hình oxy
TRANSCRIPT
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
1
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
1) Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC biết 1;4A , phương trình đường cao (BH): 2 9 0x y ,
Phương trình đường phân giác (CD) 3 0x y . Tìm toạ độ 2 điểm B, C
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( ) ( )2 2
1 1 4x y . Một đường tròn (C') tiếp xúc với
Oy và tiếp xúc ngoài với (C). Tìm tâm của (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d): 2 0x y .
3) ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 1 0x y và phân giác trong CD
1 0x y . Viết phương trình đường thẳng BC
HD: Điểm : 1 0 ;1C CD x y C t t .
Suy ra trung điểm M của AC là 1 3
;2 2
t tM
.
Điểm
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;82 2
t tM BM x y t C
Từ A(1;2), kẻ : 1 0AK CD x y tại I (điểm K BC ).
Suy ra : 1 2 0 1 0AK x y x y .
Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0
0;11 0
x yI
x y
.
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của 1;0K .
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1
4 3 4 07 1 8
x yx y
4) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai
đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh
C và D.
Ta có: 1;2 5AB AB . Phương trình của AB là:
2 2 0x y .
: ;I d y x I t t . I là trung điểm của AC và BD nên ta
có: 2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t
Mặt khác: D . 4ABCS AB CH (CH: chiều cao) 4
5CH
Ngoài ra:
4 5 8 8 2; , ;| 6 4 | 4
3 3 3 3 3;5 5
0 1;0 , 0; 2
t C Dtd C AB CH
t C D
Vậy tọa độ của C và D là 5 8 8 2
; , ;3 3 3 3
C D
hoặc 1;0 , 0; 2C D
5) Trªn Oxy cho Elip 12
2
2
2
b
y
a
x )0( ba biÕt
2
122
a
ba h×nh ch÷ nhËt c¬ së c¾t Ox
t¹i A, A’, c¾t Oy t¹i B, B’. LËp ph¬ng tr×nh Elip biÕt diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ cã diÖn tÝch b»ng 4 .
HD: . gt: DiÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
2
A’ A
B’
B
O
K
h×nh thoi ABA’B’ b»ng 4
b¸n kÝnh ®êng trßn r = 2
. O lµ t©m h×nh trßn, kÎ OK AB’ r = OK = 2
.XÐt tam gi¸c vu«ng OAB’ ta cã: 22222
11
4
1111
baOBOAOK (1)
. Tõ gt:
22222
2222
222
.22
1
babaa
baaa
ba
. a2 vµ b2 ®îc t×m tõ hÖ (1); (2)
6
12
411
2
2
2
22
22
b
a
ba
ba
VËy ElÝp tho¶ yªu cÇu bµi to¸n co pt lµ: 1612
22
yx
6) Trªn Oxy cho 2 ®êng th¼ng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0. Gäi I lµ giao ®iÓm cña d1 vµ d2; A lµ ®iÓm thuéc d1, A cã hoµnh ®é d¬ng kh¸c 1 (0 < xA 1). LËp ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng () ®i qua A, c¾t d2 t¹i B sao cho diÖn tÝch IAB b»ng 6 vµ IB = 3IA
I = d1 d2 t¹o ®é cña I lµ n0 cña hÖ
1
1
032
012
y
x
yx
yx
VËy I(1; 1)
Tõ gt d1 cã VTPT );1;2(1 n d2 cã VTPT );1;2(2 n
Gäi lµ gãc cña d1 vµ d2
Tõ gt: 4556 22 IBIAS IAB
)12,(. 1 aaAdA víi a > 0, a 1
. pt
2
05)1(55)22()1(5 2222
a
aaaaIA
a = 2 A(2;3)
* )23,(. 21 baBdB
(2)
lo¹i
I
A
B IB=3TA
2
4 1 3 4cos sin
5 5 5
1 4 6.3 .
