hogeschool rotterdam instituut voor engineering and ... voertuigdynamica v106.pdf · studierichting...

Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 1/88

Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Hogeschool Rotterdam

Instituut voor Engineering and Applied Science

Studierichting Autotechniek

Reader Voertuigdynamica

Auteur: Roeland M.M. Hogt

Versie 1.06

5 mei 2014

© 2014, Hogeschool Rotterdam

Alle rechten voorbehouden. Niets van deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een

geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of enige wijze, hetzij elektronisch,

mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke

toestemming van de Hogeschool Rotterdam


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Inhoudsopgave

1 Inleiding .........................................................................................................................4

1.1 VOERTUIGDYNAMICA ALS DEEL VAN DE AUTOTECHNIEK ...........................................4

1.2 SURFTIPS .................................................................................................................5 1.3 DOELSTELLING EN OPBOUW DICTAAT .......................................................................6

2 Inleiding Voertuigdynamica ............................................................................................7

2.1 BEGRIPSBEPALING ...................................................................................................7

2.2 ONDERZOEKSMETHODEN..........................................................................................8 2.3 COMPONENTEN IN DE VOERTUIGDYNAMICA ............................................................ 10

2.3.1 Carrosserie ..................................................................................................... 10 2.3.2 Wielophanging ................................................................................................ 10

2.3.3 Band-wegdekinteractie .................................................................................... 11

3 Band-wegdekinteractie ................................................................................................. 12

3.1 HET WRIJVINGSPRINCIPE ........................................................................................ 12 3.2 HET BANDASSENSTELSEL ....................................................................................... 15

3.3 VRIJ ROLLEN .......................................................................................................... 16 3.4 WIELSLIP ............................................................................................................... 16

3.4.1 Puur longitudinaal .......................................................................................... 17 3.4.2 Puur lateraal ................................................................................................... 19

3.4.3 Gecombineerde slip ......................................................................................... 21 3.4.4 Het richtmoment Mz ........................................................................................ 22

3.5 SAMENVATTEND: BELANGRIJKE KENTALLEN ........................................................... 23 3.6 BANDMODELLEN.................................................................................................... 25

3.7 DYNAMISCH GEDRAG BAND-WEGDEKINTERACTIE ................................................... 28 3.8 SAMENGESTELDE BANDKARAKTERISTIEK ............................................................... 30

4 Basis voertuiggedrag op vlakke weg ............................................................................. 31

4.1 HET CIRKEL VAN KAMM MODEL ............................................................................. 31

4.1.1 Het voertuigmodel ........................................................................................... 32 4.1.2 Het bandmodel ................................................................................................ 32

4.1.3 Toepassing van het cirkel van Kamm model .................................................... 38 4.1.3.1 Pure longitudinale slip .............................................................................. 38

4.1.3.1.1 De ideale remkrachtverdeling voor en achter ........................................ 39 4.1.3.1.2 De remkrachtverdeling indien de wrijvingscoëfficiënt wel afhankelijk

van de Fz en andere parameters ............................................................................. 51 4.1.3.2 Pure laterale slip ....................................................................................... 52

4.1.3.2.1 Voorbeeld stationaire bocht .................................................................. 53 4.1.3.3 Gecombineerde slip .................................................................................. 58

4.2 HET ÉÉNSPOORMODEL ............................................................................................ 60 4.2.1 De opbouw van het éénspoormodel ................................................................. 61

4.2.2 Het pure longitudinale rijgedrag met het éénspoormodel................................. 62 4.2.3 Het pure laterale rijgedrag met het éénspoormodel ......................................... 63

4.2.4 Overstappen naar Fahrverhalten van Zomotor ................................................ 74 4.2.5 Rekensheet eenspoormodel .............................................................................. 77

4.3 HET ÉÉNSPOORMODEL, DYNAMISCH ....................................................................... 78

4.3.1 Betetekenis van de kentallen, dynamisch gedrag .............................................. 78 4.3.2 Overdrachtsfunctie gierhoeksnelheid over stuurhoek bij J-turn ....................... 78


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.3.3 Simulatie van de stapvormige stuurbeweging .................................................. 84

5 Referenties .................................................................................................................... 88


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

1 Inleiding

Het rijgedrag van het voertuig, de voertuigdynamica of de actieve veiligheid, is een zeer

wezenlijke eigenschap van het voertuig en beschrijft alle bewegingen van het voertuig ten

opzichte van de vaste wereld: de weg.

De dimensionering in het deelgebied Voertuigdynamica heeft gevolgen voor de andere eisen

die aan een voertuig gesteld worden. Deze belangen kunnen strijdig zijn. Zo kan het

optimaliseren van het rijgedrag het comfort verminderen. Indien men kiest voor het reduceren

van de massa van een voertuig kan dat gevolgen hebben voor het geluidscomfort en de

passieve veiligheid. Ook het brandstofverbruik en de voertuigprestaties (accelereren en

remmen) hangen nauw samen met de keuzes die gemaakt worden voor het rijgedrag van het

voertuig.

Voertuigdynamisch onderzoek en ontwikkeling vindt plaats in meerdere stadia in de

ontwikkeling van een voertuig:

1. In de conceptuele fase;

2. In de prototype fase;

3. In de produktie fase.

In de eerste fase is er nog geen voertuig en kan de voertuigdynamica alleen middels

berekeningen (mathematische simulaties) bestudeerd worden. Vanaf dat het eerste voertuig

beschikbaar is kunnen ook rijtesten uitgevoerd waarbij onderscheid gemaakt wordt tussen de

objectieve en subjectieve rijtesten. Bij objectieve rijtesten wordt het gedrag door middel van

sensoren geregistreerd en later verwerkt tot voertuigddynamische kentallen. Bij subjectieve

testen is het de testrijder die een persoonlijk, dus subjectief, oordeel geeft over het rijgedrag

van het voertuig.

In de praktijk is er vaak een directe interactie tussen experimenteel onderzoek en simulaties.

Het grootste voordeel van simulaties is dat, zonder ongevalsrisico en efficiënt (mits het

voertuigmodel aanwezig is), gevoeligheidsanalyses uitgevoerd kunnen worden. Zo kan

bijvoorbeeld bepaald worden wat het effect van de ligging van het zwaartepunt is op de

kentallen. Bij voertuigoptimalisatie spelen simulaties dan ook een grote rol.

1.1 Voertuigdynamica als deel van de autotechniek

Bij de aankoopbeslissing voor een auto geldt de volgende prioritering

1. Veiligheid (Actieve en passieve veiligheid)

2. Kwaliteit

3. Kosten

4. Verbruik

5. Innovatie

6. Comfort

7. Ruimte interieur


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

8. Buitenafmetingen

9. Fun-factor

10. Luxe

11. Vormgeving

12. Motorvermogen

13. Sportiviteit

Actieve veiligheid is het werkgebied van de Voertuigdynamica en is dus een zeer wezenlijk

kennisgebied.

Technische positionering

In de ontwikkeling van voertuigen is het aandachtsgebied Voertuigdynamica al vrij vroeg in

de ontwikkeling relevant. Zoals we bij de dimensionering van de aandrijflijn al hebben gezien

heeft de keuze van de aandrijfconfiguratie een directe relatie met het over en onderstuurd zijn

van een voertuig in het grensgebied.

Ook nadat een voertuig rijklaar is speelt kennis van voertuigdynamica een belangrijke rol in

de verdere optimalisatie voor veiligheid en prestaties (racerij). Zo wordt het stuurgevoel, als

deel van de subjectieve beoordeling van het rijgedrag, wordt sterk bepaald door parameters

die een directe relatie hebben met de voertuigdynamische kentallen.

1.2 Surftips

De onderstaande surftips worden van harte aanbevolen:

• www.idiada.es

Idiada is een groot testterrein in de buurt van Barcelona dat vanwege de goede

weersomstandigheden en faciliteiten intensief gebruikt wordt door meerdere

autofabrikanten en onderzoeksinstituten. Naast het faciliteren in onderzoek voert

Idiada ook zelf onderzoek uit in opdracht van derden

• www.mira.co.uk

Mira is een vooraanstaand onderzoeksinstituut in Engeland gespecialiseerd in

autotechnisch onderzoek

• www.automotive.tno.nl

TNO Wegtransportmiddelen of TNO Automotive is in 1970 opgericht en heeft met

name in de periode 1990-2000 een sterke groei doorgemaakt van 100 naar 300

medewerkers dankzij een aantal specialisaties waarmee een internationale

marktpositie is bereikt. Onderwerpen zijn Botsveiligheid, Verbrandingsmotoren,

Voertuigdynamica, Nieuwe Transportsystemen en Keuringen. In 2001 zijn de

afdelingen Voertuigdynamica en Nieuwe Transportsystemen gefuseerd tot de afdeling

Advanced Chassis and Transport systems met als werkgebieden Active Vehicle

Control, Advanced Transport Systems, Tyre-Road interaction. In deze drie

werkgebieden komt thema Voertuigdynamica in algemene zin als ook als specialisatie

terug.

• www.sae.org

SAE staat voor Soceity of Automotive Engineers en is het kennisplatform voor de

internationale automobiel industrie.

http://www.idiada.es/

http://www.mira.co.uk/

http://www.automotive.tno.nl/

http://www.sae.org/


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

• www.iso.org

ISO staat voor International Standards Organisation en draagt zorg voor de

normstelling rondom met name de beproeving van voertuigen en componenten

1.3 Doelstelling en opbouw dictaat

Het onderwerp Voertuigdynamica is gepositioneerd in de competentiematrix in de cel

Ontwerpen/structureren:

Een systeembeschrijving van een te ontwikkelen voertuig uitwerken naar deelsystemen

waarbij rekening gehouden moet worden met onderlinge interacties van deelsystemen.

Het kunnen visualiseren, bespreken, testen en optimaliseren van deze deelsystemen.

De literatuur omtrend voertuigdynamica heeft een academische insteek met de nadruk op

mathematische modellering van het voertuiggedrag.

In dit dictaat wordt de voertuigdynamica behandeld teneinde inzicht te geven in de

mechanisch-fysische principes. Wat zijn de bepalende componenten van een voertuig en hoe

werken deze samen. Hiermee leert de student kwalitatieve uitspraken te doen over het

rijgedrag van het voertuig. Teneinde dit kwantitatief te onderbouwen worden

berekeningsmethoden geïntroduceerd waarbij stap voor stap naar het complete voertuig

gewerkt wordt.

Het eindniveau dat de student zo bereikt is een goede basis om zich daarna verder te

specialiseren met behulp van de academische vakliteratuur.

De volgende opbouw wordt hierbij gehanteerd:

Hoofdstuk 2: Inleiding voertuigdynamica

In dit hoofdstuk wordt het werkgebied van de voertuigdynamica afgebakend en wordt

een inleiding gegeven in onderzoeksmethoden en de indeling van het voertuig naar

componenten die uiteindelijk het voertuiggedrag bepalen

Hoofdstuk 3: Band-wegdekinteractie

Band-wegdekinteractie is een zeer belangrijk onderwerp in de Voertuigdynamica. Om

die reden wordt het als eerste behandeld.

Hoofdstuk 4: Voertuiggedrag

In dit hoofdstuk gaan we rekenen aan het gedrag van het voertuig. We maken

onderscheid tussen lateraal, longitudinaal en gecombineerd gedrafg. Vragen die

beantwoord moeten worden met betrekking tot het voertuiggedrag zijn voor een

belangrijk deel te vatten met een elementaire mathematische beschrijving van het

voertuig. Dit model wordt in dit hoofdstuk behandeld en toegepast. Voor alle

berekeningen geldt dat we ons richten op het stationaire gedrag van het voertuig

Voor de samenstelling van de reader heb ik met name de volgende bronnen gebruikt:

Tyre and vehicle dynamics [1]

Standaardwerk van prof.H.B. Pacejka, de specialist en wereldwijd erkend. State of the

art maar zeer theoretisch

Zomotor Fahrverhalten [2]

Standaardwerk Voertuigdynamica, helaas niet erg nieuw (voor 1990) en alleen als

PDF beschikbaar

http://www.iso.org/


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

2 Inleiding Voertuigdynamica

In dit hoofdstuk wordt het werkgebied van de voertuigdynamica afgebakend en wordt een

inleiding gegeven in onderzoeksmethoden en de indeling van het voertuig naar componenten

die uiteindelijk het voertuiggedrag bepalen

Paragraaf 2.1 introduceert de elementaire begrippen. Onderzoeksmethoden volgen in

paragraaf 2.2 en de indeling naar voertuigcomponenten volg in paragraaf 2.3

2.1 Begripsbepaling

Het werkgebied van de voertuigdynamica richt zich op de wisselwerking tussen de beweging

van het voertuig en de krachten op het voertuig met

in ieder geval een verandering in de snelheid en/of de richting van de beweging

(het stationaire gedrag, meer hierover later in deze paragraaf)

eventueel een verandering in de versnelling van het voertuig

(het dynamische gedrag, meer hierover later in deze paragraaf)

Concreet:

Rijden met een constante snelheid op een vlakke rechte weg rechtuit valt buiten de

voertuigdynamica

Alle andere cases vallen binnen de voertuigdynamica:

o Remmen/accelereren

o Verticale aanstoting

o Rijden van een bocht

o Etc..

De beweging van het voertuig wordt als eerste beschreven in het assenstelsel van het voertuig,

zie Figuur 2.1.

Het uitgangspunt is een linksomdraaiend assenstelsel met de volgende richtingen

(translerend):

• Longitudinaal, snelheid in de x-richting

• Lateraal, snelheid in de y-richting

• Verticaal, snelheid in de z-ricting

Daarnaast zijn er de (basis)rotatiebewegingen:

Rollen, rotatie om de x-as

Dompen, rotatie om de y-as

Gieren, rotatie om de z-as


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

De translerende beweging wordt weergegeven door kinematische grootheden: positie,

snelheid en versnelling en bestaat er een evenwicht met de krachten die op het voertuig

werken

amF . ( 2.1 )

De roterende beweging wordt weergegeven door de kinematische grootheden: hoek,

hoeksnelheid en hoekversnelling en bestaat er een evenwicht met de momenten die op het

voertuig werken

.JM ( 2.2 )

De actuele beweging van het voertuig wordt weergegeven door de ‘vehicle states’, de status

van het voertuig: translerende en roterende snelheden.

Indien de versnellingen constant zijn wordt gesproken over stationair gedrag

Voorbeeld: het rijden van een bocht met een constante snelheid en straal

Indien de versnellingen niet constant zijn wordt gesproken van dynamisch gedrag

Voorbeeld: een uitwijkmanoeuvre

Tenslotte wordt er een onderscheid gemaakt tussen de taak van de bestuurder/regelaar:

• Open loop: geen terugkoppeling/regeling

Voorbeeld: stuurhoek op vaste waarde en registreren hoe het voertuig reageert

• Closed loop: wel terugkoppeling/regeling

Voorbeeld: doserend remmen waarbij de bestuurder de remkracht zodanig regelt dat

de wielen net niet blokkeren.

2.2 Onderzoeksmethoden

Om inzicht te krijgen in het rijgedrag van een voertuig kan men gebruik maken van een

mathematisch model of experimenteel onderzoek. Bij experimenteel onderzoek maakt met

Figuur 2.1: Basis voertuigbewegingen


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

onderscheid tussen objectieve en subjectieve experimenten. Bij objectieve experimenten

worden de voertuigbewegingen (translerend en roterend) geregistreerd door middel van

sensoren. Bij subjectieve experimenten wordt het oordeel gegeven door de bestuurder (de

testrijder).

