,

suy ra toïa ñoä I laø nghieäm cuûa heä phöông trình:

x y 3 0 x 1

x y 1 0 y 2

I(–1; –2).

I laø trung ñieåm cuûa BB' B' I B

B' I B

x 2x x 2

y 2y y 5

B'(2; –5).

A C

B

I

M

G

d

B’


201

Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC BG 2GM

G B M G

G B M G

x x 2 x x

y y 2 y y

G B

M

G B

M

3x x 7x

2 2

3y yy 1

2

7

M ; 1

2

.

AC ñi qua hai ñieåm B' vaø M AC: x 2 y 5

7 1 52

2

4x – y – 13 = 0.

A laø giao ñieåm cuûa d vaø AC neân toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä phöông trình:

4x y 13 0 x 4

x y 1 0 y 3

A(4; 3).

M laø trung ñieåm cuûa AC neân:C M A

C M A

x 2x x 3

y 2y y 1

C(3; –1).

Baøi 3: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011

Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy, cho ñöôøng thaúng d: x + y + 3 = 0.

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A(2; –4) vaø taïo vôùi ñöôøng thaúng d

moät goùc baèng 45o

.

Giaûi

Goïi : a( x - 2 ) + b( y + 4 ) = 0 vôùi a2

+ b2

0

Ta coù: 0

2 2

a b 1cos45

22. a b

2 2

a b a b

2 2 2 2

a b 2ab a b ab 0 a 0 b 0

Vaäy 1: y + 4 = 0 vaø 2: x – 2 = 0

Caùch 2: d: x + y + 3 = 0 goùc giöõa Ox vaø d laø 450

hôïp vôùi d moät goùc 450

cuøng phöông vôùi Ox hoaëc Oy

Maø qua A (2; –4) phöông trình laø x = 2 hoaëc y = –4.


Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù phöông trình caùc

caïnh laø AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA: 3x + 2y – 7 = 0. Vieát phöông

trình ñöôøng cao keû töø ñænh A cuûa tam giaùc ABC.

Giaûi

Toaï ñoä A laø nghieäm heä phöông trình:

x 3y 7

3x 2y 7

x 1

y 2

Ñöôøng cao AH qua A vaø coù 1 vectô phaùp laø n = (5; –4) AH: 5x 4y 3 0 .

WIN7

Highlight

WIN7

Highlight


202

Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010

Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC caân taïi A coù ñænh A(6; 6), ñöôøng

thaúng ñi qua trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC coù phöông trình x + y 4 = 0. Tìm

toïa ñoä caùc ñænh B vaø C, bieát ñieåm E(1; 3) naèm treân ñöôøng cao ñi qua ñænh C cuûa

tam giaùc ñaõ cho

Giaûi

Phöông trình ñöôøng cao AH: 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0 x – y = 0

Goïi K laø giao ñieåm cuûa IJ vaø AH (vôùi IJ: x + y – 4 = 0)

suy ra K laø nghieäm cuûa heä x y 0x y 4

K (2; 2)

K laø trung ñieåm cuûa AH H K A

H K A

x 2x x 4 6 2

y 2y y 4 6 2

H (–2; –2)

Phöông trình BC: 1(x + 2) + 1(y + 2) = 0 x + y + 4 = 0

Goïi B (b; –b – 4) BC

Do H laø trung ñieåm cuûa BC C (–4 – b; b); E (1; –3)

Ta coù: CE (5 b; b 3) vuoâng goùc vôùi BA (6 b;b 10)

Neân (5 + b)(6 – b) + (b – 3)(b + 10) = 0

2b2

+ 12b = 0 b = 0 hay b = –6

Vaäy B(0; –4); C(–4; 0) hay B(–6; 2); C(2; –6) .


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù ñænh C(4; 1),

phaân giaùc trong goùc A coù phöông trình x + y – 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng

thaúng BC, bieát dieän tích tam giaùc ABC baèng 24 vaø ñænh A coù hoaønh ñoä döông.

Giaûi

Ta coù phaân giaùc trong goùc A laø (d): x + y – 5 = 0

song song vôùi ñöôøng phaân giaùc d’ cuûa goùc phaàn tö

thöù II, neân goùc M1 baèng goùc A1 baèng 450

.

Suy ra AC // Ox phöông trình AC:

y = 1

Ta coù A = AC d neân A(4; 1)

AC = 8

Maø dieän tích ABC = 24

neân 1

2AC.AB = 24 AB = 6

Maët khaùc, AB vuoâng goùc vôùi truïc hoaønh neân B (4; 7).

Vaäy phöông trình cuûa BC laø: 3x – 4y + 16 = 0

A

B

C

d O

x

y

d’

M 1

1 1

– 4


203


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(0; 2) vaø laø ñöôøng thaúng ñi qua O.

Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ,

bieát khoaûng caùch töø H ñeán truïc hoaønh baèng AH.

Giaûi

Caùch 1: Goïi H(x0 ; y0) laø hình chieáu cuûa A treân

Ta coù: 0 0 0 0

AH (x ; y 2), OH (x ; y )

Töø giaû thieát ta coù

2 2 2

0 0 0 0 0 0

22 2

0 00 0 0

x y (y 2) 0 x y 2y 0AH.OH 0

AH d(H,Ox) x 4y 4 0x (y 2) y

0

22

000 0

22

0 00 0 0

2

0

y 1 5

x 8 4 5y 1 5y 2y 4 0

x 4y 4x 4y 4 0 y 1 5

x 8 4 5 0 (loaïi)

0

0

x 4 5 8H 4 5 8; 1 5

y 1 5

.

Phöông trình : ( 5 1)x 4 5 8 y 0

Caùch 2:

Oy H A: khoâng thoûa AH = d(H, Ox)

Ox H O: khoâng thoûa AH = d(H, Ox)

Phöông trình : y = kx (k 0)

AH 1y x 2

AHquaA k

laø phöông trình ñöôøng AH

Toïa ñoä H = AH thoûa heä

2 2

2 2 2

2

2kxy kx

k 1 2k 2kH ;1

y x 2 2k k 1 k 1yk

k 1

22 2 2

4 2

2 2 2

2k 2k 2kAH d(H;Ox) 2 k k 1 0

k 1 k 1 k 1


204

2

2

1 5k

2 2 52k

21 5k 0 (loaïi)

2

. Vaäy : 2 2 5

y x

2

.


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hình chöõ nhaät ABCD coù ñieåm I (6; 2) laø

giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD. Ñieåm M (1; 5) thuoäc ñöôøng thaúng AB vaø

trung ñieåm E cuûa caïnh CD thuoäc ñöôøng thaúng : x + y – 5 = 0. Vieát phöông trình

ñöôøng thaúng AB.

Giaûi

Goïi N ñoái xöùng vôùi M qua I, suy ra N(11; 1)

vaø N thuoäc ñöôøng thaúng CD

E E (x; 5 – x); IE = (x – 6; 3 – x)

Vaø NE = (x – 11; 6 – x)

E laø trung ñieåm CD IE EN hay IE.EN 0

(x – 6)(x – 11) + (3 – x)(6 – x) = 0 x = 6 hoaëc x = 7

x = 6 IE = (0; 3); phöông trình AB: y – 5 = 0.

x = 7 IE = (1; 4); phöông trình AB: x – 4y + 19 = 0.