2 5 5IAB
IAS IA IA
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
3
)7;2(2
)5;4(49)1(45
)1(5)22()1(
22
2222
Bb
BbbIB
bbbIB
Víi A(2;3); B(4;5) pt cÇn t×m lµ 011435
3
24
2
yx
yx
Víi A(2;3); B(-2;7) pt cÇn t×m lµ 0537
3
22
2
yx
yx
7) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là ( 1;2)M , tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác là (2; 1)I . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình:
2 1 0x y . Tìm tọa độ đỉnh C .
HD: AB đi qua M nhận (3, 3)MI làm vtpt nên có pt: 3 0x y
Tọa độ A là nghiệm của hệ : 3 0 4 5
;2 1 0 3 3
x yA
x y
( 1;2)M là trung điểm của AB nên 2 7
;3 3
B
BC nhận (2;1)n làm vtcp nên có p
t:
2 2 2 2
2 2
22
2 732 ;
7 3 3
3
8 10 8 102
3 3 3 3
0,loai (do )
4
5
x t
C t t
y t
IB IC IB IC t t
t C B
t
Vậy 14 47
;15 15
C
8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ( 12;1)B , đường phân giác trong góc A có
phương trình: 2 5 0x y . Trọng tâm tam giác ABC là 1 2
;3 3
G
.Viết phương trình đường
thẳng BC .
Gọi H là hình chiếu của B trên 5 2
: 5 2 ;x t
d H t ty t
17 2 ; 1 2;1 2 17 2 1 0
7 9;7
dBH t t u t t
t H
Gọi M là điểm đối xứng của B qua d
2 6;13
5 2 ; 8 2 ;1
BM BH M AC
A d A a a C a a
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
4
/ / 2 4;3MA MC a C Vậy : 8 20 0BC x y
9) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua 2;1M và tạo với các trục
tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 .
HD: Gọi d là ĐT cần tìm và ;0 , 0;A a B b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : 1x y
da b .
Theo giả thiết, ta có: 2 1
1, 8aba b .
Khi 8ab thì 2 8b a . Nên: 12; 4 : 2 4 0b a d x y .
10) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 1
3;2
M
. Viết phương trình chính tắc của elip đi
qua điểm M và nhận 1 3;0F làm tiêu điểm
11) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt
đường tròn (C) có phương trình 2 2( 2) ( 1) 25 x y theo một dây cung có độ dài bằng 8
HD : G/s một véc tơ pháp tuyến của d là ( ; )n a b ,vì d đi qua điểm A(1;2) nên d có phương trình
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 hay d: ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b
2 > 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3.
2 2
2 2
2 2, 3 3 3
a b a bd I d a b a b
a b 2
0
8 6 0 3
4
a
a aba b
a = 0: chọn b = 1 d: y – 2 = 0
a = 3
4 b : chọn a = 3, b = – 4 d: 3x – 4 y + 5 = 0
12) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1): x2 + y
2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x
2 + y
2 – 8x – 2y + 16 = 0.
HD: (C1): 2 2( 1) ( 1) 4 x y có tâm 1(1; 1)I , bán kính R1 = 2.
(C2): 2 2( 4) ( 1) 1 x y có tâm 2 (4; 1)I , bán kính R2 = 1.