Teneinde op een efficiënte wijze data te verzamelen wordt gebruik gemaakt van

gestandaardiseerde testmethoden. Voorbeelden:

Puur longitudinaal

• Acceleratietest (stationair/dynamisch, closed loop)

• Remmen rechtuit (stationair/dynamisch, closed loop)

• Uitloopproef (heeft meer met voertuigweerstanden te maken en dus de aandrijflijn)

(“stationair”open loop)

Puur lateraal

• Stationaire bocht (stationair, closed loop)

• Slalom (Sinustest) (dynamisch, closed loop)

• Lanechange (inhalen) (dynamisch, closed loop)

• Stapvormige stuurbeweging (dynamisch, open loop)

• Random steer (dynamisch, closed loop)

• Zijwindgevoeligheid (dynamisch, open loop)

Puur verticaal

• Comforttest (dynamisch, open loop)

Gecombineerde gedrag

• Remmen in een bocht (dynamisch/open loop)

• Power off (dynamisch/open loop)

In de praktijk worden beiden testmethoden, objectief en subjectieve experimenten, naast

elkaar toegepast. Een voertuig wordt geïnstrumenteerd om het rijgedrag objectief vast te

leggen en daarnaast geeft de testrijder zijn subjectieve oordeel. In het ideale geval zouden de

subjectieve beoordeling en objectieve beoordeling overeen moeten komen. In de praktijk

blijkt de rangorde die uit subjectieve testen ontstaat vaak niet overeen te komen met de

rangorde die ontstaat bij objectieve testen.

Zie www.automotive.tno.nl, trefwoord Achieve

De opkomst van de computertechnologie bood nieuwe kansen om via mathematische

modellering inzicht te verwerven in het voertuiggedrag. De grootste voordelen van

mathematische modellering zijn:

1. Er kan volstaan worden met een mathematisch model, er is geen voertuig nodig en dit

maakt het mogelijk om al zeer vroeg in het ontwikkelingstraject inzicht te verwerven

in het voertuiggedrag

2. Er hoeven geen (soms riskante) maar altijd kostbare rijtesten uitgevoerd te worden

3. Een mathematisch model leent zich uitstekend voor gevoeligheidsanalyses,

bijvoorbeeld het beoordelen van de relatie tussen de stijfheid van een torsiestabilisator

en het rijgedrag

In het hedendaagse onderzoek speelt mathematische modellering een zeer vooraanstaande rol.

Een betrouwbare simulatie is echter alleen te verkrijgen indien de modellering voldoende

nauwkeurig. In de meeste complexe situatie wordt iedere component van de wielophanging

apart gemodelleerd! Een dergelijke aanpak is zeer kostbaar. In de praktijk kiest men vaak

voor een pragmatische aanpak, zeker als het doel eerder ligt bij het verwerven van kwalitatief

inzicht in het voertuiggedrag.

http://www.automotive.tno.nl/


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

2.3 Componenten in de voertuigdynamica

Deze paragraaf introduceert de belangrijkste componenten bepalend voor het rijgedrag van

het voertuig. Achtereenvolgens zijn dit:

• De carrosserie, zie paragraaf 2.3.1

• De wielophanging, zie paragraaf 2.3.2

• De band-wegdekinteractie, zie paragraaf 2.3.3

In deze reader gaat de grootste aandacht uit naar de band-wegdekinteractie. De verdere

detaillering volgt eigenlijk pas in hoofdstuk 5 en als men zich verder in de voertuigdynamica

gaat specialiseren.

2.3.1 Carrosserie

Banden en wielophanging zijn letterlijk ondersteunend aan de translatie en rotatie van de

carrosserie. De carrosserie kan in de modellering worden voorgesteld als een ‘massieve

bal’met een massa en een massamiddelpunt en een stijfheid tegen buigen en torderen

Belangrijke parameters:

Massa en massaverdeling

De massaverdeling is een bepalingrijke parameter in de rotatietraagheid van de

carrosserie

Ligging zwaartepunt

De ligging van het zwaartepunt bepaalt zowel de statische wiellasten als ook de

gewichtsoverdracht ten gevolge van laterale en longitudinale versnellingen

Stijfheid (buiging en wringing)

Naast de stijfheden in de wielophanging, is de stijfheid van de carrosserie ook zeer

bepalend voor het voertuiggedrag.

2.3.2 Wielophanging

De wielophanging vormen samen met de banden de intermediar tussen de carrosserie en de

weg. De wielophanging moet als eerste de carrosserie dragen, voldoende comfort verschaffen

en zorgdragen voor een betrouwbaar rijgedrag.

Belangrijke parameters zijn:

Het rolcentrum (dit is het punt waarom de carrosserie rolt, dit wordt bepaald door de

geometrie van de wielophanging)

De rechte lijn tussen het rolcentrum van voor en achteras noemt men de rolas.

De veerstijfheid

De demping

De stijfheid van de torsiestabilisator

De vervormingen in de wielophangingen ten gevolge van de beperkte stijfheid van de

componenten (draagarmen en lagering hiervan)

De veranderingen van de wielstanden bij in en uitveren en in en uitsturen


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

2.3.3 Band-wegdekinteractie

Hoe goed de wielophanging ook is: de band-wegdekinteractie bepaalt uiteindelijk hoeveel

wrijvingskracht tussen band en wegdek opgebouwd kan worden.

Daarnaast zijn banden zeer van belang voor het stuurgevoel.

Belangrijke parameters zijn daarmee

Wrijvingscoëfficiënt

Slipstijfheden

Conditie

Snelheid

Belasting

Etc..

In het volgende hoofdstuk komt de band-wegdekinteractie uitgebreid aan bod


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3 Band-wegdekinteractie

Het kunnen accelereren, remmen en rijden van bochten valt of staat uiteindelijk met de kracht

die tussen band en wegdek overgedragen kan worden. Waardoor dit bepaald wordt is

onderwerp van de band-wegdekinteractie. Het gaat hier dus om de interactie tussen band en

wegdek. Beiden samen bepalen het niveau van de wrijving. Wrijving is in algemene zin

gedefinieerd als “de weerstand die een object ondervindt ten gevolge van het medium waarin

of waarover het zich voortbeweegt”.

Om een uitspraak te kunnen doen over de wrijving tussen band en wegdek zijn dus zowel

parameters van de weg als de band bepalend.

Paragraaf 3.1 behandelt de fysische beginselen van waaruit de wrijving wordt verklaard. Het

bandassenstelsel, dit is geen triviaal punt, wordt behandeld in paragraaf 3.2.

In de daarop volgende paragraven wordt dieper ingegaan op de verschillende aspecten van

belang voor de voertuigdynamica, achtereenvolgens:

Vrij rollen, paragraaf 3.3

Wielslip, diversen vormen, paragraaf 3.4

Belangrijke kentallen, paragraaf 3.5

Toepassing band-wegdekinteractie in de voertuigdynamica met behulp van

mathematische bandmodellen, paragraaf 3.6

Dynamische effecten in de band-wegdek interactie, paragraaf 3.7

De band-wegdekinteractie die hierin gepresenteerd wordt is de band-wegdek interactie zoals

deze op het academische niveau van de voertuigdynamica ook gebruikt wordt. In het

volgende hoofdstuk, het voertuiggedrag, wordt hierin een vereenvoudiging aangebracht

middels het gebruik van de cirkel van Kamm.

3.1 Het wrijvingsprincipe

Zie ook Aandrijvingen, Paragraaf 4.3.1.6

In de wrijving tussen rubber en wegdek wordt onderscheid gemaakt tussen drie vormen van

wrijving:

• Abrasieve wrijving;

• Adhesieve wrijving (Haftreibung);

• Hysterese wrijving (Gleitreibung).

De wrijvingscoëfficiënt wordt samengesteld uit deze drie vormen van wrijving. Welk type

wrijving dominant is wordt bepaald door de slipsnelheid. De slipsnelheid is gedefinieerd als

de verschilsnelheid tussen het ‘blokje’ rubber en de weg. Indien we kijken naar een blokje

rubber dan is de slipsnelheid gelijk aan de voortbewegingssnelheid.

Uitgaande van een gegeven materiaalsamenstelling van rubber en wegdek zijn daarnaast nog

van belang de temperatuur en de vlaktedruk. Figuur 3.1 geeft het verloop van de

wrijvingscoëfficiënt als functie van deze parameters weer.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Heel belangrijk is het te onderkennen dat het verloop van deze wrijvingscoëfficiënt ook sterk

bepaald wordt door de samenstelling van het materiaal. In de praktijk, banden en wegdekken

zoals deze in deze voor de autotechniek relevant zijn, maakt men onderscheid in twee

variatierichtingen

1. Toepassing voor levensduur of prestatie

Het niveau van de adhesieve wrijving wordt bepaald door de aantrekkingskracht

tussen de wegdek en loopvlak moleculen. Speciaal in de racerij, maar ook sportieve

autobanden en met name motorfietsbanden, wordt hier gekozen voor een toename van

de wrijvingscoëfficiënt met het toenemen van de temperatuur. De optimale

bedrijfstemperatuur ligt dus op een hoger niveau dan bij banden voor personenauto’s

en bedrijfswagens. Om enig gevoel hiervoor te krijgen is het aardig om na een ‘stevig

parcours’ even te stoppen en de hand op het loopvlak te leggen. Zeker bij

motorfietsbanden zal men ervaren dat deze wat ‘kleverig’ geworden zijn.

2. Invloed van wegdekconditie

De wrijvingscoëfficiënt is het hoogste op een droge weg. In alle andere gevallen zal de

wrijvingscoëfficiënt lager zijn waarbij de bepalende parameters zijn:

o het type medium (water/olie/vuil)

Een bekend voorbeeld van een risicovolle situatie is het rijden in een

beginnende regenbui na een droge periode. Het vuil dat zich op de weg bevindt

zal zich vermengen met het water en als smeermiddel tussen band en wegdek

werken

o de hoeveelheid medium

Hoe meer medium zich tussen band en wegdek bevindt, des te lager de

wrijvingscoëfficiënt. Deze hoeveelheid wordt bepaald door het waterbergend

vermogen van zowel de weg (macrotextuur) als de band (profieldiepte)

Figuur 3.1: Het wrijvingsniveau als functie van slipsnelheid, temperatuur en vlaktedruk


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

o de snelheid van het voertuig

Het medium werkt als een ‘boeggolf’ voor de band. De ontbonden kracht in

verticale richting ligt de band op waardoor in een extreme situatie aquaplaning

ontstaat


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3.2 Het bandassenstelsel

In deze reader wordt gewerkt volgens het linksomdraaiend assenstelsel. Dit komt ook overeen

met met assenstelsel dat door de internationale Tydex1 werkgroep is aanvaard. In Figuur 3.2..

is dit het ISO assenstelsel met zoals hier weergegeven de Fz zuiver verticaal2.

1 Tydex staat voor Tyre Date Exchange en behelst een serie van afspraken teneinde eenduidigheid te realiseren in

het bandassenstelsels en de opbouw van datafiles van experimenten. Deze standaard is internationaal

geaccepteerd 2 In de verdere definitie wordt doorgaans het W- of C-assenstelsel gebruikt. Het W-assenstelsel is georiënteerd

ten opzichte van de weg (FzW is zuiver verticaal) en het C-assenstelsel is georiënteerd in het wielvlak (FzC

draait dus mee met de camberhoek). In deze reader gaan we uit van het W-assenstelsel.

Figuur 3.2: Assenstelsels voor de band-wegdekinteractie [ 1]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3.3 Vrij rollen

Bij vrij rollen wordt het loopvlak van de band vervormd. Bij deze vervorming gaat energie

verloren ten gevolge van de dempende eigenschappen van het loopvlak en de bandconstructie.

Daarnaast treedt er locale slip op. De gemiddelde slip van de inloop (Einlauf) en de uitloop

(Auslauf) is 0, echter:

bij de inloop beweegt het loopvlak ten opzichte van de weg naar voren

In dit gedeelte is de Fx naar voren gerucht (dus positief, dus aandrijvend)

bij de uitloop beweegt het loopvlak ten opzicht van de weg naar achteren

In dit gedeelte is de Fx naar achteren gericht (dus negatief, dus remmend)

Zie Figuur 3.3.

3.4 Wielslip

Uitgaande van de schuifspanningsverdeling bij vrij rollen kunnen we de veranderingen bij

wielslip bestuderen. In de band-wegdekinteractie wordt onderscheid gemaakt tussen:

Pure longitudinale slip, paragraaf 3.4.1

Pure laterale slip, paragraaf 3.4.2

Gecombineerde slip, paragraaf 3.4.3

Figuur 3.3: Schuifspanningen in het contactvlak bij vrij rollen [2]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

x

xs

x

xeff

xv

v

v

vr,

.

3.4.1 Puur longitudinaal

De pure longitudinale slip is als volgt gedefinieerd:

( 3.1 )

In deze vergelijking is het resultaat van de teller de longitudinale slipsnelheid vs,x. Figuur 3.4

geeft de locale contactspanning weer bij remmen met 7% slip (dus κ= -0,07).

Deze slipsituatie komt overeen met nummer 1 (de negatieve helft daarvan) in Figuur 3.5.

Heel goed is hier te zien dat er twee wrijvingsniveau’s zijn. Bij kleine slipsnelheid is de

adhesieve wrijving bepalend en bij grotere slipsnelheden de hysterese wrijving. De totale

wrijving is de som van alle locale deelwrijvingen. Er is hierbij een optimale hoeveelheid slip,

dus waarbij de som van de deelwrijvingen maximaal is. Bij een personenautoband ligt die

waarde rond de 0,15 (15% slip).

Figuur 3.4: Schuifspanningsverdeling bij remmen met 7% longitudinale slip (dus κ= -

0,07) [3]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

De onderstaande figuur laat het verloop van de wrijvingscoëfficiënt zien als functie van de

longitudinale slip (hier weer in % weergegeven) waarbij het zeer van belang is te

onderscheiden de Haftreibungszahl (de hechtende wrijwingscoëffiënt) en de

Gleitreibungszahl (de glijdende wrijvingscoëfficiënt).

Figuur 3.5: Verdeling locale longitudinale krachten (evenredig met schuifspanning) bij

verschillende niveau’s van longitudinale slip (niveau 3 is niveau maximum ) en niveau 4 is

niveau bij blokkeren. [3]

Figuur 3.6: wrijvingscoëfficiënt zien als functie van de longitudinale slip (hier weer in %

weergegeven) [3]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

)sin(., vv ys

x

ysx

ysv

vvv

,

, )tan()sin(.)cos(

3.4.2 Puur lateraal

Wanneer de band ten opzichte van de bewegingsrichting ingedraaid wordt (rotatie om de z-as

met een sliphoek α, zie Figuur 3.7) dan geldt de volgende vergelijking:

De pure laterale slip wordt de slipsnelheid vs,y bepaald door:

( 3.2 ) Dit kunnen we ook als volgt schrijven:

( 3.3 )

Deze slipsnelheid is samengesteld uit locale (deelsnelheden over de lengte van het loopvlak).

Ook hier hebben we te maken met het adhesieve en hysterese deel van de wrijving. Zie figuur

Figuur 3.8. In de praktijk het maximum van de wrijving behaald bij circa 10 graden sliphoek.