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC caân taïi A coù ñænh A

(1; 4) vaø caùc ñænh B, C thuoäc ñöôøng thaúng : x – y – 4 = 0. Xaùc ñònh toïa ñoä caùc

ñieåm B vaø C, bieát dieän tích tam giaùc ABC baèng 18.

Giaûi

Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân , suy ra H laø trung ñieåm BC

ABC2S9

AH d A,BC ; BC 4 2

AH2

2

2 BC 97AB AC AH

4 2

Toïa ñoä B vaø C laø nghieäm cuûa heä:

2 2 97x 1 y 4

2

x y 4 0

Giaûi heä ta ñöôïc: 11 3

x; y ;

2 2

; 3 5

x; y ;

2 2

Vaäy 11 3 3 5 3 5 11 3

B ; , C ; hoaëc B ; , C ;

2 2 2 2 2 2 2 2

A M B

C

I

E N D

A

B H C


205


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù M(2; 0) laø trung ñieåm

cuûa caïnh AB. Ñöôøng trung tuyeán vaø ñöôøng cao qua ñænh A laàn löôït coù phöông trình

laø 7x – 2y – 3 = 0 vaø 6x – y – 4 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AC

Giaûi

Toïa ñoä A thoûa maõn heä: 7x 2y 3 0

A 1; 2

6x y 4 0

B ñoái xöùng vôùi A qua M, suy ra B = (3; 2)

Ñöôøng thaúng BC ñi qua B vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng: 6x – y – 4 = 0

Phöông trình BC: x + 6y + 9 = 0

Toïa ñoä trung ñieåm N cuûa ñoaïn thaúng BC thoûa maõn heä:

7x 2y 3 0 3N 0;

x 6y 9 0 2

AC 2MN 4; 3 ;

Phöông trình ñöôøng thaúng AC: 3x – 4y + 5 = 0


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù C(1; 2), ñöôøng

trung tuyeán keû töø A vaø ñöôøng cao keû töø B laàn löôït coù phöông trình laø 5x + y – 9 = 0

vaø x + 3y – 5 = 0. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A vaø B .

Giaûi

Giaû söû AM: 5x + y – 9 = 0, BH: x + 3y – 5 = 0

AC: 3(x + 1) – 1(y + 2) = 0 3x – y + 1 = 0

A = AC AM A(1; 4)

B BH B (5 – 3m; m)

M laø trung ñieåm BC M 4 3m m 2

;

2 2

M AM 5. 4 3m m 2

9 0

2 2

m = 0. Vaäy B(5; 0)


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho caùc ñöôøng thaúng 1: x – 2y – 3 = 0

vaø 2: x + y + 1 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng 1 sao cho khoaûng

caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng 2 baèng 1

2

.

Giaûi

M 1 M(2m + 3; m)

2

2m 3 m 11 1d M, 3m 4 1

2 2 2

m = 1 hay m =

5

3

WIN7

Highlight

WIN7

Highlight


206

Vaäy M(1; 1) hay 1 5

M ;

3 3


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, haõy xaùc ñònh toïa ñoä ñænh C cuûa tam giaùc

ABC, bieát raèng hình chieáu vuoâng goùc cuûa C treân ñöôøng thaúng AB laø ñieåm

H(–1; –1), ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A coù phöông trình x – y + 2 = 0 vaø

ñöôøng cao keû töø B coù phöông trình 4x + 3y – 1 = 0.

Giaûi

Kí hieäu: d1: x – y + 2 = 0; d2: 4x + 3y – 1 = 0

Goïi H'(a; b) ñoái xöùng H(1; 1) qua d1. Khi ñoù H' AC.

1

a = (1; 1) laø VTCP cuûa d1, HH = (a + 1; b + 1) vuoâng goùc vôùi 1

a vaø trung

ñieåm a 1 b 1

I ;

2 2

cuûa HH' thuoäc d1.

Do ñoù toïa ñoä H' laø nghieäm cuûa heä

1(a 1) 1(b 1) 0

a 1 b 12 0

2 2

H'(3; 1)

Ñöôøng thaúng AC qua H' vuoâng goùc d2 neân coù vectô phaùp tuyeán laø

n (3; 4) vaø pt AC: 3(x + 3) – 4(y – 1) = 0 3x – 4y + 13 = 0

Toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä:

3x 4y 13 0

x y 2 0

A(5; 7)

Ñöôøng thaúng CH ñi qua H(1; 1) coù VTPT 1

HA (3; 4)

2

neân coù pt:

3(x + 1) + 4(y + 1) = 0 3x + 4y + 7 = 0

Toïa ñoä cuûa C laø nghieäm cuûa heä:

3x 4y 7 0 10 3C ;

3x 4y 13 0 3 4


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(2; 2) vaø caùc ñöôøng thaúng:

d1: x + y – 2 = 0 , d2: x + y – 8 = 0

Tìm toïa ñoä caùc ñieåm B vaø C laàn löôït thuoäc d1 vaø d2 sao cho tam giaùc ABC

vuoâng caân taïi A.

Giaûi

Vì B d1, C d2 neân B(b; 2 b), C(c; 8 c). Töø giaû thieát ta coù heä:

2 2 2 2

bc 4b c 2 0 (b 1)(c 4) 2AB.AC 0

AB AC b 2b c 8c 18 (b 1) (c 4) 3


207

Ñaët x = b 1, y = c 4 ta coù heä 2 2

xy 2

x y 3

Giaûi heä treân ta ñöôïc x = 2, y = 1 hoaëc x = 2, y = 1

Suy ra: B(1; 3), C(3; 5) hoaëc B(3; 1), C(5; 3).


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ba ñöôøng thaúng:

d1: x + y + 3 = 0; d2: x y 4 = 0; d3: x 2y = 0.

Tìm toïa ñoä ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng d3 sao cho khoaûng caùch töø M ñeán

ñöôøng thaúng d1 baèng hai laàn khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng d2.

Giaûi

Vì M d3 neân M(2y; y)

Ta coù: 1 2

2 2 2 2

2y y 3 3y 3 2y y 4 y 4

d(M,d ) ; d(M,d )

2 21 1 1 ( 1)

1 2

3y 3 y 4

d(M; d ) 2d(M,d ) 2

2 2

y = 11 ; y = 1.

Vôùi y = 11 ñöôïc ñieåm M1(22; 11).

Vôùi y = 1 ñöôïc ñieåm M2(2; 1).


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng thaúng

d1: x y = 0 vaø d2: 2x + y 1 = 0.

Tìm toïa ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñænh A thuoäc d1, ñænh C thuoäc

d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh.

Giaûi

Vì A d1 A(t; t).

Laïi do A vaø C ñoái xöùng nhau qua BD vaø B, D Ox neân C(t; t).

Maø C d2 neân 2t t 1 = 0 t = 1. Vaäy A(1; 1), C(1; 1).

Trung ñieåm cuûa AC laø I(1; 0). Vì I laø taâm cuûa hình vuoâng neân:

IB IA 1

ID IA 1

b 1 1B Ox B(b; 0) b 0, b 2

D Ox D(d; 0) d 0, d 2d 1 1

Suy ra, B(0; 0) vaø D(2; 0) hoaëc B(2; 0) vaø D(0; 0).

Vaäy boán ñænh cuûa hình vuoâng laø A(1; 1), B(0; 0), C(1; 1), D(2; 0), hoaëc A(1; 1),

B(2; 0), C(1; 1), D(0; 0).