Ta có: 1 2 1 23 I I R R (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
(C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : ( ) : 0 y ax b ax y b ta có:
2 2
1 1
2 2
2 2
1 2 22( ; ) 4 4
( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 21
4 4
a ba a
d I R a bhay
d I R a bb b
a b
Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: 1 2 3
2 4 7 2 2 4 7 2( ) : 3, ( ) : , ( )
4 4 4 4
x y x y x
13) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y
2 + 4x – 6y + 9 = 0 và điểm
M( 1; - 8).Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C) tại hai điểm A,B phân biệt mà
diện tích tam giác ABI đạt giá trị lớn nhất.Với I là tâm của đường tròn (C). §trßn (C) cã t©m I(- 2; 3) & b¸n kÝnh R = 2. Gi¶ sö pt®t (d) : Ax + By – A + 8B = 0 víi A2 + B2 > 0
Lu«n cã BIA c©n t¹i I víi IA = IB = 2 ; SBIA = 2
1IA.IB.sinAIB = 2sinAIB
SBIA 2 DÊu = khi AIB vu«ng c©n t¹i I hay d(I ; (d)) = 2 2311
22
BA
AB
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
5
7A2 – 66BA + 119B2 = 0 (A – 7B)(7A – 17B) = 0 VËy cã hai ®êng th¼ng d tho¶ m·n: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0
14) Cho A(1 ; 4) và hai đường thẳng b : x + y – 3 = 0 ; c : x + y – 9 = 0. Tìm điểm B trên b , điểm C
trên c sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
Gäi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) => AB (b - 1 ; - 1 - b) ; AC (c - 1 ; 5 - c)
& ABC vu«ng c©n t¹i A
ACAB
ACAB 0.
2222 )5()1()1()1(
)5)(1()1)(1(
ccbb
cbcb
v× c = 1 kh«ng lµ n0 nªn hÖ
)2....()5()1()1()1(
)5(.)1(
)1...(........................................1
)5)(1(1
222
2
22 ccb
c
cb
c
cbb
Tõ (2) (b + 1)2 = (c - 1)2.
Víi b = c – 2 thay vµo (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5).
Víi b = - c thay vµo (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).
KÕt luËn :cã hai tam gi¸c tho¶ m·n: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoÆc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).
15) Trong hÖ to¹ ®é Oxy ®êng th¼ng (d): x – y +1 =0 vµ ®êng trßn (C): 2 2 2 4 0x y x y .T×m
®iÓm M thuéc ®êng th¼ng (d) mµ qua M kÎ ®îc hai ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn (C) t¹i
A vµ B sao cho 060 .AMB
16) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD biÕt ph¬ng tr×nh c¹nh BC:x + 2y -
4 = 0 ph¬ng tr×nh ®êng chÐo BD: 3x + y – 7 = 0,®êng chÐo AC ®i qua M(-5;2).H·y t×m täa ®é c¸c ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
17) Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x - 2y + 6 = 0;
4x + 7y – 21 = 0. viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng gốc
tọa độ O
Giả sử AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Vậy A(0;3)
Đường cao đỉnh BO đi qua O nhận VTCP a = (7; - 4) của AC làm VTPT
Vây BO: 7x - 4y = 0 vậy B(-4;-7)
A nằm trên Oy, vậy đường cao AO chính là trục OY, Vậy AC: y + 7 = 0
18) Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y
2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẽ
được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
HD: (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2
M Oy M(0;m)
Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
Vậy
0
0
60 (1)
120 (2)
AMB
AMB
Vì MI là phân giác của AMB
(1) AMI = 300
0sin30
IAMI MI = 2R
2 9 4 7m m
(2) AMI = 600
0sin 60
IAMI MI =
2 3
3R 2 4 3
93
m Vô nghiệm
Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )
19) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(8 ;6) và tạo với 2 trục toạ
độ một tam giác có diện tích bằng 12
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
6
Giả sử (d) đi qua A(8;6) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M(a;0), N(0;b) a,b khác 0.Khi đó
(d) có phương trình 1x y
a b . Vì (d) đi qua A nên
8 61
a b (1)
lại có 1
122
OABS ab (2). Từ (1) và (2) ta có hệ
8 61
24
a b
ab
4
6
8
3
a
b
a
b
từ đó có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện là 1, 14 6 8 3
x y x y
20) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD .Biết rằng
AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng đi qua M(4
;13
), B, C thuộc đường thẳng đi qua N(0 ; 3), A,D
thuộc đường thẳng đi qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng đi qua Q(6 ;2)
HD : Phương trình AB có dạng: y = k(x + 4/3) + 1
DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky – 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0
Vì AB = 2BC nên d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC)
2 2
4 14 3 1 6 2
10 12 6 443 3 3
10 12 44 6 31 1
17
kk k k k
k k
k kk k k
Với k = 1/3 ta có phương trình các cạnh hình chữ nhật là: AB:
1/3( 4/3) 1, : 1/3( 6) 2, : 1/3 1 0, : 1/3 35/9 0y x DC y x BC x y AD x y
Với k = -3/17 ta có phương trình các cạnh của hình chữ nhật là:
: 3/17( 4 / 3) 1, : 3/17( 6) 2, : 3/17 9 /17 0,
: 3/17 4 3/17 0
AB y x DC y x BC x y
AD x y
21) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y
2 -2x +6y -15=0 (C ).
Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B
sao cho AB = 6
Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4
Mặt khác IH= d( I; Δ )
Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0
vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
22) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình:
2 2x y1
2 3
và
điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt
(H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB.
HD: Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB
A, B (H) :
2 2
A A
2 2
B B
3x 2y 6 (1)
3x 2y 6 (2)
M là trung điểm AB nên : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4)
(1) (2) ta có : 3(x2
A - x2
B) - 2(y2
A - y2
B) = 0 (5)
d(I; Δ )=
I
A H B
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
7
Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 3xA - yA = 5
Tương tự : 3xB - yB = 5. Vậy phương trình d : 3x - y - 5 = 0
23) Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC
nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.
HD: Ta có: 1;2 5AB AB . Phương trình của AB là: 2 2 0x y .
: ;I d y x I t t . I là trung điểm của AC: )2;12( ttC
Theo bài ra: 2),(.2
1 ABCdABS ABC 446. t
3
4
0
t
t
Từ đó ta có 2 điểm C(-1;0) hoặc C(3
8;
3
5) thoả mãn
24) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )5;2(,)1;1( BA , ®Ønh C n»m trªn ®êng th¼ng
04 x , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng 0632 yx . TÝnh diÖn tÝch tam
gi¸c ABC.
Ta cã );4( CyC . Khi ®ã täa ®é G lµ 3
23
51,1
3
421 CCGG
yyyx
. §iÓm G n»m trªn ®êng
th¼ng 0632 yx nªn 0662 Cy , vËy 2Cy , tøc lµ
)2;4(C . Ta cã )1;3(,)4;3( ACAB , vËy 5AB , 10AC , 5. ACAB .
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ 2510.252
1..
2
1 222 ACABACABS =
2
15
25) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )2;1(,)1;2( BA , träng t©m G cña tam gi¸c
n»m trªn ®êng th¼ng 02 yx . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5
V× G n»m trªn ®êng th¼ng 02 yx nªn G cã täa ®é )2;( ttG . Khi ®ã )3;2( ttAG ,
)1;1( AB VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ
1)3()2(22
1..
2
1 222
22 ttABAGABAGS =2
32 t
NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 5,43:5,13 . VËy 5,42
32
t, suy
ra 6t hoÆc 3t . VËy cã hai ®iÓm G : )1;3(,)4;6( 21 GG . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn
)(3 BaGC xxxx vµ )(3 BaGC yyyy .
Víi )4;6(1 G ta cã )9;15(1 C , víi )1;3(2 G ta cã )18;12(2 C
26) Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x-
3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ
B và C . Tính diện tích ABC .
+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là (3;1)n AC có phương trình 3x +
y - 7 = 0
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ AC
CM
……C(4;- 5)
+ 2 1
;2 2
B BM M
x yx y
; M thuộc CM ta được
2 11 0
2 2
B Bx y
+ Giải hệ
2 11 0
2 2
3 7 0
B B
B B
x y
x y
ta được B(-2 ;-3)
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
8
Tính diện tích ABC .