(de sinus hiervan is 0,17 en dat komt redelijk overeen met de ligging van de top de van de

longitudinale karakteristiek). Hier houdt ook het interesse gebied van de voertuigdynamica op

omdat het voertuig voorbij dit niveau niet meer beheersbaar is. Karakteristieken worden

doorgaans weergegeven tot circa 15 graden sliphoek.

Figuur 3.9 laat een voorbeeld van een karakteristiek zien waarin tevens goed zichtbaar is dat

de wrijvingscoëfficiënt afneemt met toename van de normaalkracht.

Figuur 3.7: Definitie laterale slip [3]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Figuur 3.8: Opbouw van laterale kracht in het contactvlak [3]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3.4.3 Gecombineerde slip

Bij het gelijktijdig optreden van longitudinale en laterale slip spreekt men over

gecombineerde slip. Zie Figuur 3.10: de cirkel van Kamm. De buitenste cirkel geeft het

niveau weer can de hechtende wrijving en de binnenste cirkel het niveau van de glijdende

wrijving.

Als voorbeeld het remmen in een bocht: het voertuig heeft een constante snelheid en

constante bochtstraal en heeft daartoe een gegeven laterale kracht Fy nodig per band (later

wordt uitgelegd hoe dit bepaald wordt). Indien in in bocht geremd wordt dan is de maximale

remkracht begrensd door de cirkel van Kamm. Komt de gecombineerde kracht (vectoriële

samenstelling van Fx en Fy) buiten de cirkel dan zal als eerste het wiel (waar dat optreedt)

blokkeren. Indien het wiel blokkeert treedt er volledige slip op zowel in longitudinale als in

laterale richting. Het wrijvingsniveau wordt nu voor beiden bepaald door de glijdende

wrijving. Stel dat glijdende wrijvingscoëfficiënt 0,7 is bij een sliphoek van 10 graden dan is

de resulterende wrijvingscoëfficent longitudinaal (0,7 . cos (10) = 0,69) en lateraal (0,7 * sin

(10) = 0,12).

Treedt deze situatie op op de vooras dan zal het voertuig onderstuurd de bocht uitglijden en

treedt deze situatie op op de achteras dan zal het overstuurd de bocht uitglijden. Het spreekt

voor zich dat de tweede situatie in noodsituaties niet wenselijk is.

In het volgende hoofdstuk wordt uitgebreid verder gegaan met de Cirkel van Kamm

Figuur 3.9: Voorbeeld van de Fy als functie van de sliphoek bij pure laterale slip.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3.4.4 Het richtmoment Mz

Het richtmoment Mz onstaat doordat de samengestelde Fy wat achter het midden van het

contactvlak aangrijpt. Deze verschuiving wordt de bandnaloop of pneumatic trail genoemd.

Het richtmoment heet zo omdat het het wiel weer terug wil richten naar de rechtuitsituatie. In

een wielophanging van de gestuurde as wordt dit fenomeen samen met castereffecten gebruikt

om het stuur na de bocht weer terug te laten draaien naar de rechtuitstand.

Figuur 3.10: De herkomst van de cirkel van Kamm


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Voor de bestuurder is het richtmoment zeer belangrijk voor het stuurgevoel. Naarmate men

meer instuurt zal het richtmoment is eerst toenemen. Het maximum van het richtmoment valt

bij pure laterale slip ongeveer samen met de overgang van het lineaire slip naar niet lineaire

slip. Als het maximum bereikt is van de laterale kracht is de pneumatische naloop ongeveer 0

en het richtmoment dus ook. Zo kan men aan de hand van het richtmoment bepalen hoever

men van de kritische bochtsnelheid afzit.

3.5 Samenvattend: belangrijke kentallen

Voor het gebruik van de bandkarakteristieken in voertuigdynamica studies zijn als eerste van

belang:

• De wrijvingscoëfficiënt

– Longitudinaal:

Figuur 3.11: Het ontstaan van het richtmoment Mz

Figuur 3.12: De karakteristiek van het richtmoment


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

• Topwaarde: μx,max

• Blokkeerwaarde: μx,blokkeren

– Lateraal: Topwaarde μy,max

• De slipstijfheid: kracht/slip in het lineaire slipgebied

– Lateraal CF,α

– Longitudinaal CF,κ

Meer in detail zijn van belang de effecten van:

• Camber (wielvlucht)

• Verticale belasting

• Bandenspanning

• Temperatuur

• Profiel

• wegdek en wegdekconditie

• voertuigsnelheid

• Etc..


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3.6 Bandmodellen

Met de opkomst van mathematische modellen van voertuigen ontstond ook een behoefte aan

een bruikbare, lees compacte, beschrijving van het karakteristiek van de band-wegdek

interactie.

Het meest succesvolle model daarin is de Magic Formula. Deze goniometrische formule,

ontwikkeld door prof. Pacejka ism Bakker (toen Volvo Zweden) is in 1987 voor het eerst

gepresenteerd en sindsdien wereldwijd zeer populair geworden. Vanaf circa 1995 heeft TNO

de commercialisering van het model opgepakt wat heeft geresulteerd in de Delft Tyre

software.

De basisformule is zeer eenvoudig (vandaar Magic):

xBxBExBCDy .arctan...arctan.sin. ( 3.4 )

Hierin zijn:

y: de uitgaande variabele (Fx, Fy resp. μx en μy, evt Mz)

x: de ingaande variabele (tan() of )

Verder worden de volgende parameters gebruikt voor het verloop van de curve

B: factor voor de stijfheid

C: factor voor de vorm

D: factor voor het maximum

E: factor voor de kromming van de curve na het maximum

Figuur 3.13 laat de basiskarakteristieken zien voor μx en μy.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Voor toepassingen in de voertuigdynamica is de formule wat complexer, door toevoeging

van:

Horizontale en verticale verschuiving van de curve

Effecten van de Fz

Effecten van camber

De standaard Magic Formula beschrijft de krachten en momenten tussen band en wegdek bij

pure en gecombineerde slip. Hiervoor bestaat de samengestelde formule uit maar liefst 67

vergelijkingen met zo’n 100 parameters. Met behulp van speciale ‘fit’routines worden deze

bepaald voor door middel van bandenmetingen verkregen karakteristieken. Deze

bandkarakteristieken worden gemeten in laboratoria binnen of buiten. Binnen wordt getest op

een trommel of een lopende band. Buiten wordt getest met rijdende laboratoria. Eén van deze

labororia is in gebruik bij TNO Wegtransportmiddelen. Zie Figuur 3.14.

Mu,x als functie van de longitudinale slip

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

Kappa [-]

Mu

,x

Mu,x

Mu,y als functie van de sliphoek

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15

Sliphoek [graden]

Mu

,y

Mu,y

Figuur 3.13: Magic Formula karakteristiek voor Fx en Fy

B 10

C 1,5

D 1,1

E -3

B 14

C 1,1

D 1,1

E -1


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Naast de standaard Magic Formula zijn er speciale versies ontwikkeld, onder andere voor:

karakteristieken van motorfietsbanden

effecten van wegdekconditie en snelheid

dynamische effecten (trillingen verticaal en horizontaal)

Door zijn relatieve eenvoud is de Magic Formula de wereldwijde standaard voor

bandmodellen geworden. De modules kunnen gekoppeld worden aan alle grote pakketten

simulatiesoftware (Adams, Matrix-x, Matlab etc..)

Figuur 3.14: De bandenmeetwagen van TNO Wegtransportmiddelen


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3.7 Dynamisch gedrag band-wegdekinteractie

In de voorgaande beschouwing is steeds uitgegaan van stationair gedrag, dat wil zeggen dat er

geen verandering in Fz, α en κ optreedt.

In de praktijk, zo is ook de essentie van de voertuigdynamica, hebben we wel te maken met

veranderingen zoals bijvoorbeeld bij het insturen van een bocht. Op het moment dat er een

sliphoek aangebracht wordt duurt het even voordat de daarbij behorende laterale kracht

opgebouwd is. Een band functioneert hier als een massa-veer-demper systeem in het

horizontale vlak waarbij de vervorming van het loopvlak verandert ten gevolge van de

aangebrachte sliphoek. De analogie met een simpel voorbeeld is een massa die aan

horizontaal verplaatst wordt. Tussen het punt dat het verplaatst wordt en het wrijvingsvlak

met het wegdek bevindt zich een veer en een demping. Zie Figuur 3.15

In de stationaire situatie, v=constant, geldt een constante uitrekking van de veer. De

veerkracht is hierbij gelijk aan de kracht waarmee de massa wordt voortbewogen

Van de ene naar de andere stationaire situatie

verandert de lengte van de veer;

ontstaat er hierdoor een demperkracht.

Hoe groter de lengteverandering van de veer en hoe stugger de demper des te langer zal het

duren voordat er een nieuwe stationaire situatie ontstaat.

Naast de veer en de demper hebben we ook te maken met de massa die versneld wordt. Hoe

groter deze massa, des te groter ook de demperkracht.

Projecteren we dit inzicht op het loopvlak van de band dan is het duidelijk dat bij een band

met:

een grote stijfheid en

een lage demping en

een lage massa van het loopvlak

de kracht het snelste tot een nieuwe stabiele waarde komt

Figuur 3.15: Het grondbeginsel van dynamisch bandgedrag [figuur zelf maken]

Massa

Demper, kracht is functie van snelheid in demper

Veer, kracht is functie van in en uitvering

Trekkracht

wrijvingskracht


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Het optimum is een samenspel van deze parameters: Om opslingering in de eigenfrequentie te

voorkomen is demping noodzakelijk. Deze eigenfrequentie mag niet te laag liggen. Dit kan

bereikt worden door massa te verkleinen maar dat resulteert bij gelijkblijvende

materiaalsamenstelling weer in een lagere stijfheid.

Al met al dus een complex verhaal.

De scoop van deze reader beperkt zich ‘gelukkig’ tot het stationaire gedrag en het eerste orde

dynamische gedrag3 .

De bepalende parameter voor het eerste orde dynamische gedrag is de relaxatielengte σ. Deze

definieert de afstand die de band bij de gegeven sliphoek af moet leggen om tot een nieuwe

stabiele situatie te komen.De relaxatielengte wordt zowel gedefinieerd in laterale als

longitudinale richting (respectievelijk σα en σκ).

Figuur 3.16 laat het verloop zien van de relaxatielengte σα zien. Duidelijk is de relatie met de

Fz en α.

Bij een grotere Fz neemt de contactlengte toe, dus de hoeveelheid te verplaatsen loopvlak. Bij

een grotere sliphoek is de vervormingskracht (lees versnellingskracht groter) groter tov van de

gegeven demping en massa en zal ook eerder een stabiele waarde, bij de maximale

vervorming, sneller bereikt wordt.

3 Wanneer een systeem in trilling gebracht wordt met oplopende frequentie dan vindt bij de eigenfrequentie een

opslingering plaats. Bij hogere frequentie verdwijnt deze weer. In complexe systemen zoals een band hebben we

te maken met een complex stelsel aan massaveersystemen en ieder massaveersysteem heeft weer een eigen

eigenfrequentie. Bij de eerste orde benadering beperken we ons tot de hoofdmassa, de vervorming van het

loopvlak als geheel. Hogere orde van eigenfrequenties zijn afkomstig van de verplaatsing het karkas ten opzichte

van het loopvlak. Zo geldt ook voor de responsie op verticale en longitudinale aanstotingen. Modelmatig en

theoretisch zijn deze uitgewerkt het Short Wavelength Intermediate Frequency Tyre model (SWIFT) dat

gekoppeld wordt aan het standaard bandmodel met 1ste orde dynamica [1]

Figuur 3.16: Het verloop van de σα voor waarden van α en Fz [1]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

3.8 Samengestelde bandkarakteristiek

Figuur 3.17 geeft een voorbeeld van een recent gemeten bandkarakteristiek, droog, met de

bandenmeetwagen van TNO (de Delft Tyre Test Trailer)

Figuur 3.17: Voorbeeld bandkarakteristiek (195/65 R15) gemeten met de bandenmeetwagen van TNO in

2000. De gestippelde lijnen geven de Magic Formula benadering weer


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4 Basis voertuiggedrag op vlakke weg

In het vorige hoofdstuk is een inleiding gegeven in de band-wegdekinteractie. Hierop

voortbordurend kunnen we nu het gedrag van het hele voertuig gaan bestuderen met

uiteindelijk als doel zelf een eenvoudig mathematisch model op te kunnen zetten en daarmee

inzicht te verwerven in het voertuiggedrag.

Bij het opbouwen van het model gelden de volgende gouden regels:

1. Maak het model niet complexer dan noodzakelijk

2. Varieer nooit meer dan één parameter tegelijk

3. Bouw en valideer de werking van het model stap voor stap

In de stappen van eenvoudig naar complex vinden we de volgende modellen (zie Tabel 1)

1. Het cirkel van Kamm model

Dit is geïntroduceerd in het dictaat Aandrijvingen

2. Het eenspoormodel, stationair/dynamisch

3. Het tweespoormodel, stationair/dynamisch

4. Het tweespoormodel met ophangingsgeometrie

Tabel 1: Overzicht modellen van eenvoudig (1) naar complex (8)

Toepassing Model

Kamm Eenspoor-model

Tweespoor-model Tweespoor-model, incl ophangingsgeometrie

Stationair,

eenspoor

1 (alleen

grensbereik)

3

Stationair,

tweespoor

2 (alleen

grensbereik)

5 7

Dynamisch, eenspoor

4

Dynamisch,

tweespoor

6 8

In de volgende paragraaf zullen eerst de diverse modellen geïntroduceerd worden. Vervolgens

wordt aan de hand van deze modellen het voertuiggedrag nader verklaard. Hiertoe wordt een

case van een kleine sportwagen (lees Tiger) uitgewerkt.

4.1 Het cirkel van Kamm model

Dit is geïntroduceerd in het dictaat Aandrijvingen. Het is in de wereld van de

Voertuigdynamische niet in gebruik maar wordt hier toegepast als opstapje naar de

complexere modellen. De belangrijkst kenmerk van het cirkel Kamm model is dat de

berekenen zich rechten richten op het bepalen van de maximale versnelling van het voertuig


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

in laterale, longitudinale en gecombineerde richting. Daarnaast beperkt het model zich tot het

stationaire gedrag van het voertuig.

In het vervolg van dit hoofdstuk zal duidelijk worden dat ondanks de betrekkelijke eenvoud

het model geschikt is voor het beantwoorden van veel vragen met betrekking tot het gedrag

van het voertuig.

4.1.1 Het voertuigmodel

We kunnen het cirkel van Kamm model beschouwen als eenspoormodel of als

tweespoormodel. De onderstaande Figuur 4.1Figuur 4.1: Belangrijke afmetingen van het basis

voertuigmodel geeft het zijaanzicht van het model weer. Gegeven zijn:

Een wielbasis l

Een zwaartepunt op de

o afstand a van de vooras

o afstand b van de achteras

o hoogte h boven het wegdek

In het geval van een tweespoormodel wordt hieraan de spoorbreedte sb toegevoegd.