208

Baøi 17:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(1; 1), B(4; 3). Tìm ñieåm

C thuoäc ñöôøng thaúng x 2y – 1 = 0 sao cho khoaûng caùch töø C ñeán ñöôøng thaúng

AB baèng 6.

Giaûi

A(1; 1); B(4; 3) pt AB: x 1 y 1

4x + 3y 7 0

3 4

C AB C(2t + 1; t)

Ta coù d(C, AB) = 6

8t 4 3t 7

6

5

t = 311t 3 30

11t 3 30 2711t 3 30 t =

11

Vaäy C(7; 3) hay C43 27

;

11 11

Baøi 18:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A(1; 0),

B(4; 0), C(0; m) vôùi m 0. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m.

Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G.

Giaûi

m m m

G 1; ; GA 2; ; GB 3;

3 3 3

Tam giaùc GAB vuoâng taïi G GA.GB 0

2m

6 0 m = 3 6

9

.

Baøi 19:

Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho tam giaùc ABC

coù AB = AC, ABC = 900

. Bieát M(1; 1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G2

; 0

3

laø

troïng taâm tam giaùc ABC. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C.

Giaûi

G laø troïng taâm ABC AG 3GM

A A

A

A

2 2 2x 2 1 x 0

3 3 3

y 2

y 2 1 0 2

A(0; 2)

Phöông trình BC qua M(1; 1) AM = (1; 3) laø: x 3y 4 = 0


209

Phöông trình ñöôøng troøn (C) taâm M, baùn kính R = AM = 10 laø

2 2

x 1 y 1 = 10

Toïa ñoä B, C thoûa

2 2

x 3y 4 0

x 1 y 1 10

2 2

x 3y 4 x = 4 x = 2

V

y = 0 y = 23y 3 y 1 10

Vaäy B(4; 0); C(2; 2) hay B(2; 2); C(4; 0)

Baøi 20:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Xeùt tam giaùc ABC

vuoâng taïi A, phöông trình ñöôøng thaúng BC laø 3x y 3 0 , caùc ñænh A vaø B

thuoäc truïc hoaønh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G

cuûa tam giaùc ABC.

Giaûi

Goïi A(a; 0), BC: y = 3 x 3

B (1; 0), xC = xA = a, yC = 3 (a 1)

AB = a 1, AC = 3 a 1

BC2

= (a 1)2

+ 3(a 1)2

= 4(a 1)2

, BC = 2 a 1

S = pr 3 (a 1)2

= 2 (3 + 3 ) a 1

a 1 = 0 (loaïi) hoaëc 3 a 1 = 2 (3 + 3 )

a 1 = 2 ( 3 + 1)

a 3 2 3

a 1 2 3

A(3 + 2 3 ; 0); B(1; 0); C(3 + 2 3 ; 6 + 2 3 )

hay A(1 2 3 ; 0); B(1; 0); C (1 2 3 ; 6 2 3 )

7 4 3 6 + 2 3 1 4 3 6 2 3

G ; hay G ;

3 3 3 3

.

Baøi 21:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy cho hình chöõ nhaät

ABCD coù taâm 1

I ; 0

2

, phöông trình ñöôøng thaúng AB laø x 2y + 2 = 0 vaø

AB = 2AD. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C, D bieát raèng ñænh A coù hoaønh ñoä aâm.

Giaûi

A AB: x 2y + 2 = 0 A(2a 2; a) vôùi a < 1

I laø trung ñieåm AC C(3 2a; a)


210

BC qua C vaø BC AB pt BC: 2x + y + 5a 6 = 0

AB BC = B B(2 2a; 2 a)

Ta coù AB = 2AD (1 a)2

= 1

a 0

a 2 (loaïi)

Vaäy A(2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(1; 2).


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, tìm ñieåm A thuoäc truïc hoaønh vaø ñieåm B

thuoäc truïc tung sao cho A vaø B ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng d:

x – 2y + 3 = 0.

Giaûi

Goïi A(a; 0) Ox, B(0; b) Oy

Ta coù: AB a; b vaø trung ñieåm AB laø a b

I ;

2 2

Töø d: x – 2y + 3 = 0 a 2;1

A, B ñoái xöùng qua d:AB a

I d

2a b 0

a 2

a b2 3 0 b 4

2 2

.

Vaäy A(2; 0), B(0; 4)

Vaán ñeà 2: ÑÖÔØNG TROØN


I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG TROØN

Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(a; b) baùn kính R.

1. Phöông trình chính taéc: (C): (x a)2

+ (y b)2

= R2

2. Phöông trình toång quaùt: (C): x2

+ y2

2ax 2by + c = 0

Trong ñoù c = a2

+ b2

R2

2 2

R a b c

Cho ñöôøng cong (C): x2

+ y2

2ax 2by + c = 0

Ñieàu kieän ñeå (C) laø ñöôøng troøn laø: a2

+ b2

c > 0

II. SÖÏ TÖÔNG GIAO GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ ÑÖÔØNG TROØN

Cho (C): x2

+ y2

2ax 2by + c = 0, coù taâm I(a; b), baùn kính R

d: Ax + By + C = 0

Xeùt vò trí töông ñoái giöõa (C) vaø d.

Phöông phaùp 1:

A

B

I

d

WIN7

Highlight


211

i) d(I, d) > R d khoâng caét (C)

ii) d(I, d) = R d tieáp xuùc (C)

iii) d(I, d) < R d caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät.

Phöông phaùp 2:

Xeùt heä phöông trình taïo bôûi d vaø (C):

2 2x y 2ax 2by c 0

Ax By C 0

(I) voâ nghieäm d khoâng caét (C)

(I) coù nghieäm keùp d tieáp xuùc (C)

(I) coù hai nghieäm phaân bieät d caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät.

III. PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG TROØN.

Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0

laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn d(I, d) = R

1. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M(x0; y0) coù daïng:

0 0

0 0

x x y y: x.x y.y 2a 2b C 0

2 2

hay 2

0 0: (x a)(x a) (y b)(y b) R

2. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) qua M(x0; y0)

Goïi d laø ñöôøng thaúng qua M(x0; y0) coù heä soá goùc k

d: y = k(x x0) + y0 : kx y + y0 kx0 = 0

d tieáp xuùc (C) d(I, d) = R

Giaûi (*) tìm ñöôïc 2 nghieäm k baøi toaùn ñaõ xong, neáu chæ coù 1 nghieäm K ta xeùt

theâm ñöôøng thaúng: d1:x = xM (kieåm tra ñieàu kieän tieáp xuùc)

3. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) song song (hoaëc vuoâng goùc) vôùi ñöôøng thaúng

: Ax + By + C = 0

d // d: Ax+By+C =0 (C C)

Goïi d

d d: Bx Ay+C =0 (hay Bx Ay C 0)

d tieáp xuùc (C) d(I, d) = R

4. Phöông trình tieáp cuûa (C) bieát tröôùc heä soá goùc k .

Tieáp tuyeán coù heä soá goùc k coù daïng

: y = kx + b : kx y + b = 0

tieáp xuùc (C) d(I, ) = R

IV. PHÖÔNG TÍCH CUÛA MOÄT ÑIEÅM M(x0; y0) ÑOÁI VÔÙI ÑÖÔØNG TROØN (C)

2 2

M/(C) 0 0 0 0x y 2ax 2by c P

I

d

R


212

i) M/(C)

0 :P M naèm ngoaøi ñöôøng troøn

ii) M/(C)

0 :P M naèm trong ñöôøng troøn

iii) M/(C)

0 :P M naèm treân ñöôøng troøn.