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ
14
3 7 0 5
3x 7 0 7
5
xx y
yy
…. Tính được BH = 8 10
5 ; AC = 2 10
Diện tích S = 1 1 8 10
. .2 10. 162 2 5
AC BH ( đvdt)
27) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung
trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC 28) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 3 8 0x y , ' :3 4 10 0x y và
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp
xúc với đường thẳng ’.
HD: Tâm I của đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có 2 2
2 2
3( 3 8) 4 10( 3 8 2) ( 1)
3 4
t tt t
Giải tiếp được t = -3
Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)
2 = 25
29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1; 2;3I . Viết phương trình mặt cầu tâm
I và tiếp xúc với trục Oy
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2: 2 0C x y x . Viết phương
trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 .
Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là 3 .
2 2: 1 1 1;0 ; 1C x y I R
Do đó: 1 : 3 0x y b tiếp xúc (C) 1,d I R
3
1 2 32
bb
. KL: 1 : 3 2 3 0x y .
Và : 2 : 3 0x y b tiếp xúc (C) 2,d I R
3
1 2 32
bb
. KL: 2 : 3 2 3 0x y .
30) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết
trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M .+
Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
( 1; 2)HK làm vtpt và AC đi qua K nên
( ) : 2 4 0.AC x y Ta cũng dễ có:
( ) : 2 2 0BK x y .
+ Do ,A AC B BK nên giả sử
M
HK
C B
A
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
9
(2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b Mặt khác (3;1)M là
trung điểm của AB nên ta có hệ:
2 4 6 2 10 4.
2 2 2 2 0 2
a b a b a
a b a b b
Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B
+ Suy ra: ( 2; 6)AB , suy ra: ( ) :3 8 0AB x y .
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận (3; 4)HA , suy ra:
( ) :3 4 2 0.BC x y
KL: Vậy : ( ) : 2 4 0,AC x y ( ) :3 8 0AB x y , ( ) :3 4 2 0.BC x y
31) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y 2 2( ') : 4 – 5 0C x y x cùng đi qua M(1; 0). Viết
phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho
MA= 2MB
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R , đường thẳng
(d) qua M có phương trình 2 2( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: 2 2 2 22 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H 2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d ,
.IA IH
2 2
2 2
2 2 2 2
94 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a bd I d d I d
a b a b
2 22 2
2 2
3635 36
a ba b
a b
Dễ thấy 0b nên chọn 6
16
ab
a
.
Kiểm tra điều kiện IA IH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
32) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp
xúc với đường thẳng : 2 0d x y tại điểm A có hoành độ bằng 4.
Gọi 2 2
2 2: 1
x yH
a b . (H) tiếp xúc với 2 2: 2 0 4 1d x y a b
2 2
16 44 2 4;2 1 2x y A H
a b
Từ (1) và (2) suy ra 2 2
2 28; 4 : 18 4
x ya b H
33) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip
(E):
2 2
18 6
x y và parabol (P): y
2 = 12x.
Giả sử đường thẳng () có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B
2 > 0)
() là tiếp tuyến của (E) 8A2 + 6B
2 = C
2 (1)
() là tiếp tuyến của (P) 12B2 = 4AC 3B
2 = AC (2)
Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = 2A.
Với C = 2A A = B = 0 (loại)
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
10
Với C = 4A 2
3
AB
Đường thẳng đã cho có phương trình:
2 2 3
4 0 4 033
AAx y A x y
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 3
4 03
x y
34) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y , phân
giác trong : 2 5 0BN x y .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
+ Do AB CH nờn AB: 1 0x y .
Giải hệ: 2 5 0
1 0
x y
x y
ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó: ( 4;3)AB BN B .
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ 'A BC .
- Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): 2 5 0x y .
Gọi ( )I d BN . Giải hệ: 2 5 0
2 5 0
x y
x y
. Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4)A
+ Phương trình BC: 7 25 0x y . Giải hệ: 7 25 0
1 0
x y
x y
Suy ra: 13 9
( ; )4 4
C .