4.1.2 Het bandmodel

Per wiel/band wordt vervolgens de cirkel van Kamm gedefinieerd, hiermee bepalend:

1. De maximale (hechtende) wrijving in longitudinale en laterale richting

2. De glijdende wrijving

3. Verandering van het wrijvingsniveau als functie van wiellast, conditie en snelheid

Ad 1. De maximale (hechtende) wrijving in longitudinale en laterale richting

Figuur 4.1: Belangrijke afmetingen van het basis voertuigmodel

vooras achteras

a

h

l

b


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

12

max,

2

2

,

2

ynaxx

yx

In het hoofdstuk band-wegdek interactie zijn de fenomenen adhesieve (hechtende) en

hysterese (glijdende) wrijving geïntroduceerd. Adhesieve wrijving is dominant bij lage

slipsnelheden en hysterese wrijving bij hoge slipsnelheden. Het niveau van de adhesieve

wrijving is daarmee bepalend voor het de maximale wrijvingscoëfficiëbt tussen band en

wegdek. Deze maximale wrijvingscoëfficiënt bepaalt het verloop van de buitencirkel in de

cirkel van Kamm.

Door de samenstelling van de wrijving in het contactvlak is de wrijving in longitudinale

richting groter dan in laterale richting. De cirkel is dus eigenlijk een ellips.

De basisvergelijking voor een ellips luidt:

( 4.1 )

Toegepast op de band-wegdekinteractie wordt dit

( 4.2 )

Gegeven een uitnutting van het wrijvingspotentieel in één richting kunnen we vervolgens

bepalen wat er beschikbaar blijft voor de andere richting, dus:

hoe groot de longitudinale versnelling mag zijn gegeven een laterale versnelling

Figuur 4.2: Cirkel van Kamm

x

y

μx,max

μy,max μglijdend

Hechtende

wrijving

Glijdende

wrijving

12

2

2

2

b

y

a

x


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

2

max,2

max,

2

.1 y

x

xy

hoe groot de laterale versnelling mag zijn gegeven de longitudinale versnelling

( 4.3 )

Ad 2. De glijdende wrijving

Bij overschrijding van de maximale wrijving in de cirkel van Kamm vervalt het niveau tot het

niveau van de glijdende wrijving. Het voertuig wordt nu instabiel:

Longitudinaal: bij remmen zullen de wielen gaan blokkeren en bij aandrijven zullen ze

doorslippen

Lateraal: het voertuig kan de gewenste baan niet meer volgen

Het kenmerk van de glijdende wrijving is dat slipsnelheidsverdeling over het contactvlak

gelijkmatig is: dus overal gelijk en dus wordt de cirkel van Kamm een zuivere cirkel. In

laterale richting treedt deze situatie op bij een sliphoek van 90 graden en wanneer het wiel in

longitudinale richting blokkeert (κ= –1)

Ad 3. Verandering van het wrijvingsniveau als functie van wiellast, conditie en snelheid

Zoals reeds besproken in het hoofdstuk band-wegdekinteractie: de wrijvingscoëfficiënt tussen

band en wegdek is een functie van wiellast, temperatuur, snelheid en conditie. Het effect van

deze parameters wordt bepaald door hoe de band en het wegdek; de constructieve uitwerking

en de materiaalsamenstelling.

Voor de toepassing in mathematische simulatie zijn alleen de kentallen van belang. Men

beschouwt de band en het wegdek dan verder als black box.

Bij het cirkel van Kamm model definiëren we de volgende basisfuncties:`

Effect van de wiellast Fz

Gegeven de wrijvingscoëfficiënt bij de nominale Fz geldt dat deze afneemt met toenemende

Fz en toeneemt met afnemende Fz. Zie Figuur 4.3.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Hiervoor geldt de volgende vergelijking:

nomz

nomzz

FmuFF

FFc

znomz

,

,

, .,

( 4.4 )

Op basis van de grafiek gelden de volgende richtwaarden:

Voor μx,max: cμ,Fz= -4.10-2

[N-1

]

Voor μx,blokkeren: cμ,Fz= -8.10-2

[N-1

]

Voor μy,max: cμ,Fz= -8.10-2

[N-1

]

Voor de theoretisch-fysische onderbouwing hiervan spelen meerdere mechanismen samen:

de samenstelling van de wrijving;

de samenstelling van de contactdrukverdeling;

temperatuur van de band.

Hypothetisch kan het volgende beredeneneerd worden:

Bij adhesieve wrijving is de verandering ten gevolge van Fz kleiner dan bij hysterese

wrijving. Hierdoor wordt het verschil tussen de maximale en geblokkeerde wrijving

longitudinaal verklaard. De samenstelling van de wrijving lateraal zit daar ongeveer

tussenin. Een ander effect ten nadele van de laterale wrijving is de samenstelling van de

contactdrukverdeling bij het aanbrengen van van een laterale kracht. Deze wordt

ongunstiger bij een toenemende Fz

Figuur 4.3: Wrijvingscoëfficiënten als functie van de Fz

Wrijvingscoëfficiënt mu als functie van Fz, band 195/65

R15

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

0 2000 4000 6000 8000

Fz [N]

Wri

jvin

gsco

ëff

icië

nt,

zie

leg

en

da mu,y,max

mu,x,max

mu,x,blokkeren


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Effect van de snelheid en de conditie

Het effect van de snelheid kan op een droge weg verwaarloosd worden. Andere condities zijn

regen, sneeuw en ijs en als speciaal geval sludge vorming

Bij regen spelen met name de volgende fenomenen samen

Bij regen ontstaat er een waterlaag tussen band en wegdek. Hoe dik deze waterlaag is

wordt bepaald door de macrotextuur [zie dictaat Aandrijvingen paragraaf 4.3.1.6] van

de weg; bij een grove op open macrotextuur is deze groter dan bij een fijne of gesloten

macrotextuur.

Gegeven deze waterlaag heeft de profilering van de band de taak dit water op te

nemen zodat de waterlaag tussen de profielnokken en de weg minimaal is

Bij toenemende snelheid ontstaat er een ‘boeggolf’ voor de band die net als bij een

speed boat de band op wil lichten.

De microtextuur of microruwheid van de weg bepaalt de smerende werking van het

water. Vergelijk het met lopen over een natte tegelvloer: naar mate deze meer gepolijst

is neemt de wrijving nat af.

De rubbersamenstelling van de band bepaalt het samenspel tussen adhesieve en

hysterese wrijving.

Bij sneeuw en ijs bevindt zich een min of veer vaste intermediair tussen band en wegdek. Kan

men voor droog en nat de wrijvingscoëfficiënt redelijk schatten. Voor sneeuw en ijs is dit veel

moeilijker. Hierbij spelen twee fenomenen een rol:

de samenstelling: droge/plak/natte sneeuw, de dikte van de sneeuw/ijslaag.

de temperatuur tussen band en wegdek waardoor sneeuw en ijs kan smelten waarbij er

een locale maar zeer effectieve smering ontstaat tussen band en wegdek

Figuur 4.4 geeft het verloop weer van de wrijvingscoëfficiënt als functie van de snelheid

onder diverse condities.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Een speciaal geval is sludgevorming. Dit is een korte maar extreme terugval in

wrijvingscoëfficiënt die optreedt bij regen na een ‘langere’ droge periode. Het vuil wat zich

op de weg heeft afgezet wordt opgelost in het regenwater. Bij het begin van de regenval werkt

dit vuil als een smeermiddel tussen band en wegdek.

Voor de toepassing van de snelheidsafhankelijke wrijving in het bandmodel kunnen we niet

volstaan met een lineair verband zoals voor de Fz afhankelijkheid is gebruikt. In recente

onderzoeken is hiervoor een exponentiële functie ontwikkeld [ref. paper Road-scaled Magic

Formula for braking performance of cars]. Gezien de hoge specialisatiegraad vaan dit

onderwerp wordt die hier, vooralsnog, niet verder behandeld.

Voor het cirkel van Kamm model gebruiken we daarom een wrijvingscoëfficiënt die niet

varieert als functie van de snelheid.

Figuur 4.4: Het bereik van de glijdende wrijvingscoëfficiënt als functie van de snelheid voor diverse

condities


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.1.3 Toepassing van het cirkel van Kamm model

Gegeven een maximum wrijvingscoëfficiënt op de voor en achteras en de ligging van het

zwaartepunt kunnen we achtereenvolgens rekenen aan het longitudinale, laterale en

gecombineerde gedrag. Doordat we alleen de wrijvingscoëfficiënt kennen kunnen we alleen

de maximale versnelling bepalen in de diverse richtingen.

4.1.3.1 Pure longitudinale slip

Pure longitudinale slip treedt op bij rechtuit remmen en accelereren. Het accelereren is reeds

behandeld in de reader Aandrijvingen [4]

De belangrijke vergelijkingen zijn die van de dynamische aslasten als functie van de

versnelling.

xvz ahgbl

mF ..., en xaz ahga

l

mF ..., ( 4.5 )

In het nu volgende wordt dit verder uitgewerkt voor remmen.

Bij remmen treedt er gewichtoverdracht op van achter naar voor. Door de verandering van de

aslast zal de wrijvingscoëfficiënt voor afnemen en achter toenemen. In de ideale situatie

wordt het wrijvingspotentieel op de vooras en achteras maximaal uitgenut: voor beiden geldt

nu de hechtende of maximale wrijvingscoëfficiënt.

Voor de vooras geldt:

vzxvx FF ,max,max,, . ( 4.6 )

Met de eerder vergelijking (4.1) hierin gesubstitueerd wordt dit:

vz

nomz

nomzvz

FmuFvx FF

FFcF

znomz ,

,

,,

,max, ..,

( 4.7 )

Evenzo geldt nu voor de achteras:

az

nomz

nomzaz

FmuFax FF

FFcF

znomz ,

,

,,

,max, ..,

( 4.8 )

In de voorbeeldcase zijn twee voorbeelden uitgewerkt:

1. De ideale remkrachtverdeling voor en achter als functie van de wrijvingscoëfficiënt

tussen band en wegdek indien deze wriivingscoëfficiënt onafhankelijk is van de Fz

2. De remkrachtverdeling indien de wrijvingscoëfficiënt wel afhankelijk van de Fz


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Effect van de wiellast Fz

Effect van de snelheid en de conditie

4.1.3.1.1 De ideale remkrachtverdeling voor en achter

We kunnen de ax schrijven als functie van Fx en Fx als functie van de μ. Hiermee kunnen we

aslast bepalen inclusief de gewichtsoverdracht. Voor de vooras geldt:

.....

........., hbl

gm

m

gmhgb

l

m

m

Fhgb

l

mahgb

l

mF x

xvz

( 4.9 )

Evenzo voor de achteras geeft:

...

, hal

gmF az ( 4.10 )

De remkracht voor en achter wordt nu verkregen door het produkt van de aslast en de

wt\rijvingscoëfficiënt μ.

2

,, ....

. hbl

gmFF vzvx ( 4.11 )

2

,, ....

. hal

gmFF azax ( 4.12 )

In deze vergelijking zien we een deel op basis van de statische aslast en een deel op basis van

de gewichtsoverdracht. Dit is een kwadratisch (2de orde) verloop doordat de

gewichtsoverdracht een functie van de Fx is en deze Fx deze Fx ook weer een functie van de μ

is. Dus bij toename van de μ zal vooras extra belast worden door de grotere vertraging en kan

de as nog eens meer kracht overbrengen ten gevolge van de hogere μ.

Figuur 4.5 laat de aslast voor en achter zien als functie van de μ.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Deze aslast voor en achter vermenigvuldigd met de μ geeft dan de remkracht op de voor en

achteras. Zie Figuur 4.6.

Figuur 4.5: Varandering van de aslastvoor en achter als functie van de wrijvingscoëfficiënt μmax

Figuur 4.6: Verandering van de maximale remkracht voor en achter als functie van de wrijvingscoëfficiënt

Fz,v en Fz,a als functie van de mu

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

mu [-]

Fz

,v e

n F

z,a

. Z

ie le

ge

nd

a [

N]

Fz,v

Fz,a

Fx,v en Fx,a als functie van mu

-4500

-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

mu [-]

Zie

le

ge

nd

a [

N]

Fx,v

Fx,a


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Door de remkracht voor en achter op elkaar te delen krijgen we de remkrachtverdeling voor

en achter als functie van de μ, zie Figuur 4.7.

In de literatuur wordt deze remkrachtverdeling ook wel weergegeven genormaliseerd naar het

voertuiggewicht met op de x-as de remkracht op de vooras en op y-as de remkracht op de

achteras. Zie Figuur 4.8.

Deze curve wordt in deze literatuur het parabel (=‘sprookje’) van de ideale

remkrachtverdeling genoemd.

Figuur 4.7: Remkrachtverdeling achter/voor als functie van de wrijvingscoëfficiënt

Fx,a/Fx,v als functie van mu

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

mu [-]

Fx

,a/F

x,v

Fx,a/Fx,v


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

De aanduiding parabel geeft tegelijk de onmogelijkheid van een dergelijk ideaal weer.

Voordat nu enige benaderingswijzen behandeld worden is het uiteraard van belang te weten

wat de nadelen zijn van een niet ideale remkrachtverdeling.

De nadelen ten gevolge van een niet ideale remkrachtverdeling voor/achter:

1. Niet optimale remvertraging

2. Instabiel voertuiggedrag

Ad 1. Niet optimale remvertraging

Indien de remkrachtverdeling niet optimaal is zal het potentieel van de hechtende

wrijvingscoëfficiënt niet volledig uitgenut worden.

Zie als voorbeeld Figuur 4.8.

Indien, bepaald door de wrijvingscoëfficiënt, Fx,v/G 0,4 is. Dan hoort daarbij een Fx,a/G van

0,24 bij. Indien Fx,a/G groter is dan 0,24 zal de achteras als eerste blokkeren en als deze lager

is dan 0,24 zal de vooras als eerste blokkeren. Indien we doserend remmen, dat wil zeggen

geen van beide assen willen laten blokkeren, dan is de as die het eerste zou gaan blokkeren

maatgevend.

Het verschil met de ideale situatie bepaalt nu het verlies aan remvertraging.

Voorbeeld: de remkrachtverdeling achter/voor =0,5, dan zal alleen bij een μ van 0,8 de ideale

verdeling aanwezig. Bij μ<0,8 gaat er zal de vooras als eerste blokkeren en bij een μ>0,8 zal

de achteras als eerste blokkeren. Zie ook het volgende punt: instabiel voertuiggedrag

Figuur 4.8: De genormaliseerde maximum remkracht op voor en achteras bij oplopende waarde van de

wrijvingscoëfficiënt: het parabel van de ideale remkrachtverdeling

Fx,a/G als functie van Fx,v/G

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Fx,v/G [-]

Fx

,a/G

[-]

Fx,a/G


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Ad 2. Instabiel voertuiggedrag

Indien de remkrachtverdeling niet optimaal is en er één as blokkeert zijn er twee

mogelijkheden: de vooras blokkeert als eerste of de achteras blokkeert als eerste.

Voortbordurend op het vorige punt: bij μ<0,8 zal de vooras als eerste blokkeren.

Zoals in de onderstaande Figuur 4.9 is weergegeven blijft het voertuig stabiel indien de vooras

als eerste blokkeert. Dat betekent dat in dit voorbeeld het voertuig zich bij lagere waarden van

μ (dan 0,8) stabiel blijft gedragen. Bij hogere waarden van μ, indien μ>0,8 hebben we

doorgaans te maken met een droge weg hebben we te maken met een droge weg en is

instabiliteit makkelijker te corrigeren (rem loslaten, het voertuig richt zich weer in het rechte

pad) dan op een natte weg waarbij de corrigerende krachten bij loslaten van de rem ook

bestaan maar kleiner zijn ten opzichte van de rotatietraagheid (zuiver massabepaald) van het

voertuig.