V. TRUÏC ÑAÚNG PHÖÔNG

Cho (C1): x2

+ y2

2a1x 2b1y +c1 = 0, (C2): x2

+ y2

2a2x 2b2y +c2 = 0

Phöông trình truïc ñaúng phöông: : 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y (c1 c2) = 0

B. ÑEÀ THI


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng thaúng : x + y + 2 = 0 vaø ñöôøng troøn

(C): x2

+ y2

– 4x – 2y = 0. Goïi I laø taâm cuûa (C), M laø ñieåm thuoäc . Qua M keû caùc

tieáp tuyeán MA vaø MB ñeán (C) (A vaø B laø caùc tieáp ñieåm). Tìm toïa ñoä ñieåm M,

bieát töù giaùc MAIB coù dieän tích baèng 10.

Giaûi

Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(2; 1) vaø baùn kính: R = 4 1 0 5 = IA .

Hai tam giaùc IAM vaø IBM baèng nhau neân

SIAM = 1

2

SMAIB = 5 1

2

IA.MA = 5

1

2

5 MA = 5 MA = 2 5 .

M M( m; –m – 2 )

MI2

= IA2

+ MA2

= 5 + 20 = 25 (m – 2)2

+ (–m – 3)2

= 25

m2

+ m – 6 = 0 m = 2 hoaëc m = –3

Vaäy: M (2; –4) hoaëc M (–3; 1) .


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù ñænh 1

B ; 1

2

. Ñöôøng troøn

noäi tieáp tam giaùc ABC tieáp xuùc vôùi caùc caïnh BC, CA, AB töông öùng taïi caùc ñieåm

D, E, F. Cho D(3; 1) vaø ñöôøng thaúng EF coù phöông trình y – 3 = 0. Tìm toïa ñoä

ñænh A, bieát A coù tung ñoä döông.

Giaûi

Vì yB = yD = 1 neân BD coù phöông trình y – 1 = 0.

Ta laïi coù phöông trình EF laø y – 3 = 0 neân BD // EF.

Suy ra: Tam giaùc ABC caân taïi A.

A

B

I

M


213

Vì tam giaùc ABC caân taïi A neân AD EF,

maët khaùc AD ñi qua D(3; 1) neân AD coù phöông trình x – 3 = 0.

F EF: y – 3 = 0 neân F(x; 3)

Ta coù: BF = BD

2 2

2 21 1x 3 1 3 1 1

2 2

x2

– x – 2 = 0 x = –1 hoaëc x = 2.

+) Vôùi x = –1 thì F(–1; 3), suy ra BF coù phöông trình 4x + 3y – 5 = 0.

A laø giao ñieåm cuûa AD vaø BF neân A

73;

3

loaïi vì yA < 0.

+) Vôùi x = 2 thì F(2; 3), suy ra BF coù phöông trình 4x –3y + 1 = 0.

A laø giao ñieåm cuûa AD vaø BF neân A

133;

3

nhaän vì yA > 0.

Vaäy A

133;

3

.


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, ñieåm A(1; 0) vaø ñöôøng troøn (C):

x2

+ y2

– 2x + 4y – 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng caét (C) taïi ñieåm M vaø

N sao cho tam giaùc AMN vuoâng caân taïi A.

Giaûi

Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(1; –2) vaø baùn kính R = 10 .

Tam giaùc AMN vuoâng caân taïi A neân AI

Suy ra: coù veùctô phaùp tuyeán laø AI = (0; –2).

Do ñoù phöông trình coù daïng: y = m.

Ta coù: +) MN = 2.d(A, ) = 2 m .

+) d(I, ) = m 2 .

+) IM = R = 10 .

+) 2

22 MNIM d I,

2

10 = (m + 2)

2

+ m2

2m2

+ 4m – 6 = 0 m = 1 hoaëc m = –3.

Vaäy phöông trình laø : y = 1 hoaëc y = –3.

A

B C D

F E

M N

A

I

(C

)


214

Caùch 2:

Phöông trình coù daïng: y = m, do ñoù hoaønh ñoä ñieåm M vaø N laø nghieäm cuûa

phöông trình: x2

+ m2

– 2x + 4m – 5 = 0 x2

– 2x + m2

+ 4m – 5 = 0 (*).

Phöông trình (*) coù 2 nghieäm x1, x2 ' = –m2

– 4m + 6 > 0. (1)

Khi ñoù: M(x1; m) vaø N(x2; m) 1AM x 1; m vaø 2

AN x 1; m .

Ta coù: AM AN AM.AN 0 2

1 2x 1 . x 1 m 0

x1.x2 – (x1 + x2) + m2

+ 1 = 0 (**).

Maët khaùc x1, x2 laø nghieäm cuûa (*) neân x1.x2 = m2

+ 4m – 5 vaø x1 + x2 = 2

Do ñoù: (**) (m2

+ 4m – 5) – 2 + m2

+ 1 = 0 2m2

+ 4m – 6 = 0

m = 1 hoaëc m = –3. (Thoûa (1))

Vaäy, phöông trình laø: y = 1 hoaëc y = –3.


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng d1: 3 0 x y vaø

d2: 3 0 x y . Goïi (T) laø ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi d1 taïi A, caét d2 taïi hai ñieåm B

vaø C sao cho tam giaùc ABC vuoâng taïi B. Vieát phöông trình cuûa (T), bieát tam giaùc

ABC coù dieän tích baèng 3

2 vaø ñieåm A coù hoaønh ñoä döông.

Giaûi

A d1 neân A (a; 3a ) (a > 0)

Ñöôøng thaúng AC qua A vaø vuoâng goùc vôùi d1 coù phöông trình laø:

1 x a 3 y a 3 0 3 4 0 x y a

Neân AC d2 = C(2a; 2 3 a )

Ñöôøng thaúng AB qua A vaø vuoâng goùc

vôùi d2 coù phöông trình laø:

1 x a 3 y a 3 0 x 3y 2a 0

AB d2 = B a a 3

;

2 2

3

S BA.BC 3ABC

2

22

a a 3a a 3

2 2

22

a a 32a 2a 3

2 2

= 3


215

3a .3a = 3 1 1 2

a A ; 1 ; C ; 2

3 3 3

1 3

Tâm I ;

22 3

laø trung ñieåm AC vaø baùn kính R = IA = 1

Suy ra phöông trình ñöôøng troøn (T):

2 2

1 3x y 1

22 3


Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù ñænh A(3; 7), tröïc taâm laø

H(3; 1), taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp laø I(2; 0). Xaùc ñònh toaï ñoä ñænh C, bieát C coù

hoaønh ñoä döông.

Giaûi

Caùch 1: Noái daøi AH caét ñöôøng troøn (C) taâm I taïi ñieåm H'

BC ñi qua trung ñieåm HH'.

Phöông trình AH: x = 3

Ñöôøng troøn (C) coù phöông trình:

2 2

(x 2) y 74

H' laø giao ñieåm cuûa AH vaø ñöôøng troøn (C)

H' (3; 7)

Ñöôøng thaúng BC coù phöông trình : y = 3 caét

ñöôøng troøn (C) taïi ñieåm C coù hoaønh ñoä laø nghieäm

phöông trình: 2 2( 2) 3 74 x

65 2 x (laáy hoaønh ñoä döông); y = 3.