+ 2 2 450( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4BC ,
2 2
7.1 1( 2) 25( ; ) 3 2
7 1d A BC
.
Suy ra: 1 1 450 45
( ; ). .3 2. .2 2 4 4
ABCS d A BC BC
35) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,
tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:1 yxd và 06:2 yxd . Trung điểm của
một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Ta có: Idd 21 . Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
3 0 9 / 2
6 0 3 / 2
x y x
x y y
. Vậy
9 3;
2 2I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD OxdM 1
Suy ra M( 3; 0)
Ta có: 232
3
2
932IM2AB
22
Theo giả thiết: 2223
12
AB
SAD12AD.ABS ABCD
ABCD
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ADd1
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận )1;1(n làm VTPT nên có PT:
03yx0)0y(1)3x(1 . Lại có: 2MDMA
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
11
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
2y3x
03yx
22
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2222
1y
2x hoặc
1y
4x. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
Do
2
3;
2
9I là trung điểm của AC suy ra:
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1
;02
I
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa
độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
+) 5
( , )2
d I AB AD = 5 AB = 2 5 BD = 5.
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y
2 = 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:2 2
21 25
2( )( 2;0), (2;2)2 4
22 2 0
0
x
yx yA B
xx y
y
(3;0), ( 1; 2)C D
37) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng :3 4 4 0x y . Tìm
trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.
Gọi 3 4 16 3
( ; ) (4 ; )4 4
a aA a B a
. Khi đó diện tích tam giác ABC là
1
. ( ) 32
ABCS AB d C AB .
Theo giả thiết ta có
2
246 3
5 (4 2 ) 2502
aaAB a
a
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
38) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 2 2
( ) : 19 4
x yE và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) . Tìm
trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có2 2
19 4
x y và diện tích tam giác ABC là
1 85 85. ( ) 2 3 3
2 13 3 42 13ABC
x yS AB d C AB x y
2 285 1703 2 3
13 9 4 13
x y
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
12
Dấu bằng xảy ra khi
2 2
2139 4
2
23 2
x y
x
x yy
. Vậy 3 2
( ; 2)2
C
39) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy
Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)
Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)
Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)
Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có
I(4/3 ; 0), R = 4/3
40) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua
2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).
Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình 2 2 2
2 2 2
2 2
(1 )
(1 ) (2 )
( 1) 2
a b R
a y R
a b R
2
0
1
2
a
b
R
Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)
2 = 2
41) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) biết phương trình các cạnh
AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 02y5x2 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Tọa độ A là nghiệm của hệ 4x y 14 0 x 4
2x 5y 2 0 y 2
A(–4, 2)
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ABC nên
2yy
2xx
yyyy3
xxxx3
CB
CB
CBAG
CBAG
(1)
Vì B(xB, yB) AB yB = –4xB – 14 (2); C(xC, yC) AC 5
2
5
x2y
C
C ( 3)
Thế (2) và (3) vào (1) ta có
23 2
2 21 04 14 2
5 5
B CB B
CC CB
x xx y
xx yx
Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
42) Cho đường tròn (C): x2 + y
2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C')
tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho 3AB .
Phương trình đường tròn (C): x2 + y
2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) 3R
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB IM tại trung điểm H của đoạn AB.
Ta có 2
3
2
ABBHAH . Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B'
Ta có:
2
2 23 3
IH' IH IA AH 3
2 2
Ta có:
2 2
MI 5 1 1 2 5
và 2
7
2
35HIMIMH ;
3 13MH' MI H'I 5
2 2
Ta có: 13
4
52
4
49
4
3MHAHMAR
2222
1
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
13
43
4
172
4
169
4
3'MH'H'A'MAR2222
2
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)
2 = 13
hay (x – 5)2 + (y – 1)
2 = 43