Teneinde de ideale remkrachtverdeling zo goed mogelijk te benaderen zijn diverse systemen

ontwikkeld. De kroon op deze ontwikkeling is het Anti Blokkeer Systeem.

Achtereenvolgens wordt de principiële werking van diverse systemen kort toegelicht:

1. Remkrachtbegrenzing

2. Remkrachtvermindering

3. Schakelbare hoofdremcilinder

Daarna wordt ingegaan op de beperking van deze systemen:

4. Effect beladingsgraad voertuig

5. Nauwkeurigheid van de regeling

6. Effect remmend moment van de motor

En tenslotte

Figuur 4.9: Instabiliteit bij remmen

Vooras

blokkeert,

daardoor alleen Fy

op de achteras.

Moment Fy.b

stabiliseert het

voertuig in de

rijrichting

Achteras

blokkeert, daardoor alleen Fy

op de vooras.

Moment Fy.a

destabiliseert het

voertuig in de

rijrichting

moment

versterkt

instabiliteit

moment

reduceert

instabiliteit

cirkel van Kamm

v v


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

7. Het Anti blokkeer Systeem

Ad 1. Remkrachtbegrenzing

Bij remkrachtbegrenzing is de remkrachtverdeling voor/achter vast maar wordt de druk naar

de achterremmen begrensd. De maximale druk die naar de achterremmen gaat kan, door

middel van een stangenmechanisme, instelbaar zijn afhankelijk van de invering van de

achteras. Bij grote invering is wordt is de maximale remdruk hoger dan bij kleinere invering.

In Figuur 4.10 is dit weergegeven. Op de x-as staat de genormaliseerde remkracht op de

vooras en op de y-as de genormaliseerde remkracht op de achteras. In de grafiek wordt de

parameter zkritisch gebruikt. Hiervoor geldt de volgende vergelijking:

totz

ax

totz

vx

totz

axvx

totzaxvxF

F

F

Fz

F

FFzFzFF

,

,

,

,

,

,,

,,, .

( 4.13 )

In geval van gelijke wrijvingscoëfficiënt voor en achter geldt: z=μ

Verder zien we dat bij het lege voertuig instabiliteit optreedt tussen zkrit=0,5 en z=0,72. Voor

het beladen voertuig blijft de remkrachtverdeling ver onder het kritsiche niveau wat in feite

betekent dat het potentieel niet goed uitgenut wordt.

Gegeven een remkrachtverdeling achter/voor crem

leegvx

leegax

leegremF

Fc

,,

,,

, ( 4.14 )

Hierbij geldt:

totz

ax

totz

vx

F

F

F

F

,

,

,

, ( 4.15 )

leegrem

leegtotz

leegvxc

F

F,

,,

,,1. ( 4.16 )

Indien beladen geremd wordt dan is de ideale remkrachtverdeling gegeven dezelfde

wrijvingscoëfficiënt anders. Doorgaans neemt de wiellast achter relatief meer toe dan de

wiellast voor waardoor er voor de ideale verdeling meer remkracht naar de achteras moet. Bij

een vaste remkrachtverdeling wordt deze bijstelling niet gerealiseerd.

De ideale remkrachtverdeling achter is:

beladenvx

beladenax

beladenremF

Fc

,,

,,

, ( 4.17 )

en geldt dus:


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

beladenrem

beladentotz

beladenvxc

F

F,

,,

,,1. ( 4.18 )

Bij de vaste remkrachtverdeling wordt die van de onbeladen situatie gebruikt. Dus gegeven de

situatie waarbij over de maximale over te brengen remkracht gaat, bepalen we het aandeel op

de achteras aan de hand van de remkrachtverdeling van de onbeladen situatie.

leegrem

beladentotz

beladenvxc

F

F,

,,

,,1. ( 4.19 )

Gegegeven de ideale remkracht verdeling kunnen we nu bepalen wat de afname in de te

realiseren vertraging is.

Stel : μ=0,5

Crem,leeg=0,17/0,33

Crem,beladen=0,21/0,29

Fx,v,leeg/Fz,tot=0,33

Voor leeg geldt >> μ=(0,33)*(1+0,17/0,32)=0,5

Voor beladen geldt μ=(0,29)*(1+0,17/0,32)=0,44

Hieruit bepalen we het verlies aan vertraging: (100*(0,44-0,5)/0,5)=-12%

NB:

door de gewichtstoename neemt de remkracht voor wel toe maar af relatief ten

opzichte van de totale voertuigmassa

Deze vereenvoudiging geldt voor een Fz onafhankelijk μ.

Figuur 4.10: Remkrachtbegrenzing. In het deel “Instabiler Bereich..”zal eerste de achteras blokkeren.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Ad 2. Remkrachtvermindering

Remdrukvermindering lijkt op remkrachtbegrenzing met dit verschil dat de remdruk naar de

achterremmen na het omschakelpunt nog steeds toeneemt, echter minder stijl dan voor het

omschakelpunt. Hiermee wordt een betere benadering van de ideale remkrachtverdeling

gerealiseerd.

Ad 3. Schakelbare hoofdremcilinder

Bij een schakelbare tandem hoofdremcilinder wordt tussen twee standen geschakeld

afhankelijk van de beladingsgraad van het voertuig

Figuur 4.11: Remkrachtbregrenzing, met beladingsafhankelijk omschakelpunt (ZUbeladen en ZUleer)


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

beperking van deze systemen

Ad 4. Effect beladingsgraad voertuig

Indien het voertuig beladen wordt dan komt de extra aslast voornamelijk voor rekening van de

achteras. Is een remdrukverdeling zodanig dat onbeladen de vooras als eerste blokkeert dan

wordt de situatie alleen nog maar ongunstiger in de beladen situatie omdat de afstand tot de

ideale remkrachtverdeling groter wordt. Zie Figuur 4.13 en de verhandeling bij

remdrukbegrenzing.

Figuur 4.12: Schakelbare hoofdremcilinder, afhankelijk van de beladingsgraad, dit resulteert in zkrit,leer en

zkrit,beladen

Figuur 4.13: Effect beladingsgraad op de ideale remkrachtverdeling

Fx,a/G als functie van Fx,v/G

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Fx,v/G [-]

Fx

,a/G

[-]

Fx,a/G, beladen

Fx,a/G, onbeladen


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Door middel van een tandem hoofdremcilinder kan dit voor een deel gecompenseerd worden.

Ad 5. Nauwkeurigheid van de regeling

Zoals al eerder gesteld is de remdrukbegrenzing uitgevoerd als stangenmechanisme. Het

instellen en beproeven van de juiste instelling is niet eenvoudig en daarnaast veranderen

gedurende de gebruiksduur parameters van componenten, zoals het zich zetten van de veren

(hierdoor lijkt het voertuig ten onrechte een hogere aslast te hebben) en de verandering van en

spreiding in het materiaal van de remmen (schijf/trommel versus remblokken en

remschoenen)

Ad 6. Effect remmend moment van de motor

Indien men afremt zonder te ontkoppelen zal de motor een additioneel remmend moment op

de ‘aangedreven’ as veroorzaken. In geval van de vooras is dit niet kritisch voor de stabiliteit,

bij een achteras kan dit wel het geval zijn. Het probleem met remmende moment van een

motor is dat de grootte hiervan wordt bepaald door het motortoerental en de gekozen

overbrengingsverhouding. Zie Figuur 4.14.

In de extreme situatie (dus gas loslaten in een bocht loslaten vanuit met een hoog

motortoerental) kan dit leiden tot zeer instabiel rijgedrag. Hier spelen meerdere zaken een rol

dan alleen de het remmend moment van de motor. Hierover later meer.

Het spreekt dus bijna voor zich dat instabiliteit als eerste optreedt bij achterwiel aangedreven

auto’s met de motor achterin (Porsche 911, oude Skoda’s, Smart).

Met alle beperking van conventionele remsystemen lijkt abs het ei van columbus. het abs

voorkomt dat een wiel blokkeert. doordat de wielen altijd blijven draaien blijft er altijd

wrijvingspotentieel in laterale richting beschikbaar en blijft het voertuig bestuurbaar.

Figuur 4.14: Invloed remmende werking van de motor op de ideale remkrachverdeling


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Geprojecteert op de cirkel van Kamm betekent dit dat voor wat betreft de longitudinale slip

zodanig geregeld wordt dat de grenswaarde niet overschreden. De gevreesde binnencirkel

wordt hiermee niet meer betreden.

Regeltechnisch is de longitudinale bandkarakteristiek het uitgangspunt.

Indien men met sliphoek 0 een band afremt dan bestaat de afremming uit een stabiel en

instabiel deel:

Stabiel: Voor de top, hierin kan de bestuurder regelen/doseren

Instabiel: Na de top er is nu een overmaat aan remkracht aanwezig waardoor het wiel

zeer snel (ordegrootte van 0,2-0,4 sec) zal blokkeren. Gezien de traagheid van de

bediening en de reactietijd van de bestuurder is dit niet beheersbaar

De eerste taak van de regeling is dus te voorkomen dat het wiel blokkeert. De regeling maakt

hiertoe gebruik van hoeksnelheidssensoren op de wielen. Zodra de hoeksnelheid zeer snel

gaat afnemen is dit het signaal dat men over de top van de bandkarakteristiek is en moet het

ABS ingrijpen door de remdruk te verlagen/te onderbreken.

Deze regeling werkt goed bij kleine sliphoeken. Bij grotere sliphoeken verdwijnt de top in de

longitudinale bandkarakteristiek en zal het systeem dus nooit ingrijpen waardoor de het wiel

toch blokkeert.

Om dit te voorkomen heeft een ABS ook een slipregeling die voorkomt dat de longitudinale

slip een kritisch niveau overschrijdt.

Bij het ingrijpen van het ABS worden door de regeling de volgende fasen doorlopen Zie

Figuur 4.15:

Fase 1: nog onder de maximale remdruk, systeem werkt als conventioneel remsysteem

Fase 2: overschrijding van de maximale remdruk: verbinding tussen hoofdremcilinder

en rem wordt gesperd

Fase 3: de remdruk aan de wielzijde wordt met een vaste stap verlaagd,

Fase 4: de remdruk wordt weer gesperd; het wiel zal eerst minder vertragen,

vervolgens gaan versnellen

Fase 5: de verbinding met de hoofdremcilinder wordt weer vrijgegeven. Hierdoor

neemt de hoeksnelheid van het wiel weer af , de wielslip zit nu in de buurt van de

kritische waarde

Fase 6 en verder de regeling regelt nu om de gewenste longitudinale slip waarde

waarbij de regelfrequentie kan oplopen tot 20 Hz

De bestuurder ervaart deze pulserende regeling als een trilling in het rempedaal.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Figuur 4.15: Werking van de regeling van een ABS


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.1.3.1.2 De remkrachtverdeling indien de wrijvingscoëfficiënt wel afhankelijk van

de Fz en andere parameters

In de vorige paragraaf is reeds duidelijk geworden dat zonder toepassing van electronische

regelingen ideale remkrachtverdeling eigenlijk niet te realiseren is.

Indien we nog andere parameters zoals de effecten van Fz op de μ en de effecten van snelheid

en conditie toe willen voegen dan komen we al snel in zeer complexe berekeningen uit.

Het is weinig zinvol om rekenen aan de ideale remkrachtverdeling voor-achter indien deze in

de praktijk nooit gerealiseerd kan worden. Wel is het interessant om te kijken wat gegeven

een zeker wrijvingspotentieel de maximale remvertraging is die men kan bereiken.

Uitgangspunt hierbij is:

1. de wrijvingscoëfficiënt op de vooras neemt af en op de achteras neemt toe als functie

van de vertraging

2. De gewenste wrijvingskracht op de vooras neemt meer dan evenredig toe, en die van

de achteras minder dan evenredig toe met de vertraging

3. De resulterende remvertraging is dan dus lager dan de remvertraging waarmee de

berekening begonnen is en hiervoor geldt dan weer een andere gunstiger

aslastverdeling.

Zo kan de men de punten 1..3 iteratief doorlopen totdat de fout in de benadering klein genoeg

is. Dit leent zich voor een aanpak in een klein stukje software.

Een andere mogelijkheid is het op te lossen middels een simulatiemodel dat net als bij een

ABS regeling steeds regelt op optimale wielslip. Om dit te realiseren moet het cirkel van

Kamm model van de bandwegdekinteractie uitgebreid worden.

In zo’n model kunnen dan ook de effecten van de snelheidsafhankelijkheid van de

wrijvingscoëfficiënt opgenomen worden4.

4 Auteur was als medewerker van TNO Automotive verantwoordelijk voor de ontwikkeling van het

remvermogenmodel. De kennis en modelontwikkeling vanuit de wegzijde kwam voor rekening van KOAC-

WMD (een laboratorium gespecialiseerd in wegdekonderzoek en ontwikkeling) en die vanuit band/voertuigzijde

voor rekening van TNO Automotive, afdeling voertuigdynamica met als specialisatie experimenteel onderzoek

band-wegdekinteractie en de toepassing hiervan in mathematische band/voertuigmodellen. Over deze meerjarige

ontwikkeling (perode 1997-2000) is bij verschillende gelegenheden nationaal en internationaal gepubliceerd.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.1.3.2 Pure laterale slip

Pure laterale slip treedt op bij het rijden van een bocht zonder aandrijven/remmen.

De belangrijke vergelijkingen zijn die van de dynamische aslasten als functie van de laterale

versnelling. Daarom wordt direct het tweespoormodel beschouwd.

Gegeven is een laterale kracht Fy die aangrijpt in het zwaartepunt van het voertuig. gegeven

de ligging van het zwaartepunt wordt deze kracht verdeeld over voor en achteras. Met de

gegeven hoogte van zwaartepunt boven het wegdek kunnen we vervolgens de

gewichtsoverdracht van links naar rechts of viceversa bepalen. Zie Figuur 4.16.

Als eerste bepalen we de statische wiellast per wiel

l

bgmFF rvzlvz

.2

..,,,, en

l

agmFF razlaz

.2

..,,,, ( 4.20 )

Vervolgens bepalen we de gewichtsoverdracht. Bij een linksomdraaiend assenstelsel gezien in

de rijrichting naar links gericht. Een positieve Fy komt dus overeen met een bocht naar rechts.

Deze verdeeld zich vervolgens over de voor en achteras

l

bFF

y

vy

., en

l

aFF

y

ay

., ( 4.21 )

Vanuit het momentenevenwicht geldt:

v

vy

vzvvzvysb

hFFsbFhF

...

,

,,, ( 4.22 )

Evenzo voor de achteras

Figuur 4.16: Gewichtsoverdracht bij laterale en longitudinale versnelling


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

a

ay

azaazaysb

hFFsbFhF

...

,

,,, ( 4.23 )

Bij een bocht naar rechts vindt gewichtsoverdracht plaats naar links.