Vaäy C ( 65 2 ; 3)

Caùch 2: Goïi (C) laø ñöôøng troøn taâm I(2; 0),

baùn kính R = IA 74

Phöông trình ñöôøng troøn (C): 2 2

(x 2) y 74

Goïi AA1 laø ñöôøng kính

BHCA1 laø hình bình haønh

HA1 qua M trung ñieåm BC

Ta coù IM laø ñöôøng trung bình cuûa A1AH

Neân : M

M

x 21IM AH M( 2; 3)

y 32

Phöông trình BC qua M vaø vuoâng goùc AH: y 3 = 0

M

I

BC

A

H

H'

A1

H'

M

IH

BC

A


216

Toaï ñoä C thoaû heä phöông trình:

2 2(x 2) y 74

x 2 65y 3 0

y 3x 0

.

Vaäy C ( 65 2 ; 3)


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C): x2

+ y2

+ 4x + 4y + 6 = 0

vaø ñöôøng thaúng : x + my – 2m + 3 = 0 vôùi m laø tham soá thöïc. Goïi I laø taâm cuûa

ñöôøng troøn (C). Tìm m ñeå caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A vaø B sao cho dieän tích

tam giaùc IAB lôùn nhaát.

Giaûi

(C) coù taâm I (2; 2), baùn kính R = 2

Dieän tích tam giaùc IAB: S = 21 1IA.IB.sinAIB R 1

2 2

S lôùn nhaát khi vaø chæ khi IA IB

Khi ñoù, khoaûng caùch töø I ñeán : d(I, ) = R

1

2

2

2 2m 2m 3

1

1 m

(1 – 4m)2

= 1 + m2

m = 0 hoaëc m = 8

15


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn (C): (x – 2)2

+ y2

= 4

5

vaø

hai ñöôøng thaúng 1: x – y = 0, 2 = x – 7y = 0. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm K vaø tính baùn

kính cuûa ñöôøng troøn (C1); bieát ñöôøng troøn (C1) tieáp xuùc vôùi caùc ñöôøng thaúng 1, 2

vaø taâm K thuoäc ñöôøng troøn (C).

Giaûi

Goïi K(a; b); K (C) (a – 2)2

+ b2

= 4

5

(1);

(C1) tieáp xuùc 1, 2

a b a 7b

2 5 2

(2).

(1) vaø (2), cho ta:

2 25 a 2 5b 4

5 a b a 7b

2 25 a 2 5b 4

I

5 a b a 7b

hoaëc

2 25 a 2 5b 4

II

5 a b 7b a


217

2

25a 20a 16 0I

b 2a

voâ nghieäm;

(II) 2

a 2b 8 4a;b ;

5 525b 40b 16 0

Baùn kính (C1):

a b 2 2R

52

. Vaäy:

8 4 2 2K ; vaø R

5 5 5


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn (C): (x – 1)2

+ y2

= 1. Goïi

I laø taâm cuûa (C). Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm M thuoäc (C) sao cho o

IMO 30

Giaûi

Goïi ñieåm M(a; b). Do M(a; b) thuoäc (C) neân (a – 1)2

+ b2

= 1;

O (C) IO = IM = 1 Tam giaùc IMO coù o

OIM 120

Neân OM2

= IO2

+ IM2

– 2IO.IM.cos1200

a2

+ b2

= 3

Toïa ñoä ñieåm M laø nghieäm cuûa heä

2 2

2 2

3a

a 1 b 1 2

3a b 3b

2

. Vaäy M = 3 3

;

2 2


Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù A(0; 2), B(–2; –2)

vaø C(4; –2). Goïi H laø chaân ñöôøng cao keû töø B; M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa

caùc caïnh AB vaø BC. Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc ñieåm H, M, N

Giaûi

Ta coù M(1; 0), N(1; 2), AC (4; 4). Giaû söû H (x, y). Ta coù:

4(x 2) 4(y 2) 0 x 1BH ACH(1; 1)

4x 4(y 2) 0 y 1H AC

Giaû söû phöông trình ñöôøng troøn caàn tìm laø: x2

+ y2

+ 2ax + 2by + c = 0 (1)

Thay toïa ñoä cuûa M, N, H vaøo (1) ta coù heä ñieàu kieän:

1a

2a c 1 2

2a 4b c 5 1b

22a 2b c 2

c 2

Vaäy phöông trình ñöôøng troøn caàn tìm laø: x2

+ y2

x + y 2 = 0


218


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn (C): (x– 1)2

+ (y + 2)2

= 9 vaø

ñöôøng thaúng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m ñeå treân d coù duy nhaát moät ñieåm P maø töø

ñoù coù theå keû ñöôïc hai tieáp tuyeán PA, PB tôùi (C) (A, B laø caùc tieáp ñieåm) sao cho

tam giaùc PAB ñeàu .

Giaûi

(C) coù taâm I(1; 2) vaø baùn kính R = 3.

Ta coù: PAB ñeàu neân IP = 2IA = 2R = 6 P thuoäc ñöôøng troøn (C') taâm I, baùn

kính R' = 6. Treân d coù duy nhaát moät ñieåm P thoaû maõn yeâu caàu baøi toaùn khi vaø chæ khi

d tieáp xuùc vôùi (C') taïi P d(I; d) = 6 m = 19 hay m = 41.


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn

(C) : x2

+ y2

2x 6y + 6 = 0 vaø ñieåm M(3; 1).

Goïi T1 vaø T2 laø caùc tieáp ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán keû töø M ñeán (C).

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng T1T2.

Giaûi

Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(1; 3) vaø baùn kính R = 2. MI = 2 5 > R neân M naèm ngoaøi

(C). Neáu T(xo; yo) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán keû töø M ñeán (C) thì:

T (C) T (C)

MT IT MT.IT 0

o o o o

MT (x 3; y 1),IT (x 1; y 3). Do ñoù ta coù:

2 2

o o o o

o o o o

x y 2x 6y 6 0

(x 3)(x 1) (y 1)(y 3) 0

2 2

o o o o

o o2 2

o o o o

x y 2x 6y 6 0

2x y 3 0

x y 2x 4y 0

(1)

Vaäy, toïa ñoä caùc tieáp ñieåm T1 vaø T2 cuûa caùc tieáp tuyeán keû töø ñieåm M ñeán (C) ñeàu

thoûa maõn ñaúng thöùc (1). Do ñoù phöông trình ñöôøng thaúng T1T2 laø:

2x + y 3 = 0.


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn:

(C): x2

+ y2

2x 2y + 1 = 0 vaø ñöôøng thaúng d: x y + 3 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm

M naèm treân d sao cho ñöôøng troøn taâm M, coù baùn kính gaáp ñoâi baùn kính ñöôøng troøn

(C), tieáp xuùc ngoaøi vôùi ñöôøng troøn (C).


219

Giaûi

Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(1; 1), baùn kính R = 1. Vì M d neân M(x; x + 3).

Yeâu caàu cuûa baøi toaùn töông ñöông vôùi:

2 2

MI R 2R (x 1) (x 2) 9 x 1, x 2

Vaäy coù 2 ñieåm M thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø: M1(1; 4), M2(2; 1)


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(2; 0) vaø B(6; 4).

Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng

caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5.

Giaûi

Goïi taâm cuûa (C) laø I(a; b) vaø baùn kính cuûa (C) laø R.

(C) tieáp xuùc vôùi Ox taïi A a = 2 vaø |b| = R

IB = 5 (6 2)2

+ (4 b)2

= 25 b2

8b + 7 = 0 b = 1, b = 7

Vôùi a = 2, b = 1 ta coù ñöôøng troøn: (C1): (x 2)2

+ (y 1)2

= 1

Vôùi a = 2, b = 7 ta coù ñöôøng troøn: (C2): (x 2)2

+ (y 7)2

= 49.

Baøi 14:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy cho 2 ñieåm A(0; 2) vaø

B( 3 ; 1). Tìm toïa ñoä tröïc taâm vaø toïa ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa OAB

Giaûi

Goïi H(x, y) laø tröïc taâm AOB

AH OB AH coù VTPT OB 3, 1

Phöông trình AH: 3 x 0 y 2 0 hay 3x y 2 0

BH.OA BH coù vtpt OA 0; 2

Phöông trình BH: 0 x 3 2 y 1 0 hay y + 1 = 0 H 3; 1

Goïi I (x0; y0) laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp AOB, ta coù: 2 2 2

IA IO IB

22 2 2

0 0 0 0 0

222 2

00 0 0 0

x y x y 2 y 1

I 3;1

x 3x y x 3 y 1

Baøi 15:

Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho ñöôøng troøn

(C): (x 1)2

+ (y 2)2

= 4 vaø ñöôøng thaúng d: x y 1 = 0.

Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C') ñoái xöùng vôùi ñöôøng troøn (C) qua ñöôøng

thaúng d. Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø (C').


220

Giaûi

(C1) coù taâm I(1; 2), R = 2

Goïi I' laø ñieåm ñoái xöùng cuûa I qua (d)

Goïi () laø ñöôøng thaúng qua I vaø d : x + y 3 = 0

() (d) = H(2; 1)

Vì H laø trung ñieåm cuûa II' neân:

x 12

x = 32

y 2 y = 01

2

vôùi I' (x; y) I' (3; 0)

Vaäy ñöôøng troøn (C) coù taâm I'(3; 0) R = R' = 2

Vaäy (C'): (x 3)2

+ y2

= 4

* Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (C), (C').

Giaûi heä

2 2

2 2

2 2

x 1 y 2 4 x 3 y 4

x y 1 0x 3 y 4

2

x y 1 x = 1 x = 3

y = 0 y = 22y 4y 0

Vaäy giao ñieåm cuûa (C), (C') laø A(1; 0) B(3; 2).

Baøi 16:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy, cho hai ñöôøng troøn

(C1): x2

+ y2

10x = 0, C2: x2

+ y2

+ 4x 2y 20 = 0.

1/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) vaø coù taâm

naèm treân ñöôøng thaúng x + 6y 6 = 0.

2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa caùc ñöôøng troøn (C1) vaø (C2).

Giaûi

1/ Ñöôøng troøn (C) qua giao ñieåm cuûa hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) (C), (C1), (C2)

thuoäc chuøm ñöôøng troøn.

(C): m(x2

+ y2

– 10x) + n(x2

+ y2

– 2y – 20) = 0; (Vôùi m2

+ n2

0).

(m + n)x2

+ (m + n)y2

+ (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0

x2

+ y2

+

4n 10m 2n 20nx y 0

m n m n m n

Taâm 2n 5m n

I ;

m n m n

Vì I d: x + 6y – 6 = 0

5m 2n 6n6 0 m 2n

m n m n

Ta choïn n = 1 m = 2. Vaäy (C): x2

+ y2

– 24x + 2y + 20 = 0.


221

2/ Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2)

(C1) coù taâm I1(5; 0), baùn kính R1 = 5

(C2) coù taâm I2(2; 1), baùn kính R2 = 5; I1I2 = 5 2

I1I2 < R1 + R2 (C1) vaø (c2) caét nhau taïi hai ñieåm

(C1) vaø (C2) coù hai tieáp tuyeán chung

Nhaän xeùt x = x0 khoâng theå coù tieáp tuyeán chung. Phöông trình tieáp tuyeán chung

cuûa (C1) vaø (C2) coù daïng : y = ax + b ax – y + b = 0

ycbt

21 1

2 2

2

5a b

5 (1)

d I , R a 1

d I , R 2a 1 b

5 (2)

a 1

Töø (1), (2) 5a b 2a 1 b

1a

5a b 2a 1 b 7

5a b 2a 1 b 3a 1b

2

Thay 1

a

7

vaøo (1) ta coù:

1 2

5 25 2 5 25 2b ; b

7 7

Thay

3a 1

b

2

vaøo (1)

ta coù: 23a 1

5a 5 a 1

2

51a

2

– 14a + 99 = 0 phöông trình voâ nghieäm

Vaäy ta coù 2 tieáp tuyeán laø: 1: x + 7y – 5 + 25 2 = 0

2: x + 7y – 5 – 25 2 = 0

Baøi 17:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho hai ñöôøng troøn

(C1): x2

+ y2

4y 5 = 0, (C2): x2

+ y2

6x + 8y + 16 = 0. Vieát phöông trình caùc

tieáp tuyeán chung hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2).

Giaûi

(C1): x2

+ y2

– 4y – 5 = 0 I1(0; 2), R1 = 3

(C2): x2

+ y2

– 6x + 8y + 16 = 0 I2(3; 4), R2 = 3

Ta coù I1I2 = 22

1 23 6 3 5 3 3 R R

Vaäy C1) vaø (C2) naèm ngoaøi nhau coù 4 tieáp tuyeán chung


222

Nhaän xeùt: Tieáp tuyeán ñöùng cuûa (C1) laø x = 3

Tieáp tuyeán ñöùng cuûa (C2) laø x = 0 x = 6

(C1) vaø (C2) tieáp tuyeán chung cuûa chuùng coù daïng

: y = ax + b ax – y + b = 0

ycbt

2

1 1

22 2

b 2 3 a 1 (1)d I , R

d I , R3a b 4 3 a 1 (2)

Töø (1), (2) b 2 3a b 4

a 2b 2 3a b 4

3a 2b 2 3a b 4 b

2

Theá a = 2 vaøo (1) ta ñöôïc: 1

2

b 2 3 5

2 b 3 5

b 2 3 5

Coù hai tieáp tuyeán: 1: 2x – y + 2 + 3 5 = 0 ; 2: 2x – y + 2 3 5 = 0

Theá 3a 2

b

2

vaøo (1) ta ñöôïc: 3a

2

– 4a = 0

1 1

2 2

a 0 b 1

4a b 3

3

Coù hai tieáp tuyeán: 3: y = 1; 4 = 4

x 3

3

Baøi 18:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho ñöôøng thaúng

d: x y + 1 = 0 vaø ñöôøng troøn (C): x2

+ y2

+ 2x 4y = 0.

Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng d maø qua ñoù ta keû ñöôïc hai ñöôøng

thaúng tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) taïi A vaø B sao cho goùc AMB baèng 600

.

Giaûi

Ta coù (C): (x + 1)2

+ (y – 2)2

= 5 Taâm I (1; 2), R = 5

Do 0

AMB 60 vaø MI laø phaân giaùc AMI laø nöûa tam giaùc ñeàu

Coù 0

AMI 30 MI 2.IA 2 5

Vaäy M naèm treân ñöôøng troøn taâm I, baùn kính 2 5 coù phöông trình laø:

(C1): (x + 1)2

+ (y – 2)2

= 20

Do ñoù: Toïa ñoä M laø nghieäm cuûa heä:

2 2

x y 1 0

(x 1) (y 2) 20

22

y x 1 x 3 x 3

hay

y 4 y 2y y 2 20

Vaäy toïa ñoä M1(3; 4), M2(3; 2) thoûa maõn ycbt

Baøi 19:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy cho ñöôøng thaúng


223

d: x 7y + 10 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng

: 2x + y = 0 vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng d taïi A(4; 2).