Vooras:

vzlvzdynlvz FFF ,,,,,, en vzrvzdynrvz FFF ,,,,,, ( 4.24 )

Achteras:

azlazdynlaz FFF ,,,,,, en azrazdynraz FFF ,,,,,, ( 4.25 )

Door de verandering van de aslast zal de wrijvingscoëfficiënt voor het buitenwiel afnemen en

het binnenwiel toenemen. Gegeven de wiellasten kunnen we de wrijvingscoëfficiënten

uitrekenenen. Samengesteld vinden we daarmee de de maximale Fy per wiel

dynlvz

nomz

nomzdynlvz

FmuFlvy FF

FFcF

znomz ,,,

,

,,,,

,,max, ..,

( 4.26 )

Evenzo geldt voor de overige drie wielen

4.1.3.2.1 Voorbeeld stationaire bocht

Nemen we een voertuig waarmee we een stationaire bocht naar rechts rijden. Gevraagd is de

maximale bochtsnelheid.

Per snelheid rekenen we uit:

1. De op te nemen laterale kracht op voor en achter as, zie

2. De gewichtsoverdracht en de resulterende wiellasten, zie

3. De resulterende wrijvingscoëfficiënten

4. De over te brengen laterale kracht op voor en achteras

Bij de snelheid waar, op één van of beide assen, de beschikbare laterale kracht kleiner is dan

de op te nemen laterale kracht is de kritische bochtsnelheid bereikt.

In de case is de statische aslast voor groter dan de statische aslast achter.

Ad 1. De op te nemen laterale kracht op voor en achter as

Dit spreekt voor zich. Zie Figuur 4.17.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Ad 2. De gewichtsoverdracht en de resulterende wiellasten, zie

De verandering van de wiellasten verloopt evenredig met Fy (zie Figuur 4.18) en in Figuur

4.19 zijn de resulterende wiellasten aangegeven. De vooras heeft een gezien de

massaverdeling een hogere aslast.

Op nemen laterale kracht als functie van de

snelheid, bocht naar rechts, R 100 m

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 10 20 30 40 50 60

v [m/s]

Zie

le

ge

nd

a

Fy [N]

Fy,v [N]

Fy,a [N]

Figuur 4.17: Laterale kracht Fy als functie van de snelheid


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Ad 3. De resulterende wrijvingscoëfficiënten

Delta Fz, voor en achter als functie van de

snelheid, R 100 m

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 20 40 60

v [m/s]

Zie

le

ge

nd

a

delta_Fz,v [N]

delta_Fz,a [N[

Figuur 4.18: Verandering van de wiellast voor en achter als functie van de snelheid

Wiellasten als functie van de snelheid, R 100 m

-1000,00

0,00

1000,00

2000,00

3000,00

4000,00

5000,00

6000,00

0 10 20 30 40 50 60

v [m/s]

Zie

le

ge

nd

a

Fz,v,l [N]

Fz,v,r [N]

Fz,a,l [N]

Fz,a,r [N]

Voertuig kantelt!!!

Figuur 4.19: Resulterende wiellasten als functie van de snelheid. Bij 40 m/s zal het voertuig kantelen.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Hier komt de afhankelijkheid van de Fz toe. De vooras heeft hierdoor gemiddeld een lagere

wrijvingscoëfficiënt de daarnaast zijn er uiteraard de effecten van de gewichtsoverdracht naar

het buitenwiel. Zie Figuur 4.20.

Ad 4. De over te brengen laterale kracht op voor en achteras

Als laatste vinden we nu de over te brengen laterale kracht per as. Voor een grote bochtstraal

mogen we deze per as optellen5. Door deze, per as, te vergelijken met de benodigde Fy kan

bepaald worden wat de beperkende factor is. In dit voorbeeld zal de kritische grens het eerst

overschreden worden voor de vooas. Dit bekent dat het voertuig in het grensgebied

onderstuurd is.

5 De cosinus van de hoek wielbasis/boogstraal is bepalend, bij een wielbasis van 2 m en een boogstraal is deze

gelijk aan 0,9999

Wrijvingscoëfficiënten als functie van de

snelheid, R 100 m

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 10 20 30 40 50 60

v [m/s]

Zie

le

ge

nd

a Mu,v,l

Mu,v,r

Mu,a,l

Mu,a,r

Figuur 4.20: Resultende wrijvingscoëfficiënt per wiel.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Kritisch lateraal gedrag met cirkel van Kamm

model

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 10 20 30 40 50 60

Snelheid [m/s]

Zie

le

ge

nd

a

Fy,v,tot [N]

Fy,a,tot [N]

Fy,v [N]

Fy,a [N]

Kantelsnelheid

Kritische snelheid,

achteras

Kritische snelheid vooras

Figuur 4.21: Kritisch lateraal gedrag met cirkel vam Kamm model: het voertuig is in het grensgebied

onderstuurd


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.1.3.3 Gecombineerde slip

Gecombineerde slip waarbij het wrijvingspotentieel in laterale en longitidinale richting wordt

aangesproken treedt op bij remmen of accelereren in een bocht. Beperkt tot het stationaire

gedrag hebben we nu te maken met buitencirkel van de cirkel Kamm, de cirkel van de

maximale wrijving in longitudinale en laterale richting.

Om de grenswaarde voor het rijgedrag te bepalen kunnen we de gecombineerde slip conditie

benaderen vanuit

1. Pure laterale slip

Gegeven de laterale kracht wordt hier een longitudinale kracht aan toegevoegd: deze is

positief bij aandrijven en negatief bij remmen

2. pure longitudinale slip

Gegeven een longitudinale kracht wordt hier een laterale kracht aan toegevoegd

Voor de berekening gaan we uit van de pure laterale slip: het voertuig rijdt een bocht met een

constante straal en wil remmen of accelereren

Gevraagd: wat zijn de maximale longitudinale versnellingen.

Bij aandrijven is van belang:

welke as wordt aangedreven of welke assen worden aangedreven

Bij remmen is van belang:

hoe wordt de remkracht verdeeld over voor en achteras

Uitwerking de berekening wordt gedaan met oplopend niveau van ax

Per berekeningstap worden de volgende deelresultaten berekend:

Uit: v, R en m volgt Fy

Uit Fy, de ligging van het zwaartepunt en de spoorbreedte(n) volgt de

gewichtsoverdracht en de verandering tgv van Fy

Uit de ax wordt de Fx bepaald voor remmen/aandrijven

Uit de Fx volgt de gewichtsoverdracht en verandering ten gevolge van Fx

Vanuit de statische wiellast en de gewichtsoverdracht volgt de dynamisch wiellast

Bij de dynamische wiellast en de bijbehorende wrijvingscoëfficiënt, wordt per wiel de

maximale Fx bepaald

Indien voor geen van de wielen de grenswaarde van Fx wordt overschreden, wordt per

as gekeken wat het resterende potentieel aan Fx is.

Is dit potentieel groter dan wat nodig is, zal het voertuig zijn koers kunnen blijven

volgen.

Een dergelijke berekening, inclusief effecten van de snelheid op de wrijvingscoëfficiënt en

zelfs individuele verschillen tussen de banden is, als voorbeeld, niet ter reproductie,

samengesteld in Excel. Hiermee wordt gedetailleerde informatie verkregen over gehele

grensbereik van het rijgedrag van een voertuig.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Daardat de gevonden grenswaarden ook geldig zijn in een volledig model, kan een

gecombineerd model van Kamm heel goed gebruikt worden voor de bepaling van de

stationaire voertuiginstellingen:

keuze banden (rubbercompound)

keuze ligging zwaartepunt

richtwaarden voor aerodynamica (functionaliteit is nu niet aanwezig in dit model)

keuze remkrachtverdeling

etc..

In Figuur 4.22. is een voorbeeld gegeven van zo’n samengestelde cirkel van Kamm voor het

gehele voertuig. Het lichtblauwe deel is de cirkel van kamm. In het niveau 2 wordt de grens

bepaald door twee doorslippende wielen. In het niveau 4 wordt de grens bepaald door 4

longitudinaal doorslippende wielen.

Voor het dynamische gedrag van het voertuig zijn dan weer andere parameters van belang:

Massatraagheden, translerend en met name ook roterend

Relaxatieeffecten

Slipstijfheden banden

Gaan we tenslotte naar het volledige model dan komen daarbij:

Parameters wielophanging

o wielstanden

o rolcentrum

o instellingen demping en vering

o flexibiliteiten in de wielophanging/stuursysteem

Stijfheid chassis/carrosserie

Camber effecten op bandwegdekinteractie

In de volgende paragraaf maken we de stap naar het dynamisch voertuiggedrag.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0

0

0

0

1

1

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

ax

ay

Grenswaarden gecombineerd voertuiggedrag

4-6

2-4

0-2

Figuur 4.22: Grenswaarden gecombineerd voertuiggedrag


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.2 Het éénspoormodel

In de vorige paragraaf is het voertuiggedrag beschouwd aan de hand van het cirkel van Kamm

model. Hiermee wordt het grensbereik van het voertuig beschreven en daarmee ook de

grenswaarden voor de actieve veiligheid. Toch hebben deze stationair bepaalde grenswaarden

de beperking dat ze als eerste stationair zijn en als tweede dat ze niets zeggen over het

voertuiggedrag onder de kritische grens.

Het dynamische gedrag is van belang bij een verandering in de voertuigversnelling:

bijvoorbeeld bij een uitwijkmanoeuvre. Het “onderkritische” gedrag heeft met name te maken

met de subjectieve bestuurbaarheid van het voertuig. Hoe direct reageert het voertuig op het

stuurcommando van een bestuurder. Hoe snel worden dus de spoorkrachten opgebouwd en

welke moeite moet een bestuurder dus doen voor het besturen van een auto.

Bij het kopen van een auto, en daar is het de fabrikant toch om te doen, is de beleving van de

actieve veiligheid veel belangrijker dan hoe groot deze absoluut is. Slechts zeer ervaren

bestuurders en testrijders zoeken echt het grensgebied op. Wat een modale bestuurder wel test

is of het voertuig prettig stuurt, door bijvoorbeeld een beetje te slalommen.

Een project dat inspeelt op een dergelijk vraagstuk is het ACHIEVE van TNO Automotive. In

dit project is een normale personenauto voorzien van een steer by wire stuursysteem waarmee

door middel van de regelparameters ieder gewenst stuurgevoel gecreëerd kan worden. Men

onderzoekt hierbij wat nu eigenlijk de bepalende parameters zijn in de beoordeling van het

stuurgevoel bij een auto. En terwijl er niets verandert aan het grensbereik van de auto zal de

beleving van de actieve veiligheid dus steeds verschillend zijn.

Vandaar dat de scope bij voertuigdynamisch onderzoek zich ook voor een belangrijk deel

richt op het onderkritische rijgedrag van een voertuig.

Een eerste stap om daarin berekeningen uit te kunnen voeren is de toepassing van het

éénspoormodel waarbij naast het niveau van de wrijving ook het verloop van de wrijving als

functie van de wielslip bekend is.

Bij het éénspoormodel, ook wel het fietsmodel genoemd, wordt de breedte van het voertuig

gelijk gesteld aan 0. De voorwielen links en rechts worden samengesteld tot één en hetzelfde

geldt voor de achterwielen. Simpel gesteld is het voertuig dus in alle situaties zuiver

symmetrisch over de lengteas.

De volgende effecten worden hierdoor niet berekend

Het effect van rol en gewichtsoverdracht Links-Rechts

Verschillen in bandkracht links en rechts

Voor deze effecten wordt het tweespoormodel gebruikt. Vanuit het begrip van het

eenspoormodel is het betrekkelijk eenvoudig om de overstap hiernaar te maken.

Achtereenvolgens worden voor het eenspoormodel behandeld

De opbouw van het model

Het pure longitudinale rijgedrag met het éénspoormodel

Het pure laterale rijgedrag met het éénspoormodel

Het gecombineerde rijgedrag met het éénspoormodel


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.2.1 De opbouw van het éénspoormodel

Zie Figuur 4.23. Het eenspoormodel bestaat uit een vooras/wiel een achteras/wiel die

onderling verbonden zijn. De vooras kan gestuurd worden. Daarnaast is het zwaartepunt

gedefinieerd. Let op: het eenspoormodel kan dus niet rollen om de lengteas!

In Figuur 4.24 zijn de belangrijkste afmetingen weergegeven. Eén en ander conform de

definities bij Aandrijvingen.

Figuur 4.23: Het eenspoormodel

Figuur 4.24: Het eenspoormodel, zijaanzicht

vooras (gestuurd)

zwaartepunt

achteras

vooras achteras

a

h

l

b


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.2.2 Het pure longitudinale rijgedrag met het éénspoormodel

Beschouwen we de bandkarakteristiek dan zijn hiervan bekend:

De hechtende wrijvingscoëfficiënt: μx,max,

De glijdende wrijvingscoefficient: μx,blokkeren,

De longitudinale slipstijfheid Cμx,κ

Als voorbeeld werken we dit verder uit voor het remmen.

De remkracht wordt volgens de remkrachtverdeling aangebracht op de voor en achteras.

bekend zijn hiermee Fx,v en Fx,a

Daarnaast kunnen we aslasten voor en achter bepalen en gegeven de longitudinale

slipstijfheid Cμx,κ in het lineaire gebied van de karakteristiek volgt hieruit de longitudinale

slip

De grootte van de slipstijfheid wordt bepaald door:

de stijfheid van het loopvlak van de band

de stijfheid van het profiel

de lengte van het contactvlak

Hoe meer vervorming er mogelijk is, des te lager dus de slipstijfheid. Bij een gemiddelde

band is de slipstijfheid zodanig dat μx,max bereikt wordt bij κ 0,15. Bij slicks, en dus ook

versleten banden, neemt de slipstijfheid dus toe.

De slipstijfheid bepaalt met name het dynamische gedrag bij remmen bij een groter

slipstijfheid zal het voertuig daarom directer op een remcommando reageren. Het wordt

daarmee echter ook moeilijker om de remkracht te doseren.

Een hoge slipstijfheid vergroot met name de bestuurbaarheid van het voertuig lateraal. Het

voertuig reageert directer. Met het verhogen van deze laterale stijfheid gaat automatische de

longitudinale stijfheid mee.

De relevantie van longitudinaal is in dit stadium van de kennisontwikkeling minder groot dan

voor lateraal. Om die reden laat ik de verdere uitwerking hiervan even rusten.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.2.3 Het pure laterale rijgedrag met het éénspoormodel

Bij de uitleg wordt zoveel mogelijk grafisch gewerkt: dus het visueel inzichtelijk maken.

Deze methode werkt zowel goed om uit te leggen als om inzicht te verwerven. Echt inzicht

verkrijgt men pas na oefening. Ga dus spelen met de theorie en ontwikkel daarmee je inzicht.

Definitie:

Bij stationair gedrag is de som van de momenten 0 en de som van de krachten 0: voor de

eenvoudige voertuigdynamica

ΣFx=0; : ΣFy=0; : ΣMz=0

We beschouwen nu achtereenvolgens:

1. een bocht met zeer lage snelheid (stapvoets)

2. een bocht met geleidelijk oplopende snelheid

Ad 1. een bocht met zeer lage snelheid (stapvoets)

Bij een zeer lage snelheid nadert de centripetaal kracht naar 0 waardoor de banden ook geen

laterale kracht hoeven over te brengen.

De sliphoek voor en achter zijn nu 0. De stuurhoek die de voorwielen maken met de

rijrichting heet in deze situatie de Ackermanhoek δA die bepaald wordt uit het quotiënt van de

wielbasis l en boogstraal R. Bij benadering geldt:

R

lA arctan ( 4.27 )

Figuur 4.25: Het stationaire bocht bij een zee lage snelheid, stapvoets


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Ad 2. een bocht met geleidelijk oplopende snelheid

Bij oplopende snelheid neemt de centripetaalkracht en de daarmee noodzakelijk laterale

bandkracht ook toe. Zie Figuur 4.26. Hiervoor geldt bij benadering:

l

b

R

vmF vy .