Giaûi

d: x – 7y + 10 = 0, : 2x + y = 0, A(4; 2)

Goïi I(a; b) taâm ñöôøng troøn (C)

Vì (C) tieáp xuùc d taïi A IA d phöông trình ñöôøng thaúng IA: 7x + y + m = 0

A IA: 28 + 2 + m = 0 m = 30

Vaäy phöông trình cuûa IA: 7x + y – 30 = 0

Do ñoù I laø giao ñieåm cuûa IA vaø ta giaûi heä 7x y 30 0

I 6; 12

2x y 0

R = IA = 2 2

4 6 2 12 200 10 2

Vaäy (C): (x – 6)2

+ (y + 12)2

= 200

Vaán ñeà 3: ELIP – HYPERBOL – PARABOL


Elip

I. ÑÒNH NGHÓA: (E) = M MF1 + MF2 = 2a; F1F2 = 2c; a > c

II. CAÙC PHAÀN TÖÛ ELIP:

Caùc phaàn töû cuûa elip Phöông trình chính taéc:

(E):

2 2

2 2

x y1

a b

(a > b > 0)

Phöông trình khoâng chính

taéc: (E) :

2 2

2 2

x y1

a b

(b > a > 0)

1. Ñoà thò

2. Truïc lôùn

Truïc nhoû

A1A2 = 2a

B1B2 = 2b

A1A2 = 2a

B1B2 = 2b

3. Ñænh A1(a; 0), A2(a; 0)

B1(0; b), B2(0; b)

A1(0; a), A2(0; a)

B1(b; 0), B2(b; 0)

B1

B2

O A1 A2

x

y

F1 F2

B1 B2

x

y

A2

A1

F1

F2

O


224

4. Tieâu ñieåm F1(c; 0), F2(c; 0) F1 (0; c), F2(0; c)

5. Tieâu cöï F1F2 = 2c F1F2 = 2c

6. Taâm sai ce 1

a

c

e 1

a

7. c2

= a2

b2

c2

= b2

a2

8. Baùn kính qua tieâu

ñieåm

MF1 = a + exm

MF2 = a exm

MF1 = a + eym

MF2 = a eym

9. Ñöôøng chuaån 2a

x

c

2a

y

c

10. Hình chöõ nhaät

cô soá

x = a; y = b y = a; x = b

11. Khoaûng caùch

giöõa 2 ñöôøng chuaån

22a

c

22a

c

III. TIEÁP TUYEÁN ELIP: Cho (E):

2 2

2 2

x y1

a b

1. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) taïi M(x0, y0)

0 0

2 2

x.x y.yd : 1

a b

b2

x.x0 + a2

y.y0 = a2

b2

2. Ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0 tieáp xuùc (E) 2 2 2 2 2

a A b B C

HYPERBOL

I. ÑÒNH NGHÓA: (H) = M MF1 MF2 = 2a, F1F2 = 2c, 0 < a < c

II. CAÙC PHAÀN TÖÛ CUÛA HYPERBOL

Caùc phaàn töû PTCT: (H):

2 2

2 2

x y1

a b

Daïng khoâng chính taéc

2 2

2 2

y x1

a b

1. Truïc thöïc

A1A2 = 2a

A1A2 = 2a

2. Ñænh A1(a; 0), A2(a; 0) A1(0; a), A2(0; a)

3. Tieâu ñieåm F1(c; 0), F2(c; 0) F1(0; c), F2(0; c)

x

y

A1 A2

F1 F2

O x

y

A1

A2

F1

F2

O


225

4. Tieâu cöï F1F2 = 2c F1F2 = 2c

5. Taâm sai

ce 1

a

c

e 1

a

6. c2

= a2

+ b2

c2

= a2

+ b2

7. Ñöôøng chuaån

2a

x

c

2a

y

c

8. Tieäm caän by x

a

b

x y

a

9. Baùn kính qua

tieâu ñieåm

MF1 = exm + a

MF2 = exm a

(M thuoäc nhaùnh phaûi boû

trò tuyeät ñoái.

M thuoäc nhaùnh traùi boû vaø

ñoåi daáu trò tuyeät ñoái)

MF1 = eym + a

MF2 = eym a

10. Caùc caïnh hình

chöõ nhaät cô sôû

x = a; y = b y = a; x = b

11. Khoaûng caùch

giöõa 2 ñöôøng

chuaån baèng

22a

c

22a

c

III. Tieáp tuyeán cuûa Hyperbol:

Cho

2 2

2 2

x y(H) : 1

a b

1/ Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (H) taïi M(x0; y0) 0 0

2 2

x.x y.yd : 1

a b

2/ Ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0 tieáp xuùc (H) 2 2 2 2 2

a A b B C

PARABOL

I. ÑÒNH NGHÓA: (P) = M MF = d(M, )

II. CAÙC PHAÀN TÖÛ CUÛA PARABOL.

1. Phöông trình chính taéc: (P): y2

= 2px.

Ñænh 0, truïc ñoái xöùng Ox

Tieâu ñieåm p

F ,0

2

Ñöôøng chuaån: p

: x

2

Baùn kính qua tieâu: M

pMF x

2

y

x O

M

P

2

pF ,0

2


226

2. Caùc daïng khaùc:

Caùc phaàn töû Daïng y2

= 2py x2

= 2px x2

= 2py

1. Ñoà thò

2. Tieâu ñieåm

pF ,0

2

p

F 0,

2

p

F 0,

2

3. Ñöôøng

chuaån

p: x

2

p

: y

2

p

: y

2

4. Baùn kính

qua tieâu ñieåm 1 m

pMF x

2

m

pMF y

2

m

pMF y

2

III. Tieáp tuyeán cuûa parabol: (P): y2

= 2px

1/ Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (P) taïi M (x0; y0) coù daïng d: y.y0 = p(x + x0)

2/ Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc (P) B2

p = 2AC

B. ÑEÀ THI


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho elip (E):

2 2x y

1

4 1

. Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A

vaø B thuoäc (E), coù hoaønh ñoä döông sao cho tam giaùc OAB caân taïi O vaø coù dieän

tích lôùn nhaát .

Giaûi

Vì xA vaø xB döông vaø tam giaùc OAB caân taïi O neân

A, B ñoái xöùng nhau qua truïc Ox vaø xA = xB, yA = –yB .

Ta coù: A (E)

2 2

A Ax y1

4 1 .

SOAB = A A A A

1 1AB.d(O,AB) 2 y . x x y

2 2 .

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy ta coù:

1 =

2 2 2

2A A A

A A A OAB

x y x2 .y x y S

4 1 4 .

y

x

O

p

2

F

p

2

y

x O

F

y

x

O

F p

2

A

B

O

x

y

2

1

–2

–1


227

SOAB lôùn nhaát khi vaø chæ khi

2

2A

A

2

2A

A

xy

4

xy 1

4

2

A

2

A

x 1

4 2

1y

2

A

A

x 2

2y

2

.

Vaäy : A 2

2;

2

; B2

2;

2

hoaëc A

22;

2

; B

22;

2

.


Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(2; 3 ) vaø elip (E):

2 2x y

1

3 2

.

Goïi F1 vaø F2 laø caùc tieâu ñieåm cuûa (E) (F1 coù hoaønh ñoä aâm); M laø giao ñieåm coù

tung ñoä döông cuûa ñöôøng thaúng AF1 vôùi (E); N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa F2 qua M.

Vieát phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ANF2.

Giaûi

2 2

2 2 2x y(E) : 1 c a b 3 2 1

3 2

. Do ñoù F1(–1; 0); F2(1; 0).

Phöông trình AF1 coù daïng x 1 y 0

2 1 3 0

x y 3 1 0 .

M = AF1 (E) neân toïa ñoä ñieåm M (vôùi yM > 0) thoûa heä phöông trình

2 2

x y 3 1 0

2x 3y 6

x 1

2y

3

(vì y > 0) M 2

1;

3

N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa F2 qua M M laø trung ñieåm NF2 N 4

1;

3

1

NA 1;

3

; 2F A 1; 3

2NA.F A 0 .

ANF2 vuoâng taïi A neân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa noù coù ñöôøng kính laø F2N.

Ñöôøng troøn naøy coù taâm I2

1;

3

laø trung ñieåm ñoaïn F2N vaø coù baùn kính

R = IF2 = 2

3

neân coù phöông trình laø:

2

2 2 4(x 1) y

33

.


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, haõy vieát phöông trình chính taéc cuûa elíp (E)

bieát raèng (E) coù taâm sai baèng 5

3

vaø hình chöõ nhaät cô sôû cuûa (E) coù chu vi baèng 20.

Giaûi


228

Goïi (E): 2 2

2 2

x y1 vôùia b 0

a b

Taâm sai baèng 5 c 5

e

3 a 3

9c2

= 5a2

9(a2

– b2

) = 5a2

(1)

Chu vi hình chöõ nhaät cô sôû baèng 20 a + b = 5 b = 5 – a (2)

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: a2

– 18a + 45 a 3haya 15 loaïi vì b 10 0

Vôùi a = 3 b = 2 (nhaän)

Vaäy phöông trình chính taéc cuûa (E): 2 2

x y1

9 4


Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho parabol (P): y2

= 16x vaø ñieåm A(1; 4).

Hai ñieåm phaân bieät B, C (B vaø C khaùc A) di ñoäng treân (P) sao cho goùc 0BAC 90 .

Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng BC luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.

Giaûi

B, C (P)

2 2b c

B ;b , C ,c

16 16

(b c, b, c 4)

2 2b c

AB 1; b 4 , AC 1; c 4

16 16

Do AB AC neân

2 2b c

AB.AC 0 1 1 (b 4)(c 4) 0

16 16

272 + 4(b + c) + bc = 0 (1)

Phöông trình ñöôøng thaúng BC laø:

2

2 2

cx

y c1616x (b c)y bc 0

b cb c

16 16

(2)

Töø (1) vaø (2) suy ra ñöôøng thaúng BC luoân ñi qua ñieåm coá ñònh I(17; 4).


Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy cho ñieåm C(2; 0) vaø elip (E):

2 2x y

1

4 1

. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm A, B thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A, B ñoái

xöùng vôùi nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu.

Giaûi

Giaû söû A(xo; yo). Do A, B ñoái xöùng nhau qua Ox neân B(xo; yo).

Ta coù AB2

= 42

oy vaø AC

2

= (xo 2)2

+ 2

oy .


229

Vì A (E) neân

4 2

2 2o o

o o

x xy 1 y 1

4 4

(1)

Vì AB = AC neân 2 2 2

o o o(x 2) y 4y (2)

Thay (1) vaøo (2) vaø ruùt goïn ta ñöôïc:

o

2

o o

o

x 2

7x 16x 4 0 2x

7

Vôùi xo = 2 thay vaøo (1) ta coù yo = 0. Tröôøng hôïp naøy loaïi vì A C.

Vôùi xo = 2

7

thay vaøo (1) ta coù o

4 3y

7

(nhaän)

Vaäy 2 4 3 2 4 3

A ; ;B ;

7 7 7 7

hoaëc

2 4 3 2 4 3B ; ;A ;

7 7 7 7

Baøi 6:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho Parabol (P) coù

phöông trình y2

= x vaø ñieåm I(0; 2). Tìm toïa ñoä hai ñieåm M, N thuoäc (P) sao

cho IM 4IN .

Giaûi

Ta coù: (P) y2

= x vaø I(0; 2). Goïi M(m2

; m ), N(n2

; n) (P)

2 2 2IM m ; m 2 , IN n ; n 2 4IN 4n ; 4n 8

ycbt:

2 2

1 2

2

1 2

m 4n 6 n 1 n 3m 4nIM 4IN hay

m 2 m 6m 2 4n 8 n 4n 3 0

Vaäy ta coù 2 caëp ñieåm M1(4; 2), N1(1; 1) vaø M2(36; 6), N2(9; 6).

Baøi 7:

Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho elip (E) coù

phöông trình

2 2x y

1

16 9

. Xeùt ñieåm M chuyển ñộng treân tia Ox vaø ñieåm N

chuyeån ñoäng treân tia Oy sao cho ñöôøng thaúng MN luoân tieáp xuùc vôùi (E).

Xaùc ñònh toïa ñoä cuûa M, N ñeå ñoaïn MN coù ñoä daøi nhoû nhaát. Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù

Giaûi

M(m; 0) Ox, N(0; n) Oy m, n > 0

(E):

2 2x y

1

16 9

Ñöôøng thaúng MN coù phöông trình: nx + my mn = 0

MN tieáp xuùc vôùi (E) 2 2 216n 9m mn

Ta coù MN2

= m2

+ n2

. Theo baát ñaúng thöùc Bunhia ta coù:


230

2 2

2 2

4 3 16 97 .m .n m n MN

m n m n

MN nhoû nhaát

2 2

2 2m n m n 3m 4n

4 3 4 3

m n

Vaø m2

+ n2

= 49 m2

= 28 vaø n2

= 21

Do ñoù MN nhoû nhaát m = 2 7 vaø n = 21 (vì m, n > 0)

M (2 7 ; 0) N (0; 21 ) khi ñoù min MN = 7.

Baøi 8:

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy, cho elíp (E):

2 2x y

1

9 4

vaø ñöôøng thaúng dm: mx y 1 = 0.

a/ Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m, ñöôøng thaúng dm luoân caét elíp (E)

taïi hai ñieåm phaân bieät.

b/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E), bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm

N(1; 3).

Giaûi

a/ (E):

2 2x y

1

9 4

4x2

+ 9y2

= 36

Ta coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (E) vaø (dm)

4x2

+ 9(mx – 1)2

– 36 = 0 (4 + 9m2

)x2

– 18mx – 25 = 0

' = 81m2

+ 25(4 + 9m2

) > 0, m

Vaäy dm caét (E) taïi hai ñieåm m

b/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) qua N(1; 3)

Do x = 1 khoâng laø tieáp tuyeán cuûa (E) neân goïi laø tieáp tuyeán vôùi (E) qua N(1; 3)

coù heä soá goùc k

: y = k(x – 1) – 3 kx – y – 3 – k = 0.

tieáp xuùc (E) 9k2

+ 4 = (3 – k)2

8k2

– 6k – 5 = 0

1 5

k hay k

2 4

Vaäy coù 2 tieáp tuyeán 1: x + 2y + 5 = 0, 2: 5x – 4y – 17 = 0

hÌnh hoÏc giaÛi tÍch trong maËt phaÚng oxy · trong maët phang toa ñoä oxy, cho hai...

Documents