. 2

, en l

a

R

vmF ay .

. 2

, ( 4.28 )

De werkelijkheid is dat krachten naar het centrum van de bocht zijn gericht als in Figuur 4.27

Figuur 4.26: De stationaire bocht, benadering

R

v

Fc=m.v2/R

Fy,v

Fy,a

Gierhoeksnelheid


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Gegegeven de slipstijfheid lateraal CF,α voor en achter kunnen nu de benodigde sliphoek voor

en achter berekend worden:

vF

vy

vC

F

,,

,

en aF

ay

aC

F

,,

,

( 4.29 )

Vooruitlopend op de volgende stap schrijven we de sliphoek om naar slipsnelheid:

)sin(.,, vvsy vv en )sin(.,, aasy vv ( 4.30 )

Let op de richtingen in het assenstelsel:

We gaan uit van het linksomdraaiend assenstelsel volgens Zomotor6: de Fy,a en Fy,v zijn dus

positief bij een positieve sliphoek (wiel stuurt naar links vanuit de snelheidsvector v)

In geval van een bocht naar links moet het wiel naar links ingestuurd worden. Zie Figuur 4.28.

6 zie [2] en figuur 3.7

R Fc

Fyv

Fya

wielbasis 2 [m]

hoek cos hoek tan hoek Boogstraal [m]

0 1.00 0.00 oneindig

1 1.00 0.02 115

2 1.00 0.03 57

3 1.00 0.05 38

4 1.00 0.07 29

5 1.00 0.09 23

6 0.99 0.11 19

7 0.99 0.12 16

8 0.99 0.14 14

Figuur 4.27: De stationaire bocht, werkelijkheid, rechts laat zien dat de fout (cosinus hoek)

verwaarloosbaar is


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Doordat het voertuig een bocht rijdt draait het ook om de verticale as. Deze hoeksnelheid

wordt de gierhoeksnelheid genoemd.

R

v ( 4.31 )

Vanuit deze gierhoeksnelheid ontstaat er een locale snelheid op de achteras naar de buitenkant

van de bocht en een een snelheid op de vooras naar de binnenzijde van de bocht:

av vsy .,, en bv asy .,,

( 4.32 )

Indien we een bocht naar links rijden dan zijn de tekens als in figuur .. is weergegeven:

Vooras: vsy,α,v naar rechts en vsy,ψ,v naar links7

Achteras: vsy,α,a naar rechts en vsy,ψ,v naar rechts

Voor de achteras geldt dat de resulterende slipsnelheid wordt samengesteld uit de vsy,α,a en

vsy,ψ,a en de slipsnelheid van de voertuigsliphoek β: vsy,β . Zie Figuur 4.29

7 NB: de aanduiding ψ met een puntje erboven (de eerste afgeleide van ψ) kan helaas niet door Word worden

weergegeven is buiten de formule editor weggelaten.

v +α

Fy

+x

+y

vsy

Figuur 4.28: Positieve richtingen van kracht, hoek en slipsnelheid voor een bocht naar links


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

asyasysy vvv ,,,,, ( 4.33 )

De term Vsy,β ontstaat vanuit de voertuigsliphoek β.

Als voorbeeld nemen we een stationaire bocht naar links met een straal van 100 m en

beschouwen hierbij twee situaties:

1. De spoorstijfheid is zeer groot, waardoor de benodigde slipsnelheid vsy,α,v hoek zeer

klein is ten opzichte van de slipsnelheden vsy,ψ,a en vsy,β

2. Idem, maar nu met een reële waarde van de spoorstijfheid.

In situatie 1 is duidelijk te zien dat vsy,ψ,a en vsy,β even groot en tegengesteld gericht zijn. Ze

compenseren elkaar. Dus geldt

asysyasysy vvvv ,,,,,, 0 ( 4.34 )

Bij situatie 2 is vsy,α,a een functie van de dwarskracht die moet worden opgenomen. Deze

loopt kwadratisch op met de voertuigsnelheid en ontstaat doordat de slipsnelheid vsy,β anders

gaat lopen.

Neem als voorbeeld snelheid 10 m/s. Hierbij is de benodigde vsy,α,a gelijk aan vsy,ψ,a en wordt

vsy,β 0.

asyasyasyasy vvvv ,,,,,,,,0 ( 4.35 )

Heel duidelijk is het zichtbaar dat de voertuigsliphoek van teken wisselt.

Figuur 4.29: Samenstelling van de slipsnelheden, achter

Achteras

v

α

Vsy,α,a=v.sin(α)= Vsy,ψ,a- Vsy,β

Fy,a

Vsy,ψ,a=b.dψ/dt

Vsy,β=v.sin(β)


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Slipsnelheden op de achteras als functie van de

voertuigsnelheid bij constante bochtstraal, bocht

linksom

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15 20

Voertuigsnelheid [m/s]

Sli

ps

ne

lhe

de

n,

zie

le

ge

nd

a [

m/s

]

vsy,alpha,achter

[m/s]

vsy,beta [m/s]

vsy,phi,achter [m/s]

Figuur 4.30: stationair bocht achteras, situatie 1 met een verwaarloosbare slipsnelheid vsy,α,a


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt



linksom

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20


Sli

ps

ne

lhe

de

n,

zie

le

ge

nd

a [

m/s

]

vsy,alpha,achter

[m/s]

vsy,beta [m/s]


Figuur 4.31: Stationaire bocht achteras, situatie 2 met een reële slipsnelheid vsy,α,a

R Fc

Fyv

Fya

Figuur 4.32: De stationaire bocht, punt slipsnelheid vsy,β 0


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Hieruit kunnen we de voertuigsliphoek berekenen, zie :

v

vsy

,arcsin ( 4.36 )

Voor de vooras geldt dat de resulterende slipsnelheid wordt samengesteld uit de vsy,α,v en

vsy,ψ,v en de slipsnelheid van de voertuigsliphoek β en de stuurhoek Zie Figuur 4.33.

Nu zijn vsy,β en vsy,ψ,v gelijkgericht. In de situatie dat de slipsnelheid 0 is

,,,,,, syvsyvsysy vvvv ( 4.37 )

In de situatie 1 dat de slipsnelheid vsy,α,v 0 is geldt: (zie Figuur 4.34)

,,,,,,,, 0 syvsysysyvsysy vvvvvv ( 4.38 )

Indien slipsnelheid vsy,β 0 wordt geldt

vsyvsysyvsyvsysy vvvvvv ,,,,,,,,,, 0 ( 4.39 )

De resulterende grafiek is weergegeven in Figuur 4.35.

Figuur 4.33: Samenstelling van de slipsnelheden voor

Vooras

v

α

Vsy,α,v=v.sin(α) Fy,v

Vsy,ψ,v=a.-dψ/dt

Vsy,β Vsy,δ= Vsy,α,v- Vsy,β- Vsy,ψ,v


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Slipsnelheden op de vooras als functie van de


linksom

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20


Sli

ps

ne

lhe

de

n,

zie

le

ge

nd

a [

m/s

]

vsy,alpha,voor [m/s]

vsy,beta [m/s]

vsy,phi,voor [m/s]

vsy, delta [m/s]

Figuur 4.34: stationair bocht vooras, situatie 1 met een verwaarloosbare slipsnelheid vsy,α,v



linksom

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20


Sli

ps

ne

lhe

de

n,

zie

le

ge

nd

a [

m/s

]


vsy,beta [m/s]

vsy,phi,voor [m/s]

vsy, delta [m/s]

Figuur 4.35: Stationaire bocht vooras, situatie 2 met een reële slipsnelheid vsy,α,v


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Met deze bekend kunnen we de stuurhoek bepalen

v

vsy

,arcsin ( 4.40 )

In het voorbeeld blijkt deze constant te zijn op de waarde van de Ackermanhoek. In deze

situatie kan dus met een vaste stand van het stuurwiel de bochtsnelheid verhoogd worden

zonder dat de bochtstraal verandert.

Dit treedt op indien de sliphoek achter gelijk is aan de sliphoek voor. In de praktijk is de

situatie anders. Zo is de vooras doorgaans zwaarder belast en zal hier door de slipstijfheid

(genormaliseerd naar de aslast) afnemen.

In het onderstaande grafiekje zijn voorbeelden gegeven van de stuurhoek als functie van de

snelheid voor

1. CF,α,v = CF,α,a

2. CF,α,v < CF,α,a, resulterend in onderstuurd rijgedrag

3. CF,α,v > CF,α,a, resulterend in overstuurd rijgedrag

Samenvattend

Deze vsy ontstaat door combinatie van de volgende deelslipsnelheden:

1. de slipsnelheid ten gevolge van de voertuigsliphoek β

Deze is voor en achter gelijk.

2. de slipsnelheid ten gevolge van de gierhoeksnelheid

3. de slipsnelheid ten gevolge van de stuurhoek tussen band en voertuig

Figuur 4.36: Stuurhoek delta voor verschillende combinaties van spoorstijfheden CF,α.

Stuurhoek als functie van de bochtsnelheid,

R=100 m linksom

-0.04

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0 5 10 15 20

Snelheid [m/s]

Stu

urh

oe

k [

rad

], z

ie

leg

en

da delta,neutraal

delta,onderstuur

delta,overstuur


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Willen we gegeven een gierhoeksnelheid bepalen wat in de stationaire situatie de

voertuigsliphoek en de stuurhoek moet zijn, dan kunnen we dit berekenen uitgaande van de

achteras.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.2.4 Overstappen naar Fahrverhalten van Zomotor

Vanaf hier verder studeren in het bovengenoemde document; vanaf Hoofdstuk 4,

Lenkverhalten.

De naamgeving van de variabelen is door de duitse taal enigzins anders.

Deze reader Zomotor Toelichting

Cfα,v en Cfα,a Cv en Ch vorne, hinten

a lv

B lh

wb of l l

Fy,v en Fy,a Fs,v en Fs,h

Voor de snelheid voor de voertuigsliphoek is in de vorige paragraaf bepaald:

asyasysy vvv ,,,,, ( 4.41 )

Dit kunnen we herschrijven

bvv

bvmetvvv

vvv

syasy

asyasysyasy

syasyasy

.

.

,,,

,,,,,,,

,,,,,

( 4.42 )

Om dit om te zetten naar hoeken nemen we de inverse sinus van de slipsnelheden en

voertuigsnelheid Daartoe delen we gehele vergelijking door de voertuigssnelheid v.

v

b

v

v

v

v syasy .arcsinarcsinarcsin

,,, ( 4.43 )

Indien we rekenen in radialen geldt voor kleine hoeken: hoekhoek sin , dus geldt

v

ba

.

( 4.44 )

In de de vergelijking in Zomotor wordt gerekend met –β, hetgeen komt doordat hier de β

voertuigsliphoek rechtsom tov van de bewegingsvector (zie bild 4.3) positief is gedefinieerd.

Dit terwijl de ontbondende van de snelheidsvector naar links is gericht. Vanuit de

tekensafspraken dat het insturen naar links een positieve sliphoek is, treedt dus een

tekenwisseling op. Deze is niet aan de orde bij de berekening met snelheidsvectoren.

NB: controleer bij een berekening altijd de situatie waarbij de sliphoek van de band achter 0

is. In dit geval is de slipsnelheid van de β even groot maar tegengesteld gericht aan de

slipsnelheid ten gevolge van de gierhoeksnelheid.

Op dezelfde wijze kunnen we de vergelijking voor de achteras herschrijven.

,,,,,, syvsyvsysy vvvv ( 4.45 )


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Herschrijven geeft:

avvv

avenvvvv

sysyvsy

vsyvsysysyvsy

.

.

,,,,

,,,,,,,,

( 4.46 )

Op eenzelfde wijze als de achteras kunnen we deze omzetten naar hoeken.

v

av

.

( 4.47 )

Ook hier gelden de verschillen in de tekenafspraken met Zomotor, zie fig

Figuur 4.37: Definitie eenspoormodel volgens Zomotor


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Stuurhoek als functie van de bochtsnelheid, R=100

m linksom

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 2 4 6


Stu

urh

oe

k [

rad

], z

ie l

eg

en

da

delta [rad]

delta zomotor

Voertuigsliphoek Beta, volgens reader en volgens

Zomotor

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 2 4 6


Vo

ert

uig

sli

ph

oe

k [

gra

de

n]

Beta [rad]

-Beta zomotor [rad]

Figuur 4.38: Verantwoording definitie richtingen ahv resultaten rijtesten.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.2.5 Rekensheet eenspoormodel

Het rekenen met het eenspoormodel is foutgevoelig. Om die reden is een rekensheet opgesteld

waarin de gebruiker alleen de voertuigparameters hoeft in te vullen.

Hieronder is de sheet (voorbeeld_eenspoormodel_stationaire_bocht_v100.xls) weergegeven

Rekensheet eenspoor voertuigmodel, ter ondersteuning van colleges Voertuigdynamica

Docent: Roeland Hogt

Datum: 29-Feb-08

Toelichting Gebruik deze worksheet om basisberekeningen aan het lineair eenspoormodel uit te voeren

De berekeningen zijn alleen geldig in het gebied dat laterale bandkracht lineair oploopt met de sliphoek

De gele cellen zijn de te wijzingen parameters

gegeven Voertuig Banden Berekende kentallen

Fzvoor 2967.525 N Cfy_voor 300 N/deg 17197.45223 N/rad EG [rad.s2/m] 0.007036 zomotor Gl.4.24

Fzachter 2967.525 N Cfy_achter 500 N/deg 28662.42038 N/rad delta_A [rad] 0.024995 zomotor Gl.4.8

wielbasis 2.5 m v_ch [m/s] 18.84991 zomotor Gl 4.30 werkt voor onderstuurd voertuig

a 1.25 m v_krit [m/s] #NUM! zomotor Gl 4.33 werkt voor overstuurd voertuig

b 1.25 m

mtot 605

Straal R 100 m

Volgens vergelijkingen zomotor

gl 4.15 gl 4.19 gl 4.27

v [m/s] ay [m/s2] Fc [N] Fyv [N] Fya [N] alpha_voor [rad]alpha_achter [rad]vsy,alpha,voor [m/s]vsy,alpha,achter [m/s]flx_Phi [rad/s]vsy,phi,achter [m/s]vsy,phi,voor [m/s] vsy,beta [m/s]Beta [rad] Beta [deg] vsy, delta [m/s]delta [rad] -Beta zomotor [rad]delta zomotorGierversterkingsfactor

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0125 0.024995 0

2 0.04 24.2 12.1 12.1 0.000704 0.000422 0.001407 0.000844311 0.02 0.025 -0.025 -0.024156 -0.012078 -0.692377 0.050563 0.025284 -0.012078 0.025276 0.791094

4 0.16 96.8 48.4 48.4 0.002814 0.001689 0.011258 0.006754495 0.04 0.05 -0.05 -0.043246 -0.010812 -0.619772 0.104503 0.026129 -0.010811 0.026121 1.531057

6 0.36 217.8 108.9 108.9 0.006332 0.003799 0.037995 0.02279651 0.06 0.075 -0.075 -0.052203 -0.008701 -0.498766 0.165198 0.027536 -0.008701 0.027528 2.179208

8 0.64 387.2 193.6 193.6 0.011257 0.006754 0.090064 0.054036733 0.08 0.1 -0.1 -0.045963 -0.005745 -0.329356 0.236027 0.029508 -0.005746 0.029498 2.711589

10 1 605 302.5 302.5 0.01759 0.010554 0.175916 0.105542808 0.1 0.125 -0.125 -0.019457 -0.001946 -0.111538 0.320373 0.032043 -0.001946 0.032031 3.121496

12 1.44 871.2 435.6 435.6 0.025329 0.015198 0.304017 0.182385242 0.12 0.15 -0.15 0.032385 0.002699 0.154707 0.421632 0.035143 0.002698 0.035127 3.415715

14 1.96 1185.8 592.9 592.9 0.034476 0.020686 0.482856 0.289640024 0.14 0.175 -0.175 0.11464 0.008189 0.469414 0.543216 0.038811 0.008186 0.038785 3.609139

16 2.56 1548.8 774.4 774.4 0.04503 0.027018 0.720966 0.432392505 0.16 0.2 -0.2 0.232393 0.014525 0.832646 0.688574 0.043049 0.014518 0.043007 3.719895

18 3.24 1960.2 980.1 980.1 0.056991 0.034195 1.02695 0.615742809 0.18 0.225 -0.225 0.390743 0.02171 1.244502 0.861207 0.047863 0.021695 0.047791 3.765974

20 4 2420 1210 1210 0.070359 0.042216 1.409512 0.844813033 0.2 0.25 -0.25 0.594813 0.029745 1.70513 1.064699 0.05326 0.029716 0.053138 3.763381

22 4.84 2928.2 1464.1 1464.1 0.085135 0.051081 1.877502 1.124756516 0.22 0.275 -0.275 0.849757 0.038635 2.21474 1.302745 0.05925 0.038581 0.059049 3.725411



linksom

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20


Slip

sn

elh

ed

en

, zie

le

ge

nd

a [

m/s

]

vsy,alpha,achter [m/s]

vsy,beta [m/s]




linksom

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20


Slip

sn

elh

ed

en

, zie

le

ge

nd

a [

m/s

]


vsy,beta [m/s]

vsy,phi,voor [m/s]

vsy, delta [m/s]

Stuurhoek als functie van de bochtsnelheid, R=100 m

linksom

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 2 4 6


Stu

urh

oe

k [

rad

], z

ie le

ge

nd

a

delta [rad]

delta zomotor

Voertuigsliphoek Beta, volgens reader en volgens

Zomotor

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 2 4 6


Vo

ert

uig

slip

ho

ek [

gra

den

]

Beta [rad]

-Beta zomotor [rad]

Gierversterkingsfactor als functie van de snelheid

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 10 20 30


Gie

rvers

terk

ing

sfa

cto

r [1

/s]

Gierversterkingsfactor

De gele cellen kunnen door de gebruiker worden ingevuld. Daarnaast kunnen de snelheden

worden aangepast (kolom A)

gegeven Voertuig Banden

Fzvoor 2967.525 N Cfy_voor 300 N/deg 17197.45223 N/rad

Fzachter 2967.525 N Cfy_achter 500 N/deg 28662.42038 N/rad

wielbasis 2.5 m

a 1.25 m

b 1.25 m

mtot 605

Straal R 100 m De blauwe cellen geven de resultaten weer volgens de samengestelde vergelijkingen uit

Zomotor. Hierbij horen ook kentallen uit het voertuigdynamicamodel.

Berekende kentallen

EG [rad.s2/m] 0.007036 zomotor Gl.4.24

delta_A [rad] 0.024995 zomotor Gl.4.8

v_ch [m/s] 18.84991 zomotor Gl 4.30 werkt voor onderstuurd voertuig

v_krit [m/s] #NUM! zomotor Gl 4.33 werkt voor overstuurd voertuig


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.3 Het éénspoormodel, dynamisch

4.3.1 Betetekenis van de kentallen, dynamisch gedrag

Het dynamische gedrag wordt beoordeeld aan de hand van de J-turn of stapvormige stuurbeweging en de zogenaamde sinustest.

Bij de stapvormige stuurbeweging worden bepaald:

o De responsietijden

o De verhouding tussen maximale en stationaire gierhoeksnelheid

o Parameters uit overdrachtsfunctie: de demping, de ongedempte en gedempte eigenfrequentie en de tijdsconstante

Bij de sinustest worden bepaald

o De fase verdraaiing tussen de ingaande stuurhoek en de dwarsversnelling

o De verhouding tussen amplitude van de dwarsversnelling en de stuurhoek.

Voor het inzicht in het dynamisch gedrag van een voeruig wordt gebruik van overdrachtsfuncties op

basis van het eenspoormodel. Als eerste, bij de stapvoerige stuurbeweging, de overdrachtsfunctie

gierhoeksnelheid over stuurhoek en als tweede, bij de sinustest, de overdrachtsfunctie dwarsversnelling over de stuurhoek.

4.3.2 Overdrachtsfunctie gierhoeksnelheid over stuurhoek bij J-turn

De tweede-orde overdrachtsfunctie wordt samengesteld uit dezelfde parameters als gebruikt voor het

stationaire laterale gedrag, uitgebreid met het (gier)traagheidsmoment (Jz).

De basisvergelijking (in het s-domein) hiervoor is:

De parameters zijn:

de stationaire versterkingsfactor: K

In het stationaire gebied is dit de verhouding tussen gierhoeksnelheid en de stuurhoekdelta,

oftewel de gierversterkingsfactor

De tijdsconstante Tz:

De tijdsconstante is een maat voor de dynamische responsie van het systeem. Bij een afname

van de tijdsconstante zal het systeem trager reageren en neemt het doorschot (overshoot) af

De Abklingconstante 2.σ:

De Abklingconstante is een maat voor de demping D: 0v

D

Met een toename van 2.σ zal het systeem trager reageren en zal de doorschot gaan

verdwijnen. Indien de D negatief is zal het systeem niet uitdempen

De ongedempte eigenfrequentie v02

Met een toename van de ongedempte eigenfrequentie zal neemt de frequentie van responsie

toe. De gierbeweging is hierbij vooral om de vooras en dat betekent dat de achteras, de

slipstijfheid van de banden achter, hier een bepalende factor zijn. Hoe hoger de slipstijfheid, des te hoger wordt ook de ongedempte eigenfrequentie. Het voertuig als geheel zal directer

reageren op een stuurbeweging.


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Voor de overdrachtsfunctie gierhoeksnelheid over stuurhoek is de functie nu als volgt

Hierin is:

Daarnaast wordt de gedempte eigenfrequentie bepaald:

De gedempte eigenfrequentie ontstaat uit de ongedempte eigenfrequentie en de dempingsconstante.

Indien deze toeneemt neemt de gedempte eigenfrequentie af. Bij de dempingsconstante >1 (1 is de

kritische demping) zal de gedempte eigenfrequentie kleiner dan 0 worden. Het systeem is daarmee bovenkritisch gedempt. Hoe hoger de gedempte eigenfrequentie des te lager de demping en des sneller

reageert het systeem op variaties van het ingaande signaal.

Figuur 4.39: Versterking en fase diagram als functie van de frequentie voor de diverse warden van de

dempingsconstant (hier ξ)[http://en.wikipedia.org/wiki/Vibration]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

De vertaalslag van deze vergelijking naar kenmerken is niet eenduidig omdat de parameters met elkaar

samenhangen. Zowel in de deelvergelijkingen als in de samengestelde vergelijking

Voorbeeld:

Tz wordt groter als mg groter wordt. Echter zal ook de slipstijfheid achter toenemen wat de breuk weer in (grotendeels) evenwicht brengt. Het effect van een verplaatsing van het

zwaartepunt naar de achteras is dat lv groter wordt maar dat Ch ook toeneemt. Algemeen geldt

dus dat met het toenemen van de massa en het verplaatsen van het zwaartepunt naar achteren de Tz toeneemt. Echter zullen hierdoor ook de 2σ en de v0

2 wijzigen

De andere kant is het wel mogelijk om te onderzoeken welke effecten een aanpassing van de slipstijfheid heeft op de parameters van de overdrachtsfunctie. Dit geeft ons het inzicht om het

voertuiggedrag van een elektrisch voertuig weer gelijk te maken aan dat van het oorspronkelijke

voertuig!

Figuur 4.40: Giereigenfrequentie en gierdemping als functie van de voertuigsnelheid [zomotor]


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Dit is uitgewerkt in een gevoeligheidsonderzoek [Roeland Hogt 2008 in het kader van VDY02]. De

variaties hierin zijn:

Slipstijfheid voor nominaal en achter respectievelijk, nominaal -20%, nominaal en

nominaal+20%

Slipstijfheid achter nominaal en voor respectievelijk, nominaal -20%, nominaal en

nominaal+20%

De grafieken op de volgende pagina’s laten zien hoe bruikbaar dat is: Voorbeeld:

Een tijdsconstante verlagen gaat alleen door de slipstijfheid achter te verhogen. Dat zorgt

vervolgens ook voor een afname van de demping bij hoge snelheden, maar een toename van

de demping bij lage snelheden. Ten gevolge van de verhoging van de slipstijfheid achter zal de ongedempte eigenfrequentie toenemen.

In het stationaire gebied zorgt een verhoging van de slipstijfheid achter voor een meer

onderstuurd rijgedrag en daarmee een lagere karakteristieke snelheid

Ook kunnen deze effecten direct vertaald worden naar de responsie op een stapvormige stuurbeweging: zie figuur ..

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4tijdsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Cv [N/rad], zie legenda

v [km/h]

tijd

sconsta

nte

60000

75000

90000

Figuur 4.41: Effect variatie slipstijfheid voor op de tijdconstante Tz


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1

1.5dempingsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Cv [N/rad], zie legenda

v [km/h]

dem

pin

gsconsta

nte

60000

75000

90000

Figuur 4.43: Effect variatie slipstijfheid voor op dempingsconstante D

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4tijdsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Ch [N/rad], zie legenda

v [km/h]

tijd

sconsta

nte

120000

150000

180000

Figuur 4.42: Effect variatie slipstijfheid achter op tijdsconstante Tz


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2ongedempte eigenfrequentie (voertuigsnelheid), drie waarden van Cv [N/rad], zie legenda

v [km/h]

ongedem

pte

eig

enfr

equentie [

Hz]

60000

75000

90000

Figuur 4.45: Effect variatie slipstijfheid voor op ongedempte eigenfrequentie v02

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1

1.5dempingsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Ch [N/rad], zie legenda

v [km/h]

dem

pin

gsconsta

nte

120000

150000

180000

Figuur 4.44: Effect variatie slipstijfheid achter op dempingsconstante D


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

4.3.3 Simulatie van de stapvormige stuurbeweging

Bij een stapvormige stuurbeweging wordt op tijdstip t0 de stuurhoek stapvormige naar een vaste waarde gebracht. Deze vaste waarde komt overeen met een vooraf bepaalde laterale versnelling bij de

gegeven voertuigsmelheid. In de toepassing bij rijtesten is de snelheid 80 km/u. Dit komt overeen met

de snelheid waar men ook de hoogste stuurgevoeligheid wenst8. De laterale versnelling wordt daarbij 4

m/s2. Tot deze waarde gaat men ervan uit dat het voertuiggedrag met een lineair model te beschrijven is (zie ook de overdrachtsfunctie in de vorige paragraaf). De simulatie van de stapvormige

stuurbeweging is dus een toepassing van de overdrachtsfunctie.

In vervolg op de beschouwing van het effect van de variatie van slipstijfheid voor en achter op de

parameters van de overdrachtsfunctie geeft Figuur 4.47de effecten aan op de responsie op de

stapvormige stuurbeweging. De stuurhoek die overeenkomt met de gewenste laterale versnelling of gierhoeksnelheid) verandert bij verandering van de slipstijfheden. Bijvoorbeeld moet men bij een

verlaging van de slipstijfheid voor meer insturen. Een verhoging van de slipstijfheid achter heeft

hetzelfde effect; nu neemt de voertuigsliphoek Beta af en moet dientengevolge de stuurhoek toenemen. Dit is wiskundig vastgelegd in de vergelijkingen voor het eenspoormodel.

Samenvattend: de resulterende stationaire gierhoeksnelheid en laterale versnelling is dus een vaste vooraf

ingestelde waarde. De responsie van het voertuig is dus alleen een gevolg van de dynamische

eigenschappen van het voertuig

8 Bij sportwagens is de karakteristieke snelheid hoger, bij bussen en vrachtwagens lager

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2ongedempte eigenfrequentie (voertuigsnelheid), drie waarden van Ch [N/rad], zie legenda

v [km/h]

ongedem

pte

eig

enfr

equentie [

Hz]

120000

150000

180000

Figuur 4.46: Effect variatie slipstijfheid achter op ongedempte eigenfrequentie v02


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

Het resultaat van de simulatie van de stapvormige stuurbeweging is de gierhoeksnelheid als functie

van de tijd.

Belangrijke kentallen zijn:

stat

(in matlab: phi_dot_delta_stat)

Deze waarde geeft de verhouding tussen de stationaire gierhoeksnelheid en de stuurhoek aan.

max (in matlab: max_phidot)

Dit is de maximale waarde van de gierhoeksnelheid

maxT (in matlab: tmax_phidot)

Dit is de tijd vanaf T0 tot aan de maximale waarde van de gierhoeksnelheid

stat (in matlab: eind_phidot)

Dit is de stationaire gierhoeksnelheid

stat

max

(in matlab: overshoot_phidot)

Dit is de verhouding tussen de maximale en de stationaire gierhoeksnelheid

Figuur 4.47: Effect variatie slipstijfheid op de responsie op een stapvormige stuurbeweging


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

In Figuur 4.48 zijn deze kentallen nog eens weergegeven.

Samenvattend: Voor de beoordeling van de responsie op de stapvormige stuurbeweging zijn de doorschot (overshoot)

stat

max

en de tijd maxT tot dit maximum van belang:

Een toename van stat

max

betekent dat het voertuig qua uitwijking (gierhoeksnelheid) sterker

reageert op een stuurbeweging bij bijvoorbeeld een wisseling van rijbaan of een

uitwijkmanoeuvre. Het voertuig zal een grotere laterale slip hebben (en meer ruimte nodig

hebben) en ook neemt hiermee de dynamische gewichtsoverzetting van binnen op buitenwiel toe en daarmee het risico op kantelen van het voertuig.

Een toename van de maxT duidt op een tragere reactie van het voertuig.

Daarnaast geeft het een toename quotiënt van stat

max

en maxT aan dat het voertuig feller

(directer) reageert op een stuurbeweging en de gierhoeksnelheid dus sneller oploopt.

Figuur 4.48: Kentallen uit de responsie op de stapvormige stuurbeweging


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt


Versie 1.06

Roeland M.M. Hogt

5 Referenties

[1] H.B. Pacejka; Tyre and Vehicle Dynamics; Butterworth-Heinemann, 2002; ISBN

0750651415

[2] Dr.Ing. Adam Zomotor; Fahrwerktechnik: Fahrverhalten; Vogel Buchverlag 1991; ISBN

3 8023 0774 7

[3] Reimpel; Reifen und Rader; Vogel Buchverlag 1991; ISBN 3 8023 0774 7

[4] R.M.M.Hogt; Reader Aandrijving; Hogeschool Rotterdam; code A004 en A005

hogeschool rotterdam instituut voor engineering and ... voertuigdynamica v106.pdf · studierichting...

Documents